64

6. Metoda vectorial n geometrie 6.1. Consideraii teoretice Pentru studiul geometriei euclidiene plane se folosesc mai multe modele: sintetic, analitic, vectorial, complex. Fiecare dintre aceste modele se dovedete a fi mai eficient ntr-un anumit tip de probleme, de aceea este util s le cunoatem pe toate i s avem posibiltatea de a trece cu uurin de la unul la altul. Modelul vectorial se preteaz la probleme n care apar drepte, segmente, rapoarte, probleme care de multe ori se rezolv mai simplu dect s-ar rezolva pe cale sintetic. Planul euclidian definit axiometric (modelul sintetic) l considerm cunoscut, elementele sale fiind puncte. Modelul analitic l obinem alegnd un sistem de coordonate n plan i considernd planul ca produsul cartezian a dou drepte (ortogonale) : ( ){ }RRR == yxyx ,\,2 . Modelul vectorial l obinem alegnd n planul un punct fix, numit origine i doi vectori necoliniari de baz, de exemplu i

ri j

r reprezentai prin

dou sgei (versorii directori ai axelor xO i yO ). Fig. 6.1.

Deci { }RR +=== yxjyixv ,\2 rrr . Orice punct M din planul are n modelul analitic dou coordonate M(x,y), deci este unic determinat de dou numere reale xR (abscisa) i y R (ordonata). Acelai punct M are n modelul vectorial un vector de poziie

jyixrMrr += , deci orice punct este unic determinat de vectorul su de

poziie, care se reprezint printr-o sgeat ce pornete din originea O i se termin n M.

65

Pentru o pereche de puncte (A,B) , reprezentm printr-o sgeat ce pornete din A i se termin n B, segmentul orientat (A,B). Fiecrui segment orientat (A,B) i se ataeaz un vector 2RAB , definit prin

AB rrAB = . Fig. 6.2.

Trei puncte A, B, C sunt coliniare dac vectorii AB i AC sunt coliniari, adic dac exist un numr real t astfel ca ABtAC = Mulimea punctelor coliniare cu dou puncte distincte A, B formeaz dreapta AB. Dintre ecuaiile dreptei amintim: a) :D vtrr += 0 ; t R Ecuaia dreptei ce trece prin vrful vectorului 0r i este paralel cu vectorul

0v . b) :D ( ) ;1 BA rtrtr += Rt . Ecuaia dreptei ce trece prin A i B. n ecuaia b) a dreptei, punctul M , al crui vector de poziie este

( ) BAM rtrtr += 1 , cu [ ]1,0t se afl pe segmentul [ ]AB i este determinat de raportul distanelor ( )( ) AB

AMBAdMAdt ==,, .

n particular mijlocul C al segmentului [ ]AB are vectorul de poziie

66

( )BAC rrr += 21 . Dac ABC este un triunghi, atunci pentru orice punct M din plan, exist numerele reale ,, unic determinate astfel ca: CBAM rrrr ++= , cu 1=++ . Dac ,, sunt pozitive, punctul M se afl n interiorul triunghiului ABC i numerele ,, reprezint rapoarte de arii:

==ABC

MBC

SS ;

ABC

MCA

SS= ;

ABC

MAB

SS= .

n particular pentru punctele importante din triunghi avem:

( )CBAG rrrr ++= 31 (centrul de greutate); cba

rcrbrar CBAI ++++= (centrul cercului nscris);

tgCtgBtgArtgCrtgBrtgAr CBAH ++++= (ortocentrul triunghiului);

CBArCrBrAr CBAO 2sin2sin2sin

2sin2sin2sin++

++= (centrul cercului circumscris);

HGE rrr += 43 (centrul cercului lui Euler);

Bibliografie

(1) BRNZEI, D. :Bazele geometriei analitice plane, Editura Paralele 45,

Piteti, 1999

(2) BESOIU, I., BESOIU, E. : Probleme de geometrie rezolvate cu vectori

pentru clasele a IX-a i a X-a, Editura

STAR SOFT, Alba Iulia, 2000.

67

(3) BRNZEI, D., NECHITA,V., ERDEAN, V. : Dicionar de geometrie

elementar, Editura Paralela 45, Piteti,

2001.

(4) BIBOAC, N. : Teme complementare de geometrie, Editura Paralela

45, Piteti, 1999.

(5) BRNZEI,D., ZANOSCHI, A. : Geometrie probleme cu vectori, clasa

a IX-a, Editura Paralela 45, Piteti, 1999.

(6) NECHIL, P. : Algebr vectorial i geometrie analitic, Editura

Paralela 45, Piteti, 2001.

(7) BRNZEI, D., ONOFRA, E., ANIA, S., ISVORANU, GH. : Bazele

raionamentului geometric, Editura

Academiei R.S.R., Bucureti, 1983.

(8) DRANCA, C., VORNICESCU, FL., RADU, L., VORNICESCU, N. :

Probleme i soluii de geometrie

vectorial, analitic i trigonometrie,

Editura Didactic i Pedagogic,

Bucureti, 2002.

(9) SIMIONESCU, GH., D. : Noiuni de algebr vectorial i aplicaii n

geometrie, Editura Tehnic, Bucureti,

1982.

(10) CMPEAN, V., CMPEAN, V. : Vectori geometrie, clasele IX X,

Editura Milenium, Alba Iulia, 2003.

(11) PIMSNER, M., POPA, S. : Probleme de geometrie elementar, Editura

Didactic i Pedagogic, Bucureti, 1979.

(12) NICOLESCU, L., BUMBCEA, AL., CATAN, A., HORJA, P.,

NICULESCU, GH., OPREA, N.N ZARA, C. : Metode de rezolvare a

problemelor de geometrie, Editura Universitii din Bucureti, 1998.

68

(13) ANDRICA, D., VARGA, Cs., VCREU, D. : Teme i probleme alese

de geometrie, Editura Plus, Bucureti, 2002.

(14) NICULA, V. : Geometrie plan (sintetic, vectorial, analitic)

culegere de probleme, Editura Gil, Zalu, 2002.

(15) CSINTA, Th., MODAN, L. : Probleme de matematic date ntre 1998-

2002 la concursul de admitere n grupul GEIPI al colilor superioare

franceze de nalte studii inginereti, vol. I, Editura Gil, Zalu, 2003.

(16) BRNZEI, D., ERDEAN, I., ERDEAN, V. : Olimpiadele balcanice de

matematic pentru juniori, Editura Plas, Bucureti, 2003.