IULIAN ANTONESCU ELEMENTE DE ALGEBR LINIAR I GEOMETRIE n lucrarea de fa sunt expuse, ntr-o prezentare unitar i cu multe exemple, elementele de baz ale algebrei liniare, ale geometriei analitice i ale geometriei difereniale. Lucrarea, de mare accesibilitate, este util studenilor de la facultile unde se pred algebra liniar i geometria, tuturor inginerilor i cercettorilor din diferite domenii ale tehnicii, precum i cadrelor didactice din nvmn-tul mediu i superior. Lector univ. dr. IULIAN ANTONESCU ELEMENTE DE ALGEBR LINIAR I GEOMETRIE Ediia a doua EDITURA ACADEMIEI NAVALE MIRCEA CEL BTRN CONSTANA, 2004 Refereni tiinifici: C.P. I dr. I. M. STANCU MINASIAN Conf. univ. dr. Gheorghi ZBGANU Descrierea CIP a Bibliotecii Naionale a Romniei ANTONESCU, IULIAN Elemente de algebr liniar i geometrie / lect. univ.drd. Iulian Antonescu Constana : Editura AcademieiNavale Mircea cel Btrn, 2003 Bibliogr. ISBN 973-8303-39-7 512.64(075.8) 514.12(075.8) Corector: Prof. Adriana ANTONESCU Redactori:Stud. Marilena GANEA Prof. Geanina DUMITRAC Ing. Vasile DUMITRAC Coperta:Asist. univ. drd. Marian CA Tehnoredactor: Stud. Marilena GANEA PREFA n aceast lucrare sunt prezentate n mod unitar conceptele de baz ale algebrei liniare, ale geometriei analitice i ale geometriei difereniale. O astfel de prezentare este posibil datorit legturii naturale dintre aceste domenii matematice i are o deosebit importan pentru tratarea lor ntr-un spirit modern. Geometria este construit cu ajutorul unei axiomatici simple, care are ca fundament algebra liniar. Aceast construcie unete n mod firesc metoda sintetic cu cea analitic i elimin astfel separarea lor clasic n studiul geometriei. Algebra liniar constituie prima parte a crii i cuprinde : spaii i subspaii vec-toriale, transformri liniare, vectori i valori proprii, forme biliniare i ptratice. Prin a-ceste teme se ating problemele de baz ale teoriei elementare a spaiilor vectoriale care au aplicaii imediate n disciplinele care pregtesc viitorii specialiti. Geometria analitic n E3 formeaz a doua parte a crii determinat de : vectori legai i vectori liberi, operaii cu vectori, dreapta i planul n spaiu, cuadrice. Varianta de prezentare scoate n eviden faptul c vectorii liberi formeaz un instrument de lucru att pentru geometrie ct i pentru mecanic, fizic etc. Geometria diferenial este ultima parte din lucrare alctuit din : cmpul reperu-lui Frenet pe o curb, formulele Frenet, elementul de arc, formele ptratice fundamentale ale suprafeei, aria unei poriuni de suprafa. Aceasta arat c geometria diferenial ele-mentar modern folosete preponderent noiunea de vector legat i cea de cmp vectori-al, care sunt accesibile la nivelul anului nti de facultate.Pe baza experienei autorului la facultile de Marin Militar i Marin Civil din cadrul Academiei Navale din Constana, am cutat eliminarea dificultilor trecerii de la liceu la facultate, folosind un limbaj nuanat. Dincolo de grija examenelor, n propriul in-teres, studiul individual la matematic trebuie nsoit de rezolvarea problemelor. Pentru a-ceasta am adugat un numr de circa cinci probleme rezolvate, dintre cele mai diverse, i alte cincisprezece propuse la fiecare tem, cartea constituind n mod implicit i o culegere de probleme. Notaiile i terminologia au fost alese astfel nct s fie eliminate dificult- ile de nelegere, care in mai mult de form i nu de coninut. Exprim mulumiri autorilor citai n bibliografie, colegilor, profesorilor, studeni-lor, redactorilor i, de asemenea, familiei mele, care m-a ajutat necontenit n toate etapele realizrii acestei lucrri. Autorul Decembrie 2002

CUPRINS Cap.I . ALGEBR LINIAR14 1. SPAII I SUBSPAII VECTORIALE14 1.1. Spaiul vectorial14 1.2. Subspaiu vectorial 17 1.3. Dependen i independen liniar19 1.4. Baza unui spaiu finit dimensional. Coordonate.22 1.5. Probleme rezolvate27 1.6. Probleme propuse33 2. SPAIUL VECTORIAL EUCLIDIAN36 2.1. Produs scalar. Norm. Distan.36 2.2. Ortogonalitate40 2.3. Construcia unei baze ortonormate, pornind de la o baz dat42 2.4. Probleme rezolvate44 2.5. Probleme propuse48 3. TRANSFORMRI LINIARE 53 3.1. Definiie. Proprieti generale. Operaii53 3.2. Nucleul i imaginea unei transformri liniare58 3.3. Matricea asociat unei transformri liniare61 3.4. Probleme rezolvate65 3.5. Probleme propuse70 ELEMENTE DE ALGEBR LINIAR I GEOMETRIE84. VECTORI PROPRII. VALORI PROPRII74 4.1. Subspaiu invariant al unui endomorfism74 4.2. Vectori proprii. Valori proprii. Definiii. Proprieti75 4.3. Polinom caracteristic77 4.4. Forma diagonal a unui endomorfism80 4.5. Probleme rezolvate84 4.6. Probleme propuse88 5. TIPURI DE TRANSFORMRI PE SPAII VECTORIALE EUCLIDIENE93 5.1. Transformri ortogonale93 5.2. Transformri liniare simetrice96 5.3. Izometrii100 5.4. Probleme rezolvate102 5.5. Probleme propuse107 6. FORME BILINIARE. FORME PTRATICE110 6.1. Forme biliniare110 6.2. Forme ptratice114 6.3. Reducerea formei ptratice la expresia canonic116 6.4. Signatura unei forme ptratice reale120 6.5. Probleme rezolvate123 6.6. Probleme propuse131 Cap.II . GEOMETRIE ANALITIC N E3 135 1. SPAII ALE VECTORILOR DIN E3136 1.1. Segmente orientate. Echipolen136 1.2. Spaiul vectorilor legai din E3 140 CUPRINS91.3. Spaiul V al vectorilor liberi din E3 . Vectori coliniari,vectori coplanari n V141 1.4. Baze i repere n V 143 1.5. Probleme rezolvate146 1.6. Probleme propuse150 2. OPERAII CU VECTORI LIBERI152 2.1. Proiecii. Definiii. Proprieti152 2.2. Produsul scalar. Ortogonalitate155 2.3. Produsul vectorial158 2.4. Produsul mixt164 2.5. Dublul produs vectorial. Alte produse167 2.6. Probleme rezolvate170 2.7. Probleme propuse175 3. PLANUL N SPAIU178 3.1. Planul determinat de un punct i de un vector normal nenul179 3.2. Planul determinat de trei puncte necoliniare181 3.3. Planul determinat de un punct i de doi vectori necoliniari182 3.4. Ecuaia normal a planului184 3.5. Distana de la un punct la un plan. Distana dintre plane paralele186 3.6. Plan orientat. Semispaii. Unghiul dintre dou plane orientate187 3.7. Probleme rezolvate189 3.8. Probleme propuse192 4. DREAPTA N SPAIU194 4.1. Dreapta determinat de un punct i de un vector director 194 4.2. Dreapta determinat de dou puncte distincte196 4.3. Dreapta determinat de dou plane secante197 ELEMENTE DE ALGEBR LINIAR I GEOMETRIE104.4. Unghiul a dou drepte n spaiu. Aria unui triunghi din spaiu200 4.5. Probleme rezolvate201 4.6. Probleme propuse204 5. PROBLEME ASUPRA PLANELOR206 5.1. Poziiile relative ale planelor206 5.2. Fascicol de plane. Stea de plane212 5.3. Ecuaia planului determinat de o dreapt i de un punct nesituatpe dreapt. Distana de la un punct la o dreapt216 5.4. Probleme rezolvate218 5.5. Probleme propuse221 6. PROBLEME ASUPRA DREPTELOR225 6.1. Intersecia unei drepte cu un plan225 6.2. Unghiul unei drepte cu un plan227 6.3. Poziiile relative a dou drepte n spaiu228 6.4. Perpendiculara comun a dou drepte n spaiu230 6.5. Distana dintre dou drepte n spaiu232 6.6. Probleme rezolvate233 6.7. Probleme propuse237 7. SFERA239 7.1. Definiie. Ecuaii. Reprezentri239 7.2. Poziia unei drepte fa de o sfer 242 7.3. Poziia unui plan fa de o sfer243 7.4. Probleme de tangen244 7.5. Intersecia a dou sfere. Unghiul dintre dou sfere246 7.6. Puterea unui punct fa de o sfer 247 7.7. Probleme rezolvate250 CUPRINS117.8. Probleme propuse253 8. STUDIUL CUADRICELOR PE ECUAII REDUSE (CANONICE)256 8.1. Cuadrice. Definiie. Generaliti.256 8.2. Elipsoidul257 8.3. Hiperboloidul cu o pnz 261 8.4. Hiperboloidul cu dou pnze265 8.5. Paraboloidul eliptic268 8.6. Paraboloidul hiperbolic271 8.7. Cuadrice degenerate274 8.8. Probleme rezolvate276 8.9. Probleme propuse281 9. STUDIUL CUADRICELOR PE ECUAII GENERALE284 9.1. Ecuaia cuadricei, definiie, proprieti284 9.2. Poziia unei drepte fa de o cuadric285 9.3. Centrul cuadricei. Planul diametral i diametrul cuadricei286 9.4. Planul de simetrie i direciile principale ale cuadricei. Planul tangent la o cuadric ntr-un punct al cuadricei288 9.5. Reducerea ecuaiei cuadricei la forma canonic289 9.6. Probleme rezolvate290 9.7. Probleme propuse295 Cap.III . GEOMETRIE DIFERENIAL298 1. TRIEDRUL LUI FRENET298 1.1. Curbe n spaiu298 1.2. Tangenta i planul normal. Curb orientat301 1.3. Cmpuri vectoriale pe o curb305 ELEMENTE DE ALGEBR LINIAR I GEOMETRIE121.4. Curbe definite prin ecuaii carteziene implicite308 1.5. Formulele Frenet pentru curbe de vitez unu310 1.6. Formulele Frenet pentru curbe de vitez oarecare314 1.7. Aplicaii la calcularea curburii i torsiunii317 1.8. Probleme rezolvate320 1.9. Probleme propuse327 2. ELEMENTE DE GEOMETRIE DIFERENIAL A SUPRAFEELOR331 2.1. Ecuaiile suprafeelor331 2.2. Curbe coordonate. Plan tangent333 2.3. Elementul de arc. Prima form ptratic fundamental a suprafeei338 2.4. Aria unei poriuni de suprafa342 2.5. A doua form ptratic fundamental a suprafeei345 2.6. Probleme rezolvate348 2.7. Probleme propuse353 BIBLIOGRAFIE357 ALGEBR LINIAR 13 I. ALGEBR LINIAR Acestcapitolconinenoiunilefundamentalealealgebreiliniare,proprietiale acestoraimetodedecalculpentrudeterminarealor.Pentrunelegerealoreste necesarcunoatereacalcululuialgebricefectuatnliceucareconine:formulelede calculprescurtat,studiulfunciilordegradulnti,degradulaldoilea,studiulfunciei modul,alfuncieiputere,alfuncieiexponeniale,alfuncieilogaritmice,analiz combinatorie,calculareasumelornumerice,progresiiaritmeticeigeometrice, polinoame,ecuaiiiinecuaii,sistemedeecuaii,sistemedeinecuaii,matricei determinani, sisteme de ecuaii liniare, trigonometrie, numere complexe. Obiectivele care decurg din studiul acestui capitol sunt ca studenii: -sdefineascspaiulvectorial,subspaiulvectorial,dependenaiindependena liniar,bazaunuispaiuvectorial,coordonate,produsulscalar,norma,distana, ortogonalitatea, spaiul vectorial euclidian, transformri liniare, nucleul i imaginea unei transformriliniare,matriceaasociatuneitransformriliniare,vectoriproprii,valori proprii,polinomcaracteristic,tipuridetransformri,formebiliniare,formeptratice, signatura unei forme ptratice reale; -s recunoasc expresiile analitice ale elementelor enunate mai sus; -s calculeze produsul scalar a doi vectori, norma unui vector, distana i unghiul dintre doi vectori, nucleul i imaginea unei transformri liniare, valorile proprii ale unui endomorfism; -sdeducdependenasauindependenaliniaraunuisistemdevectori, coordonateleunuivectorlaschimbareabazelor,obazortonormatporninddelao bazdat,matriceaasociatuneitransformriliniare,auneiforme biliniare sau a unei formeptratice,vectoriipropriiunuiendomorfism,formadiagonalaunui endomorfism,tipuriledetransformri,expresiacanonicauneiformeptratice, signatura unei forme ptratice reale. ELEMENTE DE ALGEBR LINIAR I GEOMETRIE 14SPAII I SUBSPAII VECTORIALE 1.1. Spaiu vectorial Noiunea de spaiu vectorial este fundamental n matematic i studiul acestuia constituie obiectul algebrei liniare. DEFINIIA1.1.FieKuncorpcomutativi1Kelementulsuunitate.Un triplet format din: -mulimeanevid V, -legea de compoziie intern pe V, notat aditiv ( ) ( ) V V V y x y x + : , , -legeade compoziie extern: ( ) ( ) V V x x o o K : , , se numete spaiu vectorial peste K ( sau K-spaiu vectorial ) dac verific urmtoarele axiome: perechea (V,+) este un grup abelian, adic: a1) ( ) ( ) , z y x z y x + + = + +, V z y x e , , a2)VV e -0a.., x x xV V= + = + 0 0, V x e a3)( ) V x V x e - e ,a..( ) ( ) ,Vx x x x 0 = + = +a4), x y y x + = + . V y x e ,fa de legea de compoziie extern sunt ndeplinite axiomele: a5)( ) , V y x y x y x e e o o + o = + o , , , Ka6)( ) , , , , V x x x x e e | o | + o = | + o Ka7)( ) ( ) , V x x x e e | o o| = | o , , , Ka8). , 1 V x x x e = K

