16134746 Modele Matematice in Economie Teorie i Aplicaii

Cuprins

Cuvânt înainte ............................................................................................................. 3

1. Teoria grafurilor ................................................................................................... 5

2. Complemente de algebră liniară ........................................................................ 53

3. Programare liniară ................................................................................................ 87

4. Teoria jocurilor ..................................................................................................... 171

Bibliografie ................................................................................................................. 275

Cuvânt înainte

Lucrarea de faţă este alcătuită din patru capitole: Teoria grafurilor, Complemente de algebră liniară, Programare liniară şi Teoria jocurilor. Ea este destinată studenţilor din anul I de la Facultatea de Relaţii Economice Internaţionale, cursuri de zi şi învăţământ deschis la distanţă.

Tematica abordată este inclusă în acel domeniu, teoretic şi aplicativ deopotrivă, în care demersul de fundamentare matematică şi cel de modelare a fenomenelor economice se întrepătrund, numit generic „Cercetare operaţională”.

Metodele acesteia au difuzat, de altfel, şi în alte sfere ale vieţii sociale, incluzând politicile guvernamentale, protejarea mediului, explorarea spaţiului.

Revenind la conţinutul cursului de „Modele matematice în economie”, vom sublinia comunicarea între capitole, prin împrumutul de noţiuni şi tehnici de rezolvare. Din acest motiv, nu recomandăm o lectură strict liniară a materialului prezentat. În aceeaşi ordine de idei, anumite demonstraţii pot fi sărite într-o primă fază, în beneficiul exemplelor, care, de regulă sunt tratate în amănunţime.

Ca orice text matematic şi acesta pune accent pe definirea clară a noţiunilor de bază, se serveşte de rezultate pregătitoare date în propoziţii şi enunţă teoreme cu caracter preponderent operaţional (şi doar pe alocuri, de tip existenţial – nu mai puţin importante, însă). Fiecare capitol se încheie cu o secţiune de probleme rezolvate, a căror utilitate o lăsăm la aprecierea cititorilor.

Din conţinut nu putea să lipsească subiectul, devenit clasic, al programării liniare, precedat de un rezumat al noţiunilor de algebră liniară, strict necesare înţelegerii sale. Capitolele unu şi patru aduc cu ele acel suflu teoretic care nu a încetat să alimenteze modelarea economică, deşi prezintă subiecte deja cunoscute.

Astfel, în capitolul de teoria grafurilor s-a urmărit prezentarea unor metode de determinare a rutelor optime într-un graf, cu accent deosebit pe problematica drumului critic. De asemenea sunt trataţi arborii, ca un caz remarcabil de grafuri conexe.

3

În ceea ce priveşte teoria jocurilor, este binecunoscut impactul pe care aceasta l-a avut în reconstrucţia teoriei economice. Considerente de ordin didactic (dar nu numai) au impus acordarea unei atenţii speciale jocurilor de două persoane, de tip necooperativ. Cazul antagonist (al jocurilor matriceale) este prezentat pe larg prin construirea strategiilor maximin (pure sau mixte), ca soluţie a jocului. În cazul neantagonist (al jocurilor bimatriceale), drept soluţie sunt căutate punctele de echilibru Nash ale jocului, dându-se metode de determinare a lor.

Cazul jocurilor cooperative, evident neantagonist, este ilustrat, pentru jocuri de două persoane, prin găsirea soluţiei Nash (folosind procedee grafice), iar pentru jocuri de n persoane (n ≥ 3), în care este permisă formarea de coaliţii, este prezentată valoarea Shapley, ca un posibil concept de soluţie.

În general, materialul nu face apel la cunoştinţe matematice prealabile de nivel superior, fiind „self-contained”. Cu speranţa ca aceasta să constituie un avantaj pentru studenţii din primul ciclu, aşteptăm cu interes sugestii de îmbunătăţire a conţinutului lucrării.

Autorii

4

1. Noţiuni generale Există numeroase probleme economice pentru care o reprezentare

sub forma unor scheme alcătuite din puncte şi săgeţi aduce clarificări şi

uşurează înţelegerea proceselor în sensul elucidării legăturilor de succesiune

şi cauzalitate. Pentru a da un exemplu, ne referim la procesul de luare a unei

decizii. Pornind de la o situaţie A0 se constată că sunt p variante ce conduc

la situaţiile A1, ..., Ap. Analizând în continuare desfăşurarea fenomenului,

pentru fiecare situaţie Ai, i = p,1 , există posibilitatea de a trece la una din

situaţiile Aij, j = in,1 . Raţionamentul poate continua cât timp procesul pune

în evidenţă noi variante. O reprezentare sugestivă a procesului descris mai

sus poate fi dată în figura următoare:

A1 A11

∶ ∶ A

11n A0 Ai Ai1

∶ ∶ A

iin

Ap Ap1

Appn

În raport cu un obiectiv stabilit apriori, dacă este posibil ca pentru

oricare cuplu de situaţii succesive să se asocieze o valoare reală, urmează să

TEORIA GRAFURILOR 1

∶

5

Teoria grafurilor

se găsească o metodă de determinare a succesiunii optime din punctul de

vedere al obiectivului adoptat.

Un graf G este o pereche (X, T) unde X este o mulţime de elemente

numite vârfuri sau noduri, iar T este o aplicaţie a lui X pe mulţimea părţilor

sale. Vom nota graful G = (X, T). Deci dacă x ∈ X, atunci T(x) ⊂ X. Dacă

x, y ∈ X şi y ∈ T(x), perechea u = (x, y) se numeşte arc al grafului G, cu x

extremitatea iniţială (originea) arcului u, iar y este extremitatea finală a lui

u.

Notând prin U = ⎨(x, y) ⏐ x ∈ X, y ∈ T(x)⎬ putem da o altă expresie

a grafului şi anume G = (X, U).

Exemplu: Fie X = ⎨x1, x2, x3, x4, x5⎬ şi T(x1) = ⎨x2, x4, x5⎬;

T(x2) = ⎨x3, x5⎬; T(x3) = ⎨x1, x5⎬; T(x4) = ⎨x3⎬; T(x5) = ⎨x4⎬.

Mulţimea arcelor este:

U = ⎨(x1, x2), (x1, x4), (x1, x5), (x2, x3), (x2, x5), (x3, x1), (x3, x5),

(x4, x3) (x5, x4)⎬.

Pentru graful astfel definit se poate realiza o imagine geometrică

construită astfel: vârfurile mulţimii X se aşează în plan şi se duc segmente

orientate care unesc punctele xi şi T(xi), i = 5,1 .

x2

x5

x1

x4

x3

O mulţime de vârfuri unite două câte două prin arce formează un

graf orientat. Dacă u1, ..., uk sunt arce ale unui graf cu proprietatea că

extremitatea finală a lui ui coincide cu extremitatea iniţială a lui ui+1,

6

Modele matematice în economie

1 ≤ i ≤ k-1, şirul de arce se numeşte drum. Când extremitatea finală a lui uk

coincide cu originea lui u1 drumul se numeşte circuit. Drumul poate fi

definit şi prin specificarea şirului de vârfuri prin care trece, astfel:

d = (x1, x2, ..., xr) dacă aceste vârfuri sunt în ordinea x1, x2, ..., xr.

Drumul ce trece o singură dată prin unele vârfuri ale grafului se

numeşte drum elementar. Drumul elementar ce trece prin toate vârfurile

grafului se numeşte drum hamiltonian. Numărul arcelor ce compun un drum

se numeşte lungimea drumului. Când xi ∈ T(xi), arcul (xi, xi) se numeşte

buclă.

Vom spune că [x, y] este o muchie dacă (x, y) şi (y, x) sunt arce. De

aceea, o muchie coincide cu mulţimea vârfurilor care o compun. Nu este

deci necesar să figurăm două sensuri contrare pe segmentul care le uneşte.

Un şir de muchii formează un lanţ dacă oricare două muchii

consecutive au o extremitate comună. Lanţul poate fi definit şi de

succesiunea de vârfuri prin care trece, astfel:

L = [x1, x2, ..., xr] dacă aceasta este ordinea vârfurilor. Lanţul ce

trece o singură dată prin unele vârfuri ale grafului se numeşte lanţ

elementar. Lanţul elementar ce trece prin toate vârfurile grafului se va numi

lanţ hamiltonian. Când x1 = xr şi toate muchiile lanţului L sunt distincte

două câte două, lanţul se numeşte ciclu. Numărul muchiilor unui lanţ se

numeşte lungimea lanţului.

Dacă într-un graf oricare două vârfuri ale sale sunt unite printr-un

lanţ, graful este conex.

Graful G1 = (X, U’), cu U’ ⊂ U este un graf parţial al grafului

G = (X, U), iar graful G2 = (X’, U’) cu X’ ⊂ X şi U’⊂ U este un subgraf al

lui G = (X, U).

7

Teoria grafurilor

Graful cu un număr finit de vârfuri se numeşte graf finit. Când

vârfurile grafului G sunt legate numai prin arce vom spune că graful G este

orientat, iar când vârfurile sunt legate prin muchii, graful G este neorientat.

2. Matrici asociate unui graf

Fie graful G = (X, U) cu X = ⎨x1, ..., xn⎬. Matricea A = (aij),

1 ≤ i, j ≤ n, cu

1, dacă există arcul (xi, xj)

0, în cazul contrar

se numeşte matricea arcelor sau matricea conexiunilor directe. Ea

determină graful în mod unic şi constituie un nou mod de a defini un graf.

Matricea D = (dij), 1 ≤ i, j ≤ n, cu

1, dacă există cel puţin un drum de la xi la xj

0, în cazul contrar

se numeşte matricea drumurilor sau matricea conexiunilor totale.

Matricea drumurilor poate determina mai multe grafuri. Astfel

grafurile de mai jos, deşi diferite, au aceeaşi matrice a drumurilor. D x1 x2 x3 x4 x2 x2

x1 x3 x1 x3

x4 x4

x1

x2

x3

x4

0

0

0

0

1

0

1

0

1

0

0

0

1

0

0

0

Dăm acum câteva rezultate necesare prezentării unui algoritm de

determinare a matricei drumurilor, datorat lui Y. V. Chen.

Propoziţia 1: Într-un graf G cu n vârfuri lungimea maximă a unui

drum elementar este egală cu n -1.

aij =

dij =

8


Demonstraţie: Aplicăm metoda inducţiei complete şi pentru n = 2

proprietatea este adevărată deoarece între 2 vârfuri poate exista cel mult un

drum elementar format dintr-un arc, deci de lungime 1, dacă arcul există.

Presupunem că într-un graf cu n -1 vârfuri există un drum elementar de

lungime n -2 şi fie acesta:

d = (x1i, ..., x

1−ni), ⎨i1, ..., in-1⎬ ⊂ ⎨1, ..., n-1⎬.

Adăugăm grafului considerat încă un vârf xn ce poate aduce

drumului de mai sus un arc în plus ((xn, x 1i) sau (x

1−ni, xn) sau (x

ki, xn) şi

(xn, x1+ki), cu dispariţia din d a arcului (x

ki, x

1+ki)) şi lungimea noului drum

va fi n-1. În restul cazurilor drumul elementar are lungimea mai mică decât

n – 1 şi propoziţia este demonstrată.

Notăm acum prin T(1)(xi) mulţimea vârfurilor unui graf G la care se

ajunge din xi prin drumuri de lungime 1 (dintr-un singur arc); T(2)(xi)

mulţimea vârfurilor din G la care se ajunge din xi prin drumuri de lungime 2

(din două arce) ş.a.m.d.; conform propoziţiei 1, ultima mulţime va fi

T(n-1)(xi), dacă graful G are n vârfuri.

Propoziţia 2: Fie G un graf cu n vârfuri, D = (dij), 1 ≤ i, j ≤ n,

matricea drumurilor lui G. Atunci dij = 1, i ≠ j, dacă şi numai dacă

xj ∈ U1

1

)( ).(−

=

n

si

s xT

Demonstraţie: Dacă dij = 1 rezultă că există cel puţin un drum de la

xi la xj. Presupunem că drumul este format din k arce, 1 ≤ k ≤ n-1; atunci

xj ∈ T(k)(xi), deci xj ∈ U1

1

)( ).(−

=

n

si

s xT

9

Teoria grafurilor

Reciproc, dacă xj ∈ U1

1

)( )(−

=

n

si

s xT , atunci xj aparţine cel puţin unei

mulţimi a reuniunii, fie aceasta T(k)(xi). Adică la xj se ajunge din xi printr-un

drum de lungime k, deci dij = 1 şi propoziţia 2 este demonstrată.

Reamintim că adunarea booleană se defineşte astfel:

+ 0 1

0

1

0

1

1

1

Cu rezultatele de mai sus dăm etapele următorului

Algoritm pentru determinarea matricei D

1) Asociem grafului dat matricea arcelor A = (aij), 1 ≤ i, j ≤ n;

2) Construim matricea D, linie cu linie, astfel: pentru determinarea

liniei i din D, i = n,1 , urmărim elementele egale cu 1 de pe linia i

din A; dacă acestea sunt aip, ..., ais se transcriu în linia i din D şi

se adună boolean liniile p, ..., s din A la linia i generându-se noi

elemente egale cu 1 pe linia i din D. Fie acestea dik, ..., dim ce

indică, conform propoziţiei 2, existenţa drumurilor de la xi la

xk, ..., xm, drumuri formate din 2 arce, adică xk, ..., xm ∈ T(2)(xi).

Adunăm boolean liniile k, ..., m din A la linia i, generând noi

elemente egale cu 1 ce vor reprezenta drumurile de la xi la alte

vârfuri, formate din 3 arce, ş.a.m.d. până când ajungem la una

din situaţiile:

a) toate elementele liniei i sunt egale cu 1;

b) nu se mai pot genera alte elemente egale cu 1 pe linia i din D

şi completăm locurile rămase libere cu 0.

10


3) Procedăm analog pentru fiecare linie din D şi obţinem în final

matricea drumurilor.

Exemplu: Să se determine matricea D pentru următorul graf:

x2

x3

x1

x4

x5

Rezolvare

Matricea arcelor A va fi:

A x1 x2 x3 x4 x5 x1 x2 x3 x4 x5

0 1 0 0 1

0 0 0 0 0

0 1 0 1 0

1 0 0 0 1

0 1 0 0 0

Pentru a obţine linia 1 din D observăm că în A elementul a14 = 1; îl

transcriem în linia 1 din D, deci d14 = 1 şi adunăm boolean linia 4 din A la

linia 1. Se generează elementul d13 = 1, apoi adunăm boolean linia 3 din A

la linia 1 şi observăm că nu mai pot fi generate alte elemente egale cu 1

deoarece toate elementele liniei 3 sunt nule. Completăm locurile libere din

linia 1 a lui D cu 0.

Să determinăm acum linia 2 din D. Observăm că în A avem a21 = a23

= a25 = 1 şi le preluăm în linia 2 din D, apoi adunăm boolean liniile 1, 3 şi 5

la linia 2. Se obţine d24 = 1, deci vom aduna linia 4 din A la 2 şi deoarece nu

mai pot fi generate alte elemente egale cu 1, completăm cu 0 locurile libere.

11

Teoria grafurilor

Linia 3 din D este linia 3 din A deoarece are toate elementele 0. Pe

linia 4 din A avem a43 = 1, îl preluăm în linia 4 din D, adunăm boolean linia

3 din A la linia 4 şi nu mai pot fi generate elemente egale cu 1, deci

completăm cu 0. În sfârşit linia 5 din A are a51 = a54 = 1, le preluăm în linia

5 din D, adunăm boolean linia 1 şi 4 din A la linia 5, apare d53 = 1, adunăm

linia 3 din A la linia 5 şi algoritmul ia sfârşit căci nu mai pot fi generate

elemente egale cu 1. În final matricea D se prezintă astfel:

A x1 x2 x3 x4 x5 x1 x2 x3 x4 x5

0 1 0 0 1

0 0 0 0 0

1 1 0 1 1

1 1 0 0 1

0 1 0 0 0

Notăm cu p(xi) puterea de atingere a vârfului xi prin care înţelegem

numărul de vârfuri ce pot fi atinse de drumurile ce pornesc din xi, adică

numărul elementelor egale cu 1 de pe linia i din D. În exemplul nostru p(x1)

= 2, p(x2) = 4, p(x3) = 0, p(x4) = 1, p(x5) = 3.

Observaţia 1: Matricea D pune în evidenţă existenţa circuitelor în

graful considerat. Astfel dacă dii = 1, graful are un drum ce pleacă din xi şi

revine în xi, deci un circuit. Dacă toate elementele diagonalei principale din

D sunt egale cu 0, graful nu are circuite. În exemplul de mai sus, graful nu

are circuite.

Observaţia 2: Dacă în matricea D a unui graf finit cu n vârfuri fără

circuite ordonăm liniile şi coloanele descrescător după puterile de atingere

ale vârfurilor obţinem o nouă matrice D’ = (d’ij), 1 ≤ i, j ≤ n, cu toate

elementele egale cu 1 deasupra diagonalei principale. Într-adevăr, notând,

x’1, ..., x’n ordinea liniilor (coloanelor) în D’ şi considerând d’ij = 1, i < j,

rezultă că există cel puţin un drum de la x’i la x’j, deci vârfurile atinse de x’j

12


vor fi atinse şi de x’i, adică p(x’i) > p(x’j) fapt ce atrage aşezarea liniei i

înaintea liniei j, deci d’ij = 1 se va găsi deasupra diagonalei principale în D’.

Matricea D’ se numeşte matricea triangularizată superior a matricei D.

Pentru exemplul nostru, D’ se prezintă astfel:

D’ x2 x5 x1 x4 x3 x2 x5 x1 x4 x3

0 0 0 0 0

1 0 0 0 0

1 1 0 0 0

1 1 1 0 0

1 1 1 1 0

Observaţia 3: În matricea D’ a unui graf fără circuite, primul

element egal cu 1 de pe fiecare linie corespunde unui arc din graf. Într-

adevăr, presupunând prin absurd că primului element pe linia i din D’,

d’ij = 1, îi corespunde un drum (x’i, ..., x’m, ..., x’j), cu m ≠ i, m ≠ j, atunci

x’m are puterea de atingere mai mare ca x’j şi coloana lui x’m o precede pe

cea a lui x’j. Deci pe linia x’i există elementul d’im = 1 care precede d’ij = 1,

ceea ce contrazice ipoteza.

3. Drumuri hamiltoniene într-un graf

3.1 Cazul grafurilor fără circuite

Teorema 1. (Y.V. Chen). Fie G = (X, U) cu X = ⎨x1, ..., xn⎬, orientat

şi fără circuite. G conţine un drum hamiltonian dacă şi

numai dacă

∑=

−=

n

ii

nnxp1 2

)1()( .

13

Teoria grafurilor

Demonstraţie: Presupunem că în G există drumul hamiltonian

dH = (x1i, ..., x

ni), unde (i1, ..., in) este o permutare a lui (1, ..., n).

Rezultă că x1i atinge toate cele n – 1 vârfuri care îl succed, deci pe

linia lui x1i din D sunt n – 1 elemente egale cu 1. Vârful x

2i atinge n – 2

vârfuri şi pe linia lui x2i

vor fi n – 2 elemente egale cu 1, ş.a.m.d., pentru

fiecare vârf următor al drumului hamiltonian numărul elementelor egale cu

1 scade cu câte o unitate până ajungem la xni

a cărui putere de atingere este

zero. Atunci:

∑ ∑= =

−=+++−+−==

n

i

n

kii

nnnnxpxpk

1 1 2)1(01...)2()1()()( .

Reciproc, dacă ∑=

−=

n

ii

nnxp1 2

)1()( şi matricea triangularizată D’ are

liniile şi coloanele ordonate astfel: x’1, ..., x’n, din observaţia 2 deducem că

toate cele 2

)1( −nn elemente egale cu 1 ale lui D’ se găsesc deasupra

diagonalei principale unde sunt exact 2

)1( −nn poziţii. Observaţia 3 ne

permite determinarea drumului hamiltonian scriind succesiunea de arce

corespunzătoare primelor elemente egale cu 1 de pe fiecare linie, adică:

(x’1, x’2), (x’2, x’3), ..., (x’n-1, x’n) sau dH: (x’1, ..., x’n).

Teorema 2. Dacă într-un graf G orientat şi fără circuite există drum

hamiltonian, el este unic.

Demonstraţie: Presupunem prin absurd că G are două drumuri

hamiltoniene d )1(H şi d )2(

H distincte şi

d )1(H = (x’1, ..., x’i, ..., x’j, ... ,x’n)

d )2(H = (x’1, ..., x’j, ..., x’i, ... ,x’n)

14


Din d )1(H rezultă că există un drum de la x’i la x’j, iar din d )2(

H rezultă

că există un drum de la x’j la x’i, adică un circuit, ceea ce contrazice ipoteza.

Presupunerea făcută este falsă, deci drumul hamiltonian în G este unic.

Teoremele 1 şi 2 ne permit să dăm un

Algoritm pentru determinarea drumului hamiltonian într-un graf

orientat, finit (cu n vârfuri) şi fără circuite

1. Determinăm matricea A (a arcelor);

2. Determinăm matricea D (a drumurilor);

3. a) Dacă există dii = 1, graful are circuite, teoremele 1 şi 2 nu se

aplică, nu ştim dacă există drum hamiltonian;

b) Dacă toate elementele diagonalei principale din D sunt nule,

graful nu are circuite, se aplică teoremele 1 şi 2.

4. Calculăm p(xi), i = n,1 şi apoi ∑=

n

iixp

1

)( . Apare unul din cazurile:

a) ∑=

−≠

n

ii

nnxp1 2

)1()( ; din teorema 1 rezultă că în G nu există

drum hamiltonian;

b) ∑=

−=

n

ii

nnxp1 2

)1()( , atunci din teorema 1 rezultă că există drum

hamiltonian în G, iar din teorema 2 rezultă că acesta este unic.

5. Determinăm drumul hamiltonian scriind vârfurile grafului în

ordinea descrescătoare a puterii lor de atingere.

Exemplu

Pentru graful precedent am văzut că era fără circuite şi p(x1) = 2,

p(x2) = 4, p(x3) = 0, p(x4) = 1, p(x5) = 3. Deci ∑=

5

1ii )x(p = 10. Dar n = 5 şi

15

Teoria grafurilor

2)1( −nn =

245× = 10, deci teorema 1 spune că există drum hamiltonian şi

acesta este dH = (x2, x5, x1, x4, x3) şi este unic.

3.2 Cazul grafurilor cu circuite

Prezentăm în cele ce urmează un algoritm, datorat lui Kaufmann,

pentru determinarea drumurilor hamiltoniene într-un graf cu circuite.

Fie G un graf cu n vârfuri, cu circuite. Determinăm pentru G

matricele latine D(k), 1 ≤ k ≤ n – 1, matrici ale căror elemente d )(kij ,

1 ≤ i,j ≤ n, reprezintă drumurile elementare de la xi la xj, formate din k arce.

Deci ultima matrice D(n-1) va conţine toate drumurile hamiltoniene din G.

Matricea D(1) = (d )1(ij ), 1 ≤ i,j ≤ n, se construieşte astfel:

xixj dacă există arcul (xi, xj)

0 , dacă nu există arcul (xi, xj).

Din D(1) formăm matricea D (1) = ( d )1(ij ),1 ≤ i,j ≤ n, cu

xj dacă există arcul (xi, xj)

0 , dacă nu există arcul (xi, xj).

Deci matricea D (1) se obţine din D(1) prin ştergerea primei litere a

secvenţei xi xj din orice căsuţă (i, j) şi ea conţine vârfurile ce pot fi atinse

prin arce de la orice vârf al grafului.

Următoarele matrici D(2), ..., D(n-1) se construiesc prin operaţia „L”

(produsul latin), astfel:

D(k) = D(k-1) L D (1), k = 2, ..., n - 1

d )1(ij =

d )1(ij =

16


şi elementul d )(kij din D(k) este: xi x

1i ... x

1−ki xj dacă toate aceste vârfuri sunt

distincte (se vor lua liniile din D(k-1) cu coloanele din D (1), ca la produsul

matricelor) sau este 0, dacă nu apar k + 1 vârfuri distincte sau se obţine zero

pentru toate elementele care participă la înmulţire.

Exemplu

Să se determine drumurile hamiltoniene în graful:

x2

x3

x1

x5 x4

Rezolvare

Observăm că graful are circuite (altfel am fi determinat matricea D),

de exemplu d = (x3, x5, x1, x2).

Determinăm pe rând matricele D(1), D (1), D(2), D(3) şi D(4).

D(1) x1 x2 x3 x4 x5 x1 x2 x3 x4 x5

0 0 0 0

x5 x1

x1 x2 0 0 0 0

0 x2 x3

0 0 0

0 x2 x4 x3 x4

0 x5 x4

0 0

x3 x5 0 0

D (1) x1 x2 x3 x4 x5

x1 x2 x3 x4 x5

0 0 0 0 x1

x2 0 0 0 0

0 x3 0 0 0

0 x4 x4 0 x4

0 0 x5 0 0

17

Teoria grafurilor

D(2)= D(1)L D (1) x1 x2 x3 x4 x5

x1 x2 x3 x4 x5

0 0

x3x5x1 0 0

0 0 0 0

x5x1x2

x1x2x3 0 0 0 0

x1x2x4 x2x3x4 x3x5x4

0 0

0 x2x3x5

0 0 0

D(3)= D(2)L D (1) x1 x2 x3 x4 x5

x1 x2 x3 x4 x5

0 x2x3x5x1

0 0 0

0 0

x3x5x1x2 0 0

0 0 0 0

x5x1x2x3

x1x2x3x4 0 0 0

x5x1x2x4

x1x2x3x5 0 0 0 0

D(4)= D(3)L D (1) x1 x2 x3 x4 x5

x1 x2 x3 x4 x5

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

x1x2x3x5x4 0

x3x5x1x2x4 0

x5x1x2x3x4

0 0 0 0 0

Din D(4) citim că există 3 drumuri hamiltoniene şi anume:

d )1(H = (x1, x2, x3, x5, x4)

d )2(H = (x3, x5, x1, x2, x4)

d )3(H = (x5, x1, x2, x3, x4)

Să explicăm modul în care, de exemplu, s-a găsit elementul d )2(34 de

pe linia 3 coloana 4 din matricea D(2). S-a considerat linia 3 din D(1) şi

coloana 4 din D (1) şi aplicând definiţia lui d )(kij , s-a obţinut singura

succesiune, diferită de zero, (x3, x5, x4). Dacă s-ar mai fi găsit şi o altă

succesiune în căsuţa (3, 4) din D(2), se scriau una sub alta ambele succesiuni

şi în calculele următoare se ţinea seama de fiecare în parte.

18


4. Drum de valoare optimă (rută optimă) într-un graf

Fie G = (X, U) un graf orientat, cu X = ⎨x1, ..., xn⎬ şi U mulţimea

arcelor sale. Graful G se va numi graf valuat dacă există o funcţie v: U →ℝ,

astfel încât oricare ar fi u = (xi, xj) ∈ U, v(u) = v(xi, xj) ≥ 0, i, j = n,1 .

Numărul v(u) se va numi valoarea arcului u. Într-o problemă economică,

v(u) poate să însemne costul sau durata transportului de la xi la xj, distanţa

dintre vârfurile xi şi xj etc.

Dacă d este un drum în graful valuat G, suma valorilor arcelor sale

se va numi valoarea drumului d.

În cele ce urmează vom dori să determinăm valoarea minimă a

drumurilor de la orice vârf al grafului G la un vârf fixat xn.

Fie matricea V = (vij), 1 ≤ i, j ≤ n, cu

0 , i = j

vij = v(xi, xj), dacă există arcul (xi, xj)

∞ , dacă nu există arcul (xi, xj).

Notăm prin )(k

inm valoarea minimă a drumurilor dintre xi şi xn,

drumuri formate din cel mult k arce, iar prin inm valoarea minimă a

drumurilor de la xi la xn, indiferent de numărul arcelor.

Propoziţia 3:

În graful G, cu n vârfuri, orientat şi valuat, este adevărată relaţia )1( +k

inm = nj≤≤1

min (vij + )(k

jnm ), i ≠ n, k ≥ 1.

Justificarea acestei propoziţii e dată de principiul de optimalitate al

lui Bellman, care pentru problema noastră se enunţă astfel: drumul optim

într-un graf este format din subdrumuri optime. Şi cum orice drum de la xi la

19

Teoria grafurilor

xn format din cel mult k + 1 arce trebuie să fie format dintr-un arc (xi, xj), i≠j

şi un drum de la xj la xn format din cel mult k arce, urmează că )1( +k

inm -

valoarea minimă a drumurilor de la xi la xn formate din cel mult k + 1 arce

va fi dată de nj≤≤1

min (vij + )(k

jnm ).

Propoziţia 4:

Dacă pentru graful G din propoziţia 1 există k ∈ ℕ astfel încât

)(kinm =

)1( +kinm , 1 ≤ i ≤ n, atunci:

)(kinm = inm .

Demonstraţie: Formulată altfel, propoziţia 4 şi anume: există k ∈ ℕ

astfel încât )(k

inm = )1( +k

inm , atunci: )(k

inm = )( sk

inm+

, oricare ar fi s ∈ ℕ, putem

aplica inducţia matematică după s ∈ℕ*, astfel: pentru s = 1, proprietatea se

verifică cu relaţia din ipoteză. Presupunem adevărată proprietatea pentru s

oarecare şi demonstrăm că e adevărată şi pentru s + 1.

Dar din propoziţia 3, avem: )1( ++ sk

inm = j

min (vij + )( sk

jnm+

) şi cum în presupunerea de inducţie

avem că )( sk

jnm+

= )k(

jnm , rezultă )1( ++ sk

inm = j

min (vij + )k(

jnm ) = )1( +k

inm = )(k

inm

tot din propoziţia 3 şi ipoteza propoziţiei 4.

Pe aceste două propoziţii se bazează algoritmul Bellman – Kalaba de

determinare a drumurilor de valoare minimă de la orice vârf al grafului xi la

vârful xn fixat. Etapele algoritmului sunt:

1. Se construieşte matricea V = (vij), 1 ≤ i,j ≤ n, corespunzătoare

grafului dat.

20


2. Se ataşează noi linii matricei V notate succesiv prin )1(

inm , )2(

inm , ... care dau valorile minime ale drumurilor formate din

cel mult 1, 2, ... arce de la orice vârf xi (cap de coloană) la xn

fixat, astfel:

a) linia )1(

inm ale cărei elemente sunt valorile minime ale

drumurilor de la xi, i = n,1 , din G la xn, drumuri formate din

cel mult un arc, reprezintă valorile arcelor (xi, xn), i = n,1 ,

deci această linie va fi transpusa coloanei lui xn din V;

b) presupunem completată linia )(k

inm şi trecem la determinarea

elementelor liniei )1( +k

inm . Orice element de pe această linie se

calculează cu relaţia din propoziţia 3: )1( +k

inm = nj≤≤1

min (vij + )(k

jnm ), i = n,1 , ceea ce înseamnă că vom

aduna respectiv elementele liniei lui xi din V cu cele ale liniei )(k

inm şi cea mai mică valoare va fi )1( +k

inm ;

c) ataşarea de noi linii continuă până când se obţin două linii

consecutive identice, când în baza propoziţiei 4 algoritmul ia

sfârşit şi ultima linie conţine tocmai valorile minime ale

drumurilor de la fiecare vârf cap de coloană la xn fixat.

3) Se determină apoi succesiunea de vârfuri prin care trece drumul

de valoare minimă (ruta optimă), de exemplu, de la xi la xn, astfel:

adunăm respectiv elementele liniei xi cu cele ale ultimei linii )1( +k

inm şi dacă cea mai mică valoare corespunde coloanei lui xk,

primul arc al drumului este (xi, xk). Adunăm apoi linia lui xk la

ultima şi dacă cea mai mică valoare corespunde coloanei lui xp,

21

Teoria grafurilor

următorul arc al rutei este (xk, xp), ş.a.m.d. până ajungem în xn.

Drumul căutat va fi:

d = (xi, xk, xp, ..., xn)

şi valoarea sa va fi )1( +k

inm .

Observaţia 1: Când în etapa a 3-a suma minimă se obţine în dreptul

mai multor coloane, atunci există mai multe drumuri de valoare minimă şi

se urmăreşte până la capăt fiecare drum în parte.

Observaţia 2: Algoritmul Bellman – Kalaba poate fi aplicat şi pentru

determinarea drumului de valoare maximă de la orice vârf al grafului la unul

fixat cu următoarele condiţii:

a) graful să nu aibă circuite;

b) vij = - ∞, dacă i ≠ j şi nu există arcul (xi, xj);

c) în etapele 2, 3 şi observaţia 1, sumele minime se înlocuiesc cu

sumele maxime, întrucât propoziţiile 3 şi 4 sunt adevărate şi

pentru cazul când prin )(k

inm înţelegem valoarea maximă a

drumurilor de la xi la xn formate din cel mult k arce.

Observaţia 3: La determinarea drumului de valoare minimă într-un

graf neorientat, fiecare muchie [xi, xj] va fi considerată cu arce (xi, xj) şi

(xj, xi), iar matricea V va fi simetrică.

Exemplu: Să se determine drumul de valoare minimă de la x1 la x6

în graful următor:

x2

x5

x1 x3

x6

x4

24

3 15

123

6

22


Rezolvare

Scriem pentru graful dat matricea V = (vij), 1 ≤ i, j ≤ 6, care va fi o

matrice simetrică.

V x1 x2 x3 x4 x5 x6 x1 x2 x3 x4 x5 x6

0 2 4 3 ∞ ∞

2 0 3 ∞ 6 ∞

4 3 0 1 2 ∞

3 ∞ 1 0 ∞ 5

∞ 6 2 ∞ 0 1

∞ ∞ ∞ 5 1 0

)1(

6im ∞ ∞ ∞ 5 1 0 )2(

6im 8 7 3 5 1 0 )3(

6im 7 6 3 4 1 0 )4(

6im 7 6 3 4 1 0

Linia )1(

6im se obţine prin transpunerea coloanei lui x6.

Primul element al liniei )2(

6im este )2(

16m şi se determină adunând

respectiv elementele liniei x1 din V cu cele ale liniei )1(

6im . Cea mai mică

sumă este elementul căutat, adică )2(

16m = min⎨0 + ∞, 2 + ∞, 4 + ∞, 3 + 5,

∞ + 1, ∞ + 0⎬ = 8.

Elementele următoare ale liniei )2(

6im se determină în acelaşi mod,

păstrând fixă linia )1(

6im dar modificând pe rând linia din V cu x2, x3, ..., x6.

Pentru linia )3(

6im se ia linia )2(

6im şi se adună pe rând cu liniile x1, ...,

x6 din V, reţinând cea mai mică sumă. În mod asemănător procedăm pentru

linia )4(

6im , luând linia )3(

6im şi adunând-o pe rând cu liniile x1, ... , x6.

Observăm că ultimele două linii sunt identice şi algoritmul ia sfârşit.

23

Teoria grafurilor

Valoarea minimă a drumurilor de la x1 la x6 este dată de elementul )4(

16m = 7.

Pentru determinarea succesiunii de vârfuri prin care trece drumul

căutat, ce porneşte din x1, adunăm elementele liniei x1 cu respectiv cele ale

ultimei linii adăugate, )4(

6im . Obţinem:

min⎨0 + 7; 2 + 6; 4 + 3; 3 + 4, ∞ + 1; ∞ + 0⎬ = 7 care în afara

coloanei lui x1 mai corespunde şi coloanelor x3 şi x4. Deci drumul căutat nu

e unic. Marcăm elementele de pe linia lui x1 aflate la intersecţia cu coloanele

x3 şi x4 în mod diferit şi continuăm căutarea drumului dat de un marcaj, de

exemplu cel care are primul arc (x1, x3) de valoare 4. Adunăm apoi linia lui

x3 la ultima şi

min⎨4+7; 3+6; 0+3; 1+4; 2+1; ∞ + 0⎬ = 3 corespunde coloanei lui

x5 (în afara lui x3) şi marcăm elementul 2 de pe linia x3 şi coloana x5. Acesta

reprezintă valoarea arcului (x3, x5), următorul din drum. În sfârşit adunăm

linia lui x5 cu ultima linie, )4(

6im , cea mai mică sumă este 1 şi corespunde

coloanei lui x6, deci ultimul arc este (x5, x6) şi are valoarea 1. Drumul dat de

primul marcaj este:

d1: x1 4→ x3

2→ x5

1→ x6 de valoare 7.

Procedând analog cu al doilea marcaj, vom găsi

d2: x1 3→ x4

1→ x3

2→ x5

1→ x6 cu aceeaşi valoare egală cu 7.

Observaţia 4: În matricea V ultima coloană va fi a vârfului ce

încheie drumul căutat.

Observaţia 5: Propoziţiile 3 şi 4 mai pot fi folosite pentru construirea

unui algoritm de determinare a rutelor optime între oricare două vârfuri ale

grafului G considerat.

24


Pentru prezentarea acestui algoritm introducem o operaţie între două

matrici, notată „*”, astfel:

Dacă A = (aij) şi B = (bij), atunci A * B = C, unde C = (cij), cu

cij = nk≤≤1

min (aik + bkj), (∀) i, j = n,1 , dacă se caută ruta de valoare minimă.

Notăm M(k) = ()(k

ijm ) şi M = ( ijm ), i, j = n,1 , k = 1,1 −n .

Etapele algoritmului sunt:

1) Se construieşte matricea V = (vij), i, j = n,1

2) Se determină, prin operaţia de mai sus, matricele:

M(2) = V * V, M(3) = M(2) * V, ş.a.m.d. până când M(k+1) = M(k),

când în baza propoziţiei 4 algoritmul ia sfârşit. Atunci

M(k+1) = M = ( ijm ) şi elementele ijm sunt valorile minime ale

drumurilor de la xi la xj, formate din oricâte arce.

3) Pentru a determina vârfurile prin care trece drumul de valoare

minimă, de exemplu de la xi la xj, transpunem linia lui xi din V

peste coloana lui xj din M şi efectuăm sumele perechilor de

elemente căutând suma (sumele) cu valoarea minimă egală cu

ijm . Dacă această sumă se află pe linia lui xk, primul arc al

drumului căutat este (xi, xk). Transpunem apoi linia lui xk din V

peste coloana lui xj din M şi în mod asemănător determinăm

următorul vârf al rutei, ş.a.m.d., până ajungem în xj.

Observaţia 4.a: Pentru a mări viteza de calcul putem determina

matricele M(K) în următoarea ordine:

M(2), M(4) = M(2) * M(2), M(8) = M(4) * M(4) ş.a.m.d. până când

ultimele două vor coincide.

25

Teoria grafurilor

Observaţia 4.b: Dacă în etapa a treia suma minimă corespunde la

două sau mai multe vârfuri, ruta optimă nu e unică şi se cercetează fiecare în

parte, marcându-le diferit.

Observaţia 4. c: Algoritmul acesta poate fi aplicat şi în determinarea

drumului de valoare maximă în graful G cu următoarele condiţii:

- graful să nu aibă circuite;

- în matricea V, vij = - ∞, când nu există arcul (xi, xj);

- cij = nk≤≤1

max (aik + bkj), i,j = n,1 ;

- în etapele 2, 3 şi observaţia 4.b, sumele minime se înlocuiesc cu

sumele maxime.

Exemplu. Să se determine valorile minime ale drumurilor dintre

oricare două vârfuri ale următorului graf.

x2

x3

x1

x4

x5

Rezolvare

Matricea V, determinată cu definiţia elementelor vij este:

V x1 x2 x3 x4 x5 x1 x2 x3 x4 x5

0 ∞ ∞ ∞ ∞

7 0 ∞ ∞ ∞

2 ∞ 0 ∞ ∞

4 ∞ 4 0 ∞

5 ∞ 1 3 0

72

5

3

416

5

26


Determinăm matricea M(2) = V * V şi obţinem:

M(2) x1 x2 x3 x4 x5 x1 x2 x3 x4 x5

0 ∞ 0 ∞ ∞

7 0 5 ∞ ∞

2 ∞ 0 ∞ ∞

6 ∞ 4 0 ∞

3 ∞ 1 3 0

unde, de exemplu, )2(

15m este cea mai mică sumă obţinută adunând

elementele liniei lui x1 cu cele ale coloanei lui x5 din V, adică )2(

15m = min(0 + 5; 7 + ∞; 2 + 1; 4 + 3; 5 + 0) = 3

Analog vom calcula M(4) = M(2) * M(2) şi obţinem:

M(4) x1 x2 x3 x4 x5 x1 x2 x3 x4 x5

0 ∞ 0 ∞ ∞

7 0 5 ∞ ∞

2 ∞ 0 ∞ ∞

6 ∞ 4 0 ∞

3 ∞ 1 3 0

adică M(4) = M(2) = M şi algoritmul se opreşte. Pentru ilustrarea procedurii,

12m = 7 este valoarea minimă a drumurilor de la x1 la x2. Aceste drumuri,

obţinute aplicând procedeul din etapa 3, sunt:

d1: x1 7→x2 şi d2: x1

2→x3

5→ x2.

5. Drumul critic

O aplicaţie importantă a rutelor optime o întâlnim în determinarea

drumului critic într-un graf.

27

Teoria grafurilor

Să considerăm un graf G finit, orientat, valuat şi fără circuite, care

modelează o problemă de cercetare – dezvoltare (R & D) sau investiţională

pentru care este necesar un plan de activităţi, adică un complex de sarcini

limitate în timp şi spaţiu. O stare oarecare în realizarea proiectului o vom

numi eveniment şi o vom reprezenta printr-un vârf al grafului; orice porţiune

de proiect având un început şi un sfârşit în evenimente distincte şi deci care

consumă o durată de timp o vom numi activitate şi o vom reprezenta printr-

un arc. Timpul necesar unei activităţi reprezentate de un arc este valoarea

arcului respectiv şi îl vom numi timp operativ. Graful mai are un eveniment

de debut – vârful x0 şi un eveniment final – vârful xn.

Să presupunem că am stabilit graful unui program şi ne-am convins

că nu are circuite. Ne întrebăm care este data realizării ansamblului de

activităţi, adică durata programului de realizat. Această durată nu poate fi

inferioară sumei timpilor operativi luaţi pe drumul cel mai nefavorabil de la

x0 la xn, adică ce dă între aceste două puncte o sumă maximă de timpi

operativi. Acest drum (pot exista mai multe) se va numi drum critic.

O mai bună înţelegere o vom obţine pe graful alăturat:

x2

x1 x3

Evenimentul x3 reprezintă realizarea a trei activităţi (operaţii):

(x1, x2), (x1, x3) şi (x2, x3). Se vede că vor trebui 10 unităţi de timp pentru ca

aceste activităţi să se realizeze.

Luând pentru durata ansamblului de lucrări suma timpilor operatori

de pe drumul cel mai nefavorabil de la x0 la xn, ne asigurăm ca toate

operaţiile prevăzute să poată fi realizate. Calculul duratei de realizare a lui

5

10

3

28


xn revine la căutarea în graf a drumului critic. Vârfurile drumului critic se

numesc evenimente critice, iar arcele lui – activităţi critice. Operaţiunile de

pe drumul critic nu pot fi amânate. Celelalte evenimente sau activităţi

necritice, ce pot fi amânate, trebuie analizate ca nu cumva amânarea lor prea

mare să dăuneze programului.

În cele ce urmează prezentăm metoda PERT (program de evaluare şi

revizuire a obiectivelor) de determinare a drumului critic.

Aceasta constă din următoarele etape:

1) Scriem matricea arcelor A, determinăm matricea drumurilor D şi

ne asigurăm că graful nu are circuite;

2) Dacă graful nu are circuite, scriem matricea D’ (triangularizata lui

D) şi îi asociem apoi matricea V (a valorilor arcelor)

triangularizată;

3) Determinăm matricea M (a valorilor maxime ale drumurilor

dintre oricare două vârfuri ale grafului, deci îl vom avea şi pe cel

de la x0 la xn – drumul critic) cu al doilea algoritm din paragraful

precedent;

4) Se determină drumul critic (drumul de valoare maximă de la x0 la

xn), evenimentele şi activităţile critice;

5) Se determină rezervele de timp (marjele) pentru toate

evenimentele şi activităţile necritice, dând prioritate operaţiilor cu

marja mai mică.

Deci trebuie cunoscut pentru fiecare eveniment xi necritic data sa

limită de realizare, dată de la depăşirea căreia tot programul va fi întârziat.

Timpul necesar pentru realizarea operaţiunilor situate între xi şi xn se

obţine căutând în matricea M valoarea maximă a drumului de la xi la xn, pe

care o notăm prin v[dmax(xi, xn)]. Astfel ne asigurăm ca operaţiile ce succed

29

Teoria grafurilor

lui xi să poată fi realizate. Durata limită căutată (timpul cel mai întârziat de

realizare a lui xi, notat prin t ti va fi dat de:

t ti = v[dmax(x0, xn)] – v[dmax(xi, xn)].

Dacă notăm prin t di - timpul cel mai devreme de realizare a

evenimentului xi, el va fi dat de v[dmax(x0, xi)].

Atunci marja evenimentului xi va fi t ti - t d

i , evident nenegativă. În

funcţie de valoarea marjei, evenimentele sunt critice (cu marja egală cu

zero) sau necritice (cu marja pozitivă).

O cercetare asemănătoare poate fi făcută şi în funcţie de activităţi. Se

asociază oricărei activităţi (xi, xj), i ≠ j, următoarele momente de timp:

1) t di - timpul cel mai devreme de începere a activităţii (xi, xj), care

este întocmai v[dmax(x0, xi)];

2) t tj - timpul cel mai întârziat de terminare a activităţii (xi, xj), care

este v[dmax(x0, xn)] – v[dmax(xj, xn)];

3) t ti - timpul cel mai întârziat de începere a activităţii (xi, xj) este

egal cu t tj - vij (valoarea arcului (xi, xj));

4) t dj - timpul cel mai devreme de terminare a activităţii (xi, xj) este

egal cu t di + vij.

Aplicaţie

Integrarea României în structurile europene necesită înfăptuirea, într-

un sector economic, a unui obiectiv, a cărei finalizare este posibilă prin

30


realizarea într-o ordine bine stabilită a unor evenimente, conform

următorului graf:

x1

x4

x0 x6

x5

x3

Considerând cunoscute duratele de parcurgere a fiecărei etape de

reformă în săptămâni – valorile arcelor, se cere:

a) care este data cea mai apropiată a înfăptuirii obiectivului?

b) care este data cea mai apropiată şi cea mai îndepărtată a fiecărui

eveniment din planul de înfăptuire a obiectivului?

c) să se stabilească modul de supraveghere a îndeplinirii planului

pentru a se evita sau reduce întârzierile.

Rezolvare

a) Determinăm matricea arcelor A

A x0 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x0 x1 x2 x3 x4 x5 x6

0 0 0 0 0 0 0

1 0 0 0 0 0 0

1 1 0 1 0 0 0

1 0 0 0 0 0 0

0 1 1 0 0 0 0

0 0 1 1 1 0 0

0 0 1 0 1 1 0

10

2

7

9

3 4

5

3

7

3 5

4 x2

6

31

Teoria grafurilor

Determinăm matricea drumurilor D ca să vedem dacă graful are

circuite. Dacă nu are, ataşăm lui D coloana puterilor de atingere p(xi),

i = 6,0 , pentru a obţine matricea triangularizată D’.

D x0 x1 x2 x3 x4 x5 x6 p(xi)x0 x1 x2 x3 x4 x5 x6

0 0 0 0 0 0 0

1 0 0 0 0 0 0

1 1 0 1 0 0 0

1 0 0 0 0 0 0

1 1 1 1 0 0 0

1 1 1 1 1 0 0

1 1 1 1 1 1 0

6 4 3 4 2 1 0

Graful nu are circuite şi D’ se obţine din D prin schimbarea ordinii

între x2 şi x3, atât pe linii cât şi pe coloane.

D’ x0 x1 x3 x2 x4 x5 x6 x0 x1 x3 x2 x4 x5 x6

0 0 0 0 0 0 0

1 0 0 0 0 0 0

1 1 1 0 0 0 0

1 0 0 0 0 0 0

1 1 1 1 0 0 0

1 1 1 1 1 0 0

1 1 1 1 1 1 0

Scriem acum matricea V cu ordinea vârfurilor din D’:

V x0 x1 x3 x2 x4 x5 x6 x0 x1 x3 x2 x4 x5 x6

0 -∞ -∞ -∞ -∞ -∞ -∞

3 0

-∞ -∞ -∞ -∞ -∞

4 -∞ 0

-∞ -∞ -∞ -∞

5 6 3 0

-∞ -∞ -∞

-∞ 7

-∞ 2 0

-∞ -∞

-∞ -∞ 9 7 5 0

-∞

-∞ -∞ -∞ 10 3 4 0

Determinăm matricea M(2) = V * V, unde elementele )2(

ijm = 60

max≤≤k

(vik + vkj), (∀) i, j = 6,0 .

32


Obţinem:

M(2) x0 x1 x3 x2 x4 x5 x6 x0 x1 x3 x2 x4 x5 x6

0 -∞ -∞ -∞ -∞ -∞ -∞

3 0

-∞ -∞ -∞ -∞ -∞

4 -∞ 0

-∞ -∞ -∞ -∞

9 6 3 0

-∞ -∞ -∞

10 8 5 2 0

-∞ -∞

13 13 10 7 5 0

-∞

15 16 13 11 9 4 0

în care, de exemplu, elementul )2(

35m se obţine transpunând linia lui x3 din V

pe coloana lui x5; apoi efectuăm suma coloanelor obţinute şi reţinem cea

mai mare valoare. Astfel: )2(

35m = max⎨-∞ + (-∞), -∞ + (-∞), 9 + 0, 7 + 3, 5 + 5, 0 + 10, -∞ + 13⎬ = 10.

Apoi calculăm M(3) = M(2) * V, M(4) = M(3) * V şi observăm că M(3) =

M(4), deci M(3) = M, unde M este matricea valorilor maxime ale drumurilor

dintre oricare două vârfuri ale grafului, drumuri formate din oricâte arce.

Obţinem:

M x0 x1 x3 x2 x4 x5 x6 x0 x1 x3 x2 x4 x5 x6

0 -∞ -∞ -∞ -∞ -∞ -∞

3 0

-∞ -∞ -∞ -∞ -∞

4 -∞ 0

-∞ -∞ -∞ -∞

9 6 3 0

-∞ -∞ -∞

11 8 5 7 0

-∞ -∞

16 13 10 7 5 0

-∞

20 17 14 11 9 4 0

de unde citim v[dmax(x0, x6)] = 20 = 06m

Deci obiectivul poate fi înfăptuit cel mai devreme în 20 de

săptămâni.

33

Teoria grafurilor

b) Pentru determinarea vârfurilor prin care trece drumul critic,

procedăm ca în etapa a 3-a a celui de-al doilea algoritm din paragraful 4.

Astfel, transpunem linia lui x0 din V peste coloana lui x6 din M, efectuăm

sumele perechilor de elemente, reţinând valoarea maximă egală cu 06m = 20.

Avem: max⎨0 + 20; 3 + 17; 4 + 14; 5 + 11; -∞ +9; -∞+4; -∞+0⎬ = 20

Această sumă s-a găsit pe linia lui x1, deci primul arc al drumului

critic este (x0, x1). Apoi transpunem linia lui x1 din V peste coloana lui x6

din M şi cea mai mare valoare va corespunde liniei lui x2, următorul arc

fiind (x1, x2), ş.a.m.d.. Se găsesc două drumuri critice; evident au aceeaşi

valoare 20.

d1 = x0 → x1 → x2 → x4 → x5 → x6

d2 = x0 → x1 → x2 → x5 → x6

Evenimentele critice sunt: x0, x1, x2, x4, x5, x6.

