Student Web CopyVladimirBALANAlgebraLiniara,GeometrieAnalitica,s i ElementedeGeometrieDiferentiala=Bucuresti 2011=Student Web CopyPrefat aAcest material includenot iunile, rezultateleteoreticedebaza, precumsi problemedealgebraliniara, geometrie analitica si elemente de geometrie diferent iala (teoria curbelor si suprafet elor).In lucrare sunt expuse clar si cu multe exemple instructive, elemente de algebra liniara (structurialgebrice, spat ii vectoriale, transformari liniare, forme patratice), de geometrie analitica (vectori liberi,dreapta si planul n spat iu, conice, cuadrice) si de geometrie diferent iala (curbe si suprafet e).Desi cartea are un pronunt at caracter teoretic, atat exemplicarile ce nsot esc denit iile si rezul-tatele, precum si exercit iile propuse la sfarsit de capitol urmate de raspunsuri sau rezolvari succinte,fac din acest curs un instrument util de seminarizare.In plus,volumul include un index de not iuni,deci poate utilizat si ca memento,iar referint elebibliograce reprezinta un punct de plecare pentru un studiu extins al materialului.Lucrareaesteutila nspecial student ilor delafacultat iletehnice, inginerilor, cercetatorilorsicadrelordidacticedin nvat amantulsuperior simediu, putandconsultata sideeleviideliceudinanii terminali. Parcurgerea cart ii presupune cunoasterea not iunilor si rezultatelor de algebra, analizamatematica si geometrie predate n nvat amantul liceal.Bucuresti, 7 ianuarie 2011. Autorul.Student Web CopyCuprinsI ALGEBRALINIARA 61 Spat iivectoriale 61 Structuri algebrice: monoizi, grupuri si corpuri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 Spat ii si subspat ii vectoriale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 Dependent a si independent a liniara . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 Baza si dimensiune . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 Spat ii vectoriale euclidiene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216 Ortogonalitate. Procedeul de ortogonalizare Gram-Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . 257 Probleme propuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302 Transformarilinare 381 Transformari liniare. Denit ii, exemple, proprietat i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392 Nucleul si imaginea unei transformari liniare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423 Matricea unei transformari liniare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454 Endomorsme particulare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485 Transformari liniare pe spat ii euclidiene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 506 Izometrii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 537 Probleme propuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553 Vectori sivaloriproprii 601 Generalitat i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 602 Polinom caracteristic al unui endomorsm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613 Forma diagonala a unui endomorsm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654 Forma canonica Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 695 Spectrul endomorsmelor n spat ii euclidiene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 736 Polinoame de matrice. Funct ii de matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 757 Probleme propuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 794 Formebiliniare sipatratice 821 Forme biliniare. Forme patratice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 832 Reducerea formelor patratice la expresia canonica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 873 