Rezolvari Algebra 1

8/14/2019 Rezolvari Algebra 1

1/29

afv

True/False

Indicate whether the sentence or statement is true or false.

____ 1.Fie G un grup. Exista o submultime stricta H a lui G (adica H sa fie strict inclusa in G) astfel incat() a H si b G sa rezulte ab H ?

____ 2.Orice subgrup al unui grup abelian este normal ?

____ 3.Fie A un inel cu proprietatea ca x3

= x, () x A. Atunci inelul este comutativ ?

____ 4.Orice grup G de ordin p2, cu p numar prim, este comutativ ?

____ 5.Fie { }2H n n= , atunci H este submonoid al monoidului ( ), ,0+ .

____ 6.Dac { }2 1H n n= + , atunci H este submonoid al monoidului ( ), ,1 .

____ 7.Fie ( )2 , ,0

a bT a b c

c

=

mulimea matricelor superior triunghiulare din ( )2M . Atunc

( )2T nu este submonoid al monoidului ( )( )2 2, ,I

____ 8.Aplicaia ( )2:f M , ( ) AAf = este morfism de la monoidul ( )( )2 2, ,I la monoidul

( ), ,1 .

____ 9.Fie*

n i ( ), ,1n monoidul multiplicativ al claselor de resturi modulo n . Aplicaia

: nf , ( ) aaf = este morfism de la monoidul ( ), ,1 la monoidul ( ), ,1n .

____ 10. Fie ( )eG ,, un grup. Pentru orice Ga , aplicaiile GGa : , axxa = )( i GGa : ,xaxa = )( nu sunt bijective.

____ 11. 1. Fie ( ){ }nnSH n == , atunci H nu este subgrup al lui nS .

____ 12.Fie ( )eG ,, un grup finit i H un subgrup al lui G . Atunci

[ ]HGHG := .

____ 13. Dac a este element de ordin finit, atunci numrul natural notat cu ( )aord ,

( ) eaNkaord k == *min

se numete ordinul lui a .

____ 14. Dac G este grup finit, atunci orice element Ga are ordinul finit i ( )ordGaord .

____ 15. Fie ( )eG ,, un grup finit i Gn = . Atunci ea n = , Ga .

F

A

A

A

A

A

F

A

A

F

F

A

A

A

A


2/29

____ 16. Dat nS , 2n , notm cu ( )Inv numrul perechilor ( )ji, cu ji < astfel nct ( ) ( )ji > .Vom spune c ( )Inv este numrul inversiunilor permutrii .

____ 17. O permutare nS este par daca ( ) 1= .

____ 18. O permutare nS este impar daca ( ) 1= .

____ 19. Fie nS , 1>n i m= ...21 o reprezentare a lui ca produs de transpoziii. Atunci

numerele m i ( )Inv au aceeai paritate i deci ( ) ( )m1= .

____ 20. Dac 1>n , atunci ( ){ }1== nn SA nu este un subgrup de ordin2

!nal lui nS .

____ 21. Fie ( )eG ,, un grup. Un subgrup N al grupului G se numete subgrup normal al lui G dac

Ga , Nx Naxa 1 .

____ 22. ( ) ( )2 2SL GL , unde ( ) ( )

{ }2 2 1SL X M X = = .

____ 23. Dac ( )eG ,, este un grup atunci subgrupul unitate { }e=1 i G sunt subgrupuri normale ale luiG .

____ 24. Dac ( )eG ,, este grup abelian atunci orice subgrup H al lui G nu este subgrup normal.

____ 25. Un grup ( )eG ,, se numete simplu dac are cel puin dou elemente i nu are subgrupuri normalediferite de { }e=1 i G .

____ 26. Orice grup G de ordin p , p numr prim, nu este simplu.

____ 27. Dac 5n , atunci grupul alternn

A este simplu.

____ 28.

Dac 3n , grupul altern nA este generat de ciclurile de ordin 3.

____ 29. Fie ( )eG ,, i ( )eG , dou grupuri. O aplicaie GGf : se numete morfism de la grupul Gla grupul G dac )()()( yfxfxyf = oricare ar fi Gyx , .

____ 30. Un inel comutativ R cu 01 i cu divizori ai lui zero se numete domeniu de integritate sau inelintegru

____ 31. Inelul ( ), ,+ al numerelor ntregi nu este domeniu de integritate.

____ 32. Dac ( )+,,R este un inel, atunci Rx avem 000 == xx .

____ 33. Dac ( )+,,R este un inel, atunci dac 1>R , atunci 01 .

____ 34. Dac ( )+,,R este un inel, atunci ( ) ( ) xyyxyx == i ( )( ) xyyx = oricare ar fi Ryx , .

____ 35. Dac ( )+,,R este un inel, atunci ( ) xzxyzyx = i ( ) zxyxxzy = oricare ar fi Rzyx ,, .

A

F

F

A

F

A

A

A

F

A

F

A

A

A

F

F

A

A

A

A


3/29

____ 36. Dac ( )+,,R este un inel, atunci dac R nu are divizori ai lui zero, iar zy = sau xx = cu0x , atunci z= .

____ 37. ( )2

M nu este subinel al inelului ( )2M .