Evenimentulxi

t di t t

i Marja (t t

i -t di )

x0 x1 x3 x2 x4 x5 x6

0 3 4 9 11 16 20

0 3 6 9 11 16 20

0 0 2 0 0 0 0

unde t di = v[dmax(x0, xi)], i = 6,1 , se citesc pe linia lui x0 în M, iar

t ti = v[dmax(x0, x6)] – v[dmax(xi, x6)] = 20 – v[dmax(xi, x6)], unde

v[dmax(xi, x6)], i = 6,0 , se citesc pe coloana lui x6 din M.

Din tabel rezultă că singurul eveniment ce mai poate admite o

întârziere este x3, cu cel mult 2 săptămâni.

34


c). Activităţile critice sunt reprezentate de arcele ce intră în

componenţa drumurilor critice. Pentru o analiză a posibilelor întârzieri,

organizăm calculele în următorul tabel:

Activităţi t di vij t t

j t ti t d

j Marja

(x0, x1) (x0, x2) (x0, x3) (x1, x2) (x1, x4) (x3, x2) (x3, x5) (x2, x4) (x2, x5) (x2, x6) (x4, x5) (x4, x6) (x5, x6)

0 0 0 3 3 4 4 9 9 9 11 11 16

3 5 4 6 7 3 9 2 7 10 5 3 4

3 9 6 9 11 9 16 11 16 20 16 20 20

0 4 2 3 4 6 7 9 9 10 11 17 16

3 5 4 9 10 7 13 11 16 19 16 14 20

0 4 2 0 1 2 3 0 0 1 0 6 0

Să explicăm, de exemplu, cum a fost completată linia activităţii

(x3, x5). t di = t d

3 = v[dmax(x0, x3)] = 4, citit în M linia x0 şi coloana x3;

vij = v35 = 9 din graf sau din V; t tj = t t

5 = v[dmax(x0, x6)] – v[dmax(x5, x6)] =

= 20 – 4 = 16, primul termen citit pe linia lui x0 şi coloana lui x6, iar al

doilea termen pe linia lui x5 şi coloana 6 din M; t ti = t t

j - vij, în cazul nostru

t t3 = t t

5 - v35 = 16 – 9 = 7 (adică elementele coloanei t ti se obţin scăzând din

coloana t tj coloana vij); t d

j = t di + vij, devine t d

5 = t d3 + v35 = 4 + 9 = 13

(adică elementele coloanei t dj se obţin adunând respectiv elementele

coloanelor t di şi vij). Marja este dată de t t

i - t di sau t t

j - t dj , în cazul nostru

t t3 - t d

3 = t t5 - t d

5 = 7 – 4 = 16 – 13 = 3.

35

Teoria grafurilor

Activităţile critice au marja zero, iar celelalte trebuie supravegheate

în funcţie de mărimea marjei, în ordinea crescătoare a acesteia.

6. Arbori

Dacă G este un graf neorientat şi [x, y] o muchie a sa, spunem că

vârfurile x şi y sunt adiacente în graful dat şi de asemenea, că vârfurile x şi

y sunt incidente cu muchia [x, y]. Gradul unui vârf x este numărul muchiilor

incidente cu vârful x. Un vârf cu gradul egal cu 1 se numeşte vârf terminal

al grafului G.

Definiţie: Un graf neorientat, finit, conex şi fără cicluri se numeşte

arbore.

Propoziţia 5. Dacă G este un arbore, atunci el are următoarele

proprietăţi:

1) între două vârfuri oarecare ale lui G există un lanţ şi numai unul;

2) dacă în G se suprimă o muchie, G nu mai este arbore;

3) dacă în G se introduce o nouă muchie, G nu mai este arbore;

4) orice arbore cu n vârfuri, n ≥ 2, conţine cel puţin 2 vârfuri

terminale;

5) orice arbore cu n vârfuri are n – 1 muchii.

Demonstraţie:

1) Într-adevăr, absenţa lanţului înseamnă că G nu e conex, iar

existenţa a două lanţuri implică formarea unui ciclu, situaţie

exclusă prin definiţie;

2) Presupunem prin absurd că graful G1 obţinut din G prin

suprimarea muchiei [x, y] este conex. Deci există un lanţ în G1 de

36


extremităţi x şi y, care împreună cu muchia suprimată [x, y]

formează un ciclu în G, fapt ce contrazice definiţia arborelui G.

Observaţia 1:

Un graf conex în care dacă suprimăm o muchie oarecare graful

obţinut devine neconex se cheamă graf conex minimal. Deci orice arbore

este un graf conex minimal. Reciproca acestei afirmaţii este valabilă. Într-

adevăr, presupunem prin absurd că graful conex minimal G nu este arbore şi

conţine un ciclu [x, z1, ..., zk, y, x]. Suprimând muchia [x, y], se obţine un

nou graf G1 care este conex, deoarece în orice lanţ dintre două vârfuri

oarecare u şi v ale lui G care conţine muchia [x, y] putem înlocui această

muchie prin lanţul [x, z1, ..., zk, y] care există şi în G1, obţinând un lanţ între

u şi v din G1. Deci G1 este conex, ceea ce contrazice faptul că G este graf

conex minimal. Rezultă că G este fără cicluri, deci G este arbore.

3) fie x şi y două vârfuri neadiacente în G. Din proprietatea 1)

rezultă că între ele există un lanţ de extremităţi x şi y. Prin

adăugarea muchiei [x, y] se formează un ciclu, deci G nu mai este

arbore.

Observaţia 2:

Un graf fără cicluri în care dacă adăugăm o muchie oarecare graful

va conţine un ciclu se numeşte graf fără cicluri maximal. Deci orice arbore

este un graf fără cicluri maximal.

Reciproca acestei afirmaţii este adevărată. Într-adevăr, fie G un graf

fără cicluri maximal. Să arătăm că G este conex. Presupunem prin absurd că

G nu este conex, deci există vârfurile x şi y între care nu există un lanţ. Prin

adăugarea muchiei [x, y] se formează graful G1 care nu poate conţine un

ciclu pentru că G nu conţine cicluri şi între x şi y nu există nici un lanţ.

37

Teoria grafurilor

Apariţia lui G1 fără cicluri contrazice ipoteza că G este un graf fără cicluri

maximal. Deci G este conex şi cum nu are cicluri este arbore.

4) Presupunem prin absurd că există un arbore G cu n ≥ 2 vârfuri

care are cel mult un vârf terminal şi fie [x, z1, ..., zp, y] un lanţ

elementar care conţine un număr maxim de muchii (de lungime

maximă). Cel puţin una dintre extremităţile lanţului are gradul

mai mare sau egal cu 2, deoarece am presupus că arborele are cel

mult un vârf terminal. Fie această extremitate x, deci x mai este

adiacent cu un vârf al arborelui G şi anume cu unul din vârfurile

lanţului de lungime maximă considerat. Dar atunci se produce un

ciclu şi se contrazice definiţia arborelui. Presupunerea făcută este

falsă şi proprietatea este demonstrată.

5) Demonstraţia se face prin inducţie după n. Pentru n = 2, există

arbore format din muchia ce uneşte cele 2 vârfuri. Presupunem

că orice arbore cu n vârfuri are n – 1 muchii. Fie G un arbore cu

n + 1 vârfuri care conform proprietăţii 4 are cel puţin un vârf

terminal x. Suprimând din G vârful x şi muchia incidentă cu x, se

obţine subgraful G1, cu n vârfuri. Deoarece G nu conţine cicluri,

rezultă că nici G1 nu conţine cicluri. Să arătăm că G1 este conex.

Fie y şi z două vârfuri oarecare, diferite între ele şi diferite şi de

x, ale lui G. Din 1) rezultă că între y şi z există un singur lanţ,

care nu trece prin x (vârf terminal), deci este un lanţ de

extremităţi y şi z şi în G1. Rezultă că G1 este conex, deci este

arbore. Dar G1 are n vârfuri şi deci aplicând ipoteza de inducţie

G1 are n – 1 muchii. Dar G conţine în plus faţă de G1 muchia

incidentă cu x, deci G are n muchii şi proprietatea 5 este

demonstrată.

38


Definiţie: Un graf parţial G’ al unui graf G cu proprietatea că G’ este

arbore se numeşte arbore parţial al lui G.

Teorema 3.

Condiţia necesară şi suficientă ca printre grafurile parţiale ale lui G

să existe arbori este ca G să fie conex.

Demonstraţie:

Condiţia este necesară deoarece dacă G nu este conex orice graf

parţial are aceeaşi proprietate, deci nu poate fi arbore.

Să arătăm acum că orice graf conex G conţine un arbore parţial G’.

Dacă G este un arbore conex minimal, conform observaţiei 1, el este arbore,

deci G’ = G. În caz contrar, există cel puţin o muchie [x, y] a lui G care prin

suprimare ne conduce la graful G’ conex. Apoi din G’ suprimăm o altă

muchie ş.a.m.d. până obţinem un graf conex minimal, care va fi arbore

parţial al lui G.

Observaţia 3: Deoarece, dacă graful are n vârfuri, el va avea cel mult

C 2n muchii, procedeul de suprimare descris are un număr finit de paşi. În

afară de unele cazuri particulare, există mai mulţi arbori într-un graf G

neorientat şi conex. De aceea, dacă definim pe mulţimea U a muchiilor,

valorile acestora, apare necesitatea de a determina arborele pentru care suma

valorilor ataşate muchiilor să fie minimă. Un astfel de arbore de valoare

minimă se găseşte cu algoritmul lui Kruskal.

Vom presupune în cele ce urmează, pentru a facilita prezentarea

algoritmului că:

i) graful G cu n vârfuri este complet, adică oricare ar fi vârfurile sale

xi şi xj, există muchia [xi, xj];

ii) valorile ataşate muchiilor sunt toate distincte, deci mulţimea

acestor valori este strict ordonată.

39

Teoria grafurilor

Algoritmul Kruskal

În condiţiile i) şi ii) de mai sus, va exista muchia u1 cu valoarea cea

mai mică, u2 cu valoarea imediat următoare, u3 cu valoarea care urmează,

dar care nu formează un ciclu cu precedentele ş.a.m.d., eliminând muchiile

care ar forma cicluri cu cele reţinute. Şi cum G are un număr finit de vârfuri

şi de muchii, va exista un rang k peste care nu se poate trece fără a se forma

un ciclu. Deci:

f(u1) < f(u2) < f(u3) < ... < f(uk) unde f(ui) este valoarea

muchiei ui, i = k,1 .

Obţinem astfel un graf fără cicluri, maximal, care conform

observaţiei 2 este un arbore, pentru care, din proprietatea 5, k = n – 1.

Teorema 3.

Arborele G = (X, U), unde U = ⎨u1, ..., uk⎬ determinat prin

algoritmul Kruskal are valoarea minimă.

Demonstraţie:

Presupunem prin absurd, că există un arbore G’ = (X, U’), cu

U’ = ⎨u’1, ..., u’k⎬, G’ ≠ G, de valoare minimă. Fie ui prima muchie

din G (în ordinea crescătoare a valorilor) care nu există în G’. Graful parţial

format cu muchiile lui G’, la care se adaugă ui nu este arbore pentru că, în

baza proprietăţii 3, apare un ciclu. Există deci o muchie u’j ∉ G şi deoarece

primele i – 1 muchii ale lui G sunt şi ale lui G’, vom avea f(u’j) > f(ui). Dacă

în G’ se înlocuieşte u’j cu ui se obţine tot un arbore, numărul de muchii

rămâne tot k = n – 1, cu valoarea totală mai mică decât G’, ceea ce

contrazice ipoteza că G’ e minim. De aici rezultă că G este arborele de

valoare minimă şi că el este unic, când toate muchiile sunt de valori

distincte.

40


Observaţia 4: Înlăturarea restricţiilor privitoare la completitudinea

grafului se realizează atribuind valoarea „+ ∞” muchiilor care lipsesc.

Acestea nu vor intra în componenţa arborelui căutat, numărul muchiilor

rămânând n – 1.

Observaţia 5: Dacă în graful conex G valorile muchiilor nu sunt

toate distincte şi presupunem că:

f(ui) = ... = f(ui+p)

putem efectua o modificare a valorilor funcţiei f, astfel:

f(ui) ← f(ui) + ε0

f(ui+1) ← f(ui+1) + ε1

∶ ∶

f(ui+p) ← f(ui+p) + εp

numerele εs, s = p,0 , fiind alese astfel încât să nu se afecteze ordinea

valorilor acestor muchii faţă de celelalte. Cu acestea, ordinea valorilor

muchiilor devine strictă, în final punându-se εs = 0, s = p,0 .

În general, dacă există mai multe muchii cu aceeaşi valoare, pentru

graful G conex, pot exista mai multe posibilităţi de alegere a unei muchii de

valoare minimă care nu formează cicluri cu muchiile deja alese, deci pot

exista mai mulţi arbori de valoare minimă.

Exemplu:

Să se determine arborele minimal (de valoare minimă) pentru

următorul graf.

41

Teoria grafurilor

x2

x5

x3

x1 x7

x4 x6

Rezolvare

Pentru a păstra o ordine scriem partea de deasupra diagonalei

principale din matricea valorilor muchiilor. Se obţine:

x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7

- - - - - - -

35- - - - - -

35 30 - - - - -

50 42 40 - - - -

- - 36 60 - - -

- - 50 - 55 - -

- - - - 65 60 -

Muchia [x2, x3] de lungime minimă o reţinem în arbore. Apoi există

două muchii [x1, x2] şi [x1, x3] de lungime 35. O alegem, de exemplu, pe

[x1, x2] iar [x1, x3] nu poate fi aleasă deoarece ar forma ciclu [x1, x2, x3, x1]

cu muchiile deja alese. Următoarea valoare în ordine crescătoare este 36 şi

corespunde muchiei [x3, x5] ce poate fi aleasă (nu formează cicluri), apoi

[x3, x4] de valoare 40. Muchia [x2, x4] de valoare 42 nu se alege (formează

ciclu). Următoarea valoare este 50 pentru [x3, x6], se reţine, în vreme ce

[x1, x4] nu se reţine (formează ciclu). Dintre muchiile de valoare 60 se reţine

doar [x6, x7]. S-au reţinut astfel 6 muchii, atâtea cât va avea arborele căutat.

3036

50

55

60

65

6040

4250

35

35

42


x2

x5

x3

x1 x7

x4 x6

Arborele căutat are valoarea 251 dată de suma valorilor muchiilor.

Observaţia 1: Dacă în locul muchiei [x1, x2] am fi ales [x1, x3]

ambele de valoare 35 am fi obţinut un alt arbore minimal.

Observaţia 2: Algoritmul Kruskal poate fi aplicat şi în determinarea

arborelui maximal (de valoare maximă) cu deosebirea că alegerea muchiilor

se face în ordinea descrescătoare a valorii lor, cu aceeaşi grijă ca orice

muchie aleasă să nu formeze cicluri cu cele alese anterior.

Observaţia 3: Cu ajutorul arborelui minimal putem determina un lanţ

hamiltonian de valoare cât mai mică, în graful dat, având grijă ca orice vârf

al lanţului să aibă gradul cel mult 2. În exemplul nostru numai vârful x3 nu

îndeplineşte această condiţie. Deci trebuie să facem ca şi el să aibă gradul 2.

Dacă renunţăm la [x3, x6] şi introducem [x5, x6], gradul lui x3 va fi 3 în loc

de 4. Mai renunţăm şi la [x3, x4] şi introducem [x1, x4] şi astfel s-a obţinut

lanţul hamiltonian x4 → x1 → x2 → x3 → x5 → x6 → x7 de valoare 266.

3036

5060

40

35

43

Teoria grafurilor

7. Probleme

1. Fie graful G = (X, T), X = ⎨x1, x2, x3, x4, x5⎬ şi T(x1) = ⎨x4⎬;

T(x2) = ⎨x1, x5⎬; T(x3) = ⎨x1, x2, x4, x5⎬; T(x4) = ∅; T(x5) = ⎨x1, x4⎬. Se

cere:

a) să se reprezinte geometric graful G;

b) să se scrie un drum de lungime 3 din G;

c) să se determine matricea drumurilor D;

d) să se cerceteze existenţa circuitelor în G;

e) să se cerceteze existenţa drumurilor hamiltoniene.

Rezolvare

a) Reprezentarea geometrică este:

x2

x1 x3

x5

x4

b) d = (x3, x2, x1, x4)

c) Scriem matricea A apoi determinăm, cu algoritmul obţinut,

matricea D.

A x1 x2 x3 x4 x5 D x1 x2 x3 x4 x5 p(xi) x1 x2 x3 x4 x5

0 1 1 0 1

0 0 1 0 0

0 0 0 0 0

1 0 1 0 1

0 1 1 0 0

x1 x2 x3 x4 x5

0 1 1 0 1

0 0 1 0 0

0 0 0 0 0

1 1 1 0 1

0 1 1 0 0

1 3 4 0 2

44


Pentru a obţine, de exemplu, linia lui x2 în D, am preluat elementele

egale cu 1 de pe linia lui x2 din A în D. Apoi pentru că avem 1 pe coloana

lui x1, adunăm boolean linia lui x1 din A la cea a lui x2 şi mai apare un 1 pe

coloana lui x4. Pentru că avem 1 pe coloana lui x5, adunăm boolean linia lui

x5 la cea a lui x2 şi nu mai obţinem alt element egal cu 1. Avem şi un 1 pe

coloana lui x4, adunăm linia lui x4 din A la cea a lui x2 şi nu mai obţinem

alte elemente de 1; completăm locurile libere cu zerouri. Repetăm

raţionamentul pentru fiecare linie şi obţinem matricea D.

d) Pe diagonala principală a matricei D toate elementele sunt egale

cu 0, deci graful nu are circuite.

e) Graful neavând circuite, aplicăm teorema lui Y.V. Chen,

determinând puterile de atingere ale vârfurilor. Adăugăm

matricei D coloana p(xi) cu valorile: p(x1) = 1, p(x2) = 3,

p(x3) = 4, p(x4) = 0, p(x5) = 2.

Deoarece n = 5, ∑=

=5

110)(

iixp , iar 10

245

2)1(

=⋅

=−nn , rezultă că

există drum hamiltonian pe care îl obţinem scriind vârfurile grafului în

ordinea descrescătoare a puterii lor de atingere, adică:

dH = (x3, x2, x5, x1, x4).

2. Fie graful G = (X, U), X = ⎨x1, x2, x3, x4, x5⎬ şi

U = ⎨(x1, x3), (x1, x4), (x2, x1), (x2, x5), (x3, x4), (x4, x2), (x4, x5),

(x3, x2)⎬.

Se cere:

a) să se reprezinte geometric graful G;

b) să se cerceteze dacă are circuite;

c) să se cerceteze dacă are drumuri hamiltoniene.

45

Teoria grafurilor

Rezolvare

a)

x2

x5

x1

x4

x3

b) Fără să mai determinăm matricea D se observă că există circuitul

d = (x2, x1, x4, x2). Deci graful are circuite.

c) Cercetăm existenţa drumurilor hamiltoniene cu algoritmul

Kaufmann deoarece graful are circuite.

D(1) D (1)

0 x2x1

0 0 0

0 0

x3x2 x4x2

0

x1x3 0 0 0 0

x1x4 0

x3x40 0

0 x2x5

0 x4x5

0

x1

x2 x2

x3

x4

x4

x5

x5

D(2) = D(1) L D (1) D(3) = D(2)L D (1) 0 x1x3x2

x1x4x2 0 x1x3x4 x1x4x5 0 x1x3x4x2 0 0 x1x3x2x5

x1x4x2x5 x1x3x4x5

0 0 x2x1x3 x2x1x4 0 0 0 0 x2x1x3x4 x2x1x4x2 x3x2x1 x3x4x2 0 0 x3x2x5

x3x4x5 x3x4x2x1 0 0 x3x2x1x4 x3x4x2x5

x4x2x1 0 0 0 x4x2x5 0 0 x4x2x1x3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

D(4) = D(3)L D (1)

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

x1x3x4x2x5 x2x1x3x4x5x3x2x1x4x5

0 0

46


Matricea D(4) conţine drumurile elementare formate din 4 arce, deci

ce trec prin 5 vârfuri, adică prin toate vârfurile grafului. Aceste drumuri sunt

şi hamiltoniene şi avem:

d )1(H = (x1, x3, x4, x2, x5)

d )2(H = (x2, x1, x3, x4, x5)

d )3(H = (x3, x2, x1, x4, x5).

3. Un sistem de comunicare a datelor între 5 obiective are ca model

graful de mai jos. Posibilităţile de comunicare între obiective sunt figurate

prin arce, iar costul unei comunicări este valoarea arcului. Se cere:

a) să se determine comunicările de cost minim la x5;

b) să se determine comunicările de cost minim între oricare două

obiective.

x2 x3

x1

x5 x4

Rezolvare

a) Trebuie să determinăm rutele de valoare minimă de la orice vârf

la vârful x5. Se aplică algoritmul Bellman – Kalaba.

5

1

4

2

2

1

4 3

6

31

47

Teoria grafurilor

V x1 x2 x3 x4 x5 x1 x2 x3 x4 x5

0 3 ∞ ∞ ∞

4 0 1 ∞ 3

2 ∞ 0 5 2

∞ ∞ ∞ 0 1

6 1 ∞ 4 0

)1(5im 6 1 ∞ 4 0

)2(5im 5 1 2 4 0

)3(5im 4 1 2 4 0

)4(5im 4 1 2 4 0

b) Aplicăm al doilea algoritm de la rute optime şi determinăm

M(2) = V * V. V x1 x2 x3 x4 x5 V x1 x2 x3 x4 x5 M(2) x1 x2 x3 x4 x5

x1 x2 x3 x4 x5

0 3 ∞ ∞ ∞

4 0 1 ∞ 3

2 ∞ 0 5 2

∞ ∞ ∞ 0 1

6 1 ∞ 4 0

*

x1 x2 x3 x4 x5

0 3 ∞ ∞ ∞

4 0 1 ∞ 3

2 ∞ 0 5 2

∞ ∞ ∞ 0 1

6 1 ∞ 4 0

=

x1 x2 x3 x4 x5

0 3 4 ∞ 6

3 0 1 6 3

2 3 0 5 2

7 2 ∞ 0 1

5 1 2 4 0

unde, de exemplu elementul m )2(43 se obţine transpunând linia lui x4 pe

coloana lui x3 din V şi efectuând sumele perechilor de elemente se reţine cea

mai mică valoare. Astfel: m )2(43 = min⎨∞+2; ∞+∞; 5+0; 0+5; 4+2⎬ = 5.

Prin aceeaşi operaţie calculăm M(4) = M(2) * M(2) şi obţinem:

M(4) x1 x2 x3 x4 x5 x1 x2 x3 x4 x5

0 3 4 9 6

3 0 1 6 3

2 3 0 5 2

5 2 3 0 1

4 1 2 4 0

Matricea M(4) conţine valorile minime ale rutelor dintre oricare vârf

cap de linie la orice vârf cap de coloană.

= M(5) = M

48


Astfel, cifra 9 de pe linia lui x4 şi coloana lui x1 din M(4) reprezintă

costul minim al comunicării de la x4 la x1. Pentru a determina şi ruta,

adunăm linia lui x4 (din V) cu respectiv elementele coloanei x1 din M(4). Cea

mai mică sumă este 5 + 4 = 9 şi corespunde liniei lui x3 din M(4), deci (x4,

x3) este primul arc al rutei căutate. Apoi transpunem linia lui x3 din V peste

coloana lui x1 din M(4), efectuăm sumele perechilor de elemente şi cea mai

mică sumă este 1 + 3 = 4 ce va corespunde liniei lui x2 din M(4). Arcul

(x3, x2) este următorul din rută. În sfârşit, transpunem linia lui x2 din V peste

coloana lui x1 din M(4), adunăm cele două coloane, suma minimă este 3 + 0

= 3 de pe linia lui x1 din M(4), deci următorul arc este (x2, x1) şi am ajuns la

destinaţie. Ruta căutată va fi:

d: x4 5→ x3

1→ x2

3→ x1 şi valoarea ei este 5 + 1 + 3 = 9.

4. Fie graful G finit, orientat, valuat. Se cere:

a) să se cerceteze dacă are circuite;

b) să se cerceteze dacă are drumuri hamiltoniene;

c) în caz că există, să se determine drumul de valoare maximă de la

x2 la x4.

x2

x5

x1 x3

x6

x4

Rezolvare

a) Se determină pe rând matricele A (a arcelor) şi D (a drumurilor).

2

2

43

86

79

5

49

Teoria grafurilor

A x1 x2 x3 x4 x5 x6 D x1 x2 x3 x4 x5 x6 p(xi) x1 x2 x3 x4 x5 x6

0 0 0 0 0 0

1 0 0 0 0 0

1 1 0 0 1 0

1 0 1 0 0 0

0 1 0 0 0 0

0 0 0 1 1 0

x1 x2 x3 x4 x5 x6

0 0 0 0 0 0

1 0 0 0 0 0

1 1 0 0 1 0

1 1 1 0 1 0

1 1 0 0 0 0

1 1 1 1 1 0

5 4 2 1 3 0

Pe diagonala principală în D toate elementele sunt egale cu zero,

deci nu există circuite.

b) Adăugăm lui D coloana puterilor de atingere p(xi) şi o

determinăm pentru fiecare vârf cap de linie:

∑=

=6

115)(

iixp şi cum n = 6; 15

256

2)1(

=⋅

=−nn este îndeplinită

condiţia de existenţă a drumului hamiltonian şi acesta este, scriind vârfurile

grafului în ordinea descrescătoare a puterilor de atingere:

dH = (x1, x2, x5, x3, x4, x6).

c)

V x1 x2 x3 x4 x5 x6 x1 x2 x3 x4 x5 x6

0 -∞ -∞ -∞ -∞ -∞

2 0 -∞ -∞ -∞ -∞

3 9 0 -∞ 7 -∞

2 -∞ 8 0 -∞ -∞

-∞ 5 -∞ -∞ 0 -∞

-∞ -∞ -∞ 6 4 0

)1(4im 2 -∞ 8 0 -∞ -∞

)2(4im 11 17 8 0 -∞ -∞

)3(4im 19 20 8 0 15 -∞

)4(4im 22 20 8 0 15 -∞

)5(4im 22 20 8 0 15 -∞

50


Deoarece vrem să ajungă ruta în x4, prima linie ce se adaugă lui V, )1(

4im va fi transpusa coloanei lui x4. Ultima linie, )5(

4im , va da valorile

maxime ale drumurilor de la vârfurile cap de coloană la x4. Astfel valoarea

maximă a drumurilor de la x2 la x4 este 20 (elementul )5(

24m ) şi punctele prin

care trece ruta optimă sunt:

x2, x5, x3, x4.

5. Fie graful G, finit, neorientat, valuat. Se cere:

a) arborele minimal şi valoarea acestuia;

b) un lanţ hamiltonian de valoare cât mai mică;

c) arborele maximal şi valoarea acestuia.

x2

x4

x1

x3 x5

Rezolvare

a) Alegem cele 4 muchii ale grafului (conform proprietăţii 5) în

ordinea crescătoare a valorii lor cu grijă să nu se formeze cicluri şi obţinem:

x2

x4

x1

x3 x5

6

6

8

8

7 9

10

6

6

8

7

51

Teoria grafurilor

arborele minimal de valoare suma valorilor muchiilor ce îl compun, adică

27.

b) Vârful x3 are gradul 3. Eliberăm o muchie, [x3, x5] pentru că are

valoarea cea mai mare şi introducem în locul ei [x4, x5]. Se obţine:

lH = (x1, x2, x3, x5, x4) de valoare 28.

c) Alegem muchiile în ordinea descrescătoare a valorii lor, cu grijă

să nu apară cicluri. Obţinem:

x2

x4

x1

x3 x5

arborele maximal, care este şi lanţ hamiltonian maximal şi are valoarea 35.

8

8

9

10

52

1. Spaţii liniare Fie X o mulţime nevidă, K un corp de numere (reale sau complexe)

şi două legi de compoziţie: o lege internă, „adunarea”, definită „+”:

X × X → X, cu x + y ∈ X (∀) x,y ∈ X şi o lege externă „înmulţirea cu

scalar”, definită „⋅”: K × X → X, α⋅x ∈ X, (∀) x ∈ X şi α ∈ K.

Definiţia 1: Mulţimea X formează un spaţiu liniar (vectorial) peste

corpul K, notat (X, K), dacă:

1. (X, +) este grup abelian.

2. a) α⋅(x + y) = α⋅x + α⋅y, (∀) α ∈ K, (∀) x, y ∈ X

b) (α + β)⋅x = α⋅x + β⋅x, (∀) α,β ∈ K, (∀) x ∈ X

c) α⋅(β⋅x) = (αβ)⋅x, (∀) α, β ∈ K, (∀) x ∈ X

d) 1 ⋅ x = x (∀) x ∈ X, 1 ∈ K.

Elementele lui X se numesc vectori, elementele lui K se numesc

scalari, elementul neutru din grupul (X, +) se notează cu 0 şi se numeşte

vector nul.

Exemple

1. (ℝn, ℝ), unde ℝn = ⎨x ⏐ x = (x1, ..., xn)T, xi ∈ ℝ, i = n,1 ⎬ cu

operaţiile: x + y = (x1+ y1, ..., xn + yn)T, α ⋅ x = (αx1, ..., αxn)T, (∀) x = (x1,

..., xn)T, y = (y1, ..., yn)T ∈ X, (∀) α ∈ K, 0 = (0,...,0)T.

COMPLEMENTE DE ALGEBRĂ LINIARĂ 2

53


Observaţie: ℝn este mulţimea matricelor – coloană cu n elemente

numere reale, iar operaţiile sunt: adunarea matricelor – coloane cu câte n

elemente şi înmulţirea lor cu un număr real.

2. (Mmn, ℝ), unde Mmn este mulţimea matricelor cu m linii şi n

coloane având elemente numere reale.

3. (ℝn[X], ℝ), unde ℝn[X] este mulţimea polinoamelor de o

nedeterminată X, de grad cel mult n şi cu coeficienţi reali.

Propoziţia 1: Într-un spaţiu liniar (X, K) sunt adevărate

proprietăţile:

a) 0 ⋅ x = 0 , (∀) x ∈ X şi 0 ∈ K;

b) (-1) ⋅ x = - x;

c) α ⋅ 0 = 0 , (∀) α ∈ K.

Demonstraţie:

a) 0 ⋅ x + x = 0 ⋅ x + 1 ⋅ x = (0 + 1)⋅x = 1 ⋅ x = x

Din 0 ⋅ x + x = x rezultă 0 ⋅ x = 0 ;

b) Din a) avem 0 ⋅ x = 0 ⇒ (1 + (-1))⋅x = 0 ⇒ 1 ⋅ x + (-1)⋅x = 0 ⇒

⇒ (-1)⋅x = - x;

c) α ⋅ 0 = α⋅( 0 + 0 ) = α ⋅ 0 + α ⋅ 0 ⇒ α ⋅ 0 = 0 .

2. Dependenţa şi independenţa liniară a vectorilor

Fie (X, K) un spaţiu liniar, ⎨v1, ..., vm⎬ ⊂ X, α1, ..., αm ∈ K.

Definiţia 2: Se numeşte combinaţie liniară a vectorilor v1, ..., vm cu

scalarii α1, ..., αm vectorul

54

Complemente de algebră liniară

v = α1v1 + ... + αmvm.

Dacă αi ∈ [0, 1], i = m,1 şi ∑=

=m

ii

11α , atunci vectorul v este o

combinaţie liniară convexă de v1, ..., vm.

Exemplu:

În (ℝ2, ℝ) se dau vectorii:

v1 = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛06

, v2 = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛− 33

, v3 = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛− 24

.

a) Să se determine vectorul v = 2v1 – 3v2 – v3;

b) Este v3 o combinaţie liniară de v1 şi v2?

Răspuns

a) v = 2 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛06

- 3 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛− 33

- ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛− 24

= ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−11

1;

b) Presupunem că există α1 şi α2 astfel încât v3 = α1v1 + α2v2.

Înlocuind v1, v2, v3, avem:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛− 24

= α1 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛06

+ α2 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛− 33

de unde rezultă sistemul:

6α1 + 3α2 = 4

- 3α2 = -2, cu soluţia α2 = 32 şi α1 =

31 , deci v3 =

31 v1 +

32 v2 şi

răspunsul e afirmativ.

Observaţie: Deoarece α1, α2 ∈ [0, 1] şi α1 + α2 = 1, v3 este o

combinaţie liniară convexă de v1 şi v2.

55


Definiţia 3:

a) Sistemul finit de vectori ⎨v1, ..., vm⎬ ⊂ X se numeşte liniar

independent dacă relaţia ∑=

=m

iiiv

10α implică αi = 0, i = m,1 ;

b) ⎨v1, ..., vm⎬ ⊂ X este liniar dependent dacă există scalarii

α1 ,..., αm, nu toţi nuli, astfel încât ∑=

=m

iiiv

10α .

Definiţia 4:

O familie S = ⎨vi ⏐ i ∈ I⎬ de vectori din X este liniar independentă

dacă orice sistem finit de vectori din S este liniar independent. În caz

contrar, adică dacă S conţine cel puţin un sistem finit de vectori liniar

dependent, spunem că S este liniar dependent (I este mulţimea indicilor

familiei S).

Exemple:

a) În (ℝn, ℝ), E = ⎨e1, ..., en⎬ ⊂ ℝn, cu e1 = (1, 0,...,0)T, ...

en = (0,..., 0, 1)T este un sistem liniar independent, deoarece din

relaţia: α1e1 + ...+ αnen = 0 rezultă α1 = ... = αn = 0.

b) În (ℝ2, ℝ), sistemul de vectori ⎨v1, v2, v3⎬ cu

v1 = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−11

; v2 = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛32

; v3 = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛73

este liniar dependent, deoarece

v1 – 2v2 + v3 = 0 , deci există cel puţin un scalar αi ≠ 0.

Propoziţia 2: Fie (X, K) un spaţiu liniar.

a) Sistemul ⎨v1, ..., vm⎬ ⊂ X este liniar dependent dacă şi numai dacă

cel puţin un vector este combinaţie liniară a celorlalţi.

b) Dacă ⎨v1, ..., vm⎬ ⊂ X este liniar independent şi ⎨v1, ..., vm, vm+1⎬

este liniar dependent, atunci vm+1 este combinaţie liniară de v1, ..., vm.

56


Demonstraţie:

a) Dacă ⎨v1, ..., vm⎬ e liniar dependent, din definiţie rezultă că există

cel puţin un scalar αj ≠ 0, j ∈ ⎨1, ..., m⎬ şi alţi scalari αl, l ≠ j, 1 ≤ l ≤ m, cu

proprietatea ∑=

=m

iiiv

10α .

Presupunem α1 ≠ 0 şi din relaţia precedentă avem:

v1 = -1

2

αα v2 - ... -

1ααm vm sau, notând βl = -

1αα l , l = m,2 , rezultă:

v1 = β2v2 + ...+ βmvm.

Reciproc, dacă v1 se scrie ca mai sus, avem:

1 ⋅ v1 - β2v2 - ... - βmvm = 0 unde β1 = 1 ≠ 0, deci sistemul ⎨v1,...,vm⎬

este liniar dependent.

b) Dacă sistemul ⎨v1,...,vm, vm+1⎬ este liniar dependent rezultă că

există scalarii α1, ..., αm+1, cu cel puţin un αj ≠ 0, 1 ≤ j ≤ m + 1, astfel încât

∑+

=

=α1m

1iii 0v .

Dacă αm+1 = 0, relaţia de mai sus devine α1v1 + ... + αmvm = 0 şi din

independenţa vectorilor v1, ..., vm ar rezulta α1 = ... = αm = 0, ceea ce este o

contradicţie. Deci αm+1 ≠ 0, de unde vm+1 = - i

m

i m

i v∑= +1 1α

α , adică vm+1 este o

combinaţie liniară de ceilalţi vectori.

Aplicaţie


v1 = ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

321

; v2 = ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−11

0; v3 =

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

501

; v4 = ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

502

.

57


Să se stabilească natura sistemelor de vectori:

a) S1 = ⎨v1, v2, v3⎬; b) S2 = ⎨v1, v2, v4⎬.

Rezolvare

a) Presupunem α1v1 + α2v2 + α3v3 = 0 ; înlocuim vectorii şi obţinem

sistemul:

α1 + α3 = 0

2α1 - α2 = 0 , având determinantul

3α1 + α2 + 5α3 = 0

∆ = 0513012101=− .

Alegem determinantul principal ∆p = 12

01−

≠ 0 şi deci sistemul

ecuaţiilor şi necunoscutelor principale va fi:

α1 = - α3

2α1 - α2 = 0

de unde α1 = - α3, α2 = - 2α3, (∀) α3 ∈ ℝ.

Înlocuind în relaţia presupusă α1, α2 în funcţie de α3 avem:

-α3v1 - 2α3v2 + α3v3 = 0 ⇒ -v1 – 2v2 + v3 = 0 sau v3 = v1 + 2v2, ce

reprezintă legătura dintre vectorii dependenţi v1, v2, v3.

b) Din relaţia α1v1 + α2v2 + α4v4 = 0 , se obţine sistemul:

α1 + 2α4 = 0

2α1 - α2 = 0

3α1 + α2 + 5α4 = 0

58


cu ∆ = 5, deci ≠ 0. Sistemul are soluţie unică, soluţia banală, deci

α1 = α2 = α4 = 0 şi ⎨v1, v2, v4⎬ este un sistem de vectori liniar independent.

3. Baza unui spaţiu liniar

Fie (X, K) un spaţiu liniar.

Definiţia 5: Un sistem de vectori S = ⎨vi⎬i∈I se numeşte sistem de

generatori pentru X dacă orice vector din X este o combinaţie liniară (finită)

de vectori din S.

Exemplu

În (ℝn, ℝ), E = ⎨e1, ..., en⎬ ⊂ ℝn, unde e1 = (1, 0, ..., 0)T, ...,

en = (0 ,..., 0, 1)T, este sistem de generatori pentru ℝn, deoarece (∀) x ∈ ℝn,

cu x = (x1, ..., xn)T avem x = x1e1 + ... + xnen.

Definiţia 6: Un sistem de vectori B ⊂ X formează o bază a spaţiului

liniar (X, K) dacă:

1. B este un sistem liniar independent;

2. B este un sistem de generatori pentru X.

Exemplu

În (ℝn, ℝ), mulţimea E = ⎨e1, ..., en⎬ formează o bază, numită baza

canonică, deoarece am văzut mai înainte că E satisface condiţiile din

definiţia bazei.

Definiţia 7: Spaţiul liniar (X, K) se numeşte finit dimensional dacă

are o bază finită. Numărul de vectori ai bazei se numeşte dimensiunea

spaţiului şi se notează dimX.

59


Exemplu

(ℝn, ℝ) are dimensiunea n, pentru că are baza E = ⎨e1, ..., en⎬; se

scrie dim ℝn = n şi se spune că este spaţiul real n – dimensional.

Teorema 1 (teorema bazei): Orice vector dintr-un spaţiu (X, K) finit

- dimensional se poate exprima în mod unic ca o combinaţie liniară de

vectorii unei baze oarecare a spaţiului.

Demonstraţie:

Fie B = ⎨vi⎪i = m,1 ⎬ o bază a spaţiului liniar (X, K) m-dimensional

şi v ∈ X.

Existenţa

B e bază, deci este şi sistem de generatori; atunci (∀) v ∈ X,

(∃) α1, ..., αm ∈ K astfel încât:

v = α1v1 + ... + αmvm (1)

Unicitatea

Presupunem că scrierea nu este unică:

v = β1v1 + ...+ βmvm şi (∃) αj ≠ βj, 1 ≤ j ≤ m.

Scăzând ultimele două relaţii, avem:

0 = (α1 - β1)v1 + ...+ (αm - βm)vm.

Cum sistemul ⎨v1, ..., vm⎬ e liniar independent (B – bază) rezultă că

αi - βi = 0, (∀) i = m,1 , deci αj = βj, ceea ce contrazice ipoteza. Deci

scrierea este unică.

Definiţia 8: Scalarii α1, ..., αm din relaţia (1) se numesc coordonatele

vectorului v în baza B şi scriem:

vB = (α1, ..., αm)T.

Observaţie: Când B este baza canonică E, nu se mai specifică baza.

60


Propoziţia 3: Orice spaţiu liniar finit – generat are o bază, aleasă

dintre vectorii sistemului de generatori.

Propoziţia 4: Oricare două baze ale unui spaţiu liniar finit

dimensional au acelaşi număr de vectori.

Propoziţia 5: Oricare două spaţii liniare (X, K) şi (Y, K), cu

dimX = dimY sunt izomorfe, adică există o funcţie f: X → Y cu

proprietăţile:

a) f este bijecţie;

b) f(x + y) = f(x) + f(y); (∀) x, y ∈ X;

c) f(αx) = αf(x), (∀) α ∈ K, (∀) x ∈ X.

Consecinţă. Orice spaţiu liniar n - dimensional peste corpul ℝ este

izomorf cu spaţiul (ℝn, ℝ).

De aceea, în continuare se va analiza în detaliu spaţiul (ℝn, ℝ).

4. Spaţiul liniar (ℝn, ℝ)

Fie în spaţiul liniar (ℝn, ℝ) sistemul de vectori ⎨v1, ..., vm⎬ cu

vj = (a1j, a2j, ...., anj)T, j = m,1 , şi A = (aij), i = n,1 , j = m,1 , matricea ale

cărei coloane sunt vectorii daţi.

Teorema 2:

a) Sistemul de vectori ⎨v1, ..., vm⎬ este liniar independent dacă şi

numai dacă rang A = m;

b) Sistemul de vectori ⎨v1, ..., vm⎬ este liniar dependent dacă şi

numai dacă rang A < m.

61


Demonstraţie:

Fie relaţia:

α1v1 + ...+ αmvm = 0 (2)

în care înlocuim vectorii cu matricele – coloană respective. Avem:

α1

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛α++

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

0

0

a

a

a

a

nm

m1

m

1n

11

MMKM , relaţie echivalentă cu sistemul

omogen de ecuaţii liniare:

a11α1 + .... + a1mαm = 0

∶ ∶ (3)

an1α1 + ... + anmαm = 0

a cărui matrice este A = (aij), i = n,1 , j = m,1 .

i) Sistemul (3) admite numai soluţia banală α1 = ... = αm = 0 dacă şi

numai dacă rangA = m, caz în care relaţia (2) implică

α1 = ... = αm = 0, deci ⎨v1, ..., vm⎬ - liniar independent.

ii) Sistemul (3) admite şi soluţii diferite de cea banală, deci va exista

cel puţin un scalar αi ≠ 0, i ∈ ⎨1, ..., m⎬, dacă şi numai dacă

rangA < m. Atunci din relaţia (2) rezultă ⎨v1, ..., vm⎬ - liniar

dependent.

Aplicaţie


v1 = ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

201

; v2 = ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−41

0; v3 =

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

0aa2

, a ∈ℝ.

Să se determine, în funcţie de a, natura vectorilor daţi.

62


Rezolvare

A = ⇒⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−042a10a01 2

⎪A⎪ = 2a(a - 2) rezultă:

- dacă a ∈ ℝ \ ⎨0, 2⎬, ⎪A⎪ ≠ 0 ⇒ rangA = 3 şi deci sistemul de

vectori este liniar independent;

- dacă a ∈ ⎨0, 2⎬, rangA < 3, sistemul de vectori este liniar

dependent.

Consecinţă: În (ℝn, ℝ), orice sistem de m vectori, cu m > n este

liniar dependent. Evident, deoarece rangA ≤ n < m.

Propoziţia 6: În (ℝn, ℝ), orice sistem de n vectori liniar independent

formează o bază.

Demonstraţie: Fie sistemul ⎨v1, ..., vn⎬ ⊂ ℝn, liniar independent. Să

arătăm că este şi un sistem de generatori. Fie v ∈ ℝn; atunci ⎨v1, ..., vn, v⎬

este liniar dependent conform consecinţei de mai sus, iar din propoziţia 2b)

rezultă că v se scrie ca o combinaţie liniară de vectorii daţi, deci aceştia din

urmă formează un sistem de generatori, deci bază.

Consecinţă: Verificarea condiţiei ca n vectori să formeze o bază în

(ℝn, ℝ) se reduce doar la verificarea independenţei acestora.

Se pot pune următoarele probleme: cunoscându-se un vector din ℝn

dat în baza canonică, cum se determină coordonatele lui într-o altă bază B a

lui ℝn; cum se schimbă coordonatele acelui vector la schimbarea bazei B cu

o altă bază B1. Răspunsul la aceste probleme îl vom avea în următoarele

două propoziţii.

63


Propoziţia 7:

Fie B = ⎨v1, ..., vn⎬ bază în ℝn, cu vj = (a1j, ..., anj)T, j = n,1 , A = (aij),

i, j = n,1 şi un vector oarecare v ∈ ℝn. Atunci

vB = A-1 ⋅ v

Demonstraţie:

Fie v = (b1, ..., bn)T, bi ∈ℝ, i = n,1 . Din teorema bazei există scalarii

α1, ..., αn astfel încât vB = (α1, ..., αn)T, sau:

v = α1v1+ ... + αnvn, (4)

scalari ce reprezintă coordonatele lui v în baza B.

Înlocuind vectorii v, v1, ... ,vn în (4), obţinem sistemul de ecuaţii

liniare:

a11α1 + .... + a1nαn = b1

∶ ∶ (5)

an1α1 + ... + annαn = bn

care se mai scrie matriceal astfel:

AvB = v (6)

Cum ⎨ v1, ... ,vn⎬ e bază, deci liniar independent, rangA = n →

→ ⎪A⎪ ≠ 0 → (∃) A-1.

În relaţia (6) înmulţim la stânga cu A-1 şi avem:

vB = A-1 ⋅ v (7)

Observaţie: Sistemul (5) este deci sistem de tip Cramer, are soluţie

unică, pe care o putem găsi cu regulile lui Cramer sau cu alte metode

elementare (a reducerii, substituţiei).

Propoziţia 8:

Fie vB = (α1, ..., αn)T, vectorul v în baza B = ⎨v1, ..., vn⎬,

64


vj = (a j1 , ..., anj)T, j = n,1 şi v1B = (α '

1 , ..., α 'n )T vectorul v în noua bază

B1 = ⎨v '1 , ..., v '

n ⎬ cu v 'j = (a '

j1 , ... , a 'nj )

T, j = n,1 , iar A1 = (a 'ij ), i,j = n,1 .

Atunci: v1B = A 1

1− ⋅ A ⋅ vB (8)

Demonstraţie:

Din propoziţia 7 putem scrie:

v = AvB

v = A1v1B

deci: A ⋅ vB = A1 ⋅ v 1B de unde: v1B = A 1

1− ⋅ A ⋅ vB sau vB = A-1 ⋅ A1 ⋅ v 1B .

Aplicaţie

În (ℝ2, ℝ) se dau vectorii: v1 = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛21

; v2 = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛13

; v = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛24

şi v '1 = ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛41

;

v '2 = ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛11

. Se cere:

a) să se arate că vectorii ⎨v1, v2⎬ şi ⎨v '1 , v '

2 ⎬ formează respectiv

bazele B şi B1;

b) să se determine vB;

c) folosind rezultatul din 8b) să se determine v1B .

Rezolvare

a) Formăm matricele A şi A1:

A = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛1231

⇒ ⎪A⎪ = -5 ⇒ rangA = 2, adică sistemul ⎨v1, v2⎬ este

liniar independent şi conform propoziţiei 6, formează o bază B. Raţionăm

analog pentru A1 = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛1411

cu rang A = 2, ⎨v '1 , v '

2 ⎬ = B1.

65


b) Din relaţia (7), vB = A-1v, unde:

A-1 = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−5/15/2

5/35/1 şi deci:

vB = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−5/15/2

5/35/1⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛24

= ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛5/65/2

.

c) Deoarece A 11− = ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−3/13/4

3/13/1, din relaţia (8) avem:

v1B = A 1

1− ⋅ A ⋅ vB = ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−3/13/4

3/13/1⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛1231

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛5/65/2

= ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−3/143/2

.

Ca verificare, avem: -32 v '

1 + 3

14 v '2 = ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

24

3/143/14

3/83/2

= v.

Lema substituţiei:

Fie (ℝn, ℝ), B = ⎨a1, ..., an⎬ o bază şi v = ∑=

αn

1jjja ∈ ℝn.

Dacă B1 = ⎨a1, ..., ai-1, v, ai+1, ..., an⎬, atunci:

a) B1 este bază în (ℝn, ℝ) ⇔ αi ≠ 0;

b) Dacă αi ≠ 0 şi x ∈ ℝn cu xB = (λ1, ..., λn)T, atunci

x1B = (λ '

1 , ..., λ 'n )T unde λ

i

i'i α

λ= , λ

i

ijji'j α

λα−λα= , pentru j ≠ i,

1 ≤ j ≤ n.

Demonstraţie:

a) Dacă B1 cu n vectori este bază, atunci este un sistem de vectori

liniar independent, deci din relaţia:

β1a1 + ... + βi-1ai-1 + βiv + βi+1ai+1 + ... + βnan = 0 (9)

rezultă β1 = ... = βn = 0.

66


Dar (9) se mai scrie:

(10) 0aa)(

0aa0va

iiij

n

ij1j

jij

n

ij1j

n

1jjjijj

n

ij1j

ijj

=βα+αβ+β

⇔=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛αβ+β⇔=β+β

∑

∑ ∑∑

≠=

≠= =

≠=

Cum B e bază, deci sistem liniar independent, rezultă:

β1 + α1βi = 0 ∶ βi-1+ αi-1βi = 0 αiβi = 0 βi+1+ αi+1βi = 0 ∶ βn + αnβi = 0

sistem în necunoscutele β1, ..., βn ce va avea numai soluţia nulă dacă

determinantul său:

D =

100

000

010001

n

i

2

1

LL

MLMLMM

LL

MLMLMM

LL

LL

α

α

αα

= αi ≠ 0.

b) Fie x = ∑=

λn

1jjja , v = ∑

=

αn

1jjja şi presupunem αi ≠ 0. Atunci:

αiai = v - α1a1 - ... - αi-1ai-1 - αi+1ai+1 - ... - αnan

ai = ni

n1i

i

1i1i

i

1i1

i

1

i

a...aa...av1αα

−−αα

−αα

−−αα

−α +

+−

− (11)

67


Cum x = ∑≠=

λ+λn

ij1j

iijj aa , înlocuind ai din (11), avem:

,a...av

a...aav1ax

ni

inn1i

i

i1i1i

i

i

1ii

i1i1i1

i

i11

n

ij1j

j

n

ij1j i

j

iijj

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛αλα

−λ++⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛αλα

−λ+αλ

+

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛αλα

−λ++⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛αλα

−λ=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

α

α−

αλ+λ=

++

+

−−

−

≠=

≠=

∑ ∑

reprezentând scrierea lui x în baza B1. În enunţul lemei substituţiei avem

x1B = (λ '

1 , ..., λ 'n ) şi din unicitatea coordonatelor unui vector într-o bază

rezultă: i

ijji

i

ijj

'j

i

i'i ,

α

λα−λα=

α

λα−λ=λ

αλ

=λ , 1 ≤ j ≤ n, j ≠ i şi

demonstraţia se termină. Observaţii:

1) αi ≠ 0 din enunţul lemei se numeşte pivot, iar regula de calcul

pentru λ 'j , j ∈ n,1 , j ≠ i se numeşte regula dreptunghiului sau

regula pivotului. 2) Lemei substituţiei i se asociază schema:

B a1 a2... ai... an v x a1 1 0 0 0 α1 λ1 a2 0 1 0 0 α2 λ2

∶ ∶ ∶ ∶ ∶ ∶ ∶ ai 0 0 1 0 αi λi

∶ ∶ ∶ ∶ ∶ ∶ ∶ an 0 0 0 1 αn λn

αi ≠ 0 →

B1 a1 a2... ...ai... an v x a1 1 0

i

1

αα

− 0 0 i

i11i11 α

λα−λα=λ

a2 0 1 i

2

αα

−0 0

i

i22i12 α

λα−λα=λ

∶ ∶ ∶ ∶ ∶ ∶ ∶ v 0 0

i

1α

0 1 i

i1i α

λ=λ

∶ ∶ ∶ ∶ ∶ ∶ ∶

αi ≠ 0 →

an 0 0 i

n

αα

− 1 0

i

inni1n α

λα−λα=λ

68


3) Din schema de mai sus se observă că transformarea coeficienţilor se face astfel:

- linia pivotului se împarte la pivot; - coloana pivotului se completează cu 0; astfel această coloană

devine un vector unitar; - celelalte coloane ale vectorilor lui B1 rămân neschimbate; - elementele celorlalte coloane se calculează cu regula

dreptunghiului.