Signatura unei forme patratice reale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 944 Probleme propuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 953Student Web Copy4II GEOMETRIEANALITICA 981 Vectoriliberi 981 Spat iul vectorial al vectorilor liberi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 982 Coliniaritate si coplanaritate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1013 Proiect ii ortogonale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1024 Produs scalar nV3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1045 Produs vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1056 Produs mixt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1087 Probleme propuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1102 Dreapta siplanul nspat iu 1121 Reper cartezian. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1122 Ecuat iile dreptei n spat iu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1133 Ecuat iile planului n spat iu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1154 Unghiuri n spat iu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1205 Distant e n spat iu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1226 Probleme propuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1243 Schimbariderepere nspat iu 1291 Translat ia si rotat ia reperului cartezian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1292 Trecerea de la reperul cartezian la reperul cilindric n spat iu. . . . . . . . . . . . . . . 1333 Trecerea de la reperul cartezian la cel polar n plan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1354 Trecerea de la reperul cartezian la reperul sferic n spat iu . . . . . . . . . . . . . . . . 1365 Probleme propuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1374 Conice 1381 Generalitat i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1382 Reducerea la forma canonica a ecuat iei unei conice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1483 Intersect ia dintre o dreapta si o conica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1544 Asimptotele unei conice de gen hiperbolic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1555 Pol si polara . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1566 Diametru conjugat cu o direct ie data. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1577 Axele de simetrie ale unei conice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1598 Probleme propuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1605 Cuadrice 1611 Sfera. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1612 Elipsoidul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1653 Hiperboloizii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1664 Paraboloizii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1685 Alte tipuri de cuadrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1706 Cuadrice riglate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1717 Cuadrice descrise prin ecuat ia generala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1728 Reducerea la forma canonica a ecuat iei unei cuadrice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1759 Intersect ia unei cuadrice cu o dreapta sau cu un plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17610 Probleme propuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178Student Web Copy5III ELEMENTEDEGEOMETRIEDIFERENTIALA 1821 Curbe 1821 Aplicat ii diferent iabile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1822 Curbe n Rn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1823 Curbe plane. