Cuprins

1. Elemente de logică matematică . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1. Propoziţii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. Predicate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3.Mulţimi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.4. Inducţia matematică . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2. Numere reale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.1. Numere reale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2. Puteri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.3. Radicali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.4. Logaritmi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3. Şiruri, progresii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.1. Şiruri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.2. Progresii aritmetice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.3. Progresii geometrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

4. Funcţii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244.1. Noţiunea de funcţie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244.2. Operaţii cu funcţii numerice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264.3. Proprietăţile funcţiilor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314.4. Funcţii bijective . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364.5. Graficul unei funcţii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.6. Graficul şi proprietăţile funcţiei . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

5. Funcţii numerice, ecuaţii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485.1. Funcţia de gradul întâi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485.2. Ecuaţii şi inecuaţii de gradul întâi . . . . . . . . . . . . . . . . . 505.3. Funcţia de gradul al doilea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 535.4. Ecuaţii de gradul al doilea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 565.5. Funcţia putere cu exponent natural . . . . . . . . . . . . . . . . 605.6. Funcţia putere cu exponent negativ . . . . . . . . . . . . . . . . 625.7. Funcţia radical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

5.8. Ecuaţii iraţionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 665.9. Funcţia exponenţială . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 685.10. Ecuaţii exponenţiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 695.11. Funcţia logaritmică . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 725.12. Ecuaţii logaritmice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 745.13. Funcţia sinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 795.14. Funcţia arcsinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 805.15. Funcţia cosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 835.16. Funcţia arccosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 845.17. Funcţia tangentă . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 875.18. Funcţia arctangentă . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 885.19. Funcţia cotangentă . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 905.20. Funcţia arccotangentă . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

6. Numere complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 936.1.Mulţimea numerelor complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . 936.2. Forma algebrică . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 946.3. Reprezentarea geometrică . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 976.4. Forma trigonometrică . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 996.5. Rădăcinile de ordinul n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1026.6. Ecuaţii binome şi bicvadratice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

7. Elemente de combinatorică . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1047.1. Reguli generale ale combinatoricii . . . . . . . . . . . . . . . . . 1047.2. Permutări . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1077.3. Grupul Sn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1077.4. Aranjamente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1117.5. Combinări . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1127.6. Binomul lui Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

8. Statistică şi probabilităţi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1148.1.Matematică financiară . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1148.2. Elemente de statistică matematică . . . . . . . . . . . . . . . . . 1168.3. Calculul probabilităţilor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

9.Matrice şi determinanţi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1229.1.Matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1229.2. Determinanţi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1269.3. Aplicaţii ale determinanţilor în geometrie . . . . . . . . . . . . . 1309.4.Matrice inversabile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1319.5. Rangul unei matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

10. Sisteme de ecuaţii liniare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13511. Structuri algebrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

11.1. Legi de compoziţie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

11.2. Grupuri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14911.3. Subgrupuri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15211.4.Morfisme de grupuri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15311.5. Inele şi corpuri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

12. Polinoame . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15812.1. Inel de polinoame . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15812.2. Forma algebrică a unui polinom . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

Glosar

înmulţirea matricelor, 124înmulţirea uneimatrice cuunnumăr, 122

adunarea matricelor, 123afix, 97aranjamente, 111argument polar, 99asimptotă, 45asociativitate, 142automorfism, 153axa numerelor, 12axa reală, 97axă de coordonate, 12

binomul lui Newton, 113

caracteristică, 116coeficienţi binomiali, 112combinări, 112complement algebric, 127comutativitate, 143concluzie, 2coordonate polare, 99corp, 157corp comutativ, 157cuantificatorul existenţial, 4cuantificatorul universal, 4

determinant de ordinul doi, 126determinant de ordinul trei, 126determinantul Vandermonde, 129dezvoltarea determinantului, 127diferenţa matricelor, 123

discriminant, 56dispersia, 117distributivitate, 148divizibilitate, 10divizor al lui zero, 156dobândă, 115dobândă compusă, 115dobânda compusă, 115dobânda simplă, 115domeniul de integritate, 156

eşantion, 116ecuaţie

bicvadratică, 103binomă, 103de gradul întâi, 50de gradul al doilea, 56semnul rădăcinilor, 57