5. Metoda eliminării Gauss - Jordan

Metoda eliminării Gauss – Jordan sau metoda pivotului este aplicabilă calculului iterativ al inversei unei matrici şi rezolvării unui sistem de ecuaţii liniare, cu n necunoscute.

Prezentarea metodei o vom face pentru rezolvarea unui sistem liniar, compatibil determinat, de forma:

a11x1 + ... + a1nxn = b1

∶ (12)

an1x1 + ... + annxn = bn

Notând cu A = (aij), i, j = n,1 , matricea coeficienţilor, b =(b1, ..., bn)T,

x = (x1,..., xn)T, sistemul (12) devine: Ax = b (13)

Presupunem ⎪A⎪ ≠ 0. Fiecare coloană „j” din A, j = n,1 , este un

vector aj ∈ ℝn cu aj = (a1j, ..., anj)T. Atunci A = (a1, ..., an) şi din (13) avem:

(a1, ..., an)⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

n

1

x

xM = b ⇔ x1a1 +...+ xnan = b (14)

69


Din condiţia ⎪A⎪ ≠ 0 rezultă rangA = n, vectorii a1, ..., an sunt

independenţi deci formează o bază în (ℝn, ℝ), iar din relaţia (14) observăm

că vectorul soluţie x are drept componente coordonatele vectorului b în baza

⎨ a1, ..., an⎬.

Ne propunem, folosind lema substituţiei, să determinăm

coordonatele lui b în baza ⎨ a1, ..., an⎬, pornind de la faptul ştiut că vectorii

b, a1, ..., an sunt daţi în baza canonică.

Pasul 1: Asociem sistemului schema caracteristică lemei substituţiei

(în care nu mai figurăm coloanele vectorilor unitari ei, i = n,1 ).

Baza a1 a2 ... an b

e1 a11 a12 ... a1n b1

e2 a21 a22 ... a2n b2

∶ ∶ ∶ ∶ ∶ ∶

en an1 an2 ... ann bn

Dacă a11 ≠ 0, se alege ca pivot, în caz contrar permutăm unele linii

ale sistemului cu scopul ca elementul de pe linia şi coloana întâi să fie diferit

de zero.

Pasul 2: Aplicăm operaţiile din observaţia 3 de mai sus şi obţinem: Baza a1 a2 ... an b

a1 1 a12/a11 ... a1n/a11

11

1'1 a

bb =

e2 0 a’22 ... a’2n

11

121211'2 a

babab −=

∶ ∶ ∶ ∶ ∶ ∶

en 0 a’n2 ... a’nn

11

11nn11'n a

babab −=

70


Dacă a’22 ≠ 0, îl alegem drept pivot, procedăm analog ca în pasul

precedent, ş.a.m.d., până în final când ajungem la:

Baza a1 a2 ... an b

a1 1 0 ... 0 x1

a2 0 1 ... 0 x2

∶ ∶ ∶ ∶ ∶ ∶

an 0 0 ... 1 xn

Pe coloana lui b vom citi soluţia sistemului.

Aplicaţie

Folosind metoda eliminării Gauss – Jordan, să se rezolve sistemul:

x1 + x2 + x3 = 1

4x1 + 3x2 + 2x3 = -2

2x1 + x2 + x3 = -2

Rezolvare

Matricea sistemului este:

A = ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

112234111

, ⎪A⎪ = -1 ≠ 0.

Sistemul este compatibil determinat şi se poate rezolva cu metoda

eliminării a lui Gauss – Jordan.

71


Pasul B a1 a2 a3 b 1

e1 e2 e3

1 4 2

1 3 1

1 2 1

1 -2 -2

2

a1 e2 e3

1 0 0

1 -1 -1

1 -2 -1

1 -6 -4

3

a1 a2 e3

1 0 0

0 1 0

-1 2 1

-5 6 2

4

a1 a2 a3

1 0 0

0 1 0

0 0 1

-3 2 2

Soluţia sistemului este x = (-3, 2,2)T, adică x1 = -3, x2 = 2, x3 = 2.

6. Funcţionale liniare

Definiţia 9: Dacă (X, K) este un spaţiu liniar, aplicaţia f: X → K se

numeşte funcţională liniară dacă are proprietăţile:

1) f(x + y) = f(x) + f(y); (∀) x, y ∈ X, adică f e aditivă;

2) f(αx) = αf(x), (∀) α ∈ K, (∀) x ∈ X, adică f e omogenă.

Observaţie: Dacă f e funcţională liniară are loc relaţia:

f(αx + βy) = αf(x) + βf(y), (∀) α,β ∈ K, (∀) x, y ∈ X.

Generalizare: Dacă f e funcţională liniară, atunci:

f(α1x1 + ... + αnxn) = α1f(x1) + ... + αnf(xn) sau

∑∑==

α=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛α

n

1iii

n

1iii )x(fxf ; (∀) αi ∈ K, (∀) xi ∈ X, i = n,1 .

Presupunem că dimX = n şi fie G = ⎨g1, ..., gn⎬ o bază a lui X. Dacă

x ∈ X este un vector arbitrar ales, atunci din teorema bazei avem:

72


x = ∑=

n

1iiigx , unde xi, i = n,1 , sunt coordonatele lui x în baza G.

Aplicând funcţionala liniară f, rezultă:

f(x) = f(∑=

n

1iiigx ) = ∑

=

n

1iii )g(fx = A ⋅ xG, unde A = (a1, ..., an), cu

ai = f(gi), iar xG = (x1, ..., xn)T.

A se numeşte matricea asociată funcţionalei liniare f în baza G.

Aplicaţie

Fie f: ℝ3 → ℝ, f(x) = 2x1 – x2 – 3x3, (∀) x = (x1, x2, x3)T ∈ ℝ3. Se

cere:

a) să se arate că f este funcţională liniară;

b) să se determine matricea A a funcţionalei în baza canonică,

E = ⎨e1, e2, e3⎬, a lui (ℝ3, ℝ).

Rezolvare

a) Fie x = (x1, x2, x3)T, y = (y1, y2, y3)T vectori arbitrari din ℝ3.

Atunci: x + y = (x1 + y1, x2 + y2, x3 + y3)T şi

f(x + y) = 2(x1 + y1) – (x2 + y2) – 3(x3 + y3) =

= (2x1 – x2 – 3x3) + (2y1 – y2 – 3y3) = f(x) + f(y), deci f e aditivă.

Pentru αx = (αx1 , αx2, αx3)T rezultă:

f(αx) = 2αx1 - αx2 -3αx3 = α(2x1 – x2 – 3x3) = αf(x), (∀) α∈ℝ, deci

f e omogenă, adică f e funcţională liniară.

b) A = (a1, a2, a3), cu a1 = f(e1) = 2, a2 = f(e2) = -1, a3 = f(e3) = -3,

deci A = (2, -1, -3).

73


7. Mulţimi convexe

În cele ce urmează, notaţia X va desemna un punct al unui spaţiu

vectorial şi nu spaţiul vectorial însuşi.

Definiţia 10: Numim segment determinat de X1, X2 ∈ ℝn mulţimea

notată [X1, X2] = ⎨X ⎪ X = λX1 + (1 - λ)X2, λ ∈ [0,1]⎬ adică mulţimea

vectorilor (punctelor) din ℝn care sunt combinaţii liniare convexe de X1 şi

X2 (numite capetele segmentului).

Definiţia 11: Mulţimea C ⊂ ℝn se numeşte mulţime convexă dacă

(∀) X1, X2 ∈ C, ⎨X ⎪ X = λX1 + (1 - λ)X2, λ ∈ [0,1]⎬ ⊂ C, adică pentru

oricare două puncte X1 şi X2 ale sale, ea conţine şi segmentul [X1, X2].

Observaţie: Dacă C este convexă şi X1, ..., Xm ∈ C, atunci (∀) λi ≥

0, i = m,1 , cu ∑=

=λm

1ii 1 , rezultă: ∑

=

λm

1iiiX ∈ C.

Definiţia 12: Un punct X ∈ C se numeşte vârf al mulţimii convexe C

dacă nu există X1 şi X2 ∈ C, X1 ≠ X2, astfel încât

X = λX1 + (1 - λ)X2, λ ∈ (0, 1).

Definiţia 13: Mulţimea punctelor X = (x1, ..., xn)T ∈ ℝn ce satisfac o

relaţie de forma:

a1x1 + ... + anxn = b, aj ∈ ℝ, j = n,1 , b ∈ ℝ, se numeşte hiperplan.

Definiţia 14: Un hiperplan determină în ℝn două semispaţii:

S1 = ⎨X ⎪ X = (x1, ..., xn)T, ∑=

≤n

1jjj bxa ⎬

S2 = ⎨X ⎪ X = (x1, ..., xn)T, ∑=

≥n

1ijj bxa ⎬.

74


Definiţia 15: Intersecţia unui număr finit de semispaţii date de

relaţiile: ∑=

≤n

1jijij bxa , i = m,1 , adică mulţimea soluţiilor unui sistem de

inegalităţi liniare, T = ⎨X ∈ ℝn ⎪ AX ≤ b, A = (aij), i = m,1 , j = n,1 ; b ∈ℝm⎬

se numeşte tronson.

Propoziţia 9: Tronsonul T este o mulţime convexă.

Demonstraţie:

Fie X1, X2 ∈T, deci AX1 ≤ b, AX2 ≤ b. Să arătăm că (∀) λ ∈[0, 1],

X = λX1 + (1 - λ)X2 ∈ T. Într-adevăr:

AX = A[λX1 + (1 - λ)X2] = λAX1 + (1 - λ)AX2 ≤ λb + (1 - λ)b = b.

Deci T e convex, adică mulţimea soluţiilor unui sistem de inegalităţi

liniare este o mulţime convexă.

Definiţia 16: Poliedrul convex este un tronson convex mărginit.

Evident, numărul vârfurilor unui poliedru convex este finit.

Propoziţia 10: Dacă H este un poliedru convex, atunci orice punct

X ∈ H poate fi scris ca o combinaţie liniară convexă de vârfurile lui H.

Demonstraţie:

Pentru simplitatea justificării considerăm H ⊂ ℝ2, adică e interiorul

unui poligon împreună cu laturile sale (ca de exemplu în figura de mai jos).

A3

A4 M

X A2

A5

A1

75


Distingem cazurile:

a) Dacă X ≡ A1, sau oricare alt vârf, rezultă

X = 1 ⋅ A1 + 0(A2 + ... + A5), deci X e combinaţie liniară convexă de

vârfurile lui H.

b) Dacă X aparţine segmentului determinat de două vârfuri oarecare

ale lui H, de exemplu A1 şi A2, din definiţia 10 a segmentului, rezultă că:

X = λA1 + (1 - λ)A2, 0 ≤ λ ≤ 1.

c) Dacă X nu se află în cazurile a) sau b), atunci este un punct în

interiorul poligonului; unim X cu un vârf, de exemplu A1, prelungim

segmentul [A1, X] şi notăm cu M intersecţia cu latura A2A3. Atunci putem

scrie:

X = λA1 + (1 - λ)M = λA1 + (1 - λ)[µA2 + (1 - µ)A3] =

= λA1 + (1 - λ)µA2 + (1 - λ)(1 - µ)A3

care este combinaţie liniară convexă de vârfurile lui H (cele ce nu apar au

coeficienţii nuli), pentru 0 ≤ λ ≤ 1 şi 0 ≤ µ ≤ 1, deoarece

λ + (1 - λ)µ + (1 - λ)(1 - µ) = 1.

76


8. Probleme

1. Fie ℝn = ℝ × ... × ℝ = ⎨x⎪x = (x1, ..., xn)T, xi ∈ ℝ, i = n,1 ⎬. Să se

arate că ℝn este un spaţiu liniar (vectorial) peste ℝ.

Rezolvare

Dacă x, y ∈ ℝn, x = (x1, ..., xn)T, y = (y1, ..., yn)T şi α ∈ℝ, definim

operaţiile:

x + y = (x1 + y1, ..., xn + yn)T ∈ℝn

α ⋅ x = (αx1, ..., αxn) ∈ℝn.

ce reprezintă legea de compoziţie internă notată „+”, respectiv legea de

compoziţie externă notată „⋅”.

1) (ℝn, +) este grup abelian, deoarece:

a) x + y = y + x; (∀) x, y ∈ℝn, adică adunarea e comutativă.

Într-adevăr:

x + y = (x1 + y1, ..., xn + yn)T = (y1 + x1, ..., yn + xn)T = y + x.

b) (x + y) + z = x + (y + z), (∀) x, y, z ∈ℝn, adică adunarea e

asociativă. Avem:

(x + y) + z = (x1 + y1, ..., xn + yn)T + (z1, ..., zn)T =

= ((x1+ y1) + z1, ... ,(xn + yn) + zn)T =

= (x1 + (y1 + z1), ..., xn + (yn + zn))T = x + (y + z).

Am folosit aici asociativitatea adunării numerelor reale şi faptul că

z = (z1, ..., zn)T ∈ ℝn.

77


c) 0 = (0, ..., 0)T ∈ℝn este elementul neutru deoarece

x + 0 = 0 + x = x; (∀) x ∈ℝn.

d) oricare ar fi x = (x1, ..., xn)T ∈ℝn, există simetricul lui,

- x = (-x1, ..., -xn)T astfel încât: x + (-x) = (-x) + x = 0

2) Legea externă are proprietăţile:

a) α⋅(x + y) = α⋅x + α⋅y, (∀) α ∈ℝ, (∀) x, y ∈ℝn.

α⋅(x + y) = α⋅(x1 + y1, ..., xn + yn)T = (α(x1 + y1), ..., α(xn + yn))T =

= (αx1 + αy1, ..., αxn + αyn)T = (αx1, ... , αxn)T + (αy1 ,..., αyn)T =

= α⋅(x1, ... , xn)T + α⋅(y1 ,..., yn)T = α⋅x + α⋅y.

b) (α + β)⋅x = α⋅x + β⋅x; (∀) α, β ∈ ℝ, (∀) x ∈ ℝn.

(α + β)⋅x = (α + β)(x1, ..., xn)T = ((α + β)x1, ..., (α + β)xn)T =

= (αx1 + βx1, ..., αxn + βxn)T = (αx1, ..., αxn)T + (βx1, ..., βxn)T =

= α⋅(x1, ..., xn)T + β⋅(x1, ..., xn)T = α⋅x + β⋅x.

Am folosit aici distributivitatea înmulţirii numerelor reale faţă de

adunarea lor.

c) α⋅(β⋅x) = (αβ)⋅x; (∀) α, β ∈ℝ, (∀) x ∈ℝn.

α⋅(β⋅x) = α⋅(β⋅(x1, ..., xn)T) = α⋅(βx1, ..., βxn)T =(α(βx1),...,α(βxn))T =

= ((αβ)x1, ..., (αβ)xn)T = (αβ)(x1, ..., xn)T = (αβ)⋅x.

Am folosit asociativitatea înmulţirii numerelor reale.

d) 1 ⋅ x = x; (∀) x ∈ℝn.

2. Fie vectorii v1 = (4, -1, 2, 1)T, v2 = (-2, 1, -1, -1)T şi

v3 = (2, 1, 1, -1)T.

78


a) Să se determine combinaţia liniară de v1, v2, v3 cu respectiv

scalarii 1, -1, -2.

b) Să se determine m, n ∈ℝ, astfel încât: mv1 + nv2 = v3.

Rezolvare

a) v = 1v1 – 1v2 – 2v3 = 1(4, -1, 2, 1)T – 1(-2, 1, -1, -1)T -

- 2(2, 1, 1, -1)T = (2, -4, 1, 2)T.

b) Relaţia m(4, -1, 2, 1)T + n(-2, 1, -1, -1)T = (2, 1,1, -1)T este

echivalentă cu sistemul:

4m – 2n = 2

-m + n = 1

2m – n = 1

m – n = -1

ce are soluţia m = 2 şi n = 3.

3. Fie vectorii v1 = (3, -2, 0)T, v2 = (1, -1, 1)T, v3 = (m, 2, 4)T.

a) Să se determine m astfel încât v1, v2, v3 să fie liniar dependenţi şi

să se găsească legătura dintre ei;

b) Arătaţi că pentru m = 2 vectorii formează o bază în ℝ3;

c) Determinaţi coordonatele vectorului v = (5, -15, -7)T în baza de la

punctul b.

Rezolvare

Formăm matricea ale cărei coloane sunt vectorii daţi.

A = ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−−

410212m13

.

79


Avem:

⎪A⎪ = -2m – 10.

Dacă m = -5, ⎪A⎪ = 0 şi rangA < 3; 3 fiind numărul vectorilor,

rezultă că vectorii sunt liniar dependenţi şi atunci v3 = (-5, 2, 4)T.

Din definiţia dependenţei liniare rezultă că există αi ≠ 0, i ∈ 3,1 ,

astfel încât:

α1v1 + α2v2 + α3v3 = 0 (1)

0 este vectorul nul din ℝ3.

Înlocuim în relaţia (1) vectorii şi obţinem sistemul

3α1 + α2 - 5α3 = 0

-2α1 - α2 + 2α3 = 0

α2 + 4α3 = 0

Determinant principal poate fi ales

∆p = 01012≠

−−. Avem:

-2α1 - α2 = -2α3

α2 = -4α3 , de unde α1 = 3α3 şi înlocuind în relaţia (1) pe

α1 şi α2 avem 3α3v1 - 4α3v2 + α3v3 = 0

Cum α3 ≠ 0 (altfel vectorii ar fi liniar independenţi), simplificăm

prin α3 şi relaţia căutată este:

3v1 – 4v2 + v3 = 0 .

b) Pentru m = 2, ⎪A⎪ = - 14 ≠ 0, atunci rangA = 3 şi vectorii sunt

liniar independenţi, deci v1, v2, v3 formează o bază B în ℝ3. Din teorema

bazei rezultă că vectorul v = λ1v1 + λ2v2 + λ3v3. (2)

80


c) Introducem, în relaţia (2) vectorii daţi şi obţinem:

3λ1 + λ2 + 2λ3 = 5

-2λ1 - λ2 + 2λ3 = -15 (3)

λ2 + 4λ3 = -7

sistem de tip Cramer, cu soluţie unică, pe care o determinăm cu una din

metodele cunoscute. Găsim:

λ1 = 2, λ2 = 5, λ3 = -3. Atunci:

v = 2v1 + 5v2 – 3v3 sau

vB = (2, 5, -3)T.

Observaţie: Rezolvarea sistemului (3) se poate face prin regulile lui

Cramer, metoda reducerii, metoda substituţiei sau metoda Gauss - Jordan (a

eliminării). Pe aceasta din urmă o aplicăm în continuare.

Organizăm calculele în următorul tabel:

A b 3 1 2 -2 -1 2 0 1 4

5 -15 -7

1 1/3 2/3 0 -1/3 10/3 0 1 4

5/3 -35/3

-7 1 0 4 0 1 -10 0 0 14

-10 35 -42

1 0 0 0 1 0 0 0 1

2 5 -3

de unde vB = (2, 5, -3)T.

4. Fie v1, v2, v3 ∈ℝn, liniar independenţi. Să se cerceteze natura

sistemului de vectori ⎨v1 + v2; v1 – 2v2 + v3; v2 + 3v3⎬.

81


Rezolvare

Fie α1, α2, α3 scalari astfel încât:

α1(v1 + v2) + α2(v1 – 2v2 + v3) + α3(v2+ 3v3) = 0 ,

relaţie ce se mai scrie astfel:

(α1 + α2)v1 + (α1 - 2α2 + α3)v2 + (α2 + 3α3)v3 = 0

Dar v1, v2, v3 liniar independenţi, implică sistemul:

α1 + α2 = 0

α1 - 2α2 + α3 = 0

α2 + 3α3 = 0

a cărui unică soluţie este α1 = α2 = α3 = 0, şi deci sistemul de vectori

cercetat este liniar independent.

5. În ℝ2 se dau bazele B = ⎨v1, v2⎬ cu v1 = (3, -1)T, v2 = (2, 1)T şi

B’ = ⎨v’1, v’2⎬ cu v’1 = (4, 2)T, v’2 = (3, 2)T. Fie vectorul v ∈ ℝ2. Să se

găsească legătura dintre coordonatele lui v în cele două baze.

Rezolvare

Fie A şi A’ matricele corespunzătoare celor două baze:

A = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛− 11

23, A’ = ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛2234

Din relaţiile:

v = AvB şi v = A’vB’ rezultă AvB = A’vB’, de unde

vB = A-1A’vB’ şi vB’ = (A’)-1AvB (4)

Dar: A-1 = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −3121

51 şi (A’)-1 = ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−4232

21 ,

82


iar:

A-1A’ = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −91010

51

2234

3121

51

(A’)-1A = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−01019

21

1123

4232

21

Atunci, din (4), avem:

vB = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −91010

51 vB’ şi vB’ = ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛− 010

1921 vB.

6. Să se cerceteze dacă următoarele funcţionale sunt liniare:

a) f: ℝ4→ℝ, f(x)=x1 + 3x2 – x3 + 2x4 + 1, (∀)x= (x1, x2, x3, x4)T∈ℝ4;

b) f: ℝ3→ℝ, f(x)= 5x1 - 4x2 + x3, (∀) x = (x1, x2, x3)T ∈ ℝ3.

Rezolvare

a) Fie x şi y ∈ℝ4 cu x = (x1, ..., x4)T, y = (y1, ..., y4)T şi α, β ∈ℝ.

f(αx + βy) = f(αx1 + βy1, ..., αx4 + βy4) =(αx1 + βy1) + 3(αx2 + βy2)-

– (αx3 + βy3) + 2(αx4 + βy4) + 1 = α(x1 + 3x2 – x3 + 2x4) + β(y1 + 3y2 – y3 +

+ 2y4) + 1 = α(f(x) – 1) + β(f(y) – 1) + 1 = αf(x) + βf(y) +1 - α - β.

Cum f(αx + βy) ≠ αf(x) + βf(y), pentru α + β ≠ 1, rezultă că f nu

este funcţională liniară.

b) Fie x, y ∈ℝ3, x = (x1, x2, x3)T, y = (y1, y2, y3)T şi α,β ∈ℝ.

f(αx + βy) = f(αx1 + βy1, αx2 + βy2, αx3 + βy3) =

= 5(αx1 + βy1) – 4(αx2 + βy2) + (αx3 + βy3) =

= α(5x1 – 4x2 + x3) + β(5y1 – 4y2 +y3) = αf(x) + βf(y), rezultă că f

este funcţională liniară.

83


7. Fie f: ℝ2 → ℝ, f(x) = 2x1 – 3x2, (∀) x = (x1, x2)T ∈ ℝ2.

a) Să se arate că f este funcţională liniară;

b) Să se determine matricea A a funcţionalei în baza canonică

E = ⎨e1, e2⎬, cu e1 = (1, 0)T, e2 = (0, 1)T;

c) Să se determine matricea A’ a funcţionalei în baza B’ = ⎨v1, v2⎬

cu v1 = (2, 1)T, v2 = (-1, 1)T.

Rezolvare

a) Fie x, y ∈ ℝ2, x = (x1, x2)T, y = (y1, y2)T, α, β∈ℝ.

f(αx + βy) = f(αx1 + βy1, αx2 + βy2) = 2(αx1 + βy1) – 3(αx2 + βy2) =

= α(2x1 – 3x2) + β(2y1 – 3y2) = αf(x) + βf(y).

b) Ştim că A = (a1, a2), unde a1 = f(e1) = 2 ⋅ 1 – 3 ⋅ 0 = 2 şi

a2 = f(e2) = 2 ⋅ 0 – 3 ⋅ 1 = -3, deci A = (2, -3).

c) A’ = (a’1, a’2), a’1 = f(v1) = 2 ⋅ 2 – 3 ⋅ 1 = 1,

a’2 = f(v2) = 2(-1) – 3 ⋅ 1 = - 5, deci A’ = (1, -5).

8. Mulţimea soluţiilor unui sistem de ecuaţii liniare şi omogene este

o mulţime convexă.

Rezolvare

Fie sistemul liniar şi omogen:

a11x1 + ...+ a1nxn = 0

…

am1x1 + ...+ amnxn = 0

84


Notăm A = ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

mn1m

n111

a...a

a...aM şi X =

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

n

1

x

xM

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

0

00 M .

Atunci sistemul se mai scrie:

AX = 0 (5)

Fie X1 şi X2 două soluţii ale sistemului din relaţia (5), deci AX1 = 0

şi AX2 = 0 . Fie λ ∈ [0,1] şi X = λX1 + (1 - λ)X2. Atunci:

AX = A[λX1 + (1 - λ)X2] = λAX1 + (1 - λ)AX2 = λ0 + (1 - λ) 0 = 0

de unde rezultă că X este soluţie a sistemului (5).

9. Dacă C este o mulţime convexă şi Xi ∈ C, i = n,1 , atunci

X = ∑=

λn

1iiiX , cu λi ≥ 0, ∑

=

λn

1ii = 1, aparţine lui C.

Rezolvare

Aplicăm principiul inducţiei complete. Pentru n = 2 proprietatea este

adevărată din definiţia lui C ca mulţime convexă.

Presupunem adevărată proprietatea pentru k, adică:

Y = ∑=

λk

1iiiX ∈ C, (∀) λi ≥ 0, i = k,1 , ∑

=

λk

1ii = 1.

Să considerăm Z = ∑+

=

µ1k

1iiiX , cu µk+1 ∈ (0,1) şi ∑

+

=

µ1k

1ii = 1, µi ≥ 0.

Avem Z = (1 - µk+1)∑=

+++

µ+µ−µk

1i1k1ki

1k

i XX1

.

Deoarece ∑=

µk

1ii = 1 - µk+1, din ipoteza de inducţie rezultă că

85


∑ ∑= =+

λ=µ−µk

1i

k

1ii

'ii

1k

i XX1

= Y’ ∈ C şi mai departe

(1 - µk+1)Y’ + µk+1Xk+1 = Z ∈ C, din convexitatea lui C. Deci

proprietatea e adevărată şi pentru k + 1 de unde rezultă adevărată pentru

orice n ∈ ℕ*.

86

1. Introducere În cele mai diverse ramuri ale ştiinţelor economice apar probleme a

căror rezolvare poate fi dată prin mai multe alternative. Pentru a diferenţia

aceste moduri de rezolvare trebuie urmărit un scop şi rezolvarea cea mai

bună este cea în care scopul este satisfăcut în cel mai înalt grad.

Rezultatul analizei economice conduce la alegerea unor valori pentru

variabilele ce descriu procesul şi care pot fi mărimi economice sau fizice

(bunuri materiale, valori băneşti, distanţe etc.). Condiţiile concrete ale

studiului introduc limitări în formularea problemei. Soluţia optimă este

aceea care conduce la cea mai bună alegere a valorilor variabilelor în

condiţiile îndeplinirii restricţiilor impuse.

Pentru rezolvarea acestui gen de probleme, matematica oferă

economistului un grup de metode şi tehnici de calcul care constituie obiectul

capitolului numit programare matematică. Rolul economistului este de a-şi

valorifica funcţia economică în analiza justă a situaţiei concrete, în a

diferenţia aspectele secundare de cele principale, de a aplica politica

economică optimă în cazurile concrete studiate.

În formularea unei probleme de programare matematică se parcurg

etapele:

a) stabilirea variabilelor x1, ..., xn, adică a vectorului

X = (x1, ..., xn)T ∈ℝn;

PROGRAMARE LINIARĂ3

87


b) stabilirea obiectivului propus, o funcţie de x1, ..., xn, adică f(X),

pentru care se va aplica un procedeu de maximizare sau

minimizare;

c) stabilirea restricţiilor, legături între variabile şi limitări ale

acestora fără de care problema nu are valoare practică, ce pot fi de

forma gi(X) ≤ 0, i = m,1 . Restricţiile de forma xj ≥ 0, j = n,1 ,

numite condiţii de nenegativitate, apar când variabilele reprezintă

cantităţi ce au o interpretare reală doar dacă nu sunt negative.

În concluzie, problema generală a programării matematice se enunţă

astfel: să se determine valoarea maximă sau minimă a funcţiei

f(X) = f(x1,...,xn) în condiţiile gi(X) = gi(x1,...,xn) ≤ 0, i = m,1 , unde

f, gi: ℝn →ℝ.

Funcţia f ce se optimizează se numeşte funcţie obiectiv sau funcţie de

eficienţă.

Dacă funcţiile f şi gi, i = m,1 , sunt funcţii liniare spunem că

problema este de programare liniară şi de acest caz ne vom ocupa în cele ce

urmează.

Pentru a prezenta intuitiv o serie de noţiuni şi proprietăţi ce vor fi

expuse riguros în acest capitol dăm următorul:

Exemplu:

Resursele R1, ..., R4 (materii prime, forţă de muncă, investiţii în bani

etc.) disponibile respectiv în cantităţile 12, 8, 16, 12 unităţi convenţionale se

vor utiliza pentru producerea activităţilor A1 şi A2 (produse, piese, proiecte

etc.). Pentru realizarea unei unităţi din A1 se folosesc respectiv 2, 1, 4, 0, iar

pentru o unitate din A2, 2, 2, 0, 4 unităţi din resursele date. Venitul pentru o

88

Programare liniară

unitate din A1 este 2 unităţi băneşti, iar pentru o unitate din A2, de 3 unităţi

băneşti.

Să se determine nivelul activităţilor A1 şi A2 astfel încât, folosind

raţional resursele disponibile, să se obţină venitul total maxim.

Rezolvare

Pentru a găsi modelul matematic al problemei strângem datele

iniţiale în următorul tabel:

Ri/Aj A1 A2 Disponibil R1 2 2 12 R2 1 2 8 R3 4 0 16 R4 0 4 12 Venitul unitar

2 3

Notăm apoi cu x1 şi x2 nivelul activităţilor A1 respectiv A2. Datele

expuse conduc imediat la scrierea următoarelor relaţii:

2x1 + 2x2 ≤ 12

x1 + 2x2 ≤ 8

4x1 ≤ 16

4x2 ≤ 12 , x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, iar venitul total va fi dat de

funcţia f(x1, x2) = 2x1 + 3x2 pentru care vom căuta valoarea maximă.

Rezolvarea o vom face prin metoda grafică. În acest scop se

consideră sistemul rectangular de axe x1 O x2 şi se determină mulţimea

perechilor (x1, x2) ce verifică restricţiile de mai sus şi condiţia de

nenegativitate.

Astfel, restricţiei 2x1 + 2x2 ≤ 12 i se ataşează dreapta

(d1): 2x1 + 2x2 = 12 care împarte planul ℝ2 în două regiuni, una dintre

acestea fiind soluţia inecuaţiei. Dreapta (d1) intersectează axele în punctele

89


A1(6, 0) şi B1(0, 6) şi deoarece originea O(0,0) verifică inecuaţia rezultă că

semiplanul care conţine originea este soluţia inecuaţiei.

Analog restricţiei x1 + 2x2 ≤ 8 i se ataşează dreapta (d2): x1 + 2x2 = 8,

ce intersectează axele în A2(8, 0) şi B2 (0, 4); regiunea ce conţine originea

este soluţie a inecuaţiei; restricţiei 4x1 ≤ 16 îi asociem dreapta (d3): 4x1 = 16

ce taie Ox1 în A3(4, 0) şi e paralelă cu Ox2. Originea verifică inecuaţia deci

semiplanul ce o conţine este soluţia inecuaţiei date; restricţiei 4x2 ≤ 12 îi

asociem dreapta (d4): 4x2 = 12 ce taie axa Ox2 în B4(0, 3) şi este paralelă cu

Ox1. Originea verifică restricţia, deci semiplanul ce conţine originea este

soluţia inecuaţiei.

Condiţia de nenegativitate x1, x2 ≥ 0 ne spune că mulţimea căutată va

fi în cadranul I.

Intersecţia celor 4 regiuni în cadranul I ne dă zona haşurată din

figura de mai jos.

x2

B1(0, 6) (d1)

14/3

B2(0, 4)

(d3)

B4(0,3) • (d4)

O(0,0) A3(4,0) A1(6, 0) 7 A2(8, 0) x1

D C

(d2)

B

A

•

•

•

90

Programare liniară

Notăm cu O, A, B, C, D vârfurile mulţimii căutate ce au respectiv

coordonatele:

Ox1 ∩ (d3) = A(4, 0)

d1 ∩ d2 ∩ d3 = B(4, 2)

d2 ∩ d4 = C(2, 3)

Ox2 ∩ d4 = D(0, 3)

Determinăm valorile lui f în fiecare vârf şi obţinem:

f0(0,0) = 0; fA(4, 0) = 8; fB(4, 2) = 14; fC(2, 3) = 13 şi fD(0, 3) = 9.

Soluţia optimă va fi în punctul B, unde [max]f(x) = 14 pentru x1 = 4

şi x2 = 2. Că lucrurile stau într-adevăr aşa, o probează următorul

raţionament.

Dacă egalăm 2x1 + 3x2 cu V, V ≥ 0 obţinem o familie de drepte

⎨(x1, x2) ⏐ 2x1 + 3x2 = V⎬V≥0, paralele, având aceeaşi pantă, α = - 32 .

Acestea intersectează ambele axe de coordonate astfel încât raportul

lungimilor segmentului de pe ordonată şi a segmentului de pe abscisă este

de 2/3. Se poate observa uşor că orice punct al mulţimii admisibile (haşurată

în figură) se află pe una şi numai una din aceste drepte. Pentru fiecare astfel

de punct (x1, x2) punem în evidenţă intersecţia dreptei din familie

corespunzătoare lui cu axa absciselor, de forma (x’1, 0). Dar 2x1 + 3x2 = V =

= 2x’1 şi, deci, ne interesează acel(e) punct(e) pentru care x’1 (deci şi V) este

cel mai mare.

În cazul de faţă, din figură rezultă că punctul B satisface această

cerinţă, iar dreapta respectivă este cea care trece prin punctele (7, 0) şi

(0, 14/3) (reprezentată punctat).

91


Observaţii

1) Ceva mai departe se va demonstra teorema ce justifică căutarea

soluţiei optime în vârfurile mulţimii de puncte ce satisfac

restricţiile problemei de programare liniară.

2) Resursele R1, R2, R3 sunt consumate în întregime în vreme ce din

R4 mai rămân 4 unităţi date de diferenţa dintre disponibil şi ceea

ce se consumă.

3) Metoda grafică nu poate fi aplicată decât în cazul problemelor cu

cel mult trei variabile.

4) O generalizare a problemei precedente ar avea forma:

Resursele Ri, i = m,1 , disponibile respectiv în cantităţile bi, i = m,1 ,

pot fi utilizate în producerea activităţilor Aj, j = n,1 . Se cunosc veniturile

unitare pe activităţi cj, j = n,1 precum şi coeficienţii tehnologici aij, i = m,1 ,

j = n,1 , respectiv cantităţile din fiecare resursă Ri necesare realizării unei

unităţi din Aj, i = m,1 , j = n,1 ; să se determine nivelul xj al activităţilor Aj,

j = n,1 , astfel încât venitul total să fie maxim.

Reprezentăm datele problemei în următorul tabel:

Ri/Aj A1...Aj...An Disponibil R1 ... Ri ... Rm

a11...a1j...a1n

... ai1...aij...ain ... am1...amj...amn

b1 ... bi ... bm

Venitul unitar

c1 ... cj ... cn

92

Programare liniară

Modelul matematic se scrie astfel:

[max]f(X) = ∑=

n

1jjjxc (1)

≤∑=

n

1jjji xa bi, i = m,1 (2)

xj ≥ 0, j = n,1 (3)

Notând A = (aij), i = m,1 , j = n,1 ; sau A = (a1, ..., an), b = (b1, ...,

bm)T, C = (c1, ..., cn), X = (x1, ..., xn)T, problema se poate scrie sub formă

matriceală: [max]f(X) = CX

AX ≤ b

X ≥ 0 sau vectorială:

[max]f(X) = c1x1 + ... + cnxn (1’)

a1x1 + ... + anxn ≤ b (2’)

x1, ..., xn ≥ 0 (3’)

unde aj = (a1j, ..., amj)T este coloana j din matricea A.

Forma generală a unei probleme de programare liniară este:

[optim]f(X) = ∑=

n

1jjjxc (4)

∑=

≤n

1jijij bxa , i ∈ ⎨1, ..., k⎬

∑=

=n

1jijij bxa , i ∈ ⎨k+1, ..., p⎬ (5)

∑=

≥n

1jijij bxa , i ∈ ⎨p+1, ..., m⎬

xj ≥ 0, j ∈ ⎨1, ..., s⎬

xj oarecare, j ∈ ⎨s+1,..., v⎬ (6)

93


xj ≤ 0, j ∈ ⎨v+1,..., n⎬

Pentru metoda de rezolvare pe care o vom prezenta este important ca

o problemă de tipul (4), (5), (6) să fie adusă la forma standard, adică toate

restricţiile din (5) să fie egalităţi şi toate variabilele xj ≥ 0, j = n,1 .

Acest lucru presupune efectuarea următoarelor transformări:

1) la fiecare restricţie de tipul „≤” se adaugă în membrul stâng o

variabilă de compensare nenegativă;

2) din membrul stâng al restricţiilor de tipul „≥” se scade o variabilă

de compensare nenegativă;

Observaţie: În exemplul de mai sus, dacă am aduce problema la

forma standard, variabilele de compensare au semnificaţia unor cantităţi de

produse (activităţi) ce nu se efectuează, deci contribuţia lor la venitul total

este nulă, adică în funcţia de eficienţă variabilele de compensare vor avea

coeficienţii cj nuli.

3) în toate restricţiile şi în funcţia obiectiv se fac substituţiile:

xj = -x’j, dacă xj < 0 şi xj = uj – vj, uj, vj ≥ 0, dacă xj este oarecare.

Astfel toate restricţiile devin egalităţi şi toate variabilele sunt

nenegative, deci problema are forma standard:

[optim]f(X) = CX (7)

AX = b (8)

X ≥ 0 (9) sau:

(opt)f(X) = c1x1 + ...+ cnxn (7’)

a1x1 + ... + anxn = b (8’)

x1, ..., xn ≥ 0 (9’)

4) orice problemă de maxim poate fi transpusă pentru minim şi

reciproc, datorită relaţiei evidente;

[max]f(X) = -[min][-f(X)] şi [min]f(X) = -[max][-f(X)]

94

Programare liniară

În sfârşit, există multe cazuri practice când problemele apar sub una

din formele particulare:

[max]f(X) = ∑=

n

1jjjxc

i

n

1jjij bxa ≤∑

=

, i = m,1 (10)

xj ≥ 0, j = n,1

sau:

[min]f(X) = ∑=

n

1jjjxc

i

n

1jjij bxa ≥∑

=

, i = m,1 (11)

xj ≥ 0, j = n,1

numite forme canonice, dacă bi ≥ 0, i = m,1 .

2. Soluţiile problemelor de programare liniară

Considerăm problema de programare liniară sub forma standard dată

de relaţiile (7), (8), (9).

Definiţia 1.

Vectorul X ∈ℝn, X = (x1, ..., xn)T, se numeşte soluţie posibilă

(admisibilă, program) dacă satisface relaţiile (8) şi (9). Notăm cu P

mulţimea soluţiilor posibile.

95


Definiţia 2.

Dacă X ∈P satisface şi condiţia (7), X se numeşte soluţie optimă.

Mulţimea soluţiilor optime o notăm O.

Observaţie: Se impune o condiţie pentru compatibilitatea sistemului

(8), anume rangA = m, iar pentru nedeterminarea acestui sistem se cere ca

să avem m < n. Celelalte cazuri nu au importanţă practică din punctul de

vedere al programării liniare.

Definiţia 3.

Se numeşte bază a sistemului (8) cu rangA = m < n, orice bază B a

spaţiului (ℝm, ℝ) în componenţa căreia intră numai vectori coloană din A.

Observaţie: B ⊂ A, B matrice nesingulară de ordinul m, admite

inversa B-1.

Definiţia 4.

Cele m variabile asociate coloanelor lui B se numesc variabile de

bază. Ele formează un subvector al lui X şi se notează XB. Restul de n – m

variabile se numesc variabile secundare şi formează subvectorul lui X notat

cu Xs.

Dacă Xs = 0 sistemul din (8) devine:

BXB = b, de unde XB = B-1b.

Observaţie: Dacă B este baza canonică atunci XB = b.

Definiţia 5.

Fie o bază B = ⎨a1, ..., am⎬. Vectorul X = (XB, Xs), cu XB = B-1b,

XS = 0, X ∈ P se numeşte soluţie posibilă de bază. Dacă XB are m

componente pozitive, X va fi soluţie posibilă de bază nedegenerată, în caz

contrar va fi degenerată. Notăm PB mulţimea soluţiilor posibile de bază.

96

Programare liniară

Exemplu

Fie sistemul:

3x1 – 6x3 + x4 = 6

-x1 + x2 + 2x3 = 4


A = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−02111603

, cu vectorii: a1 = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−13

; a2 = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛10

; a3 = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−26

;

a4 = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛01

.

Deoarece rangA = 2, sistemul este compatibil dublu nedeterminat. O

soluţie poate fi găsită astfel:

3x1 = 6 + 6x3 - x4

-x1 + x2 = 4 - 2x3

unde pentru x3 = 1; x4 = 3 găsim x1 = 3 şi x2 = 5. Deci, conform definiţiei 1,

vectorul X = (3, 5, 1, 3)T este o soluţie posibilă.

Vectorii ⎨a4, a2⎬ formează baza canonică, deci variabilele x4 şi x2 vor

fi variabile de bază, iar celelalte, x1 şi x3 vor fi variabile secundare. Dacă

x1 = x3 = 0, obţinem x2 = 4 şi x4 = 6, adică vectorul X = (0,4,0,6)T este o

soluţie posibilă de bază, nedegenerată, conform definiţiei 5.

Teorema 1: Mulţimea soluţiilor posibile P este convexă.

Demonstraţie

Excludem cazul când P este redusă la un singur element, deoarece

concluzia este banală. Admitem că există cel puţin două soluţii X1, X2 ∈P,

adică AX1 = b, X1 ≥ 0 şi AX2 = b, X2 ≥ 0.

Fie X = λX1 + (1 - λ)X2, 0 ≤ λ ≤ 1, o combinaţie liniară convexă de

X1 şi X2. Vom arăta că X ∈ P adică AX = b şi X ≥ 0.

97


Într-adevăr:

AX = A[λX1 + (1 - λ)X2] = λAX1 + (1 - λ)AX2 = λb + (1 - λ)b = b

X ≥ 0 deoarece X1 ≥ 0, λX1 ≥ 0, X2 ≥ 0, (1 - λ)X2 ≥ 0.

Se poate demonstra că dacă mulţimea soluţiilor posibile P este

nevidă, atunci există cel puţin o soluţie posibilă de bază (PB ≠ ∅).

Dăm în continuare un rezultat deosebit de important.

Teorema 2: Orice soluţie posibilă de bază X este un vârf al lui P şi

reciproc, orice vârf al lui P este o soluţie posibilă de bază.

Demonstraţie

Fie X soluţie posibilă de bază. Să demonstrăm că e vârf al lui P. Fără

a restrânge generalitatea, presupunem că X = (x1, ..., xm, 0, ..., 0)T pentru

baza B = ⎨a1, ..., am⎬.

Prin absurd, presupunem că X nu este vârf al lui P. Cum X ∈ P,

mulţime convexă, există Y, Z ∈ P, Y = (y1, ..., yn)T, Z = (z1, ..., zn)T, Y ≠ Z,

astfel încât:

X = λY + (1 - λ)Z, 0 < λ < 1.

Rezultă că:

xj = λyj + (1 - λ)zj, j = n,1 .

Dar xj = 0, pentru j = m+1,..., n, implică

λyj + (1 - λ)zj = 0, j = m+1, ..., n.

Cum λ > 0, 1 - λ > 0, yj ≥ 0, zj ≥ 0, j = m+1, ..., n, rezultă:

yj = zj = 0, j = m+1,..., n

Din Y, Z ∈ P rezultă că ele satisfac relaţia (8’), adică:

b = ∑∑==

=m

1jjj

m

1jjj azay

Dar scrierea lui b în baza B este unică, deci yj = zj, j = m,1 .

98

Programare liniară

Atunci Y = Z, ceea ce contrazice ipoteza.

Reciproc, fie X un vârf al lui P. Să arătăm că e soluţie posibilă de

bază.

Presupunem că X = (x1, ..., xk, 0, ..., 0)T, xi >0, i = k,1 . Vom proba

că vectorii a1, ..., ak sunt liniar independenţi, deci X e soluţie de bază.

Prin absurd, presupunem că vectorii a1, ..., ak sunt liniar dependenţi,

deci există cel puţin un coeficient αh ≠ 0, astfel încât:

α1a1 + ... + αkak = 0 (12)

Dar X ∈ P satisface relaţia (8’), deci:

x1a1 + ...+ xkak = b (13)

Relaţia (12) înmulţită cu β ∈ ℝ se scade şi apoi se adună la relaţia

(13) şi obţinem:

(x1 - βα1)a1 + ...+ (xk - βαk)ak = b

(x1+ βα1)a1 + ... + (xk + βαk)ak = b (14)

Alegând β suficient de mic aşa încât xi - βαi ≥ 0 şi xi + βαi ≥ 0,

i = k,1 , relaţiile (14) definesc două soluţii U şi V ∈ P. Dar 21 U +

21 V = X,

fapt ce contrazice ipoteza că X este vârf în P. Deci a1, ..., ak sunt

independenţi şi X ∈ PB.

Observaţie: Deoarece matricea A are m linii şi n coloane, m < n, cu

vectorii ei se pot forma cel mult C mn baze în ℝm, deci numărul soluţiilor

posibile de bază este cel mult C mn .

Teorema 3: Dacă problema dată de relaţiile (7), (8), (9) are optim

finit, atunci cel puţin un vârf al lui P este soluţie optimă.

99


Demonstraţie:

Fie X1, ..., Xs vârfurile lui P şi X0 soluţie optimă pentru problema de

programare liniară în care presupunem că vrem să minimizăm funcţia de

eficienţă f. Deci:

f(X0) ≤ f(X); (∀) X ∈ P. (15)

Dacă X0 este un vârf, teorema e demonstrată. Presupunem că X0 nu

este un vârf. Cum X0 ∈ P, din propoziţia 10 cap. 2, rezultă că:

X0 = ∑=

λs

1iiiX , λi ≥ 0, i = s,1 şi ∑

=

λs

1ii = 1.

Dar f este o funcţională liniară şi putem scrie:

f(X0) = f(∑=

λs

1iiiX ) = λ1f(X1) + ... + λsf(Xs) (16)

Dacă notăm m = f(X0) şi presupunem că Xj este vârful cu

proprietatea:

f(Xj) = si1

min≤≤

f(Xi)

din relaţia (16) putem scrie:

m ≥ f(Xj) ⋅ ∑=

λs

1ii = f(Xj).

Cum m > f(Xj) nu poate avea loc, deoarece X0 ∈ O, rezultă că

m = f(Xj), deci Xj ∈ O.

Observaţii:

1) Soluţia optimă (când e finită) se caută printre vârfurile lui P, adică

printre soluţiile posibile de bază. Această observaţie justifică

metoda grafică de rezolvare a unei probleme de programare

liniară.

2) Pentru maximizarea lui f demonstraţia e analoagă.

100

Programare liniară

Teorema 4: Mulţimea soluţiilor optime O este convexă.

Dacă O = ∅ sau O e formată dintr-un singur punct, proprietatea este

evidentă.

Presupunem că (∃)X1, X2 ∈ O, f(X1) = f(X2) = m şi fie λ ∈ [0,1].

Atunci X = λX1 + (1 - λ)X2 ∈ P şi

f(X) = λf(X1) + (1 - λ)f(X2) = λm + (1 - λ)m = m, de unde rezultă

X ∈ O

Observaţii:

1) Dacă o problemă de programare liniară are cel puţin două soluţii

optime, ea va avea o infinitate de soluţii optime, date de

combinaţia liniară convexă a acestora; deci, orice punct de pe

segmentul determinat de două soluţii optime este tot soluţie

optimă.

2) Pentru m şi n mari, numărul soluţiilor posibile de bază poate fi

destul de mare şi găsirea printre acestea a celei optime,

laborioasă. A devenit necesară găsirea unei metode care să

permită trecerea de la o soluţie de bază la o alta mai bună, în

sensul funcţiei f de eficienţă. O astfel de metodă este algoritmul

simplex (propus de G.B. Dantzig în 1947 la Chicago) care permite

determinarea unui vârf al lui P şi dă posibilitatea să se stabilească

dacă în acest vârf funcţia de eficienţă f îşi atinge optimul. Când

acest vârf nu este de optim, algoritmul permite găsirea unui alt

vârf învecinat în care f să ia o valoare mai bună (mai mare pentru

max sau mai mică pentru min), iar după un număr finit de paşi să

se găsească soluţia optimă. Algoritmul mai permite să se

stabilească dacă problema de programare liniară admite soluţii

sau dacă f este nemărginită pe P.

101


3. Principiile metodei simplex

Pentru obţinerea unor rezultate de bază în fundamentarea

algoritmului simplex, vom introduce unele notaţii. Astfel: presupunem

X ∈ PB, X = ( x 1, ..., x m, 0, ..., 0)T pentru o bază B = ⎨a1, ..., am⎬.

Au loc relaţiile:

x 1a1 + ...+ x mam = b (17)

şi x 1c1 + ...+ x mcm = f0,

unde x i > 0, i = m,1 şi f0 este valoarea funcţiei de eficienţă pentru X .

Deoarece orice vector aj, j = n,1 , poate fi scris în baza B, presupunem că:

a1ja1 + ...+ amjam = aj (18)

şi a1jc1 + ...+ amjcm = fj, j = n,1 (19)

unde ci este coeficientul funcţiei de eficienţă corespunzător vectorului ai,

i = m,1 . Cu notaţiile de mai sus, să demonstrăm:

Teorema 5: (testul de optimalitate).

Fie X ∈ PB şi ∆j = cj – fj. Dacă pentru problema de programare

liniară (7), (8), (9) în care se doreşte maximizarea lui f, ∆j ≤ 0, (∀) j = n,1 ,

atunci problema are optim finit şi X ∈ O (este soluţie optimă).

Demonstraţie:

Fie X ∈ P, X = (x1, ..., xn)T, o soluţie posibilă oarecare pentru care

avem: ∑=

n

1jjjax = b (20)

Din X ∈ PB rezultă că:

∑=

m

1iiiax = b (21)

102

Programare liniară

Relaţiile (20), (21), (18) ne permit să scriem:

b = ∑ ∑∑∑ ∑ ∑= === = =

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛==

m

1ii

n

1jijj

m

1iiij

m

1i

n

1j

n

1jjjjii aaxaaxaxax (22)

Unicitatea scrierii vectorului b în baza B implică, din (22), relaţia:

∑=

=n

1jijji axx (23)

Atunci:

f(X) – f( X ) = ∑ ∑ ∑ ∑ ∑= = = = =

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=−

n

1j

m

1i

n

1j

m

1i

n

1jijjijjiijj axcxcxcxc

∑ ∑ ∑ ∑∑∑= = = ===

−=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛−=

n

1j

n

1j

n

1j

n

1jjjjj

m

1iijjjj

m

1iijijj x)fc(xaccxacxc (24)

(am folosit pe parcurs relaţiile (23) şi (19)).

