PROF DRD BOGDAN CONSTANTINCapitolul I

OPERAŢII ALGEBRICE

I. NOTAŢII ALE MULŢIMILOR UZUALE

1) N – mulţimea numerelor naturale2) Z – mulţimea numerelor întregi3) Q – mulţimea numerelor raţionale4) R – mulţimea numerelor reale5) C – mulţimea numerelor complexe6) unde 7) este mulţimea matricelor pătratice de ordin n peste mulţimea A, unde

8) - mulţimea matricelor inversabile de ordin peste A, unde ,

mai precis

9) - mulţimea cu m linii şi n coloane peste mulţimea A, unde10) - mulţimea funcţiilor definite pe mulţimea A cu valori în A, unde A este o

mulţime nevidă oarecare11) - mulţimea funcţiilor bijective (inversabile) definite pe A cu valori în A12) - mulţimea permutărilor de grad n13) Dacă este un număr întreg care nu este pătrat perfect, iar

este o soluţie fixată a ecuaţiei , notăm: Dacă , mulţimea întregilor GAUSS.

Dacă , deci avem: Numărul întreg de este liber de pătrate, adică un număr întreg diferit de 1 care nu se divide prin pătratul nici unui număr prim. Orice număr care nu este un pătrat perfect poate fi scris în mod unic sub forma

, unde este un întreg liber de pătrate

14) Pentru notăm cu mulţimea rădăcinilor de ordinul n al unităţii, adică:

unde15) Pentru , fixat, notăm:

II. OPERAŢII ALGEBRICE – INTRODUCERE ŞI EXEMPLE

- 1 -

Def.: Fie M o mulţime nevidă. Numim OPERAŢIE ALGEBRICĂ pe mulţimea M (sau LEGE DE COMPOZIŢIE INTERNĂ pe M) o funcţie definită pe MxM cu valori în M:

care asociază fiecărui cuplu un unic element Elementul se citeşte ‘x compus cu y’ sau ‘x operat cu y’În algebră se folosesc notaţiile ‘+’ (aditivă) şi ‘ ’(multiplicativă)

Exemple:

a) adunarea pe N, care este aplicaţia: b) scăderea pe Z, care este aplicaţia: c) înmulţirea pe R, care este aplicaţia: d) adunare pe care este aplicaţia: e) reuniunea pe mulţimea a părţilor unei mulţimi M care este aplicaţia:

În cazul unei mulţimi finite o operaţie algebrică ‘ ’ pe M poate fi definită şi prin ceea ce numim TABLA OPERAŢIEI. Este vorba de un tablou de tipul:

Notă: la intersecţia ‘liniei’ i cu ‘coloana’ j se află elementul

III. PARTEA STABILĂ

Def.: Fie M o mulţime nevidă pe care este definită o operaţie ‘ ’. O mulţime nevidă H a lui M se numeşte PARTE A LUI M STABILĂ FAŢĂ DE * dacă

- 2 -

se numeşte OPERAŢIE PE H INDUSĂ DE OPERAŢIA * de pe M

Exemple:a) submulţimea Z este o parte a lui R stabilă faţă de adunare, deci adunarea pe

Z este indusă de adunarea din Rb) submuţimea 2Z a numerelor întregi pare este o pare a lui Z stabilă faţă de

adunare dar şi faţă de înmulţire

IV. ASOCIATIVITATE, COMUTATIVITATE, DISTRIBUTIVITATE Def.: o operaţie algebrică ‘ * ’ pe o mulţime M se numeşte ASOCIATIVĂ dacă:

Exemplu: adunarea şi înmulţirea pe fiecare din mulţimile sunt operaţii comutative.

Pe , cu , adunarea este comutativă, dar înmulţirea nu este comutativă căci

.

Def.: Fie ‘ * ’ şi ‘ ’ două operaţii pe aceeaşi mulţime M. Spunem că operaţia ‘ * ’ este DISTRIBUTIVĂ LA STÂNGA faţă de operaţia ‘ o ’ dacă:

Spunem că operaţia ‘ * ’ este DISTRIBUTIVĂ LA DREAPTA faţă de operaţia ‘ o ’ dacă:

Spunem că operaţia ‘ * ’ este DISTRIBUTIVĂ faţă de operaţia ‘ o ’ dacă este distributivă atât la stânga cât şi la dreapta, adică sunt verificate ambele condiţii (1) şi (2).

Exemplu: pe P(M) operaţia ‘ ’ este distributivă faţă de cea de ‘ ’:

V. ELEMENT NEUTRU, ELEMENTE SIMETRIZABILE

Def.: spunem că operaţia ‘ * ’ pe o mulţime M are ELEMENT NEUTRU dacă existăa.î. Elementul cu această proprietate se numeşte ELEMENT NEUTRU faţă de ‘ * ’.

Exemple:a) adunarea pe C are elementul neutru Ob) adunarea pe C are elementul neutru 1c) compunerea funcţiilor pe F(A) are elementul netru = funcţia identică a mulţimii

A, definită prinPROPOZIŢIE : dacă o operaţie pe o mulţime are element neutru, acesta este unic.Demonstraţie: Fie două elemente neutre pentru operaţia ‘ * ’. Atunci:

- 3 -

Def.: Fie ‘ * ’ o operaţie pe mulţimea M. Dacă există (respectiv ) astfel încât (respectiv spunem că este ELEMENT NEUTRU LA

STÂNGA (respectiv că este ELEMENT NEUTRU LA DREAPTA) pentru operaţia ‘ * ’.

Exemplu: scăderea pe R definită prin are elementul neutru la dreapta întrucât .

Def.: Dacă ‘ * ’ este o operaţie pe mulţimea M, având elementul neutru e, spunem că un element este SIMETRIZABIL faţă de operaţia ‘ * ’, dacă există cu proprietatea

. Elementul se numeşte SIMETRICUL lui x faţă de ‘ * ’.

Exemple: a) faţă de adunarea pe R, fiecare element este simetrizabil, având simetricul

b) faţă de înmulţire pe Z, elementele simetrizabile sunt 1 (având simetricul 1) respectiv -1 (având simetricul -1)

Notaţii:

În notaţia aditivă simetricul elementului x se notează cu ‘-x ’ şi se numeşte opusul lui x.

În notaţia multiplicativă simetricul lui x se notează cu sau şi se numeşte inversul lui x

(iar x se numeşte element inversabil).

PROPOZIŢIE: Dacă ‘ * ’ este o operaţie pe mulţimea M, asociativă şi cu element neutru, iar este un element simetrizabil, atunci simetricul al lui x este unic determinat.

