Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 1/401

Ministerul Educaţiei şi Cercetării

Proiectul pentru Învăţământul Rural

MATEMATICĂ

Geometrie I

Ion CHIŢESCU

2005



© 2005 Ministerul Educaţiei şi CercetăriiProiectul pentru Învăţământul Rural

Nici o parte a acestei lucr ărinu poate fi reprodusă f ăr ă acordul scris al Ministerului Educaţiei şi Cercetării

ISBN 973-0-04091-5



Cuprins

Proiectul pentru Învăţământ Rural C

CUPRINS

Introducere .......................................................................................................................I

Unitatea de învăţare 1: Figuri geometrice în plan şi în spaţiu ....................................... 1

Obiectivele Unităţii de învăţare 1 .........................................................................11.1. Figura geometrică privită ca mulţime de puncte în plan sau în spaţiu .........2

1.2. Figurile geometrice principale în plan..........................................................8

1.3. Figurile geometrice principale în spaţiu ....................................................75

1.4. Comentarii şi r ăspunsuri la testele de autoevaluare ...............................128

1.5. Lucrare de verificare pentru studenţi ......................................................135

1.6. Bibliografie, unitatea de învăţare 1 ..........................................................136

Unitatea de învăţare 2: Geometrie analitică ...............................................................137

Obiectivele Unităţii de învăţare 2 .......................................................................137

2.1. Coordonate carteziene (pe dreaptă, în plan, în spaţiu)............................138

2.2. Elemente de geometrie analitică în plan ..................................................153

2.3. Elemente de geometrie analitică în spaţiu. .............................................219

2.4. Comentarii şi r ăspunsuri la testele de autoevaluare unitatea de învăţare 2 ...............................................................................................268

2.5. Lucrare de verificare pentru studenţi, unitatea de învăţare 2 ..................298

2.6. Bibliografie, unitatea de învăţare 2...........................................................299

Unitatea de învăţare 3: Geometrie vectorială ............................................................301


3.1. Noţiuni de vector .....................................................................................302

3.2. Operaţii cu vectori ...................................................................................309

3.3. Calcule de bază efectuate cu ajutorul vectorilor.

Legătura cu geometria analitică. Aplicaţii la problemele de geometrie ..319

3.4. Numerele complexe privite din punct de vedere geometric

(analitic şi vectorial) ................................................................................3353.5.Comentarii şi r ăspunsuri la testele de autoevaluare ................................346

3.6. Lucrare de verificare pentru studenţi, unitatea de învăţare 3 ..................348

3.12. Bibliografie, unitatea de învăţare 3.........................................................349

Unitatea de învăţare 4: Elemente de trigonometrie ................................................... 350


4.1. Definirea funcţiilor trigonometrice. Calcule cu funcţii trigonometrice .......351

4.2. Variaţia funcţiilor sinus, cosinus, tangentă şi reprezentarea lor grafică ..369

4.3. Funcţii trigonometrice inverse .................................................................370

4.4. Ecuaţii trigonometrice ..............................................................................375



Cuprins

Proiectul pentru Învăţământ Rural C

4.5. Rezolvarea triunghiurilor. ....................................................................... 385

4.6.Comentarii şi r ăspunsuri la testele de autoevaluare ............................... 391

4.7. Lucrare de verificare pentru studenţi, unitatea de învăţare 4 ................. 394

4.8. Bibliografie, unitatea de învăţare 4 .......................................................... 395

Bibliografie ................................................................................................................ 396



Introducere

Proiectul pentru Învăţământ Rural I

INTRODUCERE

Acest modul prezintă fundamentele geometriei din cadrul programului dematematic

ă al Proiectul pentru înv

ăţământul rural (P.I.R.). El va fi urmat de

modulul de învăţare Geometrie 2, în care vor fi tratate chestiuni specifice,bazate pe noţiunile de bază din acest modul.

Ideea de bază în felul cum a fost gândit acest modul a fost aceea de aprezenta într-un mod unitar diferitele moduri de abordare a geometriei,punând la dispoziţia cursantului noţiunile metodice de bază.

Modulul este structurat pe patru unităţi de învăţare (capitole)

Prima unitate de învăţare este intitulată Figuri geometrice în plan şi înspaţiu. Se prezintă, din punctul de vedere „naiv” al geometriei sintetice,principalele figuri geometrice în plan şi în spaţiu. La începutul modulului

am f ăcut o mică discuţie asupra axiomaticii în geometrie, introducând şi unmodel al unei geometri neeuclidiene. Am privit figurile geometrice camulţimi de puncte în plan şi în spaţiu. Am „reactivat” noţiunea de locgeometric gândit ca o mulţime de puncte, fie din punct de vedere static (camulţime a punctelor cu o anumită proprietate), fie din punct de vederecinematic (ca traiectorie a unui punct mobil supus la anumite constrângeri). Acest ultim punct de vedere a fost abandonat din păcate în manualelerecente.

A doua unitate de învăţare este intitulată Geometrie analitică. Se prezintă noţiunile fundamentale ale geometriei analitice în plan şi în spaţiu (punctul

de vedere cartezian asupra geometriei). Am socotit necesar să acordămun spaţiu mai mare acestei unităţi de învăţare.

A treia unitate de învăţare este intitulată Geometrie vectorială. Seprezintă noţiunile fundamentale ale geometriei vectoriale în plan şi înspaţiu (punctul de vedere vectorial asupra geometriei). Tot aici, împletimpunctul de vedere analitic cu cel vectorial, studiind geometria numerelorcomplexe, folosind (anticipativ) şi ultima unitate de învăţare care conţinenoţiunile de trigonometrie necesare.

A patra unitate de învăţare este intitulată Elemente de trigonometrie.Studiem trigonometria în ine, dar şi ca „disciplină de serviciu” în slujba

geometriei.Există patru lucr ări de verificare, câte una la sfâr şitul fiecărei unităţi de învăţare. La fiecare lucrare de verificare se dau indicaţii de întocmire şitransmitere către tutore. În mod precis, cursanţii sunt solicitaţi să tratezeproblemele în ordinea în care apar. Observaţii de fond asupra modului derezolvare şi de redactare vor apărea după întâlnirile cu tutorii. Rezolvărilevor fi transmise către tutori prin poştă sau, dacă este cazul, prin e-mail.

Evaluarea continuă se face prin rezolvarea testelor de autoevaluare şidiscuţiile la întâlnirile cu tutorii.

Evaluarea finală se face pe baza celor trei lucr ări de verificare şi aexamenului de la finele cursului. Evaluarea continuă şi evaluarea finală auponderi egale în stabilirea notei: câte 50%.



Cuprins

II Proiectul pentru Învăţământ Rural

Ne exprimăm speranţa că după parcurgerea şi absolvirea acestui modul,cursanţii participanţi la P.I.R. (atât cei avansaţi, cât şi cei cu cunoştinţeslabe de matematică) vor putea să se perfecţionez în domeniul geometrieişi să rezolve o gamă variată de probleme, în deplină cunoştinţă de cauză acadrului de lucru. Metoda de lucru aleasă (sintetică, analitică, vectorială,trigonometrică, cu folosirea numerelor complexe) va fi aleasă în modul cel

mai adecvat, în funcţie de problemă.



Figuri geometrice în plan şi în spaţiu

Proiectul pentru Învăţământ Rural 1

Unitatea de învăţare 1

FIGURI GEOMETRICE ÎN PLAN ŞI ÎN SPAŢIU

Cuprins

Obiectivele Unităţii de învăţare 1 ...................................................................................1

1.1. Figura geometrică privită ca mulţime de puncte în plan sau în spaţiu ......................2

1.2. Figurile geometrice principale în plan .......................................................................8

1.3. Figurile geometrice principale în spaţiu .................................................................75

1.4. Comentarii şi r ăspunsuri la testele de autoevaluare ............................................128

1.5. Lucrare de verificare pentru studenţi ...................................................................135

1.6. Bibliografie............................................................................................................136

Obiectivele Unităţii de învăţare 1

După ce veţi parcurge această unitate de învăţare, veţi avea cunoştinţesuficiente pentru a fi capabil să faceţi următoarele operaţii matematice:

• Identificarea elementelor numerice şi a relaţiilor care caracterizează figurile geometrice date.

• Identificarea de proprietăţi pornind de la datele numerice ale uneiconfiguraţii.

• Utilizarea formulelor de calcul şi a metodelor de demonstraţie pentru justificarea unor proprietăţi

• Folosirea termenilor adecvaţi pentru exprimarea unor proprietăţi saua rezultatelor unui raţionament

• Analiza în vederea descompunerii unei probleme în probleme maisimple.

• Analiza unui algoritm în vederea aplicării acestuia în alte situaţii.

• Utilizarea unor teoreme de geometrie în rezolvarea unor problemeconcrete din cotidian.




2 Proiectul pentru Învăţământ Rural

1.1. Figura geometrică privită ca mulţime de puncte în plan sau înspaţiu.

A. Geometria pe care o studiem în învăţământul preuniversitar se împarte în geometrie plană şi geometrie în spaţiu.

Pentru geometria plană, universul discursului este un plan fixat P . Cualte cuvinte, avem o mulţime nevidă P , care joacă rol de mulţime totală şiale cărei elemente se numesc puncte.

O figur ă geometrică plană este o submulţime nevidă a lui P . Figurageometrică fundamentală a geometriei plane este dreapta.

Pentru geometria în spaţiu, universul discursului este spaţiul S. Cu altecuvinte, avem o mulţime nevidă S care joacă rol de mulţime totală şi alecărei elemente se numesc puncte. O figur ă geometrică în spaţiu este osubmulţime nevidă a lui S. Figurile geometrice fundamentale ale spaţiului

sunt dreapta şi planul.Comentariu cu privire la axiomatică. Geometrie euclidiană şi neeuclidiană.

Studiul geometriei poate fi f ăcut în mod naiv sau în mod axiomatic. Înprezentarea de faţă, vom adopta punctul de vedere naiv, care este celfolosit în învăţământul preuniversitar.

Punctul de vedere axiomatic este mult mai pretenţios, fiind însă pe deplinriguros din punct de vedere matematic.

Pentru a ilustra foarte sumar punctul de vedere axiomatic, vom vorbi puţindespre prezentarea axiomatică a geometriei plane, care este un sistem

axiomatic, constând din următoarele:a) Elementele primordiale sunt: planul P , care este o mulţime nevidă

(mulţimea totală), elementele lui P , care se numesc puncte şianumite submulţimi particulare ale lui P , care se numesc drepte.

b) Sistemul de axiome al geometriei plane este format dintr-un numărde propoziţii, numite axiome, care sunt considerate ca fiindprimordiale şi adevărate.

c) Teoremele geometriei plane sunt toate propoziţiile care rezultă dinaxiome, aplicând operaţii logice.

Un sistem axiomatic trebuie să fie necontradictoriu (adică nu trebuie să existe două axiome care se contrazic una pe cealaltă). Un sistemaxiomatic se numeşte consistent dacă admite un model, adică există obiecte pentru care toate axiomele care alcătuiesc sistemul de axiome se îndeplinesc.

Vom admite că pentru un sistem axiomatic, a fi consistent este echivalentcu a fi necontradictoriu (în matematica constructivă, numai implicaţiaconsistent ⇒ necontradictoriu este admisă).

Există mai multe sisteme axiomatice care descriu geometria plană. Ele aufost concepute de-a lungul vremii, pornind de la cartea fundamentală a

geometriei care ne vine din antichitate: „Elementele” lui Euclid.





În sistemul axiomatic al lui D. Hilbert, axiomele se împart în 5 grupe:axiome de incidenţă, axiome de ordonare, axiome de congruenţă, axiomede continuitate şi axiome de paralelism.

De exemplu, axiomele de incidenţă sunt următoarele:

1. Pentru orice două puncte distincte A şi B există o dreaptă unică d , astfel

încât A∈d şi B ∈d (se notează d = AB). Axioma de mai sus se enunţă de obicei astfel: „prin două puncte distinctetrece o dreaptă şi numai una”.

2. Orice dreaptă conţine cel puţin două puncte.

3. Există cel puţin trei puncte necoliniare (adică nu apar ţin aceleiaşidrepte).

Cu ajutorul celor trei axiome de incidenţă, putem demonstra următoarea

Teoremă. Fie 'd şi ''d două drepte. Atunci, una şi numai una din următoarele situaţiieste posibilă:

1) Avem d d ′ ′′∩ = ∅ (se spune că d şi d ′ ′′ sunt nesecante).

2) Avem .d d ′ ′′=

3) Intersecţia d d ′ ′′∩ este o mulţime formată dintr-un singur punct A (sespune că dreptele şid d ′ ′′ sunt secante şi se intersectează în A).

Demonstraţie. Să admitem că d d ′ ′′∩ ≠ ∅ . Fie A ∈ d d ′ ′′∩ . Rămân două variante:

Prima variant ă: există şi B A≠ astfel încât B ∈ d d ′ ′′∩ . Atunci, folosindaxioma 1, rezultă că d AB′ = şi d AB′′ = , deci .d d ′ ′′=

A doua variant ă: nu există B A≠ , astfel încât B ∈ d d ′ ′′∩ , adică avemd d ′ ′′∩ = { A}, etc. Demonstraţia s-a încheiat.

Observaţie. Demonstraţia de mai sus a fost pur axiomatică.

Relativ la situaţia în care, pentru două drepte şid d ′ ′′ avem d d ′ ′′∩ = ∅ ,vom face o mică discuţie.

O geometrie în care sunt satisf ăcute axiomele din primele patru grupe (cuexcepţia grupei a cincea – axiomele de paralelism) se numeşte geometrieabsolută.

Să adăugăm la axiomele geometriei absolute următoarea axiomă:Axioma lui Euclid. Fie d o dreaptă şi un punct A d ≠ . Atunci există o unică dreaptă d ' cu

proprietăţile:1) A d ′∈ ( 'd „trece” prin A)

2) 'd d ∩ = ∅ ( 'd este „paralelă” cu A).

Citim această axiomă astfel: „prin orice punct A exterior unei drepte d trece o paralelă δ la d şi numai una.”

Aşadar, în geometria euclidiană, se foloseşte terminologia următoare:dacă dreptele d şi δ sunt nesecante, spunem că d şi δ sunt paralele (sau

că d este paralelă cu δ sau căδ este paralelă cu d ). În acest caz scriemd δ .





O geometrie care satisface axiomele geometriei absolute şi axioma luiEuclid se numeşte geometrie euclidiană sau geometrie parabolică (este geometria „naturală” cu care suntem obişnuiţi şi lucr ăm).

Modelul standard pentru geometria euclidiană este modelul geometrieianalitice ( modelul lui Descartes ). Descriem acest model.

Planul P este dat astfel:( ){ }= , | ,P x y x y = × ∈ ∈ .

În acest model, punctele sunt deci perechi de numere reale ( x, y ).

Dreptele în modelul geometriei analitice sunt obţinute după cum urmează.O dreaptă d se obţine astfel:

1) Se consider ă trei numere reale fixate a, b, c, astfel încât a ≠ 0 sau b ≠ 0.

2) Dreapta d este mulţimea ( ){ }, | 0d x y x ax by c = ∈ + + = .

Prin eforturi independente, matematicianul rus N. Lobacevski şimatematicianul ungur (din Transilvania) J. Bolyai au demonstrat că axioma lui Euclid este independentă de axiomele geometrieiabsolute.

Cu alte cuvinte, există geometrii neeuclidiene (adică geometrii în carese verifică axiomele geometriei absolute şi nu se verifică axioma luiEuclid).

Prin urmare, o geometrie neeuclidiană poate fi de două feluri:

– Geometrie hiperbolică (geometrie Lobacevski), în care se verifică axioma:

Pentru orice dreaptă d şi orice punct A d ∉ există cel puţin două dreptedistincte d d ′ ′′≠ cu proprietăţile

,

şi

A d A d

d d d d

′ ′′∈ ∈

′ ′′∩ = ∅ ∩ = ∅

Rezultă atunci că există o infinitate de drepte δ care trec prin A (adică A ∈ δ ), astfel încât d şi δ sunt nesecante (adică d ∩ δ = ∅ ).

– Geometrie eliptică (geometrie Riemann), în care se verifică axioma:

Pentru orice dreaptă d şi orice punct A d ∉ , avem: orice dreaptă δ astfel încât A ∈ δ are proprietatea că d ∩ δ ≠ ∅ . Încheiem acest comentariu privind axiomatica, geometria euclidiană şigeometriile neeuclidiene cu un model al geometriei Lobacevski, numitmodelul lui Poincare . În acest model se consider ă un plan π şi o dreaptă orizontală d ⊂ π . Atunci, planul (neeuclidian) P şi dreptele (neeuclidiene) d P ⊂ alemodelului se obţin astfel (a se vedea fig.1.1.):

P = semiplanul superior deschis (adică P este format cu toate punctele dinπ care sunt situate strict deasupra lui d ).

O dreaptă d P ⊂ este: – sau o semidreaptă deschisă s P ⊂ , perpendicular ă pe d ;

– sau un semicerc (f ăr ă extremităţi) P σ ⊂ , cu centrul pe d .





Fig. 1.1

În fig. 1.1 avem P A d ∋ ∉ . Prin A trec dreptele (neeuclidiene) , ′σ σ (semicercuri) şi s′ (semidreaptă) care sunt nesecante cu dreapta(neeuclidiană) s, adică nu se intersectează cu s.

Începând din acest moment ne vom întoarce la geometria euclidiană (standard) pe care nu o vom mai păr ăsi.

B. Cum se construiesc figurile geometrice? Sau cum sunt ele generate înnatur ă?

Putem privi figurile geometrice din mai multe puncte de vedere, explicândastfel geneza lor.

Vom prezenta două din aceste puncte de vedere.

Punctul de vedere static (al teoriei mulţimilor ): figura geometrică estemulţimea punctelor care au o anumită proprietate (sau, mai general, este

o mulţime obţinută prin folosirea operaţiilor cu mulţimi din mulţimi depuncte cu o anumită proprietate).

De exemplu (v. fig. 1.2.) un cerc C de centru O şi rază R > 0 este mulţimeapunctelor M din plan pentru care distanţa MO de la M la O este constantegală cu R . Similar (v. fig. 1.3.) un semicerc S de centru O şi rază 0R > este mulţimea obţinută intersectând cercul de centru O şi rază R cusemiplanul situat deasupra dreptei AB, unde AB este un diametru alcercului.

Fig. 1.2. Fig. 1.3.

Punctul de vedere cinematic O. Privită din acest punct de vedere, o

figur ă geometrică este traiectoria descrisă de un punct mobil supus laanumite restricţii.





De exemplu (v. fig. 1.2.) un punct mobil M care respectă condiţiile de ar ămâne într-un plan fixat şi de a păstra distanţă constantă, egală cu unnumăr dat 0R > , faţă de un punct fix O, se mişcă pe un cerc de centru O şi rază R.

Subliniem că în învăţământul preuniversitar punctul de vedere cinematiceste mult mai puţin vehiculat decât punctul de vedere static.

Evident, există foarte multe figuri geometrice care nu pot fi descriseconform punctelor de vedere de mai sus. De exemplu, un romb este unpatrulater care are toate laturile egale.

Punctele de vedere prezentate mai sus cu privire la generarea figurilorgeometrice conduc la noţiunea de loc geometric.

Un loc geometric este o figur ă geometrică obţinută astfel:

– Din punct de vedere static, un loc geometric este mulţimea punctelorcare au aceeaşi proprietate.

– Din punct de vedere cinematic, un loc geometric este traiectoria descrisă de un punct mobil supus la anumite restricţii.

De exemplu, să consider ăm într-un plan P două puncte distincte A şi B. Atunci, mediatoarea segmentului AB este o dreaptă d P ⊂ , care apareca loc geometric astfel:

– Din punct de vedere static: d este locul geometric al punctelor M dinplanul P care are proprietatea că MA = MB.

– Din punct de vedere cinematic: d este traiectoria descrisă de un punctmobil M care se mişcă în planul P astfel încât la orice moment să avemegalitatea MA = MB.





Test de autoevaluare 1

1. Fie O un punct fix în planul P şi r un număr strict pozitiv. Să sedetermine locul geometric al punctelor M din P cu proprietatea că MO r ≤

2. Fie d o dreaptă în spaţiul S şi fie A d ∈ un punct fix. Să se determinelocul geometric al punctelor M din S cu proprietatea că MA d ⊥ .

Răspunsurile la acest test se găsesc la pagina 128 a acestei unităţi de învăţare.

Răspunsurilela test se vorda în spaţiulliber dinchenar, încontinuareaenunţurilor.





1.2. Figurile geometrice principale în plan

Vom lucra într-un plan fixat P şi vom considera diferite figuri geometrice înacest plan.

1.2.1. Dreapta, semiplanul, unghiul, segmentul, linia poligonală

Figura geometrică fundamentală estre dreapta.

După cum am văzut, dreapta este o figur ă primordială şi nu este nevoie să o definim. Vom nota cu AB unica dreaptă care trece prin punctele distincte A şi B.

O dreaptă d împarte planul P în două semiplane 'P şi ''P , a căror„frontier ă” comună este, v. fig. 1.4.

Fig. 1.4

Un semiplan poate fi considerat închis (dacă dreapta frontier ă esteinclusă în el) sau deschis (dacă dreapta frontier ă nu are puncte comune

cu el).Un punct fixat pe o dreaptă o împarte în două semidrepte, care pot fi închise sau deschise şi este „frontiera” comună a lor. În fig. 1.5, punctul A împarte dreapta d în semidreptele închise [ AB şi [ AC sau în semidrepteledeschise ( AB şi ( AC . (spunem că d este dreapta suport a semidreptelor [ AB, ( AB, [ AC, ( AC ).

Mai precis, punctul B A≠ defineşte semidreapta închisă [ A,B ca fiindmulţimea tuturor punctelor din d care sunt de aceeaşi parte a lui A ca B, împreună cu A (acceptăm intuitiv expresia „de aceeaşi parte”!).

Formal:

[ AB = {D|D P ∈ , D de aceeaşi parte a lui A ca B} { } A∪ .

Semidreapta deschisă ( AB se obţine din [ AB înlăturând punctul B:

( AB = [ AB \ { A}.

Să mai observăm că, dacă B şi 'B se află de aceeaşi parte a lui A, atunci[ [ ' AB AB= şi ( ( ' AB AB= . Explicaţii similare pentru semidreptele [ AC şi( AC . De asemenea, spunem că A se află între B şi C .





Fig. 1.5

În situaţia de mai sus, spunem că semidreptele [ AB şi [ AC (respectiv ( AB şi ( AC ) sunt opuse.

Unghiul este figura geometrică formată din două semidrepte închise careau aceeaşi origine. Cele două semidrepte se numesc laturile unghiului, iar

punctul lor comun se numeşte vârful unghiului. În fig. 1.6, [OA, [OB suntlaturile unghiului, O este vârful unghiului. Unghiul din fig. 1.6. este notat AOB sau AOB .

Fig. 1.6

Un unghi oarecare poate fi notat şi altfel. De exemplu putem vorbi de „„unghiul u“.

Cazurile extreme de unghiuri sunt unghiul alungit şi unghiul nul.

Un unghi alungit AOB (v. fig. 1.7a)) are proprietatea că punctele A, O, B sunt coliniare (adică se găsesc pe aceeaşi dreaptă. Un unghi nul (v. fig.1.7b)) are proprietatea că semidreptele [OA şi [OB coincid.

Fig. 1.7.Un unghi care nu este nici alungit, nici nul, se numeşte unghi propriu.

Două unghiuri sunt superpozabile dacă se pot suprapune, printr-o

deplasare convenabilă. În fig. 1.8, AOB şi' ' ' A O B sunt superpozabile.

Temă practică. Copiaţi pe hârtie transparentă unghiul' ' ' A O B , din fig. 1.8, obţinând astfel

unghiul'' '' '' A O B .

Suprapuneţi O'' pe O şi A'' pe A. Verificaţi că B'' se suprapune pe B.





Fig. 1.8.

Unghiurile se măsoar ă în grade (sexagesimale). Atenţiune! Măsura unui

unghi AOB se notează astfel:

m( AOB ) sau m( AOB )

şi este un număr care măsoar ă „deschiderea“ por ţiunii din plan dintre cele

două semidrepte, care formează unghiul. Pentru un unghi u oarecaremăsura lui se notează prin m(u).

În fig. 1.8. unghiul AOB are măsura de 60 grade, în scris: m( AOB ) = 60°.

Submultiplii unui grad:

- minutele: un grad are 60 minute, în scris: 1° = 60' ;

- secundele: un minut are 60 secunde, în scris: 1' = 60''.

Un unghi alungit are măsura egală cu 180°, iar unghiul nul are măsuraegală cu 0°.

Definiţie. Două unghiuri se numesc congruente dacă au aceeaşi măsur ă.Notaţie. Pentru a desemna faptul că două unghiuri AOB şi ' ' ' A O B (respectiv u şi u') sunt congruente, folosim notaţia

' ' ' AOB A O B≡ (respectiv u ≡ v ).

Aşadar: ' ' ' ( ) ( ' ' ') AOB A O B m AOB A O B≡ ⇔ ≡ etc.

Teoremă. Două unghiuri superpozabile sunt congruente.

Observaţie. Reciproca acestei afirmaţii este falsă. (v. textul de autoevaluare 2).

Remarcă privind unităţile de măsur ă pentru unghiuri Unghiurile mai pot fi măsurate şi în grade centesimale (un unghi drept are100 grade centesimale).

De asemenea, unghiurile pot fi măsurate în radiani (un unghi drept are3.14

2 2

π≈ radiani). Asupra radianilor vom reveni.

Definiţie. Două unghiuri se numesc adiacente dacă au o latur ă comună, iarcelelalte două laturi ale lor se găsesc în semiplane diferite faţă de dreaptasuport a semidreptei comune.

În fig. 1.9 unghiurile

AOB şi

AOC sunt adiacente.





Fig.1.9.

În fig.1.10, unghiurile AOB şi AOC au o latur ă comună şi, totuşi, nu suntadiacente. De ce?

Fig. 1.10

Două unghiuri adiacente AOB şi AOC se numesc unghiuri adiacente

suplementare dacă unghiul BOC este alungit, adică B, O, şi C suntpuncte coliniare (v. fig. 1.11).

Fig. 1.11

Evident, în acest caz ( ) ( ) 180m AOB m AOC + = ° .

Mai general, spunem că două unghiuri u şi v sunt suplementare dacă m(u) + m(v ) = 180°.

Rezultă imediat următoarea

Teoremă. Un unghi u este drept dacă şi numai dacă m(u) = 90°. (Prin urmare, toateunghiurile drepte sunt congruente).

Două unghiuri u şi v se numesc complementare dacă m(u) + m(v ) = 90°.

Un unghi u se numeşte ascuţit dacă m(u) < 90° şi obtuz dacă m(u) > 90°.

În fig. 1.12 unghiul AOB este ascuţit, iar unghiurile CPD şi EQF suntobtuze.

(Atenţie! Unghiul EQF este mai „curios”. Avem ( ) 270ºm EQF = .Unghiurile cu m

ăsura mai mare decât 180° sunt mai dificil de intuit).





Fig. 1.12

Două unghiuri se numesc opuse la vârf dacă au vârful comun, iar laturilelor formează perechi de semidrepte opuse. În fig. 1.13 avem unghiurile

opuse la vârf, AOB şi ' ' A OB . Anume, [OA şi [ 'OA sunt semidrepteopuse, ca şi [OB şi [ 'OB .

Fig. 1.13

Teoremă. Unghiurile opuse la vârf sunt congruente.

Examinând în mod suplimentar figura 1.13, să notăm AOB u= şi' ' ' A OB u= ; ' AOB v = şi ' ' A OB v = . Deoarece:

( ) ( ) şi ( ) ( )( ) ( ) 180

m u m u m v m v m u m v

′ ′= =+ =

rezultă că:

m( ( ) ( ) ( ' ') ( ' ) 360m AOB m BOA m A OB m B OA+ + + = °

(spunem că suma unghiurilor formate în jurul unui punct este egală cu360°).

Se mai vede că, dacă u este ascuţit (adică m(u) < 90°), rezultă că v esteobtuz (adică m(v ) > 90°).

În plus, în acest caz, avem numai două valori distincte pentru măsurileunghiurilor u, v , u', v' .

De asemenea, se vede că, dacă unul din unghiurile u, v , u', v' este drept,rezultă că toate sunt drepte. În acest caz, spunem că dreptele AOA' şiBOB' sunt perpendiculare.

(Remarcaţi modul cum am notat dreptele, cu câte trei litere, în acest caz).Vom reveni asupra noţiunii de perpendicularitate.

Acum, putem defini şi măsura unghiului a două drepte d şi δ , pe care ovom nota cu m(d , δ ).

Anume:Cazul 1. Dacă d = δ sau d δ , avem, prin definiţie m( ,d δ ) = 0°.





Cazul 2. Dreptele d şi δ sunt secante. În acest caz dreptele d şi δ seintersectează într-un punct unic O. Se formează unghiurile u, u', v , v'. Avem două situaţii:

Prima situaţ ie (v. fig. 1.14). Unul din unghiurile de mai sus este drept.Rezultă că toate unghiurile de mai sus sunt drepte.

Spunem, în acest caz, că dreptele d şi δ sunt perpendiculare.Prin definiţie, avem: m( ,d δ ) = 90°. Pentru a desemna faptul că dreptele d şi δ sunt perpendiculare, folosim următoarea notaţie: d ⊥ δ .

A doua situaţ ie (v. fig. 1.15). Unul din unghiuri, de exemplu u, este ascuţit. Atunci 'u u≡ , 'v v ≡ . Prin definiţie ( , ) ( )m d m uδ = (echivalent

( , ) ( ')m d m uδ = ).

Spunem că măsura unghiului dreptelor d şi δ este măsura unghiuluiascuţit format de d şi δ .

Fig. 1.14 Fig. 1.15

Acum să consider ăm două drepte distincte d şi δ , precum şi o a treiadreaptă s, care este secantă comună (adică s şi d sunt secante şi, la fel, s şi δ sunt secante). Se formează unghiurile notate cu cifre ca în fig. 1.16.

Fig. 1.16

Se formează următoarele perechi de unghiuri:

(i) ( ) ( )ˆ ˆˆ ˆ3,5 şi 4,6

(se spune că ( )ˆ ˆˆ ˆ3 şi 5 resp.4 şi 6 sunt unghiuri alterne interne);

(ii) ( ) ( )ˆ ˆ ˆˆ1,7 şi 2,8





(se spune că ( )ˆ ˆ ˆˆ1 şi 7 resp.2 şi 8 sunt unghiuri alterne externe);

(iii) ( ) ( ) ( ) ( )ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ6,2 , 5,1 , 8,4 şi 7,3

(se spune că ( )ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ6şi 2 resp.5 şi 1, resp.8 şi 4, resp.7 şi 3 sunt unghiuri

corespondente);(iv) ( ) ( )ˆ ˆˆ ˆ4,5 şi 3,6

(se spune că ( )ˆ ˆˆ ˆ4 şi 5 resp.3 şi 6 sunt unghiuri interne de aceeaşi parte a

secantei);

(v) ( ) ( )ˆ ˆ ˆ ˆ1,8 şi 2,7

(se spune că ( )ˆ ˆ ˆ ˆ1 şi 8 resp.2 şi 7 sunt unghiuri externe de aceeaşi parte a

secantei).Teoremă. În contextul de mai sus, următoarele afirmaţii sunt echivalente:

1) Dreptele d şi δ sunt paralele.

2) Două unghiuri alterne interne sunt congruente.

3) Două unghiuri alterne externe sunt congruente.

4) Două unghiuri corespondente sunt congruente.

5) Două unghiuri interne de aceeaşi parte a secantei sunt suplementare.

6) Două unghiuri externe de aceeaşi parte a secantei sunt suplementare.

Exemplu. a) Dacă, în fig.1.16, avem m(6) = m(2) rezultă d δ (adică d şi δ suntparalele)

b) Dacă, în fig.1.16, avem m(5) = 100° şi m(3) = 101°, atunci d şi δ nu suntparalele.

Un segment de dreaptă este format cu toate punctele unei drepte caresunt cuprinse între două puncte fixate ale acelei drepte, plus, eventual,punctele fixate (sau numai unul dintre ele).

Mai precis, vom considera o dreaptă d şi două puncte distincte A şi B alelui d. Acceptăm în mod intuitiv ce înseamnă că un punct M al lui d se află

între A şi B (v. fig. 1.17).(Atenţie! Consider ăm că M ≠ A şi M ≠ B)

Fig. 1.17

Putem defini:

–segmentul deschis ( AB), anume ( ) { | se află între şi } AB M d M A B= ∈ ;

– segmentul închis [ A,B], anume [ AB] = ( AB) ∪ { A,B};





– segmentul semiînchis (sau semideschis) [ AB), anume [ AB) = ( AB) ∪ ∪ { A};

– segmentul semiînchis (sau semideschis) ( AB], anume ( AB] = ( AB) ∪ ∪ {B}.

Dacă A şi B sunt puncte distincte, vom spune că dreapta AB este dreapta

suport a segmentului [ AB] (respectiv ( AB), [ AB), ( AB]).

Prin extensie, putem considera şi segmentul degenerat [ ] { },def

A A A= .

Segmentele de dreaptă se măsoar ă, ele având o lungime. Lungimea unuisegment I se poate nota prin l (I ). De exemplu, scriem l (( AB)) = l ([ AB]) =l ([ AB)) = l (( AB]) şi l ([ AA]) = 0.

De foarte multe ori, lungimea segmentelor de mai sus se notează simplu,astfel: AB. În cazul A = B, scriem AA = 0.

Ca şi la unghiuri, putem da următoarele două definiţii:

Definiţie. Două segmente care au aceeaşi lungime se numesc congruente.

Definiţie. Două segmente care se pot suprapune printr-o deplasare se numescsuperpozabile.

Două segmente superpozabile sunt congruente. Reciproca este falsă!

Temă practică. Construiţi două segmente congruente care nu sunt superpozabile.

Unitatea de măsur ă pentru lungime este metrul. De exemplu, dacă scriem l ([ AB]) = 5m, aceasta înseamnă că segmentul [ AB] are lungimeaegală cu 5metri.

Submultiplii metrului sunt: decimetrul (1m = 10dm, adică 1 metru = 10decimetri), centimetrul (1m = 100 cm, adică 1metru = 100 cm) şimilimetrul (1m = 1000 mm, adică 1 metru = 1000 milimetri). Multipliimetrului sunt: decametrul (1 dam = 10m, adică 1 decametru = 10 metri),hectometrul (1 hm = 100 m, adică 1 hectometru = 100 metri) şikilometrul (1 km = 1000 m, adică 1 kilometru = 1000 metri).

Să consider ăm acum în plan punctele distincte 0 1 2, , ,... ( 1)n A A A A n ≥ .

Să presupunem că în cazul 1n > , avem pentru orice i = 1,2,...,n – 1:

[ ] [ ]1 1, , { }i i i i i A A A A A− +∩ = (adică : două segmentele succesive au în comun

exact un punct).Linia poligonală (poligonul)

0 1... n A A A este mulţimea definită astfel:

0 1... n A A A = [ ] [ ] [ ]0 1 1 2 1...n n A A A A A A−∪ ∪ ∪ .

Segmentele [ ]1i i A A + , i = 0,1,..., n – 1 se numesc laturile liniei poligonale,

iar punctele , 0,1,2,...i A i n= se numesc vârfurile liniei poligonale.

O linie poligonală 0 1... n A A A ( 2n ≥ ) se numeşte închisă, dacă

0n A A= (extremitatea iniţială - 0 A coincide cu extremitatea finală n A ).





În fig. 1.18 a), linia poligonală 0 1 2 3 A A A A nu este închisă, iar linia poligonală

0 1 2 3B B B B (fig. 1.18 b)) este închisă.

Fig. 1.18

O linie poligonală închisă 0 1 2 0 A A A A , cu 0 A , 1 A , 2 A necoliniare se numeşte

triunghi, iar o linie poligonală închisă 0 1 2 3 0 A A A A A , cu 0 A , 1 A , 2 A , 3 A

necoliniare se numeşte patrulater .

Referitor la ultimele definiţii, vom face următoarea

Remarcă importantă privind notaţia în cazul liniilor poligonale închise.

O linie poligonală închisă 0 1 2 1 0...n

A A A A A− se notează astfel: 0 1 2 1...n

A A A A −

(se omite scrierea extremităţii finale, care coincide cu cea iniţială).

Aşadar, scrierea „normală” pentru un triunghi ABCA este (v. fig. 1.19 a)) ABC , iar pentru un patrulater ABCDA este (v. fig. 1.19 b)) ABCD.

Fig. 1. 19






1. Se consider ă că dreptele d şi δ din fig. 1.20 sunt paralele, iar unghiul 1,f ăcut de dreapta secantă s cu d are măsura egală cu 75º. Să se calculezemăsurile unghiurilor 2,3,...,8

Fig. 1.20

2. În fig. 1.21, unghiurile AOB şi ' ' ' A O B sunt congruente, având,ambele, măsura egală cu 60°. Totuşi, aceste unghiuri nu suntsuperpozabile! (Încercaţi construcţia f ăcută la tema practică referitoare la

fig. 1.8 şi veţi vedea că nu reuşiţi).Care semidrepte ale acestor unghiuri se pot suprapune printr-o deplasaresau prin construcţia de mai sus?

Fig. 1.21.

Răspunsurile la acest test se găsesc la pagina 128. a acestei unităţi de învăţare.






1.2.2. Triunghiul. Clasificarea triunghiurilor. Linii importante în triunghi.Congruenţă şi asemănare.

Să consider ăm un triunghi ABC (fig. 1.22). În loc de a vorbi despretriunghiul ABC , mai scriem şi ABC Δ .

Segmentele [ AB], [BC ], [CA] se numesc laturile triunghiului, iar unghiurile

ˆˆ ˆ, , A B C se numesc unghiurile triunghiului. Am notat:

ˆ A BAC = , B CBA= şi C ACB= (1)

Spunem că latura BC este opusă vârfului A, sau vârful A se opunelaturii BC etc.

Fig. 1.22

Vom nota (notaţiile acestea vor fi mereu folosite):l ([BC ]) = BC = a, l ([CA]) = CA = b, l ([ AB]) = AB = c.

De asemenea, de multe ori nu vom mai explicita unitatea de măsur ă pentru lungimea laturilor, pe care o vom subînţelege (eventual, în funcţiede context).De exemplu, vom scrie că în ABC Δ , avem AB = 3 (putem înţelege că AB = 3cm sau AB = 3m etc.).

Observaţie privind nota

ţia. Permutare circular

ă.

Referitor la notaţiile de la (1), vom considera schema A B C A→ → → . Această schemă spune că „succesorul ” lui A este B „ succesorul” lui Beste C şi „succesorul ” lui C este A (se revine din punctul de plecare). Pebaza acestei schemeˆ ˆ A B→ (succesorul lui ˆ A este B ) sau, echivalent BAC CBA→ (succesorul luiBAC este CBA folosind schema pentrufiecare liter ă: , şiB C A B C A→ → → ).Folosirea acestei scheme poate fi vizualizată în fig. 1.23 a) după cumurmează:

Fig. 1.23





Pe un cerc avem punctele A, B, C situate ca în fig. 1.23 a).

Mergând pe cerc în sens direct (invers acelor de ceas) trecem de la A spreB, de la B spre C şi de la C spre A. Spunem că am efectuat o permutarecircular ă asupra literelor A, B, C .

Reamintim că o permutare a unei mulţimi nevide H este o funcţie bijectivă

:f H H → . Aici am folosit permutarea { } { }: , , , ,f A B C A B C → dată astfel:f ( A) = B, f (B) =C , f (C ) = A pe care o numim permutare circular ă.

Alte exemple de folosire a permutării circulare din fig. 1.23 a):BC CA AB→ → (aici se opreşte, deoarece, în continuare, am avea AB BC → şi ne întoarcem de unde am plecat)

ACBC BACA CBAB→ →

Mai general, putem considera mulţimea ( )2n ≥ { }1 2, ,... nH A A A= şi bijecţia

(permutarea circular ă) :f H H → , dată astfel: ( ) 1i i f A A += , dacă

1,2,... 1i n= − , ( ) 1nf A A= .Vizualizarea lui f este dată în fig. 1.23 b).

De exemplu, dacă n = 4, vom avea trecerile:

3 1 4 2 1 3 2 4 A A A A A A A A→ → →

(aici se opreşte, deoarece, în continuare, am avea 2 4 3 1 A A A A→ etc.).

Subliniem că procedeul permutărilor circulare este foarte mult folosit îngeometrie şi, în matematică, în general.

În geometrie sunt fundamentale două teoremeTeoremă. Suma unghiurilor unui triunghi este egală cu 180º.

În limbajul figurii 1.22, aceasta se exprimă astfel:

( ) ( ) ( )ˆˆ ˆ 180°m A m B m C + + =

Teoremă. În orice triunghi, lungimea unei laturi este strict mai mică decât sumalungimilor celorlalte două laturi.

În limbajul figurii 1.22, aceasta înseamnă că (a se urmări permutărilecirculare):

BC AB CA< + CA BC AB< +

AB CA BC < + adică:

, ,a b c b c a c a b< + < + < + (2)

Din (2) rezultă următoarele consecinţe: , etc.c a b b a c > − > − (lungimeaunei laturi este strict mai mare decât diferenţa lungimilor celorlalte două laturi).

De asemenea, se arată că, dacă a b c ≤ ≤ , atunci, relaţiile (2) sunt

echivalente cu c a b< + („cea mai mare latur ă este mai mică decât sumacelorlalte două”).

Cu aceste fapte prezente în minte, vom prezenta:





A. Clasificarea triunghiurilor :

a) Din punct de vedere al unghiurilor:

Un triunghi ABC poate fi:

– ascuţitunghic (Dacă toate unghiurile sale sunt ascuţite: ( )ˆ 90°m A < ,

( )ˆ 90°m B < , ( )ˆ 90°m C < );

– obtuztunghic (Dacă un unghi este obtuz: ( )ˆ 90°m A > , sau ( )ˆ 90°m B > ,

sau ( )ˆ 90°m C > ). Subliniem că, dacă, de exemplu, ( )ˆ 90°m A > , atunci:

( )

( ) ( )

°ˆ90° 180

ˆˆ 90° 90°

m A

m B şi m C

< <

< <

În acest caz, spunem că ABC Δ este obtuzunghic în A ).

– dreptunghic (Dacă un unghi este drept: ( )ˆ 90m A = ° , sau ( )ˆ 90m B = ° ,

sau ( )ˆ 90m C = ° . Subliniem că, dacă, de exemplu, ( )ˆ 90m A = ° , atunci :

( )

( ) ( )

( ) ( )

ˆ 90

ˆˆ0 90 şi 0 90

ˆˆ 90

m A

m B m C

m B m C

= °

< < ° < < °

+ = °

În acest caz, spunem că ABC Δ este B ). În plus (v. fig. 1.24) latura BC(opusă unghiului drept ˆ A ) se numeşte ipotenuză; laturile AB şi AC senumesc catete.

Fig. 1.24Teorema de caracterizare

1. Triunghiul ABC este ascuţitunghic ⇔ avem simultan relaţiile:

2 2 2 2 2 2 2 2 2, ,a b c b c a c a b< + < + < +

(dacă a b c ≥ ≥ , relaţiile de mai sus sunt echivalente cu 2 2 2a b c < + ).

2. Triunghiul ABC este obtuzunghic în A 2 2 2a b c ⇔ > + .

3. (Teorema lui Pitagora). Triunghiul ABC este dreptunghic în A 2 2 2a b c ⇔ = +

Observaţie. Teorema lui Pitagora (al cărei enunţ uzual este „Într-un triunghidreptunghic pătratul ipotenuzei este egal cu suma pătratelor catetelor”





adică o implicaţie din 3. de mai sus) este una din teoremele fundamentaleale matematicii.

b) Din punct de vedere al laturilor

Un triunghi ABC poate fi

– isoscel (Dacă are două laturi de lungimi egale. De exemplu, dacă AB = AC , adică c = b). – echilateral (Dacă toate laturile au aceeaşi lungime, adică BC = CA = AB, adică a = b = c ).

– scalen (Dacă laturile au lungimi diferite două câte două).

Teorema de caracterizare a triunghiurilor isoscele şi echilaterale cu ajutorulunghiurilor1. Un triunghi ABC este isoscel dacă şi numai dacă are două unghiuri demăsuri egale, de exemplu:

( ) ( )ˆˆ AB AC m B m C = ⇔ = .

2. Un triunghi ABC este echilateral dacă şi numai dacă are toate unghiurilede măsuri egale (cu 60º):

( ) ( ) ( )ˆˆ ˆ 60BC CA AB m A m B m C = = ⇔ = = = ° .

În fig. 1.25 a), triunghiul ABC este isoscel.

Atenţie: egalitatea laturilor AB şi AC este echivalentă cu egalitatea

măsurilor unghiurilor „de la bază”, ˆˆ şiB C .

În fig. 1.25 b), triunghiul ABC este echilateral.

Fig. 1.25

Exemplu. Să calculăm unghiurile unui triunghi dreptunghic isoscel (adică un triunghicare este simultan dreptunghic şi isoscel).

Dacă triunghiul este ABC şi ( )ˆ 90m A = ° atunci nu putem avea

( ) ( )ˆ ˆm B m A= (ar rezulta că:

( ) ( ) ( )ˆ ˆ ˆ180 ( ( ) ) 180 90 90 0m C m A m B= ° − + = ° − ° + ° = ° )

şi nici ( ) ( )ˆ ˆm C m A= .

Trebuie să avem ( ) ( )ˆˆ

m B m C = . Cum ( ) ( )ˆˆ

90m B m C + = ° , rezultă că ( ) ( )ˆˆ 45m B m C = = ° . A se vedea fig. 1.26.





Fig. 1.26

B. Linii importante în triunghiSă consider ăm un triunghi fixat ABC .

Definiţie. Se numeşte mediană a triunghiului ABC un segment care uneşte un vârfal ABC Δ cu mijlocul laturii opuse.

De exemplu (v. fig. 1.27 a)), mediana care uneşte vârful A cu mijlocul A' allui BC se numeşte mediana din A.

Aşadar există trei mediane [ AA'], [BB'], [CC '] (v. fig. 1.27b)).

Teoremă. Cele trei mediane ale unui triunghi sunt concurente (adică trec prin acelaşipunct).

Punctul lor comun se numeşte centrul de greutate (sau baricentrul)triunghiului.

În fig. 1.27 b), baricentrul ABC Δ este G. Se poate ar ăta că:

2GA GB GC

GA GB GC = = =

′ ′ ′.

Fig. 1.27

Pentru a da definiţia următoare, avem nevoie de o noţiune preliminar ă. Să

consider ăm un unghi

AOB . Vom numi bisectoare a unghiului

AOB unica semidreaptă [OM care are proprietatea că unghiurile AOM şi BOM sunt adiacente şi congruente. Pe scurt (v. fig. 1.28), spunem că bisectoarea „împarte unghiul în două unghiuri congruente”.

Fig. 1.28

Revenind la triunghiul nostru ABC , vom da următoarea





Definiţie. Se numeşte bisectoare a triunghiului ABC o bisectoare a unuia dinunghiurile ABC Δ .

De exemplu (v. fig. 1.29 a)), bisectoarea unghiului ˆ A BAC = se numeştebisectoarea din A .

Aşadar, există trei bisectoare [ AA', [BB', [CC '. Am notat cu A' punctul deintersecţie al bisectoarei lui A cu latura [BC ] etc.

Teoremă. Cele trei bisectoare ale unui triunghi sunt concurente. Punctul lor comunse numeşte centrul cercului înscris în triunghi.

Fig. 1.29 În fig. 1.29 b), centrul cercului înscris în ABC Δ este I .

Denumirea de centru al cercului înscris în ABC Δ este explicată defig. 1.30. Anume, I este centrul unicului cerc care este plasat în interiorultriunghiului şi este tangent la laturile ABC Δ (adică are în comun cufiecare latur ă exact câte un punct).

Fig. 1.30

În continuare, avem nevoie de altă noţiune preliminar ă.

Definiţie. Se numeşte mediatoare a unui segment [ AB] unica dreaptă care areurmătoarele proprietăţi:a) Trece prin mijlocul C al lui [ AB] (punctul C este unicul punct de pedreapta suport a lui AB pentru care CA = CB)

b) Este perpendicular ă pe AB.

(a se vedea fig. 1.31, unde d este mediatoarea lui[ AB]).

Fig. 1.31





Revenind la ABC Δ vom da următoarea

Definiţie. Se numeşte mediatoare a triunghiului ABC o mediatoare a uneia dinlaturi.

De exemplu (v. fig. 1.32 a)), mediatoarea lui [BC ] se numeşte mediatoarealaturii [BC ]. Am notat mediatoarea cu d .

Aşadar, există trei mediatoare, A' A'', B'B'', C 'C '' (aici A' este mijlocul lui[BC ] şi A'' este un punct arbitrar pe mediatoarea laturii [BC ]) etc., v. fig.1.32 b)).

Teoremă. Cele trei mediatoare ale unui triunghi sunt concurente. Punctul lor comunse numeşte centrul cercului circumscris triunghiului.

Fig. 1.32

În fig. 1.32 b), centrul cercului circumscris este O. Denumirea de centru alcercului circumscris triunghiului ABC este explicată de fig. 1.33. Anume, O este centrul unicului cerc care trece prin punctele A, B, C.

Remarcă. Dacă ABC Δ este dreptunghic în A, atunci centrul cercului circumscris ABC Δ coincide cu mijlocul ipotenuzei [BC ].

Definiţie. Se numeşte înălţime a unui triunghi o dreaptă care trece printr-un vârf altriunghiului şi este perpendicular ă pe latura opusă.

De exemplu (v. fig. 1.33) înălţimea care trece prin A se numeşte înălţimeadin A a triunghiului ABC . Am notat-o cu AA' (aici, A' este intersecţia înălţimii din A cu latura opusă, BC ).

Fig. 1.33

Aşadar există trei înălţimi AA', BB', CC' (am notat cu A' un punct oarecarepe înălţimea din A etc.)

Teoremă. Cele trei înălţimi ale unui triunghi sunt concurente. Punctul lor comun senumeşte ortocentrul triunghiului.





Atenţie! Poziţia ortocentrului faţă de triunghi depinde esenţial de tipul triunghiului:ascuţitunghic, obtuzunghic sau dreptunghic.

În fig. 1.34 a), triunghiul ABC este ascuţitunghic şi ortocentrul H esteinterior lui ABC.

În fig. 1.34 b), triunghiul ABC este obtuzunghic şi ortocentrul H este

exterior lui ABC. (am prelungit punctat laturile AB şi BC ). În fig. 1.34 c), triunghiul ABC este dreptunghic (în A) şi ortocentrul Hcoincide cu A.

Din aceste motive, de multe ori, pentru ca demonstraţiile să fie complete,trebuie să consider ăm separat cazurile când triunghiul este ascuţitunghic,respectiv obtuzunghic, respectiv dreptunghic.

Fig. 1.34

Remarcă importantă.Dacă triunghiul ABC este isoscel (de exemplu AB = AC ) atunci centrul degreutate, centrul cercului circumscris şi ortocentrul se găsesc pe axa desimetrie a triunghiului ABC , care este mediatoarea „bazei” [BC ].

În particular, dacă ABC este echilateral, rezultă că cele patru puncte demai sus coincid.

C. Congruenţa triunghiurilor

Definiţie. Se spune că dacă triunghiul ABC şi A'B'C' sunt congruente (în ordinea ABC - A'B'C '), dacă avem următoarele 6 egalităţi:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ˆˆ ˆ ˆ, ,m A m A m B m B m C m C ′ ′ ′= = = .

BC = B'C', CA = C'A', AB = A'B'

În acest caz, scriem . ABC A B C ′ ′ ′Δ ≡ Δ

În situaţia de mai sus, spunem că vârfurile A şi A' (respectiv B şi 'B ,respectiv C şi 'C ) sunt omoloage. Similar, spunem că laturile [BC ] şi[ ' ]B C (respectiv [CA] şi [ ' ']C A , respectiv [ AB] şi [ ' '] A B ) sunt omoloage.

Observaţie. Ordinea (în definirea congruenţei) este esenţială. De multe ori, când se

enunţă congruenţa, se omite declararea ordinii. În acest caz, sesubînţelege că scrierea ABC A B C ′ ′ ′Δ ≡ Δ implică automat că ordinea de





congruenţă este ABC - A'B'C ' . În acest caz, o scriere neglijentă de tipul ABC B C A′ ′ ′Δ ≡ Δ este greşită.

În fig. 1.35 a) avem congruenţa ABC A B C ′ ′ ′Δ ≡ Δ , iar în fig. 1.35 b) avemcongruenţa ABC A B C ′′ ′′ ′′Δ ≡ Δ .

Fig. 1.35

Situaţia din fig. 1.35 ne conduce la conceptul de triunghiuri superpozabile.

Anume, triunghiurile ABC şi A'B'C' sunt superpozabile (în ordinea ABC - A'B'C '), dacă printr-o deplasare convenabilă, se pot suprapune.

Anume, în mod precis, putem suprapune A' peste A, B' peste B şi C' pesteC (sau, invers, A peste A', B peste B' şi C peste C' ).

Este evident că, dacă triunghiurile ABC şi A'B'C' sunt superpozabile,atunci ele sunt congruente. În fig. 1.35 a), triunghiurile ABC şi A'B'C' suntsuperpozabile.

Atenţie! Reciproca este falsă. În fig. 1.35 b), triunghiurile ABC şi A''B''C'' nu suntsuperpozabile, deşi sunt congruente. Se observă că cele două triunghiurisunt „orientate diferit” (conturul ABC şi conturul A''B''C'' sunt parcurse în „sensuri opuse” ).

Definiţia congruenţei implică verificarea a 6 egalităţi. De fapt, este suficientsă verificăm numai 3 egalităţi!

Vom da, în acest sens, cele 3 cazuri de congruenţă a triunghiurilor.

Fie două triunghiuri ABC şi A'B'C' .

Cazul 1 de congruenţă (cazul ULU)

Următoarele afirmaţii sunt echivalente:

1. ABC A B C ′ ′ ′Δ ≡ Δ

2. Avem, simultan, egalităţile:

( ) ( )ˆ ˆm B m B′= ;

( ) ( )ˆ ˆm C m C ′= ;

BC = B'C'

Acest caz de congruenţă este ilustrat în fig. 1.36 (cu triunghiurisuperpozabile sau nu).

Fig. 1.36





Cazul 2 de congruenţă (cazul LUL)


1. ABC A B C ′ ′ ′Δ ≡ Δ

2. Avem, simultan, egalităţile:

AB = A'B' AC = A'C'

( ) ( )ˆ ˆm A m A′=


Fig. 1.37

Cazul 3 de congruenţă (cazul LLL)


1. ABC A B C ′ ′ ′Δ ≡ Δ

2. Avem simultan , egalităţile

BC = B'C'

CA = C'A' AB = A'B'


Fig. 1.38Remarcă. Cele trei cazuri de congruenţă ne arată că pentru a demonstra congruenţa

a două triunghiuri este suficient să verificăm 3 egalităţi (nu 6 ca îndefiniţie).

D. Asemănarea triunghiurilor

Asemănarea generalizează congruenţa.

Definiţie. Se spune că două triunghiuri ABC şi A'B'C' sunt asemenea (în ordinea ABC - A'B'C ') dacă avem simultan:

( ) ( )ˆ ˆm A m A′= , ( ) ( )ˆ ˆm B m B′= , ( ) ( )ˆ ˆm C m C ′=





BC CA AB

B C C A A B= =

′ ′ ′ ′ ′ ′

În acest caz scriem ABC A B C ′ ′ ′Δ Δ∼

În situaţia de mai sus, spunem că vârfurile A şi ' A (respectiv B şi 'B ,respectiv C şi 'C ) sunt omoloage. Similar, spunem că laturile [BC ] şi

[ ' 'B C ] (respectiv [C A] şi [ ' 'C A ], respectiv [ AB] şi [ ' ' A B ]) sunt omoloage.Observaţii. 1. Din nou, subliniem importanţa ordinii în definirea asemănării. Dacă nu

este specificată ordinea, scrierea ABC A B C ′ ′ ′Δ Δ∼ implică automatordinea ABC - A'B'C '.

În fig. 1.39 a) avem asemănarea ABC A B C ′ ′ ′Δ Δ∼ , iar în fig. 1.39 b)avem asemănarea ABC Δ A B C ′′ ′′ ′′Δ∼ .

Remarcăm că triunghiurile asemenea ABC şi A'B'C' sunt „orientate la fel”pe când triunghiurile ABC şi A''B''C'' sunt „orientate diferit”.

Fig. 1.39

2. Examinând definiţia asemănării constatăm că ea implică verificarea a 5egalităţi:

( ) ( )ˆ ˆm A m A′= , ( ) ( )ˆ ˆm B m B′= , ( ) ( )ˆ ˆm C m C ′= ,BC CA

B C C A=

′ ′ ′ ′ şi

CA AB

C A A B=

′ ′ ′ ′

3. Şirul de egalităţiBC CA

B C C A=

′ ′ ′ ′

AB

A B=

′ ′ ne spune că triunghiurile ABC şi

A'B'C' au laturi propor ţionale.

În mod precis, numerele BC, CA, AB şi B'C', C'A', A'B' sunt propor ţionale.

Dacă notăm valoarea coeficientului de propor ţionalitate (care aici senumeşte raport de asemănare) prin t , adică :

BC CAB C C A

=′ ′ ′ ′

AB A B

=′ ′

= t,

rezultă următoarea

Teoremă. Triunghiurile ABC şi A'B'C' sunt congruente dacă şi numai dacă suntasemenea şi raportul de asemănare este egal cu 1.

Putem obţine triunghiuri asemenea pe baza următorului rezultat, numit

Teorema fundamentală a asemănării. Se consider ă un triunghi ABC şi o dreaptă dparalelă cu dreapta BC . Dreapta d intersectează pe AB în 'B şi pe AC în 'C .

Atunci ABC Δ A B C ′ ′ ′Δ∼ (implicit, în ordinea ABC - A'B'C' ).





În fig. 1.40 sunt prezentate toate posibilităţile de prezentare a situaţiei dinteorema fundamentală a asemănării (de obicei, se consider ă numai cazula)).

Fig. 1.40

În continuare, vom da cazurile de asemănare care sunt teoreme similarecazurilor de congruenţă. Ele ne dau posibilitatea să demonstr ămasemănarea verificând numai câte 2 egalităţi.

Fie două triunghiuri ABC şi A'B'C'. Cazul 1 de asemănare (cazul UU)

Următoarele două afirmaţii sunt echivalente:

1. ABC Δ A B C ′ ′ ′Δ∼

2. Avem simultan, egalităţile:

( ) ( )ˆ ˆm B m B′= ;

( ) ( )

ˆ ˆm C m C ′= .

Comentarii. 1. Deoarece suma unghiurilor unui triunghi este egală cu 180°, rezultă că cele două egalităţi de la 2. sunt echivalente cu egalităţile,

( ) ( )ˆ ˆm A m A′= , ( ) ( )ˆ ˆm B m B′= , ( ) ( )ˆ ˆm C m C ′= , adică:

Două triunghiuri cu unghiuri congruente sunt asemenea (estesuficient să verificăm numai egalitatea măsurilor de unghiuri din definiţiaasemănării). În particular, toate triunghiurile echilaterale suntasemenea.

2. Atenţie la elementele omoloage!

Dacă ( ) ( )ˆ ˆm B m B′= şi ( ) ( )ˆ ˆm C m C ′= rezultă că perechile omoloage sunt:

( ) ( ) ( ), , , , ,B B C C A A′ ′ ′ şi, luând laturile opuse ( B CA→ , de exemplu!)

( ) ( ) ( ), , , , ,CA C A AB A B BC B C ′ ′ ′ ′ ′ ′ .

Acest caz de asemănare este ilustrat în fig. 1.41 (cu triunghiuri „orientate”la fel sau nu).

Fig. 1.41





Cazul 2 de asemănare (cazul LUL)


1. ABC Δ A B C ′ ′ ′Δ∼


( ) ( )ˆ ˆm A m A′= ;

AB AC

A B A C =

′ ′ ′ ′.

Spunem că două triunghiuri care au unghiuri congruente cuprinse între laturi propor ţionale sunt asemenea.

Acest caz de asemănare este ilustrat în fig. 1.42 (cu triunghiuri orientate lafel sau nu).

Fig. 1.42

Comentariu. În acest caz, perechile omoloage se obţin astfel: ( AB, A'B' ), ( AC, A'C' ) prinurmare, rezultă şi perechea (BC, B'C' ). Apoi avem perechea ( A, A' ).

Luând „unghiurile opuse”:

perechea ( AB, A'B' ) dă perechea (C, 'C );

perechea ( AC, A'C' ) dă perechea (B, 'B ).Cazul 3 de asemănare (cazul LLL)


1. ABC Δ A B C ′ ′ ′Δ∼


BC CA AB

B C C A A B= =

′ ′ ′ ′ ′ ′

Spunem că două triunghiuri cu laturi propor ţionale sunt asemenea.

Acest caz de asemănare este ilustrat în fig. 1.43 (cu triunghiuri orientate lafel sau nu).

Fig. 1.43Comentarii. 1. În acest caz, verificarea condiţiilor înseamnă, de asemenea, verificarea

a două egalităţi:





BC CA

B C C A=

′ ′ ′ ′ şi

CA AB

C A A B=

′ ′ ′ ′

2. Perechile omoloage în acest caz sunt următoarele: (BC, ' 'B C ),

( ) ( ), , ,CA C A AB A B′ ′ ′ ′ şi luând unghiurile opuse ( A, A' ), ( ) ( ), , ,B B C C ′ ′ .

Făr ă a intra în detalii, vom prezenta pe scurt câteva rezultate privindasemănarea triunghiurilor particulare:

Pentru triunghiuri dreptunghice

Fie ABC Δ , A B C ′ ′ ′Δ , astfel încât ( ) ( )ˆ ˆ 90m A m A′= = ° .

1. ABC Δ A B C ′ ′ ′Δ∼ ( ) ( ) ( ) ( )ˆ ˆˆ ˆm B m B m C m C ′ ′⇔ = ⇔ = .

2. ABC Δ A B C ′ ′ ′Δ∼ AB AC

A B A C ⇔ =

′ ′ ′ ′

Pentru triunghiuri isosceleFie ABC Δ , A B C ′ ′ ′Δ , astfel încât AB = AC şi A'B' = A'C'. Atunci

ABC Δ A B C ′ ′ ′Δ∼ ( ) ( ) ( ) ( )ˆ ˆˆ ˆm B m B m C m C ′ ′⇔ = ⇔ = ( ) ( )ˆ ˆm A m A′⇔ = .

E. Aria triunghiului

Fiind dat un triunghi ABC , se consider ă suprafaţa triunghiular ă ABC careeste por ţiunea din plan mărginită de laturile AB, BC şi CA (în fig. 1.44,această suprafaţă este haşurată).

Fig. 1.44

Se pune problema măsur ării ariei acestei suprafeţe. Vom folosi expresiaprescurtată obişnuită şi, în loc să spunem aria suprafeţei triunghiulare ABC , vom spune aria triunghiului ABC .

Considerente teoretice arată că această arie se poate calcula întotdeauna.

Cum o măsur ăm?Regula dimensionalităţii în plan. Dacă lungimile laturilor unui triunghi ABC se măsoar ă

cu unitatea de lungime notată u, atunci aria triunghiului se măsoar ă în u2.

Anume, u2 este aria unui pătrat a cărui latur ă are lungimea u.

Regula r ămâne valabilă şi pentru suprafeţe poligonale.

În fig. 1.45 a) avem centimetrul (1cm) ca lungime şi apoi apare centimetrulpătrat (1 cm2) ca arie, în fig. 1.45 b)

Fig. 1.45





Se consider ă acum un triunghi ABC , cu laturile BC = a, CA = b, AB = c . Înălţimea din A taie pe BC în A', înălţimea din B taie pe CA în 'B , iar înălţimea din C taie pe AB în 'C .

Notăm (v. Fig. 1.46, a), b), c)) 'a

AA h= ; 'b

BB h= ; 'c

CC h= :

Fig. 1.46

Teoremă (formula fundamentală a ariei triunghiului). Cu notaţiile de mai sus, ariatriunghiului ABC , notată S(ABC), este dată de formulele:

( )2 2 2

a b c a h b h c hS ABC

⋅ ⋅ ⋅= = =

(aria triunghiului = jumătatea produsului dintre lungimea bazei şi lungimea înălţimii).

Situaţia de la fig. 1.45 a) este „normală”. Cititorul va observa că, în situaţiade la fig. 1.45 b), avem

( ) 2 2

bb h AC BBS ABC

′ ⋅⋅= = (calcul „normal”)

şi de asemenea

( )2 2

c c h AB CC S ABC

′ ⋅⋅= = (am prelungit [ AB] pentru a obţine punctul C '

care dă 'c CC h= etc.).

În cazul când ABC Δ este dreptunghic în A (v. Fig. 1.45 c)) avem 'B A=

şi 'C A= , decib c h BB BA c şi h CC CA b′ ′= = = = = = şi deci:

( )2 2

aahbc S ABC = = .

Exemplu. Să consider ăm „triunghiul egiptean” din fig. 1.47, cu laturile de lungimi3cm AB = , AB = 3 cm, AC = 4 cm, BC = 5 cm.

Fig. 1.47 Acest triunghi este dreptunghic, deoarece se verifică relaţia (teorema luiPitagora):





2 2 2BC AB AC = + , adică 2 2 25 3 4= + (evident).

Rezultă că avem ( ) 2 2 23 4cm cm 6cm

2 2

AB AC S ABC

⋅ ⋅= = = .

Putem calcula atunci şi lungimeaa

h AA′= .

Anume, avem ( )2

aa hS ABC ⋅= , adică 562

ah⋅= , deci 12 5a

h= .

Rezultă 12

cm=2,4cm5a AA h′ = = .

Temă practică. Verificaţi rezultatul pe un desen precis.

Alte formule pentru calculul ariei unui triunghi

1. Avem formulele (v. şi unitatea de învăţare 4)

( )sin sin sin

2 2 2

bc A ca B ab C

S ABC = = =

(observaţi folosirea permutărilor circulare atât pentru tripleta (a, b, c ), cât şipentru tripleta ( A, B, C )).

2. Notăm (notaţie clasică)2

a b c p

+ += . Atunci,

, ,2 2 2

b c a c a b a b c p a p b p c

+ − + − + −− = − = − = .

Avem următoarea formulă, numită

Formula lui Heron. Avem:

( ) ( )( )( )S ABC p p a p b p c = − − − .

Observaţie. Dacă pentru triunghiurile ABC şi ' ' ' A B C coeficientul de asemănare este

t , adică ' '

BC t

B C = , rezultă:

2( )

( ' ' ')

S ABC t

S A B C = .






1. Se consider ă că în ABC Δ avem AB = 3, AC = 4.

a) Ce valori poate avea BC ?

b) Pentru ce valori ale lui BC , triunghiul ABC este dreptunghic sauisoscel?

2. Se consider ă un unghi AOB şi [ AM bisectoarea sa. Să se arate că orice punct P al lui [ AM are următoarea proprietate:

dacă perpendiculara dusă din P pe OA intersectează pe OA în U , iarperpendiculara dusă din P pe OB intersectează pe OB în V , atunci PU

= PV.

(Spunem că distanţa PU a lui P la OA este egală cu distanţa PV a lui P laOB). A se vedea fig. 1.48.

Fig. 1.48.


Răspunsurilela test se vorda în spaţiulliber dinchenar, încontinuarea

enunţurilor.





1.2.3. Patrulaterul. Tipurile principale de patrulatere. Proprietăţifundamentale

A. Am definit patrulaterul ca fiind o linie poligonală închisă ABCD, unde A,B, C, D sunt puncte necoliniare trei câte trei (adică, oricare trei dintrepunctele A, B, C, D sunt necoliniare). În fig. 1.49 avem trei patrulatere. Cel

de la fig. 1.49 a) este un patrulater „obişnuit”, în sensul că ne-am obişnuitsă gândim patrulaterele în acest mod, spre deosebire de patrulaterele dela fig. 1.49 b) şi fig. 1.49 c).

Fig. 1.49

Patrulaterul de la fig. 1.49 b) nu este „obişnuit” deoarece nu este convex.Făr ă a insista asupra definiţiilor riguroase, vom spune că un patrulatereste convex dacă are următoarea proprietate: dreapta suport a oricăreilaturi L are proprietatea că celelalte trei laturi se găsesc în acelaşisemiplan generat de L. În fig. 1.49 a) se vede că ABCD are această proprietate. În fig. 1.49 b) se vede că laturile [ AB] şi [CD] au proprietateade mai sus, dar laturile [BC ] şi [CD] nu au această proprietate. Deexemplu, dreapta suport a lui [BC ] generează două semiplane cuproprietatea că [ AB] se găseşte în unul din ele, iar [CD] în celălalt (iar [ AD]traversează dreapta BC , plasându-se par ţial şi într-un semiplan şi încelălalt).

Patrulaterul ABCD de la 1.49 c) este şi mai „anormal”. Anume, nu numaică el nu este convex (observaţi semiplanele generate de dreptele suportale lui [ AB] şi [CD]), dar el mai are şi „defectul ” că segmentele [ AB] şi [CD]se intersectează într-un punct care este interior pentru amândouă. Având în vedere situaţia de la fig. 1.49 c), vom face următoarea

Convenţie. De acum înainte, prin termenul de patrulater vom desemna un patrulaternormal, adică un patrulater care are proprietatea că intersecţia oricărordouă laturi ale sale este sau vidă, sau formată dintr-un punct sau careeste extremitate comună pentru acele laturi.

Observaţie. Putem da definiţia convexităţii pentru patrulatere şi în alt mod.

Mai întâi, observăm că, dacă respectăm convenţia cu privire lanormalitate, de mai sus, rezultă că orice patrulater are un interior şidefineşte suprafaţa patrulater ă asociată, formată din interiorul său, împreună cu laturile. În fig. 1.50 am haşurat interioarele patrulaterului ABCD (care este convex) şi XYZT (care nu este convex).





Fig. 1.50

O mulţime H inclusă în planul P se numeşte convexă dacă areurmătoarea proprietate: pentru orice două puncte E, F din H , segmentul[EF ] este inclus în H. Se arată că un patrulater este convex dacă şinumai dacă interiorul său este mulţime convexă.

În fig. 1.50 se vede că orice segment [UV ] cu U, V în interiorul lui ABCD este inclus în interiorul lui ABCD, care este mulţime convexă. Pe de altă

parte, segmentul [U'V' ] nu este inclus în interiorul lui MNPQ, deşi U ' şi V 'se află în acest interior, care nu este mulţime convexă.

Reţineţi! Patrulaterele uzuale: paralelogramul (în particular: dreptunghiul, rombul şipătratul) şi trapezul sunt patrulatere convexe.

Denumiri. Fie ABCD un patrulater. Două laturi care au o extremitatecomună (de exemplu: [ AB] şi [BC ]) se numesc alăturate. Două laturi carenu sunt alăturate se numesc opuse (aşadar, avem două perechi de laturiopuse: [ AB], [CD] şi [ AD], [BC ]). La fel, vârfurile de pe aceeaşi latur ă senumesc alăturate, iar două vârfuri care nu sunt alăturate se numescopuse (aşadar, avem două perechi de vârfuri opuse: A, C şi B, D).

Segmentele [ AC ] şi [BD] (care au ca extremităţi vârfuri opuse) se numescdiagonalele patrulaterului. Se poate ar ăta următoarea

Teoremă. Un patrulater este convex dacă şi numai dacă dreptele suport alediagonalelor sale se intersectează într-un punct care este interior ambelordiagonale.

Ilustr ăm această teoremă cu fig. 1.51., unde dreptele suport alediagonalelor lui ABCD (patrulater convex) se întâlnesc în punctul O,interior lui [ AC ] şi lui [BD], iar dreptele suport ale diagonalelor lui A'B'C'D' (care nu este convex) se întâlnesc în O' , care nu este interior diagonalei[ A'C' ].

Fig. 1.51

B. Vom trece, în continuare, în revistă, principalele patrulatere particulare.





Definiţie. Un patrulater ABCD se numeşte paralelogram dacă are următoareaproprietate (v. fig. 1.52): şi AB CD AD BC (se spune că „laturile opusesunt paralele”).

Fig. 1.52

Avem caracterizări echivalente ale paralelogramului, după cum arată următoarea

Teoremă. Fie ABCD un patrulater. Următoarele afirmaţii sunt echivalente:1. ABCD este paralelogram.

2. ( ) ( ) ( ) ( )ˆˆ ˆ ˆşim A m C m B m D= = (unghiurile opuse sunt congruente, v.

fig.1.53 a)).

3. şi AB CD AD BC = = (laturile opuse sunt congruente, v. fig. 1.53 b)).4. şi AB CD AB CD= (v. fig. 1.53 b)).4'. şi AD BC AD BC = (v. fig. 1.53 b)) (dacă una din proprietăţileechivalente 4. sau 4'. se verifică, spunem că „laturile opuse suntcongruente şi paralele”).5. Avem [ ] [ ] { } AC BD O∩ = (dreptele AC şi BD sunt concurente) şi (v. fig.

1.53 c)) AO = OC şi BO = OD (spunem că „diagonalele se intersectează lamijloc” sau că „diagonalele se înjumătăţesc”).

Fig. 1.53

Comentariu. Proprietatea de la 3. se mai citeşte şi astfel: „paralelele cuprinse întreparalele sunt congruente”. De exemplu: segmentele paralele [ AB] şi [CD],cuprinse între paralelele AD şi BC , sunt congruente.

Paralelogramele particulare uzuale sunt dreptunghiul, rombul şipătratul.

Definiţie. Un patrulater ABCD se numeşte dreptunghi dacă are toate unghiuriledrepte, adică

( ) ( ) ( ) ( )ˆˆ ˆ ˆ 90m A m B m C m D= = = = (v. fig. 1.54).

Fig. 1.54





Teoremă. Fie ABCD un patrulater. Următoarele afirmaţii sunt echivalente:1. ABCD este dreptunghi.

2. ABCD este paralelogram şi are un unghi drept (adică ( )ˆ 90m A = sau

( )ˆ 90m B = sau ( )ˆ 90m C = sau ( )ˆ 90m D = ).

3. ABCD este paralelogram şi are două unghiuri alăturate congruente

( adică ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆsau saum A m B m B m C m C m D= = = )

4. ABCD este paralelogram şi are toate unghiurile congruente (adică

( ) ( ) ( ) ( )ˆˆ ˆ ˆm A m B m C m D= = = ).

5. ABCD este paralelogram şi AC = BD (are diagonalele congruente),v. fig. 1.55 .

Fig. 1.55

Definiţie. Un patrulater ABCD se numeşte romb dacă are toate laturile congruente(adică AB = BC = CD = DA). A se vedea fig. 1.56.

Teoremă. Fie ABCD un patrulater. Următoarele afirmaţii sunt echivalente:1. ABCD este romb.

2. ABCD este paralelogram şi AB= AD.

2'. ABCD este paralelogram şi BA = BC .

2''. ABCD este paralelogram şi CB = CD.

2'''. ABCD este paralelogram şi DC = DA.

(dacă una din proprietăţile echivalente 2, 2', 2'' sau 2''' se verifică, spunemcă ABCD este un paralelogram cu două laturi alăturate congruente, v. fig.1.56).

3. ABCD este paralelogram şi AC BD⊥ (spunem că „ABCD este

paralelogram cu diagonalele perpendiculare”, v. fig. 1.57).

Fig. 1.56 Fig. 1.57

Definiţie. Un patrulater ABCD se numeşte pătrat, dacă este dreptunghi şi are toatelaturile congruente(adică AB = BC = CD = DA) (a se vedea fig. 1.58).





Teoremă. Fie ABCD un patrulater. Următoarele afirmaţii sunt echivalente:1. ABCD este pătrat.

2. ABCD este în acelaşi timp dreptunghi şi romb.

3. ABCD este dreptunghi cu două laturi alăturate congruente (adică AB =BC sau BC = CD sau CD = DA).

4. ABCD este romb şi are un unghi drept (adică ( )ˆ 90m A = ° sau

( )ˆ 90m B = ° sau ( )ˆ 90m C = °sau ( )ˆ 90m D = ° ).

Fig. 1.58

Definiţie. Un patrulater ABCD se numeşte trapez dacă are două laturi opuseparalele (ele se numesc bazele trapezului), iar celelalte două laturi opusenu sunt paralele (ele se numesc laturile neparalele).

(În mod precis:

– sau şi AB CD AD BC , v. fig. 1.59 a),

– sau şi AD BC AB CD , v. fig. 1.59 b),

unde notaţia MN PQ desemnează faptul că dreptele MN şi PQ nu sunt

paralele).

Fig. 1.59

Trapeze particulare

Trapezul ABCD se numeşte isoscel (v. fig. 1.59 a)) dacă laturileneparalele AD şi BC sunt congruente: AD = BC .

Se arată că ABCD este isoscel dacă şi numai dacă are diagonalelecongruente: AC = BD sau dacă şi numai dacă are cele două unghiuri de la

baze congruente (adică ( ) ( )ˆˆm D m C = , sau, echivalent ( ) ( )ˆˆm A m C = ).

Trapezul ABCD se numeşte dreptunghic (v. fig. 1.60) dacă are un unghide la bază drept (adică dacă:

( ) ( )ˆ ˆ90m D m A= ° = sau ( ) ( )ˆ ˆ90m C m B= ° = ).





Fig. 1.60

C. Alte proprietăţi ale patrulaterelor: suma unghiurilor unui patrulater,patrulater inscriptibil, patrulater circumscriptibil.

Teoremă. Suma măsurilor unghiurilor unui patrulater ABCD este egală cu 360°

(adică ( ) ( ) ( ) ( )ˆˆ ˆ ˆ 360m A m B m C m D+ + + = ° ).