Se ştie că xj ≥ 0 şi dacă ∆j = cj – fj ≤ 0, (∀) j = n,1 atunci din relaţia

(24) avem:

f(X) – f( X ) ≤ 0 sau f(X) ≤ f( X ), (∀) X ∈ P, deci X ∈ O.

Observaţii:

1) Pentru problema de minim condiţia de minim este ∆j = fj – cj ≤0,

(∀) j = n,1 şi demonstraţia este analoagă;

2) Dacă X nu este optimă (există cel puţin o diferenţă ∆j > 0),

algoritmul permite construirea unei alte soluţii posibile de bază

Y îmbunătăţite, trecând de la un vârf al lui P la altul, prin

înlocuirea unui vector din bază cu altul din afara bazei, cu

condiţia ca noul sistem de vectori să rămână liniar independent,

deci să formeze o bază, ca în lema substituţiei.

103


Ne propunem în cele ce urmează construirea unei soluţii posibile de

bază Y îmbunătăţite când este cunoscută X ∈ PB.

Fie X = ( x 1, ..., x m, 0, ..., 0)T; I = ⎨1, ..., m⎬; B = ⎨a1, ..., am⎬ o

bază în ℝm. Presupunem că înlocuim vectorul ai ∈ B cu un alt vector aj ∉B,

obţinând o nouă bază în ℝm, deci o altă soluţie Y de componente y k, k ∈I’,

I’ = (I \ ⎨i⎬) ∪ ⎨j⎬.

Din X , Y ∈ PB, rezultă:

∑∑∈∈

=='Ik

kkIk

kk ayaxb (24)

Dar { }

jji\Ik

kk'Ik

kk ayayayb +== ∑∑∈∈

.

Înlocuind aj din relaţia (18), avem:

{ } { } { }

{ }(25) aaya)ayy(

aayaayayaayayb

iijjkkjjki\Ik

iiji\Ik

jkkjIk i\Ik

jkkkkji\Ik

jkk

++=

=++=+=

∑

∑∑ ∑∑

∈

∈∈ ∈∈

Din relaţia (24) putem scrie că:

{ }ii

i\Ikkk

Ikkk axaxaxb +== ∑∑

∈∈

(26)

Unicitatea scrierii vectorului b în baza B şi relaţiile (25) şi (26) ne

permit să scriem:

x i = y jaij

x k = y k + y jakj , k ∈ I \ ⎨i⎬ de unde rezultă:

y j = ij

i

ax

y k = x k - ij

i

ax akj (27)

104

Programare liniară

cu aij ≠ 0 (condiţie întâlnită în lema substituţiei).

Relaţiile (27) dau formulele de calcul ale componentelor noii soluţii

Y . Cum Y ∈ PB, componentele ei trebuie să fie nenegative. Deci vom

pune condiţiile:

ij

i

ax ≥ 0, şi cum x i ≥ 0 trebuie ca aij > 0 (28)

x k - ij

i

ax akj ≥ 0, de unde θ =

ij

i

ax ≤

kj

k

ax , k ∈ I’, (29)

evident akj > 0.

Relaţiile (28) şi (29) dau condiţiile necesare ca vectorul ai să poată fi

înlocuit de aj, adică criteriul de ieşire din bază.

Să presupunem că problema de programare liniară are în relaţia (7),

[max]f şi să căutăm condiţia ca Y să fie o soluţie mai bună ca X , adică:

f( Y ) > f( X ) sau f( Y ) - f( X ) > 0 (30)

Dar: f( Y ) - f( X ) = { } { }

∑∑ ∑ ∑∈∈ ∈ ∈

−−+=−i\Ik

iikk'Ik Ik i\Ik

jjkkkkkk xcxcycycxcyc

Ţinând seama de relaţiile (27) şi (19) vom avea:

f( Y ) - f( X ) = { } { }

=−−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+ ∑∑

∈∈ i\Ikiikk

i\Ikkj

ij

ikk

ij

ij xcxca

axxc

axc

= cjij

i

ax -

ij

i

ax

{ }⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+∑

∈ i\Ikijikjk acac =

ij

i

ax (cj – fj) > 0, dacă ∆j = cj – fj > 0

Evident f( Y ) - f( X ) ia cea mai mare valoare atunci când ∆j ia cea

mai mare valoare pozitivă.

Această ultimă condiţie constituie criteriul de intrare în noua bază a

vectorului aj în locul lui ai, eliminat.

105


Observaţii:

1) Elementul aij > 0 este pivotul, iar a doua relaţie din (27) este

regula dreptunghiului din lema substituţiei;

2) Construcţia soluţiei Y pentru cazul determinării lui [min]f(X)

este analoagă, cu deosebirea că ∆j = fj – cj, (∀) j = n,1 , cele două

criterii de intrare şi de ieşire din bază rămânând aceleaşi;

3) Formulele (27) se aplică nu doar pentru Y ci şi pentru toţi

vectorii aj, j = n,1 , ca în cazul metodei lui Gauss – Jordan.

4. Algoritmul simplex

Pentru o expunere teoretică mai clară, vom presupune problema de

programare liniară sub forma standard şi matricea A conţinând baza

B = ⎨a1, ..., am⎬ = baza canonică. Acest lucru ne îndreptăţeşte să pornim în

calcule cu soluţia de bază XB = b (coloana termenilor liberi).

Aplicarea algoritmului simplex se face în cadrul unui tabel, numit

tabelul simplex, în etape numite iteraţii, tabel de forma:

c1 ... ci ... cm cm+1 ... cj ... cn Baza CB XB a1 ... ai ... am am+1 ... aj ... an θ

a1 ⋮

ai

⋮

am

c1 ⋮

ci

⋮

cm

x 1 ⋮ x i

⋮ x m

1 ... 0 ... 0 a1m+1 ... a1j ...a1n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮

0 ... 1 ... 0 aim+1 aij ... ain ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮

0 ... 0 ... 1 amm+1 ..amj...amn

f0 f1 ... fi ... fm fm+1 .... fj .... fn ∆j=cj – fj 0 ... 0 ... 0 cm+1–fm+1 cj - fj ...cn-fn

iteraţie

dacă problema este de maxim.

106

Programare liniară

Etapele algoritmului simplex

Pasul 1. Ne asigurăm ca problema să aibă forma standard.

Pasul 2. Ne asigurăm ca matricea A să conţină baza canonică ca să

luăm soluţia de bază iniţială vectorul b. Scriem funcţia de eficienţă care să

cuprindă şi variabilele introduse pentru compensare sau pentru existenţa

bazei canonice.

Pasul 3. Completăm prima iteraţie a tabelului simplex şi testăm

optimalitatea soluţiei, cercetând semnele diferenţelor ∆j = cj – fj (pentru

maxim). Distingem situaţiile:

a) ∆j ≤ 0, (∀) j = n,1 ; rezultă că X este soluţie optimă şi algoritmul

ia sfârşit;

b) dacă există ∆j > 0, soluţia cercetată nu este optimă, se poate

construi o soluţie îmbunătăţită.

Pasul 4. Îmbunătăţirea soluţiei se face astfel:

a) aplicăm criteriul de intrare în bază: dacă

∆j = cj – fj = 0h

max>∆

(ch – fh), intră în noua bază vectorul aj;

b) criteriul de ieşire din bază: dacă

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

==θ>

kj

k

0aij

i

axmin

ax

kj

, cu k = m,1 , iese din bază vectorul ai.

Elementul aij > 0 este pivotul.

Pasul 5. Completăm o nouă iteraţie a tabelului simplex astfel:

a) coloana bazei, în locul lui ai scriem aj;

b) coloana CB, cu respectiv coeficienţii lui f corespunzători

vectorilor bazei;

c) coloanele vectorilor bazei, ca vectori unitari;

107


d) linia vectorului intrat, aj, se obţine prin împărţirea la pivot a liniei

vectorului eliminat ai, conform primei relaţii din (27);

e) restul elementelor din tabel se determină cu regula

dreptunghiului dată de relaţia a doua din (27) şi care ar putea fi

enunţată astfel: elementul ce trebuie înlocuit se înmulţeşte cu

pivotul; ele determină o diagonală într-un dreptunghi; din

produsul lor se scade produsul elementelor ce determină cealaltă

diagonală a dreptunghiului şi toată diferenţa se împarte la pivot.

Testăm apoi noua soluţie.

Paşii 3, 4, 5 se repetă până când e satisfăcut criteriul de optim.

Observaţie.

Dacă problema este de minim algoritmul se aplică la fel, cu

deosebirea că ∆j = fj – cj, j = n,1 .

Aplicaţie

Să se determine:

[max]f(X) = 3x1 + 5x2 + 2x3 + x4

x1 + 2x2 + 3x3 + x4 = 20

4x1 + x2 + x3 ≤ 16

xj ≥ 0, j = 4,1 .

Rezolvare

Aducem problema la forma standard adunând în restricţia a doua în

membrul stâng variabila de compensare x5 ≥ 0. Obţinem:

x1 + 2x2 + 3x3 + x4 = 20

4x1 + x2 + x3 + x5 = 16

xj ≥ 0, j = 5,1 .

[max]f(X) = 3x1 + 5x2 + 2x3 + x4 + 0 ⋅ x5

108

Programare liniară

Matricea sistemului de restricţii obţinut este:

a1 a2 a3 a4 a5

A = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛1011401321

şi conţine baza canonică B = ⎨a4, a5⎬.

Vectorii: C = (3, 5, 2, 1, 0); X = (x1, ..., x5)T, cu XB = (x4, x5)T;

Xs = (x1, x2, x3)T = (0,0,0)T; b = (20, 16)T. Şi cum B e baza canonică, rezultă

că XB = b, adică XB = (20, 16)T.

Formăm acum tabelul simplex şi completăm prima iteraţie.

3 5 2 1 0 B CB XB a1 a2 a3 a4 a5 θ

← a4 a5

1 0

20 16

1 4

2 ↓ 1

3 1

1 0

0 1

20:2 16:1

fj 20 1 2 3 1 0 ∆j = cj - fj 2 3 -1 0 0

a2 ← a5

5 0

10 6

1/2 ↓ 7/2

1 0

3/2 -1/2

1/2 -1/2

0 1

10:1/2 6:7/2

fj 50 5/2 5 15/2 5/2 0 ∆j = cj – fj 1/2 0 -11/2 -3/2 0

a2 a1

5 3

64/7 12/7

0 1

1 0

11/7 -1/7

4/7 -1/7

-1/7 2/7

fj 356/7 3 5 52/7 17/7 1/7 ∆j = cj - fj 0 0 -38/7 -8/7 -1/7

În iteraţia 1 am calculat fj, cu j = 5,1 , cu relaţia (19) iar f0 (sub XB)

cu relaţia a doua din (17).

Cea mai mare diferenţă ∆j > 0 este ∆2, sub coloana a2; a2 va intra în

baza din următoarea iteraţie. Cel mai mic raport θ = 20 : 2 = 10 corespunde

lui a4 din B, deci a4 va ieşi din bază. Elementul a12 = 2 este pivotul şi-l

înrămăm.

În această iteraţie soluţia posibilă de bază este X1 = (0,0,0,20,16)T,

f(X1) = f0 = 20, dar această soluţie nu este optimă.

109


Completăm următoarea iteraţie cu indicaţiile de la pasul 5 şi obţinem

o nouă soluţie posibilă de bază X2 = (0,10,0,0,6)T, f(X2) = f0 = 50.

X2 este mai bună ca X1 deoarece f(X2) > f(X1), dar nici X2 nu este

optimă pentru că există ∆1 = 1/2 > 0, deci algoritmul continuă cu intrarea în

bază a lui a1 în locul lui a5, pe linia căruia θ ia cea mai mică valoare.

Pivot este a21 = 7/2 şi aplicând operaţiile de la pasul 5 trecem la

următoarea iteraţie în care găsim soluţia posibilă de bază

X3 = (12/7, 64/7, 0,0,0)T, f(X3) = f0 = 7

356 , care este soluţie optimă

pentru că ∆j ≤ 0, (∀) j = 5,1 , deci [max]f(X) = 7

356 .

5. Observaţii la aplicarea algoritmului simplex

1. Din teorema 5 avem:

f( Y ) – f( X ) = ij

i

ax (cj – fj), de unde:

f( Y ) = f( X ) + θ ⋅ ∆j, (31)

cu θ = ij

i

ax , ∆j = cj – fj, aleşi prin criteriile de eliminare din bază, respectiv

introducere în bază.

Am obţinut prin (31) o relaţie de recurenţă între valorile funcţiei de

eficienţă în două iteraţii succesive.

2. Diferenţele ∆j sunt nule sub vectorii bazei deoarece pentru aceştia

fj = cj.

110

Programare liniară

3. Dacă ak şi ah ∉ B, dar ∆k = ∆h = 0j

max>∆∆j, pentru a decide ce vector

intră în bază comparăm ck şi ch. Dacă problema e de maxim şi ck < ch va

intra în bază ah; dacă e de minim, va intra ak.

4. Dacă în etapa de optim există ∆j = 0 şi aj ∉ B, putem continua

algoritmul cu introducerea în bază a lui aj. Dar din (31) rezultă că:

f( Y ) = f( X )

adică noua soluţie Y este tot optimă. Şi dacă problema are două soluţii

optime va avea o infinitate de soluţii optime conform teoremei 4.

Exemplu

[max]f(X) = 20x1 + 14x2

- 2x1 + 3x2 ≤ 24

5x1 – 2x2 ≤ 50

10x1 + 7x2 ≤ 140

x1, x2 ≥ 0

Rezolvare

Aducem problema la forma standard.

- 2x1 + 3x2 + x3 = 24

5x1 – 2x2 + x4 = 50

10x1 + 7x2 + x5 = 140

xj ≥ 0, j = 5,1

a1 a2 a3 a4 a5

A = ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−

−

1007100102500132

are baza canonică B = ⎨a3, a4, a5⎬

[max]f(X) = 20x1 + 14x2 + 0(x3 + x4 + x5).

111


Sunt îndeplinite condiţiile de trecere la tabelul simplex.

20 14 0 0 0 B CB XB a1 a2 a3 a4 a5 θ

a3

← a4 a5

0 0 0

24 50

140

-2 ↓ 5

10

3 -2 7

1 0 0

0 1 0

0 0 1

- 10 14

fj 0 0 0 0 0 0 ∆j = cj - fj 20 14 0 0 0 a3

a1

← a5

0

20 0

44

10 40

0

1 0

11/5↓

-2/5 11

1

0 0

2/5

1/5 -2

0

0 1

44:5

11

- 40:11

fj 200 20 -8 0 4 0 ∆j 0 22 0 -4 0

← a3

a1

a2

0

20

14

36

126/11

40/11

0

1

0

0

0

1

1

0

0

4/5↓

7/55

-2/11

-1/5

2/55

1/11

36: 54

557:

11126

- fj 280 20 14 0 0 2

∆j 0 0 0 0 -2 a4 a1 a2

0 20 14

45 63/11

130/11

0 1 0

0 0 1

5/4 -7/44 10/44

1 0 0

-1/4 3/442/44

fj 280 20 14 0 0 2 ∆j 0 0 0 0 -2

În iteraţia a treia am găsit soluţia optimă cu

[max]f(X) = 280 pentru x1 = 11

126 şi x2 = 1140 , adică X1 = (

11126 ,

1140 ).

Dar ∆4 = 0 deşi a4 ∉ B. Am efectuat încă o iteraţie în tabel şi am

găsit o altă soluţie optimă:

X2 = (11

130,1163 ).

112

Programare liniară

Atunci, din teorema 4, orice combinaţie liniară convexă de X1 şi X2

este soluţie optimă, adică

X = λX1 + (1 - λ)X2, cu 0 ≤ λ ≤ 1 este soluţie optimă şi deci

problema dată are o infinitate de soluţii optime.

5. Dacă vectorul aj trebuie să intre în bază, dar toate componentele

lui, akj ≤ 0, k = m,1 , atunci problema nu are optim finit.

6. Există situaţii în care, pentru soluţii diferite, funcţia de eficienţă f

ia aceeaşi valoare, ajungând după un număr de paşi la repetarea unei soluţii.

Continuarea algoritmului devine inutilă, deoarece apare fenomenul de ciclaj.

Din relaţia (31) observăm că repetarea valorii lui f poate avea loc dacă

∆j = 0 sau θ = 0. În prima situaţie am văzut (cazul 4) că problema are o

infinitate de soluţii optime. Cazul θ = 0 apare doar dacă în tabelul asupra

căruia facem consideraţiile avem o soluţie degenerată, valorii nule din

coloana XB corespunzându-i o valoare pozitivă în coloana vectorului ce

urmează a fi introdus în bază.

Condiţia degenerării este doar necesară pentru ciclaj. Va trebui să

examinăm situaţiile în care apare degenerarea şi modalitatea de a lucra în

continuare cu algoritmul simplex.

Să presupunem că în aplicarea criteriului de eliminare din bază, când

ştim că aj va fi vectorul ce va fi introdus, raportul:

qj

q

pj

p

kj

k

mk10a a

xax

axmin

kj

===θ≤≤>

.

Dacă am alege eliminarea lui ap, a doua relaţie din (27) ar da

0aaxxy qj

pj

pqq =−= , deci soluţie degenerată ce conduce la ciclaj.

113


Pentru a evita ciclajul căutăm un criteriu de a alege dintre ap şi aq

vectorul ce urmează a fi înlocuit de aj. Acest criteriu este dat de metoda

perturbaţiilor stabilită de Charnes, conform căreia va ieşi din bază ap sau aq

după cum este mai mic raportul:

pj

npn

22p1pp

aa...aax ε++ε+ε+

(32)

sau: qj

nqn

22q1qq

aa...aax ε++ε+ε+

, unde ε > 0, arbitrar de mic.

Practic aplicarea metodei constă în următoarele calcule: se formează

şirurile de rapoarte:

pj

pn

pj

1p

pj

p

aa

,...,aa

,ax (33)

şi: qj

qn

qj

1q

qj

q

aa

,...,aa

,ax (34)

Dintre rapoartele (32) va fi cel mai mic acela pentru care în şirul (33)

respectiv (34) vom obţine mai curând o valoare algebrică minimă.

Rapoartele din (33) şi (34) nu pot fi respectiv egale deoarece, în caz contrar,

proporţionalitatea a două linii din matricea A implică rangA < m, ceea ce

contrazice ipoteza în care lucrăm.

Exemplu

O problemă în care se cere minimizarea funcţiei de eficienţă a

condus la următoarea iteraţie din tabelul simplex:

B XB a1 a2 a3 a4 a5 a6 θ a6 a4 a5

7 2 4

3↓ 1 2

4 3 -1

1 -1 1

0 1 0

0 0 1

1 0 0

7:3 2:1 4:2

∆j = fj - cj 6 3 -5 0 0 0

114

Programare liniară

Cea mai mică valoare a lui θ este 2 şi corespunde vectorilor a4

respectiv a5 din bază. Unul dintre aceştia trebuie eliminat şi a1 trebuie

introdus în bază.

În conformitate cu relaţiile (33) şi (34), formăm şirurile de rapoarte

pentru a4 respectiv a5:

,...21,

21,

22,

24

,...11,

13,

11,

12

−

−

Comparăm rapoartele de acelaşi ordin din cele două şiruri şi

observăm că primul raport mai mic este ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

21 apărut pe linia lui a5

(comparat cu valoarea 13 corespunzătoare lui a4), deci a5 va fi eliminat şi

a31 = 2 va fi pivotul. În rest, calculele sunt conforme cu algoritmul simplex.

7. Dacă în matricea A nu există m vectori unitari care să formeze o

bază iniţială vom recurge la aşa-numita metodă a bazei artificiale sau

metoda penalizării.

Presupunem că matricea A nu conţine nici un vector unitar de

ordinul m. Atunci, se adaugă la fiecare restricţie i o variabilă yi ≥ 0 numită

artificială şi se obţine vectorul Y = (y1, ..., ym)T.

Problema dată de (7), (8), (9) va deveni:

AX + Im Y = b

X ≥ 0, Y ≥ 0; Im – matricea unitate de ordinul m, cu modificarea

funcţiei obiectiv prin metoda penalizării:

[max]f = CX – MY

sau [min]f = CX + MY

115


unde M = (M, ..., M) ∈ ℝm, cu M > 0, oricât de mare, fapt ce asigură

eliminarea vectorilor artificiali din bază.

Vectorii corespunzători variabilelor artificiale îi vom nota respectiv

cu αi, i = m,1 , şi îi vom numi vectori artificiali. Vectorii artificiali formează

o bază iniţială canonică pe care o vom numi bază artificială.

Dacă problema iniţială admite soluţie optimă, atunci ea este optimă

şi pentru problema extinsă, iar variabilele artificiale yi sunt nule, (∀)

i = m,1 .

Dacă matricea A are r vectori unitari atunci va fi nevoie doar de m –

r vectori artificiali pentru a obţine baza iniţială în aplicarea algoritmului

simplex.

Un vector artificial ce iese din bază într-o iteraţie nu se va mai

întoarce niciodată în bază; componentele lui în următoarele iteraţii nu se mai

calculează.

Aplicarea algoritmului simplex poate conduce la una din situaţiile:

a) Testul de optimalitate este îndeplinit şi în bază nu se află vectori

artificiali. Atunci s-a obţinut soluţia optimă şi pentru problema

iniţială;

b) Testul de optimalitate este îndeplinit, în bază se află vectori

artificiali, iar variabilele artificiale corespunzătoare acestora au

valoarea zero. În acest caz soluţia optimă a problemei iniţiale este

degenerată;

c) Testul de optimalitate este îndeplinit, în bază se află vectori

artificiali şi cel puţin o variabilă artificială este nenulă. În acest

caz problema iniţială nu are soluţie.

116

Programare liniară

Între soluţiile problemei iniţiale şi cele ale problemei extinse (ce

conţine variabilele artificiale) există unele legături date de următoarele

rezultate:

a) Problema iniţială are cel puţin o soluţie posibilă dacă şi numai

dacă cea extinsă are o soluţie optimă cu toate variabilele

artificiale egale cu zero. Valorile optime ale celor două probleme

coincid;

b) Dacă problema extinsă are optim infinit, atunci cea iniţială nu are

soluţii posibile sau are optim infinit;

c) Dacă problema iniţială are optim infinit, atunci şi cea extinsă are

optim infinit.

Exemplu

Să se rezolve problema de programare liniară şi apoi să se explice

rezultatul:

[max]f = 3x1 + 4x2 + x3

5x1 – x2 + 2x3 ≤ 7

x1 + 2x2 – x3 ≥ 4

3x1 + 2x2 + 4x3 = 2

xj ≥ 0, j = 3,1

Rezolvare

Aducem problema la forma standard:

5x1 – x2 + 2x3 + x4 = 7

x1 + 2x2 – x3 – x5 = 4

3x1 + 2x2 + 4x3 = 2

xj ≥ 0, j = 5,1

117


Matricea asociată formei standard este:

a1 a2 a3 a4 a5

A = ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−−

−

0042310121

01215

A conţine un singur vector unitar, a4 şi pentru formarea matricei unitate se impune folosirea vectorilor artificiali α1 = (0,1,0)T şi α2 = (0,0,1)T ce vor fi generaţi de adunarea la a doua şi a treia restricţie a variabilelor artificiale y1 respectiv y2, a căror valoare este egală cu zero pentru a rămâne problema la forma standard. Astfel problema dată se extinde la:

[max]f = 3x1 + 4x2 + x3 + 0(x4 + x5) – M(y1 + y2), M > 0, M → ∞. 5x1 – x2 + 2x3 + x4 = 7 x1 + 2x2 – x3 – x5 + y1 = 4 3x1 + 2x2 + 4x3 + y2 = 2 x1, ..., x5, y1, y2 ≥ 0 Matricea problemei extinse va fi: a1 a2 a3 a4 a5 α1 α2

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−−

−=

100042301101210001215

A

şi conţine baza canonică B = ⎨a4, α1, α2⎬ - bază artificială. Aplicăm

algoritmul simplex: 3 4 1 0 0 -M -M B CB XB a1 a2 a3 a4 a5 α1 α2

a4

α1 ← α2

0 -M -M

7 4 2

5 1 3

-1↓ 2 2

2 -1 4

1 0 0

0 -1 0

0 1 0

0 0 1

- 4:2 2:2

fj -6M -4M -4M -3M 0 M -M -M ∆j = cj - fj 3+4M 4+4M 1+3M 0 -M 0 0

a4

α1 a2

0 -M 4

8 2 1

13/2 -2 3/2

0 0 1

4 -5 2

1 0 0

0 -1 0

0 1 0

⏐ ⏐ ⏐

fj 4-2M 2M+6 4 5M+8 0 M -M ∆j= cj - fj -2M-3 0 -5M-7 0 -M 0

118

Programare liniară

În ultima iteraţie toate diferenţele ∆j ≤ 0, deci criteriul de optim este

satisfăcut. Dar ultima bază e formată din ⎨a4, α1, a2⎬, deci conţine un vector

artificial, iar variabila artificială corespunzătoare y1 = 2, ceea ce este

inadmisibil pentru că y1 a fost introdus cu condiţia să aibă valoarea zero.

Această problemă nu are soluţii.

8. O verificare a corectitudinii calculelor poate fi făcută într-un mod

exemplificat pe problema rezolvată în paragraful 4, astfel:

Soluţia optimă este XB = (64/7, 12/7)T şi în baza optimă sunt vectorii

a2 şi a1. Dacă B este matricea formată cu componentele vectorilor a2 şi a1,

atunci: B = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛4112

.

Matricea B-1 (inversa lui B) se citeşte pe coloanele din ultima

iteraţie, ce corespund vectorilor din baza iniţială (a4 şi a5). Astfel:

B-1 = ⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−

72

71

71

74

.

Rezolvarea este corectă dacă XB = B-1b, unde b = (20, 16)T. Într-

adevăr: XB = B-1b = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−

7/127/64

1620

72

71

71

74

, deci rezolvarea este corectă.

119


6. Dualitatea în programarea liniară

Fie o problemă de programare liniară sub forma cea mai generală, cu

m restricţii (unele de forma „≤”, altele „≥”, iar altele egalităţi), n variabile

(unele ≥ 0, altele ≤ 0, iar altele oarecare) şi funcţia de eficienţă de maxim.

Definiţie: Spunem că o restricţie a problemei este concordantă cu

funcţia obiectiv dacă este de tipul „≤” în cazul problemei

de maxim sau „≥” în cazul problemei de minim.

În caz contrar, restricţiile se numesc neconcordante (cu „≥” pentru

maxim şi „≤” pentru minim).

Problemei date iniţial, numită primală îi vom ataşa în mod unic o nouă problemă numită duală, obţinută aplicând următoarele reguli:

1. Dacă primala cere maximul (respectiv minimul) funcţiei obiectiv, atunci duala cere minimul (respectiv maximul) funcţiei obiectiv;

2. Coeficienţii funcţiei obiectiv din primală sunt termenii liberi din duală; termenii liberi din primală sunt coeficienţii funcţiei obiectiv din duală;

3. Matricea coeficienţilor sistemului de restricţii A se transpune în duală;

4. Numărul restricţiilor din primală este egal cu numărul variabilelor din duală; numărul variabilelor din primală este egal cu numărul restricţiilor din duală;

5. Unei restricţii concordante din primală îi corespunde o variabilă nenegativă în duală; unei restricţii neconcordante din primală îi corespunde o variabilă nepozitivă în duală; unei egalităţi din primală îi corespunde o variabilă oarecare în duală;

6. Unei variabile nenegative din primală îi corespunde o restricţie concordantă în duală; unei variabile nepozitive din primală îi

120

Programare liniară

corespunde o restricţie neconcordantă în duală; unei variabile oarecare în primală îi corespunde o egalitate în duală.

Problema primală împreună cu duala sa spunem că formează un cuplu de probleme duale. Iar din regulile de mai sus rezultă că duala dualei este problema primală.

Exemplu Fie problema primală: [max]f(X) = 6x1 – x2 + 4x3 – 2x4

x1 + x2 – 2x3 ≥ 5

3x1 + 4x2 + x4 ≤ 9

2x1 + x2 + x3 + 2x4 = 8

x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≤ 0, x4 oarecare.

A = ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ −

895

b;211210430211

; c = (6, -1, 4, -2); X = (x1, x2, x3, x4)T.

Transpusa matricei A:

AT =

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−210102141231

.

Problema duală este o problemă de minim, ce va avea 4 restricţii şi 3 necunoscute u1, u2, u3, ce vor determina vectorul U = (u1, u2, u3), şi are forma:

[min]g(U) = 5u1 + 9u2 + 8u3

u1 + 3u2 + 2u3 ≥ 6

u1 + 4u2 + u3 ≥ -1

-2u1 + u3 ≤ 4 u2 + 2u3 = -2

u1 ≤ 0, u2 ≥ 0, u3 – oarecare.

121


În particular, pentru primala sub forma canonică de tipul I:

[max]f(X) = CX

AX ≤ b (35)

X ≥ 0

se obţine duala:

[min]g(U) = Ub

UA ≥ C (36)

U ≥ 0

adică o problemă canonică de tipul II.

Spunem că aceste două probleme formează un cuplu de probleme

simetrice.

Dacă primala are forma standard:

[max]f(X) = CX

AX = b

X ≥ 0

duala ei va fi:

[min]g(U) = Ub

UA ≥ C

U – oarecare.

Importanţa trecerii la duală constă în faptul că între soluţiile celor

două probleme există o legătură foarte strânsă, care va fi pusă în evidenţă

prin proprietăţile de mai jos. Pentru simplificarea expunerii, vom considera

un cuplu de probleme duale simetrice, date de relaţiile (35) şi (36).

Proprietatea 1: Dacă X şi U sunt soluţii posibile pentru problema

primală (35), respectiv duală (36) atunci:

CX ≤ Ub (37)

122

Programare liniară

Demonstraţie:

Dacă U este soluţie posibilă pentru duală, din (36) rezultă că:

C ≤ UA

Înmulţim în dreapta cu X, care fiind nenegativ, nu schimbă sensul

inegalităţii:

CX ≤ (UA)X = U(AX) ≤ Ub

(am ţinut seama că AX ≤ b, din (35)).

Proprietatea 2: Dacă X şi U sunt soluţii posibile pentru problema

primală (35) respectiv duală (36) care satisfac relaţia:

C X = U b (38)

atunci X este soluţie optimă a problemei (35), iar U este soluţie optimă a

problemei (36).

Demonstraţie:

Presupunem prin reducere la absurd că X care satisface relaţia (38)

nu este soluţie optimă pentru primală. Atunci există o soluţie posibilă X

astfel încât:

CX > C X = U b,

adică CX > U b, relaţie ce contrazice rezultatul (37) din proprietatea 1. Deci

X este soluţie optimă pentru problema primală.

În mod similar se demonstrează că U este soluţie optimă a

problemei (36).

Observaţii:

1) Deoarece relaţia (37) are loc pentru orice pereche X, U de soluţii

posibile ale problemelor (35) şi (36), atunci vom avea şi [max]CX ≤ [min]Ub

X ∈ ⎨X ⏐ AX ≤ b, X ≥ 0⎬ U ∈ ⎨U ⏐ UA ≥ C, U ≥ 0⎬

123


2) Dacă problema (35) nu are optim finit atunci problema (36) nu are

soluţii. Într-adevăr, dacă optimul lui (35) este + ∞ ar urma ca

optimul lui (36) să ia aceeaşi valoare, ceea ce nu este posibil

pentru o problemă de minim. Analog dacă (36) are minimul (- ∞)

problema (35) nu poate avea soluţii.

Teorema fundamentală a dualităţii

Pentru orice cuplu de probleme duale este posibilă numai una dintre

următoarele situaţii:

a) ambele probleme au soluţii posibile; în acest caz vom avea soluţii

optime pentru ambele probleme, iar valorile funcţiilor de eficienţă

coincid;

b) una din probleme are soluţii posibile iar cealaltă nu are; în acest

caz prima problemă are optim infinit;

c) nici una din probleme nu are soluţii posibile şi deci nici una nu

are soluţii optime.

Primele două proprietăţi demonstrează o bună parte din concluziile

acestei teoreme. Ar mai trebui arătat că dacă ambele probleme au soluţii

optime este valabilă şi reciproca proprietăţii 2.

Teorema ecarturilor complementare

Pentru un cuplu de probleme duale (35) şi (36) condiţiile necesare şi

suficiente ca soluţiile lor posibile X şi respectiv U să fie optime sunt:

U (b - A X ) = 0 şi ( U A – C) X = 0 (39)

124

Programare liniară

Demonstraţie:

Pentru început să arătăm necesitatea condiţiilor adică, presupunând

că X şi U sunt soluţii optime să deducem că relaţiile (39) sunt verificate.

Într-adevăr, dacă X şi U sunt soluţii optime pentru (35) şi (36) ele

sunt şi soluţii posibile. Deci:

U ≥ 0 şi b - A X ≥ 0

X ≥ 0 şi U A – C ≥ 0

de unde rezultă că:

U (b - A X ) ≥ 0

( U A – C) X ≥ 0

Adunăm ultimele două relaţii şi obţinem:

U (b - A X ) + ( U A – C) X = U b - U A X + U A X - C X =

= U b - C X = 0.

Dar suma a două numere nenegative este nulă numai dacă ambele

numere sunt nule. Rezultă deci relaţiile (39).

Pentru a demonstra suficienţa condiţiilor, să însumăm relaţiile (39)

presupuse adevărate; rezultă:

U b = C X

ceea ce implică optimalitatea soluţiilor conform proprietăţii 2.

În virtutea celor demonstrate mai sus egalităţile din (39) ne dau

următoarele informaţii asupra soluţiilor:

a) Dacă componenta i din soluţia X a primalei este strict pozitivă,

atunci restricţia i din duală este satisfăcută ca egalitate în U ;

b) Dacă componenta j din soluţia U a dualei este strict pozitivă,

atunci restricţia j din primală este satisfăcută ca egalitate în X ;

125


c) Dacă soluţia X a primalei satisface o restricţie i cu egalitate,

atunci componenta i din soluţia optimă U a dualei este strict

pozitivă;

d) Dacă soluţia U a dualei satisface o restricţie j din duală cu

egalitate, atunci componenta j din X este strict pozitivă.

7. Legătura dintre soluţiile problemelor duale

Din cele expuse s-au obţinut unele informaţii asupra soluţiei dualei

după rezolvarea primalei, cea mai importantă fiind aceea că valorile optime

ale funcţiilor de eficienţă sunt egale. Vom arăta în continuare că prin

rezolvarea uneia din cuplu de probleme duale se obţine implicit şi soluţia

celeilalte care se citeşte pe tabelul de optim al celei rezolvate.

Examinăm în continuare cazul problemelor din (35) şi (36). Pentru

rezolvare problema primală (35) se aduce la forma standard folosind

variabilele de compensare xn+1, ..., xn+m ≥ 0.

Fie X o soluţie optimă pentru (35), deci pentru care ∆j = cj – fj ≤ 0,

j = 1, 2, ..., n + m, unde:

fj = cBB-1aj, j = 1, 2, ..., n

fj = cBB-1ej, j = n+1, ..., n+m

cu ej – vectorul j din matricea unitate de ordinul m, introdus de variabila de

compensare xn+j, j = 1, ..., m.

Deci pentru X avem relaţiile:

∆j = cj – fj = cj – cBB-1aj ≤ 0, j = 1, ..., n (40)

∆j = cj – fj = 0 – cBB-1ej ≤ 0, j = n+1, ..., n+m.

126

Programare liniară

Dacă matricea A = (a1, ..., an), relaţia UA ≥ C din (36) se mai scrie:

UA = U(a1, ..., an) ≥ C

din care componenta j este:

Uaj ≥ cj, j = 1, ..., n, adică cj – Uaj ≤ 0.

Din acest rezultat şi din relaţia (40) rezultă că

U = cBB-1 (41)

este soluţie posibilă a dualei, deci soluţie optimă conform teoremei

fundamentale a dualităţii.

Funcţia de eficienţă corespunzătoare din (36) este:

g(U) = g(cBB-1) = (cBB-1) ⋅ b = cB(B-1b) = cB ⋅ X = f( X ).

Atunci soluţia U este optimă pentru duală.

Practic soluţia optimă a dualei cBB-1 se citeşte pe linia fj din etapa de

optim în dreptul coloanelor ce corespund vectorilor unitari ce au format

baza iniţială.

Rezolvarea dualei este mai indicată decât a primalei când duala este

mai uşor de rezolvat cu algoritmul simplex (are mai puţine restricţii sau mai

puţine variabile decât primala). O aplicaţie a acestui calcul o vom găsi la

jocurile matriceale.

Aplicaţie:

1) Fie problema de programare liniară:

[min]f(X) = 10x1 + 8x2 + 5x3

x1 + 2x2 ≥ 3

2x1 + 3x3 ≥ 6

3x1 + 2x2 + x3 ≥ 8

x2 + x3 ≥ 7

xj ≥ 0; j = 1, 2, 3.

127


Să se scrie problema duală, să se rezolve aceasta şi să se indice

soluţiile optime ale cuplului de probleme duale.

Rezolvare

Problema duală este:

[max]g(U) = 3u1 + 6u2 + 8u3 + u4

u1 + 2u2 + 3u3 ≤ 10

2u1 + 2u3 + u4 ≤ 8

3u2 + u3 + u4 ≤ 5

ui ≥ 0; i = 4,1 .

Forma standard va fi:

u1 + 2u2 + 3u3 + u5 = 10

2u1 + 2u3 + u4 + u6 = 8

3u2 + u3 + u4 + u7 = 5

ui ≥ 0; i = 7,1 .

[max]g(U) = 3u1 + 6u2 + 8u3 + u4 + 0(u5 + u6 + u7)

a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7

A = ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

100113001012020010321

şi B = ⎨a5, a6, a7⎬ - baza iniţială.

Rezolvăm duala cu algoritmul simplex în următorul tabel.

128

Programare liniară

3 6 8 1 0 0 0 B CB UB a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 θ

←a5 a6 a7

0 0 0

10 8 5

1 2 0

2 0 3

3↓ 2 1

0 1 1

1 0 0

0 1 0

0 0 1

10:3 8:2 5:1

gj 0 0 0 0 0 0 0 0 ∆j = cj - gj 3 6 8 1 0 0 0

a3

←a6 a7

8 0 0

10/3 4/3 5/3

1/3 4/3 -1/3

2/3 -4/3 7/3

1 0 0

0↓ 1 1

1/3 -2/3 -1/3

0 1 0

0 0 1

- 4/3 5/3

gj 80/3 8/3 16/3 8 0 8/3 0 0 ∆j 1/3 2/3 0 1 -8/3 0 0

a3 a4

←a7

8 1 0

10/3 4/3 1/3

1/3 4/3 -5/3

2/3↓ -4/3 11/3

1 0 0

0 1 0

1/3 -2/3 1/3

0 1 -1

0 0 1

10:2 -

1:11 gj 84/3 4 4 8 1 2 1 0

∆j -1 2 0 0 -2 -1 0 a3 a4 a2

8 1 6

36/11 16/11 1/11

7/11 8/11 -5/11

0 0 1

1 0 0

0 1 0

3/11 -6/11 1/11

2/11 7/11 -3/11

-2/11 4/11 3/11

gj 310/11 34/11 6 8 1 24/11 5/11 6/11 ∆j -1/11 0 0 0 -24/11 -5/11 -6/11

Soluţia optimă a dualei este unică şi anume:

U = ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ 0,0,0,

1116,

1136,

111,0 şi [max]g(U) =

11310 .

Soluţia optimă a problemei primale este unică şi se află pe linia gj a

ultimei iteraţii din tabelul simplex în dreptul vectorilor a5, a6, a7 ce au format

baza iniţială.

Citim: [min]f(X) = 11310 , X =

T

116,

115,

1124

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ .

Observaţie: Rezolvarea primalei cu algoritmul simplex ar fi condus

la o problemă cu 4 restricţii şi 11 variabile (3 date, 4 de compensare şi 4

artificiale), într-un tabel mai mare, cu calcule mai multe. Deci, în acest caz,

rezolvarea primalei prin duală este modul cel mai simplu.

129


2) Fie problema primală:

[min]f(X) = 4x1 + 5x2

2x1- 3x2 ≥ 6

-x1 + x2 ≥ 1

x1, x2 ≥ 0

Să se scrie duala şi apoi să se cerceteze existenţa soluţiilor optime

ale cuplului de probleme duale.

Rezolvare

Duala are forma:

[max]g(U) = 6u1 + u2

2u1- u2 ≤ 4

-3u1 + u2 ≤ 5

u1, u2 ≥ 0

Se aduce la forma standard:

2u1- u2 + u3 = 4

-3u1 + u2 + u4 = 5

ui ≥ 0; i = 4,1 , cu:

a1 a2 a3 a4

A = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−10130112

unde baza iniţială B = ⎨a3, a4⎬, iar funcţia de eficienţă:

[max]g = 6u1 + u2 + 0(u3 + u4).

130

Programare liniară

6 1 0 0 B CB UB a1 a2 a3 a4

←a3 a4

0 0

4 5

2↓ -3

-1 1

1 0

0 1

-

gj 0 0 0 0 0 ∆j = cj-gj 6 1 0 0 a1 a4

6 0

2 11

1 0

-1/2↓ -1/2

1/2 3/2

0 0

- -

gj 12 6 -3 3 0 ∆j 0 4 -3 0

Ar trebui să intre în bază a2 (∆2 = 4 > 0) dar toate componentele de

pe coloana lui sunt negative. Atunci observaţia 5 din paragraful 5 ne spune

că problema duală (de maxim) are optim infinit, iar observaţia de la

proprietatea 2 ne spune că atunci problema primală (de minim) nu are

soluţii.

8. Problema transporturilor

8.1 Forma generală

Presupunem că un anumit tip de produs se găseşte depozitat în m

centre furnizoare A1, ..., Am, în cantităţi respectiv egale cu a1, ..., am. Acest

produs urmează să fie transportat în n puncte beneficiare B1, ..., Bn, unde

necesarul este, respectiv b1, ..., bn. Admitem cunoscute costurile unitare de

transport cij (costul de transport al unei unităţi de produs de la Ai la Bj),

i = m,1 , j = n,1 . Să determinăm planul optim de transport, altfel spus

cantităţile xij ce vor fi transportate de la Ai la Bj, i = m,1 , j = n,1 , astfel

încât cheltuielile totale de transport să fie minime.

131


Prezentăm datele problemei transporturilor (problema T) în următorul tabel:

Bj

Ai B1 ... Bj ... Bn D

A1 c11/x11 ... c1j/x1j ... c1n/x1n a1

∶ ∶ ∶ ∶ ∶ ∶ ∶

Ai ci1/xi1 ... cij/xij ... cin/xin ai

∶ ∶ ∶ ∶ ∶ ∶ ∶

Am cm1/xm1 ... cmi/xmi ... cmn/xmn am

N b1 ... bj ... bn

în care linia N este linia necesarului, iar coloana D este coloana

disponibilului.

Modelul matematic al acestei probleme este:

[min]f(X) = ∑∑= =

m

1i

n

1jijijxc (1)

≤∑=

n

1jijx ai, i = m,1 ,

≥∑=

m

1iijx bj, j = n,1 ,

xij ≥ 0, i = m,1 , j = n,1 , (3)

deci modelul unei probleme de programare liniară, la care mai putem

adăuga condiţii de nenegativitate pentru ai, bj, cij, i = m,1 , j = n,1 .

Definiţia 1: Problema T se numeşte echilibrată dacă:

∑∑==

=n

1jj

m

1ii ba .

În caz contrar problema T se numeşte neechilibrată.

(2)

132

Programare liniară

Observaţie: O problemă T neechilibrată se transformă în problemă T

echilibrată astfel:

a) dacă ∑∑==

<m

1ii

n

1jj ab , se introduce un beneficiar Bn+1 fictiv, pentru

care necesarul va fi bn+1 = ∑∑==

−n

1jj

m

1ii ba , iar costurile de transport

ci,n+1, i = m,1 vor fi egale cu zero;

b) dacă ∑∑==

>m

1ii

n

1jj ab , se introduce un furnizor fictiv Am+1, pentru

care disponibilul va fi am+1 = ∑∑==

−m

1ii

n

1jj ab , iar costurile de

transport cm+1, j, j = n,1 , vor fi egale cu zero.

Deci orice problemă T poate fi adusă la forma echilibrată.

Teorema 1:

Condiţia necesară şi suficientă pentru ca problema T să aibă forma

standard (relaţiile (2) să fie egalităţi) este

∑∑==

=n

1jj

m

1ii ba (4)

Demonstraţie: Suficienţa.

Dacă relaţia (4) este adevărată, să presupunem că una din restricţiile

(2) este satisfăcută cu inegalitatea strictă. Fie aceasta:

∑=

n

1jkjx < ak, k – fixat, 1 ≤ k ≤ m. Atunci:

∑ ∑∑∑∑∑= = === =

≤=<m

1i

n

1j

m

1iij

n

1jji

m

1i

n

1jij xbax

relaţie imposibilă, deoarece primul şi ultimul termen reprezintă aceeaşi

valoare.

133


Un raţionament analog se face pentru restricţiile de forma:

∑=

>m

1ikil bx , l – fixat, 1 ≤ l ≤ n.

Deci relaţiile (2) pot fi numai egalităţi, adică problema T are forma

standard.

Necesitatea.

Dacă relaţiile (2) sunt egalităţi, atunci:

∑ ∑∑∑ ∑∑= === = =

===n

1j

n

1jj

m

1iij

m

1i

m

1i

n

1jiji bxxa , adică relaţia (4).

Modelul matematic al unei probleme T echilibrate este:

[min]f(X) = ∑∑= =

m

1i

n

1jijijxc (1’)

∑=

=n

1jiij ax , i = m,1 (2’)

∑=

=m

1ijij bx , j = n,1

xij ≥ 0, i = m,1 , j = n,1 (3’)

În cele ce urmează vom presupune problema T echilibrată.

Definiţia 2: O matrice X = (xij), i = m,1 , j = n,1 ale cărei

componente satisfac condiţiile (2’) şi (3’), se numeşte plan de transport sau

soluţie posibilă (admisibilă) a problemei T.

Propoziţia 1.

Mulţimea soluţiilor posibile ale unei probleme T echilibrate este

nevidă.

134

Programare liniară

Demonstraţie:

Fie matricea X = (xij), i = m,1 , j = n,1 , unde

xij = Sba ji , i = m,1 , j = n,1 şi S = ∑ ∑

= =

=m

1i

n

1jji ba . Atunci:

n,1j,bSSb

aSb

Sba

x

m,1i,aSSab

Sa

Sba

x

jj

m

1i

m

1i

m

1ii

jjiij

ii

n

1j

n

1j

n

1jj

ijiij

=====

=====

∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑

= = =

= = =

adică X satisface relaţiile (2’).

Dar xij ≥ 0, deoarece ai ≥ 0, bj ≥ 0, S > 0, (∀)i = m,1 şi (∀) j = n,1 .

X satisface şi (3’), deci X e soluţie posibilă.

Matricea coeficienţilor necunoscutelor din relaţia (2’) o vom nota cu

M. Ea are m + n linii şi mn coloane. Pentru m, n ≥ 2, min(m+n, mn) = m + n

şi deci rangA ≤ m + n. Toate coloanele conţin de două ori valoarea 1, restul

elementelor fiind egale cu zero.

Propoziţia 2.

rangM = m + n – 1.

Demonstraţie:

Explicităm relaţiile (2’):

x11 + x12 + ...+ x1n = a1 x21 + x22 + ...+ x2n = a2

∶ ∶ xm1 + xm2 + ...+ xmn = am x11 + x21 + ...+ xm1 = b1 x12 + x22 + ...+ xm2 = b2

∶ ∶ x1n + x2n + ...+ xmn = bn

135


şi notăm cu aij vectorul coloană format cu coeficienţii necunoscutei xij.

Matricea M va avea forma:

a11 a12 ... a1n a21 a22 ... a2n ... am1 am2 ... amn

M =

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

100100100

010010010

001001001

111000000

000111000

000000111

LLLL

MMMMMMMMMMMMM

LLLL

LLLL

LLLL

MMMMMMMMMMMMM

LLLL

LLLL

Am separat cu o linie coeficienţii primelor m linii.

Observăm că ultima linie din M se obţine din suma primelor m linii

minus suma următoarelor n – 1 linii, adică ultima linie este o combinaţie

liniară a celorlalte linii. Suprimând ultima linie şi reţinând doar coloanele

corespunzătoare vectorilor a1n, a2n, ..., amn, a11, a12, ..., a1n-1, obţinem o

matrice pătratică de ordinul m + n – 1 ale cărei elemente aflate sub

diagonala principală sunt nule, iar cele de pe diagonala principală sunt egale

cu 1. Determinantul acestei matrici este egal cu 1 şi deci

rangM = m + n – 1.

Din cele expuse până acum, deducem:

- o problemă T echilibrată este o problemă de programare liniară sub

forma standard;

- ea admite cel puţin o soluţie posibilă;

- rangul matricei sistemului de restricţii este m + n -1, deci există

m + n – 1 vectori coloană liniar independenţi ce vor forma o bază a

spaţiului ℝm+n-1. Prin urmare, va exista cel puţin o soluţie de bază

136

Programare liniară

cu cel mult m + n – 1 componente pozitive. Când soluţia de bază va

avea m + n – 1 componente pozitive, ea se va numi soluţie de bază

nedegenerată. În cazul în care numărul componentelor pozitive

este mai mic ca m + n – 1, spunem că avem o soluţie de bază

degenerată.

Definiţia 3: O problemă T se numeşte degenerată dacă ea admite o

soluţie de bază degenerată.

Teorema 2:

Condiţia necesară şi suficientă ca o problemă T să fie degenerată

este să existe un sistem de indici i1, ..., ip, j1, ..., jr, p < m, r < n, astfel încât:

∑ ∑= =

=p

1k

r

1hjhik ba .

Observăm că sunt îndeplinite toate condiţiile pentru aplicarea

metodei simplex. Totuşi, după cum se va vedea în continuare, în cazul

problemei T este mai uşor să se aplice o altă metodă.

8.2 Soluţii posibile de bază iniţiale

Ca şi în utilizarea metodei simplex, în metoda de rezolvare a

problemei T soluţia optimă se găseşte pornind de la o soluţie posibilă de

bază oarecare, aplicând apoi un procedeu de îmbunătăţiri succesive.

Prezentăm în continuare câteva metode de determinare a soluţiilor

posibile de bază pentru problema T echilibrată.

137


1. Metoda Nord-Vest

Se consideră problema T echilibrată şi se scrie tabelul în care se află

datele problemei: disponibilităţile ai, necesităţile bj şi costurile unitare de

transport cij, i = m,1 , j = n,1 . Fie X = (xij), i = m,1 , j = n,1 , matricea

necunoscutelor problemei, pe care, într-un alt tabel, ne pregătim să o

completăm. Procedeul porneşte cu asignarea unei valori necunoscutei aflate

în colţul de Nord-Vest al tabelului dat, punându-se x11 = min(a1, b1).

Dacă min(a1, b1) = a1, se completează elementele primei linii cu

zero. Apoi, mergem pe coloana întâi şi alegem x21 = min(b1 – x11, a2). Când

avem x21 = b1 – x11, elementele rămase pe coloană devin nule. Altfel, dacă

x21 = a2, toate celelalte elemente de pe linia a doua sunt zero.

În cazul când min(a1, b1) = b1, poziţiile rămase libere în prima

coloană primesc valoarea zero. Apoi, comparăm a1 – x11 cu b2 şi minimul lor

va fi x12. Dacă x12 = a1 – x11, restul de elemente de pe linia întâi se anulează.

Altfel, dacă x12 = b2, elementele de la x22 la xm2 devin zero.