Demonstraţie: Fie două simetrice ale lui x şi e elementul netru.

elementul simetrizabil este unic

PROPOZIŢIE: Fie M o mulţime pe care este dată o operaţie ‘ * ’, asociativă şi cu element neutru. Atunci:

1) mulţimea (a elementelor simetrizabile din M faţă de operaţia ‘ * ’ şi avem egalitatea

2) dacă , iar , avem şi

Def.: Fie‘ * ’ o operaţie algebrică pe mulţimea M având elementul neutru la stânga (respectiv la dreapra ). Elementul se numeşte SIMETRIZABIL LA STÂNGA

- 4 -

(respectiv SIMETRIZABIL LA DREAPTA) dacă există (respectiv ) astfel încât (respectiv ).

Capitolul II

SEMIGRUPURI ŞI MONOIZI

- 5 -

I. INTRODUCERE, DEFINIŢIE, EXEMPLE

Prin STRUCTURĂ ALGEBRICĂ se înţelege o mulţime nevidă înzestrată cu una sau mai multe operaţii ce satisfac anumite axiome.

Def.: Se numeşte SEMIGRUP un cuplu unde S este o mulţime nevidă, iar ‘ * ’ este o operaţie algebrică pe S ce satisface o singură axiomă şi anume:

S1) operaţia ‘ * ’ este asociativăDacă, în plus, este satisfacută şi axioma:S2) operaţia ‘ * ’ este comutativă, atunci cuplul (S,*) se numeşte SEMIGRUP COMUTATIV.

Exemple:semigrupuri comutative: (N*,+) , (N*,).

semigrup necomutativ, dacă mulţimea A conţine cel puţin 2 elemente:

Def.: Se numeşte MONOID un cuplu unde M este o multime nevida, iar ‘ * ’ este o operaţie algebrică pe M ce satisface două axiome şi anume:

M1) operatia ‘ * ’ este asociativă.M2) operatia ‘ * ’ are element neutru.Dacă, în plus, este satisfacută şi axioma:M3) operatia ‘ * ’ este comutativă, atunci cuplul se numeşte MONOID COMUTATIV.

Exemple: 1) monoizi comutativi: 2) monoizi necomutativi: , când A are cel puţin 2 el.

Obs.: Orice monoid este în particular un semigrup. Reciproc nu este adevărat.

Def.: Fie un monoid. Un element care este simetrizabil faţă de operaţia ‘ * ’ se numeşte ELEMENT SIMETRIZABIL al monoidului M.

Notăm U(Exemple: 1. în monoidul 2. în monoidul 3. în monoidul 4. în monoidul II. PUTERILE NATURALE (respectiv întregi) ALE UNUI ELEMENT (respectiv ale unui elem. inversabil) ÎNTR-UN MONOID

PROPOZIŢIE: Fie un monoid şi

- 6 -

Atunci : şi Dacă, în plus (x este inversabil), egalităţile precedente au loc pentru orice

Această propoziţie se transcrie aditiv astfel:Fie un monoid şi : şi

Dacă, în plus, , egalităţile precedente au loc pentru orice Elementul ‘ nx ’ se numeste al n-lea multiplu al elementului x.

III. SUBSEMIGRUPURI, SUBMONOIZI

Def.: Fie un semigrup. O submulţime nevidă H a lui S, care este parte stabilă faţă de operaţia ‘ * ’ se numeşte SUBSEMIGRUP al semigrupului S. Aceasta înseamnă că este tot un semigrup.

Exemplu: Pentru semigrupul fiecare din submulţimile este un subsemigrup.

Def.: Fie un monoid. O submulţime nevidă H a lui M, cu proprietatea că este parte stabilă faţă de operaţia ‘ * ’ iar este un monoid, se numeşte SUBMONOID al monoidului M.Dacă, în plus, elementul neutru al monoidului H coincide cu elementul neutru e al monoidului M, atunci H se numeşte SUBMONOID UNITAR al monoidului M.

Exemplu: în monoidul submulţimea N este un monoid unitar.

IV. MORFISME ŞI IZOMORFISME DE SEMIGRUPURI ŞI DE MONOIZI

Def.: 1) Fie şi două semigrupuri. O aplicaţie cu proprietatea că

se numeşte MORFISM DE SEMIGRUPURI.2) Fie şi doi monoizi. O aplicaţie care este morfism de

semigrupuri se numeşte MORFISM DE MONOIZI. Dacă, în plus, satisface proprietatea unde sunt elemente neutre din M, respectiv M’, spunem că este un

MORFISM UNITAR DE MONOIZI.3) Un morfism de la un semigrup (monoid) la el însuşi se numeste ENDOMORFISM

al acelui semigrup (monoid).

Exemplu: Funcţia este un morfism unitar de monoizi.

Def.: 1) Un morfism de semigrupuri, respectiv de monoizi, care este inversabil (funcţie

inversabilă, cu inversa de asemenea morfism de semigrupuri, respectiv de monoizi) se numeşte IZOMORFISM DE SEMIGRUPURI , respectiv IZOMORFISM DE MONOIZI.

2) Un izomorfism de la un semigrup (respectiv monoid) la el însuşi se numeşte AUTOMORFISM al acelui semigrup (respectiv monoid).

- 7 -

3) Dacă între două semigrupuri (monoizi) se poate defini un izomorfism, spunem că semigrupurile (monoizii) sunt IZOMORFE (izomorfi).

Scriem , respectiv

Exemple: 1) Funcţia este un izomorfism de semigrupuri.2) este un izomorfism de monoizi.

PROPOZIŢIE: Orice izomorfism de monoizi este morfism unitar.PROPOZIŢIE: Un morfism de semigrupuri (respectiv de monoizi) este izomorfism de semigrupuri (respectiv de monoizi) dacă şi numai dacă este bijectiv.

Capitolul III

GRUPURI

- 8 -

I. GRUPUL, EXEMPLE REMARCABILE

Def.: Se numeşte GRUP un cuplu unde G este o mulţime nevidă, iar ‘ * ’ este o operaţie algebrică pe mulţimea G ce satisface următoarele trei axiome:

1) Operaţia ‘ * ’ este asociativă.2) Operatia ‘ * ’ are element neutru.3) Orice element din G este simetrizabil faţă de operaţia ‘ * ’

Dacă, în plus, satisface şi următoarea axiomă:

4) Operaţia ‘ * ’ este comutativă s.n. GRUP COMUTATIV (ABELIAN).

Exemple: sunt grupuri comutative.

Def.: Fie un grup. Dacă mulţimea G este finită spunem că grupul G este finit, iar numărul elementelor (cardinalul) mulţimii G se numeşte ORDINUL GRUPULUI. Dacă G este infinită, spunem că G este un GRUP INFINIT, sau având ORDINUL .

Exemple: sunt grupuri finite.

PROPOZIŢIE: Fie un monoid. Mulţimea a elementelor inversabile din monoidul M este un grup relativ la operaţia monoidului, numit GRUPUL ELEMENTELOR INVERSABILE sau GRUPUL UNITĂŢILOR din monoidul M.