Rezultatul de mai sus este vizualizat în fig. 1.61 (pentru patrulatereconvexe)

şi în fig. 1.62 (pentru patrulatere care nu sunt convexe).

Fig. 1.61

În fig. 1.61 a) avem patrulaterul convex ABCD şi unghiurile sale. Putemtriangula pe ABCD (adică putem împăr ţi pe ABCD în două triunghiuri cuinterioare disjuncte) în două moduri (v. fig. 1.61 b) şi fig. 1.61 c)).

În ambele cazuri, adunând sumele măsurilor celor două triunghiuricomponente obţinem 180 ° + 180° = 360° .

Fig. 1.62 În fig. 1.62 a) avem patrulaterul ABCD care nu este convex şi unghiurilesale.

Atenţie, unghiul C este obtuz şi avem ( )ˆ180 360m C ° < < ° . În fig. 1.62 b)

este figurată unica triangulaţie posibilă (anume, cu diagonala AC ). Adunând sumele măsurilor triunghiurilor ABC şi ADC obţinem din nou, casumă a măsurilor unghiurilor lui ABCD valoarea 360°. Se vede că





triangulaţia cu ajutorul lui BD nu este corectă, deoarece, cu ajutorul ei „nu împăr ţim” patrulaterul ABCD, ci „ieşim” în afara lui (v. fig. 1.60 c).

Definiţie. Un patrulater ABCD se numeşte inscriptibil dacă are proprietatea că există un cerc Γ cu proprietatea că , , , A B C D∈ Γ ∈ Γ ∈ Γ ∈ Γ (adică arevârfurile situate pe un cerc). A se vedea fig. 1.63.

În situaţia de mai sus, se mai spune că punctele A, B, C, D suntconciclice.

Fig. 1.63

Se poate ar ăta că un patrulater inscriptibil este convex.

Teoremă. Fie ABCD un patrulater convex (fig. 1.64). Următoarele afirmaţii suntechivalente:1. ABCD este inscriptibil.

2. ( ) ( )ˆˆ 180m A m C + = ° (v. fig. 1.64 a)).

2'. ( ) ( )ˆ ˆ 180m B m D+ = ° .

(Dacă una din proprietăţile echivalente 2 sau 2' se verifică, spunem că unghiurile opuse sunt suplementare).

3. ( ) ( )m CAB m DAC = (v. fig. 1.64 b)).

3'. ( ) ( )m ABC m DBC = .

3''. ( ) ( )m BCD m ACD= .

3'''. ( ) ( )m BAD m CAD= .

(Dacă una din proprietăţile echivalente 3, 3', 3'', 3''' se verifică, spunem că o „latur ă este privită din cele două vârfuri nesituate pe ea sub unghiuricongruente”).

4. Avem prima relaţie a lui Ptolemeu:

AB CD BC AD AC BD⋅ + ⋅ = ⋅ (v. fig. 1.64 c)).

5. Avem a doua relaţie a lui Ptolemeu:

AC AB AD CB CDBD BA BC DA DC

⋅ + ⋅= ⋅ + ⋅ (v. fig. 1.64 c)).





Fig. 1.64

Exemple de patrulatere inscriptibile: dreptunghiul (în particular, pătratul)şi trapezul isoscel.

Pentru a continua, reamintim că o dreaptă d se spune că este tangentă laun cerc Γ dacă există un punct Τ astfel încât { }d T ∩ Γ = (cu alte cuvinte,

dreapta d intersectează cercul Γ într-un singur punct). Se spune că Τ este punctul de tangenţă al lui d cu Γ. A se vedea fig. 1.65.

Fig. 1.65Definiţie. Un patrulater ABCD se numeşte circumscriptibil dacă există un cerc Γ cu

proprietatea că dreptele AB, BC, CD, DA sunt tangente lui Γ (se mai spunecă ABCD este circumscris lui Γ).

A se vedea fig. 1.66, unde U este punctul de tangenţă al lui AB cu Γ, Vpunctul de tangenţă al lui BC cu Γ, X punctul de tangenţă al lui CD cu Γ şiY punctul de tangenţă al lui DA cu Γ.

Fig. 1.66

Se poate ar ăta că un patrulater circumscriptibil este convex.

Teoremă. Fie ABCD un patrulater convex. Următoarele afirmaţii sunt echivalente:1. ABCD este circumscriptibil.

2. Bisectoarele unghiurilor lui ABCD sunt concurente.

3. Avem relaţia lui Pithot:





AB CD AD BC + = + .

Rombul (în particular, pătratul) este circumscriptibil.

D. Aria unei suprafeţe patrulatere

Vom considera un patrulater convex ABCD cu laturile de lungimi, , , AB a BC b CD c DA d = = = = şi diagonalele de lungimi , AC e BD f = =

care se întâlnesc în punctul O . Notăm ( )m AOB = ϕ şi2

a b c d p

+ + +=

(v. fig. 1.67).

Fig. 1.67

Vom nota aria suprafeţei patrulatere ABCD prin S( ABCD).

Formule generale

1. Formula lui Arhimede

( ) ( )( )( ) ( ) 2cos2

B DS ABCD p a p b p c p d abcd

+= − − − − − .

(pentru notaţia 2cos 2B D+ , cititorul care a uitat trigonometria din liceu este

îndrumat către manualele de liceu sau către Unitatea de învăţare 4dedicată trigonometriei).

Putem înlocui pe2

B D+ cu

2

A C + în formulă.

2. Formula diagonalelor

( )sin

2

ef S ABCD

ϕ= .

Putem citi această formulă astfel:

( )sin

2

ef uS ABCD = ,

unde u este unghiul format de diagonalele AC şi BD.

Din aceste formule se deduc câteva

Cazuri particulare:

Dacă ABCD este inscriptibil, avem:

( ) ( ) ( )( )( )S ABCD p a p b p c p d = − − − − .





Dacă ABCD este circumscriptibil, avem ( ) 2sin2

B DS ABCD abcd

+=

(putem înlocui2

B D+ cu

2

A C + în formulă).

Dacă ABCD este simultan inscriptibil

şi circumscriptibil, avem:

( )S ABCD abcd = .

Ariile suprafeţelor patrulatere uzuale

Formulele anterioare se aplică pentru orice suprafaţă patrulater ă convexă.

Pentru suprafeţele patrulatere uzuale, avem formule speciale, care suntbinecunoscute. În cele ce urmează, vom folosi expresii prescurtate de tipul„aria paralelogramului” în loc de aria suprafeţei patrulatere generate de unparalelogram.

a) Aria paralelogramului

Fig. 1.68

Să consider ăm (fig. 1.68) un paralelogram cu şi AD BC L AB CD l = = = = .

Numim pe BC baza paralelogramului ABCD.

Perpendiculara din A pe BC întâlneşte pe BC în A'.Notăm A A' = h şi numim pe AA' înălţimea paralelogramului ABCD.

Avem formula:

S( ABCD) = Lh (aria = baza · înălţimea)

Remarca 1. Dacă ducem din C perpendiculara pe AB, care întâlneşte pe AB în C ' şinotăm ' 'CC h= avem şi formula:

( ) 'S ABCD lh=

(deci putem lua drept bază pe AB şi pe 'CC drept înălţime).

Remarca 2. Câteodată, „piciorul înălţimii” A' poate să cadă în exteriorul lui BC (v. fig.1.69), dar formula se menţine.

Fig. 1.69Formule alternative

Cu notaţiile anterioare, avem şi formulele:

( ) sin sinS ABCD Ll B Ll A= = .





b) Aria dreptunghiului (caz particular al precedentei)

Se consider ă (fig. 1.70) un dreptunghi ABCD cu AD = BC = L (L =„lungimea”) şi AB = CD = l (l = „lăţimea”).

Atunci:

S( ABCD) = Ll (aria = lungimea · lăţimea)

Fig. 1.70

Dacă ABCD este pătrat de lungime a laturii AB = L, atunci:

( ) 2.S ABCD L=

c) Aria rombului

Consider ăm un romb ABCD (fig. 1.71) cu diagonalele AC = D şi BD = d şilaturile AB = BC = CD = DA = l.

Formulele anterioare de la paralelogram se menţin.

Fig. 1.71 În plus, avem aici şi formulele

( ) 2 2sin sinS ABCD l A l B= = ; ( )2

Dd S ABCD =

d) Aria trapezului

Consider ăm un trapez ABCD cu AB CD (fig. 1.72). Notăm AB = l (l =„baza mică”) şi CD = L (L = „baza mare”).

Perpendiculara din A pe CD întâlneşte pe CD în A' şi notăm AA' = h (h =„înălţime”).

Fig. 1.72

Avem formula:( )

( )2

L l hS ABCD

+= .





Atenţie. Şi în acest caz, este posibil ca A' să „cadă în afara lui [BC ]”, sau „bazamică” [ AB] să fie de fapt „mare”, cum arată fig. 1.73. Formula r ămânevalabilă.

Fig. 1.73


1. Se consider ă un patrulater ABCD cu proprietatea că există un punct O cu proprietatea următoare: [ ] [ ] { } AC BD O∩ = , OA = OC şi OB = OD.

(adică diagonalele lui ABCD se intersectează în mijloc). Să se arate că ABCD este paralelogram

2. Se consider ă un patrulater oarecare (nu neapărat convex). Să se aratecă aria S( ABCD) a suprafeţei patrulatere ABCD se poate calcula astfel:

( )sin

2

AC BDS ABCD

⋅ ⋅ ϕ= ,

unde ϕ = măsura unghiului format de dreptele AC şi BD. (Cu altecuvinte, formula diagonalelor este valabilă pentru un patrulater oarecare)..

Răspunsurile la acest test se găsesc la pagina 129 a acestei unităţi de

învăţare.

Răspunsurilela test se vorda în spa

ţiul

liber dinchenar, încontinuareaenunţurilor.





1.2.4. Cercul

A. Definiţie. Fie O un punct în planul P şi R > 0 un număr real dat. Mulţimeapunctelor A P ∈ cu proprietatea că AO = R se numeşte cerc de centru O şi rază R şi se notează prin C (O,R ).

Aşadar (v. fig. 1.74)

( ) { }, |C O R A P AO R = ∈ =

Fig. 1.74

Punctul O se numeşte centrul cercului, iar numărul R se numeşte razacercului.

Putem spune alternativ:

– Cercul este mulţimea punctelor din plan care se află la o distanţă constantă faţă de un punct fixat.

sau

– Cercul este locul geometric al punctelor din plan care se află la distanţă constantă faţă de un punct fixat.

Alte denumiri (v. fig. 1.75 unde avem un cerc C (O,R )).

Fig. 1.75Dacă A şi B sunt două puncte pe cerc, segmentul [ AB] se numeştecoardă a cercului. În particular, dacă M şi N sunt puncte diametral opuse (adică M şi N sunt pe cerc şi, în plus, M, O, N sunt coliniare), coarda MN se numeşte diametru al cercului. Evident, MN = 2R (orice diametru arelungimea egală cu 2R ) şi pentru orice coardă AB avem 0 2 AB R < ≤ .

Facem referire tot la fig. 1.75. Consider ăm perpendiculara dusă din centrulcercului O pe coarda AB. Ele se intersectează în punctul P care este exactmijlocul lui AB („perpendiculara dusă din centru pe coardă o împarte înpăr ţi egale”).

Notăm OP = h şi AB = 2l (deci 0 şi 0h R l R ≤ ≤ ≤ ≤ ). Din triunghiuldreptunghic AOP avem:





2 2h R l = − şi 2 2l R h= − .

Rezultă că h şi l cresc în sens invers: când h (respectiv l ) creşte, rezultă că l (respectiv h) scade.

Coarda cea mai mare (adică diametrul) este la depărtarea cea mai mică (respectiv 0) de centru.

Dacă notăm ( )m AOB = α , atunci, tot din fig. 1.75 rezultă:

cos , sin2 2

h R l R α α

= = .

Dacă U şi V sunt două puncte pe cerc, por ţiunea din cerc cuprinsă între U şi V se numeşte arc de cerc. Spunem despre coarda [UV ] că subîntindearcul cuprins între U şi V . Definiţia este ambiguă, deoarece două puncte U şi V determină două arce: arcul „mic” pe care se află şi punctul W şi arcul„mare” pe care se află şi punctele M (sau A, sau B, sau N ). Arcul

determinat de U şi V se notează UV (în mod ambiguu). Precizarea arcului

(mic sau mare) se face scriind şi un al treilea punct, diferit de extremităţile

arcului. Aşadar, vom scrie UWV pentru a desemna arcul „mic” şi ( )sau , sau , sauUMV UAV UBV UNV pentru a desemna „arcul mare”.

Două puncte diametral opuse M şi N determină arcul MN care se

numeşte semicerc. Cele două semicercuri desemnate ambiguu prin MN sunt „congruente” (nu putem spune că unul este „mare” şi celălalt este„mic”). Avem, deci, semicercurile:

( ) ( )sau , sau şi sauMUN MWN MVN MAN MBN .

Punctele cuprinse „înăuntrul” cercului formează interiorul cercului, notatInt C (O,R ), iar punctele „din afara cercului” formează exteriorul cercului,notat Ext C (O,R ). Aşadar:

Fig. 1.76

( ) { }Int , |C O R X P XO R = ∈ < este mulţimea haşurată în fig. 1.76 a).

Ext ( ) { }, |C O R Y P YO R = ∈ > este mulţimea haşurată în fig. 1.76 b).





O mulţime care este interiorul unui cerc se numeşte disc deschis, iar undisc deschis împreună cu cercul „frontier ă” se numeşte disc închis.

Aşadar, discul deschis generat de cercul C (O,R ) este exact Int C (O,R ), iardiscul închis generat de cercul C (O,R ) (adică mulţimea Int C (O,R ) ∪

C (O,R )) va fi notat cu ( )Int ,C O R .

B. Pentru cele ce urmează şi pentru scopuri ulterioare, definim distanţa de laun punct la o dreaptă.

Fie, deci (v. fig. 1.77) un punct A şi o dreaptă δ .

Fig. 1.77

Definiţie. Proiecţia lui A pe δ este punctul (unic determinat) A' în careperpendiculara pe δ dusă prin A intersectează pe δ . Dacă A ∈ δ , atunci(prin definiţie) A' = A.

Definiţie. În contextul de mai sus, distanţa de la punctul A la dreapta δ este numărul

dist ( , A δ ) definit astfel:dist ( , A δ ) = A A'.

Dacă A ∈ δ , prin definiţie avem dist ( , A δ ) = 0.

Acum, putem prezenta poziţia unei drepte faţă de un cerc (v. fig. 1.78).

Consider ăm un cerc C (O,R ) şi o dreaptă d în acelaşi plan P .

Fig. 1.78

– Dacă dist (O,d ) < R , dreapta d intersectează pe C (O,R ) în două punctedistincte A şi B. Spunem că d este secantă la cerc.

– Dacă dist (O,d ) = R , dreapta d intersectează pe C (O,R ) într-un singurpunct Τ (se mai spune că „ d intersectează pe C (O,R ) în două puncteconfundate”. Spunem că d este tangentă la cerc.

Punctul T se numeşte punct de tangenţă (al lui d cu C (O,R )).





– Dacă dist (O,d ) > R , dreapta d şi cercul C (O,R ) sunt disjuncte (nu au niciun punct comun). Spunem că dreapta d este exterioar ă cercului.

Remarcă importantă. O tangentă d la cercul C (O,R ) are proprietatea că OT d ⊥ (unde T este punctul de tangenţă al lui d cu C (O,R ). Spunem că tangenta esteperpendicular ă pe raza corespunzătoare punctului de tangenţă. A sevedea fig. 1.79, unde OT d ⊥ .

Fig. 1.79

Continuăm cu poziţiile relative a două cercuri (distincte). Consider ămdouă cercuri ( ) ( )1 1 2 2, , ,C O R C O R cu proprietatea că 1 2 0R R ≥ > (v. fig

1.80, 1.81. 1.82, 1.83, 1.84, 1.85, 1.86).Dacă 1 2 1 2O O R R > + , cercurile sunt disjuncte (se spune că cercurile sunt

exterioare, v. fig. 1.80)

( ) ( )1 1 2 2, ,C O R C O R ∩ = ∅ .

Fig. 1.80

Dacă 1 2 1 2O O R R = + , cercurile sunt tangente exterior, având în comun un

singur punct (v. fig. 1.81).

( ) ( )1 1 2 2, , { }C O R C O R T ∩ = .

Fig. 1.81

Dacă 1 2 1 2 1 2R R O O R R − < < + , cercurile sunt secante, având în comun

două puncte distincte (v. fig. 1.82).

( ) ( ) { }1 1 2 2, , ,C O R C O R A B∩ = ; 1 2 AB O O⊥ .





Fig. 1.82

Dacă 1 2 2 1OO R R = − , cercurile sunt tangente interior , având în comun un

singur punct (v. fig. 1.83).

Fig. 1.83

Dacă 1 2 2 10 OO R R < < − , cercul ( )2 2,C O R este interior cercului

( )1 1,C O R (v. fig. 1.84).

Fig. 1.84

Dacă 1 2 0OO = (pe figur ă 1 2 0O O= = ) cercurile sunt concentrice (v. fig.

1.85).

Fig. 1.85

( ) ( )1 1 2 2, ,C O R C O R ∩ = ∅

( ) ( )1 1 2 2, , { }C O R C O R T ∩ =

( ) ( )1 1 2 2, ,C O R C O R ∩ = ∅





A

C. Acum ne vom ocupa de măsurarea lungimii cercului şi a arcelor decerc, precum şi de legătura cu măsurarea unghiurilor.

Să consider ăm un cerc C (O,R ). Încercăm să măsur ăm lungimea sa. Înainte de a o măsura, trebuie să o definim. Cum putem defini lungimeacercului C (O,R )?

Experimental, ideea ar fi următoarea. Luăm o sfoar ă, îi fixăm capătul într-un punct fixat ( ), A C O R ∈ (v. fig. 1.86) şi aşternem sfoara bine întinsă pe

cercul C (O,R ), desf ăşurând-o până ce ajungem de unde am pornit, înpunctul A. Tăiem sfoara în punctul noii suprapuneri peste punctul A.

Fig. 1.86

În final, măsur ăm lungimea bucăţii de sfoar ă astfel obţinute şi aceasta va filungimea cercului C (O,R ).

Evident, această procedur ă experimentală este extrem de imprecisă. Obună „suprapunere”, cu întindere uniformă (sfoara este neelastică!) sepoate obţine înf ăşurând sfoara pe un tambur cilindric de rază R (sau pe undisc material, cu şanţ, de rază R ).

O procedur ă matematică de aproximare a lungimii cercului C (O,R ) va fi

descrisă în cele ce urmează. Se consider ă din ce în ce mai multe punctepe C (O,R ), pe care le unim, formând astfel linii poligonale închise. Pemăsur ă ce vom lua puncte mai multe şi „mai dese” (în sensul că între eledistanţele tind să fie din ce în ce mai mici), vom obţine lungimi ale acestorlinii poligonale care aproximează din ce în ce mai bine lungimea cercului. În fig. 1.87 am figurat trei linii poligonale de aproximare: prima are 4 vârfurişi lungimea egală cu 1L , a doua are 6 vârfuri (cu 2 în plus faţă de

precedenta) şi lungimea 2L , a treia are 12 vârfuri (cu 6 în plus faţă de

precedenta) şi lungimea 3L . Evident, 1 2 3L L L< < şi 3L aproximează cel

mai bine lungimea cercului.

Fig. 1. 87

În secţiunea următoare (1.2.5) vom reveni asupra acestei idei, prezentândexplicit procedura de trecere la limită pentru obţinerea lungimii cercului. Încheind această discuţie informală asupra calculului lungimii cercului,





vom sublinia concluzia, desprinsă încă din antichitate prin experiment şi întărită ulterior prin teorie:

Există un număr, anume numărul π , care este aproximativ egal cu 3,14( 3,14159265...π ≈ ) având următoarea proprietate: raportul între lungimea

cercului C (O,R ), pe care o notăm cu ( )L R şi lungimea unui diametru (care

este 2R ) este acelaşi pentru orice cerc:( )2

L R

R = π .

Cu alte cuvinte:

( ) 2L R R = π .

Reţinem: lungimea cercului de rază R este egală cu 2 R π .

Pe cale de consecinţă, lungimea semicercului de rază R este egală cuR π .

Notă. Numărul π este, poate, cel mai important număr din natur ă. Acest număreste iraţional. Chiar mai mult, F. Lindemann a demonstrat că numărul π este transcendent (adică nu poate fi obţinut ca r ădăcină a unei ecuaţiialgebrice cu coeficienţi numere întregi).

Având la dispoziţie lungimea întregului cerc, vom putea calcula lungimeaarcelor de cerc.

Întâi vom stabili o corespondenţă între arce şi unghiuri.

Definiţie. Fiind dat un cerc C (O,R ), vom numi unghi la centru un unghi cu vârful înO (v. fig. 1.88).

Fig. 1.88

În fig. 1.88, unghiul la centru este AOB (am notat cu A şi B intersecţiile

celor două semidrepte componente ale unghiului cu C (O,R )).

Arcul AB , cuprins între semidreptele care formează unghiul AOB se

numeşte arcul subîntins de unghiul AOB (mai spunem că unghiul AOB

subîntinde arcul AB ).

Acceptăm că există propor ţionalitate între măsura unghiurilor la

centru AOB (cu măsura între 0° şi 360°) şi lungimea arcelor subîntinse AB (cu lungimea între 0 şi 2πR = lungimea cercului).

În fig. 1.89 a), b), c), d), e), f) avem, respectiv, unghiuri la centru de măsuri

egale cu 0° (unghi nul), 60°, 90° (unghi drept), 180° (unghi alungit), 270° şi360°.





Fig. 1.89

Această propor ţionalitate stabileşte o corespondenţă bijectivă întreunghiurile cu măsura în grade în intervalul [0,360] şi arcele de cerc, culungimea în intervalul [0,2 ]R π . Vom interpreta această corespondenţă ca identificare. Aşadar, avem următoarea:

Identificare. Se identifică un unghi la centru cu arcul pe care îl subîntinde.

Pe baza acestei identificări, putem măsura (cu regula de trei simplă)lungimile arcelor de cerc. Anume, dacă arcul a cărui lungime l o căutăm

corespunde unui unghi de n°, vom avea360°.............................................. 2 R π

n°................................................. .l

2

360 180

Rn Rnl

π π= =

De exemplu, dacă n° = 180° (arcul este un semicerc) formula ne dă l R = π , regăsind un rezultat anterior. Dacă n° = 90° (unghiul este drept),

formula ne dă 2

l R π

= etc.

În acest moment vom defini în mod riguros noţiunea de radian (ne ţinemastfel o promisiune f ăcută anterior).

Definiţie. Un unghi de un radian (mai precis, un unghi cu măsura egală cu unradian) este un unghi congruent cu un unghi la centru (într-un cercC (O,R )) care subîntinde un arc de lungime egală cu R .

Pentru un unghi ˆ A de un radian, scriem că măsura sa este egală cu1 radian astfel:

( )ˆm A = 1 rad.

Să vedem câte grade are 1 radian.

În formula:





180

Rnl

π=

facem l = R şi obţinem:

18057n = ≈

π

.

Mai precis, 57,29578n ≈ , şi obţinem că măsura în grade a unui unghi deun radian este aproximativ egală cu 57°17' şi scriem:

1rad ≈ 57°17'.

Aşadar, un unghi de un radian are măsura aproximativ egală cu 57° (estecuprinsă între 57° şi 58°).

Avem formulele de transformare reciprocă: 1 rad =180

π

; 1 rad180

π=

.

De exemplu, un unghi cu măsura egală cu 60° va avea măsura, exprimată

în radiani, egală cu 60 rad rad180 3

π π⋅ =

.

Se mai scrie, incorect, dar sugestiv şi scurt 603

π= .

Invers, un unghi cu măsura egală cu2

πrad, va avea măsura, exprimată în

grade:

18090

2

π⋅ =

π

.

Prescurtat, ca mai sus2

πrad = 90°.

Cititorul va învăţa următorul

Tabel de corespondenţă

rad0

6

π

3

π

2

π

π 3

2

π

2π

° 0 30 60 90 180 270 360

Să stabilim şi formula care dă lungimea l a unui arc subîntins de un unghicare are măsura N rad (măsura unghiului este dată în radiani). Folosim dinnou regula de trei simplă, ţinând seama că cercul întreg este subîntins deunghiul cu măsura 2π rad.

2π ........................... 2π R

N rad ...................... l

2

2

RN l NR

π= =

π (*)

Dacă avem R = 1, formula (*) arată că l = N .





Avem, deci, următoarea

Regulă. Într-un cerc de rază 1 (un astfel de cerc se mai numeşte şi cerctrigonometric), lungimea unui arc subîntins de un unghi la centru demăsur ă egală cu N rad este N .

Pe scurt, incorect, dar sugestiv:

( ) ( )ˆ rad =m A N l A N = = .

Am identificat unghiul la centru ˆ A cu arcul A

pe care îl subîntinde.

Ultima relaţie ne arată că această identificare este deplină. Anume, încontextul de mai sus:

Măsura unui arc de cerc = măsura unghiului la centru care îl subîntinde(deci se lucrează în radiani).

Remarcă importantă. Având în vedere cele de mai sus, în matematică, unitatea demăsur ă naturală pentru arce şi unghiuri este radianul.

Cititorul va face o analogie cu faptul că baza naturală a logaritmilor estenumărul e.

D. În cele ce urmează, vom considera un cerc C (O,R ). Pe baza identificărilordespre care am vorbit, vom identifica unghiurile la centru faţă de

( , )C O R cu arcele pe care le subîntind şi vom spune în acest sens (v.fig. 1.90) că

măsura unghiului la centru AOB este egală cu măsura arcului AB .

Fig. 1.90

Am extrapolat, aşadar, rezultatul obţinut în situaţia când raza cercului este1 şi unghiurile sunt măsurate în radiani.

În acest sens, vom vorbi despre arce care au măsura de 60°, sau despre

arce care au măsura de3

πrad.

Vom considera unghiuri cu vârful în puncte arbitrare din planul P alcercului ( , )C O R , le vom pune în relaţie cu ( , )C O R şi le vom măsura,folosind din plin convenţia de mai sus, care spune că unghiul la centru şiarcul pe care îl subîntinde au aceeaşi măsur ă.Pentru a putea exprima riguros proprietăţile care urmează, vom daurmătoarea

Definiţie 1. Se spune că o semidreaptă d este secantă la cercul ( , )C O R dacă

dreapta suport a lui d este secantă la ( , )C O R şi d intersectează pe C (O,R ) în două puncte distincte (adică mulţimea ( ),d C O R ∩ are exact două

puncte, v. fig. 1.91).

( ) ( )m AOB m AB=





2. Se spune că o semidreaptă d este tangentă la cercul ( , )C O R dacă dreapta suport a lui d este tangentă la ( , )C O R şi d intersectează pe C (O,R )

într-un punct (adică mulţimea ( ),d C O R ∩ are exact un punct, v. fig. 1.93).

Fig. 1.91

Fig. 1.92

Fig. 1.93

Fig. 1.94

Definiţii. Fie u un unghi cu vârful V .1. Se spune că u este unghi cu vârful pe cercul ( , )C O R dacă

( ),V C O R ∈ şi laturile lui u sunt semidrepte secante sau tangente la C

(O,R ). Dacă laturile lui u sunt amândouă secante la C (O,R ) se spune că ueste unghi înscris în C (O,R ).

Semidreapta d = [ AU nueste secantă la C (O,R )

Semidreapta d = [ AUeste tangentă la C (O,R )

Semidreapta d = [ AU nu este tangentă la C (O,R )

Semidreapta d = [ AN este secantă la C (O,R )





2. Se spune că u este unghi cu vârful în exteriorul lui ( , )C O R dacă

( )Ext ,V C O R ∈ şi laturile lui u sunt secante sau tangente la ( , )C O R .

3. Se spune că u este unghi cu vârful în interiorul lui ( , )C O R dacă

( )Int ,V C O R ∈ (şi dreptele suport ale laturilor lui u sunt secante la ( , )C O R ).

În fig.1.95 avem cele trei tipuri posibile de unghi cu vârful pe cercul

( , )C O R . Anume: în fig. 1.95 a) unghiul AVB este înscris în ( , )C O R ; în fig.

1.95 b) unghiul UVB este cu vârful pe ( , )C O R (şi [VU este tangentă la( , )C O R , iar [VB este secantă la C (O,R )). În fine, în fig. 1.95 c), unghiulUVW este unghi cu vârful pe C (O,R ), anume: [VU şi [VW sunt tangente la

C (O,R ), ceea ce face ca unghiul UVW să fie alungit, cu vârful în V (defapt, reuniunea semidreptelor [VW şi [VU ) este dreapta suport a lor,tangentă la C (O,R ) în V ).

Fig. 1.95

Teoremă. Măsura unui unghi cu vârful pe cerc este egală cu jumătatea măsuriiarcului cuprins între laturile sale (adică subîntins de unghi).

Cu alte cuvinte, în mod precis:

( ) ( )2

m ACBm AVB = (fig. 1.95 a))

( ) ( )2

m VCBm UVB = (fig. 1.95 b))

( ) 180m UVW = (fig. 1.95 c)).

Formula se păstrează (arcul cuprins este întregul cerc).

În fig. 1.96 avem cele trei tipuri de unghiuri cu vârful V în exteriorul

cercului ( , )C O R , notate de fiecare dată cu AVB . Anume: în fig. 1.96 a),

unghiul AVB (acelaşi cu unghiul A VB′ ′ ) este format de semidreptele [VA (aceeaşi cu [VA') şi [VB (aceeaşi cu [VB') secante la ( , )C O R ; în fig. 1.96 b),

unghiul AVB (acelaşi cu unghiul AVB′ ) este format de semidreapta [VA tangentă la ( , )C O R în A şi de semidreapta [VB (aceeaşi cu [VB') secantă

la ( , )C O R ; în fig. 1.96 c), unghiul AVB este format cu semidreptele [VA

tangentă la ( , )C O R în A şi [VB (tangentă la ( , )C O R în B).





Fig. 1.96

Teoremă. Măsura unui unghi cu vârful în exteriorul unui cerc este egală cusemidiferenţa măsurilor arcelor cuprinse între laturi (adică subîntinse deunghi).


( ) ( ) ( ) ( )

2

m A M B m AMBm AVB m A VB

′ ′ ′ −′ ′= = (fig. 1.96 a)).

( ) ( ) ( ) ( )

2

m AM B m AMBm AVB m AVB

′ ′ −′= = (fig. 1.96 b)).

( ) ( ) ( )

2

m AM B m AMBm AVB

′ −= (fig. 1.96 c)).

În fig. 1.97 avem unghiurile

AVB şi

A VB′ ′ care sunt unghiuri cu vârful V în interiorul cercului ( , )C O R . Evident, dreptele suport ale laturilor lor,anume AA' şi BB' sunt secante lui ( , )C O R .

Fig. 1.97

Teoremă. Măsura unui unghi cu vârful în interiorul unui cerc este egală cu semisumamăsurilor arcelor cuprinse între laturile unghiului şi laturile unghiului opusla vârf lui (adică subîntinse de aceste unghiuri).


( ) ( ) ( ) ( )

2

m AMB m A M Bm AVB m A VB

′ ′ ′+′ ′= = .

Observaţie. În cazul particular când V = 0, unghiul AVB AOB= devine unghi lacentru (fig. 1.98). În acest caz:





( ) ( ) ( ) ( )m AMB m A M B m AOB m A OB′ ′ ′ ′ ′= = = ,

rezultat regăsit şi din formula de mai sus:

( )

( )

( )

( ) ( )2

2 2

m AMB m A M B m AMBm AOB m AMB

′ ′ ′+= = = .

Fig. 1.98

E. Ne vom ocupa de câteva arii întâlnite în teoria legată de cerc.

Folosind ideea de aproximare a cercului cu poligoane înscrise şi calculândariile suprafeţelor poligonale (vom reveni la secţiunea 1.2.5 consacrată poligoanelor regulate) se aproximează din ce în ce mai bine aria unuidisc (deschis sau închis).

În mod precis, avem un cerc ( , )C O R şi facem referire la fig. 1.76 a).

Ne propunem să calculăm aria discului deschis ( )Int ,C O R (care este

egală cu aria lui ( )Int ,C O R = discul închis generat de ( , )C O R ).

Egalitatea de mai sus rezultă din considerente cu caracter rigurosmatematic (şi de bun simţ: o „linie” are arie nulă...).

Aşadar, avem:

( )( ) ( )( )Int , Int ,S C O R S C O R = ,

unde S (H ) înseamnă aria lui H (H = Int C (O,R ) sau ( )Int ,H C O R = ).

Notaţie şi exprimare. Notăm valoarea comună de mai sus prin S C (O,R ), adică :

S C (O,R ) = S(Int C (O,R )) = ( )( )Int ,S C O R

şi numim pe S C (O,R ) aria cercului (de centru O şi rază R ).

Teoremă. Avem egalitatea S C (O,R ) = 2R π (aria oricărui cerc de rază avândlungimea R este egală cu 2R π ).

Observăm că aria cercului nu depinde de centru (depinde numai de rază).De altfel, toate cercurile de aceeaşi rază sunt congruente (se potsuprapune printr-o deplasare).

Definiţie. Numim sector de cerc figura mărginită de un unghi la centru într-un cercşi respectivul cerc.





În fig. 1.99 avem cercul C (O,R ), unghiul la centru AOB şi am haşurat

sectorul de cerc notat prin ( )C AOB . Aria sa va fi notată prin ( )( )S C AOB .

Fig. 1.99

Acceptăm că există propor ţionalitate între măsura unghiului AOB şi aria

sectorului ( )C AOB . Atunci, aplicăm regula de trei simplă şi deducem:

– Dacă m(

AOB ) = n°, unde [ ]0,360n ∈ 360°.............................. 2R π n°................................ .x

( )( )2

360

R n x S C AOB

π= =

– Dacă m( AOB ) = N rad, unde [ ]0,2N ∈ π

( )( )

2

2

2 ......................

..........................

2

R

N x

R N

x S C AOB

π π

π

= = π

( )( )2

2

R N S C AOB = ; ( )( )

( )2

m AB R S C AOB

⋅=

Interpretare: aria se calculează ca arie a unui triunghi cu baza de lungime egală cu

lungimea arcului AB şi înălţime egală cu raza cercului.

Definiţie. Fie un cerc C (O,R ) şi A, B două puncte pe C (O,R ). Por ţiunea din cercul

închis ( )Int ,C O R cuprinsă între coarda [ AB] şi unul din arcele de cerc

cuprinse între A şi B se numeşte segment de cerc (v. fig. 1.100).

Fig. 1.100

N





În fig. 1.100 a) avem segmentul de cerc definit de arcul AMB .

Segmentul de cerc complementar definit de arcul ANB apare înfig. 1.100 b).

Notăm segmentul de cerc definit de arcul AMB (respectiv de arcul ANB )

prin C ( AMB ) (respectiv C ( ANB )).

Folosind fig. 1.100 a) şi b), vom calcula aria segmentului de cerc.

În cazul segmentului de cerc C ( AMB ), unghiul AOB care subîntinde arcul AMB are proprietatea:

m( AOB ) = n° cu n < 180° (în grade) sau m( AOB ) = N rad

cu N < π (în radiani).

Atunci se vede că aria segmentului de cerc C ( AMB ), notată prin

S(C ( AMB )), va fi dată de formula:

S(C ( AMB )) = S(C ( AOB )) – S( AOB).

(aria sectorului ) C ( AOB ) – aria triunghiului ABC ).

În cazul segmentului de cerc C ( ANB ) unghiul ( AOB ) care subîntinde

arcul ANB are proprietatea m( AOB ) = n° cu n > 180° (în grade) sau

m( AOB ) = N rad cu N > π (în radiani).

Atunci, se vede că aria segmentului de cerc C ( ANB ) (notată prin

S(C ( ANB ))) va fi dată de formula:

S(C ( ANB ))=S(C ( AOB ))+S( AOB)

(aria sectorului C ( AOB ) + aria triunghiului ABC ).

Trebuie să studiem şi cazul r ămas (v. fig. 1.101) când coarda [ AB] estediametru. În acest caz triunghiul AOB degenerează în segmentul [ AB],deci putem scrie prin extrapolare S( ABC ) = 0 şi atunci formula de mai susfuncţionează. Anume, avem:

( )( ) ( )( )2

2

R S C AMB S C ANB

π= =

(aria este egală cu jumătate din aria cercului).

Fig. 1.101





Fie 1 20 R R < < două numere. Să consider ăm cercurile concentrice

( )10,C R şi ( )20,C R .

Por ţiunea cuprinsă între ele (haşurată în fig. 1.102) se numeşte coroană circular ă. Mai precis: avem coroana circular ă deschisă (f ăr ă frontier ă):

( ) { }1 2 1 2| 0W R R X P R X R = ∈ < < şi coroana circular ă închisă (cu frontier ă):

( ) { }1 2 1 2| 0W R R X P R X R = ∈ ≤ ≤ .

Din nou, ariile celor două coroane circulare coincid şi valoarea comună seobţine scăzând aria cercului mai mic din aria cercului mai mare.

( )( ) ( )( ) 2 21 2 1 2 1 2S W R R S W R R R R = = π − π .

Fig. 1.102






1. Consider ăm un cerc de rază având lungimea 2.

a) Să se calculeze măsura (în grade şi radiani) a unui unghi la centru caresubîntinde un arc de lungime 4.

b) Să se calculeze lungimea arcului subîntins de un unghi având măsurade 60°.

c) Să se calculeze măsura în grade a unui unghi având măsura de 2,5rad.

2. Se consider ă triunghiul ABC dreptunghic în A (v. fig. 1.103). Seconstruiesc semicercurile de diametre BC, CA şi AB ca în figur ă; (Atenţie!Semicercul având pe BC ca diametru trebuie să treacă prin A). Por ţiunilede plan cuprinse între ele 1L şi 2L se haşurează (ele se numesc „lunule”).

Să se arate că aria lunulelor 1L şi 2L reunite este egală cu aria triunghiului

ABC (teorema lunulelor lui Hipocrate).

Fig. 1.103







1.2.5. Poligoane. Poligoane regulate

În această secţiune ne vom ocupa mai mult de poligoane convexe închise.Pentru astfel de poligoane putem defini interiorul.

Definiţie. Fie 0 1 2... nP PP P o linie poligonală închisă astfel încât poligonul 0 1 2... nP PP P

(cu n + 1 laturi) este convex ( 2n ≥ ).

Interiorul lui 0 1 2... nP PP P , notat Int ( 0 1 2... n

P PP P ) este mulţimea (convexă)

obţinută astfel:

Pentru fiecare i = 0,1,2,...,n se consider ă semiplanul deschis i S , definit de

dreapta suport a lui 1i i PP + , care are proprietatea că toate segmentele

( )1k k P P + , k i ≠ sunt incluse în i S (cu convenţia 1n oP P + = ). Atunci, prin

definiţie:

( )0 1 2.0

Int ...n

n i

i

P PP P S=

= ∩ .

În fig. 1.105, am luat n = 4 şi am haşurat ( )0 1 2.Int ... nP PP P .

Fig. 1.104Putem spune că Int ( 0 1 2... n

P PP P ) este por ţiunea din plan care este

mărginită şi are ca frontier ă poligonul 0 1 2... nP PP P .

Suprafaţa poligonală definită de acest poligon este, prin urmare( )0 1 2.Int ... nP PP P ∪ 0 1 2... nP PP P . (interiorul reunit cu frontiera).

Convexitatea liniei poligonale 0 1 2... nP PP P implică deci următoarele

proprietăţi:

a) Linia poligonală 0 1 2... nP PP P este normală. (două laturi nu se pot

intersecta în puncte interioare). În fig. 1.105 este prezentată o liniepoligonală care nu este normală.

b) Putem construi interiorul liniei poligonale.

c) Putem triangula din orice vârf suprafaţa poligonală generată depoligonul închis convex cu n laturi 0 1 2 1...

nP PP P − cu n – 2 triunghiuri (adică o

împăr ţim în n – 2 triunghiuri cu interioarele disjuncte). În fig. 1.106 a) şi b)avem două triangulaţii posibile ale suprafeţei 0 1 2 3 4P P P P P , pornind respectiv

din 0P şi 1P .

Rezultatul se reţine astfel: orice suprafaţă poligonală generată de un

poligon închis convex cu p laturi ( 3 p ≥ ) se poate triangula cu 2 p − triunghiuri, pornind din orice vârf .





d) Ca o consecinţă a proprietăţii de mai sus, rezultă că suma unghiurilorunui poligon convex cu n laturi 0 1 2 1...

nP PP P − ( 3n ≥ ) este egală cu

( 2)180n − ° (sau ( 2)n − π rad).

Fig, 1.105

Fig. 1.106

Acum, vom păr ăsi poligoanele generale închise şi convexe şi ne vomocupa de un caz particular important al lor. Anume, ne vom ocupa depoligoanele regulate (este denumirea prescurtată pe care o vom folosi, în loc de denumirea completă de poligon convex regulat).

Vom desemna o linie poligonală închisă cu n laturi prin 1 2 3... nPP P P ( 3n ≥ ),

în loc de 0 1 2 1... nP PP P − ( 2n ≥ ) cum am notat până acum.Definiţie. Se numeşte poligon regulat un poligon închis convex care are toate

laturile congruente şi toate unghiurile congruente.

În mod precis, poligonul închis convex 1 2 3... nPP P P (cu n laturi, 3n ≥ ) este

poligon regulat cu n laturi dacă:

1 2 1 3 1 1...n n n

PP PP P P P P −= = = = şi 1 2ˆ ˆ ˆ...

nP P P ≡ ≡ ≡ . (am notat 1 1i i i i

P P PP − += ,

dacă 2 1i n≤ ≤ − şi 1 1 2 1 1ˆ ˆ,

n n n nP P PP P P P P −= = ). A se vedea fig. 1.107, unde

n = 6.

Fig. 1.107

Denumiri. Poligoanele regulate cu un număr mic de laturi au multe denumiri date de

numele numerelor din greaca veche. În lista următoare, apar denumirilepoligoanelor respective cu n laturi:

0 1 2 3 nu este normalăP P P P





n = 3 triunghi echilateral

n = 4 pătrat

n = 5 pentagon regulat

n = 6 hexagon regulatn = 7 heptagon regulat

n = 8 octogon regulat

n = 10 decagon regulat

n = 12 dodecagon regulat.

Construcţie fundamentală ( înscrierea şi circumscrierea)

Fie 3n ≥ şi un cerc C (O,R ).

Atunci se poate înscrie în cercul C (O,R ) un poligon regulat 1 2... nPP P cu n

laturi.De asemenea, se poate circumscrie cercului C (O,R ) un poligon regulat cun laturi 1 2... nQ Q Q , punctele de tangenţă fiind exact punctele 1 2... nPP P

(anume: ( )1 1 2P Q Q∈ , ( )2 2 3P Q Q∈ , …, ( ) ( )1 1 1,n n n n n

P Q Q P Q Q− −∈ ∈ şi 1 2QQ ,

2 3Q Q , …, 1 1,n n n

Q Q Q Q− sunt tangente la C (O,R )).

În fig. 1.108 este prezentată construcţia de mai sus, pentru n = 6.

Fig. 1.108

Pentru un poligon convex cu n laturi, înscris într-un cerc C (O,R ), vomcalcula elementele principale în funcţie de R şi n (v. fig. 1.109).

Fig. 1.109





Măsura unghiurilor

Deoarece măsura fiecărui arc subîntins de o latur ă este egală cu360 2

sau radn n

π⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

, rezultă că măsura comună a unghiurilor este:

( ) ( ) 360 2ˆ 2 1802i

nm P nn n

−= − =

( ) 2ˆ radi

nm P

n

−= π

(Ca o consecinţă, regăsim faptul că suma măsurilor unghiurilor este egală

cu ( ) ( )2

180 2 180 sau 2 radn

n n nn

−⋅ = − − π )

Lungimea laturilor

Valoarea comună 1i i nPP l + = este lungimea laturilor. Se foloseşteperpendiculara OA pe 1 2PP (deci 1 2 2

nl AP AP = = ) şi triunghiul dreptunghic

( )1 1

180unde sauOAP m AOP

n n

π⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

. Obţinem:

1802 sin

2 sin

n

n

l R n

l R n

=

π=

Apotema. Se numeşte apotemă a poligonului convex orice segment deforma [OA] (se duce perpendiculara din centrul O pe latur ă, care întâlneşte latura în A; evident, toate apotemele sunt de lungimi egale).Notăm cu

na lungimea comună a apotemelor.

180cos

na R

n=

,

cosna R n

π= .

Vom da câteva valori ale lungimilor laturilor nl şi apotemelor na pentrun = 3, 4, 5, 6.

nnl

na

3 3R 2

R

4 2R 2

2R

510 2 5

2

R − ( 5 1)

4

R +

6 R 32

R





Observaţie. Din relaţiile pentru n = 5 , rezultă:

5 1 10 2 5cos şi sin

5 4 5 4

π + π −= = .

În continuare, vom relua ideea de la construcţia fundamentală, referindu-

ne la poligonul regulat circumscris, ale cărui elemente le vom calcula.Pentru aceasta, vom folosi construcţia fundamentală, fig. 1.108 şi fig.1.110, care reprezintă un „detaliu” din construcţia fundamentală.

Fig. 1.110

În fig. 1.110 avem cercul C (O,R ), în care este înscris poligonul regulat

1 2... nPP P . Poligonul regulat circumscris 1 2... n

Q Q Q se obţine cum am văzut:

1 2Q Q este tangentă la C (O,R ) în 1P etc.

Acest poligon circumscris 1 2... nQ Q Q cu latura de lungime

nl ′ şi apotema de

lungimena′ este, la rândul lui, înscris într-un cerc C (O,R ') cu raza R R ′ > .

Se constată că [ ]1OP este apotemă în 1 2... nQ Q Q , deci obţinem relaţiafundamentală:

na R ′ = .

Cu formulele deja cunoscute, avem (lucr ăm în radiani):

cos cosn

a R R R n n

π π′ ′ ′= ⇒ = .

Rezultă relaţia fundamentală, care dă raza R ′ :

cos

R R

n

′ =

π

.

De aici rezultă:

2 'sin 2 tgnl R R

n n

π π′ = = .

În rezumat, pentru poligonul regulat cu n laturi circumscrise cercului( ),C O R avem:

2 tgnl R

n

π′ = şin

a R ′ = .

Avem la dispoziţie întregul material necesar pentru a calcula perimetrul şiaria poligoanelor regulate cu n laturi, înscrise şi circumscrise în ( ),C O R .





Perimetrele

Perimetrul lui 1 2... nPP P , notat cu perim (R,n) (adică suma lungimilor

laturilor) este egal cun

n l ⋅ , deci:

perim ( , ) 2 sinR n Rnn

π= (1)

Similar, perimetrul lui 1 2... nQQ Q , notat cu perim (R,n), este egal cu nnl ′ ,deci:

perim ( , ) 2 tgR n Rnn

π= (2)

perim ( , )n

R n nl = (2')

Ariile

Folosim fig. 1.109. Aria suprafeţei poligonale 1 2... nPP P este deci egală cu

n ⋅ aria suprafeţei triunghiulare 1 2OPP .

Dar ( )2

1 21 2

2cos 2 sin sin

2 2 2 2n n

R R R OA PP a l n n nS OPP π π π⋅⋅

= = = = .

Aşadar, aria suprafeţei poligonale regulate 1 2... nPP P notată cu aria (R,n)

este dată de formulele:

222

aria ( , ) = sin sin cos2

R R n n R n

n n n

π π π= (3)

aria ( , ) =2

n nl aR n n (3')

Pentru poligonul circumscris 1 2... nQQ Q , folosim formulele anterioare (3),

cu R ′ în loc de R , undecos

R R

n

′ =π

.

Aria lui 1 2... nQQ Q va fi notată prin Aria (R,n), deci:

( ) ( )2

2

2

Aria , sin cos sin coscos

R R n R n n

n n n n

n

π π π π′= =

π,

deci:2 Aria( , ) tgR r R n

n

π= (4)

Avem la dispoziţie toate materialele necesare pentru a ar ăta cum secalculează lungimea şi aria cercului ( ),C O R . Vom folosi fig. 1.108 din

care rezultă ideea de încadrare între două numere cunoscute.

Calculul lungimii cercului cu ajutorul poligoanelor regulate

Pentru orice n natural, 3n ≥ , lungimea ( )L R a cercului ( ),C O R este

cuprinsă între perimetrul poligonului înscris 1 2... nPP P şi perimetrul

poligonului circumscris 1 2... nQ Q Q (rezultă din considerente intuitive).





Cu formulele (1) şi (2), avem deci:

( )2 sin 2 tgRn L R Rnn n

π π≤ ≤ (5)

Inegalitatea se păstrează prin trecere la limită. Anume:

( )lim2 sin lim2 tgn n

Rn L R Rnn n

π π≤ ≤

(vom ar ăta că limitele există).

Limitele se calculează folosind limitele clasice0 0

sinlim lim 1 x x

x tgx

x x → →= = . La

noi:

sin sin2 sin 2 2

1n nRn R R

n

n n

π ππ

= = ⋅ ππ

,

deci există.

sinlim2 sin 2 lim 2n n

nRn R R n

n

π

π = π = ππ

(6)

La fel:tg

2 tg 2 nRn R n

n

ππ

= ⋅ ππ

, deci există:

tglim2 tg 2 lim 2

n n

nRn R R n

n

ππ

= π = ππ

(7)

Din (5), (6) şi (7) obţinem:( )2 2R L R R π ≤ ≤ π .

Am demonstrat că lungimea cercului de rază R este 2 R π :

( ) 2L R R = π .

Calculul ariei cercului cu ajutorul poligoanelor regulate

La fel, pentru orice n natural, 3n ≥ , aria cercului ( ),C O R , pe care am

notat-o cu ( )( ),S C O R , este cuprinsă între aria poligonului regulat 1 2... nPP P

înscris în ( ),C O R şi aria poligonului regulat 1 2... nQQ Q circumscris lui

( ),C O R .

Adică, avem, folosind (3) şi (4):

( )2

22sin , tg

2 n

R n SC O R R n

n

π π≤ ≤ (8)

Avem, procedând ca înainte:

2 2 22

2sin2

lim sin lim 2 222 2 2n n

R R R nn R n

n

ππ

= ⋅ π = ⋅ π = ππ

(9)





2 2 2tg

lim tg limn n

nR n R R n

n

ππ

= π = ππ

(10)

Din (8), (9) şi (10) rezultă că ( )2 2,R SC O R R π ≤ ≤ π .

Prin urmare, aria cercului ( ),C O R este2

R π :( ) 2,SC O R R = π .

În continuare, vom da formulele de dublare, care permit calculul laturii

2nl şi al apotemei 2na ale poligonului regulat cu 2n laturi înscrise în

( ),C O R , în funcţie denl (unde

nl este latura poligonului regulat cu n laturi

înscris în ( ),C O R ).

Teoremă (formulele de dublare):

( )2 2

2

2 4n n

l R R R l = − −

( )2 22

12 4

2n na R R R l = + − .

Exemple de aplicare: Calculul laturii şi apotemei octogonului regulat înscris în cerc.

Aici n = 4 şi avem 4 2l R = ,

( ) ( ) ( )2 2 28 2 4 2 2 2 2 2 2 2l R R R R R R R R R = − − = − = − = −

8a = ( )2 28

12 4 2 2 22 2

R a R R R R = + − = +

Aplicaţie practică: pavaje cu poligoane regulate.Ne punem problema să acoperim planul cu suprafeţe poligonale provenitedin poligoane regulate congruente, cu acelaşi număr de laturi. Acoperirea trebuie f ăcută în aşa fel, încât două suprafeţe poligonalevecine să nu aibă în comun decât vârfuri sau laturi (ori por ţiuni de latur ă),adică interioarele să fie două câte două disjuncte. Evident, „acoperire” înseamnă că orice punct al planului trebuie să intre în cel puţin una dinsuprafeţele poligonale care participă la acoperire. Această problemă este în mod evident practică, apărând ca întrebare înfelul următor: ce formă trebuie să aibă dalele cu care vrem să acoperim osuprafaţă (de exemplu baie)? Prefer ăm forme „frumoase”, de exemplupoligoane regulate.Un r ăspuns imediat este următorul: putem acoperi planul cu pătrate (v. fig.1.111 b)). Există şi alte posibilităţi?Răspunsul complet este oarecum surprinzător. Anume:

Teorema de acoperire cu poligoane regulate

Singurele poligoane regulate cu care putem acoperi planul sunt: triunghiulechilateral, pătratul şi hexagonul regulat.

În fig. 1.111 avem ilustrate cele trei variante de acoperire: cu triunghiuriechilaterale (fig. 1.111 a)), cu pătrate (fig. 1.111 b)) şi cu hexagoaneregulate (fig. 1.111 c)).





Fig. 1.111Demonstraţ ia teoremei. Să consider ăm un poligon „soluţie” cu n laturi. Amvăzut că măsura comună a unghiurilor acestui poligon regulat cu n laturi

este egală cu2n

n

−π rad.

Consider ăm că un punct din plan, care este vârf comun pentru mai multepoligoane acoperitoare. Aşadar, trebuie să avem un număr întreg p depoligoane care au acest punct ca vârf şi acoper ă tot ceea ce este împrejurul său, adică suma celor p unghiuri (fiecare din câte un altpoligon) care au acel punct ca vârf, trebuie să fie egală cu 2π .

În fig. 1.111 a) avem p = 6, în fig. 1.111 b) avem p = 4, în fig. 1.111 c)avem p = 3. Adică:

22

n p

n

−⋅ π = π , ceea ce este echivalent cu:

2 2 22

2 2

n n p p

nn n

n

−= ⇔ = =

− −.

Cu alte cuvinte, n trebuie să fie astfel încât numărul2

2

n

n − trebuie să fie

număr întreg. Avem succesiv:

( )2 2 42 4

22 2 2

nn

n n n

− +

= = +− − − . Aşadar, condiţia cerută este echivalentă cu condiţia următoare:

4

2n − este număr întreg. (*)

Oricum, va trebui să avem 2 4n − ≤ , adică 6.n ≤ Deci este obligatoriu ca3 6n≤ ≤ .Pentru n = 3, n = 4 şi n = 6, condiţia (*) se verifică. Pentru n = 5, condiţia(*) nu se verifică.

Rămân valorile posibile n = 3, n = 4 şi n = 6.

Observaţie. Cazul n = 4 (acoperire cu dale pătrate) este folosit la băi.Cazul n = 6 apare în fagurele de albine: fagurii de miere sunt compuşi dincelule hexagonale. (Albinele ştiu matematică!).






1. Pe laturile unui hexagon regulat, luate ca baze, se construiesc înexterior pătrate (v. fig. 1.112). Să se arate că vârfurile acestor pătrate,diferite de vârfurile hexagonului, formează un hexagon regulat.

Fig. 1.112

2. Să se demonstreze formula:

16 2 2 2l R = − +







1.3. Figurile geometrice principale în spaţiu

1.3.1. Dreapta, segmentul, planul

A. Primele noţiuni. Elemente de axiomatică

Spaţiul S va fi mulţimea totală, în care lucr ăm (universul discursului).Elementele spaţiului se numesc puncte. În spaţiu, figurile primordiale suntdreapta şi planul.

În spiritul axiomaticii lui D. Hilbert, vom folosi următorul mod de notare:

– punctele se notează cu litere majuscule latine: Punctul A, punctul P ,punctul A' etc.

– dreptele se notează cu litere minuscule latine: dreapta d , dreapta m,dreapta d' etc.

– planele se notează cu litere minuscule greceşti: planul α , planul β ,

planul ′α etc.

În general, vom nota alte figuri geometrice (adică submulţimi ale lui S) culitere majuscule greceşti. Păstr ăm (excepţie!) notaţia S pentru spaţiu.

Dacă A şi B sunt puncte pe o dreaptă d , ele generează segmentele ( AB),[ AB], [ AB) şi AB] cu notaţii ca cele dinainte. Un punct A pe o dreaptă dgenerează semidreptele respective pe d , notate [ AM sau ( AM etc.

De asemenea, putem defini, cu ajutorul segmentelor, linii poligonale (înspaţiu) cu definiţii asemănătoare cu cele de la plan.

Un plan α împarte spaţiul în două semispaţii, a căror frontier ă comună este. Anume, cele două semispaţii sunt ′Σ şi ′′Σ . Ele pot fi considerate casemispaţii închise (dacă conţin şi pe α ) sau deschise (dacă suntdisjuncte de α ) . În fig. 1.113, semispaţiul S′ este „superior” (situatdeasupra lui α ), iar semispaţiul S′′ este „inferior” (situat dedesubtul luiα ). Orice două puncte A şi B situate în acelaşi semispaţiu pot fi unite prinsegmentul [ AB] care este în respectivul semispaţiu (v. fig. 1.113). Deasemenea, dacă punctele A şi A' sunt situate în semispaţii diferite, atuncisegmentul [ AA'] care le uneşte are proprietatea că [ ] AA′ ∩ α ≠ ∅ (v. fig.

1.113, unde A ′∈ Σ , A′ ′′∈ Σ şi [ ]M AA′∈ ∩ α ).

Fig. 1.113Cu această ocazie, reamintim definiţia figurilor convexe (am dat-o şi lageometrie plană).





Definiţie. O figur ă geometrică SΓ ⊂ se numeşte convexă dacă are următoareaproprietate: Pentru orice două puncte , A B∈ Γ ∈ Γ , avem [ ] AB ⊂ Γ (odată

cu două puncte, Γ conţine şi întregul segment care le uneşte).Spaţiul S, un semispaţiu, un plan, o dreaptă, un segment, sunt convexe.

De asemenea, vom vedea mai târziu că multe altele figuri sunt convexe:

piramidele, prismele, sferele (privite drept corpuri!). Înainte de a trece mai departe, vom aminti că şi geometria în spaţiu poatefi prezentată axiomatic. Anume, în fiecare plan, funcţionează axiomelegeometriei plane. În plus, avem axiome specifice spaţiului. Nici aici nuvom insista asupra acestui aspect, iar prezentarea noastr ă va fi naivă.

Dacă d (respectiv α ) este o dreaptă (respectiv un plan) şi A d ∈ (respectiv A ∈ α ), vom mai spune că d (respectiv α ) trece prin A.

Vom prezenta, totuşi, câteva axiome de început ale geometriei spaţiale,pentru ca cititorul să aibă o idee asupra modului de lucru axiomatic. Aceste axiome au şi un puternic rol de fixare a câtorva proprietăţifundamentale din geometria spaţială. Pentru a putea prezenta lucrurilemai scurt, vom spune că punctele 1 2,..., n A A A sunt coplanare dacă există

un plan α cu proprietatea că i

A d ∈ , i = 1,2,...,n. Reamintim că punctele

1 2,..., n A A A se numesc coliniare dacă există o linie d cu proprietatea

, 1,2,...,i

A d i n∈ = . Atenţie: punctele coliniare sunt coplanare!

Prima axiomă nu este specifică spaţiului (funcţionează şi în plan).

A1. Dacă A, B sunt puncte distincte, atunci există o unică dreaptă d astfelca A d ∈ şi B d ∈ (spunem că „două puncte distincte determină o dreaptă

unică”). În plus, pe orice dreaptă se găsesc cel puţin două punctedistincte.

A2. Dacă A, B, C sunt trei puncte necoliniare, există un plan unic α cuproprietatea că , , A B C ∈ α ∈ α ∈ α (spunem că „trei puncte necoliniaredetermină un plan unic”). Vom spune că planul α este planul ABC .

A3. Există patru puncte necoplanare.

A4. Fie d o dreaptă şi α un plan. Se presupune că există puncteledistincte A d ∈ , B d ∈ cu proprietatea că A ∈ α şi B ∈ α . Atunci d ⊂ α (unplan conţine două puncte distincte ale unei drepte, atunci el conţine

întreaga dreaptă; mai spunem că acea dreaptă este situată în respectivulplan).

A5. Fie α şi β două plane.

Se presupune că există A ∈ α ∩ β . Atunci există un punct B în spaţiu(adică B S∈ ) astfel încât B A≠ şi B ∈ α ∩ β

(dacă două plane au un punct comun, ele mai au şi alt punct comun).

Acum putem demonstra axiomatic următoarea

Teoremă. Fie α şi β plane, α ≠ β . Dacă α ∩β ≠ ∅ , atunci există o unică dreaptă d

cu proprietatea că d α ∩β = (dacă două plane diferite au un punct comun,atunci ele au o dreaptă comună).





Demonstraţ ie. Fie P ∈ α ∩ β . Din A5 rezultă că există ,Q P Q≠ ∈ α ∩ β . Atunci, fie d unica dreaptă cu proprietatea că ,P d Q d ∈ ∈ (cu A1). Acumfolosim A4 şi obţinem că d ⊂ α şi d ⊂ β , deci d ⊂ α ∩β .

Am terminat demonstraţia? Nu! Într-adevăr, noi vrem să ar ătăm că d α ∩β = (şi am ar ătat numai incluziunea d ⊂ α ∩ β ). Aşadar, trebuie să

mai ar ătăm şi că d α ∩β ⊂ .Să presupunem, prin absurd, că incluziunea d α ∩β ⊂ este falsă. Aşadar, există un punct M ∈ α ∩ β cu proprietatea că M d ∉ . Aşadar,punctele P, Q, M sunt necoliniare.

Acum, folosim A2 şi obţinem un plan unic γ cu proprietatea că P ∈ γ ,Q ∈ γ şi , şiP Q M ∈ γ ∈ γ ∈ γ . Dar: , ,P Q M ∈ α ∈ α ∈ α , deci α = planulPQM (deoarece P, Q, M sunt necoliniare, cu A2). La fel, β = planul PQM. În final rezultă că , fals.α = β

Comentariu. Dreapta unică din teoremă (care apare ca intersecţie a planelor distincteα şi β ) se numeşte dreapta comună a planelor α şi β (v. fig. 1.114).

Fig. 1.114

În continuare vom folosi şi următoareaDefiniţie. Se spune că două drepte d 1 şi d 2 sunt coplanare dacă există un plan α cu

proprietatea că 1d ⊂ α şi 2d ⊂ α .

Teoremă. Fie d 1 şi d 2 două drepte distincte care au un (unic!) punct comun. Atunciexistă un unic plan α (numit planul determinat de dreptele d 1 şi d 2)astfel încât 1 2,d d ⊂ α ⊂ α (în particular, d 1 şi d 2 sunt coplanare).

Teoremă. Fie o dreaptă d şi un punct A d ∉ . Atunci, există un unic plan α (numitplanul determinat de dreapta d şi punctul A) astfel încât şid A⊂ α ∈ α .

B. Poziţii relative. Paralelism.B1. Două drepte

Se consider ă două drepte distincte d 1 , d 2 în spaţiul S. Să vedem careeste poziţia lor relativă.

Avem două situaţii: 1 2d d ∩ ≠ ∅ sau 1 2d d ∩ = ∅ .

În situaţia când 1 2d d ∩ ≠ ∅ , rezultă că intersecţia celor două drepte se

reduce la un punct (dacă ar avea mai mult de un punct în comun, arrezulta că dreptele coincid). Aşadar, există M S∈ aşa ca { }1 2 .d d M ∩ =

Putem da, deci, următoareaDefiniţie. Se spune că dreptele d 1 şi d 2 sunt concurente dacă ele se intersectează

într-un punct M (se spune că d 1 şi d 2 sunt concurente în M ).





Fig. 1.115Rezultă cu cele ce preced (v. fig. 1.115) că în situaţia când d 1 şi d 2 suntconcurente în M , atunci d 1 şi d 2 sunt coplanare (ele sunt situate în planulα determinat de ele).

În situaţia când 1 2d d ∩ = ∅ , avem două cazuri:

– cazul când d 1 şi d 2 sunt coplanare. În acest caz, spunem că d 1 şi d 2 suntparalele şi scriem 1 2||d d . Mai precis, avem următoarea

Definiţie. Două drepte distincte d 1 şi d 2 se numesc paralele dacă sunt coplanare şi

1 2

d d ∩ = ∅ (nu se intersectează).

Mai spunem că d 1 este paralelă cu d 2 (sau că d 2 este paralelă cu d 1,sau că d 1 şi d 2 sunt drepte paralele). În această situaţie notăm 1 2d d .

Fig. 1.116

Rezultă că două drepte paralele d 1, d 2 (v. fig. 1.116) determină un plan

unic α astfel încât 1 2,d d ⊂ α ⊂ α (α se numeşte planul determinat de d 1

şi d 2). Acest plan coincide cu planul determinat de d 1 şi un punct oarecareal lui d 2 (sau de d 2 şi de un punct oarecare al lui d 1).

– cazul când d 1 şi d 2 nu sunt coplanare.

Definiţie. Două drepte d 1 şi d 2 se numesc drepte necoplanare dacă ele nu suntcoplanare.

Atenţie! Acest tip de poziţie relativă (drepte necoplanare) este specific spaţiului! Înplan, două drepte distincte puteau fi numai concurente sau paralele.Există drepte necoplanare!

B2. O dreaptă şi un plan

Consider ăm o dreaptă d şi un plan α . Să vedem care este poziţia lorrelativă.

Avem două situaţii: d ∩ α ≠ ∅ sau d ∩ α = ∅ .

În situaţia când d ∩ α ≠ ∅ , avem două cazuri

– Cazul când d ⊂ α (dreapta d este situată în planul α ).

– Cazul când d ∩ α ≠ ∅ şi incluziunea d ⊂ α este falsă. În acest caz,rezultă că intersecţia d ⊂ α se reduce la un punct M (dacă ar exista

,N M N d ≠ ∈ ∩ α , ar rezulta că NM d = ⊂ α , fals).





Definiţie. Spunem că o dreaptă d este incidentă cu planul α (sau incidentă planului α ) dacă există un punct M cu proprietatea că { }d M ∩ α = (se

spune că dreapta d înţeapă planul într-un punct, v. fig. 1.117).

Fig. 1.117

În situaţia când d ∩ α = ∅ , dreapta d este paralelă cu planul α . Maiprecis:

Definiţie. Fie α un plan şi d o dreaptă. Spunem că dreapta d este paralelă cu planul α

(sau planul α este paralel cu dreapta d , sau d şi α sunt paralele) dacă d ∩ α = ∅ (planul α şi dreapta d nu se intersectează).

În acest caz, notăm d α (sau d α ).

B3. Două plane

Consider ăm două plane α şi β . Să vedem care este poziţia lor relativă.

Avem două situaţii: α ∩β ≠ ∅ sau α ∩β = ∅ .

În situaţia când α ∩β ≠ ∅ , am demonstrat o teoremă care spune că intersecţia planelor α şi β este o dreaptă (dreapta comună a celor două

plane). A se vedea din nou fig. 1.114.

În situaţia când α ∩β = ∅ , planele α şi β se numesc paralele. Mai precis:

Definiţie. Spunem că planele α şi β sunt paralele (sau că α şi β sunt plane

paralele) dacă α ∩β = ∅ . În acest caz notăm α β .

În fig. 1.118, planele α şi β sunt paralele.

Fig. 1.118

Axioma lui Euclid în spaţiu

Fie d o dreaptă şi M un punct din spaţiu cu proprietatea M d ∉ .

Atunci, există o dreaptă unică e cu proprietăţile:

M e∈ şi e d

(prin orice punct din afara unei drepte se poate duce o paralelă şi numaiuna la acea dreaptă).

Să mai semnalăm câteva proprietăţi care rezultă din cele de mai sus.





Teoremă. Există trei drepte d, e, f , paralele două câte două, care nu sunt coplanare.(v. fig. 1.119)

Fig. 1.119

Teoremă. Fie un plan α şi o dreaptă d care nu este situată în α (adică incluziunead ⊂ α este falsă). Se presupune că există o dreaptă e ⊂ α cuproprietatea că d e . Atunci d α .

Teoremă. Fie un plan α şi o dreaptă d cu proprietatea d α . Atunci, pentru oriceplan β care are proprietăţile d β ⊃ şi β ∩ α ≠ ∅ , rezultă că dreaptacomună planelor β şi α este paralelă cu d .

Ilustr ăm teorema de mai sus în fig. 1.120, unde o dreaptă comună estee = β ∩ α .

Fig. 1.120

Teoremă. Fie un plan α şi o dreaptă d cu proprietatea d α .1. Pentru orice M ∈ α există o dreaptă unică e ⊂ α cu proprietatea că e d .

2. Pentru orice M ∈ α , paralela unică e la d care trece prin M (v. axiomalui Euclid) are proprietatea că e ⊂ α . (v. fig. 1.120).

Teoremă. Fie un plan α şi un punct M care nu apar ţine lui α . Consider ăm două drepte 1d şi 2d care sunt concurente în M şi sunt paralele cu α . Atunci,

planul determinat de 1d şi 2d este paralel cu α .

Consecinţă. (Varianta planar ă a axiomei lui Euclid)Fie α un plan şi M un punct care nu apar ţine lui α . Atunci, există un unicplan β care trece prin M şi este paralel cu α .






1. Să se arate că există două drepte necoplanare.

2. a) Fie d, e, f trei drepte distincte cu proprietăţile d e şi e f . Să searate că d f .

b) Enunţaţi şi demonstraţi o proprietate similar ă pentru plane.







1.3.2. Perpendicularitate în spaţiu. Unghiuri în spaţiu

A. Perpendicularitate în spaţiu. Primele noţiuni

Vom generaliza paralelismul, îngăduind şi egalitatea, pentru a da enunţurimai scurte.

Definiţie. Fie d şi e drepte în spaţiul S. Spunem că d şi e sunt paralele în sensgeneralizat (sau că d este paralelă în sens generalizat cu e, sau e esteparalelă în sens generalizat cu d ) dacă d e sau d =e.

Rezultă imediat următoarea

Teoremă. Fie d o dreaptă şi M un punct în spaţiul S. Atunci, există o unică dreaptă e care este paralelă în sens generalizat cu d şi trece prin M (adică M e∈ ).

În situaţia de mai sus se vede că e = d dacă şi numai dacă M d ∈ .

Două drepte (perpendiculare)

Acum putem da următoarea

Definiţie. Fie d şi e drepte în spaţiu. Se spune că d şi e sunt perpendiculare (saucă d este perpendicular ă pe e sau e este perpendicular ă pe d ) dacă există un punct M S∈ astfel încât se verifică următoarea proprietate: dacă

1d este unica paralelă în sens generalizat cu d care trece prin M şi 1e este

unica paralelă în sens generalizat cu e care trece prin M , avem 1 2d d ⊥ .

În situaţia de mai sus, vom nota d e⊥ .

Remarcă. Afirmaţia (valabilă în geometria plană) „două drepte perpendiculare peaceeaşi dreaptă sunt paralele” nu mai este valabilă în spaţiu (din cauza

existenţei dreptelor coplanare).Observaţii. 1. Conceptul de perpendicularitate introdus mai sus generalizează

perpendicularitatea plană. Anume, dacă d şi e sunt coplanare şiperpendiculare, ele se intersectează într-un punct M şi, putem lua

1 1,d d e e= = .

2. Poate că unii cititori şi-au pus problema coerenţei definiţiei de mai sus.Mai precis, ne întrebăm: definiţia este dependentă de punctul M ? Cu altecuvinte, dacă vom lua un alt punct N şi vom duce prin el dreptele 2d

(unica paralelă în sens generalizat cu d dusă prin N ) şi 2e (unica paralelă

în sens generalizat cu e), va rezulta oarecare că 2 2d e⊥ ?Din fericire, r ăspunsul este afirmativ. Cu alte cuvinte, avem următoareaechivalenţă:

( )d e⊥ ⇔ (pentru orice punct O S∈ , dacă d ′ este unica paralelă în sens

generalizat cu d care trece prin O şi e′ este unica paralelă în sensgeneralizat cu e care trece prin O, avem d e′ ′⊥ ).

Această echivalenţă este ilustrată în fig. 1.121.





Fig. 1.121

Teorema de conservare a perpendicularităţii pentru drepte. Dacă 1 1, , ,d d e e sunt

drepte astfel încât d e⊥ , d 1 şi d sunt paralele în sens generalizat, e şi e1 sunt paralele în sens generalizat, rezultă că 1 1d e⊥ .

Două plane (perpendiculare)

Definiţie. Fie α şi β două plane distincte care nu sunt paralele şi d dreapta lor

comună. Se spune că α şi β sunt perpendiculare (sau că α esteperpendicular pe β , sau β este perpendicular pe α ) dacă există M d ∈ astfel încât se verifică următoarea proprietate: notând cu e perpendicularape d în M dusă în planul α (adică e ⊂ α ) şi notând cu f perpendiculara ped în M dusă în planul β (adică f ⊂ β), avem e f ⊥ .

În situaţia de mai sus, vom nota α ⊥ β .

Observaţie. Din nou, definiţia este coerentă, deoarece nu depinde de punctul M . Maiprecis, avem următoarea echivalenţă:

( )α ⊥ β ⇔ (pentru orice punct N d ∈ , dac

ă not

ăm cu u perpendiculara pe

d în N dusă în α şi cu v perpendiculara pe d în N dusă în β , atunciu v ⊥ ).

Această echivalenţă este ilustrată în fig. 1.122.

Fig. 1.122

Teorema de conservare a perpendicularităţii pentru plane. Fie 1 1, , ,α β α β plane. Se

presupune că:a) α ⊥ β

b) 1 1sauα α α = α

c) 1 1sauβ β β = β

atunci 1 1α ⊥ β .





Avem şi următoarea teoremă, care seamănă cu un enunţ din plan.

Teoremă. Fie α , β , γ trei plane distincte. Se presupune că α ⊥ γ şi β ⊥ γ . Atunciα β (două plane perpendiculare pe acelaşi plan sunt paralele).

Un plan şi o dreaptă (perpendiculare)

Se poate demonstra urmă

toarea:

Teoremă. Fie α un plan şi d o dreaptă. Următoarele afirmaţii sunt echivalente:1. Există două drepte concurente 1e şi 2e situate în planul α , cu

proprietatea că 1d e⊥ şi 2d e⊥ .

2. Pentru orice dreaptă f situată în planul α , avem d f ⊥ .

Această teoremă permite să dăm următoarea:

Definiţie. Se spune că o dreaptă d este perpendicular ă pe un plan α dacă d areproprietatea că este perpendicular ă pe orice dreaptă e ⊂ α .

În situaţia de mai sus, scriem d ⊥ α .Pe baza teoremei de mai sus, deducem că avem echivalenţa:

( )d ⊥ α ⇔ (există 1 2 1 2, , şie e e e⊂ α ⊂ α concurente, astfel încât 1d e⊥ şi

2d e⊥ ).

Aşadar, pentru a verifica faptul că dreapta d este perpendicular ă pe unplan α este suficient să găsim două drepte distincte care nu sunt paralelesituate în α , astfel încât d este perpendicular ă pe fiecare din ele.

Situaţia este ilustrată în fig. 1.123, unde d ⊥ α .

Fig. 1.123

Observaţie. Dacă o dreaptă d este perpendicular ă pe o dreaptă e situată într-un plan α (deci d este perpendicular ă pe orice paralelă e′ la e situată în α ) nu rezultă că d este perpendicular ă pe α (v. fig. 1.124, unded e⊥ ⊂ α , dar d nu este perpendicular pe f ⊂ α ).

Fig. 1.124





Teoremă. Fie d, e drepte distincte şi α un plan. Se presupune că şid eα α ⊥ ⊥ . Atunci d e (două drepte perpendiculare pe acelaşi plan sunt paralele).

Teoremă. Fie α , β două plane distincte şi d o dreaptă. Să presupunem că d α ⊥ şid β ⊥ . Atunci α β (două plane perpendiculare pe aceeaşi dreaptă sunt

paralele).

Teorema de conservare a perpendicularităţii dreaptă – plan. Fie ,α α ′ plane şi ,d d ′ drepte. Se presupune că:1. d α ⊥

2. α α ′ sau α α ′=

3. saud d d d ′ ′= (adică şid d ′ sunt paralele în sens generalizat). Atuncid α ′ ′⊥ .

Construcţii

Teoremă. Fie α un plan şi A un punct care nu apar ţine lui α . Atunci există o unică dreaptă d care trece prin A şi este perpendicular ă pe α .

Numim pe d perpendiculara din A pe α . Punctul (unic) de intersecţie A′ al dreptei d cu α se numeşte piciorul perpendicularei din A pe α .

Atenţie! Dacă A ∈ α , atunci A A′= . În fig. 1.125 avem ilustrate cazurile A ∉ α şi A ∈ α .

Fig. 1.125

Teoremă. Fie d o dreaptă şi A d ∈ . Există un unic plan α cu proprietăţile A ∈ α şid ⊥ α . Spunem că d este normală la α în A.

Uneori spunem şi că α este normal la d în A.

În fig. 1.125, d este normală la α în ' A .Teoremă. Fie d o dreaptă şi A un punct în spaţiu, care nu se află pe d . Există o unică

dreaptă e care trece prin A, este perpendicular ă pe d şi este concurentă cu d.

Numim pe e perpendiculara din A pe d care este concurentă cu d .Punctul (unic) de intersecţie A′ al dreptei d cu e se numeşte piciorulperpendicularei din A pe d . În general, punctul în care o dreaptă perpendicular ă pe un plan intersectează planul se numeşte piciorulperpendicularei. A se vedea fig. 1.126.





Fig. 1.126

Teoremă. Fie d o dreaptă şi A un punct în spaţiu. Există o infinitate de drepte caretrec prin A şi sunt perpendiculare pe d. Toate aceste drepte suntcoplanare, găsindu-se într-un plan α normal la d . Anume, dacă A d ∉ , α este planul normal la d în A′ = piciorul perpendicularei din A pe d , iar dacă A d ∈ , α este planul normal la d în A.