Procedeul continuă în modul descris mai sus, până la epuizarea

elementelor de comparat. Liniile sau coloanele care se completează cu

zerouri le considerăm detaşate de matricea iniţială, pentru a ne concentra

atenţia asupra elementului din colţul de nord-vest (stânga-sus) al unei

matrice de dimensiuni din ce în ce mai mici.

Exemplu

Considerăm problema T din următorul tabel:

BjAi

B1 B2 B3 B4 D

A1 A2 A3

3 2 7

1 5 3

2 1 3

4 6 1

201030

N 12 9 18 21

138

Programare liniară

Problema este echilibrată: ∑ ∑= =

==3

1i

4

1jji 60ba .

Luăm pentru x11 = min(20, 12) = 12, restul elementelor coloanei 1

fiind nule. Mai departe, x12 = min(20 – 12, 9) = 8 şi completăm prima linie,

punând x13 = x14 = 0. Trecem apoi la x22 = min(10, 9 – 8) = 1 şi completăm

coloana a doua cu x32 = 0. În linia a doua, calculăm x23 = min(10-1, 18) = 9

şi vom avea deci x24 = 0, care încheie această linie.

În sfârşit, x33 = min(18-9, 30) = 9 şi astfel, x34 = 21. Soluţia obţinută

o scriem în tabelul:

12 8

1 9

9 21

în care elementele nenule sunt x11, x12, x22, x23, x33 şi x34, în număr de

m + n -1 = 3 + 4 – 1 = 6. Deci avem o soluţie de bază nedegenerată. Costul

total corespunzător acestei soluţii este:

3 ⋅ 12 + 1 ⋅ 8 + 5 ⋅ 1 + 1 ⋅ 9 + 3 ⋅ 9 + 1 ⋅ 21 = 106.

Observaţie: Metoda expusă operează numai cu valorile ai şi bj, fără a

lua în considerare elementele cij ale matricei costurilor unitare. Este evident

că un cost total mai mic se va obţine utilizând rutele cu costuri unitare mai

mici. Această observaţie este folosită în metodele care urmează.

2. Metoda costului minim pe linie

Se determină mai întâi c1k = minc1j şi apoi x1k = min(a1, bk). Se

înlocuiesc a1 şi bk cu a1 – x1k şi respectiv bk – x1k, după care se suprimă linia

1 sau coloana k căreia îi corespunde diferenţa nulă şi se repetă procedeul în

tabelul rămas până când sunt satisfăcute toate cererile.

1≤j≤n

139


Pe exemplul nostru c1k = c12 = 1 şi deci x12 = min(20,9) = 9. Se

înlocuieşte a1 cu 20 – 9 = 11 şi b2 cu 0, după care se suprimă coloana a

doua şi repetând procedeul se obţine soluţia:

9 11

3 7

9 21

nedegenerată, pentru care costul total va fi 128.

3. Metoda costului minim pe coloană

Se determină cl1 = mi1

min≤≤

ci1 şi se ia xl1 = min(al, b1), înlocuindu-se

apoi al şi b1 prin al – xl1 respectiv b1 – xl1, după care se suprimă linia l sau

coloana 1 şi se obţine un tabel redus pe care se repetă procedeul până când

toate cererile sunt satisfăcute. În exemplul nostru c1l = c21 şi

x21 = min(10, 12) = 10.

Se înlocuieşte b1 cu 12 – 10 = 2, a2 cu 0, se suprimă linia a doua,

ş.a.m.d., obţinându-se în final soluţia:

2 9 9

10

9 21

nedegenerată, cu costul total 101.

4. Metoda costului minim din matrice

Se caută ckp = nj1mi1

min≤≤≤≤

cij şi se ia xkp = min(ak, bp), iar ak şi bp se

înlocuiesc prin ak – xkp respectiv bk – xkp, după care se suprimă linia k sau

coloana p şi se obţine un tabel redus în care se repetă procedeul de mai sus

până când toate cererile sunt satisfăcute.

140

Programare liniară

În exemplul nostru ckp = c12 sau c23 sau c34. Presupunem că este c12 şi

se ia x12 = min(a1, b2) = (20, 9) = 9, anulându-se coloana a doua, iar în loc

de a1 vom lua 20 – 9 = 11 ş.a.m.d.. Obţinem:

3 9 8

10

9 21

soluţie nedegenerată pentru care costul total este 120.

8.3 Metoda potenţialelor pentru determinarea soluţiei optime

Fie problema T:

[min]f(X) = ∑∑= =

m

1i

n

1jijijxc (1’)

m,1i,ax i

n

1jij ==∑

=

(2’a)

n,1j,bx j

m

1iij ==∑

=

(2’b)

xij ≥ 0, i = m,1 , j = n,1 (3’)

Vom scrie duala acestei probleme de programare liniară astfel:

fiecărei restricţii de tipul (2’a) i se asociază o variabilă ui, i = m,1 şi fiecărei

restricţii de tipul (2’b) variabila vj, j = n,1 .

Cum fiecare variabilă apare o singură dată în (2’a) şi o singură dată

în (2’b), duala va avea forma:

[max]g = ∑ ∑= =

+m

1i

n

1jjjii vbua (5)

141


ui + vj ≤ cij, i = m,1 , j = n,1 (6)

ui şi vj fără restricţii de semn deoarece relaţiile (2’a) şi (2’b) sunt

egalităţi.

Notând x ij respectiv ( u i, v j) componentele soluţiilor optime ale

celor două probleme duale, din teorema ecarturilor complementare avem:

x ij(cij - u i - v j) = 0, i = m,1 , j = n,1 .

Pornind de la o soluţie de bază nedegenerată, unde există m + n – 1

componente xij > 0, soluţia va fi optimă dacă:

cij = ui + vj (7)

pentru toate rutele (i, j) pentru care xij > 0, dacă sunt satisfăcute relaţiile (6)

pentru restul rutelor.

Relaţiile (7) reprezintă un sistem de m + n – 1 ecuaţii cu m + n

necunoscute ui şi vj. Pentru rezolvarea sistemului dăm unei necunoscute o

valoare arbitrară, de exemplu u1 = 0.

Cu acestea, expunem algoritmul pentru determinarea soluţiei optime

pornind de la o soluţie posibilă de bază nedegenerată.

Pasul 1. Ne asigurăm ca problema T să fie echilibrată.

Pasul 2. Cu una din metodele expuse anterior determinăm o soluţie

posibilă de bază X1 şi presupunem că este nedegenerată.

Pasul 3. Se rezolvă sistemul (7) pentru u1 = 0. Un procedeu simplu

de rezolvare a sistemului (7), fără să se scrie ecuaţiile constă în transcrierea

coloanei lui ui la stânga coloanelor unei matrici m × n şi a unei linii cu

elementele vj deasupra liniilor matricei m × n, matrice ale cărei elemente

sunt costurile calculate c’ij = ui + vj, i = m,1 , j = n,1 , în care în prealabil au

fost trecute costurile unitare cij ce corespund componentelor xij > 0.

Deci, în căsuţele corespunzătoare lui xij > 0, c’ij = cij.

142

Programare liniară

Completarea coloanei lui ui şi a liniei vj se face astfel: dacă u1 = 0 şi

u1 + vp = c1p, rezultă valoarea lui vp. Dacă uq + vp = cpq, rezultă uq ş.a.m.d..

După determinarea valorilor ui, i = m,1 şi vj, j = n,1 , completăm

matricea cu cantităţile c’ij = ui + vj şi o notăm C’ = (c’ij), i = m,1 , j = n,1 ,

numind-o matricea costurilor calculate (spre a o deosebi de matricea

costurilor reale C = (cij), i = m,1 , j = n,1 , dată iniţial).

Pasul 4. Determinăm matricea ∆ = (∆ij), i = m,1 , j = n,1 , cu

∆ij = c’ij – cij. Poate apărea una din situaţiile:

a) ∆ij ≤ 0, (∀) i = m,1 , (∀) j = n,1 , caz în care condiţiile teoremei

ecarturilor complementare sunt satisfăcute şi X1 este soluţie

optimă pentru problema primală, problema T;

b) (∃) ∆ij > 0; X1 nu este optimă, ea trebuie îmbunătăţită.

Pasul 5. Dacă 00 ji∆ =

j,imax ∆ij, cu ∆ij > 0, (i0, j0) ∉ D (D fiind

mulţimea perechilor (i, j) pentru care xij > 0), introducem în matricea în care

vom construi soluţia X2, mai bună ca X1, în ruta (i0, j0), cantitatea

x00 ji = θ > 0. Se realizează un ciclu de rute, pornind şi ajungând în (i0, j0) de

forma (i0, jk), (ir, jk), (ir, js), (ip, js), ..., (it, j0), toate rutele aparţinând lui D.

Astfel se formează un lanţ, pornind din (i0, j0), schimbând direcţia

numai în rutele din D şi numai în unghi drept şi ajungând în (i0, j0). Se

examinează valorile xij din rutele de ordin impar (prima este (i0, jk)) şi se

găseşte valoarea minimă notată prin θ a acestor valori. Introducând θ în

(i0, j0), scăzând θ din xij în rutele de ordin impar şi adunând θ la valorile xij

în rutele de ordin par se obţine o nouă soluţie posibilă de bază, deoarece o

componentă a lui X1 se anulează şi în (i0, j0) apare componenta θ > 0. Dacă

143


noua soluţie este nedegenerată, se trece la pasul 3, rulând algoritmul până se

obţine condiţia de optimalitate ∆ij ≤ 0, (∀) i = m,1 , (∀) j = n,1 .

Această metodă de rezolvare a problemei T este cunoscută sub

numele de metoda potenţialelor şi i se datorează lui Dantzig.

Observaţie: Cazul în care X2 e soluţie degenerată va fi tratat ulterior.

Exemplu

Reluând exemplul de la metoda Nord-Vest, cu soluţia posibilă de

bază obţinută prin această metodă şi aplicând pasul 3 rezolvăm sistemul:

u1 + v1 = 3 u2 + v2 = 5 u3 + v3 = 3

u1 + v2 = 1 u2 + v3 = 1 u3 + v4 = 1

Pentru u1 = 0 se obţin succesiv valorile: v1 = 3, v2 = 1, u2 = 4,

v3 = -3, u3 = 6, v4 = -5.

Matricele C’ = (c’ij), c’ij = ui + vj şi ∆ = (∆ij), ∆ij = c’ij – cij, i = m,1 ,

j = n,1 sunt:

C’ = ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−−−

137911575313

şi ∆ = ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−−−

004270059500

În ∆ există valori pozitive, deci soluţia X1 (obţinută prin metoda N-

V) nu este optimă. Cea mai mare valoare pozitivă este 5 pe ruta (2, 1).

Formăm lanţul cu rutele intermediare:

(1, 1), (1, 2), (2, 2) care porneşte din poziţia (2, 1).

12 8

(2, 1) 1

144

Programare liniară

Pornind din poziţia (2, 1) se scade şi se adună alternativ valoarea θ

din fiecare vârf, astfel:

12-θ 8+θ

θ 1-θ

şi observăm că min(x11, x22) = min(12, 1) = 1, deci θ = 1.

Obţinem astfel noua soluţie de bază X2:

11 9

1 9

9 21

Reluăm pasul 3 cu rezolvarea sistemului:

u1 + v1 = 3 u2 + v1 = 2 u3 + v3 = 3

u1 + v2 = 1 u2 + v3 = 1 u3 + v4 = 1

Pentru u1 = 0 se obţine v1 = 3, v2 = 1, u2 = -1, v3 = 2, u3 = 1, v4 = 4,

pentru care matricea:

C = ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−13241102

0213 şi ∆ =

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−−−

001370501000

Deoarece toate elementele matricei ∆ sunt mai mici sau egale cu

zero, X2 este soluţia optimă şi costul total corespunzător este 101.

145


Practic este preferabil să se expună calculele sub formă de tabele.

Pentru problema rezolvată mai sus, tabelele sunt: vj

ui 3 1 -3 -5 ∆

12 8 0 3 1 -3 -5 0 0 -5 -9 12-θ 8+θ 1 9 4 7 5 1 -1 5 0 0 -7 θ 1-θ 9

X1

9 21 6 9 7 3 1 2 4 0 0 9 21 f1 = 106 vj

ui 3 1 2 0 θ = 1

11 9 0 3 1 2 0 0 0 0 -4 1 9 -1 2 0 1 -1 0 -5 0 -7

X2

9 21 1 4 2 3 1 -3 -1 0 0

8.4 Observaţii la aplicarea metodei potenţialelor

1. Dacă pentru soluţia optimă X0 avem ∆ij = 0 pentru (i, j) ∉ D se

poate obţine o nouă soluţie optimă aplicând acestei rute pasul 5 şi

introducând θ în (i, j). Vom găsi o nouă soluţie optimă X’0 şi soluţia optimă

generală va fi:

X = λX0 + (1 - λ)X’0, λ ∈ [0, 1].

În acest caz vom spune că problema T are soluţie optimă multiplă

sau are o infinitate de soluţii optime.

În exemplul precedent ∆13 = 0, deşi (1, 3) ∉ D (sunt indici din afara

bazei). Dacă în (1, 3) introducem θ şi aplicăm pasul 5, obţinem:

11-θ 9 θ

1+θ 9-θ

9 21

unde θ = min(11, 9) = 9, şi deci obţinem o nouă soluţie X3 pentru care mai

aplicăm o dată algoritmul.

146

Programare liniară

vj ui

3 1 2 0 ∆

2 9 9 0 3 1 2 0 0 0 0 -4 10 -1 2 0 1 -1 0 -5 0 -7

X3

9 21 1 4 2 3 1 -3 0 0 0

Cum toate elementele matricei ∆ sunt mai mici sau egale cu zero

noua soluţie este optimă, deci problema T are o infinitate de soluţii optime

date de:

X = λX2 + (1 - λ)X3, λ ∈ [0, 1].

Soluţia optimă X3 este tocmai soluţia iniţială de bază obţinută prin

metoda costului minim pe coloană.

2. Dacă j,i

max ∆ij = ∆pq =∆rs, ∆ij > 0, p, r ∈ ⎨1, ..., m⎬, q, s ∈⎨1, ..., n⎬,

pentru a vedea în ce rută trebuie să-l introducem pe θ, comparăm costurile

cpq şi crs şi dacă cpq < crs, introducem θ în ruta (p, q).

3. În rezolvarea problemei T poate apărea o soluţie posibilă de bază

degenerată, fapt ce ar face imposibilă rezolvarea sistemului în necunoscutele

ui şi vj din pasul 3. O astfel de situaţie poate apărea în două cazuri:

a) când soluţia iniţială de bază este degenerată. Evitarea acestui

neajuns se poate face cu metoda perturbării ce constă în reformularea

problemei, punând:

ai(ε) = ai + ε, i = m,1

bj(ε) = bj, j = 1n,1 −

bn(ε) = bn + mε, ε > 0, arbitrar de mic.

Cu aceste date determinăm soluţia iniţială de bază ale cărei

componente depind de ε. Punem condiţia ca ε → 0 şi se vor obţine

componente bazice nule pe care le tratăm ca şi când ar fi pozitive.

147


Exemplu

Fie problema T, echilibrată:

Bj

Ai B1 B2 B3 D

A1 7 8 3 40

A2 4 1 2 15

A3 5 7 6 25

N 30 10 40

şi soluţia posibilă de bază iniţială obţinută prin metoda Nord-Vest:

30 10

15

25

Observăm că numărul componentelor pozitive, patru, este mai mic

ca m + n -1 = 3 + 3 – 1 = 5, deci soluţia este degenerată.

Reformulăm problema punând:

30 10 ε 40+ε

15+ε 15+ε

25+ε 25+ε

30 10 40+3ε

Pentru ε → 0 vom avea x13 = 0, componentă bazică nulă, cu care se

va lucra ca şi când ar fi pozitivă. Spunem că x13 este un zero esenţial spre a-l

deosebi de celelalte zerouri corespunzătoare componentelor nebazice.

148

Programare liniară

b) Degenerarea poate apare la modificarea unei soluţii de bază când

pe rutele unde se scade cantitatea θ, valoarea minimă apare de două sau mai

multe ori. În acest caz se anulează două sau mai multe componente ale

soluţiei, creându-se o soluţie cu mai puţin de m + n – 1 componente

pozitive, deci degenerată.

Dintre componentele ce au devenit nule se renunţă la cea căreia îi

corespunde costul unitar cel mai mare, celelalte rămânând componente

bazice nule (zerouri esenţiale) şi se va lucra cu ele ca şi când ar fi pozitive.

Exemplu

Fie problema T echilibrată:

Bj

Ai B1 B2 B3 D

A1 4 2 1 12

A2 3 5 2 15

A3 4 2 2 2

N 5 12 12

şi soluţia ei posibilă de bază iniţială obţinută prin metoda Nord-Vest:

5 7

5 10

2

nedegenerată.

Rezolvăm problema în următorul tabel: vj

ui 4 2 -1 ∆

5 7 0 4 2 -1 0 0 -2 5-θ 7+θ 5 10 3 7 5 2 4 0 0 θ 5-θ 10

X1

2 3 7 5 2 3 3 0 2

149


θ = min(5, 5) = 5 şi noua soluţie va fi:

12

5 10

2

degenerată din cauza anulării pentru θ = 5 a două componente pozitive

(x11 şi x22). Comparând costurile c11 = 4 cu c22 = 5, c11 < c22, vom renunţa la

zeroul de pe ruta (2, 2), iar x11 = 0 va fi un zero esenţial cu care se va lucra

mai departe ca şi când ar fi un număr pozitiv.

4) Există probleme practice ce conduc la modelul matematic al

problemei T în care se cere maximizarea funcţiei obiectiv. În acest caz

metoda potenţialelor comportă următoarele modificări: în construirea unei

soluţii posibile de bază iniţiale metoda costului minim (pe linie, coloană,

total) devine metoda costului maxim şi se aplică pornind de la valoarea cea

mai mare (pe linie, coloană, în toată matricea) din C. La metoda Nord-Vest

nu se impune nici o modificare. Calculul diferenţelor ∆ij se face după

formula:

∆ij = cij – c’ij, i = m,1 , j = n,1

iar condiţia de optim este aceeaşi ∆ij ≤ 0, (∀)i = m,1 , j = n,1 .

5) Există probleme T în care practica impune evitarea unor rute, deci

cu rute interzise. Dacă ruta (k, h) nu trebuie folosită, orice soluţie va trebui

să aibă xkh = 0, rezultat care se obţine astfel:

- pentru problemele de minim se va lua ckh = M, M → ∞;

- pentru problemele de maxim se pune ckh = 0.

Raţiunea acestor înlocuiri este evidentă. În cazul minimului evitarea

rutei se face luând costul unitar foarte mare iar pentru maxim costul unitar

nul face ruta incovenabilă.

150

Programare liniară

6) Între valorile funcţiei obiectiv fi+1 pentru soluţia Xi+1 şi fi pentru

soluţia Xi există relaţia de recurenţă:

fi+1 = fi - ∆ *ijθ

pentru problema de minimizare a lui f, unde ∆ *ij este cea mai mare valoare

pozitivă în ∆, iar θ este valoarea determinată pentru îmbunătăţirea lui Xi cu

Xi+1.

Dacă problema cere maximizarea lui f, relaţia de recurenţă este:

fi+1 = fi + ∆ *ijθ.

Aplicaţie

Pornind de la o soluţie de bază iniţială obţinută prin metoda

minimului pe coloană, să se rezolve următoarea problemă T în care se cere

minimizarea funcţiei obiectiv:

Bj

Ai B1 B2 B3 D

A1 2 3 1 15

A2 4 1 0 9

N 7 11 8

Rezolvare

Deoarece N = ∑=

3

1jjb = 26 şi D = ∑

=

2

1iia = 24, problema este

neechilibrată. Introducem pentru echilibrare A3 fictiv căruia îi repartizăm un

disponibil egal cu N – D = 2 şi toate costurile unitare de pe linia lui A3 vor fi

nule.

151


Avem acum de rezolvat următoarea problemă T modificată:

Bj

Ai B1 B2 B3 D

A1 2 3 1 15

A2 4 1 0 9

A3 0 0 0 2

N 7 11 8

a cărei soluţie posibilă de bază iniţială prin metoda minimului pe coloane

este:

5 2 8

9

2

Această soluţie are 5 componente pozitive şi m+n – 1 = 3+3 – 1 = 5,

deci este o soluţie nedegenerată. Putem trece la rezolvarea problemei T

modificată cu calculele în tabelul următor: vj

ui 2 3 1 ∆

5 2 8 0 2 3 1 0 0 0 5+θ 2-θ 8 9 -2 0 1 -1 -4 0 -1 9

X1

2 -2 0 1 -1 0 1 -1 2-θ θ f1 = 33 vj

ui 2 2 1 θ = 2

7 8 0 2 2 1 0 -1 0 9 -1 1 1 0 -3 0 0

X2

0 2 -2 0 0 -1 0 0 -1 f2 = 31

Soluţia optimă este:

[min]f(X) = 31

x11 = 7, x13 = 8, x22 = 9, x32 = 2

152

Programare liniară

această din urmă componentă (x32) este fictivă deoarece A3 este fictiv şi deci

B2 nu primeşte tot necesarul de 11 unităţi ci doar 9.

Pe parcursul rezolvării a intervenit degenerarea prin anularea de

către θ = 2 a două componente pozitive din X1, şi anume x12 şi x31. Cum

c31 < c12, renunţăm la x12 şi luăm x13 = 0, zero esenţial, tratat ca fiind un

număr pozitiv.

În etapa de optim, în matricea ∆, în afara rutelor corespunzătoare

componentelor bazice, mai apare un zero în ruta (2, 3), deci soluţia optimă a

problemei date este multiplă.

În sfârşit din tabel observăm că f1 = 33, ∆ *ij = ∆32 = 1 iar θ = 2.

Relaţia de recurenţă ne dă:

f2 = f1 - ∆ *ijθ = 33 – 1 ⋅ 2 = 31, atât cât am obţinut şi noi în tabel

folosind definiţia funcţiei obiectiv:

f(X) = ∑∑= =

m

1i

n

1jijij .xc

9. Probleme

1. Conducerea unei firme îşi propune să producă, folosind 2 tipuri de

materie primă M1 şi M2, 4 tipuri de produse P1, P2, P3, P4. Consumurile

specifice, cantităţile disponibile din M1 şi M2, preţurile unitare de vânzare bi

şi costurile unitare ci, i = 4,1 sunt date în următorul tabel:

P1 P2 P3 P4 Disponibil M1 1 3 2 2 200 M2 4 1 3 1 300 bi 5 7 10 6 ci 3 4 6 4

153


Studiul pieţei de desfacere impune condiţia ca întreaga producţie să

nu depăşească 500 unităţi.

Să se scrie modelul matematic ce va conduce la planul optim de

producţie.

Rezolvare

Fie xi cantitatea de produs Pi, i = 4,1 . Beneficiul unei unităţi de

produs Pi va fi bi – ci; atunci beneficiul total va fi:

f = ∑=

−4

1iiii x)cb( , şi se caută cel mai mare beneficiu, deci pentru

cazul nostru:

[max]f(x) = 2x1 + 3x2 + 4x3 + 2x4

x1 + 3x2 + 2x3 + 2x4 ≤ 200

4x1 + x2 + 3x3 + x4 ≤ 300

x1 + x2 + x3 + x4 ≤ 500

xi ≥ 0; i = 4,1 .

2. Unei firme îi este necesară într-un trimestru o cantitate de 30

vagoane dintr-un anumit tip de produs. Aprovizionarea se face eşalonat la

începutul fiecărei luni. Cererea în vagoane, costurile unitare în mii de euro

sunt date în tabelul de mai jos: Luna 1 2 3 Cererea 10 12 8 Costul 30 25 32

Se ştie că la începutul primei luni firma dispune de 6 vagoane din

produsul respectiv, pot fi depozitate cel mult 14 vagoane iar la sfârşitul

trimestrului cantitatea de produs trebuie să fie consumată integral.

154

Programare liniară

Să se scrie modelul matematic al problemei când se caută costul total

minim de aprovizionare.

Rezolvare

Notăm cu xi numărul de vagoane din produsul căutat comandate la

începutul lunii i, i = 3,1 .

Cantitatea x1 adăugată celor 6 vagoane existente trebuie să satisfacă

cererea din prima lună şi să nu depăşească capacitatea de depozitare. Adică:

10 ≤ x1 + 6 ≤ 14 sau 4 ≤ x1 ≤ 8 (1)

La sfârşitul primei luni, mai rămân x1 + 6 – 10 = x1 – 4 vagoane, iar

la începutul lunii a doua avem x1 – 4 + x2 ce va trebui să satisfacă condiţiile:

12 ≤ x1 – 4 + x2 ≤ 14 sau 16 ≤ x1 + x2 ≤ 18 (2)

Cantitatea x3 va trebui să satisfacă condiţia:

6 + x1 + x2 + x3 = 30 sau x1 + x2 + x3 = 24 (3)

Modelul matematic al problemei va fi:

[min]f(x) = 30x1 + 25x2 + 32x3

4 ≤ x1 ≤ 8

16 ≤ x1 + x2 ≤ 18

x1 + x2 + x3 = 24 xi ≥ 0; i = 3,1 .

3. Să se rezolve grafic problema:

[min]f(x) = x1 + 2x2

-x1 + x2 ≥ 2

x1 + 2x2 ≤ 4

5x1 – 3x2 ≤ 15

x1, x2 ≥ 0

155


Rezolvare

Folosim metoda grafică şi reprezentăm dreptele (d1) –x1 + x2 = 2,

(d2) x1 + 2x2 = 4; (d3) 5x1 – 3x2 = 15 şi apoi regiunile corespunzătoare

inegalităţilor.

x2 C

A

2

3 4 x1

Mulţimea soluţiilor posibile este porţiunea haşurată. Soluţia optimă

se va găsi în unul din vârfurile A(0, 2), B ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

135,

1342 , C ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

225,

221 . Şi cum:

f(A) = 0 + 2 ⋅ 2 = 4

f(B) = 1352

1342

⋅+ = 4

f(C) = 271

2252

221

=⋅+ = 35, 5.

[min]f(x) = 4 în A când x1 = 0 şi x2 = 2 sau în B când x1 = 1342 şi

x2 = 135 . Adică problema are ca soluţii optime X1 = (0, 2) şi X2 = ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

135,

1342 .

Atunci orice combinaţie liniară convexă de forma:

X = λX1 + (1 - λ)X2, (∀) λ∈[0,1]

B

(d2)

(d3)

(d1)

156

Programare liniară

este tot soluţie optimă, deci problema are o infinitate de soluţii optime date

de: X = ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ λ+λ−

13215,

134242 , (∀)λ∈[0,1], obţinute prin înlocuirea lui

X1 şi X2 în expresia lui X.

Observaţie: Dacă se cerea [max]f(x) = x1 + 2x2, atunci această

valoare se găseşte în C unde f(C) = 35, 5 şi deci:

[max]f = 35,5 în x1 = 221 şi x2 =

225 , deci soluţia unică este

X = ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

225,

221 .

4. Fie sistemul de inecuaţii:

x1 + 2x2 – 3x3 ≤ 3

2x1 – x2 – 6x3 ≥ 4

xj ≥ 0, j = 3,1 .

a) Aduceţi sistemul la forma standard şi asiguraţi-vă ca matricea

sistemului să conţină o bază canonică în R2;

b) Determinaţi 4 soluţii de bază pentru sistemul de ecuaţii de la a) şi

faceţi observaţii asupra soluţiilor găsite;

c) Dacă f(x) = 2x1 – 5x2 + 3x3, calculaţi valoarea lui f în soluţiile

găsite la b) şi specificaţi în care dintre ele f ia cea mai mare

valoare.

Rezolvare

a) Sistemul de ecuaţii va fi:

x1 + 2x2 – 3x3 + x4 = 3

2x1 – x2 – 6x3 – x5 = 4

xj ≥ 0, j = 5,1 .

157



a1 a2 a3 a4 a5

A = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−−

−10612

01321

Ca aceasta să conţină o bază canonică, forţăm ecuaţia a doua

adunând în membrul stâng y = 0 (variabilă artificială) ce va genera vectorul

artificial α, şi sistemul va deveni:

x1 + 2x2 – 3x3 + x4 = 3

2x1 – x2 – 6x3 – x5 + y = 4

xj ≥ 0, y ≥ 0 iar:

a1 a2 a3 a4 a5 α

A = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−−

−10

1061201321

cu baza canonică ⎨a4, α⎬.

b) Pentru determinarea soluţiilor de bază aplicăm lema substituţiei

pentru sistemul de ecuaţii de la punctul a) şi organizăm calculele în

următorul tabel: Baza Nec.

princ. a1 a2 a3 a4 a5 α b Soluţia

a4 α

x4 y

1 2

2 -1

-3 -6

1 0

0 -1

0 1

3 4

X1 = (0,0,0,3,0,4)T

a4 a1

x4 x1

0 1

5/2 -1/2

0 -3

1 0

1/2 -1/2

-1/2 1/2

1 2

X2= (2,0,0,1,0,0)T

a2 a1

x2 x1

0 1

1 0

0 -3

2/5 1/5

1/5 -2/5

-1/5 2/5

2/5 11/5

X3 T)0,0,0,0,52,

511(=

a2 a3

x2 x3

0 -

1/3

1 0

0 1

2/5 -1/15

1/5 2/15

-1/5 -2/5

2/5 -11/15

X4 T)0,0,0,1511,

52,0( −=

X1 nu e soluţie pentru că y = 4 şi contrazice ipoteza în care a fost

introdus (y = 0).

158

Programare liniară

X4 nu este soluţie posibilă pentru că x3 = - 1511

< 0.

X2 şi X3 sunt soluţii posibile de bază, cu X2 soluţie degenerată

(numărul componentelor pozitive – dintre x1, x2, x3, este mai mic ca

numărul restricţiilor, 2), iar X3 este nedegenerată.

c) Deoarece f(X2) = 4 şi f(X3) = 2,4 rezultă că în X2 f ia cea mai

mare valoare.

5. Fie modelul de programare liniară:

[max]f(x) = 15x1 + 20x2

3x1 + 8x2 ≤ 24

7x1 + 3x2 ≤ 21

x1 ≥ 1

x1, x2 ≥ 0

a) Să se aducă la forma standard;

b) Să se enumere bazele ce se pot forma cu vectorii din matricea

tehnologică extinsă;

c) Să se rezolve problema pe cale grafică;

d) Să se rezolve problema prin algoritmul simplex.

Rezolvare

a) Folosim variabilele de compensare x3, x4, x5 astfel:

3x1 + 8x2 + x3 = 24

7x1 + 3x2 + x4 = 21

x1 – x5 = 1

xj ≥ 0, j = 5,1

[max]f(x) = 15x1 + 20x2 + 0(x3 + x4 + x5)

159


b) Matricea tehnologică extinsă este:

a1 a2 a3 a4 a5

A = ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−100010103700183

Orice sistem de 3 vectori din A, liniar independenţi formează o bază.

Numărul maxim posibil de baze este C 35 = 10. Acestea sunt:

B1 = ⎨a1, a2, a3⎬; B2 = ⎨a1, a2, a4⎬; B3 = ⎨a1, a2, a5⎬; B4 = ⎨a1, a3, a4⎬;

B5 = ⎨a1, a3, a5⎬; B6 = ⎨a1, a4, a5⎬; B7 = ⎨a2, a3, a5⎬; B8 = ⎨a2, a4, a5⎬;

B9 = ⎨a3, a4, a5⎬. Vectorii ⎨a2, a3, a4⎬ nu pot forma o bază (rangul

matricei formate cu ei este mai mic ca numărul lor 3). Deci există 9 baze ce

vor da 9 soluţii de bază. Nu toate acestea sunt soluţii posibile de bază (cu

toate componentele nenegative).

c) În planul Ox1x2 reprezentăm dreptele:

(d1) 3x1 + 8x2 = 24; (d2) 7x1 + 3x2 = 21; (d3) x1 = 1. x2

7

3 C

D

A B

0 1 3 8 x1

(d3) (d2) (d1)

160

Programare liniară

Inegalităţile date sunt verificate de punctele din regiunea haşurată ale

cărei vârfuri A(1, 0), B(3, 0), C ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

47105,

4796 , D ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

821,1 sunt cele 4 soluţii

posibile de bază ale problemei.

Cum f(A) = 15; f(B) = 45; f(C) = 47

3540 = 79,5; f(D) = 2

135 = 67,5

rezultă că soluţia optimă este în C şi:

[max]f(x) = 47

3540 , cu x1 = 4796 şi x2 =

47105 .

d) Forma standard conţine doar doi din vectorii matricei unitate de

ordinul trei; este necesar un vector unitar artificial şi avem:

3x1 + 8x2 + x3 = 24

7x1 + 3x2 + x4 = 21

x1 – x5 + y = 1

xj ≥ 0, j = 5,1 , y ≥ 0

[max]f(x) = 15x1 + 20x2 + 0(x3 + x4 + x5) – My

a1 a2 a3 a4 a5 α

A = ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

− 100

100010103700183

şi B = ⎨a3, a4, α⎬.

15 20 0 0 0 -M B CB XB a1 a2 a3 a4 a5 α θ

a3 a4

←α

0 0

-M

24 21 1

3↓ 7 1

8 3 0

1 0 0

0 1 0

0 0 -1

0 0 1

8 3 1

fj -M -M 0 0 0 M -M ∆j = cj - fj 15+M 20 0 0 -M 0 ←a3

a4 a1

0 0

15

21 14 1

0 0 1

8↓ 3 0

1 0 0

0 1 0

3 7 -1

-3 -7 1

21/8 14/3

- fj 15 15 0 0 0 -15 15 ∆j = cj - fj 0 20 0 0 15 -M-15

I0 I1

161


a2 ←a4

a1

20 0

15

21/8 49/8

1

0 0 1

1 0 0

1/8 -3/8

0

0 1 0

3/8↓ 47/8 -1

-3/8 -47/8

1

7 49/47

- fj 135/2 15 20 5/2 0 -15/2 15/2 ∆j = cj - fj 0 0 -5/2 0 15/2 -M-5/2

a2 a5 a1

20 0

15

105/47 49/47 96/47

0 0 1

1 0 0

7/47 -3/47 -3/47

3/47 8/47 8/47

0 1 0

0 -1 0

fj 3540/47 15 20 95/47 60/47 0 0 ∆j = cj - fj 0 0 -95/47 -60/47 0 -M

I2 I3

Deci [max]f(x) = 47

3540 , X = T

0,47

105,4796

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ .

Observaţie: În iteraţia I1 apare soluţia din vârful A, în I2 apare soluţia

din vârful D, iar în I3 soluţia din vârful C.

6. Să se găsească soluţia optimă a următoarei probleme de

programare liniară, rezolvând duala ei prin algoritmul simplex.

[min]f(x) = 20x1 + 18x2 + x3

2x1 + 3x2 + 3x3 ≥ 6

2x1 + 2x2 – x3 ≥ 10

2x1 + x2 – x3 ≥ 8

x1, x2, x3 ≥ 0

Rezolvare

Modelul dual sub formă canonică de maxim (dualitate simetrică)

este: [max]g(u) = 6u1 + 10u2 + 8u3

2u1 + 2u2 + 2u3 ≤ 20

3u1 + 2u2 + u3 ≤ 18

3u1 - u2 – u3 ≤ 1

u1, u2, u3 ≥ 0

162

Programare liniară

Forma standard a dualei este:

[max]g(U) = 6u1 + 10u2 + 8u3 + 0(u4 + u5 + u6)

2u1 + 2u2 + 2u3 + u4 = 20

3u1 + 2u2 + u3 + u5 = 18

3u1 - u2 – u3 + u6 = 1

ui ≥ 0, i = 6,1 şi i se aplică algoritmul simplex:

6 10 8 0 0 0 B CB UB a1 a2 a3 a4 a5 a6

θ

a4

←a5 a6

0 0 0

20 18 1

2 3 3

2↓ 2 -1

2 1 -1

1 0 0

0 1 0

0 0 1

10 9 -

gj 0 0 0 0 0 0 0 ∆j = cj - gj 6 10 8 0 0 0 ←a4

a2 a6

0 10 0

2 9 10

-1 3/2 9/2

0 1 0

1↓ 1/2 -1/2

1 0 0

-1 1/2 1/2

0 0 1

2 18 -

gj 90 15 10 5 0 5 0 ∆j = cj - gj -9 0 3 0 -5 0

a3 a2 a6

8 10 0

2 8 11

-1 2 4

0 1 0

1 0 0

1 -1/2 1/2

-1 1 0

0 0 1

gj 96 12 10 8 3 2 0 ∆j = cj - gj -6 0 0 -3 -2 0

Soluţia optimă a problemei date (primale) este:

[min]f(x) = [max]g(u) = 96

iar componentele soluţiei x1, x2, x3 se citesc pe linia lui gj din ultima etapă

respectiv la intersecţia cu coloanele vectorilor a4, a5, a6 ce au format baza

iniţială. Astfel:

x1 = 3, x2 = 2, x3 = 0, sau X = (3, 2, 0)T.

163


7. Să se determine planul optim de transport pentru următoarea

problemă:

BjAi

B1 B2 B3 B4 D

A1 3 2 1 2 30 A2 4 3 3 2 20 A3 2 1 4 5 40 N 10 15 15 40

pornind de la o soluţie iniţială de bază obţinută prin metoda costului minim

pe linie.

Rezolvare

Deoarece N = ∑=

4

1jjb = 80, iar D = ∑

=

3

1iia = 90, problema este

neechilibrată. Se va echilibra introducând B5 fictiv cu necesarul 90 – 80 =

10 şi toate costurile de pe coloana lui B5 vor fi nule. Vom rezolva acum

problema T modificată.

Bj Ai

B1 B2 B3 B4 B5 D

A1 3 2 1 2 0 30 A2 4 3 3 2 0 20 A3 2 1 4 5 0 40 N 10 15 15 40 10

Aplicând metoda costului minim pe linie găsim soluţia posibilă de

bază iniţială X1

15 5 10 20

10 15 15

164

Programare liniară

care are 7 componente pozitive şi cum m + n – 1 = 3 + 5 – 1 = 7 soluţia

găsită este nedegenerată şi pentru ea avem f1 = 175.

vj

ui -1 -2 1 2 0 ∆

15 5 10 0 -1 -2 1 2 0 -4 -4 0 0 0 15 5+θ 10-θ 20 0 -1 -2 1 2 0 -5 -5 -2 0 0 20

X1

10 15 15 3 2 1 4 5 3 0 0 0 0 3 10 15 15-θ θ f1 = 175 vj

ui -1 -2 1 2 0 θ = 10

15 15 0 -1 -2 1 2 0 -4 -4 0 0 0 20 0 -1 -2 1 2 0 -5 -5 -2 0 0

X2

10 15 5 10 3 2 1 4 5 0 0 0 0 0 0 f2 = 145

Ultima soluţie X2 este optimă, [min]f(X) = 145.

În matricea ∆ de pe linia lui X2, etapa de optim, avem ∆33 = 0 deşi

x33 nu e componentă pozitivă în X2; rezultă că problema nu are soluţie

optimă unică, ci are o infinitate de soluţii optime.

Deoarece B5 este fictiv, cantitatea x35 = 10 nu se transportă,

rămânând disponibilă pentru o altă întrebuinţare.

8. Pornind de la o soluţie posibilă de bază obţinută prin metoda

Nord-Vest, să se rezolve problema T:

BjAi

B1 B2 B3 B4 D

A1 1 2 3 4 6 A2 4 3 2 0 8 A3 0 2 2 1 10 N 4 6 8 6

Rezolvare

Problema este echilibrată, N = D = 24. Soluţia iniţială obţinută prin

metoda Nord-Vest este:

4 2 4 4 4 6

165


cu 6 componente pozitive şi cum m + n – 1 = 3 + 4 – 1 = 6, este deci

nedegenerată.

Organizăm calculele în tabelul următor:

vj

ui 1 2 1 0 ∆

4 2 0 1 2 1 0 0 0 -2 -4 4-θ 2+θ 4 4 1 2 3 2 1 -2 0 0 1 4-θ 4+θ

X1

4 6 1 2 3 2 1 2 1 0 0 θ 4-θ 6 f1 = 42 vj

ui 1 2 3 2 θ = 4

0 6 0 1 2 3 2 0 0 0 -2 0 6 8 -1 0 1 2 1 -4 -2 0 1 8-θ θ

X2

4 0 6 -1 0 1 2 1 0 -1 0 0 4 0+θ 6-θ f2 = 34 vj

ui 1 2 3 1 θ = 6

0 6 0 1 2 3 1 0 0 0 -3 2 6 -1 0 1 2 0 -4 -2 0 0

X3

4 6 -1 0 1 2 0 0 -1 0 -1 f3 = 28

X3 este soluţie optimă, este degenerată pentru că are doar 5 componente pozitive. Degenerarea a provenit din cauza anulării pentru

θ = 4 a trei componente pozitive: x11, x22, x33. Comparând costurile corespunzătoare c11, c22, c33 cel mai mare este

c22 = 3 de aceea renunţăm la ruta (2, 2) şi vom lua x11 = x33 = 0, care vor fi zerouri esenţiale.

Deoarece în etapa de optim, matricea ∆ conţine pe ∆13 = 0, deşi x13 = 0, soluţia optimă nu e unică ci multiplă.

9. O firmă dispune de două centre furnizoare A1, A2, ale unui anumit

tip de produs, în respectiv cantităţile 15 şi 10. Produsul poate fi achiziţionat de beneficiarii B1, B2, B3 în respectiv cantităţile 12, 8, 10.

166

Programare liniară

Cunoscând beneficiile unitare cij (beneficiul adus de o unitate de produs din Ai transportat la Bj), i = 1, 2, j = 1, 2, 3, date în tabelul următor:

BjAi

B1 B2 B3 D

A1 1 3 4 15 A2 5 2 3 10 N 12 8 10

Să se determine planul optim de transport care să ducă la beneficiul

total maxim.

Rezolvare

Deoarece D = 25 şi N = 30, problema este neechilibrată. O

echilibrăm introducând A3 fictiv căruia îi asociem un disponibil egal cu 30 –

25 = 5, costurile de pe linia lui A3 fiind nule.

Obţinem astfel problema T modificată, pe care o rezolvăm.

BjAi

B1 B2 B3 D

A1 1 3 4 15 A2 5 2 3 10 A3 0 0 0 5 12 8 10

Soluţia posibilă iniţială de bază obţinută prin metoda costului maxim

din matricea C este X1:

5 10 10 2 3

167


X1 are 5 componente pozitive şi m + n – 1 = 3 + 3 – 1 = 5, deci este

nedegenerată. Formăm tabelul cu calcule:

vj ui

3 3 4 ∆

5 10 0 3 3 4 -2 0 0 10 2 5 5 6 0 -3 -3

X1

2 3 -3 0 0 1 0 0 -1 f1 = 105

Elementele matricei ∆, s-au calculat cu formula:

∆ij = cij – c’ij

şi sunt toate mai mici sau egale cu zero, deci X1 este soluţie optimă, este

unică şi nedegenerată, iar:

[max]f(x) = 105.

10. Din centrele furnizoare A1, A2, A3 se pot aproviziona beneficiarii

B1, B2, B3 cu un anumit tip de produs. Relaţii conflictuale fac ca

aprovizionarea lui B2 şi B3 de către A2 să fie interzisă. Să se determine

planul optim de transport cunoscând disponibilul furnizorilor, necesarul

beneficiarilor şi costurile unitare de transport date în tabelul de mai jos:

BjAi

B1 B2 B3 D

A1 5 4 2 90 A2 2 - - 70 A3 3 1 6 140N 50 60 40

168

Programare liniară

Rezolvare

Problema este neechilibrată, D = 300, N = 150 şi are rute interzise.

Introducem B4 fictiv cu un necesar egal cu 300 – 150 = 150, iar costurile pe

coloana lui B5 le luăm egale cu zero. În rutele (2, 2) şi (2, 3) vom pune

costurile egale cu M, M → ∞. Problema T modificată va fi:

BjAi

B1 B2 B3 B4 D

A1 5 4 2 0 90 A2 2 M M 0 70 A3 3 1 6 0 140N 50 60 40 150

Soluţia X1 posibilă de bază, iniţială, o determinăm prin metoda

costului minim pe coloană şi va fi:

40 50 50 20 60 80

Aplicăm metoda potenţialelor pas cu pas în tabelul următor:

vj ui

2 1 2 0 ∆

40 50 0 2 1 2 0 -3 -3 0 0 50 20 0 2 1 2 0 0 1-M 2-M 0

X1

60 80 0 2 1 2 0 0 0 -4 0

169


Cum M → ∞, toate elementele matricei ∆ sunt mai mici sau egale cu

zero. Deci este îndeplinită condiţia de optim şi X1 este soluţie optimă,

nedegenerată, unică cu:

[min]f(X) = 240.

170

1. Noţiuni generale Teoria jocurilor este teoria matematică care se ocupă cu

determinarea metodelor de alegere a deciziilor în cazuri de competiţie sau

situaţii conflictuale. O situaţie conflictuală este cea în care acţionează doi

sau mai mulţi factori (persoane fizice, firme, partide politice) având scopuri

contrarii. Astfel de situaţii sunt: concurenţa economică, vânzările la licitaţie,

alegerile parlamentare etc.. Teoria jocurilor se ocupă şi de cazurile în care o

activitate intră în conflict cu caracterul întâmplător al unor evenimente

naturale (epidemii, secetă). Pentru construirea unui model formal,

simplificat al situaţiei cercetate se vor selecta caracteristicile principale, cele

secundare neglijându-se. Terminologia folosită este cea de la jocurile de

societate sau de noroc.

Prin joc sau joc strategic se înţelege situaţia în care acţionează o

mulţime de elemente raţionale (numite jucători sau parteneri) care în mod

succesiv şi independent, într-o ordine şi condiţii fixate într-un ansamblu de

reguli, iau câte o decizie (efectuează o mutare) dintr-o mulţime dată de

alternative. Regulile jocului fixează şi situaţiile în care se termină jocul,

precum şi câştigul sau recompensa pentru fiecare jucător. Un joc realizat se

mai numeşte partidă.

Acţiunile întreprinse de jucători în cadrul unei partide se numesc

mutări. Acestea pot fi: libere – când alegerea alternativei este univocă sau

TEORIA JOCURILOR 4

171


aleatoare, când alegerea alternativei este supusă întâmplării şi e determinată

de un mecanism aleator (zar).

După cantitatea de informaţie de care dispune fiecare jucător există

jocuri cu informaţie completă (şahul) şi jocuri cu informaţie parţială (bridge-

ul), necunoaşterea intenţiilor adversarului constituind elementul esenţial al

situaţiilor conflictuale.

Ansamblul de reguli ce definesc în mod unic mişcările libere în

funcţie de situaţia ivită în timpul jocului se numeşte strategie. Dacă unul

dintre adversari are la dispoziţie m alternative, iar partida se încheie printr-o

alegere, se spune că jucătorul are la dispoziţie m strategii pure. Când

partidele se repetă, jucătorii pot alege strategii pure cu anumite frecvenţe sau

probabilităţi şi atunci se spune că utilizează o strategie mixtă. Dacă numărul

strategiilor pure este finit, spunem că avem un joc finit, în caz contrar avem

un joc infinit. Fiecare jucător urmăreşte aplicarea unei strategii care să îi

aducă un câştig maxim, deci îşi caută o strategie optimă.

Câştigul pi realizat de jucătorul Pi are semnificaţia unei sume băneşti

sau a unui număr de puncte, bunuri etc.. Dacă pi > 0, jucătorul Pi realizează

un câştig în sensul uzual al cuvântului, iar dacă pi < 0 înregistrează o

pierdere.

Din punct de vedere al câştigului distingem:

- jocuri cu sumă nulă – când la sfârşitul unei partide suma pierdută

de o parte din jucători este câştigată de ceilalţi şi

- jocuri cu sumă nenulă – când jucătorii pot să-şi mărească

concomitent câştigurile, prin alegerea unor strategii adecvate.

După numărul n al jucătorilor, jocurile pot fi cu doi parteneri sau cu

n > 2 parteneri.

172

Teoria jocurilor

Exemplu [2]

Fie jocul cu doi parteneri P1 şi P2 ce constă în 3 mutări libere. O

mutare înseamnă alegerea unuia dintre numerele a sau b, a ≠ b. La prima

mutare P1 alege liber pe a sau pe b; la a doua mutare P2, informat asupra

alegerii făcute de P1, alege la rândul său unul din numerele a sau b. În

sfârşit, la a treia mutare P1, informat asupra alegerii făcute de P2, alege unul

dintre numerele a sau b.

Observăm că este un joc în doi, cu mutări libere şi informaţie

completă ce poate fi reprezentat printr-un arbore de forma:

(1, -1) (2, 1) (-1, 2) (3, 1) (-2, 1) (1, -3) (2, 3) (1, 2)

Vârful 0 arată momentul iniţial, iar cifra 1 scrisă sub 0 arată că prima

mutare este a lui P1. Din 0 pornesc două muchii spre vârfurile a şi b, ce

reprezintă alegerile lui P1. Sub a şi b scriem 2, pentru că următoarea mutare

este a lui P2. Din fiecare vârf pornesc două muchii spre alte vârfuri a şi b,

reprezentând alegerile lui P2 şi sub aceste vârfuri scriem 1 deoarece P1 face

următoarea mutare spre alte vârfuri notate a şi b (care vor fi vârfuri

terminale). Sub ele nu mai scriem nimic, dar fiecăruia îi asociem un vector

b a b b ba a a

a b ba

ba

0

1 1 1 1

22

1

173


bidimensional (p1, p2) ale cărui componente reprezintă respectiv câştigurile

celor doi jucători, decurgând din regulile jocului.

S-au obţinut 8 vârfuri terminale ce vor determina tot atâtea partide,

deoarece o partidă este reprezentată de un lanţ ce leagă vârful 0 de unul din

vârfurile terminale. Cele 8 partide sunt: (a, a, a), (a, a, b), (a, b, a), (a, b, b),

(b, a, a), (b, a, b), (b, b, a) şi (b, b, b).

Jocul nu este cu sumă nulă deoarece dacă, de exemplu, s-ar realiza

partida (a, a, b) avem p1 = 2, p2 = 1 şi p1 + p2 = 3 ≠ 0.

Mulţimea strategiilor jucătorului P1 este:

A = ⎨(a, a), (a, b), (b, a), (b, b)⎬, unde primul element din fiecare

pereche reprezintă numărul ales la prima mutare, iar al doilea element indică

numărul ales la a treia mutare.

Mulţimea strategiilor lui P2 este:

B = ⎨(a), (b)⎬, reprezentând alegerile la a doua mutare.

Asociem jocului considerat un tabel cu două intrări A = ⎨A1, ...,A4⎬

- strategiile lui P1 şi B = ⎨B1, B2⎬, strategiile lui P2.

La intersecţia liniei lui Ai cu coloana lui Bj avem un dreptunghi în

care deasupra diagonalei am scris partida, iar dedesubt vectorul (pi, pj) al

câştigurilor celor doi jucători, când aceştia aleg strategiile Ai, respectiv Bj.

B A B1 = (a) B2 = (b)

A1 = (a, a) (a, a, a)(1, -1)

(a, b, a)(-1, 2)

A2 = (a, b) (a, a, b)(2, 1)

(a, b, b)(3, 1)

A3 = (b, a) (b, a, a)(-2, 1)

(b, b, a)(2, 3)

A4 = (b, b) (b, a, b)(1, -3)

(b, b, b)(1, 2)

174

Teoria jocurilor

Din acest exemplu observăm că există diferite moduri de

reprezentare a unui joc, cu ajutorul unui arbore sau matricial.

Observaţie: Dacă în acelaşi joc considerăm câştigurile date de

următoarea corespondenţă:

(a, a, a) → (2, -2) (b, a, a) → (1, -1)

(a, a, b) → (-1, 1) (b, a, b) → (3, -3)

(a, b, a) → (4, -4) (b, b, a) → (-2, 2)

(a, b, b) → (5, -5) (b, b, b) → (-3, 3)

jocul va fi: finit, cu informaţie completă, cu mutări libere şi cu sumă nulă,

deoarece p1 + p2 = 0 pentru orice vector (p1, p2).