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1834 Curbe n R3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1865 Probleme propuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1882 Suprafet e 1901 Suprafet e n R3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1902 Probleme propuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194Bibliograe 197Indexdenot iuni 203Student Web CopyParteaI-ALGEBRALINIARACapitolul1. Spat iivectoriale1 Structurialgebrice: monoizi,grupurisicorpuriVom reaminti ntai not iunile de monoid, grup si corp comutativ.Denit ii. a) Unmonoid(M, )reprezintaomult imeMmpreunacuooperat iebinarainterna : (g1, g2) M M g1 g2 M, care satisface urmatoarele condit ii:g1, g2, g3 G , g1 (g2 g3) =(g1 g2) g3(asociativitate) (1)e G, g G, e g = g e = g (element neutru) (2)b)Ungrup(G, )reprezintaomult imeG mpreunacuooperat iebinarainterna : (g1, g2) GG g1 g2 G, care satisface urmatoarele condit ii:g1, g2, g3 G , g1 (g2 g3) =(g1 g2) g3(asociativitate) (1)e G, g G, e g = g e = g (element neutru) (2)g G, gt G, g gt = gt g = e (element simetric). (3)Daca operat ia satisface condit ia suplimentarag1, g2 G, g1 g2 = g2 g1(comutativitate) (4)atunci grupulG se numeste grup comutativ (sau abelian).Observat ii. 1. Elementul edinaxioma(2) este unic determinat de proprietateadata (tema,vericat i!)si senumesteelementneutru; elementul gtcaresatisfaceaxioma(3)esteunicdetermi-nat deg si se numeste simetricul luig.2. In grupurile uzuale, operat ia de grup se noteaza e aditiv, e multiplicativ. In ecare din cele douacazuri apar urmatoarele notat ii si denumiri:

Intr-ungrupaditiv, notatprin(G, +), elementulneutruesenoteazacu0 sisenumestezero(vectorul nul), iar elementul simetric gt al unui element g se noteaza cu g si se numeste opusulluig. Diferent ag1g2 se deneste ca ind sumag1 + (g2).

Intr-un grup multiplicativ, notat prin (G,), elementul neutrue se noteaza cu 1 si se numesteunitate, iargt se noteaza cug1si se numeste inversul luig.Exempledegrupuri.a) Grupurile aditive (C, +), (R, +), (Q, +), (Z, +).b) Grupurile multiplicative (C = C 0,), (R = R 0,), (Q = Q 0,).c) (G, ), unde G=__1 00 1_,_0 11 0_,_ 1 00 1_,_0 11 0__, iar este nmult ireamatricelor.d) Grupurile (G = 1, i, 1, i C,); (Z4, +).e) Mult imea biject iilor denite pe o mult ime A si cu valori n A formeaza grup relativ la compunereafunct iilor.Student Web CopySpat iivectoriale 7Denit ie.Fie (G, ) un grup. Se numeste subgrup al grupuluiG o submult ime nevidaH G caresatisface proprietateag1, g2 H, g1 gt2 H. (1)In acest caz notam (H, ) (G, ).Observat ii. 1. Heste un subgrup al grupului (G, ) daca si numai dacaHeste grup n raport cuoperat ia indusa de .2. Condit ia (1) este echivalenta cu condit iileg1, g2 H, g1 g2 H; g H, gt H.Exempledesubgrupuri.a) (Z, +) (Q, +) (R, +) (C, +);b) (Q,) (R,) (C,);c) (Q+,) (R+,) (C+,);d) Grupulpermutarilordenobiecte(n N); e) (e, ) (G, ); (G, ) (G, ), undeeesteelementul neutru al grupuluiG. Aceste subgrupuri se numesc subgrupuri improprii ale grupuluiG.Denit ii. a) Fie(G, ) si(Gt, )douagrupuri. Senumesteomomorsmdegrupuriofunct ie :G Gt care satisface relat ia(g1 g2) = (g1) (g2), g1, g2 G.b) Un omomorsm bijectiv se numeste izomorsm.c) DacaG = Gt si , omomorsmul mai poarta numele de endomorsm, iar izomorsmul, pe celde automorsm.Exempledegrupuriizomorfe.a) Grupurile din exemplele 1 c) si d) de mai sus sunt izomorfe;b) Grupurile (Zn,+) si (Un = z C [ zn= 1,) sunt izomorfe prin aplicat ia : Zn Un, ( m) = cos mn+i sin mn, m = 0, n 1.Denit ii. a) Senumestecorpuntriplet(K , +, )formatdintr-omult imeKmpreunacudouaaplicat ii binare notate prin +, ale lui KKnK(numite respectiv adunare si nmult ire),caresatisfac condit iile:adunarea determina peKo