În ce priveşte construcţia planelor perpendiculare pe un plan dat, rezultatulfundamental este următoarea

Teoremă. Fie α şi β două plane. Următoarele afirmaţii sunt echivalente:1. α ⊥ β

2. Există o dreaptă d cu proprietăţile: d ⊂ β şi d ⊥ α (adică β conţine odreaptă perpendicular ă pe α )

3. Există o dreaptă e cu proprietăţile: e α ⊂ şi e β ⊥ (adică α conţine odreaptă perpendicular ă pe β ).

Teorema este ilustrată în fig. 1.127, unde dreapta d este perpendicular ă pe planul α şi este inclusă în planul β (deci β ⊥ α ).

Fig. 1.127

Avem următoarele consecinţe ale acestei teoremeTeoremă. Fiind dat un plan α şi un punct A, există o infinitate de plane α care sunt

perpendiculare pe α şi trec prin A (sunt toate planele care conţinperpendiculara din A pe α ). A se vedea fig. 1.127.

Teoremă. Fiind date o dreaptă d şi un plan α , avem următoarele rezultate:1. Dacă d ⊥ α , există o infinitate de plane β cu proprietăţile: β ⊥ α şi

d β ⊃ (v. fig. 1.127)

2. Dacă d nu este perpendicular ă pe α , există un plan unic β cuproprietăţile β ⊥ α şi d β ⊃ (este planul determinat de dreapta d şi oriceperpendicular ă p dusă dintr-un punct A al lui d pe planul α , v. fig. 1.128 )





Fig. 1.128

Încheiem această parte dedicată primelor noţiuni cu teorema celor treiperpendiculare şi reciprocele sale (v. fig. 1.129).

Fig. 1.129

Teorema celor trei perpendiculare.Fie α un plan şi d o perpendicular ă pe α (d este prima perpendicular ă)cu piciorul O. Se consider ă o dreaptă a situată în planul α care trece prinO. Fie şi b o dreaptă situată în planul α , b a⊥ (b este a douaperpendicular ă). Notăm cu U punctul de intersecţie al dreptelor a şi b.

Atunci, pentru orice punct M d ∈ , rezultă că MU b⊥ (MU este a treia

perpendicular ă).

Prima reciprocă a teoremei celor trei perpendiculare.

Fie α un plan şi d o perpendicular ă pe α cu piciorul O. Fie a ⊂ α odreaptă care trece prin O. Fie şi b ⊂ α altă dreaptă care intersectează pea în U . Să presupunem că există un punct M d ∈ cu proprietatea că MU b⊥ . Atunci a b⊥ .

A doua reciprocă a teoremei celor trei perpendiculare

Fie α un plan şi a, b două drepte perpendiculare situate în α , care seintersectează în punctul U .

Fie şi d o dreaptă incidentă cu planul α care este concurentă cu a înpunctul O ∈ α .

Se presupune că d a⊥ . Se mai presupune că există M d ∈ cuproprietatea că .MU b⊥

Atunci d ⊥ α .





B. Proiecţii. Distanţe.

Un punct se poate proiecta pe un plan sau pe o dreaptă.

Definiţie. Fie A un punct şi α un plan în spaţiul S. Proiecţia lui A pe α estepunctul A′ obţinut astfel: – dacă A ∉ α , atunci A′ este piciorul perpendicularei din A pe α ;

– dacă A ∈ α , atunci A A′ = .

Similar, dăm următoarea

Definiţie. Fie A un punct şi d o dreaptă. Proiecţia lui A pe d este punctul A′ obţinutastfel: – dacă A d ∉ , atunci A′ este piciorul perpendicularei din A pe d ;

– dacă A d ∈ , atunci A A′ = .

Observaţie. Definiţia proiecţiei unui punct pe o dreaptă este, de fapt, o noţiune degeometrie plană! Într-adevăr, întreaga procedur ă are loc în planul

determinat de dreapta d şi punctul A (dacă A d ∉ ).Dacă A d ∈ chestiunea devine banală.

Acum putem proiecta o întreagă figur ă geometrică.

Definiţie. Fie Γ o figur ă geometrică şi fie α un plan (respectiv d o dreaptă).Proiecţia lui Γ pe α (respectiv pe d ) este totalitatea proiecţiilor tuturorpunctelor din Γ peα (respectiv pe d ).

Proiecţia unei drepte d pe un plan α este o dreaptă (dacă d nu esteperpendicular ă pe α ) sau un punct (dacă d ⊥ α ).

Temă practică. Cititorul este invitat să facă figurile adecvate pentru justificarea afirmaţiilorde mai sus.

Cu ajutorul proiecţiilor, putem determina distanţa de la un punct la odreaptă sau la un plan.

Definiţie. Fie α un plan respectiv d o dreaptă şi A un punct. Distanţa de la punctul

A la planul α ( respectiv la dreapta d ) este lungimea segmentului AA',unde A' este proiecţia lui A pe α (respectiv d ).

Motivul pentru care s-a dat această definiţie este un argument deminimalitate. Mai precis:

Întâi să luăm un punct A şi un plan α . Dacă A ∈ α , este normal să spunem că distanţa de la A la α este nulă.

Dacă A ∉ α (fig. 1.130), se poate demonstra următorul fapt:

Fig. 130





Teoremă. Dacă A' este proiecţia lui A pe planul α , atunci, pentru orice alt punctB ∈ α , avem AB AA′> (spunem că proiecţia unui punct A pe un plan α este cel mai apropiat de A punct din α ).

Similar, să luăm un punct A şi o dreaptă d . Dacă A d ∈ , este normal să spunem că distanţa de la A la d este nulă. Dacă A d ∉ (fig. 1.131) se poate

demonstra următorul faptTeoremă. Dacă A′ este piciorul perpendicularei din A pe d , atunci, pentru orice alt

punct B d ∈ , avem AB AA′> (spunem că proiecţia unui punct A pe odreaptă d este cel mai apropiat de A punct din d ).

Fig. 1.131

Putem defini şi distanţa între figuri geometrice. Evident, dacă figurilerespective au puncte comune, vom spune că distanţa între ele este nulă.

Definim, în continuare, câteva tipuri de distanţe între figuri geometrice carenu au puncte comune.

Definiţie. Distanţa între două plane paralele α şi β (fig. 1.132) este un număr strictpozitiv obţinut astfel:

Se ia un punct arbitrar A ∈ α , se notează cu A′ proiecţia lui A pe β .

Distanţa între α şi β este AA'.(Definiţia nu depinde de felul cum se alege A ∈ α . Se poate porni cu unpunct B ∈β care se proiectează în B′ ∈ β şi BB′ este distanţa între α şiβ , adică ' 'BB AA= ).

Fig. 1.132

Definiţie. Distanţa dintre un plan α şi o dreaptă d paralelă cu α (fig. 1.133) este unnumăr strict pozitiv care se obţine astfel:

Se ia un punct arbitrar A d ∈ , se notează cu A′ proiecţia lui A pe α .Distanţa între α şi d este AA'.

(Definiţia nu depinde de felul cum se alege A d ∈ ).





Fig. 1.133

Încheiem cu distanţa între două drepte care nu se intersectează. Elepot fi paralele sau necoplanare.

Definiţie. Distanţa între două drepte paralele d şi e (fig. 1.134) este un număr strictpozitiv care se obţine astfel:

Se ia un punct A d ∈ şi se notează cu A′ proiecţia lui pe e. Distanţa întred şi e este AA'.

(Definiţia nu depinde de felul cum se alege A d ∈ . Se poate porni cuB e∈ , se proiectează B în B' pe d şi distanţa între d şi e este BB′ ).

Fig. 1.134

Distanţa între două drepte necoplanare se defineşte mult mai greu.Pentru a ajunge la această distanţă, vom face o construcţie specială şivom defini un nou concept.

Teoremă. Fie a şi b două drepte necoplanare. Există o dreaptă d unică avândurmătoarele proprietăţii) d este concurentă şi cu a şi cu b (adică ,d a d b∩ ≠ ∅ ∩ ≠ ∅ )

ii) d este perpendicular ă şi pe a şi pe b (adică ,d a d b⊥ ⊥ ).

Dreapta d se numeşte perpendiculara comună a dreptelor a şi b.

Vom da construcţia perpendicularei comune a dreptelor a şi b (v. fig. 1.135a) şi b))

Fig. 1.135

În primă instanţă (fig. 1.135 a)) construim un plan α care include pe a şieste paralel cu b. Planul α poate fi construit astfel: se ia un punct P a∈ ,





se construieşte dreapta b′ care satisface condiţiile P b′∈ şi b b′ şiatunciα este planul determinat de a şi b′ .

Apoi construim planul β care include dreapta a şi este perpendicular peplanul α după cum urmează: construim unica dreaptă c care trece prin P şi este perpendicular ă pe planul α şi atunci β este planul determinat de c

şi a. În secundă instanţă (fig. 1.135 b)) se arată că b este incidentă pe planul β şi notăm cu M punctul de intersecţie dintre b şi β . Notăm cu d unicaparalelă dusă prin M la c şi d este dreapta căutată.

În fig. 1.135. b), d = MN (N d a∈ ∩ ).

Cu ajutorul perpendicularei comune, putem defini distanţa între două drepte necoplanare.

Definiţie. Fie a şi b două drepte necoplanare. Perpendiculara lor comună d seintersectează cu a în A şi cu b în B.

Prin definiţie, distanţa între dreptele necoplanare a şi b este numărul (strictpozitiv) AB.

Acest mod de definire este şi el bazat pe un argument de minimalitate. Anume, se demonstrează următoarea:

Teoremă. Fie a şi b două drepte necoplanare şi d perpendiculara lor comună careintersectează pe a în A şi pe b în B. Atunci, dacă A a′ ∈ şi B b′ ∈ sunt puncte astfel încât A A′≠ sau B B′≠ ,avem A B AB′ ′ > (se spune că perpendiculara comună realizează cea maimică distanţă între cele două drepte).

C. Unghiuri în spaţiu Începem cu definirea unghiului a două drepte (semidrepte) în spaţiu).

Fie d şi e două drepte.

Dacă d e sau d e= , spunem că d şi e fac între ele un unghi nul (saucă unghiul lor este nul).

Dacă d şi e sunt concurente, unghiul lor se defineşte în acelaşi mod încare am definit unghiul a două drepte în plan (deoarece d şi e suntcoplanare şi totul se poate măsura în planul determinat de ele).

În fine, dacă d şi e sunt necoplanare, se consider ă un punct oarecare M alspaţiului S, se duc prin M dreptele d ′ (paralelă în sens generalizat cu d )

Fig. 1.136

şi e′ ( paralelă în sens generalizat cu e). Atunci (fig. 1.136) se consider ă

acela dintre cele patru unghiuri formate (două câte două opuse la vârf)care are măsura mai mică (adică este ascuţit sau drept) şi această măsur ă este măsura unghiului format de dreptele d şi e.





Definiţia nu depinde de punctul M ales, furnizând aceeaşi valoare pentruunghiul format de d şi e.

Observaţie. Dacă d şi e sunt perpendiculare (în sensul definiţiei anterioare), cele patruunghiuri formate în M ′ sunt drepte şi regăsim cu noua definiţie faptul că

unghiul format de d şi e are măsura egală cu 90 (sau

2

πrad).

Rezumând, putem da următoarea:

Definiţie. Unghiul a două drepte d şi e are măsura egală cu măsura „celui mai mic”unghi f ăcut de două paralele în sens generalizat la d şi e care sunt duseprintr-un punct oarecare al spaţiului.

Dacă d şi e sunt semidrepte în spaţiu, construcţii asemănătoare conduc ladeterminarea unghiului format de d şi e. Trebuie să fim atenţi la „păstrareasensului” (nu intr ăm în amănunte) şi atunci putem găsi şi unghiuriobtuze formate cu două semidrepte (v. fig. 1.137).

Fig. 1.137

Continuăm cu unghiul a două plane (semiplane) – unghi diedru.

Consider ăm două plane α şi β .

Dacă α β sau α = β , vom spune că α şi β fac între ele unghiul nul (sau că unghiul lor este nul).

Dacă α şi β sunt distincte şi nu sunt paralele, să notăm cu d dreapta lorcomună. Luăm un punct M d ∈ (fig. 1.138 a)) şi ducem în planul α perpendiculara a pe d şi în planulβ perpendiculara b pe d . Atunci, unghiulplanelor α şi β este, prin definiţie, unghiul dreptelor a şi b.

Definiţia nu depinde de alegerea lui M pe d , furnizând aceeaşi valoare amăsurii unghiului planelor.

Fig. 1.138

Luând numai semiplane (fig. 1.138),obţinem figura numită diedru (sauunghi diedru). Măsura unui unghi diedru este măsura unghiului format de

semidreptele a şi b, perpendiculare pe d din figur ă (poate fi şi unghiobtuz).





Rezumând, avem următoarea:

Definiţie. Unghiul a două plane este unghiul format de cele două perpendiculareduse pe dreapta lor comună într-un punct al ei şi care sunt conţinute încele două plane.

Observaţie. Dacă planele sunt perpendiculare (în sensul definiţiei anterioare),

constatăm că „noua” definiţie coincide cu„vechea” definiţie. Anume, în acest caz unghiul celor două plane are

măsura de 90 (sau2

π rad).

Să discutăm şi despre unghiul f ăcut de o dreaptă cu un plan.

Definiţie. Fie o dreaptă d şi un plan α .Dacă d ⊂ α sau d α , spunem că d şi α fac între ele unghiul nul (saucă unghiul lor este nul).

Dacă d este incidentă cu α (fig. 1.139), unghiul f ăcut de d cu α se

defineşte astfel: – Dacă d ⊥ α (în sensul definiţiei anterioare) spunem că d şi α fac întreele un unghi drept (fig. 1.139 a)).

– Dacă d nu este perpendicular ă pe α , fie A punctul de intersecţie al lui dcu α . Consider ăm un punct oarecare ,M d M A∈ ≠ şi proiecţia sa M ′ pe

α . Atunci, prin definiţie, unghiul f ăcut de d cu α este unghiul MAM ′ (fig.1.139 b)).

Prin urmare, unghiul f ăcut de dreapta d cu planul α este, de fapt, unghiulf ăcut de dreapta d cu proiecţia sa în planul α , care este dreapta AM ′ .

(Definiţia nu depinde de alegerea lui M pe d , obţinând acelaşi unghi pentrutoate alegerile posibile).

Fig. 1.139

Observaţie. Şi această definiţie este dată pe baza unor considerente de minimalitate. Anume, avem următoarea

Teoremă. Se consider ă un plan α şi o dreaptă d incidentă cu α care nu esteperpendicular ă pe α . Atunci, unghiul f ăcut de dreapta d cu α areproprietatea că are cea mai mică măsur ă dintre toate unghiurile f ăcute ded cu o dreaptă oarecare din planul α .

Legăm cele prezentate până acum de probleme de măsurare.





Teorema de măsurare a proiecţiei

I. Fie o dreaptă d şi A, B puncte coplanare cu d (fig. 1.140 a)). Consider ămproiecţia A′ a lui A pe d şi proiecţia B′ a lui B pe d . Avem relaţia

cos A B AB u′ ′ = , unde u este unghiul f ăcut de dreapta AB cu d . Înparticular, dacă AB d ⊥ , avem 0 A B′ ′ = (adică A B′ ′= ).

II.1. Fie un plan α şi A, B puncte în spaţiu (fig. 1.140 b)). Consider ămproiecţia A′ a lui A pe α şi proiecţia B′a lui B pe α .

Avem relaţia cos A B AB u′ ′ = unde u este unghiul f ăcut de dreapta AB cuα .

În particular, dacă AB ⊥ α , avem A B′ ′= .

2. Fie un plan α şi un alt plan β . Se consider ă în planul β o figur ă geometrică Σ care are arie. Fie ′Σ proiecţia lui Σ pe α (fig. 1.140 c)).

Avem formula:

( ) ( )aria aria cos t ′Σ = Σ unde t este unghiul f ăcut de planele α şi β .

Fig. 1.140






1. Se consider ă un plan α şi două drepte perpendiculare d şi e, astfel încât d α şi e nu este perpendicular ă pe α . Fie d ′ (respectiv e′ )proiecţiile lui d (respectiv e) pe α .

Să

se arate că d e′ ′

⊥.

2. Fie un plan α , un punct O ∈ αşi d normala la α în punctul O. Fie şi A,

B două puncte în α cu proprietatea că 0OA OB= > .

Să se arate că pentru orice punct M d ∈ , dreptele MA şi MB fac unghiuricongruente cu planul α .







1.3.3. Poliedre. Piramida, tetraedrul, prisma, paralelipipedul

A. Poliedre

În plan am vorbit despre poligoane, considerându-le în două moduri: calinie poligonală sau ca suprafaţă poligonală.

Vom încerca să facem aceeaşi discuţie nuanţată şi în spaţiu. Aici noţiuneafundamentală este noţiunea de poliedru. Vom considera poliedrul din treipuncte de vedere: ca linie poliedrală („dimensiunea” sa este 1), casuprafaţă poliedrală („dimensiunea” sa este 2) şi ca volum poliedral (sau corp poliedral) („dimensiunea” sa este 3). Dacă va reieşi dincontext, vom spune simplu „poliedru”, în loc de a spune „suprafaţă poliedrală” sau „corp poliedral” etc.

Definiţia primordială se refer ă la suprafeţele poliedrale.

Definiţie. O suprafaţă poliedrală este o reuniune finită de suprafeţe poligonale

(numite feţele poliedrului) în spaţiul S, ale căror laturi se numescmuchiile poliedrului şi ale căror vârfuri se numesc vârfurile poliedrului,supuse la următoarele condiţii (vom nota poliedrul cu 1 2.... n A A A , unde

i A

sunt vârfurile sale):(i) Vârfurile 1 2.... n

A A A nu sunt coplanare (deci 4n ≥ ).

(ii) Două feţe diferite nu sunt coplanare şi, dacă au intersecţia nevidă,atunci această intersecţie este formată dintr-un vârf sau dintr-o muchiecomună celor două feţe.

(iii) Orice două vârfuri pot fi unite printr-o linie poligonală normală careeste reuniunea unui număr finit de muchii ale poliedrului.

(iv) Pentru orice vârf A al poliedrului, există un număr 3n ≥ cu proprietateaurmătoare: există exact n feţe şi n muchii care conţin pe A şi, în plus, dacă cele n feţe care îl conţin pe A sunt notate 1 2, ,...

nα α α , atunci cele n muchii

care îl conţin pe A pot fi notate 12 23 1 1, ,... ,n n na a a a a a− , astfel încât 12a este

muchie comună pentru 1α şi 2α , 23a este muchie comună pentru 2α şi

3α ...,1n n

a a− este muchie comună pentru 1n−α şin

α , iar 1na a este muchie

comună pentrunα şi 1α .

Dacă, în plus, se verifică şi proprietatea

(v) Pentru orice faţă, toate vârfurile care nu apar ţin acelei feţe se află înacelaşi semispaţiu generat de planul feţei respective, atunci poliedrul senumeşte convex.

În acest caz, privit ca un corp poliedral, poliedrul este o mulţime convexă în spaţiu. Tot în acest caz, intersecţia tuturor semispaţiilor deschisegenerate de planele feţelor poliedrului, semispaţii care au şi proprietateade a conţine, fiecare, cel puţin un vârf al poliedrului, se numeşte interiorulpoliedrului.

Poliedrele se numesc, în general, după numărul feţelor lor, cu denumirile

numerelor în limba greacă: tetraedru (4 feţe), pentaedru (5 feţe),hexaedru (6 feţe), heptaedru (7 feţe), octaedru (8 feţe), decaedru (10feţe), dodecaedru (12 feţe), icosaedru (20 feţe).





În general, un poliedru cu n feţe se numeşte n - edru (evident, 4n ≥ ).

Teoremă. Pentru orice 4n ≥ există un n – edru convex.

Acest lucru se poate vedea astfel (v. fig. 1.141)

Fig. 1.141

Consider ăm un poligon convex plan cu n – 1 laturi 1 2 1...n A A A − . Consider ăm

şi un punct V din spaţiu, care nu este coplanar cu 1 2 1... n A A A − . Atunci,poliedrul convex 1 2 1...

nVA A A − (Atenţie! Cititorul este invitat să verifice

proprietăţile (i), (ii)...(v)) este un n – edru convex. Acest tip de poliedru senumeşte piramidă (vom reveni).

În fig. 1.142 avem un tetraedru. (este o piramidă particular ă cu „baza“ untriunghi; aici n = 4).

Se poate ar ăta că orice tetraedru este convex.

Fig. 1.142

În fig. 1.143 a) şi b) avem două hexaedre convexe. Anume, la 1.143 a)avem un paralelipiped drept (vom reveni), iar la fig. 1.143 b) avem o

piramidă pentagonală.

Fig. 1.143

În fig. 1.144 avem un poliedru care nu este convex.





Fig. 1.144

În fig. 1.145, figura ABCUVA B C U V ′ ′ ′ ′ ′ nu este poliedru. Într-adevăr, dinvârful A pornesc „muchiile” AB, AU, AV, AC, şi AA' (în număr de 5). Înacelaşi timp, „vârful ” A apar ţine „feţelor” ABC, ABU, AUV, AVC, ABA'B', ACA'C' (în număr de 6). Axioma (iv) nu este respectată! Cititorul va înţelege mai bine fig. 1.145 gândind figura AUVA'U'V' ca „interioar ă” figurii ABCA'B'C' .

Fig. 1.145

În legătur ă cu poliedrele convexe, avem următoarea teoremă fundamentală

Relaţia lui Euler asupra poliedrelor convexe. Într-un poliedru convex, să notăm:V = numărul vârfurilor

M = numărul muchiilor

F = numărul feţelor

Atunci avem formula:

V + F = M + 2.

Să verificăm relaţia lui Euler pentru hexaedrele de la fig. 1.143.

Pentru paralelipipedul de la fig. 1.143 a), avem:

V = 8, M = 12, F = 6,

V + F = 8 + 6 = 14 = 12 + 2 = M + 2.





Pentru piramida pentagonală de la 1. 143 b), avem:

V = 6, M = 10, F = 6

V + F = 6 + 6 = 12 = 10 + 2 = M + 2

Pentru fig. 1.145, unde nu avem un poliedru convex, cititorul poate face unefort de atenţie, numărând „vârfurile”, „muchiile” şi „feţele”, după cum

urmează:a) „Vârfurile ” sunt: A, B, C, U, V, A', B', C' , U', V'.

V = 10

b) „Muchiile” sunt:

AB, AC, AU, AV, AA' ;

BC, BU, BB' ;

CV, CC' ;

UV, UU' ;

VV'.

A'B', A'U', A'V', A'C' ;

B'C', B'U' ;

C'V' ;

U'V'.

M = 21

c) „Feţele” sunt:

ABC , , , , A B C ABA B ACA C BCB C ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ;, , , , AUV A U V AUA U AVA V UVU V ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ;

, , AUB AVC UVBC ;

, , A U B A V C U V B C ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ;

,UU BB VV CC ′ ′ ′ ′ .

F = 18.

Atunci: V + F = 10 + 18 = 28 ≠ 23 = M + 2.

În acest caz, „relaţia lui Euler” nu se verifică (deoarece figura geometrică ABCUVA B C U V ′ ′ ′ ′ nu este poliedru convex).

Poliedre regulate

Am văzut că în plan există poligoane regulate cu un număr oarecare n delaturi ( 3n ≥ ).

Să vedem la ce revine aceasta în spaţiu. Analogul poligonului în spaţiueste, în mod natural, poliedrul. Să definim poliedrul regulat.

Definiţie. Un poliedru convex se numeşte poliedru regulat dacă toate feţele salesunt poligoane regulate, cu acelaşi număr 3n ≥ de laturi şi în fiecare vârf

se intersectează acelaşi număr 3k ≥ de feţe.De exemplu, un cub (v. fig. 1.143 a)) este un hexaedru cu toate feţelepătrate, deci este poliedru regulat.





Vom ar ăta în continuare, folosind relaţia lui Euler, că există numai 5tipuri de poliedre regulate, ceea ce reprezintă o mare deosebire faţă deplan. Acest rezultat era cunoscut de Platon.

Teoremă. Există numai 5 tipuri de poliedre regulate: tetraedrul regulat (4 feţe caresunt triunghiuri echilaterale), cubul = hexaedrul regulat (6 feţe care suntpătrate), octaedrul regulat (8 feţe care sunt triunghiuri echilaterale),dodecaedrul regulat (12 feţe care sunt pentagoane regulate), icosaedrul (20 feţe care sunt triunghiuri echilaterale).

Demonstraţ ie. De fapt, putem ar ăta mai mult: există numai 5 tipuricombinatoriale de poliedre convexe ale căror feţe sunt poligoane cuacelaşi număr 3n ≥ de laturi şi cu proprietatea că în fiecare vârf seintersectează acelaşi număr 3k ≥ de feţe.

(Înainte de a trece mai departe, cititorul va observa că în fig. 1.143 a) şi b)avem hexaedre care nu sunt de acelaşi tip combinatorial: pentruparalelipipedul de la a), feţele sunt toate patrulatere şi în fiecare vârf seintersectează 3 feţe; pentru piramida pentagonală de la b), 5 feţe sunttriunghiuri şi, 1 faţă este pentagon, iar în vârf se intersectează 5 feţe, pecând în fiecare vârf de la bază se intersectează câte 3 feţe).

Revenim la demonstraţie. Consider ăm numărul feţelor F ca bază de lucru.Deoarece fiecare muchie mărgineşte câte 2 feţe, şi avem n laturi,

înseamnă că o faţă este numărată de n ori, combinată cu altă faţă, pentrua da toate muchiile, deci:

2

nF M = .

Deoarece în fiecare vârf se intersectează k feţe, rezultă că fiecare faţă

apare de n ori, combinată cu alte k – 1 feţe, pentru a da toate vârfurile,

decinF

V k

= .

Relaţia lui Euler devine:

( ) ( ) ( )( )

( ) ( )

2 2 2 2 42

2 2 4 4 2 2 4

4

4 2 2

nF nF V F M F nF kF nkF k

k

F n k nk k F k n k

k F

k n

+ = + ⇔ + = + ⇔ + = + ⇔

⇔ + − = ⇔ − − − = ⇔

⇔ =

− − −

(∗ )

Aşadar, trebuie să avem:

( ) ( )2 2 4k n− − < (∗∗ )

Relaţia (∗ ∗ ) se poate realiza în următoarele 5 moduri (vom folosi şi (∗ ))

m1):4 3

2 1, 2 1 3, 3 4,4 1

k n k n F ⋅

− = − = ⇔ = = ⇒ = =−

3 46

2 2

nF M

⋅= = = şi

3 44

3

nF V

k

⋅= = = .

Am obţinut tetraedrul regulat (v. fig. 1.142).





m2):4 3

2 1, 2 2 3, 4 6,4 2

k n k n F ⋅

− = − = ⇔ = = ⇒ = =−

4 6

122 2

nF M

⋅= = =

şi4 6

83

nF V

k

⋅= = = .

Am obţinut hexaedrul regulat (cubul) (v. fig. 1.143 a)).

m3): 4 32 1, 2 3 3, 5 12,4 3

k n k n F ⋅− = − = ⇔ = = ⇒ = =−

5 1230

2 2

nF M

⋅= = = şi

5 1220

3

nF V

k

⋅= = = .

Am obţinut dodecaedrul regulat (desenul este dificil).

m4):4 4

2 2, 2 1 4, 3 8,4 2

k n k n F ⋅

− = − = ⇔ = = ⇒ = =−

3 8

122 2

nF M

⋅= = = ,

3 86

4

nF V

k

⋅= = = . Am ob

ţinut octoedrul regulat (v. fig. 1.146)

Fig. 1.146

m5):4 5

2 3, 2 1 5, 3 20,4 3

k n k n F ⋅

− = − = ⇔ = = ⇒ = =−

3 2030

2 2

nF M

⋅= = = ,

3 2012

5

nF V

k

⋅= = = .

Am obţinut icosaedrul regulat (desenul este dificil).

În continuare, vom studia poliedrele uzuale.

B. Piramida. Tetraedrul.

B1. Piramida, tetraedrul şi trunchiul de piramidă

Definiţie. Se consider ă un plan α , un punct V din spaţiu astfel încât V ∉ α . În planulα se consider ă linia poligonala închisă normală 1 2 3... n

A A A A . Poliedrul

1 2 3... nVA A A A se numeşte piramidă (v. fig. 1.147).

Poligonul 1 2 3... n A A A A se numeşte baza piramidei, punctul V se numeşte

vârful piramidei, iar segmentele

1 2, ,...

nVA VA VA se numesc

muchiilepiramidei. Segmentul [ ]VA′ )unde ,VA A′ ′⊥ α ∈ α ) se numeşte înălţimea





piramidei. De asemenea, se obişnuieşte ca şi lungimea VA′ să fie numită înălţime a piramidei.

În cazul particular când n = 3, deci baza piramidei este un triunghi (v. fig.1.142), piramida se numeşte tetraedru.

Atenţie. Privind piramida ca suprafaţă poliedrală sau ca volum poliedral, avem, în

plus, următoarele denumiri: suprafaţa poligonală 1 2 3... n A A A A se numeşte(din nou!) baza piramidei, iar suprafeţele triunghiulare 1 2VA A ,

2 3 1 1, ..., ,n n n

VA A VA A VA A− se numesc feţele laterale ale piramidei.

Reţineţi! Notaţia standard pentru piramide: când scriem 1 2 3... nVA A A A , înţelegem

că V este vârful iar 1 2 3... n A A A A este poligonul de bază.

Să mai observăm că, în conformitate cu cele spuse pentru poliedre îngeneral, punctele 1 2, , ,...

nV A A A sunt, toate, vârfuri ale poliedrului

1 2 3... nVA A A A !

În definiţiile noastre, am acordat un statut privilegiat lui V , pe care l-am

numit vârful piramidei.

Remarcăm că dacă avem un tetraedru, atunci şi feţele laterale pot fiprivite ca baze (spunem că toate feţele unui tetraedru pot fi privite cabaze). Tetraedrul este analogul triunghiului în spaţiu şi este cel maisimplu poliedru.

Piramidele se denumesc după tipul poligonului de bază: piramidă triunghiular ă (dacă 1 2 3 1 2 3...

n A A A A A A A= este triunghi), piramide

patrulatere, piramide pentagonale, hexagonale etc. (Piramideletriunghiulare sunt tetraedre.)

Observaţie privind convexitatea. Dacă poligonul de bază 1 2 3... n A A A A este convex,

piramida 1 2 3... nVA A A A este poliedru convex.

În particular, un tetraedru este poliedru convex.

Fig. 1.147

Definiţie. O piramidă 1 2 3... nVA A A A care are baza 1 2 3... n

A A A A un poligon regulat şi

pentru care piciorul A′ al înălţimii piramidei coincide cu centrul cerculuicircumscris lui 1 2 3... n

A A A A se numeşte piramidă regulată.

Rezultă că pentru o piramidă regulată 1 2 3... nVA A A A , feţele laterale sunt

triunghiuri isoscele congruente, v. fig. 1.148:





Fig. 1.148

În cazul particular când n = 3, avem piramida regulată 1 2 3VA A A , cu

1 2 3 A A A triunghi echilateral. Triunghiurile 1 2VA A , 2 3VA A , 3 1VA A sunt isoscele.

Dacă ele sunt chiar echilaterale, piramida 1 2 3VA A A se numeşte tetraedru

regulat (este un poliedru regulat). Aşadar, avem următoarea:

Definiţie. Se numeşte tetraedru regulat un tetraedru care are toate feţeletriunghiuri echilaterale congruente.

Exerciţiu. Se consider ă un tetraedru regulat cu muchiile de lungime egală cu 0a > .Să calculăm înălţimea acestui tetraedru (evident, înălţimea poate ficonsiderată din orice vârf, lungimea fiind aceeaşi).

Fie ' AA înălţimea dusă din A (deci ' AA BCD⊥ , ' A BCD∈ ). Pentru asoluţiona problema, ducem în planul BCD dreapta A M BD′ ⊥ , M BD∈ .Deoarece avem AA BCD′ ⊥ şi A M BD′ ⊥ , obţinem că AM BD⊥ (teorema celor 3 perpendiculare).

Deci AM este înălţime în triunghiul isoscel ABD, M este mijlocul lui BD. Atunci, A M ′ este perpendicular ă pe BD în mijlocul ei M , deci MA′ este

înălţime în triunghiul BCD, deci C , ' A , D sunt coliniare. Prin urmare: A ,C , ' A , M sunt coplanare în planul perpendicular pe BD în M , fig. 1.149.

Fig. 1.149 Acum „aducem problema în plan”, anume consider ăm figura plană dinplanul ACA′ , fig. 1.150.

Fig. 1.150





Avem AC = a, iar CM = MA = înălţimea triunghiului echilateral de latur ă a,deci:

Reţineţi! 3

2

aCM MA= = ;

2 2 3 3

3 3 2 3

aCA CM a′ = = ⋅ = .

În triunghiul dreptunghic ACA′avem

22 2 2 2 22

3 3

a AA AC CA a a′ ′= − = − = .

Prin urmare, r ăspunsul cerut este:

Înălţimea2

3 AA a′ = .

Aria (laterală şi totală) şi volumul piramidei

Consider ăm piramida 1 2 3... nVA A A A din fig. 1.147.

Aria laterală a lui 1 2 3... nVA A A A este:

( ) ( ) ( )1

1 2 1 11

...n

l n i i ni

S VA A A S VA A S VA A−

+=

= +∑ .

Aria totală a lui 1 2 3... nVA A A A este:

( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2... ... ...t n l n nS VA A A S VA A A S A A A= +

unde ( )1 2... nS A A A = aria suprafeţei poligonale 1 2 3... n A A A A .

Înainte de a calcula volumul unei piramide, să vedem care sunt unităţile demăsur ă pentru volum.

Unitatea de măsur ă pentru volum este metrul cub, notată m3.

Un metru cub = 1m3 este volumul unui cub care are muchia de 1m.

Submultiplii metrului cub sunt:

– Decimetrul cub (notat dm3): 1m3 = 1000dm3 (adică 1 metru cub = 1000decimetri cubi etc.)

– Centimetrul cub (notat cm3): 1dm3 = 1000 cm3

– Milimetrul cub (notat mm3): 1cm3 = 1000mm3

Multiplii metrului cub sunt:

– Decametrul cub (notat dam3): 1dam3 = 1000m3

– Hectometrul cub (notat hm3): 1hm3 = 1000dam3

– Kilometrul cub (notat km3): 1km3 = 1000hm3

Pentru calculul volumului unei piramide, enunţăm următoarea

Teoremă. Volumul unei piramide este o treime din produsul ariei bazei piramidei cu înălţimea. Adică, dacă Vol( 1 2 3... n

VA A A A ) este volumul piramidei

1 2 3... nVA A A A şi AA′ este înălţimea sa, avem formula:

( ) ( )1 21 2 3

...Vol ...3

n

n

S A A A AAVA A A A ′⋅= .





Aplicaţie. Să calculăm volumul tetraedrului regulat de muchie a. Volumul cerut este obţinut astfel:

aria bazei înălţimeaVolumul

3

⋅=

Aria bazei = aria unui triunghi echilateral de latur ă a =2

3

322 4

aa

a⋅

= .

Înălţimea tetraedrului regulat este, cum am văzut, egală cu2

3a , deci

volumul cerut este

Volumul =2 31 3 2 2

3 4 123

a a a⋅ ⋅ = .

Definiţie. Se consider ă o piramidă 1 2 3... nVA A A A . Un plan paralel cu baza

intersectează segmentele (deschise!) ( ) ( ) ( )1 2, ,... nVA VA VA în punctele

1 2... nB B B respectiv. Poliedrul astfel obţinut 1 2 1 2... ...

n n A A A B B B se numeşte

trunchi de piramidă (v. fig. 1.151).Poligoanele 1 2... n

A A A şi 1 2... nB B B se numesc bazele trunchiului de

piramidă, segmentele 1 1 2 2, ,...n n A B A B A B se numesc muchiile laterale ale

trunchiului de piramidă, segmentele 1 2 2 3 1 1, ... ,n n n

A A A A A A A A− şi 1 2B B ,

2 3B B , …, 1n nB B− , 1n

B B (adică laturile bazelor) se numesc muchiile

orizontale ale trunchiului de piramidă, iar distanţa între planele paraleleale bazelor (notată în fig. 1.151 cu MN = h) se numeşte înălţimea trunchiului de piramidă.

Reamintim că distanţa între două plane paralele α şi β este lungimeaoricărei perpendiculare comune cuprinse între cele două plane.

Fig. 1.151

Din nou, putem privi trunchiul de piramidă ca suprafaţă poliedrală sau cavolum poliedral: vom numi trapezele (verificare!) 1 1i i i i A A B B+ + ,

1,2,... 1i n= − , 1 1n n A A B B feţele laterale ale trunchiului de piramidă, iar

suprafeţele poligonale 1 2... n A A A , 1 2... nB B B (din nou) bazele trunchiului

de piramidă.

Notaţii şi denumiri standard. Un trunchi de piramidă se notează în forma de mai sus:

1 2... n A A A 1 2... nB B B (adică se notează întâi o bază, apoi cealaltă bază). Deobicei, în situaţia din figur ă, se spune că 1 2... n A A A este baza mare, iar





1 2... nB B B este baza mică şi în notaţie se începe cu baza mare (remarcaţi

analogia cu trapezul).

Observaţie. Poligoanele de bază, adică 1 2... n A A A şi 1 2... n

B B B sunt asemenea în

ordinea scrisă mai sus, adică:

1 1

1 1, 1,2... 1i i n

i i n

A A A Ai nB B B B

++

= = − şi

( )

( ), 1,2...i i m A m B i n= = .

Remarcă privind convexitatea.

Dacă una din baze este poligon convex (deci şi cealaltă!) atunci trunchiulde piramidă este poliedru convex.

Definiţie. Un trunchi de piramidă 1 2... n A A A 1 2... n

B B B se numeşte trunchi de

piramidă regulat dacă poligoanele de bază (bazele) sunt poligoaneregulate şi înălţimea piramidei din care provine trunchiul de conintersectează cele două baze în centrele cercurilor circumscrise lor. În

acest caz, feţele laterale sunt trapeze isoscele congruente.Aria (laterală şi totală) şi volumul trunchiului de piramidă

Consider ăm trunchiul de piramidă din fig. 1.151.

Aria laterală a lui 1 2... n A A A 1 2... n

B B B este:

( ) ( ) ( )1

1 2 1 2 1 11

... ...n

l n n i in in i n ni

S A A A B B B S A A B B S A A B B−

=

= +∑ .

Aria totală a lui 1 2... n A A A 1 2... n

B B B este:

( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2... ... ... ... ... ...t n n l n n n nS A A A B B B S A A A B B B S A A A S B B B= + + .Pentru a exprima volumul trunchiului de piramidă într-o formă mai uşor dereţinut, să notăm:

S = aria bazei mari, adică:

S = ( )1 2... nS A A A ;

s = aria bazei mici, adică:

s = ( )1 2... nS B B B .

Reamintim că înălţimea a fost notată cu h.Teoremă. Volumul trunchiului de piramidă este dat de formula:

( ) ( )1 2 1 2Vol ... ...3n n

h A A A B B B S s Ss= + + .

Observaţie. Formula de mai sus se obţine, evident, din formula (v. fig. 1.151)

Vol( 1 2... n A A A ) = Vol ( 1 2 3... nVA A A A ) – Vol ( 1 2... nVB B B ).

B2. Prisma, paralelipipedul

Definiţie. Într-un plan α consider ăm o linie poligonală închisă şi normală 1 2... n A A A .

Se duc prin 1 2, ,... n A A A dreptele 1 2, ,... nd d d paralele între ele, care nu suntincluse în planul α .





Aria laterală a acestei prisme este suma ariilor feţelor laterale (formulaeste aceeaşi ca la trunchiul de piramidă).

Aici, ţinând seama că feţele laterale sunt paralelograme cu aceeaşi înălţime UV = p (v. fig. 1.152), avem şi formula:

( )1 2 1 2... ... periml n n

S A A A B B B p= ⋅ ,

unde perim = perimetrul bazei = 1 2 2 3 1 1...n n n

A A A A A A A A−+ + + + .

Aria totală este suma dintre aria laterală şi aria celor două baze, deci (celedouă baze sunt congruente!).

( )1 2 1 2... ...t n nS A A A B B B = ( ) ( )1 2 1 2 1 2... ... 2 ...l n n nS A A A B B B S A A A+ .

Teoremă. Volumul unei prisme este egal cu produsul dintre aria bazei şi înălţimeaprismei:

Vol( 1 2... n A A A 1 2... nB B B ) = Sh,

unde ( )1 2... nS S A A A= = aria bazei 1 2... n A A A . În particular, dacă prisma noastr ă este un paralelipiped dreptunghic cu„dimensiunile” a, b, c (adică lungimile muchiilor care pornesc din acelaşivârf sunt a, b, c (v. fig. 1.153 b)) unde din 1 A pornesc 1 2 A A a= , 1 4 A A b=

şi 1 1 A B c = , volumul său este:

Vol (paralelipiped dreptunghic) = abc .

Şi mai particular, rezultă că volumul unui cub de muchie a (v. fig. 1.155)este:

Vol (cub de muchie a) =3

a .





Definiţie. O prismă se numeşte regulată dacă este dreaptă şi poligoanele de bază

1 2... n A A A şi 1 2,... n

B B B sunt poligoane regulate.

În acest caz, feţele laterale sunt dreptunghiuri congruente.

Definiţie. O prismă patrulater ă 1 2 3 4 1 2 3 4 A A A A B B B B cu baza 1 2 3 4 A A A A (sau 1 2 3 4B B B B )

paralelogram, se numeşte paralelipiped (v. fig. 1.153 a)).Un paralelipiped care are baza dreptunghi şi este prismă dreaptă, senumeşte paralelipiped dreptunghic (v. fig. 1.153 b))

Fig. 1.153

Observaţii importante. 1°. La un paralelipiped, orice faţă poate fi luată ca bază.

2°. Un paralelipiped este dreptunghic dacă şi numai dacă toate feţele salesunt dreptunghiuri.

3 . În virtutea lui 2 , la paralelipipede se folosesc şi alte notaţii. Deexemplu, în fig. 1.154 avem paralelipipedul ABCDA B C D′ ′ ′ ′ (în loc deDCC D ABB A′ ′ ′ ′ )

Fig. 1.154

Definiţie. Se numeşte cub un paralelipiped dreptunghic care are toate muchiileegale (echivalent, toate feţele sunt pătrate). Lungimea comună a muchiilorse numeşte muchia cubului (v. fig. 1.155)

Fig. 1.155Revenim la o prismă oarecare 1 2... n

A A A 1 2... nB B B (v. fig. 1.152).





Se consider ă un alt plan, β , paralel cu α şi diferit de α . Planul β

intersectează dreptele 1 2, ,... nd d d respectiv în 1 2,... nB B B .

Poliedrul astfel obţinut 1 2... n A A A 1 2... nB B B se numeşte prismă. (v. fig. 1.152).

Poligoanele 1 2... n A A A şi 1 2,... nB B B se numesc bazele prismei. Segmentele

1 1 2 2, ,... n n A B A B A B se numesc muchiile laterale ale prismei, iar laturilepoligoanelor de bază se numesc muchiile orizontale ale prismei.

Distanţa între planele α şi β ale bazelor se numeşte înălţimea prismei (pe fig. 1.152, înălţimea este MN = h).

Fig. 1.152

Notaţia pentru prismă este deci similar ă cu cea a trunchiului de piramidă:

1 2... n A A A 1 2... nB B B (se notează întâi o bază şi apoi următoarea).

Considerând prisma ca suprafaţă poliedrală (respectiv corp poliedral),avem feţele laterale ale prismei, care sunt paralelogramele 1 1i i i i

A A B B+ + ,

1,2,... 1i n= − şi 1 1n n A A B B .

De asemenea (din nou), avem bazele prismei, care sunt 1 2... n A A A şi

1 2,... nB B B .

Bazele sunt poligoane congruente.

Observaţie privind convexitatea

Dacă 1 2... n A A A (sau 1 2,... nB B B ) este poligon convex, atunci prisma

1 2... n A A A 1 2... n

B B B este un poliedru convex.

Prismele se denumesc după tipul poligonului de bază: avem prismetriunghiulare, patrulatere, pentagonale, hexagonale etc.

Definiţie. Prisma1 2

...n

A A A1 2

...n

B B B se numeşte prismă dreaptă dacă muchiile

laterale ale ei sunt perpendiculare pe planele de bază α şi β .

În acest caz, feţele laterale sunt dreptunghiuri (demonstraţie).






1. Să se verifice relaţia lui Euler pentru poliedrul convex din fig. 1.156,unde V nu este coplanar cu M, P, A, C şi nu este coliniar cu N şi B.

Fig. 1.156

2. O piramidă triunghiular ă regulată are latura triunghiului de bază egală cu a şi înălţimea egală cu h.

Să se determine aria laterală, aria totală şi volumul piramidei.


învăţare.

Răspunsurile latest se vor da înspaţiul liber dinchenar, încontinuareaenunţurilor.





1.3.4. Corpuri rotunde

A. Suprafeţe cilindrice, suprafeţe şi pânze conice. Cilindri, conuri.Definiţii generale.

Se consider ă un plan α şi o curbă Γ ⊂ α . (Ce înseamnă o curbă? La

această întrebare ne vom mulţumi să r ăspundem intuitiv. De exemplu, uncerc este o curbă. Mai există, desigur, multe alte curbe, cum ar fi conicele:elipsa, hiperbola, parabola). Să consider ăm o dreaptă mobilă d, carer ămâne paralelă cu o direcţie fixă, care nu este inclusă în α şi care treceprin toate punctele curbei Γ atunci când se mişcă. Atunci, prin definiţiesuprafaţa obţinută considerând toate poziţiile lui d (suprafaţa” măturată” ded ) este o suprafaţă cilindrică.

Această definiţie cinematică şi intuitivă este oarecum neriguroasă.

Vom prezenta mai jos definiţia riguroasă.

Definiţie. Fie α un plan, Γ ⊂ α o curbă şi d o dreaptă care nu este paralelă cu α şinu este inclusă în α (adică d este incidentă cu α ).

Suprafaţa cilindrică de bază Γ şi direcţie d este mulţimea

A

A

d ∈Γ

Σ = ∪ ,

unde, pentru fiecare A ∈ Γ am notat cu Ad unica dreaptă care trece prin A

şi este paralelă cu d .

Dreptele , A

d A ∈ Γ se numesc generatoarele suprafeţei Σ , iar curba Γ se

numeşte curba directoare a suprafeţei Σ (v. fig. 1.157). Mulţimea dreptelorparalele cu d se mai numeşte şi direcţia generatoare a suprafeţei Σ .

Fig. 1.157Prin urmare, o suprafaţă cilindrică este nemărginită, conţinând o infinitatede drepte.

Observaţie. Orice curbă 1Γ obţinută prin intersectarea suprafeţei Σ cu un plan 1α

paralel cu α este, deasemenea, o curbă directoare pentru Σ .

Definiţie. Fie Σ o suprafaţă cilindrică, dată de o curbă directoare Γ şi o direcţiegeneratoare. Se spune că Σ este o suprafaţă cilindrică circular ă dacă Γ este un cerc.Dacă, în plus, dreptele direcţiei generatoare sunt perpendiculare pe α ,

spunem că Σ este o suprafaţă cilindrică circular ă dreaptă.





Definiţie. Fie Σ o suprafaţă cilindrică, având curba directoare Γ inclusă în planul α .Fie β şi γ două plane distincte, paralele cu α (eventual, unul din elepoate să coincidă cu α ).Por ţiunea din Σ cuprinsă între β şi γ se numeşte suprafaţă cilindrică

limitată (de β şi γ ).

Dacă, în plus, Γ este un cerc (deci Σ este suprafaţă cilindrică circular ă ),por ţiunea din spaţiu mărginită de suprafaţa cilindrică limitată de β şi γ şide „capacele” β şi γ se numeşte cilindru circular . În fine, dacă, în plus,Σ este suprafaţă circular ă dreaptă, atunci cilindrul circular definit mai susse numeşte cilindru circular drept.

În fig. 1.158 a) avem o suprafaţă cilindrică limitată de planele β şi γ , înfig. 1.158 b) avem un cilindru circular, iar în fig. 1.158 c) avem un cilindrucircular drept.

Fig. 1.158

În restul acestui paragraf, vom studia numai cilindri circular drepţi, pecare îi vom numi, pe scurt, cilindri.

Trecem la definirea suprafeţelor conice.

Fie α un plan şi V un punct care nu apar ţine lui α . Fie şi Γ ⊂ α o curbă.Consider ăm o dreaptă mobilă d care trece prin V şi se sprijină pe Γ .

Atunci, prin definiţie, suprafaţa obţinută considerând toate poziţiile lui d (suprafaţa “măturată” de d ) se numeşte suprafaţă conică.

Vom da şi în acest caz o definiţie riguroasă.

Fig. 1.159





Definiţie. Fie α un plan şi V un punct care nu apar ţine lui α şi Γ ⊂ α o curbă.Suprafaţa conică de bază Γ şi vârf V este mulţimea A

A

d ∈Γ

Σ = ∪ , unde,

pentru fiecare A ∈ Γ , am notat cu Ad unica dreaptă care trece prin V şi A.

Dreptele A

d se numesc generatoarele suprafeţei Σ , curba Γ se

numeşte curba directoare a suprafeţei Σ , iar punctul V se numeştevârful suprafeţei Σ (v. fig. 1.159).

Prin urmare, o suprafaţă conică este nemărginită, conţinând o infinitate dedrepte.

Observaţie. Orice curbă 1Γ , obţinută prin intersectarea suprafeţei Σ cu un plan 1α

paralel este, de asemenea, o curbă directoare pentru Σ .

Definiţie. Fie Σ o suprafaţă conică, dată de o curbă directoare Γ şi având vârful V .Se spune că Σ este o suprafaţă conică circular ă dacă Γ este un cerc.Dacă, în plus, dreapta care uneşte vârful V cu centrul cercului Γ este

perpendicular ă pe planul α , spunem că Σ este o suprafaţă conică circular ă dreaptă.

Notă. Să consider ăm o suprafaţă conică circular ă dreaptă Σ .Vom numisecţiune plană a lui Σ intersecţia Σ ∩ β , unde β este un plan oarecare.

Următoarea teoremă este unul din rezultatele fundamentale alematematicii, (el caracterizează în mod unitar elipsa, parabola şi hiperbolaca “secţiuni conice”).

Teorema lui Dandelin. În condiţiile de mai sus, dacă secţiunea plană Σ ∩ βeste nevidă,atunci ea este sau o elipsă, sau o parabolă, sau o hiperbolă, sau o formă

„degenerată” a curbelor de mai sus: un punct, o dreaptă, sau o pereche dedrepte concurente.

O „jumătate” de suprafaţă conică se numeşte pânză conică. Ea se obţineluând numai semidreptele de tipul [VA din definiţia lui Σ , atunci când A ∈ Γ (v. fig. 1.159).

În mod riguros, avem următoarea

Definiţie. Fie α un plan, V un punct care nu apar ţine lui α şi Γ ⊂ α o curbă. Pânzaconică de bază Γ şi vârf V este mulţimea:

A

A

s∈Γ

Σ = ∪ ,

unde, pentru fiecare A ∈ Γ , am notat cu As unica semidreaptă [VA (deorigine V , care trece prin A) (v. fig. 1.160).

Fig. 1.160





Începând din acest moment vom păr ăsi suprafeţele conice şi ne vomocupa numai de pânze conice.

Definiţie. Fie Σ o pânză conică de vârf V şi curbă directoare Γ inclusă în planul α .Fie şi β un plan paralel cu α (eventual β = α ), care nu conţine pe V .

Por ţiunea din Σ „cuprinsă între β şi V” (adică mulţimea [ ] A

VA∈Γ

∪ ) se

numeşte pânză conică limitată (deβ ).

Dacă, în plus, Γ este un cerc, por ţiunea din spaţiu mărginită de pânzaconică limitată de α (atenţie!) se numeşte con circular . În fine, dacă, înplus, dreapta VC (unde C este centrul cercului Γ ) este perpendicular ă peα , atunci conul circular definit mai sus se numeşte con circular drept.

În fig. 1.161 a) avem o pânză conică limitată de planulβ , în fig. 1.161 b)avem un con circular, iar în fig. 1.161 c) avem un con circular drept.

Fig. 1.161

În restul acestui paragraf, vom studia numai conurile circulare drepte, pecare le vom numi, pe scurt, conuri.

B. Cilindrul

Vom considera un cilindru care este caracterizat de două numere: raza R a cercului de bază (cercul director ) şi lungimea h a generatoarei (numită şi înălţimea cilindrului). În mod precis, h este distanţa dintre planele carelimitează cilindrul.

În fig. 1.162 avem cilindrul K cu elementele care îl caracterizează.După caz, vom considera pe K , fie ca un corp, fie ca o suprafaţă.

Fig. 1.162





Putem considera cercul ( ),C O R de jos ca fiind curba directoare a

cilindrului.

Cercurile ( ),C O R şi ( ),C O R ′ (sau discurile pline de centre O, O′şi rază

R ) se numesc bazele cilindrului.

Orice segment de forma AA′ se numeşte generatoare a cilindrului. Anume, AA OO′ ′ şi [ AA′ ] ⊂ suprafaţa cilindrică din care provine cilindrul(deci dreapta suport AA′ este o generatoare a suprafeţei cilindrice).

Evident AA OO h′ ′= = (lungimea oricărei generatoare este egală culungimea înălţimii cilindrului).

Segmentul OO′ se mai numeşte şi axa cilindrului.

O secţiune printr-un cilindru, f ăcută cu un plan paralel cu bazele (v.secţiunea care trece prin P ) este un cerc congruent cu cercurile de bază.O secţiune f ăcută cu un plan care trece prin axa de simetrie OO′ este undreptunghi ABB A′ ′ , cu dimensiunile 2 AB R = şi AA' = h.

Aria laterală a cilindrului este

2l A R h= π ⋅ (lungimea cercului de bază ⋅ înălţimea).

Aria totală a cilindrului este:22 2t A Rh R = π + π

(se adună ariile celor două cercuri de bază).

Volumul cilindrului (care este analogul „rotund” al prismei) este:

Vol =

2

R hπ (aria bazei·înălţimea).Desf ăşurata cilindrului (figura plană obţinută, dacă am considera partea„laterală” a cilindrului din hârtie, decupată după generatoarea AA′ şi„întinsă” pe plan) este un dreptunghi de bază 2 R π (lungimea cercului debază) şi înălţimea h. Evident, aria desf ăşuratei este 2 Rhπ = aria laterală acilindrului.

C. Conul. Trunchiul de con

Vom considera un con care este caracterizat de două numere: raza R acercului de bază (cercul director) şi înălţimea h.

În fig. 1.163 avem conul K, pe care îl vom considera, după caz, fie ca uncorp, fie ca o suprafaţă.

Fig. 1.163





În fig. 1.163 avem cercul ( ),C O R ca bază a conului, în care AB este

diametru, V este vârful conului, VO este perpendicular ă pe planul lui( ),C O R şi VO = h = înălţimea conului. Segmentul VO se mai numeşte

axa conului.

Evident, acum putem calcula lungimea generatoarei:

2 2G VA VB R h= = = + .

Conul putea fi definit alternativ dând elementele şiOA OB R VA G= = = .

Alte variante de caracterizare folosesc deschiderea conului, pe care o vomputea defini.

Precizăm întâi că secţiunea conului K printr-un plan orizontal (paralel cuplanul lui ( ),C O R este un cerc (în fig. 1.163 am f ăcut o astfel de secţiune

prin punctul [ ]P OV ∈ ).

O secţiune printr-un plan axial (adică un plan care trece prin axa OV aconului) este un triunghi isoscel (în fig. 1.163 o astfel de secţiune estetriunghiul VAB).

Prin definiţie, deschiderea conului este unghiul AVB , a cărui măsur ă ovom nota, în mod tradiţional, cu 2ϕ .

( ) 2m AVB = ϕ .

Atunci:

– dacă se dau unghiul ϕ şi raza R , avem:

ctgh R = ϕ şisin

R VB =

ϕ;

– dacă se dau unghiul ϕ şi înălţimea h, avem:

tg şisin

R R h VB= ϕ =

ϕ

– dacă se dau unghiul ϕ şi generatoarea G = VB, avem:

sin şi cosR G h R = ϕ = ϕ .

Aria laterală a conului este:

2

2l

RG A RG

π= = π

(aria unui triunghi cu baza = lungimea cercului de bază ( ),C O R şi

înălţimea = generatoarea G).

Aria totală este:

( )2t

A RG R R G R = π + π = π +

(se adaugă aria cercului de bază la aria laterală).Volumul conului (care este analogul „rotund” al piramidei) este:





22Vol

3 3

h R hR

π= π ⋅ =

(aria bazei înmulţită cu1

3 înălţimea).

Desf ăşurata conului (figura plană obţinută, dacă am considera partea„laterală” a conului decupată după generatoarea VB şi „întinsă” pe unplan) este un sector circular) este un sector de cerc.

În fig. 1.164 avem conul (ca în fig. 1.163) şi desf ăşurata conului estesectorul de cerc BVC , care este definit de raza VB = G, unghiul de

deschidere 2σ şi lungimea l a arcului BC .

În cele ce urmează vom stabili legătura între unghiurile şiϕ σ .

Fig. 1.164

Lungimea l a arcului de cerc BC este dată de regula de trei simplă (încercul de rază G):

2 ...............2

2 ...............

G

l

π π

σ

2 22

2

Gl G

σ ⋅ π= = σ

π.

Pe de altă parte, l este exact egală cu lungimea cercului de bază ( ),C O R ,deci 2l R = π

Egalând 2 2G R σ = π , obţinemR

Gσ = π şi sin

R

G= ϕ din triunghiul

dreptunghic VOB. Deci sin , unde 0 şi 02

πσ = π ϕ ≤ ϕ ≤ ≤ σ ≤ π .

Am acceptat şi cazurile extreme:

0 0ϕ = ⇔ σ = (conul degenerează într-un segment, [VA])

2πϕ = ⇔ σ = π (conul se „aplatizează” devenind un cerc de centru V şi

rază G).





Aplicaţie. Care este deschiderea unui con cu desf ăşurata un semicerc?

Avem, deci, 2 ,σ = π adică 2

πσ = , deci sin

2

π= π ϕ .

Rezultă 1

sin , deci 302 6

πϕ = ϕ = = ° . Deschiderea este un unghi de 60° .

Acum ne ocupăm de trunchiul de con.

Definiţie. Se consider ă un con de vârf V , înălţime H şi cerc de bază ( ),C O R inclus

în planul α . Se consider ă un plan β paralel cu planul α careintersectează axa [OV ] într-un punct 'O astfel încât 0 'OO h H < = <

(adică ( )'O OV ∈ ). A se vedea fig. 1.165 a).

Corpul mărginit de planele α şi β şi de suprafaţa (conică) laterală senumeşte trunchi de con. În fig. 1.165 b) este desenat numai trunchiul decon pe care îl vom considera ca un corp sau ca o suprafaţă.

Fig. 1.165

În mod intuitiv, trunchiul de con este corpul obţinut dintr-un con, prin înlăturarea unui con mai mic de la vârf, fiind analogul „rotund” altrunchiului de piramidă.

Cercurile ( ),C O R şi ( ),C O r ′ se numesc cercuri de bază. Lungimea

segmentului [ ']OO se numeşte înălţimea trunchiului de con şi notăm'OO h= .

Planul β intersectează conul nostru după un cerc de rază r , al cărui centruO′ se află pe axa OV a conului. Avem:

O r R < < .

Considerente de asemănare în triunghiurile VA O′ ′ şi VAO ne conduc larelaţia:

r H h

R H

−= .

Prin urmare, un trunchi de con K este caracterizat de razele R şi r ale

cercurilor de bază şi de înălţimea h.(Atenţie! H h≠ (de fapt 0H h> > ), deoarece, dacă am avea H = h, arrezulta că, de fapt, K este cilindru).





Toate secţiunile axiale în trunchiul de con (adică intersecţiile conului cu unplan care trece prin axa OO′ ) sunt trapeze isoscele congruente cu

( ), ABB A AB A B A B AB′ ′ ′ ′ ′ ′= . Segmentele astfel obţinute [ '] AA se

numesc generatoare ale trunchiului de con şi notăm AA' = g .

Secţiunile orizontale în trunchiul de con (adică intersecţiile cu plane

paralele cu planele de bază) sunt cercuri. În fig. 1.165 b) avem un astfelde cerc care intersectează axa în P , are raza cuprinsă între R şi r .

Aria laterală a trunchiului de con este dată de formula:

( )l A g R r = π + .

Aria totală a trunchiului de con este dată de formula:

( ) 2 2t A g R r R r = π + + π + π .

Volumul trunchiului de con este dat de formula:

Vol = ( ) ( )2 23 3h hS s Ss R r Rr π+ + = + + ,

unde S = aria cercului „mare” ( ),C O R şi s = aria cercului „mic” ( ),C O r

D. Sfera

Definiţie. Fie O un punct în spaţiul S (numit centru) şi R un număr strict pozitiv(numit rază). Sfera de centru O şi rază R este mulţimea

( ) { }, | ,S O R A A S AO R = ∈ = .

Aşadar, sfera este locul geometric al punctelor din spaţiu egal depărtate

de un punct fix.Sfera ( ),S O R este frontiera bilei de centru O şi rază R care este mulţimea

( ) { }, | ,B O R A A S AO R = ∈ ≤ (unii mai numesc bila şi „sfer ă plină”).

În fig. 1.166, ( ),D B O R ∈ \ ( ),S O R .

Orice segment [OA], cu OA = R (adică ( ), A S O R ∈ ) se numeşte rază a

sferei. Un segment [ AB] care trece prin O (adică [ ]O AB∈ ) şi astfel încât

AB = 2R (adică ( )

, , A B S O R ∈ ) se numeşte diametru al sferei( )

,S O R

(v. fig. 1.166).

Fig. 1.166.

O dreaptă care intersectează sfera într-un singur punct se numeştedreaptă tangentă la sfer ă.





Un plan α care intersectează sfera într-un singur punct A se numeşteplan tangent la sfer ă în A (v. fig. 1.166).

Rezultă automat OA ⊥ α (planul tangent la sfer ă are proprietatea că razacare uneşte centrul sferei cu punctul de tangenţă A este normală la planultangent în A). Rezultă că, în acest caz, distanţa de la centrul O la planul α este OA = R .

Aşadar, faţă de sfera ( ),S O R , un plan α este în una şi numai una din

următoarele situaţii, date de distanţa dist (O, α ) a punctului O faţă de α :

1) dist (O, α ) R > : planul este exterior sferei, adică (v. fig. 1.167 a))( ),S O R ∩α = ∅ .

2) dist (O, α ) = R : planul α este tangent sferei, adică există un punct A S∈ aşa ca (v. fig. 1.167 b)) ( ) { },S O R A∩ α =

3) ( )0 dist ,O R < α < : planul α intersectează sfera după un cerc, adică

există un cerc ( ),C M r astfel încât (v. fig. 1.167 c)) ( ) ( ), ,S O R C M r ∩ α = .

Fig. 1.167

Să remarcăm că în acest caz avem ( ), dist , şi .OM OM O r R ⊥ α = α <

4) dist (O, α ) = 0, adică O ∈ α .

În acest caz, intersecţia ( ),S O R Γ = ∩ α este un cerc mare al sferei, adică

este un cerc de centru O şi rază R.

Reţineţi! Un cerc mare al unei sfere ( ),S O R este un cerc Γ de centru O şi rază R .

Rezultă că R Γ ⊂ şi pentru orice cerc ( ),S O R Δ ⊂ , raza r a lui Δ are

proprietatea r R ≤ .

Şi în cazul sferelor se pot clasifica poziţiile relative a două sfere( ) ( )1 1 2 2, şi ,S O R S O R în funcţie de distanţa centrelor 1 2d O O= .





De exemplu, dacă 1 2d R R > + sferele nu se intersectează.

Dacă 1 2 1 2R R d R R − < < + sferele se intersectează, mulţimea de

intersecţie fiind un cerc cu centrul pe dreapta 1 2OO (linia centrelor etc.).

Reţineţi! Intersecţia unei sfere cu o dreaptă este sau vidă, sau formată dintr-un

punct sau formată din două puncte.Intersecţia nevidă a unei sfere cu un plan este un cerc sau un punct (înacest ultim caz sfera şi planul sunt tangente).

Intersecţia nevidă a două sfere este un cerc sau un punct (în acest ultimcaz, cele două sfere sunt tangente).

Acum vom studia câteva probleme de arie şi volum pe sfer ă.

Să consider ăm sfera ( ),S O R şi, corespunzător, bila ( ),B O R .

Aria sferei (adică aria lui ( ),S O R ) este dată de formula:

( )( ) 2, 4S S O R R = π .

Reţineţi! Aria sferei = aria a 4 cercuri mari ale sferei!

Volumul sferei (adică volumul lui ( ),B O R ) este dat de formula:

( )( ) 34,

3V B O R R = π .

Alte construcţii

Înainte de a trece la alte construcţii, vom remarca o proprietate importantă.

Am văzut că, dacă un plan α intersectează o sfer ă ( ),S O R , atunciintersecţia nevidă este un cerc sau un punct.

Vom considera cazul când intersecţia este un cerc.

Avem două situaţii:

Prima situaţie: O ∈ α (planul de intersecţie trece prin centrul sferei).

În acest caz (v. fig. 1.168 a)) acest plan împarte sfera (privită casuprafaţă!) în două emisfere (situate de o parte şi de alta a acestui plan).Intersecţia lui α cu sfera este un cerc mare al sferei.

A doua situaţie: O ∉ α (planul de intersecţie nu conţine pe O).

În acest caz, dacă notăm cercul de intersecţie ( ),C M r (v. fig. 1.168 b))

rezultă că dreapta OM este perpendicular ă peα . Această dreaptă OM intersectează sfera în punctele 1P şi 2P , care formează diametrul [ 1 2PP ].

Şi în acest caz, planul α împarte sfera (privită ca suprafaţă!) în două por ţiuni, situate, fiecare, în unul din cele două semispaţii generate de α .

Aceste două por ţiuni se numesc calote sferice.

Pe fig. 1.168, lungimile segmentelor [ ] [ ]1 2şiMP MP sunt înălţimile celor

două calote sferice.





Fig. 1.168

1MP este înălţimea calotei sferice 1, iar 2MP este înălţimea calotei sferice 2.

Cele două calote au drept cerc de bază cercul ( , )S O R α ∩ .

Teoremă. În condiţiile de mai sus, aria unei calote sferice de înălţime h este dată deformula:

Aria calotei = 2 Rhπ .

În particular, deoarece o emisfer ă este o calotă sferică particular ă de înălţime R , aria sa va fi egală cu 22 2R R R π ⋅ = π (jumătate din aria sferei!).

Acum, să consider ăm două plane paralele α şi β , între care distanţa este

egală cu h, care intersectează sfera ( ),S O R după cercurile ( ),C A R şi

( ),C B r (deci AB = h). Atunci (v. fig. 1.169) por ţiunea din sfer ă cuprinsă

între cele două plane se numeşte zonă sferică, iar h se numeşte înălţimea zonei.

Fig. 1.169

Teoremă. În condiţiile de mai sus, aria zonei sferice este dată de formula:

Aria zonei = 2 Rhπ .(Putem concepe calota ca o „zonă de limită” cu unul din cercuri redus laun punct. Formulele ariilor coincid.)

Reluăm consideraţiile anterioare (care au dus la generarea calotei sfericeşi a zonei sferice).

Consider ăm situaţia calotei sferice, pe care o consider ăm construită.Numim segment sferic generat de calota sferică, partea din bila

( ),B O R (adică din „sfera considerată ca volum”) care este mărginită de

calotă şi de planul α care a generat-o.

Înălţimea h a respectivei calote se numeşte înălţimea segmentului. Să notăm cu r raza cercului de intersecţie dintre ( ),S O R şi α .





Consider ăm situaţia zonei sferice, pe care o consider ăm construită.

Numim segment sferic generat de zona sferică partea din bila ( ),B O R

care este mărginită de zona sferică şi de cele două plane α şi β care augenerat-o. Înălţimea h a respectivei zone se numeşte înălţimeasegmentului. Să notăm cu 1r (respectiv 2r ) raza cercului de intersecţie

dintre ( ),S O R şi α (respectiv β ).

Teoremă. Volumul segmentului sferic generat de o calotă (respectiv de o zonă) estedat după cum urmează (calotele sferice considerate aici au înălţimeah R ≤ ):

Volumul segmentului sferic generat de calota sferică este dat de formula:

volum =3

24 1

3 2 2

hr h

⎛ ⎞π + π⎜ ⎟

⎝ ⎠.

Volumul segmentului sferic generat de zona sferică este dat de formula:

volum =3

2 21 2

4 1( )

3 2 2

hr h r h

⎛ ⎞π + π + π⎜ ⎟⎝ ⎠

.

Observaţie Dacă luăm în prima formulă r R = şi h R = (adică avemdrept calotă emisfera) obţinem drept volum pentru acest segment sferic

(care este, deci o „jumătate de bilă”) valoarea lui 32

3R π = jumătate din

volumul sferei.

Definiţie. Numim sector sferic (generat de o calotă sferică) partea din bila ( ),B O R

formată prin reunirea segmentului sferic generat de această calotă şiconul care are vârful în O şi baza egală cu cercul de bază al calotei. Înaceastă definiţie se consider ă calota cu înălţimea h R ≤ .

Teoremă. Volumul sectorului sferic generat de o calotă sferică este dat de formula:

volum =1

3⋅aria calotei ⋅ raza sferei =

= 21 22

3 3

Rh R R hπ ⋅ = π

Observaţie. Formula de mai sus nu este compatibilă cu ideea de a privi sectorul sfericca pe o piramidă cu baza = calota sferică şi înălţimea = raza sferei.

Prin urmare: dacă raza sferei este R şi înălţimea sectorului sferic este h,avem formula unitar ă

Definiţie. Numim fus sferic (aminteşte de noţiunea de fus orar!) por ţiunea dinsuprafaţa unei sfere cuprinsă în interiorul unui unghi diedru format dedouă semiplane care trec printr-un diametru al sferei (fig. 1.170, unde

diametrul este AOB şi fusul este haşurat).





Fig. 1.170

Cu formula ariei sferei şi cu regula de trei simplă obţinem aria unui fussferic corespunzător unui unghi diedru de măsur ă ϕ (în radiani)

22 ..............4

................aria fusului

R π π

ϕ

aria fusului 22 R = ϕ .

Notă. Vom vedea mai departe că un fus orar (care este un fus sferic!) este

por ţiunea de pe Terra cuprinsă între două meridiane. Din punct de vedereal rotaţiei diurne, în mod oficial ora este aceeaşi pe un fus orar.

Aplicaţie în geografie: coordonate terestre – latitudine şi longitudine

Pământul (Terra) are o formă aproximativ sferică. De fapt, Terra este ungeoid – o sfer ă puţin turtită la poli. Considerând, în primă aproximaţie, că Terra este o sfer ă, vom ar ăta cum se determină poziţia unui punct peTerra cu ajutorul coordonatelor sale sferice (geografice): latitudinea şilongitudinea.

Să consider ăm o sfer ă Σ (fig. 1.171 a)). Pe această sfer ă vom considera

un cerc mare Γ numit ecuator. Diametrul sferei care este perpendicularpe planul ecuatorului intersectează sfera Σ în punctele N = Polul Nord şiS = Polul Sud.

Unicul cerc mare care trece prin N (şi S) intersectează ecuatorul Γ înpunctul A, care va juca rolul originii axelor de coordonate.

Cercurile de pe sfera Σ care sunt situate în plane paralele cu planulecuatorului Γ se numesc paralele. Semicercurile (de cerc mare) dediametru [NS] de pe sfera Σ se numesc meridiane.

Există un unic meridian care trece prin A. Acesta va fi numit meridianulzero (sau meridianul Greenwich). Meridianul „opus”, adică meridianul de

diametru [NS] de pe sfer ă, care împreună cu meridianul zero formează unicul cerc mare de pe sfer ă care are ca diametru pe [NS] se mai numeşteşi meridianul schimbării de or ă.

Ecuatorul Γ este împăr ţit cu ajutorul punctului A în două semicercuri,după cum urmează. Se consider ă punctul B ∈ Γ , diametral opus lui A.

Atunci, se consider ă semicercul AEB (cu extremităţile A şi B închise), pecare îl vom numi “ecuator estic”.

Semicercul opus, AVB (cu extremităţile A şi B excluse din el) va fi numit

„ecuator vestic”. Similar, semicercul NAS se împarte în arcul AN numit

„nordic” şi arcul AS , numit „sudic”.





Emisfera care are ecuatorul ca cerc de bază şi îl conţine pe N , se numeşteemisfera nordică, iar emisfera opusă (cu ecuatorul ca cerc de bază şi cupunctul S pe ea) se numeşte emisfera sudică.

În fig. 1.171 b) am figurat o „reţea ” de meridiane şi paralele.

Fig. 1.171

Rezultatul fundamental care ne permite să identificăm punctele pe hartă este următorul:

Teoremă. Orice paralelă intersectează meridianul Greenwich într-un singur punct şiorice meridian intersectează ecuatorul într-un singur punct.

Vom ar ăta cum putem localiza un punct M ∈ Σ (adică un punct de peTerra identificată cu Σ ).

Dacă M este un pol (adică M = N sau M = S) identificarea lui M se facenumai cu un număr:

N este unicul punct care are latitudinea nordică 90°.

S este unicul punct care are latitudinea sudică 90°.

Consider ăm acum un punct M ∈ Σ care nu este pol (deci şiM N M S≠ ≠ )şi folosim fig. 1.172.

Fig. 1.172

Există un unic meridian care îl conţine pe M . Acest meridian are o unică

intersecţie cu ecuatorul Σ în punctul M ′ . Atunci M ′ va apar ţine sau ecuatorului estic sau ecuatorului vestic.

Măsur ăm arcul AM ′ . Anume, dacă M ′ este pe ecuatorul estic,





consider ăm arcul AM ′ inclus în ecuatorul estic, adică măsur ăm cel maimic dintre arcele de extremităţi A şi M ′ .

Prin măsurare, obţinem ( )m AM a′ = (măsurarea se face în grade

sexagesimale!) şi spunem că M are longitudinea estică a (se mai spunecă M are a° longitudine estică).

De exemplu, punctele de pe meridianul Greenwich au 0° longitudineestică (se mai spune, simplu, că au 0° longitudine), iar punctele de pemeridianul schimbării de or ă au 180° longitudine estică.

Similar, dacă M ′ se află pe ecuatorul vestic, consider ăm arcul AM ′ inclus

în ecuatorul vestic (adică arcul AM ′ f ăr ă punctul A inclus în ecuatorul

vestic!), măsur ăm acest arc AM ′ , obţinem măsura ( )m AM a′ = şi

spunem că M are longitudine vestică a (sau că M are a° longitudinevestică).

Există o unică paralelă care trece prin M . Această paralelă intersectează meridianul Greenwich NAS într-un unic punct M ′′ . DacăM ′′ apar ţine

arcului NA , măsur ăm arcul AM ′′ şi obţinem rezultatul ( ) .m AM b′′ =

Spunem că M are latitudinea nordică b° (sau că M are b latitudinenordică).

Similar, dacă M ′′ apar ţine arcului SA , măsur ăm arcul AM ′′ şi obţinem

rezultatul ( ) .m AM b′′ = Spunem că M are latitudinea sudică b° (sau că

M are b latitudine sudică).

Atenţie! Punctele M de pe ecuatorul Γ au 0° latitudine! (Nu mai spunem„nordică” sau „sudică”).

În acest moment, punctul M a fost identificat! Anume, M este unicul punctde pe Σ care area longitudine (estică sau vestică) şi b latitudine (nordică sau sudică).

Spunem căaşi b sunt coordonatele terestre ale lui M .

Invers, dându-se a longitudine (estică sau vestică) şi b latitudine(nordică sau sudică) există un unic punct cu aceste coordonate terestre.

Exemplu. Bucureştiul are 26°longitudine estică şi 44 20′° latitudine nordică.






1. Se consider ă un con K cu raza bazei R şi înălţimea h. Să se determineun punct P pe axa conului astfel încât volumul trunchiului de con având cabaze baza lui K şi secţiunea lui K cu un plan care trece prin P şi esteparalel cu baza lui K , să fie egal cu jumătate din volumul lui K . Se va

verifica faptul că rezultatul nu depinde de R .

2. Se consider ă o sfer ă de rază R şi centru O. Fie α un plan cuproprietatea că distanţa de la O la α este d , unde 0 d R < < .

Să

se determine raza cercului obţinut ca intersec

ţie a planului α cu sfera.






1.4. Comentarii şi r ăspunsuri la testele de autoevaluare

Test 1

1. Locul geometric căutat este discul de centru O şi rază r situat în planulP .

2. Locul geometric căutat este un plan care trece prin punctul A şi esteperpendicular pe dreapta d .

Test 2

1. ( ) ( )7 1 75m m= = (alterne interne)

( ) ( )5 1 75m m= = (corespondente)

( ) ( )6 180 1 180 75 105m m= − = − = (interne de aceeaşi parte a

secantei)

Mai departe:

( ) ( )2 180 1 180 75 105m m= − = − = (suplementare)

( ) ( )3 1 75m m= = (opuse la vârf)

( ) ( )4 180 1 180 75 105m m= − = − = (suplementare)

( ) ( )8 6 105m m= = (opuse la vârf).

2. Unghiurile au „sensuri contrare” şi nu se pot suprapune printr-odeplasare (echivalent, prin construcţia amintită).

Putem să „suprapunem” unghiurile astfel: se suprapune semidreapta[O B′ ′ peste semidreapta [OA şi semidreapta [O A′ ′ peste semidreapta [OB.