DacK=R(respectivK=C)vomspunecVesteunspaiuvectorialreal (respectiv complex). ALGEBR LINIAR 15Elementele unui K-spaiu vectorial se numesc vectori, iar elementele corpului K se numesc scalari. Legeadecompoziieinternsenumeteadunareavectoriloriarlegeade compoziie extern se numete nmulirea cu scalari din K. NotaieVV= :K este K- spaiu vectorial. TEOREMA1.1.Dacestedatspaiul KV,atunciaulocurmtoarele proprieti: P1. ( ) ; V y x y x y x e e o o o = o , , , KP2. ( ) ; V x x x x e e | o | o = | o , , , KP3. ; VV V Ve e o = o 0 , , 0 0 KP4. ; V x xVe = , 0 0K P5.K0 0 = o = oVx sau;Vx 0 =P6. ( ) ( ) ( ) ; V x x x x x e e o o = o = o = o , , KP7. ( )( ) ; V x x x e e o o = o , , KP8. ( ) . V x x x e = , 1Demonstraie.P1.( ) ( ) ( ) x x y y x y y xVo = + o = + o = o + o 0 (conform cu a5) ia3))deci( ) , x y y x o = o + o ncare,sczndnambiimembripe, y o rezult( ) . y x y x o o = oP2.( ) ( ) ( ) x x x x x 0 o = + o = | + | o = | + | oK(conformcua6)ia3)),deci ( ) , x x x o = | + | o ncare,sczndpe|xnambiimembri,rezult ( ) x. - x x | o = | o P3.n P1 facem x = y i atunci( )Vx x 0 0 x - xV = o o o = o .P4.n P2 lum( )Vx x x x 0 0 i = o o = o o | = oK . P5.Demonstrm implicaia direct: presupunem c Vx 0 = oi K0 = o ( ) ( ) .V Vx x x x 0 0 11 1 1= o = o o = o o = = K ELEMENTE DE ALGEBR LINIAR I GEOMETRIE 16Reciproc, evident din P3 i P4. P6.S artm c( ) x x o = o. Avem( )( ) ( ))`o + o = + o= o = + ox x x xx xV V 0 0 ( ) ( ) . x x x xVo = o = o + o 0Analog, folosind a6)( ) . x x o = o P7.n prima parte a demonstraiei P6 lum n loc de o pe -o i avem: ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) = o + o )`o + o = + o = o = + o VV Vx xx x x xx x0 0 0 ( )( ) ( ) x x x o = o = o (conform cu a7)). P8. Evident, punnd n P6 scalarul o = 1K. Exemple. 1. Orice cmp K este spaiu vectorial peste el nsui KK; 2. Spaiul vectorial al matricelor cu m linii i n coloane cu elemente din K ( ) | | , ,ijn m M o = K cun j 1 , 1 s s s s m i , e o ijK. 3. Spaiul vectorial al polinoamelor de grad cel mult neN cu coeficieni n K | | . , , 2 , 1 , 0 , ,0 )`= e o o = ==n i X f f X Kiiinin K4. Fie nK-spaii vectorialeV1 , V2,, Vn i produsul cartezian ( ) { } ,..., 2 , 1 , | ,..., , ...2 1 2 1n i V v v v v V V Vi i n n= e = . Fie u, vnV V V e ...2 1, e o K i definimoperaiile :( )n nv u v u v u v u + + + = + ,..., ,2 2 1 1; ( )nv v v v o o o = o ,..., ,2 1 cue o K. Acesta este un spaiu vectorial i se numete produs direct de spaii vectoriale. Dac=iV K, i =1,2,, n, atunci se obine spaiul vectorial : Kn{ } n 1,2,..., i , | ) ,..., , (2 1= e o o o o = Ki n numit spaiul vectorial aritmetic cu n dimensiuni. ALGEBR LINIAR 171.2. Subspaiuvectorial Fie spaiul vectorial V/K imulimeaV V c1, cu. u =1VDEFINIIA 1.3. V1se numete subspaiu vectorial al lui V dac V1este spaiu vectorialpesteKfadeoperaiiledeadunareavectorilor ide nmulire cu scalari induse n V1 de operaiile din V. Se noteazV1/Kc V/K. TEOREMA 1.2. V1/K cV/Ksunt ndeplinite condiiile : 1)v u, 1 1V v u V e + e ; 2) e K,.1 1V u V u e e Demonstraie.Condiiaestenecesar.V1fiindopartestabilaluiVfade adunarea vectorilor i de nmulirea cu scalari a vectorilor, avem1 1V v , u , e e + V v ui,1e e V u Ki. V u1e Condiiaesteisuficient.Dacsuntndeplinitecondiiile1)i2)dinteoremse verific uor pentru V1 cele opt axiome din D.1.1. Aceast teorem se poate exprima i sub formaObservaia 1.1. V1 este subspaiu vectorial al luiV 1V v u e + | o ,e | o, K,1, V v u e . Exemple. 1. Mulimea matricelor ptratice simetrice cu elemente din K ( ) ( ) { },tM M K n n M M n S = e =| , , , K , unde Mt este transpusa matricei M . 2. Mulimea matricelor ptratice antisimetrice cu elemente din K ( ) ( ) { }. | , , ,tM M n n M M n A = e = K K .3. Mulimea matricelor superior triunghiulare TS(n,K)= | | ( ) { } n j i j i n n M aij ij1,2,..., , ; pt. 0 | , , = > = o e K . ELEMENTE DE ALGEBR LINIAR I GEOMETRIE 18DEFINIIA1.4.Fie KViV S c ,. u = S Senumetecombinaieliniar finitdeelementedinSoexpresiedeforma = niiiv1,undeS vi e ,e iK, n. 1,2,..., i = Observaia 1.2. DacV este K-spaiu vectorial i S c V , atunci.=e niiiv1VNotaie.MulimeatuturorcombinaiilorliniarefinitedeelementedinSse noteaz( ) S L . TEOREMA 1.3. Dac, V S c , u = S ( )K K KVS LV atunci c . Demonstraie. Fie( ) e = = e = = u , v cuu , ,j i1j1S u v v S L u vmjjniii u v + esteocombinaieliniarfinitdevectorii eS u u u v v vn n,..., , , ,..., ,2 1 2 1 ( ). S L u v e + Analog( ) S L u e i condiiile Teoremei 1.2. sunt ndeplinite. DEFINIIA1.5.( ) S L senumetesubspaiulgeneratdeSsauacoperirea liniar a lui S .Dacu = Satunci prin definiie( ) { }.VS L 0 =TEOREMA 1.4. Dac V1 i V2 sunt subspaii vectoriale pentru V , atunci : 1)Mulimea{ }2 2 1 1 2 1 2 1| V v i V v v v V V e e + = + estesubspaiuvectorialal lui V (se numete suma dintre V1 i V2); 2)Intersecia subspaiilor vectoriale este un subspaiu vectorial al lui V ; 3)Reuniunea subspaiilor vectoriale nu este un subspaiu vectorial al lui V.Demonstraie.1. S artm c e | o + e , , ,2 1K V V v u .2 1V V v u + e | + oDaratunci ,,,cu ,2 2 21 1 12 12 12 1ee+ =+ = + eV v uV v uv v vu u uV V v u ( ) + | + o = | + o1 1v u v u( ) .K KV) (2 1 2 2

2 1c + e | + o ++V VV V v u2. Fie 1 2 1, , V v u V V v u e ei 2, V v u e . Cum cK K KVV2 1V, ALGEBR LINIAR 19.c e + e e + e + K KKV2 1212 1, ,V VV V v uV v uV v u

3. S artm c 2 1 2 1, V V v ve -i.2 1 2 1V V v ve +Din 2 1 1V V veconsiderm 1 1V v ei.2 1V veDin 2 1 2V V veconsiderm 1 2V v ei.2 2V v eRezult1 2 1V v v e +i .KVV V V V v v V v v .e + e +2 1 2 1 2 1 2 2 1 1.3. Dependen i independen liniar DEFINIIA1.6.Mulimea KVV S cuc senumeteliniardependentise noteaz S depV,dac { } S vn i ic -=1,...,i { } K c = n ii1,...,,astfelcadin Vniiiv 01= = s rezulte c exist cel puin un{ } n i 1,2,..., eastfel nct0. = i DEFINIIA 1.7. MulimeaV S cse numete liniar independent i se noteaz S indV,dac{ } Sn iv,..., 1 ic =i{ } K c = n ii,..., 1,astfelcdin Vniiiv 01= =s rezulte toi scalarii nuli( ). 0 ...2 1= = = = n

Exemple. 1. n spaiul vectorial al funciilorR R : f , funciile1, sin x, cos x formeaz o mulime liniar independent.ntr-adevr, din relaiae = + + x , 0 cos sin 13 2 1x x R rezult, punnd pe rnd 2x 0,t= = xi x = t ,0 0, 0,3 1 2 1 3 1= = + = + , adic0.3 2 1= = = ELEMENTE DE ALGEBR LINIAR I GEOMETRIE 202.Funciilex x2 2cos , sin , 1 formeazomulimeliniardependentdeoarece e = x , 0 cos sin 12 2x xR. TEOREMA1.5.Fiesistemuldevectori{ } . V v v v Spc = ,..., ,2 1Atunci S depVcelpuinunvectordinSsepoateexprimacaocombinaieliniar de ceilali vectori. Demonstraie. DacS depV atunci n relaia Vpiiiv 01= = cel puin un coeficient este diferit de zero. Presupunnd c0 = p obinem112211...o + + o + o =pppv v v vunde( ) 1. - p 1,..., i ,1= = oi p i Reciproc,daccelpuinunvector,deexemplu pv ,sepoateexprimacao combinaie liniar de ceilali vectori112211... + + + =pppv v v v , rezultV p ppv v v v 0 ...112211= + + + , n care coeficientul lui pveste0 1 = i, deci, vectorii sunt liniar dependeni . TEOREMA 1.6. Vectorul nul formeaz un sistem liniar dependent. Demonstraie. Avem de exemplu.V V0 0 1 = TEOREMA 1.7. Orice vector Vx 0 =formeaz un sistem liniar independent. Demonstraie. Pentru, 0Vx = relaia0. 0 = = Vx TEOREMA1.8.Oricesistemdevectori,dincaresepoatescoateunsistem liniar dependent, este de asemenea liniar dependent . ALGEBR LINIAR 21Demonstraie.Fiesistemul{ p 1, p ,...,1e > =pv v S N},cuproprietateac subsistemul{ } . dep este p ,...,'V 1'S r v v Sr< =Deci exist scalarii, ,..., ,2 1 r nu toi nuli astfel nct.V rrv v v 0 ...2211= + + + Putem scrie atunci iV 1 110 0 ... 0 ... = + + + + ++ p r rrv v v v i deci. S depV TEOREMA1.9.Oricesistemdevectoricareconinevectorulnulesteliniar dependent . Demonstraie.Deexemplu,pentrusistemul{ } xV, 0 avemcombinaialiniar V Vx 0 0 0 1 = + ,cu0 1= , deci{ }. x depV V, 0 TEOREMA 1.10. Orice subsistem al unui sistem de vectori liniar independeni este de asemenea liniar independent . Demonstraie.Dacunsubsistemarfiliniardependent,dupteorema1.8ar rezulta c ntregul sistem este liniar dependent. TEOREMA 1.11. Dac o mulime liniar independent S are n elemente, atunci orice mulime care conine n+1 elemente este liniar dependent . Demonstraie. Fie{ } V v Sn jj

1,...,c ==, cuS indV i{ } ( ) c+ =

1 1,...,S L wn i i + = o = 1 n 1,..., i ,jjiiv w .Considerm= +=11nkkkw =||.|

\|o += =11 1 0nkjnjjk kVv 0V i, schimbnd sumarea, avem += =+== o =||.|

\| o11 111, 0 0nkk jkV jnjnkk jkv. 1,..., n j = Explicitnd ultimarelaie obinem ELEMENTE DE ALGEBR LINIAR I GEOMETRIE 22= o + o + + o + o= o + o + + o + o= o + o + + o + o+ ++ ++ +0 ............ .......... .......... .......... .......... ..........0 ...0 ...1 1 2 2 1 11 1 2, 2 2 22 1 211 1 1, 1 2 12 1 11n n n n nn n nn n n nn n n n,, careesteunsistemdenecuaiiliniareiomogenecu n+1 necunoscutea creimatrice este A =| |ijo cu 1 n i s s,1 1 + s s n j, cu rang 1 n 1,..., k + = - s n Aastfel nct { } .1 1,...,wdep 0+ = = n iikw Observaia1.3.Dacmulimea{ }n i iw1,..., =(adicareexactnelemente)i rangA = n singura soluie a sistemului este soluia banal i avem{ } .n i i Vw ind1,..., =

Consecin 1.1. Dac, V S c cardS = n ,S indV i{ } ( ) S L wm i i

1,...,c=,atunci { } n. m1,...,s = m i i Vw ind 1.4. Baza unui spaiu finit dimensional. Coordonate a) Baza i dimensiunea spaiului vectorial . Fie V/K i mulimea. V B c DEFINIIA 1.8. B se numete baz a lui V/K dac ndeplinete condiiile : 1.B indV( este liniar independent ); 2.L(B) =V ( B este un sistem de generatori pentru V ) . DEFINIIA 1.9. Spaiul vectorial V/K se numete finit dimensional dac are o baz format dintr-un numr finit de elemente sau dac spaiul vectorial se reduce la unsingurvector{ }. 0VV = ncazcontrarsenumetespaiuvectorialinfinit dimensional . TEOREMA1.12.(teoremanlocuiriialuiSteinitz)Dac{ }ne e e B ,..., ,2 1=estebazaunuispaiufinitdimensionalL{ } ( )LL 0 = i{ }pv v v S ..., ,2, 1= esteo mulime de vectori din L liniar independent , atunci : n p s; ALGEBR LINIAR 23reindexndeventualvectoriidinB,mulimeadevectori { }n p pe e v v B ,..., , ,.., , v '1 2 1 +=este baz pentru L . Demonstraie. Teorema se demonstreaz prin inducie dup p .Pentrup=1avemevident. n s 1 DeoareceL v e1iarBestebazaacestuia, avem nne e e v o + + o + o = ...22111 , cue oiK , i = 1,,n. DinS v e1 iS indL rezult ,Lv 01 = decicelpuinuncoeficient0, = oi,i=1,,n.Fiedeexemplu0.1= o Atunci( ) e o -11K i din expresia lui 1vrezultnne e v e o o o o o1 122 1 111 11) ( ... ) ( ) ( =deci mulimea{ } ,..., ,2 1 ne e vgenereaz spaiul L. Artm c aceast mulime este liniar independent . Pentru aceasta considerm relaia de dependen liniarL nne e v 0 ...2211= + + + , n care,= o =niiie v11cu01= oi obinem ( ) ( )L nne e 0 ... en 122 2 111 1= + o + + + o + o . Dar{ } B e e en= ,..., ,2 1 fiind baz n L , rezultB indL i deci0. , ... , 0 , 01 2 2 1 1 1= + o = + o = o n n Cum0,1= o rezult pe rnd0 , ... , 0 , 0n 2 1= = = , deci ne e e v ,..., , ,3 2 1 formeaz unsistemliniarindependent.Prinurmaremulimea{ }ne e v ,..., ,2 1esteobazaspaiului L. Presupunemteoremaadevratpentrup1iodemonstrmpentrup.Mai exact, presupunem c mulimea liniar independent{ }1 2 1,..., , v '=pv v Sare proprietile1) n p s 1 , 2)mulimea{ }n p p pe e e v v v B ,..., , , ,..., ,1 1 2 1 1 + = esteobazpentruspaiul vectorial L. Dinproprietatea1)rezultp1 = = = =njjnjja j a j P P. 2.Ssearatecfuncia: RnRdefinitprin in ix xs s=1max ,cu ( )e =nx x x x , , ,2 1 Rn, este o norm n Rn. Rezolvare. Considerm definiia 2.3. i i verificm axiomele: i) nRin ix x x 0 0 max 01= = =s spentru c numai vectorul nul are maximum, pentru elementele sale luate n modul, egal cu zero. ii) Fie k in ix x x = =s s 1max , cun k , , 1 =fixat. Rezult c ALGEBR LINIAR 45 x x x xk k = = = o o o o. iii) Fie k in ix x x = =s s 1max , cun k , , 1 = , fixat,

j in iy y y = =s s 1max , cun j , , 1 = , fixat,

p p i in iy x y x y x + = + = +s s 1max , cun p , , 1 = , fixat. Avem y x y x y x y x y x y xj k in iin ip p p p+ = + = + s + s + = +s s s s 1 1max maxi axioma iii) este verificat. S se arate c aplicaia: q RnRnR, definit prin( ) ( )= =nii iy x y x q12,(cu( ) ( )e = =n ny y y y x x x x , , , , , ,2 1 2 1 Rn), este o metric n Rn. Rezolvare. Verificm pe rnd axiomele din definiia 2.7. :D1)( ) ( ) 0 ,12> ==nii iy x y x q , care este adevrat din definiia funciei radical de ordinul doi i din( ) ( )=> = > nii i i iy x n i y x12 2. 0 , , 1 , 0 Pe de alt parte, ( ) ( ) n i y x n i y x y x y x qi i i inii i, , 1 , , , 1 , 0 0 0 ,12 = = = = = ==( ) ( ) . , , , , , ,2 1 2 1y x y y y x x xn n= = D2)( ) ( ) ( ) ( ), , ,1212x y q x y y x y x qnii inii i= = = = = e y x, Rn. D3) Considerm, pentru orice vectorie z y x , ,Rn, expresia ( ) ( ) | | ( ) ( ) ( ) ( ) = = = = + + = +nii inii inii inii iy z y z z x z x y z q z x q1212121222 , , i folosind inegalitatea Cauchy Buneacovski Schwarz ELEMENTE DE ALGEBR LINIAR I GEOMETRIE 46( ) ( ) = = = sniiniinii ib a b a12121 obinem ( ) ( ) | | ( ) ( )( ) ( ) = + + > + = = =nii i i inii inii iy z y z z x z x y z q z x q121 1222 , ,( ) ( ) | | ( ) ( ) y x q y x y z z xnii inii i i i,21212= = + = = = adic ( ) ( ) ( ) y z q z x q y x q , , , + s . 4.S se arate c funciile polinomiale !, ,! 2, , 12nX XXnformeaz o baz ortonormat a lui nPfa de produsul scalar definit prin ( , ) n nP P : R,( ) ( )==nkk kb a k Q P02! , , unde( )==nkk kX a X P0i( )==nkk kX b X Q0. Rezolvare. S artm c baza n kk nkXnX XX, , 1 , 02! !, ,! 2, , 1=||.|

