Probleme de Algebra

8/8/2019 Probleme de Algebra

http://slidepdf.com/reader/full/probleme-de-algebra 1/106

Probleme de algebr ’a

Cornel B’ae,tica, Crina Boboc, Sorin D’asc’alescu, Gabriel

Mincu



Capitolul 1

Mu l,ti

mi

. Dacta A ,si B sunt mul,timi, nottam cu A — B (sau cu A \ B)diferen5ta celor douta mul,timi, adicta A — B — { x | x e A ,si x e/ B}.. Dacta B ç A, atunci A — B se mai noteazta C AB ,si se nume,stecomplemen- tara lui B “in A.. Vom nota cu N, Z, Q, R, C, respectiv, mul,timile numerelor naturale, “intregi, r a,tionale, reale, complexe, respectiv. Dacta M este unadin aceste mul,timi, vom nota M * — M — {O}.. Dacta A este o mul,time, atunci mul,timea tuturor submul,timilor lui

A se noteazta cu P ( A) ,si se nume,ste mul5timea pt ar 5t ilor lui A.. 0 mul,time A se nume,ste

finit

dacta A — 0 sau dacta existta o bijec,tie “intre

A,si mul,timea {1, . . . , n} pentru unn e N*. “In acest caz nottam cu | A|numarul elementelor lui A. Dacta A nu este fnitta, atunci spunem cta A esteinfinit t a.. Dacta X este o mul,time nevidta, nottam cu 1 X (sau cu Id X ) func5tiaidentict a a mul,timii X , unde 1 X : X → X ,si este defnitta prin 1 X ( x ) — x

pentru orice x e X .. Un element x e M se nume,ste punct fix pentru func,tia f : M → M

dacta

f ( x ) —

x .. Compunerea a douta func,tii f : A → B ,si g : B → C se noteazta g o f

saugf .

. Dacta f : A → B este o func,tie, X ç A ,si Y ç B, nottam f ( X ) —

{f ( x ) | x e X }, care este o submul,time a lui B ,si f — 1(Y ) — {a e A

| f (a) e



Y }, care este o submul,time a lui A. Mul,timea f ( X ) se nume,ste

imaginea lui

X prin f , iar mul,timea f — 1(Y ) se nume,ste preimaginea sau imaginea

inverst a

a lui Y prin f .. Dacta f : A → B este o func,tie ,si Ai este o submul,time nevidta alui A,



nottam cu f | A0 restric5tia lui f la Ai, unde f | A0 : Ai → B ,si este definitta

prinf | A0 ( x ) — f ( x ) pentru orice x e Ai .

. Dacta X ,si Y sunt mul,timi nevide, nottam cu Fun( X , Y ) sau cu Y X

mul,timea

tuturor func,tiilor definite pe X cu valori “in Y .

. Spunem cta mul,timile A ,si B sunt echipotente (,si nottam aceasta prin A∼ B)

dacta existta o bijec,tie “intre A ,si B.

. Dacta A este o mul,time care este “in bijec,tie cu N, spunem cta Aeste

numt ar abil

numt ar a

bil

. Dacta A este finitta sau numtarabil a, spunem cta A este cel mult

. “In caz contrar, A se nume,ste nenum t ar abil t a.

. Dacta ∼ este o rela,tie de

echivalen,tat

pe mul,timea A, nottam cu

A/ ∼



mul5timea factor , iar aceasta este mul,timea tuturor claselor deechivalen,tat

relativ la ∼. Proiec5tia

canonic

p : A → A/∼ asociazta unui element a e A

clasa sa de echivalen,tta “in raport cu ∼.

. Dacta f : A → B este o func,tie, atunci nottam cu pf rela,tia deechivalen,tta

definitta de f pe mul,timea A astfel: xpf y dacta ,si numai dacta f ( x ) — f

( y ).

. Mul,timile factor au urmtatoarea proprietate de universalitate: fie A, Bdouta

mul,timi, ∼ o rela,tie de echivalen,tat pe A ,si f : A → B o func,tie cu proprie-

tatea cta ∼ C pf . Atunci existta ,si este unicta o func,tie f : A/∼ → B

care

satisface condi,tia f p — f .

1. Fie r , S e N* astfel “incat r + 1≤ S. Dacta Al, . . . , As suntmul,timi finite avand fiecare r elemente ,si intersec,tia orictaror r + 1dintre aceste mul,timieste nevidta, sta se arate ctaT

i=l ,s

Ai — 0.

2. Fie A o mul,time finitta cu n elemente. Sta se arate cta ecua,tia

X l ∪ X 2 ∪ · · · ∪ X m — A

are (2m — 1)m solu,tii.

3. ( Principiul includerii 5si excluderii) Fie Al , . . . , As mul,timi finite.Sta se arate cta

[|i=l ,m

Ai| — X

i=l ,m

| Ai|

—

X

l≤ i<j≤ m

| Ai n A j | + · · · + (—

1)m+l |

\

i=l ,m

Ai|.

4. Fie A o mul,time finitta ,si f : A → A o func,tie. Sta se aratecta urmtatoarele afirma,tii sunt echivalente:



(a) f este injectivta.

(b) f estesurjectivta. (c) f este bijectivta.

5. Fie M ,si N douta mul,timi finite astfel “inc“at |M | — m ,si |N | — n. Sta se determine:(a) Numtarul func,tiilor definite pe M cu valori “in N .(b) Numtarul func,tiilor injective definite pe M cu valori “in N .(c) Numtarul func,tiilor surjective definite pe M cu valori “in N .

6. Sta se determine numarul permuttarilor unei mul,timi cu nelemente care au cel pu,tin un punct fix ,si al celor care au exact un punctfix.

7. Fie f , g : N → N douta func,tii. Dacta mul,timea A — { x e N | f ( x ) x } este finitta, sta se arate cta mul,timea B — { x e N | g( x ) g(f ( x ))} este infinitta.

8. Fie f : N → N o func,tie cu urmtatoarele propriet ta,ti: (a) f este strict cresctatoare.(b) f (2) — 2.(c) f (mn) — f (m)f (n) pentru orice m, n e N prime “intre ele.Sta se arate cta f — 1 N .

9. Fie f , g : N → N astfel “inc“at max(f , g) este surjectivta ,si min(f , g)este injectivta. Sta se arate cta f — g.

10. Pentru fiecare din mul,timile M — N, Z, Q, R , C sta se deaexemple de func,tii f : M → M care sunt injective dar nu sunt surjective,,si exemple de func,tii g : M → M care sunt surjective ,si nu sunt injective.

11. Fie M o mul,time ,si A, B douta submul,timi ale sale. Definimf :

P (M ) → P ( A) x P (B) prin f ( X ) — ( X n A, X n B). Sta se arate cta :(a) f este injectivta dacta ,si numai dacta A U B — M .(b) f este surjectivta dacta ,si numai dacta A n B — 0.

(c) f este bijectivta dacta ,si numai dacta A — CM B. “In acest caz sta se

calculeze

f — l

.

12. Fie A o mul,time nevidta.Sta se arate cta nu existta niciofunc,tie surjectivta f : A → P ( A).



1

13. Fie f : M → N o functtie. Sta se arate cta urmtatoarele afrmattii

sunt echivalente:(a) f este injectivta.

(b) f este monomorfism, adicta pentru orice multtime X tsi orice functtii u,v :

X → M astfel “inc“at f u — f v , rezult ta cta u — v .(c) Existta o functtie g : N → M astfel “inc“at gf — 1M .

14. Fie f : M → N o functtie. Sta se arate cta urmtatoarele afrmattiisunt echivalente:(a) f este injectivta.

(b) Pentru orice familie (Mi)iel de submulttimi ale lui M are loc egalitatea

f (

T

Mi) —

T

f (Mi).iel iel

15. Fie f : M → N o functtie. Sta se arate cta urmtatoarele afrmattiisunt echivalente:(a) f este surjectivta.

(b) f este epimorfism, adicta pentru orice multtime Y tsi orice functtii u,v :N → Y astfel “incat uf — v f , rezult ta cta u — v .(c) Existta o functtie g : N → M astfel “inc“at f g — 1N .

16. Fie f : M → N o functtie. Defnim aplicattiile f * : P (M ) → P (N )

tsif * : P (N ) → P (M ) prin f *( X ) — f ( X ) tsi f *(Y ) — f — (Y ).

(i) Sta se arate cta urmtatoarele afrmattii suntechivalente: (a) f este injectivta.(b) f * este injectivta.

(c) f * o f * — 1 p (M ).

(d) f * este surjectivta.

(e) f (CM X ) c CN f ( X ) pentru orice X c M .

(ii) Sta se arate cta urmtatoarele afrmattii suntechivalente: (a) f este surjectivta.(b) f * este surjectivta.

(c) f * o f * — 1 p (N ).(d) f * este injectivta.

(e) CN f ( X ) c f (CM X ) pentru orice X c M .

17. Fie A, B, C multtimi nevide. Sta se arate cta existta o bijecttie“intre: (a) Fun( A, Fun(B, C)) tsi Fun( A x B, C).(b) Fun( A, B x C) tsi Fun( A, B) x Fun( A, C).



Dacta “in plus A n B — 0, atunci existta o bijec,tie “intre Fun( A u B,

C) ,siFun( A, C) x Fun(B, C).

18. Pe R definim rela,tia ∼ astfel: x ∼ y dacta ,si numai dacta x—y ez. Sta se arate cta ∼ este rela,tie de echivalen,tat ,si cta existta o bijec,tie“intre mul,timea factor R / ∼ ,si intervalul [0, 1).

19. Pe R definim rela,tia p astfel: xpy dacta ,si numai dacta x — y e N. Sta se arate cta p este rela,tie de ordine care nu este total ta.

20. Fie M o mul,time nevidta ,si p o rela,tie binar ta pe M . Nottam

LM —

{( x, x ) | x e M }, p — 1

— {( x, y ) | y px } ,si pentru orice numtar n e N*

pm

— {( x, y ) | existta s1 , .. . , sm

1 e M cu xps , s ps , . .. , s

py } —

Sta se arate cta rela,tia

1 1 2 m — 1

p1 — LM u ( p u p — 1

) u ( p u p — 1)

2 u . . .

este cea mai micta rela,tie de echivalen,tat pe M care include pe p.

21. Fie M1, . . . , Mm mul,timi nevide ,si p1, . . . , pm, respectiv,

rela,tii de

echivalen,tat

pe acestea. FieM — M1 x • • • x Mm ,si rela,tia p

definitta peM astfel: ( x 1, . . . , x m) p( y 1, . . . , y m) dacta ,si numai dacta x i pi y i pentruoricei — 1, ..., n. Sta se arate cta p este rela,tie de echivalen,tta pe M ,si ctaM/p este

“in bijec,tie cu M1 /p1 x • • • x Mm /pm.

22. Sta se determine numarul rela,tiilor de echivalen,tta care se potdefini pe o mul,time M cu m elemente, m e N.

23. Fie A o mul,time nevidta, B o submul,time nevidta a sa ,si p orela,tie pe

2 ( A) definitta astfel: X pY dacta ,si numai dacta X n B — Y n B. Sta searate

cta p este o rela,tie de echivalen,tta ,si cta 2 ( A) /p este “in bijec,tie cu 2(B).



24. Fie A, B douta mul,timi nevide ,si A1 o submul,time nevidta a lui A. Pe mul,timea B A — {f | f : A → B func,tie} consider tam rela,tia binar ta p definitta astfel: f p g dacta ,si numai dacta f | A , — g| A , . Sta searate cta p este o rela,tie de echivalen,tat ,si cta B A /p este “in bijec,tie cuB A ,

.

25. Reamintim cta mul,timile A ,si B se numesc echipotente (,sinottam aceasta prin A ∼ B) dacta existta o bijec,tie “intre A ,si B.Sta se arate cta



pentru oricemulttimi A, B, C au

loc: (a) A ∼ A.(b) Dacta A ∼ B, atunci B ∼ A.

(c) Dacta A ∼ B tsi B ∼ C , atunci A ∼ C.

Vom numi numt ar cardinal o clasta format ta din toate multtimileechipotente

cu o multtime dat ta A tsi vom nota acest numtar cardinal cu | A|.Dacta A este o multtime fnitta, identifcam numtarul cardinal | A| cu numarul

elementelor lui A (care a fost notat tot cu | A|). Dacta A este multtime infnitta,

spunem cta numarul cardinal | A| este infinit .

26. (a) (Teorema Cantor-Schr o”der-Bernstei n) Fie X 2 C X 1 C

X Omulttimi astfel “incat X O ∼ X 2 . Sta se arate cta X O ∼ X 1.

(b) Dacta a — | A| tsi 3 — |B| sunt numere cardinale, spunem cta a 3dacta

existta o functtie injectivta f : A → B. Sta se arate cta defnittia relattiei ““ nu

depinde de reprezentanttii A tsi B aletsi “in cele douta clase.

(c) Dacta a tsi 3 sunt douta numere cardinale astfel “inc“at a 3 tsi 3a, stase arate cta a — 3.

27. Fie a tsi 3 numere cardinale. Sta se arate cta are loc exact unadin afrmattiile: (i) a < 3 (adicta a 3 tsi a — 3); (ii) a — 3; (iii) 3 < a.

28. Fie X o multtime infnitta. Sta se arate cta:(a) | N| | X |, adicta orice multtime infnitta are o submulttime numtarabila.

(b) Dacta F este o submulttime fnitta a lui X , atunci | X — F | — | X |.

29. Fie a — | A| tsi 3 — |B| numere cardinale, reprezentanttii A tsi Bfind aletsi astfel “inc“at A n B — 0. Defnim suma numerelor cardinale atsi 3 prin a + 3 — | A u B|. Sta se arate cta:(a) Defnittia nu depinde de reprezentanttii aletsi.(b) Dacta a, 3, y sunt numere cardinale, atunci a + 3 — 3 + a tsi (a + 3) +

y —

a + (3 + y ).(c) Dacta a tsi 3 sunt numere cardinale cu a infnit tsi 3 a, atunci a + 3 —

a.

30. Fie a — | A| tsi 3 — |B| douta numere cardinale. Defnim produsul numer elor cardinale a tsi 3 prin a3 — | A x B|. Sta se arate cta:(a) Defnittia lui a3 nu depinde de reprezentanttii A tsi B aletsi.



(b) Dacta a, 3, y sunt numere cardinale, atunci a3 — 3a, (a3) y — a(3y )tsia(3 + y ) — a3 + a y .



Sta se arate cta multtimea punctelor de extrem local strict ale uneifuncttiif : R → R este cel mult numarabilta.

37. Pe R definim relattia ∼ astfel: x ∼ y dacta tsi numai dacta x—y eQ. Sta se arate cta ∼ este relattie de echivalenttat tsi cta existta o bijecttie“intre multtimea factor R / ∼ tsi R.



38. Sta se dea exemplu de relattie de ordine pe z “impreunta cu care

zdevine o multtime bine ordonat ta.



Capitolul 2

Legi de com pozi,tie.

Semigrupuri ,simonoizi

. Fie M o multtime nevidla. 0 functtie ϕ : M x M → M se numetstelege de C ompoz i5t ie pe M . Dacla nu menttionam altfel, legea decompozittie va fi notat la multiplicativ, adicla φ( x, y ) — xy .Dacla legeade compozittie este asociativla, adicla ( xy ) z — x ( y z ) pentru orice x, y , z e M , atunci (M, φ) se numetste semigrup. Dacla ”in plus existla unelement neutru e e M (pentru care xe — ex — x pentru orice x e M ),atunci semigrupul M se numetste monoid. Dacla nu existla nici un

pericol de confuzie, ”in loc de (M, φ) vom scrie simplu M .

. Dacla M este monoid, atunci multtimea U (M ) — { x e M | x estesimetriza- bil} este grup cu legea de compozittie indusla din cea a lui Mtsi se numetste grupul unit t a5t ilor lui M .. Fie S un semigrup. Spunem cla S este semigrup Cu simplifiCare la

st ̂ anga

dacla din ax — ay rezult la x — y , unde a, x, y e S. Analog definim tsinottiunea

de semigrup Cu simplifiCare la dreapta. Un semigrup cu simplificare at”atla

st”anga c”at tsi la dreapta se numetste semigrup Cu

simplifiCare.

. Fie S un semigrup. Un element e e S cu proprietatea cla e2 — e se

numetste element idempotent .