Test 3

1. a) Avem două variante (notăm BC = x )

Prima: latura de lungime maximă (egală cu 4) este AC , deci trebuie să avem 4 3 1 x x < + ⇔ > .

A doua: latura de lungime maximă (egală cu x ) este BC, deci trebuie să avem 4 3 7 x x < + ⇔ < .

Aşadar, 1 7 x < < .b) ABC Δ este isoscel 3 sau 4 x x ⇔ = = . ABC Δ poate fi dreptunghic în

două variante:

Prima: AC este ipotenuză, adică (teorema lui Pitagora):

2 2 2 24 3 16 9 7 7 x x x = + ⇔ = − = ⇔ = .

A doua: BC este ipotenuză, adică 2 2 23 4 25 5 x x = + = ⇔ = .

Observaţie. Un triunghi dreptunghic cu laturile de lungimi propor ţionale cu 3, 4, 5 senumeşte triunghi egiptean. Denumirea provine din faptul că zidarii din

Egiptul Antic îl foloseau pentru a verifica verticalitatea.2. Ar ătăm că OPU OPV Δ ≡ Δ de unde va rezulta că PU = PV .





Pentru aceasta, folosim cazul de congruenţă ULU . Anume:

OP = OP (latur ă comună)

( ) ( )m POU m POV = (deoarece [OP este bisectoare).

( )

( )m OPU m OPV = (deoarece

( ) ( ) ( ) ( )90 90m OPU m POU m POV m OPV = − = − = ,

folosind triunghiurile dreptunghice OPU şi OPV ).

Observaţie. Şi proprietatea reciprocă este valabilă. Cu alte cuvinte, bisectoarea [OM este locul geometric al punctelor egal depărtate de [OA şi [OB.

Test 4.

1. Se vede că AOB CODΔ ≡ Δ , folosind cazul de congruenţă LUL:

OA = OC şi OB = OD, prin ipoteză.

( ) ( )m AOB m COD= (unghiuri opuse la vârf)

Folosind această congruenţă, rezultă că unghiurile omoloage sunt

congruente: ,OAB OCD OBA ODC ≡ ≡ .

Prima din aceste congruenţe de unghiuri arată că secanta AC formează cu dreptele AB şi AD unghiuri alterne interne congruente, deci AB CD .Similar, se arată că AD BC .

2.

Consider ăm un patrulater ABCD care nu este convex, ca în figura de maisus. Facem următoarea construcţie auxiliar ă. Pe dreapta suport a lui[ AC ], consider ăm un segment A C ′ ′ cu proprietatea A C AC ′ ′ = , care are, în plus, proprietatea că intersecţia lui [ A C ′ ′ ] cu [BD] este un punct interior

lui [BD] şi lui [ A C ′ ′ ], notat cu O. Cu alte cuvinte, A BC D′ ′ este un patrulaterconvex.





Deoarece perpendiculara dusă din B pe AC este aceeaşi cuperpendiculara dusă din B pe A C ′ ′ , rezultă că triunghiurile ACB şi A C B′ ′ au aceeaşi înălţime din B şi bazele [ AC ] şi [ A C ′ ′ ] congruente, deci auaceeaşi arie: ( ) ( )S A C B S ACB′ ′ = . La fel: ( ) ( )S A C D S ACD′ ′ = . Atunci

( ) ( ) ( ) ( ) ( )S ABCD S ACB S ACD S A C B S A C D′ ′ ′ ′= + = + = ( )S A BC D′ ′ .

Cum A BC D′ ′ este patrulater convex, pentru el funcţionează formuladiagonalelor:

( )S A BC D′ ′ =sin sin

2 2

A C BD AC BD′ ′ ⋅ ⋅ ϕ ⋅ ⋅ ϕ= ,

unde ϕ este măsura unghiului format de dreptele A C ′ ′ şi BD, adică AC şiBD.

Test 5

1. a) Avem R = 2. Pentru măsura în grade folosim formula 180

Rn

l

π

= cu

4, 2l R = = , deci4 180

114,591562

n ⋅

= ≈π

.

Aşadar, măsura în grade este (atenţie!) 114 0,59156+

Vom calcula valoarea în minute şi secunde a mărimii 0,59156 . Avem

1 60 3600′ ′′= = şi atunci, folosim regula de trei simplă pentru a aflavaloarea în secunde:

3600……………….1

x …………………...0,59156, deci

x = 0,59156·3600 = 2129,616'', adică 0,59156 = 2129,616''.

Pentru a afla câte minute sunt cuprinse în ultima valoare, împăr ţim2129

35,4833 2129 60 35 2960

≈ ⇒ = ⋅ + , prin urmare

0,59156 35 29′ ′′≈ .

Măsura cerută este aproximativ egală cu 114 35 29′ ′′ .

Acum calculă

m mă

sura în radiani. Folosim formula l NR = , cu 4l = ,2R = , deci 2N = . Măsura cerută este 2 rad (ceea ce se poate vedea

direct, imediat).

b) Din nou, cu formula cu 2, 60180

Rnl R n

π= = = , obţinem:

22,094395

3l = π ⋅ ≅ .

c) Rezultatul este aproximativ egal cu:

( ) ( )2,5 57 17 2,5 57 2,5 17 142,5 42,5142 30 42,5 142 72 0,5 143 12

′′ ′⋅ = ⋅ + ⋅ = + =

′ ′ ′ ′ ′= + + = + + ≈

.





2. Ca de obicei, notăm BC = a, CA = b, AB = c .

Aria totală a figurii este compusă din aria triunghiului ABC plus ariile celordouă semicercuri construite pe catete ca diametre, adică este egală cu

( )2 2

2 2

b c S ABC

π π+ + .

Aria lunulelor reunite se obţine scăzând din aria totală aria semicerculuiconstruit pe ipotenuză ca diametru, care are valoarea

2

2

aπ. Aşadar, aria

lunulelor reunite este egală cu ( )2 2 2

2 2 2

b c aS ABC

π π π+ + − .

Dar, teorema lui Pitagora spune că 2 2 2a b c = + , deci:

2 2 2

02 2 2

b c aπ π π+ − =

şi aria lunulelor reunite este S( ABC ).Test 6

1. Notăm latura 1 2PP a= . Unghiul hexagonului regulat are măsura

( )1

6 2 2ˆ6 3

m P −

= π = π . Atunci:

( ) ( ) ( )6 1 12 1 2 1 1

2 5ˆ rad2 3 2 3

m P P A m P m P P A π π π π

+ + = + + = .

Rezultă ( )12 1 1

52 rad

3 3m A P A

π π= π − = .

Triunghiul isoscel 12 1 1 A P A are un unghi de măsur ă 3

πrad, deci este

echilateral. Rezultă că 12 1 1 1 1 2 A A A P a A A= = = .

Aşadar, dodecagonul 1 2 12... A A A are toate laturile de lungime egală.

Calculăm şi unghiurile acestui dodecagon.

( ) ( ) ( )11 12 1 11 12 1 1 12 1

5

2 3 6m A A A m A A P m P A A

π π π= + = + = .

La fel, ( )12 1 2

5 12 2

6 12

m A A A π −= = π .

Rezultă că toate unghiurile dodecagonului 1 2 12... A A A sunt de măsur ă egală

(cu măsura unghiurilor dodecagonului regulat). În final, rezultă că

1 2 12... A A A este regulat.

2. Cu formula deja demonstrată, avem ( )2 28 82 2 2 2l R l R = − ⇒ = − .

Atunci folosim formula de dublare:

( ) ( )2 2 2 216 82 4 2 4 2 2l R R R l R R R R ⎛ ⎞= − − = − − −⎜ ⎟

⎝ ⎠ =

= ( ) ( )22 4 2 2 2 2 2 2 2 2R R R R R − − + = − + = − + .





Test 7

1. Există patru puncte necoplanare A, B, C, D, conform uneia dintreaxiome. Vom ar ăta că există trei perechi de drepte necoplanare: AB şi CD, AC şi BD, AD şi BC .

De exemplu, ar ătăm că dreptele AB şi CD sunt necoplanare. Dacă ar ficoplanare, ar rezulta c

ă toate punctele dreptelor AB

şi CD ar fi în acela

şi

plan α , deci, în particular, punctele A, B, C, D ar fi în α , fals.

2.

a) Afirmaţia este evidentă dacă d, e, f sunt coplanare. Vom considera

cazul când d, e, f nu sunt coplanare (v. figura).Fie α un plan aşa ca , ,d e d e⊂ α ⊂ α . La fel, β este un plan aşa ca

, şie f e f ⊂ β ⊂ β . Deci e = α ∩β .

Luăm un punct M d ∈ şi fie γ planul determinat de f şi M . Cu o teoremă anterioar ă, rezultă că d ′γ ∩ α = este o dreaptă cu d ′ ⊂ α şi d f ′ . Vomar ăta că d d ′ = , ceea ce va ar ăta că d f .

Într-adevăr, în planul α avem situaţia: ,M d M d ′∈ ∈ şi d e . Dacă vomar ăta că d e′ , va rezulta d d ′ = .

Să presupunem prin absurd existenţa unui punct N d e′∈ ∩ .

Putem construi planul δ determinat de f şi N , deoarece N d ′∈ , d f ′ ,deciN f ∉ . Observăm următoarele:

a) δ = β (deoarece ,f N e⊂ β ∈ ⊂ β şi β este determinat de f şi N );b) δ = γ (deoarece ,f N d ′⊂ β ∈ ⊂ γ şi γ este determinat de f şi N ).

Aşadar, β = γ . Rezultă β ∩ α = γ ∩ α , adică e = d ′ . Rezultă că M d ∈ ,M d e′∈ = , M d e∈ ∩ , fals. Prin urmare, trebuie să avem d e′ etc.

b) Evident, dacă , ,α β γ sunt plane distincte aşa ca α β şi β γ , rezultă

α ∩ γ .





Test 8

1.

Fie AOB unghiul nostru drept cu OA = a α şi OB = b neperpendicular ă pe α . Proiectăm O în O′ , A în A' , B în B' .

Ducem prin O′ paralela b′ la b. Ea este coplanar ă cu b în planuldeterminat de b şi b' . Deoarece b nu este perpendicular ă pe α , rezultă că b' nu este paralelă cu BB', deci fie P punctul de intersecţie al lui b' cu BB' .

Avem: , ,BB P BB PO O A′ ′ ′ ′ ′⊥ α ∈ ⊥ (deoareceBOA şi

PO A′ ′ sunt unghiuricu laturi paralele).

Cu prima reciprocă a teoremei celor trei perpendiculare, rezultă

B O O A′ ′ ′ ′⊥ , adică A O B′ ′ ′ este unghi drept.

2.

Triunghiurile dreptunghice în O, MOA şi MOB sunt congruente, deoareceau catete de lungimi egale (MO = MO, OA = = OB).

Rezultă că ( ) ( )m MAO m MBO= .

Deoarece O este proiecţia lui M , rezultă că MAO este unghiul f ăcut cu α

şi MBO este unghiul f ăcut de MB cu α .

Test 9

1. Avem V = 7 vârfuri.

Muchiile sunt: VM, VN, VP, MN, NP, MP, MA, NB, CP, AB, BC, CA , deciM = 12.

Feţele sunt: MNV, NPV, MPV, MNBA, NPCB, MPCA, ABC , deci F = 7.

V + F = 7+7 = 14.

M +2 = 12 + 2 = 14.

2. Aria laterală este 3l

S = ⋅aria unei feţe laterale.

Dacă piramida este VABC cu înălţimea VV ′ (v. fig. (∗ )), atunci avem figuraplană (∗∗ ).





Fig. (∗ ) Fig. (∗ ∗ )

1 1 3 3,

3 3 2 6

a aVV h V P AP ′ ′= = = ⋅ = , deci

2 2 22 2 12

12 12

a h aVP h

+= + = .

Atunci: ( )2 2 2 21 12 12

2 12 4 3

h a a h aS VBC a

+ += ⋅ = .

2 22 212 33 12

4 3 4l a h a aS h a+= ⋅ = + .

Aria totală este: ( )2

2 2 2 23 3 312 12

4 4 4

a a ah a a h a+ + = + + .

Volumul este:2

21 3 3

3 4 12

ah a h⋅ = ⋅

Test 10

1. Notăm cu d distanţa (necunoscută) VP (unde V este vârful conului).

Volumul conului „mic” de vârf V şi bază secţiunea cu planul care trece prin

P este ( )2

Vol 13

r d π= unde r este raza cercului de secţiune. Avem

(teorema fundamentală a asemănării în secţiunea axială):

r d d r R

R h h= ⇒ = deci ( )

22

2 32

2Vol 1

3 3

d R d

R d hh

π π= = .

Volumul conului iniţial K este:

2

Vol(2)3

R hπ=

şi ecuaţia problemei (necunoscuta este d ) este următoarea:

Vol(2) = 2Vol(1)2 2 3 3

3 3 32 2

2 22 2

3 3

R h R d d h d h d h

h h

π π⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ = .

2. Dacă M este proiecţia lui O pe planul α , efectuând o secţiune cu unplan care trece prin O şi M , avem figura următoare:





Aici MO = d , OA = R şi MA = r este raza căutată. Rezultă (teorema lui

Pitagora în triunghiul OMA): 2 2 2r R d = −

1.5. Lucrare de verificare pentru studenţi

Indicaţii de redactare. Problemele se vor rezolva în ordinea din textul enunţului.Rezolvările se vor expedia pe adresa tutorelui.

1 punct din oficiu

1,5 p 1. a) Să se arate că dacă patru puncte A, B, C, D sunt necoplanare, atunciele nu sunt coliniare.

b) Să se arate că dacă punctele 1 2, ,... n A A A ( )3n ≥ sunt coliniare, atunci

ele sunt coplanare.

1,5 p 2. Fie A, B, C trei puncte distincte.

Să se determine locul geometric al punctelor M din spaţiu pentru care MA= MB = MC .

1,5 p 3. Se consider ă un paralelipiped dreptunghic ABCDA B C D′ ′ ′ ′ ca în figur ă.

Se ştie că AB = a, AD = b şi AA' = c .Se cere să se calculeze diagonala spaţială AC' .

1,5 p 4. Se consider ă o piramidă regulată având baza un pătrat de latur ă 2a şi înălţimea egală cu h.

Ce relaţie trebuie să existe între a şi h pentru ca unghiul diedru f ăcut de ofaţă laterală cu baza să fie de 45°? În acest caz să se calculeze volumulpiramidei.

1,5 p 5. Se consider ă un cilindru având baza un cerc ( ),C O R şi înălţimea 2R .

În acest cilindru se „înscriu” un con a cu baza ( ),C O R şi înălţimea 2R ,

precum şi o sfer ă ( ),S M R , având centrul M situat pe axa comună a





cilindrului şi conului, la distanţa OM = R de baza cilindrului (de fapt, sferaeste tangentă interior cilindrului, v. figura următoare).

Să se arate că volumul sferei este medie aritmetică între volumul conuluişi volumul cilindrului (Arhimede).

1,5 p 6. Se consider ă o sfer ă de rază R , secţionată cu un plan α situat ladistanţa d de centrul sferei, 0 d R < < .

Se cere volumul corpului cuprins între calota sferică “mică” determinată de αşi conul cu vârful în centrul sferei şi având ca bază cercul obţinut prinsecţionarea sferei cu planul α .

Ce se întâmplă când d tinde către zero? .

1.6. Bibliografie

[1.] Manualele în vigoare pentru clasele V-VIII

[2.] D. Brânzei, S. Aniţa, C. Cocea. Planul şi spaţ iul euclidian. Ed. Acad. R.S.R. Bucure

şti, 1986.

[3.] D. Brânzei, S. Aniţa, E. Onofraş, G. Isvoranu. Bazeleraţ ionamentului geometric . Ed. Acad. R.S.R. Bucureşti,1983.

[4.] C. Coşniţă, Geometria în spaţ iu. Manual pentru clasa a X-a real ă,Ed. Did. Ped. Bucureşti, 1958

[5.] I. Cuculescu, S. Kleitsch, C. Ottescu. Geometrie în spaţ iu. Ed.Univ. Bucureşti, 1997.

[6.] N. Efimov. Géométrie supérieure. Edition Mir. Moscov, 1981.

[7.] D. Mihalca, I. Chiţescu, M. Chiriţă. Geometria patrulaterului .Teora. Bucureşti, 1998.

[8.] L. Nicolescu, V. Boskoff. Probleme practice de geometrie. Ed.Tehnică. Bucureşti, 1990.

[9.] L. Nicolescu, A. Bumbăcea, A. Catană, P. Horja, G. G. Nicolescu,N. Oprea, C. Zara. Metode de rezolvare a problemelorde geometrie. Ed. Univ. Bucureşti, 1993.

[10.] K. Teleman, M. Florescu, C. Rădulescu, D. Moraru, E. Stătescu.Matematic ă. Geometrie. Manual pentru clasa a IX-a.Ed. Did. Ped. Bucureşti, 1978.

[11.] G. Ţiţeica. Probleme de geometrie, ed. VI. Ed. Tehnică.Bucureşti, 1981.



Elemente de geometrie analitică



ELEMENTE DE GEOMETRIE ANALITICĂ

Cuprins

Obiectivele unităţii de învăţare 2 ................................................................1372.1. Coordonate carteziene (pe dreaptă, în plan, în spaţiu)................1382.2. Elemente de geometrie analitică plană........................................1532.3. Elemente de geometrie analitică în spaţiu...................................2192.4. Comentarii şi r ăspunsuri la testele de autoevaluare ................... 2682.5. Lucrare de verificare pentru studenţi ………………………………298

2.6. Bibliografie .................................................................................. 299

Obiectivele unităţii de învăţare 2

După ce veţi parcurge această unitate de învăţare, veţi facecunoştinţă cu metodele geometriei analitice şi veţi aveacunoştinţe suficiente să faceţi următoarele operaţii

matematice: Identificarea unui sistem convenabil de axe la care

să raportaţi o configuraţie dată. Utilizarea coordonatelor unui punct şi a parametrilor

care realizează configuraţia în rezolvarea deprobleme.

Utilizarea formulelor, determinarea ecuaţiilordreptelor, planelor, conicelor, cu proprietăţigeometrice bine definite.

Exprimarea algebrică sau analitică a proprietăţilorgeometrice.

Analiza ecuaţiilor din plan în vederea gener ării unorecuaţii pentru geometria în spaţiu.

Interpretarea unor situaţii concrete, cotidiene, prinraportarea la un sistem de axe. Utilizareaproprietăţilor geometrice pentru rezolvarea unorprobleme practice.





2.1. Coordonate carteziene (pe dreaptă, în plan, în spaţiu).

Ideea de bază a geometriei analitice este următoarea: punctele suntidentificate cu numere (pe dreaptă), cu perechi de puncte (în plan) sau cutriplete de numere (în spaţiu). Aceste numere care apar în identificări se

numesc coordonatele punctelor .Cea mai pregnantă dintre aceste identificări este identificarea

punct în plan ≡ pereche de numere

În acest moment, o figur ă geometrică plană (mulţime de puncte din plan)devine o mulţime de perechi de puncte. În acelaşi timp, o proprietategeometrică devine o proprietate de calcul. De exemplu, faptul că distanţadintre punctele A1 ≡ ( x 1, y 1) şi A2 ( x 2 , y 2 ) este egală cu r se scrie astfel:

( ) ( )22

2121 y y x x −+− = r

De asemenea, anumite figuri geometrice (mulţimi de puncte din plan) auanumite ecuaţii. De exemplu, faptul că punctele M ≡ ( x, y ) se află pe odreaptă se exprimă prin aceea că există trei numere reale a, b, c (cu a ≠ 0 sau b ≠ 0 ) astfel încât coordonatele x şi y ale punctelor satisfac egalitatea

ax + by + c = 0

numită ecuaţia dreptei.

Istoria matematicii îl recunoaşte ca fondator al geometriei analitice, bazată pe metoda coordonatelor , pe matematicianul şi filozoful francez RenéDescartes (1596 – 1650). Coordonatele obişnuite ale punctelor se numesccoordonate carteziene în onoarea lui Descartes, care scria în limba latină (aşa cum era obiceiul timpului) şi semna Renatus Cartesius. Acelaşicomentariu se poate face referitor la denumirea de produs cartezian a două mulţimi.





2.1.1. Coordonate carteziene pe dreaptă

Fie d o dreaptă fixată (acesta este spaţiul în care vom lucra: o lumeunidimensională). Presupunem că ştim, în mod intuitiv, ce înseamnă că unpunct M ∈ d se află între punctele A şi B din d , ceea ce permite să vorbim

despre segmentele (care au mai fost definite) ( AB), [ AB], [ AB) şi ( AB].

Pentru a face geometrie analitică pe o dreaptă d , vom defini pe această dreaptă un sens şi o unitate de măsur ă.

Definirea sensului. Vom considera un punct 0 ∈ d fixat, numit origine (fig. 2.1.). El împarte dreapta d în semidreptele (opuse) [0x şi [0x’ , pe care le vom nota,pentru comoditate, cu 0x şi 0x’ .

Fig. 2.1

Facem o alegere între cele două semidrepte şi numim pe 0x semidreaptapozitivă (de obicei, se alege ca semidreaptă pozitivă pe cea care este “ladreapta”, aşa cum este pe desen).

Spunem că am ales un sens pe dreapta d în momentul când am alessemidreapta pozitivă 0x .

Definirea unităţii de măsur ă. Pe semidreapta pozitivă 0x consider ăm un punct fixat A ≠ 0 . Unitatea de măsur ă pe d este lungimea segmentului [OA]. Şi această

definiţie este intuitivă, pentru că ea presupune că ştim ce înseamnă să măsur ăm lungimea unui segment (vezi fig. 2.1.).

Definiţie. O dreaptă d , pe care s-a ales un sens şi o unitate de măsur ă se numeşte axă de coordonate sau dreaptă carteziană.

O dreaptă carteziană se poate pune în corespondenţă cu mulţimeanumerelor reale R . În mod precis, vom ar ăta cum se poate defini o funcţiebijectivă h: d → R cu următoarea proprietate: pentru orice punct M ∈ d ,facem să corespundă un unic număr real x M = h(M), numit coordonata luiM .

Fig. 2.2

În primul rând, h(O) = 0 . Apoi, dacă M ≠ 0 , vom avea x M > 0 dacă M ∈ Ox sau x M < 0 , dacă M ∈ Ox’ .





Dacă M ∈ Ox , vom defini pe x M astfel: x M = lungimea segmentului [OM ]. Dacă N ∈ Ox’ , vom defini pe x N astfel: x N = - (lungimea segmentului[NO ]), vezi fig. 2.2.(Atenţie! În mod intuitiv, lungimea lui [OM ] înseamnă “ de câte ori se cuprindeunitatea de măsur ă [OA] în [OM ]”).

În fig. 2.2. avem: 2=

M x , 1−=

N x şi 2

5=

P x . Acest mod de definire poate fi utilizat şi pentru puncte care dau rezultatenumere iraţionale. De exemplu, în fig. 2.3., segmentele [OA] şi [OB] au,fiecare, lungimea egală cu 1. De asemenea, OBOA ⊥ . Rezultă că ipotenuza

OB a triunghiului dreptunghic AOB are lungimea 2 . Purtând pe Ox

segmentul OU de lungime egală cu 2 , ca în fig. 2.3., va rezulta 2=U x şi

2 este număr iraţional (nu este număr raţional).

Temă. Ar ătaţi că 2 nu este număr raţional.

Fig. 2.3

Definiţie. Dacă punctului M ∈ d îi corespunde numărul real h(M ) = x M , vom spune că x M este coordonata (carteziană) a lui M pe dreapta carteziană d şi vom nota

M ( x M )

Aşadar, bijecţia h identifică un punct M cu coordonata sa x M , adică identifică dreapta carteziană d cu mulţimea numerelor reale R .

Identificarea de mai sus „păstrează ordinea”: M se află între A şi B dacă şinumai dacă numărul x M este cuprins între numerele x A şi x B (de exemplu,dacă x A < x B, înseamnă că trebuie să avem x A ≤ x M ≤ x B).

Definiţie. Distanţa între două puncte A şi B ale dreptei carteziene d , notată AB este

lungimea segmentului de extremităţi A şi B.

Teoremă. Dacă A şi B sunt pe dreapta carteziană d , avem relaţia:

B A x x AB −= .





Ilustr ăm afirmaţia de mai sus în fig. 2.4. unde punctele sunt echidistante(distanţa între două puncte alăturate este egală cu 1).

Fig. 2.4.

101 =−=−= o A x x OA 213 =−=−= AC x x CA

231 =−=−= C A x x AC

( ) 21313 =+−=−−−=−= M P x x PM

4422 =−=−−=−= BN x x NB

Dacă avem două puncte distincte A( x A) şi B( x B) pe dreapta carteziană d ,

putem defini raportul de segmente orientateMB

MA pentru orice punct M ∈ d, M

≠ B.

Anume, prin definiţie, acest raport este:

M B

M A

x x

x x

MB

MA

−

−= .

Se constată că, dacă M ∈ [ AB) (vezi fig. 2.5a)) avem:

MB

MA

MB

MA−=

(raportul distanţelor lui M la A şi B, luat cu semnul −, deoarece „segmenteleorientate” MA şi MB „au sensuri contrare” în acest caz).

Se mai constată că, dacă M ∉ [ A,B] (vezi fig. 2.5b) sau fig. 2.5c)), atunci:

MB

MA

MB

MA=

(raportul distanţelor lui M la A şi B, deoarece MA şi MB „au acelaşi sens”).





Fig. 2.5.

Prin urmare, raportulMBMA poate lua orice valoare în afar ă de valoarea 1.

Teoremă. Dacă M ∈ d, M ≠ B, are proprietatea că t MB

MA= , unde t este un număr real

diferit de 1, atunci:

t

tx x x B A

M −

−=

1

În particular pentru mijlocul M a lui AB (se ia 1−=t ) avem

2B A

M

x x x

+=





2.1.2. Coordonate carteziene în plan

Consider ăm un plan fixat P (acesta este spaţiul în care lucr ăm: o lumebidimensională).

Definiţie. Se numeşte reper cartezian (sau sistem de axe de coordonate în plan

sau, mai simplu, sistem de axe de coordonate) o pereche ordonată dedrepte carteziene perpendiculare din P , care au originea comună O şi auunitatea de măsur ă comună (au aceeaşi unitate de măsur ă pe ambeleaxe).

Prin urmare, pe prima dreaptă avem punctul O şi semidreapta pozitivă Ox ,iar pe a doua dreaptă avem punctul O şi semidreapta pozitivă Oy .

Denumire. Dreptele de mai sus se numesc axe de coordonate (în plan). Prima dreaptă de mai sus se numeşte axa absciselor (sau axa Ox , sau axa xx’ ), iar a douadreaptă se numeşte axa ordonatelor (sau axa Oy , sau axa yy’ ). De multe

ori, vom denumi reperul cartezian astfel: reperul xOy sau sistemul de axede coordonate xOy .

Definiţie. Se numeşte plan cartezian un plan P , împreună cu un reper cartezian.

În fig. 2.6. avem reperul cartezian xOy cu unitatea de măsur ă dată depunctele I şi J : OI = OJ = 1.

Fig. 2.6.

În continuare, vom ar ăta cum se stabileşte o corespondenţă între puncteleplanului cartezian şi perechile ordonate de numere reale.

Fig. 2.7.

Folosim fig. 2.7 unde avem sistemul de axe de coordonate xOy în spaţiulcartezian P .





Consider ăm un punct oarecare M în planul P . Vom asocia lui M o

pereche de numere ( ) 2, R R R y x M M =×∈ (adică folosim notaţia obişnuită pentru produsul cartezian! Reamintim că produsul cartezian a două mulţimi A şi B este mulţimea de perechi A x B definită astfel:

( ){ }Bb AabaB A ∈∈=× ,,

Dacă A = B, scriem, de multe ori, A2 în loc de B A × ).

Procedura de asociere. Ducem prin M două drepte perpendiculare:- prima dreaptă este paralelă cu Oy şi intersectează pe Ox în A( x M ),

unde x M este coordonata lui A pe dreapta carteziană Ox ;- a doua dreaptă este paralelă cu Ox şi intersectează pe Oy în B(y M ), unde

y M este coordonata lui B pe dreapta carteziană Oy . În acest mod am asociat punctului M perechea ( x M , y M ). De fapt, am definit funcţia F : P → 2 R , dată prin

F (M ) = ( x M , y M ).

Fig. 2.81) Folosim fig. 2.8. unde avem sistemul de axe de coordonate în planul

cartezian P .

Vom considera o pereche (x, y) 2R ∈ şi îi vom asocia un punct M P .

Procedura de asociere.- numărului real x îi corespunde pe dreapta carteziană Ox punctul de

coordonată x , pe care îl notăm cu A;- numărului real y îi corespunde pe dreapta carteziană Oy punctul de

coordonată y pe care îl vom nota cu B.Prin A ducem o paralelă la Oy , iar prin B ducem o paralelă la Ox . Acestedouă drepte se întâlnesc în punctul M ∈ P . (Dacă x = 0 ,punctul M este pe Oy , dacă y = 0 , punctul M este pe Ox , iar dacă x = y = 0 ,obţinem M = 0 ).





Dacă M este legat de x şi y în modul descris mai sus, vom scrie M ( x, y ) şivom spune că x şi y sunt coordonatele carteziene ale punctului M ,anume: x este abscisa lui M , iar y este ordonata lui M .De fapt, am definit funcţia G: R 2 → P dată prin G( x, y ) = M (cititorul varemarca faptul că am scris G( x, y ) = M , în loc de G(( x, y )) = M , adică, amomis o pereche de paranteze, acest mod de scriere fiind unanim folosit).

Se poate observa că funcţiile F şi G sunt bijective şi inverse una alteia,adică 1−= F G şi 1−= GF .

În acest mod, se identifică planul P cu produsul cartezian R 2 (adică

identificăm F (P ) ≡ P şi ( ) 22 R R G ≡ .

Vom face câteva observaţii care clarifică “comportamentul geometric” alfuncţiilor F şi G de mai sus.

Observaţii cu privire la semnul coordonatelor.

Vom discuta poziţia unui punct M ( x, y ) din planul cartezian, în funcţie desemnul coordonatelor sale x şi y .

Situaţiile posibile în cazul x = 0 sau y = 0 se află în fig. 2. 9.

Fig. 2.9Situaţiile posibile în cazul x ≠ 0 şi y ≠ 0 se află în fig. 2.10.

Avem x > 0 , y > 0 ; Avem x < 0, y > 0 ;spunem că M se află spunem că M se află în cadranul I (dreapta, sus) în cadranul II (stânga, sus)

a) b)





Avem x < 0 , y < 0 ; Avem x > 0, y < 0 ;

spunem că M se află spunem că M se află în cadranul III (stânga, jos) în cadranul IV (dreapta, jos)

c) d)Fig. 2.10

Folosind identificarea planului P cu R 2 cu prezentată anterior, putem scrie

fiecare dintre cele patru cadrane ca produs cartezian a două mulţimi denumere reale:

cadranul I = ( ) ( )∞×∞ ,0,0cadranul II = ( ) ( )∞×∞− ,00,

cadranul III = ( ) ( )0,0, ∞−×∞−

cadranul IV = ( ) ( )0,,0 ∞−×∞

Putem generaliza aceste egalităţi, după cum urmează:

Reprezentarea geometrică a produselor carteziene de intervale.

a) Fie a < b şi c < d numere reale. Consider ăm produsul cartezian

[ ] [ ]d c baK ,, ×=

Identificăm K cu G(K ) (funcţia G a fost introdusă anterior) şi obţinemreprezentarea lui K în forma “dreptunghiului plin” din fig. 2.11. (care conţine şilaturile).

Fig. 2.11.

Dacă vrem să reprezentăm produsul cartezian ( ) ( ), ,L a b c d = × , vom obţine

numai interiorul dreptunghiului din fig. 2.11. (f ăr ă laturi).





Mulţimile [ ] R ba ×, (fig. 2.12a)) şi [ ]d c R ,× (fig. 2.12b)) se reprezintă prin câteo bandă.

Fig. 2.12.

Temă. Cititorul va reprezenta singur mulţimile [ ] { }c ba ×, (segment orizontal) şi

{ }c R × (dreaptă orizontală).

2.1.3. Coordonate carteziene în spaţiuVom lucra în spaţiul S (lumea tridimensională reală în care tr ăim).

Definiţie. Se numeşte reper cartezian (sau sistem de axe de coordonate în spaţiu,sau, mai simplu, sistem de axe coordonate) un triplet ordonat de dreptecarteziene din S care au originea comună O, măsura comună şi sunt două câte două perpendiculare.

Denumire. Dreptele de mai sus se numesc axe de coordonate (în spaţiu). Primadreaptă de mai sus se numeşte axa absciselor (sau axa Ox , sau axa xx’ ), a

doua dreaptă se numeşte axa ordonatelor (sau axa Oy , sau axa yy’ ) şi atreia dreaptă se numeşte axa cotelor (sau axa Oz , sau axa zz’ ). De multeori, vom numi reperul cartezian de mai sus astfel: reperul Oxyz sausistemul de axe de coordonate Oxyz .

Avem două posibilităţi de poziţionare a celor trei axe de coordonate: în fig.2.13a) avem un sistem de axe de coordonate drept (dextrorsum), iar înfig. 2.13b) avem un sistem de axe de coordonate stâng (sinistrorsum). Am figurat numai semiaxele pozitive.

Fig. 2.13.





Definiţie. Se numeşte spaţiu cartezian un spaţiu S împreună cu un reper cartezian. Înceea ce urmează, vom considera numai repere drepte.

Ca şi la coordonatele carteziene în plan, vom ar ăta cum se poate stabili ocorespondenţă între spaţiu şi tripletele de numere.

Reamintim că, dacă A, B, C sunt trei mulţimi, putem defini produsul lorcartezian, care este mulţimea C B A ×× de triplete, definită astfel:

( ){ }C c Bb Aac baC B A ∈∈∈=×× ,,,,

Dacă A = B = C , scriem de multe ori

3 A A A A =×× De asemenea, având sistemul de axe de coordonate Oxyz , vom consideracele 3 plane care se formează (vezi fig. 2.14).

Fig. 2.14.

Planul xOy (determinat de axele Ox şi Oy ) se mai numeşte şi planulorizontal. Planele yOz (determinat de axele Oy şi Oz ) şi zOx (determinat de

axele Oz şi Ox ) sunt planele verticale. Planele xOy , yOz şi zOx se mainumesc şi plane de coordonate.

Fig. 2.15

1) Folosim fig. 2.15 unde avem sistemul de axe de coordonate Oxyz înspaţiul cartezian S.

Consider ăm un punct M în spaţiul S . Vom asocia lui M un triplet denumere ( x M , y M , z M ).

Procedura de asociere. Proiectăm punctul M pe cele trei axe Ox, Oy, Oz înpunctele A, B, C respectiv. Cu alte cuvinte, ducem





din M perpendiculara pe Ox şi aceasta intersectează pe Ox în A( x M ) (amnotat cu x M coordonata punctului A pe dreapta carteziană Ox ; similar y M estecoordonata proiecţiei B pe Oy şi z M este coordonata proiecţiei C pe Oz ).Dacă, de exemplu, M se găseşte pe dreapta Ox , atunci, prin definiţie, A = M etc.

Atenţie! Puteam obţine punctele A, B, C şi în alt mod (vezi fig. 2.15). Anume:proiectăm punctul M pe planul orizontal xOy în M’ . În acest plan, proiectămM’ pe Ox în A’ şi pe Oy în B’ . Atunci, cu teorema celor trei perpendiculare,rezultă A’ = A şi B’ = B.

În acest mod, am asociat punctului M tripletul de numere ( x M , y M , z M )3R ∈ . De fapt, am definit funcţia F : S → 3 R , dată prin

F (M ) = ( x M , y M , z M )

Fig. 2.16.

2) Folosim fig. 2.16, unde avem sistemul de axe de coordonate Oxyz înspaţiul cartezian S.

Vom considera un triplet de numere ( x, y, z ) 3R ∈ şi îi vom asocia un

punct M ∈ S.

Numărului x îi corespunde punctul A( x ) pe dreapta carteziană Ox , număruluireal y îi corespunde punctul B(y ) pe dreapta carteziană Oy şi numărului real z îi corespunde punctul C (z ) pe dreapta carteziană Oz .

Consider ăm planul α care trece prin A şi este perpendicular pe Ox (esteplanul AUMM’ ) planul β care trece prin B şi este perpendicular pe Oy (esteplanul BVMM’ ) şi planul γ care trece prin C şi este perpendicular pe Oz (esteplanul CUMV ).

Cele trei plane se intersectează într-un punct unic M (vizualizarea obţineriiacestui punct foloseşte paralelipipedul UAM’MCOBV ). De fapt, punctul M seobţine în următoarele două etape:

a) Planul α şi planul β se intersectează după dreapta MM’ (avem MM’ ⊥ xOy deoarece: întâi MM’ ⊥ Ox , din cauză că MM’ ⊂ α şi apoi MM’ ⊥ Oy , dincauză că MM’ ⊂ β ).

b) Planul γ intersectează dreapta MM’ în M .





Altă variantă de obţinere a punctului M este sugerată de fig. 2.15, etapelefiind următoarele:

a) În planul orizontal xOy se duc: perpendiculara pe Ox în A şiperpendiculara pe Oy în B. Ele se intersectează în M’ .

b) Perpendiculara h pe planul xOy dusă prin M se intersectează cu planul

dus prin C şi perpendicular pe Oz în M (sau: se proiectează C pe h în M ).

Remarcăm că z = 0 ⇔ M ∈ xOy, x = 0 ⇔ M ∈ yOz, y = 0 ⇔ ⇔ M ∈ zOx .

Similar: x = y = 0 ⇔ M ∈ Oz, y = z = 0 ⇔ M ∈ Ox, z = x = 0 ⇔ ⇔ M ∈ Oy . Înfinal: x = y = z = 0 ⇔ M = 0 .

Dacă M este legat de x, y, z în modul de mai sus, vom scrie M ( x,y,z ) şivom spune că x, y, z sunt coordonatele carteziene ale punctului M ,anume: x este abscisa lui M , z este ordonata lui M , iar y este cota lui M .

De fapt, am definit funcţia SR G →3: , dată prin G ( x,y,z ) = M .Se poate observa că funcţiile F şi G sunt bijective şi inverse una alteia,adică 1−= F G şi 1−= GF .

În acest mod, se identifică spaţiul S cu produsul cartezian 3 R (adică identificăm F (S) ≡ S şi ( ) 33 R R G ≡ ).

Am constatat deja ce înseamnă anularea unor coordonate ale punctului M .Cititorul poate studia singur ce poziţii poate lua un punct M ( x,y,O) situat înplanul xOy , în funcţie de x şi y . Anume, se reduce totul la plan, f ăcând

abstracţie de coordonata z = 0 .Pentru punctele M ( x,y,z ) unde toate coordonatele sunt nenule, adică punctecare nu se găsesc pe nici unul din planele de coordonate, se face uz de împăr ţirea spaţiului în cele 8 regiuni numite octante care apar în modnatural, fiind delimitate de planele de coordonate. Cele 8 octante suntcaracterizate de semnul numerelor x, y, z , ca în tabelul de mai jos.

octant x y z

1 + + +2 - + +

3 - - +4 + - +5 + + -6 - + -7 - - -8 + - -





( ) ∈1,1,1 octant 1 = ( ) ( ) ( )∞×∞×∞ ,0,0,0

( )∈− 1,1,1 octant 2 = ( ) ( ) ( )∞×∞×∞− ,0,00,

( )∈−− 1,1,1 octant 3 = ( ) ( ) ( )∞×∞−×∞− ,00,0,

( )∈− 1,1,1 octant 4 = ( ) ( ) ( )∞×∞−×∞ ,00,,0

( )∈−1,1,1 octant 5 = ( ) ( ) ( )0,,0,0 ∞−×∞×∞

( )∈−− 1,1,1 octant 6 = ( ) ( ) ( )0,,00, ∞−×∞×∞− ( )∈−−− 1,1,1 octant 7 = ( ) ( ) ( )0,0,0, ∞−×∞−×∞−

( )∈−− 1,1,1 octant 8 = ( ) ( ) ( )0,0,,0 ∞−×∞−×∞

Punctele M ( x,y,z ) cu z > 0 fac parte din semispaţiul superior situatdeasupra planului orizontal xOy (care este caracterizat de z = 0 ). Acestepuncte se găsesc în primele 4 octante, care corespund împăr ţirii planului xOy în 4 cadrane. Punctele M ( x,y,z ) cu z < 0 fac parte din semispaţiulinferior , sub planul xOy , deci se găsesc în ultimele 4 octante.

În fig. 2.17 se încearcă prezentarea celor 8 octante.

Fig. 2.17

În fine, să remarcăm că, dacă a1 < a2 , b1 < b2 , c 1 < c 2 sunt numere, atunciprodusul cartezian

[ ] [ ] [ ]212121 ,,, c c bbaaK ××=

reprezintă un paralelipiped plin (cu feţe), iar produsul cartezian

( ) ( ) ( )212121 ,,, c c bbaa ××

reprezintă interiorul lui K (se scot feţele).

Semispaţiul superior este [ )∞×× ,0R R etc.






1. Reprezentaţi grafic următoarele mulţimi:a) [ ] [ ]4,23,1 −×−

b) { }2×R

c) [ )3,2×R d) { } ( ]1,01 ×

e) [ ] [ ]( ) { }( )24,23,1 ×∩−×− R

2. Se consider ă într-un plan cartezian un dreptunghi ABCD. Realizaţi două variante cât mai avantajoase dealegere a reperului cartezian în P pentru reprezentareadreptunghiului ABCD.

Răspunsurile la acest test se găsesc la pag. 265 a acesteiunităţi de învăţare.






2.2. Elemente de geometrie analitică plană

2.2.1. Ecuaţia carteziană a dreptei

Se consider ă planul cartezian P .

Teorema fundamentală (ecuaţia carteziană a dreptei)Fie d ⊂ P o mulţime nevidă. Următoarele afirmaţii sunt echivalente:1. Mulţimea d este o dreaptă.2. Există numerele reale a,b,c cu a ≠ 0 sau b ≠ 0 , astfel încât

( ) }0, 2 =++∈= c by ax R y x d

Comentarii, completări, notaţii şi denumiri.a) Am identificat, conform celor spuse în paragraful 2.1, punctele M din

planul cartezian P cu elementele lui R 2, anume punctul M ( x,y ) se

identifică cu ( x,y ) 2R ∈ .b) În condiţiile teoremei, egalitatea

ax + by + c = 0

se numeşte ecuaţia carteziană generală a dreptei şi se notează

d : ax + by + c = 0 (1)

Mai spunem că d este dreapta de ecuaţie ax + by + c = 0

c) Avem, aşadar, echivalenţa

M ( x M , y M ) ∈ d ⇔ ax M + by M + c = 0

d) Dacă în ecuaţia (1) înmulţim (respectiv împăr ţim) cu un număr t ≠ 0 ,obţinem ecuaţia carteziană

tax + tby + tc = 0 (1’)

(respectiv 0=++t

c y

t

b x

t

a) (1’’)

Este evident că avem echivalenţele

0=++ c by ax M M ⇔ 0=++ tc tby tax M M ⇔

⇔ M x t

a + M y

t

b +

t

c = 0

adică ecuaţiile (1), (1’), (1’’) reprezintă aceeaşi dreaptă. Se foloseşte demulte ori această proprietate.





De exemplu, dreapta reprezentată de ecuaţia

2 4 6 0 x y + − =

este aceeaşi cu dreapta reprezentată de ecuaţia

2 3 0 x y + − = .

e) Dacă, în (1), avem a = 0 , rezultă, obligatoriu, b ≠ 0 şi (1) devine

a

c y

a

c y c by −=⇔=+⇔=+ 00

O astfel de ecuaţie reprezintă o dreaptă orizontală (paralelă sau confundată cu axa Ox ). Aşadar, forma generală a ecuaţiei unei drepte orizontale este

d : y = y 0 y = constant

De exemplu, în fig. 2.18 avem reprezentată dreapta d : y = 2 (aici y 0 = 2 )

Fig. 2.18

Dacă, în (1), avem b = 0 , rezultă obligatoriu, a ≠ 0 şi (1) devine

a

c x a

c x c ax −=⇔=+⇔=+ 00

O astfel de ecuaţie reprezintă o dreaptă verticală (paralelă sau confundată cu Ox ). Aşadar, forma generală a ecuaţiei unei drepte orizontale este

d : x = x 0 x = constant

De exemplu, în fig. 2.19, avem reprezentată dreapta d: 1−= x (aici 10 −= x ).

Fig. 2.19





În fine, dacă în (1) avem a ≠ 0 şi b ≠ 0 , spunem că dreapta d : ax + by + c= 0 este o dreaptă oblică (ea nu este paralelă cu nici una din axe).

De exemplu, în fig. 2.20, avem reprezentată dreapta 032: =−+ y x d .Fig. 2.20

Pentru reprezentare, se folosesc punctele de intersecţie cu axele.

Anume, în ecuaţia 032 =−+ y x

- facem x = 0 , obţinem2

3032 =⇔=− y y , deci punctul ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛

2

3,0 A este

intersecţia lui d cu axa Oy .- facem y = 0 , obţinem 303 =⇔=− x x , deci punctul B(3, 0 ) este

intersecţia lui d cu axa Ox .

Punctele A şi B sunt suficiente pentru trasarea dreptei d .

Se poate observa că M (1, 1) ∈ d . (Uneori, pentru precizia trasării se ia şi un

al treilea punct: 5= x ⇒ 0325 =−+ y ⇒ 1−=y ⇒ ( ) d N ∈−1,5 ).

Aici putem vorbi şi despre raportul segmentelor orientate.

Consider ăm două puncte distincte A( x A, y A) şi B( x B, y B ) într-un plan cartezian.Pe dreapta d = AB consider ăm puncte M, N diferite de A şi B (fig. 2.21).

Fig. 2.21





Vom defini raportul segmentelor orientateMB

MA sau

NB

NA (vezi fig. 2.21).

Anume, dacă M ∈ ( AB), prin definiţie

MBMA

MBMA −=

(raportul distanţelor lui M la A şi B, luat cu semnul minus, deoarecesegmentele MA şi MB au orientări diferite).

Dacă N ∉ [ AB], prin definiţie

NB

NA

NB

NA=

(raportul distanţelor lui N la A şi B).

Putem defini raportulMB

MA şi pentru M = A, prin convenţia

0= AB

AA

Nu putem definiBBBA .

Prin urmare, am definit raportul segmentelor orientate exact ca în cazulcoordonatelor carteziene pe dreaptă. Acest raport poate lua orice valoarereală diferită de 1.

Teoremă. În condiţiile de mai sus, dacă A, B sunt puncte distincte pe d şi M ∈ d, M ≠ B,să notăm

t MB

MA=

Atunci, dacă M ( x M , y M ), avem

t

tx x x B A

M −

−=

1,

t

ty y y B A

M −

−=

1

În particular, dacă M este mijlocul lui AB (adică luăm t = 1− ) avem

2B A

M

x x x

+= ,

2B A

M

y y y

+= .





Fig. 2.22

În continuare, ne referim la fig. 2.22. Avem în planul cartezian P dreapta d : ax + by + c = 0 care împarte planul P în semiplanele P 1 şi P 2 . Avem puncteledistincte A, B în planul P, A ∉ d, B ∉ d şi AB nu este paralelă cu d . Atunci,dreptele AB şi d se vor intersecta într-un punct M .

Teoremă. (Raportul în care o dreaptă împarte un segment).

În condiţiile de mai sus, avem:

c by ax

c by ax

MB

MA

BB

A A

++

++=

Comentariu. Enunţul de mai sus se leagă de următoarea explicaţie geometrică. Dreapta d împarte planul P , (cum am mai văzut) astfel:

1 2P P P d = ∪ ∪

unde P 1 şi P 2 sunt semiplanele deschise ale lui P generate de d (care estefrontiera lor comună).

Considerând expresia algebrică

f ( x, y ) = ax + by + c

avem

( ) ( ){ }0,|, 2 =∈= y x f R y x d

În acelaşi timp, f păstrează semn constant pe fiecare semiplan. Deexemplu, vom avea

( ) ( ){ }0,|,1 >= y x f y x P

( ) ( ){ }0,|,2 <= y x f y x P





În fig. 2.22a), A ∈ P 1, B ∈ P 2 , deci AB traversează pe d şi M ∈ ( A, B).

Rezultă 0<MB

MA. În fig. 2.22b), A şi B sunt în P 1 şi M este în afara lui [ AB],

deci 0>MB

MA.

2.2.2. Alte forme de exprimare analitică a unei drepte.

A. Ecuaţia explicită a dreptei

Dacă avem dreapta d : ax + by + c = 0 şi b ≠ 0 , putem scrie ecuaţia ei,echivalent astfel:

0: =++b

c y x

b

ad ⇔ nmx y d +=:

undeb

am −= şi

b

c n −=

Definiţie. Spunem că y = mx + n

este ecuaţia explicită a dreptei d .

Aşadar, orice dreapt

ă d care nu este vertical

ă poate fi scris

ă în forma

explicită. Se constată că θ tg m = (şi se numeşte panta dreptei), unde θ esteunghiul f ăcut de dreaptă cu axa Ox , iar n este ordonata la origine, adică B(0, n) este punctul de intersecţie al dreptei d cu Oy . Dacă n = 0 , deci d areecuaţia y = mx , atunci d trece prin origine.

B. Ecuaţia unei drepte care trece printr-un punct dat. Ecuaţia unei drepte care treceprin două puncte date. Ecuaţia prin tăieturi.

Teoremă. Se dă un punct A( x A, y A). Atunci, o dreaptă care trece prin A poate avea

ecuaţia de una din următoarele forme.

x = x A (unica dreaptă verticală care trece prin A)( ) A A x x my y −=− , unde R m ∈ .

Evident, avem o infinitate de drepte care trec printr-un punct dat.

Dacă impunem condiţia ca o dreaptă care trece prin A să mai treacă şi prinalt punct B, vom avea o singur ă dreaptă soluţie (determinată de acestecondiţii).





Teoremă. Fie A( x A, y A) şi B( x B, y B) două puncte distincte. Atunci, există o unică dreaptă d care trece prin punctele A şi B (este dreapta AB).

Ecuaţia dreptei d = AB poate avea una din următoarele două forme:

x = x A, dacă x A = x B

( ) A

AB

AB A x x

x x

y y y y −

−

−=− , dacă B A x x ≠

(echivalent ( )B

B A

B AB x x

x x

y y y y −

−

−=− )

Ecuaţia se mai poate scrie unitar sub forma

sau, echivalent

( )( ) ( )( )B ABB AB x x y y y y x x −−=−−

Avem şi o formă a ecuaţiei dreptei care trece prin două puncte date carefoloseşte determinanţii.

Teoremă. (Forma determinant a ecuaţiei unei drepte care trece prin două punctedate).

Ecuaţia dreptei care trece prin punctele distincte A( x A, y A) şi B( x B, y B) este:

1

1

1

BB

A A

y x

y x

y x

= 0

Teoremă. (Ecuaţia prin tăieturi a dreptei)Se consider ă o dreaptă oblică d care nu trece prin originea axelor decoordonate.Dreapta d intersectează axa Ox în A(a, 0 ) şi axa Oy în B(0, b). Atunci, ecuaţia dreptei d este

1: =+by

a x d

Observaţie. Ecuaţia unei drepte d care trece printr-un punct dat A( x A, y A) şi are pantadată, egală cu m adică este paralelă cu o direcţie dată (şi nu este verticală!)are forma următoare:

( ) A A x x my y −=−

( )( ) ( )( ) AB A AB A x x y y y y x x −−=−−





Temă. Comparaţi cu rezultatele anterioare!

C. Drepte reprezentate parametric

Vom considera numerele reale 0 x , 0y , a, b, unde 0≠a sau 0≠b .

Se poate ar ăta că mulţimea

( ){ }R t R bt y at x d ∈∈++= |, 200

este o dreaptă în planul cartezian, care are următoarele proprietăţi:

(i) d trece prin punctul ( )00,y x M

(ii) d este paralelă cu orice dreaptă de ecuaţie

0: =+− c ay bx u

sau

0: =++− c ay bx v

Prin urmare, putem deduce exact ecuaţia carteziană a lui d , punând condiţiaca uM ∈ (sau v M ∈ ).

De exemplu, scriind uM ∈ , obţinem

0000 0 ay bx c c ay bx +−=⇒=+−

şi atunci ecuaţia carteziană a lui d este

0: 00 =+−− ay bx ay bx d

(sau ( ) ( ) 0: 00 =−−− y y a x x bd ).

Definiţie. În condiţiile de mai sus, spunem că dreapta d este reprezentată parametric

prin ecuaţiile at x x += 0

bt y y += 0 , R t ∈

Uneori, scriem

⎩⎨⎧

∈+=

+=

R t bt y y

at x x d

,:

0

0





Invers, orice dreaptă de ecuaţie carteziană

0: =++ c by ax d se poate reprezenta parametric.

De exemplu, dacă 0≠b avem pentru d reprezentarea parametrică:

⎪⎩

⎪⎨⎧

∈−−=

=

R t t b

a

b

c y

t x d

,:

2.2.3. Poziţiile relative a două drepte în plan.

Teoremă. Fie drepteled : ax + by + c = 0 şi d’ = a’x + b’y + c = 0

Atunci: I. d şi d’ sunt concurente ⇔ 0'' ≠− baab .II. d şi d’ sunt paralele ⇔ există un număr real nenul t cu proprietatea a = ta’,

b = tb’ şi c ≠ tc’ .III. d şi d’ sunt confundate ⇔ există un număr real nenul t cu proprietatea

a = ta’, b = tb’, c = tc’

2.2.4. Coliniaritate, concurenţă. Aria unui triunghi.

Teoremă. Fie A( x A, y A), B( x B, y B), C ( x C , y C ) puncte în planul cartezian P . Atunci:Punctele A, B, C sunt coliniare dacă şi numai dacă:

1

11

C C

BB

A A

y x

y x y x

= 0.

Legat de acest rezultat, avem următoarea

Teoremă. (Formula ariei unui triunghi).Fie A( x A, y A), B( x B, y B), C ( x C , y C ) trei puncte necoliniare.

Atunci, aria triunghiului ABC este dată de formula

( ) D ABC S

2

1=

unde

1

1

1

C C

BB

A A

y x

y x

y x

=Δ

Temă de reflecţie. Comparaţi cu rezultatul anterior. „Triunghiurile” cu vârfuri coliniare auarie nulă...





Teoremă. Fie trei drepted i : ai x + bi y + c i , i = 1, 2, 3.

Atunci, următoarele afirmaţii sunt echivalente:I. Dreptele d 1, d 2 , d 3 sunt concurente.II. Avem simultan proprietăţile:

(i)

1

11

33

22

11

ba

baba

= 0

(ii) Cei trei minori din matricea care apare mai sus sunt nenuli:

22

11

ba

ba ≠ 0,

33

22

ba

ba ≠ 0 şi

33

11

ba

ba ≠ 0

2.2.5. Distanţa între două puncte. Distanţa de la un punct la o dreaptă.

Teoremă. Fie în plan punctele A( x A, y A) şi B( x B, y B). Atunci distanţa între punctele A şi B este dată de formula

( ) ( )22B AB A y y x x AB −+−=

Teoremă. Fie în plan punctul P ( x 0 , y 0 ) şi dreapta d : ax + by + c = 0 . Atunci, distanţa dela P la dreapta d este dată de formula

( )22

00,

ba

c by ax d P dist

+

++=

Ca o consecinţă, putem scrie ecuaţiile bisectoarelor unghiurilor formate dedouă drepte.

Să consider ăm dreptele concurente: d 1: a1 x + b1y + c 1 = 0 şi d 2 : a2 x + b2 y + c 2 = 0 (fig. 2.23)

Fig. 2.23





Se formează 4 unghiuri, două câte două opuse la vârf, care au, fiecare, câteo bisectoare. Bisectoarele unghiurilor opuse la vârf sunt în prelungire şiobţinem cele două drepte suport ale celor 4 bisectoare. Aceste drepte suntperpendiculare. Ne propunem să găsim ecuaţiile acestor două drepte.

Deoarece bisectoarea unui unghi este locul geometric al punctelor egaldepărtate de laturile unghiului rezultă că un punct M ( x, y ) (respectiv N ( x, y ) ) se află pe bisectoare dacă şi numai dacă are proprietatea

dist (M, d 1) = dist (M, d 2 )(respectiv ( ) ( )21 ,dist,dist d N d N = )

Aşadar trebuie să avem

2222

222

2121

111

ba

c y b x a

ba

c y b x a

+

++=

+

++

Rezultă că cele două “bisectoare” (de fapt cele două drepte suport anteriormenţionate) au ecuaţiile

22

22

222

21

21

111

ba

c y b x a

ba

c y b x a

+

++=

+

++

22

22

222

21

21

111

ba

c y b x a

ba

c y b x a

+

++−=

+

++

Putem distinge între cele două bisectoare din considerente geometrice, deexemplu, examinând intersecţia cu axele.

Exemplu. Consider ăm dreptele 02:1 =+ y x d şi 030112:2 =+− y x d Obţinem ecuaţiile

125

30112

5

2 +−±=

+ y x y x

Cele două bisectoare au ecuaţiile

0107 =−+ y x şi 0307 =+− y x

Temă. Reprezentaţi grafic dreptele d 1, d 2 şi bisectoarele lor.





2.2.6. Unghiul a două drepte. Condiţia de perpendicularitate.

Teoremă. Fie dreptele concurente

d 1: a1 + b1y + c 1 = 0 şi d 2 : a2 + b2 y + c 2 = 0

Atunci, dacă cele două drepte fac între ele un unghi ϕ şi avem:

22

22

21

21

2121cosbaba

bbaa

++

+=ϕ

(s-a luat una din cele două valori distincte ale unghiului ϕ )Pentru cealaltă valoare, se obţine ϕ cos− .

A se vedea fig. 2.23.Pe cale de consecinţă:

d 1 ⊥ d 2 ⇔ a1a2 + b1b2 = 0

Corolar. Fie dreptele concurente date sub formă explicită

d 1: y = m1 + n1 şi d 2 : y = m2 x + n2

Atunci, avem

22

21

21

11

1cos

mm

mm

++

+=ϕ

Prin urmare:

12121 −=⇔⊥ mmd d .






1. a) Să se reprezinte grafic dreptele având următoareleecuaţii:

1:1 = x d

1:2 −=y d 0:3 =y d

12:4 −= x y d

x y d 2:5 −=

0632:6 =−+ y x d

b) Să se determine ecuaţiile tuturor dreptelor din plancare trec prin punctul A(1, 2)








c) Se consider ă dreptele de ecuaţii

0:

0:

2222

1111

=++

=++

c y b x ad

c y b x ad

care sunt concurente într-un punct M.Să se arate că ecuaţiile celor două drepte suport ale celorpatru bisectoare ale celor patru unghiuri formate de d 1 şid 2 în jurul lui M sunt

22

22

222

21

21

111

ba

c y b x a

ba

c y b x a

+

++±=

+

++

Aplicaţie la dreptele

3:

0632:

2

1

=

=−−

x d

y x d

d) Se consider ă dreptele i d , i = 1, 2, de ecuaţii

i i i n x my d +=: , unde 2 ,1,0 =≠ i mi .Să se arate că:

212121 şi nnmmd d ≠=⇔

12121 −=⇔⊥ mmd d


Răspunsurilela test se vorda în spaţiulliber dinchenar, în

continuareaenunţurilor.






e) Se consider ă dreapta

0632: =−+ y x d

Să se reprezinte parametric dreapta d .

f) Se cere ecuaţia carteziană a dreptei care arereprezentarea parametrică

t y

t x

31

21

−−=

+=, R t ∈








g) Se consider ă mulţimea tuturor dreptelor (verificare afaptului că sunt drepte!) R t d t ∈, unde

( ) ( ) 01223: =−−−++ t y t x t d t

Să se arate că toate dreptele t d trec printr-un punct fix.

2. a) Să se studieze, în funcţie de parametrul real t , poziţiarelativă a dreptelor

02:

02:

2

1

=−+

=−+

t ty x d

y tx d








b) Să se scrie ecuaţiile parametrice şi ecuaţia carteziană a unei drepte care trece prin punctul (1, 1) şi esteparalelă cu dreapta

01052: =−− y x d

c) Se consider ă dreptele

022:

0:

01:

3

2

1

=−+

=−+

=−+

y tx d

t ty x d

y x d

Demonstraţi că dreptele 321 ,, d d d sunt concurente dacă şi

numai dacă

2,2,2,1\ −∈ R t Ce se întâmplă în celelalte cazuri?

Răspunsurile la acest test se găsesc la pag.265 a acesteiunităţi de învăţare.








3. a) Să se calculeze distanţa de la punctul A(1,1) ladreapta d dată parametric astfel:

t y t x

−=+=

432

Să se calculeze şi distanţa de la A la un punct curent aldreptei.

b) Se consider ă punctele ( ) ( ) ( )a A A A ,1şi0,1,0,0 321 − , unde a

este un număr real.Când sunt A1, A2 şi A3 coliniare?

În cazul în care A1, A2, A3 nu sunt coliniare, calculaţi ariatriunghiului A1 A2 A3. Ce se întâmplă când a tinde către zero?








c) Se consider ă dreptele de ecuaţii

0:

0:

2222

1111

=++

=++

c y b x ad

c y b x ad

care sunt concurente într-un punct M.Să se arate că ecuaţiile celor două drepte suport ale celorpatru bisectoare ale celor patru unghiuri formate de d 1 şid 2 în jurul lui M sunt

22

22

222

21

21

111

ba

c y b x a

ba

c y b x a

+

++±=

+

++

Aplicaţie la dreptele

3:

0632:

2

1

=

=−−

x d

y x d

d) Se consider ă dreptele i d , i = 1, 2, de ecuaţii

i i i n x my d +=: , unde 2 ,1,0 =≠ i mi .Să se arate că:

212121 şi nnmmd d ≠=⇔

12121 −=⇔⊥ mmd d



enunţurilor.






e) Se consider ă în planul cartezian dreapta

0: =++ c by ax d

şi două puncte distincte ( )111 ,y x M , ( )222 ,y x M care nu se

află pe d şi care au proprietatea că dreptele 21M M şi d sunt concurente într-un punct M . Ar ătaţi că

c by ax

c by ax

MM

MM

++

++=

22

11

2

1

(ultima expresie se numeşte raportul în care dreapta d

împarte segmentul 21M M )







2.2.7. Cercul

A. Ecuaţia cercului. Noţiuni fundamentale.

Să consider ăm în planul cartezian P un punct C (a,b) şi un număr R > 0.

Cercul de centru (a, b) şi rază R este mulţimea următoare:

( ) ( ) ( )( ) }R bay x R y x =∈=Γ ,,,dist|, 2

unde dist (( x , y ), (a, b)) este distanţa între punctele ( x ,y ) şi (a, b). Deci

( ) ( )( ) ( ) ( )22,,,dist by a x bay x −+−=

Putem, deci, să rescriem, având în vedere echivalenţa

( ) ( ) R by a x =−+−22 ⇔ ( ) ( ) 222

R by a x =−+−

egalitatea

( ) ( ) ( ) 2222 |, R by a x R y x =−+−∈=Γ (1)

Egalitatea

( ) ( ) 222R by a x =−+− (1)

care caracterizează punctele cercului Γ se mai numeşte şi ecuaţia cercului (de centru (a, b) şi rază R ).

Dezvoltând, mai putem rescrie (1) astfel:

022 22222 =−++−−+ R baby ax y x (1’)

Egalitatea (1’) se numeşte, şi ea, ecuaţia cercului (de centru (a, b) şi rază R ).

În limbajul geometriei analitice, avem următoarea

Teoremă. Cercul de centru ( ) 2, R ba ∈ şi rază R > 0 are ecuaţia

( ) ( ) 222R by a x =−+−

sau, alternativ, are ecuaţia

022 22222 =−++−−+ R baby ax y x





Examinând cele de mai sus, vedem că un cerc are ecuaţia de forma

022 =++++ pny mx y x (2)

cu m, n, p numere reale.

Să vedem în ce condiţii ecuaţia (2) este ecuaţia unui cerc veritabil.

Dacă ar exista un centru ( ) 2, R ba ∈ şi o rază R > 0, astfel încât (2) să reprezinte ecuaţia cercului de centru (a,b) şi rază R , ar rezulta, comparândcu (1’), egalităţile:

am 2−= ; bn 2−= ; 222 R ba p −+=

ceea ce este echivalent cu

2ma −= ;

2nb −= ;

44222 pnmR −+= (3)

Concluzie. Ecuaţia (2) reprezintă un cerc veritabil dacă şi numai dacă

0422 >−+ pnm

Dacă 0422 =−+ pnm , ecuaţia (2) este satisf ăcută de un singur punct(cercul se reduce la un punct).

Dacă 0422 <−+ pnm , nu există puncte care satisfac ecuaţia (2)

Putem generaliza (puţin) ecuaţia (2). Anume, se vede că, pentru orice numărreal 0≠t , avem echivalenţa

00 2222 =++++⇔=++++t

P y

t

N x

t

M y x P Ny Mx ty tx

(cele două ecuaţii reprezintă “cercuri” egale)

Scriind mt

M = , n

t

N = , 0=

t

P şi folosind concluzia precedentă, obţinem

următoarea

Teoremă. 1. O ecuaţie de forma

( ) 022 =++++ P Ny Mx y x t (*)

este ecuaţia uni cerc veritabil dacă şi numai dacă

0422 >−+ Pt N M





În acest caz, cercul are centrul ⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −−

t

N

t

M C

2,

2 şi raza R =

t

Pt N M

2

422 −+.

2. Dacă 0422 =−+ Pt N M , ecuaţia (*) reprezintă un punct (este satisf ăcută

numai de punctul ⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −−

t

N

t

M C

2,

2).

Dacă 0422 <−+ Pt N M , ecuaţia (*) nu este verificată de nici un punct dinplan.

Putem scrie cercul şi în formă parametrică. Mai precis, să ne raportăm la fig.2.24.

Fig. 2.24

Cercul de centru ( )baC , şi rază R > 0 este parcurs de punctul mobil M careporneşte din punctul de start 0M şi se roteşte în sensul descris pe desen,

revenind în 0M după o rotaţie completă. Analizând proiecţiile lui M pe C 0M şi

CD (CD este perpendiculara în C pe C 0M ) obţinem că punctul M are

coordonatele, corespunzătoare unui unghi de rotaţie [ ]π θ 2,0∈ , date astfel:

θ cosR a x M +=

θ sinR by M +=

Am obţinut următoarea

Teoremă. Reprezentarea parametrică a cercului de centru (a,b) şi rază R este dată deecuaţiile

cos

sin

x a R

y b R

= + θ

= + θ când [ ]π θ 2,0∈ .





Se ştie că prin trei puncte necoliniare trece un cerc unic (cercul circumscristriunghiului format de cele trei puncte). Ecuaţia lui este dată de următoarea

Teoremă. Fie ( ) A A y x A , , ( )BB y x B , , ( )C C y x C , trei puncte necoliniare. Ecuaţia cercului

circumscris triunghiului ABC este

1

1

1

1

22

22

22

22

C C C C

BBBB

A A A A

y x y x

y x y x

y x y x

y x y x

+

+

+

+

= 0

Exemplu. Să scriem ecuaţia cercului care trece prin punctele A(0,1), O(0,0) şi B(1,0)(vezi fig. 2.25)

Fig. 2.25

Ecuaţia este

0

10101

1000

110101

22

22

22

=

+

++ y x y x

Dezvoltând determinantul după linia a treia, obţinem ecuaţia

0

011

101

22

=

+ y x y x

⇔ 022 =−−+ y x y x ⇔ 022 =−−+ y x y x

Am obţinut ecuaţia unui cerc de centru ⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛

2

1,

2

1 şi rază

2

2, ceea ce se putea

vedea imediat şi din fig. 2.25.





B. Probleme de tangenţă

Prima problemă. Avem un punct pe un cerc. Ne propunem să scriemecuaţia tangentei la cerc în acel punct.

A doua problemă. Avem un cerc şi un punct. Putem duce tangente

(tangentă) la cerc din acel punct?

A treia problemă. Avem un cerc şi o dreaptă. Care este poziţia lor relativă?Când este dreapta tangenta cercului?

A patra problemă. Avem un cerc şi o dreaptă. Întotdeauna există tangentela cerc paralele cu acea dreaptă. Cum se scrie ecuaţia lor? De fapt,problemele 3 şi 4 sunt înrudite.

Ne ocupăm de prima problemă.

Teoremă. Fie un cerc (veritabil) de ecuaţie02222 =++++ pny mx y x

şi ( )00,y x un punct pe cerc.

Atunci, ecuaţia tangentei la cerc în punctul ( )00 ,y x se obţine din ecuaţiacercului prin dedublare. Anume, ecuaţia respectivei tangente este

( ) ( ) 00000 =++++++ py y n x x myy xx

Atenţie la enunţ! Coeficienţii lui x şi y au fost scrişi în forma 2m şi 2n!

Discuţie asupra enunţului! Cititorul se poate întreba dacă ecuaţia de lasfâr şitul enunţului de mai sus este într-adevăr ecuaţia unei drepte.

Ne convingem uşor că este aşa. În adevăr, ecuaţia obţinută se mai scrie

( ) ( ) 00000 =++++++ pny mx y ny x m x

Trebuie să ar ătăm că

00 ≠+ m x sau 00 ≠+ ny

Într-adevăr, să presupunem, prin absurd, că am avea

m x −=0 şi ny −=0

Cercul nostru, care are centrul (a,b) şi raza R , trebuie să aibă ecuaţia





022 22222 =−++−−+ R baby ax y x

Identificând coeficienţii, obţinem

am 22 −= , deci ma −= bn 22 −= , deci nb −=

şi, ar rezulta că

a x =0 şi by =0

adică ( ) ( )bay x ,, 00 = , centrul cercului. Evident, ar rezulta că ( )00,y x nu este

pe cerc, contradicţie.

Observaţie. În general, dacă avem un cerc de ecuaţie

022 22222 =−++−−+ R baby ax y x

rezultă că, pentru orice punct ( )00,y x din plan, numărul (obţinut înlocuind

( )00,y x în ecuaţia cercului)

( ) 22200

20

2000 22, R baby ax y x y x e −++−−+=

satisface relaţia

( ) ( )( )22

0000 ,, R y x d y x e −=

unde ( )00,y x d = distanţa între punctul ( )00,y x şi centrul ( )ba, al cercului.

Cu alte cuvinte, ( )00 ,y x e este puterea punctului ( )00 ,y x faţă de cerc.

Temă de documentare. Ce ştiţi în plus în legătur ă cu puterea unui punct faţă de uncerc?

Exemplu. Revenim la cercul de ecuaţie

022 =−−+ y x y x

Să scriem tangentei la cerc în punctul A(0,1) al cercului (vezi fig. 2.25).Ecuaţia cercului se rescrie

02

12

2

1222 =⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ −+⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ −++ y x y x





Atunci, ecuaţia tangentei în punctul ( ) ( )1,0, 00 =y x va fi:

( ) ( ) 012

10

2

110 =+−+−⋅+⋅ y x y x

adică

02

1

2

1

2

1=−−− y x y

sau, încă

01: =+− y x d

Verificare directă a) Se vede că dreapta d trece prin A(0,1).

b) Avem ABd ⊥ (unde A(0,1) şi B(1, 0).

În adevăr, ecuaţia dreptei AB se poate obţine astfel:Deoarece trece prin (1,0) are forma

( ) mmx y x my −=⇔−=− 10

cu condiţia că (0, 1) verifică:

101 −=⇔−⋅= mmm

deci AB are ecuaţia

011 =−+⇔+−= y x x y

Atunci, condiţia de perpendicularitate a dreptelor d şi AB este

( ) 01111 =⋅−+⋅ evident.

Trecem la a doua problemă.

Avem cercul de ecuaţie

( ) ( ) 222 Rb ya x =−+−

adică

( ) 022, 22222 =−++−−+= R baby ax y x y x F

cu centrul (a,b) şi raza R > 0.





(Dacă cercul nu este dat în această formă, identificăm coeficienţii şideterminăm a, b, R ).Consider ăm un punct ( )00,y x .

Dacă ( ) 0, 00 =y x F , rezultă că ( )00 ,y x este pe cerc şi am văzut cum scriem

ecuaţia tangentei la cerc în ( )00,y x .(vezi fig. 2.26a)).

Dacă ( ) 0, 00 <y x F , rezultă că avem

( ) ( ) 220

20 R by a x <−+−

adică ( )00,y x este interior cercului (vezi fig. 2.26b)). În acest caz, nu putem

duce tangente la cerc din punctul ( )00 ,y x .

În fine, dacă ( ) 0, 00 >y x F , adică

( ) ( ) 220

20 R by a x >−+−

rezultă că punctul ( )00,y x este exterior cercului. Putem duce două

tangente la cerc din acel punct (vezi fig. 2.26c)).

Fig. 2.26

Cum obţinem ecuaţiile lor?

Avem două situaţii

Prima situaţie: dreapta verticală de ecuaţie

0 x x =

este tangentă cercului. Aceasta se întâmplă atunci şi, numai atunci cândR a x =−0 . De exemplu, în fig. 2.27, avem situaţia R a x +=0 .





Fig. 2.27

Cealaltă tangentă va fi o dreaptă oblică de ecuaţie

( )00 x x my y −=−

adică

000 =−+− mx y y mx

Condiţia ca ea să fie tangentă la cerc va fi ca distanţa de la centrul C (a,b) ladreaptă să fie egală cu R , adică

R m

mx y bma=

+

−+−

2

00

1

adică

( ) ( )22200 1 mR mx y bma +=−+− (1)

Această ecuaţie în m va avea o soluţie unică R m ∈ . Obţinem cu acest mecuaţia celeilalte tangente sub forma

( )00 x x my y −=−

A doua situaţie. Dreapta verticală 0 x x = nu este tangentă la cerc.

Aceasta revine la faptul că

R a x +≠0 şi R a x −≠0

În acest caz, vom avea două tangente oblice, de forma

( )010 x x my y −=−

( )020 x x my y −=−

unde 1m şi 2m sunt soluţiile distincte ale ecuaţiei (1).





Ilustr ăm cele două situaţii prin două exemple.Exemple. 1. (Prima situaţie). Consider ăm cercul de ecuaţie

122 =+ y x

şi punctul (1,2). Să scriem ecuaţiile tangentelor la cerc din (1,2).

În primul rând, scriind

( ) 1, 22 −+= y x y x F

obţinem

( ) 041212,1 22 >=−+=F

deci (1,2) este exterior cercului nostru, care are centrul (a,b) = (0,0) şiraza R = 1.

Constatăm că R a x ==−=− 1010 deci dreapta x = 1 este tangentă la cerc.

Cealaltă tangentă va avea forma

( ) 0212 =+−−⇔−=− my mx x my

unde m este soluţia ecuaţiei

( )43121

1200 22

2=⇔+=+−⇔=

++−−⋅ mmm

m

mm

Tangenta a doua are ecuaţia

024

3

4

3=+−− y x

adică 0543 =+− y x

2. (A doua situaţie). Consider ăm din nou cercul de ecuaţie122 =+ y x

şi punctul (2,0) (care este exterior cercului).Să scriem ecuaţiile tangentelor din (2,0) la cerc.

Se constată că aici ( ) ( )0,0, =ba şi ( ) ( )0,2, 00 =y x . Avem

a x −0 =2 > 1 = R. Deci dreapta x = 2 nu este tangentă la cerc.

Tangentele vor avea ecuaţiile( )21 −= x my şi ( )22 −= x my





unde 1m şi 2m sunt soluţiile ecuaţiei (1), adică

( ) 1312 222=⇔+=− mmm

3

31 =m ,

3

32 −=m

Tangentele au ecuaţiile

( )233 −= x y şi ( )2

33 −−= x y

Acum ne ocupăm de a treia problemă. Scriind că distanţa de la o dreaptă lacentrul unui cerc este mai mică decât raza (dreapta este secantă), egală curaza (dreapta este tangentă) sau mai mare decât raza (dreapta esteexterioar ă), avem următoarea

Teoremă. Fie un cerc de ecuaţie( ) ( ) 222

R by a x =−+− şi o dreaptă de ecuaţie

0=++ C By Ax Formăm expresia

22 B A

C By Ax E

+

++=

Atunci:Dacă E < R , dreapta este secantă cerculuiDacă E = R , dreapta este tangentă cerculuiDacă E > R , dreapta este exterioar ă cercului

Exemplu. Consider ăm cercul de ecuaţie

122 =+ y x şi dreapta de ecuaţie

043 =++ my x unde m este un parametru real. În ce condiţii este dreapta secantă cercului ? În ce condiţii este dreaptatangentă cercului ?

Aici a = b = 0, R = 1 şi A = 3, B = 4, C = m

543

040322

mmE =

+

+⋅+⋅=

Dreapta este secantă cercului 15

<⇔m

⇔ 5<m ⇔ ⇔ ( )5,5−∈m .

Dreapta este tangentă cercului 15

=⇔m

⇔ 5=m sau 5−=m .

Ne ocupăm şi de a patra problemă. Cu aceeaşi tehnică a distanţei de lapunctul centru al cercului la dreaptă, obţinem următoarea





Teoremă. Fie cercul de ecuaţie( ) ( ) 222

R by a x =−+− şi o dreaptă d . Atunci1. Dacă dreapta d este verticală, tangentele la cerc paralele cu d auecuaţiile

R a x += şi R a x −= 2. Dacă dreapta d nu este verticală şi are ecuaţia

nmx y += atunci tangentele la cerc paralele cu d au ecuaţiile

( ) 21 mR a x mby ++−=− şi

( ) 21 mR a x mby +−−=−

În particular, dacă m = 0 (dreapta d este orizontală) tangentele paralele

cu ea au ecuaţiile R by += şi R by −= Exemplu. Să scriem ecuaţiile tangentelor la cercul de ecuaţie

0222 =−+ x y x paralele cu dreapta

0543 =+− y x

Ecuaţia cercului se scrie( ) ( ) 101 22

=−+− y x cu a = 1, b = 0, R = 1.