exponenţială, 69logaritmică, 74

element generator, 153element neutru, 144element neutru la dreapta, 144element neutru la stânga, 144element simetrizabil, 147endomorfism, 153eveniment, 119

elementar, 118evenimente incompatibile, 119imposibil, 119intersecţie, 119negaţie, 119

reuniune, 119sigur, 119

factorial, 107formula lui Moivre, 101formule echivalente, 3formule logice, 3formulele de Morgan, 6fracţie zecimală finită, 10fracţie zecimală periodică mixtă, 10fracţie zecimală periodică simplă, 10frecvenţă absolută, 117frecvenţa relativă, 117funcţia

arccosinus, 84arccotangentă, 91arcsinus, 80arctangentă, 88cosinus, 83cotangentă, 90de gradul întâi, 48de gradul al doilea, 53exponenţială, 68identică, 30logaritmică, 72polinomială, 159putere, 60, 62radical, 64sinus, 79tangentă, 87

funcţie, 24bijectivă, 39codomeniu, 24concavă, 33convexă, 33crescătoare, 34descrescătoare, 34domeniu de definiţie, 24graficul funcţiei, 41Imf , imaginea funcţiei, 31impară, 32

injectivă, 36inversă, 30, 40inversabilă, 30, 40mărginită, 34monotonă, 34mulţimea de valori, 24numerică, 24pară, 32periodică, 32reprezentarea geometrică, 41restricţia unei funcţii, 24surjectivă, 38

funcţiicâtul funcţiilor, 29compunerea funcţiilor, 29diferenţa funcţiilor, 27produsul funcţiilor, 28suma funcţiilor, 26

grup, 149grup ciclic, 153grup finit, 149grupul lui Klein, 150grupul rădăcinilor de ordinul n, 153grupul simetric, 150grupuri izomorfe, 153

I, mulţimea numerelor iraţionale, 9i, 94indivizi, 116inecuaţie

de gradul întâi, 51de gradul al doilea, 59

inel, 155inel integru, 156inel unitar, 155inelul polinoamelor, 158invers, 147inversiune, 110ipoteză, 2izomorfism de corpuri, 157

izomorfism de grupuri, 153izomorfism de inele, 157

lege de compoziţie indusă, 152lege de compoziţie internă, 140logaritm, 16

natural, 16

mátrixnemszinguláris, 131

matrice, 122inversa unei matrici, 131inversabilă, 131

matrice nesingulară, 131matrice pătratică, 122matrice singulară, 131matrice unitate, 124matricea adjunctă, 131matricea nulă, 123media, 117median, 117minor, 127, 132minor principal, 137modul unui număr real, 11modulo n, 142modulul unui număr complex, 95monoid, 149morfism de corpuri, 157morfism de grupuri, 153morfism de inele, 157mulţime, 5

complementară, 6diferenţă mulţimilor, 5intersecţia mulţimilor, 5mulţimi egale, 5ordonată, 107produs cartezian, 6reuniunea mulţimilor, 5

mulţimea claselor de resturi, 142mulţimea numerelor complexe, 93multiplicitatea unei rădăcini, 163

N, mulţimea numerelor naturale, 9notaţie aditivă, 140notaţie multiplicativă, 140număr complex, 93

afix, 97argument, 99argument redus, 99conjugatul, 95forma algebrică, 94forma trigonometrică, 100i, 94imaginea geometrică, 97Imz, 94modul, 95partea imaginară, 94rădăcină de ordinul n, 102Rez, partea reală, 94

număr prim, 10

omomorfism de grupuri, 153operaţie asociativă, 142operaţie comutativă, 143operaţie indusă, 140opus, 147opusul matricei, 123ordinul grupului, 149ordinul unui element, 149

parabolă, 53parte fracţională, 11parte stabilă, 140partea întreagă, 11perioadă, 32

principală, 32permutare, 107, 108

înmulţirea permutărilor, 108impară, 111pară, 111permutarea identică, 109permutarea inversă, 109puteri, 109

semn, 111polinom

coeficientul dominant, 160divizibil, 159forma algebrică, 158grad, 158ireductibil, 159rădăcină, 162reductibil, 159teorema împărţirii cu rest, 159termen principal, 160valoarea, 159

