ln roftlneite d.e'. Cdrlenco Teetlana, V. Suci $i M. Stokd

fi. I4. NEPE.NbMAH

SAHMMATEJII-HAfl AJIIEBPAIOCI4APCTBEH]IOE IISTATEJIBCTBO

@II3I,II{O"MATEMATItqtrCHOtr{ J]IIT]IPATVPbI

I. I. PERDI,,MAN

ALGEBRA DISTRACTIVA

E D I T U RA S T I I N TBucuretti, 1961

FICAMocnBa, 195 8

)bra este adesea denumitd ,,a,ritmetica celor qapto', pentru.a sublinia cd, la cele patru operatii mate-

ttice cunoscute ea adaugf, lnci trei : ritlicaiea lla, nuterecele dou6, operatii inverse acesteia din urm5,.rle doud, operalii inverse acesteia clin urmd,.

Convorbirile noastre despre algebri le vom incepe cude-a ,,cincea operalie" - ridicarea Ia putere.

A CINCEA OPERATIE IIATEMATICA

A eincea operatie

Oare necesitatea acestei noi operatii a fost tlictati, de

volumelor cind trebuie sd ridicdm cli ferite numerc la

rctic5, I Inaiiscutabil. De ea ne izbim foafie ales in viatc,toate zilele. Sd ne amintim numai cle calculul sunratetelor

a cloua (la pdtrat) $i a treiiD (h, cub). In afard aleforla cle atractie universalS,, interac-tiunile elec-

e qi cele magnetice, intensitatea lumilii qi a sune-iri scacl propor.tional cu p5,tratul tlistanfei. lntie timpulrotatie a planetelor ln jurul Soarelui (qi a sateiililor lnul planetelor) Si alistantele mdsurate tle la centrul tlelie exist6,, tle asemenea, o relatie exprimati, cu ajutorul

puterea a qasea. Analizind for-ta cu care o ap5 curgi,toareantreneazd pietrele lntllnite ln calea ei, un hitlTotehnicianlntllnegte md,rimi ritlicate la puterea a gasea : dacl" ileza

r: pi,tratele timpurilor de revolu.tie sint propor-cu cuburile clistantelor.|i.fionale cu cuburile clistanlelor.

: Dar sb nu ne tnchiluim cd, ln Dracticd, lnttlnim numaipul,erile a doua gi a trela, iar e rpotrentii cle gra tI superior

. existd, numai tn exercifiile tlin manualele cle algebr*. Efec-tulntl calculele tle rezistenti,. un inEiner se izbeste la oricetulnal calculele tle rezistenli,, un inginer se izbeqte la oricepas tle puterea a patra, iar in alte cazrtri - de pikld, laaflarea diametrului unei contlucte tle abur - chiar de

curentului ile apd a unui rlu este]tle patru ori mai mare

d.ccit a altui riu, atunci primul cste capabil "sti rostogoleascS,prirr albia sa pietrc mai grcle tle 4,6 oli, atlici, dc 4 096 deori, fali de cel dc-al rloikra riu *.

Ou cxponontii mai rn'.rri ntr intilrtim sl,urliind tarialiastrilrrcirij unui t'orp ilcandcsccnt - dc pilclii, a filamel-tnlui nnni bcc elcctric - in ftnc.tie de tetnlttrraturl. Lainc:lnilcscella de culoarc albi-gl1buie, inttnsitatea ]tmi-noa,si c]'eqte proporlional cu putcrcr tr 12-a :l tclrpc}aturii,iar la incandcsccn{a de culoare ro;itt - proltoltional crrIutcr'e{l a 30-a a tcrnprat rii (se itr!( l( gc t i t ste volb:r dctempcratula ,.rbsohiti.", rdicii sctctiti de la *273"()).Aceasta i rst : m 1i c5, atun{ i r ' i rd mi l r int te nr l t ratru 'a untt ir :o lp, dc cxcmpJu de la 2 000' la 4 000". : r l i r r i dc dcrr i or i .corltl rlat der.irie de 212 ori mri

-'tlIluritoI', cu llte cuvirtto

lum'ncazi t' le 4 000 dc ori mli mnlt. \ 'cin rtveni asuplaimpoltantri folosiri ' actstti tlepcndt nle in fihnita fatri-cdrii bccurilor elcctlice.

Nurnere irstro ornicc

Se poate spune c5, astronornii s lt cci carc iolosesc pescara cea n-Lai largi, cca dc-a cincca opcrrl'ie. Cercetltoriiuniversului au de-a face la orico I:1s cu nurncre uriaqe, com-puse din una san tloui' cifrc scmnificative, urrna,tc de un qirlung cle zerouri. Scrierea obiqnuiti, a acestor colo;i nume-rici, denurnili pe drept cuvint ,,numcrc astrononfce"r arduce inevitabil la mari complicatii, rrrai eles in cazul efoc-tuS,rii calculelor. As1,fel, distanla rlc la Piimirrl, la nebuloasadil Andrornerla, explimati, in kilometri qi scrisi, in modobi$nuit, aratd astfel :

I500 000 000 000 000 000 hm

Dar la efcctrrarea calculelor astronomicc se cele adesaca distantcle sd fic cxprimate nu in Lilornct]j sau in ulitilimai mari, ci ln ccntim;td. ln acest caz, clistanla, de mai susva fi rertat5, pdntr-un numir carc ale cu 5 zerouri maimult :

950 000 000 000 000 000 000 000.

Nllst,le s1,c1clor sitlt exprimrtc prin nurnerc ';i uai

Irrr li, rna,i alcs atunci cintl iloritn 'sir 1() cxll'inilln in glam^et

,r,1,, ,,,.rn .se cerc ln nu[Ieroasi] calcrllc. ]' lasa "Soitrelui

in

l l f i r r l0 cstc eg:ua cu:

I 133 0 r l01r0 l ro l i IL i0 0( l ( l r l l ) i l l r l r l ) { l0u () l r i l ( l l r l ) .

I! lcsle ilc inlelcs cit, r1c corlplicntI al fi cft'clttarcilculculclor cu ajutolul act'stor ttumt:tc nriaqo ryi cit tle.uqorI iur lutea corriitc gleftli. $i incii rrumerelc t' itate nai susrrrr sfrrt, celc utai mlri nnmcle astlorlornice.

A r" incer oncr: l l ie Inal t l r r r r t i ( 'A I 'crmi l ( .o . t t zol \arol i r r r t ' l i I ! ' l1. t l r l , lnt i . Ci l r l l l l r l t r l l ln:r l i de ut t f l l t le ztroul l

rrlriezir:LtI o anuruit5, liutcrcr a numdmltri 10 :

1!0 -= 102. I ( ) t l0 . l l l r , 10 000 l l i r t lc .

Dcci, colo;ii mrrnt.rini rle rrtai sus lrot fi lepezentalrsub forma uniitoalc :

l ) r r r r ( r 9;r) l { r jaL { lo i l i : r ' 19' \ l l l l r ro

Aceastii rr:prezcril,ale se face nu nr.Lmiri Ponl'l:u eco-no-misirea st ' r t i r r l r l i , c i r i I 'o l l l l l t s i rnpl i f icrr ' ' i r cal(ulo]or 'IJaca ni t r i , , tn t : l i r rmul l . im a|cslc num|re l t r l te c le '

ar fi suficient s5, aflim prodrsul 9i0 '1 983 - 1 883 8l'i0qi si-1 punern inaintea ftrcl.orului 1021f30 == 1051 '

950 . 10'1 1 983 1030: 188 335 10'r

Aceastir, notalrie cstc' dcsig 1., rnult nai cornodi decitaccca in ctle am siric lurnirul cu 21 de zerouri, aloi c{'l cu30 qi . i r r sf i r . i t , nt tnr i tu l r (zr l l i r l r l , cu; l do zeruut i . Estonu nrrrnr i r rn i |u lnod, c i ; i r r r r r l t mr i o igr t r , dcol tece lascrierca a zcci de zerouri se poate omite unul sau dou5,rlintre ek', oblirriltlu sc astll:l un rezl tat grelqit.

Ctt eintlrcFte 1ot aeml carc inconjoari Pimintul ?

Oa si, nc convingcm in ce mdsuri, se simllificl calculeleatunci cirrtl ne foloiim dc replczentalea numerelor maricu ajutorul pttcrilor lui t 0, s[ facern ulmitorul calcul : sddeteirninirm de citc ori masa globului telcstru este maimarc dccit masa si,ratului de aer care 11 lnconjoard 9

* \ f r i dclat iat desprc accast: i ptobl l l l i r , vczi c i l r l ta mc, Zdni lnalel-

naicr mchanika ( l lecanica dis l lact iYd), cal lX.

8

r i i , t r ,

gtirn cii, pe fiecare ccntinretlu pitlat rlin supr':rfataPlttti ltului, aerul apasl orr o forld, de ap}oxinialir. rrrrkilogram. Aceasta insealnnii 05 gleutatea intregii coloancde aer oare se splijinii pe 7 rm,2 din suprafa{a Pilirintuluieste ega15, crt I kq. Atmosfera care lncotrjoari Pinirrtulpoate fi consialerati, ca fiinal corlpusi, tl in asemcnea coloanetle aer I existi atitea coloale citi centimetri pitr.ati sintcuprinqi in suprafata planetei noastlc, deci tot atitcalcilograme cint5,re$tc lntrcaga atmosforii. Llcrcetild r.rla-rmalclc, ir,fl6,m cd suprafala globului telestr.u cstc t'gali, cu510 000 000 lttnz, ceea cc insealirnd, 57 .1.07 ll,n2.

Sd, calcul[m citi centimetri pitr]ati sint cuprinqi intr-unkilometru pitrat. 'Un kilornetiu linial are i 00b r,r, rrnlnetlu -100 oz, deci, I kn, lirriar estc egal cu 105 ciii,,iar I /urt2 arc (105)s :1010 cnf . lrin ulurarc, sulrr,a1l:ri:r.I 'd,tttirrtului cstc dc :

5t . | )? . t ( r rJ = ;L . l r r ,7

r, lr,2. ' fo1, ali lcrr lcikrglarrtr rri l tt- lre$k' si ir i l ,r.r, lgl l l trroslt,r. i l .t 'r irnintului. Transfolrnind accstca i l tone, ob!,i lcrn :

51 . I0r?: , t loU:51 .10u l0r :5 l .1r1r? 3-- j t . t { l r t .

Masa globului pirrri l tesc sc t 'xpL.irni pli l lulri lul :

{ i . 10!1 t .

C:t sii aflrirn do cite oli l)lan('ta noirslr'i i csto nrai qtrirtlct'it st,r'atul dc ael cc o irrlonjcrari, firt:t ' lr i lrpirli lt,n :

6 .10!1 : i r l .10r1=l(16,

atlici ura sil,tl,rrrosfclci rcl)l '( 'zi ntI aprixirittLtir. o rn il iorrirucdin rnasa glnbului pii,rrriltrsc *.

Arrlcre lirii l lacirrii;i firrl crildurii

J)ilrii vcfi ittl;rrrbil rLn chirrrist do r,cr ll,turrul qi cillbunr,lcartl ntttnili l l l l,crnpclltuli irril l lrtr, t.ri va, r'l isprrrrrlrr r,i rLrfaltt corubin:llea oxigenului cI calbo ul 1ioa,l,o alca loc la,

oli|c temlerattri, dar cd, la temy'raturi jotse acest procearlrrr.urgc foartc lont, (:r,dici irr lclctlle intti, ul1 nurnd,r neftr-rorrrnat de rnol t 'cule) el scapi , observa! ie i noasln 'e.l(rgea care tletermini r.iteza reactiilor chimice alatii cd,rr l t rnci c ind i ,ompcratur i r scude crr I0 ' . r i l .eza r l r . reacl ic(num5,rul de molecule cupdnse in aceasta) s e r e al u c ela j u m i , t a t e.

S5, aplici,n cele dc rlai sus la reactia oxid5,rii lemnului,r r r l i r ' i t Ia Tr l r r r ' r .sul t lo alr l r . r ' r , u l t rnrrulrr i . Sa Irr ,srrpuncm ciu[ g]anl dc lerrrr] arde l?n to]nleratula dc 600o a ulcifli ic[ri, in timp dc o st'cuutli. Irr cit tirnp va ardc un grarnrlc lcrnn lil temqxrra,tur.a, de 20'? L:r, acoasti, temperatut5,oa,re este cu 580 : 58 .10' mai mic5., r.iteza rcactiei rrasc5aloa ale

233 oLt,

rleli, un grlrrr de lcrrrn r-l aldc irr ti lnlt cle 2i6 secnndc,Cu c,i!i arri eslc egal accst, irrl,crval de tirulr? Putclr

cakrula acest lucru cu aploxirnafie, firi, si, inmultiffr 2 X 2de 57 de ori, qi fi,ri, a,jutorul tabelelor dc logarit,rr i. Vornfolosi faptul ci

2'u I l )21=loj .

2* 2, . - 1 .260 - 1 . (210)6

-

1 . lo ' , ,, I l . l

arlici t ' i lca I dilt,r'-n rr tl i l iorr de sccrur(lc. li l al urt r,irril1I

i00U00U0 Sarr i . lUi s( , r 'urr l ( . r t l ,at |c l [ ] fU" l : ( ; i . lU?) =t l I

: -1 . tut = 1010 ar i .12

Zccc rrriliartle ani !Iatii, in cit, tirrrp ar altle un grarn dct i .Dl t t t : t t ' l I la( , t t t l t ta] .a, ct to l l lJ .