Exemple: 1. Pentru monoizii: grupurile elementelor inversabile sunt respectiv .2. Pentru monoidul grupul elementelor inversabile este:

acest grup fiind necomutativ pentru

PROPOZIŢIE: Mulţimea:

(mulţimea rădăcinilor de ordinul n ale unităţii) este un grup abelian faţă de înmulţire, numit GRUPUL RĂDĂCINILOR DE ORDINUL N ALE UNITĂŢII.

Fie un număr întreg fixat. Pentru fiecare , submulţimea lui Z definită prin:

s.n. CLASA DE RESTURI MODULO-N a numărului întreg x.

Mulţimea claselor de resturi modulo-n o notăm cu:

PROPOZIŢIE: dacă n 1 este un număr întreg, atunci:

a) este un grup abelian, numit grupul aditiv al claselor de resturi modulo-n.b) este un monoid comutativ, în care grupul elementelor inversabile este

, numit grupul multiplicativ al claselor de resturi modulo-n relativ

prime cu n.

- 9 -

PROPOZIŢIE: dacă este un număr întreg, mulţimea (mulţimea rotaţiilor poligonului regulat cu n vârfuri) este un grup abelian relativ la compunere, numit GRUPUL ROTAŢIILOR POLIGONULUI REGULAT CU N VÂRFURI.

Fie următoarele patru transformări geometrice plane:e = transformarea identică a planului;

a = simetria faţă de dreapta Ox;b = simetria faţă de dreapta Oy;c = simetria faţă de punctul O (originea planului).

PROPOZIŢIE: Mulţimea alcătuită din transformările geometrice definite anterior este un grup abelian relativ la compunere, numit GRUPUL LUI KLEIN.

II. DEFINIŢII ECHIVALENTE ALE NOŢIUNII DE GRUP

PROPOZIŢIE:Fie G o mulţime nevidă înzestrată cu o operaţie notată multiplicativ. Atunci este un grup dacă şi numai dacă sunt îndeplinite axiomele:1) Operaţia este asociativă.2) Pentru fiecare ecuaţiile şi au soluţie în G.PROPOZIŢIE: Fie G o mulţime nevidă înzestrată cu o operaţie notată multiplicativ. Atunci este grup dacă şi numai dacă sunt verificate axiomele:1) Operaţia este asociativă.

2) 3) Pt. putându-se formula un enunţ analog pe dreapta

III. CALCULUL ÎNTR-UN GRUP

PROPOZIŢIE:Fie un grup şi arbitrare.Există echivalenţele:

1) (simplificare la stânga)2) (simplificare la dreapta).

PROPOZIŢIE: Dacă într-un grup avem atunci grupul este abelian.

PROPOZIŢIE: Fie un grup şi fixat. Atunci, pt. există egalităţile:

1) 2)

IV. SUBGRUPURI

Def.: Fie un grup. O submulţime nevidă H a lui G, cu proprietatea că este parte stabilă faţă de operaţia ‘ * ’, iar H cu operaţia indusă este un grup, se numeşte SUBGRUP al grupului G.

Exemple:

- 10 -

1) este subgrup al grupului2) este subgrup al grupului3) este subgrup al grupului4) este subgrup al grupului

Lemă: Fie un grup şi H un subgrup al său. Atunci:1) elementul neutru al subgrupului H coincide cu elementul neutru al grupului G.2) pentru orice element din H, inversul său în subgrupul H coincide cu inversul său în grupul G.

Teoremă: Fie un grup şi H o submulţime nevidă a lui G. Următoarele afirmaţii sunt echivalente:

1) H este subgrup al grupului G2) .3) şi

Exemplu: submulţimea este un subgrup al grupului .

PROPOZIŢIE: Fie un grup şi H o submulţime finită a lui G. Următoarele afirmaţii sunt echivalente:

1) H este subgrup al grupului G.2) H este parte stabilă faţă de operaţia din G

Exemplu: Subgrupurile finite ale grupului sunt grupurile de rădăcini ale unităţii şi numai acestea.

PROPOZIŢIE: Fie un grup şi H un subgrup al lui G, . Dacă atunci

Exemplu: Grupul şi subgrupul Dacă şi (suma dintre un număr raţional şi unul iraţional este unul iraţional).

V. SUBGRUPUL CICLIC GENERAT DE UN ELEMENT, ORDINUL UNUI ELEMENT, GRUPURI CICLICE

Def.: Fie un grup şi un element fixat. Submulţimea lui G formată din toate puterile întregi ale elementului x, adică este evident un subgrup al grupului G, numit subgrupul ciclic generat de elementul x.Dacă este un grup notat aditiv, atunci

Obs.: Fie un grup şi . Subgrupul ciclic generat de x este cel mai mic subgrup al lui G care conţine pe x.

Exemple: 1. În grupul avem:

2. În grupul avem: 3. În grupul avem:

4. În orice grup avem:

- 11 -

Def.: Fie un grup şi fixat.1. Dacă cel mai mic număr cu această proprietate se numeşte ordinul elementului x în grupul g.2. În caz contrar, adica spunem că elementul x are ordinul în grupul G.

Exemple: 1. În grupul elementul –1 are ordinul 2 2. În grupul elementul 1 are ordinul 4 3. În grupul elementul 1 are ordinul 4. În orice grup elementul neutru şi numai acesta are ordinul 1

Obs.: În orice grup ordinul unui element este egal cu ordinul inversului acestui element.

PROPOZIŢIE: Fie un grup şi element de ordin n, atunci subgrupul ciclic generat de x are ordinul n şi este dat de egalitatea:

Exemplu: În grupul elementul i are ordinul 4 şi atunci

PROPOZIŢIE: Fie un grup şi xG un element de ordin n. Pentru k următoarele afirmaţii sunt echivalente:

1. 2. <source is missing>

Def.: Un grup se numeşte CICLIC dacă sau, mai sugestiv, dacă G este generat de un element al său.

Exemple: 1. Pentru fiecare , grupul al claselor de resturi modulo-n este ciclic,

deoarece:

2. Grupul este ciclic, întrucât:

Obs.: Orice grup ciclic este abelian, întrucât oricare două puteri întregi ale unui element comută între ele.

Teorema lui Lagrange: Ordinul oricărui subgrup al unui grup finit este un divizor al ordinului grupului.

Consecinţe: 1) Într-un grup finit, ordinul oricărui element este finit şi este un divizor al ordinului grupului 2) În orice grup de ordin n, avem: , . 3) Orice grup de un anumit ordin k, un număr prim este ciclic.

PROPOZIŢIE: Într-un grup abelian finit produsul tuturor elementelor grupului este egal cu produsul elementelor de ordin cel mult egal cu 2.

- 12 -

Consecinţe:a) Într-un grup finit numărul elementelor de ordin diferit de 2 este imparb) Orice grup de ordin par conţine cel putin un element de ordin 2

V. TREI APLICAŢII ÎN TEORIA NUMERELOR

Teorema lui Euler: Fie şi . Atunci: , unde desemnează indicatorul lui Euler.