populaţie statistică, 116predicat, 4probabilitate, 120

clasică, 120procent, 114produs cartezian, 6produsul matricelor, 124progresie aritmetică, 20progresie geometrică, 22propoziţie, 1

compusă, 2conjuncţie, 2disjuncţie, 2echivalenţa propoziţiilor, 3existenţială, 4implicaţie, 2negaţie, 1universală, 4

puterea matricei, 125puteri, 12

Q, mulţimea numerelor raţionale, 9

R, mulţimea numerelor reale, 9rădăcini ale unităţii, 102raţia progresiei aritmetice, 20raţia progresiei geometrice, 22raţionalizarea numitorilor, 15rangul unei matrice, 132

rata dobânzii, 115raza polară, 99Regula lui Cramer, 136regula produsului, 105regula sumei, 104Relaţiile lui Viéte, 163relaţiile lui Viéte, 57reper cartezian (ortogonal), 41

scăderea matricelor, 123schema lui Horner, 161semigrup, 149simetricul, 147sistem Cramer, 136sistem de ecuaţii liniare, 135

coeficienţi, 135compatibil, 135determinantul sistemului, 135determinat, 135ecuaţii principale, 137ecuaţii secundare, 137incompatibil, 135matricea extinsă, 135matricea sistemului, 135necunoscută secundară, 137nedeterminat, 135regula lui Cramer, 136soluţie, 135teorema Kronecker-Capelli, 138teorema lui Rouché, 138termeni liberi, 135

sistem de ecuaţii principalenecunoscute principale, 137

structură algebrică, 149subcorp, 157subgrup ciclic, 153subgrup generate, 153subgrup propriu, 152subinel, 156submulţime, 5, 152suma matricelor, 123

şir, 18crescător, 19de numere, 18descrescător, 19mărginit, 19monoton, 19

tabla operaţiei, 140tautologie, 3teorema împărţirii cu rest, 10teorema fundamentală algebrei, 162teorema Gauss-d’Alembert, 162Teorema Kronecker-Capelli, 138teorema lui Bézout, 161teorema lui Rouché, 138transpoziţie, 110transpusa matricei, 125triunghiul lui Pascal, 112

unităţile inelului, 155unitatea imaginară, 94universul probelor, 118

valoare absolută, 11valoare de adevăr, 1valoarea polinomului, 159

Z, mulţimea numerelor întregi, 9

1. Elemente de logică matematică

1.1. Propoziţii

..

Definiţie. Se numeşte propoziţie un enunţ declarativ despre care se poate de-cide dacă este adevărat sau fals.Observaţie. O propoziţie nu poate fi în aceeaşi timp şi adevărată şi falsă.Definiţie. Unei propoziţii îi putem atribui una din cele două valori de adevăr“1” sau “0”: dacă propoziţia este adevărată, valoarea sa de adevăr este 1, iarvaloarea de adevăr a unei propoziţii false este 0 (“1” şi “0” sunt simboluri, nureprezintă numere).Notaţie. Propoziţiile se notează cu literele mici p, q, r, . . ..

Exemplu. Sunt propoziţii: “În fiecare pătrat există un unghi drept.”- propoziţie ade-vărată, valoarea sa de adevăr este 1;“suma măsurilor unghiurilor unui triunghi este egală cu 110◦.”-falsă, valoarea sa deadevăr este 0;“Într-un triunghi echilateral toate laturile sunt de lungime egală.”-adevărată, valoa-rea sa de adevăr este 1.

Nu sunt propoziţii (în sensul logicii matematice): “x + 3 = 10”- nu se poate decidedacă este advărată sau falsă: pentru x = 7, propoziţia “7 + 3 = 10” este adevărată,iar pentru alte valori ale lui x propoziţia este falsă;“Într-un triunghi laturile sunt congruente.”- în cazul triunghiului echilateral propo-ziţia este adevărată, în alte cazuri este falsă.

..

Definiţie. Negaţia propoziţiei p este propoziţia “non p”, notată ¬p sau p, careeste adevărată dacă p este falsă şi falsă dacă p este adevărată.