structura de grup comutativ,nmult irea determina peK 0 o structura de grup,nmult irea este distributiva fat a de adunare.b) Se numeste camp (sau corp comutativ), un corp pentru care si nmult irea este comutativa.In cele ce urmeaza,vom nota un corp (K , +,) prinK ,iar corpurile utilizate vor campurile(R, +, ) si (C, +, ).Exempledecorpuri.a) Tripletele (Q, +, ), (R, +, ), (C, +, ) sunt corpuri comutative, unde operat iile de adunare sinmult ire sunt cele uzuale.b) Tripletul (Zp, +, ), undep este un numar prim, este corp comutativ.Student Web Copy8 Spat ii sisubspat iivectoriale2 Spat iisisubspat iivectorialePe langa diverse structuri algebrice precum cele de monoid, algebra, inel, sau modul, n studiul disci-plinelor aplicate intervine cu prioritate structura de spat iu vectorial. Aceasta structura consta dintr-ungrup aditiv comutativV, si o operat ie de nmult ire externa denita peKV cu valori nV caresatisfacepatruaxiome, undeKesteuncamp. Vomnotaelementelespat iuluivectorial V (numitevectori) prinu, v, w, . . . , iar cele ale corpuluiK(numite scalari), prina, b, c, . . . ; k, l, . . . sau, , . . . .Denit ii.Se numeste spat iu vectorial peste corpulKun triplet (V, +, k = f), n care:a) V este o mult ime, ale carei elemente se numesc vectori; b) operat ia + (numita de adunare avectorilor) determina o structura de grup comutativ pe V, notata aditiv, (v, w) V Vv+w V;c) operat ia k (numita de nmult ire cu scalari), data de o funct ieff: K VV, f(k, v) = kv,ce satisface proprietat ilek(lv) = (kl)v, k, l K , v V (asoc. nmult irii cu scalari) (1)(k +l)v = kv +lv, k, l K , v V (distrib. fat a de adunarea dinK ) (2)k(v +w) = kv +kw, k K , v, w V (distrib. fat a de adunarea dinV) (3)1v = v, v V (4)Elementele luiKse numesc scalari, iar aplicat iafse numeste nmult irea cu scalari.Incazul K=R, spat iul vectorial senumestespat iuvectorial real, iardacaK=C, spat iulvectorial se numeste spat iu vectorial complex.Un spat iu vectorial (V, +, k), se va nota uneori, pe scurt, prin V. In cele ce urmeaza, prin corpulKvom nt elege unul din campurile R sau C.Teorema. DacaV este un spat iu vectorial peste corpul K , atunci u, v, w V si k, l K , au locurmatoarele proprietat i:a) 0v = 0,b) k0 = 0,c) (1)v = v,d) v +w = v +u w = u,e) kv = lv siv ,= 0 k = l,unde elementul 0 din stanga egalitat ii (i) reprezinta elementul neutru fat a de adunare al corpuluiK ,iar elementul 0 V din membrul drept reprezinta vectorul nul - elementul neutru al grupului abelian(V, +).Demonstrat ie. a) Avem: 0v = (0 + 0)v = 0v + 0v 0 = 0v.b)k0 = k(0 + 0) = k0 +k00 = k0.c)v + (1)v = 1v + (1)v = (1 + (1)v = 0v = 0 (1)v = v.d) v+w = v+u v+v+w = v+v+u 0+w = 0+u w = u. e) kv = lv (kl)v = 0k = l(n caz contrar, nmult ind cu (k l)1, rezultav = 0, contradict ie). Consecint a. In orice spat iu vectorial V peste corpul K , pentru k, l K , v, w V au loc relat iile:a) (kv) = (k)v = k(v),b) (k l)v = kv + (l)v = kv + (lv) = kv lv,c) k(v w) = k[v + (1)w] = kv + (k)w = kv + (kw) = kv kw.Student Web CopySpat iivectoriale 9Demonstrat ie. Aratam, spre exemplu, ca egalitatea de la punctul a) are loc. Pe de o parte, avem(k)v = k(1)v = k(1)vc)=k(v).Pe de alta parte, din egalitat ile (k)v+kvc)=(k+k)v = 0 v = (kv)+kv rezulta, folosind implicat iad), egalitatea (k)v = (kv). Exempledespat iivectoriale.In ecare din exemplele urmatoare, vom preciza mult imileV si K , precum si operatiile de adunaredinV si de nmult ire a vectorilor dinV cu scalari dinK .a) Spat iul vectorial Kpeste corpul K .In acest caz, V =K=corp, iar adunarea si nmult irea cuscalari sunt respectiv adunarea si nmult irea din corpulK .b) Spat iul vectorial C peste corpul R. In acest