\|=||.|

\| este ortonormat. Fo-losind definiia 2.11. i definiia produsului scalar din enun, calculm produsul scalar a dou polinoame oarecare din baz ( )( ) ( )( )= = + = =||.|

\|=j i pentruj jjj i pentrujjiib a kjxixnkk kj i,!1!1!,!10 ! 0!1!!!,! 22 202 i obinem ijj ijxixo =||.|

\|!,!, unde ijoeste simbolul lui Kronecker. Deci baza n kkkX, , 1 , 0! =||.|

\| este ortonormat. ALGEBR LINIAR 47 5.Fie P spaiul vectorial real al tuturor funciilor polinomiale reale definite pe intervalul| | 1 , 1 i produsul scalar ( , ) P P : R definit prin( ) ( ) ( )} =11, dx x q x p q p , cuP q p e , . Polinoamele obinute din polinoamele , , , , , 12 nx x xprin procedeul de ortogonalizare se numesc polinoame Legendre. S se scrie primele ase polinoame Le-gendre. Rezolvare. Notm( ) e = j x x pjj, N. Cu( ) 5 , , 1 , 0 , = k x qk, notm polinoamele Legendre. Fie q0(x) ( ) 10= = x pi calculmq1(x) ( )( )( )( ) x x qq qq px p = =00 00 11,, deoarece ( ) 0 ,110 1= =}xdx q p , ( ) 2 ,110 0= =}dx q q . n mod analog, folosind procedeul Gram Schmidt, obinem pe rnd : q2(x) ( )( )( )( )( )( )( )31,,,,211 11 200 00 22 = = x x qq qq px qq qq px p , pentru c ( ) ( ) ( )} } } = = = = = =1121 11131 21120 232, , 0 , ,32, dx x q q dx x q p dx x q p; q3(x) ( )( )( )( )( )( )( )( )( )( ) x x x qq qq px qq qq px qq qq px p53,,,,,,322 22 311 11 300 00 33 = =, deoarece ( ) ( ) ( )} } } = |.|

\| = = = = =112 32 31141 31130 3031, ,52, , 0 , dx x x q p dx x q p dx x q p , ( )45831,21122 2= |.|

\| = }dx x q q ; ELEMENTE DE ALGEBR LINIAR I GEOMETRIE 48q4(x) ( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( ) = = x qq qq px qq qq px qq qq px qq qq px p33 33 422 22 411 11 400 00 44,,,,,,,,

353763124510516512 4 2 4+ = |.|

\| = x x x x , pentru c( ) ( ) ( )} } } = |.|

\| = = = = =112 42 41151 41140 4,1051631, , 0 , ,52, dx x x q p dx x q p dx x q p( ) ( )} } = |.|

\| = = |.|

\| =11233 3113 43 4175853, , 053, dx x x q q dx x x x q p ; q5(x) ( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( ) = x qq qq px qq qq px qq qq px qq qq px p33 33 522 22 511 11 500 00 55,,,,,,,, ( )( )( ) x x x x x x x x qq qq p2159105381753151673,,3 5 3 544 44 5+ = |.|

\| = , deoarece ( ) ( ) ( )} } } = |.|

\| = = = = =112 52 51161 51150 5, 031, ,72, , 0 , dx x x q p dx x q p dx x q p( ) ( )} } = |.|

\|+ = = |.|

\| =112 4 54 5113 53 5, 035376, ,3151653, dx x x x q p dx x x x q p( )27 1122 44 4105235376, = |.|

\|+ = }dx x x q q. Prin inducie se poate demonstra c( )( )( )nnnnxdxdnnx q 1! 2!2 =. 2.5. Probleme propuse 1. Fie spaiul vectorial real Vn i doi vectori oarecare( )nx x x x , , ,2 1 =i ( )ny y y y , , ,2 1 =din Vn . S se cerceteze care din expresiile ALGEBR LINIAR 49( )==nii iy x y x1, ) 1, ( )==nii iy x y x1, ) 2, ( ) ( )( )==nii iy x y x12 2, ) 3 , ( ) ( ) ( ) ( ) = = = + =niininii i iy x y x y x121 12 2, ) 4definesc produse scalare n Vn . 2. Pe spaiul vectorial{ = ] , 1 [ :0] , 1 [e f CeR } continua functie este fdefinimaplicaia ( , ) 0] , 1 [0] , 1 [:e eC C R prin( ) ( ) ( ) ( )} =edx x g x f x g f1ln ,. i) S se arate c aceast aplicaie este un produs scalar n spaiul 0] , 1 [ eC . ii) Pe spaiul vectorial 0] , 1 [ eC, nzestrat cu produsul scalar de la punctul i), s se calcule-zef , pentru( ) x x f x = , folosind teorema 2.2. 3. n spaiul punctual euclidian 5Eavem produsul scalar( )==51,jj jy x y x , unde ( ) ( )55 4 3 2 1 5 4 3 2 1, , , , , , , , , E y y y y y y x x x x x x e = = . S se determine lungimile laturilor i unghiurile interioare ale triunghiului definit prin vrfurile( ) ( ) ( ) 2 , 7 , 5 , 7 , 5 , 6 , 4 , 4 , 4 , 6 , 2 , 4 , 2 , 4 , 2 C B A. 4. Fie( ) ( { , , n n M A n M e = R)| | } n j i a Aij, , 2 , 1 , , = =spaiul vectorial real al ma-tricelor ptratice. i) S se arate c funciile k( ) n M : R+ , 5 , , 2 , 1 = k , definite mai jos, sunt norme: ( ) ( ) ; ;1221 ,1 = = == = =nj iij tnj iija A A tr A a Aijn j injijn iniijn ja A a A a As s=s s=s s= = = , 15114113max ; max ; max . ELEMENTE DE ALGEBR LINIAR I GEOMETRIE 50ii) Pentru matricea ((

=0 32 1As se calculezekA , cu5 , , 1 = k . 5. Fie Cn( ) { e = =j nz z z z z , , ,2 1 C,} n j , , 1 =. i) S se arate c funcia: d CnCnR+, dat prin( )= =njj jz z z z d12 1 2 1, , cue2 1, z z Cn, este o metric n Cn. ii) n C2 s se calculeze distana dintre elementele ( ) i i z 2 5 , 4 31 + = i( ) i i z 3 2 , 12+ = . 6. Fie R2 | | Xspaiul vectorial real al polinoamelor de grad cel mult doi i ( )==20,jj jb a q pun produs scalar pe R2 | | X , unde ==20 jj jX a p , ==20 jj jX b q . Consi-derm polinoamele 1 2 , 1 2 3 , 2 5 3 , 5 2 324232221+ + = + + = + + = + + = X X p X X p X X p X X p . i) S se gseasc un polinom p0, de grad cel mult doi, care este echidistant fa de polinoamele p1, p2, p3, p4. ii) S se calculeze aceast distan. 7. S se arate c, dac px x x , , ,2 1sunt vectori ortogonali n K-spaiu vectorial euclidi-an E, atunci i vectorii ppx x x , , ,2211sunt ortogonali,e j K cun j , , 2 , 1 = . 8. S se demonstreze c, dac vectorul x este ortogonal pe oricare din vectorii y1,y2,,yndin E K, atunci este ortogonal i pe combinaia liniar nnx x x + + + 2211, e i K, cun i , , 1 = . 9. S se arate c orice mulime format din vectori nenuli ortogonali este liniar indepen-dent. 10. Care din urmtoarele mulimi sunt baze n C3 fa de produsul scalar ( )= =31,kk ky x y x , cu( ) ( )e = =3 2 1 3 2 1, , , , , y y y y x x x x C3? ALGEBR LINIAR 51( ) ( ) ( ) { }( ) ( ) ( ) { }( ) ( ) ( ) { }. 1 , 0 , , , 1 , 0 , 0 , , 1, 0 , 5 1 , 6 , 3 , 2 , , 0 , 3 , 2, , 0 , 0 , 0 , , 0 , 0 , 0 ,3 2 13 2 13 2 1i w i w i w Ci i v i i i v i v Bi u i u i u A= = = = = = + = == = = = 11. Fie( ) ( { , , n n M A n M e = R) | |)`= = n j i a Aij, , 1 , , spaiul vectorial real al ma-tricelor ptratice. Produsul scalar standard este definit pe( ) n Mprin ( ) ( )= == =nj iij ij tb a B A tr B A1, ,] [ija A = ,] [ijb B = . Care dintre urmtoarele submulimi din( ) 3 Meste ortogonal ? ,1 1 00 2 10 0 1,1 0 00 0 20 0 3,3 0 03 2 03 2 1)`((((

=((((

=((((

= = P N M A )`((((

=((((

=((((

= =1 0 01 1 04 3 2,1 0 00 2 00 0 1,1 0 02 1 03 2 1S R Q B . 12. S se ortogonalizeze n R3 mulimea de vectori( ) ( ) ( ) 1 , 1 , 0 , 0 , 0 , 1 , 7 , 3 , 53 2 1= = = x x x ,fa de produsul scalar( )==31,ii iy x y x , cu( ) ( )e = =3 2 1 3 2 1, , , , , y y y y x x x x R3. 13. S se ortogonalizeze n R4 sistemele de vectori ( ) ( ) ( ) ; 8 , 6 , 0 , 2 , 1 , 1 , 3 , 3 , 1 , 1 , 1 , 13 2 1 = = = x x x I ( ) ( ) ( ) ( ) 1 , 0 , 3 , 1 , 0 , 1 , 1 , 1 , 1 , 0 , 4 , 0 , 0 , 1 , 1 , 04 3 2 1= = = = y y y y II. 14. S se ortonormeze mulimea ( ) ( ) { }3 22 , 2 , 2 , 2 x x x A + + + =n 0] 1 , 0 [Cn raport cu produsul scalar definit prin( ) ( ) ( )}=10, dx x g x f g f . ELEMENTE DE ALGEBR LINIAR I GEOMETRIE 5215. n spaiul vectorial E4 se definete produsul scalar a doi vectori( )4 3 2 1, , , x x x x x =i ( )4 3 2 1, , , y y y y y =cu relaia( )==41,jj jy x y xi) S se completeze vectorii ortogonali( ) ( ) 3 , 0 , 2 , 1 , 1 , 2 , 1 , 12 1 = = e ecu ali doi vec-tori 3ei 4eastfel nct acetia s formeze mpreun cu primii doi o baz ortogonal n E4.ii) Din baza obinut la punctul i) s se formeze o baz ortonormat. 16. n spaiul euclidian E4, n care 4 3 2 1, , , e e e eformeaz o baz, avem produsul scalar ( )==41,jj jy x y x , cu( )4 3 2 1, , , x x x x x = ,( )44 3 2 1, , , E y y y y y e = . S se descompun vectorul( ) 6 , 13 , 6 , 2 = untr-o sum de doi vectori, din care unul s aparin subspa-iului generat de vectorii( ) ( ) ( ) 2 , 4 , 1 , 4 , 1 , 1 , 1 , 3 , 4 , 2 , 3 , 23 2 1 = = = a a a, iar cellalt s fie ortogonal acestui spaiu. ALGEBR LINIAR 53 3.TRANSFORMRI LINIARE 3.1. Definiie. Proprieti generale.Operaii Indisolubillegatdenoiuneadespaiuvectorialestenoiuneadetransformareliniarde spaii vectoriale. DEFINIIA 3.1. Fie U iVdou K - spaii vectoriale. OaplicaieF: U 4 V se numete K-liniar (sau mai simpluliniar,atuncicndcorpul Kestesubneles)dac: (1) F ( y x + ) = F ( x ) + F ( y ),>y x,) U (Festeaditiv) , (2) F ( x o ) = o F( x ),>x ) U, o ) K (Festeomogen) . Condiiiledindefiniia3.1 suntechivalentecucondiia PROPRIETATEA 3.1. O aplicaie F: U 4 V esteo transformareliniardacinumaidac(3) F ( y x + ) =F ( x ) + F ( y ) , > ,) K,>y x,) U. Demonstraie.PresupunemcFestetransformareliniar.Dindefiniia3.1rezult F ( y x + ) = F ( x ) + F ( y ) =F ( x ) + F ( y ). Reciproc,dacFsatisfacecondiia(3)punnd= = 1K ,deducem F ( y x + ) = F ( x ) + F ( y ) , care este tocmai relaia (1) i, punnd apoi0 = , rezult F ( x ) = F( x ) ,adicrelaia (2), ceea ce arat c aplicaia Feste liniar. D Notaie.L(U, V) : = {F | F : U 4 V, Ftransformareliniar} = Hm(U, V) Denumiri.VectorulF( x ))V,pentrux )U,senumeteimaginealuixprin F, iarx) U, a crui imagine este F ( x ) ) V, senumete preimaginealuiF ( x ). Cazuriparticulare. DacF ) L (U, V)i ELEMENTE DE ALGEBR LINIAR I GEOMETRIE 54FinjectivO F senumetemonomorfism; FsurjectivO F senumeteepimorfism;FbijectivO F senumeteizomorfism. DacF ) L (U, U) OFsenumeteendomorfism. DacF ) L (U, U)bijectivOFsenumeteautomorfism. DacF) L ( U / K,K)OFsenumeteformliniar. Exemple.1.Produsulscalar nEncuunuldinvectorifixaiesteoformlini-ar. | |fixat. f(x) cu) ( ) ( ) , ( cu C in Analog . 2ba0b a,dx x g x f g f}= 3. Fie Rn[X] spaiul vectorial al polinoamelor de grad cel mult n i F : Rn[X] 4 Rn-1[X]aplicaiacareasociazfiecruipolinomderivatalui, adic ( ) ( )12 1 1 02 '+ + + = + + + =nnnnx na x a a x p x a x a a x p . Aceastaplicaieesteliniardeoarece> 2 1, p p )R[X]i> 2 1, k k )R,avem F(11p k ( x ) + 22p k ( x )) = (11p k ( x ) + 22p k ( x ))O = 11p k O( x ) + 22p k O( x )= = 1k F ( ( ) x p1) + 2k F ( ( ) x p2). 4. Fie V un spaiuvectorialpestecmpulK, a unelement fixat din K i aplicaia Fa : V 4 V definit prin F ( ) ax xa= ,>x ) V. Transformarea Fa este liniar deoa-rece,> y x,) Vi > ,) K,avemF ( ) ( ) ( ) ( ) = + = + = + ay ax y x a y xaF ( ) + xaF ( ) ya. Aplicaia Fa se numete omotetia spaiului V de raporta) K. Lund1 = a ,obinemtransformarealiniarcareasociazfiecruivectorx )V opusulsux . Aceasta se numete simetria lui V fa de subspaiul nul.TEOREMA3.1.DacF ) L (U, V)atunci: 1.F (0U) = 0V; 2.U1 / K @ U / K OF(U1) / K @ V / K; 3.V1 / K @ V / K OF -1 (V1) / K @ U / K; ALGEBR LINIAR 554.S = {ui}i=1...n,depU SOdepV F(S); 5.FbijectivOF -1 ) L (V, U). Demonstraie. 1.Din(1)pentru 0 = | iapoi 0 = oO F (0U) = 0V . 2.U1 / K @ U / KdindefiniieO[>| o,) Ki y x,) U1 Oy x | o + ) U1] O F ( y x | o + ) ) F (U1) i F ( y x | o + ) = oF ( x ) +| F ( y ) ) F (U1) . Deci>| o,) K i > F ( x ), F ( y ) ) F (U1) O oF ( x ) +|F ( y ) ) F ( U1)O F ( U1) / K @ V / K. 3.Fiey x, )F -1(V1)i ,) K. Atunci F ( x ), F ( y ) ) V1, deci (FfiindliniariV1 fiind subspaiu), avem F ( y x + ) =F ( x ) + F ( y )) V1, deunde y x +) F -1 (V1) . 4. { }((