____ 38. Dac R este un inel. Atunci

( )

= Rcba

c

baRT ,,

02

nu este subinel al inelului ( )R2M ,

____ 39. Mulimea S a irurilor Cauchy de numere reale este subinel al inelului al irurilor de numere

reale.

____ 40. Dac n i { }I n nq q= = , atunci I este ideal al lui .

____ 41. Dac I , atunci I este subgrup al grupului ( ), ,0+ .

____ 42.

Dac n iar , , ,na nb

I a b c d nc nd

=

, atunci I nu este ideal bilateral al lui R .

____ 43. Aplicaia : nf , aaf )( = este morfism surjectiv de la inelul ( ), ,+ la inelul ( ), ,n + .

____ 44. Aplicaia ( ) ( )2 2: nf M M , AAf )( = , unde pentru ( )2a b

Ac d

=

M ,

=

db

caA

nu este morfism surjectiv de inele.

____ 45. Fie RRf : un morfism de inele, atunci )(fKer este ideal bilateral al lui R , iar )Im(f estesubinel al lui R .

____ 46. Dac RRf : este un morfism de inele, atunci)(

~)Im(fKer

Rf .

____ 47. Fie ( )2 nM mulimea matricelor ptrate cu coeficieni n n . Dac ( ) ( )2 2: nf M M estemorfismul cu aciunea

=

dc

ba

dc

baf

,

avem ( )2( )Ker f n= M i ( )2Im( ) nf = M .

____ 48. ( )2 nM nu este ideal bilateral al lui ( )2M .

____ 49. Dac*,m n sunt prime ntre ele, atunci inelul mn nu este izomorf cu produsul direct al

inelului m cu inelul n .

A

F

F

A

A

A

F

A

F

A

A

A

F

F


4/29

____ 50. Fie K i K dou corpuri. O aplicaie KKf : se numete morfism (izomorfism) de corpuridac este morfism (izomorfism) de la K la K considerate ca inele.

____ 51. Un domeniu de integritate finit este corp. Inelul ( ), ,p + este corp dac i numai dac p estenumr prim.

____ 52. Dac R este un domeniu de integritate exist un corp comutativ K, numit corpul fraciilor lui R

astfel nct R este subinel al lui K i pentru orice Kx exist Rba , , 0b astfel nct1= abx .

____ 53.

( ) ( )2 2, ,0

x yT x y z

z

=

M este o subalgebr a algebrei ( )2M .

____ 54. Dac R este un domeniu de integritate, atunci [ ]XR este domeniu de integritate i( ) ( ) ( )ggradfgradfggrad +=

oricare ar fi [ ]XRgf , , 0f , 0g .

____ 55. ,a b

K a bb a

=

este corp n raport cu adunarea i nmulirea matricelor i ~K .

____ 56. Dac MMf : este un morfism bijectiv de monoizi iar 1f este inversa aplicaiei f, atunci1f este morfism bijectiv de la monoidul ( )eM ,, la monoidul ( )eM ,, .

____ 57. Pentru monoidul ( ), ,1n mulimea elementelor inversabile din n este( ) ( ){ } , 1n nU a a n= = , unde s-a notat cu ( )na, cel mai mare divizor comun al numerelor

ntregi a i n .

____ 58. Orice grup ( )eG ,, de ordin 3 este izomorf cu grupul aditiv ( )3 , ,0+ al claselor de resturi modulo3.

____ 59. Dac ( )eG ,, este un grup, Ga , aplicaia GG : ( ) 1= axax este bijectiv .

____ 60. Aplicaia * *:f + ,22)( bazzzzf +=== dac ibaz += , este morfism de la grupul

( )*, ,1 la grupul ( )* , ,1+ .

____ 61. Dac ( )eG ,, i ( )eG ,, sunt dou grupuri, aplicaia GGf : , exf =)( este morfism degrupuri .

____ 62. Fie ( )eG ,, i ( )eG ,, dou grupuri i GGf : un morfism de grupuri. Atunci

eef =)( i ( ) ( ) 11 )( = xfxf , oricare ar fi Gx .

____ 63. Grupurile ( ), ,0+ i ( ), ,0+ sunt izomorfe

A

A

A

A

A

A

A

A

A

A

A

A

F

F


5/29

____ 64. Grupurile ( )*, ,1 i ( )*, ,1 nu sunt izomorfe

____ 65. Grupurile ( ), ,0+ i ( )* , ,1+ nu sunt izomorfe

Multiple ChoiceIdentify the letter of the choice that best completes the statement or answers the question.