. Fie S un semigrup tsi S i o submulttime nevidla a sa. Dacla S i estesemigrup ”in raport cu legea indusla (echivalent, xy e Si pentru orice x, y e S i ), atunci S i se numetste subsemigrup al lui S. Dacla X este osubmulttime a lui S, atunci intersecttia tuturor subsemigrupurilor lui Scare conttin pe X se numetste sub- semigrupul generat de X .. Fie M un monoid tsi M i o submulttime nevidla a sa. Dacla M i este

monoid



“in raport cu legea indusla (echivalent, xy e M i pentru orice x, y e M i

,si elementul identitate al lui M se af la “in M i

), atunci M i

se nume,ste submonoid al lui M . Dacla X este o submul,time a lui M , atunciintersec,tia tuturor submonoizilor lui M care con,tin pe X se nume,ste

submonoidul generat de X .. Dacla S, S i sunt semigrupuri ,si f : S → S i o func,tie cu proprietatea cla f ( xy ) — f ( x )f ( y ) pentru orice x, y e S, atunci f senume,ste morfism de semigrupuri. Dacla M, M i sunt monoizi, iar f : M→ M i este o func,tie cu proprietatea cla f ( xy ) — f ( x )f ( y ) pentru orice x, y e M ,si f (e) — ei, unde e, ei sunt elementele identitate ale celor doimonoizi, atunci f se nume,stemorfism de monoizi .

1. Fie M o mul,time cu n elemente, n e N

*

. Sla sedetermine: (i) Numlarul legilor de compozi,tie ce pot fi definite pe M ;(ii) Numlarul legilor de compozi,tie comutative ce pot fi definite pe

M ;(iii) Numlarul legilor de compozi,tie cu element neutru ce pot fi definite peM

.

2. Fie M o mul,time “inzestrat la cu o lege de compozi,tie (nuneaplarat asociativla). Sla se arate cla dacla x l, . . . , x m e M , atuncinumlarul de moduri

“in care se pot aranja corect parantezele “in produsul x l x 2 . . . x m este l Cm — l

. m 2m — 2

(0 abordare diferitla pentru calculul acestui numar va fi dat la “in problema 38

din Capitolul 5.)

3. Fie f : A → B un morfism de monoizi. Sla se arate claurmlatoarele afirma,tii sunt echivalente:(i) f este injectiv;

(ii) f este monomorfism de monoizi, adicla pentru orice monoid X ,si pentru

orice morfisme de monoizi u, v : X → A astfel “inc“at f u — f v , rezult la

clau — v .

4. Fie f : A → B un morfism surjectiv de monoizi. Sla se arate cla f este epimorfism de monoizi, adicla pentru orice monoid Y ,si pentru oricemorfisme de monoizi u, v : B → Y astfel “incat uf — v f , rezult la cla u — v .

Sla se arate cla morfismul incluziune i : Z → Q, unde Z ,si Q sunt

considera-

te cu structurile de monoizi date de “inmul,tire, este epimorfism de monoizi,

dar nu este surjectiv.

1O



14. Fie S un semigrup care se scrie ca o reuniune de subgrupuri. Sta

se arate cta S se poate scrie ca reuniune de subgrupuri disjuncte.15. Sta se dea exemplu de semigrup care nu este grup esi se scrie ca

o reuniune de subgrupuri.

16. Sta se arate cta un semigrup comutativ S se poate scufunda ”intr-un grup dacta esi numai dacta S este semigrup cu simplificare.

17. Sta se arate cta legea de compozietie dat ta de (i, i)(k , 1) — (i + k , 2k i+ 1)

defineeste pe N x N o structur ta de semigrup.

18. (i) Dacta X este o muletime nevidta nottam cu 1 ( X ) muletimea

funcetiilor injective f : X → X . Sta se arate cta (1 ( X ), o) este monoid.(ii) Sta se arate cta un semigrup S se poate scufunda ”intr-un monoid de

forma

1 ( X ) dacta esi numai dacta S este semigrup cu simplificare la st”inga.

19. (i) Sta se arate cta un monoid M se poate scufunda ”inmonoidul

(Fun(M, M ), o).

(ii) Fie M un monoid finit. Dacta a, b e M \ U (M ), atunci abe M \ U (M).

Ar tataeti cta pentru un monoid infinit aceast ta proprietate nu mai este

neaptaratadevtarat ta.

20. Sta se dea un exemplu de monoid M care are un element inversabilla st”anga, avand un numar finit > 1 de inver esi la st”anga.

21. Fie n e N*. Sta se arate cta:(i) Existta un monoid infinit cu exact n elemente inversabile;

(ii) Existta un monoid finit care nu este grup esi care are exact n elemente

inversabile.

22. Fie (M, .) un semigrup finit. Sta se arate cta existta un esir de

numere naturale ni < n2 < . . . < nk < . . . astfel ”incat pentru orice x eM are loc x ml — x m2 — . . . — x mk — . . ..

23. Sta se arate cta monoidul liber generat de o muletime cu unelement este izomorf cu ( N, +).

24. Fie (M, +) un submonoid al lui ( N, +). Sta se arate cta existtao submuletime finitta A a lui N esi d, nO e N astfel ”incat M — A U {nd |n nO}.



Capitolul 3

Grupuri

. Dacta G este un grup multiplicativ, atunci dacta nu se precizeaztaaltfel, elementul neutru se noteazta cu e (sau cu 1).. Dacta A ,si B sunt grupuri, mul,timea morfismelor de grupuri de la A la

Bo nottam cu Homgr ( A, B).

. Ordinul unui element g al unui grup se noteazta ord(g).

. Scriem cta H este un subgrup (normal) al lui G astfel: H G (respectiv

H E G).

. Dacta H este subgrup normal al lui G, nottam cu G/H grupul factor .

Aplica,tia p : G — G/H , p

(a)

— a“ pentru orice a e G, este morfismde

grupuri ,si se nume,ste proiec5tiacanonict a.

. Grupurile factor au urmtatoarea proprietate de universalitate: fie G,Gi douta grupuri, H subgrup normal al lui G ,si f : G — Gi morfism degrupuri cu proprietatea cta H ç Ker(f ). Atunci existta ,si este unic unmorfism de grupuri f : G/H — Gi care satisface condi,tia f p — f , unde p: G — G/H este proiec,tia canonicta.. Un subgrup propriu H al lui G se nume,ste subgrup maximal dacta

pentru orice K G cu H ç K , rezult ta cta K — H sau K — G.. Fie Z (G) — { x e G | xg — gx pentru oriceg e G}. Mul,timea

Z (G) se nume,ste centrul grupului G ,si este subgrup normal al lui G.. Fie g e G ,si C(g) — { x e G | x g — g x }. Mul,timea C(g) se

nume,ste

centralizatorul elementului g ,si este subgrup al luiG.

. Un grup G se nume,ste simplu dacta singurele subgrupuri normale ale luiGsunt G ,si{e}.



. Fie G un grup, H G ,si HG — T

x eG

xH x — 1. HG se nume,ste interiorul



normal al lui H “in

G.. Spunem cta un grup (G, .) este divizibil dacta pentru orice a e G ,sioricen e N* ecua,tia x m — a are solu,tii “in

G.

. Dacta X este o mul,time nevidta, mul,timea bijec,tiilor de la X la X

este grup

cu compunerea func,tiilor. Acest grup se nume,ste grupul simetric almul,timii

X ,si se noteazta cu S( X ). Elementele lui S( X ) se numesc permut t ari.Dacta X — {1, . . . , n}, atunci S( X ) se mai noteazta cu Sm.

Subgrupul lui Sm care constta din toate permuttarile pare se noteazta cu Am ,si se nume,ste grupul al- tern de grad n.. Grupul izometriilor unui poligon regulat cu n laturi se nume,ste

grupul diedral de grad n ,si se noteazta cu Dm. Acesta are 2n elemente,si poate fi prezentat prin doi generatori r ,si s, Dm — < r , s >, caresatisfac rela,tiile s2 — e, r m — e, sr — r m — is. Geometric, s corespunde uneisimetrii a poligonus lui regulat f a,tat de o axta de simetrie ,si r corespunde unei rota,tii de unghi2π /n “in jurul centrului cercului circumscris poligonului.

. GL(n, R) reprezintta grupul multiplicativ al matricelor inversabile deordin

n cu elemente “in inelul R ,si se nume,ste grupul liniar general de ordin n peste

R.

1. Fie (S, .) un semigrup astfel “inc“at:(i) Existta un element e e S cu proprietatea cta ea — a pentru oricea eS;(ii) Pentru orice a e S existta a! e S cu a! a —

e.

Sta se arate cta S estegrup.

Ar tata,ti cta dacta “inlocuim (ii)

prin(ii’) Pentru orice a e S existta a! e S cu aa! — e, atunci nu mai rezult ta cta S este grup.

2. Fie (S, .) un semigrup. Ar tata,ti cta urmtatoarele afirma,tii suntechivas lente:(i) S este grup;

(ii) Pentru orice a, b e S ecua,tiile a x — b ,si ya — b au solu,tii



“in S.

3. Fie (S, .) un semigrup finit cu simplificare (adicta ax — ay = x — y ,si

xa — ya = x — y , pentru orice a, x, y e S). Sta se arate cta S este

grup.

4. Dacta G ,si G! sunt grupuri, nottam cu Homgr (G, G! ) mul,timeamorfiss melor de grupuri de la G la G!. Sta se determine: Homgr (z, z),Homgr (z, Q),



Homgr (Q, z), Homgr (Q, Q), Homgr (zm, zm) ,si Homgr (zm, zm), unde z,

Q,zm ,si zm sunt considerate cu structurile aditive (m, n e N, m, n > 1).

5. Sta se determine care dintre urmtatoarele grupuri sunt izomorfe: (z, +),(Q, +), (R , +), (c, +), (Q*, .), (R *, .), (c* , .), (Q* , .), (R * , .).+ +

6. Dacta (G, .) este un grup ,si A, B c G, nottam cu AB — {ab | a e

A ,sib e B}. Presupunem cta G este finit. Sta se arate cta:

(i) Dacta A, B c G ,si | A| + |B| > |G|, atunci AB — G;

(ii) Dacta existta M c G astfel “incat |M | > (1 / 2)|G| ,si a b — b a pentruoricea, b e M , atunci G este comutativ.

7. Fie (G, .) un grup ,si H o submul,time finitta a lui G. Sta se arate ctaH

este subgrup dacta ,si numai dacta H este parte stabil ta.

8. Sta se determine subgrupurile ,si subgrupurile normale alegrupului diedral D4.

9. Ar tata,ti cta un grup nu se poate scrie ca reuniune de douta

subgrupuri proprii. Da,ti exemple de grupuri care se scriu ca o reuniune de treisubgrupuri proprii.

10. Fie G un grup ,si H, K , L trei subgrupuri ale lui G cu proprietatea cta G — H U K U L. Ar tata,ti cta x 2 e H n K n L pentruorice x e G.

11. Fie m e N, m > 2 ,si G un grup finit cu proprietatea cta ord( x ) >m, oricare ar fi x e G — {e}. Ar tata,ti cta G nu se poate scrie careuniune de m subgrupuri proprii.

12. Fie G un grup finit. Sta se arate cta G are un element de ordin 2dacta

,si numai dacta |G| este par.

13. Fie (G, .) un grup ,si f : G — G definitta prin f ( x ) — x 2.Atunci: (i) f este morfism de grupuri dacta ,si numai dacta G este grupabelian;(ii) Dacta G este grup abelian finit, atunci f este izomorfism dacta ,sinumai dacta |G| este impar.

14. Fie G un grup cu proprietatea cta x 2 — e pentru orice x e G. Stase arate cta:



(i) G este grup abelian;



(ii) Dacta G este finit, atunci existta n e N astfel “incat |G| — 2m. Mai

mult, “in acest caz G ' z2 x . . . x

z2,

produsul direct con,tinand n factori.

15. Sta se arate cta un grup infinit are o infinitate de subgrupuri.

16. Sta se determine toate grupurile care au exact douta, trei, patru, respectiv cinci subgrupuri.

17. Fie G un grup generat de familia de elemente (ai)iel ,si fie g e G. Sta

se arate cta < g > este subgrup normal “in G dacta ,si numai dacta aigai — 1e < g >,si ai

— 1gai e < g >, pentru orice i e I .

18. Fie elementele

,si

µi 0

¶

j — 0 —i

µ0 1

¶

k — —1 0

“in GL(2, c). Nottam J — < j >, K — < k > ,si Q — < j, k >. Sta searate cta: (i) | J | — 4, |K | — 4 ,si | J n K | — 2;(ii) J ,si K sunt subgrupuri normale “in Q ,si |Q | — 8; (iii) j2 — k 2 este singurul element de ordin 2 dinQ;(iv) Q nu este grup abelian, dar orice subgrup al stau este normal.(Q se nume,ste grupul cuaternionilor ).

19. Fie (G, .) un grup ,si x, y e G.(i) Dacta xy — yx , ord( x ) ,si ord( y ) sunt finite ,si (ord( x ), ord( y )) — 1,atunci

ord( xy ) — ord( x ) ord( y ). Dacta cele douta ordine nu sunt relativ prime, mai

este adevtarat rezultatul?

(ii) Dacta ord( x ) ,si ord( y ) sunt finite, rezult ta cta ord( xy ) este

finit? (iii) Dacta ord( xy ) este finit, rezult ta cta ord( x ) ,si ord( y )sunt finite?(iv) Dacta G este grup abelian ,si |G| — p1 . . . pm, unde p1, . . . , pm suntnumere prime distincte, atunci G este grup ciclic.

20. (i) Sta se arate cta un grup cu 4 elemente este izomorf cu z4 sau cu

z2 x z2.



(i) |HK ||H n K | — |H | |K |;

(ii) [G : H n K ] < [G : H ][G : K ]. Dacta [G : H ] ,si [G : K ] suntfinite ,si

prime “intre ele, atunci are loc chiar egalitate ,si, “in plus, G — HK ;

(iii) Dacta K c H , atunci [L n H : L n K ] < [H : K ].

30. (i) Fie G ,si H douta grupuri ,si x — (g, h) e G x H astfel “inc“atord(g)

,si ord(h) sta fie finite. Atunci ord( x ) — [ord(g), ord(h)].(ii) Sta se determine elementele de ordin 8 din z6 x z1O , elementele de ordin

4 din z12 x z15 ,si elementele de ordin 6 din z12 x z36 .

31. Fie G un grup finit cu |G| — n. Sta se arate cta:(i) G este ciclic dacta ,si numai dacta pentru orice divizor pozitiv d al luinexistta cel mult un subgrup cu d elemente al lui G;

(ii) G este ciclic dacta ,si numai dacta pentru orice divizor pozitiv d al luinecua,tia x d — 1 are cel mult d solu,tii “in G;

(iii) Dacta G este comutativ, atunci G este ciclic dacta ,si numai dacta

pentru

orice divizor prim p al lui n ecua,tia x p — 1 are cel mult p solu,tii “in G.

Afirma,tia (iii) mai esteadevtarat

dacta G nu este grup comutativ?

32. Fie K un corp comutativ. Sta se arate cta orice subgrup finital grupului multiplicativ (K *, .) este ciclic.

33. Fie G un grup abelian finit.(i) Dacta existta x, y e G cu ord( x ) — m ,si ord( y ) — n, atunci existta z eGastfel “incat ord( z ) — [m, n].(ii) Fie mO — max{ord( x ) | x e G}. Ar tata,ti cta ord( x ) divide pe mO,

oricare

ar fi x e G.(iii) Deduce,ti din (i) o altta solu,tie pentru exerci,tiul 19(iv).

(iv) Deduce,ti din (ii) o altta solu,tie pentru exerci,tiul 32.

34. (i) Sta se arate cta pentru orice n e N*, grupul (c*, .) are exactun subgrup cu n elemente ,si anume Un — { z e c* | z n — 1}.(ii) Dacta p este un numar prim, ar tata,ti cta C po —

SU pn este un subgrup

al



G — C po .

(v) Sta se arate cta pentru orice n e N avem C po ∼ — C po

/U pn .

35. (i) Sta se arate cta grupurile (Q, +) ,si (C po , .) sunt divizibile.

(ii) Sta se arate cta un grup divizibil netrivial (adicta cu mai mult de unelement)

este infinit.

(iii) Sta se arate cta un grup factor al unui grup divizibil este divizibil.Este orice subgrup al unui grup divizibil tot un grup divizibil?

(iv) Sta se dea un exemplu de grup divizibilneabelian.