Ecuaţia dreptei se scrie

4

5

4

3+= x y

deci4

3=m

4

5

16

911 2 =+=+ m

Prin urmare, ecuaţiile cerute sunt

( ) 21 mR a x mby +±−=− adică

( )4

51

4

3±−= x y

Avem tangentele

( )4

51

4

3+−= x y

( )4

51

4

3−−= x y .






1. a) Să se scrie ecuaţia cercului care trece prin punctele( )0,01 A , ( )0,12 A , ( )1,03 A .

b) Să se scrie ecuaţia unui cerc care are centrul în punctul

( )5,5C şi este tangent dreptei 0543: =−+y x d .

Răspunsurile la acest test se găsesc la pag. 275 a acestei unităţide învăţare.







c) Să se scrie ecuaţia unui cerc care este tangent axei Ox înpunctul ( )0,4 A şi trece prin punctul ( )2,2−B .

2. a) Să se scrie ecuaţiile tangentelor la cercul de ecuaţie

0222 =−+ x y x

care sunt paralele cu dreapta

0: =− y x d

Răspunsurile la acest test se găsesc la pag. 275 a acestei unităţide învă are.


enunţurilor.






b) Să se scrie ecuaţiile tangentelor la cercul de ecuaţie

122 =+ y x

care trec prin punctele ( )t t A , , unde2

2≥t .



enunţurilor.




188 Proiectul pentru Învâţământ Rural

2.2.8. Conice: elipsa, hiperbola, parabola.

A. Elipsa.

Ne propunem să determinăm locul geometric al punctelor din plan pentrucare suma distanţelor la două puncte fixe este constantă.

Vom proceda după cum urmează Vom alege un sistem de axe de coordonate ca în fig. 2.28: punctele fixesunt notate cu F şi F’ , ele sunt situate pe axa Ox , simetric faţă de axa Oy şi notăm ( )0,c F şi ( )0,' c F − , deci distanţa între F şi F’ este ' 2 0FF c = > .

Fie şi a > c numărul care dă suma constantă a distanţelor, adică pentruorice punct M al locului geometric căutat trebuie să avem

aMF MF 2' =+

Atenţie! Dac

ă am fi luat a = c , locul punctelor M din plan pentru care

'22' FF c aMF MF ===+ ar fi fost exact segmentul [ ]'FF ! Acest caz esteneinteresant.

Iar dacă am fi luat c a <<0 , atunci nu am fi putut găsi nici un punctpentru care aMF MF 2'=+ (locul geometric ar fi fost mulţimea vidă). Aşase explică de ce am pornit cu a > 0.

Fig. 2.28

Notând cu Γ locul geometric căutat, se obţine prin transformărisuccesive:

( ) ( ) ( ) ay c x y c x aMF MF y x M 22', 2222=++++−⇔=+⇔Γ∈ ⇔

12

2

2

2

=+b

y

a

x

(această egalitate se numeşte ecuaţia elipsei)




Proiectul pentru Învâţământ Rural 189

unde am notat

0222 >−= c ab (vom considera b > 0).

Locul geometric Γ obţinut astfel este desenat în fig. 2.28. Curba loc

geometric se numeşte elipsă. Punctele F şi F’ se numesc focareleelipsei. Aşadar, avem următoarea

Definiţie. Locul geometric al punctelor din plan pentru care suma distanţelor ladouă puncte fixe este constantă este o elipsă.

Formal, să observăm că dacă a = b (acest caz a fost exclus dinconsideraţiile prezente!) ecuaţia elipsei devine

222 ay x =+

adică ecuaţia unui cerc cu centrul în origine şi raza egală cu a.

Observăm că elipsa este complet determinată de distanţa focală FF’ şisuma distanţelor la focare 2a.

Elipsa este în întregime plasată în suprafaţa dreptunghiular ă WXYZ , careare dimensiunile XY = ZW = 2a şi YZ = XW = 2b (numim pe WXYZ dreptunghiul fundamental).

Punctele de intersecţie cu axele ( )0,a A , ( )0,' a A − , ( )bB ,0 şi ( )bB −,0' se

numesc vârfurile elipsei.

Segmentul [ ]' AA se numeşte axa mare a elipsei, iar segmentul [ ]'BB senumeşte axa mică a elipsei. Avem '' BB AA > .

Elipsa admite axele Ox şi Oy ca axe de simetrie.

Observaţie. Consider ăm un unghi diedru f ăcut de planul elipsei cu alt

plan α , de muchie AA’ şi măsur ă a unghiului diedru un număr2

0 π

<< u

aşa că abu =cos (deci

abu arccos= ).

Atunci, se poate ar ăta că elipsa Γ este proiecţia unui cerc mare alelipsei (adică un cerc cu diametrul [ ]' AA ) situat în planul α , pe planulelipsei.





Intersecţia unei drepte cu o elipsă se discută după cum urmează.

Intersecţia cu o dreaptă verticală x = h: dacă aha <<− , intersecţia esteformată din două puncte; dacă ah −= sau ah = , intersecţia este formată dintr-un punct (dreapta este tangentă la elipsă); dacă ah > , intersecţia

este vidă.

Similar, intersecţia cu o dreaptă orizontală y = h este formată din două puncte (în cazul bhb <<− ), dintr-un punct (dacă bh = sau bh −= ) şividă dacă bh > .

Intersecţia cu o dreaptă oblică de ecuaţie

nmx d +:

va rezulta din încercarea de rezolvare a sistemului.

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+

+=

12

2

2

2

b

y

a

x

nmx y

(eventualele sale soluţii 0,0 y x vor fi punctele de intersecţie).

Sistemul se discută după valorile numărului 2222 nbmaE −+= :-dacă E < 0, intersecţia este vidă;

-dacă E > 0, intersecţia este formată din 2 puncte;-dacă E = 0, intersecţia este formată dintr-un punct (dreapta este tangentă la elipsă).

Am obţinut cu această ocazie şi următorul rezultat:

Teoremă. Există două drepte paralele cu dreapta d (adică de coeficient unghiular m)care sunt tangente la elipsă. Ecuaţiile lor sunt

222 bmamx y ++= 222

bmamx y +−=

Cu această ocazie, ne amintim de cerc. Anume, pornind direct cu ecuaţiaelipsei.

12

2

2

2

=+b

y

a

x





şi luând cazul particular când a = b obţinem cercul de ecuaţie

222 ay x =+ (centrul este în originea (0,0) şi raza este a). Formulele găsite pentruecuaţiile tangentelor dau, în cazul particular a=b, formulele de la cerc.

Continuând cu problemele de tangentă, vom considera un punct 00 ,y x alelipsei Γ . Atunci, ecuaţia tangentei la elipsă în 00 ,y x se obţine (ca şi la

cerc!) prin dedublare din ecuaţia elipsei, adică, această ecuaţie este

120

2

0

=+b

yy

a

xx

Problema următoare pe care o punem este următoarea: se dă un punct

00 ,y x care nu apar ţine elipsei. Putem duce tangente la elipsă din acest

punct? Care este ecuaţia acestor tangente?

Dacă a x ±0 , avem o tangentă verticală de ecuaţie 0 x x = . În acest caz, mai

putem duce o tangentă (oblică). Ea va avea ecuaţia

222: bmamx y d +±=

unde m este obţinut din condiţia d y x ∈00 , . De exemplu, luând a x =0 ,

trebuie să avem 00 ∉y (deoarece ( )Γ∉0,y a şi condiţia se mai scrie, prin

ridicare la pătrat

( ) 22220 bmamay +=−

adică

0

220

2ay

by m

−=

Cu acest m, cealaltă tangentă va avea ecuaţia

( )a x my y d −=− 0: etc.

Similar, din puncte de forma ( )b x ,0 sau ( )b x −,0 putem duce două tangente la

elipsă (una orizontală, cealaltă oblică).





Acum, să consider ăm un punct Γ∉00 ,y x , cu a x ±≠0 şi by ±≠0 .

Din astfel de puncte nu putem duce decât tangente oblice, de ecuaţie222: bmamx y d +±=

unde 0≠m se obţine din condiţia ca ( ) d y x ∈00 , adică

22200 bmamx y +±=− .

Ridicând la pătrat, obţinem condiţia suficientă ( ) 2222

00 bmamx y +=−

echivalentă cu ecuaţia de gradul doi în m

( ) 02 20

200

220

2 =−++− y bmy x m x a (*)

care are discriminantul (redus)

Atunci, 0≠δ (deoarece ( ) Γ∉00 ,y x şi rezultă că ecuaţia are două soluţii

reale distincte 1m şi 2m dacă şi numai dacă

12

20

2

20 >+

b

y

a

x

adică 00 ,y x este în exteriorul elipsei.Cu aceste r ădăcini 1m şi 2m , obţinem tangentele căutate de ecuaţii

( )00 x x my y i −=− , i = 1, 2.

Proprietatea optică a elipsei.Dacă M este un punct pe elipsă, atunci normala la elipsă în M (adică perpendiculara pe tangenta la elipsă în M ) este bisectoarea (privită cadreaptă) unghiului ' FMF (vezi fig. 2.28) unde n este normala).

Să consider ăm, în planul elipsei Γ de mai sus, dreptele verticale F d

(respectiv 'F d ) de ecuaţii

c

a x

2

= (directoarea focarului F ), fig. 2.29a)

(respectivc

a x

2

−= (directoarea focarului F’ ), fig. 2.29b))

⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+= 1

2

20

2

2022

b

y

a

x baδ





Fig. 2.29Pentru un punct M de pe elipsă, definim raportul distanţelor lui M la un focarşi la directoarea focarului respectiv. Aşadar, acest raport este

MI

MF (unde F d I ∈ , F d MI ⊥ )

(respectiv'

'

MI

MF (unde '' F d I ∈ , '' F d MI ⊥ )).

Teoremă. Elipsa este locul geometric al punctelor M din plan pentru care raportul

distanţelor lui M la un focar şi la directoarea acelui focar este constant egal

cu 1<a

c .

Cu alte cuvinte:

Γ = locul punctelor M pentru carea

c

MI

MF =

(respectiv Γ = locul punctelor M pentru carea

c

MI

MF =

'

' )

Numărula

c e = se numeşte excentricitatea elipsei. La elipsă,

excentricitatea este subunitar ă: 1<e .

Evident, un cerc este o elipsă cu axele egale: a=b (aceasta, privit din punctde vedere analitic).

Pe de altă parte, definirea iniţială a elipsei (locul punctelor pentru care sumadistanţelor la două puncte fixe este constantă) nu conduce la cerc (cele două puncte “coincid” la cerc) cealaltă definiţie (locul punctelor pentru care raportuldistanţelor la focar şi la directoare este constant) nu conduce la cerc (la cerc,“directoarea” nu există- este “aruncată la infinit”).

Să încheiem cuReprezentarea parametrică a elipsei.Elipsa Γ de ecuaţie

12

2

2

2

=+b

y

a

x

poate fi reprezentată parametric astfel:( ) [ ]{ }π 2,0|sin,cos ∈=Γ t t bt a





B. Hiperbola

Să consider ăm două puncte fixe F şi F’ în planul P cu proprietatea că 02' >= c FF şi un număr 0>a . Ne propunem să găsim locul geometric al

punctelor M din planul P pentru care avem

aMF MF 2' =− (1)

Vom considera un sistem de axe de coordonate ca în fig. 2.30, cu originea înmijlocul segmentului FF’ şi axa Ox = FF’ .

Fig. 2.30

În orice caz, un punct ( )y x M , care satisface (1) trebuie să se găsească îndreapta axei Oy (adică în semiplanul generat de Oy care conţine pe F ). Avem următoarele posibilităţi care derivă din observaţia că, dacă M nu segăseşte pe Ox , atunci, din triunghiul MF’F avem

c FF aMF MF 2'2' =<=−

adică a < c .

Am ar ătat implicaţia

c aOx M <⇒∉

din care rezultă că

Ox M c a ∈⇒≥ .

Să consider ăm cazul c a ≥ .

Fie, atunci, un punct ( )0,1 x M care apar ţine locului geometric căutat, deci

aF M F M 2' 11 =−

Rezultă că Ox M ∈1 . Dacă 1M ar fi între F’ şi F , am avea că ( ]F M ,01 ∈

deci





c x <<0 şi atunci

( )( ) ( ) ( ) ( ) ac x x c c x x c c x F M F M 222' 11 ≤<=−−+=−−−−=− , contradicţie.

Prin urmare, trebuie să avem 1M în afara lui [ ]'FF , deci c x ≥ (adică 1M ladreapta lui F ). În acest caz, pentru orice ( )0,1 x M cu c x ≥ avem

( )( ) ( ) c c x c x F M F M 2' 11 =−−−−=−

Deoarece vrem ca 1M să apar ţină locului geometric, va trebui să avem

aF M F M 2' 11 =− , adică în mod necesar a=c .

Concluzie. Dacă c a ≥ , atunci a=c şi, locul căutat este semidreapta

( ){ }c x x ≥|0,(toate punctele de pe Ox situate la dreapta lui F ).

În cele ce urmează, vom considera cazul interesant c a <<0 .

Se vede că, în acest caz, punctul ( ) ( )M oaV ,0, ∈ şi V apar ţine loculuigeometric deoarece

( )( ) ( ) aac c aac c aVF VF 2' =+−+=−−−−=− .

Să notăm locul geometric cu +Γ

. Obţinem succesiv

( ) +Γ∈y x M , ⇔ aMF MF 2' =− ⇔ ( ) 22y c x ++ ( ) ay c x 222

=+−− ⇔

( ) 22y c x ++ = ( ) 22

y c x +− + a2 ⇔

( ) ( ) ( ) 2222222 44 y c x aay c x y c x +−+++−=++ ⇔ cx 2 = cx 2− +

( ) 222 44 y c x aa +−+ ⇔ 2acx − = ( ) 22y c x a +− ⇔ 2acx − =

( ) 22y c x a +− şi

c

a x

2

≥ (2)

(deoarece ( ) 022 ≥+− y c x a ).

Continuăm echivalenţele noastre:

( ) +Γ∈y x M , ⇔ c

a x

2

≥ şi ( ) ( )( )22222y c x aacx +−=− ⇔

c

a x

2

≥ şi

( ) ( ) 22222222 y aac a x ac =−−− Notând





0222 >=− bac

obţinem echivalenţa

( ) +Γ∈y x M , ⇔ c

a

x

2

≥ şi22222

ay ba x b =− .

Am obţinut următoarea egalitate de mulţimi:

( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=−≥∈=Γ+ 1|,2

2

2

222

b

y

a

x şi

c

a x R y x (3)

Remarcăm, folosind (3), că intersecţia lui +Γ cu Ox este tocmai V :

( ){ }0,aV Ox =∩Γ+

şi avemc

aa

2

> .

Notăm cu +d dreapta verticală de ecuaţiec

a x d

2

: =+ şi obţinem următoarea

configuraţie pentru reprezentarea grafică a lui +Γ (vezi fig. 2.31).

Fig. 2.31

(curba +Γ este nemărginită şi are ca axă de simetrie pe Ox ).

Vom numi pe +Γ ramura pozitivă a hiperbolei de ecuaţie

12

2

2

2

=−b

y

a

x

(asupra acestei denumiri vom reveni).





Putem caracteriza pe +Γ şi în alt mod. Anume, reluăm (2) şi (3) şi putemscrie

( ) ( )

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

−

+−>∈=Γ+

a

c

c a x

y c x şi

c

a x R y x

2

2222 |,

Deoarece ( ) MF y c x =+− 22 şi ==− MI c

a x

2

distanţa lui M la +d (aici

+∈ d I şi +⊥ d MI ), mai putem scrie

( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=>∈=Γ+ eMI

MF şi

c

a x R y x

22 |,

unde am notat

== ea

c excentricitatea hiperbolei de ecuaţie

12

2

2

2

=−b

y

a

x

(avem e > 1).

Să notăm cu +S semiplanul generat de Oy care conţine pe F . Am ar ătat că

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=∈=Γ ++ eMI

MF SM |

( +Γ = locul punctelor M din +S pentru care raportul distanţelor la F şi la +d este constant egal cu e > 1).

Acum să introducem şi dreapta verticală −d de ecuaţie

c

a x d

2

: −=−

(simetrica lui +d faţă de Oy ).

Reluând calculele care au dus la (3), dar pornind de la gruparea

( ) ( ) ay c x y c x 22222−++=+−





obţinem că

( ) ( )

⎪⎪

⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪

⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

+

++>∈=Γ+

a

c

x

c

a

y c x şi

c

a x R y x

2

2222 |,

Deoarece ( ) '22MF y c x =++ şi x

c

a+

2

= ⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−

c

a x

2

= MJ = distanţa de la

M la −d (aici d J ∈ şi −⊥ d MJ ), avem (vezi fig. 2.32).

Fig. 2.32

( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

==≥=Γ+ ea

c

MJ

MF

c

a x y x M

',|,

2

Denumiri: +d = directoarea focarului F , −d = directoarea focarului F’ . Am ar ătat că:

+Γ = locul geometric al punctelor M din +S pentru care raportul dintre

distanţa MF şi distanţa MI a lui M la directoarea lui F este egal cu 1>= ea

c =

locul geometric al punctelor M din +S pentru care raportul dintre distanţa MF’ şi distanţa MJ a lui M la directoarea lui F’ este egal cu e.

Consideraţii similare se pot face considerând locul geometric −Γ al punctelor

M din plan pentru care 02' >=− aMF MF . Anume, curba −Γ (numită ramura negativă a hiperbolei de ecuaţie deecuaţie

12

2

2

2

=−b

y

a

x )





este simetrica lui +Γ în raport cu Oy (vezi fig. 2.33) şi se caracterizează la fel

ca loc geometric al punctelor pentru care rapoarteleMI

MF (sau

MJ

MF ') sunt

constant egale cu ea

c = .

Fig. 2.33

Observaţie. Ramura +Γ poate fi dată parametric astfel:

( ){ }R t sht bcht a ∈=Γ+ |,

iar ramura −Γ poate fi dată parametric astfel:

( ){ }R t sht bcht a ∈−=Γ− |,

Am notat, ca de obicei, pentru orice R t ∈

2

t t eecht

−+= = cosinusul hiperbolic al lui t

2

t t eesht

−−= = sinusul hiperbolic al lui t

Putem “reuni” cele două curbe +Γ şi −Γ , care se obţin ca locul geometric alpunctelor M din plan pentru care

aMF MF 2' =−

Cu alte cuvinte, am ar ătat că avem următoarele:

Teoremă şi denumire.

Consider ăm două numere 0>a , 0>c , astfel încât c a < .Fie două puncte fixe ( )0,c F şi ( )0,' c F − numite focare.

Atunci, locul geometric al punctelor ( )y x M , din plan pentru care

aMF MF 2' =−





este curba (am notat 222 bac =− )

( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=−∈=Γ 1|,2

2

2

22

b

y

a

x R y x

numită hiperbola de ecuaţie 1

2

2

2

2

=−b

y

a

x

Cu notaţiile anterioare, avem Γ∪Γ=Γ + .

În fig. 2.34, am figurat toate elementele introduse anterior

Fig. 2.34

Pe figur ă, segmentul [ ]'VV (de lungime 2a) se numeşte axa transversă,segmentul BB’ (de lungime 2b) se numeşte axa netransversă, punctele

( )0,aV şi ( )0,' aV − se numesc vârfurile hiperbolei, dreptele verticale

c

a x d

2

: =+ şic

a x d

2

: −=−

se numesc directoarele hiperbolei, iar dreptele oblice de ecuaţii

x a

by = şi x

a

by −=

se numesc asimptotele hiperbolei Γ . Dreptunghiul XYZW se numeştefundamental al hiperbolei Γ . Această hiperbolă este Γ este reuniunea ramurilor sale +Γ şi −Γ (adică

−+ Γ∪Γ=Γ ) şi aceste ramuri sunt “direcţionate” de





asimptote (se apropie oricât de ele când ne îndepărtăm foarte mult).

Având în vedere cele anterior demonstrate, putem enunţa următorul rezultatimportant

Teoremă. Hiperbola Γ de mai sus se poate obţine după cum urmează:

Se consider ă directoarele +d şi −d . Atunci, avem Γ = locul geometric alpunctelor M din plan, pentru care

ed M

F M =

+laladedistanta

laladedistanta

De asemenea, Γ este locul geometric al punctelor M din plan, pentru care

ed M

F M =

−laladedistanta

'laladedistanta

Aici 1>=a

c e este excentricitatea hiperbolei.

Denumire. O hiperbolă pentru care a=b se numeşte hiperbol ă echilater ă. Aşadar, o astfel de hiperbolă are ecuaţia

222 ay x =−

unde a este lungimea comună a axelor hiperbolei.

Notă. Hiperbolele echilatere apar în fizică (legea Boyle- Mariotte). Anume, searată că, o curbă de ecuaţie xy = constant este, de fapt, o hiperbolă echilater ă (legea mai sus menţionată spune că pV = constant…).

Să discutăm acum despre intersec ţ ia unei drepte d cu hiperbola Γ deecuaţie

12

2

2

2

=−b

y

a

x

Dacă dreapta d este verticală de ecuaţie

h x d =:

atunci, intersecţia lui d cu Γ este formată din 2 puncte (dacă ah > ), este

vidă (dacă ah < ) şi este formată dintr-un punct,





dacă h = a sau ah −= (în acest caz, d este tangentă la Γ în unul din vârfuri).

Orice dreaptă orizontală d de ecuaţie

hy d =:

intersectează hiperbola Γ în 2 puncte.

Pentru a studia intersecţia unei drepte oblice

nmx y d +=:

cu Γ , trebuie să încercăm să rezolvăm sistemul

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−

+=

12

2

2

2

b

y

a

x

nmx y

(eventualele sale soluţii ( )00 ,y x vor fi punctele de intersecţie).

Discuţia este mai dificilă decât la elipsă şi se împarte în două cazuri mari:

Cazul 0222 =− bma , cu alte cuvinte cazul când

a

bm = sau

a

bm −=

În acest caz, dreapta d are aceeaşi direcţie cu una din asimptote. Rezultă:

- dacă n = 0 (adică d este o asimptotă), dreapta d nu se taie cu hiperbola).- dacă 0≠n , dreapta se taie cu hiperbola într-un singur punct (şi nu este

tangentă la hiperbolă!).

Pe scurt: asimptotele nu taie hiperbola; paralele cu asimptotele taie hiperbola într-un singur punct.

Cazul 0222

≠− bma , cu alte cuvinte, cazul când

a

bm ±≠

(deci dreapta d este concurentă cu ambele asimptote).

În acest caz, discuţia se face după semnul expresiei





2222 manbE −+=

Dacă 0>E , adică

a

nbm

22 +<

rezultă că d intersectează hiperbola în 2 puncte (dreptele “culcate” taiehiperbola).

Dacă 0<E , adică

a

nbm

22 +>

rezultă că d nu intersectează hiperbola (dreptele “prea verticale” nu taiehiperbola).

Dacă E = 0, adică

a

nbm

22 += sau

a

nbm

22 +−=

dreapta d este tangentă la hiperbolă. În acest caz, putem scrie

222 bman −±=

Aşadar, este obligatoriu ca

a

bm >

Avem două tangente “de direcţie m”:

222 bmamx y −+= 222

bmamx y −−=

Ca şi la elipsă, dacă ( )00,y x este un punct al hiperbolei, ecuaţia tangentei

la hiperbolă în punctul ( )00 ,y x se obţine prin dedublare din ecuaţia

hiperbolei, adică are forma

120

20 =−

b

yy

a

xx





În fine, să consider ăm un punct ( )00,y x care nu se găseşte pe hiperbolă şi

să căutăm să ducem tangente la hiperbolă din acest punct.

O tangentă verticală ar trebui să aibă forma 0 x x = , deci avem numai cazurile

posibile când a x =0 sau a x −=0 .

O tangentă oblică ar trebui să aibă forma

222 bmamx y −±= cua

bm > .

Vom scrie că ( )00,y x apar ţine acestei drepte.

Varianta

22200 bmamx y −+= ⇔ 0222

00 >−=− bmamx y , deci este necesar ca

soluţia m să aibă şi proprietatea 000 >− mx y .

În varianta

022200

22200 <−−=−⇔−−= bmamx y bmamx y

deducem că trebuie să avem 000 <− mx y .

În concluzie, trebuie să avem

a

bm > şi 00 mx y ≠

Condiţia 22200 bmamx y −±= este echivalentă cu condiţia suficientă

( ) 222200 bmamx y −=− (*)

adică cu

( ) 02 22000

2220 =++−− by my x ma x

În acest moment, observăm că este suficient să avem

000 ≠− mx y

pentru soluţia acceptabilă a lui (*).

Într-adevăr, în acest caz, dacă avem 000 ≠− mx y , rezultă





( ) 0222200 >−=− bmamx y

deci, automat, avem şia

bm > .

Concluzie. Soluţiile m acceptabile vor fi soluţii reale ale ecuaţiei( ) 02 22

000222

0 =++−− by my x ma x (**)

supuse condiţiei

00 mx y ≠ .

Cazul 0220 =− a x (adică a x =0 sau a x −=0 ). În acest caz. Am văzut că

avem o tangentă verticală prin unul din vârfuri.

Din (**), r ămâne că

220002 by my x +=

Dacă am avea 00 =y (deci ( ) ( )0,, 00 ay x = sau ( ) ( )0,, 00 ay x −= ) ar rezulta

( )00 ,y x pe hiperbolă, inacceptabil.

Aşadar, avem 0≠oy . Obţinem

00

220

2 y x

by m

+=

cu a x =0 sau a x −=0 .

Trebuie să avem

by by y by y y

by y mx ±≠⇔≠⇔≠+⇔≠

+⇔≠ 0

220

20

2200

0

220

00 22

Aşadar, din punctele de forma ( ) =±± ba, vârfurile “dreptunghiuluifundamental” WXYZ (vezi fig. 2.34) se pot duce numai tangente verticale(în vârfuri).

În cazul când 0220 ≠− a x , avem de discutat şi rezolvat ecuaţia de gradul al

doilea

( ) 02 22000

2220 =++−− by my x ma x (**)

care are discriminantul (redus)





( ) ( )( ) 20

220

222220

220

200 x by ababy a x y x −+=+−−=δ = =

⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−− 1

2

20

2

2022

b

y

a

x ba

Evident, 0≠δ (deoarece ( )00 ,y x nu este pe hiperbolă).

Avem două soluţii reale 1m , 2m distincte pentru (**) dacă şi numai dacă

12

20

2

20 <−

b

y

a

x (c)

(adică, vezi fig. 2.34, punctul ( )00 ,y x se află în “afara” ramurilor hiperbolei, în

zona dreptunghiului fundamental WXYZ ).

Să

presupunem îndeplinită condi

ţia (c). Atunci (**) are solu

ţiile reale distincte

1m şi 2m .

Se acceptă soluţia (soluţiile) i m pentru care

00 x my i ≠

care furnizează respectiv tangenta

( )00 x x my y i −=−

Exemple. Avem hiperbola de ecuaţie

12

2

2

2

=−b

y

a

x

1. Putem duce tangente la hiperbolă din focarul ( )0,c F ?Răspunsul este negativ.

Într-adevăr, aici ( ) ( )0,, 00 c y x = şi 12

2

2

20

2

20 >=−

a

c

b

y

a

x

Deci nu se îndeplineşte condiţia (c) (avem 220 a x ≠ ).

2. Putem duce tangente din punctul (3a, 3b)? Aici a x 30 = şi by 30 = , deci 22

0 a x ≠ .

1099

2

2

2

2

2

20

2

20 <=−=−

b

b

a

a

b

y

a

x

deci condiţia (c) se îndeplineşte.





Ecuaţia 22200 bmamx y −±=− adică (**) devine

( ) 02 22000

2220 =++−− by my x ma x

adică

( ) 010189 2222 =+−− babmmaa ⇔ 0594 222 =+− babmma

222222 8081 bababa =−=Δ

Soluţiile sunt

2128

9

a

ababm

±= , deci

a

bm

4

51 = ,

a

bm =2 .

Testăm soluţia 1m :

04

1533

4

53010 ≠−=−=− bba

a

bb x my

deci 1m este acceptabilă.

03333020 =−=⋅−=− bbaa

bb x my

deci 2m nu este acceptabilă.

Prin urmare, tangenta (unică) la hiperbolă dusă prin punctul (3a, 3b) vaavea ecuaţia

( ) 034515512434

53 =−−⇔−=−⇔−=− abay bx abbx abay a x

a

bby

C. Parabola

Definiţie. Se numeşte parabolă locul geometric al punctelor din plan egal depărtate de

o dreaptă fixă (numită directoare) şi de un punct fix care nu apar ţine lui d (numit focar ).

O parabolă este complet determinată de distanţa 0> p de la focar ladirectoare (numărul p se numeşte parametrul parabolei).

Pentru a trata analitic problema, vom alege axele ca în fig. 2.35.





Fig. 2.35

Axa Ox este perpendiculara pe d dusă din F , care întâlneşte pe d în A. AxaOy este perpendiculara pe Ox = AF , dusă prin mijlocul O al lui AF (acestmijloc este, deci, originea axelor de coordonate şi se mai numeşte şi vârfulparabolei).

Locul geometric (parabolei) este curba nemărginită Γ din fig. 2.35, care areaxa Ox ca axă de simetrie.

Prin urmare, dacă ( )y x M , este un punct oarecare al lui Γ , va trebui să avem

MT MF = , adică 1=MT

MF

unde T este piciorul perpendicularei din M pe d .

Prin urmare, putem spune că parabola este locul punctelor M din planpentru care raportul distanţelor lui M la punctul fix F şi la dreapta fixă d este constant egal cu 1.

Vedem că parabola are o construcţie similar ă cu a elipsei şi a hiperbolei.Putem spune că excentricitatea parabolei este 1.

Rezultă uşor următoarea caracterizare analitică

Teoremă. În condiţiile de mai sus, avem

( ){ } px y R y x 2|, 22 =∈=Γ

Egalitatea

px y 22 =

se numeşte ecuaţia parabolei, iar Γ se numeşte parabola de ecuaţie





px y 22 =

Teoremă. (Reprezentarea parametrică a parabolei)Cu notaţiile anterioare, avem

( ){ }R t pt pt ∈=Γ |2,2 2

Vom urma acelaşi plan ca la celelalte curbe. În primul rând, dacă ( ) Γ∈00,y x , ecuaţia tangentei la Γ în punctul ( )00,y x

se obţine prin dedublare din ecuaţia parabolei, adică această tangentă are ecuaţia

( )00 x x pyy +=

Semnalăm, cu această ocazie, “proprietatea optică” a parabolei (vezi fig.2.35): în fiecare punct ( ) Γ∈y x M , , tangenta la Γ în M(x, y) este bisectoareaunghiului FMT .

În continuare, studiem intersecţia unei parabole cu o dreaptă şi alteprobleme de tangenţă.

Dacă avem o dreaptă orizontală de ecuaţie

hy d =:

atunci intersecţia hd ∩ are exact un punct şi d nu este tangentă la parabolă.

De exemplu, intersecţia lui Γ cu Ox este vârful parabolei.

Dacă d este o dreaptă verticală de ecuaţie

h x d =:

atunci intersecţia Γ∩d se compune din două puncte (dacă h > 0), dintr-un punct = vârful (dacă h = 0) şi este vidă, dacă h < 0. În plus, dreapta x = 0 (adică axa Oy ) este tangentă la parabolă în vârful ei.

Studiem, în continuare, intersecţia unei drepte oblice de ecuaţie

nmx y d +=:

cu parabola Γ . Cu alte cuvinte, studiem sistemul

⎩⎨⎧

=

+=

px y

nmx y

22





ale cărui (eventuale) soluţii sunt punctele de intersecţie între d şi Γ .Discuţia se face în funcţie de semnul numărului

mn pE 2−=

Dacă E > 0, adică

m

pn

2<

avem două puncte de intersecţie.

Dacă E < 0, adică

m

pn

2

>

dreapta d nu intersectează parabola Γ .

Dacă E = 0, adică

m

pm

2=

dreapta d este tangenta parabolei.

Aşadar, ecuaţia unei tangente la parabolă de coeficient unghiular 0≠m

este

m

pmx y

2+=

În fine, să urmărim cum se pot duce tangente la parabolă dintr-un punct( )00,y x care nu este pe parabolă.

Dacă 00 = x , o tangentă la parabolă (în vârful ei) este dreapta verticală

0= x . În acest caz, avem 00 ≠y (deoarece ( ) Γ∉00,y x ) şi mai putem duce otangentă la parabolă. Această tangentă va avea ecuaţia

m

pmx y d

2: +=

unde m se găseşte din condiţia ( ) d y ∈0,0 , adică





00 22 y

pm

m

py =⇔=

şi tangenta este

002 y x y

py +=

Dacă 00 ≠ x , vom căuta tangenta de ecuaţie

m

pmx y d

2: +=

unde m se obţine din condiţia ca ( ) d y x ∈00, , adică

m pmx y 200 +=

ceea ce revine la ecuaţia de gradul 2 în m:

022 02

0 =+− pmy m x (*)

Această ecuaţie are discriminantul (redus)

02 020 ≠−= px y δ

(deoarece ( ) Γ∉00 ,y x ).

Aşadar, avem variantele:

Varianta 02 020 <− px y

adică p

y x

2

20

0 >

(ne aflăm în “interiorul” parabolei, adică în regiunea care cuprinde focarul). Înacest caz, nu se pot duce tangente la parabolă.

Varianta 02 020 >− px y

adică p

y x

2

20

0 <

(de exemplu, orice 00 < x este în această situaţie).





Se pot duce două tangente de ecuaţii

( )00 x x my y i −=− , i = 1,2

unde 1m şi 2m sunt cele două r ădăcini reale şi distincte ale ecuaţiei (*).

D. Privire unitar ă asupra conicelor

Din punct de vedere al geometriei spaţiale, teorema lui Dandelin (pe caream mai amintit-o) ne prezintă elipsa, hiperbola şi parabola ca secţiuni conice(secţiuni f ăcute cu un plan printr-o suprafaţă conică). Dealtfel, denumirea deconice, dată celor trei figuri de curbe de mai sus, este motivată de această teoremă.

Pe de altă parte, elipsa (nu cercul!), hiperbola şi parabola se pot obţine printr-

o construcţie geometrică unitar ă: ele sunt locul geometric al punctelor dinplan pentru care raportul distanţelor la un punct fix (numit focar) şi, la odreaptă fixă (numită directoare) este constant. Acest raport, numitexcentricitate este subunitar la elipsă, supraunitar la hiperbolă şi egal cu 1la parabolă.

Din punct de vedere al geometriei analitice, conicele se prezintă în modunitar după cum urmează.

Teoremă. (Conice pe ecuaţia generală).Fie P un plan cartezian şi P ⊂Γ o figur ă geometrică.

Următoarele afirmaţii sunt echivalente:1. Figura Γ este o conică (elipsă, hiperbolă sau parabolă) veritabilă saudegenerată.2. Există 6 numere reale 11a , 12a , 22a , 13a , 23a şi 33a astfel încât

011 ≠a sau 012 ≠a sau 022 ≠a

cu următoarea proprietate

( ) }0222|, 3323132

22122

112 =+++++∈=Γ ay a x ay a xy a x aR y x

(cu alte cuvinte, Γ este o curbă de gradul 2)

Enunţul necesită anumite explicaţii. Când spunem conică veritabilă nereferim la elipsă (inclusiv cerc), hiperbolă sau parabolă. Admitem dreptconice degenerate:

Elipse degenerate: mulţimile formate dintr-un singur punct sau mulţimeavidă.Exemplu:





( ){ } ( ) }0|,0,0 222 =+∈==Γ y x R y x

(adică 12211 == aa şi restul coeficienţilor ij a sunt egali cu 0).

Mulţimea vidă se poate scrie astfel:( ){ }01|, 222 =++∈= y x R y x φ

(aici 1332211 === aaa şi restul coeficienţilor ij a sunt egali cu 0).

Hiperbole degenerate: mulţimi care sunt reuniunea a două drepteconcurente.Exemplu: Fie a, b numere nenule. Luăm

( ) } ( ) }0|,0|,

22 =+∈∪=−∈=Γ ay bx R y x ay bx R y x

Se vede că Γ este reuniunea dreptelor de ecuaţii

x a

by d =:1 şi x

a

by d −=:2

Pe de altă parte, avem

( )

⎭

⎬⎫

⎩

⎨⎧

=−∈=Γ 0|,2

2

2

22

b

y

a

x R y x

Aici211

1

aa = ,

222

1

ba −= şi restul coeficienţilor ij a sunt egali cu 0.

Parabolă degenerată: mulţimile care sunt reuniunea a două drepte paralelesau confundate.Exemplu: Fie a un număr real. Consider ăm mulţimea

( ) }0|, 222 =−∈=Γ ay R y x

Dacă 0≠a , rezultă că Γ = reuniunea dreptelor paralele de ecuaţii ay d =:1

şi ay d −=:2 .

(în acest caz 122 =a , 233 aa −= şi ceilalţi coeficienţi ij a sunt egali cu 0).

Dacă a = 0, atunci Γ = dreapta de ecuaţie

0: =y d





Putem gândi pe Γ sub forma d d ∪=Γ (reuniunea a două drepteconfundate).

(în acest caz 122 =a şi restul coeficienţilor ij a sunt egali cu 0).

Evident, elipsa, hiperbola şi parabola sunt curbe de gradul 2, ca în teoremă.De exemplu, elipsa de ecuaţie

12

2

2

2

=+b

y

a

x

este o curbă de gradul 2 cu211

1

aa = ,

222

1

ba = şi 133 −=a .

Teorema fundamentală legată de acest subiect este următoarea:

Teorema de aducere la forma canonică a conicelor.Fiind dată o curbă Γ de gradul 2 ca în teoremă, se poate face o schimbarede axe (translaţie, rotaţie şi intervertire a coordonatelor x şi y ), astfel încât, înnoile axe, Γ să fie o conică (veritabilă sau degenerată) scrisă sub formacanonică).

În mod precis ecuaţiile

12

2

2

2

=+

b

y

a

x (elipsă)

12

2

2

2

=−b

y

a

x (hiperbolă)

px y 22 = (parabolă)

sunt numite ecuaţiile canonice ale conicelor .

Vom încheia cu un exemplu pentru a ilustra cele discutate aici.

Să consider ăm Γ de ecuaţie

01284 22 =+−−+ y x y x

Vom vedea cum poate fi adusă la forma canonică şi ce curbă reprezintă eade fapt.

În acest sens, vom face o schimbare de axe, mai precis o translaţie deaxe. Anume, vom translata axele, astfel încât noua origine să fie în punctul(1,1), vezi fig. 2.36.





Fig. 2.36

Consider ăm un punct M în planul cartezian. În acest mod, în “vechiul” sistem de axe xOy , “noua” origine este O’ (1, 1),punctul M are coordonatele ( x ,y ) şi scriem M ( x ,y ), iar în “noul” sistem de axe XO’Y , acelaşi punct M are coordonatele ( X ,Y ) şi scriem M ( X ,Y ).

Se vede că legătura între “noile” coordonate ( X ,Y ) şi “vechile” coordonate( x ,y ) este dată de relaţiile:

⎩⎨⎧

+=⇒−=

+=⇒−=

11

11

Y y y Y

X x x X

Aşadar, ecuaţia lui Γ în “noile” axe se mai scrie astfel:

( ) ( ) ( ) ( ) 011218114 22=++−+−+++ Y X Y X

adică

044 22 =−+Y X

Echivalent, în noile axe, Γ are ecuaţia

121 2

2

2

2

=+Y X

Aşadar, am ajuns la forma canonică a unei elipse de semiaxe a=1, b=2, cucentrul în punctul (1,1), Aceasta este, de fapt, curba Γ .






1. a) Se consider ă două drepte perpendiculare d şi e şi un număr0>h . Un segment mobil AB cu AB = h se mişcă astfel încâtd A ∈ şi eB ∈ .

Să se găsească locul geometric al unui punct fix M al lui ( ) AB (cu alte cuvinte, al unui punct ( ) ABM ∈ care are proprietateacă există ha <<0 astfel încât aMB = , pentru orice poziţiei alui AB).

b) Să se determine elipsa (de ecuaţie canonică) care treceprin punctele ( )4,6 A , ( )5,0B . Apoi să se scrie ecuaţia tangenteila această elipsă în punctul A.








2. a) Să se arate că dreapta de ecuaţie

82: −= x y d

este tangentă hiperbolei H de ecuaţie

13625

22

=− y x

b) Să se găsească ecuaţia canonică a hiperbolei, care estetangentă dreptei

0823: =−− y x d

în punctul ( )5,6M .








3. a) Să se arate că directoarea unei parabole este loculgeometric al punctelor de unde se pot duce două tangenteperpendiculare la parabolă.

b) Să se determine ecuaţia canonică a parabolei care estetangentă dreptei

0423: =+− y x d

Să se determine şi punctul de tangenţă.







2.3. Elemente de geometrie analitică în spaţiu

2.3.1. Ecuaţia carteziană generală a planului. Consecinţe şi aplicaţii.

În parcurgerea acestui subparagraf trebuie avută în vedere analogia întreplan (ca submulţime a spaţiului) şi dreaptă (ca submulţime a planului).Vom lucra într-un spaţiu cartezian S cu un sistem de axe de coordonateOxyz . Ca de obicei, vom identifica un punct ( ) Sz y x M ∈,, cu ( ) 3,, R z y x ∈ .

Teoremă. (Ecuaţia carteziană generală a planului).

Fie α o submulţime a spaţiului cartezian S. Următoarele afirmaţii suntechivalente:1. Mulţimea α este un plan.2. Există patru numere reale A, B, C , D astfel încât 0≠ A sau 0≠B sau

0≠C , cu proprietatea că

( ) }0|,, 3 =+++∈= DCz By Ax R z y x α Egalitatea

0=+++ DCz By Ax poartă numele de ecuaţia carteziană generală a planului. În speţă, vomspune că planul α de mai sus are ecuaţia

0=+++ DCz By Ax

Două ecuaţii carteziene diferite, dar cu coeficienţi propor ţionali, determină

acelaşi plan.

Observaţie. Un plan α de ecuaţie

0=+++ DCz By Ax

trece prin originea ( )0,0,0O dacă şi numai dacă D = 0.

Teoremă. Fie planul α de ecuaţie

0=+++

DCz By Ax

şi planul β de ecuaţie

0=+++ QPz Ny Mx

Următoarele afirmaţii sunt echivalente:1. β α = .





2. Coeficienţii A, B, C , D şi M , N , P , Q sunt propor ţionali; adică există unnumăr real nenul t astfel încât

.,,, tDQtC P tBN tAM ====

Ştim că un plan este determinat de trei puncte coliniare. În acest sens, avemurmătoarea

Teoremă. (Ecuaţia planului determinat de trei puncte). Fie ( )1111 ,, z y x A , ( )2222 ,, z y x A , ( )3333 ,, z y x A trei puncte necoliniare. Atunci,

ecuaţia planului (unic) α care trece prin 321 ,, A A A este

0

11

1

1

333

222

111 =

z y x z y x

z y x

z y x

Numim acest plan α planul determinant de 321 şi, A A A .

Exemplu. Să scriem ecuaţia planului care trece prin punctele ( )0,0,11 A ,

( )0,2,02 A şi ( )3,0,03 A .

Ecuaţia menţionată va fi

0

1300

1020

10011

=

z y x

Scădem linia a doua din celelalte linii şi ecuaţia devine

03010021

1001

01

−

−

− z y x

şi dezvoltând după coloana a patra, ecuaţia se scrie

( ) 03216

301

021

1

=++−=

−

−

−

y z x

z y x

În definitiv, ecuaţia cerută este





06236 =−++ z y x

Comentariu. Ecuaţia aceluiaşi plan se obţine dacă înmulţim (sau împăr ţim)cu acelaşi număr nenul, cum am văzut. Atunci, de exemplu, planul din enunţ are şi ecuaţia (împăr ţim cu 6):

0132

=−++ z y

x

sau

132

=++ z y

x etc.

Legat de cele ce preced, vom prezenta şi reprezentarea parametrică a

planului care trece prin trei puncte date.

Teoremă. (Reprezentarea parametrică a planului determinat de trei puncte)Fie ( ) 32,,1,,, =i z y x M i i i i trei puncte necoliniare. Atunci, planul de determinat

de 321 şi, M M M poate fi reprezentat parametric astfel:

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ =∈= ∑ ∑∑∑

= ===

3

1

3

1

3

1

3

1

1,|,,i i

i i

i

i i

i

i i i i t R t z t y t x t α

Echivalent: spunem că α este reprezentat parametric astfel:

( ) 321 1 x v uvx ux x −−++= , ( ) 321 1 y v uvy uy y −−++= ,

( ) 321 1 z v uvz uz z −−++= , când R v u ∈, , adică:

( ) ( ) ( )( ){ }R v R uz v uvz uz y x v uvx ux ∈∈−−++++−−++= ,|1,v-u-1vyuy,1 321321321α

Teoremă. (Ecuaţia prin tăieturi a planului).Fie un plan α care intersectează axa Ox în punctul (a,0,0) (respectiv axa Oy în (0,b,0), respectiv axa Oz în (0,0,c)) cu 0,0,0 ≠≠≠ c ba .

Atunci, α are ecuaţia “prin tăieturi”

1=++c

z

b

y

a

x

(adică, ecuaţia 01111

=−++ z c

y b

x a

)





Cu acest rezultat, putem verifica imediat calculul de la exemplul anterior,deoarece planul dat la acel exemplu tăia axa Ox în (1,0,0), axa Oy în (0,2,0)şi axa Oz în (0,0,3), având deci ecuaţia

1321

=++ z y x

etc.

Teorema precedentă ne pune problema de a calcula intersecţiile unui plan cuaxele de coordonate şi cu planele de coordonate.

Teoremă. (Intersecţia unui plan cu axele de coordonate).Fie α planul de ecuaţie

0=+++ DCz By Ax

Intersecţia lui α cu axa Ox (dacă este nevidă!) este formată dintr-un punctsau din întreaga axa Ox . Punctele ( x ,y ,z ) acestei intersecţii verifică sistemul

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+

=

=

0

0

0

D Ax

z

y

La fel, pentru intersecţia cu Oy se verifică sistemul

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+=

=

00

0

DBy

x

z

şi pentru intersecţia cu Oz

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+

=

=

0

0

0

DCz

y

x

În consecinţă, planul α este paralel cu Ox (respectiv include pe Ox ) dacă şinumai dacă ecuaţia lui α este de forma

0=++ DCz By (cu 0≠D )(respectiv 0=+ Cz By )

La fel, avem Oy ||α (respectiv Oy ⊃α ) ⇔ ecuaţia este

0=++ DCz Ax (cu 0≠D ) (respectiv 0=+ Cz Ax ).





La fel, Oz ||α (respectiv Oz ⊃α ) ⇔ ecuaţia este

0=++ DBy Ax (cu 0≠D ) (respectiv 0=+ By Ax )

Intersecţia unui plan cu alt plan este o dreaptă.

Vom vedea în subparagraful următor că o dreaptă poate fi dată în mai multefeluri, dar, în mod esenţial, o dreaptă (intersecţia a două plane) estemulţimea punctelor care satisfac simultan ecuaţiile a două plane, numiteecuaţiile dreptei.

Teoremă. (Intersecţia unui plan cu planele de coordonate)Fie α planul de ecuaţie

0=+++ DCz By Ax

Intersecţia lui α cu planul yOz (dacă este nevidă!) este o dreaptă sau este întregul plan yOz . Punctele sale verifică sistemul

⎩⎨⎧

=

=++

0

0

x

DCz By

La fel, pentru intersecţia lui α cu planul zOx se verifică sistemul

⎩⎨⎧

=

=++

0

0

y

DCz Ax

şi pentru intersecţia cu xOy se verifică sistemul

⎩⎨⎧

=

=++

0

0

z

DBy Ax

În consecinţă, planul α este paralel cu yOz (respectiv, coincide cu yOz ) deciare ecuaţia de forma

0=+ D Ax , cu 0≠D (respectiv Ax = 0).

La fel, planul α este paralel cu zOx (respectiv, coincide cu zOx ) dacă areecuaţia de forma

0=+ DBy , cu 0≠D (respectiv By = 0)

La fel, planul α este paralel cu xOy (respectiv, coincide cu xOy ) dacă areecuaţia de forma

0=+ DCz , cu 0≠D (respectiv Cz = 0).





Să consider ăm acum problema poziţiilor relative între plane. Am văzutcând două plane coincid.

Dacă două plane nu coincid, atunci ele pot fi paralele sau pot să aibă încomun o dreaptă.

Teoremă. Fie planele 2,1, =i i α date prin ecuaţiile

0=+++ i i i i Dz C y B x A

Se presupune că 21 α α ≠ .


1. 21 ||α α

2. Există un număr real nenul t cu proprietăţile:a) 12121212 şi,, tDDtC C tBBtA A ≠=== .

Cum putem calcula distanţa între două plane paralele 1α şi 2α ?

Se consider ă un punct 1α ∈M şi apoi se calculează distanţa de la M la 2α . Aceasta este distanţa căutată.

Consecinţă. Fie planele i α , i = 1, 2 date prin ecuaţiile


Următoarele afirmaţii sunt echivalente:1. Planele 1α şi 2α se intersectează după o dreaptă.2. Cel puţin unul dintre minorii de ordin 2 ai matricii

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

222

111

C B A

C B A

este nenul.

Situaţia a trei plane este mai complicată. O vom prezenta sub formă dediscuţie.

Fie trei plane distincte i α , i = 1, 2, 3 de ecuaţii


Să consider ăm matricele





⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

333

222

111

C B A

C B A

C B A

M

cu determinantul ( ) Δ=M det şi

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

3333

2222

1111

DC B A

DC B A

DC B A

M

Ce situaţii pot să apar ă:

1. Cele 3 plane sunt concurente (au un singur punct comun). Această situaţie este caracterizată de faptul că 0≠Δ .2. Cele 3 plane au în comun o dreaptă (două câte două se intersectează

după aceeaşi dreaptă). Această situaţie este caracterizată prin faptul că, simultan, avem:a) 0=Δ b) Luând câte două linii din matricea M, putem forma câte un minor deordinul doi din acele două linii care să fie nenul (deci putem forma 3 astfel deminori).(De exemplu:

022

11 ≠B A

B A şi 0

33

11 ≠C A

C A şi 0

33

22 ≠C B

C B)

c) Determinanţii caracteristici, formaţi prin bordarea (în matricea M ) celortrei minori nenuli de mai sus, sunt toţi nuli.

(Folosind exemplul nostru, trebuie să avem, deci, următorii determinanţicaracteristici nuli:

0

333

222

111

=

DB A

DB A

DB A

şi 0

222

333

111

=

DC A

DC A

DC A

şi 0

111

333

222

=

DC B

DC B

DC B

)

3. Cele două plane se intersectează două câte două (după 3 drepte), darcele 3 drepte astfel obţinute nu au puncte comune (sunt două câte două paralele). Se formează un fel de prismă triunghiular ă infinită.

Această situaţie se caracterizează prin faptul că, avem simultan

Punctele a) şi b) ca la 3.





c) Cel puţin unul din determinanţii caracteristici de la 2. este nenul.

4. Două din plane (de exemplu 1α şi 2α ) se întâlnesc după o dreaptă, iar al

treilea plan (aici 3α ) este paralel cu unul din primele două (de exemplu

13 ||α α ).

Fiecare din cele două condiţii se pot impune, folosind teoremele anterioare.

5. Cele 3 plane sunt paralele (deci 21 ||α α şi 32 ||α α ). Şi aceste condiţii au

fost anterior studiate.

Teoremă. Fie i α , i = 1, 2, 3, 4 patru plane de ecuaţii


Atunci, cele patru plane sunt concurente într-un punct dacă şi numai dacă

avem simultan:a) Există cel puţin un minor nenul de ordin 3 al matricii:

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

444

333

222

111

C B A

C B A

C B A

C B A

b) Avem

0

4444

3333

2222

1111

=

DC B A

DC B A

DC B A

DC B A

Teoremă. (Condiţiile de coplanaritate a patru puncte).Fie ( )i i i i z y x A ,, 4 puncte diferite.Următoarele afirmaţii sunt echivalente:

1. Punctele 4321 ,,, A A A A sunt coplanare.2. Avem

0

1

1

1

1

444

333

222

111

=

z y x

z y x

z y x

z y x





Precedenta teoremă rezultă, de fapt, din următoarea

Teoremă. Volumul tetraedrului 4321 A A A A format din punctele ( )i i i i z y x A ,, , i = 1,2,3,4

este dat de formula

( ) Δ= 6

1

vol 4321 A A A A

unde

1

1

1

1

444

333

222

111

z y x

z y x

z y x

z y x

=Δ

Teoremă. Distanţa între punctele ( )1111 ,, z y x A şi ( )2222 ,, z y x A este dată de formula

( ) ( ) ( )221

221

22121 z z y y x x A A −+−+−=

Teoremă. (Distanţa de la un punct la un plan)Fie planul α de ecuaţie

0=+++ DCz By Ax

şi punctul ( )000

,, z y x M .

Atunci, distanţa de la punctul M la planul α este dată de formula

( )222

000,distC B A

DCz By Ax M

++

+++=α .

Teoremă. Fie ( )i i i i z y x A ,, , i = 1,2,3 puncte în spaţiu.Se formează expresia

( )

2

33

22

112

33

22

112

33

22

11

321

1

11

1

11

1

11

2

1,,

x z

x z

x z

z y

z y

z y

y x

y x

y x

A A AS ++=

AtunciI. Dacă 321 ,, A A A nu sunt coliniare, atunci aria triunghiului 321 A A A este

egală cu ( )321 ,, A A AS .





II. Punctele 321 ,, A A A sunt coliniare dacă şi numai dacă ( ) 0,, 321 = A A AS

(adică cei trei determinanţi care apar în expresia ( )321 ,, A A AS sunt

nuli).

Caz particular. Dacă triunghiul 321 A A A se află în planul xOy (planul deecuaţie z = O), rezultă că 0321 === z z z . Atunci, rezultă din precedenta

teoremă că

( ) 2

1,, 321 D A A AS =

unde

11

1

33

22

11

y x y x

y x

D =

şi regăsim formule din plan.

Aplicaţie. Fie triunghiul ABC , unde ( )0,0,a A , ( )0,,0 bB şi ( )c C ,0,0 , cu a, b, c numere nenule.

Să calculăm aria triunghiului ABC cu formula noastr ă, aria va fi

( )

2 2 2

2 2 2 2 2 2

0 1 0 0 1 0 11

, , 0 1 0 1 0 0 12

0 0 1 0 1 0 1

1.

2

a a

S A B C b b

c c

a b b c c a

= + + =

= + +

În particular, dacă a = b = c , obţinem un triunghi echilateral cu aria egală cu

2

32a (verificaţi direct!).

Două plane care intersectează după o dreaptă formează patru unghiuridiedre, care sunt două câte două egale în măsur ă. Vom da o formulă asemănătoare cu formula din plan pentru măsura unghiului diedru. Deoarecenu putem distinge între cele două măsuri, vom da o formulă pentru cosinusulunuia din cele două unghiuri, cosinusului suplementului fiind luat cu semnulminus.

Teoremă. Fie i α , i = 1,2 două plane care au ecuaţiile






Atunci, cosinusul unghiului diedru ϕ f ăcut de cele două plane este dat deformula

( )( )2

2

2

2

2

2

2

1

2

1

2

1

212121cos

C B AC B A

C C BB A A

++++

++=ϕ

Facem convenţia că, dacă cele două plane sunt paralele sau confundate, elefac un unghi de măsur ă 0.

Consecinţă. Planele i α , i =1,2 de mai sus sunt perpendiculare dacă şi numaidacă

0212121 =++ C C BB A A

2.3.2. Drepte în spaţiu. Relaţia cu planele. Probleme de unghiuri.

Pentru a exprima analitic o dreaptă în spaţiu, trebuie să gândim care estegenerarea ei. Modalităţile de generare principale sunt: dreapta esteintersecţia a două plane, dreapta este determinată de două puncte, dreaptatrece printr-un punct şi are şi are o anumită direcţie. Atenţie! O dreapta nuva mai fi determinată de o singur ă ecuaţie!

Determinarea unei drepte care trece prin două puncte. Vom faceurmătoarea

Convenţie de calcul. Când scriem un cât de numere de formaba şi b = 0,

atunci expresia trebuie înţeleasă automat ca implicând a = 0, adică

0

a înseamnă

0

0.

Teoremă. Fie ( )0000 ,, z y x A şi ( )1111 ,, z y x A două puncte distincte. Atunci ecuaţiile unicei

drepte care trece prin 0 A şi 1 A (dreapta determinată de 0 A şi 1 A , adică

dreapta 10 A A ) sunt

01

0

01

0

01

0

z z

z z

y y

y y

x x

x x

−

−=

−

−=

−

−

Notaţie: Dacă 10 A Ad = ca mai sus, vom nota de obicei





01

0

01

0

01

0:z z

z z

y y

y y

x x

x x d

−

−=

−

−=

−

−

Să explicăm acest enunţ.

Întâi, să presupunem că 010101

,, z z y y x x ≠≠≠ .

Atunci teorema presupune că

( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−

−=

−

−=

−

−∈=

01

0

01

0

01

0

01

0310 y-y

y-y şi |,,

z z

z z

y y

y y

x x

x x R z y x A A

Aşadar, un punct ( )z y x ,, al dreptei are simultan următoarele proprietăţi:

a) ( )( ) ( )( )00100101

0

01

0 y y x x x x y y y y

y y

x x

x x −−=−−⇔

−

−=

−

− (1)

Ecuaţia (1), având forma

0=++ DBy Ax

reprezintă un plan γ paralel cu axa Oz .

b) ( )( ) ( )( )00100101

0

01

0 z z y y y y z z z z

z z

y y

y y −−=−−⇔

−

−=

−

− (2)

Ecuaţia (2), având forma0=++ P Nz My

reprezintă un plan α paralel cu axa Ox .

Prin urmare, am scris că avem echivalenţa:

( ) ( ) γ α ∩∈⇔∈ z y x A Az y x ,,,, 10

În definitiv, am scris că avem egalitatea

γ α ∩=10 A A

Deci dreapta apare ca o intersecţie de plane (de fapt!).

(Puteam lua, definitoriu, şi egalităţile

01

0

01

0

01

0

01

0 şi z z

z z

x x

x x

y y

y y

x x

x x

−

−=

−

−

−

−=

−

− etc.)





Acum să presupunem că, de exemplu, 01 z z = şi 01 x x ≠ , 01 y y ≠ .

Aşadar (vezi convenţia), un punct ( )z y x ,, al dreptei are simultan proprietăţile

a) ⇔−

−=−

−

01

0

01

0y y

y y

x x

x x repetăm comentariul cu privire la apartenenţa lui M la

planul γ .

b) Avem obligatoriu 0z z = .

(Cu alte cuvinte, egalitatea

0

0

00

01

0

01

0 =−

=−

−=

−

− z z

z z

z z

y y

y y , trebuie interpretată ca propor ţie:

( ) ( )010 00 y y y y −⋅=−⋅ (nu aduce nimic nou) şi 00 =− z z .

Ultima egalitate reprezintă ecuaţia unui plan δ paralel cu xOy (sau confundatcu xOy ).Prin urmare, δ ⊂10 A A .

În definitiv, am scris egalitatea

δ γ ∩=10 A A

(Mai putem avea şi alte variante cu o singur ă egalitate: 01 x x = şi 01 y y ≠ ,

01 z z ≠ ; 01 y y = şi 01 x x ≠ , 01 z z ≠ etc.)

În fine, să presupunem că avem două egalităţi, de exemplu

0101 şi z z y y ==

(atunci, obligatoriu 01 x x ≠ , deoarece 10 A A ≠ ).

Făcând apel la convenţii, deducem că

( ) 0010 zzşi,, ==⇔∈ y y A Az y x

Egalitatea 0y y = , adică 00 =− y y reprezintă un plan paralel cu planul

xOz , iar egalitatea 0z z = , adică 00 =− z z , reprezintă un plan θ paralel cu

xOy .Prin urmare, avem

θ ω ∩=10 A A





În acest caz, dreapta 10 A A , caracterizată de egalităţile 0y y = şi 0z z = , va fi

o dreaptă paralelă cu Ox (exerciţiu: verificaţi!).

Exemple. 1. Dreapta determinată de ( )3,2,10 A şi ( )2,1,01 A se reprezintă

astfel:

32

3

21

2

10

1:10

−

−=

−

−=

−

− z y x A A

Cu alte cuvinte, avem:

1

3

1

2

1

1

−

−=

−

−=

−

− z y x

Dreapta noastr ă este dată de egalităţile

321 −=−=− z y x

adică are ecuaţiile

01=+− y x şi 01=+− z y

2. Dreapta determinată de ( )1,1,1M şi ( )6,0,1N se reprezintă astfel:

16

1

10

1

11

1:

−

−=

−

−=

−

− z y x MN

adică

5

1

1

1

0

1:

−=

−

−=

− z y x MN

adică

1= x şi ( ) ( )115 −−=− z y

Dreapta MN are ecuaţiile

1= x şi 065 =−+ z y

Concluzie. Ecuaţiile dreptei determinate de două puncte sunt ecuaţiile adouă plane (paralele cu axele).

În acest moment, putem reprezenta ecuaţiile parametrice ale drepteideterminate de două puncte.





Teoremă. (Reprezentarea parametrică a dreptei determinate de două puncte).

Fie ( )0000 ,, z y x A şi ( )1111 ,, z y x A două puncte distincte.

Atunci, dreapta 10 A A poate fi reprezentată astfel:

( ){ }1,, | ,, 10101010 =+∈+++=

t sR t ssz tz sy ty sx tx A A

Alternativ, putem scrie

( ) ( ) ( )( ){ }R t z t tz y t ty x t tx A A ∈−+−+−+= | 1,1,1 10101010

Mai spunem că am reprezentat parametric dreapta 10 A A astfel:

( ) ( ) ( ) 101010 1,1,1 z t tz z y t ty y x t tx x −+=−+=−+=

Observaţie. Dacă, în reprezentarea de mai sus, vom lua numai 0,0 ≥≥ t s aşa că 1=+ t s (alternativ, numai [ ]1,0∈t , vom obţine segmentul [ ]10 A A .

Teoremă. Avem egalitatea

[ ] ( ){ }1,0,0 | ,, 10101010 =+≥≥+++= t st ssz tz sy ty sx tx A A

Mai general, consider ăm dreapta ca fiind intersecţia a două plane.

Definiţie. Se consider ă planele 2,1, =i i α de ecuaţii


Prin definiţie. Dreapta d de ecuaţii

0

0

2222

1111

=+++

=+++

Dz C y B x A

Dz C y B x A

este obţinută astfel:

21 α α ∩=d

Aşadar, d este dreapta de intersecţie a planelor 1α şi 2α . Desigur, se

presupune că 1α şi 2α sunt plane secante.

În continuare să ne ocupăm şi de dreptele care trec printr-un punct datşi are o direcţie dată.





Noţiunea de direcţie nu poate fi suficient clarificată acum. Vom reveniasupra acestor aspecte la unitatea de învăţare dedicată geometrieivectoriale.Rezultatul fundamental pe care ne bazăm este următoarea

Teoremă. (Caracterizarea dreptelor care trec printr-un punct fix).

Fie ( )000 ,, z y x A un punct din spaţiu. Fie şi 3R d ⊂ .

Următoarele afirmaţii sunt echivalente.1. d este o dreaptă care trece prin A.2. Există trei numere reale a, b, c nu toate nule, cu proprietatea că

( ){ }R t tc z tby ta x d ∈+++= | ,, 000

Mod de exprimare. În situaţia de mai sus, spunem că dreapta d are

ecuaţiile parametrice

tc z z tby y ta x x +=+=+= 000 ,,

Mai spunem că numerele a, b, c sunt parametrii directori ai dreptei d .

Aşadar: a da o dreaptă d care trece printr-un punct fixat A înseamnă a daparametrii directori a, b, c ai dreptei.

Remarcă. Parametrii directori ai unei drepte nu sunt unic determinaţi. Dacă a, b, c sunt parametrii directori ai dreptei d , rezultă că şi pa, pb, pc suntparametri directori pentru aceeaşi dreaptă d pentru orice număr fixat

0≠ p .

Cu alte cuvinte, în contextul de mai sus, avem următorul rezultat.Fie R p ∈ , 0≠ p . Atunci

( ){ } ( ){ }R t tpc z tpby tpa x R t tc z tby ta x d ∈+++=∈+++= | ,, | ,, 000000

Dacă a, b, c sunt parametri directori pentru dreapta d ca mai sus, atunci

222222222 ,, c ba

c

C c ba

b

Bc ba

a

A ++=++=++=

sunt de asemenea parametri directori pentru d . În plus, avem şi, proprietatea

1222 =++ C B A





Spunem că A, B, C sunt cosinusurile directoare ale dreptei d .Denumirea este datorată faptului că: u A cos= , v B cos= , w C cos= unde ueste măsura unghiului f ăcut de dreaptă cu Ox (respectiv v este măsuraunghiului f ăcut de dreaptă cu Oy şi w măsura unghiului f ăcut de dreaptă cuOz ).

Observaţie. Dacă d are cosinusurile directoare A, B, C , atunci şi A− , B− ,C − sunt cosinusuri directoare pentru d . În general, pentru o dreaptă dată parametric, există exact o pereche de cosinusuri directoare: ( )C B A ,, şi

( )C B A −−− ,, .

Teorema de caracterizare a dreptelor care trec printr-un punct fix poate firescrisă în următoarea formă alternativă:

Teoremă. Fie d o dreaptă care trece prin punctul ( )000 ,, z y x A . Dacă parametrii directori

ai lui d sunt a, b, c , atunci dreapta d poate fi reprezentată astfel:

c

z z

b

y y

a

x x d 000:

−=

−=

−

În particular, dacă avem şi un alt punct ( ) 011111 ,,, A Az y x A ≠ , atunci numerele

01 x x − , 01 y y − , 01 z z − sunt parametri directori pentru d .

Explicăm enunţul. Egalităţile

c

z z

b

y y

a

x x 000 −

=

−

=

−

trebuiesc înţelese astfel:

a) Scriem formal

t c

z z

b

y y

a

x x =

−=

−=

− 000

şi obţinem

b) at x x =− 0 , bt y y =− 0 , ct z z =− 0

adică

ta x x += 0 , tby y o += , tc z z += 0





(Se vede că, dacă, de exemplu a = 0, 0 x x = , adică se respectă convenţia

00

0 x x

x x =⇒

−).

În plus, dacă avem şi ( )111101 ,,, z y x A A A ≠ , putem scrie

( ) ( ) ( )010010010 ,, z z t z z y y t y y x x t x x −+=−+=−+=

Observaţie. Noţiunea de parametru director al unei drepte este invariantă faţă de punctul prin care trece dreapta. Mai precis, avem următoarea

Teoremă. Fie d o dreaptă care trece prin punctul ( )0000 ,, z y x A şi are parametrii directori

a, b, c , adică se poate reprezenta parametric astfel:

tc z z tby y ta x x +=+=+= 000 ,,

Fie şi un alt punct ( )1111 ,, z y x A prin care trece dreapta d . Atunci, putemreprezenta pe d parametric şi astfel:

tc z z tby y ta x x +=+=+= 111 ,,

Putem defini, pentru orice dreaptă d , parametrii directori ai lui d .Procedăm astfel. Pe dreapta d consider ăm punctele distincte ( )0000 ,, z y x A şi

( )1111 ,, z y x A , deci putem scrie 10 A Ad = . Atunci, cum am văzut, 10 A A este

dreapta care trece prin 0 A şi are parametrii directori 01 x x − , 01 y y − , 01 z z − .

Luând un alt punct d A ∈

2 , rezultă cu precedenta că d este dreapta caretrece prin 2 A şi are parametrii directori 01 x x − , 01 y y − , 01 z z − .

Prin definiţie, numerele 01 x x − , 01 y y − , 01 z z − , sunt parametrii directori

ai lui d (definiţia nu depinde de punctul prin care trece d ).

Teoremă. Fie 2,1 , =i d i , două drepte cu parametrii directori respectiv i a , i b , i c .

1. Dreptele 21 şi d d sunt paralele sau confundate dacă şi numai dacă există un număr real nenul t cu proprietatea că

121212 ,, tc c tbbtaa ===

2. Dacă 21 şi d d fac între ele un unghi , atunci





22

22

22

21

21

21

212121cosc bac ba

c c bbaa

++⋅++

++=ϕ

În particular,

021212121 =++⇔⊥ c c bbaad d

Teoremă. Se consider ă planele secante 2,1 , =i i α de ecuaţii

0: =+++ i i i i i Dz C y B x Aα şi, fie d dreapta lor de intersecţie, adică

21 α α ∩=d . Atunci, d are parametrii directori a, b, c , daţi de formulele

22

11

22

11

22

11

B A

B Ac

AC

AC b

C B

C Ba ===

Definiţie. Dacă α este un plan, spunem că o dreaptă d este normală la planul α dacă α ⊥d (toate normalele la un plan sunt paralele între ele).

Teoremă. O normală la planul α de ecuaţie

0=+++ DCz By Ax

are parametrii directori A, B, C .

Teoremă. Fie d o dreaptă de parametri directori a, b, c şi planul α de ecuaţie

0=+++ DCz By Ax

1. ⇔⊥α d Există 0≠t cu proprietatea că

tc C tbBta A === , ,

2. 0|| =++⇔ Cc Bb Aad α

Consecinţă.

Ecuaţia unui plan care trece printr-un punct ( )c baM ,, şi este perpendicularpe o dreaptă de parametri directori m, n, p este

( ) ( ) ( ) 0=−+−+− c z pby na x m

Teoremă. Fie o dreaptă d definită de ecuaţiile

c

z z

b

y y

a

x x 000 −=

−=

−





şi α un plan de ecuaţie

0=+++ DCz By Ax .

1. Dacă este unghiul f ăcut de dreapta d cu planul α , avem

( )( )222222sin

c baC B A

Cc Bb Aa

++++

++=ϕ

2. Ecuaţiile proiecţiei lui d pe planul α sunt

0=+++ DCz By Ax

şi

0 000

=−−−

C B A

c baz z y y x x

Prin urmare, cu ajutorul teoremei precedente am definitivat studiul poziţieiunei drepte faţă de un plan.

Să recapitulăm. Avem, de fapt, următoarea

Teoremă. (Poziţia unei drepte faţă de un plan- sinteză)

Se consider ă dreapta

c

z z

b

y y

a

x x d 000:

−=

−=

−

şi planul α de ecuaţie

0=+++ DCz By Ax

Avem următoarele situaţii:1. Situaţia α ⊂d . Această situaţie se caracterizează prin faptul că, simultan

avem

( )

0

,, 000

=++

∈

Cc Bb Aa

z y x α

2. Situaţia α ||d . Această situaţie se caracterizează prin faptul că, avemsimultan





( )

0

,, 000

=++

∉

Cc Bb Aa

z y x α

3. Situaţia când dreapta d este secantă planului. Această situaţie secaracterizează prin faptul că

0≠++ Cc Bb Aa

În acest caz, unghiul f ăcut de dreapta d cu planul α are sinusul dat deformula din teorema precedentă. În plus, în particular:

⇔⊥α d Există 0≠t aşa ca să avem simultan A = ta, B = tb, C = tc .

Alte ecuaţii ale planului.

Teoremă. Consider ăm dreptele 2,1 , =i d i concurente în ( )000 ,, z y x date prin ecuaţiile

i i i

i c

z z

b

y y

a

x x d 000 −

=−

=−

=

Atunci, ecuaţia planului determinat de dreptele 21 şi d d este

0

222

111

000

=

−−−

c ba

c ba

z z y y x x

Teoremă. Ecuaţia planului determinat de dreptele paralele 2,1 , =i d i de ecuaţii

c

z z

b

y y

a

x x d i i i

i

−=

−=

−=

este 0 121212

111

=−−−

−−−

c ba

z z y y x x

z z y y x x

Teoremă. Ecuaţia planului determinat de dreapta

c

z z

b

y y

a

x x d 111:

−=

−=

−





şi punctul ( )222 ,, z y x M

este 0 121212

111

=−−−

−−−

c ba

z z y y x x

z z y y x x

Teoremă. (Fascicul de plane).

Se consider ă două plane secante, de ecuaţii

0=+++ i i i i Dy C y B x A

a căror dreaptă de intersecţie este d .

Atunci, ecuaţia unui plan α care trece prin d are următoarea formă: există

două numere reale a, b care nu sunt amândouă nule şi astfel încât d areecuaţia

( ) ( ) 022221111 =+++++++ Dy C y B AbDy C y B x Aa

Teoremă. Distanţa de la punctul ( )111 ,, z y x A la dreapta

c

z z

b

y y

a

x x d 000:

−=

−=

−

este dată de formula

( )222

2

0101

2

0101

2

0101

,distc ba

ba

y y x x

ac

x x z z

c b

z z y y

d A++

−−+

−−+

−−

=

Care sunt poziţiile relative a două drepte în spaţiu?

Teoremă. Se consider ă dreptele 2,1 , =i d i date prin

i

i

i

i

i

i i

c

z z

b

y y

a

x x d

−=

−=

−:

Să notăm

222

111

121212

c ba

c ba

z z y y x x −−−

=Δ





Atunci1. Dacă 0≠Δ , dreptele nu sunt coplanare. De fapt, avem echivalenţa:

dreptele 1d şi 2d nu sunt coplanare dacă şi numai dacă 0≠Δ .2. Dacă 0=Δ , dreptele sunt coplanare.

În plus:a) Dacă nu există 0≠t astfel încât 12 taa = , 12 tbb = , 12 tc c = , atunci dreptele

1d şi 2d sunt concurente.

b) Dacă există 0≠t cu proprietatea că 12 taa = , 12 tbb = , 12 tc c = , atunci,avem două posibilităţi:

Prima posibilitate: nu există 0≠h , astfel încât

112112112 şi , hc z z hby y ha x x =−=−=−

În acest caz,21

|| d d .

A doua posibilitate: există 0≠h astfel încât

112112112 , , hc z z hby y ha x x =−=−=−

în acest caz, 21 d d = .

Teoremă. Se consider ă două drepte necoplanare 2,1 , =i d i :

i

i

i

i

i

i

c z z

by y

a x x d −=−=−:

1. Ecuaţiile perpendicularei comune sunt următoarele (i = 1, 2):

0

22

11

22

11

22

11

=

−−−

ba

ba

ac

ac

c b

c b

c ba

z z y y x x

i i i

i i i

2. Distanţa între dreptele 1d şi 2d are valoarea h , unde

2

22

11

2

22

11

2

22

11

222

111

121212

ac

ac

c b

c b

ba

ba

c ba

c ba

z z y y x x

h

++

−−−

=






1. a) Să se scrie ecuaţia planului care trece prin punctele( )0,0,0M , ( )0,1,0N , ( )1,0,0P .

Putem scrie această ecuaţie prin tăieturi?

b) Să se arate că planele de ecuaţii

04633:

02:

2

1

=−++

=++

z y x

z y x

α

α

sunt paralele.Care este distanţa dintre aceste plane?


Răspunsurilela test se vor

da în spaţiulliber dinchenar, încontinuareaenunţurilor.






c) În ce condiţii se intersectează planele de ecuaţii

04

04

=−−+

=−−+

z ty x

z y tx

după o dreaptă.Dacă intersecţia este o dreaptă, să se afle parametrii directori aidreptei de intersecţie.

d) Se consider ă planele de ecuaţii

0320

0

=++=−

=+

tz y x

y x

y x

În ce condiţii sunt concurente planele? În ce condiţii cele trei plane au o dreaptă comună?








e) Să se arate că următoarele patru ecuaţii reprezintă patruplane concurente

0

0

02203

=−

=−

=−+−=−++

z y

y x

z y x z y x

f) Pentru care valori ale lui t sunt coplanare punctele ( )0,0,1 ,

( )0,1,0 , ( )1,0,0 şi ( )t t t ,, ?








g) Să se calculeze volunul tetraedrului care are vârfurile înpunctele ( )0,0,11 A , ( )0,1,02 A , ( )1,0,03 A , ( )0,0,0O .

Identificaţi tetraedrul mai sus- menţionat.

h) Să se calculeze aria triunghiului ABC, unde ( )0,0,0 A , ( )0,0,1B ,

( )t t C ,,2 , R t ∈ . În ce caz este triunghiul degenerat (adică punctele A, B, C sunt coliniare) ?


Răspunsurilela test se vorda în spaţiul

liber dinchenar, încontinuareaenunţurilor.






i) Se consider ă planele de ecuaţii

032 =−+ z y tx

Să se determine cos unde este unghiul diedru format decele două plane.Pot coincide cele două plane? În ce caz sunt paralele? În ce caz sunt perpendiculare?

2. a) Să se scrie ecuaţiile dreptei care trece prin punctele ( )3,2,1 A şi

( )2,1,0B .

Răspunsurile la acest test se găsesc la pag. 281a acestei unităţi de

învăţare.







b) Să se scrie ecuaţiile dreptei care trece prin punctele( )2,1,0M şi ( )1,1,0 −N şi să se calculeze cosinusurile

directoare ale acestei drepte.

c) Să se scrie ecuaţiile parametrice ale dreptelor AB şi MNde la punctele a) şi b).