____ 66. Fie funcia :f A B cu proprietatea: (x1,x2)AA, x1x2f(x1)f(x2). Care din urmtoarele afirmaiieste adevrat?

a. feste surjectivb. feste injectiv

c. feste bijectiv

____ 67. Fie :f ,f(x)=2x+1. Care din afirmaiile urmtoare este adevrat?

a. feste bijectivb. feste surjectivc. feste injectiv

____ 68. Fie :f , f(x)=2x+1. Care din afirmaiile urmtoare este adevrat?

a. feste bijectiv

b. fnu este bijectiv

____ 69. Fie :f A B , i :f B C dou funcii injective. Care din afirmaiile urmtoare este adevrat?

a. f este injectiv

b. f nu este injectiv

____ 70. Fie A={0,1,2,3,4}. Care din afirmaiile urmtoare este adevrat?

a. xZ, aA astfel nct xa(mod 5)b. xZ astfel nct aA, xa(mod 5)

____ 71. Constanta aReste astfel nct legea de compoziie * definit prin(x,y)R2: x*y = xy+ax+ay

este asociativ. Care din afirmaiile urmtoare este adevrat?

a. a{2,5}b. a{0,1}

c. a=3 ____ 72. Fie grupul simetric (S3,). Atunci numrul subgrupurilor lui S3 este:

a. 6 b. 4

____ 73. Fie grupul simetric (S3,). Atunci numrul subgrupurilor normale ale lui S3 este:

a. 1

A

A

B

C

A

A

A

B

A

B


6/29

b. 3

____ 74. Fie permutarea S6,

=

462513

654321

Atunci numrul inversiunilor permutrii este:

a. 7 b. 5

c. 3

____ 75. 1. Fie permutarea S6,

=

561423

654321

Atunci ordinul lui n S6 este:

a. 3

b. 5

c. 6

____ 76. Fie*:f ,

n

ki

n

kkf

2sin

2cos)( += , unde nN*. Atunci (h,k)Z2:

a. f(h+k)=f(h)+f(k)b. f(h+k)=f(h)f(k)

c. f(hk)=f(h)f(k)

____ 77. Fie morfismul de grupuri*:f ,

5

2sin

5

2cos)(

ki

kkf += . Atunci:

a. 1 + i Im(f) b. card(Im(f))=6c. Ker(f)=5Z={5q|qZ}

____ 78. Fie Q( 2 )={a+b 2 |a,bQ}. Atunci (Q( 2 ),+,) este:

a. corp comutativb. inel comutativ cu divizori ai lui zero

____ 79. Fie K un subcorp al corpuluiR. Atunci:

a. QK i Q Kb. Q K=Zc. Q K

____ 80. Fie X23 f += Z4[X]. Atunci:

a. g(X) Z4[X],f(X)g(X)1b. g(X) Z4[X],g(X)0 astfel nctf(X)g(X)= 0 c. g(X) Z4[X] astfel nctf(X)g(X)=1

C

A

C

C

A

C

A


7/29

____ 81. FieA,B M2(R), A=

n

2cos

n

2sin

n

2sin

n

2cos

, B=

10

01, nN*. Atunci:

a. AB = BAb. AB = BA -1

c. A-1

= I2

____ 82. Una din afirmaiile urmtoare este adevrat:

a. ba , Z5, ( ) 55

5

baba +=+ b.

ba , Z5 astfel nct ( ) 555

baba ++ c. f(X),g(X) Z5[X] astfel nct ( ) (X)(X)(X)(X) 55

5gfgf ++

____ 83. Fie G=

3cba

100

c10

ba1

Z,,|

. Atunci A G:

a. A3=A

b. A3=I3

____ 84. Fie Sn, n=3, cu proprietatea Sn: = . Atunci:

a. = (1 2) b. = e=permutarea identic

____ 85. Fie G un grup cu proprietateaxG: x2 = e. Atunci grupul G este:

a. izomorf cu (Z6,+) b. Comutativ

____ 86. Fie K=

3ba

ab

baZ,|

. Atunci (K,+,) este:

a. corp comutativ cu 9 elementeb. inel cu divizori ai lui zero

____ 87.

Functia ( ) ( ) ( )

2 2

: 0, 2,2 , 1

x

f f x x

= + este

a. injectiv si nu este surjectiv

b. surjectiv si nu este injectiv

c. bijectiv

C

A

A

A

B

A

A


8/29

____ 88.

Cte morfisme de monoizi exist de la ( )*,Z la ( ),N + ?

a. niciunul

b. unul

c. o infinitate ____ 89.

Pe R se defineste legea de compozitie astfel * , ,x y ax by c x y R= + + unde , ,a b c R

Calculati suma2 2 2S a b c= + + stiind c acest lege de compozitie admite elementul

neutru 3e =

a. 21S= b. 11S= c. 1S=

____ 90.

Se consider inelul ( ),*,Z unde * 22 2 2

x y x y

x y xy x y

= + +

= + + +

,x y Z . Fie T numrul divizorilor lui zero ai acestui inel. Atunci

a. T = 5b. T = 0c. T = 7d. T = 9

____ 91.

Grupul

( )20,Z Z + este

a. finit generat, dar nu este ciclicb. infinit generatc. ciclic

____ 92. Fie permutarea 6123456

,512436

S

=

. Atunci ordinul permutrii 2 este

a. 6 b. 12

c. 2d. 3

____ 93. Fie G un grup cu 6 elemente. Care din urmtoarele afirmatii este adevrat ?a. G este ntotdeauna izomorf cu grupul ( )6 ,Z + b. G este ntotdeauna izomorf cu grupul ( )3 ,S c. G este izomorf sau cu grupul ( )3,S sau cu grupul ( )6 ,Z +

____ 94.

A

B

B

C

B

C

D


9/29

Fie ( )3 ,S grupul permutarilor de ordin 3 siHun subgrup cu 3 elemente al acestui

grup. Cte elemente are grupul factor 3 /S H ?