A$rrlal, k,tlnttl ;i r':l i,tlrtuulr i.r.trl i.i i la l,r:rrrlxtt'aluli ol)i$-nllite, Iii,1'5, sii l io rt)r'i l ls(,. JnVt,rrtrurr| urcllclor peDt,r'uproducclea focului a acce-ltrat do miliarde de ori accstprrlces extrem cJe le1t,

l )cci :

1l)

' Srrnnu I : : i rscan) l l r 'L . ] ) ror i i l i lNi i \ ' f g,r l ,

l1

l in l

I l fzoI \ nr t l

scr l in i i l i sc i l r r i .scniui r i iufrorNl i ,i l ln0ral i l i s{ r r i r r r l .i r r [0L tLt r i i i nr t l0rr la

22 altcrniri dilelitc. In decul's

In dcculs de Patru zi1e, rrumirul

Ilrirm zi clin siprti inrini po:r'te fi st' lrini sau ir1lor':rt ' i i :

urern c leocanrdl ld doui i . .coml, in i r l i i " .l rL de|ut* dc dorrd z i le s iu l I 'osibi lc r r lnr i lo i r l " lo i r l l { t -

ile zile senine cu cele innoratc :

De acri r:eiest' cii' e)iistl 128 de s{pthrnini crr ordifierlilcrit5, t1c alternare a zllelor sonine cu cele innoratc' PesteliJlt .7 :896 zile lrtrbrtitr neal5rat si se rcpete una cliDrorrrbirratii lt 'ft l '( 'all al-l l l lt l l itr:ri l ltc ltcpctlrcil l loate sI" sei r r l i t r r t r l t : r i t r ru i t , t t t t l r r l . r l l i l l l ; r l t '7 i l t t ' ' l lcz i l r l i i I { l l l lc l lu l

Lr expi ,a icu , ;1 '11i11 ;1r 'c1sl i Ic lo l r l r ' { r l ' ' iucvj tabi la ' $ ijnvers: lot ia L-rPi l ( 'u t l r i : ln i in l rcgi , chiar mai mult(2 ani s i 166 clc z i lc1, in d, cr l rsul caror:- l " n ic i o s ip l imjnii ru t : r s, t , ' i l ' : t t t r i r l t l d i t l i l i ' " \ l l r t l l lc l { l r ' \odnl{ '

Btoascu t t t t i I r t t

l'rol'lrIxtr

in l r ' -o inot i i r r l i t sor i , i icd, : - r r lcscol ' r ' t i l o cr .1d {e !a9tcale c\ i r la inca i inr j t r l , ' i r l l , volul ic i . S a gn" i l t i choiaci, tlal pt'Irtrt ru o dcschitle, lrebuia cunoscut secrctnlb loa6i"i ,

' rlct,al'ce u$:r, cascj de lior sc dlschidea -nllrnaiatunli cirrtl cclt' cinci discltli, pr: cale orau gravate literelealfabel,ulLii (l3ti dc literc), elau ast'fel:,;czate incit acesteIitcre si, forrnczc un lnumil; cuvint. Deoatece nllnenl nucunoqtea cuvlrrtul cc treltrtia format, pentru a se evitaslltl 'geleN, (ias{'i, s-tl ' Il01liti1 s[ fit intlcrt'lte toato col'nnlna-

l i i l r l le Ltrrr t lxrs ib i lc drr l t t t ' t ' l t t i t tc i t l iscnr i . Pt ' t t t t1r lor-

inale,r, unei r,tirnbinrL{ii t ' l i lo l ltfuii l lc iJ st'trutldtr'I,)xisla olLt'e sltct'atl{r clr att' lsti i c:rs:i dtl fit 't ' sil Jit:

desclristl, in trttti i l,oat t ' le zt't:t: zilt 't:

puluiSchiurlat'ca

l | r l lorrrr i

Vorll caracteitlzit vtetneil ttumai duli ' l l lr singLtr cli-

toriu, qi anumt' tlacd t'ernl cste sau nt acoperilr, adicS' Yonr[ace dcoscbi t t i . r t t t t t t r l i in l r | z i l , le sntr i t tc t i t t ' ]e. i t t t t " t l r l " .

Cr, I 'utere lvel i . i , r a|esle conr l i i i i . s in l -oatc lo\ l l ' r lc n l l l l fe

sdr, iAmini in carc al io l nulor z i lc l r r r sr ' t l i t ro c l l c( l l . l t r t l ( ' l : l1c

si mr fio niciodatl accealii ?S-ar pirea oi nu sint ltlea multer c[ vor trcce vres

rioui, luni -qi cd, toate combinaliile dc zilc-'senine qi innor2'1svor {i cpuizate; atullcir trr }llod in{)}'jttbil se va lelctir lrrladil combina,{iikr t' ittc I avut lot' intrjrltt ' '

S[ ir]c(rrcinr, 1r:rtu5i, iri cal'trlirn 1-'trcis cikl tronrlij lrtrtiitliferito sint Iosibiie irr coltlitiilc datt' A(rcasttr' tste un:rd.in problcmeic cate conduc in rnod neal|eptat Ia. a {'irlccaoteri,tic tntrtenr:rtici. I 'r ' in rtnrtatc, lIt t ' itc fclut'i pot' rltt 'rrrn,in cnr iu l unci s i i l t l , inr i r r i , z i l t ' l t 's t ' I t int 'cu celc i r lut t la le I

deci

ndri

Doci

cinci zile sirtln decurs ale

posibile 25. irto sipti,rnirtiir

rlc tlri zilc, l;rsus 1e vor t,oles-a trcia ; in total

r.a fi :

!6 rsi, irralternlri

SiLceIca,te,

n { l le

Iiecalc ilin ccle ,l0 rlt'lfi combinatrl cu fictrare dintloilea. I)eci, sitit losibile :

:lti

conilii lra(ii tlc rlriuii l itt 't t 'Il iecircia' il in ut't 's1tr

rirlcaro rlirr ccle 36 de lilrtrltrriurrriml comlinaliilot' dtr

l i l r l t ' l r t 'buiau i t r -

De trlirt ul disc Poate[tci? de 1e discul al

se poate aclitrgatrcilea. I)e acceat

rrl cnl ri r

I tczolrnrt l

r.o t n l-i.i rr a (i i tlc

' i i ( i : : { l j

conlrinl!:iide 1e discul

trei litele r-a' :Jr ; . . : l { i r .

fiecare tlin cele patnr combinatii de mair In( [o c l te dorr i 1,o ' i l ' i l i l i l i l r t ' r r l r ' r r zrrr : rtot , , l r , ' , , ut t t , t t t t i : t t dr ' : r l l . t t l i i t i tgr t l . t t ;

i it 'rc tlccele 3(i

lltelnirilor

z i lcr128

. lnsfir$it,difcrite.

$i lS(rI

r lfi

t i

36',

13

lrr acolaqi motl, afli.m ci ntrnilul combila{iilor de4 litelc poatc, fi 364, iar cle 5 litcre - 305, sau 60 466 176.Pentrrr a, forma aceste peste tio rrrilioarre rle combinatii,ar fi nccesar un interval de timD {socotinrl citr.3 secuntkrl lc n l l r r f ier 'ar{ , r"omhinr! ic; r le

3 . t iO 466 176 : 181 :JgB 528

sec. Aceasta reprezintS, 50 000 ore sau circa 6 300 ziieluc}itoarc cle clte 8 ore, adici, pcste 20 de ani.

Existi ;anse tloar l0 la 6 300, sau 1 la 030, pentrllt in ulnritoarekr '10 zile t.asa de fier sri Iie tL'sr,his..i.Aceasta rc1)l'(.zintii o 'tx'oblli i l it ltc foartc lrit,: .

Cielislul srrpelsli!ios

Prohlentat

Cinova qi-a clnrpilat o biciclcl,ri, in rlorinta, de ainvi,la s5, mealgi, pe ea. Proprietalul bicicletei s-a ilovedita fi un om cxtrem de superstilios. Auzind cd o bicicletise poate avaria astfel incit o roat5, sd, se deformeze intr-un,,opt", ol s-a glnrlit cil nt-i va mergc bine rlacii in nurnirnlllli ale (lirculatie va figrrra, nlicar o singuri" cilrl E. llt,rgindsii ob{inri muniirnl, ol }alionir in fe lul ulnrrit0r : In sc}it rea,ol icd,mi numi,r 1ot l igura 10 ci l ro; 0,J, . , . ,9. Dinl , rcacestea, cea cu ghirrion este numai cifra 8. Existi decidoar o singurri Sansi la zece ca nnmilul hiciclel,ci sii fie, ,or 5 lh in iorr)) ,

1lsl.c jnst, ilfes1, rrl,iont ll l cr rt, ?

Ilezolv{rc

Numcrele tle bicicleti sint, formate clin;ase cifre. lntotal existi 999 999 numere : de la 000001, 000002 ctc.pini la 999 999. Si calculim cifo ,,numere Jolicil,e'! cxistr'i.Prima cifr5, poate fi oricarc dintrc cclc nouii ,,1'elicitr," :U, l . : .1.3.4. . - ' . l i . ; .9. . \ t l r r t r l | i f t i poalc I i . dc;rsr . r r r r 'nr ' : r , -ot icare diu acestc I c i . f |e. De aceta exist i i C .C t) : combinalii de doui, cifre ,,fericite').

In a,cela;i rnorl afli.rn cd nunriilul cornbinalii lor ,,tl i-citre" forrnate diD tj .i i lre erte egal ct gd. Dar, !,inind seania

1+

r,5 in zlcest rrumi,r intri ql combinalia 000 00d, cale ntrpoatc fi considclat,l c:l n nt5,t' tle biciclctii, vom avea int,otal 96 - 1 :531 440 mLmcrc ,,fcricitott, ceea ce col-stituie cam 53 o/o din num5.rul total ,;i nu g0o/o - aqa cumlsi inchipuia biciclistul.

Ilropunem ca cititorul sd, se convingd, pcrsonal cLpr:intre numerele formate dirr 7 cifre, existi, mai multetlurnere,,c11 ghinion' ) tlecit numere,,fericitett.

Rezultal c.lc dublirrii rcpotat.e

Cunoscuta lcgclrli rlcspe rI splrtlr, cuvcnitii, irr r.t-n1,1-tonr lu i jocului dc;ah'ne ofcr i urr cxemplu caracter is l , iode creqtcre exlrem t1e ralidi a unei cantitili foarte mici,in cazul dubliirii ci relctatc. Ili,ri, si, md opresc la acestexertrplrr clrrsit', voi d:l altc cxenrlrir', nrli pntil cunon(r t0,

l,rol,lct ri

^ _ ln metlic, paramt,cium se divide in doui la fiecarezr de ole. Daci, toii indiYizii rezultali ar rd,nrine in viali,cit tir):Lp ar fi necesar ca, ulnraqii unui paurmccinnL sii ocnlxiun volrrnr ogll cu r-olumul Srialclui ?

Datelo rrcccsaro 1)entlu ca,lcul : adrli{in11 cil l,oate gcl]c-ratiile ri,min in viafii dupi, tlivizare, a {0-a genct':ltic aunui palaurecium ocullii nn volum rlc t nl31 voltnulSoarclrri cs1,e egal rit 1027 r?3.

Il0z{,lr,nm

l)roblern:r scr I'cducc la, a dcl;rrmina de citc ori trobuicdublat 1 r?1.3 peltm a se oblirrc un volum de 1027 nt'.Facem urmitoarca transfrnrrra}e, !inind scama ci ?10== I 000 :

l1 i ,? : ( l0r) , = (2ro)o == 2ro.

Dcci, a ,10-a gcnt,ra_tic trebuio s5, trt'acii 1)}jrr iricii g0 dcilivizilir pentur a ocupa un volurr egal cu r-olunrul Soa-le1ui. Nrrmilul total de generatii, socotinel de la nfirna,

i !cz i i . r f l i i l ) l r r r . r , / / t , . r / , r l t lu l t r i i t t l i i l t ( \L i t r l l l i t icd v i r ) , ( . t t r , VIJ.

to

este cgal ctt J,0 1- 90 :1i10. Sc poate u;ior afla timpul

r ' , " , . " r i - i , "" i ' " fo, l , , ' r , "n tot t r tc t ' j te ' l { l r ' '1t l l ' d ' z i lc '

I r r ' . ingrrr ' l r t i . lo l ' io log {} le lz ln iko\ ) a le l l f i t s i l t lnra-

Ic i rsr i i l t s t l r ; l - l t d i r izrrr ' l t t l t r t l i l i i l l i l l l rc ' t l i l l l ' I l l r l t ' l i l l

r)oir[c sL tr:rlctlleze vtllultlul ilnells ]lc cale 1-41 (]cul]ll tl ltrlua

uetr( ta l ie, ducd s-dt t t t l : i r l { l l l i d jn ut ' tsL LUl l l i l r -at

i i " r i ' " i " i ' " " l i tOiv id. Acrca; i l toUlcnra l 'oatc f i prczcnlat ;

s] lnvers.'-

t 'Si-pt"*op""em c[ Soarele s-a diYizat in clou5' pflr.ti

l 'sr lc. i i t io, ' r r l , i t ln l i i l i , lc - r l i t t t tot t jn

' l i , t t i i ' lc ' l r ' ' r ' i t t '

o i i , r '1 i i r r ' , t , r r i l i l se r ' , 1n 1. : t . ru ' i r i o l ' r t i r l i r " l r r l r l l l l I i t '

obti le trlrrt itrule dc nri l irnea runti it i fnztlt l"- '- f l" 'qi it qr.]nsrLl cste deja cluloscllt ci l i tor-Llhri - a"dicd'

lJu. r ' l iu l t ' r jndc lur l r \ ' i I t jL i r t i ( d ' i l i r lu i '

n l ie mi s-a pl l ! I r lu l , lc lna suU lotma ulmi loale:

1"""* o .ouie de nirtie pe care o rulem in doni pilli

egale: t tna din . i r rm: i l i r ! i l r ' "L l i t r r t i r 'o l r l l ' ( l r r , dc: l \ { l r r t l . ' ( ' l l '

i i dort i i etr ' . { t r r ' t t r r t ' l i t t i l i l l r 'L l l i ' l i ( l l le l4 l r l l l l I L ' l ' l lue

L):r ' t iculo r lc c l i t r tensi t t t r i i i l t ' tn i r r l

Sn pr( b l l l runol l r c i o coal i dc l r r t t io ( j l r l i l c f le t l l r gr l l r r '

iar un atom, fr8. D"or"""e 102a poatc ti alroximat cu

280.r 'czrr l l l cu in lot l l tot l i t t r 'co; ' : r to x0 dc i r r rpat l i l i , drr

f" i t la i , ,n cai mi l i , , , rn, . - ia cul l r ro I i ls l 'u l r r l ( r ' i1rrrdul i '

De 100 000 dc ori rnni rcPcdo

Triss ' r 'u l (sru c i lcui tu l Lascrt l rnt) e ' tc un dis l 'ozi i ivc l r .c l I ic ' i "utmat r l in , lorra l i lnf i c lor ' l lo l r i ' c ' l - ( l r r i l r i l .oale

cclor fo losi t , ' i t r i r l ,utr l , lc de ludiurt " l ' l i { ' l l t l l l lc l lo l l l l

r . i t t , cutetr lu l 1,ua[" r ' i r ' , u la l t t tnt l i I ' t i t r l t -u s i r rgul i r . la ln l ' l :

I ie i l in c lu , ,d in s l rngrr" , l in 1rt in cr : l " ' l i t r d lc i rUlu ' ' -u lsp()-z i l i iu l csie preruzui ct t doui i 1,61 nt r lc i l r t l : l j1 lu

ca- l c

oa-oo"f"-rpf i "" , d in e: ter iot , ut t st tnnal ' let ' t r ic i imptt ls)de .cr t r ' ld durr tA 5i r ' lorr i botno d^c ic i i r ' " la l l le c larejrrr t j r r ls t r l dc t i " l r t t r ts ul t r iggntr t lu i Tl l l i l r r l l r ( l r t l l t a l r l l (a l ' r l

i t r r t , t t tsr t l t t i , , lcct i i , ' ,1. in l r 'Lt i i s ' i r todr l ( ( ' l t r r r ru l i r l r ' i l I t lgAe-

r t t lu i : lamlr l I ' l i l l r ' t lc I IF|c i r ct l l ' r ' l l l l l l ( : l r ' s(( ' r lsa i t l l ]

; i ; : , ' ; i l . iur" , u l :etr lu l i t rccl , . ja c i l ' l l l { l ' l i l r ( t r l i r l l i r ' l r r t - -

pulsul 'de . rdspunb csle der dc t l igger rn nro-menltr l c lno

iampa tl in t l lcapta estc dcconccLale (crtrenlul care lrecea

16

prr:in ea este intrerupt), iar prin lampa clin stinga incepe si,oircule curentul.