(v) Sta se arate cta un grup divizibil nu are subgrupuri proprii de indicefinit. (vi) Sta se arate cta un grup divizibil nu se poate scrie ca reuniunefinitta de subgrupuri proprii.

36. Fie G un grup finit. Sta se determine Homgr (Q, G).

37. (i) Sta se arate cta dacta G este un grup finit generat ,si X esteun subgrup propriu al lui G, atunci existta un subgrup maximal H al lui Gastfel “incat X C H . “In particular, un grup netrivial finit generat are unsubgrup maximal.(ii) Sta se arate cta un grup abelian divizibil nu are subgrupuri maximale.“In

particular, grupul (Q, +) nu are subgrupuri maximale.

38. Fie G un grup finit. Sta se arate cta G are un unic subgrupmaximal dacta ,si numai dacta existta un numtar prim p ,si n e N, n2, astfel “inc“at G ' z pn .

39. Fie G un grup. Pentru g e G definim ϕg : G — G prin ϕg ( x ) —

g xg — 1, pentru orice x e G. Sta se arate

cta:

(i) ϕg este un automorfism al lui G;

(ii) Inn(G) — {ϕg | g e G} este un subgrup normal al lui Aut(G),

numit grupul automorfismelor interioare ale lui G;

(iii) Inn(G) '

G/ Z (G).

40. Fie G un grup. Sta se arate cta dacta G/Z (G) este grup ciclic,atunci

G este grup abelian.



41. Sta se arate cta existta un grup care nu este izomorf cu Aut(G) pentru niciun grup G.



?

42. Sta se arate cta:

(i) Aut(z) este izomorf cu (z2, +);(ii) Aut(Q) este izomorf cu (Q*, .);(iii) Aut(zm) este izomorf cu (U (zm), .);(iv) Aut(z2 x z2 ) este izomorf cu grupul de permuttari S3.

43. Sta se arate cta Aut(S3) este izomorf cu S3 ,si Aut(D4) este izomorf

cu

D4.

44. Sta se arate cta:

(i) Grupurile z ,si z x z nu sunt izomorfe;

(ii) Grupurile Q ,si Q x Q nu suntizomorfe; (iii) Grupurile R ,si R x R suntizomorfe.

45. Consider tam grupurile multiplicative Si ‘ { z e c* | |z| ‘ 1} ,simU∞ ‘ { z e c* | existta n e N* cu

z (i) R / z este izomorf cu Si;

(ii) Q / z este izomorf cu U∞ ;

(iii) R / Q este izomorf cu R ;

‘ 1}. Sta se arate cta:

(iv) Si /U este izomorf cu R.

46. Sta se dea un exemplu de douta grupuri neizomorfe, dar fiecareizomorf cu un grup factor al celuilalt.

47. Sta se arate cta grupurile (c*, .), (Si, .) ,si (c / z, +) sunt

izomorfe.

48. Sta se dea un exemplu de grup G care are douta subgrupuri H ,siK astfel “inc“it K este subgrup normal “in H ,si H este subgrup normal “inG, dar K nu este subgrup normal “in G.

49. Fie G un grup ,si H, K douta subgrupuri. Sta se aratecta: (i) Dacta H < G, atunci HK ‘ KH ,si HK este subgrup“in G;

(ii) Dacta H < G, [G : H ] <o

, |K | <o

,si ([G : H ], |K |) ‘

1,atunci

K c H ;

(iii) Dacta H < G, |H | < o, [G : K ] < o ,si ([G : K ], |H |) ‘ 1,atunci

H c K .



50. Sta se dea un exemplu de douta grupuri Gi, G2 ,si de douta

subgrupuriHi, H2 normale “in Gi, respectiv G2 astfel “inc“at:



(i) Gi este izomorf cu G2, Hi este izomorf cu H2, dar Gi /Hi nu este izomorf

cu G2 /H2;(ii) Gi este izomorf cu G2, Gi /Hi este izomorf cu G2 /H2, dar Hi nu esteizomorf cu H2.(iii) Hi este izomorf cu H2, Gi /Hi este izomorf cu G2 /H2, dar Gi nu esteizomorf cu G2.

51. S’a se dea exemplu de dou’a grupuri neizomorfe astfel “incat fiecares’a fie izomorf cu un subgrup al celuilalt.

52. Fie G un grup finit, a e Aut(G) ,si I ‘ { x e G | a( x ) ‘ x — i}. S’ase arate c’a:(i) Dac’a |I | > (3 / 4)|G|, atunci G este grup abelian;

(ii) Dac’a |I | ‘ (3 / 4)|G|, atunci G are un subgrup de indice 2.

53. Fie X , Y dou’a mul,timi. S’a se arate c’a dac’a grupurile simetriceS( X )

,si S(Y ) sunt izomorfe, atunci X ,si Y sunt echipotente.

54. Fie n > 1 ,si H ‘ {u e Sm | u(n) ‘ n}. S’a se aratec’a: (i) H este subgrup al lui Sm cu (n — 1)! elemente;(ii) H este subgrup normal “in Sm dac’a ,si numai dac’a n‘ 2; (iii) H este izomorf cu Sm — i;(iv) Se pot alege [(n — 1)!]m sisteme de reprezentan,ti pentru clasele la

st“anga

(dreapta) modulo H .

55. S’a se arate c’a Z (Sm) ‘ {e} pentru oricen 3 ,si Z ( Am) ‘ {e} pentru orice n 4.

56. S’a se arate c’a pentru orice grup finit G exist’a n e N* ,si unmorfism injectiv de grupuri f : G — Am.

57. Fie r ‘ (ii . . . is) un ciclu de lungime s din Sm. S’a se arate c’a r k

se descompune “in produs de d ‘ (k , s) cicli disjunc,ti de lungime s/d.

58. Fie u e Sm ,si u ‘ mi . . . mr descompunerea sa “in produs decicli disjunc,ti. S’a se arate c’a ord(u) ‘ [ord(mi), . . . , ord(mr )].

59. S’a se arate c’a Am ‘ {u2 | u e Sm} dac’a ,si numai dac’a n<

5.60. Fie u e Sm ,si p un numar prim astfel “incat p nu divide n.

Dac’a

u p ‘ e, atunci u are cel pu,tin un punct fix.



61. S’a se arate c’a Sm este generat de fiecare din urm’atoarele

mul,timi de permutari:(i) (12), (13), . . . , (1n);

(ii) (12), (23), . . . , (n — 1, n);(iii) (12), (12 . . . n).

62. S’a se arate c’a numarul minim de transpozi,tii care genereaz’a

grupul

Sm este n — 1.

63. S’a se arate c’a Am este generat de mul,timea ciclilor de lungime 3.

64. S’a se arate c’a Am

este grup simplu.

65. Fie n e N, n 3, n ‘ 4. S’a se arate c’a singurele subgrupurinormale ale lui Sm sunt {e}, Am ,si Sm.

66. Fie K ‘ {e, (12)(34), (13)(24), (14)(23)} c S4. S’a se aratec’a: (i) K este subgrup normal “in S4 (deci ,si “in A4);(ii) S4 /K este izomorf cu S3;(iii) A4 nu are subgrupuri de ordin 6;(iv) K este singurul subgrup normal propriu al lui A4;

(v) Subgrupurile normale ale lui S4 sunt {e}, K , A4 ,si S4.

67. Fie n e N

*

.S’a

sedetermine: (i) Homgr (Sm, z);(ii) Homgr (Sm, Q* );

(iii) Homgr (Sm, z6).

68. S’a sedetermine: (i) Homgr (Sm, z2 x z2); (ii)Homgr (S3, z3);(iii) Homgr (z3, S3).

69. S’a se determine morfismele de grupuri f : S4 — S3.

70. Fie f : Sm — G un morfism de grupuri, unde G are proprietateac’a H ‘ { x e G | x 2 ‘ e} este subgrup. Ar ’ata,ti c’a exist’a a e H cuf (u) ‘ a pentru oriceu e Sm permutare impar ’a ,si f (u) ‘ e pentruorice u e Sm permutare par ’a.



71. (i) Dac’a G este un subgrup al lui Sm care nu este con,tinut “in

Am, atunci G con,tine un subgrup de indice 2.(ii) Dac’a G este un grup finit ,si |G| ‘ 4n + 2, atunci G con,tine un unic

subgrup de indice 2.

72. S’a se determine centrul grupului diedral Dm, n 3.

73. (i) Fie R un inel comutativ ,si unitar. S’a se determine centrul grupuluiGL(n, R).

(ii) S’a se arate c’a oricare dou’a dintre grupurile GL(2, z), GL(2, Q), GL(2,R ),

respectiv GL(2, c) nu sunt izomorfe.

74. S’a se arate c’a grupurile GL(2, z) ,si GL(3, z) nu sunt izomorfe.

75. Fie G un grup ,si H un subgrup al s’au. S’a se arate c’a:

(i) HG ‘T

x eG

xH x — 1 este subgrup normal al lui G con,tinut “in H ;

(ii) Dac’a N este un subgrup normal al lui G con,tinut “in H , atunci N este

con,tinut “in HG;(iii) Dac’a [G : H ] ‘ n, s’a se arate c’a exist’a un morfism injectiv degrupuri

f : G/HG — Sm. “In particular, dac’a un grup are un subgrup de indice finit,

atunci are un subgrup normal de indice finit.

76. Fie K corp, G ‘ GL(n, K ) ,si H subgrupul lui G format din matricelediagonale. Determina,ti HG.

77. Fie G ‘ GL(2, z3) ,si

H ‘

(µ

a““0

“b ¶c“

)

a“c“ ‘

S’a se arate c’a H este subgrup al lui G, |H | ‘ 12, | Z (G)| ‘ 2 ,si HG ‘ Z (G).

78. Fie G un grup simplu infinit. S’a se arate c’a G nu aresubgrupuri proprii de indice finit.

79. Fie G un grup finit ,si p cel mai mic divizor prim al lui |G|.(i) S’a se arate c’a orice subgrup de indice p este normal.(ii) S’a se arate c’a orice subgrup normal cu p elemente este con,tinut “in

Z (G).



80. S’a se arate c’a un grup finit generat G are doar un numar

finit de subgrupuri de indice n, unde n este un num’ar natural dat. Fieacestea r

Hl, . . . , Hr ,si

H ‘

a(H) ‘ H .

THi. S’a se arate c’a pentru orice a e Aut(G) avem

i=l

81. Fie p un num’ar prim ,si G un grup finit cu p2 elemente. Ar ’ata,tic’a: (i) G este grup abelian;(ii) G este izomorf cu z p2 sau cu z p x z p.

82. Determin a,ti subgrupurile Sylow ale lui S4, respectiv A4.

83. (i) Fie G un grup abelian finit. Atunci G este grup ciclic dac’a,si numai dac’a orice p-subgrup Sylow al s’au este ciclic.(ii) Ar ’ata,ti c’a grupurile S3 ,si Dm, pentru n > 2 impar, au toate

subgrupurile

Sylow ciclice.

84. Ar ’ata,ti c’a S5 nu con,tine un subgrup izomorf cu z2 x z2

x z2.

85. Fie G un grup finit, p un divizor prim al lui |G| ,si H un p-subgrupSylow al lui G. S’a se arate c’a:

(i) Dac’a n p ‘ 1, atunci H este normal “in G;

(ii) Dac’a |H | ‘ p, atunci num’arul elementelor de ordin p din G este n p( p—1).

86. (i) Fie N ,si H dou’a grupuri ,si ϕ : H — Aut(N ) un morfismde grupuri. S’a se arate c’a G ‘ N x H este grup “in raport cu oper a,tia

(nl, hl) * (n2, h2) ‘ (nlϕ(hl)(n2 ), hlh2).

Acest grup se noteaz’a cu N oϕ H ,si se nume,ste produsul semidirect

extern

al lui N cu H .

Dac’a N i ‘ {(n, eH ) | n e N } ,si H i ‘ {(eN , h) | h e H}, atunci N i

< G,

H i < G, G ‘ N iH i ,si N i n H i ‘ {(eN , eH )}.(ii) Fie G un grup ,si H, N subgrupuri ale lui G, N < G, cu proprietatea

c’aG ‘ N H ,si N n H ‘ {e}. (Se spune c’a G este produsul semidirect intern

al

lui N cu H .)

S’a se arate c’a G ' N oϕ H , unde ϕ : H — Aut(N ) este dat’a prin ϕ(h)(n)



‘

hnh — l.

87. (i) Fie p ,si q numere prime astfel “inc“at p < q ,si p nu divide pe q— 1. S’a se arate c’a orice grup cu p q elemente este ciclic.



(ii) Fie p ,si q numere prime astfel “incat p < q ,si p divide pe q — 1. S’a

se arate c’a orice grup cu p q elemente este izomorf cu un produs semidirectal grupurilor zq ,si z p. Deduce,ti c’a exist’a exact dou’a tipuri deizomorfism de grupuri cu p q elemente.

88. Fie p , q, r trei numere prime distincte ,si G un grup cu proprietatea c’a |G| e { pm, pq, p2q, pqr }, unde n > 1. S’a se arate c’a Gnu este grup simplu.

89. (i) Fie Gi, . . . , Gm grupuri finite, G ‘ Gi x . . . x Gm produsullor direct ,si p un divizor prim al lui |G|. S’a se arate c’a un subgrup H allui G este p-subgrup Sylow dac’a ,si numai dac’a H ‘ Hi x . . . x Hm,unde Hi este p-subgrup Sylow al lui Gi sau Hi ‘ {e}, i ‘ 1, . . . , n.(ii) Determin a,ti subgrupurile Sylow ale lui z6 x

S3.

90. Fie G un grup cu |G| ‘ pi . . . pm, unde pi, . . . , pm sunt numere prime distincte. Fie Hi, . . . , Hm subgrupuri Sylow corespunz’atoareacestor numere prime. S’a se arate c’a dac’a orice subgrup Hi este normal“in G, atunci G este grup abelian izomorf cu Hi x . . . x Hm.



Capitolul 4

Inele ,si corpuri

. Prin inel vom “in,telege o mul,time R

“inzestrat

cu dou’a legi de compozi,tie:

adunarea “+“ ,si “inmul,tirea “.“, astfel “inc“at (R, +) este grup abelian,iar

“inmul,tirea este asociativ’a ,si distributiv ’a la st“anga ,si la dreaptaf a,t’a de

adunare. Dac’a, “in plus, exist’a un element neutru pentru “inmul,tire(notat de obicei cu 1), atunci (R, +, .) se nume,ste inel unitar .. Dac’a R ,si S sunt inele, un morfism de inele f : R — S este o

func,tie pentru caref (a + b) — f (a) + f (b) ,si f (ab) — f (a)f (b) pentru orice a, be R.

Dac’a R ,si S sunt inele unitare ,si morfismul de inele f : R — Sverific’a ,sif (1R) — 1S (unde 1R ,si 1S sunt elementele identitate la “inmul,tire

pentru R

,si S), atunci f se nume,ste morfism unitar de inele. Dac’a R ,si S sunt

ineleunitare, atunci, dac’a nu preciz’am altfel, prin morfism de inele de la R laSse “in,telege morfismunitar.

. Pentru orice submul,time nevid’a A a unui inel R se noteaz’a CR( A) — {r e R | ra — ar pentru oricea e A} ,si se nume,ste centralizatorul lui

A “in R. “In particular, CR(R), care se noteaz’a cu Z (R) (sau C(R)), senume,ste centrul lui R.. Fie R un inel unitar. Un element x e R se nume,ste inversabil la st ̂ anga (respectiv la dreapta) dac’a exist’a y e R astfel “inc“at yx — 1 (respectiv xy — 1). Elementul y se nume,ste invers la st ̂ anga



(respectiv la dreapta) al lui x . Dac’a x este inversabil la st“anga ,si ladreapta, atunci se nume,steelement inversabil .

. Fie R un inel. Un element a e R se nume,ste divizor al lui zero la st ̂ anga (respectiv la dreapta) dac’a exist’a b e R, b — 0, astfel “incat a b — 0 (respectiv b a — 0). Dac’a a este divizor al lui zero la st“anga ,si la

dreapta, atunci se nume,ste divizor al lui zero. (De exemplu, 0 estedivizor al lui zero.) Un



Jhl

element care nu este divizor al lui zero nici la st”anga ,si nici la dreapta se

nume,ste nondivizor al lui zero sau element regulat . Un inelf ’ar

divizori ai

lui zero la st”anga ,si la dreapta (difer i,ti de 0) se nume,ste inel integru.(Echiva- lent, dac’a a b — 0, atunci a — 0 sau b — 0.) Un inel integrucomutativ (cu0 — 1) se nume,ste domeniu de inte gritate.