Răspunsurilela test se vorda în spa

ţiul

liber dinchenar, încontinuareaenun urilor.






d) Să se scrie ecuaţiile parametrice ale dreptei de ecuaţii

01

03

=+++

=+−

z y x

z y x

(adică ale dreptei de intersecţie a planelor de ecuaţii scrise maisus).

e) Se consider ă dreptele d (de parametrii directori 1, 1, 1) şi e(de parametrii directori 0, -1, 2). Ce unghi formează acestedrepte?








f) Se consider ă dreptele de ecuaţii parametrice

x = 3t, y = 4t, z = t

şi

t z t y t x +=−=+= 1 ,4 ,3

Să se arate că cele două drepte sunt concurente. Să secalculeze unghiul format de cele două drepte.

g) Să se scrie ecuaţiile dreptei normale la planul de ecuaţie

03 =−++ z y x

în punctul ( )1,1,1 .


Răspunsurilela test se vorda în spaţiulliber dinchenar, încontinuareaenun urilor.






h) Să se determine unghiul f ăcut de o dreaptă d de parametriidirectori 1, -1, 2 cu planul d de ecuaţie

01 =−++ z ty x

În ce condiţii este d paralelă cu α (sau conţinută în α ) ?Poate fi d perpendicular ă pe α ?

i) Să scrie ecuaţia planului determinat de dreptele de ecuaţiiparametrice:

t z t y t x d

t z t y t x d

+=−=+=

===

1 ,4 ,3:

,4 ,3:

2

1








j) Să se scrie ecuaţia planului determinat de dreptele paralele

222

23

1

2

1

z y x

z y x

==

=

−

=

−

k) Să se scrie ecuaţia planului determinat de dreapta

1: −== z y x d

şi punctul ( )1,0,1−M .


Răspunsurilela test se vorda în spaţiulliber dinchenar, încontinuareaenun urilor.






l) Care este distanţa de la punctul ( )1,0,1−M la dreapta1: −== z y x d ?

m) Fie a, b numere strict pozitive. Se consider ă dreptele 1d şi

2d date astfel:

1d de ecuaţii 0 ,1 ==+ z b

y

a

x

2d de ecuaţii x = 0, y = 0

Să se arate că dreptele 1d şi 2d nu sunt coplanare şi suntperpendiculare.Să scrie ecuaţiile perpendicularei comune şi să se calculezedistanţa între 1d şi 2d .

Răspunsurile la acest test se găsesc la pag.281 a acestei unităţi de învăţare.






2.3.3. Sfera

Având în vedere expresia distanţei între două puncte, considerând sfera caloc geometric al punctelor care au proprietatea că sunt la aceeaşi distanţă faţă de un punct fix, obţinem următoarea

Teoremă. Fie M (a,b,c ) un punct fix în 3R şi fie 0>R . Atunci, sfera Γ de centru M şirază R se poate exprima astfel:

( ) ( ) ( ) ( ) 2223 2 |,, R c z by a x R z y x =−+−+−∈=Γ

Egalitatea de mai sus se numeşte ecuaţia sferei. Menţionăm că sfera decentru M şi rază R se mai notează cu ( )R M S , sau ( )( )R c baS ,,, .

Deasemenea, ecuaţia sferei ( )R M S , mai poate fi scrisă astfel

0222 2222222 =−+++−−−++ R c bacz by ax z y x (*)

Ca şi la cerc, rezultă că, în general o ecuaţie de forma

( ) 0222 =++++++ E Dz Cy Bx z y x A (1)

cu 0≠ A reprezintă o sfer ă (veritabilă, degenerată, adică redusă la un punctsau imaginar ă, adică egală cu mulţimea vidă.

Anume, aducem (1) la forma echivalentă

0222 =++++++ A

E z A

Dy A

C x A

Bz y x (2)

adică

0222 =++++++ q pz ny mx z y x (3)

cu notaţiile evidente: A

Bm = ,

A

C n = ,

A

D p = ,

A

E q = .

Identificăm coeficienţii din (3) cu cei din (*) şi trebuie să avem

2222 şi2,2,2 R c baqc pbnam −++=−=−=−=

adică

qc baR −++= 2222

deci





q pnm

R p

c n

bm

a −++

=−=−=−=4

,2

,2

,2

2222 (4)

Sfera este veritabilă dacă şi numai dacă avem

q pnmq pnm

404222

222

>++⇔>−

++

Sfera se va reduce la un punct q pnm 4222 =++⇔

Sfera este imaginar ă q pnm 4222 <++⇔

Cu coeficienţii iniţiali din (1)

A

AE DC Bqc baR

A

Dc

A

C b

A

Ba

2

4 ,

2,

2,

2

222222 −++

=−++=−=−=−=

Sfera este veritabilă AE DC R 4222 >++⇔

Sfera se reduce la un punct AE DC R 4222 =++⇔

Sfera este imaginar ă AE DC R 4222 <++⇔

Exemple. 1. Ecuaţia

02222222 =+−−−++ z y x z y x

este ecuaţia unei sfere cu centrul în ( )1,1,1M şi raza R = 1 (are forma

( ) ( ) ( ) 11211 222=−+−+− y x )

2. Ecuaţia

03222222 =+−−−++ z y x z y x

reprezintă punctul ( )1,1,1M (este ecuaţia “sferei” redusă la punctul ( )1,1,1 ).3. Ecuaţia

04222222 =+−−−++ z y x z y x

este ecuaţia unei sfere imaginare (revine la





( ) ( ) ( ) 01111 222=+−+−+− z y x

4. Ecuaţia

02325222 222 =+++−++ z y x z y x

reprezintă ecuaţia sferei de centru ⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −−

4

3,

2

1,

4

5 şi, rază

4

22=R

Să reţinem că sfera cu centrul în originea (0,0,0) şi raza R are ecuaţia

2222 R z y x =++

Prin patru puncte necoplanare ( )i i i i z y x A ,, , i = 1,2,3,4, trece o sfer ă unică (determinată de cele patru puncte sau sfera circumscrisă tetraedrului

4321 A A A A ).

Teoremă. În condiţiile de mai sus, ecuaţia sferei determinate de punctele 1 A , 2 A , 3 A ,

4 A este

0

1

1

1

1

33323

23

23

22222

22

22

11121

21

21

222

=

++

++

++

++

z y x z y x

z y x z y x

z y x z y x

z y x z y x

Exemplu. Să consider ăm sfera circumscrisă tetraedrului 4321 A A A A , unde

( )0,0,11 A , ( )0,1,02 A , ( )1,0,03 A , ( )0,0,04 A .

Ecuaţia este

0

1000011001

10101

10011

1

222

=

++ z y x z y x

0

1001

0101

0011

222

=

++

⇔

z y x z y x

(dezvoltăm după linia 2)





0

101

011

100

010

222

=

++

+−⇔

z y z y x z y x

0

101

010

222

=

−++

+−⇔

z y y z y x

x

0222 =−−+++−⇔ z y z y x x

0222 =−−−++⇔ z y x z y x

Teoremă. (Reprezentarea parametrică a sferei)

Sfera de centru ( )c ba ,, şi rază R poate fi reprezentată parametric astfel:

θ

ϕ θ

ϕ θ

cos

sinsin

cossin

R c z

R by

R a x

+=

+=

+=

unde [ ]π θ ,0∈ şi [ ]π 2,0∈ .

Cu alte cuvinte:

( )( ) ( ) [ ] [ ]{ }π π θ θ ϕ θ θ 2,0,,0|cos,sinsin,cossin,,, ∈∈+++= R c R bR aR c baS

Înainte de a trece mai departe, să remarcăm că sfera ( )( )R c baS ,,, de centru

( )c ba ,, şi rază R este frontiera bilei de centru ( )c ba ,, şi rază R , notată

( )( ) ( ) ( ) ( )( ){ }R c baz y x R z y x R c baB ≤∈= ,,,,,dist|,,,,, 3 =

= ( ) ( ) ( ) ( ) 22223 |,, R c z by a x R z y x ≤−+−+−∈

Sfera împarte spaţiul 3R în trei regiuni:

( )( )R c baSSSR ext ,,,int3 ∪∪=

unde

( ) ( ) ( ) ( ) 22223int |,, R c z by a x R z y x S <−+−+−∈=

(punctele interioare sferei)( ) ( ) ( ) ( ) 22223 |,, R c z by a x R z y x t Sex >−+−+−∈=

(punctele exterioare sferei)





În continuare, discutăm despre intersecţia unei sfere cu o dreaptă şiprobleme de tangenţă.

Teoremă. O dreaptă dată parametric

p

z z

n

y y

m

x x d 000:

−=

−=

−

intersectează o sfer ă: sau în două puncte distincte, sau într-un singur punct(şi atunci este tangentă la sfer ă) sau în zero puncte (adică nu intersectează sfera).

Demonstraţia (metoda de găsire a intersecţiei este următoarea: scriem că punctul de pe dreaptă apar ţine sferei.

Punctul ( ) d z y x M ∈,, are coordonatele

tpz z tny y tm x x +=+=+= 000 ,, unde R t ∈ .

Căutăm să determinăm t astfel încât ( )( )R c baSM ,,,∈ , adică

( ) ( ) ( ) 220

20

20 R c tpz btny atm x =−++−++−+

Am obţinut o ecuaţie de gradul 2 în t (coeficientul lui 2t este0222 >++ pnm ) care se discută şi se rezolvă, vezi teorema.

Se poate ar ăta (acest fapt este intuitiv) că, dacă ( ) int000 ,, Sz y x ∈ , atunci d

intersectează sfera în două puncte distincte.

Exemplu 1. Consider ăm sfera de ecuaţie

( ) ( ) 112 222=+−+− z y x

Să vedem dacă dreapta

321: +=+=+ z y x d

o intersectează şi în ce puncte.

Aici 1=== pnm , 3,2,1 000 −=−=−= z y x .

Un punct curent al dreptei este

( ) ( )z y x t t t M ,,3,2,1 =−−+−+−

3

3121

3212

−−=

−=−+−=−

−=−+−=−⇒

t z

t t y

t t x





Căutăm t , astfel încât ( )z y x ,, să fie pe sfer ă, adică

( ) ( ) ( ) 02663127631333 22222=+−⇔=+−⇔=++−+− t t t t t t t

Această ecuaţie nu are r ădăcini reale!

Prin urmare, dreapta nu intersectează sfera.(Se constată că punctul ( ) ( )3,2,1,, 000 −−−=z y x este în exteriorul sferei:

( ) ( ) 133312 22220

20

20 >++=+−+− z y x ).

2. Aceeaşi sfer ă. Consider ăm dreapta d care trece prin punctele ( )0,1,2M şi

( )0,0,0O . Vom vedea că intersecţia cu sfera se compune din două puncte. Anume:

00

0

01

0

02

0:

−

−=

−

−=

−

− z y x d

Aşadar:12

y x = şi z = 0

Dreapta este dată parametric astfel:

x = 2t, y = t, z = 0

Înlocuim în ecuaţia sferei pentru a-l găsi pe t , deci punem condiţia( )∈0,,2 t t sfer ă:

( ) ( ) ( )5

11115010122 2222

±=−⇔=−⇔=−+−+− t t t t

5

51,

5

51 21 +=−= t t

Obţinem punctele de intersecţie

⎟⎟ ⎠

⎞

⎜⎜⎝

⎛

−− 0,5

5

1,5

52

21M şi ⎟⎟ ⎠

⎞

⎜⎜⎝

⎛

++ 0,5

5

1,5

52

22M

Observaţie. Am obţinut 21M M care este un diametru al sferei, deoarece

punctul ( )0,1,2M prin care trece dreapta noastr ă este exact centrul sferei.

3. Aceeaşi sfer ă.Să se determine în ce condiţii dreapta





p

z

n

y

m

x d

112:

−=

−=

−

este tangentă la sfer ă.

Se constată punctul ( ) ( )1,1,2,, 000 =z y x se găseşte pe sfer ă.

Dreapta d se scrie parametric astfel:

pt z nt y mt x +=+=+= 1,1,2

Punem condiţia ca punctul având coordonatele de mai sus să se afle pesfer ă:

( ) ( ) ( ) 111122 222=++−++−+ pt nt mt

( ) 022222 =+++ pt t pnm

O soluţie este 01 =t , care dă punctul de intersecţie ( ) ( )1,1,2,, 000 =z y x .

Cealaltă soluţie este dată de relaţia

( ) 02222 =+++ pt pnm

Dacă am avea 0≠ p , am obţine soluţia 02

2222 ≠

++

−=

pnm

pt şi,

corespunzător ei un al doilea punct de intersecţie

( ) 12222 1,1,2 M pt nt mt M ≠+++

şi dreapta d nu ar fi tangentă la sfer ă.

Aşadar, condiţia ca punctele de intersecţie să fie confundate ( )021 == t t este p = 0.

În definitiv, rezultă că toate tangentele la sfer ă în punctul ( )1,1,2 au forma

0

112:

−=

−=

− z

n

y

m

x d

adică au ecuaţiile parametrice

1,1,2 =+=+= z nt y mt x





unde 0≠m sau 0≠n .

Se constată că toate dreptele tangente se află în planul de ecuaţie z = 1 careeste tangent la sfer ă în punctul ( )1,1,2 .

Pentru a putea exprima rezultatele care urmează, vom considera sfera

( )( )R c baS ,,, de centru ( )c ba ,, şi rază 0>R şi vom mai scrie ecuaţia ei subforma

( ) ( ) ( ) ( ) 0,, 2222=−−+−+−= R c z by a x z y x f

Expresia ( ) ( ) ( ) ( ) 0,, 2222=−−+−+−= R c z by a x z y x f va fi folosită în

continuare.

Teoremă. Se consider ă punctele ( ) 2,1,,, =i z y x M i i i i . Atunci, dreapta 21M M este

tangentă sferei ( )( )R c baS ,,, dacă şi numai dacă avem

( ) ( ) ( )( ) ( )( )( )

( ) ( )( )

221 2 1 2 1 2

1 1 1 2 2 2, , , ,

x a x a y b y b z c z c R

f x y z f x y z

− − + − − + − − − =

=

În continuare, vom discuta despre intersecţia unei sfere cu un plan şiprobleme de tangenţă.

Teoremă. Se consider ă sfera ( )( )R c baS ,,, , un plan α de ecuaţie

0=+++ DCz By Ax

şi notăm cu d distanţa de la punctul ( )c ba ,, la planul α .

Avem următoarele situaţii

1. Dacă R d < , atunci α ∩d este un cerc (situat în planul α ) care are raza

egală cu 22 d R − şi este reprezentat prin ecuaţiile

( )

0

0,,

=+++

=

DCz By Ax

z y x f

2. Dacă R d = , atunci α ∩d este o mulţime formată dintr-un punct. În acestcaz, α este tangent la ( )( )c baS ,, .

Punctul de tangenţă este obţinut ca intersecţie a sferei cu dreapta normală laplan, care trece prin ( )c ba ,, , cu alte cuvinte, coordonatele punctului detangenţă verifică ecuaţiile





C

c z

B

by

A

a x −=

−=

− 000

( ) 0,, 000 =z y x f

3. Dacă R d > , avem α ∩d = mulţimea vidă.

Teoremă. Se consider ă sfera ( )( )R c baS ,,, şi un plan α de ecuaţie

0=+++ DCz By Ax

Există două plane tangente la sfer ă, care sunt paralele cu planul α .

Aceste două plane au ecuaţiile

( ) ( ) ( ) 222 C B AR c z C by Ba x A ++=−+−+−

şi

( ) ( ) ( ) 222 C B AR c z C by Ba x A ++−=−+−+−

Ecuaţia planului tangent la sfer ă într-un punct dat al sferei se obţine tot prindedublare, ca la cerc.

Teoremă. Fie sfera ( )( )R c baS ,,, şi ( ) ( )( )R c baSz y x ,,,,, 000 ∈ . Atunci ecuaţia planului

tangent la ( )( )R c baS ,,, în planul ( )000 ,, z y x este

( ) ( ) ( ) 0000000 =++−+−+−++ Dz z c y y b x x azz yy xx

(această ecuaţie se obţine prin dedublare din ecuaţia sferei

( ) 0222,, 2222222 =−+++−−−++= R c bacz by ax z y x z y x f

Exemplu. 1. Să scriem ecuaţia planului tangent la sfera S de ecuaţie

043222 =−++−++ z y x z y x

în punctul ( )1,2,1 −M .(Întâi se verifică faptul că SM ∈ ).

Ecuaţia cerută este

( ) ( ) ( ) ( ) 0412

12

2

11

2

3121 =−−++++−−⋅+⋅+⋅ z y x z y x





adică

0105 =++− z y x

2. Ca verificare a unor formule anterioare:a) Să calculăm ecuaţiile planelor tangente la sfer ă care sunt paralele cu

planul

0105 =++− z y x

Pentru a soluţiona problema, vom observa că sfera are centrul ⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −−

2

1,

2

1,

2

3 şi

raza2

27=R .

Apoi, 1,5,1 =−== C B A , deci 27222

=++ C B A .

Ecuaţiile cerute sunt

2

2727

2

27

2

11

2

15

2

31 ±=±=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ ++⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ +−⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ −⋅ z y x

Obţinem planele de ecuaţii

0105 =++− z y x

(“vechiul” plan tangent, găsit la exemplul anterior)

şi 0175 =++− z y x .

3. Consider ăm sfera de ecuaţie

09222 =−++ z y x

şi planul de ecuaţie

01=−++ z y x

Distanţa acestui plan până la centrul sferei este

33

1

111

1000222

=<=++

−++R

Intersecţia dintre sfer ă şi plan este cercul de ecuaţii

019

222

=−++−++

z y x z y x





care are raza egală cu3

26

3

19

3

13

2

2 =−=⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ − .

În continuare, câteva chestiuni despre intersecţia a două sfere şi problemede tangenţă.

Teoremă. Intersecţia a două sfere de ecuaţie

0222

02222222222

2222222

=−+++−−−++

=−+++−−−++

r w v uwz vy ux z y x

R c bacz by ax z y x

pentru care distanţa între centre este

( ) ( ) ( )222w c v buad −+−+−=

se prezintă astfel:

1. Dacă r R d r R +<<− , intersecţia este un cerc de ecuaţii

0222 2222222 =−+++−−−++ R c bacz by ax z y x

( ) ( ) ( )

( ) ( ) 0

22222222222 =−+++−+++

+−+−+−

r R c baw v u

z w c y v b x ua (*)

(Prima ecuaţie poate fi înlocuită cu ecuaţia celei de- a doua sfere. A douaecuaţie se obţine prin scăderea ecuaţiilor celor două sfere).

2. Dacă r R d += , cele două sfere sunt tangente exterior.

3. Dacă r R d −= , cele două sfere sunt tangente interior.

4. Dacă r R d O −<< sau r R d +> , cele două sfere nu se intersectează.

5. Dacă 0=d (centrele coincid) avem două posibilităţi:

- sau r R ≠ şi intersecţia este vidă - sau r R = şi cele două sfere coincid

Definiţie. În cazul în care cele două sfere nu coincid, ecuaţia (*) defineşte un plan,numit planul radical al celor două sfere.






1. a) Să se determine valorile parametrului real p pentru careecuaţia

0422222 =++−+++ pz y x z y x

defineşte o sfer ă veritabilă.

b) Să se scrie ecuaţia sferei care trece prin punctele(necoplanare! verificaţi!) ( ) ( ) ( ) ( )0,1,0,0,0,1,1,1,1,0,0,0 4321 A A A A .









2. a) Să se determine punctele în care intersectează sfera deecuaţie

4222 =++ z y x

dreapta

z y x d ==−1:

a) Să se scrie ecuaţiile tuturor tangentelor la sfera deecuaţie

1222 =++ z y x

care trec prin punctul ( )0,0,2 .

Răspunsurile la acest test se găsesc la pag.295 a acestei unităţide învăţare.


enunţurilor.






3. a) Să se scrie ecuaţia planului tangent la sfera de ecuaţie

0222 =+++++ z y x z y x

în punctul ( )1,1,1 −−− .

b) Se consider ă sfera S de ecuaţie

02222

=−++ x z y x

şi planul α de ecuaţie

0122 =+++ z y x

Să scriem ecuaţiile planelor tangente la sfera S şi paralelecu α .



enunţurilor.





APPENDIX. Avem şi în spaţiu o teorie similar ă cu teoria conicelor din plan. Anume, o suprafaţă a cărei ecuaţie este de gradul doi:

0222222 443424142313122

332

222

11 =+++++++++ az ay a x ayz a xz a xy az ay a x a

se numeşte cuadrică.

Cuadricele se studiază pe ecuaţiile lor canonice. De exemplu, dacă a, b, c sunt numere strict pozitive, cuadrica de ecuaţie

012

2

2

2

2

2

=−++c

z

b

y

a

x

se numeşte elipsoid. Observaţi că, dacă R c ba === , obţinem o sfer ă,care este un tip particular de cuadrică. Alte cuadrice sunt hiperboloizii şi,paraboloizii.

Ca şi la conice, ecuaţia generală se poate reduce la ecuaţia canonică, prinschimbări de axe. Nu insistăm. Se poate consulta [1].





2.4. Comentarii şi r ăspunsuri la testele de autoevaluare.

Test 1

1. a)

b)

c)

d)

e)

Orizontala y = 2 apar ţine figurii.Orizontala y = 3 nu apar ţine figurii!

Punctul (1,0) nu apar ţine figurii.

Punctul (1,1) apar ţine figurii.

Intersectaţi figurile de la a) şi b)!.





2. Prima variantă

A(0,0)B(L,0)C(L,h)

D(0,h)

A doua variantă

( )ba A −− ,

( )baB −,

( )baC ,

( )baD ,−

Test 2

1. a)

axa Ox are ecuaţia y =0Pentru reprezentarea lui 4d :

( )1,010 −⇒−=⇒= y x pe dreaptă

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ ⇒=⇔=⇔= 0,

2

1

2

1120 x x y pe dreaptă

(Se mai poate lua x = 2 (mare) ⇒ y = 3 ⇒ (2,3) pe dreaptă, pentru precizie).

Pentru reprezentarea lui 5d (trece prin origine):

( )0,000 ⇒=⇒= y x pe dreaptă

( )4,242 −⇒−=⇒= y x pe dreaptă





Pentru reprezentarea lui 6d

( )2,020 ⇒=⇒= y x pe dreaptă

( )0,330 ⇒=⇒= x y pe dreaptă

b) Există o singur ă dreaptă verticală în familia cerută, anume dreapta de ecuaţie

1: =∞ x d

Celelalte drepte din familie (care nu sunt verticale) au ecuaţiile de forma( )12: −=− x my d m

unde R m ∈ .

Aşadar, mulţimea cerută este

{ } { }R md d m ∈∪∞ |

c) În cazul A(1,1), B(2,3) scriem ecuaţia sub forma

( )23: −=− x my d

(deoarece ( ) d ∈3,2 ). Căutăm m cu proprietatea că şi ( ) d A ∈1,1 , adică

( ) 21

22131 =

−

−=⇒−=− mm

şi ecuaţia este( ) 012223 =−−⇔−=− y x x y

În cazul A(1,1), B(2,1) putem proceda ca înainte: ecuaţia are forma

( )11: −=− x my d

(dreapta trece prin A(1,1)). Apoi( ) ( ) 012111,2 =⇒=−=−⇔∈ mmmd B

Ecuaţia este1: =y d

Atenţie: deoarece 1== B A y y , puteam scrie direct că ecuaţia este y = 1.





În cazul A(1,1), B(1,2) observăm că 1== B A x x .Ecuaţia are forma

1: = x d

(dreapta este verticală)

Puteam folosi ecuaţia unitar ă

( )( ) ( )( ) AB A AB A x x y y y y x x d −−=−−:

De exemplu, în cazul A(1,1), B(1,2).

( )( ) ( )( ) 1010111121 =⇒=−⇒=−−=−− x x y x

d) Scriem ecuaţia dreptei AB

( )( ) AB A y y x x −− = ( )( ) AB A x x y y −− ⇔ ( ) ( )( )241 −−− x = ( )( )( )122 −−−y ⇔

( ) 216 +=− y x

Condiţia de coliniaritate înseamnă: C(p,p) apar ţine dreptei, adică

( )5

885216 =⇔=⇔+=− p p p p

e) Avem 20 =⇒= y x , deci (0,2) apar ţine dreptei.

Apoi:

x y x y y x 3

22263632 −=⇔−=⇔=+

Deoarece (0,2) apar ţine dreptei, putem lua reprezentarea parametrică

R t t y

t t x

∈−=

=+=

,3

22

0

(Mai “teoretic”: dacă

( ) 0:, 00 =++∈ c by ax d y x

atunci se ia una din reprezentările parametrice următoare:

at y y

bt x x

−=

+=

0

0 sau 0

0 ,

x x bt

y y at t R

= −

= + ∈

Aici, prima reprezentare, cu ( ) ( )2,0, 00 =y x ne dă t x 3= , t y 220 −= .





f) Procedura folosită este numită “eliminarea parametrului”

2

11221

−=⇒−=⇒+=

x t x t t x

şi această valoare se introduce în

t y 31−−=

Obţinem

( ) 012313222

131 =−+⇔−−−=⇔

−−−= y x x y

x y

g) Ecuaţia

( ) ( ) 01223: =−−−++ t y t x t d t

reprezintă efectiv o dreaptă, deoarece nu putem avea simultan

03 =+t şi 02 =−t

Scriem t d grupând în funcţie de t :

( ) ( ) 02123: =−++−− y x t y x d t

Dreptele de ecuaţii

02

0123

=−=

=−−

y x

y x

se întâlnesc în punctul (1,1) care este soluţia sistemului pe care îl formează.Rezultă că toate t d trec prin (1,1).

2. a) Dacă determinantul

1 1

1

2 −== t t

t

D

este în situaţia 0≠D , atunci dreptele sunt concurente.Dacă 0=D , adică 1=t sau 1−=t , vom studia cele două cazuri.Pentru 1=t , avem dreptele

02 =−+ y x şi 02 =−+ y x

deci cele două drepte sunt confundate.





Pentru 1−=t , avem dreptele

02

02

=−−

=−+−

y x

y x

care sunt paralele.

b) Ecuaţia

01052: =−− y x d

are 2=a , 5−=b , deci parametrii directori ai lui d sunt 5 şi 2.

Reprezentarea parametrică a dreptei cerute va fi

R t t y

t x

∈+=

+=

,21

51

Reprezentarea carteziană:

( ) 035212555

121

5

115 =+−⇔−+=⇒

−+=⇒

−=⇒−= y x x y

x y

x t x t

c) Determinatul

0

22

1

111

=

−

−

−

=Δ

t

t t

pentru orice R t ∈ .

Trebuie să studiem minorii de ordin 2 ai matriciei

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

2

1

11

t

t

care sunt

1 1

11 −= t

t , 22

2

1 t t

t −= şi t

t −= 2

2

11

Prima concluzie: dreptele 1d , 2d , 3d sunt concurente dacă şi numai dacă





2,2,2,1\ −∈ R t

Celelalte cazuri se studiază separat.

Cazul 1=t . Dreptele devin:

022:

01:01:

3

2

1

=−+

=−+

=−+

y x d

y x d

y x d

Deci: 21 d d = şi 3d este concurentă cu 21 d d = .


0222:022:

01:

3

2

1

=−+=−+

=−+

y x d

y x d

y x d

Se vede că 31 d d = şi 2d este concurentă cu 31 d d = .


0222:

022:

01:

3

2

1

=−+

=−+

=−+

y x d

y x d

y x d

Se vede că 32 d d = şi 1d este concurentă cu 32 d d = .

Cazul 2−=t . Dreptele devin:

0222:

022:

01:

3

2

1

=−+−

=+−

=−+

y x d

y x d

y x d

Din nou 32 d d = şi 1d este concurentă cu 32 d d = .

În toate cazurile, punctul (0,1) apar ţine tuturor dreptelor.

3. a) Scriem ecuaţia carteziană a dreptei. Avem succesiv

( ) 01434324 =−+⇔−+=⇒−= y x y x y t

Distanţa de la A la d este





1010

10

31

1413122

==+

−⋅+

Dacă ( )t t M −+ 4,32 este un punct curent, distanţa AM este

( ) ( )22 14132 −−+−+= t t AM = ( ) ( )22 313 −++ t t = ( )110 2 +t

(Se confirmă şi pe această cale că distanţa de la A la d este distanţa minimă între A şi un punct curent M . Ea se obţine pentru 0=t , corespunzător punctului

( ) d M ∈4,2 , care este piciorul perpendicularei din A pe d).

b) Avem Ox A A =21 , prin urmare 3 A este coliniar cu 1 A şi 2 A dacă şi numai dacă

0=a .

Pentru 0≠a , aria triunghiului 321 A A A este egală cu D

2

1, unde

a

a

D =

−

=

01

101

100

Aşadar, ( )2321

a A A AS = .

Când ( ) 0,, ,0 321 →→ A A ASa

c)

Se vede în figur ă că avem patru unghiuri, două câte două opuse la vârf, cu patrubisectoare, două câte fiind semidrepte opuse cu originea în M .Un punct A(x,y) se găseşte pe una din cele două drepte suport ale bisectoarelordacă şi numai dacă distanţele lui A la dreptele 21 d şi d sunt egale, adică dacă şinumai dacă

22

22

222

21

21

111

ba

c y b x a

ba

c y b x a

+

++=

+

++





Echivalent:

22

22

222

21

21

111

ba

c y b x a

ba

c y b x a

+

++=

+

++ sau

2222

222

2121

111

ba

c y b x a

ba

c y b x a

+

++−=

+

++

Aplicaţia: ecuaţiile sunt

1

3

94

632 −±=

+

−− x y x

adică avem ecuaţiile

( )( ) 013363132

013363132

=−−−+

=+−−−

y x

y x

Ecuaţiile carteziene sunt

0: =+− i i i ny x md

Atunci: ⇔21 || d d există 0≠t cu proprietatea că

12 tmm = , ( )11 −⋅=− t , 12 tnn ≠ .

Din a doua relaţie rezultă t = 1, din prima rezultă 12 mm = etc. Apoi:

( )( ) 01011 212121 =+⇔=−−+⇔⊥ mmmmd d etc.

e) Avem de calculat raportul

2

1

MM

MM t =

Ştim (cu notaţii evidente) că avem

t

tx x x M

−

−=

121 ,

t

ty y y M

−

−=

121 .

Deoarece d M ∈ , va rezulta că

0=++ c by ax M M

adică





011

2121 =+−

−+

−

−c

t

ty y b

t

tx x a

sau( ) 02211 =−−−+++ c by ax t c by ax

de unde rezultă totul.

Test 3

1. a) Ecuaţia cerută este

0

1101 1011

1000

1

22

=

+ y x y x

adică 0

101

011

22

=

+ y x y x

adică 022 =−−+ y x y x

b) Condiţia din enunţ, echivalează cu faptul că ( ) == R d C ,dist raza cercului (care,deocamdată, este necunoscută).

( ) 65

56

43

55453,dist

22=

⋅=

+

−⋅+⋅=d C

Ecuaţia cerută este

( ) ( ) 36655 222==−+− y x

c) Centrul unui cerc se găseşte pe mediatoarea oricărei coarde. Aici avem coarda AB. Mijlocul ei este ( )1,1U . Coeficientul unghiular al lui AB este

3

1

42

2−=

−−=

−

−

AB

AB

x x

y y

Prin urmare, coeficientul unghiular al mediatoarei lui AB este 3. Ecuaţia acesteimediatoare este





( ) 023131: =−−⇔−=− y x x y u

De asemenea, centrul se va găsi pe perpendiculara pe Ox în punctul de tangenţă A(4,0), perpendicular ă de ecuaţie 04: =− x u .

Intersectând u cu v, obţinem

100243 =⇒=−−⋅ y y

Prin urmare, centrul, care se va găsi la intersecţia lui u cu v , va fi punctul C (4,10).Evident, raza este egală cu 10.Ecuaţia cerută este

( ) ( ) 10010104 222==−+− y x

2. a) Cercul se scrie

( ) 11 22=+− y x

deci are centrul ( ) ( )0,1, =ba şi raza R = 1.Tangentele paralele cu o dreaptă de ecuaţie

nmx y d +=:

au ecuaţiile

( ) 21 mR a x mby +±−=−

La noi, avem dreapta de ecuaţie y = x , deci m = 1. Tangentele cerute au ecuaţiile

( ) 111 +±−= x y

adică ( ) 21 ±−= x y

adică: 021 =+−−

y x şi 02 =−−

y x

b) Distanţa de la A la centrul O este

( ) ( ) =≥===−+− 122200 222t t t t t raza cercului, deci problema are sens.





Dacă 2

2=t , rezultă că punctul A este pe cerc. Avem o singur ă tangentă, a cărei

ecuaţie o obţinem prin dedublare:

1

2

2

2

2=⋅+⋅ y x

adică

2=+ y x

Dacă 2

2>t , vom avea două tangente. Ele nu pot fi verticale decât dacă t = 1. În

acest caz, punctul este A(1,1) şi se vede imediat tangentele respective sunt

1:1 = x d şi 1:2 =y d

Fie acum 1 ,2

2≠> t t . Tangentele duse prin A sunt oblice şi au ecuaţia de forma

21 mmx y ++=

Punem condiţia să treacă prin A(t,t), de unde rezultă

⇔+=−+⇔+=−⇔++=

2222222

1211 mmt t mt mmt t mmt t ⇔ ( ) 0121 2222 =−+−− t mt mt

Este o ecuaţie de gradul doi în m cu r ădăcinile

1

122

22

2,1−

−±=

t

t t m

(Atenţie! Avem, din condiţiile impuse, 012 2 >−t )Cele două tangente vor avea ecuaţiile

2,1 ,1 2 =++= i m x my i i





Test 4

1. a)

Luăm Ox = d , Oy = e. Am notat MB = a şi notăm MA = b (deci 0>−= ahb ).

Deoarece a

b

MB

MA

−=

Rezultă că vom avea

ba

au

a

b

x a

b x

x B A

M +

=

+

+=

1

ba

bv

a

b

y a

b

y y

B A

M +

=

+

+=

1

Faptul că avem mereu AB = h = a + b se exprimă prin

( )222 bav u +=+

Rezultă că

( )1

2

22

2

2

2

2

=+

+=+

ba

v u

b

y

a

x M M

Locul geometric este elipsa de ecuaţie canonică

12

2

2

2

=+b

y

a

x

Proprietatea se foloseşte la construcţia elipsografului.





b) Necunoscutele sunt semiaxele a şi b. Trebuie să avem

146

2

2

2

2

=+ba

şi b = 5

Prin urmare, scriind Aa =2

1

100

112549162525361

25

1636 =⇒=⋅⋅⇒=−=⋅⋅⇔=+ A A A A

deci a = 10

Elipsa cerută are a = 10, b = 5 deci are ecuaţia

125100

22

=+

y x

Ecuaţia tangentei în A(6,4) este

5083125

4

50

31

25

4

100

6=+⇔=+⇔=

⋅+

⋅y x

y x y x

2. a) Scriem 82 −= x y şi intersectăm cu ecuaţia hiperbolei. Obţinem

( )136

82

25

22

=

−

−

x x

⇔

⇔ ( ) 3625822536 22 ⋅=−− x x ⇔

⇔ ( ) 3625442536 22 ⋅=−⋅− x x ⇔

⇔ ( ) 9254259 22 ⋅=−− x x ⇔

⇔ 0162592520016 2 =⋅+⋅+− x x ⇔

⇔ ( ) ( ) 02542254 22=⋅⋅−+ x x ⇔

⇔ ( ) 0254 2=− x ⇔

⇔4

25= x

Rezultă 2

98

2

25=−=y





Dreapta noastr ă intersectează hiperbola într-un singur punct, anume ⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛

2

9,

4

25.

În acelaşi timp, avem5

6=

a

b

Deci dreapta noastr ă nu este paralelă cu asimptotele (care au coeficienţii unghiulari

a

b± ). Deci dreapta este tangentă.

b) Ecuaţia este

12

2

2

2

=−b

y

a

x

Avem

12536

22 =−ba

În acelaşi timp, dreapta trebuie să aibă forma (tangenta scrisă prin dedublare)

156

22 =−b

y

a

x

Aşadar, dreptele de ecuaţii

0156

0182

830823

22 =−−

=−−⇔=−−

y b

x a

y x y x

coincid. Deci trebuie să avem

8

362

=a

şi4

152

=b

Avem deci 162 =a (a = 4) şi 202 =b ( 52=b ).Hiperbola are ecuaţia

12016

22

=− y x





3. a) Ecuaţia tangentei de coeficient unghiular m este

m

pmx y

2+= (1)

Tangenta perpendicular ă pe ea are coeficientul unghiular m

1

− , deci are ecuaţia

2

1 mp x

my −−= (2)

Un punct M(x,y) apar ţine locului L dacă şi numai dacă satisface simultan (1) şi (2),adică se află simultan pe două tangente perpendiculare. Aşadar,

( ) ⇔∈ Ly x ,

22 p

x mmy += şi 2

2 pm

x my −−=

⇔−−=+⇒22

22 pm

x p

x m

( ) ( ) 012

1 22 =+++⇔ m p

x m

( ) 02

12 =⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ ++⇔

p x m

20

2

p x

p x −=⇔=+⇔

M ⇔ apar ţine directoarei

Am ar ătat că L este inclus în directoarea parabolei.

Invers, dacă luăm un punct ⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ − 0,

2 y

pM de pe directoare, vom ar ăta că din el putem

duce tangente perpendiculare, ceea ce va încheia demonstraţia.

Tangenta dusă din ⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ − 0,

2 y

p are ecuaţia

⇔+⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −=m

p pmy

220

⇔+−=⇔ p pmmy 202

02 02 =−+⇔ pmy pm

012 02 =−+⇔ m p

y m (1)





Ecuaţia are două r ădăcini reale distincte, de forma

12

002,1 +⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ±−=

p

y

p

y m

Produsul 121 −=mm , după cum rezultă din (1). Deci putem duce două tangenteperpendiculare din M etc.

b) Parabola are ecuaţia

px y 22 =

şi tangenta de coeficient unghiular m are ecuaţia

m

pmx y

2

+=

La noi, dreapta are ecuaţia

22

3+= x y

deci

2

3=m şi 2

2

=

m

p, deci 6= p

Aşadar, parabola este de ecuaţie

x y 122 =

Punctul de tangenţă rezultă din intersecţia cu dreapta de ecuaţie

3

42 −=

y x

Înlocuind în ecuaţia parabolei:

( ) ( ) 4040168424 222 =⇔=−⇔=+−⇔−= y y y y y y

Aşadar, din px y 22 = deducem3

41216 =⇒= x x .

Punctul de tangenţă este ⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ 4,

3

4.





Test 5

1. a) Ecuaţia este

0

1100

1010

1000

1

=

z y x

adică 00

100

010 =⇔= x

z y x

Aşadar, am obţinut planul yOz .

Nu putem scrie ecuaţia prin tăieturi, deoarece planul trece prin origine.b) Coeficienţii ecuaţiilor celor două plane sunt:

11 = A 11 =B 21 =C , 01 =D

32 = A 32 =B 62 =C , 42 −=D

deci, formal

11

2

1

2

1

2 43 DC

C

B

B

A

A −

≠===

Pentru a calcula distanţa, luăm, de exemplu, punctul ( ) 10,0,0 α ∈M .

Distanţa de la M la 2α este

63

4

4113

400022

22

22

2222=

++=

++

+⋅+⋅+⋅

C B A

DC B A

Ca verificare, putem calcula şi distanţa de la punctul ⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛

3

2,0,0N la planul 1α .

c) Minorii care trebuie să fie testaţi sunt

t t

+−=−

−1

1

11 , t

t +−=

−

−1

11

1 , 1

1

1 2 −= t

t

t

Dacă t = 1 toţi minorii sunt nuli şi intersecţia nu este o dreaptă (de fapt, în acest caz,cele două plane coincid).





Dacă 1≠t , cele două plane se intersectează după o dreaptă. Parametrii ei directorisunt

1 ,1 ,1 2 −−− t t t .

d) Avem concurenţă dacă şi numai dacă determinantul matriciei coeficienţilor

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−=Δ

32

011

011

t

este nul. Acest determinant este egal cu t 2− .Prin urmare, planele sunt concurente dacă şi numai dacă 0≠t . În cazul t = 0, matricea Δ devine

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ −

032

011 011

şi are determinantul nul.

Folosind primele două coloane, avem minori nenuli cu fiecare pereche de linii:

0 11

11 ≠

− 0

32

11 ≠

− 0

32

11 ≠

Bordările celor 3 minori de mai sus sunt

0

032

011

011

=− 0

011

032

011

=

−

0

011

032

011

=

−

şi dau determinanţi nuli.Prin urmare, cele trei plane au o dreaptă comună dacă şi numai dacă t = 0.

e) Din matricea coeficienţilor

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

1-10

01-1

11-2

111





minorul format cu liniile 2, 3, 4 este egal cu 02 ≠ .

Apoi, determinantul matriciei

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−

−−

−

0110

0011

2112

3111

este nul (se dezvoltă după linia a treia).

f) Condiţia de coplanaritate este

0

11100

1010

1001

=

t t t

Echivalent

0

01

0101

0011

1001

=

−

−

−

t t t

adică 0

1

101

011

=

−

−

−

t t t

adică 013 =−t

Valoarea căutată este3

1=t .

g) Volumul căutat este D unde

1

100

010

001

1000

1100

1010

1001

===D





Tetraedrul este cubul unitate având drept vârfuri mulţimea

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }1,1,1,1,0,1,1,1,0,0,1,1,1,0,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0

h) ( ) 222

2

1,, P N M C B AS ++= unde

t

t

M ==

12

101

100

, 0

1

100

100

==

t t

N şi t

t

P −==

12

110

100

( )2

2

2

1,, t C B AS ==

Punctele sunt coliniare dacă şi numai dacă t = 0.

i)132

33

9411

32cos

2222 ++

−=

++++

−+=

t t

t

t t

t t ϕ

Cele două plane nu pot coincide, deoarece primul plan nu trece prin origine, iar aldoilea trece prin origine.Condiţia de paralelism ar fi următoarea: există un număr nenul a cu proprietatea:

at ⋅= 1 , at =2 , a⋅=− 13

adică

( )( ) 9332 ,33 =−−=−=⇒−= t a fals.

Prin urmare, planele nu pot fi paralele.Condiţia de perpendicularitate: 10cos =⇔= t

2. a)32

3

21

2

10

1

−

−=

−

−=

−

− z y x

sau 321 −=−=− z y x

b)12

1

11

1

00

0

−

−=

+

+=

−

− z y x

Ecuaţiile sunt

0= x şi 12

1−=

+z

y





Parametrii directori sunt

1 ,2 ,0 === c ba

5222 =++ c ba

Avem cosinusurile directoare

5

1 ,

5

2 ,0

sau5

1- ,

5

2-,0

c) AB trece prin ( )3,2,1 A parametrii directori 1,1,1. Ecuaţiile parametrice ale lui AB sunt

t z t y t x +=+=+= 3 ,2 ,1

MN trece prin ( )2,1,0M şi are parametrii directori 0,2,1. Ecuaţiile parametrice sunt

t z t y x +=+== 2 ,21 ,0

Folosind cosinusurile directoare, avem ecuaţiile parametrice

t z t y x

5

12 ,

5

21 ,0 +=+==

d) În primul rând, căutăm un punct al dreptei. Luând 0= x , obţinem pentru y şi z sistemul

1 şi 0 −=+=+− z y z y

deci2

1−== z y . Aşadar, dreapta de intersecţie trece prin ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ −−

2

1,

2

1,0 .

În al doilea rând, parametrii directori rezultă din matricea

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

111

11-3

Aceşti parametrii directori sunt

2 11

11 −=

−, 2

11

31 −= , 4

11

13 =

−

Ecuaţiile parametrice sunt:





t z t y t x 42

1 ,2

2

1 ,2 +−=−−=−=

e) Dacă este măsura unghiului format, avem

( )15

1

410111

211101cos =++⋅++

⋅+−⋅+⋅

=ϕ

Aşadar, dreptele fac între ele unghiul de măsur ă 15

1arccos .

f) Trebuie ar ătat că putem determina dacă valori m şi n ale parametrului t, care să dea valori egale pentru x, y, z din cele două reprezentări.Mai precis, dacă ( ) 3

000 ,, R z y x ∈ este punctul comun al celor două drepte,

înseamnă că există R nm ∈, astfel încât:

baz

bay

ba x

+==

−==

+==

1

44

33

0

0

0

Egalităţile

ba

ba

ba

+=

−=

+=

1

44

33

formează un sistem care trebuie ar ătat că este compatibil. Obţinem succesiv:

4

4 ,

3

3 ba

ba

−=

+=

deci

0434

13

14

44

3

3=⇔−=⇔−=+⇔

−=

+b

bbbbb

Atunci, cu b = 0, ecuaţiile devin

1

144

133

=

=⇒=

=⇒=

a

aa

aa

În definitiv, punctul comun ( )000 ,, z y x cu





1 ,4 ,3 000 === z y x

Pentru calculul unghiului:

( )0111141

111413

cos 2 =++++

⋅+−⋅+⋅

=ϕ

Prin urmare, cele două drepte sunt perpendiculare.

g) Dreapta normală va avea parametrii directori 1,1,1 deci are ecuaţiile parametrice

t z t y t x +=+=+= 1 ,1 ,1

h) Dacă este măsura unghiului f ăcut de d cu α , avem

( )

( )26

3

11141

12111sin

22 +

−=

++++

⋅+−+⋅=

t

t

t

t ϕ

Dreapta este paralelă cu planul 3=⇔ t .

Apoi: ⇔=⇔=⇔⊥ 1sin2

ϕ π

ϕ α d

( ) ( ) ( )263263 222 +=−⇔+=− t t t t

⇔+=+−⇔ 12696 22 t t t

0365

2

=++ t t Această ecuaţie nu are soluţii reale. Prin urmare, dreapta d nu poate fi niciodată perpendicular ă pe α .

i) Am văzut că cele două drepte sunt concurente în punctul ( )1,4,3 .Planul căutat are ecuaţia

0

111

143

143

=

−

−−− z y x

adică

( ) ( ) ( ) ( ) 04331441334 =−−−+−−−+−−− y x z y z x

adică

0725 =−− z y x





j) Ecuaţia este

0

232

011 =

z y x

adică

02232 =−−+ y z z x

adică

022 =+− z y x

k) Parametrii directori sunt egali cu 1. Prin urmare, ecuaţia cerută este

0

111

001

1

=−

−z y x

adică

( ) 01 =−− z y

adică

01=+− z y

l) Distanţa cerută este

( )3

2

111

11

01

11

10

11

00

,dist222

222

=++

−+

−+

=d M

m) Trebuie să scriem dreptele sub formac z z

by y

a x x 000 −=−=− .

Dreapta 1d trece prin punctul ( )0,,01 bM .Din relaţia

1=+b

y

a

x

adică

abay bx =+





deducem

b x a

by +−=

Rezultă

x a

bby −=−

Obţinem

11 −=

−⇔=

−

− x

a

b

by x

a

b

by

Avem deci ecuaţiile lui 1d :

01

z

a

b

by x =

−=

−

(deci 0 , ,0 111 === z by x

0 , ,1 111 ==−= c a

bba )

Pentru Oz d =2 , parametrii directori sunt 0, 0, 1.Vom lua un punct oarecare ( )c M ,0,02 cu 0>c prin care trece 2d .

Avem ecuaţiile lui 2d :

100

c z y x −==

(deci c z y x === 222 ,0 ,0

1 ,0 ,0 222 === c ba )

Testăm coplanaritatea

0

100

01

0000

<−=−

−−−

=Δ ba

bc b

deci dreptele nu sunt coplanare.

Avem 033221121 =++⇔⊥ bababad d ceea ce este adevărat.





Ecuaţiile perpendicularei comune:Prima:

0

00

1 01

1-0

10

0

01 =

−

−

−

a

b

a

ba

bz by x

0

01

01 =−

−

⇔

a

ba

bz by x

0012

2

=⇔=⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−⇔ z z

a

b

A doua:

0

01

100 =−

a

b

c z y x

00 =−⇔=−⇔ by ax y a

b x

Aşadar, ecuaţiile perpendicularei comune sunt

⎩⎨⎧

==−

00

z by ax

(Este o dreaptă plasată în planul xOy . Cititorul va verifica faptul că ea esteperpendicular ă pe 1d în xOy .

Perpendicularitatea pe Oz d =2 este evidentă, deoarece dreapta găsită este înplanul xOy , perpendicular pe Oz ).

Distanţa între cele două drepte este egală cu h , unde





22

2

222

1

100

01

00

ba

ab

a

ba

b

ab

a

bc b

h+

−=+

−=

+⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛

−

−−

=

Aşadar, distanţa între dreptele 1d şi 2d este egală cu22 ba

ab

+.

Test 6

1. a) Ecuaţia se scrie

( ) ( ) ( ) 6211 222 +−=++−++ pz y x

Aşadar, condiţia este 606 <⇔>+− p p

b) Verificarea se lasă cititorului (a se vedea subparagraful 2.3.2).

Ecuaţia este

0

10101

10011

11113

10000

1zyxzyx

222

=

++

0

0101

00111113

222

=

++

⇔

z y x z y x

0

011

113

001

111

222

=

++

−−⇔

z x z y x z y x

0222

=−−−++⇔ z y x z y x

2. a) Varianta 1 (standard)

Dreapta se mai scrie parametric:

t z t y t x ==+= , ,1

Ducem în ecuaţia sferei:

( ) 0323412222

=−+⇔=+++ t t t t t





Soluţiile sunt3

10112

±−−=t

Obţinem perechea de puncte

⎟⎟ ⎠

⎞

⎜⎜⎝

⎛ +−+−+

3 101,3 101,3 1021M

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ −−−−−

3

101,

3

101,

3

1022M

Varianta 2

Înlocuim în ecuaţia sferei

1−== x z y

Obţinem ecuaţia

( ) 0243412 222 =−−⇔=−+ x x x x

3

10212

±= x etc.

b) Ecuaţiile parametrice ale unei astfel de drepte suntct z bt y at x ==+= , ,2

unde a, b, c sunt parametri directori (necunoscuţi).

Introduşi în ecuaţia sferei, conduc la ecuaţia

( ) ( ) 03412 222222222=++++⇔=+++ at t c bat c t bat

Este indicat să folosim cosinusuri directoare (deci căutăm parametri directori cuproprietatea

1222 =++ c ba ) Atunci, ecuaţia devine

0342 =++ at t Este necesar să obţinem pentru t soluţie dublă, pentru ca intersecţia cu sfera să fief ăcută într-un singur punct. Condiţia este

2

3034 2 ±=⇔=− aa

62

3cos

2

3 π =⇒=⇒= uua





6

5

62

3cos

2

3 π π π =−=⇒−=⇒−= uua

Aici u este unghiul f ăcut de tangenta noastr ă cu axa Ox .

Remarcăm că acum, condiţia 1222 =++ c ba devine4

122 =+ c b .

Răspunsul este următorul:O tangentă care trece prin (2,0,0) poate avea ecuaţiile parametrice

R t ct z bt y t x ∈==+= , , ,2

32

sau

R t ct z bt y t x ∈==−= , , ,2

32

unde b, c sunt fixate cu condiţia

4

122 =+ c b

O analiză atentă (schimbăm pe t cu t − ) ne conduce la r ăspunsul final:Mulţimea tangentelor cerute este

( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=+∈Τ4

1 ,,|, 22 c bR c bc b

unde ( )c b,Τ este dreapta de ecuaţii parametrice

R t ct z bt y t x ∈==+= , , ,2

32 .

3. a) Ecuaţia sferei se scrie

0

2

12

2

12

2

12222 =⎟

⎠

⎞⎜

⎝

⎛ −−⎟

⎠

⎞⎜

⎝

⎛ −−⎟

⎠

⎞⎜

⎝

⎛ −−++ y y x z y x

Centrul este punctul ⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −−−

2

1,

2

1,

2

1 iar punctul de pe sfer ă este

( ) ( )1,1,1,, 000 −−−=z y x

Ecuaţia planului tangent (dedublare) este

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 012

11

2

11

2

1111 =−⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ −−−⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ −−−⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ −−−+−+− z y x z y x

adică 03 =+++ z y x

b) Ecuaţia sferei se scrie( ) 11 222

=++− z y x

deci centrul este punctul ( ) ( )0,0,1,, =c ba , raza este R = 1.Coeficienţii planului α sunt A = 1, B = 2, C = 2. Avem

9441222 =++=++ C B A

deci 3222 =++ C B A

Ecuaţiile cerute sunt





( ) ( ) ( ) 31020211 ⋅±=−+−+− z y x

Deci prima ecuaţie este

04223221 =−++⇔=++− z y x z y x

A doua ecuaţie este

02223221 =+++⇔−=++− z y x z y x



1 punct din oficiu

1,5 p. 1. Ar ătaţi că dreptele 3,2,1 , =i d i , de ecuaţii

033: ,0: ,01: 321 =−+=−−=−+ ty x d t y tx d y x d

sunt concurente dacă şi numai dacă { }3,1\ −∈ R t . Ce se întâmplă în celelaltecazuri?

1,5 p. 2. Să se afle locul geometric al punctelor din planul unui cerc de unde se pot ducetangente perpendiculare la acel cerc.

1,5 p. 3. Se consider ă două puncte distincte A, B şi un număr 1 ,0 ≠> p p .Să se arate că locul geometric al punctelor M din planul lui A şi B care auproprietatea că

pMB

MA=

este un cerc (cercul lui Apollonius ataşat punctelor A, B şi raportului p).

1,5 p. 4. Se consider ă o elipsă de focare F şi F’ . Să se demonstreze proprietatea optică a elipsei: pentru orice punct M al elipsei, normala la elipsă în M este bisectoareaunghiului 'FMF f ăcut de razele vectoare MF şi MF ’. În acest enunţ, se admite că bisectoarea unghiului nul coincide cu laturile unghiului.(Reamintim că normala la elipsă (mai general, la o curbă) în M este dreaptaperpendicular ă pe tangenta la elipsă în M ).





Notă. Proprietatea optică a elipsei se interpretează astfel: o rază de lumină care aredrept sursă (punctuală) focarul F este reflectată de o oglindă elipsoidală în celălaltfocar F’ .

1,5 p. 5. Se consider ă o hiperbolă echilater ă E având centrul O şi focarele F şi F’ .Să se arate că, pentru orice punct M al lui E , distanţa OM este medie geometrică

între razele vectoare FM şi F’M (adică M F FM OM '2 ⋅= ).

1,5 p. 6. Se consider ă o parabolă P de focar F şi directoare d. Să se arate că, pentru orice punct P M ∈ , tangenta în M la P este bisectoareaunghiului FMN , unde N este proiecţia lui M pe d .

Notă. Se poate ar ăta că proprietatea din enunţ este echivalentă cu proprietateaoptică a parabolei: o rază de lumină având ca sursă (punctuală) focarul F estereflectată de o oglindă parabolică sub forma unei raze paralele cu axa parabolei.

2.6. Bibliografie

1. E. Murgulescu, S. Flexi, O. Kreindler, O. Sacter, M. Tîrnoveanu. Geometrieanalitic ă şi diferenţ ial ă (ed. II, revizuită şi completată). Ed. Did. Ped., Bucuresti,1965.

2. C. Năstăsescu, C. Niţă, I. Chiţescu, D. Mihalca. Matematic ă. Trunchi comun şicurriculum diferenţ iat. Manual pentru clasa a IX- a. Ed. Did. Ped.,Bucureşti, 2004.

3. C. Năstăsescu, C. Niţă, I. Chiţescu, D. Mihalca. Matematic ă. Trunchi comun şicurriculum diferenţ iat. Manual pentru clasa a X-a. Ed. Did. Ped., Bucureşti,

2005.4. Gh. D. Simionescu. Geometrie analitic ă. Manual pentru clasa a XI-a real ă. Ed.Did. Ped., Bucureşti, 1964



Geometrie vectorială



GEOMETRIE VECTORIALĂ

Cuprins

Obiectivele Unităţii de învăţare 3 ...............................................................................301

3.1. Noţiunea de vector ..............................................................................................302

3.2. Operaţii cu vectori ................................................................................................309

3.3. Calcule de bază efectuate cu ajutorul vectorilor.

Legătura cu geometria analitică. Aplicaţii la problemele de geometrie ................319

3.4. Numerele complexe privite din punct de vedere geometric (analitic şi vectorial).. 335

3.5.Comentarii şi r ăspunsuri la testele de autoevaluare .............................................346

3.6. Lucrare de verificare pentru studenţi ...................................................................348

3.7. Bibliografie............................................................................................................349


După ce veţi parcurge această unitate de învăţare, veţi fi capabili să faceţi următoarele operaţii matematice:

Identificarea unor situaţii în care utilizarea vectorilor duce larezolvarea problemei.

Precizarea datelor care caracterizează un număr real saucomplex. Exprimarea în coordonate a unui vector sau numărcomplex.

Utilizarea operaţiilor cu vectori sau cu numere complexe, precumşi a exprimării în coordonate, la rezolvarea unor probleme degeometrie.

Exprimarea unor proprietăţi geometrice (de exemplu: paralelism,coliniaritate sau ortogonalitate) cu ajutorul vectorilor sau alnumerelor complexe.

Extinderea operaţiilor şi proprietăţilor vectorilor din plan în spaţiu. Aplicarea în fizică a calculului vectorial.





3.1. Noţiunea de vector

3.1.1. Segmente orientate. Echipolenţă. Vectori

Definiţiile vor fi date (atunci când este posibil) simultan, atât în spa ţiu, câtşi în plan. Pentru a distinge mai bine situaţiile, în această unitate de

învăţare vom nota planul cu P şi spaţiul cu S . Când va fi necesar, vomconsidera planul P (respectiv spaţiul S ) ca fiind cartezian (adică, înzestrat cu un sistem de axe de coordonate).

Prin urmare:

– dacă nu vom menţiona în mod explicit, noţiunile şi proprietăţile desprecare vom vorbi vor fi considerate sau în plan, sau în spaţiu;

– dacă noţiunile şi proprietăţile despre care vom vorbi vor fi considerateplane (respectiv spaţiale) acest lucru va fi menţionat în mod explicit.

A. Segmente orientateFiind date două puncte distincte A şi B, vom putea vorbi despreurmătoarele figuri geometrice (notaţiile au mai fost introduse):

– dreapta care trece prin A şi B (dreapta determinată de A şi B) notată AB;rezultă, conform definiţiei că AB = BA (atenţie la logica acestei observaţii!)

– segmentul de extremităţi A şi B (care poate fi închis – îl notăm [ AB],deschis – îl notăm ( AB), semideschis sau semiînchis – îl notăm [ AB),respectiv AB]); rezultă, deoarece A este extremitate iniţială şi B esteextremitatea finală, că [ ] [ ] AB BA≠ etc. (atenţie la logica acestei

observaţii: când avem segmentul [ AB], îl parcurgem de la A spre B, iarcând avem [BA], îl parcurgem de la B spre A!).

Definiţie. Se numeşte segment orientat (sau vector legat sau bipunct) o perecheordonată de puncte ( A, B) pe care o vom nota prin simbolul AB .

Punctul A se numeşte originea (extremitatea iniţială), iar punctul B senumeşte capătul (extremitatea finală) segmentului orientat AB .

Dacă A = B, obţinem AA care se numeşte segment orientat nul. Dacă A B≠ spunem că segmentul orientat AB este nenul.

Evident, dacă A B

≠, avem AB BA≠ .

În continuare, vom da alte definiţii legate de segmentele orientate.

Lungimea unui segment orientat AB este lungimea segmentului [ AB] şi

se notează cu AB sau, pur şi simplu AB, când nu este pericol de confuzie

(aşa cum am mai f ăcut).

Dreapta suport a unui segment orientat AB cu A B≠ este dreapta AB.

Definiţie. Se spune că două segmente orientate nenule au aceeaşi direcţie dacă dreptele lor suport sunt paralele sau coincid. Prin definiţie, un segment

orientat nul are aceeaşi direcţie cu orice alt segment orientat.Definiţie. Se spune că segmentele orientate nenule AB şi A B′ ′ au acelaşi sens

dacă au aceeaşi direcţie şi în plus





– în cazul când dreptele suport AB şi A B′ ′ nu coincid (deci sunt paralele),atunci extremităţile B şi B′ se găsesc în acelaşi semiplan generat dedreapta AA′ în planul dreptelor paralele AB şi A B′ ′ (v. fig. 3.1.a));

– în cazul când AB A B′ ′= (dreptele suport coincid) atunci avem

[ ) [ ) AB A B′ ′⊂ sau [ ) [ ) A B AB′ ′ ⊂ (v. fig. 3.1. b))

Fig. 3.1

Definiţie. Se spune că două segmente orientate nenule AB şi A B′ ′ au sensuriopuse dacă ele au aceeaşi direcţie şi nu au acelaşi sens (v. fig. 3.2 unde AB şi A B′ ′ au sensuri opuse).

Convenţie. Se consider ă că un segment orientat nul are, în acelaşi timp, şi acelaşisens, şi sens opus cu orice segment orientat.

Fig. 3.2

Observaţii. 1°. Rezultă din cele de mai sus, că, dacă două segmente au aceeaşidirecţie, atunci:

– sau unul dintre ele este nenul; – sau ambele sunt nenule, caz în care au acelaşi sens sau au

sensuri opuse.

2°. Să remarcăm că am putut da definiţia faptelor că segmentele orientateau aceeaşi direcţie şi au (sau nu au) acelaşi sens, atât în plan, cât şi înspaţiu, deoarece două linii paralele sunt coplanare (şi totul se desf ăşoar ă în planul determinat de ele).

Acum, trecem la definiţia fundamentală a acestui paragraf.

Definiţie. Se spune că două segmente orientate AB şi A B′ ′ sunt echipolente dacă

au acelaşi sens şi aceeaşi lungime.





Notaţie. Dacă segmentele orientate AB şi A B′ ′ sunt echipolente, vom notaaceasta astfel: AB A B′ ′∼ .

Consecinţă. Orice două segmente orientate nule AA şi BB sunt echipolente.

În mod intuitiv, faptul că AB şi A B′ ′ sunt segmente orientate echipolente

revine la faptul că putem „suprapune” pe AB peste A B′ ′ prin translaţie, cupăstrarea semnului, v. fig. 3.3.

Fig. 3.3

Următorul rezultat, care poate fi exprimat şi în plan şi în spaţiu, deoarecedreptele concurente sunt coplanare, caracterizează în alt modechipolenţa.

Teoremă. Fie A, B, A', B' patru puncte. Avem următoarele echivalenţe:1. AB A B′ ′ ⇔∼ segmentele [ ] AB′ şi [ ] A B′ au acelaşi mijloc .

2. AB A B′ ′∼ AA BB′ ′⇔ ⇔ . A se vedea fig. 3.4.

Fig. 3.4

Teorema de fixare pentru vectori legaţiSe consider ă un segment orientat AB şi un punct M . Atunci există un unicpunct N astfel încât AB MN ∼ .

Notaţie. Vom nota cu W mulţimea vectorilor legaţi.

Teoremă. Relaţia de echipolenţă este o relaţie de echivalenţă pe W .Reamintim că aceasta înseamnă că avem următoarele proprietăţi:

(i) AB AB∼

(ii) AB CD CD AB⇒∼ ∼

(iii) ( )şi AB CD CD EF AB EF ⇒∼ ∼ ∼ .

Pentru a prezenta în mod riguros chestiunile în continuare, vom aminticâteva chestiuni legate de teoria generală a relaţiilor de echivalenţă.

Consider ăm o mulţime nevidă X . Se numeşte relaţie de echivalenţă pe X o submulţime nevidă r X X ⊂ × cu anumite proprietăţi care vor fiprezentate în continuare. Pentru a uşura prezentarea, vom folosi notaţia





uzuală: în loc să scriem pentru x, y în X că ( ), x y r ∈ , vom scrie x r y.

Atunci, proprietăţile care definesc o relaţie de echivalenţă r sunturmătoarele:

(i) Relaţia r este reflexivă: avem x r x pentru orice x X ∈ .

(ii) Relaţia r este simetrică: pentru orice x, y din X , astfel încât x r y,

rezultă şi y r x. (iii) Relaţia r este tranzitivă: pentru orice x, y, z din X astfel încât

x r y şi y r z , rezultă x r z .

Dacă r este o relaţie de echivalenţă pe X , vom alege arbitrar un element x X ∈ şi vom construi mulţimea { }| x y X y r x = ∈ , numită clasa de

echivalenţă a lui x (generată de relaţia r ). Remarcăm că dacă y x ∈ şiz x ∈ , atunci:

y r x şi z r x deci y r x şi x r z .

Din tranzitivitate rezultă y r z , deci toate elementele lui x sunt „echivalente” între ele.

Rezultă că X se „împarte” în mulţimea tuturor claselor de echivalenţă posibile. Anume, observăm că două elemente x şi y din X generează aceeaşi clasă de echivalenţă (adică x y = ) dacă şi numai dacă x r y .

Prin urmare, două clase de echivalenţă x şi y nu pot fi decât înurmătoarele situaţii: sau x y = sau x y ∩ = ∅ . Aşadar, „împăr ţirea” lui X este o partiţionare: X se împarte în clase de echivalenţă două câtedouă disjuncte. Să reţinem şi următoarea implicaţie:

y x y x ∈ ⇒ = .Se notează cu X /r mulţimea tuturor claselor de echivalenţă (generate derelaţia r ).

X /r se numeşte mulţimea cât a lui X prin relaţia de echivalenţă r .

Dacă y x XIr ′∈ ∈ , spunem că y este un reprezentant al clasei deechivalenţă x .

Revenim la problemele noastre. Avem mulţimea W a tuturor segmentelororientate (sau, în alt limbaj, W este mulţimea tuturor vectorilor legaţi). Amvăzut că pe W avem relaţia de echipolenţă care este o relaţie deechivalenţă.

Putem construi mulţimea cât W / ∼ pe care o vom nota cu V :

W / ∼ = V

Elementele lui V (care sunt, deci, clase de echivalenţă) se numescvectori (sau vectori liberi). Având în vedere cele de mai sus, rezultă că:

Un vector este mulţimea tuturor segmentelor orientate echipolente cu unsegment orientat dat. Toate segmentele orientate care compun un vectorsunt echipolente între ele.

Reţineţi! Un vector este o clasă de echivalenţă generată de relaţia deechipolenţă.

Aşadar, avem, în mod concret, următoarea





Definiţie. Se numeşte vector (sau vector liber ) mulţimea tuturor segmentelororientate echipolente cu un segment orientat fix.

În fig. 3.5 avem un segment orientat „generator” AB şi o mulţime devectori echipolenţi cu AB . Toate aceste două segmente orientate suntechipolente două câte două. Le-am reprezentat cu săgeţi, pentru a indica

sensul. Aşadar, în fig. 3.5 avem o parte a clasei de echivalenţă a lui AB .

Fig. 3.5Comentând pe marginea figurii 3.5: „câte ” segmente orientate se află învectorul care este clasa de echivalenţă a lui AB ?

Răspunsul este următorul: avem atâtea segmente câte puncte are P (respectiv S ), deoarece (teorema de fixare) pentru fiecare punct M există exact un segment orientat MN , cu originea în M , care este echivalent cu AB .

Definiţie. Pentru orice segment orientat AB , vectorul generat de AB estemulţimea tuturor segmentelor orientate echipolente cu AB , adică este

clasa de echivalenţă a lui AB pentru relaţia de echivalenţă care esteechipolenţa.

Deoarece toate segmentele orientate nule sunt echipolente, elegenerează un vector, numit vectorul nul (care este format cu toatesegmentele orientate nenule).

Notaţii. Dacă A şi B sunt puncte, vectorul generat de AB se notează cu AB

.Vectorul nul se mai notează şi astfel: O

, (aşadar AA O=

pentru orice A).

De asemenea, vectorii se pot nota şi cu litere mici: u

, v

etc. (în astfel denotaţii nu mai apare explicit vectorul generator: când scriem u

înseamnă

că există AB , astfel încât AB u= ). Dacă AB u∈ (adică AB u= ), spunemcă AB este un reprezentant al lui u

.

Egalitatea vectorilor.

Din cele ce preced, rezultă că avem echivalenţa AB MN AB MN = ⇔

∼ (vectorii egali sunt generaţi de segmente orientate echipolente).

Folosind teorema de fixare pentru vectori legaţi, obţinem

Teorema de fixare pentru vectori liberi (reprezentarea unui vector într-un punct)1. Fie u

un vector şi M un punct. Atunci, există şi este unic un alt punct

'M , astfel încât 'u MM =

.

2. Fie M un punct. Avem echivalenţa MA MB A B= ⇔ =

.





Lungimea vectorilor

Dacă u

este un vector, fie A, B, puncte cu proprietatea că AB u=

. Orice

alt vector segment orientat MN , cu proprietatea MN u=

va fi în situaţia

AB ~MN , deci cele două segmente orientate au lungimi egale:

AB MN = . Putem da următoarea

Definiţie. Lungimea unui vector u

este lungimea comună a tuturor segmentelor

orientate AB , cu proprietatea că u AB=

. Lungimea unui vector u

se

notează prin u

. Folosim şi notaţii de tipul AB

.

Prin definiţie, lungimea vectorului nul este egală cu zero:

0O AA= =

.

Definiţie. Se spune că vectorii u

şi v

au aceeaşi direcţie dacă există AB , MN

astfel încât ,u AB v MN = =

şi dreptele suport ale lui AB şi MN auaceeaşi direcţie.

Observaţie. Definiţia este coerentă: nu depinde de reprezentanţii aleşi AB u∈

şi

MN v ∈

(dacă MN u=

şi PQ v =

, rezultă că dreptele MN şi PQ au aceeaşidirecţie).

Definiţie. Se spune că vectorii u

şi v

au acelaşi sens (respectiv au sensuri

opuse) dacă există reprezentanţi AB u∈

şi MN v ∈

astfel încât AB şi

MN au acelaşi sens (respectiv au sensuri opuse).

Evident, şi această definiţie este coerentă.Se constată că, dacă u

şi v

au aceeaşi direcţie atunci: sau u

şi v

au

acelaşi sens, sau u

şi v

au sensuri opuse. Invers: dacă u

şi v

auacelaşi sens (respectiv au sensuri opuse) rezultă că u

şi v

au aceeaşi

direcţie.

Evident, O

are acelaşi sens şi, în acelaşi timp, are sens opus, cu orice

vector u

.

Observaţie cu privire la denumire. De multe ori, în loc să spunem vectorii care auaceeaşi direcţie, spunem vectori coliniari. Explicaţia este aceea că, dacă

avem vectorii u

şi v

cu aceeaşi direcţie şi consider ăm un punct arbitrarM , precum şi punctele A, B astfel încât MA u=

şi MB v =

, constatăm că

punctele M, A, B sunt coliniare.

Vectorii care nu sunt coliniari se numesc necoliniari.

Aplicaţii în fizică

a) O for ţă aplicată unui corp aflat în stare de repaus, poate fi interpretată ca un vector legat (deci segment orientat).

De exemplu, în fig. 3.6 avem un corp de formă cubică aşezat pe un suportS. Greutatea G

a lui C este o astfel de for ţă. Direcţia ei este verticală, cu

sensul „în jos”, iar lungimea vectorului reprezentativ defineşte intensitateafor ţei.





Fig. 3.6

b) O for ţă constantă care produce mişcarea unui mobil poate fi interpretată ca o mulţime de vectori legaţi echipolenţi, adică poate fi interpretată ca unvector (liber).

De exemplu, în fig. 3.7 avem un cărucior care se deplasează pe orizontală sub acţiunea for ţei reprezentată cu săgeată.

Fig. 3.7.


1. Se consider ă o dreaptă d şi pe ea punctele distincte A, M, N . Fie unpunct B d ∉ . Construim punctele U, V astfel încât BU AM =

şi BV AN =

.

Ar ătaţi că punctele B, U, V sunt coliniare.

2. Fie A, B puncte distincte. Să se arate că, pentru un punct M ,următoarele afirmaţii sunt echivalente:

(i) M este mijlocul lui [ AB].

(ii) AM MB=

.







3.2. Operaţii cu vectori

3.2.1. Adunarea vectorilor

Fie doi vectori u

şi v

. Vom ar ăta cum se construieşte un nou vectoru v +

, numit suma vectorilor u

şi v

.

Prima etapă. Alegem un punct oarecare M .

A doua etapă. Cu teorema de fixare pentru vectori liberi, consider ămunicul punct N cu proprietatea MN u=

(fig. 3.8 a) pentru vectorii u

şi v

care au aceeaşi direcţie şi fig. 3.9 a) pentru vectorii u

şi v

care nu auaceeaşi direcţie).

Fig. 3.8

Fig. 3.9

A treia etapă. Cu aceeaşi teoremă de fixare, consider ăm unicul punct P astfel încât NP v =

(fig. 3.8 b) pentru vectorii u

şi v

care au aceeaşi

direcţie – în acest caz M, N, P sunt puncte coliniare şi fig. 3.9 b) pentruvectorii u

şi v

care nu au aceeaşi direcţie)

Prin definiţie, suma u v +

este vectorul MP

, în scris u v MP + =

.

Definiţia este coerentă (nu depinde de punctul ales M ). Cu alte cuvinte,dacă parcurgem aceleaşi etape, pornind cu punctul M' , obţinem punctulP ′ şi se poate ar ăta că M P MP ′ ′ =

.

Această coerenţă este ilustrată în fig. 3.10 a) pentru vectori cu aceeaşidirecţie şi în fig. 3.10 b) pentru vectori care nu au aceeaşi direcţie.

Fig. 3.10Metoda de a reţine procedura este dată în fig. 3.11 (cazul vectorilor cuaceeaşi direcţie este mai particular).





Fig. 3.11

Pentru vectorii cu direcţii diferite, prezentăm şi metoda paralelogramului de obţinere a sumei: suma u v +

este diagonala paralelogramului care are

pe u

şi v

ca laturi alăturate, v. fig. 3.12.

Fig. 3.12

Interpretare fizică. Metoda paralelogramului ne arată că suma vectorilor u şiv

, care reprezintă două for ţe aplicate în acelaşi punct reprezintă rezultanta celor două for ţe.

Concluzie. Pe mulţimea V a vectorilor am definit operaţia internă de adunare avectorilor . Anume, dacă u

şi v

sunt în V , operaţia de adunare aplicată

perechii ( ),u v

are ca rezultat suma u v +

.

Proprietăţi

a) Adunarea este comutativă: u v +

= v u+

, pentru orice u

şi v

.

b) Adunarea este asociativă: ( ) ( )u v w u v w + + = + + pentru orice u , v , w .

c) Vectorul nul 0

este element neutru pentru adunare: 0u u+ =

.

d) Dacă u−

este opusul lui u

, atunci u−

este inversul lui u

faţă de

adunare: ( ) 0u u+ − =

(Opusul unui vector u

este unicul vector care are

sens opus lui u

şi lungime egală cu lungimea lui u

). Opusul lui u

senotează cu u−

.

Asociativitatea ne permite să scriem 1 2 ... nu u u+ + +

, f ăr ă specificarea

parantezelor, pentru suma mai multor vectori (de exemplu, scriem( ) ( )a b c a b c a b c + + = + + = + +

).

Relaţia lui Chasles. Avem, dacă 1n ≥ :

0 1 1 2 1 0... n n n A A A A A A A A−+ + + =

.

În particular, dacă 0n A A= , avem:

0 1 1 2 2 1 1 0... 0n n n A A A A A A A A− − −+ + + + =

(relaţia de închidere).

De exemplu, dacă ABC este un triunghi, avem 0 AB BC CA+ + =

.

Relaţia de mai sus ne conduce la următorul rezultat.





Teoremă. Fie , ,u v w

trei vectori nenuli. Următoarele afirmaţii sunt echivalente:

1. Se poate forma un triunghi cu , ,u v w

(adică există un triunghi ABC cu

proprietatea că , AB u BC v = =

şi CA w =

).

2. Vectorii , ,u v w

au proprietatea că, doi câte doi nu au aceeaşi direcţie şi

avem relaţia 0u v w + + = .

Legat de adunare, putem defini scăderea vectorilor : este operaţia careasociază vectorilor u

şi v

vectorul u

+ ( )v −

, notat prin u v −

şi numit

diferenţa vectorilor u

şi v

.

Dacă u

şi v

nu au aceeaşi direcţie, diferenţa lor apare ca în fig. 3.13 a),iar dacă are aceeaşi direcţie, ca în fig. 3.13 b).

Fig. 3.13

Reţinem şi formula MA MB BA− =

, ilustrată în fig. 3.13 a).

3.2.2. Înmulţirea cu scalari a vectorilor (înmulţirea vectorilor cu numerereale)

Fie u un vector şi a un număr real. Vom defini un nou vector, numitprodusul lui u

cu a şi notat au

.

1. Dacă a = 0 sau 0u =

, atunci au

= 0

(prin definiţie).

2. Dacă a = 0 şi 0u ≠

, atunci au

este un vector care are aceeaşi direcţiecu u

, are lungimea egală cu a u

, iar sensul său este acelaşi cu al lui u

,

dacă 0a > (respectiv opus lui, dacă 0a < ).

Dacă 1a = − , obţinem vectorul ( )1 u−

care este exact opusul lui u

şi am

notat ( )1 u u− = −

. În fig. 3.14 avem două exemple.

Fig. 3.14

Concluzie. Am definit operaţia externă pe × V numită înmulţirea cu scalari avectorilor (sau înmulţirea vectorilor cu numere reale), care asociază fiecărei perechi ( ),a u ∈ ×

V vectorul au

= produsul lui a cu u

.

Înmulţirea cu scalari are următoarele proprietăţi:1 u u⋅ =





( ) ( )u uα β = αβ

( )u u uα + β = α + β

( )u v u v α + = α + α

0 0 0u⋅ = α ⋅ = .

Din aceste proprietăţi, rezultă şi următoarele proprietăţi:

( ) ( )u u u−α = α − = −α

.

( )( )u u−α − = α

( )u u uα − β = α − β

( )u v u v α − = α − α

( )1 u u− = −

.