SJ rrrmi l i in cum ra funcl iona l r iqgolul dat i i i vomtr.pl ica succosiv c i ieva i rnpulsur i e leclr ice. \ 'om calacter izapozitia ti'iggerului dupdlu,ntpa din dreapta : d.ac5curcntul nu trece prinlu,nipa tlin dleapta,, spu-noln cd, triggcrul se aflziltr ,,pozilia 0rt, iar daci,(Nrlcntul trece prin aceastilampi, - triggerul va fi ln,rpozrtla I .

Si presupunem ci, lalnceput tliggcrul se afli inltozilia" 0, adic5, curentull;r'e ce prin 1:rmpa din stinga(fig. 1). Dupn primul im-Puls, a$a cum anr spus, cu-Ientul va circula plin larn-

w-EPoz//i" /n/.7/>/d A

DupJ p./mt/ /mpu/,t :

d rispu.E/4/ da//ed

f-)l--a-l rn,mur

| \J Y!./ |

/m4!'/s

DupJe/do,/ee ,mpu/,9. ,/toz///b Of/ obf/rarcd u/zu/ /mo//r'dc drpuat

Pa din drcapta, adic5, tlig- Fjg. 1Acrul va li in r:ozitia 1.ln anest naz insi nu v'a urrna impulsul de rispuns al lrigge-rului, cleoarece acesta apare numai ln momentul ieqirii dincircuit a li,mpii din rlreapta (nu a celei din stlnga).

Dupi, a1 .doilea impuls, curentul va circula prin lampatlin stinga, ileci triggcrul va fi din nou in pozitia 0 qi vada semnalul (impu1sul) de rd,spuns.

Deci, tlupi doud impulsuri, triggerul revine la poziliainilial5. Dupd, al treilea impuls, ca qi rlup5 primul, triggerulva fi rtin nou in pozitia 1, iar dupi, al patrulea, ca qi d.upd,aI rloilea, ln pozilia 0, ob_tininrlu-se din nou semnalul clerdspuns etc. Dupi, fiecare doui, impulsuri, poziliile trigge-rului se repeti.

Si ne inchipuim citeva triggere montatc astfel lncltimpulsurile de intrare sd, fie aplicate primului trigger,impulsurile rle rf,spuns a1e primului *la bornele de intrarea celui de-al doilca, impulsurile tle rS.spuns ale celui cle-aldoilea s5, fie aplicate la ilrtrarea clui tle-al treilea triggeretc. (tn fig. 2 triggerele sint a$ezate unul dupe, altul, de la

2 - o, 19E4 r7

dreapirr slj 'e stiugl). Sir vt,rLetLi cutn funcliorte:rzi, ncoslsistcrn r1c triggere.

Sd, l,restpunern ci 1a ilrcolut toate triggcrele so atJ rii I r rozi l i i le 0. Asl fc l , l lo l r l t r l un | i t tu i t formal din S l r iggot{ 'r rozi i i r ' in i t i l lb esto ca t i rc lct izatS, pr in cunrbi t r i r ! i :L Ul ' t l l ) { r .i r r rnr i p l in iu l i t r rpulr , I ' t imul l l iggcr \ : r I j r rng" i r r pozi i )a l .r l l r t ,nrr1 ru r 'd in eccasld pozi l ic nr t st obl in| l ln {( mnl l d 'l t rspirns, lozle celc la l le lTiggcl l vor c()n1iDu, s i I i i l l r in iin rrozitiite 0, adici circuitul r'a fi caracterizat ldn corrbi-

Observim ci, un circuit format din tliggere ,,nuniri,,,Irrtrrnalele aplicatc la intlrare ,!i ,,noteazi.',, Intr-un fe1 ori-glrrirl, numirul ace,qtor senrnale. Este usor rle retinut ci,t r l r l l rct t ' n l ln l i lu ln i r l r . sr . r l l r l lc t , , t

-e Ia"" r" t r i iutot . t t l

xlrl,r'rnului tlt ' numera l ie zrrcilral ci irl sistemulni tlo-nurrre-t'rrtit, iri baza rloi.

ln aceastii bazi se,folosesc numai cilrele 0 qi 1, qi oricctll lr[r este notat cu zerouri sau unitflti. Aci. o.rinitaterlrr oldin superior nu este de zece ori mii mar'e decit ctalrrrlc(,dentfl (ca la sistcmul zecima,l), ci numai tle iloui oli.l r | | i taLoa c,at 'e ocu l i i r r l t imrr l loc (e\ t lema t l teal td) r . , t ( ,rnril;atea obiqnuitil. Unitatea do orclin superior: unitiil iiobisnuite.{al doilea loc de la tlrca,lita Ja silngal estc nuntirulL l I a l . t le i l t r Ioc i l or 'upd rrrrrrr i r " r r l 4, r r r rn iazr i a l ro i E r . t r . .. Ue oront l l l r . r r r rmitrr l I l - l i i _1. : l J t se scr i r . i r rlrrtza rloi sub for.ma 10011-

Prin urln:tlr, trircuitul for.rnat din t,l ' igg{tre,,nunlll.rj, 't t l t tLnalelc r l r l i l i r lo; i , , l l r r ( .q is l r r , : rz i" r r r r r r i i r lu l lor fu losirr lt tnmai.r . i f tc le 0 s i l . . \ , let t jonim ( .d dulala de inregistrarcl l . l lnur r ml, ls i .a re 1rf 'co p I jn I | iggcr r .ste dc ord in ul a l0- 6 s.I t ' lggt . ro le lnodr ' r ' r rc po1. . , i r r r r .g is l r . r r" l iLr l t l t )00000 de

l ln l , r t ls | | t i l r ( s( i , l r l | | l i s i r l r i r r l r r r r i | l r I l t , Accls l r i r rseirnrnirrlc 100 000 oli tlai nrult rlct.it ltril l,c socoi;i un orn fil j i aiu-l,orul lrra6inii (ochirll omului poatc distinge clar serrrnaletrarc sc succed l l un in lct r l l d, . cel mult b. l s) .

" lu" i vom lcgr in ser ic c lorr izcci de I I iggcrc, adic i vom

lttregistra numiiml dc semnale allic:rte cli airitorul a celrnult..z0_ de cifi 'e, putem numird pind, la 2 2"0 - I ; accstxumi,r depife$l,e I milion. Irormind o serie cle 64 de triggcre,t tc poale inrcgis l ra. ( r r a j lor l l l lor , [a imosul numi i d i r il .genda.- iablc i r le sah" r i8 6 ?t4 0; i i09 f5t 6t j nf .?.) .

Posibilitatca de a numiira suto dc mii 6" .on1;slc icH(r(iundil csto de foal,te marlr imroltantii ncntm fizicn nir-I le l t i i . . l l t lxr . l r l r l l . sc l , r 'a ic in icgi . l ra rr i rnr , . l r r l r l r . 1,x1{ i -{ 'n lo c l ibr . t i t lo l i t r l r . r in i r ; t t ' l t r { . : r r r r i , . l r . r r l r r i l t onr i r . .

l0 000 de opcratii pe sccundir

. -Esle i t r lcreial l f l l r t r r l c i i Inonla, ie lc rrr Lr ' iggcrr . 1 'ermi l

$t elr . ( 1I t t . t l l o1r | t r l i i lor ct t t t nr . t r , . Si l . ! t . ( l r . t ( , Inr sFpoate face, de excmplrr, atlur]art l a tloni, numerr:.

)/fre//e l/daitaalmpu/a /mpu/a

Fig.2

Pr/izzu//mpt//s

nat ia 00001. Ut l l ' i r l doi l , 'a inr l ru ls, l , r i t t r t t l l r iggct r r , l i( locol leclat (a. i l lngo in |ozi t i& o) s i va dr r l r r semnrI t l r 'rd,s1luns, caie co-necteazi, (pune in func.tiune) ce1 de-aldoiica tiigger. Celelalte triggere vor continua sh riminili r r lozi l i : r " [ $ i c i rcr l i lu l \a i i -c i r laclcr iz l t p l in cornlr i r r r ( i i r{Xt{ , l { , . L)ur) i a l l t f i l , ' i . l inrpl l ls r r i i conlc l : r l d i t l t rut t 1t i t r r t t ll l isscr. r 'e io lu l le rr ln iL int l i r r r i in acr ' l r 'a; i pozj( i i ' t i r t r r i lu lv i r ' i i crracter izal do dala accrsla l l in curnhinal ia 0001 l 'Uufa al lafulca impuls. pr imul l r igger va f i decolcclals i vr e la semnalul de rdsl 'uns ; sub acl i r rn{ 'a a '1 s l u i imf ulssi , va deconcrfa c ' ' l do-al doi lca t r iggor c l ro da. dc usclnel le i l ,r rn i rnr 'u ls de lasnr lns ; 5 i , in * f i r5 i f , acesl d in ul ln i imTtul ' .vr docone( la cei de-at t rc i lea l l iggor i so ot , l ine rs l f { ' lcoDrbiDatia 00100.

Sa v, 'dcm ce rczt t l l i ( lar ' i i r 'unl i t t r l i rnr r l l i { ' l r lmt l r lu lrrostlu ;i ]nal alelarte :

I ' r inNl impulsr1 2- loa i r ) Ipul \Nl : l l t 'x imp lsr l 1- lca i rnpuisal 5- lca inur lsr i 0 10a in lpulsi l ?{ca inrpulsal l l - l f l r i rnpuls

. cornbir l r t i ! 000t i1

. combir l . r l i r r 0001( lconr l l i r la l i t uol) l I

. cornhin:r f ia (nJ10{}

. c0rnbinal ia 001l l1

. conbiDaf ia 00110

. (ornbiDaf i , t ( l ( l1 l l

. cr l r l j inr l iLr ( i1000

1819

Si I rest t l runettr l te i c i rcni te. lo l l r rafo di l l l l igg ' - te ' ( 'o-

rrcctate intre ile aqa cum se aratd, ln fig. 3. Llircnittl de susser\o$te p( 'n i ru i t t t r 'g i ' l turer 1 ' t i t r l t t lu i 1{ t tnr l t : l l : l l l l r r ' l '

, i tc t t i t t t l r l r lo i l r I r ( t l , ' t r r i j lnr ' \ penl t t t t t t t t 'p l ' l l : l l l r r r ' { lu l

tlc-al doilea ternren al snnlei, iar (ircuit l dt jos llcntl'tinlesistrarta sutntri tol,a,lc. ii l lrolnenl,ul pttti 't i i in futtc-

Pn'mu/terme,T

A/ da/4ed

prrz i{ ja | ( i i l lc r ( 'nur i r l ' . | l t r r r r t i sosesc la t r iggorrr l l ratr ) ,l l r t , . lu l r r" . '1r . r l is ; ,ozi t i ru l loptezcrr tat in { ig.3 a cfeclur l(in sistcmul de nunclalie in baza rloi) adunarea a doui,lumere ,,pe coloale" :

101

__t I I

I10( l

stu in sistcnul zecimal : 5 l- 7 : 12. S-ar'lutoa spune c[impulsulile de rispuns din circuitul rlc jos corespuntl fap-tului urni,tor' : dispozitir.-ul ,,memoleazi," o unitate pe careo trece ir ordinul urmitor (superior), adici, eiectueazd,acelaqi lucru pe cale i1 facem noi atunci r:ind aalunhm,,pe coloanet).

llaci, fiecare circuit ar fi forrnat nu din Datru. ci din20 do l r igglrc, \ - r r lu lca l i t fc i tdtrnalr .a I ' in i la rrrr r l i l io l r ,iar cind se foloscqte un nurni,r 6i rnai marc dc triggerc sepot aduna numcre qi mai rnari.

In lealitatc, dispozitivul destinat pentru efectuareaaduni,rii trebuie sd, aibi, o schemi mai comnlicatd, dccitcea dirr f ig. iJ . Pl int le al l " l , , . r , l ln, [ ,u i r . sa f i r - p lerazut-r .umccanismc speciale, menite si ,,tlecalcze" sernnalele. Jn-tr-atlevtir, in cazul schernei din fig. 3, semnalele de la ctlidoi termcni ai sumei sosesc la primul trigger rlin circuitulde jos sirnultan (in n'romentul conectirii ilispozitivului ).l)e itccca, ct'le doni, solnnirle se vor r,ultopi qi triggeml lcva 1or:c'cle cl pc unul singur', qi nu ca doui, scrnnaledifcrile. lipre a evjta accasta, este necesar ca scmlalclesosite (lo la cci rloi termcni a,i sumci si nu fie aplicatesimull,an, ci cu un ,,decalaj" inl,le e1e, unul dupi altul.Datoritfi acestui ,,dccalaj", timpul neoesar adunS.rii ce]ordoi tcrmeni este mai lung decit cel necesar inregistririiunui sirrgur scmnal, in cazul calculatoarelor cu tlig[ere.