a. 3

b. 2

c. 4d. 1

____ 95.

Fie multimea { }5 1U z C z = = . Cte elemente are aceast multime ?

a. 1 b. 3

c. 5d. 7

____ 96.

Functia ( )2007 2005

: , 4 2f R R f x x x = + este

a. injectiv si nu este surjectivb. surjectiv si nu este injectivc. bijectiv

____ 97.

Cte morfisme de monoizi exist de la ( ),Q + la ( ),Q + ?

a. niciunul b. unul

c. o infinitate

____ 98.

Se consider inelul ( ),*,Z unde* 3

3 3 12

x y x y

x y xy x y

= +

= +

,x y Z . Fie [ ]P Z X polinomul care are drept rdcini elementele inversabile aleinelului si coeficientul dominant egal cu unu. Notm cu S suma ptratelor elementelor

inversabile. Atunci

a. S=1

b. S=10c. S=5d. S=20

____ 99. Grupul ( )15,Z + estea. finit generat, dar nu este ciclicb. infinit generatc. ciclic

C

B

A

C

A


10/29

____ 100. Fie permutarea 6123456

,512436

S

=

. Atunci ordinul permutrii 1

este

a. 6 b. 4c. 2

d. 3____ 101.

. Fie G un grup cu 4 elemente. Care din urmtoarele afirmatii este adevrat ?

a. G este ntotdeauna izomorf cu grupul ( )4 ,Z + b. G este ntotdeauna izomorf cu grupul ( ),Z Z + c. G este izomorf sau cu grupul ( )4 ,Z + sau cu grupul ( ),Z Z +

____ 102.

Fie grupul ( )6 ,Z + siHun subgrup cu 2 elemente al acestui grup. Cte elemente are grupul

factor 6 /Z H ?

a. 3

b. 2c. 6d. 4

____ 103.

Fie multimea { }7 1U z C z = = . Cte elemente are aceast multime ?

a. 1 b. 3

c. 5d. 7

____ 104.

Considerm multimea numerelor reale si relatia binar definit pe aceast multime astfel:

( ){ }, , , 3x y x y R x y x y = = + = Care din urmatoarele afirmatii este adevarat?

a. relatia este reflexiv si nu este tranzitivb. relatia este de echivalentc. relatia este reflexiv si un este simetric

____ 105. Fie 2 3, 0: , ( )7 , 0

x xf R R f xx x

=>

. Care din urmatoarele afirmatii este adevarat?

a. f este surjectivb. f este injectivc. f este bijectiv

____ 106.

D

C

A

D

B

C

A


11/29

Fie : , ( )2

xf Z Z f x

= , unde prin [ ]q se ntelege partea ntreag a numrului q. Care

din urmatoarele afirmatii este adevarat?

a. f este surjectiv

b. f este injectivc. f este bijectiv

____ 107.

Fie :f A B si :B C dou functii surjective. Care din urmatoarele afirmatii esteadevarat?

a. f este surjectiv

b. f nu este surjectiv

c. f este surjectiv doar pentru anumite functii

____ 108.

Fie M o multime cu 3 elemente. Cte legi de compozitie se pot defini pe M ?

a. 1 b. 3

c. 63 d. 93

____ 109. Fie un grup G si x un element de ordin finit din G. Daca m, n sunt doi intregi pozitivi cu proprietatile

, atunci

a. c.

b. d.

____ 110. Fie permutarea are descompunerea

a. c.

b. d.

____ 111. Fie permutarea are descompunerea

a. c.

b. d.

____ 112. Fie .Care din relatiile urmatoare, valabile face ca sa fie un grup abelian

a. c.

b. d.

____ 113. Fie .Care din relatiile urmatoare, valabile face ca sa fie un grup abelian

a. c.

A

D

A

A

B

A

B


12/29


13/29

____ 123. In multimea Q+

se defineste operatia x*y astfel incat () x,y,z,t Q+ sa avem (x*y)(z*t)=(xz)*(yt);x*x=1 si x*1=x. Atunci 27*43 este egal cu :

a. c.

b. d. 43

____ 124. Cate legi de compozitie comutative se pot defini pe o multime cu 5 elemente :a. 525

c. 510

b. 515 d. 5

5

____ 125. Daca f si g sunt doua functii monotone, de monotonii diferite, atunci gof (i.e. g compus cu f):

a. este descrescatoare c. nu este monotona

b. este crescatoare

____ 126. Daca A este o multime finita cu n elemente si B o multime finita cu m elemente, atunci numarul

functiilor injective f :AB (definite pe A cu valori in B) este :

a. mn

(m la puterea n) c. m.n (m inmultit cu n)

b. nmC (combinari de m luate cate n)

____ 127. Daca A si B sunt multimi care verifica proprietatile : AB={1,2,3,4,5,6,7,8,9}; B-A={4,5,6,7,8};{3,9}B= ; AB={1}, atunci multimile A si B sunt :

a. A={1,2,9}; B={1,3,4,5,6,7,8} c. A={1,2,3,9}; B={1,4,5,6,7,8}b. A={1,2,3,9}; B={1,3,4,5,6,7,8,9}