= = - = =niiU iidefi Ut a inc astfel n i u u S dep10 , , 1 0 . Deci F= |.|

\|=niiiu1 F( )=niiU10 F( )V iu 0 =in i , , 1 = -astfel nct0 =iVdep F(S). 5.PentruU u V v e - e1 1 astfel nct =1v F( )1u( sau=1u F 1( )1v ). Analog, pentruU u V v e - e2 2 astfel nct =2v F( )2u( sau=2u F 1( )2v ). AvemF 1( ) = +2 1v v F 1( F( )1u + F( ))2u =F 1(F( )) = +2 1u u = + =2 1u u F 1( )1v + F 1( )2v , e , K, deciF 1e L(V, U).D DEFINIIA 3.2. FieL (U, V)pecareintroducemurmtoarele: 1.egalitatea F1, F2 ) L (U, V),F1: = F2CF1( x ) = F2( x ),>x) U; ELEMENTE DE ALGEBR LINIAR I GEOMETRIE 562.adunarea>F1,F2)L(U,V),F:=F1+F2CF( x )=F1( x )+F2( x ),>x )U; 3.nmulirea cu scalari>F1 ) L (U, V),>o) K,F: =o F1 CF ( x )=o F1 ( x ),>x) U. PROPRIETI 3.2. 1.(L(U, V),+)formeazgrupcomutativ;2. L(U, V)mpreun cuadunareainmulirea cu scalariformeazspaiuvectori-al peste K . Demonstraie.Evident,prinverificareaaxiomelordindefiniiilecorespun-ztoare. TEOREMA 3.2. Fie E i EO dou K spaii vectoriale, B = (e1,e2, ... , en) baz nEiC={v1,v2,...,vn}unsistemarbitrardevectoridinEO.Atunciexisto aplicaie liniarunicF: E 4 EOcuprorietateacF (ek) = vk,k = 1, 2, ... , n. Demonstraie.B este baznE, deciorice x) Eeste o combinaie liniar de vectorii mulimii B,adic ==niiie x x1 cunx x x , , ,2 1unicdeterminai. DefinimaplicaiaF: E 4 EOprin F( )== + + =niiinnv x v x v x x111ivomartacFesteliniari cF( )k kv e = , n k , , 1 = . Fie ==niiie x x11 1i ==niiie x x12 2vectoriarbitraridinE,e | o, Kscalariarbitrarii considermcombinaialiniar( )=+ = +niii ie x x x x12 1 2 1| o | o . inndseamademodulcumafostdefinitaplicaiaF, avempernd F( ) ( ) o | o | o | o = + = + = + = = =niniiiiiniii iv x v x v x x x x1 12 112 1 2 1F( ) | +1x F( )2x ALGEBR LINIAR 57 i, conform cu proprietatea 3.1, aplicaia F este liniar. Totdindefiniia luiF,pentru( ) 1 , , 1 = = =kkx n k e x i 0 =ix , pentruk i = , deci F( )k kv e = , n k , , 1 = .Sdemonstrmunicitatea.FieG)L(E,EO)cuproprietateacG( )k kv e = , n k , , 1 = . Pentru orice ==niiie x x1, din E, avem G( ) ==niix x1G( ) ==niiiiv x e1. Valorile lui G coincid cu valorile lui F, >x) E, deci G = F.AplicaiaF, definit maisus, este singura aplicaie liniar care ia valorile date F( )k kv e = , n k , , 1 = .D Reinemdinaceastdemonstraieurmtoareaexpresiepentruimaginealuixprin aplicaiaF : F( ) = == =niiniiix v x x1 1F( )1x ei = F( )21x e + F( )nx e + +2F( ) =ne=( F( ),1e F( ) , ,2 e F( ) )ne ( )tnx x x , , ,2 1 ifcndnotaia(F(1e ),F(2e ),...,F(ne )):=F(B)obinemurmtoareaconsecin: Consecina 3.1. Dac F ) L (E, EO) i B este baz a lui E, atunci pentru >x) Eavem F( x ) = F(B) [ x ]B . Consecina 3.2. Dac indEO C i F ) L (E, EO), cu C=F() B , pentru B - baz,atunciFestemonomorfism. Demonstraie.Fiey x, )E,cu F( x )=F( y ) . 1 . 3 C F(B)[ x ]B =F(B)[ y ]BO F(B)([ x ]B-[ y ]B)=0EOiindEOC=indEO F(B)O[ x ]B=[ y ]BOB[ x ]B= B[ y ]B Oy x =O F injectiv. D TEOREMA3.3.DacF ) L (Un, V)monomorfismi 1.dacS = {ui}i=1,...,n ,cuindUnS O indVF(S); 2.dacB = (e1, e2, ... ,en) estebazaluiUnO indV F(B); ELEMENTE DE ALGEBR LINIAR I GEOMETRIE 583.dac dimUn = dimV = niB estebazaluiUn OF(B)bazaluiV. Demonstraie. 1.. , , 1 , 0 01((

= = = =n i u S indiniU iiUn n Fmonomorfism| =V iu pentru 0 F( ) | =V iu 0 | =j iu u F( ) =iu F( )|ju F = |.|

\|=niiiu1 F( )U0 ( )==niV iiu10 = = n ii, , 1 , 0 indVF (S) 2.i3.rezultdin1. DEFINIIA 3.3. Fie F1 ) L (U, V) i F2 ) L (V, W), atunci F: U 4 W prin F( x )=(F2F1)( x ),>x )Usenumetecompunereasauprodusultransformri-lorliniareisenoteazF =F2 F1 sauF = F2F1. PROPRIETI3.3.1.Produsultransformrilorliniareesteotransformare liniar. 2.Produsulesteasociativi ngeneralnuestecomutativ. 3.Compunereaestedistributivladreaptailastnganraportcuadunarea. Demonstraie.(evident)exerciiu. nL (V, V)sepotintroduce: -transformareaidenticI : V 4 VprinI( x ) = x ,>x) V; -puterilenaturalealeuneitransformri: F 0= I , F n= F F1 n. 3.2. Nucleul i imaginea unei transformri liniare DEFINIII 3.4.1. Fie F ) L (U,V). Se numete nucleu al transformrii liniareFmultimea (4) {u ) U | F (u)=0v}= F -1(0v):=Ker (F ) adic mulimea preimaginilor lui 0v . 2. Se numete imaginea transformariiliniaremulimea (5){v ) V |u ) U astfelnctF (u)=v}= F(U) :=Im( F ),adicmulimeaimaginilorluiU. ALGEBR LINIAR 59TEOREMA 3.4. Dac F) L(U,V), atunci Ker( F )/K @ U /K i Im F/K@ V /K. Demonstraie. Evident din proprietile 3. i respectiv 2. ale teoremei 3.1. TEOREMA 3.5. Dac U i V sunt K-spaii finit dimensionale i F ) L ( U,V )atunci dimKer ( F ) + dim Im ( F ) = dim U Demonstraie. Fie (ne e e , , ,2 1 ) o baz a lui Ker( F ) i (my y y , , ,2 1 ) o baz a luiIm( F ).Atunci (6)F(ie ) = 0v , > n i s s 1i existjx ) Uastfel nct (7) =jy F (jx ) , > m j s s 1 . Sartmc{ne e e , , ,2 1 , mx x , ,1 }esteobazaluiU.Fie ji| o , )K, n i s s 1 , m j s s 1isconsiderm (8) = =+ =nimjjjiiUx e1 10 | o,unde,inndseamde(6) i(7),obinem =V0 F( ) ==niiU10 o F( ) =+mjjie1| F( ) ==mjjjjy x1|i, cum Vind {my y y , , ,2 1 }, 0 =j| ,> m j s s 1 ,prinurmare(8)devine ==niiiUe10 o Cu Uind {ne e e , , ,2 1 } rezult0 =io , >n i s s 1 . Aadar, obinemUind {ne e e , , ,2 1 ,mx x , ,1 }. SartmacumcU=L({ne e e , , ,2 1 ,mx x , ,1 }).Pentruoricex )Uavem F( x )) Im(F) i mulimea {my y , ,1 }={F (1x ), ... ,F (mx )} fiind baz pentru Im(F),rezult c existm , ,1 ) K , astfelnct ELEMENTE DE ALGEBR LINIAR I GEOMETRIE 60F( ) ==mjjx1 F( )jx, deciF Vmjjjx x 01=||.|

\|= , adicKer x xmjjje =1 (F ) . Cum(ne e e , , ,2 1 )estebazpentruKer (F),existn , ,1) Kcupro-prietatea = == niiimjjje x x1 1 , deci = =+ =mjjjniiix e x1 1 .Aadar, U = L ({ne e e , , ,2 1 ,mx x , ,1 }). DEFINIIA3.5.dimKer(F)idimIm(F)senumescdefectuli,respectiv, rangultranformriiliniareF. TEOREMA3.6.DacF)L(U ,V)atunciurmtoareleafirmaiisuntechi-valente: (a)Fmonomorfism C (b) Ker( F ) = {0U} Demonstraie. (b)O (a) DinF ( x ) = F ( y )iF liniar O F ( y x ) = 0v OKer y x e (F ) = = y x y xU0 Finj . Ker(F) { }U0 _ .Dine x Ker(F)F( )Vx 0 = icum F( )V U0 0 = (a) (b) F( ) = x F( )U0i F injectiv Ux 0 = ; { } KerU c 0 (F ), evident pentru c Ker(F )/K @ U /K (conf. T 3.4). ALGEBR LINIAR 613.3.Matrice asociat unei transformri liniare Fie E i E dou K-spaii vectoriale i B=(ne e e , , ,2 1 ) o baz n E. Conform cu T.3.2,otransformareliniarF)L(E,E)estecompletdeterminatdacsuntdate valorile F (je )=jv) E,n j , , 1 = . Fie B= (pu u u , ,2 1) o baz n E. Cei n vectori jvpot fi dai prin coordonatele lor n raport cu baza B , adic (9)== =piiijjn j u v1, , 1 , o . Construim un tablou cu coordonatele acestor vectori n care coordonatele vectorului jvsegsescpecoloanaj ,nordinenatural.MatriceacorespunztoareacestuitablouonotmM( F;B,B). F(e1) F(e2)...F(ej) ...F(en) u1C11C12...C1j...C1n u2C21C22...C2j...C2n ..... ..... ..... upCp1Cp2...Cpj ...Cpn M(F ; )((((((

=pn p pnnB Bo o oo o oo o o 2 12 22 211 12 11' , .DEFINIIA 3.5.FieF )L (E, E ),B = (e1,e2,...,en)obaznEi(10) ELEMENTE DE ALGEBR LINIAR I GEOMETRIE 62B=(u1, u2,...,up) o baz n E. Matricea M(F; B,B) ale crei coloane sunt formate cu coordonatele vectorilor F(ej ) n raport cu B, senumetematricea transformriiFn raportcu perecheadebaze(B,B). Pentru un endomorfism F ) L (E,E) se folosete notaia mai simpl M(F; B). Observaia3.1.MatriceaM(F;B,B))M( n p, ,K)arenumruldelinii p =cardB=dim E i numrul de coloanen =card B=dim E, iar elementele sale sunt din corpul K. Deoarece, conform T.3.2., exist o aplicaie liniar unic F ) L (E,E) cu va- lorileF(ke )=kv date,aplicaia M( ; B,B) :L (E,E)4M( n p, ,K) avndvalorileM(F;B,B)definitemaisus,esteobijecie(decipentruoricare transfor-mare Fmatricea M(F ; B,B) exist ieste unic determinat). TEOREMA 3.7. Fie F ) L(E,E), B=(e1,e2,...,en) o baz n E, B=(u1, u2,..., un)obaznE,M(F;B,B)matriceatransformriiidoivectorix )E,y )Ede forma | | | |si 1 1BniiiBnjjjy B u y y x B e x x'= =' = = = = Atunciarelocechivalena: f ( x ) =y CM(F ;B,BO)[ x ]B = [F( x )]B. Demonstraie. AvemF( ) = x F = ==||.|

\|njjnjjjx e x1 1F( )( ) = = = == =njpiij ijpiiijnjjju x u x e1 1 1 19o o . Schimbmordineadesumareiscondfactorcomunpeiu F( ) ( ) =||||||||.|

\|= ||.|

\|= ==== =njj jnjj jnjj jpip injj ijxxxu u u u x x13121112 11, , ,oooo ALGEBR LINIAR 63

( )( )( )( )( )( )|||||.|

\||||||.|

\|=|||||.|

\|=n pn p pnntn pn p ptn ntn nxxxBx x xx x xx x xB 212 12 22 211 12 112 1 2 112 1 2 22 212 1 1 12 11', , , , , ,, , , , , ,, , , , , ,'o o oo o oo o oo o oo o oo o o

unde am scos factor comun, la dreapta, matricea( )tnx x x , , ,2 1 =[ x ]B. Avem deci (11)F ( x ) = B M(F;B,B)[ x ]B . VectorulF( x )dinEsemai scrie subforma (12)F ( x ) = B [F ( x )]B . Din tranzivitatea relaiei de egalitate aplicat pentru (11) i (12) i din faptul c indEB,obinem M(F;B,B)[ x ]B = [F( x )]B . O Observaia 3.2. Forma (11) este reprezentarea analitic a unei transformri liniare. TEOREMA 3.8. Aplicaia M( ;B,B):L (E,E)4M(p,n,K) princareori-creirelaiiliniareiseasociazomatricen raport cu perechea de baze (B,B), areurmtoarele proprieti: (P.1.)M(F + G; B, BO) = M(F; B,BO) + M(G; B,BO),> F, G ) L (E, EO); (P.2.)M(F ; B, BO) = M(F; B,BO),> ) K,> F ) L (E, EO). Demonstraie.(P.1.)FieF,G)L(E,EO)cumatriceleasociateM(F;B, BO) i M (G; B, BO) date. Dinrelaiile(9)i(10)rezultcF(B) = BO M(F; B,BO), G (B) = BO M(G; B,BO). DacnotmH = F + G,avem H(B)=F(B)+G(B)CBOM(H;B,BO)=BO(M(F;B,BO)+ M(G; B,BO)) adic,revenindlanotaiapentruHiinndseamadeindEOBO,