Modificind schema, se poate obline un tlispozitiv carein loc de adunbri si eflctu-eze scideri sau chii,r inmultiri( inmrr l l i rer so reducc la cfpct lnrea succel iv i , a unor adu-niri qi ale aceea cere un interval tle timp de citeva orimai mare ), implrtiri qi alte opera!,ii.

Dispozitivelc desDre care am vorbit mai sus sint folo-site la maqinile ilc calitlat. l l le pot t'fcctua pcste 10 000 deoperatii iu1,r-0 secundii ! S-:lr.piirea ci accast;, I.iteztl amc-

Suma

4/pd/ru/,t 4///"//ea .4/ do//ea//.bgen t.,/gt/e/' /?/qger

l r ig J

t iunr. a dispozi l i r t t l r t i . l r r l r iggorr l . ' . r l in . r ' i r r 'u i t r r l , r l r ' . j "s

sosrsc i l t tJ 'u lsut j lc do l l l t iggt t r ' le ( l l l r l l r l l r r l l l f l a l dr ' l l r i l

, . i ,orr i t lnnl dc sus; i r" , ld" r r r i j l r - r r t . ta.r( - :o r f l : l in pozi t . ia, l '

> i r t l resupl lncnl , u la l . l l l l l so \ t ' ( lo ln l la t ' (a cr I ( to l

le lnreDi ai . sumci. sr ' r : i ; i t t t pt i tnr ' le duua ' i11-tr i l ' " s i t r l l0 l , ' i

I I I { in nis lornul dc nt lnrc l r I i ( cu brrzr 2) . l r r cccnl I lz ' l l l

r , r i r r r r r l i l igg, r : r l l i t . t t i t t t I t I i dr ' . los 1r ' r ' l r l i l r d l ( ' l l ' l l ) \u l '

sosi r lot t i i t r r l ru lsr t t i : dc la 1,r ' i r r l ' l ' t lor l i l t igg{ l ' . i r lc l l t i ' i r l l l l

terlnen al sur[ei. Dull[, cunl anl slttrs mai inainte, la all l i-

r .a l la I doud iml,rr lsul i . pt i r r ruJ t t igger \a r inr i l r ' ' . i t r , l r t ' -z i t i : r 0, i l r* l i v l t t imi t r . r l t r jml l l l i ( le I is l r lns-ci l l l l r lo- i r l

r lo j l | r l t igger. In uhl i d( : l ( ( ls l l . l i r i l l dol l t ' i r l l lg l je l '

sor, ,Slr . l i s i rnnulrr l dr ' la ul r l " i ler 1( l ' lnclr u l r l lmol ' l r 'c l

a i , t , , i t . , t r igger l l i l r r r -s lo d ' r r r r i i tn lu lsur i r l iu. r ' l tc . r ' r t tzr i

i l r r r i r re s i , ' t i " r i p, ,z i r ia U.t l r l \ l l t i t t t i l t ' sct t rn l l t t l 11r ' t l is l ' t t t r '

l r . l r r i t l l a l l t r i l l r r t r igger ' . Pl l i t rg i urert ' l i r ' i rsr lp l i r . l t l {go-

l r r l r r i u l l |e i l ,u r , ' l l i a l r l i t 'ut" i l r t ' i ' l t r t t i i l t t I r l l i l l l r - ( ' t t l l r

iG"*"" tn"-"tt al sumei). ?rirnincl celo trei semnale (in-

lu lsur i ) . t r igEerul t re i va l lece i t r pozi I ia I l i la l r rnomtlo

senrnr l r r l d" lbsnunn l r iggcl t r lu i I t ' r l lu l ( ' : ) ' t i l l ( ' t i r 1 l l | t ln

20

t

l i loalc D-aro nic i l ln sPns I t lc l ic . De excnl l l l l . nni nt lics iz i r l u ic i u t l t 'o ' rebi t 'c daca o t r tu; i t ta d ' r 'a lcuLr l . r ' id jc ila palrat un numd.r de I i c i f . te i l r t l -o zccime dc mrlme desec-undi, sau, sd, zioem, intr-un sfert de secund5,. Ni se parecd, si intr-un caz ffi in cc15,1alt problerna estc rezolYatd..instant:rneu"." Dar si, nu ne Er ii,bim cu conchtziile. S;l lui,rn urrndt'ttlulcxcmrlu. Un sahiJt bun, lnainte de a lace o t r tu lare ' anal i -zeazi zeci s i c l iar sute dc var i ln le losibi l , ' . Dacd admiletnc5 tentru studicrca unei Yadanl,c sint necesale citovir*""oiod". atunci trenlil'tl alaliza unei sute r1o variante vor Iinecesare minul,e 6i zeci c1e minute. Se inalntlli, -atlesea

caiurS,torij alc ;a h sir, a jungrl in ,,arir'a 'Je l,im1". adicd" si

[ir'nevoi t i sd mule repedr ' , I oclnai feol ru c5 i lu l ' r | . rdul a l , l oapr 'intresul t imp f ixat pcntru gindi te s ludi ind tnu{ i r i lc anlq-l ioarE. Ce s- i r lnt i r r i l la daca anal iza var ianielor unei par-titte de gah ar fi incietlinlatii unci maqini ? Iifectuintl.miide cafcuie in11-s 51r ' t tndd, mal ina anal izeazi toate var ia l r -t ( . lc , , instalr tancu" | i t ru va ajr tngc nic iot lu l i , i t t ' .crrztde timp".

Dar, evitlent, veli spune ci, una este s5, efcctuezic:rlcule ('cbjar destul tl 'e complicate) ;i rlia - ri joci .qah :masina nu va Dulea nic iodald se facd acesl lucru I unsahist analizind-v, riantcle nu calculeazS, ci gindeSlc ! Siiu ne gribim, vom reveni asupra acestui subiect'

Nurnilul par[idclor dc ;ah posibilc

Si , r 'a l r ,u l i rn t 'u aproxima(ic numitul , t0 la l a l .1 ' r t 1. i -

delol t lc sah di fer i lc , ce pol f i jutale. Un calcul p lct is eslc

uract i r imposibi l dc lacut, d l r vunr i t r ( 'cr ' ( a s i t ra la l r l. i r , i tot 'u lu i cum se poale rprct ' i i r , iu mod rptoxintal iv, aces, l

""" ,a i i " cat lea'malcmat ic ianului bolgian' \ I ' Crai tohih

Mutenalica' iocurilot gi' tl istrotli i n o'l 'e malice, cxislS urma-toarea evaluaro :- '

. . t u ot i -u mutare, a lbul arc posibi l j la lea s5 alcagiuna dint le ccle 20 de mul i r j ( l { l mtr tdr i a lc t ( lor S l ioni 'f iecare d. intre c i pul i l r i lu-se dr 'p lasrt t ' t t , ,nt '1 -511t- . t lo l luclmput i , q i r ' i le t loud l t lutdt i a lc f i t 'cr i l r r i r ' ' l l La f ic |at t '

- , t t^"" i a lbulrr i , negtul poalc r is ln lnd' c l t unr dintro ( c lc

20 de mrt t i l i . lnmrr l r i r rd i ie"r tc t , tu l l rc : r a lbului cu I iecare

29

Itrtl,are a leglului, rrirrr ar.e:l 20 .2t) : 1100 paltide tlifcritetrnrrai alull5, prirna mutarc cfectuati do ambii concurenti.

. _ lncepind cu a doua mutarc, numirul variantelor posi-bilrr creqte. Astfel, i lacf prima mutare a albului a-fostn! * s4, atunci la, a tloua mutare eI are posibilitatc si,uloa,g5, una tlintre cele 29 de variante posibile. Mai departe,rrumd,rul muti,rilor posibile cre$te qi mai mult. Numai ilamaooupind, de exenplrr, cimpul dii poate alege o yariantdr l i tLtrc cele 27 posibi l , . ( l resulunind r .5 tot te c impurik ' ,t tnr lc ea poatc f i mulr t ! , \ int l ibere). ln vedcrca simpl i f i -ttr'l,rii calculelor, vom adopta urmitoarele valori mcdii:

pentrrr fiecare tab5,rd, la cite 20 ale mutflri posibileplirnele cinci mtthri ;

cite 30 de mutiri posibile la mutirile urmitoare.ln afar5, rle aceasta admitern ca, in medie, intr-o 1ar-

fiiili, normal5 sd tie cam 40 de muti,li. Atrinci, pentrurrrmd,rul de partitlc posibile, vom ayea etpresia :

(20 20)6 (30 30)35 ".

- Pcntru a ne putea rla seama, cu aproximalio, dc va-loarea acestei cxpresii, sd facem urm;,toarele transforutflri6i simplificiri :

(20 20)5 (30 30)35: 2010.10?0: 2r0.370. l { i30.

S5 lnlocuim pe 210 cu numdlul alroximativ egall. 000, aitici 103.

Reprczenti.m cxplcsia 3?0 sub forma:

3?0- : i63 .3r : :10 (Jt)r t ! I ( ] .80r?- 10 .8r? .10r?_: r5r . t (F3:

:2 (210)5 . t ors : : 2 .1015 .1013 _ , ) .1033.

Prin urmarc,

(20 2t))E (30 3{))35 ry 103 2 . 1033 1030 - , . l ( tr6.

Ariost rrtrrndl irrtlecc cu rrrult num5,rul legendar al lioa-bclor de gllu, cerute rlrept rilsplatS, pentru inventarea jo-r 'u lu i tL.qab (264 - I = l8 . 1018). Dar"d inLt 'cagf l t 'oprr la i ict lc pe glob ur: , ju, .a qah zi q i noa1, le. f r i r j l r r l c i tc i muirr ' " pe

secund.5,, atunci pentr"u epuiEarea tuturor partitlelor.cle qahDosibile'ar ti neiesar ca, a,cest joc s5, tlureze nu mai putintle 10100 secole !

Secretul maginii automate ale $ah

V5, veti mira, clesigur,^ aflintl cd, odinioard au existatmagini autbmate tle qah. Intr-adt vdr. ,(um pufm- str neimdsindm aceasta, clntl gtim ci numirul combinaliilor po-sibil"e ale pieselor pe tabla de grh tsl,e practic infinil, ?

Toate acestea se pot explica foarte simplu. Ile fapt aexistat nu magina autbmati, ci numai furcretlerea ln posi-bilital,ea. existenlei. ei. In special, maryina automat5' a'mecanicului ungir Wolfgang von Kempelen (1?34-1804)E-a bucu.rat tle foarl,e multd, popularitate i ea a fost pre-,zentath la curtile imperiale ale Austriei gi Rusiei, iar maitbziu a {icut bbiectut unor d.emonstra.tii publice la Parissi Lrndra. Napolcon I a jucat cu acest automat, fijncldonvins ci lqi mdEo:irf for{ele cu o maqini. Pe la jumitateasecolului trecut, faimosul automat a aiuls in Amerrca'untle $i-a lncheiat existenla (Ia Philatlelphia) cn ocadafunui incencliu.

Alte masini automr,te tle gah s-au bucurat de mai pu-

lin populariiato, alar credinta in existenla Ior 8-a pdstratlnc5, mult tjmp,

ln realitate, nici una clintre aceste ma$ini de qah nufunctionau automat. In interior se ascunda intotcleaunaun iucitor clo sah iscusit care miqca figurile. Acel automatlnciinuit era iormat tlintr-o ladi tlestul ale voluminoasltncnriata cu un mecanism complicat. Deasupr'a.ldzii seafla o tabld tle sah cu iisuri care erau mutate de mlna uDel!trDusi mari. liainte tle l.ncperea jocului se arrta publi-iului'cI ln interioru.l ld,zii nu se gesesc dectt mecanjsme'Dar compartimentele l6zii fiintl deschise pe rind, jucltoruIoare se aicuntlea ln5,untru avea timp s5, se mute tli:rtr-uncomnartiment furtr-altul fd,rd sd fie obgerrat tle asistente'(Ac&t rol l-au intleplinit un timp ce-lebrii jucltori do gahiohann Allgauer 9i Wlliam Lewis). In felul acestar meca-

24

ln ultimii ani lns5, s-au petrocut evenimente care pullnrloiali, iustelea acestei afirma.tii: astS,zi- e:rsti magini

..io".at'eru. Acestea sint maqinl de calculat compli-'da,re pot efbctua mij'de operalii pe secundd. Despremagini am vorbit mai sus. Dar in ce fel poate o

n5,. . iucatt gah ?Desifiw, nici o magini tle calcul nu poale face a)tcevaffiffidi;; il;"';D;" A""i"r"-ui"t ui""t"rt" aun' dufi o schemh cle opera.tii staliliti,, dupd, un

.oEramtt inl,ocmit dinainle.- f,Programult' jocului cle gah este. lntocmit .d"^ qui"T,,-

i rrl-'b^u un'ei anumitd tactici a jocului, tnlelegtnclac-easta un sistem cle reguli, potrivit cd,rora pentrulozitie poate fi aleasd, o singurl mutare (,,cea mai

'i. tn lensul tacUcii date). Tatd, un exemplu de l,acticd.fiecare figur5, este prevd,zut un numdr tleterminat

. .1 + 5 puncte

+ 200 de puncte+ I puncte

Pion .. .Pion rtrrnas tn urmlPion izolatPion dublat

+ 1 punct- 0,5 Puncte- 0,5 puncte- 0,5 puncte+ 3 Ptnctc

+ 3 puncte

Alard de aceasta, se apreciazi, lntr-un motl ileterminatLtajele cle pozilie ale pieselor (mobili-tatea figuriior,e uc puzrtru aru ptrsrrur \ rarwuruud uEa

Ior mai aproape'cle centru ctecit de {lancuri etc.)se exprim5, tn zecimi tle punct. Dac5, se scade din

totali a punctelor corespunzS,toare pieselor a bettotald, a punctelor corespunzbtoare pieselor negretba obtinutd, car^cteizeazd, lntr-o anumitd, misur5tiitate; materiali, gi pozi-tional5 a albului fa!6 deMagina de calculat socoteqte in ce fel poate variaa riatd, in decursul urmdtoarelor 3 mutdri' alege'enta riatd, in dccursul urmdtoarelor 3 mutdri, alege

mai bund,'varianti tl in toate combina{iile posibile qi

25

imprim5, rezulta{,ul pc o fiqd speciali,: ,,mutarca" a, fostI6cuti, .. Perrtru electuarea unei mut:ili, ma$ina arc levoicde foarte putin timp (in funclie de felul programului qi deviteza de functionare a rnasinii), astfel incit ea nu sc temede ,,ciza de timp".