Teorema lui Fermat: Fie un număr prim şi a nedivizibil cu pRemarcăm faptul că teorema lui Fermat este un caz particular al teoremei lui Euler.

Teorema lui Wilson: Fie Atunci p este prim

VI. SUBGRUPURILE GRUPURILOR ŞI

PROPOZIŢIE: Subgrupurile grupului ciclic sunt grupurile ciclice unde d parcurge toţi divizorii naturali ai lui n.

PROPOZIŢIE: Subgrupurile grupului sunt subgrupurile generate de numerele naturale, adică cele de forma

VII. SUBGRUPURI NORMALE, GRUP-FACTOR

Teoremă: Fie un grup şi H un subgrup al său. Următoarele afirmaţii sunt echivalente:

1)

2)

Def.: Fie un grup. Un subgrup H al grupului G care satisface una (deci amândouă) din afirmaţiile echivalente ale teoremei precedente se numeste subgrup normal (divizor normal) al grupului G.

Exemplu: Dacă grupul este abelian, orice subgrup al său H este subgrup normal.

PROPOZIŢIE: Fie un grup şi H un subgrup normal al lui G. Atunci dacă avem:

1)

2)

3)

Lemă: Dacă este un grup şi H un subgrup normal, operaţia de înmulţire a claselor,

definită pe mulţimea prin egalitatea urmatoare este bine definită:

- 13 -

Teoremă: Fie un grup, iar H un subgrup normal al lui G. Multimea G/H a claselor modulo-H este un grup relativ la operaţia de înmulţire a claselor, numit grupul-factor (grupul-cât) al lui G prin subgrupul normal H.

Exemplu: Grupul-factor este grupul aditiv al claselor de resturi modulo-n, adică în care

adunarea claselor se defineşte prin:

Obs.: Dacă G este un grup finit, iar H un subgrup normal al său, ordinul grupului-factor G/H este egal cu câtul dintre ordinul grupului lui G şi ordinul lui H, se notează [G:H] şi se numeste INDICELE H ÎN GRUPUL G.

VIII. MORFISME ŞI IZOMORFISME DE GRUPURI

Def.: 1) Fie şi două grupuri. O funcţie cu proprietatea

se numeşte MORFISM DE GRUPURI.2) Un morfism de grupuri de la un grup la el însuşi se numeşte ENDOMORFISM al acelui grup.

Exemple: 1. Funcţia este un morfism de grupuri2. Funcţia cu fixat, este un endomorfism al grupului Z

PROPOZIŢIE: Fie un morfism de grupuri. Notând cu elementele neutre din grupurile G, respectiv , avem:

1) 2)

3)

Din această propoziţie, punctul 1, rezultă că un morfism de grupuri este, în particular, un morfism unitar de monoizi.

Def.: Dacă este un morfism de grupuri, submulţimea lui G definită prin: se numeşte nucleul morfismului .

Teoremă: Fie un morfism de grupuri. Atunci:1. este un subgrup normal al grupului G2. Morfismul este injectiv daca si numai daca 3.Pentru orice subgrup H al lui G, multimea (H) este un sugrup al lui ; în particular, este un subgrup al grupului

Def.:

1) Fie şi două grupuri. O funcţie care este morfism de grupuri inversabil (adică funcţie inversabilă, iar funcţia inversă de asemenea

- 14 -

morfism de grupuri) se numeste izomorfism de grupuri. Atunci şi functia inversă este tot un izomorfism de grupuri numit izomorfismul invers.2) Un izomorfism de la un grup la el însuşi se numeşte AUTOMORFISM al acelui

grup. 3) Dacă între două grupuri există cel puţin un izomorfism spunem că grupurile sunt izomorfe şi scriem

Exemple: 1) Funcţia este izomorfism de grupuri2) Oricare două grupuri ciclice finite având acelaşi ordin sunt izomorfe3) Orice grup ciclic infinit este izomorf cu grupul

Obs.: Două grupuri finite de acelaşi ordin sunt izomorfe dacă şi numai dacă tablele operaţiilor lor sunt la fel organizate.

Obs.: Două grupuri izomorfe au aceleaşi proprietăţi deci sunt practic ‘identice’ din punct de vedere al comportării lor algebrice.

Teoremă: Un morfism de grupuri este izomorfism dacă şi numai dacă este bijectiv.

PROPOZIŢIE: Dacă este un morfism injectiv de grupuri, atunci grupul G este izomorf cu subgrupul al lui .Teorema fundamentală de izomorfism: Dacă este un morfism de grupuri, atunci există izomorfismul de grupuri

- 15 -

Capitolul IV

INELE ŞI CORPURI

I. INTRODUCERE

Conceptele de ‘inel’ şi ‘corp’ s-au sedimentat în a doua jumătate a secolului al XIX-lea prin lucrările de teoria numerelor ale lui Dedekind, Kronecker, Weber, Hilbert. Forma definitivă a acestor noţiuni este datorată lui Hilbert (1897).

II. INELE, EXEMPLE REMARCABILE, GRUPUL ELEMENTELORINVERSABILE AL UNUI INEL

Def.: Se numeşte INEL un triplet (A,+,) în care A este o mulţime nevidă, iar ‘+’ si ‘’ desemnează două operaţii pe A, numite prin extensie de limbaj ‘adunare’ şi ‘înmulţire’, operaţii care satisfac următoarele trei axiome:

1) cuplul (A,+) este un grup abelian

2) cuplul (A,) este un semigrup

3) înmulţirea este distributivă faţă de adunare

Dacă în loc de axioma 2 apare axioma:

) cuplul (A,) este un monoid

atunci tripletul (A,+,) se numeşte INEL CU ELEMENT-UNITATE.Dacă, în plus, un inel satisface şi axioma:

4) înmulţirea este comutativă

- 16 -

atunci acesta se numeşte INEL COMUTATIV.

Exemple:

1) inel cu element-unitate, comutativ. Elementul nul este numărul întreg 0, iar elementul unitate este numărul întreg 1.

2) este un inel fără element-unitate, comutativ. Elementul nul este numărul întreg par 0.

3) , , , sunt inele cu element-unitate (polinomul cst.1), comutative, cu element nul (polinomul cst 0).

Def.: Într-un inel (A,+,) cu element-unitate, grupul al elementelor inversabile din monoidul (A,) se numeşte GRUPUL ELEMENTELOR INVERSABILE (GRUPUL UNITĂŢILOR) din inelul A.

Exemple:1) În inelul avem 2) În inelul avem

3) În inelul avem

4) În inelul avem:

III. DIVIZORI AI LUI ZERO, REGULI DE CALCUL, ELEMENTE INDEPENDENTE ŞI ELEMENTE NILPOTENTE, CARACTERISTICA

Def.: Fie (A,+,) un inel.