În acest caz reprezentarea matricială poate fi simplificată, scriind în

locul vectorului (p1, p2) doar câştigul p1 al lui P1, deoarece cel al lui P2 e

cunoscut, egal cu – p1.

Forma simplificată a matricei este:

B A

B1 = (a) B2 = (b)

A1 = (a, a) A2 = (a, b) A3 = (b, a) A4 = (b, b)

2 -1 1 3

4 5 -2 -3

2. Jocuri matriceale

Fie un joc finit între doi jucători, în care un jucător are m strategii

pure, iar celălalt n strategii pure. Un astfel de joc se numeşte joc m × n sau

joc matriceal. Dacă jocul este cu sumă nulă, el se va numi antagonist. În

175


acest din urmă caz, funcţia de câştig se poate prezenta sub forma unui tabel

de plăţi, adică o matrice m × n, notată cu A, astfel:

A = ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

mn1m

n111

aa

aa

L

MMM

L

sau A = (aij), i = m,1 , j = n,1 .

Matricea A se numeşte matricea jocului (matricea câştigurilor).

Elementul aij este câştigul jucătorului P1 când alege strategia Ai şi jucătorul

P2 alege strategia Bj. Această formă matriceală de prezentare a jocului se va

numi forma normală.

Caracteristicile esenţiale ale unui joc sunt:

a) mulţimea strategiilor pure ale jucătorului P1, notată

A = ⎨A1,..., Am⎬;

b) mulţimea strategiilor pure ale jucătorului P2, notată

B = ⎨B1,...,Bn⎬;

c) funcţia de câştig f: A × B → ℝ, definită prin f(Ai, Bj) = aij,

i = m,1 , j = n,1 .

Imaginea prin f a produsului cartezian A × B este matricea A.

Matricea A se scrie deci în raport cu un singur jucător şi anume P1,

primul jucător (numit şi jucătorul maximizant, din punct de vedere formal –

ambii jucători urmărind acelaşi scop). Când P1 câştigă valoarea aij, P2

plăteşte lui P1 valoarea aij, i = m,1 , j = n,1 .

Pentru P2 toate elementele matricei au semn contrar (fiind un joc cu

sumă nulă). P2 se mai numeşte jucător minimizant. Vom nota jocul definit în

condiţiile de mai sus prin tripletul: G = (A, B, f).

176

Teoria jocurilor

Exemplu

În jocul numit „aruncarea monedei”, fiecare jucător alege liber stema

(S) sau valoarea (V). Dacă alegerile coincid, jucătorul P1 primeşte de la P2

un euro. Dacă alegerile diferă, P2 primeşte de la P1 un euro.

Atunci forma normală a jocului pentru P1 este:

P2P1

(S) (V)

(S) (V)

1 -1

-1 1

2.1 Jocuri cu punct şa

Fie un joc G = (A, B, f), cu matricea A = (aij), i = m,1 , j = n,1 .

Jucătorii sunt consideraţi la fel de competenţi. Ei aderă la un principiu de

comportare, născut din raţionalitate. Astfel, P1 va acţiona aşa încât cel mai

mic câştig asigurat pe care îl poate obţine de la P2 să fie cât mai mare, iar P2

urmăreşte să facă pe cât posibil mai mică, cea mai mare valoare pe care ar

trebui să o dea lui P1. Acest principiu poartă numele de principiul minimax.

Dacă P1 va alege strategia Ai ∈ A, se aşteaptă ca P2 să aleagă acea

strategie Bj ∈ B care să ofere un câştig cât mai mic pentru P1. Fie acesta

αi = nj1

min≤≤

aij, i = m,1 .

Dintre cele m strategii pure, P1 va alege acea strategie Ai care dă cea

mai mare valoare a lui αi. Notând:

α = i

max αi = i

maxj

min aij

α se va numi valoarea inferioară a jocului şi se mai notează Gv .

177


Strategia care asigură lui P1 un câştig egal cu Gv se numeşte

strategie maximin.

Dacă P2 alege strategia Bj ∈ B, se aşteaptă ca P1 să aleagă strategia

Ai ∈ A care îi asigură acestuia un câştig cât mai mare.

Fie

βj = mi1

max≤≤

aij, j = n,1 .

Dintre cele n strategii pure, P2 va alege acea strategie Bj care dă cel

mai mic câştig lui P1, adică cea care dă cea mai mică valoare lui βj. Notând

β = j

min βj = j

mini

max aij

β se va numi valoarea superioară a jocului şi se mai notează cu Gv .

Strategia care asigură lui P2 o pierdere egală cu Gv se numeşte

strategie minimax.

Exemplu

Fie jocul caracterizat de matricea:

B A B1 B2 B3 B4

A1 A2 A3

0 1 2

1 0 4

-2 3 -3

2 2 3

Dacă P1 alege strategia A1 vizând câştigul a14 = 2, P2 poate alege

strategia B3, obligându-l pe P1 la un câştig a13 = -2 (adică o pierdere); când

P1 alege A2, P2 poate răspunde cu B2 şi P1 câştigă a12 = 0, iar când P1 alege

A3, P2 poate alege strategia B3 şi P1 câştigă atunci a31 = -3.

Să determinăm valorile inferioară şi superioară ale jocului.

Calculând αi = 4j1

min≤≤

aij, i = 3,1 , obţinem:

α1 = min⎨0,1,-2,2⎬ = -2

178

Teoria jocurilor

α2 = min⎨1,0,3,2⎬ = 0

α3 = min⎨2,4,-3,3⎬ = -3

Valoarea inferioară a jocului este:

Gv = 3i1

max≤≤αi = max⎨-2,0,-3⎬ = 0 = α2.

Determinăm βj = 3i1

max≤≤

aij, j = 4,1 . Obţinem:

β1 = max⎨0,1,2⎬ = 2

β2 = max⎨1,0,4⎬ = 4

β3 = max⎨-2,3,-3⎬ = 3

β4 = max⎨2,3⎬ = 3.

Valoarea superioară a jocului este:

Gv = 4j1

min≤≤βj = min⎨2,4,3⎬ = 2 = β1.

De aici rezultă că strategia maximin este A2, iar strategia minimax

este B1.

Observaţie: Calculele de mai sus pot fi simplificate prin organizarea

lor într-un tabel obţinut din cel iniţial, la care se adaugă coloana elementelor

αi şi linia elementelor βj, astfel:

B A B1 B2 B3 B4 αi

A1 A2 A3

0 1 2

1 0 4

-2 3 -3

2 2 3

-2 0 -3

βj 2 4 3 3 02

Dacă într-un joc avem:

Gv = Gv = v

valoarea comună v se numeşte valoarea jocului. Elementul aij în care se

realizează această egalitate se numeşte punct şa, iar jocul respectiv se va

179


numi joc cu punct şa. Strategiile Ai şi Bj corespunzătoare punctului şa aij

formează o pereche de strategii minimax şi se vor numi strategii optime. Ele

determină valoarea jocului care este egală cu elementul corespunzător

punctului şa.

Exemplu

Fie jocul cu matricea:

B A B1 B2 B3 B4 αi

A1 A2 A3 A4

1 3 2 3

6 3 1 4

0 5 0 5

3 6 9 7

0 3 0 3

βj 3 6 5 9 α=3β=3

Observăm că α = Gv = 3 = Gv = β

Elementul a21 = 3 va fi punctul şa. Strategiile A2 şi B1 sunt strategii

optime, iar valoarea jocului este v = 3.

Observaţii:

1) Şi elementul a41 = 3 este punct şa, deci şi strategiile A4 şi B1 sunt

optime, iar valoarea jocului este tot v = 3. Deci punctul şa nu este

unic.

2) Abaterea de la strategia optimă poate duce la micşorarea

câştigului lui P1. De exemplu, dacă P1 alege A3 şi P2 îi răspunde

cu B3, câştigul său este a33 = 0, deci scade (tentaţia fiind aceea de

a obţine câştigul maxim, egal cu 9).

3) Elementul a21 = 3 este cel mai mic de pe linia şi cel mai mare de

pe coloana pe care se află. La fel a41 = 3. Aceasta justifică şi

denumirea de punct şa.

180

Teoria jocurilor

Exemplu

Fie jocul cu matricea:

B A B1 B2 B3 B4 B5

A1 A2 A3 A4

4 3 1 2

-1 -2 2 -6

2 0 0 3

1 -1 -1 1

3 2 -2 0

Observăm că strategia A1 are toate câştigurile respectiv mai mari ca

ale strategiei A2. Jucătorul P1 care doreşte un câştig cât mai mare nu va

alege A2, pentru că poate câştiga mai mult prin A1 oricare ar fi strategia

aleasă de P2. Spunem că strategia A1 domină strategia A2, care este

dominată. A2 poate fi eliminată din joc.

Pentru jucătorul P2, strategia B4 domină strategiile B1 şi B3, acestea

din urmă conducând la pierderi mai mari pentru P2 decât B4. Deci se poate

renunţa la B1 şi B3 şi matricea A se reduce la:

A = ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−

−

016212

311.

În concluzie, o strategie pură domină o altă strategie pură dacă duce

la câştiguri mai bune decât aceasta din urmă. Un jucător nu trebuie să

folosească niciodată strategii dominate, acestea fiindu-i nefavorabile. Din

matricea A se elimină liniile care au toate elementele respectiv mai mici sau

egale cu ale altei linii şi coloanele ce au toate elementele respectiv mai mari

sau egale decât ale altei coloane. Acest principiu poartă numele de

principiul dominării strategiilor. Aplicarea lui conduce la reducerea

ordinului matricei A şi a volumului de calcule. Se poate demonstra că

181


eliminarea strategiilor dominate conduce la un joc care are aceeaşi valoare

ca şi jocul iniţial.

Să observăm că jocul „redus”, rezultat prin eliminarea strategiilor

dominate nu are punct şa, deci nici cel iniţial.

2.2 Jocuri fără punct şa

În jocurile fără punct şa, un jucător îşi poate majora câştigul folosind

altă strategie decât cea minimax dacă este informat asupra comportării

adversarului. Informaţii asupra comportamentului adversarului se pot obţine

prin repetarea partidelor, dacă acesta îşi menţine în toate partidele strategia

minimax. Un jucător nu trebuie să folosească mereu aceeaşi strategie şi nici

să folosească strategiile după o regulă ce poate fi descoperită de adversar.

Va fi necesară alternarea strategiilor pure, cu anumite probabilităţi.

În cele ce urmează vom vedea că, în cazul unui joc matriceal fără

punct şa, valoarea jocului o vom determina folosind un alt joc matriceal

asociat primului, numit joc mediat, notat Γ = (X, Y, ϕ), unde:

a) X = ⎨x ⎪ x = (x1, ..., xm), xi ≥ 0, i = m,1 , ∑=

m

1iix = 1⎬, cu

xi = P(Ai), i = m,1 reprezentând probabilitatea de alegere a

strategiei Ai, iar X este mulţimea strategiilor mixte pentru P1;

b) Y = ⎨y ⎪ y = (y1, ..., yn), yj ≥ 0, j = n,1 , ∑=

n

1jjy = 1⎬ unde

yj = P(Bj), j = n,1 , este probabilitatea de alegere a strategiei Bj,

iar Y mulţimea strategiilor mixte pentru P2;

182

Teoria jocurilor

c) ϕ: X × Y → ℝ, cu:

ϕ(x, y) = ∑∑= =

m

1i

n

1jjiij yxa dacă P1 foloseşte strategia mixtă

x = (x1, ..., xm), iar P2 foloseşte strategia mixtă y = (y1, ..., yn).

Dacă introducem variabila aleatoare:

(x, j): ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

m21

mjj2j1

xxxaaa

L

L, valoarea medie a acesteia o notăm:

ϕ(x, j) = ∑=

m

1iiijxa şi reprezintă câştigul mediu realizat de P1 când

foloseşte strategia mixtă x = (x1, ..., xm), iar P2 foloseşte strategia pură Bj.

Analog, variabila aleatoare:

(i, y): ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

n21

in2i1i

yyyaaa

L

L va avea valoarea medie:

ϕ(i, y) = ∑=

n

1jjijya şi reprezintă câştigul mediu realizat de P1 când

foloseşte strategia Ai iar P2 foloseşte strategia mixtă y = (y1, ..., yn).

Atunci, putem scrie că:

ϕ(x, y) = ∑∑ ∑ ∑= = = =

ϕ=ϕ=m

1i

n

1j

m

1i

n

1jjijiij )j,x(y)y,i(xyxa , de unde se vede

că ϕ(x, y) semnifică valoarea medie a jocului, care se mai scrie matriceal

astfel: ϕ(x, y) = xAyT.

Pentru jocul mediat Γ = (X, Y, ϕ), vom defini valoarea inferioară Γv

şi valoarea superioară Γv prin expresiile:

Γv = Xx

max∈ Yy

min∈

ϕ(x, y)

Γv = Yy

min∈ Xx

max∈

ϕ(x, y)

183


Prezentăm acum, cu sau fără demonstraţie, câteva rezultate din teoria

funcţiilor de mai multe variabile reale ce vor fundamenta principiile

matematice ale jocurilor matriceale.

Teorema 1

Fie X, Y două subspaţii ale unor spaţii liniare şi f: X × Y →ℝ. Dacă

există mărimile:

Xxmax∈ Yy

min∈

f(x, y) şi Yy

min∈ Xx

max∈

f(x, y), atunci

Xxmax∈ Yy

min∈

f(x, y) ≤Yy

min∈ Xx

max∈

f(x, y). (1)

Demonstraţie:

Notăm g(x) = Yy

min∈

f(x, y), (∀) x ∈ X şi h(y) = Xx

max∈

f(x, y), (∀) y ∈Y.

Din definiţia extremelor, avem:

g(x) ≤ f(x, y), (∀) y ∈Y şi (∀)x ∈ X

Atunci:

Xxmax∈

g(x) ≤ Xx

max∈

f(x, y) = h(y), (∀) y ∈Y, şi deci:

Xxmax∈

g(x) ≤ Yy

min∈

h(y).

Revenind la semnificaţiile lui g şi h, rezultă relaţia (1).

Consecinţă 1. Pentru orice joc matriceal G = (A, B, f) există Gv şi

Gv şi Gv ≤ Gv .

Demonstraţie:

Existenţa celor două valori, Gv şi Gv rezultă din faptul că f are o

mulţime finită de valori. Şi dacă în teorema 1 X = A, Y = B şi f (Ai, Bj) = aij

pentru orice Ai ∈ A şi Bj ∈ B, atunci relaţia (1) devine Gv ≤ Gv .

184

Teoria jocurilor

Teorema 2

În ipotezele teoremei 1, o condiţie necesară şi suficientă ca

Xxmax∈ Yy

min∈

f(x, y) =Yy

min∈ Xx

max∈

f(x, y). (2)

este să existe x0 ∈ X şi y0 ∈ Y şi un număr w ∈ ℝ astfel încât:

f(x, y0) ≤ w ≤ f(x0, y), pentru orice x ∈ X şi y ∈ Y. (3)

Demonstraţie:

Necesitatea: Presupunem relaţia (2) adevărată. Fie x0 ∈ X punctul

care maximizează expresia Yy

min∈

f(x, y) şi fie y0 ∈ Y punctul care

minimizează expresia Xx

max∈

f(x, y), adică:

Yymin∈

f(x0, y) = Xx

max∈ Yy

min∈

f(x, y)

Xxmax∈

f(x, y0) = Yy

min∈ Xx

max∈

f(x, y).

De aici şi din relaţia (2) rezultă că:

Yymin∈

f(x0, y) =Xx

max∈

f(x, y0) = w.

De unde, evident f(x0, y) ≥ w şi f(x, y0) ≤ w, (∀) x ∈ X şi (∀) y ∈ Y,

adică relaţia (3).

Suficienţa: Presupunem că există x0 ∈ X, y0 ∈ Y şi w ∈ℝ astfel

încât relaţia (3) să fie adevărată.

Din f(x0, y) ≥ w, (∀) y ∈ Y, rezultă că şi Yy

min∈

f(x0, y) ≥ w.

Analog, din f(x, y0) ≤ w, (∀) x ∈ X, rezultă că şi Xx

max∈

f(x, y0) ≤ w,

deci Xx

max∈

f(x, y0) ≤ w ≤ Yy

min∈

f(x0, y), (∀) x ∈ X, (∀) y ∈ Y.

Dar Yy

min∈ Xx

max∈

f(x, y) ≤Xx

max∈

f(x, y0) ≤ w

185


Xxmax∈ Yy

min∈

f(x, y) ≥ Yy

min∈

f(x0, y) ≥ w

şi de aici, în baza tranzitivităţii relaţiei „≤”, rezultă că:

Yymin∈ Xx

max∈

f(x, y) ≤ Xx

max∈ Yy

min∈

f(x, y).

Această relaţie, împreună cu relaţia (1), implică

w = Xx

max∈ Yy

min∈

f(x,y) = Yy

min∈ Xx

max∈

f(x,y), fapt ce încheie demonstraţia.

Definiţie: Fie f: X × Y →ℝ. Punctul (x0, y0) ∈ X × Y este punct şa

pentru f dacă:

f(x, y0) ≤ f(x0, y0) ≤ f(x0, y), (∀) x ∈ X şi (∀) y ∈ Y.

Consecinţă 2: Dacă G = (A, B, fG) este un joc matriceal m × n, atunci

o condiţie necesară şi suficientă ca Gv = Gv = w este ca fG să admită un

punct şa.

Demonstraţie:

Se aplică teorema 2, în care X = A, Y = B, fG(Ai, Bj) = aij, i = m,1 ,

j = n,1 , luând w = fG(Aio, Bj0).

Condiţia necesară şi suficientă de existenţă a punctului şa este să

existe perechea de strategii pure Aio, Bjo astfel încât:

aiojo = i

maxj

min aij = j

mini

max aij

adică elementul aiojo este cel mai mic din linia i0 şi în acelaşi timp cel mai

mare din coloana j0.

Strategiile A0i şi B

0jcorespunzătoare punctului şa sunt strategii

optime.

186

Teoria jocurilor

Teorema 3. (teorema fundamentală de minimax)

Fie un joc G = (A, B, f) de două persoane, caracterizat de matricea

jocului A = (aij), i = m,1 , j = n,1 şi fie Γ = (X, Y, ϕ) jocul mediat

corespunzător. Atunci există expresiile:

Γv = Xx

max∈ Yy

min∈

ϕ(x, y) şi Γv = Yy

min∈ Xx

max∈

ϕ(x, y) şi Γv = Γv .

Demonstraţie:

Să demonstrăm existenţa valorilor Γv şi Γv .

Pentru orice y = (y1, ..., yn) ∈ Y funcţia

ϕ(x, y) = ∑∑= =

m

1i

n

1jjiij yxa este funcţie de x = (x1, ..., xm) ∈X,

continuă şi liniară. Într-adevăr:

ϕ(x, y) = ∑∑==

++n

1jjmj

n

1jmjj11 yax...yax , deci este mărginită şi îşi atinge

marginile pe X.

Deci există Xx

max∈

ϕ(x, y) pentru orice y ∈Y, iar această funcţie este

liniară în y ∈ Y, deci este şi continuă. Cum Y este o parte închisă a lui ℝn,

rezultă că există Xx

max∈ Yy

min∈

ϕ(x, y).

Analog se arată că există Yy

min∈ Xx

max∈

ϕ(x, y) şi existenţa e demonstrată.

Din teorema 1, relaţia (1) putem scrie că

Xxmax∈ Yy

min∈

ϕ(x, y) ≤ Yy

min∈ Xx

max∈

ϕ(x, y) (4)

adică Γv ≤ Γv .

187


Pentru demonstrarea inegalităţii inverse dăm, fără demonstraţie:

Lema 1 (lema fundamentală a dualităţii):

Dacă A = (aij), i = m,1 , j = n,1 şi x = (x1, ..., xm), y = (y1, ..., yn)

îndeplinesc condiţiile:

xi ≥ 0, ∑=

m

1iix = 1, yj ≥ 0, ∑

=

n

1jjy = 1, atunci există o pereche de

asemenea vectori x, y pentru care numai una din următoarele situaţii este

adevărată:

i) ∑=

m

1iiijxa ≥ 0, j = n,1 ;

ii) ∑=

n

1jjijya ≤ 0, i = m,1 .

Aplicând această lemă pentru matricea jocului A, dacă are loc prima

situaţie (i), înseamnă că există x = (x1, ..., xm) astfel încât a1jx1 +...+amjxm ≥0,

(∀) j = n,1 , de unde:

ϕ(x, y) = ∑=

++n

1jjmmj1j1 y)xa...xa( ≥ 0, (∀) y ∈ Y, deci

Yymin∈

ϕ(x, y)≥0, de unde rezultă că şi Xx

max∈ Yy

min∈

ϕ(x, y)≥0.

Dacă situaţia (ii) din lemă este adevărată, există y = (y1, ..., yn) ∈ Y

astfel încât

ai1y1 + ... + ainyn ≤ 0, i = m,1 , de unde:

ϕ(x, y) = ∑=

++m

1iinin11i x)ya...ya( ≤ 0, (∀) x ∈ X, deci şi

Xxmax∈

ϕ(x, y) ≤ 0, de unde rezultă că şi Yy

min∈ Xx

max∈

ϕ(x, y) ≤ 0.

188

Teoria jocurilor

Cum numai una dintre cele două situaţii din lemă are loc, niciodată

nu se va verifica relaţia

Xxmax∈ Yy

min∈

ϕ(x, y) < 0 < Yy

min∈ Xx

max∈

ϕ(x, y) (5)

Fie Gk = (A, B, fk) având matricea Ak = (aij – k); i = m,1 , j = n,1 ,

k ∈ℝ şi jocul mediat corespunzător Γk = (X, Y, ϕk), ϕk fiind câştigul mediu

în jocul mediat cu matricea Ak, adică:

ϕk(x, y) = ∑ ∑∑∑∑∑= = === =

−=−m

1i

m

1i

n

1jji

n

1jjiij

m

1i

n

1jjiij yxkyxayx)ka( .

Cum ∑∑i j

ji yx = 1, obţinem:

ϕk(x, y) = ϕ(x, y) – k (6)

Pentru jocul Γk, rezultă din (5) că nu poate avea loc inegalitatea:

Xxmax∈ Yy

min∈

ϕk(x, y) < 0 < Yy

min∈ Xx

max∈

ϕk(x, y)

sau ţinând seama de (6) nu poate avea loc relaţia

Xxmax∈ Yy

min∈

ϕ(x, y) – k < 0 < Yy

min∈ Xx

max∈

ϕ(x, y) – k

care se mai scrie:

Xxmax∈ Yy

min∈

ϕ (x, y) < k < Yy

min∈ Xx

max∈

ϕ(x, y), (∀) k ∈ℝ.

Negarea acestei ultime relaţii implică:

Xxmax∈ Yy

min∈

ϕ(x, y) ≥Yy

min∈ Xx

max∈

ϕ(x, y) sau

Γv ≥ Γv , care, împreună cu (4), dau Γv = Γv .

Definiţie. Valoarea unui joc matriceal G = (A, B, f) cu f(A × B) = A,

A = (aij), i = m,1 , j = n,1 fără punct şa este dată de valoarea Γv = Γv = v a

jocului mediat Γ = (X, Y, ϕ) asociat lui.

189


Consecinţă 3: Orice joc matriceal mediat are o valoare şi deci şi o

soluţie. În mulţimea strategiilor X şi Y există cel puţin o pereche de strategii

mixte x0, y0 pentru care:

ϕ(x0, y0) = Xx

max∈ Yy

min∈

ϕ(x, y) =Yy

min∈ Xx

max∈

ϕ(x, y).

Teorema 4 [6]

Dacă G = (A, B, f) şi Γ(X, Y, ϕ) jocul mediat asociat, atunci:

Gv ≤ Γv ≤ Γv ≤ Gv

Teorema 5 [6]

Asupra matricei A = (aij) a unui joc se pot efectua următoarele

operaţii:

a) dacă se permută liniile (coloanele) între ele, valoarea jocului nu se

schimbă şi nici probabilităţile de folosire a strategiilor de către

jucătorul P1 (respectiv P2);

b) dacă la fiecare element aij din matricea A a unui joc matriceal de

valoare v se adaugă acelaşi număr real k, atunci strategiile mixte

optime rămân neschimbate, iar valoarea jocului devine v’ = v + k;

c) dacă toate elementele matricei A dintr-un joc matriceal de valoare

v se înmulţesc cu acelaşi număr k > 0, atunci strategiile mixte

optime rămân neschimbate, iar valoarea jocului devine v’ = kv.

2.3 Rezolvarea jocurilor matriceale

Teorema 3 (teorema minimax) asigură existenţa strategiilor optime

în jocuri de două persoane cu sumă nulă. Ne preocupă să găsim modul cum

190

Teoria jocurilor

pot fi calculate aceste strategii. În cele ce urmează, vom prezenta câteva

metode pentru soluţia unor jocuri matriceale.

2.3.a Jocuri 2 × 2

Considerăm jocul matriceal cu:

A = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

2221

1211

aaaa

.

Dacă jocul are punct şa, rezolvarea sa e banală. Presupunem că jocul

nu are punct şa. Atunci strategiile optime x = (x1, x2) şi y = (y1, y2) vor avea

toate componentele pozitive. Valoarea jocului v este:

v = ϕ(x, y) = a11x1y1 + a12x1y2 + a21x2y1 + a22x2y2

şi se mai scrie:

x1(a11y1 + a12y2) + x2(a21y1 + a22y2) = v (7)

Cum y este strategie optimă, fiecare expresie din paranteze este cel

mult egală cu v. Dacă presupunem că una e strict mai mică decât v, de

exemplu:

a11y1 + a12y2 < v

a21y1 + a22y2 ≤ v

cum x1 > 0 şi x1 + x2 = 1 ar rezulta că membrul stâng din (7) este mai mic ca

v. Deci va trebui ca:

a11y1 + a12y2 = v

a21y1 + a22y2 = v.

Raţionând analog se obţine:

a11x1 + a21x2 = v

a12x1 + a22x2 = v.

191


Sau matriceal:

AyT ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

vv

şi xA = (v, v). (8)

Notând J = (1, 1) şi ţinând seama că x1 + x2 = 1 şi y1 + y2 = 1, găsim

formulele de calcul pentru x, y şi v.

Dacă A este nesingulară, din (8) avem:

xA = vJ şi x = vJA-1. (8’)

Dar x1 + x = 1 este echivalentă cu xJT = 1.

În (8’), înmulţind cu JT, avem:

vJA-1JT = xJT = 1 de unde:

v = T1JJA1− .

Atunci, din (8’) vom avea:

x = T1

1

JJAJA

−

−

.

Prima relaţie din (8) se mai scrie: AyT = vJT, de unde:

yT = A-1(vJT) = T1

T1

JJAJA

−

−

.

Dacă A este singulară (A-1 nu există), echivalentele formulelor de

mai sus vor fi ([16]):

TT

TT

T J*JA|A|v;

J*JAJ*Ay;

J*JA*JAx === , (9)

unde A* este matricea adjunctă a lui A, ⎪A⎪ determinantul lui A şi J = (1,1).

Aceste formule se verifică şi când A este inversabilă.

192

Teoria jocurilor

Exemplu

Să se determine soluţia jocului matriceal:

A = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛3012

.

Rezolvare

Jocul nu are punct şa. Matricea A* = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −2013

, ⎪A⎪ = 6,

JA* = (1,1) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −2013

= (3, 1); A*JT = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −2013

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛11

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛22

;

JA*JT = (1, 1) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛22

= 4.

Introducând rezultatele obţinute în (9) avem:

x = ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

41,

43 , y = ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

21,

21 , v =

23 .

Observaţie: Metoda de mai sus poate fi aplicată în rezolvarea

matriceală a jocurilor, în care dacă notăm matricea câştigurilor cu C = (cij), i

= m,1 , j = n,1 , pentru jocul Γ = (X, Y, f), soluţia şi valoarea jocului se

determină ([9], [21]) cu ajutorul formulelor:

Trr

Tr

*r

Tr

Trr

r

J*AJ|A|v,

JAJ*)A(Jy,

J*AJ*AJx === (9’)

În relaţiile (9’) avem:

- A o matrice nesingulară a lui C, de ordinul r, 2 ≤ r ≤ min(m, n);

- ⎪A⎪ este determinantul matricei A;

- Jr = (1, ..., 1), matrice de ordinul 1 × r;

193


Determinarea soluţiei se face astfel:

a) se caută toate submatricele nesingulare A, pornind de la

r = min(m,n);

b) se rezolvă jocurile corespunzătoare matricelor de la a), care

admit numai strategii pozitive;

c) în x şi y se completează cu zerouri componentele

corespunzătoare liniilor şi coloanelor din C care nu intră în A,

obţinând strategiile x0 şi y0;

d) se verifică condiţiile corespunzătoare relaţiilor (8), date de

criteriul Neumann şi anume x0A = vJ şi AyT = vJT.

Dacă aceste relaţii sunt îndeplinite x0 şi y0 sunt strategii optime ale

jocului Γ, iar v este valoarea jocului.

2.3.b Jocuri 2 × n şi m × 2

În acest caz presupunem că cel puţin un jucător posedă numai două

strategii pure. Fie P1 jucătorul ce are numai două strategii pure, adică

analizăm cazul 2 × n. Jocurile m × 2 se tratează într-un mod similar.

Dacă matricea jocului este:

A = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

n221

n111

a...aa...a

şi x = (x1, x2) e strategia jucătorului P1, atunci acesta urmăreşte să

maximizeze funcţia v(x) – valoarea jocului.

194

Teoria jocurilor

Modelul matematic al jocului pentru P1 este:

a11x1 + a21x2 ≥ v

∶

a1nx1 + a2nx2 ≥ v

x1 + x2 = 1

x1, x2 ≥ 0

şi poate fi adus la forma matematică a unui model de programare liniară

având necunoscutele x1, x2 şi v, astfel:

[max]f = v

a11x1 + a21x2 – v ≥ 0

∶

a1nx1 + a2nx2 – v ≥ 0

x1 + x2 = 1

x1, x2 ≥ 0, v – oarecare.

Exemplu

Să se determine strategia optimă a jucătorului P1 în jocul definit de

matricea:

A = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−−1668

442.

Rezolvare

Strategiile lui P1 verifică sistemul:

-2x1 + 8x2 ≥ v

4x1 – 6x2 ≥ v

-4x1 + 16x2 ≥ v

x1 +x2 = 1


195


Forma matematică a modelului de programare liniară în

necunoscutele x1, x2 şi v va fi:

[max]f = v

-2x1 + 8x2 – v ≥ 0

4x1 – 6x2 – v ≥ 0

-4x1 + 16x2 – v ≥ 0

x1 +x2 = 1


Cum x1 = 1 – x2, x1, x2 ∈ [0,1], modelul de mai sus devine:

[max]f = v

10x2 – v ≥ 2

10x2 + v ≤ 4

20x2 – v ≥ 4

x2 ∈ [0,1], v – oarecare.

Rezolvăm grafic această problemă şi obţinem:

v

4

2

1 M(0,3; 1)

0 1 x2

-1

-2

-4

v =

-4+2

0x2

v =

-2+1

0x2

v = 4-10x2

196

Teoria jocurilor

Regiunea haşurată conţine mulţimea punctelor ce satisfac restricţiile

modelului de programare liniară. Punctul M aflat la intersecţia dreptelor

generate de restricţiile 1 şi 2 (deci corespunzătoare coloanelor 1 şi 2 din A)

are abcisa x2 = 0, 3 şi ordonata v = 1. Atunci strategia lui P1 este x = (x1, x2),

unde x2 = 0, 3 şi x1 = 1 – x2 = 0,7 şi valoarea jocului este v = 1.

Observaţie: Aceste valori pot fi obţinute cu formulele (9) pentru

jocul matriceal 2 × 2 format din coloanele 1 şi 2 ale matricei A. Fie

A0 = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−68

42. Într-adevăr,

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−−−

=2846

A*0 , ⎪A0⎪ = - 20, ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−−−

=2846

)1,1(JA*0 = (-14, -6).

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−−−

=1010

11

2846

JA T*0 ; JA *

0 JT = (1,1) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

1010

= - 20.

x = 201

JJAJA

T*0

*0 −= (-14, -6) = (0,7; 0,3).

v = 2020

JJA|A|T*

0

0

−−

= = 1.

yT = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

−=5,05,0

1010

201

JJAJA

T*0

T*0 de unde y = (0,5; 0,5; 0).

Am obţinut astfel şi strategia optimă a lui P2.

2.3.c Rezolvarea jocurilor matriciale prin programare liniară

Fie jocul G = (A, B, f) cu matricea A = (aij), i = m,1 , j = n,1 de

valoare v, având jocul mediat corespunzător Γ = (X, Y, ϕ).

197


Dacă jucătorul P1 foloseşte strategiile Ai, cu probabilităţile xi,

i = m,1 , poate spera la un câştig egal cel puţin cu valoarea v a jocului,

pentru orice strategie Bj, j = n,1 , a lui P2.

Putem scrie sistemul de inecuaţii:

a11x1 + ... + am1xm ≥ v

a12x1 + ... + am2xm ≥ v

(I) ∶

a1nx1 + ... + amnxm ≥ v

x1 + ... + xm = 1

xi ≥ 0; i = m,1 .

Dacă jucătorul P2 foloseşte strategiile Bj cu probabilităţile yj, j = n,1 ,

el se aşteaptă la o pierdere cel mult egală cu valoarea v a jocului şi putem

scrie sistemul de inecuaţii:

a11y1 + ... + a1nyn ≤ v

a21y1 + ... + a2nyn ≤ v

(II) ∶

am1y1 + ... + amnyn ≤ v

y1 + ... + yn = 1

yj ≥ 0; j = n,1 .

Sistemul (I) corespunde condiţiei ϕ(x, j) ≥ v, j = n,1 , iar sistemul (II)

corespunde condiţiei ϕ(i, y) ≤ v pe care trebuie să le verifice strategiile

x = (x1, ..., xm) şi y = (y1, ..., yn) pentru a fi optime.

198

Teoria jocurilor

Pentru a transforma cele două sisteme în modele de programare

liniară este necesar ca valoarea v a jocului să fie pozitivă. Deci vom

presupune v > 0 (în caz contrar se face modificarea matricei A în A = ( ija )

cu ija = aij + k > 0, (∀)i = m,1 , j = n,1 şi k > 0.

Notăm Xi = vxi , i = m,1 , Yj =

vy j , j = n,1 .

Condiţiile ca xi şi respectiv yj să fie probabilităţi, devin:

X1 + ...+ Xm = v1

Y1 + ...+ Yn = v1

Deoarece jucătorul P1 urmăreşte obţinerea celei mai mari valori a

câştigului v, deci a celei mai mici valori a lui v1 , el îşi propune să obţină

minf = X1 + ... + Xm.

Jucătorul P2 urmăreşte obţinerea celei mai mici pierderi v, adică cea

mai mare valoare a lui v1 , deci îşi propune să obţină maxg = Y1 + ...+ Yn.

Astfel sistemele (I) şi (II) corespunzătoare celor doi jucători se pot

scrie ca un cuplu de probleme duale de programare liniară şi anume:

[min]f = v1 = X1 + ...+ Xm

a11X1 + ... + am1Xm ≥ 1

(I) ∶

a1nX1 + ... + amnXm ≥ 1

Xi ≥ 0, i = m,1

199


[max]g = v1 = Y1 + ...+ Yn

a11Y1 + ... + a1nYn ≤ 1

(II) ∶

am1Y1 + ... + amnYn ≤ 1

Yj ≥ 0, j = n,1

Prin rezolvarea uneia dintre cele două duale se obţin strategiile mixte

optime ale ambilor jucători precum şi valoarea jocului v:

g[max]1

f[min]1v == .

Este de preferat rezolvarea lui II deoarece implică un volum mai mic

de calcule.

Exemplu

O firmă A doreşte să lanseze pe piaţă un anumit tip de produs în trei

sortimente A1, A2, A3. Concurenta ei, firma B, prezintă produsul în

sortimentele B1, B2, B3. Se cunoaşte, din sondajele făcute că dacă

cumpărătorii trebuie să aleagă între sortimentul Ai, i = 3,1 şi Bj, j = 3,1 , ei

preferă fie produsele firmei A (situaţie notată cu 1), fie pe cele ale firmei B

(situaţie notată cu -1), fie sunt indiferenţi (situaţie notată cu 0), conform

tabelului următor:

BjAi

B1 B2 B3

A1 A2 A3

1 -1 0

-1 1 1

0 -1 1

Să se determine strategia firmei A în faţa concurentei B.

200

Teoria jocurilor

Rezolvare

Fie x1, x2, x3 probabilităţile corespunzătoare celor 3 strategii pure ale

firmei A şi y1, y2, y3 probabilităţile corespunzătoare strategiilor firmei B.

Determinăm valoarea inferioară α şi valoarea superioară β a jocului.

yx y1 y2 y3 αi

x1 x2 x3

1 -1 0

-1 1 1

0 -1 1

-1 -1 0

βj 1 1

1 01

α = max αi = 0 este valoarea inferioară a jocului şi

β = min βj = 1 este valoarea superioară a jocului.

Deci jocul nu are punct şa, iar valoarea v a jocului are proprietatea că

0 ≤ v ≤ 1.

Modelele duale de programare liniară vor fi:

x1 + x2 + x3 =1

x1 – x2 ≥ v

(I) -x1 + x2 + x3 ≥ v

-x2 + x3 ≥ v

xi ≥ 0, i = 3,1

sau cu notaţiile Xi = vxi , i = 3,1 şi [min]f =

v1

201


[min]f = v1 = X1 + X2 + X3

X1 – X2 ≥ 1

(I) -X1 + X2 + X3 ≥ 1

-X2 + X3 ≥ 1

Xi ≥ 0, i = 3,1

pentru firma A, iar pentru firma B:

y1 + y2 + y3 =1

y1 – y2 ≤ v

(II) -y1 + y2 - y3 ≤ v

y2 + y3 ≤ v

yj ≥ 0, j = 3,1

Cu notaţiile Yj = vy j , j = 3,1 şi [max]g =

v1 , avem:

[max]g = v1 = Y1 + Y2 + Y3

Y1 – Y2 ≤ 1

(II) -Y1 + Y2 - Y3 ≤ 1

Y2 + Y3 ≤ 1

Yj ≥ 0, j = 3,1

Se rezolvă prin algoritmul simplex al doilea model, aducând

problema la forma standard.

202

Teoria jocurilor

Y1 – Y2 + Y4 = 1

-Y1 + Y2 – Y3 + Y5 = 1

Y2 + Y3 + Y6 = 1

Yj ≥ 0, j = 6,1

[max]g = v1 = Y1 + Y2 + Y3 + 0(Y4 + Y5 + Y6)

1 1 1 0 0 0 B CB YB a1 a2 a3 a4 a5 a6 θ

←a4 a5 a6

0 0 0

1 1 1

1 ↓ -1 0

-1 1 1

0 -1 1

1 0 0

0 1 0

0 0 1

1 - -

gj 0 0 0 0 0 0 0 ∆j = cj - gj 1 1 1 0 0 0

a1 a5 ←a6

1 0 0

1 2 1

1 0 0

-1 ↓ 0 1

0 -1 1

1 1 0

0 1 0

0 0 1

- - 1

gj 1 1 -1 0 1 0 0 ∆j = cj - gj 0 2 1 -1 0 0

a1 a5 a2

1 0 1

2 2 1

1 0 0

0 0 1

1 -1 1

1 1 0

0 1 0

1 0 1

gj 3 1 1 2 1 0 2 ∆j = cj - gj 0 0 -1 -1 0 -2

[max]g = 3 = [min]f

Y1 = 2, Y2 = 1, Y3 = 0

X1 = 1, X2 = 0, X3 = 2

Atunci v = 31

g[max]1

= .

y1 = vY1 = 31 ⋅ 2 =

32 , y2 = vY2 =

31 ⋅ 1 =

31 , y3 = vY3 =

31 ⋅ 0 = 0

x1 = vX1 = 31 ⋅ 1 =

31 , x2 = vX2 =

31 ⋅ 0 = 0, x3 = vX3 =

31 ⋅ 2 =

32 .

Firma A va avea strategia mixtă

203


x = (31 , 0,

32 ), adică va trebui să producă 33, 33% produse din

primul sortiment iar restul 66,66% din al treilea sortiment. Acest plan de

producţie îi asigură firmei A un câştig, fără nici un risc, de 31 în vreme ce

concurenta ei, firma B, va avea o pierdere de 31 .

În concluzie, în rezolvarea unui joc matricial se parcurg următorii

paşi:

Pasul 1. Se determină valoarea inferioară α şi valoarea superioară β

a jocului:

- dacă α = β, jocul are punct şa, se determină strategiile

pure şi valoarea jocului;

- dacă α < β, jocul nu are punct şa; vor trebui determinate

strategiile mixte optime şi valoarea jocului.

Pasul 2. Se elimină strategiile dominate.

Pasul 3. Ne asigurăm ca valoarea v a jocului să fie un număr pozitiv,

ştiind că v ∈ [α, β].

Pasul 4. Scriem modelul de programare liniară pentru jucătorul P2 şi

rezolvăm prin algoritmul simplex problema din care citim

[max]g, Y1,...,Yn şi X1, ..., Xm.

Pasul 5. Determinăm: v = g[max]

1 , xi = vXi, i = m,1 şi yj = vYj,

j = n,1 , adică soluţia optimă a problemei.

Observaţie: Dacă matricea jocului este de forma 2 × 2 sau 2 × n, în

pasul 3 putem alege şi alte metode în afara algoritmului simplex, cum ar fi

cele prezentate la 2.3.a şi 2.3.b.

204

Teoria jocurilor

3. Jocuri contra naturii

Până acum ne-am ocupat de jocuri în care alegerea strategiilor era

determinată de matricea A a câştigurilor primului jucător P1. Sunt situaţii în

care riscurile cu care se iau hotărâri nu pot fi cunoscute, deoarece jucătorul

P2 nu acţionează raţional. Un astfel de jucător poate fi considerată natura, de

unde şi denumirea de jocuri contra naturii. De analiza unor astfel de situaţii

se ocupă teoria deciziilor.

În cele ce urmează vom prezenta unele criterii de alegere a deciziei

jucătorului P1 (numit şi statistician) în jocurile contra naturii (numite şi

jocuri în caz de incertitudine). Menţionăm că atitudinea faţă de joc, diferită

de la o persoană la alta, face ca în teoria deciziilor să nu existe criterii

universal valabile. Aplicarea criteriilor poate conduce la rezultate diferite.

Alegerea strategiei ar putea fi dată de rezultatul aplicării mai multor criterii.

Vom presupune că statisticianul – jucătorul P1, dispune de m

strategii pure A1, ..., Am, iar natura are n stări B1, ..., Bn.

Fie matricea A = (aij), i = m,1 , j = n,1 , unde aij este câştigul lui P1

când alege strategia Ai, iar natura se află în starea Bj.

Criteriul lui Hurwicz (criteriul optimismului)

Optimismul jucătorului P1 se defineşte ca un număr α ∈ [0,1]. Se

determină numerele reale:

mi = j

min ⎨aij⎬ şi Mi = j

max ⎨aij⎬, i = m,1 .

Fiecărei strategii Ai îi asociem expresia:

αMi + (1 - α)mi, i = m,1 .

205


Strategia optimă va fi cea care corespunde la:

imax [αMi + (1 - α)mi]

În folosirea acestui criteriu trebuie să se definească în prealabil

optimismul jucătorului, adică numărul α ∈ [0, 1].

Exemplu

Se consideră jocul contra naturii a cărui matrice a câştigurilor lui P1

în orice strategie a sa Ai, i = 4,1 şi în orice stare Bj, j = 4,1 a naturii este:

B1 B2 B3 B4 A1A2A3A4

2 3 1 3

4 2 5 3

3 3 2 2

3 2 1 3

Să se determine în funcţie de α strategia optimă a lui P1.

Pentru α = 32 care este strategia optimă?

Rezolvare

Ataşăm matricei date coloanele elementelor: mi, Mi şi

αMi + (1 - α)mi, unde mi este respectiv cel mai mic, iar Mi este cel mai mare

număr de pe linia respectivă. Obţinem astfel:

B1 B2 B3 B4 mi Mi αMi+(1-α)mi

A1 A2 A3 A4

2 3 1 3

4 2 5 3

3 3 2 2

3 2 1 3

2 2 1 2

4 3 5 3

2α+2 α+2 4α+1 α+2

206

Teoria jocurilor

Ca să determinăm i

max [αMi + (1 - α)mi], ştiind că α ∈ [0,1],

observăm că α + 2 ≤ 2α + 2, (∀)α ∈ [0,1]. Merită studiate cazurile:

a) 4α + 1 < α + 2, de unde α < 31 ;

b) α + 2 ≤ 4α + 1 < 2α + 2, de unde 31 ≤ α <

21 ;

c) 2α + 2 ≤ 4α + 1, de unde α ≥ 21 .

Deci pentru α ∈ [0, 31 ), 2α + 2 este cea mai mare valoare şi cum ea

corespunde strategiei A1, aceasta este strategia optimă.

Pentru α ∈ [31 ,

21 ), tot 2α + 2 este valoarea maximă deci A1 e

strategie optimă.

Pentru α ∈ [21 , 1], 4α + 1 e valoarea maximă şi A3 este strategia

optimă.

În particular α = 32 ∈ [

21 , 1], deci A3 este strategia optimă.

Criteriul Bayes - Laplace

În cazul acestui criteriu se va presupune că stările naturii sunt egal

probabile. Şi cum numărul lor este n, probabilitatea ca natura să se afle în

starea Bj este n1 , (∀) j = n,1 .

207


Dacă jucătorul P1 va alege strategia Ai, câştigul său va fi

n1 ∑

=

n

1jija , care este valoarea medie a variabilei aleatoare

discrete cu repartiţia:

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

n1

n1

n1

aaa in2i1i

L

L.

P1 va alege strategia pentru care câştigul său mediu este maxim:

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧∑=≤≤

n

1jijmi1

an1max .

Observaţia 1:

Dacă se cunosc totuşi probabilităţile diferitelor stări ale naturii

respectiv y1, ..., yn, deci strategia y = (y1, ..., yn) cu yj ≥ 0, j = n,1 şi

∑=

n

1jjy =1, câştigul mediu al statisticianului P1 când foloseşte strategia Ai va

fi, conform formulei din paragraful 2.2:

ϕ(i, y) = ∑=

n

1jjijya , iar câştigul mediu va fi maxim pentru strategia

corespunzătoare valorii:

mi1max

≤≤ϕ(i, y).

Observaţia 2:

Criteriul lui Laplace introduce toate neajunsurile valorii medii. Dacă

estimările au fost făcute grosolan apar erori în apreciere, ce vor duce la

decizii greşite. Criteriul devine uneori inacceptabil când elementele jocului

sunt foarte dispersate.

208

Teoria jocurilor

Exemplu

Pentru jocul din exemplul precedent să se determine strategia optimă

a lui P1 în cazurile:

a) când stările naturii sunt egal probabile;

b) când probabilităţile ca natura să se afle în stările ei sunt

respectiv:

92,

94,

92,

91 .

Rezolvare

a) Ataşăm matricei jocului coloana ∑=

4

1jija

n1 :

B1 B2 B3 B4 ∑=

4

1jija

n1

A1 A2 A3 A4

2 3 1 3

4 2 5 3

3 3 2 2

3 2 1 3

41⋅12

41⋅10

41⋅9

41⋅11

Deci 4i1

max≤≤⎨ ∑

=

4

1jija

41

⎬ este 41⋅12 ce corespunde strategiei A1 deci

aceasta este strategia optimă, după criteriul Laplace.

b) Calculăm pentru fiecare strategie Ai valoarea expresiei date de

ϕ(i, y), i = 4,1 . Obţinem:

ϕ(1, y) = 91⋅2 +

92⋅4 +

94⋅ 3 +

92⋅3 =

91⋅28;

209


ϕ(2, y) = 91⋅3 +

92⋅2 +

94⋅ 3 +

92⋅2 =

91⋅23;

ϕ(3, y) = 91⋅1 +

92⋅5 +

94⋅ 2 +

92⋅1 =

91⋅21;

ϕ(4, y) = 91⋅3 +

92⋅3 +

94⋅ 2 +

92⋅3 =

91⋅23.

Cea mai mare valoare este 91⋅ 28 şi corespunde lui ϕ(1, y), deci A1

este strategia optimă.

Criteriul lui Savage (criteriul regretelor)

Savage compară rezultatul deciziei în cazul necunoaşterii stării

naturii cu cel care s-ar obţine dacă s-ar cunoaşte această stare. Diferenţa

dintre câştigul realizat când se ia decizia fără a cunoaşte stările naturii şi cel

realizat dacă se cunosc acestea reprezintă regretul sau ce s-ar fi câştigat dacă

P1 ar fi cunoscut stările naturii.

Pornind de la matricea A = (aij), i = m,1 , j = n,1 , se formează o nouă

matrice R = (rij), numită matricea regretelor, unde elementul:

rij = mk1

max≤≤

akj – aij, i = m,1 , j = n,1 , adică rij este dat de diferenţa

dintre cel mai mare element de pe coloana j şi elementul aij.

Se obţine astfel un nou joc caracterizat de matricea R care va fi tratat

după criteriul minimax. P1 va alege strategia pe linia căreia se obţine:

mi1min

≤≤⎨

nj1max

≤≤rij⎬, adică linia pe care cel mai mare regret este minim.

Exemplu

Pentru acelaşi joc din ultimele două exemple, aplicând criteriul

regretelor, să se determine strategia ce va fi aleasă de P1.

210

Teoria jocurilor

Rezolvare

Se determină mai întâi matricea regretelor ale cărei elemente de pe o

coloană se obţin scăzând din cel mai mare element al coloanei fiecare

element al acesteia. Se obţine:

B1 B2 B3 B4 jmax rij

A1 A2 A3 A4

1 0 2 0

1 3 0 2

0 0 1 1

0 1 2 0

1 3 2 2

Atunci i

min ⎨j

max rij⎬ = min⎨1, 3, 2, 2⎬ = 1, ce corespunde strategiei

A1, deci P1 alege această strategie.

Criteriul lui Wald

Dacă jocul are punct şa, statisticianul P1 alege strategia Ai

determinată de condiţia:

imax (

jmin aij).

Dacă jocul nu are punct şa, se determină strategia mixtă

x = (x1, ..., xm) pentru care:

jmin

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧∑

=

m

1iiijxa , este maximă.

Exemplu

Aplicarea criteriului lui Wald jocului cercetat şi cu celelalte criterii

ne duce la concluzia că jocul nu are punct şa. Procedând ca în paragraful

2.3.c, se determină strategia mixtă a statisticianului şi se găseşte vectorul:

x = (1/3, 1/3, 0, 1/3),

211


de unde rezultă că P1 poate alege oricare dintre strategiile sale A1, A2 sau

A4.

Observaţie: Criteriile aplicate nu au dus mereu la aceeaşi decizie dar

în majoritatea cazurilor s-a obţinut că cea mai bună strategie este A1;

statisticianul pe aceasta o va alege.

Aplicaţie

Patronul unui magazin achiziţionează un număr de frigidere de un

anumit tip pe o perioadă de 6 luni (primăvară – vară), pentru a le vinde. Din

observaţiile statistice, bazate pe cererea din ultimii doi ani, el estimează că

va vinde un număr de frigidere cuprins între: 15 şi 25 cu probabilitatea de

0,1; între 25 şi 35 cu probabilitatea de 0,4; între 35 şi 45 cu 0,3 şi între 45 şi

55 cu 0,2.

Costul unitar de achiziţie este de 300 euro iar preţul unitar de

vânzare este 400 euro (incluzând cheltuielile de transport şi garanţia de

funcţionare pe un an). Toate frigiderele nevândute până în toamnă se

restituie furnizorului pentru 250 euro/bucata.