Desigur c5, studierea ,,lentru numai 3 rnutS,r'ittdelotiicd nrafina este un ,,juciitor') destul de slab *'. Nu neintloim lnsd, de faptul c5,, datoriti progresului tehnic, rna-qi le vor ,,lnvi,tat'in curintl sd, ,,joace" qah mult mai bine.

Cu ajutorul a [roi eifrc dc 2

I)vident, oricine gtie in ce fel trebuie scrisc trci cifrclentlu ca ele sI reprezinte un num5,l cit rnai maro, I)eoxernplu, troi cifre ale g trcbuie asezate in trei etajc:

ggt.

Numi,rul acesta este atlt cle rnare, lncit pin cornpara!.ienu s-ar putea retla mi,rimca sa. Numi}ul dc eltctloni dini r r f regul urr ivers acccsjbi l observal ie i esie in l im in comlr-ral ie cu numilul dat . Tn car loa mca Ar i t f ic l ;?a d; i l fa?t i t )d,cap. X, am mai vorbi t t lespre accst numir ' . Revin asrr l , raacestei probleme, tleoarece doresc ca, rlup5, modelul ei, sd,v i prezinl , o al ta :

Sd, se scrie cu ajutorul a trei cifre de 2, fd,rd, a folosisemne tle operatii, cel ma.i mare numdr posibil.

Rezolvato

Poal,c prin analogie cu a[cza1e:[ ce]or trci ciftc de 0ve.ti fi l,entali sd, tlispuneii la fcl qi ccle trei cifre rlc 2 :

22' -' Exis l i $ i o r l te , , tact ic i " de fah- Astfol , la efcctualc:r calculolor,

ln loc s i l ie anal izxto toate mut i r i le posibi le ale adversarului , pot f i rn. l i -zate nurnai mut i t i lc , . tar i " (Sah, capturar.e, atac, apirare tc.) . Apoi , ( indadversatul lace mut i r i dcosobi t dc, , ta l i " , ma$ir la poatc anal iza var ianLclccclc mri burrc pontru DrNi lnul l do 3 mnt i i r i . Sc portc) dc , rsrDrol lea, lo losi oal t : i scaf l pcnl-ru rprccicr ' .a nunl l i l .u lu i &r puncto. ln fun( l ie ( lotact ican, loplal ; \ r \ . i r imbt l . .st i l l dc ioc al nr . rs ix i i .

. " l " t , r f l i r lc tc j I . r l , ( l i . , i ; : , iburr i uraistr i r r i ;ntrutrr i . i r t l , rn\ ' .1: /u l .

combinal i i pel l lnL 10 qi chiar nrai nrul t .c l ) rut i i r i ,

2fi

T)c dala accrr ta, nt t sel i o l r t ine t 'ezt t l lat t t l aSleplal .Nrrrrr i lu l sct ' is eslr ' 11ic, t t ta i tn ic r ' l t iu l der i t 222. ln l r ' -[d(1vir : nu am scris decit 24, adicd 1.6.

Num[rul cel mai mare care poate fi format cu ajutorulrr, l,r'ci cifle do 2 nu este nit,i 929 qi nici 22'(atlicf 484)' ci

2!r : .1 191 J04.

Exemplul este foarte instructiv. 1tr1 aratS c5" in nate-rrratici este ledculos s5, sc pt:ocedeze prin analogie, deoa-t(xr aceasta poate duce uneori la colcluzii greqitc.

Cu ajutorul ar trei cilro ilc 3

I'roblcmii

Acum, cled ci vcli fi prudcnl,i iu rozolvalea urrrrl-loalei probleme :

Si, se scrie cu ajutorul a trei cifre dc 3' f5,ri a folosiionlne alc opcralii, cel mai mare nurnir posibil.

Rozolvaro

A,;czarea cifrelor in trci etajc nu ducc nici cle clataaceasta la rezultatul clorit, deoarcce :

3: t ' , adicd 32?, eslc tnai mic dcci l 333.

Aceas1,5, ultimd a$cza,rc di rSspunsul 1a problcm5.

Cu ajulorul trci eilre dc 4

trultlorrrtr

Si, so scrie cel mai mare num[r posibil cu ajutorul atrei cifre de 4, fd,rd, a folosi semne tie operalii.

Rczolvaro

Daci, in cazul dc fa!iL veli proceda, tltpi, tlotlclulcelor doui probleme precedc,nte, arlici veti da r5,spunsul

:i

144

veli gregi, deoarece rle tlata aceasta aqezarea ciflelor ln treietaje

' 44neste cea care d5 num5,rul

"Ll -ai ,nr"e. lntr-adevir,

4t:25\ iar 4256 este mai mare decit 444.

Cu ajutorul a trci eifre identiee

Si lncercd,m sd p5,truntlem in esenta acestui fenomennea$teptat qi s5, stabilim de ce unele cifre, atunci clncl sintaqezate ln trei etaje, dau nagtere Ia numere uriaqe, iaraltele - nu. S[ ana]izi,m cazul general.

Bd, se scri,e cu a,jutorul a tred cilre dd,enti.ce, fdrra a folosisemnele operatiilor, cel mai mare numdr posibil.' Sd, notbm cifra cu litera a. Aqezirii

, ! ! .133 /{ l

ii corespuncle reprezentarea :

c10d+a, adictr a11o,

Cit prive6te aqezarea ln trei etape, accasl,a i-a fi tleforrna :

aLoo ,

Sd,.rtetermin5,m pentru ce valoare a lui a va da ultimulmod de a,qezare un numflr mai mare decit primul. Deoarecebaza ambelor expresii este aceeagi, valoarea mai mare o vaavea expresia cu exponentul mai marc. Dar clnd avem:

u" >71 a1

^...S5, impdrlirn ambii mcmbri ai inegalitd!,ii prin a.

uDllnom :ao - 1> 11.

Observ5,m c5, ao - l este mai mare ca 11 numai in cazulcintl a este mai mare decit 3, tleoarece :

44 - 1>11,raI

. 3 '? $i 21

sint mai mici declt I l.

28

Acum se explicb surprizele pe cars le-am tnillnit ln-varea probl6melor piecedcnte : pentru cifrele 2.gi 3uie s; aOoptXm un irod de a$ezare, ia,r pentru cifra 4rlelalte cifre mai mari - tn a1tu1.

Cu ajutoruI a Patru eilre de 1

Problemi

Si se sciie numirul cel mai mare posibil cu -ajutorul a

i cifre dc 1 fflrd a folosi semnele operaliilor mate-

1111

mul1, mai Il]are. If,stc prea greu sii calculXm acest!r inmul{ind }e l1 de, 10-ori cu el insuqi'.Dar el poate

usor .val at cu r iutorul l rbelc lor de logar i tmi ', 'Valon rna sa in l rcce 26; de mi l iarde Sir pr in urmarc'te mai mare clecit 1.111 de 25 000 000 tte oli '

Ilozohare

Numiml 111.1 , care nc vinc intlati, in milltet nu ri'B-

cerinlelor problemei, deoarecc

Cl ajutorul a Patru eilre ile 2

Ilroblemii

Si, fecem un pas ma,i tlepar{e.in tlezvoltarea proble-r de tilul coniitlerat si sd abordi,m problema pentru

I a Dalru cifre d.e 2.p"" f" .

"" asozlrc forrneazi palru c i f re de 2 cel mai

num5,r posibil ?

Rezoh'firo

posibile 8. combinatii :2222,2222,2222,2'z22'

oo22 o222 22" - 222'., 'Care e ste cel mai male dintre aceste numere 'q

2g

Sd analizd,m mai intii primul rinrl, adici, numerele age"zate.ln tloud etaje.

Primul num5,r - 2222 - este mai mic declt celelaltetrei. Pentru a cornpala numerele

222t si 222e,

vom transforma cel de-al tloilea numir :22'' : 22' .1r : (222)rr : 484rr.

Numdrul obtinut es1,e mai mare decit 2222, deoa.recepentru 484r atit baza cit gi exponentul slnt mai mali tlccilpentru numd,rul 222e.

Sd, compardm numerele 2222 gi 2222. Pentru aceasta si,llnlocuim pe 2222 crt un numir mai mate, 3222 si si,tlmonstrim cd, Bi acest numlr mai mare este mai mio

Fd,rd, a folosi tabelele tle logaritmi, ne putem forma odespre valoarea acestui numd.r cu ajutoml aproxi-

210 ,: 1000.

"adcvAr,222_2to.22X4.t0o,

2222 -

2'onooo: (2, ) ,..,"

acest numir este format din peste I milion cle ciIre.

declh 2222.lntr-atlevir,

222s: (2t)22:2170

$i exponentul este mai mic decTt 222.Cel mai mare numd,r din primul rlnil

esle 2222.considerat

Acum ne r5,mlne s5, compard,m intre ele cinci numere :cel oblinut mai inainte $ urmi,toarcle patru:

. 2222 r 2222 12222 Z2z,,

Ultimul numd,r, egal cu 216, iese imediat tlin compe-tifie. Mai tleparte, numd,rul 222' egal cu 22a este mai mictleclt 324 sau 2:0, d.ac5, este mai mic tleclt urmdtoareledoui numere Q22' Ei 22" ).-Rdmlne tloar sd compard,m intreele trei numere, fiecare tlin ele reprezentln-l o putere a lui 2.Este clar c5, va fi mai mare acela dintre numcre aI cdruioxponent este mai mare. Dintre cei trei exponenli:

222, 484 , i 2 'o+s ( : 210 2 2t , :11i0.4),

ult i rnul este cel mai mare.Deci, numirul cel mai mare, care.poate fi scris cu

ajutorul a patru cifre de 2, este :

30

. ,2?

Aila de a torma ecudlii

-L imba iu l a lgcbr ic csrc contpus din ecual i i '.,Ca sd

"pul ei rczol va o probleme pri vind numelcle sa u

relatii le lntie mdrimile absl,ractc' est'e suljcreDf st tra-

ducem problcma dat i d in l imba maternd (vorbrrea cu ren-r ,4.)

in l imb; ia lqebr ic" , scl i l marele Ncwlon in manualul sau

iit;1ilii' ifii*rti.i unioersald- El a aletat pt'in exemplecumsetacuo asemenea transpunere' fatS' unul clintre ele:

CA?ITO1, OI, 1I

LIIIBAJUL ALGEITRICPentru aliarea capitaluiui initial al negtrstorului, ri,-rpi, rezolv5,m aceastd clin urm5 ecualie.fn general, rezolvarea ecualiilor nu este un lucru;mai dificild, este alcd,tuirea lor dupi, datele pro-

Iei. Dup;, cum vedeti, arta de a construi ecualii sece lntr-adevir la iscusinla de a transpune o problembvorbirea curenti ln limbaj algebric. Transppnerearlui ln ecualii poate fi mai ugoiard, sau mai grea, dup5,v5, veli convinge clin cele clteva exemple ce vor urma

la compunerea ecualiilor rtc gpailul I.

Viala lrri IliofantProblem?l

taptea partc, Diofanl t i -o petrecuse ln cisl-torie, f5ri copi i

slu l iu j

l 'ula dosLinul i-a hir lzi t pc plrr int doar jumir-tate din vialr scnin:r tn compar.alie cu a pft.in-tetui s5u

mlhni le adi l lc i ; ia f i rchciat ) rntr inr l drnl1lull i i , supravieluind cu patru ani f iului sdu

+5+a+4

lJpurre, ce virst i, aveaClntl a intimpinilt Diofant moartea g

., 108a

tin negustor o suml . le bani .

-Din istorie se cunosc puline rlate privitoare la biografiaDio_fant, cej.ebru _matematio,ran aI antichitd,lii. fot cegtie rlespre eI s-a'aflat din epitaful s5,u, scris sub formaoi probleme matcmatice. Redirn mai jos acest epitaf :

1,, vnrt i ree curentn

Li primul aD cl a chcltuit 100l ireslerl inc.

Lasu a r imasi a. adl iugat a t lc iapartc din aceasla.

c-100

o-100(r 100)+-:

I Aci se odihrrc,sc osemintelc lu i Dio-lant; Si numcrele pot, o minune, si i spuni ct l

Iost pc pimlnt drumul vict i i4x-{00 a f l lsea din dr mul aceste s-a sruls i l l

ler lc i ta sa copi l I r i0

mai t re(ut N 12-.r pr f tc djn v ia! i r , ( luDi i cc t idddusor l tu le ie le pc la l i

t recut lnci 5 ani ; e l l l fost tcr ' ic i t de nai terca

12

7

5

40 - 40u 4, ' -700In anul urmitor a cheltuit din nou100 l i}e sterl ine

Apoi si a mlrit suma rimasl cu atreia Parte din valoarea ei

In al treilea a[ a chc]tuit din nou100 de l i re ster l ine.

Dup[ cpa a mni adirugat larlmasi a treia Parte cLrn

Iea et '

Capitaltl lui s-a dublat fatd de celini l ial .

32

- 100:

4 x ?0(| 41 700 16r -280( l-;- + ,

: ,

16r - 2800

I

16, - 3700

I N

2

' :31a13-p6 12 7suma

16r - 3700 , rLc - 3700 .

27

64, - 14 800

27

64r - 14 8U0

27

33

Ilozofi'are

R'ezolvtnd ecuafia qi gisintl * : 84r af limlrTitoareleilatc rlin biuErafia lui Diofant: s-a ci,sitortt la zl oe anr'

iil:t d" "oi-"

au"""it tat5, la 80 de ani qi-a pierdut fiul

q i a mrrr i t in v i rBt5 de 8{ de tni .

Am retlus problema la un sistem de ecualii cu doud,

Rezolvlnil acest sistsm' afid,m : n :6t U :7. Calul5 saci, iar catirul - 7.

Patru frali

Prcblemd

{u-t l -2(r- r , , Izr . y.-3t - sau([ r - l : r t I v-* :z

Calul ;i catirul

Irloblel|rA

IatI inci o problemd, simpld', -di1 t'impuri stravechi'

**.L3*'"iiH"J.*#f'l"iiu:1"'l'Tir1'-1'T:iltf iecarern*otti'iii"-o'rlroute- curri s'e vdita de greutatea poverii*rio.

"O" ce ie vaieli I I-a tntrebat catlrul' Daci' aq lua

de la tine un sac, povara mea ar tleveni tle tlouh ori mai

e""; a"cit a ta. fai claci, tu ai Iua un sac tle pe spinarea

il"u. novara la ar deveni egali cu a meaD' -'S-pune-t'i, matematicieni tnlelepJi' citi sacr ducea calul

gi citi catirul'!".