____ 128. Se considera multimea G={ 2ba + | a,bQ, a2

+ b

2

0}, care impreuna cu operatia de inmultireformeaza un grup abelian. Inversul lui 276 + este:

a.2

7

1

6

1+

c.2

7

1

6

1

b.2

62

7

31

3+

d.2

62

7

31

3

____ 129. Daca G e grup si H1, H2 subgrupuri ale sale, atunci H1H2 :

a.este subgrup intotdeauna

c.nu poate fi subgrup al lui G

b. este subgrup doar daca H1 H2 sauH2 H1

____ 130. Daca definim aZ + bZ ={x+y | x aZ, y bZ}, unde prin Z am notat multimea numerelor intregi,atunci 25Z + 20Z este egal cu :

A

A

C

A

C

B

B

D


14/29

a. 45Z c. 20Z

b. 25Z d. 5Z

____ 131. Se considera elementul )

5

7sin()

5

7cos( iz += apartinand grupului multiplicativ al numerelor

complexe (C*,.,1). Atunci ordinul lui z este :

a. 5 c. 7 b. 10 d. infinit

____ 132. Se considera elementul )7sin()7cos( iz += apartinand grupului multiplicativ al numerelorcomplexe (C

*,.,1). Atunci ordinul lui z este :

a. 7 c. 7

b. 49 d. infinit

____ 133. Daca (C

*

,

.

,1) este grupul multiplicativ al numerelor complexe, atunci cate subgrupuri de ordin 10ale acestui grup exista ?

a. 1 subgrup c. o infinitate

b. 10 subgrupuri

____ 134. Se considera permutarea S10 ,

=

96281074153

10987654321 . Ordinul

permutarii este :

a. infinit c. 12b. 10 d. 4

____ 135. Se considera permutarile , S5,

=

51243

54321 ,

=

31452

54321 . Permutarea x

S3 cu proprietatea ca x o = este :

a.

=

51243

54321x

c.

=

35241

54321x

b.

=

13452

54321x

d.

=

54321

54321x

____ 136. Se considera permutarile , S4, . Sa se rezolve ecuatia

B

C

A

C

C

A


15/29

a. c.

b. d.

____ 137. Se considera permutarea S5,

=

51243

54321 . Atunci

120este egala cu:

a. c. b. permutarea identica d.

-1

____ 138. Ce morfism(morfisme) de la (Q,+) (Q fiind multimea numerelor rationale) la (Z,+) (Z fiind multimea

numerelor intregi) putem defini ?

a. morfismul nul c. orice morfism de tipul ax, cu a numar

rational mai mare decat 1

b. orice morfism de tipul kx, cu k Z

____ 139. Cu cine este izomorf grupul multiplicativ ( + ,*

R ) (unde prin*

+R am notat multimea numerelor reale

strict pozitive)?

a. cu (R,+) (grupul aditiv al numerelor

reale)

c. cu niciunul dintre grupurile de mai sus

b. cu (R*,+) (grupul aditiv al numerelorreale nenule)

____ 140. Care sunt automorfismele grupului (Z,+) (Z fiind multimea numerelor intregi) ?

a. morfismul nul c. morfismul x si morfismul x

b. morfismele de tipul ax

, cu a numar

intreg mai mare ca 1

____ 141. Se considera multimea M = {1,2,3,4}. Cate submultimi cu doua elemente exista?

a. 1 c. 3

b. 2 d. 6

____ 142. Functia f : R R, definita prin f(x) = sin(x) +cos(x) :

a. este monoton crescatoare c. nu este monotona

b. este monoton descrescatoare

____ 143. Fie A un inel unitar cu proprietatea ca x12

= x, () x A. Atunci, oricare ar fi x A :

a. x2

= 1 ; b. x2

= x

C

B

A

C

D

C

B


16/29

____ 144. Fie A un inel unitar inclus in corpul C al numerelor complexe si care include intervalul (0,1).

Operatiile inelului sunt cele induse de operatiile din C. Atunci :

a. A=R , unde R este multimea

numerelor reale

c. A=R sau A=C, R si C avand

semnificatia de mai sus

b. A=C, unde C este multimea numerelor

complexe

____ 145. Solutiile ecuatiei 3x2

4x + 1 =0 in Z5 sunt :

a. x1 = 1 , x2 = 3 c. x1 = 1 , x2 = 2

b. x1 = 2 , x2 = 3


4x + 1 =0 in Z11 sunt :

a. x1 = 1 , x2 = 4 c. x1 = 1 , x2 = 2 b. x1 = 2 , x2 = 3

____ 147. Solutiile ecuatiei x2 x + 5 =0 in Z7 sunt :

a. x1 = 1 , x2 = 3 c. x1 = 3 , x2 = 2

b. x1 = 2 , x2 = 6

____ 148. Solutiile ecuatiei x2

x + 5 =0 in Z17 sunt :

a. x1 = 4 , x2 = 3 c. x1 = 4 , x2 = 41

b. x1 = 2 , x2 = 41

____ 149. Care este polinomul g Z8[X] astfel incat 1)32( =+ gX

a. g(X) = 3642 ++ XX c. g(X) = 344 2 ++ XX

b. g(X) = 3662 ++ XX


4x + 1 =0 in Z17 sunt :

a. x1 = 1 , x2 = 4 c. x1 = 1 , x2 = 6

b. x1 = 2 , x2 = 3


4x + 1 =0 in Z19 sunt :

a. x1 = 1 , x2 = 31 c. x1 = 1 , x2 = 2

B

C

A

B

C

A

C

A


17/29

b. x1 = 2 , x2 = 31

____ 152. Solutiile ecuatiei x2

x + 5 =0 in Z19 sunt :

a. x1 = 4 , x2 = 3 c. x1 = 4 , x2 = 41

b. x1 = 01 , x2 = 01

____ 153. Care din relatiile de mai jos are loca. c.

b. d.