Tabelul de adevăr al lui ¬p:p ¬p0 11 0

Observaţie. Propoziţia ¬(¬p) are ace-eaşi valoarea de adevăr ca şi p.Pentru a nega o propoziţie, se pune înfaţa ei expresia “nu e adevărat că”.

.Negaţia unei propoziţii

Exemplu. Negaţia propoziţiei adevărate p: “2 + 3 > 4” este ¬p: “2 + 3 ̸> 4”.Negaţia propoziţiei false “Fiecare câine este neagră.” este propoziţia adevărată“Există câine care nu este neagră”.

1

..

Definiţie. Conjuncţia propoziţiilor p, q este propoziţia “p şi q”, notată p ∧ q,Tabelul de advăr al lui p ∧ q:

p q p ∧ q

0 0 00 1 01 0 01 1 1

care este adevărată numai atunci cândatât p cât şi q sunt adevărate, fiind falsăîn celelate cazuri.Observaţie. Pentru a exprima conjun-cţia propoziţiilor p, q, punem între celedouă propoziţii cuvântul “şi”.

.Conjuncţia propoziţiilor

..

Definiţie. Disjuncţia propoziţiilor p, q este propoziţia “p sau q”, notată p ∨ q,Tabelul de advăr al lui p ∨ q:

p q p ∨ q

0 0 00 1 11 0 11 1 1

care este falsă numai atunci când atât pcât şi q sunt false, fiind adevărată în ce-lelate cazuri.Observaţie. Pentru a exprima disjuncţiapropoziţiilor p, q, punem între cele douăpropoziţii cuvântul “sau”.

.Disjuncţia propoziţiilor

..

Definiţie. Din propoziţiile simple p, q, r, . . . prin aplicarea de un număr finit deori a conectorilor logici ¬,∨,∧ se pot crea propoziţii compuse.Observaţie. Calculul propoziţiilor studiază propoziţiile compuse din punctulde vedere al adevărului sau falsului în raport cu valorile logice ale propoziţiilorsimple care le compun.

..

Definiţie. Se numeşte implicaţia propoziţiilor p şi q propoziţia ((¬p) ∨ q) şi senotează p→ q (“p implică q”).Tabelul de advăr al lui p→ q:

p q ¬p p→ q

0 0 1 10 1 1 11 0 0 01 1 0 1

Din tabelul de adevăr constatăm că p → q

este falsă numai dacă p este adevărată şi qeste falsă, fiind adevărată în celelate cazuri.Observaţie. Implicaţia propoziţiilor p, q seexprimă astfel: “dacă p atunci q”. În impli-caţia p → q p se numeşte ipoteză, iar q senumeşte concluzia implicaţiei.

.Implicaţia propoziţiilor

Exemplu. Considerând propoziţiile p: “Numărul 2 este par.” şi q: “Pământul este

2

sferic.”:

.. p → q: “Dacă numărul 2 este par atunci Pământul este sferic.”- propoziţiefalsă, ipoteza fiind adevărată şi concluzia falsă;

.. q → p: “Dacă Pământul este sferic, atunci numărul 2 este par.”- propoziţieadevărată, ipoteza fiind falsă şi concluzia adevărată.

..

Definiţie. Propoziţia (p → q) ∧ (q → p) se numeşte echivalenţa propoziţiilorp, q şi se notează cu p↔ q, “p echivalent cu q”). Din tabelul de adevăr constatăm

Tabelul de adevăr al lui p↔ q:p q p→ q q → p p↔ q

0 0 1 1 10 1 1 0 01 0 0 1 01 1 1 1 1

că p ↔ q este adevărată numaidacă p şi q sunt simultan adevă-rate sau simultan false, fiind ade-vărată în celelate cazuri.Observaţie. Echivalenţa propo-ziţiilor p, q se exprimă astfel: “pdacă şi numai dacă q”..

.Echivalenţa propoziţiilor

..