Patru frati aveau impreunh 45 ruble. Dacd suma peo avea pi.imul Jlrate s-ar mdri cu 2 ruble, r'ea a celuildoilea fiate s-ar micgora cu 2 ruble, cea a celui de-al,a s-ar d.ubla, iar suma celui cie-al patrulea s-a1 mig;tle clou5, ori, atunci fiecare frate ar avea aceeagi sumd

Ilezolvaro

bani. Clte ruble aYea fiecare ln parte ia inceput ?

Ilezolvero

r . + U + t + l : 45

o+ 2:g - Z: Z": L

D.rc: l af hta dc la Line un sac,

ar devcni de doua ori mai grca decit a ta s+7:2(r- t )

tar da(I tuai lunr ln sac de pc s l r inalc i r n l 'a,

y-1- t -F1

34

Irate ar avea aceeafi suml debani

.JO

dc unde :

S5, scricrrr aceste egaliU,li dirr ulmX sub forlta deetuat i i :

x+2:g-2,

a+2:2r,

T

2

tJ: L -1 4,

2

I - 21 1- 4.

Substituintl l:ni n, g, z aceste expresii ln prima ecua{,ieobtirrem :

a.L,

i r+ r--4 + ' ' - + 2r+' l : 45'2

I : i ' { 4

L,a cc distan!,i, tlc palmiclul rnai furalt n a15rut leqtele ?

Ilczolvaro

Din fig. 5, folosind l,eorerna lui Pil,agola, ob!,inem:

fr,: 30' + 0!, ;2,: 20, + (50

Dar 78 : 7?, deoa,recc ambele p6,sd,ri au par'(,lllsdistanle ln acelagi timp. De aceea,

302 + e, :20,+(50- r) ! .

Desfd,cinrl parautczelellnil retlucerilg, ob!i-ecualia tle "graclul I

v -:" =dc unrle r : 8. Mai tleparte oblinem :J :20. Deci primul flate avca 8 rubleTtreilea, 5 si a1 patrulea, 20 de lruble.

U : IZt a :5al doilea, 12,

Prisirrile dc pe malurile unui riu

Problemil

T]a un matematician arab tlin secol l al Xl-lea

1000: 2000,

e - 20.

a ap;,rut la o distanliitle cofi de palmierul

lnalt,

36

* 1 col , :33 cm N. ?.

O plimbare pe jos

Problcmrl

- Poftili mfine pe la mine - zise b5trinul doctorunui lrieten al sdu.

* Y5, mullumesc. Yoi pleca de acasd Ia ora trei. Daciqi clv. intenlionali sd, faceli o plimbare, ieqili din cas5, laaceeaqi ord, gi ne vom lntilni la jumi,tatea drumului.

- Dv. uitali cd eu sint om b5,trin qi nu pot face maimult rle 3 km pe otd, ln timp ce dv. pute.ti prlrcurge uqol4 km,. Cred. ci ar fi cazul si m5, avantaja-ti pulin.

- Aveli tlreptate, Dat fiind c5 eu fac cu 1 kna pe orr'imai mult rlecit dv., pentru a nivela eondiliile, v5 dauacest kilonietru, aclici, voi ieai din casS cu un sfert de oremai deweme. Yd este sulicient ?

* E foarte amabil tlin partca rlv. - se gri,bi sd-irXspundS, bd,trinul,

A doua zi, conform lnlelegerii rlin ajun tlnd,rul a plecat,de acasd, la ora trei fdrd, un sfert qi s-a lndreptat sprelocuinla doctorului, merginrl ctl 4 km pe or*. Doctorul aplecat cle acas5, la ora 3 fix qi a mers cu 3 kria pe or5,, Clndbdtrlnul gi tlni,rul s-au lntilnit, ei s-at inclreptat lmpreuni,snre locuinta iloctorului.- lntorciirrlu-se acasd, tind,rul qi-a dat seama cd,,'acor-dlnil doctorului sfertul tle ord respectiv, eI a parcurs lntotal o distan{d, nu de doud, ori, ci de patru ori mai maredecit cloctorul. I]a ce distanl5, de casa cloctorului se aflalocuin.ta tlnXrului I

Ilezolvaro

Sd, notd,m tlistanla lntre cele doud caso at a (km),Tlnirul a parcurs ln total o distanfd, de 2r, iar cloc-

torul - tle patru ori mai pulir, adictr, 3 , Pini la inttlnire,

tloctorul a fd,cut jumd,tate tlin drumul ,parcurs de el,arlici, 3 , iar tlndrul -restul rle clrum. ailici j3 . Doctorul a

44

parcurs partea sa rle drum in -t ore, iar tindrul -in 3j

ore ;12 16

mai qtim cd, tlnd,rul pornise la drum cu un sfert de or5,traintea doctorului.

38

Oblinem ecualia :

uncle:r :2 lkm.IJocuiDta ttn5rului se afla la o thstan!,5, de 2,4 km dealoctorului.

Eehipa de cosaqi

3nc1

16 124

amintirile sale clespre l. N. Tolstoi, cunoscutulA. V. Tingher volbeqlc despre urmdtoarea pro-

care nlicea foarte mult marelui scriitor:[l!r ua,rt, ],ri!!l,ia Iuarve +rruru !..,O echipa cle cosagi trebuia sd coseascd, doud, izlazuli

cire unul de dou5, ori mai mare decit celllalt. O jum5-

2ry-&

s cie zi. echila a cosit izlazul cel male' Dupi, aceeas-a lmpdrtit

-ln tloui pirl,i egale: prima jum{tate aoas st coseagcd mai cleparte izlazul marc, pe care l-a

I r ig.6

plnd, seara; a tloua jumdtate a trecut pe izlazul

39

mic, [nde a cosit pind, seara fd'rf, s6-1 termine, ldmhhdo sipralati l le car'e ulterior un cosaq a cosit-o intr-o zi.

Citi cosaSi au fost ir echipd, ?"

llezolv rlj

ln oazul dat, in afirt'i' rle nccunoscrtlta principaiii -nurnirul cosaq.ilor - 1)e care o vom notil cu ni, trtai intro-ducem o necunoscuti, auxiliari, - suprafala pc care ocoseqte un cosaq intr-o zi pe care o notim cu 3t. Cu toatecd, nu se cere determinarea acestei necunoscuter cu ajutoruiei vom putea afla mai uqor nccunoscuta principali, r.-Si'cxDlimillr sttpratala itlautlui ln::lre cu a,lutolrrl lui "': ' i i .ry.

-A,cesl iz laz l - iu cosi l , o iutni taLe de zi r 'cosa; i ; e i au cosi l

o supralal .a de J ' - . ! : j , .

Suprafala a fost cositi in a, tloua jurn5,tatc de zi cle

a cosasi, care au cosit2

* 1 !J- " ! l

224

Deoarece pind, seara izlazul rrrillo a fost tcrnlinatitsuprafala lui este egal5, cu :

arJ t:!1 :]rY

244

56, trecem acum La ir'lal.;.tl tpia, a ci,rui suprafafi, o vomexprima, cle asemenea, cu ajutorul lui r qi 37. O jum5,tate de

zi au lucrat la ( ' l r cosa$i , care au ctrs i i o suplalaId, dt '2

j . I . u : I { . Sa add,ugim la accasta Iotul rdmas, egal22"4-

cu y (suprafafa cositi de un cosal lntr-o zi), qi vom oblinesuprafala izlazului mic :

r:!J tU + 4C-4

- o:

Ns ri,rnlne sfl transpunem ln limbajul algebric frazaul izlaz este cle doui ori mai marc dectt cel de-al" qi ecua!,ia este construltd :

xrJ + ,lU :2, "uo

l l ' ! :2.

ru + 4!J

Silqrlificlnil fraclia cu y, accastS, necurroscuti, zluxi-se elimind, gi ecualia cap5,ti, forma :

qr : 2, sau 3c: 2 i * 8,

e+4

uncle a; :8.ln echipi, au lucrat, cleci,8 cosaqi.Dup5, publicarea primei editii a Al,gebrei, tli,stractiae,rsorul A. V. lingher mi-a f5,cut o interesantS, comuni-in lcgiturd, cu acea,sti, problemd,. Dupi, p[rcrca sa,,u1 ptincipal al problcmei constdj in acoca ci,,,ea nude loc algebrici,, ci aritmetici,, qi lnci, foarte simpli,,15, numai prin forma sa mai pulin obignuitd,".,,fstoricul acestei probleme este urmS,torul - continud,tleparte profesorul A. V, fingher. L,a Facultatea deicini a Universitd,tii din Moscova. ln r:erioada cintl aui a Universitd,tii din Moscova. ln r:erioada cintl au

tal d,l gi unchiul meu, l. f . Raevsfu (prieten intimui l. 'Iolstoi), intre alte tliscipline se pretla qi peclagogia.Iingd, universitate exista o gcoal5 tle aplicalie, uryle, sub

narea rrnor profesori cu experienli, sturlen_tii -tineautlcschise. Printre colegii lui fingher qi Raevski,

$i un oarecare Petrov - un tlnir foarte capabil qiPefuov (care a murit foarte tindr - se pare de

) afirma c5 Ia lectiile.de aritmetici, peclagogii ii

vedeau qi altc cii de rezolvale a problemelor ln afalatle pretlare gregite. Din categoria acestor pro-

e face parte qi aceea clespre echipa de cosaqi. Serge cd tnv5fd,torii cu experien!5 o rezolvau ugor cu

!!]!, I4

, pe elcvi, clindu-le s5, rczolve numai probleme tipdupd, acelea$i mctode. Pentru a demonstra justelea,i sale. Petrov inventa probleme care. fiind formu-nafiei sale, Petrov inventa probleme care,

lntr-un mocl original, tliferit tle cel al prolntr-un mocl original, tliferit tle cel al problemelor tip,curc5, pe ,,pedagogii iscusifi qi cu experien!5,", tlar carerea erat rozolvate destul de uqor tle elevii ma.i capabili,

4t) t l

v

. / //6

// r'//3

Fig.7

aiu0orul ecuatJei, dar rezolvare:rsirnpli, aritmeticl, Ie scipa. Ctli,oate acestea, lroblema este alilile simnld,. incit nu este nevoie do

' aleebre lentru rezolvarea ei." Da& oe izlazul mare a lucrat

o iumd,tatdde zi intreaga echiPi, ,;io ium5,tate tle zi numai o jum5-tate clin echipd,, este clar ci,r lntr-ojum6tate da zi,, o jumd,taie din

echipd, coseqte ,-r tlin izlaz. Prin

urmare, pe izlazul mic a rd,mas ne--1 l lcosl t io sunra fata de - - - : - '2i lb

4.,

f-$tiDacd, un cosa$ coseqte tnt t-o zi L dtn izlazl iar in total

a-fost cosit 'g + 3: x, reiese ci', ln total, au fost 8 cosaqi.

666Tolstoi. c5,ruia ii plSceau pioblemele ingenioase dar nu

nrea comnlicate, cunbqtea aciasl,d, probleme de la tatdli.neu tncd, din tinere{e. Clntl am tliscutat cu Tolstoi' cteJabdirin. desnre Droblema clatd,, scriil,orul B-a amuzat' multaflincl

'cd pioblema devine mult mai clari $i mtri transpa-rent5. tlacd se foloseqte schema simpli din {ig' 7'

lqrele ce vor urma' vom mai lnttlni cll'eva lrobtemeca"e poi fi

"erolnate muli mai u$or adtmetic tlecit algebric'

Vaeile ile Pe Iunei

ProbIBi

..ln studiul el,iintelor, problemele strt mai utile tlecil'reEuljie" ._ scria Newlon tncarteas Aritnxetica uni'aerwld,iiii intot", tlemoDstraliile teoretice cu o serie tle exemplcirrintice.'printre acest6 exercilii 8e numdri qi problem.a'nrima din set ia de probleme originale' re.teritoare Ia vac eiar" pas" pe o luncd asemdnitoare celei tle mai jos : --''

.'.p" ixt.reaea intintlere a luncii, iarba creql'e unilormsi la'iel tle rel"ede. $tiintl cd, ?0 de vaci ar putea pagte

42

! ' ig.8

std, iarb5, in 24 cle zile, iar 30 de vaci - in 60 de zile,

vaci ar fi pdscut iarba de pe lunci ln 96 de,zi1e"',

* """** *x'* n." fi ' i"J#"' #:#:r ;# l# l #f t'"T" "1oameni maturi, rude altl unui elev care trebuia sd'rr" uceasta l"obiemd, lncearc5 ei si o facd firi rezultat

stau nedumoriti :- Este ceva ciudat, spune unul dintre ei' tlacd' ln ^24

i'T i:,'i #r,t,;; T3 g'? ;'fi *i-ffi li?'ilf i%: :#x ;.1lz vaai...Prima. ablurtlitate : Lnt g !] p-"*1^,1o:1-'tj:;li;rx;';lTf

"$S&1"'"'iil'",/Tlr,?i."ii*-f ;:

*uf," , At.A lO de vaci-1asc iarba in 24 de zjle, atunci

de na"i o pasc in 56 de tile qi nicjtlecum in 60, a$a cum

Ld, problema.- bar ali -tinut

seama ci, iarba 6eqte tot timpul ?abd, celSlalt.6ii"""rl.i. .*r" irtstS, : iarba creqte conl inuu qi clacd' nul,ine sea md cle accsl faptr nu numai ct nu rom purea

"* pioftt"*r, dar qi

-enullui ne va pirea contra'

i;, tn ce fel se rezolv5, Problema ?

43

. Rozolvaro

,. -$i de data acersta vom introduce o necunogcutd auxi-

xala! ,f, lrrn carc vom nota creqterea canlitd tii cle iarbi, ln?4.49 or9,, Deci, dacb in 24 de ore creqte o' cantiiaie A*rarb-a ega.td cn yl ln 24 de zile aceastb, cieglere Va Ii eeali,clt ?4 y i notind cu 1 r.antitatea totald, de'iarbd exjst;ntIpe Iuncd, in momentul initial, rczullA ct iu 24 de zile vacilevor pagte

1 - 24U.

ly 3! d" ore, ln1,reaga cireadi (compusi rlin Z0 de vaci) vapafte

]l ,ay_ ;2l

iar o ;s ingu.tJ. vacd va pagtc:

I + Z4!J

21 ,70

Ra!.ioni-ncl .ra mai sus, putem delnonstra cd, dacii, 30 dcvaci ar fi piscut iarba rlin aceeagi Iunci in 60 de zile, o vac{paqte intr-o zi :

1rC\U.