Exemplu. (fig. 3.15)

În triunghiul ABC , [MN ] este linie mijlocie ( AM = MB, AN = NC ). Atunci1

2MN BC =

.

Fig. 3.15

Structura de spaţiu vectorial a lui V

Am definit pe V operaţia de adunare şi operaţia externă de înmulţire cuscalari. Atunci, V împreună cu aceste operaţii devine spaţiu vectorial real.

Menţionăm că se pot considera şi combinaţii liniare de vectori din V , de

forma 1

n

i i i u= α∑

, unde i u ∈V

şi i α ∈ .

3.2.3. Produsul scalar al vectorilor. Ortogonalitate. Relaţii metrice

Pentru a defini produsul scalar, trebuie să definim mai întâi unghiul a doivectori.

Vom considera doi vectori u

şi v

care sunt nenuli. Fixăm un punct O şiconsider ăm punctele unic determinate (teorema de fixare) A şi B, astfel

încât OA u=

şi OB v =

(fig. 3.16).

Semidreptele [OA şi [OB formează un unghi

AOB pe care îl vom defini cafiind în situaţia ( )m AOBθ = ≤ π (fig. 3.16)





Fig. 3.16.

Remarcăm că obţinem acelaşi unghi dacă schimbăm punctul O şi luăm unalt punct O' (fig. 3.16). prin urmare, definiţia lui θ este coerentă.

Alegerea unghiului ca având măsura θ ≤ π este explicată în fig. 3.17.

Fig. 3.17.

Definiţie. Fie ,u v

doi vectori. Produsul scalar al vectorilor u

şi v

, notat u v ⋅

estenumărul definit astfel:Dacă 0u =

sau 0, 0v u v = ⋅ =

.

Dacă 0u ≠ şi 0v ≠ , cosu v u v ⋅ = θ , unde θ este unghiul vectorilor u şi

v

.

Pentru ,u v

nenuli, rezultă atunci formula:

cos u v

u v

⋅θ =

⋅

.

Interpretarea fizică a produsului scalar.

Fie doi vectori AB

şi AC

(fig. 3.18). Consider ăm că A este un punctmaterial asupra căruia acţionează o for ţă F

reprezentată prin vectorul AC

care efectuează o deplasare definită de vectorul AB

. Atunci, lucrul

mecanic W efectuat de for ţa F AC =

când se deplasează de-a lungul lui

AB

este W = AB AC ⋅

.

Fig. 3.18





Avem şi o imagine geometrică a felului cum se obţine produsul scalar (v.fig. 3.19). În această figur ă, ,OA u OB v = =

şi A' este proiecţia lui A pe OB,

B' este proiecţia lui B pe OA. Prin urmare:

cos ' cos 'u v OA OB OA OB OB OA OB OB⋅ = ⋅ θ = ⋅ = ⋅ θ = ⋅

.

Produsul scalar = produsul dintre lungimea unui vector şi proiecţia pe ela celuilalt vector.

Fig. 3.19Dacă unghiul θ este obtuz, proiecţia se consider ă ca având lungimenegativă (v. fig. 3.19 b)).

Definiţie. Spunem că doi vectori nenuli uşi v

sunt ortogonali dacă unghiul lor este

unghi drept (are măsura egală cu2

π).

Prin definiţie, dacă unul dintre vectorii ,u v

este nul, spunem că u

şi v

sunt ortogonali.

Faptul că u

şi v

sunt ortogonali se notează astfel: u v ⊥

.Prin urmare, avem următorul rezultat:

Propoziţie. Avem echivalenţa: u v ⊥

0u v ⇔ ⋅ =

.

Definiţie. Pătratul scalar al vectorului u

este numărul 2u

definit astfel: 2u u u= ⋅

.

Prin urmare, 2u

=2

u

= pătratul lungimii vectorului (şi 2u u=

).

Proprietăţi ale produsului scalar:

u v v u⋅ = ⋅

( )u v w u v u w ⋅ + = ⋅ + ⋅

( ) ( )u v u v u v α ⋅ = ⋅ α = α ⋅ ⋅

.

De aici, rezultă şi alte proprietăţi:

( ) ( ) ( )u v u v α ⋅ β = αβ ⋅

( )u v w u v u w − = ⋅ − ⋅

( ) ( )u v u v u v − ⋅ = ⋅ − = − ⋅

( ) ( ) .u v u v − ⋅ − = ⋅





Formule remarcabile privind pătratul scalar2 2 2

2u v u u v v + = + ⋅ +

2 2 2

2u v u u v v − = − ⋅ +

( ) ( ) 2 2u v u v u v + ⋅ − = −

2 2

2 cosu v u v u v + = + + ⋅ α

2 2

2 cosu v u v u v − = + − ⋅ α

(teorema lui Pitagora generalizată, sau

teorema cosinusului)

( )2 2 2 2

2u v u v u v + + − = +

(regula paralelogramului)

1

4u v ⋅ =

( )2 2

u v u v + − −

1

2u v ⋅ =

( )2 2 2

u v u v + − −

– Să interpretăm geometric regula paralelogramului (fig. 3.20)

Fig. 3.20

În paralelogramul ABCD avem:

( )2 2 2 2 2 2 2 22 AC BD AB AD AB BC CD DA+ = + = + + + .

– Să deducem formula:

1

2u v ⋅ =

( )2 2 2

u v u v + − −

.

Avem în paranteză:

( )2 2 2 2

2 2u v u v u v u v + − + − ⋅ = ⋅

.

– Să interpretăm geometric formula:

1

2u v ⋅ =

( )2 2 2

u v u v + − −

.





Fig. 3.21

( )2 2 21

2 AB AC AB AC BC ⋅ = + −

3.2.4. Produsul vectorial

Acest subparagraf se refer ă la spaţiu. Vom lucra deci în spaţiul S .

Să consider ăm doi vectori care nu sunt coliniari (nu au aceeaşi direcţie), a

şi b .

Vom defini un nou vector, numit produsul vectorial al vectorilor a

şi b

şi

notat astfel: a b×

.

Construcţia se face astfel. Se consider ă un punct O ∈S şi, cu teorema de

fixare, construim punctele A şi B cu proprietatea că OA a=

şi OB b=

(v.fig. 3.22 b))

Consider ăm planul π determinat de punctele O, A, B. În punctul O ducemo perpendicular ă h pe planul π şi luăm pe h un punct C cu proprietatea că

sin sinOC a b OA OB= ϕ = ⋅ ϕ (unde ϕ este unghiul vectorilor a

şi b

) şiastfel încât triedrul OA, OB, OC să fie dextrorsum (Un model perfect înacest sens ar fi să consider ăm că spaţiul S este cartezian, cu sistemul deaxe Oxyz ) şi luăm ( ) ( ),0,0 cu 0 A m Ox m∈ > , ( ) ( )0, ,0 cu 0B n Oy n∈ > şi

( ) ( )0,0, cuC p Oz OC mn∈ = (v. fig. 3.22 a))

Fig. 3.22

Observăm că, de fapt, avem sinOC OA OB= ⋅ ϕ= aria paralelogramuluiOAVB construit pe laturile OA şi OB.

Prin definiţie, OC

reprezintă produsul vectorial al lui a

şi b

:

a b OC × =

.

Din definiţie rezultă că, dacă a

şi b

sunt vectori coliniari, atunci a b×

= 0

.

În particular, 0a a× =

.





Convenţie. Prin definiţie, dacă 0a =

sau 0b =

, vom avea a b×

= 0

.

Interpretare fizică. Dacă AV F =

este o for ţă aplicată în punctul A, atunci:

a b×

= momentul for ţei F

în raport cu punctul O.

Proprietăţi

1) a b b a× = − × (anticomutativ).

2) Dacă t este un număr real, avem ( ) ( )ta b a tb ta b× = × = ×

.

3) ( )a b c a b a c × + = × + ×

( )b c a b a c a+ × = × + ×

Se consider ă acum trei vectori , ,a b c

în spaţiul S . Se poate definiprodusul mixt al acestor vectori, care este numărul :

( )a b c ⋅ ×

.

Interpretare geometrică

Modulul produsului mixt = volumul paralelipipedului construit pe vectorii a,b, c , v. fig. 3.23.

Fig. 3.23

Avem deci: vol(paralelipiped) = ( )a b c ⋅ ×

.

Notă. Se poate ar ăta că:

( )a b c ⋅ ×

= ( )a c b⋅ ×

= ( )b c a⋅ ×

= ( )b a c ⋅ ×

= ( )c a b⋅ ×

= ( )c b a⋅ ×

.






1. Fie ABC un triunghi cu medianele , , AA BB CC ′ ′ ′ ( A' este mijlocul lui [BC ]etc.).

a) Să se arate că ( )12

AA AB AC ′ = + .

b) Să se arate că se poate forma un triunghi cu vectorii , , AA BB CC ′ ′ ′

.

2. a) Să se arate că pentru orice patru puncte M, A, B, C avem relaţia luiEuler:

0MA BC MB CA MC AB⋅ + ⋅ + ⋅ =

b) Folosind rezultatul de la a), să se arate că înălţimile unui triunghi suntconcurente

Răspunsurile la acest test se găsesc la pagina 346 . a acestei unităţi de învăţare






3.3. Calcule de bază efectuate cu ajutorul vectorilor. Legătura cugeometria analitică. Aplicaţii la problemele de geometrie

3.3.1. Descompunerea după doi vectori (în plan) şi după trei vectori (înspaţiu)

A. Descompunerea unui vector după doi vectori necoliniari în plan.Teoremă. Fie u

şi v

doi vectori în planul P . Următoarele afirmaţii sunt echivalente:

1. u

şi v

sunt coliniari.

2. Există ,α β reale, nu ambele nule, astfel încât 0u v α + β =

.

De aici rezultă următoarea teoremă fundamentală. Reamintim că V =mulţimea vectorilor (în planul P ).

Teoremă (Descompunerea unui vector după doi vectori necoliniari). Fie uşi v

în

planul V . Următoarele afirmaţii sunt echivalente:

1. u

şi v

nu sunt coliniari.2. u

şi v

sunt liniar independenţi (adică: dacă ,α β sunt numere reale aşa

ca 0, atunci 0u v α + β = α = β =

).

3. Pentru orice m ∈

V , există două numere reale unic determinate cu

proprietatea că m u v = α + β

(adică u

, v

formează bază înV ).

Despre proprietatea de la 3. vorbim astfel: Putem descompune oricevector m ∈

V după vectorii u

şi v

. Descompunerea este unică. Numim

pe α şi β coordonatele lui m

în baza ,u v

.

În fig. 3.24 se arată, intuitiv, cum se face descompunerea: se fixează u , v

şi m

într-un punct O din plan şi se duc paralele la u

şi v

prin capătul lui

m

care întâlnesc direcţiile lui u

şi v

în puncte care reprezintă vectorii uα

şi v β

.

Fig. 3.24.Mai spunem că l-am descompus pe m

după direcţiile lui u

şi v

.

Urmează două proprietăţi care au un aspect similar cu proprietateaprecedentă.

Teoremă. Fie A, B, C trei puncte distincte în P . Următoarele afirmaţii suntechivalente:1. Punctele A, B, C sunt coliniare.2. Există două numere reale ,α β astfel încât 1α + β = şi care au

proprietatea că pentru orice O ∈P avem OC OA OB= α + β

.3. Există un punct O ∈P şi t ∈ astfel încât ( )1OC tOA t OB= + −





Teoremă. Fie ABC un triunghi în planul P şi M ∈P . Atunci, există trei numere reale, ,α β γ unic determinate de M , cu 1α + β + γ = , care au proprietatea că,

pentru orice O ∈P avem:

OM OA OB OC = α + β + γ

.

Numerele , ,α β γ se numesc coordonatele baricentrice ale lui M în

raport cu triunghiul ABC . Fie un triunghi ABC cu laturile de lungimi BC = a, CA = b, AB = c.

Teoremă. Fie P un punct oarecare în planulP .1. Dacă G este centrul de greutate al lui ABC , avem:

1 1 1

3 3 3PG PA PB PC = + +

(coordonatele baricentrice ale lui G sunt1 1 1

, ,3 3 3

).

2. Dacă I este centrul cercului înscris în ABC , avem:a b c

PI PA PB PC a b c a b c a b c

= + ++ + + + + +

(coordonatele baricentrice ale lui I sunt , ,a b c

a b c a b c a b c + + + + + +).

3. Dacă H este ortocentrul lui ABC , avem :

ctg ctg ctg ctg ctg ctgPH B C PA C A PB A B PC = ⋅ + ⋅ + ⋅

(coordonatele baricentrice ale lui H sunt ctgBctg C , ctg C ctg A,ctg Actg B).

4. Dacă O este centrul cercului circumscris lui ABC , avem:

1 ctg ctg 1 ctg ctg 1 ctg ctg

2 2 2

B C C A A BPO PA PB PC

− − −= + +

(coordonatele baricentrice ale lui O sunt1 ctg ctg

2

B C −,

1 ctg ctg

2

C A−,

1 ctg ctg

2

A B−).

B. Descompunerea unui vector după trei vectori necoplanari în spaţiu

Acum lucr ăm în spaţiulS

şi discutăm proprietăţi ale mulţimiiV

avectorilor din S .

Teoremă. Doi vectori uşi v

sunt coliniari dacă şi numai dacă există ,α β reale cu

proprietatea că :

0u v α + β =

.

Definiţie. Vectorii 1 2, ,... nu u u

se numesc coplanari dacă există un plan π cu

următoarea proprietate: pentru orice punct O al lui π şi orice i = 1, 2, ..., n,

unicul puncti

M cu proprietatea că i i OM u=

(teorema de fixare) are

proprietatea că i

M ∈ π (adică i

OM ⊂ π ).

Dacă vectorii 1 2, , ... n

u u u nu sunt coplanari, spunem că ei sunt

necoplanari.





(Evident, dacă n = 2, orice doi vectori 1u

şi 2u

sunt coplanari).

Teoremă. Fie 1 2 3, ,u u u

din V . Atunci 1 2 3, ,u u u

sunt coplanari dacă şi numai dacă ei

sunt liniar dependenţi (adică există 1 2 3, , ,α α α numere reale nu toate nule

cu proprietatea

1 1 2 2 3 3 0u u uα + α + α =

).

Teoremă. (Descompunerea unui vector după trei vectori necoplanari).Fie 1 2 3, ,u u u

. Următoarele afirmaţii sunt echivalente:

1. 1 2 3, ,u u u

sunt necoplanari.

2. Pentru orice m ∈

V , există şi sunt unice numerele reale 1 2 3, , ,α α α cu

proprietatea că 1 1 2 2 3 3m u u u= α + α + α

.

Numerele 1 2 3, ,α α α se numesc coordonatele lui m

în baza 1 2 3, ,u u u

(cu

alte cuvinte 1u , 2u şi 3u formează bază în S ).

Teoremă. Fie A, B, C trei puncte distincte. Următoarele afirmaţii sunt echivalente:1. A, B, C sunt coliniare.2. Există ,α β reale, cu 1α + β = , astfel încât, pentru orice O ∈S avem

OC OA OB= α + β

.3. Există O ∈S şi două numere reale ,α β cu 1α + β = şi astfel încât

OC OA OB= α + β

.

Teoremă. Fie A, B, C, D patru puncte distincte. Următoarele afirmaţii sunt

echivalente:1. A, B, C, D sunt coplanare.

2. Există numerele , ,α β γ cu 1α + β + γ = şi astfel încât, pentru orice punct

O ∈S să avem OD OA OB OC = α + β + γ

.

C. Coordonatele unui vector. Legătura cu geometria analitică

Definiţie. Se numeşte versor un vector de lungime 1.

În continuare vom introduce nişte versori speciali, numiţi versorii axelor .Versorii axelor în plan. Se consider ă un plan cartezian P cu un sistem de axe

de coordonate xOy (v. fig. 3.25). Punctul A(1,0) defineşte segmentulorientat OAşi notăm i OA=

.

Similar, punctul B(0,1) defineşte segmentul orientat OB şi notăm j OB=

.

Am definit versorii axelor în plan: i

este versorul axei Ox , j

esteversorul axei Oy.

Fig. 3.25.





Versorii axelor în spaţiu. Se consider ă un spaţiu cartezian S cu unsistem de axe de coordonate Oxyz (v. fig. 3.26). Atunci, luăm punctele

A(1,0,0), B(0,1,0), C (0,0,1) şi notăm i OA=

, j OB=

, k OC =

( i

este

versorul axei Ox , j

este versorul axei Oy, k

este versorul axei Oz ).

Fig. 3.26

Vector de poziţie. Vector de poziţie într-un sistem de axe de coordonateDefiniţie. Se fixează un punct O numit origine. Pentru orice punct M , vectorul OM

se

numeşte vectorul de poziţie al punctului M .

Acum vom face legătura cu coordonatele carteziene.

Întâi lucr ăm în planul cartezian P , echipat cu sistemul de coordonate xOy . Consider ăm un punct ( . )M x y ∈P .

Definiţie. Vectorul OM

se numeşte vectorul de poziţie al lui M în sistemul de axe xOy .

Evident, versorii i

şi j

sunt necoliniari şi atunci, cu teorema dedescompunere în plan, vom găsi ,α β ∈ unic determinate, astfel încât

OM i j = α +β

.

Studiind situaţia, ajungem la concluzia că , x y α = β = , prin urmare:

Dacă M (x,y), atunci OM xi y j = +

.

Putem defini acum coordonatele unui vector oarecare.

Consider ăm în planul cartezian xOy punctele ( ) ( ), , , A A B B

A x y B x y , care

definesc vectorul AB

(v. fig. 3.27).

Fig. 3.27

Atunci, cu teorema de fixare, avem segmentul orientat OM echipolent cu AB , unde ( ),B A B AM x x y y − − .





Aşadar ( ) ( )B A B AOM AB x x i y y j = = − + −

.

( ) ( ), , , A A B B

A x y B x y AB OM ⇒ = =

( ) ( )B A B A x x i y y j − + −

Definiţie. În condiţiile de mai sus, spunem că numereleB A x x − şi

B Ay y − sunt

coordonatele vectorului AB

.

Mai general:

Definiţie. Fie u

un vector în planul cartezian P . Atunci, numerele reale unic

determinate ,α β cu proprietatea că u i j = α +β

se numesc coordonatele

vectorului u

.

În rezumat:

a) u i j = α +β

∈V : ,α β sunt coordonatele lui u

.

b) ( ),M x y OM ∈ ⇒

P are coordonatele x, y adică OM xi y j = +

.

c) ( ) ( ), , , A A B B A x y B x y AB∈ ⇒ ∈P V şi AB

are coordonateleB A x x − ,

B Ay y − : ( ) ( )B A B A AB x x i y y j = − + −

.

În continuare, vom exprima operaţiile cu vectori cu ajutorul coordonatelor

Adunarea. Dacă u i j = α +β

şi v mi n j = +

, atunci ( ) ( )u v m i n j + = α + + β +

.

Scăderea. Ca mai sus ( ) ( )u v m i n j − = α − + β −

.

Vectorul nul 0 0 0i j = +

(are coordonatele nule).

Înmulţirea cu scalari. Dacă t ∈ şi u i j = α +β

, avem ( ) ( )tu t u t v = α + β

.

Spunem, că adunarea (scăderea) şi produsul cu scalari se fac pecomponente.

Produsul scalar

Dacă u i j = α +β

şi v mi n j = +

, avem .u v m n⋅ = α + β

În particular,

22 2

u = α + β

, deci

2 2

u = α + β

.

Se vede imediat că 2 2

1, 1, 0i j i j = = ⋅ =

(deoarece i j ⊥

).

Dacă ,u ai b j v xi y j = + = +

sunt vectori nenuli, atunci, dacă θ este

măsura unghiului vectorilor uşi v

, avem:

2 2 2 2cos

ax by

a b x y

+θ =

+ ⋅ +.

Cu ajutorul acestor proprietăţi, putem face diverse tipuri de calcule.

Exemple.

1. Să calculăm 2 3u v w + −

, unde 4 2 , , 3 2u i j v j w i j = + = = −

.





Avem, folosind asociativitatea şi faptul că 0v i j = +

:

2 3u v w + −

( ) ( ) ( )4 2 2 0 3 3 2i j i j i j = + + + − − =

( ) ( ) ( )4 2 0 2 9 6i j i j i j + + + − − =

( ) ( )( )4 0 9 2 2 6i j + − + + − −

5 10i j = − +

.

2. Pentru w

de mai sus, să calculăm w

.

Avem ( )223 2 9 4 13w = + − = + =

.

3. Fie 3 4u i j = +

, 5 .v i j = −

Să calculăm u v ⋅

şi cosθ , unde θ este

măsura unghiului vectorilor uşi v

.

Folosim proprietăţile algebrice ale produsului scalar şi faptul că

( )5 1v i j = + −

; avem:

( )( )3 4 5 3 5 3 4 5 4u v i j i j i i i j j i j j ⋅ = + − = ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅ =

2 2

3 5 4 15 4 11i j ⋅ − = − =

.

2 23 4 25 5u = + = =

.

( )225 1 26v = + − =

.

Rezultă:

11cos

5 26

u v

u v

⋅θ = =

⋅

(deci11

arccos5 26

θ = ).

4. Se constată că pentru vectorii 3 4u i j = +

şi 4 3v i j = −

, avem u v ⊥

(ar ătaţi că 0u v ⋅ =

). Prin urmare, u

şi v

nu sunt coliniari.

Fie acum vectorul 5 5m i j = +

.

Să descompunem m

după u

şi v

.

Trebuie să aflăm coordonatele lui m

în baza u

, v

, care sunt numerele

reale x, y cu proprietatea că m xu yv = +

Ultima condiţie înseamnă:

( ) ( ) ( ) ( )5 5 3 4 4 3 3 4 4 3i j x i j y i j x y i x y j + = + + − = + + −

.

Aşadar, trebuie să rezolvăm sistemul 3 4 5 x y + = şi 4 3 5 x y − = .

Prin scăderea ecuaţiilor: x = 7y .

Prima ecuaţie devine 25y = 5, deci1

5y = şi

7

5 x = .

De o importanţă

fundamentală

este corespondenţa (func

ţia bijectiv

ă)

2:H → V , pe care am definit-o mai înainte: ( ) ( ),H xi y j x y + = (sau





( ) ( ) ( ), , pentru ,H OM x y M M x y = = ∈

P ).

Această corespondenţă este, practic, o identificare între V şi 2 (scriem

( ), xi y j x y + ≡

), operaţiile f ăcându-se direct pe componente:

( ) ( ) ( ) ( ) xi y j ai b j x a i y b j + + + = + + +

( x,y ) + (a,b) = ( x +a, y +b)

La fel: ( ) ( ) ( )t ai b j ta i tb j + = +

, ( ) ( ), ,t a b ta tb=

Reţineţi! Identificăm vectorul de poziţie OM

al punctului ( ),M x y cu perechea

( ) 2, x y ∈ . Aceasta conduce la operaţiile cu perechi:

( ) ( ) ( ), , , x y a b x a y b+ = + + ,

( ) ( ), ,t x y tx ty = etc.

În acest mod, am definit (formal) operaţii cu perechi ( ) 2, x y ∈ .

( ) ( ) ( ), , , x y a b x a y b+ = + + ,

( ) ( ), ,t a b ta tb= ,

(de fapt, 2 devine spaţiu vectorial în raport cu aceste operaţii). Avemproprietăţi de calcul, cum ar fi asociativitatea:

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ), , , , , , , x y a b u v x y a b u v x a u y b v + + = + + = + + + + .

Exemplu de aplicare

Am văzut că, dacă ABC este un triunghi oarecare în plan cu laturile delungimi BC = a, CA = b, AB = c , atunci: pentru orice punct P ∈P , avem,dacă I este centrul cercului înscris în ABC :

a b c PI PA PB PC

a b c a b c a b c = + +

+ + + + + +

.

Luăm P = originea O.

Atunci, dacă ( ),I I I x y , avem ( ), .I I PI OI x y = ≡

La fel, dacă ( ) ( ) ( ), , , , , A A B B C C A x y B x y C x y , vom putea scrie direct,

folosind relaţia de mai sus:

.I A B C

a b c x x x x

a b c a b c a b c = + +

+ + + + + +

I y =

A B C

a b c y y y

a b c a b c a b c + +

+ + + + + +.

Acum vom trece la spaţiu. Luăm în spaţiul cartezian S , echipat cusistemul de axe de coordonate Oxyz .

Definiţie. Dacă ( ), ,M x y z ∈S , vectorul OM

se numeşte vectorul de poziţie al lui M

în sistemul de axe Oxyz .





Ca şi la plan, avem:

( ), ,M x y z OM xi y j zk ⇒ = + +

.

Cu teorema de descompunere, pentru orice vector u ∈

V (în spaţiu!) vom

găsi trei numere unic determinate astfel încât u xi y j zk = + +

.

Definiţie. În contextul de mai sus, numerele x, y, z sunt coordonatele vectorului u .

Dacă avem ( ), , A A A A x y z şi ( ), ,

B B BB x y z în S , atunci

( ) ( ) ( )B A B A B A AB x x i y y j z z k = − + − + −

,

deci coordonatele lui AB

sunt B A x x − ,B Ay y − ,

B Az z − .

În particular, dacă ( ), ,M x y z ∈S , coordonatele vectorului de poziţie OM

sunt x, y, z :

OM xi y j zk = + +

.Exprimăm operaţiile cu vectori, în continuare, cu ajutorul coordonatelor.

Adunarea. Dacă ,u ai b j ck v xi y j zk = + + = + +

, atunci:

( ) ( ) ( )u v a x i b y j c z k + = + + + + +

.

Scăderea. Ca mai sus, ( ) ( ) ( )u v a x i b y j c z k − = − + − + −

Vectorul nul. 0 0 0 0i j k = + +

.

Înmulţirea cu scalari. Dacă t ∈ şi u ai b j ck = + +

, atunci:

( ) ( ) ( )tu ta i tb j tc k = + +

.

Spunem că adunarea (scăderea) şi produsul cu scalari se fac pecomponente.

Produsul scalar. Dacă u ai b j ck = + +

şi v xi y j zk = + +

, atunci:

u v ax by cz ⋅ = + +

.

În particular,2

2 2 2u a b c = + +

, deci 2 2 2u a b c = + +

.

Se vede imediat că avem proprietăţile:

2 2 2

1i j k = = =

şi

0i j j k i k ⋅ = ⋅ = ⋅ =

Dacă u ai b j ck = + +

, v xi y j zk = + +

,sunt vectori nenuli, atunci, dacă θ

este măsura unghiului vectorilor uşi v

, avem:

2 2 2 2 2 2cos

ax by cz

a b c x y z

+ +

θ = + + ⋅ + + .





Produsul vectorial. Fie u ai b j ck = + +

şi v xi y j zk = + +

. Atunci:

( ) ( ) ( )xu v bz cy i cx az j ay bx k = − + − + −

.

Această expresie a produsului vectorial se reţine mai uşor sub forma:

i j k

u v a b c

x y z

× =

(dezvoltăm după elementele primei linii acest determinant simbolic!).

Avem, de asemenea, următoarele proprietăţi:

x 0; x 0; x 0i i j j k k = = =

; ;i j k j k i k i j × = × = × =

x ; x ; x j i k k j i i k j = − = − = −

.(Se memorează pornind cu xi j k =

şi f ăcând permutări circulare).

Produsul mixt

Dacă , 1,2,3 p p p pu x i y j z k p= + + =

, vom putea calcula produsul mixt după

cum urmează:

( )1 1 1

1 2 3 2 2 2

3 3 3

x

x y z

u u u x y z

x y z

⋅ =

(*)

Rezultă imediat proprietăţile

( ) ( ) ( )1 2 3 2 3 1 3 1 2x x xu u u u u u u u u⋅ = ⋅ = ⋅

şi ( )1 2 3x 0u u u⋅ =

, dacă există

m n≠ astfel încâtm n

u u=

(produsul mixt este nul dacă unul din factori

este nul).

Consecinţă. Am văzut că, în contextul de mai sus, valoarea ( )1 2 3xu u u⋅

este egală cu

volumul paralelipipedului construit cu cei trei vectori. Acest volum este nuldac

ă şi numai dac

ă paralelipipedul degenereaz

ă într-o figur

ă plan

ă, adic

ă

vectorii 1 2 3, ,u u u admit reprezentanţi cu aceeaşi origine care au

extremităţile şi originea în acelaşi plan.

Aşadar, avem echivalenţa: 1 2 3, ,u u u

sunt coplanari ⇔ determinantul de la

(*) este nul.

Folosind proprietăţile de mai sus, vom prezenta câteva tipuri de calcule.

Exemple.

1. Fie 3 4 , 3u i j k v i k = + − = +

. Să calculăm u v +

.

Avem u v +

= ( ) ( ) ( )3 3 4 0 1 1 6 4i j k i j + + + + − + = +

.

2. Dacă 2 , 2u i j v i j k = + = + −

şi 3w i =

, să calculăm 2 3 6 .u v w + −





Rezultatul este

( ) ( ) ( ) ( )2 2 3 2 6 3 2 3 18 4 3 6i j i j k i i j k + + + − − ⋅ = + − + + −

= 13 7 6i j k − + −

3. Să calculăm u v ⋅

, unde 3 2u i j k = + −

şi 3 2v i j k = − + +

.

Avem u v ⋅

= -9 + 4 – 1 = -6.

4. Pentru vectorii uşi v

de mai sus, să calculăm ,u v

şi cosθ , unde θ

este măsura unghiului lor.

( )22 23 2 1 14u = + + − =

( )2 2 23 2 1 14v = − + + =

6 3cos

14 7

u v

u v

⋅ −θ = = = −

⋅

.

5. Pentru ce valori ale parametrului real t sunt ortogonali vectorii:

2u ti j tk = + +

şi v t i j k = − −

?

Avem echivalenţa 0u v u v ⊥ ⇔ ⋅ =

.

Deoarece 2 21 2 2 1u v t t t t ⋅ = − − = − −

rezultă echivalenţa

2 2 1 0 1 2 sau 1 2u v t t t t ⊥ ⇔ − − = ⇔ = − = +

.

6. Să calculăm u v ×

, unde 2 3 , 2u i j v i j k = + = − + −

. Avem:

( ) ( )2 3 x 2u v i j i j k × = + − + − =

( ) ( ) ( )2 1 x 2 x 4 x 3 1 x 3 x 3 2 xi i i j i k j i j j j k = ⋅ − + − + − + + ⋅ − =

= ( ) ( )0 2 4 3 0 6 6 4 5k j k i i j k + − − − − + − = − + +

.

7. Se consider ă paralelipipedul care are patru vârfuri O ABC astfel încât

2 3OA i j = +

OB i j k = + +

2OC j =

Să calculăm volumul acestui paralelipiped.

Volumul este dat de formula:

Volum = ( )xOA OB OC ⋅

.

Cu cele ce preced, volumul este egal cu D unde:

( ) ( )

2 3 0

1 1 1 2 2 4

0 2 0

D = = − ⋅ = − .





Deci volumul căutat este 4.

8. Să demonstr ăm identitatea lui Lagrange:

pentru orice numere reale a, b, c; x, y, z , avem:

( )( )

( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

a b c x y z

ax by cz bz cy cx az ay bx

+ + + + =

= + + + − + − + −

.

Demonstraţia se poate face direct, algebric.

Vom da o demonstraţie geometrică

2 2 2 2 2 2 2 22 2x cos sinu v u v u v u v u v ⋅ + = ⋅ θ + ⋅ θ = ⋅

unde θ este măsura unghiului vectorilor uşi v

.

Scriem aceasta pentru ,u ai b j ck v xi y j zk = + + = + +

.

Rezultatul precedent se scrie:( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2 2ax by cz bz cy cx az ay bx + + + − + − + − =

( )( )2 2 2 2 2 2a b c x y z = + + + + .

Rezultă şi inegalitatea Cauchy – Buniakovski

( )2

ax by cz + + ≤ ( )( )2 2 2 2 2 2a b c x y z + + + + .

Temă. Generalizare!

Ca şi la plan, subliniem importanţa pentru calcule a identificării punctului

( ), ,M x y z ∈S cu vectorul de poziţie OM ∈ V şi, în final cu ( ) 3, , x y z ∈ .

Cu alte cuvinte, avem bijecţia 3:H → V , dată prin

( ) ( ), ,H xi y j zk x y z + + =

.

Această bijecţie conduce la „operaţii cu triplete de numere”:

( ) ( ) ( ), , , , , , x y z a b c x a y b z c + = + + +

( ) ( ), , , ,t x y t tx ty tz = .

Aceste identificări şi operaţii se aplică des.

De exemplu, dacă avem , A B ∈S şi M este mijlocul lui [ AB], putem ar ăta

(vectorial!) că ( )1

2OM OA OB= +

.

Cu identificarea de mai sus, rezultă:

, , .2 2 2

A B A B A BM M M

x x y y z z x y z

+ + += = =






1. Fie două numere reale a şi b , care nu sunt amândouă nule.Consider ăm punctul ( ),M a b ∈P .

a) Să se determine valorile lui t ∈ pentru care vectorii OM şi( )1u t i t j = + +

sunt ortogonali. Discuţie.

b) Să se determine valorile lui t ∈ pentru care vectorii OM

şi

( )1u t i t j = + +

sunt coliniari. Discuţie

2. Fie ,a b

doi vectori necoliniari în spaţiu. Să se arate că avemechivalenţa:

( ) ( )x x 0a b a sb b ta st = + + ⇔ =

,unde s şi t sunt numere reale.







Vom încheia acest paragraf cu prezentarea unor rezultate de geometriecare pot fi tratate cu ajutorul vectorilor.

Introducem întâi raportul de segmente orientate.

Consider ăm trei puncte coliniare distincte A, B, M . Deoarece punctele sunt

coliniare, există un număr unic determinat t cu proprietatea că MA tMB=

Definiţie. Fie A, M, B puncte coliniare distincte. Numărul unic determinat t cuproprietatea că:

MA tMB=

se notează astfel:

MAt

MB= .

Numim pe t raportul segmentelor orientate MA şi MB . Mai spunem că M împarte segmentul orientat AB în raportul t .

Prin convenţie, dacă M = A, vom scrie 0MA

MB= (adică 0

AA

AB= ).

Observaţii. 1° Dacă M este între A şi B avem 0MA

MB< .

2° Dacă M este în afara segmentului[ AB], avem 0MA

MB> .

3° Avem 1

MA

MB ≠ (nu există M pe dreapta AB astfel încât 1

MA

MB = ).

4° Pentru orice { }\ 1t ∈ există M AB∈ , astfel încât .MA

t MB

=

5° Mijlocul M al lui AB este caracterizat de valoarea 1− : 1MA

MB= − .

Teorema următoare este valabilă atât în plan, cât şi în spaţiu.

Teoremă. Fie A, B, M puncte cu M B≠ . Dacă M împarte pe AB în raportul t (adică

MA t MB

= ), atunci:

Pentru orice punct O avem ( )1

1OM OA tOB

t = −

−

sau echivalent:

1

1 1

t OM OA OB

t t

−= +

− −

.

Corolar. Dacă M este mijlocul lui [ AB], atunci, pentru orice punct O, avem

( )1

.2

OM OA OB= +

„Trecem în coordonate” rezultatul, cu identificarea lui V cu 2 (sau 3 )despre care am mai vorbit.





Teoremă. Fie A, B, M , cu M B≠ . Dacă MA

t MB

= , atunci:

( )1

1M A B x x t x t

= −−

; ( )1

1M A By y t y t

= −−

(şi, dacă lucr ăm în spaţiu ( )

1

1M A Bz z t z t = −− )

Folosind acest rezultat, vom demonstra una din teoremele fundamentaleale geometriei:

Teorema lui Menelaus. Fie un triunghi ABC şi trei puncte , , A BC B CA C AB′ ′ ′∈ ∈ ∈ ,diferite de vârfurile triunghiului. Următoarele afirmaţii sunt echivalente:1) Punctele , , A B C ′ ′ ′ sunt coliniare.

2) Avem relaţia: 1 A B B C C A

A C B A C B

′ ′ ′⋅ ⋅ =

′ ′ ′.

Înainte de a trece la demonstraţie, să vedem care sunt variantele depoziţie oferite de acest enunţ (fig. 3.28).

Fig. 3.28

În varianta a) avem două puncte în interiorul laturilor: ( )B AC ′ ∈ ,

( )C AB′ ∈ şi A' în exteriorul lui [BC ]. Atunci, situaţia în expresia din enunţ

este:

A B B C C A

A C B A C B

′ ′ ′⋅ ⋅ = +

′ ′ ′

+ – –

În varianta b), toate punctele sunt pe prelungirile laturilor. Atunci situaţia înexpresia din enunţ este:

A B B C C A

A C B A C B

′ ′ ′⋅ ⋅ = +

′ ′ ′

+ + +

Demonstraţia teoremei

Notăm A B

m

A C

′=

′

,B C

n

B A

′=

′

,C A

p

C B

′=

′

.

Demonstr ăm întâi implicaţia 2) 1)⇒ .





Aşadar, presupunem că mnp = 1 şi vom ar ăta că , , A B C ′ ′ ′sunt coliniare.

Ideea de demonstraţie constă în a ar ăta că există numerele reale x, y cuproprietatea că x + y = 1 şi astfel încât

BB xBA yBC ′ ′ ′= +

, (1)

ceea ce va ar ăta că , , A B C ′ ′ ′ sunt coliniare, folosind o teoremă anterioar ă. Avem:

( )1

1

B C n BB BC nBA

nB A

′′= ⇒ = −

−′

. (2)

Vom exprima pe BC

în funcţie de BA′

, iar pe BA

în funcţie de BC ′

:

BC BA A C ′ ′= +

. (3)

Dar:1 1 1 A B A C

m A C A B BA

m m m A C A B

′ ′′ ′ ′= ⇒ = ⇒ = = −

′ ′

şi (3) devine:

1 11

mBC BA BA

m m

−⎛ ⎞ ′ ′= − =⎜ ⎟⎝ ⎠

(4)

BA BC C A′ ′= +

(5)

C A p C A pC B pBC

C B

′′ ′ ′= ⇒ = = −

′

şi (5) devine:

( )1BA p BC ′= −

(6)

Ducem (4) şi (6) în (2):( )

( )( )1 1

1 1

m n pBB BA BC

m n n

− −′ ′ ′= −

− −

.

Putem lua( )

( )( )1 1

,1 1

m n p x y

m n n

− −= = −

− −pentru a verifica (1). Într-adevăr:

( )1 1

11 1

m n np m mn mnp m mn x y

m n n n mn m mn

− − + − − + −+ = + = = =

− − − −,

deoarece mnp = 1. Acum demonstr ăm implicaţia 1) ⇒ 2).

Aşadar, presupunem că avem punctele , , A B C ′ ′ ′ ca în enunţ, care suntcoliniare. Vrem să ar ătăm că de aici rezultă mnp = 1.

Anume, vom presupune că există , , A BC B CA C AB′ ′ ′∈ ∈ ∈ ca în enunţ,care sunt coliniare şi pentru care 1mnp ≠ .

Notăm1

qmn

= , deci q p≠ . Construim unicul punct Q AB∈ astfel

încât QA qQB

= . Rezultă că Q C ′≠ .





Deoarece 1mnq = , cu implicaţia deja demonstrată 2) 1)⇒ rezultă că ' A ,'B , Q sunt coliniare. Deci intersecţia lui A B′ ′ cu AB este Q. Ipoteza spune

însă că intersecţia lui A B′ ′ cu AB este C ′ , deci C Q′ = , contradicţie.

Comentarii. 1°. Teorema lui Menelaus se mai numeşte şi „teorema transversalei”,deoarece o dreaptă care taie laturile triunghiului (cum este ' ' ' A B C ) se

mai numeşte şi transversală.2°. Am demonstrat o condiţie necesar ă şi suficientă de coliniaritate,exprimată printr-o soluţie calculatorie.

Cu teorema lui Menelaus putem demonstra o altă teoremă fundamentală ageometriei.

Teorema lui Ceva. Fie un triunghi ABC şi , , A BC B CA C AB′ ′ ′∈ ∈ ∈ puncte diferite devârfurile triunghiului.Următoarele afirmaţii sunt echivalente:

1) Dreptele , , AA BB CC ′ ′ ′ sunt concurente sau paralele.

2) Avem relaţia:

1 A B B C C A

A C B A C B

′ ′ ′⋅ ⋅ = −

′ ′ ′

Comentarii. 1°. O dreaptă care nu este latur ă şi uneşte un vârf al unui triunghi cu unpunct de pe latura opusă se numeşte (în onoarea lui G. Ceva) ceviană.Teorema lui Ceva (sau teorema cevienelor) prezintă condiţii necesare şisuficiente calculatorii pentru concurenţa sau paralelismul a trei ceviene dincele trei vârfuri.

2°. Poziţiile posibile ale configuraţiei din teorema lui Ceva sunt prezentate

în fig. 3.29.

Fig. 3.29

Anume, în fig. 3.29 a) şi 3.29 b) avem cele două cazuri de concurenţă posibile: punctul de concurenţă M este în interiorul triunghiului (3.29 a),toate rapoartele din enunţ sunt negative) sau punctul de concurenţă M este în exteriorul triunghiului (3.29 b), două rapoarte pozitive, unulnegativ).

În fig. 3.29 c) apare situaţia de paralelism.

3°. Enunţuri greşite (din motive de superficialitate) care nu iau înconsiderare şi cazul de paralelism, apar adesea în diverse manuale sau

căr ţi.De exemplu, în fig. 3.30, triunghiul ABC este echilateral. Ceviana AA' este înălţime, deci A' este mijlocul lui BC :





1 A B

m A C

′= = −

′.

Celelalte două ceviene BB' şi CC' , paralele cu AA' (deci perpendiculare peBC ), formează dreptunghiul BCC'B' şi avem

12, 2

B C C An p C BB A

′ ′= = = =′′ ; deci mnp = -1.

Fig. 3.30

4° Remarcaţi asemănarea perfectă a enunţurilor între teoremele luiMenelaus şi Ceva.

3.4. Numerele complexe privite din punct de vedere geometric (analiticşi vectorial)

3.4.1. Reprezentarea geometrică a numerelor complexe Amintim că numerele reale se pot reprezenta prin punctele unei axe.

Mai precis, fie d o axă pe care fixăm o origine O şi o unitate de măsur ă.Dacă asociem fiecărui punct al dreptei d abscisa sa, se obţine o funcţiebijectivă de la punctele acestei drepte în mulţimea numerelor reale.

Un număr complex = + iz a b este determinat prin două numere reale a şib. De aceea este natural să reprezentăm geometric numerele complexeprin punctele unui plan.

Fie, pentru aceasta, un plan P în care ne fixăm un sistem de axe

ortogonale xOy . Fiecărui număr complex = + iz a b i se asociază punctulM de coordonate (a, b) (fig. 3.31)

Fig. 3.31 Fig. 3.32

Punctul M se numeşte imaginea geometrică a numărului complex + ia b , iar numărul + ia b se numeşte afixul punctului M . Din teorema lui

Pitagora, aplicată în triunghiul dreptunghic OMM' se deduce că:





= + = + =2 2 2 2' ' | |OM OM MM a b x .

Această egalitate ne arată că lungimea segmentului OM este modululnumărului complex = + iz a b .

Exemple. Numerelor complexe +1 3i , − +1 i , = +2i 0 2i , = +3 3 0i li se asociază respectiv punctele

1

(1,3)M , −2

( 1,1)M ,3

(0,2)M ,4

(3,0)M , (fig. 3.32}.

Avem = +1 |1 3i|= 10OM , = − +2 | 1 i|= 2OM , =3 | 2i|=2OM , =4 | 3|=3OM .

Asocierea = + →i ( , )z a b M a b este o funcţie bijectivă de la mulţimeanumerelor complexe la punctele planului P . Prin această funcţie, mulţimiinumerelor reale îi corespunde axa Ox , iar mulţimii numerelor imaginare îicorespunde axa Oy '. De aceea, axa Ox se numeşte axa reală, iar axa Oy axa imaginar ă. Planul ale cărui puncte se identifică cu numerelecomplexe prin funcţia bijectivă definită mai înainte se numeşte planulcomplex.

3.4.2. Interpretarea geometrică (vectorială) a adunării şi scăderiinumerelor complexe

Numerele complexe au şi o altă interpretare geometrică. Să asociemfiecărui punct M al planului P vectorul

OM care are originea în O şi

capătul în punctul M . Această asociere este evident o funcţie bijectivă dela mulţimea numerelor complexe în mulţimea vectorilor care au originea înO(0,0). Astfel, fiecare număr complex + ia b poate fi reprezentat geometric

ca vectorulOM , unde M are coordonatele (a, b). Se spune că (a, b) sunt

coordonatele vectoruluiOM .

Reprezentarea numerelor complexe cu ajutorul vectorilor ne dă o interpre-tare simplă a adunării numerelor complexe:

( i) ( ' ' i) ( ')( ')ia b a b a a b b+ + + = + + .

Este cunoscut că la adunarea vectorilor coordonatele corespunzătoare lor

se adună. De aceea, dacă vectorulOM (fig. 3.33) are coordonatele (a, b),

iar vectorul

'OM are coordonatele ( ', ')a b , atunci vectorulOS (S fiind al

patrulea vârf al paralelogramului care are celelalte trei vârfuri respectiv M ,O şi 'M ) are coordonatele (a + a', b + b), Acest vector corespunde

numărului complex ( ') ( ')ia a b b+ + + care este suma dintre + ia b şi+' ' ia b ..

Fig. 3.33 Fig. 3.34Exemplu. Fie numerele complexe = +1 3 2iz şi = +2 1 3iz , reprezentate în plan prin





vectorii

1OM şi

2OM , unde: 1(3,2)M , 2(1,3)M (fig. 3. 34). Atunci suma

= + = + + + = +3 1 2 (3 2i) (1 3i) 4 5iz z z este reprezentată în plan prin vectorul

3OM , unde 3M este punctul de coordonate (4, 5).

Observăm, de asemenea, că opusul numărului + ia b , care este − − ia b

este reprezentat prin vectorul

1OM , unde 1M este simetricul punctului( , )M a b faţă de origine (fig. 3.35 ). Astfel se deduce uşor, interpretarea

geometrică a scăderii a două numere complexe.

Fig. 3.35

Cum ' ' ( )z z z z − = + − , având în vedere interpretarea geometrică a adunăriinumerelor complexe, rezultă că D are coordonatele − −( , ' )a a b b şi

vectorulOD corespunde diferenţei ' ( ' ) ( ' )iz z a a b b− = − − − . Avem

=| |OM z , =' | ' |OM z , = +| ' |OS z z .

Relaţiile dintre laturi în triunghiurile OMS şi OMM' dau respectiv:

− ≤ ≤ +MS OM OS MS OM ,

' ' 'OM OM MM OM OM − ≤ ≤ + .

Dar cum = 'MS OM şi ='MM OD , rezultă:

− ≤ + ≤ +| ' | | | | ' | | ' | | |z z z z z z ,

− ≤ − ≤ +| ' | | | | ' | | ' | | |z z z z z z .

3.4.3. Forma, trigonometrică. a unui număr complex

A. Noţiuni fundamentale

Fie = + iz a b un număr complex nenul. Am văzut că dacă P este un plan în care s-a fixat un sistem de axe ortogonale xOy , numărului complex z ise asociază un punct M (diferit de origine) având coordonatele (a, b).

Numărul complex z poate fi reprezentat geometric prin vectorulOM unde

M are coordonatele (a, b).

Modulul numărului complex = + iz a b este lungimea segmentului (razeivectoare) care uneşte originea O(0,0) cu punctul M (a, b). Măsuraunghiului format de raza vectoare cu semiaxa pozitiva a axei absciselor

(valoare ce apar ţine intervalului π[0,2 ) ) se numeşte argumentul redus 0t al numărului z şi se notează cu argz (fig. 3.35)





Fig. 3.35

Sensul pozitiv de măsurare a argumentului unui număr complex este de lasemiaxa pozitiva Ox a absciselor la semiaxa pozitivă Oy a ordonatelor, însens invers acelor de ceasornic.

Observaţie. Pentru numărul complex 0 argumentul redus nu este definit, neavând nicio semnificaţie.

Dacă = + iz a b este un număr complex nenul ( + ≠2 2

0a b ), componentelesale a şi b sunt proiecţiile vectorului

OM (ţinându-se cont de semn) pe

axele de coordonate. Dacă 0t este argumentul redus al numărului

complex nenul = + iz a b , iar = +2 2r a b este modulul său, atunci dindefiniţia sinusului şi a cosinusului unui unghi, rezultă formulele:

= 0cosa r t , = 0sinb r t (1)

Prin urmare, fiind dat un număr complex nenul = + iz a b , argumentulredus al său se obţine din relaţiile:

=cos at r

, =sin bt r

(2)

unde = +2 2r a b .

Deoarece există un număr unic ∈ π[0,2 )t care satisface relaţiile (2),rezultă că modulul şi argumentul redus ale unui număr nenul z sunt unicdeterminate. Dacă ≠ 0a , argumentul redus al numărului = + iz a b se

poate determina şi din formula =tg b

t a

.

Înlocuind componentele numărului complex nenul = + iz a b prin expresiile

lor date de formulele (1), obţinem:

= +0 0(cos isin )z r t t , = +2 2r a b , ∈ π0 [0,2 )t (3)

Formula (3) se numeşte forma trigonometrica redusă a număruluicomplex nenul z . Argumentul redus nu este singurul număr real careverifica relaţiile (3).

Orice număr real t , care verifica condiţiile = a

t r

, =sin b

t r

, unde

= +2 2r a b se numeşte argument al numărului complex nenul = + iz a b .

Dacă t este un argument al numărului complex ≠ 0z , atunci:

= +(cos isin )z r t t , = +2 2r a b (4)





Formula (4) se numeşte forma trigonometrică a numărului complex nenul z .Dacă z este un număr complex nenul şi =0 argt z este argumentul redus,

atunci din relaţiile (2) rezultă că t este un argument al lui z dacă şi numaidacă = + π0 2t t k , ∈ k .

Observaţie. Dac

ă = 0z , modulul este egal cu 0

şi pentru argumentul s

ău poate fi luat

orice număr real. În final, yom da interpretarea geometrică a numerelor complexeconjugate.Fie numărul complex nenul = + iz a b , ≠ 0b , iar = − iz a b conjugatul său.Este clar că = =| | | |z z r , iar dacă =0 argt z , atunci = π − 0arg 2z t (fig. 3.37).

Fig. 3.37

Într-adevăr:

0 0 0 0(cos isin ) (cos(2 ) isin(2 ))z r t t r t t = − = π − + π − ,

unde π − ∈ π02 (0, 2 )t .

Exemple. 1. Să se scrie sub formă trigonometrică redusă numărul complex = +1 iz .

R: Dacă = +0 0(cos isin )z r t t , atunci = = + =| | 1 1 2r z , iar 0

1cos =

2t ,

=0

1sin

2t , de unde

π=0 4

t . Deciπ π⎛ ⎞

= +⎜ ⎟⎝ ⎠

2 cos isin4 4

z .

2. Să se scrie sub forma trigonometrică redusă numărul complex = −2iz .

R: Dacă = +0 0(cos isin )z r t t , atunci = = + =| | 0 4 2r z . Imagineanumărului = −2iz se găseşte pe semiaxa negativă a axei ordonatelor,

deciπ

0

3=arg z=

2t . Deci

π π⎛ ⎞= +⎜ ⎟

⎝ ⎠

2 32 cos isin

2 2z .

3. Să se scrie sub formă trigonometrică redusă numărul complex= − α + α1 cos isinz , unde α ∈ π(0,2 ) .

R: Avemα α

= = − α + α = − α = =2 2 2| | (1 cos ) sin 2(1 cos ) 4sin 2 sin2 2

r z .

Cumα

∈ π(0, )2 , avemα

>sin 02 şi deciα

=2sin 2r . Acum:





22sin i2sin cos 2sin sin icos2 2 2 2 2 2

2sin cos isin ,2 2 2 2 2

z α α α α α α⎛ ⎞

= + = + =⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞α π α π α⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − + −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

şi deci z se scrie sub form

ă trigonometric

ă:

2sin cos isin2 2 2

z α π − α π − α⎛ ⎞

= +⎜ ⎟⎝ ⎠

.

Să scriem pe z sub formă trigonometrică redusă.

Distingem cazurile:

1° Dacă (0, ]α ∈ π , atunci 02 2 2

π α π≤ − < ,

π − α=arg

2z şi deci

2sin cos isin

2 2 2

z α π − α π − α⎛ ⎞

= +⎜ ⎟⎝ ⎠

.

2° Dacă α ∈ π π( ,2 ) , atunci3

2 22 2

π π − α< + π < π , adică arg 2

2z

π − α= + π

şi deci5 5

2sin cos isin2 2 2

z α π − α π − α⎛ ⎞

= −⎜ ⎟⎝ ⎠

.

B. Utilizarea formei trigonometrice a numerelor complexe la înmulţire, împăr ţire şi extragerea r ădăcinii de ordin n.

Înmulţirea

Fie 1z şi 2z două numere complexe scrise sub forma trigonometrică:

= +1 1 1 1(cos isin )z r t t , = +2 1 2 2(cos isin )z r t t .

Înmulţind aceste numere avem:

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

1 2 1 2 1 2

[(cos cos sin sin ) i(sin cos cos sin )]

[cos( ) isin( )] .

z z r r t t t t t t t t

r r t t t t

= − + + =

= + + +

Deci:

= + + +1 2 1 2 1 2 1 2[cos( ) isin( )] .z z r r t t t t (1)

Generalizare

Să generalizăm formula care dă produsul a două numere complexe. Mai

precis, dacă ≥ 2n este un număr natural oarecare, iar:

= +1 1 1 1(cos isin )z r t t , = +2 2 2 2(cos isin )z r t t , ..., = +(cos isin )n n n nz r t t

sunt numere complexe, atunci:

= + + + + + + +… … … …1 2 1 2 1 2 1 2[cos( ) isin( )] .n n n n

z z z r r r t t t t t t (2)

Exemplu. Să se calculeze modulul şi argumentul redus al produsului numerelor

complexe = +1 3 iz şi = −2 1 iz .





R: Avemπ π⎛ ⎞

= + = +⎜ ⎟⎝ ⎠

1 3 i 2 cos isin6 6

z ,π π⎛ ⎞

= − = +⎜ ⎟⎝ ⎠

2

7 71 i 2 cos isin

4 4z şi

( )( ) ⎡ ⎤π π π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + − = + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

π π⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠

1 2

7 73 i 1 i 2 2 cos isin

6 4 6 4

23 232 2 cos isin .12 12

z z

Avem =1 2 2 2z z şiπ

=1 2

23arg

12z z

π⎛ ⎞< < π⎜ ⎟⎝ ⎠

230 2

12.

Inversul unui număr complex nenul scris sub formă trigonometrică.

Câtul a două numere complexe

Fie = +(cos isin )z r t t , ≠ 0z , un număr complex nenul. Inversul său este

− = =

+

1 1 1

(cos isin )

z

z r t t

şi amplificând cu −cos isint t obţinem:

− = = − = − + −1 1 1 1(cos isin ) (cos( ) isin( ))z t t t t

z r r .

Fie acum = +1 1 1 1(cos isin )z r t t şi = +2 2 2 2(cos isin )z r t t , ≠2 0z , două

numere complexe. Ţinând cont de cele de mai înainte, rezultă că:

1 1 11 2 1 2 1 2

2 2

[cos( ) isin( )]z r

z z t t t t z r

− = = − + − .

Ridicarea la putere a unui număr complex

Fie = +(cos isin )z r t t un număr complex şi n un număr natural nenul.

Folosind formula (2) în cazul = = = =…1 2 nz z z z , obţinem

( )⎡ ⎤

= ⋅ ⋅ ⋅ + + + + + + + = +⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

… … … cos( ) isin( ) cos isinn n

de n ori de n ori de n ori

z r r r t t t t t t r nt nt .

În particular, pentru r = 1, obţinem formula lui Moivre:

( )+ = +cos isin cos isinn

t t nt nt .

Formula lui Moivre este adevărată şi pentru numere întregi negative. Într-adevăr, dacă 0n < este un număr întreg, atunci − > 0n este numărnatural şi avem:

( )( )

−+ = = = =− + − −+

+= = +

+2 2

1 1 1cos isin

cos( ) isin( ) cos isincos isin

cos isincos isin .

cos isin

n

nt t

nt nt nt nt t t

nt nt nt nt

nt nt

Deci formula lui Moivre este adevărată pentru orice număr întreg nenul.

Exemple. Să se calculeze cos3t , sin3t şi tg3t în funcţie de cos t , sint şi respectivtgt .





R: Conform formulei lui Moivre, avem ( )+ = +3

cos3 isin3 cos isint t t t , de

unde, ridicând în membrul drept la puterea a treia, obţinem:

+ = − + −3 2 2 3cos3 isin3 cos 3cos sin i(3cos sin sin )t t t t t t t t .

Egalând păr ţile reale şi cele imaginare din ambii membri, rezultă:

= − = −3 2 3

cos3 cos 3cos sin 4cos 3cost t t t t t şi

= − = −2 3 3sin3 3cos sin sin 3sin 4sint t t t t t .

Atunci−

=−

2 3

3 2

3cos sin intg3

cos 3cos sin

t t s t t

t t t şi, împăr ţind număr ătorul şi numitorul

prin 3cos t , deducem:

−=

−

3

2

3tg tgtg3

1 3tg

t t t

t .

Este clar că în acest mod putem scrie funcţiile trigonometrice alemultiplului unui argument ca expresii în care intervin doar funcţiitrigonometrice ale argumentului iniţial.

Rădăcina de ordinul n dintr-un număr complex

Definiţie. Fie z un număr complex şi ≥ 2n un număr natural. Se numeşte . r ădăcinade ordinul n a lui z orice număr complex u cu proprietatea =nu z .

Cu alte cuvinte, u este r ădăcină a ecuaţiei =nu z .

Observăm că dacă = 0z , atunci numărul 0 este singura r ădăcină de ordin

n a lui 0.De aceea, în continuare vom considera cazul ≠ 0z . Pentru aflarear ădăcinilor din numere complexe nenule, folosim forma trigonometrică aacestora.

Teoremă. Fie = +(cos isin )z r t t un număr complex nenul şi ≥ 2n un număr natural.Există exact n r ădăcini distincte de ordinul n ale lui z , date de formula:

+ π + π⎛ ⎞= +⎜ ⎟

⎝ ⎠

2 2cos isinn

k

t k t k z r

n n, ∈ −…(0,1,2, , 1)k n .

3.4.4. Aplicaţii ale numerelor complexe în geometrie În acest paragraf vom prezenta câteva probleme şi teoreme din geometriecare ilustrează relaţiile de reciprocitate dintre numerele complexe şigeometria plană. Mai precis, cu ajutorul numerelor complexe, vom ar ătacum putem demonstra simplu anumite teoreme din geometrie. Vom vedeacă numerele complexe ofer ă un nou punct de vedere asupra geometrieiplane şi totodată ne permit să înţelegem mai adânc natura lor.

Probleme rezolvate.

1. Să se arate c

ă dac

ă punctele

1M

şi

2M au afixele

1z

şi respectiv

2z

atunci mijlocul M al segmentului 1 2M M are afixul 1 2

2

z z z

+= .





R: Într-adevăr, dacă 1 1 1iz x y = + şi 2 2 2iz x y = + atunci coordonatele lui

1M şi 2M sunt respectiv 1 1( , ) x y şi 2 2( , ) x y şi deci afixul punctului M este:

1 2 1 2 1 1 2 2 1 2( i ) ( i )i

2 2 2 2

x x y y x y x y z z z

+ + + + + += + = = .

Definiţie. Dacă punctele 1M , 2M , 3M , 4M sunt coliniare şi segmentele 1 3M M şi

2 4M M au acelaşi mijloc, atunci spunem că 1 2 3 4M M M M este un

paralelogram degenerat (fig. 3.38). Dacă punctele 1M , 2M , 3M , 4M nu

sunt coliniare şi segmentele 1 3M M şi 2 4M M nu au acelaşi mijloc, atunci

spunem că 1 2 3 4M M M M este un paralelogram propriu (fig. 3.39).

Fig. 3.38 Fig. 3.39

2. Să se demonstreze că imaginile numerelor complexe 1z , 2z , 3z , 4z

sunt vârfuri ale unui paralelogram 1 2 3 4M M M M (propriu sau degenerat),

dacă şi numai dacă:

1 3 2 4z z z z + = + . (1)

R. Presupunem că 1 2 3 4M M M M este un paralelogram. Atunci segmentele

1 3M M şi 2 4M M au acelaşi mijloc. Afixelek

z , 1, 2, 3, 4k = ale punctelork

M

şi 2M verifică relaţia 1 3 2 4

2 2

z z z z + += , deci avem relaţia (1).

Reciproc, din relaţia (1) deducem că segmentele 1 3M M şi 2 4M M au

acelaşi mijloc. Dacă punctelek

M sunt coliniare, atunci 1 2 3 4M M M M este

un paralelogram degenerat, iar dacă nu sunt coliniare, atunci 1 2 3 4M M M M este un paralelogram propriu.

3. Teorema lui Pompeiu. Se consider ă triunghiul echilateral ABC şi M unpunct din plan. Atunci, cu segmentele MA, MB şi MC se poate forma unnou triunghi, eventual degenerat.

Demonstraţ ie. Fie 1z , 2z , 3z , z afixele punctelor A, B, C şi M , Se verifică uşor că pentru orice numere complexe 1z , 2z , 3z , z are loc identitatea:

1 2 3 2 3 1 3 1 2( )( ) ( )( ) ( )( ) 0z z z z z z z z z z z z − − + − − + − − = (2)

Identitatea (2) poate fi interpretată spunând că vectorii corespunzătorinumerelor complexe:





1 2 3( )( )z z z z − − , 2 3 1( )( )z z z z − − şi 3 1 2( )( )z z z z − −

formează un contur închis. Relaţia (2) se mai scrie:

1 2 3 2 3 1 3 1 2( )( ) ( )( ) ( )( )z z z z z z z z z z z z − − − = − − + − −

şi aplicând modulul, rezultă că:

1 2 3 2 3 1 3 1 2| | | | | | | | | | | |z z z z z z z z z z z z − ⋅ − ≤ − ⋅ − + − ⋅ − (3)

Ţinând seama că distanţa dintre două puncte este modulul diferenţeiafixelor lor, inegalitatea (3) ne spune că dacă A, B, C şi M sunt punctearbitrare în plan, atunci avem relaţia:

AM BC BM CA CM AB⋅ ≤ ⋅ + ⋅ . (4)

Relaţia (4) se numeşte inegalitatea lui Ptolemeu.

Inegalitatea (4) şi alte două inegalităţi analoage ne arată că putem

construi un triunghi ale cărui laturi au lungimile propor ţionale cu produsele AM BC ⋅ , BM CA⋅ , CM AB⋅ .

În cazul nostru, ABC este un triunghi echilateral, ceea ce înseamnă că AB BC CA= = şi atunci inegalitatea (4) devine:

AM BM CM ≤ + . (5)

Inegalitatea (5) împreună cu alte două inegalităţi analoage ne arată că AM , BM, CM sunt laturile unui triunghi.

4. Teorema lui Ţiţeica („Problema piesei de cinci lei”). Trei cercuri

congruente 1( , )O r C , 2( , )O r C , 3( , )O r C au un punct comun O şi se maiintersectează două câte două în punctele A, B, C . Cercul circumscristriunghiului ABC este congruent cu cercurile date.

Demonstraţ ie. Se consider ă un reper cartezian având ca origine punctul O

comun celor trei cercuri date şi fie 1z , 2z , 3z afixele punctelor 1O , 2O , 3O

(fig. 3.40). Rezultă că punctele A, B, C au respectiv afixele 2 3z z + , 1 3z z +

şi 1 2z z + . Deci: 1 3 2 3 1 2 1 2| ( ) ( ) | | | AB z z z z z z OO= + − + = − = . Analog se obţine

2 3BC O O= şi 1 3 AC OO= .

Fig. 3.40





Prin urmare, triunghiurile ABC şi 1 2 3OO O sunt congruente, deci şi cercurile

circumscrise lor sunt congruente. Dar centrul cercului circumscris

triunghiului 1 2 3OO O este punctul O, deoarece 1 2 3OO OO OO r = = = şi

acest cerc are raza egală cu r .

Observaţie. Notăm cu

1 2 3

z z z ω = + + şi fie Q punctul al cărui afix este numărul complexω .Ţinând seama că 1 2 3| | | | | |z z z r = = = , putem ar ăta că Q este centrulcercului circumscris triunghiului ABC şi că acest cerc are raza r .

Într-adevăr, avem 2 3 1| ( ) | | |QA z z z r = ω − + = = , 1 3 2| ( ) | | |QB z z z r = ω − + = = ,

1 2 3| ( ) | | |QC z z z r = ω − + = = , ceea ce înseamnă că A, B, C sunt situate pecercul de ecuaţie | |z r − ω = .


1. Fie a un număr real nenul. Să se scrie sub formă trigonometrică numărul z = a + ai.

2. Fie 1 2 3, , A A A puncte distincte în plan, de afixe 1 2 3, ,z z z . Să se arate că

punctele 1 2 3, , A A A sunt coliniare dacă şi numai dacă 2 1

3 1

z z

z z

−−

este număr

complex.


Răspunsurile

la test se vorda în spaţiulliber dinchenar, încontinuareaenunţurilor.






Test 1.

1.

Deoarece AM BU =

, deducem că MA BU

∼ , deci (v. fig.) BU AM MN = . Analog, BV AN MN = .

Prin punctul B putem duce o singur ă paralelă la MN , deci U şi V se află peaceastă paralelă.

2.

(i) ⇒ (ii)Evident, A, M, B sunt coliniare şi AM MB= .

În plus, [MB AB⎡ ⊂⎣ , deci AM şi MB au acelaşi sens. Rezultă AM MB∼ .

(ii) Din AM MB=

rezultă că AM MB= . Dreptele suport AM şi MB au

aceeaşi direcţie şi punctul M comun, deci trebuie să coincidă, adică A, M,

B sunt coliniare. Cum A B≠ şi AM MB= , rezultă că M este între A şi B,

deci este mijlocul lui [ AB].

Test 2.

1. a) Avem succesiv

AA AB BA AB A C AB AC AA′ ′ ′ ′= + = + = + − ⇒

2 AA AA AA AB AC ′ ′ ′⇒ + = = +

.

b) Întâi observăm că , , AA BB CC ′ ′ ′

sunt, două câte două, concurente încentrul de greutate al lui ABC . Prin urmare, două câte două nu au aceeaşidirecţie.

Cu a) avem:

( ) ( ) ( )1 1 1

2 2 2 AA BB CC AB AC BC BA CA CB′ ′ ′+ + = + + + + + =

( ) ( )1 1

0 0 0 02 2

AB BA AC CA BC CB= + + + + + = + + =

şi aplicăm un rezultat precedent.

2. a) ( )MA BC MA MC MB MA MC MA MB⋅ = ⋅ − = ⋅ − ⋅

.

Adunând , prin permutări circulare, găsim:

0MA MC MA MB MB MA MB MC MC MB MC MA⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅ = ,

folosind comutativitatea.





b) Să notăm cu H punctul de intersecţie al înălţimilor din B şi C .

Deci ,HB AC HC AB⊥ ⊥ .

Aplicăm relaţia lui Euler pentru H, A, B, C :

0HA BC HB CA HC AB⋅ + ⋅ + ⋅ =

.

Deoarece HB AC ⊥ , rezultă 0HB CA⋅ =

şi, la fel, 0HC AB⋅ =

.

Rămâne 0HA BC ⋅ =

, adică HA BC ⊥

, adică AH este înălţimea din A .

Test 3.

1. a) Avem OM ai bj = +

.

Condiţia OM u⊥

revine la 0OM u⋅ =

adică :

( ) ( )1 0 0at b t a b t b+ + = ⇔ + + = .

Dacă 0a b+ ≠ , obţinem soluţia bt a b

= −+

.

Dacă a+b = 0, ar trebui să avem b = 0, deci a = 0, ceea ce nu este posibil.

Problema are soluţie dacă şi numai dacă 0a b+ ≠ . În acest caz, soluţia

esteb

t a b

= −+

.

b) Vectorii OM

şi u

sunt coliniari dacă şi numai dacă există două numere

reale x, y care nu sunt amândouă nule, astfel încât 0 x OM y u⋅ + ⋅ =

.

Adică:

( ) ( )( )1 0 0 x ai bj y ti t j ax ty + + + + = ⇔ + =

şi ( )1 0bx t y + + = .

Avem un sistem omogen în x şi y, care admite şi soluţie nebanală

⇔ ( )0 0 01

a t a at bt a b t a

b t = ⇔ + − = ⇔ − + =

+.

Dacă 0a b− ≠ , avem relaţiaa a

t a b b a

= − =− −

.

Dacă 0a b− = , trebuie să avem a = 0, deci b = 0, ceea ce nu este posibil.

Problema are soluţie dacă şi numai dacă 0a b− ≠ . În acest caz, soluţia

estea

t b a

=−

.

2. ( ) ( )a sb b ta a b sb b ta a stb a a b sta b+ × + = × + × + × + × = × − × =

( )1 st a b= − ×

. Deoarece aşi b

nu sunt coliniari, nici unul nu este nul şi

0a b× ≠

.

Atunci condiţia de mai sus se mai scrie:

( ) ( )1 1 1 0 0 0a b st a b st a b sta b st × = − × ⇔ − − × = ⇔ × = ⇔ =

.





Test 4.

1. ( )1z a ai a i = + = + .

Dar 2 21 1 1 2i + = + = , deci :

2 21 2 2 cos sin2 2 4 4i i i ⎛ ⎞

π π⎛ ⎞+ = + = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠.

Prin urmare 2 cos sin4 4

z a i π π⎛ ⎞

= +⎜ ⎟⎝ ⎠

.

2. Identificăm punctele p A de afixe , 1, 2, 3 p p pz x iy p= + = cu punctele

( ), p p p A x y din planul cartezian.

Avem proprietatea următoare: punctele 1 2 3, , A A A sunt coliniare dacă şi

numai dacă există un număr real t cu proprietatea că:

( )2 3 11 x tx t x = + −

( )2 3 11 x ty t y = + −

Condiţia din enunţ se scrie:

2 1

3 1

existăz z

t z z

−∈ ⇔ ∈

− cu proprietatea că 2 1

3 1

z z t

z z

−= ⇔

−există t ∈ cu

proprietatea ( )2 1 3 1z z t z z − = − ⇔ există t ∈ cu proprietatea:

2 2 1 1 3 3 1 1 x iy x iy tx ity tx ity + − − = + − − ⇔ există t ∈ cu proprietatea că, simultan:

( )2 3 11 x tx t x = + − şi ( )2 3 11y ty t y = + − ⇔ ( ) ( ) ( )1 1 1 2 2 2 3 3 3, , , , , A x y A x y A x y

sunt coliniare.

4.6. Lucrare de verificare pentru studenţiIndicaţii de redactare. Problemele se vor rezolva în ordinea din textul enunţului.

Rezolvările se vor expedia pe adresa tutorelui.

1 punct din oficiu

1,5p. 1. Se consider ă punctele distincte A şi B şi fie M mijlocul segmentului [ AB].Fie punctele N, P cu proprietatea că AN PB=

.

Să se arate că punctele M, N, P sunt coliniare

1,5p 2. Fie ABCD şi A B C D′ ′ ′ ′ două pătrate care au acelaşi centru.

Să se arate că 0 AA BB CC DD′ ′ ′ ′+ + + =

.

1,5p 3. Se consider ă vectorii 2 3u i j = +

, ( )1v ti t j = + −

unde t ∈ .

a) Să se arate că 0v ≠ .





b) Să se calculeze ,u v

şi cosθ , unde θ este măsura unghiului vectorilor

uşi v

.

c) Să se determine valorile lui t pentru care uşi v

sunt coliniari.

d) Să se determine valorile lui t pentru care uşi v

sunt ortogonali.

e) Pentru valorile găsite la d), să se descompună vectorul 5 5i j +

după uşi v

.

1,5p 4. a) Să se calculeze produsul vectorial u v× , unde u i j k = + +

şi

2v i j k = − +

b) Să se calculeze volumul paralelipipedului construit pe vectorii, ,u v w

, unde u

,v

sunt cei de la punctul a), iar w i j = +

.

1,5p 5. Să se demonstreze următorul rezultat (numit relaţia lui Stewart)

Fie A, M, B trei puncte coliniare distincte, [ ]M AB∈ . Fie şi O un alt punct. Atunci:2 2 2OA MB OB MA OM AB MA MB AB⋅ + ⋅ − ⋅ = ⋅ ⋅ .

1,5p 6. Se consider ă în plan punctele distincte 1 2 3, , A A A de afixe 1 2 3, ,z z z astfel

încât 1 2 3 0z z z = = > . Să se arate că 1 2 3 A A A este triunghi echilateral

dacă şi numai dacă 1 2 3 0z z z + + = .

3.7. Bibliografie

[1.] N.N. Mihăileanu, Utilizarea numerelor complexe în geometrie, EdituraTehnică, Bucureşti, 1968.

[2.] E. Murgulescu, S. Flexi, O. Kreindler, O. Sacter, M. Tîrnoveanu.Geometrie analitic ă şi diferenţ ial ă (ed. II, revizuită şi completată). Ed. Did.Ped., Bucureşti, 1965.

[3.] C. Năstăsescu, C. Niţă, I. Chiţescu, D. Mihalca. Matematic ă. Trunchicomun şi curriculum diferenţ iat. Manual pentru clasa a IX-a. Ed. Did. Ped.,Bucureşti, 2004.

[4.] C. Năstăsescu, C. Niţă, I. Chiţescu, D. Mihalca, M. Dumitrescu.Matematic ă. Trunchi comun şi curriculum diferenţ iat . Manual pentru clasaa X-a. Ed. Did. Ped., Bucureşti, 2005.



Elemente de trigonometrie



ELEMENTE DE TRIGONOMETRIE

Cuprins

Obiectivele Unităţii de învăţare 4 .............................................................................. 350

4.1. Definirea funcţiilor trigonometrice. Calcule cu funcţii trigonometrice ................... 351

4.2. Variaţia funcţiilor sinus, cosinus, tangentă şi reprezentarea lor grafică ............... 367

4.3. Funcţii trigonometrice inverse ............................................................................. 370

4.4. Ecuaţii trigonometrice........................................................................................... 375

4.5. Rezolvarea triunghiurilor ...................................................................................... 385

4.6. Comentarii şi r ăspunsuri la testele de autoevaluare ............................................ 391

4.7. Lucrare de verificare pentru studenţi.................................................................... 394

4.8. Bibliografie ........................................................................................................... 395


După ce veţi parcurge această unitate de învăţare, veţi putea să faceţiurmătoarele operaţii matematice:

Identificarea poziţiei pe cercul trigonometric şi a valorilor funcţiilortrigonometrice pentru un num

ăr dat.

Reducerea la primul cadran.

Identificarea datelor numerice care caracterizează un triunghi şia modului de calcul al datelor care lipsesc.

Utilizarea formulelor trigonometrice şi a celor de geometriemetrică pentru calculul lungimilor şi al măsur ărilor de unghiuri,precum şi pentru rezolvarea de ecuaţii.

Reprezentarea mulţimii soluţiilor unor ecuaţii trigonometricefolosind funcţiile trigonometrice inverse şi regulile generale.

Utilizarea funcţiilor trigonometrice ca model pentru descrierea

fenomenelor periodice. Determinarea practică a unor lungimi inaccesibile





4.1. Definirea funcţiilor trigonometrice. Calcule cu funcţiitrigonometrice

4.1.1. Funcţiile trigonometrice ale unghiului ascuţit

Fie un unghi ascuţit de măsur ă t (în grade sau radiani).

Consider ăm două triunghiuri dreptunghice ABC şi A B C ′ ′ ′ care au un unghiascuţit de măsur ă t , unde lungimile laturilor au fost notate cu litere mici(fig. 4.1).

Fig, 4.1

Se arată imediat că cele două triunghiuri sunt asemenea, de unde rezultă:, , şi

b b c c b b c c

a a a a c c b b

′ ′ ′ ′= = = =

′ ′ ′ ′.

Prin urmare, în orice triunghi dreptunghic care are un unghi de măsur ă t ,

rapoartele , , şib c b c

a a c b sunt constante.

Aceste rapoarte se numesc sinusul, cosinusul, tangenta şi cotangentaunghiului de măsur ă t şi se notează după cum urmează:

cateta opusă

sin ipotenuză

b

t a= = ,

cateta alăturată

cos ipotenuză

c

t a= =

cateta opusătg

cateta alăturatăb

t c

= = ,cateta alăturată

ctgcateta opusă

t =

Se pot justifica imediat următoarele proprietăţi, unde t este măsuraunghiului ascuţit.

1) 0 sin 1, 0 cos 1t t < < < <

2) tg 0, ctg 0t t > > (numerele tg t , ctg t pot fi oricât de mari)

3) sin cos ,cos sin2 2t t t t

π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞− = − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

tg ctg , ctg tg2 2

t t t t π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞

− = − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

dacă t este măsura în grade, atunci ( )sin 90 cos etc.t t − =

4) 2 2sin cos 1t t + =

5)sin cos

tg , ctg , tg ctg 1cos sin

t t t t t t

t t = = ⋅ = .

În anumite cazuri, valorile funcţiilor trigonometrice ale unui unghi ascuţit,se pot calcula prin consideraţii geometrice.





Pentru 30 x = sau 60 x = se foloseşte un triunghi dreptunghic ABC cu ununghi de 30 , unde AC = l (fig. 4.2), iar pentru 45 x = se foloseşte untriunghi dreptunghic isoscel, unde notăm AB = AC = l (fig. 4.3).