1) spunem că un element este DIVIZOR AL LUI ZERO LA STÂNGA (respectiv LA DREAPTA) daca cu (respectiv cu

)Elementul se numeşte DIVIZOR AL LUI ZERO dacă este divizor al lui zero la stânga sau divizor al lui zero la dreapta.

2) spunem că inelul A are divizori ai lui zero dacă A conţine cel puţin un divizor al lui zero, în caz contrar, spunem că A nu are divizori ai lui zero sau că A este un INEL INTEGRU.

Def.: Un inel cu element-unitate, comutativ şi fără divizori ai lui zero se numeste DOMENIU DE INTEGRITATE.Exemple:

1) Inelul ( ,+,) are divizori ai lui zero

2) inelele sunt domenii de integritate, nefiind pătrat perfect

PROPOZIŢIE: Într-un inel A următoarele afirmaţii sunt echivalente:

1) A nu are divizori ai lui zero (A este integru)

- 17 -

2) 3)

PROPOZIŢIE: În orice inel A au loc egalităţile:

1) (se spune că zero este absorbant)2) (regula semnelor la înmulţire)3) (înmulţirea este distributivă faţă de scădere)

PROPOZIŢIE: Dacă A este un inel cu elementul-unitate, următoarele afirmaţii sunt echivalente:

1) Inelul A are cel puţin 2 elemente2) 01

PROPOZIŢIE: Fie A un inel cu element-unitate şi 01. Atunci:

1) Elementul nul 0 nu este inversabil, adica 2) Dacă atunci şi

PROPOZIŢIE: Fie A un inel cu element-unitate. Dacă elementul este inversabil, atunci x nu este divizor al lui zero (dacă x este divizor al lui zero, atunci x este neinversabil).

PROPOZIŢIE: Fie A un inel integru. Pentru oricare trei elemente cu avem echivalentele:

1) 2)

Def.: Fie A un inel.

1) un element cu proprietatea s.n. element idempotent al lui A2) un element cu proprietatea a.î. s.n. element nilpotent al lui A

Exemple:

1) În inelul sunt elemente idem potente, cum ar fi:

2) În inelul există un element nilpotent:

PROPOZIŢIE: Fie A un inel. Atunci:

1) Orice element nilpotent nenul din A (daca există) este divizor al lui zero.

2) Dacă A este un inel cu element-unitate, orice element idempotent din A, diferit de 0 şi 1 (dacă există), este un divizor al lui zero.

CONSECINŢĂ: Într-un inel cu element integru, singurul element nilpotent este 0; dacă, în plus, inelul integru este cu element-unitate, singurele elemente idempotente sunt 0 şi 1

PROPOZIŢIE: Fie A un inel cu element-unitate şi un element nilpotent. Atunci elementele şi sunt inversabile

Def.: Fie A un inel cu element-unitate.

- 18 -

1) Dacă cu proprietatea cel mai mic n

cu această proprietate se numeşte CARACTERISTICA inelului 1 în grupul (A,+).

2) În caz contrar, adică spunem că inelul A are caracteristica 0.

Exemplu: Inelele au caracteristica 0.

PROPOZIŢIE: Într-un inel integru cu element-unitate, caracteristica inelului este 0 sau un număr

prim.

Propoziţia lui Hilbert: Fie (A,+,) un triplet alcătuit din mulţimea nevidă A şi operaţiile de adunare ‘+’, şi de înmulţire, ‘ * ’, pe A, care satisfac axiomele:

1) (A,+) este grup

2) (A,) este monoid

3) înmulţirea este bijectivă faţă de adunare

Atunci adunarea este comutativă, deci (A,+,) este un inel cu element-unitate.

IV. CORPURI, EXEMPLE

Def.: Se numeşte CORP un triplet (K,+,) în care K este o mulţime cu cel puţin 2 elemente, iar ‘+’ şi ‘‘ două operaţii pe K (numite adunare, respectiv înmulţire), satisfăcând următoarele axiome:

1) (K,+) este un grup abelian, cu element neutru 0

2) (K\{0},) este un grup, cu elementul neutru 1

3) Înmulţirea este distributivă faţă de adunare

Grupul (K,+) se numeşte GRUPUL ADITIV al corpului, iar grupul (K\{0},) se numeşte GRUPUL MULTIPLICATIV AL ELEMENTELOR NULE ale corpului.Dacă, în plus, este satisfăcută şi axiomă:

4) Înmulţirea este comutativă, atunci tripletul (K,+,) se numeşte CORP COMUTATIV

Def.: Se numeşte CORP un inel (K,+,) cu element-unitate, în care (echivalent spus, având cel puţin 2 elemente) şi în care orice element nenul este inversabil (echivalent spus,

).

Exemple: (Q,+,); (R,+,); (C,+,) sunt corpuri comutative.

PROPOZIŢIE: Inelul ( ,+,) al claselor de resturi modulo-n este corp dacă şi numai dacă n este număr prim.

Expresiile formale cu se numesc CUATERNIONI.Notăm cu H mulţimea cuaternionilor.

PROPOZIŢIE: Tripletul (H,+,) este un corp necomutativ numit CORPUL CUATERNIONILOR .

- 19 -

Def.: Un polinom nenul se numeşte POLINOM UNITAR (MONIC) dacă are coeficientul termenului de grad maxim egal cu 1.

Def.: 1) Un număr complex x se numeşte ÎNTREG ALGEBRIC dacă este rădăcină a unui polinom unitar cu coeficienţi întregi, adică dacă verifică o ecuaţie de forma:

2) Un număr complex x se numeşte NUMĂR ALGEBRIC dacă este rădăcină a unui polinom nenul cu coeficienţi raţionali, adică dacă verifică o ecuaţie de forma:

Exemple:1) x verifică - întreg algebric.2) x verifică - număr algebric.

Obs.: Orice întreg algebric este un număr algebric. Teoremă: Tripletul este un inel comutativ cu element-unitate, numit INELUL ÎNTREGILOR ALGEBRICI. Teoremă: Tripletul este un corp comutativ, numit CORPUL NUMERELOR ALGEBRICE.

V. LEGĂTURA DINTRE CORPURI ŞI INELE INTEGRE, CORPUL FRACŢIILOR UNUI DOMENIU DE INTEGRITATE

PROPOZIŢIE : Orice corp este un inel integru, adica fără divizori ai lui zero.

Consecinţă: Caracteristica unui corp este 0 sau un număr prim.

PROPOZIŢIE: Fie A un inel finit cu element-unitate şi . Următoarele afirmaţii sunt echivalente:

1) A este un corp2) A este un inel integru

Expresiile formale de tipul cu se numesc FRACŢII PESTE A sau

FRACŢII CU NUMĂRĂTORUL ŞI NUMITORUL DIN A:

PROPOZIŢIE: Cu notaţiile de mai înainte, tripletul (K,+,) este un corp comutativ care include inelul A, numit CORPUL FRACŢIILOR LUI A.