. Fie R un inel ,si x e R. x se nume,ste nilpotent dac’a exist’a un n e N

astfel

”incat x m — 0. Cel mai mic n cu proprietatea c’a x m — 0 se nume,ste

indicele

de nilpoten5t t a al lui x . Elementul x se nume,ste idempotent dac’a x 2 — x .

. Fie R un inel ,si I C R, I — 0. I se nume,ste ideal st ̂ ang (respectivideal

drept ) al lui R dac’a x — y e I pentru orice x, y e I ,si ax e I

(respectiv

xa e I ) pentru orice a e R, x e I . Dac’a I este ,si ideal st”ang ,si idealdrept,

atunci se nume,ste ideal bilateral . Dac’a R este inel comutativ, atunci cele trei

defini,tii de mai sus coincid ,si spunem c’a I este ideal .

. Dac’a I este ideal bilateral ”in inelul R, not’am cu R/I inelul factor .Aplica,tia

p : R — R/I , p(a) — a” pentru orice a e R, este morfism de inele ,si senume,ste

proiec5tia canonic .

. Inelele factor au urm’atoarea proprietate de universalitate: fie R, Ri

dou’a inele, I ideal bilateral al lui R ,si f : R — Ri morfism de inele cu proprietatea c’a I C Ker(f ). Atunci exist’a ,si este unic un morfism deinele f : R/I — Ri care satisface condi,tia f p — f , unde p : R — R/I este proiec,tia canonic’a.. (Teorema a 111-a de izomorfism pentru inele) Dac’a R este un inel ,si IC J

dou’a ideale bilaterale ale sale, atunci exist’a un izomorfism canonicRhl'

R/J .

. Fie u : R — S un morfism de inele comutati ve.Pentru orice ideal I al lui R vom nota cu I e idealul lui S generat de u(I ). Ie

se nume,ste extensia lui I prin morfismul u.Pentru orice ideal J al lui S vom nota J c — u — 1( J ). J c se nume,ste

contr ac5t ia

lui J prin morfismul u.



. Fie R un inel comutativ ,si P C R un ideal.

P se nume,ste ideal prim dac’a P — R ,si ab e P implic’a a e P sau b eP ,unde a, b e R. Echivalent, R/P este domeniu de integritate.

P senume,ste

ideal maximal dac’a

P —

R,si nu

exist’aun alt ideal propriual

lui R care s’acon,tin

strict pe P . Echivalent, R/P este corp.

. Pentru un inel R se vor folosi urm’atoarelenota,tii: U (R) — mul,timea elementelor inversabiledin R, D(R) — mul,timea divizorilor lui zero din R,N (R) — mul,timea elementelor nilpotente din R,



Idemp(R) — mul,timea elementelor idempotente din

R, Spec(R) — mul,timea idealelor prime ale lui R,Max(R) — mul,timea idealelor maximale ale lui R.

. Dac’a I ,si J sunt ideale “in inelul comutativ R, not’am cu IJ mul,timea

ele-mentelor lui R de forma x l y l + . . . + x n y n, cu n e N*, x l, . . . , x n e I

,si y l, . . . , y n e J , iar cu I + J mul,timea elementelor lui R de forma x + y ,cu

x e I ,si y e J . Atunci IJ (respectiv I + J ) este ideal al lui R ,si senume,ste

produsul (respectiv suma) idealelor I ,si J . Puterile I n ale idealului I se de-

finesc recurent prin I l — I ,si I n — II n — l pentru n 2.. Fie R un inel comutativ unitar. R se nume,ste inel noetherian dac’a orice,sir

cresc’ator de ideale ale lui R este sta,tionar, adic’a dac’a IO c Il c . . . In

c . . .sunt ideale ale lui R, atunci exist’a nO e N astfel “inc“at In — In+l pentruoricen nO.

1. S’a se determine numarul structurilor neizomorfe de inel care pot fidefinite pe o mul,time cu p elemente, unde p este un numar prim.

2. S’a se determine num’arul structurilor de inel unitar ce pot fidefinite pe (Zn, +) ,si s’a se arate c’a acestea sunt izomorfe.

3. Fie R un inel cu grupul (R, +) ciclic. S’a se arate c’a R esteinel comutativ. “In particular, orice inel cu pl . . . pn elemente, unde pl, .. . , pn sunt numere prime distincte, este comutativ.

4. S’a se arate c’a orice inel unitar cu p2 elemente este comutativ,unde p este un numar prim. S’a se arate c’a exist’a inele neunitare cu p2

elemente care nu sunt comutati ve.

5. Fie p un num’ar prim. S’a se arate c’a exist’a un inel unitar cu

p3

elemente care nu este comutativ.

6. Fie R un inel. S’a se arate c’a exist’a un inel unitar S astfel“incat R este izomorf cu un subinel al lui S. Mai mult, dac’a exist’a n e

N* astfel ca nr — 0 pentru orice r e R, atunci S poate fi ales astfel ca ns — 0 pentru orice s e S.



7. Fie R un inel. S’a se arate c’a exist’a un inel unitar S ,si unmorfism de inele φ : R — S cu proprietatea c’a pentru orice inel unitar A ,siorice morfism



de inele a : R — A exist’a un morfism unitar de inele a ¯ : S — A astfel

”incata ¯ φ — a. Mai mult, S este unic p”an’a la unizomorfism.

8. (i) S’a se determine ”in inelul Zn elementele inversabile,elementele nilpotente, divizorii lui zero ,si s’a se afle numarul acestora.

(ii) S’a se dea exemplu de dou’a inele neizomorfe cu exact 36 deelemente nilpotente.

9. Se consider ’a numarul natural n care are r factori primi distinc,ti”in descompunerea sa. S’a se arate c’a numarul idempoten,tilor lui Zn este

2r . S’a se determine idempoten,tii inelului Z72 .

10. Fie R un inel unitar. Dac’a exist’a un element ”in R care esteinversabil la st”anga ,si nu este inversabil la dreapta, atunci acesta are oinfinitate de inver ,si la st”anga. ”In particular, dac’a un element din Rare cel pu,tin doi inver ,si la st”anga, atunci el are o infinitate de inver ,si last”anga.

11. S’a se arate c’a ”intr-un inel unitar finit orice element nenul estefie inversabil, fie divizor al lui zero la st”anga sau la dreapta. ”In particular,

orice inel integru finit este corp.

12. Fie R un inel unitar care are un num’ar finit, strict mai mare dec”at1, de divizori ai lui zero la st”anga sau la dreapta. S’a se arate c’a R estefinit. Mai mult, dac’a |R| — n, atunci |U (R)| n — [

1n].

13. Fie R un inel unitar ,si a, b e R. S’a se arate c’a:(i) Dac’a 1 — b a are un invers la st”anga (dreapta), atunci ,si 1 — a b areun

invers la st”anga(dreapta).

(ii) 1 — b a este inversabil dac’a ,si numai dac’a 1 — a b este

inversabil.

14. Fie R un inel. Definim pe R legea de compozi,tie “o“ astfel: a o b — a + b — ab, a, b e R. S’a se aratec’a:

(i) (R, o) este monoid.

(ii) Dac’a R este inel unitar, monoizii (R, o) ,si (R, .) sunt

izomorfi.

(iii) Convenim s’a numim element quasi-regulat la st ̂ anga (dreapta) un



element

inversabil la st”anga (dreapta) ”in monoidul (R, o). S’a se arate c’a pentruorice a, b e R, ab este quasi-regulat la st”anga (dreapta) dac’a ,si numaidac’a baeste quasi-regulat la st”anga (dreapta).(iv) Orice element nilpotent din R este quasi-regulat la st”anga ,si la

dreapta.



15. Fie R un inel unitar. S’a se demonstreze echivalen,ta

urm’atoarelor afirma,tii:(i) R este corp;

(ii) Pentru orice a e R \ {1} exist’a b e R astfel “inc“at a +

b — ab;

(iii) Pentru orice a e R \ {1} exist’a b e R astfel “inc“at a +

b — ba.

16. Fie R un inel unitar ,si u, v e R. S’a se arate c’a urm’atoareleafirma,tii sunt echivalente:

(i) u este inversabil ,si v — u —

i; (ii) uvu — u ,si v u2 v — 1;(iii) uvu — u ,si v este unic cu aceast’a

proprietate.

17. S’a se determine endomorfismele unitare ale inelelor z, Q, R.

18. (i) Fie R un inel. S’a se arate c’a exist’a o coresponden,ta’ bijectiv’a “intre mul,timea morfismelor de inele (nu neap’arat unitare, chiar dac’a R este unitar) f : z — R ,si mul,timea Idemp(R).(ii) S’a se arate c’a exist’a o coresponden,t’a bijectiv’a “intre mul,timeamorfismelor de inele f : zm — zn ,si Idemp(zn) n {a“ e zn | ma“ — 0}.S’a se determine numarul de elemente al acestei mul,timi.

19. Fie R, S inele unitare ,si f : R — S un morfism de ineleunitare.

(i) S’a se arate c’a f este injectiv dac’a ,si numai dac’a f estemonomorfism

de inele unitare, adic’a pentru orice inel unitar A ,si pentru oricemorfismeunitare de inele u, v : A —— R astfel “inc“at f u — f v , rezult’a c’au — v .(ii) S’a se arate c’a dac’a f este surjectiv, atunci f este epimorfism deineleunitare, adic’a pentru orice inel unitar A ,si pentru orice morfisme unitarede

inele u, v : S —— A astfel “incat uf — v f , rezult’a c’a u — v .

S’a se dea exemplu de epimorfism de inele unitare care nu estesurjectiv.

20. Fie R un inel comutativ unitar. S’a se arate c’a:(i) Idemp(R) are o structur ’a de grup “in raport cu legea de compozi,tie



“*“definit’a prin: e * f — e + f — 2ef pentru oricee, f eIdemp(R).

(ii) Dac’a R are un num’ar finit de idempoten,ti, atunci exist’a n e N*

astfel

“incat |Idemp(R)| —

2n.

21. Fie C — {f | f : [0, 1] — R , f func,tie

continu

} cu structura de inel

unitar dat’a de adunarea ,si “inmul,tirea func,tiilor. Dac’a t e [0, 1]not’am cu

qt : C — R aplica,tia dat’a de qt (f ) — f (t ). S’a se arate c’a:



(i) qt este morfism de inele.

(ii) Orice morfism de inele q : C — R este de forma qt pentru unt e [0, 1].

22. Fie u : R — S un morfism de inele comutati ve.

(i) Ar ’ata,ti c’a dac’a J este ideal al lui S, atunci u — i( J ) este ideal al lui

R.

(ii) Ar ’ata,ti c’a dac’a I este ideal al lui R, atunci u(I ) nu este neap’arat

ideal

al lui S.n

(iii) Ar ’ata,ti c’a I e — {P

u( x i) | n e N, i e S, x i e I }.i=i

(iv) Ar ’ata,ti c’a pentru orice ideal I al lui R avem I c (I e)c; da,ti

exemple de

situa,tii c”and aceast’a incluziune este strict ’a.

(v) Ar ’ata,ti c’a pentru orice ideal J al lui S avem ( J c)e c J ; da,tiexemple de situa,tii c”and aceast’a incluziune este strict ’a.

(vi) Ar ’ata,ti c’a pentru orice ideal I al lui R avem ((I e)c)e — I e. (vii) Ar ’ata,ti c’a pentru orice ideal J al lui S avem (( Jc)e)c — J c.

23. Fie R un inel comutativ ,si I, J ideale ale lui R. S’a se arate

c’a:

(i) Dac’a se consider ’a I e, extinsul lui I via proiec,tia canonic’a m : R —

R/J ,atunci I e — I R, unde I — m(I ) ,si R — R/J .

(ii) I e — (I + J ) /J .

(iii) R / I R ' R / (I + J ).

24. (i) Ar ’ata,ti c’a un inel R este noetherian dac’a ,si numaidac’a orice ideal al s’au este finit generat.(ii) (Cohen) Ar ’ata,ti c’a R este noetherian dac’a ,si numai dac’a oriceideal prim al s’au este finit generat.(iii) Ar ’ata,ti c’a orice inel factor al unui inel noetherian este noetherian.

25. S’a se determine idealele, idealele prime ,si idealele maximale din Zn

,si numarul lor, unde n e N, n 2.

26. (i) Fie Ri , . . . , Rn inele unitare ,si R — Ri x . . . x Rn. S’a searate c’a idealele lui R sunt de forma I — Ii x . . . x In, unde Ii, . . . , Insunt ideale ”in Ri, . . . , Rn, respectiv.(ii) Cu nota,tiile de la punctul (i) s’a se arate c’a inelele R/I ,si Ri /Ii x . . .

x



Rn /In sunt izomorfe.(iii) S’a se arate c’a rezultatul de la (i) nu mai r ’am”ane adev’arat c”andavem

un produs infinit de inele.



27. Fie R un inel comutativ. Un ideal I al lui R se numetste ideal nilpotent

dacca existca n e N* astfel “incat I n — 0. Sca se arate cca:(i) Suma a douca ideale nilpotente este un ideal nilpotent.

(ii) Dacca I este un ideal finit generat, atunci I este nilpotent dacca tsinumai dacca orice element al scau este nilpotent.Dacca I nu este finit generat mai r cam“ane

adevcarat

afirmattia?

28. Fie R un inel comutativ tsi unitar tsi I1, . . . , In ideale “in R.Consider cam morfismul de inele q : R — R /I1 x . . . x R /In definitastfel: q( x ) — ( x (mod I1), . . . , x (mod In)). Sca se arate cca:(i) Ker(q) — I1 n . . . n In.

(ii) q este surjectiv dacca tsi numai dacca idealele I1, . . . , In sunt oricare

douca

comaximale (adicca I j + Ik — R pentru orice j — k ).(iii) ( Lema chinez t a a resturilor ) Dacca idealele date sunt oricare doucacomaxi-

male, atunci q induce un izomorfism “intre inelele R /I1 n . . . n In tsi R /I1 x

. . . x R /In.

29. Fie R un inel comutativ tsi unitar. Sca se arate cca urmcatoareleafirmattii sunt echivalente:

(i) R are un singur ideal maximal;(ii) R \ U (R) este ideal “in R;(iii) Dacca a, b e R tsi a + b e U (R) atunci a e U (R) sau b e U (R).

Un inel careverificinel local .

una dintre condittiile echivalente de mai sus se numetste

30. Sca se arate cca un inel local are doar idempotenttii 0 tsi 1.

31. Sca se arate cca inelul Zn este local dacca tsi numai dacca n este putere a unui numcar prim.

32. Fie R un inel unitar.

(i) Dacca a, b e R tsi abe U (R), rezultca cca a, b e U (R)?(ii) Dacca a e R tsi an e U (R), sca se arate cca a e U (R).

(iii) Dacca a este inversabil la st“anga tsi nu este divizor al lui zero ladreapta,

atunci a e U (R).

33. Sca se dea un exemplu de inel R tsi x e R astfel “incat Rx C xR



dar Rx — xR.



34. Fie R un inel. Un element e e R se numetste element identitate

la st ̂ anga (respectiv la dreapta) dac’a er — r (respectiv re — r ) pentruorice r e R.(i) S’a se arate c’a un element identitate la st“anga nu este neap’arat tsielement

identitate la dreapta.

(ii) Dac’a e e R este unicul element identitate la st“anga, atunci e estetsi element identitate la dreapta.

35. Fie R un inel tsi A o submulttime nevid’a a lui R. S’a se aratec’a: (i) CR( A) este subinel al lui R. “In particular, Z (R) este subinel.(ii) CR(CR(CR( A))) — CR( A).

36. Fie R un inel unitar care nu are alte ideale bilaterale “in afar ’a de

(0) tsi R. S’a se arate c’a centrul lui R este corp. “In particular, un inelcomutativ unitar care nu are alte ideale “in afar ’a de (0) tsi R este corp.

37. Fie D un corp. Se numetste comutator aditiv “in D un elementde forma xa — ax cu x, a e D. S’a se arate c’a dac’a un element y e Dcomuta’ cu totti comutatorii aditivi ai lui D, atunci y e Z (D).

38. Fie D un corp. Pentru orice a e D fie aplicattia Sa : D — Ddefinit’a prin Sa( x ) — ax — xa. S’a se arate c’a:(i) Sa( x + y ) — Sa( x ) + Sa( y ) tsi Sa( xy ) — xSa( y ) + Sa( x ) y pentru oricea, x,

y eD.