30 .60

. Ilar (ani,ilatea de iarbd pe ca.re o paqtc o vaci, intr_ozt estc aceca$i in cazul ambelor cirezi. Deci vom avea :

fi putut pagte lntreaga.iarb5, cle pe luncd, in 96 tlo zile,

r -poe.-L480 1

. 96e 1600

uniie r; : 20.20 tle vaci ar ti pi,scut iarba 1n.96 tle zile,

Problema lui Newton

Sd, anaUzd,m acum problema lui Newton, dup5, mo-cireia a fost compusd problema precetlentd.le a,lfifel- acea,sti, nroblemS, n-a fost inventatS, tle

vitezd, tle cxeqtere, au urmetoarele 'ard : SLhat

ha si 24 ka. Prima luncd, a hrinit 12 boi timp de 4 sd,p-rlni I a doua, 21 de boi timp tte I s5pt5,mlni. 'Ci!i boi

hr5,ni a tleia 1unc5, timp de 18 sd,ptS,mini ?

1+60V

Rczolvtrre

Sd,. introducem necunoscuta auxiliard, 3/, caJe repre-cantitatea cu care ereqte lntr-o sS,ptdminfi cantitatea.6 tle iarbd de pe 1 ilLa. Pe pdma 1unc5,, in interval cle o

ftd,mlnd,, sporul cantitilii de iarbd, care a existat inilialiar . in interval de patru s5,pt5,mlni,

24 .70 30 .60

de urrde:1

. Afllnrlul pe y'(cre$terea oantitd,fii de iarbd; ln 24 de9t9l,gstq uqor sd determindm a cifa parte alin cani,itateainifial5, do iarlri pa,$te o vard intr-o zi :

7+24'

aeaI u,

f, u' + :!.u. aeeraatrsupuno ci, aria iniliald, a

Iucru s-at lnl,lmpla dac5 am

luncii se mere$tc qi dovine

1

480 1(':-' +')

. Cu alte cuviute, boii au mlncat attta iarbi, cttd,

46I ++24 .?0 1 600

existi, intr-o luncb crr o arie de (t j + f,v) tza. lntr-o

sXptimlnfl, ]2 boi au mincat ldin aceasti, cantitate, iar

uu bou, f lartc,

tleci cantitatea aie iarbd, existentd peo suprafald de

('* -n #) '*:10 + 40,

-tleclale.. .. Prin aceeaqi mctodi, calculdm suprafata luncii carehldnelte un bou timp dc o septdmind (d.in drtele privjndIunca'a dour,).

spolul la 1 . f ta: U,sporul la 1 ia: 99,sporul la 10 .ha - 90y.

Suprafala luncii, care contine rezerva de iarbi necesaripentru a hri,ni 21 de boi timp de g sd,ptimini, este astfelegala, cu

10 _l- 90s.

- Deci, suprafala necesarX pentru a hrini un bou timp

de o s5,Dtdmin5, este de:

144

tn sfirgit, sd, trecein la rezoivaiea probiemei.numd,rul ile boi ciutat prin r, avem :

zq +zt . t8, L125

18 .r

unde r : 36. A treia luncd poate hr5,ni timp de 18 s5,p-36 de bbi.

Pormutarea aeclor unui eeasornic

ProlrkmA

A. Moskowski, biografnl qi prletenul celebrului fizicianclorind si,-qi distreze pfietenul pe clncl accsta

bolnav, i-a propus urmi,toarea problem5, (fig. 9) :

r lr rr-o si l l ) trmtnaIn I sdpt: imhriIn I sipt lnr i t i

,,Sd, Iud,m *a spus Moskowski - pozilia acelor deiornic la ora 12. D^cFt ln aceastd, pozi.tie orarul qi minu-Ll gi-ar fi schimbat reciproc poziliile, ar indica totuqiexacti,. In alte momente, cle pild5, la oLa 6, schimbarea

10 + 90y 10 + 90ya pozi.tiei ardt5,toarelor ar cluce la o situatieinaclmisibili, la un ceas care mergo normal :nu poate sd, arate 6, atunci cind orarul indicS, 12.I ,21 189

hectare. Cum cele doui, nolrne de hrd,nireegale lntre ele, rezu1t5, :

trebuie s5 fielntrebarea : cind qi clt cle d.es acele unui ceasornico astfel de pozi{ie, incit inlocuind un ac plin cel5,lalt

Rezolv lnd. aceast i ecuat ie, obl inem : y : .1 .12

Sd, dclermindm acum suprafala lunci i , a cerei cant j_tate ite iarbS este suficientd, penlru hri,direa unui boutimp ale o sipt5,mind, :

10+40 j -10 +.10y 12 5

10+40, _ 10+ 90t144 189

n o solutie noud,, posibild }entru urr ceasornic carenormal'l

- Da, rdspunse Einstein, aceasta estc o problemlinteresantS, pentru un om care, din cauza boliit

nevoit s5, stea ln pat : d.estul de interesantd, qi nrr preaMd, tem 1ns5 c5, distraclia nu va dura prea mult I

gi gisit calea de rezolvare.

$i, ridiclndu-se din pat, schili, in clteva trdsituri ocale reprezenta condilii1e problemei. Pentru ghstueanu i-a trebuit mai mult timn clecit mi-a trebuit mie

ru formularea ei . . . ' )Cum se rezolvi, aceasl,i, probJ.enid,'?144 144

47

Aezolvalo

Yom misura tlistan

ni qi n, sint numere intregi, care iau valoli intre 0 giX,ezolvlnil accst sistem oblinem :

- 60(12nl Ln)

113

_. 60 (12n + 7??)

143

valoli ale lui r. s-ar oi,rea cL numirul total ai solutiilore egal cu 12 . i2 :144. ln real i {ate insi , acest rumbr

egal cu 143, deoarece \a m,:0t r r , :0 $i la m:77tI I , pozi ! ia acelor esle rcccnqi .T.'a m, : 11 , 'r. : 11 , avom ;

r : 60, a:6

ceasornicul indic i ora tZ, ta te l ca s i in cazul in care0, tz : 0.

Nu vom analiza aci toate pozili i le posibilc alo acelor;vom lirnita doar la doui dintre ele..Pt inrul er l t r r l , l t t :

tn:1, I r : 1:

60 13 - \ - s

l r : -143 11 11

ceasornicul arati, ora 1 qi f I minute I in acest mo-'17acele se suprapun I se inj,elege ci, ele i$i pot schimba.le reciproc (ca osi in toate ctdelalte cazuri de su1rla-

a acelor).AI doilea exemplu :

n: 8, n:5;

r- 60(5 + 12 8)

1ez, ls, , : 9!8 f 12 5)1zs.s l .

1.1:l

acelor pe cercul cadranuluilapozi.tia cifrei 12,in qaizeci

Sd presupunem citlin pozi.tiiie cerute ale aa fost lnregishati la un m Atribuind. lui ,lc qi rr, valori de la 0la 11, vom determina

deplasat cle la cifra 12 cument, in care - acul orar he poziliile cerute ale acelor. Deoarece oricare din cele

valori ale lni rz poate fi asoclatd, cu odcare din cele

zecimi tlin 60 rle circumferin

diviziuni, iar minutarul -3r diviziuni. Deoatece acullarcurge cele 60 tlc

in 1.2 ore, tleci 5 rliviziuni p orh, irmeaz1, cd avor li parcurse ln 3 ore. Minutarul a parcurs 3f

in tlecurs de rr minute, adicX ln -v ore. Cu alte cuvinte

minutarul a fost in rlreptul cifrei 12 cu { ore in urm60sau ct l :

ore clupd, ce ambele ace erau situate ln tlrer:tul cifrei IAcesia ( ,sto un numdr intreg (cupj ' ins intre 0 qi t l ; , dcoar,el indicd, cit"e ore inlregi au trecut dupi, I2. '

- . Qrpa schimbaref reciprocd, a pbzili i lor acelor, vo

gd,si, ln mocl analog, ci de-la ora f2 ptnA U ora inalicade ace au trecut

ore fntregi. Acesta este, de asemenea, un numd,r(cuprins lntre 0 0i 11).

Avem sis lemul do ecual i i :

, _! ,5t i ( )

!_,560

I ; -* : -l*-*:" '

113

Momentele corespunzitoate : ora 8 gi 28,53 d.e mimrtera 5 si 42.38 de minute,Numiiui d'e solutii il cunoastem: 143. Pentru a afla'

punctele de pe cadran care.iltl ici pozili i le cerute

48 4S

ale acelor, l,rebuie sE impSrlim circurnferin!a - catlranultriin 143 pir t i eqaie; vom obt i i le 143 purcle (cele c iutalc) 'ln puni ' l ,e l i ' in le lmcdiarc, Iozi ! i j le cerute ale acelor s i l r li rnposibi le.

' Coincidenla aeelol unui ceasotnie

' Problemtr

De cite ori orarul qi minutarul unni ceasornic, carofunr l.ioncazi notmcl, se supralun 9

Rozolvofe

Putem s5, folosim ecuatiile deduse la rezolvare:lprouieilei precetlente: inl,r-adevdr, at'unci. cinct qr.argl .ii; r jnulalul s-at t suprap' ts, pozi( , i i le lor pot { i sr"hi tnbal . r 'retr iu loc fAt i I r r rodi f i r a ur l exac{ i . ln accsl ( lz , ambel l '2{cc au L, f t rcr l ts ar 'e lagi nt tnt l t de div iz juni dc le c i l t r l : l '

adica i :7. Ast te l , d in raf ionlmcnlul problcmci prc '

cedente tletltcem ecualia :; I lU

Au jucat qapte partirle. Fiecare a pierdut clte una.Dupd terminara jocului, au socotit ci.ti bani au

S-b, aflat ci toli aveau aceeaqi sumd - 12 rubledo copeici.

Ctli bani poseda fiecare jucitor 1a lnceputul jocului I

nczolvare

Degi pare oomplicati, problema se rezolv5, clestul cler; avinrt in vetlere cd, ln timpul jocului suma totalS tle

. 5. t i ( l

unde rz este un numir lntreg cuprins intre 0 $i 1:l'rceasl i e( uat ie obl incm:

6(l m,

l ,

rdmlnea invariabild,: banii nu fi,ceau declt s5, treacdbuzunarul unuia ln buzunarul altuia. De aici rezultX

lnceputul jocului suma to1,al5, a fost aceeagi ca gi laIui, adicd egald cu 7.12,8 ruble.

La lnceputul jocului, el posecla r ruble. Pierzintla particld,, eI a pl5,tit cclorla{i 6 partened suma peo posedau aceqtia, tleci 7.7218- r. Dup6, prima

i-a rimas :: ' - (7 '12,8 - r ) - 2r - 7 '12,8,

DupI a d o u a, partid5, banii lui s-au dublat, tleci

2 (2x - 7 12,t).

Dupd, a treia partidi,, s-au clublat tlin nou22 (28 7 .12,8\ .

Dupi a patra nart idS, s-au dubiat t l in nou23(2r-7 '12,8),

Dupd, partida a q a p t a, adic6, la terminarca jocului,D rdmas cu 12,8 ruble I prin urmare :

23(2r-1 '12,8)- 12,8.

Sd, rezolvdm. aceastd, ecualie :

64 (2r - 7 '12,8): 12,8,2t-7.12,8:0,2,

2r -: 89,6 : 0,2; r - 44,9,

Dintre ceie 12 valori losibile ale lui nr, vom ob.tine nu12 ci numai 11 pozil;ii tlife ite ale acelor, deoarece-pentrum:LL o : Oo, aclibd ambele ace au palcurs 60 clo tlir-i-ziuni gi ie afl{, in elreptul cifrei 12 ; acelagi lucru se intimllit'clnil rn - 0.

Cei gapte jucitl.ori

fmllcml

60

Deci, la inceputul jocului, primul jucitor poseda 41de ruble si 90 de copeici.

ln ac6b;i fel plocedd,m pentru a afla banii jucdtolu-Iui, care a pierdut al tloilea. T,a inceputul jocului eI posetlrr,y ruble.

Dup5, p r i m a partitlii, banii lui s-au cluhlat, tlcci atttlcvenit egali cu 29.

Partida a doua el a pierdut-o qi a ll5,tit celorlallisuma d.e ?. 12,8 -2y ruble I deci i-au r[mas 2A - (7' 72 )8 -'-2Y) : +!l -7 ' 12,8-

Dup5, a t re ia lar t id i , avea:

2(4n-7,12,8).

DupS a latra :

2'(4a 7 12,8).

Dupi a f a]) tea :

21;( l i / - 7 12,s).

Olr l inorn ast fe l er ' l rn l i r :

26(4t1 7.12,1t) : 12.S,

de rnde :y: 22 rul , lc t i 5{) (opoic i .

Rimine ca cititorul sd, tletermine sumele de banicare Ie aveau ceilalfi juc5,tori. Proba problemei o constituie faptul ci suma totald, la inceputul qi la' finele jocttltti1r( 'buic sA, r 'd r l in i aceea,: i .

Absurditate apaler tir

Problem:i

Ia l i , o problema, carc, la pr ima \( 'dt , rc. lare c l r lo l Iahf iurd5,:

Cu ce egte egal 84, daci, 8 '8 : 54 ?Aceasti intrebare curioasi, nr estc totufi lipsiti

sens, qi problema poate fi rezolvati cu ajutolul ccua!;ii lolS:i c[utlm s-o dcscifri,n.

52

Ilczoh ale

dat searna, rlesigur, cd, nuurelcle ce apar innu slnt scrise clup5, sistemul zecimal - alffel

barea .,cu ce este egal 84" ar fi absurdd. Sd. presu-m ci baza sistemului de nume.ratic necunoscuL esl,e r.

aeesl caz. numirul 84 inscamnd 8 uni lAt i de ordinnl a llea Si 4 unili l i cte oldinul intii adjci :

, ,84": 8r + ,1.