Exemplu: Corpul de fracţii al domeniului de integritate este corpul .

VI. SUBINELE ŞI SUBCORPURI

- 20 -

Def.: Fie (A,+,) un inel şi B o submulţime nevidă a lui A. Spunem că B este un SUBINEL al lui A dacă B este o parte stabilă faţă de operaţiile din A şi împreună cu operaţiile induse este un inel.

Obs.: Dacă (A,+,) este un inel iar B A, rezultă că B este un subinel al lui A dacă şi numai dacă sunt îndeplinite condiţiile:

1) (B,+) este subgrup al grupului (A,+)

2) (B, ) este subsemigrup al semigrupului (A, )

Exemple:1) este un subinel al lui (Z[i],+,).

2) (3Z,+,) este un subinel al lui

3) ( ,+,) este un subinel al lui ( ,+,).

4) orice inel A are cel putin două subinele şi anume şi A, numite subinele IMPROPRII; orice alt subinel (dacă există) se numeşte PROPRIU.

Def.: Fie A un inel cu elementul-unitate , iar B un subinel al lui A. Spunem că B este SUBINEL UNITAR al lui A, dacă B are element-unitate şi acesta coincide cu cel din A, adică .

Obs.: Dacă A este un inel cu element-unitate, iar , rezultă că B este un subinel unitar al lui A dacă şi numai dacă sunt îndeplinite condiţiile:

1)(B,+) este un subgrup al grupului (A,+).

2)(B,) este un submonoid unitar al monoidului (A, ).

Exemple:1) este un subinel unitar al lui

2) este un subinel neunitar al lui

Teoremă: Fie (A,+,) un inel (respectiv un inel cu element-unitate) iar B o submulţime nevidă a lui A. Următoarele afirmaţii sunt echivalente:

1) B este un subinel (respectiv un subinel unitar) al lui A

2) - respectiv: şi

Def.: Fie (K,+,) un corp şi L o submulţime nevidă a lui K. Spunem că L este un SUBCORP al lui K dacă L este o parte stabilă faţă de operaţiile din K şi relativ la operaţiile induse este un corp.

Exemple:

1) este un subcorp al lui2) Corpul pătratic este subcorp al lui iar când este şi subcorp al lui

- 21 -

Obs.: Fie un corp şi . Atunci, L este subcorp al lui K dacă şi numai dacă sunt îndeplinite condiţiile:

1) este subgrup al grupului 2) este subgrup al grupului unde am notat

Teoremă: Fie un corp şi L o submulţime nevidă a lui K. Următoarele afirmaţii sunt echivalente:

1) este subgrup al lui

2) şi

Obs.: Dacă L este un subgrup al unui corp K, atunci L este subinel unitar al lui K.

PROPOZIŢIE: Fie A un domeniu de integritate şi L un corp care în include pe A ca subinel. Atunci L include corpul de fracţii K al lui A. Echivalent spus, corpul de fracţii al unui domeniu de integritate este cel mai mic corp ce conţine inelul respectiv.

VII. IDEALE, INEL-FACTOR

Def.: Fie (A,+,) un inel. O submulţime nevidă se numeşte IDEAL STÂNG (respectiv IDEAL DREPT) al inelului A dacă îndeplineşte condiţiile:

1)

2) O submulţime care este atât ideal stâng cât şi ideal drept se numeşte INEL BILATERAL.Exemple: 1) În inelul orice submulţime i=nZ, cu nZ, este un ideal bilateral 2) În orice inel A, submulţimile {0} şi A sunt ideal bilaterale, numite IDEALE IMPROPRII

Obs.: Într-un inel comutativ orice ideal este bilateral şi este un subinel al inelului respectiv

PROPOZIŢIE: Singurele ideale ale unui corp K sunt {0} şi A.

Teoremă: Fie A un inel şi un ideal bilateral al inelului A. Atunci:

1) Tripletul (A/i,+,) este un inel, care se numeste INELUL - FACTOR (INELUL-CÂT) AL LUI A prin idealul bilateral

2) Dacă A este un inel cu element-unitate, atunci inelul-factor A/I este un inel cu element-unitate, iar dacă A este un inel comutativ, atunci inelul-factor A/i este comutativ

VIII. MORFISME ŞI IZOMORFISME DE INELE ŞI CORPURI

Def.:

1) Fie şi două inele. O aplicaţie cu proprietăţile:

a)

b)

- 22 -

se numeşte MORFISM DE INELE.

2) Un morfism de inele de la un inel la el însuşi se numeşte ENDOMORFISM al inelului respectiv.

Exemplu:

Fie un numar întreg. Se numeşte MORFISMUL CANONIC aplicaţia:

, dacă este morfism de inele

Def.: Fie şi două inele cu element-unitate. Un morfism de inele cu proprietatea, se numeşte MORFISM UNITAR DE INELE (1, respectiv , reprezintă elementul unitate din A, respectiv ).

Exemplu: Dacă este un inel cu element-unitate 1, funcţia este un morfism unitar de inele.

PROPOZIŢIE: Fie un morfism de inele. Atunci:

1) Mulţimea este un ideal bilateral al inelului A, numit NUCLEUL morfismului .

2) este injectiv dacă şi numai dacă

Def.: 1) Fie şi două corpuri. Un morfism unitar de inele se numeşte MORFISM DE CORPURI

2) Un morfism de corpuri de la un corp la el însuşi se numeste ENDOMORFISM al acelui corp

Exemplu: este un morfism de corpuri, numit MORFISMUL-INCLUZIUNE.

PROPOZIŢIE: Orice morfism de corpuri este injectiv.

Def.: 1) Fie şi două inele. O aplicaţie se numeşte IZOMORFISM DE INELE dacă este morfism de inele inversabil (adică funcţie inversabilă şi funcţia inversă -1:A’A este de asemenea morfism de inele).

2) Un izomorfism de inele de la un inel la sine însuşi se numeşte AUTOMORFISM al acelui inel.

3) Dacă între două inele A şi există (cel puţin) un izomorfism de inele spunem că inelele sunt IZOMORFE şi se scrie

Exemple: este un automorfism al inelului .

PROPOZIŢIE: Fie un izomorfism de inele. Dacă unul din inelele A sau are element-unitate, atunci şi celălalt inel are element-unitate, iar izomorfismul este un morfism unitar de inele.

- 23 -

Def.: 1) Fie şi două corpuri. Un izomorfism de inele se numeşte IZOMORFISM DE CORPURI

2) Un izomorfism de la un corp la el însuşi se numeşte AUTOMORFISM al acelui corp

3) Dacă între două corpuri şi există un izomorfism, spunem că ele sunt IZOMORFE şi scriem

Teoremă: Fie un morfism de inele (respectiv de corpuri, când sunt corpuri). Următoarele afirmaţii sunt echivalente:

1) este izomorfism de inele (respectiv de corpuri).