(ii) Dac’a D are caracteristica diferit’a de 2 tsi K este un subcorp al lui

D pentru careSa(K ) c K pentru oricea e D, atunci K c Z (D).

39. Fie D un corp. Se numetste comutator multiplicativ “in D unelement de forma a — 1b a b — 1, cu a, b e D \ {0}. S’a se arate c’a dac’aun element c e Dcomut

cu totti comutatorii multiplicativi din D, atunci c e Z (D).

40. Fie D un corp tsi K un subcorp al lui D pentru care xK x — 1 c K oricare ar fi x e D. Atunci K c Z (D).

41. Fie R un inel unitar tsi I un ideal bilateral cu proprietatea c’a Ic N (R). Atunci orice idempotent din R/I se ridic’a la un idempotent“in R (adic’a pentru orice f e R /I cu f 2 — f , exist’a e e R cu e2 — eastfel “inc“at f — e“).



42. Fie R un inel comutativ ,si unitar, P un ideal prim al stau ,si

I idealul generat de elementele idempotente din P . Sta se arate cta R/I nuare idempoten,ti netriviali (adicta difer i,ti de 0 ,si 1).

43. Fie R un inel unitar. R se nume,ste inel Boole dacta x 2 — x pentru orice x e R. Sta se arate cta:(i) Dacta R este inel Boole, atunci R este comutativ ,si 2 x — 0 pentru

orice x e R.

(ii) Spec(R) — Max(R).

(iii) Dacta X este o mul,time, atunci (P ( X ), L, n) este inelBoole.(iv) Dacta R este inel Boole finit, atunci existta o mul,time finitta X cu

propri-etatea cta R este izomorf cu (P ( X ), L, n). “In particular, un inel Boole

finit

are 2r elemente, r e N.

(v) Pe orice mul,time infinitta X se poate defini o structur ta de inelBoole.

44. Fie R un inel comutativ ,si unitar.

(i) Sta se arate cta N (R) coincide cu intersec,tia idealelor prime ale lui R.“In

particular, N (R) esteideal.

(ii) Dacta x e N (R) ,si u e U (R), atunci x + u e U(R).

(iii) Dacta J (R) este radicalul Jacobson al lui R, definit ca fiindintersec,tia

idealelor maximale ale lui R, atunci

J (R) — { x e R | 1 — ax e U (R) pentru orice a eR}.

(iv) Sta se dea exemple de inele R pentru careN (R) — J (R) ,si de ineleR

pentru careN (R) — J(R).

45. Fie Ri, . . . , Rm inele comutative unitare ,si R — Ri x • • • x Rm.Atunci: (i) P este ideal prim al lui R dacta ,si numai dacta existta 1<i< n ,si Pi ideal prim al lui Ri astfel “incat P — Ri x • • • x Ri — i x Pi x Ri+i x • • • x Rm.



(ii) M este ideal maximal al lui R dacta ,si numai dacta existta 1< i< n ,si Mi ideal maximal al lui Ri astfel “inc“at M — Ri x • • • x Ri — i xMi xRi+i x • • • x Rm. (iii) N (R) — N (Ri) x • • • x N (Rm) ,si J (R) — J (Ri) x • • • x J (Rm).

46. Dacta R — z20 x Q x zi9, sta se determine idealele lui R, inelele

factor ale lui R, Spec(R), Max(R), N (R), J (R) ,si Idemp(R).47. Fie R un inel comutativ unitar ,si I un ideal al stau. Definim

Rad(I ) — {a e R | existta n e N astfel “inc“at am

e I }.



Sta se arate cta:

(i) Rad(I ) este ideal al lui R ,si I CRad(I ). (ii) N (R/I ) — Rad(I ) /I .(iii) Rad(I ) —

T

P eV (l)

P , unde V (I ) — {P | P este ideal prim ,si I C P }.

(iv) Rad(I ) — Rad(Rad (I )) ,si Rad(I ) C Rad( J ) dacta ,si numai dacta V ( J ) CV (I ).(v) Rad(I J ) — Rad(I n J ) — Rad(I ) n Rad( J ) ,si Rad(I + J ) —

Rad(Rad (I ) +Rad( J )).

48. Dacta R este un inel comutativ unitar integru infinit cu |U (R)| <c, sta se arate cta R are o infinitate de ideale maximale.

49. Fie R — dz /nz inel comutativ neunitar cu n — dm, m fiind unnumar natural nenul care nu este prim. Sta se arate cta:(i) Idealele lui R sunt de forma k dz /nz, unde k |m.

(ii) Idealele prime ale lui R sunt de forma pdz /nz, unde p este un numtar

prim, p|m ,si p nu divide pe d.

(iii) Idealele maximale ale lui R sunt de forma pdz /nz, unde p este un numtar

prim ,si p|m.

Deci Spec(R) c Max(R) ,si Spec(R) — Max(R).

5O. Fie R — nz inel comutativ neunitar. Sta se aratecta: (i) Idealele lui R sunt de forma k nz, k e z.(ii) Idealele prime nenule ale lui R sunt de forma pnz, unde p este numar

prim astfel “incat p nu divide pe n.(iii) Idealele maximale ale lui R sunt de forma pnz, unde p este un numar

prim.

Deci Spec(R) \ {O} c Max(R) ,si Spec(R) \ {O} — Max(R).

51. Sta se dea exemplu de inel (neunitar) care nu are ideale maximale.

52. Fie Al, . . . , Am, Bl , . . . , Bm inele comutative unitare care nu auidem- poten,ti netriviali (adicta difer i,ti de O ,si 1). Atunci Al x . . . x Am 'Bl x . . . x Bm dacta ,si numai dacta m — n ,si existta u e Sm astfel

“inc“at Ai ' Bσ (i) pentru orice 1 i n.

53. Fie k c K , k — K douta corpuri. Sta se arate cta dacta [K * : k *]<c, atunci |k| <c.



54. Sta se arate Cta ufl Corp K flu se poate sCrie Ca reufliufle

fiflitta de subCorpuri proprii.

55. Fie K ufl Corp fiflit de CaraCteristiC ta 3. Ar tata,ti Cta existta x,

y e K Cu proprietatea Cta x 2 + y 2 — a2 pefltru oriCea e K .



Capitolul 5

Constru c,tii de inele: inele de

matrice, inele de polinoame,inele de serii formale ,si inele defrac,tii

“In acest capitol prin inel vom “inttelege inel unitar, iar prin morfism deinele morfism unitar. (Uneori vom preciza acest lucru tsi “in modexplicit.) “In problemele “in care se va lucra cu inele neunitare acest lucruva fi menttionat explicit.

. Prin R[ X 1, . . . , X m], n e N*, vom nota inelul polinoamelor “innedetermi- natele X 1, . . . , X m cu coeficientti “intr-un inel R. Pentru n — 1 nottam R[ X ]. Putem considera cta R[ X 1, . . . , X m] c R[ X 1, . . . ,

X m+1] pentru orice n e N*

tsi definim R[ X 1 , . . . , X m, . . . ] — S

R[ X 1 , . . . , X m] inelul de

polinoame ˆ ıntr-om≥

1

infinitatenumt ar abil

de nedeterminate peste R.

Inelele de polinoame au urmtatoarea proprietate de universalitate: pentruorice morfism de inele f : R — S tsi pentru orice elemente s1, . . . , sm eS, existta tsi este unic un morfism f : R[ X 1, . . . , X m] — S astfel“incat f ˛ — f (unde ˛ : R — R[ X 1, . . . , X m], ˛(a) — a pentru oricea eR, este morfismul canonic) tsi f ( X i) — si pentru oricei — 1, . . . , n.Dacta f e R[ X 1, . . . , X m] tsi 1 i n fixat, atunci prin deg X i

(f )

nottam

gradul lui f considerat ca polinom “in nedeterminata X i cu coeficientti “inine-



lul format cu celelalte nedeterminate.

Dacta I este ideal (st“ang, drept, bilateral) al lui R, atunci prin I [ X 1, . . .

, X m]



not’am mul,timea polinoamelor din R[ X 1, . . . , X m] cu to,ti coefcien,tii

“in I . Se observ’a c’a I [ X 1, . . . , X m] este ideal (st“ang, drept, bilateral) al ineluluiR[ X 1, . . . , X m].Pentru un polinom f e R[ X 1, . . . , X m] vom notacu

f ‘ func5tia polinomial t a

ata,s

atlui f . Deci f ‘ : Rm — R astfel “inc“at f ‘( x ) — f ( x ) pentru orice x e

Rm.

. Teorema lui Hilbert a bazei. Dac’a R este inel noetherian, atunci inelul de

polinoame R[ X 1, . . . , X m] este noetherian.

. Un polinom f e R[ X 1, . . . , X m] se nume,ste simetric dac’a pentruorice

permutare u e Sm avem f ( X u(1) , . . . , X u(m)) — f ( X 1, . . . , X m).

Polinoamelesimetrice fundamentale din R[ X 1, . . . , X m] se noteaz’a cu s1 , . . . , sm ,sisunt

date de formulele

s1 — X

1≤ i≤ m

s2 — X

X i

X i X j

. . . . . . 1≤ .

i<j≤ .

m . .. . . . .

sm — X 1 X 2 . . .

X m

. Prin Mm(R), n e N* , not’am inelul matricelor p’atratice de ordin ncu coefcien,ti “intr-un inel R.Dac’a I este un ideal (st“ang, drept, bilateral) al lui R, atunci se noteaz’acu Mm(I ) mul,timea matricelor cu toate elementele “in I . Se observ’ac’a Mm(I ) este ideal (st“ang, drept, bilateral) al lui Mm(R).Pentru 1 i, j n fxa,ti se noteaz’a cu Eij (sau eij ) matricea care are 1

pe

pozi,tia (i, j) ,si 0 “inrest.

. Fie R un inel comutativ ,si unitar. Prin R[[ X ]] vom nota inelul de

seriiformale “in nedeterminata X cu coefcien,ti “in R. Dac’a f — aO + a1 X

+ . . .este o serie formal’a nenula, atunci ordinul lui f se noteaz’a cu ord(f ) ,sieste

cel mai mic n cu proprietatea c’a am —

0.



Dac’a I este ideal al lui R, atunci prin I [[ X ]] not’am mul,timea seriilor formale

din R[[ X ]] cu to,ti coefcien,tii “in I . Se observ’a c’a I [[ X ]] este idealal lui

R[[ X ]].

. Fie R un inel comutativ ,si unitar iar S c R un sistem multiplicativ

(adic’a

1 e S ,si pentru orice s, t e S avem st e S). Inelul de frac,tii al lui Rcu

numitori “in S se noteaz’a cu S — 1R — {a/s | a e R, s e S}.

Reamintim c’a

pentru a, b e R ,si s, t e S avem a/s — b/t dac’a ,si numai dac’a exist’a

u e Sastfel “incat u(at — b s) —

0.

Inelele de frac,tii au urm’atoarea proprietate de universalitate: pentruorice



morfism de inele comutative f : R — Ri ,si pentru orice sistem multiplica-

tiv S c R cu proprietatea c’a f (S) c U (Ri

) exist’a ,si este unic unmorfism f : S — 1R — Ri astfel “incat f q — f , unde q : R — S — 1R, q(a) — a/ 1 pentru orice a e R, este morfismul canonic.Dac’a R este un domeniu de integritate ,si S — R \ {0}, atunci inelul defrac,tii S — 1R este corp, se noteaz’a cu Q(R) ,si se nume,ste corpul de

frac5tii al lui R. Dac’a I este ideal al lui R, atunci se noteaz’a cu S — 1Imul,timea frac,tiilor cu numaratorii “in I . Se observ’a c’a S — 1 I este idealal lui S — 1R.. Simbolul lui Kronecker Sij este egal cu 0 dac’a i — j ,si cu 1 dac’a i

— j.

1. Fie R un inel. S’a se arate c’a inelul de matrice Mm(R) este comutativ

dac’a ,si numai dac’a estesatisf ’acut

(i) n — 1 ,si R este comutativ;

(ii) a b — 0 pentru orice a, b e R.

2. Fie p > 0 un num’ar

prim.

una din urm’atoarele dou’a condi,tii:

(i) S’a se determine matricele idempotente din M2(z p) ,si numarul acestora.(ii) Dac’a A, B e M2 (z p) ,si A este inversabil’a, s’a se arate c’a Aq

— I2 ,si Bq+2 — B2 , unde q — ( p2 — 1)( p2 — p).

3. Fie K un corp comutativ ,si A e Mm(K ). S’a se arate c’a A

este inversabil’a sau divizor al lui zero.

4. Fie R un inel. S’a se arate c’a Z (Mm(R)) — {aIm | a e R}

,si c’a

Z (Mm(R)) ' R.

5. Fie K ,si L corpuri comutative. S’a se arate c’a Mm(K ) ' Mm(L)

dac’a

,si numai dac’a K ' L ,si m — n.

6. Fie R un inel ,si n e N*

. S’a se arate c’a idealele bilaterale alelui Mm(R) sunt de forma Mm(I ), unde I este ideal bilateral al lui R, ,si pentru orice astfel de ideal avem Mm(R) / Mm(I ) ' Mm(R /I ).Este adev’arat c’a orice ideal st“ang al lui Mm(R) este de forma Mm( J ), cu

Jideal st“ang “in R?

7. Fie K un corp ,si n > 1. S’a se arate c’a nu exist’a morfisme de



8. Fie H —

(µ u v

¶

—v u

)

u, v e c .

(i) S’a se arate c’a H este un corp necomutativ cu adunarea tsi“inmulttirea matricelor, numit corpul cuaternionilo r .

(ii) S’a se arate c’a c este izomorf cu un subcorp al lui H.

(iii) Fie elementele I —

µi 0

¶

0 —i, j —

µ0

1—1 0

¶

, k —

µ0 i

¶

i 0din

H. S’a se arate c’a orice element x e H se scrie “in mod unic subforma

x — aOI2 +alI+a2 j+a3k cu aO, al, a2, a3 e R. Not“and x — aOI2 —alI—a2 j—

a3k ,N ( x ) — xx tsi T ( x ) — x + x , s’a se arate c’a x 2 — T ( x ) x + N ( x ) — 0

tsi c’a

N ( xy ) — N ( yx ) pentru orice x, y e H.

(iv) S’a se determine Z (H).

(v) S’a se arate c’a ecuattia x 2 — —1 are o infinitate de soluttii “in H.

9. Fie S un inel tsi n e N*. S’a se arate c’a urm’atoareleafirmattii sunt echivalente:(a) Exist’a un inel R astfel “incat S ) Mm(R).

(b) Exist’a o familie (eij )l≤ i,j≤ m de elemente din S cu proprietatea c’a

Pl≤ i≤ m

eii —

1 tsi eij ekl — S jk eil pentru orice 1 i, j, k , 1 n (unde S jk este simbolullui

Kroneck er).

10. Fie S un inel unitar cu proprietatea c’a S ) Mm(R) pentru un n e N* tsi un inel R. Fie A un inel factor al lui S tsi B un inel pentru care Seste subinel “in B. S’a se arate c’a A tsi B sunt tsi ele izomorfe cu inelede matrice n x n peste anumite inele.

11. Fie k e z tsi Rk

— (i) Rk este inel

comutativ.(ii) Rk ) z[ X ] / ( X 2 —k ).

(µ a b

¶

kb a a, b ez

)

. S’a se arate c’a:



(iii) Rk ) Rl dac’a tsi numai dac’a 1 — k .

12. Fie R un inel. S’a se arate c’a Mm(R[ X ]) ) Mm(R)[ X ].

13. Fie R un inel comutativ tsi al, . . . , am e R. S’a se arate c’a

R[ X l, . . . , X m] / ( X l — al, . . . , X m — am) ) R.



14. Fie R un inel comutativ tsi I un ideal al lui R. Ar ’atatti c’a:

(i) I [ X 1, . . . , X m] este ideal al lui R[ X 1, . . . , X m] tsi coincide cu extinsullui Ivia injecttia canonic’a ˛ : R — R[ X 1, . . . , X m].

(ii) R[ X 1, . . . , X m] /I [ X 1, . . . , X m] ) (R/I )[ X 1, . . . , X m].

(iii) I este ideal prim “in R dac’a tsi numai dac’a I [ X 1, . . . , X m] este ideal prim

“in R[ X 1, . . . , X m].