____ 154. Fie cu coeficienti in , atunci avem

a. c.

b. d.

____ 155. Stabiliti daca .... in

a. c.

b.

____ 156. Pe multimea se considera legea de compozitie atunci

a. c.

b.

____ 157. Pe multimea se considera legea de compozitie atunci element

neutru va fia. c.

b.

____ 158. Stiind ca legea de compozitie admite element sa se determine acest

a. c. b. d.

____ 159. Stiind ca legea de compozitie admite element neutru sa se determine ace

a. c. b. d.

____ 160. Pe multimea se considera legea de compozitie . Determinati

grupul astfel incat functia , data de relatia sa fie un izomorfism al

celor doua grupuria. c.

b.

____ 161. Pe multimea se considera legea de compozitie atunci

a. c.

b.

B

A

A

A

A

A

A

C

A

A


18/29


19/29

____ 173. In multimea se considera multimea atunci

a. b.


a. b.


a. b.

____ 176. In multimea se considera multimea si atunci

a. b.

____ 177. In multimea se considera multimea gasiti doua matriceP,Q

astfel incat atunci

a. c.

b.

____ 178. In multimea se considera multimea sa se arate ca daca est

matrice inversabila atuncia. c.

b.

____ 179. In multimea se considera multimea sa se determine numarul de

elemente din Ga. 8 c. 10

b. 9

____ 180. Determinati numarul de elemente din multimea

A

B

A

B

A

A

A

A


20/29

a. 16 c. 14 b. 13

____ 181. In restul impartirii polinomului la polinomul

a. c.

b. d.

____ 182. Cate elemente inversabile sunt in inelul

a. 3 c. 4

b. 5 d. 2

____ 183. Sa se determine polinoamele astfel incat

a. c.

b. d.

____ 184. Sa se calculeze elementul in

a. c.

b. d.

____ 185. Sa se calculeze elementul ina. c.

b. d.

____ 186. Fie grupul simetric ( )3 ,S . Atunci numrul subgrupurilor lui 3S estea. 1 b. 2c. 4d. 6

____ 187. Fie grupul simetric ( )3 ,S . Atunci numrul subgrupurilorv normale ale lui 3S estea. 1

b. 2c. 3

d. 4

____ 188.

Fie ( )*2 2

: , cos sink k

f Z C f k in n

= + , unde *n N . Atunc

( ),h k Z Z avem:

a. ( ) ( ) ( )f h k f h f k + = + b. ( ) ( ) ( )f h k f h f k + =

c. ( ) ( ) ( )f hk f h f k = ____ 189.

Fie grupul ( ),Z + si multimea { }5 5Z m m Z = . Care din urmatoarele afirmatii esteadevarat?

a. 5Z este subgrup al grupului ( ),Z + , dar nu este normal

D

D

A

A

B

D

C

B

B


21/29

b. 5Z este subgrup normal al grupului ( ),Z + c. 5Z nu este subgrup al grupului ( ),Z +

____ 190.

. Fie multimea { }1U z C z = = . Care din urmatoarele afirmatii este adevarat?

a. U este subgrup al grupului ( )* ,C , dar nu este normalb. Ueste subgrup normal al grupului ( )* ,C c. Unu este subgrup al grupului ( )* ,C

____ 191. Fie ( )2 R multimea matricilor cu dou linii, dou coloane si elemente din multimea numerelor

reale. Multimea0 0

,I a b Ra b

=

este

a.

ideal la stnga al inelului ( )( )2 , ,M R + , dar nu este ideal la dreaptaal acestui inelb. ideal la dreapta al inelului ( )( )2 , ,M R + , dar nu este ideal la stnga

al acestui inelc. ideal bilateral al inelului ( )( )2 , ,M R +

____ 192. Fie ( ) { }2 2 ,Q a b a b Q= + . Atunci ( )( )2 , ,Q + estea. inel comutativ fr divizori ai lui zerob. inel comutativ cu divizori ai lui zeroc. corp comutativ

d. corp necomutativ____ 193. Fie [ ]42 2f X Z X = + . Atunci

a. ( ) [ ] ( ) ( )4 , 0g X Z X f X g X b. ( ) [ ] ( ) ( )4 , 0g X Z X g X f X c. ( ) [ ]4g X Z X astfel nct ( ) ( ) 0f X g X =

____ 194. FieA un inel siI, J, L ideale bilaterale nA astfel nct I J A+ = si I JL . Atuncia. I J b. I J c. I J

____ 195.

Fie Ugrupul multiplicativ al al numerelor complexe de modul 1,*C grupul

multiplicativ al numerelor complexe si *R+ grupul multiplicativ al numerelor reale pozitive si

nenule. . Care din urmatoarele afirmatii este adevarat?a. * */C R+ este izomorf cu U

b. * */C R+ nu este izomorf cu U

B

B

C

C

C

A


22/29

c. * /C U nu este izomorf cu*R+

____ 196.

Care din urmatoarele afirmatii este adevarat?