2) este bijectiv.

Exemplu: este un automorfism al corpului .

PROPOZIŢIE: Fie un morfism de inele (respectiv de corpuri). Atunci:

1) Pentru orice subinel (subcorp) B al lui A, mulţimea este un subinel (respectiv subcorp) al lui în particular mulţimea este un subinel (subcorp) al lui

2) Dacă este morfism injectiv, A este izomorf cu un subinel ( respectiv subcorp) al lui B

Consecinţă: Dacă este un morfism de corpuri, corpul K este izomorf cu un subcorp al corpului

Teorema fundamentala de izomorfism la inele: Fie un morfism de inele. Atunci:

1) Există un izomorfism canonic de inele

2) Dacă este un morfism surjectiv,

IX. INELE DE MATRICI PĂTRATICE

PROPOZIŢIE: Fie A un inel comutativ cu element-unitate în care . Atunci:

1) Tripletul este un inel cu element-unitate, numit INELUL MATRICELOR PĂTRATICE DE ORDIN N PESTE INELUL A

2) Pentru , inelul este necomutativ şi are divizori ai lui zero

PROPOZIŢIE: Matricea este inversabilă în inelul dacă şi numai dacă este un element inversabil în inelul A. Altfel spus, grupul elementelor inversabile din

- 24 -

inelul este:

Def.: Grupul multiplicativ al matricilor inversabile peste inelul A se numeşte GRUPUL LINIAR DE ORDINUL N PESTE INELUL A şi se noteaza Aşadar

Consecinţă: Pentru un corp comutativ K avem:

Exemplu: Matricea X este inversabilă, întrucât

X. INELE DE POLINOAME

Obs.: Pentru orice avem inegalităţile:

1)

2) PROPOZIŢIE: Multimea , inversată cu operaţiile de adunare şi înmulţire a polinoamelor este un inel comutativ cu element-unitate, numit INELUL POLINOAMELOR PESTE INELUL A.

Obs.: Inelul A este un subinel unitar al inelului de polinoame

PROPOZIŢIE: Inelul este domeniu de integritate dacă şi numai dacă inelul A este domeniu de integritate şi în acest caz avem relaţia gradelor la înmulţire:

PROPOZIŢIE: 1) Dacă A este un domeniu de integritate, avem egalitatea care exprimă faptul că polinoamele inversabile din inelul sunt exact elementele inversabile din A

2) În caz particular, dacă corp comutativ, avem egalitate care arată că polinoamele inversabile din sunt constantele nenule din K, adică polinoamele de grad zero

Exemplu: 1)

2)

Def.: Dacă A este un domeniu de integritate, corpul funcţiilor domeniului de integritate se numeşte CORPUL FRACŢIILOR RAŢIONALE peste inelul A şi se notează

- 25 -

Fracţiile raţionale peste A sunt de forma:

Def.: Fie A un inel comutativ cu element-unitate şi iar un polinom.

1) Dacă atunci elementul A se numeşte VALOAREA POLINOMULUI F ÎN PUNCTUL X.

2) Dacă spunem că se anulează în punctul x sau că x este o rădăcină a polinomului în inelul A.

3) Funcţia deci funcţia care asociază fiecărui valoarea polinomului în punctul x se numeşte FUNCŢIA POLINOMIALĂ asociată polinomului

Obs.: Dacă două polinoame sunt egale, atunci şi funcţiile lor polinomiale sunt egale, adică:

Lemă: Fie A un domeniu de integritate şi un polinom de grad cel mult n. Dacă are (cel puţin) n+1 rădăcini distincte în inelul A, atunci este polinomul nul.

PROPOZIŢIE: Fie două polinoame de grad cel mult n astfel încât Dacă A este un domeniu de integritate cu mai mult de n elemente (în particular, A poate fi infinit atunci ).

Def.: Fie (corp comutativ) două polinoame.

1) Spunem că g divide sau că se divide cu g, dacă Scriem (citim g divide sau citim se divide cu g).

2) Spunem că şi g sunt asociate în divizibilitate dacă se divid reciproc, adică

3) Spunem că polinoamele f şi g au cel mai mare divizor comun (c.m.m.d.c) dacă există polinomul satisfăcând condiţiile:

i) d este divizor comun pentru şi g, adică

ii) Orice alt divizor comun pentru şi g îl divide pe d, adică cu şi

Notăm cu c.m.m.d.c. al polinoamelor şi g. Scriem a.î.

Observăm că…PROPOZIŢIE: Două polinoame sunt asociate dacă şi numai dacă diferă printr-un factor inversabil (polinom de gradul zero).

Teorema împărţirii cu rest:

Fie cu Există atunci alte două polinoame cu proprietăţile:1) 2)

Polinoamele se numesc deîmpărţit, împărţitor, cât respectiv rest, remarcăm că împărţitorul trebuie să fie nenul.

Teorema lui Bezout, teorema restului: Fie Atunci:

- 26 -

1) Restul împărţirii polinomului prin X-x este (x)

2) x este rădăcină pentru dacă şi numai dacă se divide cu (X-x)

Obs.: 1) Dacă

2) Dacă , atunci

Lemă: Fie polinoame legate prin relaţia Dacă există atunci există şi avem:

Teoremă: Fie Atunci:

i) şirul de împărţiri cu rest (1) este finit, adică există a.î.

ii) există c.m.m.d.c. al polinoamelor şi g şi acesta este ultimul rest nenul, adică când (Când k=1 înseamnă că prima împărţire se face exact şi atunci

Obs.: Oricare două polinoame care reprezintă c.m.m.d.c. a două polinoame fixate, sunt asociate în divizibilitate.

Def.: Dacă spunem că polinoamele şi g sunt relativ prime sau prime între ele.

Obs.: Există echivalenţa: PROPOZIŢIE: Fie astfel încât iar Atunci

Def.: 1) Un polimon nenul şi neinversabil (echivalent spus, neasociat cu 0 sau 1 sau totuna, de grad ) se numeşte IREDUCTIBIL ÎN INELUL K[X] sau IREDUCTIBIL PESTE CORPUL K dacă, abstracţie făcând de asocieri, singurii săi divizori în K[x] sunt 1 şi p. Aceasta înseamnă că: 2) Un polinom nenul şi neinversabil care nu este ireductibil se mai numeşte REDUCTIBIL în

Exemplu: În orice inel polinoamele de gradul1 sunt ireductibile.

Lemă: Fie un polinom ireductibil şi un polinom oarecare. Dacă p nu divide , atunci

PROPOZIŢIE: Fie un polinom nenul şi neinversabil. Următoarele afirmaţii sunt echivalente:

1) p este ireductibil în 2)

(Aşadar, un polinom este ireductibil dacă şi numai dacă ori de câte ori divide un produs, rezultă că divide unul din factori).