Să se stabilească numărul optim de frigidere pe care să le

achiziţioneze patronul pentru a obţine un câştig cât mai mare.

Rezolvare

Determinăm matricea A = (aij), i, j = 4,1 , unde aij este câştigul

obţinut de patron când aplică strategia Ai, i = 4,1 şi cererea este în starea Sj,

j = 4,1 . Obţinem astfel: Cererea pieţei

Cantitatea achiziţionată

S1:20 S2:30 S3:40 S4:50

A1:20 A2:30 A3:40 A4:50

2000 1500 1000 500

2000 3000 2500 2000

2000 3000 4000 3500

2000 3000 4000 5000

212

Teoria jocurilor

unde de exemplu elementul de pe linia A3 şi coloana S2 se calculează astfel:

din cele 40 frigidere achiziţionate se vând 30.

Diferenţa dintre preţul unitar de vânzare şi cel de achiziţionare este

de 100 euro pentru un frigider, ce reprezintă câştigul patronului. Pentru cele

30 frigidere vândute va câştiga 3000 euro. Dar alte 10 frigidere nevândute

vor fi restituite furnizorului cu o pierdere unitară de 50 euro dată de

diferenţa dintre costul de achiziţie 300 şi cel de restituire 250. Deci

pierderea va fi de 500 euro şi atunci beneficiul total va fi de: 3000 – 500 =

= 2500 euro.

Deoarece în stabilirea deciziei contează consecinţele economice se

pot aplica în rezolvarea problemei criteriile: maximin, minimax, Savage,

Bayes-Laplace:

a) Prin criteriul maximin se alege minimul fiecărei linii şi dintre

acestea se găseşte maximul:

A1 A2 A3 A4 2000 1500 1000 500

care este 2000 şi recomandă strategia A1.

b) Criteriul minimax, bazat pe prudenţă, indică alegerea elementelor

maxime pe fiecare linie şi apoi determinarea celui mai mic dintre acestea.

A1 A2 A3 A4 2000 3000 4000 5000

Acest element este 2000 şi arată că cea mai prudentă decizie este A1.

c) Criteriul lui Savage este de fapt criteriul minimax aplicat pe

matricea regretelor, ce va avea forma:

R =

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

050010001500100005001000200010000500300020005000

213


pentru care vom căuta maximul pe fiecare linie şi apoi cel mai mic dintre

acestea. Găsim:

A1 A2 A3 A4 3000 2000 1000 1500

cel mai mic element este 1000 şi recomandă strategia A3.

d) Criteriul Bayes-Laplace presupune calculul câştigului mediu

pentru fiecare strategie folosind probabilităţile date în enunţul problemei şi

formulele din paragraful 2.2. Astfel:

ϕ(1,y) = 0,1⋅2000 + 0,4⋅2000 + 0,3⋅2000 + 0,2⋅2000 = 2000

ϕ(2,y) = 0,1⋅1500 + 0,4⋅3000 + 0,3⋅3000 + 0,2⋅3000 = 2850

ϕ(3,y) = 0,1⋅1000 + 0,4⋅2500 + 0,3⋅4000 + 0,2⋅4000 = 3100

ϕ(4,y) = 0,1⋅500 + 0,4⋅2000 + 0,3⋅3500 + 0,2⋅5000 = 2900

Cel mai mare câştig se obţine când se aplică strategia A3.

4. Jocuri de două persoane cu sumă arbitrară (bimatriceale)

Jocurile de două persoane cu sumă oarecare extind în mod natural

jocurile cu sumă nulă de care ne-am ocupat până acum. Ele produc şi o

schimbare calitativă importantă, în sensul că, dacă regulile jocului o permit,

jucătorii pot căuta împreună căi (strategii) de îmbunătăţire a câştigurilor lor,

ceea ce, în cazul jocurilor antagoniste, era exclus din punct de vedere logic.

Obiectul teoriei jocurilor fiind dat de analiza situaţiilor de tip

competiţional, regulile care reglementează concurenţa vor sta la baza

dezvoltărilor ulterioare.

214

Teoria jocurilor

Astfel, vom studia separat jocurile cu sumă arbitrară de tip

necooperativ, în care nu este permisă (sau nu există interes pentru)

colaborarea între jucători şi apoi jocurile de tip cooperativ, în care jucătorii

îşi pot corela strategiile şi/sau pot apela la transferul mutual al unor părţi din

câştiguri. Şi într-un caz şi în celălalt, preocuparea principală va fi de a defini

un concept de soluţie a jocului, de a cerceta condiţii de existenţă şi a

identifica metode de determinare a acesteia.

Ca o trăsătură care distinge jocurile cu sumă arbitrară de cele cu

sumă nulă se evidenţiază interdependenţa strategiilor componente ale unei

soluţii a jocului.

4.1 Jocuri cu sumă arbitrară necooperative

Vom nota, ca şi mai înainte, cei doi jucători cu P1 şi P2 şi vom

presupune că strategiile lor (pure) sunt în număr finit:

A = ⎨A1, ..., Am⎬ reprezintă mulţimea strategiilor lui P1, iar

B = ⎨B1, ..., Bn⎬, mulţimea strategiilor lui P2.

Definiţie: Se numeşte joc de două persoane cu sumă arbitrară dat în

formă normală, un sistem G = ⎨A, B; f1, f2⎬, unde A şi B conţin strategiile

celor doi jucători iar fi(⋅,⋅), i = 2,1 sunt funcţii definite pe A × B cu valori

reale, numite funcţii de câştig, corespunzătoare fiecăruia dintre aceştia.

Pentru o pereche de strategii (Ai, Bj) vom nota f1(Ai, Bj) = aij şi

f2(Ai, Bj) = bij, i = m,1 , j = n,1 . În vederea unei scrieri compacte a

215


elementelor care definesc un joc de acest tip, apelăm la o reprezentare

matriceală ca cea de mai jos:

P2P1

B1 ... Bj ... Bn

A1

∶ Ai

∶ Am

.

. (aij, bij)

.

.

Deoarece elementele tabloului de mai sus sunt perechi de numere

reale care ar putea proveni din suprapunerea a două matrici de dimensiuni

m × n conţinând câştigurile celor doi jucători, luaţi separat, asemenea jocuri

se mai numesc pe scurt jocuri bimatriceale.

Să remarcăm faptul că asupra valorilor sumelor f1(Ai, Bj) + f2(Ai,Bj),

i = m,1 , j = n,1 nu se impune nici o condiţie.

Considerăm, spre exemplificare, următorul joc:

G = ⎨A, B; f1, f2⎬; A = ⎨A1, A2⎬, B = ⎨B1, B2⎬; f1(A1, B1) = 3,

f1(A2, B1) = 1, f1(A1, B2) = 1, f1(A2, B2) = 0; f2(A1, B1) = 0, f2(A2, B1) = 4,

f2(A1, B2) = 2, f2(A2, B2) = 1.

Vom analiza jocul folosind forma sa matriceală.

B1 B2 A1A2

(3,0) (1,4)

(1,2) (0,1)

Se observă că pentru jucătorul P1 este preferabil să joace strategia A1

în raport cu A2, indiferent ce strategie adoptă P2 (B1 sau B2), deoarece avem

f1(A1, ⋅) ≥ f1(A2, ⋅) (într-adevăr, 3 > 1 şi 1 > 0).

Recunoaştem aici existenţa unei strategii dominate a jucătorului 1, în

speţă A2.

216

Teoria jocurilor

Referitor la strategiile lui P2, să observăm că nici una dintre ele nu o

domină pe cealaltă (0 < 2, dar 4 > 1).

Obiectivul nostru fiind acela de a prevedea desfăşurarea jocului, prin

precizarea strategiilor pe care jucătorii, cel mai probabil, le vor folosi (în

scopul raţional al maximizării câştigului), vom reduce matricea jocului

renunţând la linia corespunzătoare strategiei dominate (pe care ar fi iraţional

să o adopte P1).

B1 B2 A1 (3,0) (1,2)

Este evident acum că jucătorul P2 va alege strategia B2, care îi

asigură un câştig mai mare. În concluzie, perechea de strategii (A1, B2) se

constituie într-o soluţie a jocului, rezultată din confruntarea intereselor lui P1

şi P2. Un efect, în acest caz, este acela că nici un jucător nu îşi realizează

câştigul maxim admisibil (3, respectiv 4), fapt posibil din punct de vedere

teoretic, în general.

În exemplul precedent, raţionamentul utilizat a urmărit identificarea

unei convenţii la care jucătorii, în mod independent, sunt dispuşi să adere,

concretizate printr-o soluţie unică a jocului necooperativ. Aceasta conduce

la ideea folosirii perechii de strategii (A1, B2) în mod liber, în mai multe

partide (repetări ale jocului), de către jucători raţionali care aşteaptă unul de

la celălalt un astfel de comportament.

Ideea cristalizării unei convenţii are, desigur, o latură ideală. Nu

putem presupune că pentru un joc oarecare vom elimina pe rând, strategiile

(strict) dominate, rămânând, în final, cu o singură pereche de strategii. Pe de

altă parte, acest proces de eliminare poate să conducă la o mulţime terminală

de perechi de strategii, dintre care unele nu au calităţile unei soluţii.

217


În precizarea calităţilor pe care trebuie să le aibă o soluţie a jocului,

vom ţine cont de faptul că tendinţa unilaterală de câştig a unui jucător poate

fi amendată de opţiunile celuilalt, dar nu şi anihilată. De aceea, apare

naturală cerinţa ca strategia unui jucător, care este o componentă a soluţiei,

să reprezinte cel mai bun răspuns la strategia aleasă de celălat jucător, care

completează soluţia. O astfel de soluţie poate fi numită strategic – stabilă,

deoarece nici un jucător nu are interesul să se abată de la strategia sa, atâta

vreme cât nici ceilalţi nu încearcă acest lucru. Ideea de echilibru pe care

trebuie să îl realizeze strategiile care alcătuiesc soluţia jocului este acum

transparentă. Cele de mai înainte sunt redate în următoarea:

Definiţie. Într-un joc bimatriceal dat în formă normală

G = ⎨A, B; f1, f2⎬, perechea de strategii (A*, B*) reprezintă un punct

de echilibru Nash dacă au loc relaţiile:

f1(A*, B*) ≥ f1(Ai, B*), oricare ar fi Ai ∈ A şi

f2(A*, B*) ≥ f2(A*, Bj), oricare ar fi Bj ∈ B

Altfel spus, maxf1(Ai, B*) este atins în A*, iar maxf2(A*, Bj) e atins Ai∈A Bj∈B

în B*.

Cum A* ∈ A şi B* ∈ B, se obişnuieşte, pentru mai multă claritate, să

se spună că (A*, B*) este punct de echilibru Nash în strategii pure.

Observaţie: Noţiunea de punct de echilibru Nash o generalizează pe

cea de punct şa de la jocurile matriceale (cu sumă nulă). Într-adevăr,

condiţiile:

f(Ai, Bjo) ≤ f(Aio, Bjo) ≤ f(Aio, Bj) (∀) Ai ∈ A, (∀) Bj ∈ B,

care definesc punctul şa aiojo = f(Aio, Bjo) se mai pot scrie:

f(Aio, Bjo) ≥ f(Ai, Bjo), (∀)Ai ∈ A,

-f(Aio, Bjo) ≥ -f(Aio, Bj), (∀)Bj ∈ B.

218

Teoria jocurilor

De aceea, unii folosesc termenul de punct de echilibru în loc de

punct şa atunci când se referă la soluţia unui joc matriceal G = (A, B, f).

Definiţia precedentă se poate extinde, fără dificultate, la cazul a n

jucători, ale căror funcţii de câştig sunt funcţii reale de n argumente.

Exemplu

Se consideră jocul în formă normală G, căruia îi corespunde

matricea:

B1 B2 B3 B4 A1 A2 A3

(4,0) (0,1) (2,4)

(2,1) (2,0) (1,3)

(0,4) (3,3) (1,2)

(1,1) (5,2) (0,2)

Determinarea punctelor de echilibru Nash ale jocului se va face în

modul următor: pentru fiecare jucător şi pentru fiecare strategie a acestuia,

se determină răspunsul optim al celuilalt jucător la respectiva strategie.

Pentru a-l marca, vom sublinia în acea linie / coloană câştigul maxim

corespunzător.

Astfel, observăm că dacă P1 ar folosi strategia A1, atunci P2 ar trebui

să folosească strategia B3 şi vom scrie atunci (0,4) în poziţia din matrice

corespunzătoare perechii (A1, B3). Asemănător, pentru strategiile A2 şi A3

ale lui P1, vom selecta răspunsurile B3, respectiv B1 şi vom completa (3, 3),

respectiv (2, 4) în locurile potrivite din tabel.

În privinţa replicilor lui P1 la alegerile posibile ale lui P2, strategiei

B1 îi va corespunde A1 şi vom scrie în prima coloană (4, 0) (deoarece 4 > 0

şi 4 > 2). Pentru coloanele a doua, a treia şi a patra, vom selecta strategiile

de răspuns A1, A2 şi A2, respectiv.

219


Se obţine aşadar, după procedura de marcare, următorul tabel:

B1 B2 B3 B4 A1 A2 A3

(4,0) (0,1) (2,4)

(2,1) (2,0) (1,3)

(0,4) (3,3) (1,2)

(1,1) (5,2) (0,2)

Ţinând seama de definiţia dată anterior, deducem că punctele de

echilibru corespund acelor perechi de câştiguri în care ambele componente

apar subliniate (dacă există). În exemplul analizat, această situaţie apare

doar în cazul perechii de strategii (A2, B3), care va reprezenta deci soluţia

Nash a jocului.

Vom clarifica în continuare legătura care există între eliminarea

strategiilor strict dominate şi existenţa punctelor de echilibru Nash. Au loc

următoarele rezultate:

Propoziţia 4.1

În jocul dat sub formă normală G = ⎨A, B; f1, f2⎬, dacă strategiile

(S *1 , S *

2 ) reprezintă un punct de echilibru, atunci ele nu sunt afectate de

procedeul de eliminare a strategiilor strict dominate.

Propoziţia 4.2

Dat fiind jocul G = ⎨A, B; f1, f2⎬, dacă eliminarea succesivă a

strategiilor dominate strict conduce la desfiinţarea tuturor combinaţiilor de

strategii, cu excepţia lui (S *1 , S *

2 ), atunci această pereche constituie unicul

punct de echilibru Nash al jocului.

Vom justifica cele afirmate în propoziţia 4.1, folosind reducerea la

absurd. Să presupunem că (S *1 , S *

2 ) este un punct de echilibru al jocului, dar

că una dintre strategiile componente, de exemplu S *1 , a fost eliminată la un

moment dat (eventual precedată de alte strategii din A\⎨S *1 ⎬, sau B\⎨S *

2 ⎬,

220

Teoria jocurilor

eliminate şi ele), fiind strict dominată. Să notăm cu S’1 o strategie din A care

a „supravieţuit” eliminării succesive până la momentul dispariţiei lui S *1 şi

care o domină strict pe aceasta. Are loc deci relaţia:

f1(S *1 , B) < f1(S’1, B) pentru orice strategie B dintre cele rămase la

acest moment. Cum S *1 ar fi prima eliminată dintre strategiile de echilibru,

din inegalitatea de mai sus rezultă:

f1(S *1 , S *

2 ) < f1(S’1, S *2 ).

Dar astfel este contrazis faptul că S *1 este cel mai bun răspuns al lui

P1 la strategia S *2 a lui P2, aşa cum impune faptul că (S *

1 , S *2 ) e punct de

echilibru. Cu aceasta, demonstraţia se încheie.

Mai departe ne preocupă problema existenţei punctelor de echilibru

multiple ale unui joc bimatriceal. Conform propoziţiei 4.1, nu este posibil ca

strategiile componente ale unuia dintre ele să fie evitate în procesul de

eliminare succesivă a strategiilor strict dominate, iar altele, cu aceeaşi

proprietate, nu. De aici rezultă că în propoziţia 4.2 este suficient să arătăm

că (S *1 , S *

2 ) este punct de echilibru Nash. (Demonstraţia, asemănătoare cu

cea precedentă, se sprijină pe ipoteza că mulţimile de strategii ale ambilor

jucători sunt finite).

Ne vom servi în discuţia noastră de exemplul jocului

G = (A, B; f1, f2) cu matricea câştigurilor:

B1 B2 B3 A1A2A3

(2,0) (3,4) (1,3)

(2,1) (1,2) (0,2)

(4,2) (2,3) (3,0)

221


Se poate observa uşor că strategia A1 domină strict pe A3 şi că B3

domină strict pe B2 după eliminarea lui A3. După ce suprimăm strategiile

dominate, jocul are forma simplificată:

B1 B3 A1A2

(2,0) (3,4)

(4,2) (2,3)

Urmând procedura descrisă anterior, sau prin verificare directă,

folosind definiţia, se deduce că (A1, B3) şi (A2, B1) sunt puncte de echilibru

Nash ale jocului.

Aceasta ne permite să remarcăm faptul că, spre deosebire de jocurile

cu sumă nulă, în jocurile bimatriceale, prin interschimbarea strategiilor

corespondente între două puncte de echilibru, perechile rezultate nu mai

sunt puncte de echilibru, aşa cum o demonstrează (A1, B1) şi (A2, B3).

Problema principală însă este ce anume trebuie înţeles prin soluţia

unui astfel de joc. Examinând câştigurile fiecărui jucător în parte, constatăm

că nu putem privilegia vreunul din punctele de echilibru, deoarece jucătorul

P1 preferă, firesc, pe (A1, B3), iar P2 preferă pe (A2, B1).

Teoretic, putem conveni că soluţia jocului este formată din ambele

puncte de echilibru. Practic însă este nevoie de o negociere (uneori dură)

între cei doi jucători sau de un arbitraj pentru a stabili pentru ce strategii vor

opta fiecare. Şanse mai mari de concretizare ar putea avea în acest caz

varianta care dă câştigurile (3, 4), dar elemente de ordin subiectiv nu trebuie

ignorate.

O situaţie de incertitudine în alegerea strategiilor optime ca cea de

faţă, este un teren propice pentru a testa utilitatea strategiilor de tip

maximin.

222

Teoria jocurilor

Astfel, în ce priveşte strategia maximin a lui P1 vom găsi:

min⎨2,2,4⎬ = 2 → A1; min⎨3,1,2⎬ = 1 → A2; min⎨1,0,3⎬ = 0 → A3,

deci strategia căutată este A1. Analog, pentru P2 avem:

min⎨0,4,3⎬ = 0 → B1; min⎨1,2,2⎬ = 1 → B2; min⎨2,3,0⎬ = 0 → B3,

de unde rezultă că strategia maximin a lui P2 este B2.

După cum se observă, însă, perechea de strategii maximin (A1, B2)

nu este un punct de echilibru. Oricare dintre jucători preferă câştigul care îi

revine ca urmare a alegerii în comun a unuia din punctele de echilibru faţă

de câştigul minim asigurat (într-adevăr (4, 2) > (2,1) şi (3, 4) > (2, 1)). În

fapt, are loc următorul rezultat general:

Propoziţia 4.3

Orice punct de echilibru furnizează fiecărui jucător în parte, un

câştig cel puţin egal cu câştigul său maximin.

Demonstraţie:

Presupunem că (A*, B*) este punct de echilibru al jocului, în

notaţiile de mai înainte. Atunci avem, pentru P1:

f1(A*, B*) ≥ f1(Ai, B*) ≥ minf1(Ai, Bj) pentru orice strategie Ai ∈ A.

De aici rezultă imediat:

maxminf1(Ai, Bj) ≤ f1(A*, B*).

Pentru jucătorul P2, obţinem folosind din nou definiţia punctului de

echilibru: f2(A*,B*) ≥ f2(A*, Bj) ≥ minf2(Ai, Bj), (∀) Bj ∈ B, deci

f2(A*,B*) ≥ maxminf2(Ai, Bj).

În concluzie, într-un joc cu sumă arbitrară, strategiile maximin îşi

pierd din importanţă.

Bj∈B

Bj∈B Ai∈A

Ai∈A

Ai∈A Bj∈B

223


Puncte de echilibru în strategii mixte

Posibilitatea existenţei mai multor puncte de echilibru Nash într-un

joc bimatriceal, cu implicaţiile sale în stabilirea soluţiei jocului nu este,

totuşi, lucrul care stânjeneşte cel mai mult. O problemă fundamentală care

apare în acest context este faptul că există jocuri cu sumă arbitrară chiar

dintre cele mai simple, care nu admit strategii pure de echilibru.

Să considerăm următorul joc:

B1 B2 A1A2

(2,1) (1,2)

(0,2) (3,0)

Se poate observa pe acest exemplu că nici o pereche de strategii

(Ai, Bj) nu poate realiza echilibrul. Astfel, pentru (A1, B1) observăm că

jucătorul P2 are interesul să devieze de la strategia B1 către B2, care îi

asigură un câştig superior. Analog, (A2, B1) nu poate fi punct de echilibru,

pentru că jucătorul P1 va prefera strategia A1 lui A2, ş.a.m.d..

Este greu de admis ideea că astfel de jocuri nu admit soluţie, în

sensul echilibrului de tip Nash. Cheia de rezolvare stă şi aici, ca şi în cazul

jocurilor cu sumă nulă, în lărgirea conceptului de strategie şi definirea

noţiunii de echilibru în această accepţiune mai largă.

Trebuie făcută precizarea că noul tip de strategie îl înglobează pe cel

utilizat până acum în discuţie şi că identificarea unor puncte de echilibru

corespunzătoare lui nu suprimă posibilitatea existenţei, pentru un acelaşi

joc, a punctelor de echilibru în strategii pure.

Obişnuim să numim strategie mixtă pe mulţimea A = ⎨A1, ..., Am⎬ a

strategiilor (pure) ale jucătorului P1 o repartiţie de probabilităţi:

x = (x1, ..., xm), unde xi ≥ 0, i = m,1 şi ∑=

m

1iix = 1.

224

Teoria jocurilor

Mulţimea tuturor acestor strategii o notăm prin X. Analog vom

considera:

Y = ⎨y = (y1,..., yn) ⏐ yj ≥ 0, ∑=

n

1jjy = 1⎬ ca fiind ansamblul

strategiilor mixte pe mulţimea B, a strategiilor jucătorului P2.

Ideea de strategie mixtă se leagă, în mod natural, de alternarea

strategiilor de către un jucător, în decursul mai multor partide. Cum

probabilităţile pot fi interpretate ca limite ale unor frecvenţe relative, se

pune întrebarea dacă în situaţii reale putem considera ca acceptabilă

repetarea (independentă) a jocului de un număr de ori suficient de mare.

Se poate încerca evitarea acestei dificultăţi prin interpretarea unei

strategii mixte a lui P2, y = (y1, ..., yn) ca reprezentând probabilităţile

(subiective) pe care le atribuie P1 utilizării uneia dintre strategiile pure

B1, ..., Bn de către P2 şi, asemănător, a unei strategii mixte a lui P1

(x1, ..., xm), schimbând rolurile între jucători. Impasul ce se profilează aici

ţine de tratarea jocurilor cu mai mult de doi jucători, caz în care doi jucători

pot avea percepţii diferite relative la comportarea unui terţ.

Oricare ar fi interpretarea dată strategiilor mixte, ele ne ajută să

punem în termeni corecţi problema maximizării unui câştig incert, prin

apelul la conceptul fundamental de medie a unei variabile aleatoare.

În condiţiile alegerii independente şi simultane a strategiilor de către

fiecare jucător în parte, folosindu-ne de notaţiile de mai înainte, vom defini

câştigurile celor doi, în ipoteza folosirii strategiilor mixte x şi y, respectiv,

prin: ϕ1(x, y) = ∑∑= =

m

1i

n

1jjiij yxa ;

ϕ2(x, y) = ∑∑= =

m

1i

n

1jjiij yxb ; ϕi: X × Y → ℝ, i = 2,1 ,

225


unde xi ⋅ yj reprezintă probabilitatea utilizării perechii de strategii (Ai, Bj),

iar aij şi bij sunt câştigurile asociate ei ale jucătorilor P1 şi P2, respectiv.

Să observăm că de exemplu, câştigul mediu ϕ1(x, y) este o medie a

unor câştiguri medii, considerând, pe rând, strategiile din A fixate faţă de

cele din B, după cum o arată relaţia:

ϕ1(x, y) = ∑ ∑= =

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛m

1i

n

1jjijya xi.

Cu aceste precizări, putem să dăm definiţia extinsă a punctelor de

echilibru ale unui joc bimatriceal în formă normală:

Definiţie: Într-un joc bimatriceal G = ⎨A, B; f1, f2⎬, o pereche de

strategii mixte (x*, y*) este un punct de echilibru Nash dacă au loc

următoarele inegalităţi:

ϕ1(x*,y*) ≥ ϕ1(x, y*)

ϕ2(x*,y*) ≥ ϕ2(x*, y)

pentru orice strategii mixte x ∈ X şi y ∈ Y.

Cu alte cuvinte, x* este cea mai bună strategie (mixtă) de răspuns a

lui P1 la strategia y* a lui P2 şi viceversa.

Se deduce din cele de mai sus că putem porni la determinarea

strategiilor mixte de echilibru ale unui joc (a căror existenţă o vom afirma

ceva mai târziu) prin găsirea celui mai bun răspuns (în strategii mixte sau

pure) al unui jucător la o strategie mixtă a celuilalt.

În demersul nostru ne servim de următorul rezultat:

Propoziţia 4.4

Pentru ca o strategie mixtă a lui P1 să fie un cel mai bun răspuns al

acestuia la o strategie mixtă dată y a lui P2, este necesar şi suficient ca ea să

asigneze probabilităţi strict pozitive numai acelor strategii pure care sunt ele

226

Teoria jocurilor

însele un cel mai bun răspuns la strategia y (sau numai unei părţi a acestora,

restul primind probabilităţi nule).

Demonstraţie:

Să notăm, pentru o strategie y dată, cu Imax mulţimea indicilor acelor

strategii pure ale lui P1 care sunt un cel mai bun răspuns la y:

Imax = ⎨K ⏐ ∑∑==

≥n

1jjij

n

1jjkj yaya , (∀) i = m,1 ⎬.

Să alegem un K0 ∈ Imax. Fie x = (x1, ..., xm) o strategie mixtă a lui P1

şi să presupunem că există l ∈ n,1 \ Imax astfel încât xl > 0. Notăm cu x’

strategia mixtă obţinută din x prin asocierea probabilităţii x0K + xl la

strategia A0K şi a unei probabilităţi nule la Al. Atunci vom avea:

ϕ1(x, y) = <++⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∑∑∑ ∑==≠ =

n

1jjljl

n

1jjjKK

l,Ki

n

1jjiji yaxyaxyax

00

0

)y,'x(ya0ya)xx(ya 1

n

1jjlj

n

1jjjKlK

l,Ki

n

1jjij 00

0

ϕ=⋅+++⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛< ∑∑∑ ∑

==≠ =

, de

unde deducem că x nu este cea mai bună strategie de răspuns la y.

Pentru probarea suficienţei, se consideră I0 ⊆ Imax şi o strategie mixtă

x0 = ( )m1i0ix = care asignează probabilităţi nenule numai acelor strategii Ah, cu

h ∈ I0. De aici rezultă:

∑∑∑∑ ∑====

∈∈ =

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=ϕ

n

1jjij

m,1i

n

1jjij

m,1iIh

0h

Ih

n

1jjhj

0h

01 yamaxyamaxxyax)y,x(

00

, şi

mai departe:

ϕ1(x, y) = =≤⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∑∑∑∑=====

n

1jjij

m,1i

m

1ii

n

1jjij

m

1ii yamaxxyax ϕ1(x0, y), oricare ar

fi strategia mixtă x ∈X. Deci x0 este răspuns optim al lui P1 la strategia y.

227


Un enunţ similar celui din propoziţia 4.4 caracterizează strategiile mixte ale lui P2 care sunt răspunsuri optime la o strategie mixtă x a lui P1, fixată.

Reamintim că orice strategie pură a unui jucător poate fi interpretată ca o strategie mixtă, exprimabilă printr-un vector binar cu 1 pe poziţia corespunzătoare strategiei şi având restul componentelor egale cu 0.

Revenind la exemplul de mai înainte al jocului bimatriceal 2 × 2, să încercăm determinarea unui punct de echilibru în strategii mixte. Pentru simplitate, vom nota strategiile mixte ale lui P1 prin x = (p, 1 – p) şi

strategiile mixte ale lui P2 cu y = (q, 1 – q), p, q ∈ [0, 1]. Într-o primă etapă, vom găsi strategiile pure optime de răspuns ale

fiecărui jucător, la o strategie mixtă a adversarului.

Pentru o strategie mixtă dată (q, 1 – q) pe B = ⎨B1, B2⎬, câştigul

mediu al lui P1 va fi 2q + 0(1 – q) = 2q, dacă foloseşte strategia A1 sau

1 ⋅ q + 3(1 – q) = 3 – 2q, dacă foloseşte strategia A2.

Rezolvând inecuaţia 2q > 3 – 2q pe intervalul [0, 1], deducem:

- dacă q ∈ [0, 43 ), cel mai bun răspuns al lui P1 este A2;

- dacă q = 43 , atunci A1 şi A2 sunt răspunsuri la fel de bune;

- dacă q ∈ (43 , 1], cel mai bun răspuns al lui P1 este A1.

Inversând rolurile, fie (p, 1 – p) o strategie mixtă pe A = ⎨A1, A2⎬.

Câştigul mediu al lui P2 va fi 1 ⋅ p + 2(1 – p) = 2 – p, dacă foloseşte strategia B1 sau 2p, dacă utilizează strategia B2. Folosindu-ne de soluţia inecuaţiei

2 – p > 2p pe [0, 1], constatăm următoarele:

- pentru p ∈ [0, 32 ), răspunsul optim al lui P2 este B1;

228

Teoria jocurilor

- pentru p = 32 , P2 poate răspunde atât cu B1, cât şi cu B2;

- pentru p ∈ (32 , 1], răspunsul optim al lui P2 este B2.

Căutăm acum o pereche de strategii mixte (x*, y*), x* = (p*, 1-p*),

y* = (q*, 1 – q*) cu proprietăţile din definiţia extinsă a echilibrului Nash.

Vom analiza pe rând diversele situaţii posibile.

I. Dacă q* ar aparţine intervalului [0, 43 ), atunci răspunsul optim

al lui P1 ar fi strategia pură A2, căreia îi corespunde p = 0 ca

strategie mixtă. Însă răspunsul optim al jucătorului P2 la această

strategie este B1, corespunzând lui q = 1. Cum 1 ∉ (0, 43 ], acest

caz nu e compatibil cu existenţa unui punct de echilibru.

II. Dacă q* ∈ (43 , 1], cel mai bun răspuns al lui P1 este A1, pe care

îl identificăm cu strategia mixtă (1, 0). Cel mai bun răspuns al

lui P2 la această strategie este strategia pură B2, pentru care

avem q = 0. Dar 0 ∉ (43 , 1] şi concluzia e identică celei de la

punctul precedent.

III. În cazul q* = 43 , ca răspuns optim al jucătorului P1 putem lua

orice strategie mixtă (r, 1 – r) pe ⎨A1, A2⎬, r ∈ [0, 1], conform

cu propoziţia 4.4. Dar situaţiile r ∈ [0, 32 ) şi r ∈ (

32 , 1] conduc

la valori ale răspunsurilor corespunzătoare lui q = 1 şi q = 0,

respectiv, ambele diferite de 43 . Pentru r =

32 , răspunsul optim

229


fiind orice strategie mixtă (q, 1 – q) pe ⎨B1, B2⎬, în particular

(43 ,

41 ), rezultă că putem alege p* =

32 . În concluzie, punctul de

echilibru al jocului, în strategii mixte, este:

(x*,y*) = ((32 ,

31 ), (

43 ,

41 )).

Importanţa considerării strategiilor mixte în identificarea soluţiilor

posibile ale unui joc bimatriceal reiese din următorul rezultat (pe care îl dăm

într-un caz particular):

Teorema lui Nash

Orice joc finit de două persoane în formă normală, G = ⎨A, B; f1, f2⎬

posedă cel puţin un punct de echilibru, în strategii pure sau mixte.

Demonstraţia teoremei, al cărei enunţ în formă generală se referă la

jocuri de n persoane, are la bază o teoremă de punct fix.

(În cazul de faţă, (x*,y*) cu proprietatea T(x*, y*) = (x*,y*) este

punct fix al unei transformări T). Deşi în demonstraţie nu se construieşte

efectiv un punct de echilibru, concluzia sa este suficient de elocventă.

Vom prezenta în cele ce urmează o procedură de determinare a

punctelor de echilibru ale unui joc bimatriceal în formă normală, atunci când

jucătorii P1, P2 au la dispoziţie m şi n strategii pure, respectiv, cu ajutorul

unui exemplu concret. Vom avea în vedere cazul când câştigurile jucătorilor

sunt nenegative, dar aceasta, după cum se constată, nu reprezintă o restricţie

importantă.

Sunt necesare câteva precizări şi notaţii. Astfel, vom nota cu C1

matricea câştigurilor jucătorului P1 definită prin:

C1 = (aij)n,1jm,1i

== , aij = f1(Ai, Bj), Ai ∈A, Bj ∈ B.

230

Teoria jocurilor

Asemănător, C2 va desemna matricea câştigurilor jucătorului P2:

C2 = (bij) n,1jm,1i

== , bij = f2(Ai, Bj), Ai ∈ A, Bj ∈ B.

Pentru două strategii mixte, x = (x1, ..., xm) a lui P1 şi y = (y1,..., yn) a

lui P2, se pot transcrie câştigurile medii ale fiecărui jucător în parte, astfel:

ϕ1(x, y) = xC1yT, ϕ2(x, y) = yC T2 xT, unde indicii T înseamnă operaţia

de transpunere.

Notând Jm şi Jn vectorii-linie cu m, respectiv n componente, toate

egale cu 1, vom putea scrie relaţiile:

xJ Tm = 1, y J T

n = 1 (1)

sinonime cu faptul că suma probabilităţilor (xi)i∈ m,1 (respectiv (yj)j∈ n,1 ) face

1.

Să presupunem acum că (x, y) reprezintă o pereche de strategii de

echilibru şi să notăm, pentru simplitate, cu ϕ1 şi ϕ2 câştigurile aferente ei ale

celor doi jucători.

Introducem vectorii Φ1 = (ϕ1, ..., ϕ1) ∈ℝn şi Φ2 = (ϕ2, ..., ϕ2) ∈ℝn,

care ne permit o scriere matriceală a proprietăţii de echilibru. Astfel,

folosind propoziţia 4.4, deducem relaţiile:

C1yT ≤ Φ T1 , C T

2 xT ≤ Φ T2 (2)

în care inegalităţile trebuie interpretate ca funcţionând între oricare două

componente corespondente ale vectorilor – coloană. Ele exprimă faptul că

răspunsurile printr-o strategie pură la strategiile y, respectiv x pot să ducă, în

cel mai bun caz, la egalarea câştigurilor ϕ1, respectiv ϕ2. Acestea sunt atinse

efectiv în (x, y), ceea ce reiese din relaţiile:

xC1yT = xΦ T1 ⇔ x(Φ T

1 - C1yT) = 0

yC T2 xT = yΦ T

2 ⇔ y(Φ T2 - C T

2 xT) = 0 (3)

231


în care am ţinut seama de (1).

Rezultă din cele de mai înainte că un punct de echilibru Nash, (x, y),

al unui joc bimatriceal trebuie să satisfacă cele şase relaţii date, la care se

adaugă condiţiile x ≥ 0 şi y ≥ 0.

Concret, vom găsi soluţiile următorului joc bimatriceal, folosind

instrumentarul prezentat pentru cazul general.

B1 B2 B3 A1A2

(4,0) (6,12)

(2,1) (2,10)

(8,6) (4,9)

Cele două matrici de câştiguri ale jucătorilor sunt:

C1 = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛426824

şi C2 = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛91012610

Suntem în cazul a m = 2 strategii pure ale jucătorului P1 şi a n = 3

strategii pure ale jucătorului P2.

Vom separa relaţiile de tip liniar de cele neliniare şi apoi le vom

grupa astfel încât să ne ocupăm separat de strategia (x1, x2), respectiv

(y1, y2, y3). Din relaţiile (1) şi (2) va rezulta:

x1 + x2 = 1 y1 + y2 + y3 = 1

12x2 - ϕ2 ≤ 0 4y1 + 2y2 + 8y3 - ϕ1 ≤ 0

x1 + 10x2 - ϕ2 ≤ 0 6y1 + 2y2 + 4y3 - ϕ1 ≤ 0

6x1 + 9x2 - ϕ2 ≤ 0

x1, x2 ≥ 0 y1, y2, y3 ≥ 0

Pentru jocul analizat, atât ϕ1 cât şi ϕ2 sunt nenegative şi ca atare,

vom nota x3 = ϕ2 şi y4 = ϕ1. De asemenea, vom transforma, în sistemele

scrise anterior, inegalităţile în egalităţi, prin introducerea unor variabile-

ecart, notate θi, i = 2,1 , respectiv µj, j = 3,1 .

232

Teoria jocurilor

Obţinem:

x1 + x2 = 1 y1 + y2 + y3 = 1

(I) 12x2 – x3 + µ1 = 0 (II) 4y1 + 2y2 + 8y3 – y4 + θ1 = 0

x1 + 10x2 - x3 + µ2 = 0 6y1 + 2y2 + 4y3 - y4 + θ2 = 0

6x1 + 9x2 - x3 + µ3 = 0

x1, ..., x3 ≥ 0; µ1,...,µ3 ≥ 0 y1, ..., y4 ≥ 0; θ1, θ2 ≥ 0

Relaţiile (3) vor avea drept corespondent următoarele egalităţi:

(III) x1θ1 + x2θ2 = 0

y1µ1 + y2µ2 + y3µ3 = 0

Căutarea soluţiilor jocului bimatriceal se structurează aşadar în:

- rezolvarea în domeniul numerelor nenegative a sistemului liniar (I),

în necunoscutele x1, x2, x3, µ1, µ2, µ3;

- rezolvarea în domeniul numerelor nenegative a sistemului liniar

(II), în necunoscutele y1, y2, y3, y4, θ1, θ2;

- „filtrarea” soluţiilor, prin verificarea, de tip încrucişat, a

îndeplinirii condiţiilor (III).

În fapt, obiectivul nostru principal este să deducem soluţiile posibile

de bază pentru fiecare din sistemele (I) sau (II), deoarece soluţia generală se

poate obţine ca o combinaţie liniară convexă a soluţiilor de bază. Probarea

condiţiilor (III) o vom face aşadar pentru diferite perechi de soluţii de bază.

233


Să considerăm matricea sistemului liniar (I), în care fiecare coloană

este notată cu ak, k = 6,1 :

a1 a2 a3 a4 a5 a6

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−

10019601011010011120000011

Procedura este cea cunoscută de la programarea liniară: se aleg patru

coloane din cele 6 astfel încât ele să formeze o bază în ℝ4,

B = ⎨a1k , a

2k , a3k , a

4k ⎬.

Atunci soluţia de bază va fi dată de (x, µ) = (B-1b, 0), unde

b = (1, 0,0,0)T este coloana termenilor liberi şi toate variabilele ale căror

coloane asociate nu au intrat în bază iau valoarea 0.

Fie de exemplu mulţimea ⎨a1, a2, a3, a5⎬. Deoarece:

det[a1, a2, a3, a5] =

019611101011200011

−−−

= 9 ≠ 0, rezultă că

B = ⎨a1, a2, a3, a5⎬ este o bază. Alegem µ1 = µ3 = 0. Avem de

rezolvat sistemul:

x1 + x2 = 1

12x2 – x3 = 0

x1 + 10x2 - x3 + µ2 = 0

6x1 + 9x2 - x3 = 0

234

Teoria jocurilor

Se deduce uşor că x3 = 12x2, x2 = 2x1. Cum x1 + x2 = 1, rezultă

x1 = 31 , x2 =

32 , x3 = 8 şi µ2 = 1.

Soluţia de bază va fi deci (x, µ)1 = (31 ,

32 ,8,0,1,0), având toate

componentele pozitive sau nule.

Repetând procedeul pentru alte baze şi testând nenegativitatea

componentelor soluţiilor, vom găsi încă două soluţii posibile de bază.

(x, µ)2 = (1,0,6,6,5,0), corespunzând bazei ⎨a1, a3, a4, a5⎬ şi

(x, µ)3 = (0,1,12, 0,2,3), corespunzând bazei ⎨a2, a3, a5, a6⎬.

Matricea sistemului (II) este:

b1 b2 b3 b4 b5 b6

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−

101426011824000111

Putem alege o bază formată din coloanele b1, b2 şi b4, deoarece

determinantul corespunzător lor are valoarea -2. Alegem y3 = θ1 = θ2 = 0.

Din sistemul:

y1 + y2 = 1

4y1 + 2y2 – y4 = 0

6y1 + 2y2 – y4 = 0

deducem y1 = 0, y2 = 1 şi y4 = 2, care ne dau soluţia posibilă de bază:

(y, θ)1 = (0,1,0,2,0,0).

Pentru bazele ⎨b1, b3, b4⎬, ⎨b3, b4, b6⎬ şi ⎨b1, b4, b5⎬, vom obţine alte

soluţii posibile de bază ale sistemului:

(y, θ)2 = (32 , 0,

31 ,

316 , 0, 0), (y, θ)3 = (0,0,1,8,0,4),

235


(y, θ)4 = (1, 0,0,6,2,0).

Înainte de a trece la verificarea condiţiilor (III), observăm că, în

ipotezele de nenegativitate a componentelor, x1θ1 + x2θ2 = 0 este

echivalentă cu x1θ1 = 0 şi x2θ2 = 0 şi similar y1µ1 + y2µ2 + y3µ3 = 0 e

îndeplinită dacă şi numai dacă y1µ1 = 0, y2µ2 = 0 şi y3µ3 = 0.

În consecinţă, dacă un θ (µ) este nenul, atunci componenta x

(y) cu acelaşi indice trebuie să fie egală cu zero.

Pentru facilitarea examinărilor necesare, vom construi două

tabele în care marcăm în prima coloană cuplul de strategii (x, y)

examinat, prin indicii corespunzători ordinilor date, iar în ultima

coloană, prin *, dacă perechea (x, y) respectă condiţia impusă. Primul

tabel este:

(x,y) θ1 θ2 x1 x2 */- (1,1)(2,1)(3,1)

0 0 0

0 0 0

1/3 1 0

2/3 0 1

* * *

(1,2)(2,2)(3,2)

0 0 0

0 0 0

1/3 1 0

2/3 0 1

* * *

(1,3)(2,3)(3,3)

0 0 0

4 4 4

1/3 1 0

2/3 0 1

- * -

(1,4)(2,4)(3,4)

2 2 2

0 0 0

1/3 1 0

2/3 0 1

- - *

236

Teoria jocurilor

Referitor la modul de completare a tabelului, am marcat cu *

perechea (2,3), deoarece θ1x1 = 0 ⋅ 1 = 0 şi θ2x2 = 4 ⋅ 0 = 0, în timp ce pentru

perechea (1, 4) avem θ1 = 2 ≠ 0 şi x1 = 31 ≠ 0, ş.a.m.d..

Cel de-al doilea tabel se prezintă astfel:

(x,y) µ1 µ2 µ3 y1 y2 y3 */- (1,1) (1,2) (1,3) (1,4)

0 0 0 0

1 1 1 1

0 0 0 0

0 2/3 0 1

1 0 0 0

0 1/3 1 0

- * * *

(2,1) (2,2) (2,3) (2,4)

6 6 6 6

5 5 5 5

0 0 0 0

0 2/3 0 1

1 0 0 0

0 1/3 1 0

- - * -

(3,1) (3,2) (3,3) (3,4)

0 0 0 0

2 2 2 2

3 3 3 3

0 2/3 0 1

1 0 0 0

0 1/3 1 0

- - - *

Am marcat cu * cuplul de strategii (1, 2), pentru că avem:

µ1y1 = 0 ⋅ 32 = 0, µ2y2 = 1 ⋅ 0 = 0 şi µ3y3 = 0 ⋅

31 = 0. În schimb

cuplul (3, 2) va fi marcat cu – (respins), deoarece µ1y1 = µ2y2 = 0, însă

µ3y3 = 3 ⋅ 31 = 1 ≠ 0.

Vom extrage din fiecare tabel perechile de strategii marcate cu

asterisc şi apoi vom intersecta cele două mulţimi. Astfel obţinem:

⎨(1,1), (2,1), (3,1), (1,2), (2,2), (3,2), (2,3), (3, 4)⎬ ∩

∩ ⎨(1,2), (1,3), (1,4), (2,3), (3, 4)⎬ = ⎨(1,2), (2,3), (3, 4)⎬.

Intersecţia găsită conţine strategiile de echilibru Nash (pure sau

mixte) ale jocului considerat. Acestea sunt (respectând ordinea):

237


⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

31,0,

32,

32,

31 ; ((1, 0), (0,0,1)); ((0,1), (1, 0,0)).

Se observă că avem o pereche de strategii mixte (prima) şi două

perechi de strategii pure, mai exact (A1, B3) şi (A2, B1).

În încheierea discuţiei despre punctele de echilibru ale unui joc

bimatriceal, facem următoarele observaţii:

1. În situaţia în care elementele matricelor de câştiguri nu sunt toate

pozitive sau nule, trebuie să considerăm că ϕ1 şi ϕ2 sunt numere

reale. Pentru a putea să ne folosim în continuare de procedeul

descris mai înainte, putem proceda în două moduri:

a) să exprimăm fiecare variabilă ϕi, i = 2,1 ca diferenţa a două

variabile cărora li se impune să ia valori nenegative:

ϕi = ϕ’i - ϕ”i, ϕ’i ≥ 0, ϕ”i ≥ 0, i = 2,1 ;

b) să adunăm la matricile C1 sau C2 o matrice (m × n) formată

din constante identice între ele, suficient de mari,

transformarea neafectând decât valorile câştigurilor medii, nu

şi determinarea strategiilor de echilibru;

2. În exemplul rezolvat mai înainte, trebuiau considerate cel mult

C 46 = 15 situaţii care conduc la o bază pentru matricea sistemului

(I) şi cel mult C 36 = 20 situaţii de acelaşi tip în cazul sistemului

(II). Pentru un număr mai mare de strategii ale fiecărui jucător,

pentru a fi aplicabilă, metoda face apel la un program care

generează soluţii posibile de bază şi le testează în mod automat;

3. Asupra elementelor matricilor de câştiguri pot fi operate şi alte

tipuri de transformări, ca de pildă scalarea (înmulţirea cu un factor

pozitiv). De asemenea se poate discuta despre o strategie pură

238

Teoria jocurilor

dominată de o strategie mixtă, care ar putea să o disloce, fără a

afecta esenţial găsirea punctelor de echilibru, (Cititorul este

îndemnat să compare ultimul joc analizat cu unul prezentat

anterior şi să tragă concluziile de rigoare).

4.2 Jocuri bimatriceale cooperative

Aşa cum arătam la începutul discuţiei privind jocurile cu sumă

arbitrară, un joc cooperativ este acela în care regulile sale permit alegerea în

comun a strategiilor şi transferul de câştiguri între jucători, în scopul

cointeresării lor într-o anumită acţiune comună.

Ne vom servi de exemplul câtorva jocuri, pentru a ilustra situaţii în

care jucătorii au interesul să coopereze între ei. Punctul de plecare îl va

constitui, în ideea continuităţii, noţiunea de cuplu de strategii de echilibru

Nash.

Să considerăm jocul bimatriceal următor:

B1 B2 B3 A1A2

(1,2) (2,2)

(2,-2) (4,-1)

(3,1) (6,3)

Se observă cu uşurinţă că perechea de strategii (A2, B3) reprezintă un

punct de echilibru al jocului (în strategii pure). În particular, câştigurile

corespunzătoare ale jucătorilor (6, respectiv 3) sunt valorile maxime ale

funcţiilor de câştig ale fiecăruia, deci şi suma câştigurilor (care nu mai poate

fi îmbunătăţită prin considerarea strategiilor mixte) este maximă, între toate

combinaţiile posibile de strategii. Într-un asemenea caz, ipoteza cooperării

între cei doi jucători nu are nici un efect.

239


Dacă însă analizăm jocul:

B1 B2 A1A2

(3,2) (2,8)

(9,1) (7,5)

vom constata că, deşi (A1, B1) este punct de echilibru al jocului, câştigurile

care le revin jucătorilor nu îi pot mulţumi. Chiar suma lor, 5, ia valoarea cea

mai mică posibilă. Eliminând perechile (A2, B1) şi (A1, B2), care favorizează

un jucător şi îl defavorizează pe celălalt, rămâne perechea (A2, B2), ale cărui

câştiguri aduc un plus amândurora faţă de ce le oferă strategiile de echilibru.

Ea este însă instabilă.

Ieşirea din această dilemă se face prin modificarea regulilor jocului,

prin acceptarea cooperării. Odată acceptată, ea aduce cu sine însă o altă

problemă, aceea a împărţirii între cei doi jucători a câştigului comun, egal cu

12. Teoretic, se poate impune interzicerea plăţilor laterale între jucători,

situaţie în care distribuţia câştigurilor poate să rămână cea de la început. Nu

vom adopta o asemenea ipoteză în cele ce urmează.

Jocurile de tip cooperativ au o problematică specifică şi rezolvarea

lor presupune atât introducerea unor noţiuni noi cât şi revalorizarea altora

mai vechi.

Se pune astfel o primă întrebare: sub ce limită a câştigului nu poate

să accepte să coboare fiecare jucător?

Răspunsul îl furnizează acel câştig pe care îl poate obţine un jucător,

acţionând în mod independent, indiferent de strategia (pură sau mixtă)

aleasă de celălalt jucător. Referindu-ne la primul jucător, obţinem valoarea

maximin a jocului corespunzătoare lui, dată de expresia:

240

Teoria jocurilor

u* = Xx

max∈ Yy

min∈

ϕ1(x,y),

unde x şi y sunt strategii mixte pe mulţimea strategiilor lui P1, respectiv ale

lui P2. Analog, pentru P2 valoarea maximin va fi:

v* = Yy

max∈ Xx

min∈

ϕ2(x,y).

Deci, notând cu (u, v) o pereche de câştiguri ale celor doi jucători, ea

ar putea constitui o soluţie a jocului cooperativ numai dacă avem

(u, v) ≥ (u*, v*).

La întrebarea unde trebuie căutată soluţia jocului, răspunsul îl dă

noţiunea fundamentală de mulţime admisibilă. Aceasta, notată cu S, este

mulţimea tuturor perechilor de câştiguri (u, v) pe care le pot obţine, prin

cooperare în alegerea strategiilor, cei doi jucători. Datorită faptului că sunt

acceptate strategiile mixte şi, mai mult, ele pot fi corelate, această

submulţime a lui ℝ2 are proprietatea de convexitate. Este de presupus că

forma lui S va avea o influenţă asupra găsirii soluţiei jocului.

O altă noţiune importantă este aceea de frontieră Pareto-optimală a

mulţimii admisibile S. Astfel, un punct (u, v) ∈ S aparţine acesteia dacă

oricare ar fi ε > 0, δ > 0 rezultă (u + ε, v) ∉ S şi (u, v + δ) ∉ S.

Vom ilustra noţiunile introduse mai înainte şi vom schiţa metoda de

găsire a soluţiei, folosindu-ne de exemplul următorului joc bimatriceal.

B1 B2 A1A2A3

(1,2) (2,0) (3/2,6)

(3,8) (4,5) (5,3)

241


Presupunem că regulile jocului permit cooperarea între jucători (dar

nu ca o consecinţă a faptului că jocul nu admite puncte de echilibru în

strategii pure).