caz,V = C (mult imea numerelor complexe),K= R(mult imea numerelor reale), adunarea este cea din C, nmult irea cu scalari este cea uzuala dintre unnumar real si un numar complex.c) Spat iul vectorial aritmeticcundimensiuni V =Kn, unde K =corpcomutativ; adunareasinmult irea cu scalari denite prin:_x +y = (x1 +y1, x2 +y2, . . . , xn +yn)kx = (kx1, kx2, . . . , kxn), x = (x1, x2, . . . , xn), y = (y1, y2, . . . , yn) Kn, k K .d) Spat iulvectorialalvectorilorliberi. V =V3, K= R, adunareavectorilorliberiestedataderegula paralelogramului, iar nmult irea dintre un num ar real si un vector liber este descrisa n capitolulV, 1.e) Spat iul vectorial al matricelor de tipulmn. V = Mmn(K ),K=camp; adunarea matricelor,nmult irea dintre un scalar si o matrice.f ) Spat iul vectorial al solut iilorunui sistemalgebricliniaromogen. V =mult imeasolut iilorunuisistem liniar omogen de m ecuat ii cu n necunoscute privite ca elemente din Kn(n-uple), cu coecient idinK ,K R, C, adunarea este cea dinKn, iar nmult irea cu scalari este cea dinKn.Spre exemplu, familia V a solut iilor sistemului_x +y z = 02x +z = 0este familia tripletelor de numerereale de forma (x, y, z) = (, 3, 2), R. Se observa ca V formeaza spat iu vectorial cu operat iiledenite n exemplul c).g) Spat iul vectorial al funct iilorcuvalori ntr-unspat iuvectorial dat.Inacest cazavemV =f [f: S W ,undeSmult ime nevida iarWeste un spat iu vectorial peste campul K R, C,iar operat iile sunt cele de adunare a funct iilor si nmult ire a acestora cu scalari din corpulK .h)Spat iul vectorial al solut iilor unei ecuat ii diferent iale liniare si omogene. In acest caz, V =mult imeasolut iilor unei ecuat ii diferent iale ordinare, liniare si omogene, K= R, adunarea funct iilor, nmult ireaunei funct ii cu un scalar. Spre exemplu, pentru R,V = f[ f: R R, ynot=f, yty = 0 = f [ f(x) = aex, a Rformeaza un asemenea spat iu vectorial.i) Spat iul vectorial al tuturorsirurilorrealesaucomplexe.Inacest caz, V =mult imeatuturorsirurilor reale sau complexe,K R, C, iar operat iile sunt:_x +y = x1 +y1, . . . , xn +yn, . . . kx = kx1, . . . , kxn, . . . , x = x1, . . . , xn, . . . , y = y1, . . . , yn, . . . V, k K .Student Web Copy10 Spat ii sisubspat iivectorialeDatindunKspat iuvectorial(spat iuvectorialpestecorpul K ),vomstudia nceleceurmeazasubspat iile vectoriale ale spat iului vectorial V, submult imile acestuia care sunt ele nsele spat ii vecto-riale relativ la operat iile induse dinV.Denit ie.Se numeste subspat iu vectorial al luiV o submult ime nevidaWa luiV, astfel ncat auloc proprietat ileu, v W , u +v W ; (1)k K , u W , ku W . (2)Observat ii.1. Aceste condit ii sunt echivalente cu proprietateau, v W , k, l K , ku +lv W ;2. Adunarea si nmult irea cuscalaripeWsunt restrict iile laWaleoperat iilor depeV; deaceeaurmatoarele armat ii sunt echivalente: Weste un subspat iu vectorial al luiV; Weste un spat iu vectorial pesteKn raport cu operat iile induse dinV.Exempledesubspat iivectorialea) Fie V un spat iu vectorial peste campul K . Mult imile 0 si V sunt subspat ii vectoriale ale lui V.Acestea se numesc subspat ii improprii; oricare alt subspat iu al luiV se numeste subspat iu propriu.b) Mult imeaWan-uplelor de forma (0, x2, . . . , xn), x2, . . . , xn Keste un subspat iu vectorial alluiKn. Se observa ca are loc egalitateaW= x = (x1, x2, . . . , xn) Kn[x1 = 0si caWformeazaunsubspat iuvectorial nKn, detipul spat iilorvectorialedescrise nparagrafulurmator.c) Mult imea funct iilor impare si mult imea funct iilor pare sunt respectiv subspat ii ale spat iului vec-torial real al funct iilor reale denite pe (a, a), undea R+ .d) Fie V =C0[a, b] = f [ f : [a, b]R, f continuape[a, b]. Submult imeaW = f C0[a, b] [f(a) = f(b)este un subspat iu vectorial nV.e) FieV = R3. Dreptele si planele care cont in originea sunt subspat ii vectoriale ale lui R3. Coor-donatele punctelor lor (triplete din R3) sunt familii de solut ii ale unor sisteme liniare si omogene deecuat ii cu trei necunoscute.Denit ie.FieV un spat iu vectorial peste corpulKsiSo submult ime nevida a luiV. Se numestecombinat ie liniara nita de elemente dinSun vectorv V de formav =p