15. S’a se arate c’a exist’a urm’atoarele izomorfisme de inele:(i) z[ X ] / ( X 2 — d) ) z[

1d], unde d este un num’ar “intreg liber de p’atrate,

iar z[1d] — {a + b1d | a, b e z} este inel cu adunarea tsi “inmulttirea

numerelor

reale.

(ii) Q[ X ] / ( X 2 + X + 1) ) Q(E), unde E este o

r ’ad’acin

primitiv’a de ordinul

3 a unit ’attii tsi Q(E) — {a + b E| a, b e Q} este inel cu adunarea tsi“inmulttirea

numerelor complexe.

(iii) R [ X ] / ( X 2 + 1) ) C.

16. Fie d e z liber de p’atrate. Ar ’atatti c’a pentru orice a, b e z cua — 0 sau b — 0, inelul z[

1d] / (a + b

1d) are |a2 — d b2| elemente.

17. Fie a, b , c e R, a — 0 tsi z — b2 — 4ac. Not’am R — R [ X ] / (aX 2

+bX + c). S’a se arate c’a:

(i) Dac’a z > 0, atunci R ) R x R.

(ii) Dac’a z < 0, atunci R ) C.

(iii) Dac’a z — 0, atunci R este un inel local cu divizori ai lui zero.

18. S’a se arate c’a R — z[ X ] / (2, X 2 + 1) este un inel cu 4 elemente,

dar R nu este izomorf cu z2 x z2.

19. Consider ’am idealul I — (3, X 3 — X 2 + 2 X + 1) “in z[ X ]. S’a searate c’a I nu este ideal principal tsi c’a z[ X ] /I nu este corp.

20. Fie R — {f e R [ X ] | f (0) e Q} tsi I — {f e R | f (0) — 0}.S’a se arate c’a R este inel comutativ, I este ideal maximal al lui R tsi I nueste finit generat.



21. Fie K un corp comutativ tsi R — K [ X 1, . . . , X m, . . . ] inelul de

poli-noame “intr-o infinitate

numarabil

de nedeterminate peste K . S’a se arate c’a

idealul I — ( X 1, . . . , X m, . . . ) nu este finit generat.



O

O

22. Fie R — z[ X , Y ] tsi I — ( X r , Y s), r , s e N* . S’a se calculeze

Rad(I ) tsi s’a se arate c’a dac’a f , g e R astfel “incat f g e I , atunci f eI sau g e Rad(I ) (Rad(I ) s-a definit “in problema 47 din Capitolul 4).

23. Fie K un corp comutativ tsi R — K [ X , Y ] / ( X 2 — Y 3). S’a se aratec’a: (i) R este inel integru.(ii) R este izomorf cu subinelul B al lui K [T ] format din polinoamele de

forma P (T ) — aO +P

2≤ i≤ m

aiT i, cu n e N tsi aO, a2, . . . , am e K .

24. Fie K un corp comutativ de caracteristic ’a — 2. S’a se arate c’ainelul R — K [ X , Y ] / (Y 2 — X 3 — X 2) este integru, dar K [[ X , Y ]] / (Y 2 —

X 3 — X 2) (completatul lui R “in topologia idealului maximal ( X “ , Y “ ))nu este integru.

25. Fie R un inel comutativ tsi f — aO+ a

i X + . . . + a

m X m e R[ X ].

S’a se arate c’a:(i) f este nilpotent dac’a tsi numai dac’a ai este nilpotent pentru orice 0 i

n.(ii) f este inversabil dac’a tsi numai dac’a aO este inversabil tsi ai este

nilpotent

pentru orice 1 i n.(iii) f este divizor al lui zero dac’a tsi numai dac’a exist’a a e R, a — 0,cu

af — 0.(iv) f este idempotent dac’a tsi numai dac’a f — aO tsi a2 — aO.

26. Fie R un inel comutativ tsi f — aO + ai X + . . . e R[[ X ]] . S’a se

aratec’a:

(i) Dac’a f este nilpotent, atunci ai este nilpotent pentru orice i 0.Reciproc este adev’arat?

(ii) f este inversabil dac’a tsi numai dac’a aO este inversabil.(iii) f este idempotent dac’a tsi numai dac’a f — aO tsi a2

— aO.

27. Fie R un inel comutativ. S’a se arate

c’a:

(i) Dac’a M este un ideal maximal al lui R[[ X ]], atunci M n R este idealmaximal al lui R tsi M — (M n R)R[[ X ]] + X R[[ X ]] .

(ii) Dac’a R este inel local cu idealul maximal m, atunci R[[ X ]] este inel local

cu idealul maximal mR[[ X ]] + X R[[ X ]].(iii) Inelul R[ X ] nu poate fi inel local.

28. Fie R inel noetherian. Ar ’atatti c’a inelul de serii formale R[[ X ]]este noetherian.



29. S’a se arate c’a z[[ X ]] / ( X — 2) nu este izomorf cu z (deci

izomorfismul din problema 13 nu mai este valabil pentru inele de seriiformale).

30. Fie R un inel comutativ. S’a se arate c’a J (R[ X ]) — N (R[ X ]),si

J (R[[ X ]]) — J (R)

[[ X ]] .

31. Fie K un corp comutativ ,si consider ’am inelul neunitar R — X K [[ X ]]. (i) Fie I un ideal al lui R ,si n cel mai mic ordin al unei serii formalenenule din I . Definim

GI — {a e K | exist’a f e I cu f — aX m + am+1 X

m+1 +

. . . }.

S’a se arate c’a GI este subgrup al grupului abelian (K , +). Mai mult,dac’a I este ideal maximal “in R, atunci s’a se arate c’a GI este subgrupmaximal “in (K , +).(ii) Fie G un subgrup al lui (K , +). S’a se arate

c’a

IG — {f e R | exist’a a e G cu f — aX + a2 X 2+

. . . }

este ideal “in R. Mai mult, s’a se arate c’a dac’a G este subgrup maximal

al lui(K , +), atunci IG este ideal maximal al luiR.

(iii) Deduce,ti c’a R are ideale maximale dac’a ,si numai dac’a grupul(K , +)

are subgrupuri maximale.

(iv) S’a se arate c’a grupul (K , +) este divizibil dac’a ,si numai dac’a

char(K ) —

0.

(v) Deduce,ti c’a grupul (K , +) are subgrupuri maximale dac’a ,si numaidac’a char(K ) — 0.

(vi) S’a se arate c’a R are ideale maximale dac’a ,si numai dac’a char(K ) — 0.

32. Fie K un corp comutativ. S’a se arate c’a:

(i) Idealele nenule proprii ale inelului K [[ X ]] sunt de forma ( X m), n e N*.“In

particular, K [[ X ]] este inel



1 ii

m!

orice numar “intreg N care nu se divide cu caracteristica lui K , aplica,tia

qN : U1 (K [[ X ]]) — U1(K [[ X ]]), qN (f ) — f N , este izomorfism de grupuri.

34. Dacta F — P

m

O am X m este o serie formalta cu coeficien,ti “in

corpul

K , definim seria formalta derivatta F i prin F i —

P

m

cta:

nam X m — 1. Sta se arate

(i) Pentru orice F , G e K [[ X ]] avem (F + G)i — F i + Gi, (F G)i — F i G + F

Gi

,si (F m)i — nF m — 1F i pentru oricen e N*.

(ii) Pentru char K — 0, dacta A, B e U1(K [[ X ]]) ,si Ai B — ABi, atunci A —

B.

(iii) Pentru char K — 0, dacta A, B e X K [[ X ]] ,si Ai — Bi, atunci A — B.

35. Fie K un corp comutativ. Spunem cta o familie (F i)i O de serii

formale din K [[ X ]] , F i — P

j

Oaij X j , este sumabil t a dacta pentru orice r

0

,sirul (air )i O are doar un numar finit de termeni nenuli. “In acest caz definimseria formalta F — P

i

OF i ca fiind F —

P i Obi X i, unde bi — P r O ari (prin

aceast ta sumta formalta infinitta “in,telegem suma finitta a termenilor nenulidin

sumare). Sta se arate cta dacta familia (F i)i O este sumabilta, atunci:

(i) Familia (F i)i O este sumabilta ,si F i — P i O F i .

(ii) Dacta G e K [[ X ]], atunci familia (F iG)i O este sumabilta ,si (P

i OF i)G

— Pi O

F iG.

36. Fie K un corp de caracteristic ta zero. Identificam mul,timea

numerelor r a,tionale cu cel mai mic subcorp al lui K . Pentru orice f e X K [[ X ]] definim

exp(f ) — 1 +X

1f m e U (K [[ X ]]).

n!1

m >O

(Sta observtam cta familia de serii formale ( 1 f m)m>O este sumabilta ,si



n

m

atunci suma din membrul drept se define,ste ca “in problema 35.)De asemenea, pentru orice g e U1 (K [[ X ]]) definim

log(g) — — X 1

(1 — g)m e X K [[ X ]].

m >O

(S,i aici observtam cta deoarece 1 — g e X K [[ X ]], familia ( 1 (1 — g)m)m>O

este

sumabilta.) Sta se arate cta:

(i) (exp(f ))i — (exp(f ))f i pentru oricef e X K [[ X ]] . (ii) g(log(g))i — gi pentru oriceg eU1(K [[ X ]]).(iii) exp(log(g)) — g pentru oriceg e U1(K [[ X ]]).



NN m'

m -C X

.

(iv) log(exp(f )) ‘ f pentru oricef e X K [[ X ]].

(v) exp(f + h) ‘ exp(f ) exp(h) pentru orice f , h e X K [[ X ]].(vi) Deduce,ti c’a func,tiile exp ,si log sunt izomorfisme inverse unulceluilalt

“intre grupurile ( X K [[ X ]], +) ,si (U1(K [[ X ]], .).

37. Fie K un corp de caracteristic ’a zero. Identificam mul,timea numerelor

r a,tionale cu cel mai mic subcorp al lui K . Fie a ‘ a un numar r a,tional,

unde a, N e z, N ‘ 0. Definim seria formal’a (1 + X )α din K [[ X ]] prin

(1 + X )α ‘ (q — 1

(1 + X ))a, unde qN este izomorfismul din problema 33. S’a

se arate c’a:

(i) Defini,tia lui (1+ X )α nu depinde de reprezentarea lui a ca frac,tier a,tional’a. (ii) (1 + X )α ‘ exp(a log(1 + X )).(iii) Pentru orice n 0, coeficientul lui X m din seria formal’a (1 + X )α este ofunc,tie polinomial’a de a.

(iv) (1 + X )α ‘ 1 +P

m >O

,

n > 0.

α˘ X m, unde

,α˘

α(α — 1) ...(α —

m+1)m!

pentru orice

38. Pentru n 2 not’am cu T m numarul de moduri “in care se pot pune parantezele “in produsul x 1 x 2 . . . x m, unde x 1, . . . , x m suntelemente ale unei mul,timi pe care s-a definit o oper a,tie notat ’amultiplicativ. Not’am T 1 ‘1. S,tim din solu,tia problemei 2 din Capitolul 2 c’a T m ‘P

k =1 ,m

1T k T m — k .

Consider ’am seria formal’a F ‘ T 1 X + T 2 X 2 + . . . + T m X m + . . . eQ[[ X ]] . (i) S’a se arate c’a F 2 ‘ F — X .(ii) Deduce,ti c’a F ‘ 1 — 1 q — 1

(1—4 X ) (unde q2 are semnifica,tia din problema

33).2 2 2

(iii) S’a se arate c’a q — 1(1 — 4 X ) ‘

P2 m O

2 m — 1 m— m 2m — 2

(iv) S’a se deduc’a din (ii) ,si (iii) c’a T m ‘ 1 Cm — 1 .m 2m — 2

39. (i) Fie k un corp comutativ ,si f e k [ X ]. Ar ’ata,ti c’a inelulfactor

k [ X ] / (f ) este corp dac’a ,si numai dac’a f este ireductibil.

(ii) Fie R un domeniu de integritate ,si Q corpul s’au de frac,tii. Ar ’ata,ti

c’a pentru orice polinom neconstant f e R[ X ] exist’a un corp care con,tine Qca

subcorp ,si “in care f are cel pu,tin o r ’adacin’a.

(iii) Cu nota,tiile de la (ii), demonstr a,ti c’a pentru orice polinom f e R[ X ]

cu

grad f 1 exist’a un corp K care con,tine pe Q ca subcorp ,si “in care f



are

toate r ’adacinile.

40. Fie a e z, n e N* ,si f ( X ) ‘ X m — a e z[ X ]. Dac’a pentru

oricem e N, m 2 polinomul f “ e zm[ X ], f “( X ) ‘ X m — a“ are o

r ’ad’acin

“in zm,



i

a1. . .aq-2

sta se arate cta f are o

r tadtacin

“in z.

41. Fie R un domeniu de integritate infinit tsi f e R[ X 1, . . . , X m].Dacta existta o submulttime A — A1 x . . . x Am a lui Rm, astfel “incat Aieste infinitta pentru orice 1 i n, cu proprietatea cta f ‘(a) — 0

pentru oricea e A,atunci f — 0 (f ‘ este functtia polinomialtaatatsat

polinomului f ).

Mai r tamane

adevtaratafirmattia dacta tstim doar cta f ‘(a) — 0 pentru o

infiniitate de elemente a e Rm

?

Sta se arate cta rezultatul nu mai este adevtarat dacta R nu este inel

comutativ.

42. Fie K un corp comutativ, q e N, q > 1 tsi f e K [ X 1, . . . ,

X m].Sta se arate cta f se poate scrie astfel: f —

P

1≤ i≤ m

( X q

— X i)gi + gO, cu gi e

K [ X 1, . . . , X m] pentru orice 0 i n, deg X i (gO) < q pentru orice 1 i

n,tsi deg(gO) deg(f ).

43. Fie K un corp finit, |K | — q, tsi fie g e K [ X 1, . . . , X m] cu

proprietatea cta deg X i (g) < q pentru orice 1 i n. Dacta g‘ — 0, sta searate cta g — 0.

44. Fie K un corp finit, |K | — q, tsi fie g e K [ X 1, . . . , X m]. Sta se

arate

cta g‘ — 0 dacta tsi numai dacta g e ( X q

— X 1, . . . , X q — X m).1 m

45. Fie K un corp finit tsi n e N*. Sta se arate cta orice functtie q : K m —

K este polinomialta, adicta existta f e K [ X 1, . . . , X m] cu q — f ‘.

46. Fie K un corp finit, |K | — q, tsi fie f e K [ X 1, . . . , X m] astfel“incat deg(f ) — d < n tsi f (0, . . . , 0) — 0. Sta se arate cta:(i) Existta a e K m, a — (0, . . . , 0), cu f ‘(a) — 0.(ii) Dacta |{a e K m | f ‘(a) — 0}| — N tsi p — char(K ), atunci p|N .

47. Fie K un corp finit, |K | — q, tsi fie f ( X ) — aO+a1 X +. . .

+aq — 2 X

q — 2 e

K [ X ] cu aq — 2 — 0. Atunci |{a e K * | f ‘(a) — 0}| — q — 1 — rang( A), unde



. . .aO

. . .. . .. . .

aO

. . .

aq-3

I. . .

.?

I

Aeste matricea

aO

A —

I a1I

aq — 2

48. Fie R un inel comutativ, S ç R un sistem multiplicativ tsi q : R —S — 1R morfismul canonic. Sta se arate cta:



(i) q este injectiv dac’a ,si numai dac’a S este inclus “in mul,timea

nondivizorilor lui zero din R.(ii) q este bijectiv dac’a ,si numai dac’a S c U (R).

49. Fie R un inel comutativ, S c R un sistem multiplicativ ,si I, Jideale ale lui R. Not’am S — 1I ’ {a/s | a e I, s e S}. S’a se arate c’a:(i) S — 1I este ideal al lui S — 1R. “In plus, orice ideal al lui S — 1R este de

forma

S — 1I pentru un ideal I al lui R.

(ii) S — 1I ’ S — 1R dac’a ,si numai dac’a I n S ’ 0.

(iii) Mul,timea T ’ {s“ | s e S} este sistem multiplicativ “in R/I ,siavem

S — 1R /S — 1I ) T — 1 (R/I ).

(iv) S — 1(I n J ) ’ S — 1I n S — 1 J , S — 1(I + J ) ’ S — 1I + S — 1 J ,si S — 1(I J ) ’

(S — 1I )(S — 1 J ) pentru orice ideale I ,si J .