Definiţie. Cu literele p, q, r, . . . şi cu simbolurile conectori logici ¬, ∨, ∧,→,↔se formează formule logice.Exemplu. Formulă logică: p ∨ (q → ¬p), (p ∨ q) ∧ (p ∨ ¬q).Definiţie. O formulă se numeşte tautologie dacă propoziţia obţinută este ade-vărată, indiferent de valorile de adevăr ale propoziţiilor înlocuite.Definiţie. Dacă formulele α şi β se compun din aceleaşi p, q, r, . . . şi pentruorice înlocuire a literelor cu propoziţii, cele două propoziţii obţinute au aceeaşivaloare de adevăr, atunci formulele α şi β se numesc echivalente.Notaţie. Echivalenţa formulelor α şi β se notează astfel: α ≡ β sau α⇔ β.Echivalenţa a două formule se demonstrează prin completarea tabelului deadevăr, examinând toate posibilităţile de valori de adevăr ale propoziţiilor com-ponente.

Problemă. Să arătăm că (p→ q) ≡ (¬q → ¬p).S. Valorile de adevăr din coloana corespunzătoare lui p→ q coincid cu valorile de

p q p→ q ¬q ¬p ¬q → ¬p0 0 1 1 1 1

0 1 1 0 1 1

1 0 0 1 0 0

1 1 1 0 0 1

adevăr din coloana lui ¬q → ¬p.

3

5. Funcţii numerice, ecuaţii

5.1. Funcţia de gradul întâi

..Definiţie. Funcţia f : R → R, f(x) = ax + b, a, b ∈ R, a ̸= 0 se numeştefuncţia de gradul întâi.

Reprezentarea geometrică a funcţiei de gradul întâi este o dreaptă.

Dacă a > 0:

..x

.

y

.O.− b

a

.

b

Dacă a < 0:

..x

.

y

.O.− b

a

.b

..

x −∞ − b

a+∞

dacă a > 0, f(x) −∞ − ↗ − 0 +↗ + +∞dacă a < 0, f(x) +∞ +↘ + 0 − ↘ − −∞

.Tabelul de variaţie şi de semn

Problemă. Fie f o funcţie de gradul întâi. Să se demonstreze că funcţia f ◦ f estestrict crestătoare!S. Fie f : R→ R, f(x) = ax+ b, a ̸= 0. Atunci

(f ◦ f)(x) = f(ax+ b) = a(ax+ b) + b = a2x+ (ab+ b)

o funcţie de gradul întâi. Coeficientul luix(a2)fiind pozitiv, f este strict crescătoare.

Problemă. Să se determine valoarea lui m ∈ R pentru care funcţia f este strictcrescătoare, unde f : R→ R, f(x) = (3−m2)x+ 3!S. Funcţia f fiind de gradul întâi, f este strict crescătoare dacă şi numai dacă coefi-cientul lui x este strict pozitiv: 3−m2 > 0⇔ m ∈ (−

√3,√3).

Problemă. Să se determine funcţia de gradul întâi al cărei grafic trece prin punc-tele A(2, 7) şi B(−3,−18).S. Fie funcţia f : R→ R, f(x) = ax+ b.

A,B ∈ Gf ⇔ f(2) = 7, f(−3) = −18⇔{

2a+ b = 7

−3a+ b = −18⇔{

a = 5

b = −3Deci f : R→ R, f(x) = 5x− 3.

48

..

Definiţie f : R→ R, f(x) = ax+ b, a, b ∈ R, a ̸= 0

Imaginea lui f Imf = RPuncte de inter- Gf ∩Oy = {(0, b)}secţie cu axele Gf ∩Ox =

{(− b

a, 0)}

Peiodicitate nu este periodicăParitate dacă b = 0, f este impară, centru de simetrie: O

dacă b ̸= 0, f nu este pară, nu este imparăContinuitate continuă pe RAsimptote asimptotă oblică la±∞: y = ax+ b

Mărginire nu este mărginităMonotonie dacă a > 0, f este strict crescătoare pe R

dacă a < 0, f este strict descrescătoare pe R

Semnul funcţiei dacă a > 0, f(x) ≥ 0⇔ x ∈[− b

a,∞),

f(x) < 0⇔ x ∈(−∞,− b

a

)dacă a < 0, f(x) ≥ 0⇔ x ∈

(−∞,− b

a

),

f(x) < 0⇔ x ∈[− b

a,∞)

Bijectivitate f este bijectivă

Funcţia inversă f−1 : R→ R, f−1(x) = x−ba

.Proprietăţile funcţiei de gradul întâi

Problemă. Să se traseze graficul funcţiei f : R→ R, f(x) = 2x+ 1.S. f fiind o funcţie de gradul întâi, graficul lui f este o dreaptă.