i=1kivi, undevi S, ki K ,i = 1, p.Teorema. DacaSesteosubmult imenevidaalui V,atuncimult imeatuturorcombinat iilorliniarenite formate cu vectori dinS, este un subspat iu vectorial al luiV.Student Web CopySpat iivectoriale 11Acest subspat iu se numeste subspat iul generat de submult imeaSsau acoperirea liniara a luiS sise noteaza cuL(S). DacaSeste mult imea vida, atunci prin denit ieL(S) = 0.Observat ie. Diferitesubmult imi devectori dinV potsagenerezeacelasi subspat iuvectorial. Deexemplu, pentrua, b K , a ,= 0, oricare din mult imile1, t, t2, . . . , tn,_1,t1!, t22!, . . . , tnn!_, 1, (at +b), (at +b)2, . . . , (at +b)ngenereaza spat iul vectorial al funct iilor polinomiale n nedeterminata t care au cel mult gradul n, notatn cele ce urmeaza cuKn[t], iar oricare din mult imile1, t, t2, . . . , tn, . . . ,_1,t1!, t22!, . . . , tnn!, . . ._, 1, (at +b), (at +b)2, . . . , (at +b)n, . . . genereazaspat iulvectorialaltuturorfunct iilorpolinomiale nnedeterminatat,notatcuK [t]. Ob-servam caW= Kn[t] este subspat iu vectorial al spat iului vectorialV = K [t].Teorema. DacaUsiWsunt doua subspat ii ale spat iului vectorial V, atuncia) suma dintreUsiW , mult imeaU+W= v = v1 +v2[ v1 U , v2 W este un subspat iu vectorial al luiV;b) intersect iaU Weste un subspat iu vectorial al luiV; mai mult, intersect ia unui numar arbitrarde subspat ii vectoriale ale luiV este tot un subspat iu vectorial.c) reuniuneaU Weste un subspat iu vectorial al luiV daca si numai dacaU WsauW U(deciU Wnu este n general subspat iu vectorial al luiV).Demonstrat ie. a) Adunarea este o operat ie interna; ntr-adevar, avem (1), deoarecev, vt U+Wv = u +w, vt = ut +wt,cuu, ut U ,w, wt W ; atunci rezultau +ut U ,w +wt W , si deciv +vt = (u +ut) + (w +wt) U+W .Pentru proprietatea (2), consideramk K . Avemku U, kw Wkv = (ku) + (kw) U+W .b) Dinv, vt U W , rezultav, vt U ,v, vt W . CumUsiWsunt subspat ii vectoriale, rezultakv +lvt U , kv +lvt W , k, l K kv +lvt U W .c)Presupunemcanuarelocnici unadintreincluziunileUW , WU . Fiedeci u UW ,w WU . Rezultau + w/ U (altfel u + v U si u Uv U , contradict ie)si analogu + w/ V. Prinurmareu + w/ U W , deci U V nuestesubspat iuvectorial. DacaUW ,atunciU W= W , si deciW Weste subspat iu vectorial (subspat iul total) al spat iului vectorialV = W . CazulW Use demonstreaza analog. Exercit ii.a) DacaUsiWsunt doua subspat ii ale spat iului vectorialV, atunci acoperirea liniaraL(U W )amult imii U Westeexactsubspat iulvectorial U+ W(tema, vericat i!). b) FieStudent Web Copy12 Spat ii sisubspat iivectorialeU= L(v1 = (1, 0)), W= L(v2 = (0, 1)); U , W R2. AtunciU W =0,U+ W= R2 R2(decisuma este ntregul spat iu vectorial) iar reuniuneaU Wnu este subspat iu vectorial n R2, deoarecev1 U , v2 W , v1 +v2/ U W= (x, y)[ xy = 0.c) Fie subspat iileU , W R2generate respectiv de vectoriiu1 = (1, 4), u2 = (1, 2), u3 = (2, 0) siw1 = (1, 5), w2 = (2, 10), w3 = (3, 15) R2.R: Determinamsubspat iileU+ Wsi U W . Subspat iul sumaU+ Westeacoperirealiniaraamult imii de vectori u1, u2, u3, w1, w2, w3,U+W= L(u1, u2, u3, w1, w2, w3),adica orice vectorv U+Weste de formav = k1w1 +k2w2 +k3w3 +k4u1 +k5u2 +k6u3; k1, k2, k3, k4, k5, k6 K .Subspat