a. ( ),Z + si ( ),Q + nu sunt izomorfeb. ( ),R + si ( ),Q + sunt izomorfec. ( ),Z + si ( ),C + sunt izomorfe

____ 197. Fie G un grup finit si ,a b G dou elemente oarecare astfel nct ab ba= . Dac

( ) , ( )ord a m ord b n= = si ( ), 1m n = atuncia. ( )ord ab m n= + b. ( )ord ab mn= c. ( ) nord ab m= d. nici una din variantele de mai sus

____ 198.

Fie permutarea 9123456789

,469732185

S

=

. Descompunerea acestei permutri n produs de

ciclii disjuncti este

a. (1,4,7)(2,6,)(3,9,5)(8)b. (1,5,4)(3,6,9,2)(7,8)c. (2,6,7)(1,4,9,3)(5,8)d. nici una din variantele de mai sus

____ 199. Fie functiile , :f g R R date de ( )f x ax b= + cu , , 0a b R a , respectiv ( ) 3 5g x x= + . S se

determine a si b astfel nct f g g f = .a. 1, 0a b= = b. 2, 3a b= = c. 4, 5a b= = d. nici una din variantele de mai sus

____ 200. Fie :f R R o functie cu proprietatea ( ) ( ) 2 1f f x x x= + pentru oricare x R . Atuncia. ( )1 2f = b. ( )1 5f = c. ( )1 1f = d. nici una din variantele de mai sus

____ 201. . Pe R se defineste legea de compozitie * 2 2 6x y xy x y= + pentru oricare ,x y R . Atuncsuma elementelor dinR care coincid cu simetricele lor fat de aceast lege este

a. 3 b. 4c. 5

d. 6

A

B

A

A

C

B


23/29

____ 202. Care din polinoamele urmtoare este ireductibil ?a. [ ]3 21X X Z X + + b. [ ]5 31X Z X + c. [ ]4 71X Z X

d. nici unul din polinoamele de mai sus

____ 203. Fie functia ( ) ( )2

2

5 1 2 3: 1,0 , ,

11 2 5 6

xf f x

x

+ = + . Care din urmatoarele afirmatii este adevrat?

a. functia este injectiv, dar nu este surjectivb. functia este surjectiv, dar nu este injectivc. functia este bijectiv

____ 204. Pe R se defineste legea de compozitie *y x y mxy= + + , unde m R , cu proprietatea cmultimea [ 1, ) este parte stabil a lui R n raport cu aceast operatie algebric. Dac e esteelementul neutru al acestei legi de compozitie, atunci

a. 1e = b. 2e = c. 1e = d. 0e =

____ 205. . Se consider corpurile ( ), ,R + si ( ), ,*R , unde, , 2, * 2 2 6x y R x y x y x y xy x y = + = +

Dac ( ): ,f R R f x ax b = + este izomorfism de corpuri de la ( ), ,R + la ( ), ,*R , atunci

a. 1, 2a b= = b. 1, 2a b= = c. 1, 2a b= = d. nici unul din raspunsurile de mai sus

____ 206. Pentru orice ,x y R se defineste legea de compozitie ( )* ln x yx y e e= + . Multimea solutiilor

ecuatiei ( )* * 0x x x = estea. ln3x = b. ln3x = c. 1

ln 3x =

d. nici unul din variantele de mai sus

____ 207. PeZdefinim legea de compozitie * 6 6 42x y xy x y= + . Suma elementelor simetrizabile n raportcu aceast lege este

a. 1b. c. 0d. 12

B

C

D

A

B

B


24/29

____ 208. . PeR este definit[ legea de compozitie * 3 3x y xy x y m= + + + . Egalitatea ( )2*3 *4 175= are locpentru

a. 5m = b. 2m = c. 3m =

____ 209.

Fie grupul ( )10 ,Z + . Cte subgrupuri are acest grup ?

a. 1 b. 2c. 4d. 8

____ 210. Fie grupul ( )12 ,Z + . Cte grupuri factor are acest grup ?a. 2

b. 4c. 6

d. 8

____ 211.

Care din urmtoarele afirmatii este adevrat ?

a.[ ]:

GG H

H=

b.[ ]:

HG H

G=

c. [ ]:G H G H = ____ 212.