NumXruI ,,54)' inseamni 5n f 4.AYem ecualia

8.8:bc*4,

ce in sistemul zecimal inseamnS:

64: 5a + 4,

unde ,, : 1.2. Numerele. sint scrise in sistemul cu baza I z1,84" : 8 ,72 + 4:100. Inseamnd ci dacd 8 ,8 :r ,54", atunei : , ,84" :100.

In morl analog se rezolv5, qi o altd, problemb de acest

' Cu ce este egal 100, cintl 5 . 6 : 33 -qRd,spuns : 81 (ln sistemul de numeratie in baza 9),

Eeualia ginde;le pentru noi

. Dac5, vd, lnrloi.ti rte faptul ci, adeseori ecua.tia esteI prev5,zbtoare decit dv. lnqivd,, rezolvati urmitoareablem5, :

,rTatd1. are 32 ani, fiul, 5 ani. Peste cili ani tat5,Ifi tle 10 ori mai in virstd, decit fiul9tt

Sd notdm mS,rimea ci,utati cu n. Dunb r ani: tatXl va32 ! n ani, iar fiul, 5 + r. $i, deoarece la data5, tatel trebuie s5, fie rle 1.0 ori ma.i ln virstd tleclt

avem ecuatia :

32 + r : 10(5 + r) .'Rezolvinrl-o deducem cil n : -2.,,Peste minus 2 anitt lnseamnfl ,,cu doi ani ln urm5,,,.,am format ecuatia, nu pq-xm gindit la faptul cd in

53

viitor vlrsta tatd,lui nu va tntrecc niciotlatd, virsta fiuluide 10 ori; aceastd, situalie a fost posibild numai in trecut,Eclalia s-a dovetlit a fi mai chibzriti decit noi gi a pus inevidnld greqeala comisS.

Una qi aceea,livaloare 9y 9r, in rirtutea primei ectalii,egali, cu 36, iar confo n ecuatiei a doua, cu 27. Ac{rstr este imposibil, deoatece 36 + 27.O si tuat ie analogd so l rezint i q i peni lu cel careLrca sd rez" l ro ur l t rdtorul s is i t t r r dc er 'ur1i i :

I a'que '= I{-I ru: 4.

lmpirfind prima eouatic la a doua, oblinen:rg: J '

CuriozitI.ti si surprize

L,a rezolvarea ecuafiilor no lovim adesea de rxspunslncare pot pune tn incurcituri, pe un nratematician neex-perimentat qi dim citeva exempl6 :

I. Sd, se afle un numi,r format din doui cifre, care sdposede urmStoarele propr ie id l i : c i f ra zeci lor s i f ie mrrmice decit cifra unititilor cu 4. Daci din numirul formattlin aceleaqi cifre,_ dar scris ln ordinea inversi, scidemnumXrul cdutat, oblinem 2?"

Notind cifra zecilor cu n, iar cifra unitdtilor cu ?,putem ugor..forma sistemul de ecuaJii care Bi dea Bolui,la

{ " : u - o '

[ (10y + 3) , (10a + s\ : 27.

fnlocuind in ecua(ia a doua valoarea lu.i oclin prima ecua Lie, obiinem :

10y + s - a - [10(y - 4) + u]- 27,

gi, rlup5, reducerea termenilor asemenea :: lA : 27.

N-am determinat valorile necunoscutelor. in schimbam af lat c i 36 :27.. . Ce lnscamnd, aceast; ?

Aceasta inseamnS, ci, ln realitats nu existd un numd.rformat clin cloui cifre, care sd satisfaci conclitiile cerute.qi cd ecuatiile formate se contrazic.lntr-aclevdr. lnmultintjou I ambii termeni ai primei ecualii, obtilem':

9t - 9c- 36;

iar din ecualia a.doua (dupii, dcsfaccrea parantczelor $ireduce-rea Lermentlor asemenea) :gtJ-gE:?7,

D4

nul dat. (Sistemele de ecuatii, de tipul celor de maicare nri pot fi rezolvatc, se numcsc inconxpd,ti'bile.)II. Dac5, modificd,m pulin enunlul problemei lrre-nte, vom avea o a1t[ surpdzS. Si presupuDem c5, cifraor este mai micd, decit cifra unitdtilor nu 0u 4' ci cu 3'

Sd, form5,m ecua[ia. Dac5, notd'm cifm zecilov cl.r n,5,ru1 tle unitdjti va fi egal cu r { 3. Transpunind

q-tu1 problemei rdminintl ln rest acelagi. Ce fel d.e num5,racesta I

din cornpararea ccualiei oblinute cu ccualia a doua,rvlrn cd :

4 :2. Deci nu exist5, numere care si' satisfaci

in limbaj algebric, oblinem :

10(u + 3) + c - 1100 + ( t + 3) l : 27

cd nu existS, numere care sd, satisfaci, condi-ljileblemei I

( u:4t '| *u= z '

acestei probleme :

Efectuind red.ucerile, ajungem ia egalitatea

Aceastd, egalitate esle indiscutabil adevdrate dar eane spune nimic tlespre valoarea lui a. Oare aceasta

Dimpdtriv6, aceasta inseamnl ci ecualia formati, rteeste o identitate, adic6, ea este v^eriiicati, pentru oricerare atribuiti, uecunoscutei rr. Intr-aalovir, nu eBte

55

Areu Fd, ne convingenl de fapt,ul cd ot ice ntr- t r l i t lorml l

Ain doud, c i f rc, la crrre c i t la uni t5,{ i lot esl t ' l r r r l mule decl l

cifra zecilor cu 3' posedi proplietd't'ile enuntate 1n pro'

La frizeric

Itrolrlo r[

blemd, :

17 -l 27 : tr,

25 -i 2'l - 52,

: lo l - 27: 63,

58 -F 27: 85,

{ i9 + 27: 06.

Ii este oare necesard, frizerului algebra ? Dup5, cumvetlea, da. M-am convins d.e acest lucru atunci clnd,

3. tlaci, aqezdm cifrelc accstui numir ln .oldirLe..inversi,, s5, oblin6m un numflr cu 396 rnai marc clccit numirtt

III. Si se afle un numir format din trei cifre careposed.e urmitoarele proprietif,i :

1, cifra zecilor s5, fie 7;2. cifra sutelor sd, fie rnai mici decit cifra uniti'

cu 4;

cd,utat.S5, lormi,m ecuafia, notlnd cifra unitililor cu r

100r + ?0 - l L - 4 - 1100(r - 4) + 70 + c l : 390'

Dupi efectuarea red.ucerilol, aceasti ecualie condula egalitatea

301) : .i 9(i.

Cititorii cunosc tieja cum trebuie interpretat un acle rezultat. Aceasta tnseamnd, c5, orice numflr formattrei cifre, la care prima cifrS este mai mic5, decit cifmtreia cu 4*, se miieqte cu 396 atunci clntl aranjdm cifrt

r t la l i i ,30o/o qi 3 o/0. Tlebnic s-o amesi ,ecdm asl f t ' l inci tob(inom o sdlutie d,e 12o/o. Am incercat difcrite comL.,i-. , i i g i nu am reu$i t sA af ld ln propor l ia corecl5. . '

Mi s-a da| o h'rlie qi proporlia c(ruld, a {ost gdsitd'zolvarea s-a alovedit a fi foarte simpld,, Cum anume ?

-md, la frizerie. responsabilul mi se adresd, cu ote neaqteptatd, :

- Ne permiteli s5, vd, punem o problemd pe care noio putem rezolva in nici un fel9

- $i citl solulie am stricat pentru asta ! il completi,altul.-In ce constii, problema I am intrebat eu.- Avem dou5, feluri tle api oxigenati,, d.e tloui corr-

Ilczoharc

purd,.Avem ecualia :

Probloma poate fi rezolvati qi aritrnetic, dar limbajulleLrric nc conduce la un rezullat mai uqor gi mai ritnplu.ni,rrr ohtinerea, solutiei de 12 o/^. se cere si, luim r Eramenl,ru obfinerea solu!iei cle 12 o'o, se cere sh^luim r grameap5, origenatd de 3 o/o Ei y gra me de 30 o/o. Tn lelul acesta,ma cantit'ato va contine 0,03 c grame perhidrol, a doua,

g granle' iar in total :

ln orrline inversd,.Pin5, acum am analizat probleme crr un caracter r

mult sau mai pulin artificial, teoretic; soopul lor a f

0,0l lr i l 0,3Y.

La sfirqitul acestor operalii, trebuie si ob-tinem (r $3r) grame tle solulie, care sd, conlind 0t12 (u { E) apd'acela tle a aiuta -tormarea deprinderii de a forma qi rezt

ccualii. ln dele ce vor urma. fijnd tna.rmatj' -din puncl

wedo:'p foorefic- nA vom oollra r1e unele lrobleme Dracvedeie teoretic, ne vom ocupa de unele probleme practi

- ctin tlomeniirl protlucliei, al vielii de toate zilele,artei militare, aI sportului ctc.

0,03r + {) ,3y: 0,12 (r + Y).

Din aceastd ecualie rezultd, fr :zvt ^dicd

trebuie sd,r dou5, pirli solulie a o/o $i o parte solulie 30o/o.

oo

' In cazul de latr i , ci t la zeci: lor nu joacl lr ici un lol.

J(

Traruriaiul qi pielonul

- Plobloml

lfergind do-a iungul unei linii de tramvai, am observal,cd, la fieCare 12 rninttc nrd ajunge din nrmd un t'ramvai,iar 1a {i'ecare 4. minrtte intilnesc eu unul. Atit eur cit qitramvaiele nc rleplasdm uniform.

f-,a ce intervale tle timp pornesc tramvaiele de lacapetele cle llnie ?

. Ilozolvaro

Ilach tramvaiele pleacd' cle 1a capetele- tle -linio la

fiecare r minute, aceasta lnseamn[ ci in ]ocul undc m-arriintilnit ct unul din ele, sosegte dupb ai minute tramvaiulurmd,tor, Atunci clntl un tramvai md, ajunge din urmh,inseamnd ci ln restul timpului de 72 -n minute, el trebuiesi parcurgS, tlrumul.pe care eu il fac in 12 minute. Decirlrumui pe care eu il parcurg lntr-un minut, tramvaiul

iI parcurge rn ---: ' ' mtnute.

ln cazul in caie t ramvaiul v ine ln in i impinarea mea,el mh va intilni la 4 minute dupi tramvaiul care I-a pre-cedat, iar in cele (r-4) minute r5,mase, eI trebuie siparcurgi acel tlrum, pe careou am reugit sd,-l parcurg in 4minute. Prin urmare, drumul parcurs d.e mine lntr-un

minut e ste parculs tle tramvai ln Ia minute.

Avem der.i ecua !.ia

nta i l intrc l ramvaiul catc a i recut, l j tc l l r l 'n l i1or.esie egald cu a). ln cazul in cat e un t latrrvui ml 'a jung' '

urmd. dis lanla scat le In l iecarc. minut cu -4. Sd prt-

pm acum c5, t imp dcun minut, .Pu alnmcrsinr in letcare nl-ai l l i lors \ i ant mai mctr l ln f r l i lut ' {adiadf"to"t i, iocul dc'unde am plecat). ln acest caz,

ta dintre mine qi tramYaiul pe care l-am intilnit

rerlus ln primul minut cu f , iar ln aI tloilea minut (cind

mi ajungca din unni), cu 9' I)eci, ln rlecurs tle

minute, rlistanla s-a rodus "" i

+i: ll. Acela{i4123

s-ar f i in l implat Si dacd, eu aq f i r l a l tot l impul pe loc '.r, dacd, uu in-a;'l i mi;cat din ioc timp dc ul minul'

iri ti"*iiieliti""lJl,iirtit""l"i.-ri ii apiopiat cle mine! ' :2 : L, $ i e l ar f i pareurs intrcaga dis iar t i d366 minute, Aceasta inseamni ci,, pe lingd un observator'o std pe loc, tramvaiele trec Ia intervale de 6 minute'

Vaporul gi plutele

Problel|la

nozolvaro

12-a c-4

124

I\eznltd n: 6. Deci, vagoanele pleacS, de la capetele tleLinie din sase ln sase minute.

Problema poate li rezolvatd, gi ln felul urm5,tor (pecalc aritmeticd). Si, notd,m tlistanla dintre dou5, tramvaresrccesive prin a. Aliunci ilistanla alintre mine $i tramvaiul

pc care tl lntilnesc se va micqora cu o

intr-un minul

(deoarece tramvaiul qi cu mi]1e parcurgem ln r1 minut0

b|5

S5, notim cu r timptl (ln ore) in ca'te vaporul par-l alistanta de Ia ulla B ln apa stalionari (atlic5,. viteza

de d'eplasare a vaporului), qi cu 3t timpul in -careparcuig aceasti, distanli,. Atunci, ln timp de o

59

ori,, vaporul larcul'ge I diu rlistan.ta -48, iar

l)e aceea, in josul rlului vaportl parculgc, in

ori, 11 1

rlin rlistanla AB, iar ln susul lui

Deoarece greuti,lile con.tinuturilor cutiilor pline sintor-tionale, ca qi volumele, c:u cubrrile in61limiloror,* itvcm :

3 : 1?11 2,62 q"u a : 2,02r.g 9, i rg

Greutilile cutiilor goale, fiind proporlionale, ca $ilfelele lor totale, cu pfltratele iniltimilor 1or,'obtinem:

i : !?1 1r,r ;o sNu : : 1,60 / ./ 9,5 '

Substituincl valorile 1ui tr si z in prima ecuatie, seo sisteinul :

- . t le cui i i lor I | s int idcnt icc i i , a|ur i dc.rccasta, tn i i l l im( 'x (ar i -

iutcr ioale r eul ie i estc de fnpt r i i tcr i l i do iu i i l l inr(1r tut i r i ) .

1lr l l l terc, - .

l,imp tle o

(lmpotrivaxl l

curentului), '1 - -l . Oar din enunlul problemei qtim ciTU

- in josul a lc i vapolul I larcurge ( in l l -o old) J- . l rn io l . "ng,

distan{5, iar in susul ei, 1 . Oblinem sistemul'7

Obset'r'5nr c[ lentru rezolvarca acesl,ui sistern nu eslrnevoie sd, aalucem la acelaqi numitor: este suficient sai,sciclem ecuatia a aloua din prima. Oblinem rezultatul:

22

v35g :35. Plutcle parcurg tlistanta ile la A la Ilore.

llo