Teoremă: Orice polinom nenul şi neinversabil din se descompune în mod unic într-un produs finit de polinoame ireductibile din Unicitatea este înţeleasă abstracţie făcând de asocieri şi de ordinea factorilor.

PROPOZIŢIE: În inelul singurele polinoame ireductibile sunt cele de gradul 1.Consecinţă: Orice polinom nenul şi neinversabil se descompune în mod unic în factori liniari în inelul

PROPOZIŢIE: Fie un polinom de grad

- 27 -

i) O condiţie necesară ca polinomul p să fie ireductibil în este ca el să nu aibă rădăcini în corpul K

ii) Dacă grad condiţia necesară de la i) este şi suficientă, deci p este ireductibil dacă şi numai dacă nu are rădăcini în K.

Exemplu: Polinomul este ireductibil, întrucât este de grad 2 şi nu are rădăcini în corpul

PROPOZIŢIE: Polinoamele ireductibile din inelul sunt polinoamele de gradul 1 şi polinoamele de gradul 2 care nu au rădăcini în corpul

Consecinţă: Orice polinom nenul şi neinversabil, se descompune în mod unic în inelul într-un produs de factori liniari sau factori de gradul 2 fără rădăcini reale.

Def.: Un polinom se numeşte POLINOM PRIMITIV dacă c.m.m.d.c. al tuturor coeficienţilor săi este egal cu 1.

PROPOZIŢIE:

1) Orice polinom se scrie sub forma unde iar este un polinom primitiv

2) Orice polinom se scrie sub forma = rg, unde iar este un polinom primitiv.

Obs.: Dacă este un polinom ireductibil, atunci în mod necesar f este un polinom primitiv.Obs.: Fie un polinom primitiv şi Daca atunci

Def.: Dacă iar este un număr prim fixat, polinomul

(unde este clasa de resturi modulo-p a numărului întreg

a) se numeşte POLINOMUL REDUS MODULO-P AL LUI F.

Lema lui GAUSS: Fie două polinoame primitive. Atunci polinomul-produs este de asemenea un polinom primitiv.

Teorema lui Gauss: Dacă este un polinom ireductibil în inelul atunci este ireductibil şi în inelul

COROLAR: Fie un polinom primitiv. Atunci este ireductibil in dacă şi numai dacă este ireductibil în

Teorema lui Gauss (2): Orice polinom nenul şi neinversabil din inelul se descompune în mod unic într-un produs finit de polinoame ireductibile din unicitatea fiind înţeleasă făcând abstracţie de ordinea factorilor şi a asocierii în divizibilitate.

Criteriul de ireductibilitate al lui Schönemann: Fie un număr prim şi un

polinom unitar, unde iar Dacă în inelul în polinomul este

ireductibil şi nu divide polinomul atunci polinomul h este ireductibil şi în

- 28 -

Criteriul de ireductibilitate al lui Einstein:Fie un polinom cu proprietatea că există un număr

prim astfel încât p divide toţi coeficientii dar nu divide termenul liber Atunci este ireductibil în inelul deci şi în inelul

Obs.: Un polinom de grad are în corpul K cel mult ‘n’ radacini, nu neapărat distincte.

PROPOZIŢIE: Fie un polinom de grad Următoarele afirmaţii sunt echivalente:

1) Factorii liniari, presupuşi nu neapărat distincţi, din descompunerea lui în factori ireductibili în inelul sunt:

2) Rădăcinile polinomului în corpul K, presupuse nu neapărat distincte,sunt

3) Există scrierea unde este un polinom care nu are rădăcini în corpul K.

PROPOZIŢIE: (când ): Fie un polinom de gradul n. Următoarele afirmaţii sunt echivalente:

1) Polinomul se descompune în inelul într-un produs de factori liniari, nu neapărat distincţi 2) Rădăcinile polinomului în corpul K sunt presupuse nu neapărat distincte.3) Există egalitatea

PROPOZIŢIE: Fie un polinom de grad n, care are

în corpul K rădacinile nu neapărat distincte. Atunci au loc egalităţile:

Aceste inegalităţi se numesc formulele lui Viète.

PROPOZIŢIE: Fie un polinom de grad n, care are în corpul K radacinile multiple respectiv de ordin cu . Atunci,

descompunerea lui în factori ireductibili în inelul K[x] este

unde este coeficientul dominant al polinomului .

XI. DESCOMPUNEREA FRACŢIILOR RAŢIONALE PESTE UN CORP COMUTATIV ÎN SUME DE FRACŢII SIMPLE

Def.:

- 29 -

1) Fracţiile raţionale de forma unde este un polinom ireductibil,

este un polinom cu proprietatea: se numesc FRACŢII RAŢIONALE SIMPLE.

2) Fracţiile raţionale se numesc FRACŢII IREDUCTIBILE.

Lemă: Fie un polinom nenul şi un polinom oarecare. Atunci, pentru fiecare natural fixat, există şi sunt unice polinoamele

astfel încât avem scrierea:

Lemă: Dacă este o fracţie ireductibilă, unde şi există

h1, h2,…, hnK[x], cu astfel încât avem scrierea

PROPOZIŢIE: Fie o fracţie raţională (respectiv o fracţie raţională ireductibilă) şi fie

descompunerea lui v în factori reductibili în inelul Atunci are loc descompunerea în sumă de fracţii raţionale (respectiv de fracţii raţionale ireductibile) de tipul:

În plus, polinoamele sunt determinate abstracţie făcând respectiv de un termen

multiplu adică dacă mai avem şi scrierea atunci

se divide cu PROPOZIŢIE: Fie un polinom ireductibil, şi natural. Atunci fractia

se descompune în mod unic într-o sumă de fracţii simple şi un polinom, adică:

Teorema de descompunere în fracţii simple: Fie o fracţie raţională. Presupunem că în

inelul polinomul v are următoarea descompunere în factori ireductibili:

Atunci fracţia se scrie în mod unic ca suma dintre un polinom şi fracţii simple:

- 30 -

Consecinţă: Dacă este un morfism surjectiv de grupuri, atunci avem izomorfismul

de grupuri:

Exemple: 1)

2) Fie un grup oarecare cu element neutru. Atunci

PROPOZIŢIE: Pentru orice mulţime finită A cu n elemente, grupul al bijecţiilor lui A este izomorf cu grupul simetric al permutărilor de grad n.

Def: Fie un grup în notaţie multiplicativă şi fixat. Aplicaţiile şi

sunt evident bijective de la G la G şi se numesc OMOTEŢIE LA STÂNGA determinată de a, respectiv OMOTEŢIE LA DREAPTA determinată de a.

Dacă grupul este dat în notaţie aditivă şi aplicaţiile se numesc TRANSLAŢIE LA STÂNGA

determinată de a, respectiv TRANSLAŢIE LA DREAPTA determinată de a.

Teorema lui Cayley: Orice grup finit este izomorf cu un subgrup al unui grup de permutări.

- 31 -