..x

.

y

.O.A(0, 1).

B(1, 3)

.

GfPentru a desena graficul este de ajuns să aflămdouă puncte depe dreaptă. f(0) = 1, f(1) = 3, deci dreapta este determinatăde punctele A(0, 1) şi B(1, 3).

Problemă. Să se traseze graficul funcţiei g : [−2,∞)→ R, g(x) = −x− 1.S. g este restricţia unei funcţii de gradul întâi la intervalul [−2,∞), aşadar grafi-cul lui g este aceea “jumătatea” a unei drepte, unde x ≥ −2, deci o semidreaptă.

..x

.

y

.O.

A(−2, 1).B(0,−1).

Gg

Pentru a desena semidreapta este suficient să desenăm origi-nea (x = 2) semidreptei şi un punct oarecare al ei. g(−2) = 1,g(0) = −1, deci semidreapta este determinată de punctul deorigine A(−2, 1) şi de punctul B(0,−1).

49

Problemă. Să se traseze graficul funcţiei h : (−1, 1]→ R, h(x) = 2x.S. h este restricţia unei funcţii de gradul întâi la intervalul (−1, 1], deci graficul lui

..x

.

y

.O.

A(−1,−2)

.

B(1, 2)

.Gh

h este aceea parte a dreptei unde abscisa aparţine domeniuluide existenţă, deci un segment. Pentru desenarea segmentuluieste necesară desenarea celor două puncte finale.h(−1) = −2, h(1) = 2, deci graficul este segmentul (AB]

(punctul A nu aparţine graficului funcţiei).

Problemă. Să se traseze graficul funcţiei f : R→ R,

f(x) =

−x− 1 , x < 0

x+ 1 , x ∈ [0, 2)

−2x+ 5 , x ≥ 2

.

S. Funcţia f este definită prin restricţia a trei funcţii de gradul întâi la intervalele

..x

.

y

.O

(−∞, 0), [0, 2), respectiv [2,∞), deci graficul lui feste alcătuită din două semidrepte şi un segment.Coordonatele punctelor esenţiale:

x −∞ −1 0) [0 2) [2 3 ∞f(x) +∞ 0 −1 1 3 1 −1 −∞

5.2. Ecuaţii şi inecuaţii de gradul întâi

..

Definiţie. O ecuaţie de forma ax+ b = 0, a, b ∈ R, a ̸= 0 se numeşte ecuaţie degradul întâi.Soluţia ecuaţiei este x = − b

a.

Observaţie. De multe ori întâlnim ecuaţii care nu sunt de forma ax + b = 0,dar care prin transformări echivalente pot fi aduse la forma generală a ecuaţieide gradul întâi. În aceste cazuri începem rezolvarea ecuaţiei cu determinareadomeniului de existenţăD.

Problemă. Să se rezolve prin două metode ecuaţia−2x+ 3 = 0.S. Soluţia I (grafică). Fie funcţia f : R→ R, f(x) = −2x+ 3.

..x

.

y

.O.

Gf

Abscisa punctului de intersecţie a graficului funcţiei f çu axa Ox

este soluţia ecuaţiei f(x) = 0. Trasăm graficul funcţiei (f(0) = 3,f(1) = 1) şi citim valoarea (aproximativă) a soluţiei: 3

2. Prin

calcule directe (punând x = 32în ecuaţie) rezultă că x = 3

2este

soluţia ecuaţiei.

50

Soluţia II (algebrică).

−2x+ 3 = 0|−3⇔ −2x = −3 |:(−2)⇔ x =

−3−2 , deciM =

{3

2

}.

Problemă. Să se rezolve ecuaţia1

x− 1=

3

2x− 2.

S. Fracţiile au sens dacă x − 1 ̸= 0 şi 2x − 2 ̸= 0, adică x ̸= 1. Deci D = R \ {1}.Într-o proporţie, produsul mezilor este egal cu produsul extremilor:

1

x− 1=

3

2x− 2⇒ 2x− 2 = 3x− 3

|−2x+3⇔ x = 1.