50. Fie R un inel comutativ ,si S un sistem multiplicativ “in R. S’ase arate c’a:

(i) Dac’a p este ideal prim al lui R cu p n S ’ 0, atunci S — 1 p este ideal prim al lui S — 1R.(ii) Exist’a o coresponden,ta’ bijectiv’a “intre Spec(R) n ‘ ,si Spec(S — 1 R),

unde

‘ ’ {I | I ideal al lui R cu I n S ’ 0}.

(iii) Dac’a p este ideal prim al lui R ,si S ’ R — p, atunci S — 1

R este inellocal

cu idealul maximal S — 1 p ,si S — 1R /S — 1 p este izomorf cu Q(R/p), corpulde frac,tii al domeniului de integritate R/p. (“In acest caz S — 1R senoteaz’a cuR p ,si se nume,ste localizatul lui R “in idealul prim p).

51. Fie R inel noetherian. Ar ’ata,ti c’a orice inel de frac,tii al lui Reste noetherian.

52. Fie S ’ {2k + 1 | k e z}. S’a se arate c’a S este sistem

multiplicativ

“in z ,si c’a S — 1 z este inel local. Care este idealul s’au maximal?

53. Fie S ’ (3z — {0}) u {1}. S’a se arate c’a S este sistemmultiplicativ al lui z ,si c’a S — 1z ’ Q.

54. Fie R un domeniu de integritate. S’a se arate c’a R ’T

RmmeMax( R)

(R ,si orice localizat al s’au sunt considerate ca subinele “in corpul de frac,tii



al

lui R).



im

55. Fie R un inel comutativ ,si a e R un element care nu este

nilpotent. S’a se arate c’a S — {1, a, a

2

, . . .} este sistemmultiplicativ al lui R ,si c’a S — 1R ) R[ X ] / (aX — 1).

56. Fie R un inel comutativ finit ,si S un sistem multiplicativ al luiR. S’a se arate c’a morfismul canonic q : R — S — 1R este surjectiv. “In particular, orice inel de frac,tii al lui zm este izomorf cu un zd, d|n.Este adev’arat ,si reciproc: pentru orice n e N* ,si orice d|n exist’a un

sistem

multiplicativ S al lui zm cu proprietatea c’a S — 1 zm ) zd?

57. Fie R un domeniu de integritate “in care orice ideal este principal.Fie K corpul de frac,tii al lui R ,si fie A un subinel al lui K care “il include

pe R. S’a se arate c’a exist’a un sistem multiplicativ S al lui R cu proprietatea c’a A — S — 1R.

S’a se dea exemplu de domeniu de integritate R pentru care proprietatea demai sus nu este adev’arat a.

58. Fie R un inel comutativ ,si S un sistem multiplicativ al lui R.S’a se arate c’a exist’a un izomorfism canonic “intre S — 1(R[ X ]) ,si (S —

1R)[ X ]. Mai r ’am“ane adev’arat ’a proprietatea pentru inele de seriiformale?

59. Fie (Ri)iel o familie de inele comutative ,si consider ’am pentru oricei e I un sistem multiplicativ Si al lui Ri. Fie R —

QRi. S’a se arate c’a

iel

S — Q

Si este sistem multiplicativ al lui R ,si c’a exist’a un izomorfism

canoniciel

“intre S — 1R ,si Q

(S — 1Ri).

iel

60. S’a se arate c’a un inel comutativ R este redus dac’a ,si numaidac’a Rm este redus pentru orice m e Max(R). (Un inel comutativ senume,ste redus dac’a nu are elemente nilpotente nenule.)Mai r ’amane

adev’arat proprietatea dac’a “inlocuim redus cu integru?

61. Fie K un corp comutativ, char(K ) — 2 ,si fieDm, zm e K [ X 1, . . . ,

X m],

Dm —

Q

( X i — X j ), zm — D2

. S’a se arate c’a:1≤ i,j≤ m

(i) Dm( X o(1), . . . , X o(m)) — E(u)Dm( X 1, . . . , X m) pentru orice u e Sm.

(ii) zm este polinom simetric.

(iii) Dac’a f e K [ X 1, . . . , X m] are proprietatea c’a

f ( X o(1) , . . . , X o(m)) — E(u)f ( X 1, . . . , X m)



pentru oriceu e Sm, atunci exist’a g e K [ X l, . . . , X m] polinom simetric

cu

f — gDm.

(iv) Dac’a f e K [ X l, . . . , X m] are proprietatea c’a

f ( X o(l) , . . . , X o(m)) — f ( X l, . . . ,

X m)

pentru oriceu e Am, atunci exist’a f l, f 2 e K [ X l , . . . , X m] polinoamesimetrii ce cu f — f l + f 2Dm.

62. S’a se scrie ca polinom de polinoamele simetrice fundamentale

fiecare din urm’atoarele polinoame simetrice:(i) ( X l — X 2)2 ( X l — X 3)2( X 2 — X 3)

2.

(ii) ( X 2 + X 2)( X 2 + X 2)( X 2 + X 2).l 2 l 3 2 3

(iii) (— X l + X 2+ . . .+ X m)( X l — X 2 + . . .+ X m) . . . ( X l + X 2+ . . .+ X m — l

— X m).

(iv) X 3 + . . . + X 3.l m

63. ( Formulele lui Newton) Fie K un corp comutativ. Pentru fiecare

i e N, i > 0, consider ’am polinoamele pi — X i + . . . + X i

e K [ X l, . . . , X m].l m

De asemenea consider ’am pO — 1. S’a se arate c’a:m

(i) pk — sl pk — l + . . . + (—1)k — l sm pk — m — 0 pentru orice k n.k (ii) pk —sl pk — l +. . .+(—

1)

sk — l pl +(—1)

ksk — 0 pentru orice 1< k <n—1.

64. Fie K un corp comutativ de caracteristic ’a zero. Consider ’am elei

mentele x l, . . . , x m e K cu proprietatea c’a x k + . . .+ x k — 0 pentru orice

l m

1< k < n. S’a se arate c’a x l — . . . — x m — 0.

Mai r ’amaneadev’arat

concluzia dac’a x k + . . . + x k — 0 pentru n valoriale l m

lui k , care nu sunt neap’arat consecutive? Dar dac’a caracteristica lui K nu

este zero?

65. S’a se calculeze x lO + x lO + x lO , unde x l, x 2, x 3 sunt r ’adacinile polii l 2 3

nomului X 3 — 3 X + 1.

66. S’a se calculeze x i +. . .+ x i , 1< i< n, unde x l, . . . , x m suntr ’adacinile l m



polinomului:

(i) X m + (a + b) X m — l + (a2 + b2) X m — 2 + . . . + (am + bm), unde a, b e K ,

K

corp.

(ii) X m

+ (a + b) X m — l

+ (a2

+ ab + b2

) + . . . + (am

+ am — l

b + . . . + abm —

l + bm), unde a, b e K , K corp.



Capitolul 6

Aritmeti c’a ˆın inele

integre

“In acest capitol prin inel vom “in,telege inel comutativ ,si unitar, iar prinmori fism de inele morfism unitar. (Uneori vom preciza acest lucru ,si“in mod explicit.) “In problemele “in care se va lucra cu inele care nu sunt

neap’arat comutative acest lucru va fi men,tionat explicit.

. Fie R un inel comutativ unitar ,si a, b e R. Spunem c’a a divide pe b“in R (,si not’am a|Rb sau a|b) dac’a exist’a c e R astfel “inc“at b — ac.Spunem c’a a este asociat ˆ ın divizibilitate cu b “in inelul R (,si not’am a-R b sau a - b) dac’a a|Rb ,si b|Ra. Rela,tia de asociere “in divizibilitate

este o rela,tie de echivalen,t’a. “In cazul “in care R este domeniu, a -R bdac’a ,si numai dac’a exist’a u e R inversabil astfel “incat b — ua.. Spunem c’a d e R este un cel mai mare divizor comun(prescurtat c.m.m.d.c.) pentru elementele a ,si b din R dac’a sunt“indeplinite urm’atoarelecondi,tii:(i) d|a ,si d|

b.

(ii) Pentru orice di e R care divide a ,si b avem di |d.

Vom nota d — (a, b)R sau d — (a,

b).Spunem c’a m e R este un cel mai mic multiplu comun (prescurtat

c.m.m.m.c.) pentru elementele a ,si b din R dac’a sunt “indepliniteurm’atoarele

condi,tii:(i) a|m ,si b|



m.

(ii) Pentru orice mi e R care se divide prin a ,si b avem m|mi.

Vom nota m — [a, b]R sau m — [a,

b].. Spunem c’a inelul R are proprietatea c.m.m.d.c. dac’a orice dou’a

elemente

ale sale admit un c.m.m.d.c..

Fie R un inel cu proprietatea c.m.m.d.c. ,si a, b , c e R.

Atunci:



(i) pentru a, b ’ 0 cu (a, b) ’ d exist’a a! , b! cu a ’ da!, b ’ d b! tsi (a! , b!) ’ 1;

(ii) (ac, b c) ’ (a, b)c;(iii) exist’a [a, b] tsi (a, b)[a, b] ’

ab;(iv) (a, b) ’ 1 tsi (a, c) ’ 1 implic’a (a, b c) ’ 1;(v) a|b ctsi (a, b) ’ 1 implic’a a|c;

(vi) a|c, b |ctsi (a, b) ’ 1 implic’a ab|c.

. Un element nenul tsi neinversabil a al unui domeniu de integritate Rsenumetste element ireductibil dac’a din a ’ b c rezult’a a - b sau a -

c.Descompunerea a ’ b ca lui a e R se va numi r elevant t a dac’a b , c e R \ U(R).

Un element nenul tsi neinversabil p al unui domeniu de integritate R senumetste element prim dac’a din p |abrezult’a p|a sau p|b.

Orice element prim este ireductibil.

Dac’a inelul R are proprietatea c.m.m.d.c., atunci orice element ireductibilal lui R este element prim.. Un domeniu de integritate R se numetste inel euclidian dac’aexist’a o aplicattie o : R \ {0} — N astfel “inc“at pentru orice a e R tsiorice b e R \ {0} exist’a q, r e R cu propriet ’attile:(i) a ’ b q+ r .(ii) r ’ 0 sau o(r ) < o(b).

Un domeniu de integritate R se numetste inel principal dac’a orice ideal als’au

este principal.

Un domeniu de integritate R se numetste inel factorial dac’a oriceelement nenul tsi neinversabil al s’au se poate scrie ca produs de elemente

prime.. Orice inel euclidian este principal.Orice inel principal este factorial.Orice inel factorial are proprietatea c.m.m.d.c..

. Dac’a R este inel principal, atunci orice tsir ascendent de ideale ale saleeste stattionar.

. Fie R un domeniu. Urm’atoarele afrmattii suntechivalente: (i) R este inel factorial.(ii) Orice element nenul tsi neinversabil din R se scrie ca produs de

elemente

ireductibile tsi orice element ireductibil este prim.



(iii) Orice element nenul tsi neinversabil din R se scrie ca produs de elementeireductibile tsi aceast’a scriere este unic’a abstra cttie f ’acand de asocierea“in di-

vizibilitate tsi de ordineafactorilor.

(iv) Orice element nenul tsi neinversabil din R se scrie ca produs de elementeireductibile tsi R are proprietatea c.m.m.d.c.. Teorema lui Gauss: Dac’a R este inel factorial, atunci R[ X ] este inel

facto-



rial.

. Dacaa R este un inel cu proprietatea c.m.m.d.c. ,si f e R[ X ],atunci c.m.m.d.c al coeficien,tilor lui f se nume,ste con5tinutul polinomului f ,si se noteazaa cu c(f ) (acesta este determinat p“anaa la oasociere “in divizibilitate). Dacaa R este un inel cu proprietatea c.m.m.d.c.,atunci polinomul f e R[ X ] se nume,ste primitiv dacaa c(f ) ’ 1.. Dacaa R este un inel factorial cu corpul de frac,tii Q, atunci pentru f e

R[ X ]

sunt echivalenteafirma,tiile:(i) f este ireductibil.

(ii) f este primitiv ,si ireductibil “inQ[ X ].

. Criteriul lui Eisenstein: Fie R un inel factorial cu corpul de frac,tii Q,f ’ aO + al X + . . . + am X m e R[ X ] ,si p un element prim al lui R cu

pro-

prietaa,tile:

(i) p|aO , p|al , . . . , p|am — l. (ii) p ‘ am.(iii) p2 ‘ aO.

Atunci f este ireductibil “inQ[ X ].

. Criteriul reducerii: Fie R un inel factorial cu corpul de frac,tii Q, S un

dome-niu, u : R — S un morfism unitar de inele ,si u : R[ X ] — S[ X ] extinsulaces-tuia (adicaa u(aO + al X + . . .+ am X m) ’ u(aO) + u(al) X + . . .+

u(am) X m). Dacaa

pentru f e R[ X ] avem caa u(f ) este ireductibil “in S[ X ] ,si grad u(f ) ’

grad f ,atunci f este ireductibil “in Q[ X

].

. Dacaa S este un inel, R un subinel al saau iar a, b e R, vom folosinota,tiile

R[a] ’ {f ‘(a) | f e R[ X ]} ,si R[a, b] ’ {f ‘(a, b) | f e R[ X , Y ]}, undef ‘ este

func,tia polinomialaa asociataa

polinomului f .

1. (i) Pentru fiecare pereche de elemente a, b din mul,timea {1 + i, 2



i i i i32 2

+i, 1 — i, 1 + 2i, 1 — 2i, —2 + i} c z[i] decide,ti dacaa a|b, respectivdacaa a - b.

(ii) Acela,si enun,t pentru 1 + 31

2, 3 +

i

12, 1 — 3

12, 3 —1

2 e z[1

2].

(iii) Acela,si enun,t pentru 5, 5 p , 5 p + 5, 5 p — 5, 5 — 5 p , 3 + 2 p , 3 — 2 p ez[ p],

√

p ’ — i+ i .

(iv) Acela,si enun,t pentru 1 + 21

2, 1 — 21

2, 3 +1

2, 3 — 1

2, 2 +1

2 e

z[1

2].(v) Acela,si enun,t pentru 2+ X , 1+ X + X 2 +. . . , 2 X 2+3 X 3 +4 X 4+. . . ,ar X r +

ar +l X r +l + . . . (ar ’ O), bs X s + bs+l X s+l + . . . (bs ’ O) e Q[[ X ]].

(vi) Acela,si enun,t pentru 2 + X , m + i X , 2

+l X , 2m X + m X 2 , 2 + 3 X +

X 2 e

Q + X R [ X ].

2 7 7



b2

.z . d1

2.

2. Fie d e z \ {1} liber de p’atrate ,si N : Q[1

d] —— Q defnit’a

prin

N (a + b1

d) ’ |a2 — d b2|. S’a se arate c’a:

(i) N ( z ) ’ | zz ¯ |, unde z ’ a + b1

d,

N ( z ) ’ zz ¯ .

z ¯ ’ a —1

d; dac’a d < 0, atunci

(ii) N ( z l z 2) ’ N ( z l)N ( z 2), oricare ar f z l, z 2 e Q[1

d].

(iii) N (z[1

d]) c N. (Aplica,tia N : z[1

d] —— N se nume,ste normt a peinelul

z[1

d].)(iv) z e z[

1d] este inversabil dac’a ,si numai dac’a N ( z ) ’ 1.

(v) Dac’a N ( z ) este numar prim, atunci z este element ireductibil. Da,tiexemple “in care reciproca acestei afrma,tii nu este adev’arat a.

(vi) Dac’a d este de forma 4k + 1, atunci afrma,tiile de la punctele (iii), (iv)

,si (v) sunt adev’arate ,si pentru inelul z

1 l+

1

1 1 1 (vii) Determin a,ti elementele de norm’a 112 dinz[i

3], z[i 5], z[i 11] ,si1 l+ i

1

1

2

3. Fie d e z liber de p’atrate ,si a, b e

z[1

d].

(i) Ar ’ata,ti c’a dac’a a |b“in z[1

d], atunci N (a)|N (b).

(ii) Da,ti exemple de situa,tii “in care reciproca afrma,tiei de la (i) nu este

adev’arat ’a.

(iii) Dac’a a|Z1 b ,si N (a) ’ N (b), atunci a

-Z d

b.

(iv) Ar ’ata,ti c’a dac’a (N (a), N (b)) ’ 1, atunci 1 este c.m.m.d.c. pentrua ,sib.

(v) Este adev’arat c’a dac’a a ,si b admit c.m.m.d.c. “in z[

1

d], atuncinorma

acestuia este egal’a cu (N (a), N (b))?