Fig. 4.2 Fig. 4.3

Trecem rezultatele în următorul tabel:

x radiani sin x cos x tg x ctg x 180 grade x ⋅π

6

π⋅

1

2 3

2

3

3 3 30°

6

π⋅ 2

2

2

2 1 1 45°

6

π⋅ 3

2

1

2 3

3

3 60°

Avem egalităţile:

1 3 3sin sin30 , cos cos30 , tg tg30

6 2 6 2 6 3

π π π= = = = = = etc.

4.1.2. Cercul trigonometric

Consider ăm planul raportat la un sistem de coordonate xOy . Fie C cerculde centru O şi rază 1 (unitatea de lungime a celor două axe). Notăm cu

, , , A B A B′ ′ punctele unde axele de coordonate intersectează cercul C (fig.4.4).

Un punct mobil care pleacă din punctul A, se poate deplasa pe C în două

sensuri: – sensul contrar acelor de ceasornic, numit sensul pozitiv;

– sensul acelor de ceasornic, numit sensul negativ.

Definiţie. Fie xOy un sistem de coordonate în plan. Se numeşte cerc trigonometric cercul de rază 1 cu centrul în originea O, pe care am definit sensul pozitivca fiind sensul contrar acelor de ceasornic.

Cercul trigonometric va fi notat C .





Fig. 4.4

Observaţie. Fie un număr real 0;2

t π⎛ ⎞∈⎜ ⎟⎝ ⎠

. Putem defini:

cos t = cosinusul unui unghi ascuţit de măsur ă t

sin t = sinusul unui unghi ascuţit de măsur ă t.

Vom interpreta cos t , sin t în contextul cercului trigonometricC .

Fie P ∈C punctul situat în primul cadran, astfel încât ( )m AP t = (fig. 4.4).

Rezultă că lungimea arcului AP este t şi ( )m AOP t = . Fie P ′ proiecţia lui

P pe axa Ox . Punctul P are abscisa OP ′ şi ordonata PP'.

Ţinând cont de definiţiile de la § 4.1.1. şi de faptul că OP = 1, avem:

cos t =OP

OP OP

′′= = abscisa lui P,

sin t =PP

PP OP

′′= = ordonata lui P .

Deci, cos t şi sin t sunt coordonatele acelui punct P ∈C situat în primul

cadran, pentru care lungimea arcului AP este egală cu t .

Iată planul pe care îl vom urma în continuare.

1) Vom stabili o corespondenţă între mulţimea numerelor reale şi mulţimeapunctelor cercului trigonometric.

Mai precis, vom asocia oricărui număr real t un punct unic al cercului C ,punct notat t

P .

2) În raport cu sistemul de coordonate, punctul t P are o abscisă care va fi

numită cosinusul numărului t şi o ordonată care va fi numită sinusulnumărului t .

Propoziţie. (Corespondenţa între mulţimea numerelor reale şi mulţimeapunctelor cercului trigonometric). Pentru orice număr real t există ununic număr întreg k şi un unic număr [ )0,2α ∈ π astfel încât 2t k = α + π .

De exemplu:

19 , 19 9 2 , deci , 9t k = π π = π + ⋅ π α = π = ,

( )48 , 48 24 2 0, deci 0, 12;t k = − π − π = − ⋅ π + α = = −





2 , 2 0 2t = π π = + π , deci 0, 1k α = = ;

, 0 2t = π π = π+ ⋅ π , deci , 0k α = π = ;

( )7, 7 7 2 2t = = − π + π , deci 7 2 , 1k = − π = ;

( )7, 7 7 4 4t = − − = − + π − π , deci 7 4 , 2.k α = − + π = −

Propoziţia poate fi justificată astfel:

Figur ăm pe axa numerelor „reţeaua” de numere { }2 | A k k = π ∈ . Vom

putea găsi pentru orice t ∈ un unic element al lui A, anume 2k π , astfel încât ( )2 2 1 2 2k t k k π ≤ < + π = π + π . Rezultă 0 2 2t k ≤ − π < π , deci putem

lua 2t k α = − π .

În relaţia 2t k = α + π (1), numerele αşi k sunt în mod unic determinate de

t . Pentru a marca dependenţa de t , (1) se mai scrie ( ) ( ) ( )2 1t t k t ′= α + π

Menţionăm că în cele ce urmează vom măsura arcele şi unghiurile înradiani.

Consider ăm un număr t ∈ şi [ )0,2α ∈ π .

Pe cercul trigonometric C există un singur P astfel încât:

( ) ( )m AP m AOP = = α .

Vom spune că P este punctul cercului C asociat numărului real t şi vomnota acest punct t

P (v. fig. 4.5).

Fig. 4.5

Exemple.

( )0 1,0P A= ; ( )2

0,1P Bπ = ; ( )1,0P Aπ ′= − ; ( )3

2

0, 1P Bπ ′= − ;

48 0P P A− π = = deoarece avem ( )48 24 2 0− π = − ⋅ π + ;

21 32 2

P P B− π π ′= = , deoarece ( )21 3

6 22 2

π π− = − ⋅ π + .

Observaţii. 1. Dacă [ )2 , cu 0,2t k = α + π α ∈ π şi k ∈ , atuncit P P α = .

2. Este util să reţinem cadranul în care se află punctul t P :





• dacă 0,2

t π⎛ ⎞

∈⎜ ⎟⎝ ⎠

,t

P apar ţine cadranului I;

• dacă ,2

t π⎛ ⎞

∈ π⎜ ⎟⎝ ⎠

,t

P apar ţine cadranului II;

• dacă 3

,2

t π⎛ ⎞

∈ π⎜ ⎟⎝ ⎠

,t

P apar ţine cadranului III;

• dacă 3

,22

t π⎛ ⎞

∈ π⎜ ⎟⎝ ⎠

,t

P apar ţine cadranului IV.

3. Numerelor reale t şi 2 ,t m m+ π ∈ le corespunde acelaşipunct al cercului C , deci:

2t t mP P + π= pentru orice şit m∈ ∈ .

Dând lui k valorile 0, 1, 2,...± ± rezultă:

2 4 2 4

... ...t t t t t

P P P P P + π + π − π − π

= = = = = =

Prin urmare, există o infinitate de numere reale cărora le corespundeacelaşi punct al cercului.

Am stabilit în acest fel corespondenţat t P → între numerele t din şi

punctelet

P ale cercului trigonometricC .Ţinând seama de faptul că α şi k

sunt unic determinate de t , am definit de fapt o funcţie.

Definiţie. Funcţia :F → C definită prin ( ) t F t P = , se numeşte funcţia de

acoperire universală a cerculuiC .

Iată două proprietăţi ale funcţiei F .1) Funcţia F este periodică de perioadă principală 2π .Numerelor reale t şi 2t + π le corespunde acelaşi punct al cercului C , deci

2t t P P + π= . Rezultă ( ) ( )2F t F t = + π , pentru orice t ∈ .

Mai general, numerelor reale t şi 2t m+ π , m ∈ le corespunde acelaşipunct al cercului C , deci ( ) ( )2F t F t m= + π , pentru orice t ∈ şi orice

m ∈ .2) Punctele ( ) t F t P = şi ( ) t F t P −− = sunt simetrice în raport cu axa Ox

pentru orice t ∈ .

4.1.3. Funcţiile trigonometrice cosinus şi sinus

A. Definire, primele proprietăţi

Am ar ătat anterior că oricărui număr t ∈ îi putem asocia un unic punct

t P al cercului trigonometric C . În raport cu sistemul de coordonate xOy ,

punctul P are o abscisă t

x şi ordonatat

y .

Definiţie. Fie un număr real t şi punctul asociatt P ∈ C .

Abscisa punctuluit

P se numeşte cosinusul numărului real t şi se notează

cos t .

Ordonata punctuluit P se numeşte sinusul numărului real t şi se notează

sin t .





A se vedea fig. 4.6.

Fig. 4.6.

Această definiţie pentru sinusul şi cosinusul unui număr real extindedefiniţia corespunzătoare pentru unghiuri ascuţite.

Mai precis, dacă 0,2t π⎛ ⎞

∈⎜ ⎟⎝ ⎠ , putem considera un unghi ascuţit de măsur ă t

radiani. Atunci, definiţia numerelor cos t şi sin t , dată cu ajutorultriunghiului dreptunghic, coincide cu definiţia dată acum.

Exemple. Având în vedere că 0

2

, ,P A P B P Aπ π ′= = = şi 3

2

P Bπ ′= avem:

( ) ( )0 cos0,sin0 1,0 cos0 1, sin0 0;P A= ⇒ = =

( )2

cos , sin 0,1 cos 0,sin 12 2 2 2

P Bπ

π π π π⎛ ⎞ = ⇒ = =⎜ ⎟⎝ ⎠

;

( ) ( )cos ,sin 1,0 cos 1,sin 0P Aπ ′π π = − ⇒ π = − π = ;

( )3

2

3 3 3 3cos ,sin 0, 1 cos 0,sin 1

2 2 2 2P Bπ

π π π π⎛ ⎞ ′= − ⇒ = = −⎜ ⎟⎝ ⎠

.

Observaţie. Putem considera că numerele cos t şi sin t reprezintă cosinusul şi sinusulunui arc de măsur ă t radiani, al cercului C . Se ştie că dacă un arc are a ,

atunci măsura lui în radiani este180

t aπ

= . Prin convenţie, cosinusul şi

sinusul unui arc de a sunt

cos cos , sin sin180 180

a a a aπ π

= = .

De exemplu: cos90 cos 0, sin90 sin 12 2

π π= = = = .

Definiţie. Asociind oricărui număr real t numărul cos t , obţinem o funcţie numită funcţia cosinus, notată cos. Deci:

cos : , cost t → → .

Asociind oricărui număr real t numărul sin t, obţinem o funcţie numită

funcţia sinus, notată sin. Deci:sin : , sint t → → .





Vom prezenta proprietăţi şi formule trigonometrice în care intervin funcţiilecosinus şi sinus.

1 cos 1, 1 sin 1, .t t t − ≤ ≤ − ≤ ≤ ∀ ∈

Formula fundamentală a trigonometriei:2 2cos sin 1,t t t + = ∀ ∈ .

( ) ( )cos 2 cos , sin 2 sin , ,t k t t k t t k + π = + π = ∀ ∈ ∀ ∈ .

Funcţiile cosinus şi sinus sunt periodice şi au perioada principală 2π .

Prin urmare:

( )

( )

cos 2 cos

sin 2 sin .

t m t

t m t

+ π =

+ π =pentru orice t ∈ şi m ∈ .

( ) ( )cos cos , sin sin , .t t t t t − = − = − ∀ ∈

Cu alte cuvinte:

Funcţia cosinus este par ă, iar funcţia sinus este impar ă.

B. Reducerea la primul cerc şi reducerea la primul cadran

Reducerea la primul cerc

Din proprietatea de periodicitate rezultă următorul principiu:

Determinarea valorilor funcţiilor cosinus şi sinus se reduce la

determinarea valorilor acestor funcţii pe intervalul [ )0,2π .

În adevăr, fie t ∈ . Ştim că există k ∈ şi [ )0,2t ′ ∈ π astfel încât2t t k ′= + π . Obţinem:

( )cos cos 2 cost t k t ′ ′= + π = , ( )sin sin 2 sint t k t ′ ′= + π = .

Rezultă că putem calcula cos t , sin t , t ∈ cu ajutorul unor numerecos , sint t ′ ′ , unde [ )0,2t ′ ∈ π . Spunem că am realizat reducerea la primul

cerc.

Exemple:13

sin sin 3 2 sin 1;2 2 2

π π π⎛ ⎞= ⋅ π + = =⎜ ⎟

⎝ ⎠

7 7 1cos cos cos 2 cos

3 3 3 3 2

π π π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞− = = π + = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠;

( )cos4125 cos 2062 2 cos 1π = ⋅ π + π = π = − .

Semnul funcţiilor cosinus şi sinus

Rezultă că determinarea semnului pe se reduce la determinareasemnului pe [ )0,2π .

Fie [ )0,2t ∈ π şi P t (cos t , sin t ) punctul cerculuiC asociat numărului t .

Având în vedere cadranul în care se află t P , deducem:





0,2

cos 0

sin 0

t

t

t

π⎛ ⎞∈⎜ ⎟

⎝ ⎠>

>

,2

cos 0

sin 0

t

t

t

π⎛ ⎞∈ π⎜ ⎟

⎝ ⎠<

>

a) b)

3,

2

cos 0

sin 0

t

t

t

π⎛ ⎞∈ π⎜ ⎟

⎝ ⎠<

>

3,2

2

cos 0

sin 0

t

t

t

π⎛ ⎞∈ π⎜ ⎟

⎝ ⎠>

<

c) d)

Fig. 4.7

Reţinem deci:

Semnul funcţiei sinus şi al funcţiei cosinus pe [ )0,2π .

t 02π π 3

2π 2π

sin t 0 + + 1 + + 0 - - -1 - - 0cos t 1 + + 0 - - -1 - - 0 + + 1

Reducerea la primul cadran

Să calculăm numerele cos ,sint t unde [ )0,2t ∈ π .

Pentru , ,3 4 6

t π π π⎧ ⎫

∈ ⎨ ⎬⎩ ⎭

valorile numerelor cos ,sint t se calculează prin metode

geometrice (vezi 4.1.1).





Pentru3

0, , , ,22 2

t π π⎧ ⎫

∈ π π⎨ ⎬⎩ ⎭

numerele cos ,sint t se calculează aplicând

definiţia cosinusului şi a sinusului.

Pentru a calcula alte valori vom utiliza formulele (valabile pentru 0,2

t π⎛ ⎞

∈ ⎜ ⎟⎝ ⎠

,

v. fig. 4.8).

Fig. 4.8 Acum, putem enunţa următorul principiu:

Calcularea numerelor ( )cos , sin , 0,2t t t ∈ π se reduce la calcularea unor

numere cos , sint t ′ ′ , unde 0,2

t π⎛ ⎞′ ∈ ⎜ ⎟⎝ ⎠

.

Pentru justificare, vom lua în consideraţie

trei cazuri:

Cazul ,2t

π⎛ ⎞

∈ π⎜ ⎟⎝ ⎠

Avem: , cu 0, ,deci2

t t t π⎛ ⎞′ ′= π − ∈ ⎜ ⎟⎝ ⎠

( )

( )

cos cos cos

sin sin sin

t t t

t t t

′ ′= π − = −

′ ′= π − =

Cazul3

,2

t π⎛ ⎞

∈ π⎜ ⎟⎝ ⎠

Avem: , cu 0, ,deci2t t t π⎛ ⎞′ ′= π + ∈ ⎜ ⎟⎝ ⎠

( )

( )

cos cos cos

sin sin sin

t t t

t t t

′ ′= π + = −

′ ′= π + = −

Cazul3

,22

t π⎛ ⎞

∈ π⎜ ⎟⎝ ⎠

Avem 2 , unde 0, ,deci2

t t t π⎛ ⎞′ ′= π − ∈ ⎜ ⎟⎝ ⎠

( ) ( )( ) ( )

cos cos 2 cos cossin sin 2 sin sin

t t t t

t t t t ′ ′ ′= π − = − =

′ ′ ′= π − = − = −





Exemple.3 2

cos cos cos4 4 4 2

π π π⎛ ⎞= π − = − = −⎜ ⎟

⎝ ⎠;

4 3sin sin sin

3 3 3 2

π π π⎛ ⎞= π + = − = −⎜ ⎟⎝ ⎠

;

11 3cos cos 2 cos cos

6 6 6 6 2

π π π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞= π − = − = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠.

C. Formule pentru cosinusul şi sinusul sumei şi diferenţei

Vom deduce formule pentru ( ) ( )cos , cosa b a b− + şi apoi pentru

( ) ( )sin , sina b a b− + .

Cosinusul diferenţei

( )cos cos cos sin sin , ,a b a b a b a b− = + ∀ ∈

Cosinusul sumei

( )cos cos cos sin sin , ,a b a b a b a b+ = − ∀ ∈

cos sin , sin cos ,2 2

t t t t t π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞

− = − = ∀ ∈⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Sinusul diferenţei

( )sin sin cos sin cos , ,a b a b b a a b− = − ∀ ∈

Sinusul sumei

( )sin sin cos sin cos , ,a b a b b a a b+ = + ∀ ∈

În particular rezultă formulele:

2 2

sin2 2sin cos , .

cos2 cos sin ,

a a a a

a a a a

= ⋅ ∀ ∈

= − ∀ ∈

2 21 cos 2cos , 1 cos 2sin2 2

a aa a+ = − =

1 cos 1 coscos , sin ,

2 2 2 2

a a a aa

+ −= = ∀ ∈ .

3

3

cos3 4cos 3cos ,

sin3 3sin 4sin ,

x x x x

x x x x

= − ∀ ∈

= − ∀ ∈






1. Demonstraţi că pentru orice x ∈ avem:

21 sin 2cos4 2

x x

π⎛ ⎞+ = −

⎜ ⎟⎝ ⎠

2. Demonstraţi că pentru orice a şi b în avem:

( ) ( )2 2sin sin sin sina b a b a b− = + −


Răspunsurilela test se vorda în spaţiulliber din

chenar, încontinuareaenunţurilor.





4.1.4. Funcţiile trigonometrice tangentă şi cotangentă

Reamintim că dacă 0,2

t π⎛ ⎞

∈ ⎜ ⎟⎝ ⎠

am definit, cu ajutorul unui triunghi

dreptunghic, cost , sint , tgt , ctgt şi am ar ătat că:

sintg

cos

t t

t = ,

cosctg

sin

t t

t = .

Deoarece ( )cos 0 2 1 |2

t t k k π⎧ ⎫

≠ ⇔ ∈ − + ∈⎨ ⎬⎩ ⎭

{ }sin 0 |t t k k ≠ ⇔ ∈ − π ∈ ,

putem da următoarele definiţii.

Definiţii. 1) Fie t ∈ astfel încât cos 0t ≠ . Prin definiţie,sin

cos

t

t

se numeşte tangenta

numărului t şi se notează tgt , deci:

sintg ,

cost

t t = ( )2 1 |

2t k k

π⎧ ⎫∈ − + ∈⎨ ⎬

⎩ ⎭ .

2) Fie t ∈ astfel încât sin 0t ≠ . Prin definiţie,cos

sin

t

t se numeşte

cotangenta numărului t şi se notează ctgt , deci

costg ,

sin

t c t

t = { }|t k k ∈ − π ∈ .

Vom da o interpretare numerelor tgt , ctgt prin intermediul cerculuitrigonometric.

Axa tangentelor . Consider ăm cercul trigonometric C şi d tangenta în A laC (fig. 4.9).

Fig. 4.9

Fie |2

t k k π⎧ ⎫

∈ − + π ∈⎨ ⎬⎩ ⎭

şi P ∈C punctul asociat numărului t . Rezultă

P B≠ şi P B′≠ , deci OP intersectează d într-un punct pe care îl vom nota

T . Din asemănarea triunghiurilor PP O′ şi TAO rezultă PP TA

OP OA

′=

′, deci

PP TA

OP

′=

′(1)

Avem ( )cos ,sinP t t şi ( )1, t T y .





Din relaţia (1) rezultă sin

tgcost

t y t

t = = . Dreapta d se numeşte axa

tangentelor.

Obţinem deci interpretarea:

Fie |2t k k

π⎧ ⎫

∈ − + π ∈⎨ ⎬⎩ ⎭

. DacăP ∈C

este punctul asociat numărului t şiT este punctul unde OP intersectează axa tangentelor, atunci tg t esteordonata punctului T .

Axa cotangentelor . Consider ăm tangenta în punctul B la cerculC , notată d '. Fie { }|t k k ∈ − π ∈ şiP ∈C punctul asociat, numărului t . Rezultă

P A≠ şi P A′≠ , deci OP intersectează dreapta d ′ într-un punct T ′ (v. fig.4.10)

Fig.4.10

Se arată analog că ctg t este abscisa punctului T ′ .

Dreapta d ' se numeşte axa cotangentelor .

Observaţie. Definim tangenta şi cotangenta unui arc de măsur ă a prin:

tg tg , ctg ctg180 180

a a a aπ π= = .

Definiţii. 1) Asociind oricărui t cu cos 0t ≠ numărul tg t , obţinem o funcţie numită funcţia tangentă şi notată tg, deci:

( )sin

tg : { 2 1 | } , tg2 cos

t k k t t

t

π− + ∈ → → = .

2) Asociind oricărui t cu sin 0t ≠ numărul ctg t , obţinem o funcţie numită funcţia cotangentă şi notată ctg, deci

{ }cos

ctg : | , ctg sin

t

k k t t t − π ∈ → → = .

Proprietăţi

• Orice număr real este o valoare a funcţiei tangentă.

• 2 22 2

1 11 tg , 1 ctg , tg ctg 1

cos sint t t t

t t + = + = ⋅ = .

• ( ) ( )tg tg , ctg ctgt t t t + π = + π = .

• Funcţiile tangentă şi cotangentă sunt periodice şi au perioada principală π .

• ( ) ( )tg tg , ctg ctgt k t t k t + π = + π = .

• ( ) ( )tg tg , ctg ctgt t t t − = − = − .





• Funcţiile tangentă şi cotangentă sunt impare.

• tg ctg , ctg tg2 2

t t t t π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞

− = − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

.

Semnul funcţiei tangentă şi al funcţiei cotangentă:

t 0 2π π 32π 2π tg t 0 + + │ - - 0 + + │ - - 0ctg t 1 + + 0 - - │ + + 0 - - │

Reamintim că ori de câte ori scriem tg x , presupunem îndeplinită condiţia:

( )2 1 , .2

x k k π

≠ + ∈

Pentru valori admise ale variabilelor au loc următoarele formule:

• ( ) ( )tg tgtg , tg1 tg tg 1 tg tgtg a b tg a ba b a b

a b a b+ −+ = − =

− +.

Rezultă:

•2

2tgtg2

1 tg

aa

a=

−.

•sin 1 cos

tg2 1 cos sin

a a a

a a

−= =

+.

•

1 cos

tg 2 1 cos

a a

a

−

= + .

Exemple. 1) Să calculăm ( )1 1

tg 2 , dacă tg , tg7 3

a b a b+ = = .

Avem ( )tg tg

tg 21 tg tg

a ba b

a b

++ =

−, iar

2

2tg 3tg2

1 tg 4

bb

b= =

−, de unde obţinem

( )tg 2 1a b+ = .

2) Să calculăm tg15 .

Avem 1 cos302 15 30 , deci tg15 2 3sin30−⋅ = = = −

. Altfel:

( ) ( )

2

3 3tg45 tg30 3 3tg15 tg 45 30 2 3

1 tg45 tg30 63 3

−− −= − = = = = −

+ ⋅ +

.

Putem exprima sin , cos , tga a a în funcţie de tg2

a:

2

2tg

2sin1 tg

2

a

a a= + ,

2

2

1 tg

2cos1 tg

2

a

a a

−

= + , 2

2tg

2tg1 tg

2

a

a a= − .





Exemple. 1) Să calculăm sin x şi cos x , dacă g 2 12

x t = − . Aplicăm formulele

anterioare:

( )

( )

( )

( )

2

2 2

2 2 1 1 2 12 2sin , cos

2 21 2 1 1 2 1

x x − − −

= = = =

+ − + −

.

2) Să calculăm sin 4 x , dacă tg x =3. Avem:

sin 4 x = 2sin 2 x cos 2 x = 22

2 2

2tg 1 tg 24

1 tg 1 tg 25

x x

x x

−⋅ = −

+ +.

4.1.5. Formule pentru transformarea sumelor în produse şi a produselor în sume

Ne propunem să scriem fiecare dintre expresiile sin sin p q± şi

cos cos p q± sub formă unui produs.Observăm că, fiind date , p q ∈ există ,a b ∈ astfel încât p = a + b şi

q = a – b, anume2

p qa

+= şi

2

p qb

−= . Aplicând formulele anterioare,

avem:

( ) ( )sin sin sin sin 2sin cos 2sin cos2 2

p q p q p q a b a b a b

+ −+ = + + − = ⋅ = etc.

Prin urmare:

• sin sin 2sin cos2 2 p q p q p q + −+ =

• sin sin 2sin cos2 2

p q p q p q

− +− =

• cos cos 2cos cos2 2

p q p q p q

+ −+ =

• cos cos 2sin sin2 2

p q p q p q

+ −− = −

• ( )sintg tgcos cos

p q p q p q

++ = ⋅, ( )sintg tg

cos cos p q p q

p q−− = ⋅

.

Plecând de la formulele ( )sin a b± şi ( )cos a b± se deduc formulele pentru

transformarea produselor în sume:

• ( ) ( )1

sin cos sin sin2

a b a b a b⎡ ⎤⋅ = + + −⎣ ⎦

• ( ) ( )1

cos cos cos cos2

a b a b a b⎡ ⎤⋅ = + + −⎣ ⎦

• ( ) ( )1 sin sin cos cos2

a b a b a b⎡ ⎤⋅ = − − +⎣ ⎦ .






1. Demonstraţi egalitatea:

tg55 tg35 2tg20− =

2. Ar ătaţi că în orice triunghi ABC care nu este dreptunghic, avemegalitatea:

tg tg tg tg tg tg A B C A B C + + = .


învăţare.






4.2. Variaţia funcţiilor sinus, cosinus, tangentă şi reprezentarea lorgrafică

4.2.1. Funcţia sinus

Teoremă. Funcţia sinus este strict crescătoare pe intervalele [ ]0,2π şi 3 ,22π⎡ ⎤π⎢ ⎥⎣ ⎦ şi

strict descrescătoare pe intervalul3

,2 2

π π⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

.

Graficul funcţiei sinus se obţine astfel:

1) graficul pe intervalul [ ]0,2π este următorul:

Fig. 4.11

2) graficul pe intervalul [ ] [ ]2 ,4 , 4 ,6 , ...π π π π se obţine din graficul pe [ ]0,2π

prin mişcare de translaţie, de mărime 2 , 4 , ...π π după direcţia axei Ox , însens pozitiv;

3) graficul pe intervalul ( ],0−∞ este simetricul graficului pe intervalul ( ]0,∞ în raport cu originea O, deoarece funcţia sinus este impar ă.

Obţinem graficul funcţiei sinus (v. fig. 4.12).

Fig. 4.12Graficul funcţiei sinus este o curbă numită sinusoidă.

Propoziţie. Funcţia sinus este strict crescătoare pe ,2 2

π π⎡ ⎤−⎢ ⎥⎣ ⎦

.

4.2.2. Funcţia cosinus

Teoremă. Funcţia cosinus este strict descrescătoare pe intervalul [ ]0,π şi strict

crescătoare pe intervalul [ ],2π π .

Graficul funcţiei cosinus se obţine astfel:





1) graficul pe intervalul [ ]0,2π este următorul

Fig. 4.13

2) graficul pe intervalele [ ] [ ]2 ,4 , 4 ,6 ,...π π π π se obţine din graficul pe [ ]0,2π ,

prin mişcare de translaţie, de mărime 2 ,4 ...π π după direcţia axei Ox , însens pozitiv.

3) graficul pe intervalul ( ],0−∞ este simetricul graficului pe intervalul [ )0,∞

în raport cu axa Oy , deoarece funcţia cosinus este par ă.

Obţinem graficul funcţiei cosinus (fig. 4.14).

Fig. 4.14

4.2.3. Funcţia tangentă

( ): ,f E f x tg x → = unde ( ){ 2 1 | }2E k k π= − + ∈ este o reuniune de

intervale, anume:

3 3... , , , ...

2 2 2 2 2 2E

π π π π π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ∪ − − ∪ − ∪ ∪⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Fiind periodică, cu perioada principală π , va fi suficient să studiem funcţia

tangentă pe intervalul ,2 2

π π⎛ ⎞−⎜ ⎟

⎝ ⎠.

Semnul şi zerourile funcţiei tangentă pe ,2 2

π π⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠ sunt în tabelul:

t2

π− 0

2

π

tg t | −∞ − − 0 + + |∞

În jurul punctelor2

π şi

2

π− funcţia tangentă are un comportament special.

Dacă x se apropie de2

π prin valori mai mici decât

2

π, constatăm, cu

ajutorul axei tangentelor, că tg x are valori din ce în ce mai mari. Vommarca acest lucru scriind +∞ lângă bara din dreptul lui

2

πşi vom spune că





„tg x tinde la +∞ dacă x tinde la2

πprin valori mai mici decât

2

π”, iar dreapta

2 x

π= este asimptotă verticală pentru graficul funcţiei tangentă.

Analog, „tg x tinde la −∞ , dacă x tinde la2

π− prin valori mai mari decât

2

π− ”, iar dreapta

2 x

π= − este asimptotă verticală pentru graficul funcţiei

tangentă.

Să studiem sensul de variaţie a funcţiei tangentă cu ajutorul tabelului:

t2

π−

3

π−

4

π−

6

π− 0

6

π

4

π

3

π

2

π

tg t −∞ 3− -13

3− 0

3

3 1 3 |∞

Constatăm că dacă argumentul x „creşte” de la2

π− la

2

π, atunci valorile

corespunzătoare tg x „cresc” (de la −∞ la +∞ )

Se poate demonstra următoarea:

Teoremă. Funcţia tangentă este strict crescătoare pe intervalul ,2 2

π π⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

.

Cu alte cuvinte, avem; , , , tg tg2 2

a b a b a bπ π⎛ ⎞∈ − < ⇒ <⎜ ⎟

⎝ ⎠.

Observaţie. Datorită faptului că este periodică de perioadă π , funcţia tangentă este

strict crescătoare pe , ,2 2

k k k π π⎛ ⎞− + π + π ∀ ∈⎜ ⎟

⎝ ⎠ .

Reprezentarea grafică a funcţiei tangentă este dată în fig. 4.15.

Fig. 4.15





4.3. Funcţii trigonometrice inverse

Funcţiile F, G, H definite prin

[ ] ( ): 1,1 , sinF F x x → − = ,

[ ] ( ): 1,1 , cosG G x x → − = ,

( ): , ,H E H x tg x → = unde ( )2 1 |2

E k k π⎧ ⎫= − + ∈⎨ ⎬

⎩ ⎭

sunt surjective, dar nu sunt injective, deoarece sunt periodice. Prinurmare, aceste funcţii nu sunt bijective, deci nu sunt inversabile.

Funcţiile f, g şi h definite după cum urmează

[ ] ( ): , 1,1 , sin2 2

f f x x π π⎡ ⎤− → − =⎢ ⎥⎣ ⎦

.

[ ] [ ] ( ): 0, 1,1 , cosg g x x π → − = .

( ): , , tg2 2

h h x x π π⎛ ⎞− → =⎜ ⎟

⎝ ⎠ .

sunt injective, deoarece sunt strict monotone şi sunt surjective, deci suntbijective.

Fiind bijective, funcţiile f, g , şi h sunt inversabile.

Funcţia arcsinus

Inversa funcţiei f , anume [ ]1 : 1,1 ,2 2

f − π π⎡ ⎤− → −⎢ ⎥⎣ ⎦ se numeşte funcţia

arcsinus şi se notează arcsin.

Rezultă: • funcţia arcsin : [ ]1,1 ,2 2

π π⎡ ⎤− → −⎢ ⎥⎣ ⎦ verifică egalităţile

( ) [ ]sin arcsin , 1,1 x x x = ∀ ∈ − ;

( )arcsin sin , ,2 2

x x x π π⎡ ⎤= ∀ ∈ −⎢ ⎥⎣ ⎦

.

• graficul funcţiei arcsin este simetricul graficului funcţiei f înraport cu dreapta y = x (fig. 4.16, graficul este dat cu linie punctată).

Fig. 4.16





Observaţie. Funcţia f fiind bijectivă, rezultă: pentru orice [ ]1,1a ∈ − ecuaţia sin x = a

are soluţie unică în intervalul ,2 2

π π⎡ ⎤−⎢ ⎥⎣ ⎦, anume x = arcsin a.

Funcţia arccosinus

Inversa funcţiei g , anume [ ] [ ]1

: 1,1 0,g −

− → π se numeşte funcţiaarccosinus şi se notează arccos.

Rezultă: • funcţia arccos : [ ] [ ]1,1 0,− → π verifică egalităţile

( ) [ ]cos arccos , 1,1 x x x = ∀ ∈ − ;

( ) [ ]arccos cos , 0, x x x = ∀ ∈ π

• graficul funcţiei arccos este simetricul graficului funcţiei g înraport cu dreapta y = x (fig. 4.17 ).

Fig. 4.17

Observaţie. Funcţia g fiind bijectivă, rezultă: pentru orice [ ]1,1a ∈ − ecuaţia cos x = a

are soluţie unică în intervalul [ ]0,π , anume x = arccos a.

Funcţia arctangentă

Inversa funcţiei h, anume 1 : ,2 2

h− π π⎛ ⎞→ −⎜ ⎟⎝ ⎠

se numeşte funcţia

arctangentă şi se notează arctg.

Rezultă: • funcţia arctg : ,

2 2

π π⎡ ⎤→ −⎢ ⎥⎣ ⎦

verifică egalităţile

( )tg arc tg , x x x = ∀ ∈ ;

( )arc tg tg , ,2 2

x x x π π⎛ ⎞= ∀ ∈ −⎜ ⎟⎝ ⎠

• graficul funcţiei arctg este simetricul graficului funcţiei h înraport cu dreapta y = x (fig. 4.18, graficul este dat cu linie întreruptă ).





Fig. 4.18

Observaţie. Funcţia h fiind bijectivă, rezultă:

Pentru orice a ∈ , ecuaţia tg x a= are soluţie unică în intervalul ,2 2

π π⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

,

anume arctg x a= .

Funcţiile arcsinus, arccosinus şi arctangentă se numesc funcţiitrigonometrice inverse.

Pentru a calcula valoarea unei funcţii trigonometrice inverse într-un punctdin domeniul de definiţie, este util să reţinem:

• arcsin sin x y x y = ⇔ = şi ,2 2

y π π⎡ ⎤∈ −⎢ ⎥⎣ ⎦

;

• arccos cos x y x y = ⇔ = şi [ ]0,y ∈ π ;

• arc tg tg x y x y = ⇔ = şi ,2 2

y π π⎛ ⎞∈ −⎜ ⎟⎝ ⎠

.

Exemple. 1. Să calculăm arcsin 1;1 3

arccos ; arctg2 3

.

R: Notăm arcsin 1 = y , deci ,2 2

y π π⎡ ⎤∈ −⎢ ⎥⎣ ⎦

şi sin y = 1, adică 2

y π= . Rezultă

arcsin 1 =2

π(verificare: 1 = sin

2

π).

Analog obţinem:1

arccos2 3

π= (verificare:

1cos

2 3

π= )

3arctg

3 6π

= (verificare:3

tg3 6

π= ).

2. a) Să se calculeze arcsin(sin x ), dacă 2 5

, ,3 3 3

x π π π⎧ ⎫∈ ⎨ ⎬⎩ ⎭

.

R: Menţionăm că expresia arcsin(sin t )are sens pentru t ∀ ∈ , deoarece

[ ]sin 1,1 ,t t ∈ − ∀ ∈ , dar egalitatea arcsin(sint ) = t are loc numai dacă

,2 2

t π π⎡ ⎤∈ −⎢ ⎥⎣ ⎦

. Dacă ,2 2

t π π⎡ ⎤∉ −⎢ ⎥⎣ ⎦

, atunci arcsin(sin t) t ≠ .

• arcsin sin3 3

π π⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

, deoarece ,3 2 2

π π π⎡ ⎤∈ −⎢ ⎥⎣ ⎦;





•2

arcsin sin arcsin sin arcsin sin3 3 3 3

⎛ ⎞ ⎛ ⎞π π π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= π − = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

;

•5

arcsin sin arcsin sin 2 arcsin sin3 3 3 3

⎛ ⎞ ⎛ ⎞π π π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= π − = − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

;

b) Să calculăm arccos(cos x ), dacă 4 23,5 5

x π π⎧ ⎫∈ ⎨ ⎬⎩ ⎭

.

R: Menţionăm că expresia arccos(cost )are sens pentru t ∀ ∈ , deoarece

[ ]cos 1,1 ,t t ∈ − ∀ ∈ ,dar egalitatea arccos(cost ) = t are loc numai dacă

[ ]0,t ∈ π . Dacă [ ]0,t ∉ π , atunci arccos(cos t) t ≠ .

•4 4

arccos cos3 5

π π⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

, deoarece [ ]4

0,5

π∈ π ;

•23 3 3 3

arccos cos arccos cos 4 arccos cos5 5 5 5

⎛ ⎞ ⎛ ⎞π π π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= π + = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

c) Să calculăm arctg(tg x ), dacă ,63

x π⎧ ⎫∈ ⎨ ⎬⎩ ⎭

.

R: Expresia arctg(tg t ) are sens pentru orice t pentru care tg t are sens,

dar arctg(tg t ) = t numai pentru ,2 2

t π π⎛ ⎞∈ −⎜ ⎟⎝ ⎠

.

• arc tg tg

3 3

π π⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

, deoarece ,

3 2 2

π π π⎡ ⎤∈ −⎢ ⎥⎣ ⎦

;

• arctg(tg 6) = arctg( ( )tg 6 2− π ) = 6 2− π .

Avem relaţiile:

a) ( ) [ ]arcsin arcsin , 1,1 x x x − = − ∀ ∈ − ;

b) ( ) [ ]arccos arccos , 1,1 x x x − = π − ∀ ∈ − ;

c) ( )arctg arctg , x x x − = − ∀ ∈ .






1. Ar ătaţi că pentru orice [ ]1,1 x ∈ − avem ( ) 2cos arcsin 1 x x = − .

2. Rezolvaţi ecuaţiile:

a) sin(arcsin x ) = x

b) arcsin(sin x ) = x








4.4. Ecuaţii trigonometrice

4.4.1. Ecuaţii trigonometrice fundamentale

Fie un număr real a. Ecuaţiile în necunoscuta x

( )

sin ,

cos ,

tg , 2 1 |2

x a x

x a x

x a x k k

= ∈

= ∈

π⎧ ⎫= ∈ − + ∈⎨ ⎬

⎩ ⎭

se numesc ecuaţii trigonometrice fundamentale. În legătur ă cu fiecaredintre ele se pun două probleme:

– existenţa soluţiei: are ecuaţia cel puţin o soluţie?

– mulţimea soluţiilor: dacă ecuaţia are soluţie, care sunt toate soluţiilesale?

Ecuaţia sin x = a

Condiţia de existenţă a soluţiei este: [ ]1,1 sau 1a a∈ − ≤ .

Dacă ( ) ( ), 1 1,a ∈ −∞ − ∪ ∞ , adică 1a > , atunci ecuaţia nu are soluţie.

Dacă 1a ≤ , ştim că ecuaţia sin x = a are soluţie unică în ,2 2

π π⎡ ⎤−⎢ ⎥⎣ ⎦

, anume

arcsina .

Cum ( ) ( )sin arcsin sin arcsina a aπ − = = , rezultă că arcsinaπ − este soluţie

a ecuaţiei.Datorită proprietăţii de periodicitate a funcţiei sinus, rezultă că numerelearcsin 2 , arcsin 2a k a m+ π π − + π sunt soluţii, pentru orice ,k m ∈ .

Reciproc, orice soluţie a ecuaţiei se află printre numerele puse în evidenţă anterior.

Prin urmare, mulţimea soluţiilor ecuaţiei sin x = a este

{ } { }arcsin 2 | arcsin 2 |a k k a m m+ π ∈ ∪ π − + π ∈ (1)

Avem:

( )2

arcsin 2 1 arcsin 2k

a k a k + π = − + π ,

( ) ( ) ( )2 1

arcsin 2 arcsin 2 1 1 arcsin 2 1m

a m a m a m+

π − + π = − + + π = − + + π .

Rezultă că reuniunea (1) este egală cu mulţimea:

( ){ }1 arcsin |n

a n n− + π ∈ .

Propoziţie. Dacă 1a ≤ , atunci mulţimea soluţiilor ecuaţiei sin x = a este:

( ){ }1 arcsin |

n

a n n− + π ∈

.Dacă 1a > ecuaţia nu are soluţie.





Se mai scrie: ( )sin 1 arcsin ,n

x a x a n n= ⇔ = − + π ∈ .

În cazurile când a = 1, a = 0 sau a = -1, obţinem:

Corolar. sin 1 2 ,2

x x n nπ

= ⇔ = + π ∈ ;

sin 0 , x x n n= ⇔ = π ∈ ;

sin 1 2 ,2

x x n nπ

= − ⇔ = − + π ∈ .

Ecuaţia cos x = a

Condiţia de existenţă a soluţiei este: [ ]1,1 sau 1a a∈ − ≤ .

Dacă ( ) ( ), 1 1,a ∈ −∞ − ∪ ∞ , adică 1a > , atunci ecuaţia nu are soluţie.

Dacă 1a ≤ , ştim că ecuaţia cos x = a are soluţie unică în intervalul [ ]0,π ,

anume arccos a.

Cum ( ) ( )cos arccos cos arccosa a a− = = , rezultă că –arccos a este soluţiea ecuaţiei.

Datorită proprietăţii de periodicitate a funcţiei cosinus, rezultă că numerelearccos 2 , arccos 2a k a m+ π − + π sunt soluţii, pentru orice ,k m ∈ .

Reciproc, orice soluţie a ecuaţiei se află printre numerele puse în evidenţă anterior.

Prin urmare, mulţimea soluţiilor ecuaţiei cos x = a este:

{ } { }arccos 2 | arccos 2 |a k k a m m+ π ∈ ∪ − + π ∈ sau

{ }arccos 2 |a n n± + π ∈ .

Propoziţie. Dacă 1a ≤ , atunci mulţimea soluţiilor ecuaţiei cos x = a este:

{ }arccos 2 |a n n± + π ∈ .

Dacă 1a > , ecuaţia nu are soluţie.

Se mai scrie cos arccos 2 , x a x a n n= ⇔ = ± + π ∈ .

În cazurile când a = 1, a = 0 sau a = -1, obţinem: Corolar. cos 1 2 , x x n n= ⇔ = π ∈ ;

( )cos 0 2 1 ,2

x x n nπ

= ⇔ = + ∈ ;

cos 1 2 , x x n n= − ⇔ = π + π ∈ .

Ecuaţia tg x = a

Ecuaţia are soluţie pentru orice a ∈ , deoarece orice număr real este ovaloare a funcţiei tangentă. Vom scrie mulţimea soluţiilor.

Ştim că ecuaţia tg x = a are soluţie unică în intervalul ,2 2π π⎛ ⎞−⎜ ⎟

⎝ ⎠, anume

arctg a. Datorită proprietăţii de periodicitate a funcţiei tangentă, deducem





că arctg a + nπ este soluţie pentru orice n ∈ . Reciproc, orice soluţie aecuaţiei are această formă.

În concluzie:

Propoziţie. Pentru orice a ∈ , mulţimea soluţiilor ecuaţiei tg x = a este:

{ }arctg |a n n+ π ∈ .

4.4.2. Ecuaţii trigonometrice care se reduc la ecuaţii fundamentale

Nu există o metodă generală pentru rezolvarea ecuaţiilor trigonometrice.Există însă diverse procedee particulare, prin care anumite ecuaţii sereduc la ecuaţii fundamentale. În cele ce urmează vom prezenta câtevaastfel de procedee.

Ecuaţii de forma:

( ) ( )sin sinu x v x = , ( ) ( )cos cosu x v x = sau ( ) ( )tgu x tgv x = .

Prin transformarea diferenţelor în produse, ecuaţiile de acest tip se reducla sin t = 0 sau cos t = 0.

Exerciţii rezolvate

Să rezolvăm (în ) ecuaţiile:

a) sin5 sin7 x x = ; b) cos10 cos5 x x = ; c) tg5 tg3 x x = .

R: a) Avem:

( )5 7 5 7

sin5 sin7 0 2sin cos 0 sin cos6 02 2

x x x x x x x x

− +− = ⇔ = ⇔ − = ⇔

( )sin sin 0 x x ⇔ − = − = sau cos6 0 x x k = ⇔ = π sau

( )2 1 , ,12

x n k nπ

= + ∈ .

Mulţimea soluţiilor ecuaţiei este { } ( )| 2 1 |12

S k k n nπ⎧ ⎫= π → ∪ + ∈⎨ ⎬

⎩ ⎭ .

b) Avem: ( )15 5 15

cos10 cos5 0 2 sin sin 0 sin 02 2 2

x x x x x − = ⇔ − = ⇔ =

sau5 15

sin 02 2

x x k = ⇔ = π sau

5, , 22 15

x n k n x k

π= π ∈ ⇔ = sau

2 , ,5

x n k nπ

= ∈ .

Mulţimea soluţiilor ecuaţiei este ,S A B= ∪ unde 2 |15

A k k π⎧ ⎫

= ∈⎨ ⎬⎩ ⎭

,

2 |5

B n nπ⎧ ⎫

= ∈⎨ ⎬⎩ ⎭

. Să observăm că A B⊂ (justificaţi!), deci A B B∪ = . În

concluzie, 2 |

5

S n nπ⎧ ⎫= ∈⎨ ⎬

⎩ ⎭

.





c) Condiţiile de existenţă pentru tg5 x şi tg3 x sunt cos5 0 x ≠ şi

cos3 0 x ≠ , deci ( )2 110

x n π

≠ + şi ( )2 1 ,6

x m π

≠ +

,n m∀ ∈ . Avem:

( )sin 5 3

tg5 tg3 0 0 sin2 0 ,cos5 cos3 2

x x

x x x x k k x x

− π− = ⇔ = ⇔ = ⇔ = ∈ .

Va trebui să excludem, dacă există, valorile lui k pentru care

( )2 12 10

k nπ π

= + sau ( )2 12 6

k mπ π

= + , adică 5 2 1k n= + sau

3 2 1k m= + (1).

Pentru k impar, 5k este impar (3k este impar), deci există n ∈ cu5 2 1k n= + (respectiv, există cu 3 2 1m k m∈ = + ).

Dacă notăm k = 2 p+1, atunci ( )5 10 5 10 4 1 2 5 2 1k p p p= + = + + = + + , deci

n = 5 p+2.Pentru k par, ecuaţiile (1) nu au soluţie. În concluzie, vom exclude valorileimpare ale lui k , deci:

{ }{2 | } |2

S q q q qπ

= ∈ = π ∈ .

Ecuaţii trigonometrice care se reduc la ecuaţii algebrice

Consider ăm ecuaţiile, unde , , , 0a b c a∈ ≠ .

( )2sin sin 0 sina x b x c x t + + = =

( )2cos cos 0 cosa x b x c x t + + = =

( )2tg tg 0 tga x b x c x t + + = =

Prin introducerea necunoscutei auxiliare sin x = t, cos x = t sau tg x = t (indicată în paranteză) fiecare dintre aceste ecuaţii se reduce la o ecuaţiilede gradul al II-lea în t .

Exemplu. Să rezolvăm ecuaţia: 22sin sin 1 0 x x + − = ;

R: 22sin sin 1 0 x x + − =

2

sinsin 1

sin 1 sau sin12 1 0 21sau

2

x t x t

x x t t t t

==

⇔ ⇔ = − =+ − = = − =

.

Mulţimea S a soluţiilor ecuaţiei date este:

( ){ 2 | } { 1 | }2 6

nS k k n n

π π= − + π ∈ ∪ − + π ∈ .

Observaţie. Fie , , ,a b c d ∈ şi 0a ≠ . Fiecare dintre următoarele ecuaţii se reduce la oecuaţie algebrică, după o transformare trigonometrică simplă, indicată în

paranteză:

1) ( )2 2 2sin cos 0 sin 1 cosa x b x c x x + + = = − ;





2) ( )2 2 2cos sin 0 cos 1 sina x b x c x x + + = = − ;

3) tg tg 0, 0a x bc x c b+ + = ≠ (1

ctg , ,tg 2

x x m m x

π= ≠ ∈ );

4) 2cos2 cos sin 0a x b x c x d + + + =

( )2 2 2cos 1 sin , cos2 1 2sin x x x x = − = − ;

5) 2cos2 sin cos 0a x b x c x d + + + =

( )2 2 2sin 1 cos , cos2 2cos 1 x x x x = − = − .

Ecuaţii de forma cos sina x b x c + =

Consider ăm ecuaţia în necunoscuta x

cos sina x b x c + = (1)

unde a, b, c sunt numere reale date.Vom nota cu S mulţimea soluţiilor ecuaţiei.

Cazul I: 0, 0a b= =

Acest caz nu este interesant: dacă c = 0, avem S = , iar dacă 0c ≠ ,avem S = ∅ (ecuaţia nu are soluţii).

Cazul II: 0, 0a b= ≠ sau 0, 0a b≠ =

Dacă 0, 0a b= ≠ avem ecuaţia fundamentală sin sau sinc

b x c x b

= = ,

care are soluţie numai dacă:c b≤ (2)

Dacă 0, 0a b≠ = , avem ecuaţia fundamentală cos sau cosc

a x c x a

= = ,

care are soluţie numai dacă: c a≤ . (3)

Cazul III: 0 şi 0a b≠ ≠

În acest caz, vom prezenta două metode de rezolvare a ecuaţiei, numitemetoda algebrică şi metoda unghiului auxiliar.

A. Metoda algebrică

Se ştie că numerele cos x , sin x se pot exprima în funcţie de tg2

x dacă

( ) ( )2 1 sau 2 1 ,2 2

x k x k k

π≠ + ≠ + π ∈ .

Făcând substituţia tg2

x t = , avem

2

2 2

1 2cos , sin

1 1

t t x x

t t

−= =

+ +, iar ecuaţia

(1) devine o ecuaţie de grad I sau II în necunoscuta t .

Rezolvarea ecuaţiei (1) se desf ăşoar ă după următorul algoritm:





Pasul 1

Se verifică dacă ecuaţia (1) are soluţii de forma 2k π + π (echivalent, dacă are soluţia x = π ). Aceasta revine la testarea egalităţii:

0a c a c − = ⇔ + = (4)

Pasul 2

A. Dacă egalitatea a + c = 0 este adevărată, avem incluziunea:

{ }2 |k k Sπ + π ∈ ⊂ ,

iar ecuaţia (1) se scrie:

( )cos sin 1 cos sin 0a x b x a a x b x + = − ⇔ + + = ⇔

22 cos 2 sin cos 02 2 2

x x x a b⇔ + = ⇔ 2cos cos sin 0

2 2 2

x x x a b

⎛ ⎞+ =⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⇔

⇔ cos 0 sau cos sin 02 2 2

x x x

a b= + = ⇔ cos 0 sau tg2 2

x x a

b= = − .

Prin urmare, dacă a + c = 0, soluţiile ecuaţiei (1) sunt:

{ }2 | { 2arctg 2 | }a

S k k m mb

= π + π ∈ ∪ − + π ∈ . (5)

B. Dacă egalitatea 0a c + = nu este adevărată, facem substituţia anunţată

tg2

x t = şi ecuaţia (1) devine:

( ) ( )

22

2 2

1 22 0

1 1

t t a b c a c t bt c a

t t

−+ = ⇔ + − + − =

+ + (6)

Cum 0a c + ≠ , ecuaţia (6) este o ecuaţie de gradul al II-lea în

necunoscuta t , cu discriminantul ( )2 2 24 b a c Δ = + − .

Prin urmare, (6) are soluţie dacă şi numai dacă 2 2 2a b c + ≥ (7)

Avem soluţiile2 2 2

1,2

b a b c t

a c

± + −=

+. Cu notaţia 2 2 2a b c ′Δ = + − mulţimea

soluţiilor ecua

ţiei (1) este:

{2arctg 2 | } {2arctg 2 | }b b

S k k n na c a c

′ ′− Δ + Δ= + π ∈ ∪ + π ∈

+ + (8)

Observaţie. În cazul când egalitatea a + c = 0 este adevărată, ecuaţia (6) devine oecuaţie de gradul I, anume:

2 0 tg2

a x abt c a bt a t

b b− + − = ⇔ = − ⇔ = − ⇔ = − .

De fapt, regăsim soluţia (5) şi pe această cale.

Examinând condiţiile de existenţă (2), (3) şi (7), precum şi egalitatea (4),putem formula:





Condiţia de existenţă a soluţiilor ecuaţiei (1) exprimată unitar.

Ecuaţia cos sina x b x c + = are soluţii dacă şi numai dacă 2 2 2a b c + ≥ .

Exemplu. Să rezolvăm ecuaţiile:

a) 2cos 2sin 1 3 x x + = + ; b) cos 2sin 1 x x + = − ; c) cos sin 2 x x + = .

R: a) Coeficienţii a = 2, b = 2 şi c = 1 3+ îndeplinesc condiţia 2 2 2a b c+ ≥ ,

deci ecuaţia are soluţii.

Pasul 1. Egalitatea 0a c + = revine la 2 1 3 0+ + = , deci este falsă. Prinurmare, ecuaţia nu are soluţii de forma 2k π + π .

Pasul 2. Facem substituţia tg2

x t = şi obţinem:

( )2

22 2

1 22 2 1 3 3 3 4 1 3 0

1 1

t t t t

t t

−+ = + ⇔ + − − + =

+ +.

Ecuaţia în t are soluţiile 1 21 , 2 33

t t = = − . Soluţiile ecuaţiei iniţiale se

obţin reunind soluţiile ecuaţiilor:

1 1tg arctg ,

2 2 2 63 3

x x x k k k

π= ⇔ = + π ⇔ = + π ∈ ;

( )tg 2 3 arctg 2 3 ,2 2 2 12

x x x k n n

π= − ⇔ = − + π ⇔ = + π ∈ ;

(pentru a calcula

( )arctg 2 3− , notăm

( )arctg 2 3− =y şi calculăm tg 2y ).

Prin urmare, { 2 | } { 2 | }.3 6

S k k n nπ π

= + π ∈ ∪ + π ∈

b) Coeficienţii a = 1, b = 2 şi c = –1 îndeplinesc condiţia 2 2 2a b c + ≥ ,deci ecuaţia are soluţii.

Pasul 1. Egalitatea 0a c + = revine la 1–1 = 0, deci este adevărată. Prinurmare, ecuaţia admite soluţii de forma 2 , x k k = π + π ∈ .

Pasul 2. Ecuaţia se scrie:

( ) 21 cos 2sin 0 2cos 4sin cos 02 2 2 x x x x x + + = ⇔ + = ⇔

2cos cos 2sin 02 2 2

x x x ⎛ ⎞⇔ + =⎜ ⎟⎝ ⎠

.

Obţinem:

• cos 0 2 ,2

x x m m= ⇔ = π + π ∈ (soluţiile de la primul pas).

•1 1

cos 2sin 0 tg 2arctg 2 ,

2 2 2 2 2

x x x x k k + = ⇔ = − ⇔ = − + π ∈ .

Mulţimea soluţiilor este: { }1

2 | { 2arctg 2 | }2

S m m k k = π + π ∈ ∪ − + π ∈ .





Altfel. Facem substituţia tg2

x t = şi ecuaţia devine:

2

2 2

1 2 1 12 1 1 4 1 tg

1 1 2 2 2

t t x t t

t t

−+ = − ⇔ + = − ⇔ = − ⇔ = −

+ +.

Luând în considerare şi soluţiile de forma 2 ,k k π + π ∈ , aflate la primulpas al rezolvării, obţinem aceeaşi mulţime a soluţiilor.

c) Coeficienţii a = 1, b = 1 şi c = –2 nu îndeplinesc condiţia 2 2 2a b c + ≥ ,deci ecuaţia nu are soluţii.

B. Metoda unghiului auxiliar

Împăr ţind ecuaţia (1) cu 0b ≠ , avem:

cos sin cos sina c

a x b x c x x b b

+ = ⇔ + = .

Există un unic unghi ,2 2

π π⎛ ⎞α ∈ −⎜ ⎟⎝ ⎠ astfel încât tg

a

b = α , anume arctga

bα = .

Ecuaţia devine:

sintg cos sin cos sin

cos

c c x x x x

b b

αα + = ⇔ + = ⇔

α

( )sin cos sin cos cos sin cosc c

x x x b b

⇔ α + α = α ⇔ + α = α (9)

Din relaţia tga

b= α deducem

2

2 2

11

cos

a

b+ =

α de unde

22

2 2cos

b

a bα =

+sau

2 2cos

b

a bα =

+. Presupunem 0b > (dacă 0b < , înmulţim ecuaţia cu –1

şi obţinem o ecuaţie echivalentă) şi cum cos 0α > deoarece ,2 2

π π⎛ ⎞α ∈ −⎜ ⎟⎝ ⎠

,

obţinem2 2

cosb

a bα =

+. Ecuaţia devine ( )

2 2sin

c x

a b+ α =

+. Dacă

2 21

c

a b≤

+, ceea ce este echivalent cu 2 2 2a b c + ≥ , atunci

( )2 2

1 arcsin ,k c x k

a b k + α = − ∈

+ + π , deci mulţimea soluţiilor este:

( )2 2

{ 1 arcsin arctg | }k c b

S k k aa b

= − − + π ∈+

.

Exemplu. Folosind metoda unghiului auxiliar, să rezolvăm ecuaţiile:

a) 2cos 2sin 1 3 x x + = + ;

b) cos 2sin 1 x x + = − .





R: Menţionăm că ecuaţiile au fost rezolvate prin metoda algebrică laexemplul din acest paragraf.

a) Împăr ţim cu 2 şi obţinem:

1 3 1 3 2 6cos sin 2 sin sin

2 4 2 4 4 x x x x

+ π + π +⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = ⇔ + = ⇔ + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠.

Rezultă că mulţimea soluţiilor este S A B= ∪ , unde:

2 6{ arcsin 2 | }

4 4 A k k

π += − + + π ∈ ;

2 6{ arcsin 2 | }

4 4B n n

π += − + π − + π ∈ .

Observaţie. Se arată că 2 6 5

arcsin4 12

+ π= . Prin urmare,

5{ 2 | } { 2 | }4 12 6

A k k k k π π π= − + + π ∈ = + π ∈ ;

5{ 2 | } { 2 | }

4 12 3B n n n n

π π π= − + π − + π ∈ = + π ∈ ,

deci mulţimea soluţiilor obţinută acum coincide cu cea obţinută prinmetoda algebrică.

b) Împăr ţim cu 2 şi avem1 1

cos sin2 2

x x + = − . Scriem1

tg2

= α , unde

1arctg 2α = şi 0,2π⎛ ⎞α ∈ ⎜ ⎟⎝ ⎠ . Obţinem ecuaţia sin 1cos sincos 2 x x α + = − ⇔α

( )1 1

sin cos sin cos cos sin2 5

x x x −

⇔ α + α = − α ⇔ + α = .

Să explicăm: din 22

1 11 tg 1

cos 4= + α = +

α deducem

2cos

5α = ,

1sin

5α =

şi1 1 2

arctg arcsin arccos2 5 5

α = = = .

Prin urmare, mulţimea soluţiilor este S A B= ∪ , unde

1 1arcsin 2 | 2arcsin 2 |

5 5 A k k k k

⎧ ⎫ ⎧ ⎫= −α − + π ∈ = − + π ∈⎨ ⎬ ⎨ ⎬

⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ;

{ }1

arcsin 2 | 2 |5

B n n n n⎧ ⎫

= −α + π + + π ∈ = π + π ∈⎨ ⎬⎩ ⎭

.

Observaţie. Deoarece1 1

arcsin arctg25

= , rezultă că mulţimea soluţiilor obţinută acum

coincide cu cea obţinută prin metoda algebrică.






1. Fie a, b numere reale nenule, a b≠ . Să se rezolve ecuaţia:

cos ax = cos bx

2. Să se rezolve ecuaţia:

cos 3 sin 2 x x + =







4.5. Rezolvarea triunghiului

4.5.1. Rezolvarea triunghiului dreptunghic

A rezolva un triunghi dreptunghic înseamnă a determina toate elementelesale, dacă se cunosc două dintre ele, printre care cel puţin o latur ă.

Există patru cazuri tipice la rezolvarea triunghiului dreptunghic, pe care levom prezenta în continuare.

Cazul 1. Se dau catetele b, c . Se cer: a, B şi C .

Rezolvare: 2 2 , sin , 90b

a b c B C Ba

= + = = − .

Exemplu. Dacă b = 4 şi c = 3, obţinem 2 2 24 3 25a = + = , deci a = 5.

Relaţia4

sin5

B = este o ecuaţie de unde obţinem 53B ≈ , iar

90 53 37C ≈ − =

.Cazul 2. Se dau ipotenuza a şi o catetă, de exemplu b. Se cer: c, B şi C .

Rezolvare: 2 2 , sin , 90b

c a b B C Ba

= − = = − (problema are soluţie numai

dacă a b> ).

Exemplu. Dacă a = 10 şi b = 6, atunci 100 36 64 8.c = − = =

Relaţia6

sin10

B = este o ecuaţie de unde obţinem 37B ≈ , deci

90 37 53C ≈ − =

.Cazul 3. Se dau: o catetă şi unghiul ascuţit opus, de exemplu b şi B. Secer: a, c şi C .

Rezolvare: , ,sin tg 2

b ba c C B

B B

π= = = − .

Exemplu. Dacă b = 6 şi6

B π= , atunci

1 3sin , g

2 3B t B= = deci a = 12,

1810,39

3

c = ≈ , iar2 6 3

C π π π= − = .

Cazul 4. Se dau: o catetă şi unghiul ascuţit alăturat, de exemplu b şi C . Secer: a, c şi B.

Rezolvare: , tg , 90cos

ba c b C B C

C = = = − .

Exemplu. Dacă b = 10 şi 36C = , atunci cos 0,8, tg 0,72C C ≈ ≈ deci10

12,5, 10 0,72 7,2, iar 90 36 540,8

a c B≈ = = ⋅ = = − = .





4.5.2. Rezolvarea triunghiului oarecare

Un triunghi oarecare ABC are şase elemente, lungimile laturilor a, b, c şimăsurile unghiurilor A, B, C .

A rezolva un triunghi înseamnă a determina toate elementele sale, dacă

se cunosc trei dintre ele, dintre care cel puţin o latur ă.La rezolvarea triunghiului oarecare există trei cazuri tipice, care corespundcelor trei cazuri de congruenţă, LLL, ULU , LUL.

Notă. După rezolvarea trigonometrică a fiecărui caz, este foarte util să serealizeze construcţia grafică a triunghiului respectiv, cu rigla, compasul şiraportorul.

Cazul 1. Se dau: a, b, c . Se cer: A, B, C .

Rezolvare: dacă sunt îndeplinite condiţiile ,a b c b c a< + < + şi c a b< + ,unghiurile A, B, C se determină din relaţiile

2 2 2 2 2 2 2 2 2

cos , cos , cos2 2 2

b c a a c b a b c A B C

bc ac ab

+ − + − + −= = = .

În condiţiile precizate, avem2 2 2

1 12

b c a

bc

+ −− < < , deci ecuaţia

2 2 2

cos2

b c a A

bc

+ −= are soluţie unică în ( )0,π . În adevăr

2 2 22 2 21 1 2 2

2

b c abc b c a bc

bc

+ −− < < ⇔ − < + − < ⇔ ( )

22a b c < + şi

( )2 2b c a a b c − < ⇔ < + şi b c a− < .

Prima relaţie este adevărată. A doua este echivalentă cu dubla inegalitatea b c a− < − < adică c a b< + şi b a c < + .

Exemplu. Dacă a = 6, b = 7 şi c = 8, atunci cos 0,6875, cos 0,53 A B≈ ≈ şi

cos 0,25C ≈ . Folosind calculatorul, obţinem 46,3 , 58 A B≈ ≈ şi

75,3C ≈ .

Cazul 2. Se dau : o latur ă şi unghiurile alăturate ei, de exemplu a şi B, C .Se cer: b, c şi A.

Rezolvare: dacă este îndeplinită condiţia 180B C + < , atunci

sin sin180 , ,

sin sin

a B a C A B C b c

A A= − − = = .

Se arată imediat că sin sin

sin sin

a B a C a

A A+ > , deci problema are soluţie pentru

orice latur ă a şi unghiuri B, C cu 180B C + < .

Exemplu. Dacă 10, 30a B= = şi 45C = , atunci 75 180B C + = < deci avem

180 75 105 A = − =

. Avem sin 0,96 A ≈ , sin 0,5, sin 0,7B C ≈ ≈ . Obţinemb = 5,17 şi c = 7,32.





Cazul 3. Se dau: două laturi şi unghiul cuprins între ele, de exemplu, b, c şi A. Se cer: a şi B, C .

Rezolvare: 2 2 2 2 cosa b c bc A= + −

( )

( )

180 1

tg ctg 22 2

B C A

B C b c A

b c

+ = −

− −= +

Menţionăm că relaţia (2) se obţine din teorema tangentelor , care afirmă

că în orice triunghi ABC avem relaţiatg

2=tg

2

B C

b c

B C b c

−−

++.

Problema are soluţie pentru orice laturi b, c şi orice unghi A, ( )0, A ∈ π . În

adevăr, se arată că 2 2 2 cosb c bc A+ ≥ , iar ecuaţia tg x = r are soluţie

unică în (0, 180

) pentru orice *r ∈ .Relaţiile (1) şi (2) permit aflarea numerelor B + C şi B - C , de unde seobţin imediat B şi C . Nu este recomandată utilizarea relaţiilor

sin sinsin , sin

b A c AB C

a a= = pentru aflarea lui B şi C , deoarece ecuaţia

( ]sin , 0,1 x r r = ∈ are două soluţii în ( )0,π .

Exemplu. Dacă b = 6, c = 4 şi 60 A = , atunci 2 136 16 2 24

2a = + − ⋅ ⋅ deci 2 28a = , de

unde 5,29a ≈ . Avem 180 60 120B C + = − = .

Cum ctg ctg60 tg30 1,732

A= = ≈ , avem tg ctg 0,35

2 2

B C b c A

b c

− −= ≈

+, de

unde 192

B C −≈ . Din 120B C + = şi 38B C − ≈ obţinem 79 , 41B C ≈ ≈ .






1. Ar ătaţi că un triunghi ABC este dreptunghic în A dacă şi numai dacă:2 2 2sin sin sin A B C = + .

2. Un triunghi ABC are laturile BC = 4, CA = 5, AB = 6. Calculaţiunghiurile triunghiului







Appendix. Aplicaţii ale trigonometriei în calculul unor lungimi inaccesibile

Exemplul 1. Vrem să măsur ăm înălţimea unui edificiu (de exemplu, un turn), (v. figurade mai jos).

Înălţimea căutată este VP H ′ = .

Se aşează aparatul (goniometrul) în punctul A, care este situat la o

înălţime h A A′= de sol şi la o distanţă A P AP a′ ′ = = de baza turnului (defapt, de centrul bazei, care este P ′ ).

Subliniem că distanţa AP A P a′ ′= = este cunoscută.

Vizând succesiv punctul V (vârful turnului)şi punctul U (situat pe turn la

aceeaşi înălţime cu A) se vede că unghiul PAV are măsura α .

Se aşează apoi aparatul la aceeaşi înălţime de sol în punctul B, situat ladistanţa 0 AB d = > de A care este cunoscută (o alegem noi). Vizând din

nou punctele U şi V , obţinem unghiul UBV de măsur ă β .

Avem succesiv, notând PV x = :

ctgPB a d

PV x

+β = = , ctg

PA a

PV x α = = .

Rezultă ctg ctgctg ctg

d d x

x β − α = ⇒ =

β − α.

Putem scrie ultima formulă „mai elegant”:

( )sincos cos sin cos cos sinctg ctg

sin sin sin sin sin sin

α − ββ α α β − α ββ − α = − = =

β α α β α β.

Aşadar, ( )sinsin sin

x d PV α − β= =

α β.

În final, înălţimea căutată este( )sin

sin sinH h x h d

α − β= + = +

α β.

Exemplul 2. În vederea construirii unui tunel, trebuie inclusă în proiectlungimea sa, care nu este cunoscută, şi nu poate fi măsurată direct,intr ările în tunel fiind proiectate a fi situate în munte.

Se procedează astfel (v. figura următoare).

Intr ările proiectate în tunel sunt M şi N . Se aşează goniometrul într-unpunct C şi se vizează din punctul C punctele accesibile A, B, plasate ladistanţele 0 AM m= > şi 0BN n= > de intr ările proiectate M şi N .





După vizare obţinem că măsura unghiului ACB este γ .

Prin măsurare (punctele A şi B sunt accesibile) obţinem că punctele A şi B se află la următoarele distanţe de punctul C: AC = b, BC = a.

Prin urmare, necunoscuta problemei este MN = x .

În primă instanţă se „rezolvă” triunghiul ABC . Cunoaştem laturile BC = a, AC = b şi măsura γ a unghiului C cuprins între ele. Suntem în cazul LULcare a fost studiat.

Putem calcula măsurile unghiurilor din B şi A cu teorema tangentelor.

2 2 2

α + β π γ= − ;

tg2

tg

2

a b

a b

α − β−

=α + β +

, deci tg ctg2 2

a b

a b

α − β − γ=

+

şi , arctg ctg2 2 2 2 2

a b

a b

α + β π γ α − β − γ= − =

+, de unde obţinem αşi β .

Apoi, cu teorema sinusurilor, notăm AB = c şi avemsin sin

c a=

γ α, deci

sin

sinc a

γ=

α. În acest moment, avem c = AB.

Rezultă lungimea proiectată MN :

MN = AB – ( AM + BN ), adică MN = c – (m + n)

( )sin

sinMN a m n

γ= − +

α.

Se mai pot da multe alte exemple.






Test 1.

1. 2 21 sin 1 cos 2cos

2 2

x x x

π−π⎛ ⎞+ = + − =⎜ ⎟

⎝ ⎠

2. ( ) ( )2 2sin sin sin sin sin sinb a b a b− = + − =

=2sin cos 2sin cos2 2 2 2

a b a b a b a b+ − − +⋅ =

= ( ) ( )2sin cos 2sin cos sin sin2 2 2 2

a b a b a b a ba b a b

+ + − −⎛ ⎞⎛ ⎞= + −⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠.

Test 2.

1. ( )( )

sin 55 35 sin20 sin20tg55 tg35cos55 cos35 sin55 cos55cos55 sin 90 35

−− = = =−

=

( ) ( )( ) ( )sin20 2sin20 2sin20 2sin20

1 sin 90 20 cos 20cos 90 90 20sin1102

= = =+ −− +

=

sin202 2tg20

cos20 =

.

2. Avem( )sin

tg tgcos cos

A B A B

A B

++ = .

( )( ) ( )( ) ( ) ( )

( )

sintg tg tg tg

cos

A BC A B A B A B

A B

+= π − + = − + = − + = −

+. Rezultă

( )( )

1 1sin

cos cos costg A tg B tgC A B

A B A B

⎛ ⎞+ + = + − =⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠

( ) ( )

( )

cos cos cossin

cos cos cos

A B A B A B

A B A B

+ −+ =

+

= ( )( )

cos cos sin sin cos cossincos cos cos

A B A B A B A B A B A B

− −+ =+

= ( )

( )

sin sin sin

cos cos cos

A B A B

A B A B

⎛ ⎞+− ⋅ =⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠

( )( )

sintg tg

cos

C A B

C

⎛ ⎞π −− ⋅ =⎜ ⎟⎜ ⎟π −⎝ ⎠

=sin

tg tg tg tg tgcos

C A B A B C

C − =

−.





Test 3.

1. Avem arcsin ,2 2

x π π⎡ ⎤

∈ −⎢ ⎥⎣ ⎦, deci (semnul funcţiei cos) rezultă

( )cos arcsin 0 x ≥ . Prin urmare

( ) ( )( )2cos arcsin 1 sin arcsin x x = −

Pentru [ ]1,1 x ∈ − se ştie că ( )sin arcsin x x = , deci ( ) 2cos arcsin 1 x x = − .

2. a) Dacă 1 x > , nu putem avea ( )sin arcsin x x = , deoarece

sin 1t ≤ pentru orice t .

Dacă 1 x ≤ , ştim din definiţia lui arcsin că ( )sin arcsin x x = .

Prin urmare, soluţia este mulţimea [-1,1].

b) Notăm ( )arcsin sin x t = .

Aşadar, ,2 2

t π π⎡ ⎤∈ −⎢ ⎥⎣ ⎦

şi avem sin t = sin x . Avem succesiv:

sin sin sin sin 0 2sin cos 02 2

t x t x t x t x

− += ⇔ − = ⇔ = ⇔

sau2 2 2

t x t x m n

− + π= π = + π (cu m, n numere întregi) ⇔

2 sau 2t x m t x n⇔ − = π + = π + π 2 sau 2t x m t x n⇔ = + π = − + π + π

Ecuaţia se rescrie x = t .

Aşadar ecuaţia devine:

2 sau 2 x x m x x n= + π = − + π + π .

Prima egalitate este posibilă dacă şi numai dacă m = 0.

A doua egalitate se mai scrie 2 22

x n x nπ

= π + π ⇔ = + π (1)

Să nu uităm că, deoarece arcsin ,2 2t

π π⎡ ⎤

∈ −⎢ ⎥⎣ ⎦ , trebuie să avem ,2 2 x

π π⎡ ⎤

∈ −⎢ ⎥⎣ ⎦ .

Dacă 1,2 2

n nπ π

≥ + π > , iar dacă 1,2 2

n nπ π

< − + π < − .

Rezultă că singurele valori posibile pentru n sunt n = 0 şi n = -1, care dau

pentru x valorile2

πşi

2

π− .

Concluzie: şi în acest caz, soluţia este [-1,1].





Test 4.

1.

( ) ( )cos cos cos cos 0 2sin sin 0

2 2

a b x a b x ax bx ax bx

+ −= ⇔ − = ⇔ − =

( ) ( )sin 0 sau sin 02 2

a b x a b x + −⇔ = = ⇔

( ) ( )sau

2 2

a b x a b x m n

+ −⇔ = π = π (cu m, n numere întregi)

( ) ( )2 sau 2a b x m a b x n⇔ + = π − = π

Avem două posibilităţi:

Prima: 0a b b a+ = ⇔ = − . În acest caz

( )2 şi 0 deoarecea b a a a b− = ≠ ≠ .

Rămâne că 2

2

n x n

a a= π = π . Soluţia este |

nn

a

⎧ ⎫π ∈⎨ ⎬⎩ ⎭

.

A doua: 0a b+ ≠ . Condiţiile devin

2 2sau

m n x x

a b a b= π = π

+ −. Soluţia este:

2 2| |

m nm n

a b a b

⎧ ⎫ ⎧ ⎫π ∈ ∪ π ∈⎨ ⎬ ⎨ ⎬+ −⎩ ⎭ ⎩ ⎭

.

2.2 2 2

1, 3, 2, decia b c a b c = = = + = şi ecuaţia are soluţie.

3 tg3

π= şi ecuaţia se scrie:

sin3cos sin 2 cos cos sin sin 2cos cos 1.

3 3 3 3cos3

x x x x x

ππ π π π⎛ ⎞

+ = ⇔ + = ⇔ − =⎜ ⎟π ⎝ ⎠

Rezultă arccos1 23

x k π

− = ± + π . Dar arccos1 0 23

x k π

= ⇒ = + π .

Soluţia este 2 |3

k k π⎧ ⎫+ π ∈⎨ ⎬

⎩ ⎭ .

Test 5.

1. Dacă ( )2

m A π= , atunci avem sin , sin , sin 1

b c B C A

a a= = = şi

2 22 2

2sin sin 1

b c B C

a

++ = = .

Invers: cu teorema sinusurilor, rezultă că





a = 2R sin A, b = 2R sin B, c = 2R sin C şi avem

sin , sin , sin2 2 2

a b c A B C

R R R = = = ; deci relaţia din enunţ se scrie

2 2 2

2 24 4

a b c

R R

+= , adică 2 2a b c = + etc.

2. Avem 6 5 4< + (deci triunghiul există) şi 2 2 26 5 4< + , deci triunghiuleste ascuţitunghic.

2 2 2 2 2 25 6 4 25 36 16 45 3cos

2 2 5 6 60 60 4

b c a A

bc

+ − + − + −= = = = =

⋅ ⋅, deci

A = arccos A .

2 2 26 4 5 36 16 25 27 9cos

2 6 4 48 48 16B

+ − + −= = = =

⋅ ⋅, deci

9arccos

16B = .

2 2 24 5 6 16 25 36 5 1cos 2 4 5 40 40 8C

+ − + −= = = =⋅ ⋅ , deci

1arccos 8C = .



1 punct din oficiu

1,5p. 1. a) Să se calculeze4

sin3

π.

b) Se ştie că 3

sin 5 x = . Ce valori poate avea tg x ?

1,5p. 2. a) Fie \ { | } x n n∈ π ∈ . Ar ătaţi că sin8

cos cos2 cos 48sin

x x x x

x = .

b) Ar ătaţi că pentru orice ,a b ∈ avem

2 2cos ( ) cos ( ) 1 cos2 cos3a b a b a b+ + − = + .

1,5p. 3. a) Să se calculeze sin(arcsin ) x şi arcsin(sin ) x dacă x ∈ .

b) Ar ătaţi că

1 1 32

arctg arctg arctg5 4 43+ = .1,5p. 4. Să se determine unghiurile unui triunghi ABC care are laturile BC =4,

CA=5, AB=6.

1,5p. 5. Să se determine raza cercului circumscris triunghiului de la punctul 4.

1,5p. 6. Să se discute şi să se rezolve ecuaţia:

sin cos 1 x m x + = ,

unde m este un parametru real.




4.8. Bibliografie

1. C. Năstăsescu, C. Niţă, I. Chiţescu, D. Mihalca. Matematic ă. Trunchicomun şi curriculum diferenţ iat. Manual pentru clasa a IX-a. Ed. Did. Ped.,Bucureşti, 2004.

2. C. Năstăsescu, C. Niţă, I. Chiţescu, D. Mihalca, M. Dumitrescu.Matematic ă. Trunchi comun şi curriculum diferenţ iat . Manual pentru clasaa X-a. Ed. Did. Ped., Bucureşti, 2005.

3. O. Sacter. Trigonometrie. Manual pentru clasa a X-a real ă. Ed. Did.Ped., Bucureşti, 1963.

Geometrie 01

Documents

Transcript of Geometrie 01