M(F + G; B, BO) = M(F; B,BO) + M(G; B,BO). ELEMENTE DE ALGEBR LINIAR I GEOMETRIE 64(P.2.)PentrutransformarealiniarFavem (F)(B) = F(B)C BO M(F; B,BO) = BO M(F; B,BO) adic(innd seamadeindEOBO) M(F ; B, BO) = M(F; B,BO). TEOREMA 3.9. Dac F ) L (E, EO), G ) L (E, E) i B, BO, BOObaze, respectiv, n E, EO, EOO,atunci existrelaia M(GF; B,BOO) = M(G; BO, BOO) M(F; B,BO). Demonstraie.Dinconsideraiiledemaisus,avem F(B) = BO M (F; B,BO), G (BO) = BOO M (G; BO,BOO) (13)(G F)(B)=G(F(B))=G(BOM(F;B,BO))) 11 (= BOOM(G; BO,BOO) M(F; B,BO) undeamfolositexprimarea(11)pentruG( x )=G(BO[ x ]BO)=BOOM(G; BO,BOO) [ x ]BOcu [ x ]BO = M(F; B,BO).Cum (G F)(B) =BOO M(G F; B,BOO), din (13)rezult(inndseamadeindEOOBOO) M(G F; B,BOO) = M(G; BO,BOO) M(F;B,BO) . G TEOREMA 3.10. Fie endomorfismele F, F O ) L (E, E); B, BO - baze n E i M(B, BO) matricea de trecere de la B la BO. Matricele M (F O; BO) i M (F; B) sunt asociateaceluiai endomorfism C are loc relaia(14)M (F O; BO) = M -1(B, BO) M(F; B) M(B, BO). Demonstraie. Fie F = F O. n BO = B M (B, BO) aplicnd transformarea F obinem F(BO) = F(B) M(B, BO). 5 .. 3 .. D BO M (F; BO) =B M (F; B) M(B,BO), ncare,punndB = BO M -1(B, BO), obinem BO M (F ; BO) =BO M -1(B, BO) M(F; B) M(B, BO) iindEBOd M (F O; BO) = M -1(B, BO) M(F; B) M(B, BO). Reciproc,presupunndadevratrelaia(14),rezultcpentruoricebazBOdinEavem ALGEBR LINIAR 65BO M(F O;BO)=BO M -1(B,BO) M(F; B) M(B,BO)C F O(BO)=B M(F; B) M(B, BO)F O(BO) = F( B) M(B,BO)CF O(BO) = F( B M(B,BO))C F O(BO) = F (BO),> BObaz n E O F O = F. DEFINIIA3.6.Doumatricesenumescasemeneadacelereprezint aceeai transformareliniar Fn dou baze diferite ale spaiului vectorial. PROPRIETATEA3.4.ToatematriceleasemeneauneimatricedateAsuntde formaS -1AS, unde S este o matrice nesingular. Demonstraie. Rezult imediat dindefiniia 3.6 i din teorema 3.10. 3.4. Probleme rezolvate 1. Se consider funciile F : R3R3 definite respectiv prin1)F( ) a x x + = ,cuavector fixat n R3; 2)F( ) x x = ,cu e R ; 3)F( ) ( ) ( )23 2 1, , x x x x = ,cu ( )e =3 2 1, , x x x xR3; 4)F( ) ( )3 2 1 3 1 2 13 2 , , 2 x x x x x x x x + + = ; 5)F( ) ( )3 2 1 2 1 1, , x x x x x x x + + + = ; 6)F( ) ( ) 1 , , 13 2 1 + = x x x x ; 7)F( ) ( ) k x x x x + =2 1 3, , ,cu e k R*; 8)F( ) ( )3 2 1 3 2 1 3 2 12 3 2 , 3 3 , 3 2 x x x x x x x x x x + + + + = . Rezolvare.1)Dac30Ra = , atunci F( )3 30 0R R=i F nu este aditiv, deci F nu este li-niar. Dac30Ra = , atunci F( ) , x x =F( ) y y =i pentrue | o, R avem ELEMENTE DE ALGEBR LINIAR I GEOMETRIE 66F( ) o | o | o = + = + y x y x F( ) | + x F( ) y iFesteliniar(conformcuproprietatea 3.1.) 2)F( ) ( ) ( ) ( ) o | o | o | o = + = + = + y x y x y xdefF( ) | + x F( ) y ,e y x, R3i e | o, R, rezult FeL (R3,R3). 3)Considerm i( )e =3 2 1, , y y y y R3 ie | o, R. Avem( )3 3 2 2 1 1, , y x y x y x y x | o | o | o | o + + + = +iF( ) ( ) ( )= + + + = +23 3 2 2 1 1, , y x y x y x y xdef| o | o | o | o( ) ( ) ( ) ( ) o | | | o o o = + =23 2 123 2 1, , , , y y y x x x F( ) | + x F( ) y , deci F nu este liniar. 4)F( ) = + y x | o F( )defy x y x y x = + + +3 3 2 2 1 1, , | o | o | o( ) () = + + + + + + + =33 2 2 1 1 3 3 1 1 2 2 1 133 2 2 , , 2yx y x y x y x y x y x y xdef|o | o | o | o | o | o | o( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ()) = + + + + + + + =32 1 3 2 1 3 1 3 1 2 1 2 132 3 2 , , 2 2yy y x x x y y x x y y x x | o | o | o( ) ( ) = + + + + + =3 2 1 3 1 2 1 3 2 1 3 1 2 13 2 , , 2 3 2 , , 2 y y y y y y y x x x x x x x | oo = F( ) | + x F( ) y ,e y x, R3, deci F este transformare liniar. 5)F este liniar ( analog cu problema anterioar 1.4). 6)F( ) ( ) ( ) ( ) = + + = + + + + = + 1 , , 1 , , 1 , , 13 2 1 3 2 1 3 3 2 2 1 1y y y x x x y x y x y x y xdef ( ) ( ) = + + + = 1 , , 1 1 , , 13 2 1 3 2 1y y y x x x F( ) + x F( ) y ,pentrue y x, R3. Deci Fnu este aditiv Fe L (R3, R3). 7)Deoarece F( ) ( ) ( )3 30 0 , 0 , 0 , 0 , 0 0R Rk = = =, rezult c Fe L (R3, R3). 8)F este liniar (analog cu problema1.4). ALGEBR LINIAR 672. Fie Fe L (R4, R4) dat prin F( ) ( )3 4 2 4 1 3 4 3 2 1, , , , , , x x x x x x x x x x + = . S se scrie Im(F) i Ker(F). Rezolvare. Im(F) { e = ydefR4e -xR4a..= y F( )} x , deci Im(F) ( ) { ( )e + =4 3 2 1 3 4 2 4 1 3, , , , , , x x x x x x x x x x R4}. Din definiie Ker(F) { e = x R4F( ) }40Rx = , deci( ) ( ) 0 , 0 , 0 , 0 , , ,3 4 2 4 1 3= + = x x x x x x y , de unde rezult . , , 04 2 4 1 3x x x x x = = =Avem Ker(F) ( ) { e =4 4 4 4, 0 , , x x x x R }. 3. S se determine defectul i rangul transformrii liniare F: R3R3 definit prin F( ) ( )2 1 3 1, 0 , x x x x x + + = , cu( )e =3 2 1, , x x x xR3, explicitnd cte o baz n Ker(F) i n Im(F). Rezolvare.DindefiniieKer(F) { e = x R3F( ) }30Rx = ,deciKer(F)estemulimea vectorilor( )3 2 1, , x x x x =pentru care ( ) ( ) 0 , 0 , 0 , 0 ,2 1 3 1= + + x x x x . Obinem sistemul0 , 02 1 3 1= + = + x x x xcare este simplu nedeterminat i are soluia , ,3 2 3 1x x x x = =cue3x R, deci Ker(F) ( ) { e =3 3 3 3, , x x x x R }. Prin urmare, orice vector din Ker(F) are forma ( ) 1 , 1 , 13 = x x .Vectorul( )30 1 , 1 , 1Re = =esteunvectorliniarindependent,deaceeamulimea{ } e esteobaznsubspaiul Ker(F) i deci n = dim(Ker(F)) = 1. Avnd n vedere definiia subspaiului Im(F) i definiia lui F, conchidem c ori-ce vectorydin Im(F) este de forma( ) ( ) ( ) ( ) 0 , 0 , 1 1 , 0 , 0 1 , 0 , 1 , 0 ,3 2 1 2 1 3 1x x x x x x x y + + = + + =,cue3 2 1, , x x x R. Se observ c pentru0 13 2 1= = = = x x x , rezult 30Ry = . Deci mulimea de vectori ( ) ( ) ( ) { } 0 , 0 , 1 , 1 , 0 , 0 , 1 , 0 , 1 esteliniardependent.Maimult,oricevectordinIm(F)se poate exprima n funcie de vectorii( ) 1 , 0 , 01 = ei( ) 0 , 0 , 12 = e , care sunt liniar indepen- ELEMENTE DE ALGEBR LINIAR I GEOMETRIE 68deni.RezultcobaznIm(F)esteformatdinacetivectoriiatunci r=dim(Im(F)) = 2. 4. Fie V3 spaiul vectorial real i aplicaia F: V3V3 definit prin F( ) ( )3 2 1 2 1 1, , x x x x x x x + = ,cu( )33 2 1, , V x x x x e = . i)S se arate c transformarea F este liniar. ii)S se scrie matricea M(F; B) a transformrii F n aceeai baz B n care au fost date componentele vectorilorxi F( ) x . Rezolvare.i) Se verific uor c, pentru orice( )3 2 1, , x x x x =i( )3 2 1, , y y y y =din V3 i pentru orice din R, avem F( ) = + y x F( ) + x F( ) yi F( ) = x F( ) x . ii) Considerm baza B format din vectorii 2 1, e ei 3e . Scriind vectoriixi F( ) xn baza B, relaia de definiie a funciei Fdevine F( ) ( ) ( )33 2 122 111332211e x x x e x x e x e x e x e x + + + = + +sau

1x F( )21x e + F( )32x e + F( ) ( ) ( ) ( )333 223 2 113e x e e x e e e x e + + + + + = . Din aceasta rezultF( )3 2 1 1e e e e + + = ,F( )3 2 2e e e + = ,F( )3 3e e = . Matricea transformrii Fn baza B { }3 2 1, , e e e =este M(F; B)((((

=1 1 10 1 10 0 1. Aceast matrice are pe coloane componentele vectorilor F( )1e , F( )2e , F( )3e( compo-nentele transformatelor prin Fai vectorilor bazei ) raportai la aceeai baz B. 5. Un endomorfism A , al spaiului vectorial cu n dimensiuni, transform vecto-rii liniar independeni nx x x , , ,2 1n vectorii corespuztori ny y y , , ,2 1 . S se arate c ALGEBR LINIAR 69matricea M(A ; B) a acestei transformri Antr-oanumit baz B ( )ne e e , , ,2 1 =poa-te fi determinat cu ajutorul relaieiM(A ; B)1 = X Y , unde coloanele matricelor X i Y sunt alctuite din componentele ( coordonatele ) vec-torilor nx x x , , ,2 1 , respectiv, ny y y , , ,2 1 , n aceeai baz B. Rezolvare. Presupunem problema rezolvat i fieM(A ; B)((((((

=nnn nnna a aa a aa a a 2 12 22211 1211 matricea cutat a transformrii A raportat la baza B ( )ne e e , , ,2 1 = . Conform defini-iei avem (1)A( ) ==njjji ie a e1 , . , , 2 , 1 n i =Scriem c n baza B transformarea Atrece vectorul ==niiik ke x x1n vectorul ==niiik ke y y1 i, innd seam de relaia (1), avemA( ) =kxA = == |.|

\|niikniiikx e x1 1 A() = = = = == = |.|

\|= =njjjk k jnjniikjininjjjiik ie y y e x a e a x e1 1 1 1 1. Dinaceasta rezult (2) ==niikjijkx a y1, . , , 2 , 1 n j =Aranjnd componentele vectorilor ny y y , , ,2 1pe coloane i folosind relaiile (2), obi-nem ecuaia matriceal((((((

((((((

=((((((

nnn nnnnnn nnnnnn nnnx x xx x xx x xa a aa a aa a ay y yy y yy y y 2 12 22211 12112 12 22211 12112 12 22211 1211 sau ELEMENTE DE ALGEBR LINIAR I GEOMETRIE 70= YM(A ; B) X , de unde M(A ; B)1 = X Y . 3.5. Probleme propuse 1. Fie Rn| | Xspaiul vectorial real al polinoamelor de grad cel mult n. S se arate c funcia F: Rn| | X Rn| | Xdefinit prin F ( ) ( ) ( ) ( ) x P x P x P + = 1 ,e x R, este o trans-formare liniar. 2. S se cerceteze care dintre funciile definite mai jos sunt transformri liniare. 1) F ( ) ( ) ( ) x P x P = , e PRn| | X ,e x R. 2) F ( ) ( ) ( ) 1 + = x P x P ,e PRn| | X ,e x R. 3) F ( ) ( ) ( ) ( ) x P x P x P + = 2 ,e PRn| | X ,e x R. 4) F ( ) ( ) ( )2x P x P = , e PRn| | X ,e x R. 5) F( ) ( )( )( ) ( )232221, , x x x x = ,( )33 2 1, , V x x x x e = . 6) F( ) ( )2 1,x xe e x = ,( )22 1, V x x x e = . 7) F( ) ( ) 1 , 1 , 13 2 1 + + = x x x x ,( )33 2 1, , V x x x x e = . 8) F( ) ( )3 2 1 2 1, 0 , x x x x x x + + + = ,( )33 2 1, , V x x x x e = . 9) F( ) ( )4 3 2 1 3 2 1 2 1 1, , , x x x x x x x x x x x + + + + + + = ,( )44 3 2 1, , , V x x x x x e = . 3. (Derivata). Fie spaiile vectoriale reale( ) { = b a f V , : R} derivabila functie fi( ) { = b a g W , : R }. S se arate c funcia DW V : , dat prin= gD() ' f f , este o transformare liniar. 4. (Integrala definit). Fie spaiul vectorial real| | { = b a f V , : R|f este integrabil n sens Riemann }. S se arate c funcia I V : R, definit prin I() } =badx x f f ) ( , este o transformare liniar. ALGEBR LINIAR 715. (Integrala nedefinit sau primitiva). Fie spaiul vectorial real| | { = b a f V , : R|f este funcie continu }. S se arate c funcia PV V : , P() g f = , ( ) ( )} =xadt t f x g , pentrub x a s s , este liniar. 6. Fie spaiul vectorial real| | { = b a f V , : R|feste funcie continu }. S se verifice c aplicaia F V V : , F() ( ) ( ) ( )} = =badt t x t f x g g f cos , , pentrub x a s s , este o transformare liniar. 7. S se cerceteze care dintre funciile F: R3R3 definite mai jos, sunt transformri liniare i n caz afirmativ s se determine defectul i rangul fiecrei transformri. 1)F( ) ( )|.|