(vi) Ar ’ata,ti c’a dac’a d este de forma 4k + 1, atunci afrma,tiile de la punctele

(i), (iii) ,si (iv) sunt adev’arate ,si pentru inelul z

1 l+

1



4. (i) Determina,ti elementele inversabile ale inelului z[1

d], unde d e z,

d < 0 ,si d este liber de p’atrate.

(ii) Ar ’ata,ti c’a grupul U (z[1

2]) este izomorf cu grupul z2 x z.

5. Ar ’ata,ti c’a grupul U (z[(1 + i

13) / 2]) este izomorf cu grupul z6.

6. Fie k e z ,si Rk

’

(µ a b

¶

kb aa, b ez

)

. S’a se arate c’a Rk

are

divizori ai lui zero dac’a ,si numai dac’a k este p’atrat perfect.



7. Da,ti exemple de inele integre “in care orice element ireductibil

este element prim, dar care nu au proprietatea c.m.m.d.c..

8. Ar ’ata,ti c’a inelul z[i1

n], unde n e N, n ’ 1 ,si n este un num’ar impar, nu are proprietatea c.m.m.d.c..

1 1 9. (i) Ar ’ata,ti c’a “in inelul z[i1 5] elementele 2(1 +

i5) ,si 6 nu au un

c.m.m.d.c., dar elementele 1 +i

5 ,si 3 au un c.m.m.d.c..

(ii) G’asi,ti toate descompunerile lui 6 “in factori ireductibili, respectiv primi1 “in

z[i

5].

1 10. Ar ’ata,ti c’a “in inelul z[i

13] elementele 2 ,si

1 + i3 sunt ireductibile,

au un c.m.m.d.c. ,si nu sunt prime, iar elementele 4 ,si 2(1 + i1

3) nu au un

c.m.m.d.c..

11. Decide,ti dac’a elementele

51

5(ii) 6 + 2i

15 ,si 14(iii) 4 + i1

5 ,si 1 +2i1

51 (iv) 6 +3i

5 ,si 91

(v) 2 +8i

5 ,si181

din inelul z[i

determine.

5] admit sau nu un c.m.m.d.c. iar “in caz afirmativ s’a se

12. Fie inelul R ’ {f e z[ X ] | f ’ aO + a2 X 2 + . . . + am X m, ai e z, n

e N, n ’ 1}. S’a se arate c’a:

(i) R ’ z[ X

2

, X

3

];(ii) c.m.m.d.c. ( X 2, X 3) ’ 1 ,si c.m.m.m.c. ( X 2, X 3) nu exist’a;

(iii) c.m.m.d.c. ( X 5 , X 6) ,si c.m.m.m.c. ( X 5, X 6) nu exist’a;

(iv) X 2 este element ireductibil, dar nu este element prim.

13. Fie R un inel cu proprietatea c.m.m.d.c. ,si Q corpul s’au defrac,tii. (i) Ar ’ata,ti c’a pentru orice f e R[ X ] exist’a f e R[ X ] cu c(f ) ’1 astfel “incat f ’ c(f )f .Fie acum f , g e R[ X ]. Ar ’ata,ti



c’a: (ii) c(f g) ’ c(f )c(g).(iii) f g ’ uf g, u e U (R).

(iv) Dac’a c(f ) ’ c(g) ’ 1, atunci f |Q[ X ]g dac’a ,si numai dac’a f |R[ X ]g.



1z[ 1+i d

(v) f |R[ X ]g dac’a tsi numai dac’a c(f )|Rc(g) tsi f |

R[ X ]g. (vi) f |R[ X ]g dac’a tsi numai dac’a c(f )|Rc(g)tsi f |Q[ X ]g.

14. S’a se arate c’a dac’a R este un inel cu proprietatea c.m.m.d.c.,atunci tsi inelul de polinoame R[ X ] are proprietatea c.m.m.d.c..

15. S’a se arate c’a inelul R — {f e Q[ X ] | f — aO + a1 X + . . .+

am X m, aO e

z} este un inel cu proprietatea c.m.m.d.c., dar nu este factorial.

16. S’a se arate c’a inelul R — {f e Q[[ X ]] | f — aO + a1 X + . . . +

am X m +

. . . , aO — r/s, unde r , s e z cu (r , s) — 1 tsi s este impar } este un inelcu

proprietatea c.m.m.d.c., dar nu este factorial.

17. S’a se arate c’a inelele z[1

2] tsi z[(1 +1

5) / 2] sunt euclidiene.

18. Fie d e N de forma 4k + 3 (k e N) tsi liber de p’atrate. Atunciinelul

2] este euclidian dac’a tsi numai dac’a d e {3, 7, 11}.

19. Fie R un domeniu de integritate. Urm’atoarele afrmattii suntechivalente:

(i) R este factorial.(ii) Orice ideal prim nenul al lui R conttine un element prim.

20. Fie R un inel euclidian (principal, respectiv factorial) tsi S c Run sistem multiplicativ. S’a se arate c’a inelul de fracttii S — 1R este ineleuclidian (principal, respectiv factorial).

21. ( Nagata) Fie R un domeniu de integritate cu proprietatea c’aorice tsir ascendent de ideale principale este stattionar. Fie ( pi)iel omulttime de elemente prime din R tsi S sistemul multiplicativ generat deaceast’a multtime. Dac’a S — 1R e factorial, atunci R e factorial.

22. (i) S’a se arate c’a inelul K [ X , Y ] / ( X Y — 1), K corp comutativ,

este inel euclidian.(ii) S’a se arate c’a inelul c[ X , Y ] / ( X 2 + Y 2 — 1) este inel euclidian.

23. Fie R un domeniu de integritate. Ar ’atatti c’a inelul de polinoame

R[ X 1, . . . , X m] este inel principal dac’a tsi numai dac’a R este corp tsi n — 1.

1 1



c’a:

24. Consider ’am R —

z[i

3] tsi idealul P — (2, 1+ i

3) al lui R. Ar ’atatti



32. Se consider ’a inelul R — K [ X , Y ] / ( X 2 + Y 2 — 1), K corpcomutativ cu char K — 2. Ar ’atatti c’a:(i) R este inel integru;

(ii) Dac’a elementul

X “

este reductibil “in R, atunci polinomul Z 2 + 1 e K [ Z ]



2

2]

i

are r ’adacini “in K ;

(iii) R este inel factorial dac’a tsi numai dac’a polinomul Z 2 + 1 e K [ Z ]are

r ’ad’acini “in K .

33. (i) Ar ’atatti c’a inelul R [ X , Y ] / ( X 2 + Y 2 — 1) nu este inelfactorial. (ii) Ar ’atatti c’a inelul R [ X , Y ] / ( X 2 + Y 2 + 1) este inelfactorial.

34. (i) Fie d e z liber de p’atrate. Ar ’atatti c’a dac’a m e z[1

d] este prim, atunci m este asociat “in R cu un element prim din z sau mm este prim“in z. 1

(ii) Fie d e z liber de p’atrate tsi d ≡ 1 (mod 4). Ar ’atatti c’a, dac’a m e z[1+ d

]este prim, atunci m este asociat “in R cu un element primdin

prim “in z.

z sau mm este

1 1 35. Fie d e z \ {1} liber de p’atrate tsi x — a + b

d ez[

d] cu (a, b) — 1.

Ar ’atatti c’a x este prim “in z[1

d] dac’a tsi numai dac’a N (m) este prim

“in z.

36. ( Aritmetica inelului z[i]) Ar ’atatti c’a un element din inelul z[i]

este prim dac’a tsi numai dac’a este asociat “in divizibilitate cu unul dinurm’atoarele elemente:

(i) 1 + i;

(ii) p e z num’ar prim cu p ≡ 3 (mod 4);

(iii) a+ bi, a, b e z, astfel “inc“at p — a2+ b2 este num’ar prim cu p ≡ 1 (mod

4).

37. ( Aritmetica inelului z[1

2]) Ar ’atatti c’a un element din inelul z[i1

este prim dac’a tsi numai dac’a este asociat “in divizibilitate cu unul din

urm’atoa-rele elemente:1 (i) i 2;(ii) p e z num’ar prim cu p ≡ 5 (mod 8) sau p ≡ 7 (mod 8);

(iii) a + b i1

2, a, b e z, astfel “incat p — a2 + 2b2 este numar prim cu

p ≡ 1 (mod 8) sau p ≡ 3 (mod 8).



38. ( Aritmeti ca inelului z[1

2]) Ar ’atatti c’a un element din inelul

z[1

2]

este prim dac’a tsi numai dac’a este asociat “in divizibilitate cu unul din

urm’atoarele elemente:(i)

12;

(ii) p e z num’ar prim cu p ≡ 3 (mod 8) sau p ≡ 5 (mod 8);

(iii) a + b1

2, a, b e z, astfel “incat p — |a2 — 2b2| este num’ar prim

cu

p ≡ 1 (mod 8) sau p ≡ 7 (mod 8).



-

39. ( Aritmeti ca inelului z[1

3]) Ar ’atatti c’a un element din inelul

z[13]

este prim dac’a tsi numai dac’a este asociat “in divizibilitate cu unul dinurm’atoarele elemente:

(i)1

3;(ii) p e z num’ar prim cu p ≡ 5 (mod 12) sau p ≡ 7 (mod 12);(iii) a + b

13, a, b e z, astfel “incat p — |a2 — 3b2| este num’ar prim

cu

p ≡ 1 (mod 12) sau p ≡ 11 (mod 12).

1 40. ( Aritmetica inelului z[( 1 +

i 1

3) / 2]) Ar ’atatti c’a un element

dininelul z[ p], p — (—1 +i

3) / 2), este prim dac’a tsi numai dac’a este asociat“in

divizibilitate cu unul din urm’atoarele elemente:

(i) 1 — p;

(ii) p e z num’ar prim cu p ≡ 2 (mod 3);

(iii) a + b p, a, b e z, astfel “incat p — a2 — a b+ b2 este numar prim cu

p ≡ 1 (mod 3).

41. S’a se rezolve “in numere “intregi ecuattia x 2 + y 2 — z 2 .

42. S’a se rezolve “in numere “intregi ecuattia x 2 + 2 y 4 — 17 z 4.

43. S’a se rezolve “in numere “intregi ecuattia x 3 + y 3 — z 3 .

44. S’a se rezolve “in numere “intregi ecuattia x 3 + y 3 — 5 z 3.

45. Fie K un corp. S’a se arate c’a:

(i) polinoamele X 2 —Y , X 2 —Y 2 Z tsi X 2 —Y Z 2 sunt ireductibile “in K [ X , Y , Z ];(ii) dac’a char K — 2, atunci polinomul X 2+Y 2 —1 este ireductibil “in K [ X , Y

].

46. Fie K un corp. S’a se arate c’a:

(i) polinomul X r + Y s, r , s e N*, (r , s) — 1, este ireductibil “in K [ X , Y ];(ii) polinomul X r + Y s + Z t , r , s, t e N* cu r ≡ 1 (mod st ), este ireductibil

“in K [ X , Y , Z ].

47. (i) Ar ’atatti c’a polinomul f e z[1

3][ X ], f — 1

3 X 5 + 25 X 4 + (5



+

51

3) X — 15 este ireductibil;

(ii) Ar ’atatti c’a polinomul f e z[ X , Y ], f — X 4Y 2 — 2 X 3Y 3 + XY 4 +

X 5 +

Y 4 — 12 X Y 3 + 6 X 2Y 2 + 6 X 3 — 4Y 3 + 2 XY 2 + 2 X 2 este ireductibil.

48. S’a se arate c’a urm’atoarele polinoame suntireductibile: (i) f e Q[ X ], f — X m — 2;



nm

I. . .

mI

. . .

mI

(ii) f e Q[ X ], f — X p — 1 + . . . + X + 1, unde p e N este numar prim;

(iii) f e Q[ X ], f — X p

+ p — 1, unde n, p e N tsi p este numar prim;

(iv) f e z[ X ], f — X p — X + a, unde a, p e z, p este num’ar prim tsi (a, p)

— 1.

49. S’a se arate c’a urm’atoarele polinoame sunt ireductibile:

(i) f e Q[ X ], f — ( X 4 + X 3+1)m +4( X 4 + X 3 +1)m +2, unde m, n e N, n> m; (ii) f e z[ X ], f — X 4 + 3 X 3 + 3 X 2 — 5.

50. Fie K un corp algebric “inchis cu char K — 2 tsi f e K [ X 1, . . . ,

X m],

f — X 2 + . . . + X 2. S’a se arate c’a f este polinom ireductibil dac’a tsinumai 1 m

dac’a n 3.

51. Fie f e z[ X ], f — X 4 + 1. Ar ’atatti c’a f este polinom ireductibil,dar

f e z p[ X ] este reductibil pentru orice p e N num’ar prim.

52. S’a se arate c’a polinomul f m e z[{ X jj |1 i, j n}],

f — det

I X 11 X 12 . . . X 1m

X 21 X 22 . . . X 2m III I

X m1 X m2 . . . X m m

este ireductibil.

53. S’a se arate c’a polinomul f m e z[{ X jj |1 i j n}],

f — det

I X 11 X 12 . . . X 1m

X 12 X 22 . . . X 2m III I

X 1m X 2m . . . X m m

este ireductibil.

54. S’a se arate c’a polinomul f m e z[ X 1, . . . , X 2m — 1],

f — det

I



. . .

X 1 X 2 . . . X m X 2 X 3 . . . X m+1 II

I I

X m X m+1 . . . X 2m — 1



este ireductibil.

55. (Van der Waerden) Fie K un corp comutativ, r , n e N, r 1,n 2, R — K [ X i, . . . , X r ] tsi polinoamele neconstante f i, . . . , f m eR cu (f i, . . . , f m) — 1. Atunci polinomul T if i + . . . + T mf m e R[T i, . .. T m] este ireductibil.



Bibliografie

[1] T. Albu, I. D. Ion, Capitole de teoria algebrict a a numerelor , Editura

Academiei R. S. R., 1984.

[2] T. Albu, St. Raianu, Lec5tii dealgebr t a comutativt a, TipografiaUniver- sit’attii din Bucuretsti, 1984.

[3] M. Becheanu, C. Vraciu, Probleme de teoria grupurilor , Tipografia

Universit

attii din Bucuretsti, 1982.

[4] R. Brewer, Power series over commutative rings, Marcel Dekk er

Publishers, New York, 1981.

[5] A. H. Clifford, G. B. Preston, The algebraic theory of semigroups,Mathematical Surveys 7, A. M. S., 1961.

[6] T. Dumitrescu, Algebr , Editura Universit’attii din Bucuretsti, 2006.

[7] G. H. Hardy, E. M. Wright, An introduction to the theory of numbers,fifth edition, Oxford University Press, 1978.

[8] T. W. Hungerford, Algebra, Springer Verlag, 1974.

[9] I. D. Ion, N. Radu, Algebra, Editura didactic ’a tsi pedagogic’a,

Bu- curetsti, 1981.

[10] I. D. Ion, C. Nitta’, N. Radu, D. Popescu, Probleme de algebr t a,

Edi- tura didactic ’a tsi pedagogic’a, Bucuretsti, 1981.

[11] N. Jacobson, Basic Algebra I , San Francisco, Freeman, 1974.



[12] T. Y. Lam, A first course in noncommutative rings, Springer Verlag,

1991.

[13] T. Y. Lam, Exercises in classical ring theory, Springer Verlag, 1995.

[14] C. N’astasescu, Introducere ˆ ın teoria mul5timilor , Editura

didactic ’a tsi pedagogic’a, Bucuretsti, 1974.

[15] C. N’astasescu, Inele. Module. Categorii, Editura Academiei R. S. R.,

1976.

[16] C. N’ast’asescu, C. Nitt’a, C. Vraciu, Bazele Algebrei,Editura

Academiei R. S. R., 1986.

[17] L. Panaitopol, A. Gica, 0 introducere ˆ ın aritmetic t a 5si teorianu-

merelor , EdituraUniversita

ttii din Bucuretsti, 2001.

[18] P. Samuel, Anneaux factoriels, Publicatcao do instituto de pesquisas matematicas da Universidade de Sao Paolo e da

sociedade matem- atica de Sao Paolo, 1963.

[19] I. Tomescu, Probleme de combinatorict a 5si teoria grafurilor ,Editura didactic ’a tsi pedagogic’a, Bucuretsti, 1981.

Probleme de Algebra

Documents

Transcript of Probleme de Algebra