Cte grupuri neizomorfe cu 4 elemente exist ?

a. 0 b. 1c. 2d. o infinitate

____ 213. Cte grupuri neizomorfe cu 6 elemente exist ?a. 0 b. 1

c. 2d. o infinitate

____ 214.


a. 1 b. 2c. 4

B

B

A

A

C

C

D


25/29

d. 5

____ 215. Cte grupuri neizomorfe cu 10 elemente exist ?a. 1 b. 2

c. 4d. 6

____ 216.


a. 0 b. 1c. 2

d. o infinitate

____ 217. Cte grupuri neizomorfe cu 12 elemente exist ?a. 0 b. 1c. 2

d. 5____ 218. Pe orice multime nevid exist o structur de inel unitar ?

a. da, ntotdeauna b. nuc. da, dar numai n anumite cazuri

____ 219. Formeaz divizorii lui zero un ideal ntr-un inel oarecare ?a. da, ntotdeauna b. nuc. da, dar numai n anumite cazuri

____ 220.

.Fie G un grup finit astfel nct orice element din G, diferit de elementul unitate, are ordinul

2. Care din urmtoarele afirmatii este adevrat ?

a. G este comutativ ntotdeaunab. G nu este comutativc. G este comutativ doar n anumite cazuri

____ 221. Cte subgrupuri are grupul Z Z ?a. 0 b. 1

c. 2d. o infinitate

____ 222.

Cte morfisme exist de la grupul ( ),Q + la grupul ( ),Z + ?

a. 0

b. 1c. 2d. o infinitate

____ 223.

B

C

D

B

B

A

D

B

C


26/29

Cte structuri de inel neizomorfe se pot defini pe o multime cup elemente,p fiind numrprim ?

a. 0 b. 1

c. 2d. o infinitate

____ 224. Cte structuri de inel neizomorfe se pot defini pe o multime cu 4 elemente ?a. 1 b. 7c. 11d. 15

____ 225.

. Cte legi de compunere se pot defini peZcare mpreun cu adunarea obisnuit formeaz un

inel ?

a. 0

b. 1c. 2d. o infinitate

____ 226.

Fie MsiNdou multimi finite avnd m, respectiv n elemente. Cte functii definite pe Mcu

valori nNexist ?

a. nm b. mn c. mnd. m+n

____ 227.Fie MsiNdou multimi finite avnd m, respectiv m elemente. Cte functii bijective definite

pe Mcu valori nNexist ?

a. m+nb. nm c. mn d. m!

____ 228.

Fie MsiNdou multimi finite avnd m, respectiv n elemente, m n . Cte functii injectivedefinite pe Mcu valori nNexist ?

a. nm b. mn c. m

nA

d. mn

____ 229.

Pe multimea numerelor naturale considerm operatia algebric nm n m = . Atunci

A

D

B

B

C

C


27/29

a. operatia este asociativ si nu este comutativb. operatia nu este asociativ si este comutativc. operatia nu este asociativ si nu este comutativ

____ 230. Fie *z , iz= , atunci

a. c. b. d.

____ 231. Dac *m im

im

z

+

=2

sin2

cos , atunci

a. c. -1 b. d.

____ 232. 1. Dac*1z i= + , atunci

a. c.

b. d.

____ 233. 1. Fie grupul ( )4 , ,0+ i 43 , atunci

a. c.

b. d.

____ 234. Dac Ryx , , 0x , 0y , avem ..., spunem c R este inel fr divizori ai lui zero.

a. 0xy c. b. d.

____ 235. Elementul zero al inelului 8 estea. ( )0,0 c. b. d.

____ 236.

Elementul unitate al inelului 8 este

a. ( )1,1 c. b. d.( )0,0

____ 237.

Astfel n inelul 8 , produsul direct al inelului ( )8 , ,+ cu inelul ( ), ,+ avem ( ) ( )5,3 3, 7+ =

a. c.

b. d.

____ 238.

A

B

A

A

A

A

A

A

A


28/29

Astfel n inelul 8 , produsul direct al inelului ( )8 , ,+ cu inelul ( ), ,+

avem( ) ( )5,3 3, 7 =

a. c.

b. d.

____ 239. Fie ( )2R = M i0

,0

aI a b

b

=

, atunci

a. I este ideal la stanga al lui R i nueste ideal la dreapta

c. I nu este ideal la stanga al luiR si esteideal la dreapta al lui R

b. I este ideal la stanga al luiR si la dreaptaal lui R

d. I nu este ideal la stanga al luiR si ladreapta al lui R

____ 240. Fie ( )2R = M i0 0

,J a b

a b

=

atunci

a. Jeste ideal la stanga al lui R i nueste ideal la dreapta

c. Jeste ideal la stanga al luiR si este idealla dreapta al lui R

b. Jideal la dreapta al lui R i nu esteideal la stnga.

d. Jnu este ideal la stanga al luiR si ladreapta al lui R

____ 241. Fie RRf : un morfism de inele,atunci f este injectiv dac i numai daca. c.

b. 0)( =fKer d.

____ 242. Fie [ ]4 3 22 2 15 10 3f X X X X X = + + . S se calculeze ( )3f .

a. c.

b. d.

____ 243. Fie [ ]4 3 22 2 15 10 3f X X X X X = + + . S se determine catul impartirii luifla

a. c.

b. d.

____ 244. Dac ( )2a b

Ac d

=

M Z i ( ) bcadXdaXf ++= 2 din [ ]X , atunci

a. c.

b. d.

____ 245. Fie R un inel astfel incat xx =6 , Rx . Stabilti ca

A

B

B

A

A

A

A


29/29

a. 011 =+ c. b. d.

____ 246. Fie R un inel astfel incat xx =6 , Rx . Stabilti ca

a. xx =2 , Rx . c.

b. d.

A

Rezolvari Algebra 1

Documents

Transcript of Rezolvari Algebra 1