Însă valoarea găsită nu aparţine domeniului de existenţă, aşadar mulţimea soluţiiloresteM = ∅.

..

Dacă ecuaţia ax + b = 0, x ∈ D conţine un parametru m, atunci determi-năm valorile lui m pentru care ecuaţia admite soluţii şi în acest caz rezolvămecuaţia.:

.. dacă a ̸= 0, atunci mulţimea soluţiilor esteM =

{− b

a

};

.. dacă a = 0 şi.. dacă b = 0, atunci orice x ∈ D satisface ecuaţia: M = D;.. dacă b ̸= 0, atunci ecuaţia nu are soluţii: M = ∅.

Problemă. Să se discute şi să se rezolve ecuaţiamx+ 2 = 2x+ 2m,m ∈ R.S. Prin transformări echivalente,mx−2x = 2m−2⇔ (m−2)x = 2m−2. Discutămdupă valorile luim:

.. dacăm− 2 ̸= 0⇔ m ̸= 2, atunci soluţia este x = 2m−2m−2

;.. dacăm− 2 = 0⇔ m = 2, atunci 0 · x = 2, deciM = ∅.

..

Definiţie. Se numeşte inecuaţie de gradul întâi o inecuaţie de forma ax+ b ≥ 0

(ax+ b > 0, ax+ b ≤ 0, ax+ b < 0), a, b ∈ R, a ̸= 0.Soluţia inecuaţiei depinde de semnul lui a:

.. dacă a > 0, atunciM =

[− b

a,∞),

.. dacă a < 0, atunciM =

(−∞,− b

a

].

Problemă. Să se rezolve prin două metode inecuaţia−2x+ 3 < 0.S. Soluţia I. (algebrică)

−2x+ 3 < 0|−3⇔ −2x < −3 |:(−2)<0⇔ x >

−3−2 , deciM =

(3

2,∞).

Soluţia II. (grafică): Fie funcţia f : R→ R, f(x) = −2x+ 3.

51

..x

.

y

.O.

Gf

Soluţiile inecuaţiei f(x) < 0 sunt date de abscisele punctelor depe graficul lui f care se află sub axaOx. Trasăm graficul funcţiei(f(0) = 3, f(1) = 1) şi citim soluţia: M = (1,5;∞).

..

Soluţia sistemului de ecuaţii

{a1x+ b1 = x

a2x+ b2 = yeste dată de coordinatele in-

tersecţiei reprezentării geometrice a funcţiilor f1, f2 : R→ R, f(x) = a1x+ b1şi f2(x) = a2x+ b2.

.Sisteme de ecuaţii liniare cu două necunoscute

Problemă. Să se rezolve sistemul

{2x+ y = 1

3x+ 2y = 3.

S. Din cele două ecuaţii, y = 1− 2x respectiv y =3− 3x

2, deci considerăm funcţiile

..x

.

y

.O.

1. 1.Gf

.Gg

de gradul întâi f, g : R→ R, f(x) = −2x+ 1 şi

g(x) = −3

2x +

3

2. Din reprezentarea geometrică a fun-

cţiilor se vede că Gf şi Gg se intersectează în punctul(−1, 3). Aceste valori satisfac ecuaţiile, deci soluţia estex = −1, y = 3.

..

Mulţimea punctele (x, y) din plan ale căror coordinate satisfac inegalitateaax + by + c ≥ 0 (b ̸= 0) este semiplanul mărginit de reprezentarea geome-

trică a funcţiei f : R→ R, f(x) = −c− ax

b( o dreaptă).

.Inecuaţia de gradul întâi cu două necunoscute

Problemă. Să se rezolve: 2x+ 3y − 5 < 0.S. Trasăm dreapta de ecuaţie 2x+3y− 5 = 0 (reprezentarea geometrică a graficului

..x

.

y

.O.

1

. 1.

Gg

funcţiei f : R → R, f(x) = y =5− 2x

3. Punctul

O(0, 0) aparţine mulţimii soluţiilor (pentru x = 0, y =

0, 2x+ 3y − 5 = −5 < 0), deci soluţia este semiplanulmă rginit deGf care conţine pe O.

52