\|+ + =+ +3 2 1, , ln1 3 2 1 x x xe x x x x arctg x ,cu( )e =3 2 1, , x x x xR3. 2)F( ) ( ) 0 , ,2 1 1x x x x + =,cu( )e =3 2 1, , x x x xR3. 3)F( ) ( )3 1 3 2 2 1, , x x x x x x x + + + = ,cu( )e =3 2 1, , x x x xR3. 4)F( ) ( ) 0 , 3 , 0 + = x x ,cu( )e =3 2 1, , x x x xR3. 5)F( ) ( )3 2 1 2, , x x x x x + = ,cu( )e =3 2 1, , x x x xR3. 8. Pentru problemele 3. i 5. s se determine Ker(D) i, respectiv, Ker(P ). 9. Pe spaiul vectorial real Pn al funciilor polinomiale reale de grad cel mult n, se defi-nesc funciileP( ) x F1( ) ( ) ( ) x xP x P = , P( ) x F2( ) ( ) ( )}=10dt t tP x x P ,e x R. 1)S se arate c F1 i F2 sunt transformri liniare. 2)S se determine Ker(F2) i Im(F2). ELEMENTE DE ALGEBR LINIAR I GEOMETRIE 7210. Pentru transformarea liniar D, definit de problema 3, s i se gseasc matricea M(D ; B) n cazurile : 1) ( )nx x x B , , , , 12 =, 2)( ) ( )||.|

\| =!, ,! 2,1, 12na x a x a xBn ,cue a Rfixat. 11. Fie F: R3R2 o transformare liniar dat prin imaginile F( ) ( ) 1 , 21 = e, F( ) ( ) 1 , 02 = e,F( ) ( ) 1 , 13 = e, unde( ) ( ) ( ) . 1 , 0 , 0 , 0 , 1 , 0 , 0 , 0 , 13 2 1= = = e e ei)S se determine imaginea unui vector oarecare din R3 . ii)S se determine imaginile vectorilor( ) 2 , 1 , 1 = u ,( ) 2 , 0 , 1 = vi( ) 1 , 2 , 0 = wprin F. 12. Fie( )3 2 1, , e e e o baz a spaiului vectorial V3. Transformarea liniar U e L (V3, V3) duce vectorul( ) 1 , 0 , 01 = xn( ) 2 , 5 , 31 = y ,( ) 1 , 1 , 02 = xn( ) 0 , 1 , 02 = y ,( ) 1 , 1 , 13 = xn ( ) 1 , 0 , 13 = y . Care este matricea M(U ; B) n cazurile : 1) ( )3 2 1, , e e e B =; 2) ( )3 2 1, , x x x B = . 13. Fie F1, F2e L (R3| | X , R3| | X ) dou endomorfisme definite prin relaiile : F1( )2 2 1 0 3 3 2 2 1 0X a X a a X a X a X a a + + = + + + ,F2( )3 3 2X X X X + = + ,F2( )3 31 X X X + = + ,F2( )3 2 31 1 X X X X + + + = + ,F2( ) 0 13 2= + + + X X X . S se determine matricele transformrilor F1F2 i, respectiv, F2F1, n raport cu baza canonic a spaiului R3| | X . 14. Endomorfismul Fe L (V4, V4) are n baza( )4 3 2 1, , , e e e e B =matricea M(F; B)(((((

=2 2 1 11 5 1 21 3 0 12 3 2 1. Care va fi matricea endomorfismului F, dac lum ca nou baza ALGEBR LINIAR 731) ( )4 3 2 1, , , ' e e e e B =; 2) ( )4 3 2 1 3 2 1 2 1 1, , , " e e e e e e e e e e B + + + = . 15. Dac A 1, A 2e L (R3, R3) sunt date prin matriceleM(A 1; B)((((

=3 2 11 2 00 1 3 ,M(A 2; B)((((

=5 0 01 4 02 4 1 , cu B baza canonic a spaiului R3, atunci 1)s se determine imaginea vectorului( ) 1 , 1 , 0 = uprin transformrile A 1,A 11 ,A 2,A 12 ; 2)s se determine imaginea vectorului( ) 2 , 3 , 1 = vprin (A 1+ A 2) i (A 1+ A 2)1 ; 3) s se determine imaginea vectorului( ) 2 , 1 , 0 = wprinA 1 A 2,A 2 A 1,(A 2 A 1)1 i (A 1 A 2)1 . ELEMENTE DE ALGEBR LINIAR I GEOMETRIE 74

4. VECTORIPROPRII.VALORIPROPRII. 4.1.Subspaii invariante ale unui endomorfism Fie EunK - spaiuvectorial. DEFINIIA 4.1. Fie F ) L (E, E) un endomorfism i E1 un subspaiu vectorial al lui E. Se spune c 1Eeste un subspaiu invariant al lui F (sau fa de F) dac>x)1E ,atunci F ( x ) )1E ,TEOREMA 4.1. Fie subspaiul 1E/ K @ E / K i 1Bo baz a lui1E .Subspaiul 1Eesteinvariant fa de F ) L (E, E) C F(1B ) @1E . Demonstraie.Dac 1Eeste invariant fa de Fi( )pu u u B , , ,2 1 1 = , atunci F(1B )=(F(1u ),F(2u ),...,F(pu ))@1E deoarece, conform cu D.4.1, pentru orice p k , , 1 = ,

1E uk eO F (ku ) )1E . Reciproc,fie 1E x earbitrarcare,raportat labaza1B ,sescrie = xE1 1u+ E2 2u+ ... + Ep pu . Festeotransformareliniar F( x ) = E1 F(1u ) + E2 F(2u ) + ... + Ep F(pu ), adicF( x )esteocombinaieliniarformatdinvectoriiF(ku ) din subspaiul 1E ,>p k , , 1 = ,deciF( x ))1E ,>x)1E . ALGEBR LINIAR 75Observaii 4.1. (a)Cunoaterea unor subspaii invariante ale unui endomorfism F ) L (E, E) permite alegerea unei baze convenabile n care matricea lui F are o formmai simpl. (b)Mulimea {0E} este un subspaiu invariant fa de orice endomorfism F, dar nu pre-zint interes. Dimensiunea sa este zero. (c)Fie 1E /K@E/K,cudim 1E =1.Oricesistem{ } u B=1,cuu ) 1E \{0E},esteo baz n 1E . Conform cu T.4.1, 1Eeste invariant fa de F ) L (E) dac i numai dac F( u ) ) 1E ,adic ) Ka.. F( u ) = u . Vectorii cu aceast proprietate pre-zint un interes deosebit n cele ce urmeaz. 4.2.Vectori proprii. Valori proprii. Definiii. Proprieti FieEunK-spaiu vectorial. DEFINIIA4.2.Unvectorx )E\{0E}senumetevectorpropriualendo-morfismuluiF ) L (E,E)dac ) Ka.. (1) F( x ) = x . Un scalar ) Ksenumetevaloare proprie a endomorfismului F ) L (E,E)dacx) E \ {0E}careverificegalitatea(1). Observaii 4.2. (a) Unui vector propriu i corespunde o singur valoare proprie.ntr-adevr,F( x )= x iF( x ) ( ) = = =Ex x 0 ,deoarece Ex 0 = . (b) Unei valori propriii corespund o infinitate de vectori proprii. ntr-adevr,dacx este vector propriu asociat valorii proprii( adicF( x ) x = ), atuncitoi vectorii subspaiului 1Egenerat dex , mai puin vectorul nul 0E, vor fi vec-tori propriiasociai valorii proprii(deoareceF ( kx ) kx = ,>k ) K \ {0K}). TEOREMA 4.2. Vectorii proprii px x x , , ,2 1ai unui endomorfism F, asociai unor valoriproprii distincte p , , ,2 1 , sunt liniar independeni. ELEMENTE DE ALGEBR LINIAR I GEOMETRIE 76Demonstraie.Presupunemcontrariul : p| | | , , ,2 1 ) Knutoinuli,a.. (2) E ppx x x 02211= + + + | | | . Dispunem denumerotareiputemfaceca1| 0K.Dinaceastadeducem 1| F(1x ) + 2| F(2x ) + ... + p|F(px ) = 0E sau,inndseamacpx x x , , ,2 1suntvectoriproprii, (2)E pp px x x 022 211 1= + + + | | | . nmulim(2)cu1 io scdemdin(2), ( ) ( ) ( )E pp px x x 0131 3 321 2 2= + + + | | | . Dac indE{px x , ,2 }, din aceast ultim egalitate, cup , , ,2 1 distincte,rezult03 2= = = =p| | | i (2) se reduce laEx 011= | , cu1|0K, deci Ex 01 = . Dar 1xestevectorpropriuiconformcuD.4.2, 1x 0E.Prinurmarenuareloc indE{px x , ,2 }. Am demonstrat astfel c depE{px x x , , ,2 1 }OdepE{px x x , ,3 2 }. Repetndraionamentul,obinem depE{px x x , ,3 2 }OdepE{px x x , , ,4 3 }O ...OdepE{px } , ceea ce este fals deoarece px0E i 0 0 = = E px (care d indE{px }). nconcluzie,indE{px x x , , ,2 1 }. DEFINIIA 4.3. Fie jo valoare proprie a endomorfismuluiF ) L (E, E). MulimeaEj = { x) E | F( x ) =xj}senumetesubspaiulpropriuasociatva-loriipropriij. Se observ c jEeste format din vectorul nul i toi vectorii proprii asociai va-loriipropriij . ALGEBR LINIAR 77TEOREMA 4.3. (asubspaiilorproprii). (P.1.) Subspaiul propriu Ej , asociat valorii propriij , este un subspaiu vec-torial al lui E, invariantfadeF. (P.2.) Subspaiile proprii asociate valorilor proprii distincte 2 1 = , au propri-etatea cE1 ^ E2 = {0E}. Demonstraie.(P.1.)Sartmmaintic jE /K@E/K.Egalitatea F( x )= xj semaiscrie(F-j I)( x )=0E,cuItransformareaidentic.Deci jEeste nucleul endomorfismuluiF -j Ii, conform cu T.3.4, este un subspaiu vectori-al al lui E. Subspaiul jEeste invariant fa de F deoarece > jE x e , F( x )jE x e =j(conformD.4.1) . (P.2.) Fie 2 1 = . Pentru ee e 212 1E xE xE E x F( ) x x1 = , F( ) x x2 = ( )Ex 02 1= i2 1 =O x= 0EOE1 ^ E2 = {0E}.e 4.3.Polinom caracteristic n cele ce urmeaz ne vom ocupa de determinarea valorilor proprii i a vectorilor propriipentru F ) L (E, E). FieIendomorfismulunitate,I( x ) x = ,>E x e .Egalitatea(1)esteechiva-lent cu (3)(F - I)( x ) = 0E . Fie B o baz n E, M(F; B) | |n jn iijs ss s=11o i M (I; B) = In, unde In este matricea unitate deordinul n = dim E.La rndulei, egalitatea(3)esteechivalentcu (4) (M(F; B) - In)[ x ]B = [0E]B , unde[ x ]BestematriceacoloanformatdincoordonateleluixnbazaB. ELEMENTE DE ALGEBR LINIAR I GEOMETRIE 78DEFINIIA4.4.Egalitateadatderelaia(4)senumeteecuaiavectorilor proprii.Aceastaestefolositpentrudeterminareacoordonatelor(nx x x , , ,2 1 )alevectoruluipropriu x ,atuncicndsecunoatevaloareaproprie . Ecuaiamatriceal(4)sescrieexplicitsubforma (4) (((((

=((((((

((((((

000212 12 22 211 12 11 n nn n nnnxxx o o oo o oo o o ,(unde 0=0K) careesteechivalentcusistemul (5) ( )( )( )= + + += + + += + + + 0002 2 1 12 2 22 1 211 2 12 1 11n nn n nn nn nx x xx x xx x x o o oo o oo o o deecuaiiliniareiomogenennecunoscutelen i xi, , 1 , = ,pentrucaresoluiaba-nalnu convine deoarecex ) E \ {0E}. Deci valorile proprii sunt acele valori ale luipentrucare determinantul ataat matricei sistemului este nul. DEFINIIA 4.5. Polinomul(6) P( ) = det (M(F; B) - In)senumetepolinomulcaracteristicalendomorfismuluiF,iarP( )=0senumete ecuaia caracteristic aluiF. TEOREMA 4.4. Polinomul caracteristic al unui endomorfism Feste un inva-riant la schimbarea bazei spaiului vectorial E. Demonstraie. Fie B iB~ dou baze n E, F ) L (E,E) , cu M(F; B), M(F,B~) matriceleasociateluiFnceledoubazeipolinoamelecaracteristicealeluiFncele dou baze ( ) det = P ( M(F; B) )nI , respectiv,( ) det~= P ( M(F,B~) )nI . Conform egalitii (14), a teoremei 3.10, M(F,B~) ( ) =B B M~,1 M(F; B) ( ) B B M~, , ALGEBR LINIAR 79unde M(B,B~) este matricea de trecere de la B laB~. Avem n mod evident c In = M-1(B,B~) In M(B,B~) i, prin urmare, ( ) ( ) ( =B B M P~, det~1M(F; B)( ) B B M~, -( ) ( ) ) = B B M I B B Mn~,~,1 ( ) det~, det1 =B B M ( M(F; B) ) ( ) = B B M In~, det

( )( ) det~, det~, det1 = B B MB B M( M(F; B) ) ( ) P In= , deoarecedeterminantulprodusuluiadou matrice ptrate de acelai ordin este egal cuprodusul determinanilor celor dou matrice ptrate.Acestrezultatjustificde ce P( ) a fost numit, simplu, polinomul caracteristic al lui Fi nu polinomul caracteristic al lui Fn baza B. TEOREMA 4.5. Fie E un K - spaiu vectorial i F ) L (E, E). Dac K este un corpalgebric nchis, endomorfismul Fadmite valori proprii i vectori proprii. Demonstraie. P( ) este un polinom cu grad P( ) E n dim = =i cu coeficien-ii din corpul K. Dac K este algebric nchis, ecuaia P( ) 0 = admite cel puin osolu-ie e1 K.Printr-unprocedeucunoscut,dinaproapenaproapeseobinedescompu-nerea ( ) ( ) ( ) , ... (-1) ) P(2 1 2 1 n lmlm m = cu n m m ml= + + + 2 1. Valorile proprii ale endomorfismului F suntl , , ,2 1 ,cu ordinele de multiplicitate lm m m , , ,2 1 . Unei valori proprii ii corespunde o infinitate de vectori proprii care au coor-donatelen baza B date de sistemul (5), n careeste nlocuit cui .cn particular, dac K = C, orice endomorfism F ) L (E, E) admite valori pro-priii vectoriproprii. Dac K = R, nu orice F ) L (E, E) admite valori proprii i vec-toriproprii. ELEMENTE DE ALGEBR LINIAR I GEOMETRIE 804.4. Forma diagonal O preocupare important n cele ce urmeaz este determinarea unei baze n E, asfelnct matricea unui endomorfismF ) L (E,E)saibformaceamaisim-pl,aanumitaformcanonic . Pentruacestmotiv,determinareauneibazencare matricea endomorfismului F are forma diagonal, prezint un interes deosebit. Datfiind un endomorfism prin matricea sa ntr-o baz arbitrar, aceast operaie se numetereducerea matricei respective la forma diagonal sau diagonalizarea matricei. DEFINIIA4.6.VomspunecendomorfismulF)L(E,E)este diagonalizabildac existobazBnEn care M(F ;B) | |n jn iijs s s s=11oesteomatricediagonal,adic 0 =ijoK ,pentrui j. TEOREMA4.6.UnendomorfismF)L(En,En)estediagonalizabildaci numai dac exist o baz a spaiului En format din vectori proprii ai endomorfismului. Demonstraie. Dac F este diagonalizabil, atunci exist o baz { }ne e e B , , ,2 1 =a spaiului fa de care matricea este diagonal, adic M(F; B)((((((