Inversând ordinea de mai înainte, vom determina mai întâi mulţimea

admisibilă S, precizând frontiera sa Pareto-optimală, folosindu-ne de o

reprezentare grafică. Dacă notăm cu W11 punctul din plan de coordonate

(1, 2) şi, mai departe, W12 = (3, 8), W21 = (2, 0), W22 = (4, 5), W31 = (23 , 6),

W32 = (5, 3), unde legătura dintre perechile de indici şi perechile de câştiguri

este evidentă, atunci S va fi reprezentată prin aşa-numita „acoperire

convexă” a punctelor W11, ..., W32 (adică cea mai mică mulţime convexă

plană care le conţine), dată în figura următoare prin mulţimea haşurată: V W12

W31

W22

S

W32

W11

0 W21 u

Să precizăm că există cazuri în care unele puncte - câştiguri W pot să

fie situate în interiorul poligonului convex determinat de restul punctelor,

caz în care mulţimea S va fi generată folosind numai aceste din urmă

puncte.

Frontiera Pareto-optimală a lui S va fi formată, în mod firesc, din

laturi ale poligonului W11W21 ... W31. Singurele care satisfac condiţia dată

sunt W12W22 şi W22W32. (Pentru puncte (u, v) aparţinând altor segmente,

242

Teoria jocurilor

cum ar fi W21W32 sau W31W12 este suficient să luăm (u, v + δ) sau (u + ε, v),

cu ε, δ > 0 alese corespunzător, pentru a constata că punctele obţinute fac

parte din S). Această frontieră Pareto [W12, W22, W32] va constitui, de fapt,

zona de interes în identificarea soluţiei jocului, deoarece ea corespunde

cursului de creştere, atât în u cât şi în v, a punctelor (u, v) din S, favorabil

ambilor jucători.

În continuare vom găsi valorile maximin ale jocului (în strategii

mixte). Pentru a uşura calculele, să facem observaţia că atunci când dorim să

minimizăm ϕ1(x, y) în raport cu y ∈ Y, pentru un x ∈ X fixat, este suficient

să considerăm strategiile pure y = (1, 0) şi y = (0, 1) deoarece putem scrie:

ϕ1(x, y) = xC1yT = (x1, x2, x3)C11 y1 + (x1, x2, x3) C 2

1 y2

unde y = (y1, y2), y1, y2 ≥ 0, y1 + y2 = 1, iar C11 şi C 2

1 sunt respectiv prima şi

a doua coloană a matricei de câştiguri a jucătorului P1, notată C1. Concret,

vom avea:

Yymin∈

ϕ1(x, y) = min⎨x1 + 2x2 + 23 x3, 3x1 + 4x2 + 5x3⎬ =

= x1 + 2x2 + 23 x3 (x1, x2, x3 ≥ 0)

Cum X = ⎨(x1, x2, x3)⎪x1, x2, x3 ≥ 0, x1 + x2 + x3 = 1⎬ este un simplex

în ℝ3, vom găsi:

u* = Xx

max∈ Yy

min∈

ϕ1(x, y) = Xx

max∈

(x1 + 2x2 + 23 x3) = 2, care se atinge în

vârful (0,1,0) al lui X.

Cu un argument asemănător, folosind egalitatea ϕ2(x, y) = yC T2 xT,

unde C2 este matricea câştigurilor lui P2, vom obţine:

Xxmin∈

ϕ2(x, y) = min⎨2y1 + 8y2, 5y2, 6y1 + 3y2⎬.

243


Dar y2 = 1 – y1, deci vom calcula:

min⎨-6y1 + 8, -5y1 + 5, 3y1 + 3⎬ pentru y1 ∈ [0, 1].

Expresia acestuia este egală cu 3y1 + 3, dacă y1 ∈ [0, 41 ] şi egală cu

-5y1 + 5, dacă y1 ∈ [41 , 1]. În final, avem:

v* = Yy

max∈ Xx

min∈

ϕ2(x, y) = 3 ⋅ 41 + 3 =

415 .

Soluţia jocului cooperativ dat, în sensul lui Nash, va fi o pereche

( u , v ) din S, cu proprietatea ( u , v ) ≥ (2, 4

15 ) şi care maximizează expresia

(u – u*)(v – v*) pentru acele perechi (u, v) cu u ≥ 2 (în cazul în care există

(u, v) ∈ S cu u > u* şi v > v*). Ea va aparţine frontierei Pareto-optimale a

lui S.

Se demonstrează că punctul căutat (unic prin construcţie) are

proprietatea că dreapta tangentă la frontiera lui S, dusă prin el, are panta

(coeficientul unghiular) egală cu opusul pantei dreptei care uneşte (u*,v*)

cu ( u , v ). Evident, această tangentă trebuie să existe, drept pentru care

punctele W12, W22 şi W32 sunt tratate (eventual) separat.

Cum coeficientul unghiular al dreptei care uneşte (2, 4

15 ) cu un

(u, v) de pe frontieră este o mărime care variază continuu, analiza decurge

după cum urmează.

Panta dreptei care conţine segmentul [W32W22] (şi care joacă rolul

tangentei la frontiera lui S pentru punctele din interiorul său) este:

α1 = 5435

−− = -2.

244

Teoria jocurilor

Unind punctul (2, 4

15 ) cu (5, 3) se obţine o dreaptă cu panta egală

cu: 254

153

−

−= -

41 . Asemănător, dreapta care trece prin punctele (2,

415 ) şi

(4, 5) are panta egală cu 85 . Aşadar, făcându-l pe (u, v) să varieze în

interiorul lui [W32W22] obţinem o dreaptă cu panta β care parcurge

intervalul (-41 ,

85 ). Cum opusul lui α1 nu se găseşte în această plajă de

valori (2 ∉ (-41 ,

85 )), rezultă că ( u , v ) nu aparţine interiorului segmentului

menţionat.

Continuând analiza cu punctele din interiorul segmentului [W22W12],

constatăm că panta dreptei – suport a acestuia este α2 = 4358

−− = -3. Dacă

unim pe (2, 4

15 ) cu (3, 8) obţinem o dreaptă având panta egală cu 4

17 . Deci,

atunci când (u, v) variază între capetele W22 şi W12, dreapta care îl uneşte cu

(u*,v*) are panta β ∈ (85 ,

417 ).

În acest caz, - α2 = 3 ∈ (85 ,

417 ) şi rămâne să îl determinăm pe

( u , v ) ca un punct situat între W22 şi W12.

Dreapta care trece prin punctele (4, 5) şi (3, 8) are ecuaţia:

14u

35v

−−

=− ⇔ v = -3u + 17. Ea se va intersecta cu o dreaptă care

trece prin (2, 4

15 ), de pantă egală cu β2 = 3, în ( u , v ).

245


Rezultă sistemul de ecuaţii:

v - 4

15 = 3(u – 2)

v = - 3u + 17

de unde, prin eliminarea lui v, găsim 6u = 17 + 49 şi deci u =

2477 ≈ 3.208,

iar v = 3 ⋅ 2477 -

49 =

859 = 7.375.

Soluţia de tip Nash a jocului cooperativ considerat mai sus este

perechea de câştiguri ( u , v ) = (2477 ,

859 ).

La acest moment se cuvine a fi făcută o observaţie referitoare la

transferul câştigurilor. Astfel, din ecuaţia:

v = -3u + 17, rezultă că o unitate valorică cedată de P1 se transferă

în 3 unităţi valorice ale lui P2, deoarece avem:

-3(u – 1) + 17 = -3u + 17 + 3 = v + 3.

Putem vorbi deci de o rată de transfer a câştigurilor de la P1 către

P2, egală cu 3(3 la 1).

Să facem diferenţele între câştigul dat de soluţia Nash şi valoarea

maximin pentru fiecare jucător în parte:

2477 - 2 =

2429 ;

829

415

859

=−

Raportul lor (în ordinea P2 / P1) este 829 ÷

2429 = 3, deci coincide cu

rata de transfer. Aceasta ne arată că părţile de câştig obţinute prin cooperare,

în plus faţă de câştigul maximin, de către fiecare jucător, se situează într-o

proporţie egală cu rata de transfer în punctul ( u , v ).

246

Teoria jocurilor

Să nu pierdem din vedere faptul că scopul fiecărui jucător este ca să-

şi îmbunătăţească câştigul, inclusiv prin cooperare, dar neexcluzând

influenţele subiective. În acest context, putem observa că suma câştigurilor

Nash:

u + v ≈ 3.208 + 7.375 = 10.583,

este strict inferioară sumei 3 + 8 = 11 ce rezultă dacă cei doi jucători convin

să aplice strategiile A1 şi B2, respectiv. Diferenţa rezultată ar putea să fie

obiectul unui transfer de câştig în scopul amintit. Trebuie să acceptăm din

această cauză concluzia că soluţia Nash nu e cea mai bună?

Să observăm că în calculele de mai sus nu am ţinut seama de rata de

transfer, egală cu 3 pentru toţi (u, v) ∈ [W12, W22]. Acestea ar fi trebuit să

arate astfel (în unităţi ale lui P2):

3 × 3 + 1 × 8 = 9 + 8 = 17

3 × 3.208 + 1 × 7.375 = 9.624 + 7.375 = 16.999 ≈ 17.

În încheiere să menţionăm că există şi un alt mod de producere a

soluţiei jocului cooperativ, bazat pe aşa-numitele strategii de ameninţare.

Pentru lămuriri, îndrumăm cititorul către referinţele bibliografice date.

5. Jocuri de n persoane. Valoare Shapley

În cele ce urmează vom considera jocul de n persoane, în care notăm

cu N = ⎨1, 2, ..., n⎬ mulţimea tuturor jucătorilor şi presupunem permisă

cooperarea între aceştia.

Definiţia 1. Orice submulţime nevidă a lui N (inclusiv N şi toate

submulţimile formate dintr-un singur jucător) se numeşte coaliţie.

247


Definiţia 2: Se numeşte funcţie caracteristică a unui joc de n jucători

funcţia v, definită pe mulţimea părţilor lui N, care asociază fiecărei coaliţii

S ⊂ N valoarea maximin (corespunzătoare lui S) a jocului de două persoane

jucat între coaliţiile S şi N – S.

Deci notăm prin v(S) câştigul pe care jucătorii din S îl pot obţine în

joc (acţionând în cooperare), indiferent de ceea ce fac restul jucătorilor.

Prin definiţie vom considera:

v(Φ) = 0 (1)

Dacă S şi T sunt coaliţii disjuncte, unindu-şi forţele, ele pot realiza

un câştig cel puţin tot atât ca în cazul când acţionează separat. Acest lucru se

scrie astfel:

v(S ∪ T) ≥ v(S) + v(T), dacă S ∩ T = Φ (2)

şi înseamnă că funcţia caracteristică v are proprietatea de superaditivitate.

Dacă în jocul de două persoane elementul esenţial era studiul

strategiilor mixte, în jocul de n persoane acest element esenţial este

formarea de coaliţii. Funcţia caracteristică dă posibilităţile diferitelor coaliţii

şi este cea mai potrivită pentru studiul acestora.

Definiţia 3: Prin joc de n persoane în formă caracteristică se

înţelege o funcţie v cu valori reale definită pe submulţimile lui N şi care

satisface condiţiile (1) şi (2).

Prin definiţie, v(S) este valoarea maximin a jocului între S şi N - S.

Dacă presupunem că jocul este cu sumă constantă, adică suma câştigurilor

tuturor jucătorilor este constantă, indiferent de desfăşurarea jocului, atunci:

v(S) + v(N-S) = v(N).

v(N) este valoarea ce se poate obţine prin cooperare generală şi se mai

numeşte valoare totală.

248

Teoria jocurilor

Notăm cu v(⎨i⎬) valoarea pe care jucătorul i o poate obţine acţionând

independent. Evident jucătorul i va intra în coaliţia S dacă valoarea

câştigului este cel puţin v(⎨i⎬).

Definiţia 4: Într-un joc v de n persoane vectorul x = (x1, ..., xn), cu

condiţiile:

a) ∑∈Ni

ix = v(N) şi

b) xi ≥ v(⎨i⎬), (∀) i ∈ N, se numeşte imputaţie.

Evident, din a) şi b), rezultă că:

v(N) ≥ {})i(vNi∑∈

.

Definiţia 5: Un joc v se numeşte esenţial, dacă

v(N) > {})i(vNi∑∈

şi neesenţial în caz contrar.

Jocurile esenţiale sunt acelea ce prezintă interes.

Deoarece jocurile în forma caracteristică (definiţia 3) sunt funcţii cu

valori reale, are sens să vorbim despre suma a două sau mai multe jocuri.

Definiţia 6: Se numeşte suport al unui joc v o coaliţie T cu

proprietatea:

v(S) = v(S ∩ T) pentru orice coaliţie S.

Aceasta înseamnă că orice jucător care nu aparţine unui suport al

jocului este lipsit de importanţă, adică nu aduce nimic unei coaliţii.

Definiţia 7: Fie v un joc de n persoane şi π o permutare arbitrară a

mulţimii N. Prin πv înţelegem jocul obţinut din v în care s-au interschimbat

rolurile jucătorilor prin permutarea π.

249


Axiomele Shapley

Numim valoare a unui joc v de n persoane, vectorul

ϕ[v] = (ϕ1[v],..., ϕn[v]), unde ϕi[v] reprezintă partea care trebuie atribuită

jucătorului i, i = n,1 , din câştigul total v(N), cu proprietăţile:

a1) pentru orice suport S al lui v avem: ∑∈

=ϕSi

i )S(v]v[ ;

a2) pentru orice permutare π şi orice jucător i ∈ N, ϕπ(i)[πv] = ϕi[v];

a3) pentru oricare două jocuri u şi v avem: ϕ[u + v] = ϕ[u] + ϕ[v].

Aceste trei proprietăţi sunt axiomele lui Shapley şi ele sunt suficiente

pentru a determina o funcţie valoare ϕ, definită pentru toate jocurile. Dăm

fără demonstraţie următoarea:

Teoremă [16]

Există o funcţie unică ϕ, definită pentru toate jocurile, care satisface

axiomele a1, a2, a3 şi anume:

ϕi[v] = {}[ ]∑∈⊂

−−−−

TiNT

)iT(v)T(v!n

)!tn()!1t( (3)

unde t este numărul jucătorilor din coaliţia T.

Semnificaţia termenului v(T) – v(T - ⎨i⎬) este câştigul primit de

jucătorul i, sau valoarea cu care acest jucător contribuie la câştigul total al

coaliţiei T din care face parte.

Dacă vom presupune că termenul v(T) – v(T - ⎨i⎬) poate lua numai

valorile 0 sau 1, şi anume ia valoarea 1 dacă şi numai dacă T este o coaliţie

câştigătoare, dar T - ⎨i⎬ nu este câştigătoare, atunci jocul v este un joc

simplu, iar formula (3) se simplifică, astfel:

ϕi[v] = ∑∈⊂

−−

TiNT !n

)!tn()!1t( (4)

250

Teoria jocurilor

unde sumarea se face pentru toate coaliţiile câştigătoare T pentru care

T - ⎨i⎬ nu este câştigătoare.

Aplicaţie [16]

O societate pe acţiuni are 4 acţionari ce posedă respectiv 10, 20, 30

şi 40% din acţiuni. Toate deciziile privind activitatea societăţii se iau cu

majoritatea simplă (cel puţin 51% voturi, care sunt proporţionale cu numărul

de acţiuni posedate). Considerând această situaţie ca un joc simplu de 4

persoane se cere:

a) să se găsească toate coaliţiile câştigătoare;

b) să se scrie coaliţiile câştigătoare T pentru care T - ⎨1⎬ nu este

câştigătoare;

c) să se determine valoarea Shapley ϕ = (ϕ1, ϕ2, ϕ3, ϕ4), unde ϕi este

partea ce se atribuie jucătorului i, i = 4,1 , din câştigul total;

d) să se facă observaţii asupra rezultatului obţinut la punctul c).

Rezolvare

a) Coaliţiile câştigătoare sunt:

⎨2, 4⎬, ⎨3, 4⎬, ⎨1, 2, 3⎬, ⎨1, 2, 4⎬, ⎨1, 3, 4⎬, ⎨2, 3, 4⎬, ⎨1, 2, 3, 4⎬.

b) Dintre coaliţiile câştigătoare ce îl conţin pe primul acţionar

singura care devine necâştigătoare când este scos din coaliţie acesta este

coaliţia: ⎨1, 2, 3⎬, în care t (numărul acţionarilor) este egal cu 3.

c) Aplicând formula (4), unde t = 3, n = 4, i = 1, avem:

ϕ1 = 121

!4!1!2= .

Analog, coaliţiile câştigătoare, care îşi pierd această proprietate dacă

acţionarul 2 este înlăturat sunt:

⎨2, 4⎬, ⎨1, 2, 3⎬,⎨1, 2, 4⎬.

251


Formula (4) va da pentru ϕ2 suma a trei termeni, fiecare

corespunzând uneia din coaliţiile de mai sus.

Astfel pentru coaliţia ⎨2, 4⎬, t = 2, n = 4, i = 2, primul termen din (4)

va fi:

121

!4)!24()!12(=

−− .

Pentru ⎨1, 2, 3⎬, t = 3, n = 4, i = 2, obţinem:

121

!4)!34()!13(=

−− .

Iar pentru ⎨1, 2, 4⎬, t = 3, n = 4, i = 2, aceeaşi valoare ca mai sus,

adică 121 . Atunci:

ϕ2 = 41

121

121

121

=++ .

Procedând similar vom obţine:

ϕ3 = 41 şi ϕ4 =

125 .

Astfel valoarea Shapley este vectorul:

ϕ = (121 ,

41 ,

41 ,

125 ).

Observaţie: ϕ este o imputaţie deoarece satisface condiţiile

definiţiei 4.

d) Valoarea Shapley nu concordă cu vectorul voturilor dat de

(52,

103,

51,

101 ) ale cărui componente sunt proporţionale cu numărul

acţiunilor deţinute.

Astfel ϕ2 = ϕ3 deşi acţionarul 3 posedă mai multe acţiuni ca

acţionarul 2. Acţionarul 3 nu are posibilităţi mai mari decât acţionarul 2 de a

252

Teoria jocurilor

participa la o coaliţie câştigătoare. Importanţa acţionarului 4 este mai mare

decât cea corespunzătoare procentului acţiunilor sale, iar a jucătorului 1 este

mai mică decât cea corespunzătoare acţiunilor sale.

Dacă acţionarii ar deţine respectiv 10, 30, 30, 30% din acţiuni,

oricare doi dintre acţionarii 2, 3, 4 pot forma coaliţii câştigătoare în timp ce

acţionarul 1 este lipsit de orice importanţă neputând aduce nimic nici unei

coaliţii. Atunci valoarea jocului este vectorul:

ϕ = (0, 31,

31,

31 ).

6. Probleme

1. Să se stabilească valoarea jocului şi strategiile pure optime pentru

jocul:

BA B1 B2 B3 B4 αi

A1 A2 A3

-4 8 -1

4 6 0

2 5 1

11 7 -4

-4 5 -4

βj 8 6 5 11

Rezolvare

Luând αi = 4j1

min≤≤

aij, i = 3,1 , βj = 3i1

max≤≤

aij, j = 4,1 , completăm

coloanele αi, respectiv βj. Şi deoarece α = 3i1

max≤≤αi = 5 = α2, iar β =

4j1min

≤≤βj =

= 5 = β3 rezultă că jocul are punct şa, iar strategiile pure optime ale celor doi

jucători sunt respectiv A2 şi B3, iar valoarea jocului v = a23 = 5.

253


2. Să se rezolve jocul de ordinul 2 × 2 cu matricea:

A = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−0611

, pe cale matriceală.

Rezolvare

Jocul nu are punct şa deoarece 6 şi 1 nu sunt minime pe liniile lor.

Vom folosi relaţiile (9) de la 2.3.a. Cum ⎪A⎪ = -6 ≠ 0 şi:

A* = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−−

1610

, JA* = (1, 1) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−−

1610

= (-6, -2);

A*JT = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−−

1610

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛71

11

, JA*JT = (-6, -2) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛11

= -8

rezultă că:

x = ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=−−−=

41,

43)2,6(

81

J*JA*JA

T

yT = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

−=8/78/1

71

81

J*JAJ*A

T

T

, de unde y = (81 ,

87 )

v = 43

86

J*JA|A|

T =−−

= .

3. Să se rezolve pe cale grafică jocul a cărui matrice este:

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−

−

2251431526

254

Teoria jocurilor

Rezolvare

Observăm că linia a cincea este dominată de linia a treia, deci vom

renunţa la linia a cincea şi jocul va fi de forma 4 × 2,

A =

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−

51431526

.

Strategiile jucătorului P2 verifică relaţiile:

6y1 – 2y2 ≤ v

5y1 + y2 ≤ v

3y1 + 4y2 ≤ v

-y1 + 5y2 ≤ v

y1 + y2 = 1

Punând y1 = 1 – y2 în primele 4 inegalităţi, acestea devin:

6 – 8y2 ≤ v

5 – 4y2 ≤ v

y2 + 3 ≤ v

6y2 – 1 ≤ v

şi sunt reprezentate grafic mai jos: v

6

5 5

M 4

3

(d2)

1 y2

-1

-2

(d4)

(d3)

(d1)

255


unde am asociat fiecărei inegalităţi (i), dreapta di, i = 4,1 , ce împarte

semiplanele determinate de inegalitatea (i). Porţiunea din plan cuprinsă între

y2 = 0 şi y2 = 1 (y2 este o probabilitate), şi dedesubtul liniei frânte îngroşate

conţine mulţimea punctelor (y2, v) ce verifică cele 4 inegalităţi. Linia

îngroşată conţine punctele cu cea mai mare valoare a lui v, iar dintre acestea

punctul cu cea mai mică valoare dintre cele de pe linia frântă este

M = d2 ∩ d3 şi deci va avea coordonatele date de soluţia sistemului:

5 – 4y2 = v

y2 + 3 = v

de unde y2 = 52 , y1 =

53 iar v = 3, 4, deci y2 şi v satisfac restricţiile 2 şi 3 cu

egalităţi. Teorema ecarturilor ne spune că atunci componentele x2 şi x3 din

problema duală vor fi pozitive.

Deci strategia lui P2 este y = (53 ,

52 ).

Soluţia optimă a jucătorului P1 verifică relaţiile:

6x1 + 5x2 + 3x3 – x4 ≥ v

-2x1 + x2 + 4x3 + 5x4 ≥ v

x1 + x2 + x3 + x4 = 1

în care x2, x3 > 0 iar x1 = x4 = 0. Atunci eliminând prima şi a patra linie din

A va rezulta un joc redus cu matricea:

A1 = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛4315

.

Determinarea strategiei lui P1 o vom face cu ajutorul formulelor (9)

din 2.3.a, unde:

⎪A1⎪ = 17; A *1 = ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−5314

; JA *1 = (1,1) ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−5314

= (1, 4);

256

Teoria jocurilor

JA *1 JT = (1, 4) ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛11

= 5 deci:

x = 51

JJAJA

T*1

*1 = (1, 4) = (

51 ,

54 ), deci x2 =

51 , x3 =

54 şi strategia lui

P1 este x = (0, 51 ,

54 , 0).

4. Să se determine prin metodele cunoscute valoarea jocului şi

strategiile jucătorilor pentru cazul în care matricea plăţilor este:

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−−

3211113254311204

.

Rezolvare

Aplicând principiul strategiilor dominate observăm că linia a doua

are elementele respectiv mai mari ca linia a patra, deci o vom şterge pe

aceasta din urmă. Coloana a treia domină coloana a patra, care va fi ştearsă

şi matricea jocului se va restrânge la:

A = ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ −

132431204

.

Cercetăm dacă jocul este cu punct şa, adăugând matricei A coloana

αi (a celor mai mici elemente pe linie) şi linia βj (a celor mai mari elemente

pe coloană).

257


Obţinem:

B1 B2 B3 αi A1 A2 A3

4 1 2

0 3 3

-2 4 1

-2 1 1

βj 4 3 4

de unde α = maxαi = 1, β = minβj = 3, deci α ≠ β, jocul nu are punct şa, iar

valoarea jocului v ∈ (1, 3).

a) Rezolvăm întâi problema pe cale matriceală, folosind formulele

(9’) din observaţia dată în paragraful 2.3.a.

⎪A⎪ = -30;

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−

−−=∗

121231887669

A

( ) ( ) 15JJA;3,3,9JA;0,10,5JA TT −=−−−=−−= ∗∗∗

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=−−−== ∗

∗

0,32,

310,10;5

151

JJAJAx T

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=−−−−== ∗

∗∗

51,

51,

533,3,9

151

JJAJAJ T

21530

JJAA

v T =−−

== ∗

Aplicăm procedeul din observaţia mai sus citată şi verificăm criteriul

lui Neumann, astfel:

( ) J22,2,2132431204

0,32,

31Ax ==

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ −⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

258

Teoria jocurilor

TTJ2

222

5/15/15/3

132431204

yA =⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛⋅⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ −=

Deci x şi y sunt o soluţie a jocului cu 2v = .

b) Rezolvăm problema prin programare liniară. Modelul matematic

al jocului scris din punctul de vedere al celui de al doilea jucător cu strategia

( )321 y,y,yy = , va fi:

[ ] .3,1j,1,0y;1yyy

vyy3y2vy4y3yvy2y4

j321

321

321

31

=∈=++

≤++≤++≤−

Cum ( )3,1v∈ deci este pozitiv, împărţim relaţiile de mai sus prin v

şi notăm:

3,1j,vy

Y jj ==

Deoarece P2 urmăreşte să facă minim v, atunci va dori să facă maxim

v1 şi obţinem:

[max]g = v1 = Y1 + Y2 + Y3

3,1j,0Y

1YY3Y21Y4Y3Y1Y2Y4

j

321

321

31

=≥

≤++≤++≤−

Aducem problema la forma standard şi aplicăm algoritmul simplex.

259


6,1j,0Y

1YYY3Y21YY4Y3Y1YY2Y4

j

6321

5321

431

=≥

=+++=+++=+−

( )654321 YYY0YYYv1g[max] +++++== .

1 1 1 0 0 0 B CB YB a1 a2 a3 a4 a5 a6

θ

a4 0 1 4 ↓ 0 -2 1 0 0 a5 0 1 1 3 4 0 1 0 a6 0 1 2 3 1 0 0 1

gj 0 0 0 0 0 0 0 0 ∆j=cj-gj 1 1 1 0 0 0

a1 1 1/4 1 0 -1/2↓ 1/4 0 0 - a5 0 3/4 0 3 9/2 -1/4 1 0 1/6 a6 0 2/4 0 3 2 -1/2 0 1 1/4

gj 1/4 1 0 -1/2 1/4 0 0 ∆j=cj-gj 0 1 3/2 -1/4 0 0

a1 1 1/3 1 1/3 0 2/9 1/9 0 a3 1 1/6 0 2/3 1 -1/18 2/9 0 a6 0 1/6 0 5/3 0 -7/18 0 1

gj 1/2 1 1 1 1/6 1/3 0 ∆j=cj-gj 0 0 0 -1/6 -1/3 0

Am ajuns la soluţia optimă care va fi:

2vundede,21

v1gmax === .

;323/12Yvyundede6/1Y,3/1Y 1131 =⋅====

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

=⋅==

31,0,

32y

:fivaPluistrategiadeci,3/16/12Yvy 233

260

Teoria jocurilor

.0,32,

31xşi0x;

32x;

31

612vXx

:undede0X,31X,

61X

3211

321

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛======

===

Observaţie: Prin metoda b) strategia lui P1 este aceeaşi cu cea din a),

dar strategia lui P2 diferă. Acest lucru a apărut deoarece în rezolvarea prin simplex a problemei, în etapa de optim ∆2 = 0 deşi a2 ∉ B. În acest caz problema are o infinitate de soluţii. Să mai găsim una continuând simplexul cu încă o iteraţie prin introducerea în bază a lui a2 şi eliminarea lui a6.

a1 1 3/10 1 0 0 3/10 1/9 -1/5 a3 1 1/10 0 0 1 1/10 2/9 -2/5 a2 1 1/10 0 1 0 -7/10 0 3/5

gj 1/2 1 1 1 1/6 1/3 0 ∆j=cj-gj 0 0 0 -1/6 -1/3 0

Obţinem aceeaşi valoare v = 2 şi ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= 0,

32,

31x .

Dar ,101Y,

101Y,

103Y 321 === ce conduce la:

,51y,

51y,

53y 321 === adică ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

51,

51,

53y soluţie găsită şi prin

metoda a).

Dar dacă o problemă de programare liniară are două soluţii optime:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=′′⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=′

51,

51,

53yşi

31,0,

32y ea va avea o infinitate de soluţii optime, date

de combinaţia liniară convexă de y' şi y''. Deci P2 are o infinitate de strategii

date de:

( ) ( )

.10,15

23,5

1,15

951,

51,

531

31,0,

32y1yy

≤λ≤⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ λ+λ−λ+

=

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛λ−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛λ=′′λ−+′λ=

261


Observaţie: Dacă la metoda matriceală de la punctul a) am fi aplicat

procedeul dat în paragraful 2.3.a, am fi găsit şi altă soluţie pentru jocul

considerat şi orice combinaţie liniară convexă de soluţiile găsite ar fi fost tot

o soluţie a jocului, de unde infinitatea de soluţii dată de algoritmul simplex.

5. Să se rezolve jocul G = (A, B, f) în care matricea plăţilor A este:

B A B1 B2 B3 B4

A1 A2 A3

3 6 2

-1 8 5

0 3 1

7 5 3

Rezolvare

Determinăm valoarea inferioară şi valoarea superioară ale jocului:

αi = 4j1

min≤≤

aij şi Gv = 3i1

max≤≤αi = α

βj = 3i1

max≤≤

aij şi Gv = 4j1

min≤≤βj = β

Avem:

B A B1 B2 B3 B4 αi

A1 A2 A3

3 6 2

-1 8 5

0 3 1

7 5 3

-1 3 1

βj 6 8 3 7

α1 = min⎨3, -1, 0,7⎬ = -1

α2 = min⎨6, 8, 3,5⎬ = 3

α3 = min⎨2, 5, 1,3⎬ = 1

de unde α = max⎨-1, 3, 1⎬ = 3 = Gv .

β1 = max⎨3, 6, 2⎬ = 6; β2 = max⎨-1, 8, 5⎬ = 8;

262

Teoria jocurilor

β3 = max⎨0, 3, 1⎬ = 3; β4 = max⎨7, 5, 3⎬ = 7;

β = min⎨6, 8, 3, 7⎬ = 3 = Gv .

Cum vG = Gv = 3, rezultă că jocul are punct şa şi P1 va alege numai

strategia A2 iar P2 numai B3, indiferent de numărul partidelor ce se joacă.

6. Să se rezolve jocul matriceal G = (A, B, f) asociat unei situaţii de

concurenţă a două firme, dacă s-a stabilit că matricea jocului este:

B A B1 B2 B3

A1 A2 A3

0 -2 1

-5 2 -1

2 -1 1

Rezolvare

Determinăm vG şi Gv pentru a vedea dacă jocul are punct şa. Avem:

B A B1 B2 B3 αi

A1 A2 A3

0 -2 1

-5 2 -1

2 -1 1

-5 -2 -1

βj 1 2 2

vG = maxαi = max⎨-5, -2, -1⎬ = -1

Gv = minβj = min⎨1, 2, 2⎬ = 1

Din vG ≠ Gv rezultă că jocul nu are punct şa şi valoarea lui

v ∈ (-1, 1).

Căutăm strategiile mixte x = (x1, x2, x3) pentru P1 şi y = (y1, y2, y3)

pentru P2, prin intermediul programării liniare.

Mai întâi transformăm elementele matricei A, pentru a avea v > 0.

263


E suficient să adunăm 2 la elementele matricei iniţiale şi avem:

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ −=

313140432

A = (aij + 2).

Jocul corespunzător matricei A va avea aceleaşi strategii mixte

optime ca jocul iniţial, doar valoarea jocului este v = v + 2, adică cu 2 mai

mare decât valoarea jocului iniţial.

Pentru P2 problema de programare liniară ce trebuie rezolvată va fi:

2y1 – 3y2 + 4y3 ≤ v

4y2 + y3 ≤ v

3y1 + y2 + 3y3 ≤ v

y1 + y2 + y3 = 1

yj ≥ 0, j = 3,1

Cu v > 0, Yj = v

y j şi v1 = [max]g, avem:

[max]g = v1 = Y1 + Y2 + Y3

2Y1 – 3Y2 + 4Y3 + Y4 = 1

4Y2 + Y3 + Y5 = 1

3Y1 + Y2 + 3Y3 + Y6 = 1

Yj ≥ 0, j = 6,1 .

Rezolvăm problema aplicând algoritmul simplex.

264

Teoria jocurilor

1 1 1 0 0 0 B CB YB a1 a2 a3 a4 a5 a6 θ

a4 0 1 2 -3 ↓ 4 1 0 0 - a5 0 1 0 4 1 0 1 0 1/4 a6 0 1 3 1 3 0 0 1 1/3

gj 0 0 0 0 0 0 0 ∆j=cj-gj 1 1 1 0 0 0

a4 0 7/4 4 ↓ 0 19/4 1 3/4 0 7/16 a2 1 1/4 0 1 1/4 0 1/4 0 - a6 0 3/4 3 0 11/4 0 -1/4 1 3/12

gj 1/4 0 1 1/4 0 1/4 0 ∆j=cj-gj 1 0 3/4 0 -1/4 0

a4 0 3/4 0 0 13/12 1 13/12 -4/3 a2 1 1/4 0 1 1/4 0 1/4 0 a1 1 1/4 1 0 11/12 0 -1/2 1/3

gj 1/2 1 1 7/6 0 1/6 1/3 ∆j=cj-gj 0 0 -1/6 0 -1/6 -1/3

Am ajuns la soluţia optimă care este:

[max]g = v1 =

21 , de unde v = 2

Y1 = vy1 =

41 , de unde y1 = 2

41 =

21 ; Y2 =

41 , de unde y2 =

21 ,

y3 = 0;

X2 = 61 =

vx1 , de unde x2 = 2

61 =

31 ; X3 =

31 , de unde x3 =

32 ;x1 = 0

deci: x = (0, 31 ,

32 ), y = (

21 ,

21 ,0) iar v = v - 2 = 2 – 2 = 0.

Echilibrul realizat se manifestă aici prin anularea câştigului fiecărui

participant.

7. O familie se aprovizionează pentru iarnă cu cărbune de un anumit

tip. Cantitatea necesară şi condiţiile de aprovizionare sunt date în următorul

tabel [10]:

265


Iarna Cantitatea necesară în tone

Preţ unitar u.m./t

Uşoară Obişnuită

Grea

4 5 6

70 75 80

Dacă aprovizionarea se face vara, preţul unitar este de 60 u.m./t.

Se cere:

a) să se scrie matricea plăţilor ştiind că aprovizionarea se face în

timpul verii;

b) să se decidă strategia prin criteriul maximin;

c) să se decidă strategia prin criteriul minimax;

d) să se decidă strategia prin criteriul Savage;

e) să se decidă strategia când stările iernii sunt egal probabile;

alternativ, când probabilităţile sunt respectiv 0,2; 0,5 şi 0,3;

f) pentru α = 0,75 să se determine strategia optimă prin criteriul

Hurwicz.

Rezolvare

a) Matricea asociată jocului generat de problema dată va fi:

Strategia iernii

Cantitatea contractată

uşoarăS1:4t

obişnuită S2:5t

grea S3:6t

A1:4t A2:5t A3:6t

-240 -300 -360

-315 -300 -360

-400 -380 -360

unde, de exemplu, elementul de pe linia lui A2 şi coloana lui S3 s-a calculat

astfel: s-au cumpărat 5t a câte 60 u.m. pentru care s-au plătit 300 u.m.; iarna

266

Teoria jocurilor

fiind grea, mai este nevoie de o tonă ce se cumpără iarna cu preţul de 80

u.m., deci în total cheltuielile vor fi de 380 sau în matricea câştigurilor lui P1

vom scrie -380.

b) În aplicarea criteriului maximin se alege minimul elementelor de

pe fiecare linie şi dintre acestea se determină maximul, astfel:

A1 A2 A3

-400 -380 -360

Cel mai mare este -360 şi indică alegerea strategiei A3.

c) Criteriul minimax recomandă alegerea elementului maxim de pe

fiecare linie şi apoi determinarea celui mai mic dintre acestea.

A1 A2 A3

-240 -300 -360

Cel mai mic este -360 şi corespunde strategiei A3.

d) Formăm matricea R a regretelor din A scăzând din cel mai mare

element al unei coloane toate elementele coloanei respective. Obţinem:

R = ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

0601202006040150

.

Determinăm apoi în R cel mai mare element pe fiecare linie şi apoi

cel mai mic dintre acestea. Obţinem:

A1 A2 A3

40 60 120

Cel mai mic este 60 şi recomandă strategia A2.

267


e) În ipoteza că stările Si, i = 3,1 , sunt egal probabile, vom calcula

cheltuielile medii pentru fiecare strategie Ai, i = 3,1 . Astfel:

ϕ(1, y) = 31 (-240) +

31 (-315) +

31 (-400) = -

3955

ϕ(2, y) = - 3

980 şi ϕ(3, y) = - 3

1080 .

Cea mai mare dintre aceste sume este ϕ(1, y) şi recomandă A1. Dacă

stările nu sunt egal probabile ci au respectiv probabilităţile: 0,2; 0,5; 0,3,

cheltuielile medii vor fi:

ϕ(1, y) = 0,2(-240) + 0,5(-315) + 0,3(-400) = -325, 5

ϕ(2, y) = 0,2(-300) + 0,5(-300) + 0,3(-380) = -324

ϕ(3, y) = 0,2(-360) + 0,5(-360) + 0,3(-360) = -360

şi cea mai mică cheltuială este ϕ(2, y) şi recomandă A2.

f) Ataşăm matricei iniţiale A coloanele elementelor mi = 3j1

min≤≤

aij şi

Mi = 3j1

max≤≤

aij, apoi coloana elementelor αMi + (1 - α)mi, astfel:

Si Ai

S1 S2 S3 mi Mi αMi+(1-α)mi

A1 A2 A3

-240 -300 -360

-315 -300 -360

-400 -380 -360

-400 -380 -360

-240 -300 -360

160α-400 80α-380

-360

Pentru α = 0,75, corespunzător lui A1, obţinem pe ultima coloană

160 ⋅ 0,75 – 400 = - 280; pentru A2, 80 ⋅ 0,75 – 380 = -320 şi pentru A3,

- 360. Cea mai mică cheltuială este pentru A1.

268

Teoria jocurilor

8. Să se elimine strategiile dominate şi să se cerceteze existenţa

punctelor de echilibru Nash (în strategii pure) pentru următorul joc

bimatriceal.

P2 P1

B1 B2 B3 B4

A1 A2 A3 A4

(5,4) (2,7) (6,8) (3,2)

(3,1) (3,4) (1,3) (4,7)

(9,0) (1,3) (0,2) (2,4)

(4,2) (0,1) (3,5) (2,6)

Rezolvare

Se observă mai întâi că strategia A4 a jucătorului P1 domină strict

strategia A2 (oricare ar fi strategia de răspuns Bj a lui P2, avem a4j > a2j).

După eliminarea lui A2, care nu afectează punctele de echilibru, observăm

că strategia B4 a lui P2 domină strict pe B3 (deoarece 2 > 0, 5 > 2 şi 6 > 4).

După ce B3 este suprimată şi ea, obţinem un tabel restrâns.

B1 B2 B4 A1 A3 A4

(5,4) (6,8) (3,2)

(3,1) (1,3) (4,7)

(4,2) (3,5) (2,6)

În această fază nu vom mai găsi strategii dominate. Urmând

procedura de determinare a răspunsurilor optime, pe linii şi pe coloane, vom

obţine marcările de mai jos:

B1 B2 B4 A1 A3 A4

(5,4) (6,8) (3,2)

(3,1) (1,3) (4,7)

(4,2) (3,5) (2,6)

Cum singurele perechi de câştiguri cu două sublinieri sunt (6,8) şi

(4,7), rezultă că (A3, B1) şi (A4, B2) sunt puncte de echilibru ale jocului (în

strategii pure). Observând câştigurile corespunzătoare, se poate spune că

269


(A3, B1) este preferabil lui (A4, B2) pentru ambii jucători şi deci poate

constitui soluţia jocului.

9. Să se construiască un joc bimatriceal care să admită un punct de

echilibru format din strategii pure de tip maximin.

Rezolvare

Fie jocul cu sumă arbitrară dat prin matricea:

B1 B2 A1 A2

(4,5) (2,6)

(3,4) (5,7)

Se observă, fără dificultate, că (A1, B1) şi (A2, B2) sunt puncte de

echilibru Nash al jocului. În acelaşi timp, avem valorile maximin:

2,1imax= 2,1j

min=

aij = max⎨min⎪⎨4,3⎬, min⎨2,5⎬⎬ = max⎨3,2⎬ = 3

2,1imax= 2,1j

min=

bij = max⎨min⎪⎨5,6⎬, min⎨4,7⎬⎬ = max⎨5,4⎬ = 5

Deci A1 e strategia maximin a lui P1 şi B1 e strategia maximin a lui

P2. Se confirmă, pe de altă parte, faptul că orice punct de echilibru îi promite

fiecărui jucător un câştig mai mare sau egal cu valoarea maximin

corespunzătoare lui a jocului.

10. Să se arate că jocul în formă normală de mai jos nu admite

puncte de echilibru Nash în strategii mixte:

B1 B2 B3 A1 A2

(1,0) (0,3)

(1,2) (0,1)

(0,1) (2,0)

270

Teoria jocurilor

Rezolvare

Fie (p, q, 1 – p – q) o strategie mixtă pe B = ⎨B1, B2, B3⎬.

Avem deci p, q ≥ 0 şi p + q ≤ 1. Căutăm răspunsul optim al lui P1 la

această strategie a lui P2. Dacă P1 foloseşte strategia A1 atunci îi revine un câştig mediu egal cu p + q, iar dacă foloseşte strategia A2, câştigul mediu

este 2(1 – p – q). Comparându-le, se deduce imediat că dacă p + q ∈ [0, 2/3)

cel mai bun răspuns este A2 în timp ce pentru p + q ∈ (2/3, 1], cel mai bun răspuns este A1.

Cazul p + q = 32 nu face deosebire între A1 şi A2 ca replici optime

ale lui P1. Dacă vom considera o strategie mixtă (r, 1 – r) pe A = ⎨A1, A2⎬,

0 ≤ r ≤ 1, câştigurile medii ale lui P2 vor fi egale cu 3 – 3r, r + 1 sau r, după

cum foloseşte strategiile pure B1, B2 sau B3, respectiv. Din inegalităţile

3 – 3r > r + 1 > r reiese că răspunsul optim al lui P2 este B1, pentru

r < 21 şi B2, pentru r >

21 . În cazul r =

21 , se reţin ca cel mai bun răspuns

oricare dintre strategiile B1 sau B2. Să presupunem că punctele de echilibru ale jocului sunt de forma

((r*, 1 – r*), (p*, q*, 1 – p* - q*)). Vom analiza situaţiile posibile pentru r*:

I. Dacă r* ∈ [0, 21 ), răspunsul optim al lui P2 este B1, căruia i-ar

corespunde ca strategie mixtă valorile p* = 1, q* = 0, ceea ce

înseamnă că p* + q* = 1 > 32 şi, în replică, am avea strategia

optimă A1 a lui P1. Cum A1 poate fi identificată cu strategia mixtă (1, 0), rezultă r* = 1, contrazicând ipoteza iniţială;

271


II. În cazul r* = 21 , orice strategie mixtă a lui P2 de forma

(λ, 1-λ, 0), 0 ≤ λ ≤ 1 este un răspuns optim. Discuţia continuă ca

mai înainte şi se ajunge la concluzia r* = 1 ≠ 21 ;

III. Dacă r* ∈ (21 , 1), replica cea mai bună a lui P2 este B2; ei îi

corespund valorile p* = 0, q* = 1 şi cum p* + q* > 32 , răspunsul

optim al lui P1 e din nou A1. Obţinem, ca mai sus, r*= 1∉(21 ,1);

IV. Ultima posibilitate, r* = 1 ne conduce la o strategie de răspuns cu p* = 0, q* = 1 şi, de această dată, cu răspunsul în oglindă al lui P1, lanţul deducţiilor se închide. Am obţinut astfel un punct de echilibru în strategii pure, ((1,0), (0,1,0)), fapt ce clarifică cerinţa problemei vis-à-vis de teorema lui Nash. Să mai observăm că, deoarece strategia B3 este strict dominată, componenta corespunzătoare ei într-o strategie optimă a lui P2 nu putea fi decât nulă.

11. ([12]) Două firme cu profile asemănătoare de activitate oferă fiecare câte un loc de muncă. Să presupunem că se plătesc salarii diferite:

firma i plăteşte salariul si, unde (1/2) s1 < s2 < 2s1. Să presupunem că există doi lucrători ce doresc să se angajeze, dar fiecare nu poate opta decât pentru o singură firmă, acest lucru făcându-se simultan. Dacă numai câte un singur lucrător îşi oferă serviciile unei firme, el este angajat.

Dacă ambii lucrători optează pentru aceeaşi firmă, aceasta angajează pe unul dintre ei, la întâmplare, iar celălalt rămâne, pe mai departe, fără serviciu (şi cu o plată presupusă nulă). Să se găsească soluţia în strategii de echilibru Nash a acestui joc.

272

Teoria jocurilor

Rezolvare Vom construi pentru început forma normală a jocului descris.

Jucătorii sunt cei doi lucrători, strategiile lor constând din opţiunile pe care le fac pentru firma 1 sau firma 2 şi pe care le notăm cu A1, A2, respectiv B1,

B2. Vom nota, ca de obicei, cu f1(⋅,⋅) şi f2(⋅,⋅) respectiv, funcţiile de câştig ale jucătorilor. Considerând utilităţile imediate ale celor doi lucrători, rezultate în urma alegerilor făcute, putem construi următoarea matrice de plăţi (în ipoteza şanselor egale):

B1 B2 A1

A2

(21 s1,

21 s1)

(s2,s1)

(s1,s2)

(21 s2,

21 s2)

Ţinând seama de ipotezele 21 s1 < s2 şi

21 s2 < s1, vom putea scrie:

f1(A1, B2) = s1 > 21 s2 = f1(A2, B2)

f2(A1, B2) = s2 > 21 s1 = f2(A1, B1)

de unde rezultă că (A1, B2) este punct de echilibru Nash.

Asemănător, obţinem relaţiile:

f1(A2, B1) = s2 > 21 s1 = f1(A1, B1)

f2(A2, B1) = s1 > 21 s2 = f2(A2, B2)

ceea ce arată că şi (A2, B1) este un punct de echilibru Nash.

Faptul că fiecare lucrător este angajat dacă se optează pentru una sau

cealaltă dintre perechile de strategii discutate vine în acord cu ideea de

echilibru, chiar dacă unul dintre jucători poate să nu fie mulţumit pe deplin

cu salariul pe care îl obţine.

273


Dacă fiecare jucător ţine la şansa sa de a fi angajat şi de a primi un

salariu mai bun, atunci are sens considerarea strategiilor mixte.

Fie (y, 1-y) o strategie mixtă a lui P2. Atunci câştigul mediu al lui P1

va fi dat de:

21 ys1 + (1 – y)s1 = s1 -

21 ys1, sau

ys2 + 21 (1 – y) s2 =

21 s2 +

21 ys2, după cum foloseşte strategia pură

A1 sau A2.

Din inegalitatea s1 - 21 ys1 >

21 s2 +

21 ys2, rezultă că pentru

y ∈ ⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞+−

21

21

ssss2,0 cel mai bun răspuns al lui P1 la strategia mixtă a lui P2 este

A1, iar pentru y ∈ ]⎜⎜⎝

⎛+− 1,ssss2

21

21 , acesta este A2 (să observăm că s1 < 2s2 e

echivalent cu 2s1 – s2 < s1 + s2).

O analiză similară se face pornind de la o strategie mixtă (x, 1 – x)

pe ⎨A1, A2⎬. Urmând procedeul de rezolvare descris în soluţia la problema

10, vom obţine următorul punct de echilibru Nash în strategii mixte:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

+−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

+−

21

12

21

21

21

12

21

21

ssss2,

ssss2,

ssss2,

ssss2 .

Desigur că în acest exemplu de joc nu se pune problema repetării

sale de un număr de ori care să permită alternarea strategiilor.

Metoda de decizie pentru oricare jucător este să folosească un

generator de numere aleatoare (de tipul funcţiei RND a unui calculator de

buzunar); dacă valoarea generată se găseşte în intervalul (0, 21

21

ssss2

+− ),

atunci el va alege strategia A1(B1), altfel va juca A2(B2).

274

BIBLIOGRAFIE

1. ALLEN, R.G.D. Analiză matematică pentru economişti, Bucureşti, Editura Ştiinţifică, 1971

2. BAZ, D., COZMA, C., POPESCU, O.

Matematici aplicate în economie, Bucureşti, Lito ASE, 1981

3. BAZ, D., BUTESCU, V., STREMŢAN, N.

Matematici aplicate în economie, (Vol. I, II), Bucureşti, Universitatea „Dimitrie Cantemir”, 1997

4. BERGE, C. Teoria grafurilor şi aplicaţiile ei, Bucureşti, Editura Tehnică, 1969

5. BOLDUR – LĂŢESCU, G., SĂCUIU, I., ŢIGĂNESCU, E.

Cercetare operaţională cu aplicaţii în economie, Bucureşti, Editura Didactică şi Pedagogică, 1979

6. BURLACU, V., SĂCUIU, I.

Matematici speciale aplicate în economie, (Vol. II), Bucureşti, Lito ASE, 1983

7. CENUŞĂ, GH., RAISCHI, C., BAZ, D. ş.a.

Matematici pentru economişti, Bucureşti, Editura Cison, 2000

8. CENUŞĂ, GH., FILIP, A., BAZ, S. ş.a.

Matematici pentru economişti. Culegere de probleme, Bucureşti, Editura Cison, 2000

9. CIUCU, G., IOSIFESCU, M. ş.a.

Teoria jocurilor, Bucureşti, Editura Tehnică, 1965

10. DANI, E. Metode numerice în teoria jocurilor, Cluj – Napoca, Editura Dacia, 1983

275

11. DANTZIG, G.B. Linear Programming and Extension, New York, Princeton University Press, 1963

12. GIBBONS, R. A Primer in Game Theory, New York, London, Harvester Wheatsheaf, 1992

13. HILLIER, F., LIEBERMAN, G.

Introduction to Operations Research, Mc.Graw & Hill, 1993

14. KAUFMANN, A. Metode şi modele ale cercetării operaţionale, (Vol. I, II), Bucureşti, Editura Ştiinţifică, 1967

15. KAUFMANN, A., DESBAZEILLE, G.

Metoda drumului critic, Bucureşti, Editura Tehnică, 1971

16. OWEN, G. Teoria jocurilor, Bucureşti, Editura Tehnică, 1974

17. POPESCU, O., BAZ, D., BEGANU, G. ş.a.

Matematici aplicate în economie, Bucureşti, Editura Didactică şi Pedagogică, 1993

18. POPESCU, O., BAZ, D., BEGANU, G. ş.a.

Matematici aplicate în economie. Culegere de probleme, Bucureşti, Editura Didactică şi Pedagogică, 1996

19. SHAPLEY, L.S. „A Value for n-Person Games”. In Annals of Mathematical Studies, 28

20. VĂDUVA, I., DINESCU, C., SĂVULESCU, B.

Modele matematice de organizare şi conducere a producţiei, (Vol. I, II), Bucureşti, Editura Didactică şi Pedagogică, 1974

21. VRĂNCEANU, GH., MITITELU, Şt.

Probleme de cercetare operaţională, Bucureşti, Editura Tehnică, 1978

276

16134746 Modele Matematice in Economie Teorie i Aplicaii

Documents

Transcript of 16134746 Modele Matematice in Economie Teorie i Aplicaii