=nnaaa 0 00 00 02211. Rezult F( ) M B B = (F; B ) ( ) ( )nnnnnne a e a e aaaae e e , , ,0 00 00 0, , ,22211122112 1 =|||||.|

\| = icumF(B)=(F(1e ),F(2e ),,F(ne )),obinemF( ) n k e a ekkkk, , 2 , 1 , = = ,ceeace nseamn c vectoriin k ek, , 2 , 1 , =sunt vectori proprii aiendomorfismului F. Reciproc, dac{ }nu u u B , , , *2 1 =este o baz n En format de vectorii proprii ai lui F, adic F( ) n k u ukkk, , 1 , = = , atunci matricea lui Fn aceast baz este ALGEBR LINIAR 81M(F; B*)= | ( F( )|1u* B,, | F( )| )* B nu((((((

=n 0 00 00 021. Desigur, unele dintre numerele kpot fi egale. TEOREMA 4.7. Pentru endomorfismulF ) L (En, En), dimensiunea unui sub-spaiu propriu este cel mult egal cu ordinul de multiplicitate al valorii proprii cores-punztoare subspaiului. Demonstraie.Fie 0 o valoare proprie multipl de ordinul m iE0 subspaiul propriu corespunztor, cun p E < =0dim . Fie{ }0 2 1, , , E e e epc o baz a subspaiului propriu.CompletmaceastbazpnlaobaznEndeforma { }n p pu u e e B , , , , ,1 1 += .Deoarecevectoriip k ek, , 2 , 1 , = ,suntvectoriproprii corespunztori valorii proprii 0 , avem F( ) p k e ek k, , 2 , 1 ,0 = = i F( ) n p j u a e a unp iiijpiiijj, , 1 ,1 1 + = + = + = =. Matricea lui Fn aceast baz esteM(F; B)(((((((((

=++++nn nppn ppn pn pa aa aa aa a 11 02 1 2 01 1 1 00 0 00 00 00 0 astfel c polinomul caracteristic al lui Fare forma ( ) det = P ( M(F; B) ) = I ( ) ( ) A p0, unde( ) Aeste un determinant de ordinp n . n concluzie,( ) 00= A implic m p < , iar ( ) 00= A implicm p = . Deci m p s . TEOREMA4.8.UnendomorfismF)L(En,En)estediagonalizabildaci numai dac polinomul caracteristic are toate rdcinile n cmpul peste care este luat En i dimensiunea fiecrui subspaiu propriu este egal cu ordinul de multiplicitate al ELEMENTE DE ALGEBR LINIAR I GEOMETRIE 82 valorii proprii corespunztoare.Demonstraie. Presupunem c endomorfismul Feste diagonalizabil. Rezult c exist o baz{ }n nE e e c , ,1 format din vectoriproprii pentru F , fa de care matri-cea lui Feste diagonal. Fie( ) ( ) ( ) ( )pmpm mP = 2 12 1, adicp kk, , 1 , = ,suntvalorilepropriialeluiFdemultipliciti im ,cu n mpii==1.Frareducegeneralitatea,putemadmitecprimii 1m vectoridinbaza { }ne e , ,1 corespundlui 1 ,urmtorii 2m lui 2 etc.nconcluzie,vectorii { }1 11, , E e emc aparinsubspaiuluipropriucorespunztorvaloriiproprii 1 ,ceeace nseamncnumrullor 1m estemaimicsaucelmultegalcu 1dimE ,adic 11dimE ms .Pedealtparte,conformteoremei4.7,avem 1dim m E s .nconcluzie 11dimE m= .Analog, rezultp k m Ekk, , 2 , dim = = . Reciproc, presupunem cp k m Ekk, , 2 , 1 , dim = = .Considerm mulimea { }p pm m m m me e e e e e B , , , , , , , , ,1 2 1 111 += , cun mpii==1, format din vectori din En astfel nct primii 1mvectori s constituie o baz n E1, urmtorii 2ms constituie o baz n E2 i aa mai departe. Folosind inducia asupra lui p se arat c B este o baz a lui En. Fa de aceast baz B matricea lui FesteM(F; B)(((((((((((((

=ppp 0 0 0 0 00 0 00 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 00 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0111, ALGEBR LINIAR 83adic o matrice diagonal.Consecina 4.1.Dac F ) L (En, En) este diagonalizabil, atunci En este suma direct a subspaiilor proprii asociate valorilor proprii p , ,1ale endomorfismului, adic p nE E E E + + + = 2 1. Procedeu de diagonalizare a unui endomorfism. Practic se parcurg urmtoa-rele etape : 1) Fixm o baz B n En i determinm matricea M(F; B). 2) Determinm valorile proprii care sunt soluii n K ale ecuaiei( ) 0 = P . 3) Dac exist( ) n p p svalori proprii distincte p , , ,2 1cu ordinele de multiplici-tate pm m m , , , ,2 1 , calculm rangul fiecrei matrice M(F; B) p k Ik, , 1 , = . Dac rang(M(F; B)) p k m n Ik k, , 1 , = = ,(Ker Ekdim dim = (F k I )) este num-rul soluiilor independente ale sistemului omogen (M(F; B) ) | | | |B E BkO x I = , atunci (conform teoremei 4.8)Feste diagonalizabil. 4) Se rezolv celepsisteme omogene(M(F; B) ) | | | |B E BkO x I = ,p k , , 1 = . Un sistem fundamental de soluii, pentru un asemenea sistem, reprezint coordonatele vecto-rilor proprii corespunztori valorii proprii k . 5) Matricea lui F, n raport cu baza format din vectorii proprii ai lui F, are pe diagonalelementele p p , , ; ; , ,1 1 , adic valorile proprii. 6) Notm prin DeM (n, n, K) matricea diagonal ataat lui Fn raport cu baza format din vectorii proprii ai lui F. Dac CeM (n, n, K) este matricea ale crei coloane sunt vectorii proprii care alctuiesc noua baz a lui En, adic matricea de trecerea de la baza iniial din En (baza canonic B) la baza format din vectorii proprii, atunciD = C-1 M(F; B) C . ELEMENTE DE ALGEBR LINIAR I GEOMETRIE 844.5. Probleme rezolvate 1. Fie p ,..., ,2 1 valorile proprii ale endomorfismului lui FeL( ) E E, , iar px x x ,..., ,2 1 vectorii proprii corespunztori. S se arate c endomorfismul Fn, cu e n Z*, admite valorile proprii( ) ( ) ( )npn n ,..., ,2 1 i vectorii proprii px x x ,..., ,2 1. Rezolvare. Din relaia de definiie a vectorilor proprii F( )iiix x = ,, , , 1 p i =obinem pe de o parteF 2( ) =iix F( ) ( )iiix x2 =, F 3( ) ( ) =2iix F( ) ( )iiix x3 =, i pe de alt parte F ( )iiix x11=F ( )iix12=F -1( )( )iiix x21=,F ( )( )231iix=F -1( )( )iiix x31=,, pentru. , , 1 p i = 2. Fie| | { }e = C f f V R 1 , 1 :spaiul funciilor de clas Cpe interva-lul[-1,1]. Endomorfismul SV V : prin S( ) ( ) ( ) ( ) | | x f x x f ' 12 = ,| | 1 , 1 e xse numete operatorul Sturm-Liouville. S se arate c( ) 1 + = n nn,e n N sunt valorile proprii, iar vectorii( ) ( ) | |nnnn nxdxdnx x 12 !12= P ,e n N, sunt vectorii proprii ai en-domorfismului S . Rezolvare. Facem notaia( ) ( )nnx x f 12 =i avem egalitatea ( ) ( ) ( ) x nxf x f xn n2 ' 12= . Derivnd de n+1 ori ambii membri, folosind formula Leibniz, obinem ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ) ( ) 1 ( 2 ) ( 2 1 1 2 1) ( ) 1 ( 1 2 2x f n n x nxf x f n n x f n x x f xnnnnnnnnnn+ + = + + + + + + + sau ( ) | | ) ( ' 12x P xn = n(n+1) ) (xnP . ALGEBR LINIAR 85Aceasta se mai scrie S( ) ) ( ) 1 ( ) ( x n n xn nP + = P , ceea ce arat c numerele) 1 ( + = n nnsunt valorile proprii, iar( ) x Pn sunt vectorii proprii corespunztori ai operatorului S. 3.I. Fie matricele asemenea A iS S A = B1 (cu S matricea nesingular de a-celai ordin ca A). S se arate c polinoamele caracteristice ale matricelor A si B sunt e-gale. II. Fie M si N dou matrice ptratice de acelai ordin. tiind c una dinte ele este nesingular, s se arate c : i)matricele M i N sunt asemenea; ii)polinoamele caracteristice ale matricelor MN si NM coincid. Rezolvare. I. DeoareceIS S 1 = I , putem scrie| | | | ( ) | | S A S S S AS S I = I = I B 1 1 1det det detsau nc | | | | S S det det det det1 I A = I B . Cum1 det det1= S S ,rezult ( ) | | I A = I B det det . II. Presupunem matricea M nesingular i avem i) ( ) ( ) MS MN MS MNMS M S NMS S1 1 1 1 = =; ii)| | | | ( ) | | = I = I = I M MN M M M MNM M NM 1 1 1det det det| | | | I = I = MN M MN M det det det det1. 4.I. Fie endomorfismul T3 3: R R dat prin matricea M(T; B)|||.|

\| =0 1 10 1 01 0 1 exprimat n baza canonic B a spaiuluiR3. S se determine valorile proprii i vectorii proprii ai lui T. II. Fie endomorfismul F 4 4: R R dat prin matricea ELEMENTE DE ALGEBR LINIAR I GEOMETRIE 86M(F ; B)(((((

=2 1 1 21 0 1 22 4 1 01 2 0 1 exprimat n baza canonic B a spaiului vectorial 4R . i) S se determine valorile proprii i vectorii proprii. ii) Dac baza canonic B a spaiului 4Reste format din vectorii{ }4 3 2 1, , , e e e e , s se a-rate c subspaiul generat de vectorii 2 1 12e e u + =si 4 3 2 22e e e u + + =este invariant n raport cu F . Rezolvare. I. Obinem polinomul caracteristic( ) ( ) ( ) 1 11 10 1 01 0 12 + = = P i valorile proprii11 = , 25 12= , 25 13+= . Dac( )3 2 1, , x x x x =este vectorul propriu corespunztor valorii proprii , ecuaia (4) a vectorilor proprii se scrie |||.|

\|=|||.|

\||||.|

\| 0001 10 1 01 0 1321xxx . Pentru11 = , avem sistemul matriceal |||.|

\|=|||.|

\||||.|

\| 0001 1 10 0 01 0 2321xxx, din care 1 2 1 3, 2 x x x x = , deci vectorul propriu cutat este=1x o(1,-2,-1), cu oeR. Pentru 25 12= obinem=2x |||.|

\| 25 1, 0 , 1 , cu |eR, iar pentru 25 13+= ALGEBR LINIAR 87obinem 3x =||.|

\|+ 25 1, 0 , 1 , cu R e . II. i) Polinomul caracteristic este P()=( )41 i14 3 2 1= = = = este valoare propriemultipl de ordinul al patrulea. Ecuaia (4) a vectorilor proprii se scrie (((((

=((((((

(((((

00001 1 1 21 1 1 22 4 0 01 2 0 04321xxxx i are soluia 3 4 3 1 22 , 2 x x x x x = + = . Parametriznd variabilele 1xi 3x , punem o =1xsi | =3x , cue | o, R, astfel c vectorul( )4 3 2 1, , , x x x x x =devine |||||.|

\|B +|||||.|

\|B =|||||.|

\|+B =|||||.|

\|B =21100021224321| o||| ooxxxxx . Prin urmare, lui 1 = i corespund doi vectori proprii =1u (1, 2, 0, 0) i=2u (0, 1, 1, 2) n scriere vectorial sau tu ) 0 , 0 , 2 , 1 (1B =si tu ) 2 , 1 , 1 , 0 (2B =n scriere matriceal. ii) Din expresiile vectorilor proprii se vede c subspaiul generat de vectorii 4 3 2 2 2 1 12 , 2 e e e u e e u + + = + = este invariant n raport cu F, conform teoremei 4.3, deoarece 1ui 2usunt tocmai vectorii proprii ai endomorfismului. 5. Fie endomorfismele F1,F2eL( )3 3, R Rdate n baza canonic B a spaiului vectorial 3Rprin matricele M(F1; B)((((

=1 6 30 5 30 6 4iM(F2; B)((((

=2 2 13 4 25 7 3. S se determine valorile proprii, vectorii proprii pentru F1 i F2 i apoi, dac este posi-bil, s se diagonalizeze fiecare endomorfism. ELEMENTE DE ALGEBR LINIAR I GEOMETRIE 88Rezolvare.Pentru endomorfismul F1 avem polinomul caracteristic ( ) ( )( ) 2 12 + = P , valorile proprii1 , 23 2 1= = = cu ordinele de multiplici-tate m 11= , m 22= . Deoarece rang(M(F1; B) I 1 )=2=n-m1=3-1=2, prin rezolvarea sis-temului omogen [M(F1; B) I ) 1 ( ]| | | | 01= u , obinem vectorul propriu tx u ) 1 , 1 , 1 (31 B = ,cuR e3xsau( )te 1 , 1 , 11 B = . Analog, rang(M(F1; B) I 2 )=1= = n - m2= 3 2 = 1, deci2 dim2 = E . Prin rezolvarea sistemului omogen [M(F1;B) I 2 ]| | | | 02= u , obinem( ) ( ) + B = B =ttx x x x u 0 , 1 , 2 , , 22 3 2 22 ) 1 , 0 , 0 (3B + x , cuR e3 2, x xsau te ) 0 , 1 , 2 (2 B =si( )te 1 , 0 , 03B = . Considernd( )3 2 1 1, , e e e = B , baza format din vectorii proprii pentru F1, obinem( )|||.|

\| = B B M1 0 10 1 10 2 1,1 i forma diagonal D=M-1(B,B1) M(F1; B) M(B,B1)|||.|

\| =1 0 00 1 00 0 2. Pentru endomorfismul F2 avem polinomul caracteristic( ) ( )31 = P i valorile pro-prii13 2 1= = = cuordinuldemultiplicitatem 31= . Deoarecerang(M(F2; B) I 1 ) = 2= n-m1=3-3=0, endomorfismul F2 nu este diagonalizabil . 4.6. Probleme propuse 1. S se demonstreze c, prin multiplicarea unui operator cu un scalar nenul, vectorii proprii rmn neschimbai, iar valorile proprii se nmulesc cu acel scalar. 2. S se demonstreze c, pentru oriceR e0o , matriceaI A0oare aceiai vectori pro-prii ca i matricea A. Pentru operatorii corespunztori celor dou matrice, s se gseasc relaia dintre valorile proprii. ALGEBR LINIAR 893. S se arate c valorile proprii ale unei matrice diagonale coincid cu elementele diago-nalei. 4. Endomorfismul FeL (V3, V3) are n baza( )3 2 1, , e e e = BmatriceaM(F; B)((((

=1 3 13 1 11 1 2. 1) S se gseasc valorile proprii i vectorii proprii iuai lui F. 2) S se scrie matricea M(F; B*), cu( )3 2 1, , u u u = B-. 3) S se determine formulele de trecere de la baza B la baza -B . 4) Notnd cu( )-B B M ;matricea de trecere de la B la -B , s se verifice prin calcul di-rect c matricea M(F; B*) este asemenea cu matricea M(F; B) (adic, s se arate c M(F; B*) = M-1(B; B*) M(F; B) M(B; B*) ). 5) Ce se poate spune despre valorile proprii i vectorii proprii ai transformrii F -1 ? 5. Fie endomorfismul A =L( )3 3, R Rdefinit prin a) A (x)=( )3 2 13 , 2 , x x x , b) A( ) ( )3 2 1 2 1 1, , x x x x x x x + + + = , c) A( ) ( )2 1 2 1, 0 , x x x x x + = . S se gseasc, pentru fiecare caz n parte, vectorii proprii i valorile proprii. 6. S se determine valorile i vectorii proprii ai urmtoarelor matrice din spaiul 3R : ((((

= M1 5 41 2 12 5 11 ((((

= M9 6 33 2 19 6 32 ((((

= M0 1 22 2 12 1 13 7. S se determine polinomul caracteristic pentru operatorul liniar A, cruia n spaiul liniar E i corespunde matricea: |||.|

\|= A0 0 10 1 11 1 1, |||.|

\|= B1 2 03 1 20 1 1, C|||||.|

\|=2 1 0 01 0 1 10 1 0 32 0 1 1. ELEMENTE DE ALGEBR LINIAR I GEOMETRIE 908. Endomorfismul AeL (V4, V4) este definit in baza 4 3 2 1, , , e e e e a spaiului V4cu ajutorul matricei |||||.|

\|= A3 1 2 18 11 17 87 8 13 74 5 9 6 i) S se determine valorile proprii i vectorii proprii ai transformrii A. ii) S se indice subspaiile invariante nebanale ale spaiului V4. iii) Poate fi diagonalizat matricea A ? 9. S se diagonalizeze matricea |||.|

\| = A4 6 65 7 52 2 4. 10. Pot fi diagonalizate matricele urmtoare: |||.|

\| 2 0 13 3 52 1 2 ,|||.|

\|2 1 02 0 10 1 2? 11. Fie TeL( )3 3, R Rendomorfismul definit prinT ( ) ( )3 2 1 3 2 1 3 2 12 4 , 2 2 2 , 4 2 x x x x x x x x x x + + = , cu( )3 3 2 1, , R e = x x x x . S se determine o baza ortonormat n 3Rfa de care matricea endomorfismului s fie di-agonal. 12.Fie matricea |||.|

\|= A0 1 11 0 11 1 0. i)S se determine valorile proprii i vectorii proprii. ALGEBR LINIAR 91ii)Folosind forma diagonal a matricei A, sa se determineN e A kk,i s se scrie sub formaI + A = Ak k kb a , unde I este matricea unitate de ordinul 3, iarR ek kb a , . 13.Fie| |ija = Ao matrice de ordinul n, cu elemente n R. Se numete urma matricei A i se noteaz SpA, suma elementelor diagonale ale acestei matrice Sp(A)=nna a a a + + + + ...332211. Dac matricele A,B,C sunt de acelai ordin i C este nesingular, s se verifice relaiile: Sp (oA) = o Sp (A), Sp (A+B) = Sp (A) + Sp(B), Sp (AB) = Sp(BA),Sp(C1 AC) = Sp (A) . 14.Fie0 ...1 2 2 1 1= + + + + + n n n n np p p p ecuaia caracteristicamatricei A. Notm cu s1=Sp(A), s2=Sp(A2),, sn=Sp(An). S se arate c : 1.s1=Sp(A)= n + + + ...2 1; 2.sk=Sp(Ak)=-e + + + Z kk n k k, ) ( ... ) ( ) (2 1 ; 3.ntre urmele s1,s2,,sn i coeficienii p1,p2,pn ai ecuaiei caracteristice, exist relaiile s1+p1= 0 s 0 22 1 1 2= + + p s p(7) 0 33 1 2 2 1 3= + + + p s p s p s 0 ...1 1 2 2 1 1= + + + + + n n n n nnp s p s p s p s ELEMENTE DE ALGEBR LINIAR I GEOMETRIE 9215. Folosind relaiilep1 1s =,( )2 1 1 221s s p p + =,( )3 2 1 1 2 331s s p s p p + + =, (stabilite in problema 14), s se scrie ecuaiile caracteristice ale matricelor 1.((((

= A0 1 11 0 11 1 0 ; 2.((

= A2 54 3 ; 3.((((

+= A1 01 10 1 1ii ii.

ALGEBR LINIAR 93 5. TIPURI DE TRANSFORMRI PE SPAII VECTORIALE EUCLIDIENE 5.1. Transformri ortogonale FieE, EOdouK - spaii euclidiene. DEFINIIA 5.1. O transformare liniarF ) L (E, EO) se numete ortogo-nal dacpstreaz produsul scalar, adic (1)(F( x ), F( y )) = ( y x, ),> x,y ) E Notaie.Lort (E, EO): = {F ) L (E, EO)|((F( x ), F( y )) = ( y x, ),> y x,) E}Exemple.1. Transformarea identic I : E 4 E este ortogonal deoarece pentruorice x) EavemI ( x ) =xicondiia(1)estedecindeplinit. 2. Transformarea F : E 4 E care asociaz fiecrui x ) E, opusul sux , este ortogo-naldeoarecedinrelaiadedefiniieF( x ) =x pentruorice x ) E,rezultcon-diia(1). TEOREMA 5.1. Condiia necesar i suficient ca o transformare liniarF ) L (E, EO) s fie ortogonal este ca ea s pstreze lungimea vectorilor, adic (2)|| F( x ) || = || x||, >x ) E. Demonstraie. Dac F ) Lort (E, EO)O (F( x ), F( x ))=( x x, ) (conform cu (1))O || F( x ) || = || x ||, x ) E. Reciproc,dac || F( x ) || = || x ||, >x ) E,considerm ELEMENTE DE ALGEBR LINIAR I GEOMETRIE 94( ) ( ) | | ( ) (212121,2 2 22 2 2= + = + = y x y x y x y x y x F( ) +2y x F( ) 2x F( ) (21)2= y F( ) + x F( ) 2y F( ) 2x F( ) )=2y

21= ((F( ) + x F( ) y )2 F 2( ) x F 2( )) = y (F( ), x F( ) y ). DConsecina 5.1. Orice transformare ortogonal este injectiv. ntr-adevr, dac F ) L (E, EO), din F( x ) = 0EOrezult, conform cu relaia (2), c || x || = || F( x ) || = || 0EO|| = 0,adicKer (F) = {0E} O F injectiv(cf.T.3.6). TEOREMA 5.2. (1) Produsul a dou transformri ortogonale este tot o trans-formare ortogonal. (2) Inversa unei transformri ortogonale surjective este tot o transformare ortogonal. Demonstraie.(1) Fie F1: E 4 EO i F2: EO 4 EOO dou transformri orto-gonaleiF = F2 = F1: E 4 EOO produsul lor. Dup proprietatea 3.3.1, Feste lini-ar i, inndseama de relaia (2), avem || F( x ) || = || F2 (F1( x )) || = || F1( x ) || = || x ||,>x ) E , deci Feste ortogonal. (2)FieF ) Lort(E, EO),Fsurjectiv O F estebijectivi , deci,existF -1: EO 4 E care este, conform proprietii 3.3.5., transformare liniar. Punnd F -1(v) = v sauechi-valent vO = F(v) i, innd seama de (2), obinem || F -1(vO) || = || v || = || F(v) || = || vO||,> vO ) EO ,adicF -1este ortogonal. Dinteorema5.2.rezult Consecina5.2.Operaiadecompuneredetermin,pemulimeaendomorfis-melor ortogonale surjective ale unui spaiu vectorial euclidian E pe el nsui, o structurde grup. Acestgrupse numete grupul ortogonalal spaiului euclidian Ei-l vom notaGO(E). El este subgrup al grupului liniar GL(E) - grupul format de mulimeaendomor-fismelor lui E. TEOREMA5.3.CondiianecesarisuficientcaF) Lort(E,EO)esteca ma-triceaM(F; B,BO) a transformrii Fn raport cu orice baze ortonormate B i BO din E,respectiv, EO s verifice egalitatea ALGEBR LINIAR 95(3) Mt(F; B,BO) M(F; B,BO) = In, undeInestematriceaunitatedeordinuln = dimE. Demonstraie. Presupunem c F ) Lort(E, EO) O>x ) E,|| F( x ) || = || x ||O (F( x ),F( x ))=( x x, )O[F( x )]tBO[F( x )]BO=[ x ]tB[ x ]B i,cum[F( x )]BO=M(F; B,BO)[ x ]B , rezult[ x ]tB Mt(F; B,BO) M(F; B,BO) [ x ]B = [ x ]tB In [ x ]B , deunderezult(3). Reciproc, presupunem adevrat relaia (3) i parcurgnd n sens invers demon-straiaprecedentO || F( x ) || = || x ||,adicF ) Lort (E, EO). DEFINIIA5.2.MatriceaptratA)M(n,n,R)senumeteortogonal dac satisface relaia (4)A At= At A = In . Consecine5.3.(1)DacF)Lort(E,E)atunciM(F;B)estematriceortogo-nal. (2) Dac A este matrice ortogonal, atunci det A = = 1. (3)DacAiBsuntdoumatriceortogonale,atunciimatriceaABestematrice orto-gonal. (4) Inversa unei matrice ortogonale este o matrice ortogonal. (5) Dac A i B sunt matrice ortogonale, atunci i matricea ||.|

\|BA00 este ortogonal. Demonstraie.(1)esteevident. (2) innd seama de proprietatea c det (A B) = det (A) det (B), avem din relaia (4) det (A At) = det In O detA det At = 1 i, cum det A = det At, rezult (det A)2 = 1 O det A = = 1.(3) Din ipotez: A At = In, B Bt = In ,rezult (AB) (AB)t = (AB) (BtAt)= A (BBt) At =A In At = AAt= In . (4) Fie B = A-1i AAt = In. Avem succesiv: ELEMENTE DE ALGEBR LINIAR I GEOMETRIE 96B Bt = (A-1) (A-1)t= A-1 (At)-1 = (AAt)-1 = In-1 = In. (5) innd seama de (3), avem pe rnd .000000000000IIIB BA ABABABABAttttt=((

=((

=((

((

=((

((

Observaie 5.1. n C.5.3.(5) nu este necesar ca cele dou matrice s fie de ace-laiordin. DEFINIIA5.3.UnendomorfismortogonalF senumeterotaiedacdetM(F; B)= 1, unde M(F; B) este matricea lui F asociat bazei B a spaiului vectori-al. 5.2. Transformri liniare simetrice DEFINIIA 5.4. O transformare liniar F a unui spaiu euclidian n el nsui senumete simetric dac satisface condiia(5)( x ,F( y ))=(F( x ), y ), >y x, ) E. nceleceurmeazvomconsideradim E =n . TEOREMA 5.4.CondiianecesarisuficientcatransformarealiniarF ) L (E, E)s fie simetric este ca: i) matricea asociat ei ntr-o baz ortonormat dat s fie simetric ; ii) produsul scalar ( x , F( x )) s fie real, >x) E. Demonstraie. i)FieB = (e1, e2, ... ,en)obazortonormat,adic

( )=== =j. i daca 1,j, i daca , 0,ij j ie e o Considermdoivectori xiy ) E \ {0E }care,nbazaB, seexprimsubforma | |== niiiBe x x B1 i, respectiv, | |== niiiBe y y B1. Reamintimexpresiaprodusuluiscalar ALGEBR LINIAR 97 ( ) ( ) = = = = = = == = =||.|

\|=nii ii jijj ii jj ij injjjniiiy x y x e e y x e y e x y x1n1n1 1 1 1 1, , , on n adic (6) (B[ x ]B, B[ y ]B) = [ x ]tB[ y ]B. Scriindrelaia(5)subformmatricealavem (B[ x ]B, BM(F; B)[ y ]B) =(BM(F; B)[ x ]B, B[ y ]B) i,folosind(6),obinemurmtoareleforme echivalente [ x ]tB M (F; B) [ y ]B = (M(F; B)[ x ]B)t[ y ]B C C[ x ]tB M (F; B) [ y ]B = [ x ]tB Mt (F; B) [ y ]B C C M (F; B) = Mt (F; B).ii)Dac Feste simetric, atunci ( x , F( x )) = (F( x ), x ) = ( x , F( x )), unde bara orizon-taldedeasupraperechiideparantezenseamnconjugatulcomplex.Deci( x , F( x )) = ( x , F( x )) i ( x , F( x )) este real, >x ) E. Reciproc, dac ( x , F( x )) este real, atunci ( x , F( x )) = ( x , F( x )) = (F( x ), x ) = = (F( x ), x ) i, prin urmare, Feste simetric.TEOREMA5.5. Fie E un R - spaiuvectorial, F ) L (E, E) i B baz a lui E.Dac M(F; B) ) M(n, R) i M(F; B) = Mt (F; B), atunci toate valorile proprii, distinc-te sau nu, ale endomorfismului Fsunt reale. Demonstraie. Fie M(F; B) matricea transformrii F fa de o baz ortonormatdin E i ecuaia caracteristic asociat ei det(M (F; B) - In) = 0. Cumaceastecuaieestedegradulnn,eaaren rdcini distincte sau nu n corpul complex C. Fie 0 una din ele i [ x ]B o soluie nenul aecuaiei vectorilor proprii (4) din 4.3. Considerm relaia (4) din 4.3 sub forma (7)M (F; B) Bx] [ = 0 Bx] [ ,care,conjugatcomplex,d ELEMENTE DE ALGEBR LINIAR I GEOMETRIE 98(8) M(F;B) | | | |B Bx x =0 ,undeM(F;B)=M(F;B),deoareceM(F;B))M(n; R). Amplificndlastngape(7)cu tBx] [ ipe(8)cu tBx] [, avem (7O) tBx] [M (F; B) Bx] [ = 0 tBx] [Bx] [ ,(8O) tBx] [M (F; B) Bx] [ = BtBx x ] [ ] [0 . Aplicmtranspusarelaiei(8O)iobinem

tBx] [M (F; B) Bx] [ = 0tBx] [Bx] [

, care,comparatcu(7O),d ( ) | | 0 ] [0 0= BtBx x i,cum x0E,rezult0 0 = ,deci0) R.s TEOREMA 5.6. Subspaiul ortogonal unui vector propriu al unei transformri liniare simetriceF,este invariant fa deF. Demonstraie. Fieeun vector propriu al lui F corespunztor valori proprii rea-le 0,acreiexistenesteasiguratdeteoremaprecedentinotmcuE0 subspaiul lui Eortogonal pee . Atunci pentru >x ) E0 avem( e , F( x )) = (F( e ), x ) = (0e ,x ) = 0( x e, ) = 0 , adic i F( x ) ) E0i, prin urmare,E0 este invariant fa de F. s TEOREMA5.7.PentruoricetransformareliniarsimetricFexistobaz ortonormat n E fa de care matricea ei s aib form diagonal. Demonstraie.Fie 1e unvectorpropriuunitarpentruFi 1E subspaiulcu 1 ndimensiuni ortogonal pe 1e , 1Efiind invariant fa de F, restricia F O, a lui Fla 1E , este o transformare liniar de asemenea simetric pe1E . Considernd un vector pro-priu unitar 2epentru F O, el este propriu i pentru Fi ortogonal pe 1e . Fie apoi 2Esubspaiulcu2 n dimensiuniortogonalpe 1e i 2e . 2E estedeasemeneainvariant fa de F O i fie 3eun vector propriu unitar al restriciei F OO a lui Fla 2E . Vecto-rul 3eeste propriu i pentru Fi ortogonal pe 1ei 2e . Continund acest proces, dup ALGEBR LINIAR 99npaiobinem nEo baz ortonormat( )ne e e B , , ,2 1 = , format din vectori propii pentru F.Conform T.4.4, matricea transformrii M(F; B) are form diagonal . s Dinaceastteoremrezult: Consecina 5.4. Subspaiile proprii ale unei transformri liniare simetrice au di- m