iulU Wcont ine acei vectori care admit scrierea simultanav = 1w1 +2w2 +3w3 = 1u1 +2u2 +3u3.Folosind operat iile cu vectori din R2obt inem prin nlocuire si identicare pe componente, sistemul_122 + 33 = 12 + 2351102 + 153 = 41 + 22.Rangul matricei sistemului este unu, iar compatibilitatea este asigurata de anularea determinantuluicaracteristic172 + 103 = 0. Obt inem1 = 7 10, 2 = , 3 = , , R.Atunci vectorii spat iuluiU Wsunt de forma(7 10)u1 +u2 +u3 = (6 8, 30 40) = (6 8)(1, 5), , R,si deciU W= L(vt = (1, 5)).Teorema. FieU , Wsubspat ii vectoriale. Urmatoarele armat ii sunt echivalente:a) pentru orice vectorv U+W , exista o unica descompunerev = v1 +v2, v1 U , v2 W ;b) U W= 0.Demonstrat ie.b) a). Fiev=v1 + v2=vt1 + vt2. v1, vt1 U , v2, vt2 W u=v1 vt1=vt2v2 U W= 0 v1 = vt1, v2 = vt2. Reciproc, prin absurd, daca are loc a), dar U W,= 0,e w U W0 ,= g

. Atunci w = 0+w = w+0 U +Wreprezinta doua descompuneri simultaneale luiw, n care 0, w U ; 0, w W . Din unicitatea descompunerii, rezultaw=0, contradict ie. Denit ii.FieUsiWdoua subspat ii vectoriale ale luiV.Student Web CopySpat iivectoriale 13a) DacaU W= 0, atunci sumaU+Wse numeste suma directa si se noteazaU W= U+W .b) Daca sumaU+Weste directa si avemn plus U+W= V, atunciUsiWse numesc subspat iisuplementare. Not iunile de suma si suma directa se pot extinde n mod natural la cazul unui numarnit de subspat ii vectoriale.Exemple. a) Subspat iileU = (x, 0)[ x R, W= (0 , y)[ y RausumaU+ W=R2siintersect iaU W= (0, 0)= 0R2, deci suntsuplementare n R2.Intr-adevar, descompunereaunui vector din R2dupa cele doua subspat ii este unica:(x, y) R2, (x, y) = (x, 0) + (0, y) U+W .b) Subspat iul funct iilor pareU= f: I R[ f(x) = f(x), x Isi respectiv impareW= f: I R[ f(x) = f(x), x I,unde I =(a, a) esteuninterval simetricreal, sunt suplementare nspat iul vectorial real V alfunct iilor realedenitepe I, ntrucat intersect iacont inenumai funct iaconstantanulasi arelocdescompunereaf(x) =f(x) +f(x)2+f(x) f(x)2, x I,decioricefunct ief:(a, a) Restesumadintreofunct iepara siunaimpara, ceeaceprobeazaincluziunea nebanalaV U+W .3 Dependent asiindependent aliniaraDenit ii.FieSo submult ime de vectori dinK -spat iul vectorialV, undeK R, C.a) Spunem ca mult imeaSeste liniar dependenta daca exista o familie nita de vectori distinct i dinS, spre exempluv1, v2, . . . , vp Ssi scalarii k1, k2, . . . , kp K , cu cel put in unul nenul, astfel ncatsa aiba loc relat ia (numita relat ie de dependent a liniara):k1v1 +k2v2 + +kpvp = 0.b) Spunemcamult imeaSesteliniar independentadacanuesteliniar dependenta, adicadacavi S, i = 1, p (p arbitrar,p N), ki K , i = 1, p, are loc implicat iak1v1 +k2v2 + +kpvp = 0 ki = 0, i = 1, p.Notat ii. In cazul dependent ei liniare a familiei S, vom nota dep(S); n caz contrar, vom nota ind(S).Observat ie.a) Mult imeaSdin denit ie poate o mult ime nita sau innita.b) Desi liniar dependent a si liniar independent a sunt proprietat i specice unei familii de vectori, vomspune despre vectorii familiei ca sunt vectori liniar dependent i, respectiv vectori liniar independent i.Exemple.a) Mult imeaS = v, pentruv V0 arbitrar xat, este nita, liniar independenta.Student Web Copy14 Baza sidimensiuneb) Mult imeaS = v[ K, pentruv V0 arbitrar xat, este innita, liniar dependenta.c) Mult imea S = 0 este nita, liniar dependenta, caci are loc relat ia 10 = 0, (relat ie de dependent an care intervine coecientul nenul 1).d) Daca 0 S, atunci mult imeaSeste liniar dependenta.e) Daca nSexista un vector care se poate exprima ca un multiplu scalar al unui alt vector, atunciSeste liniar dependenta.f ) FieS = v1, v2, v3 C(R), undev1(t) = et, v2(t) =cht et+et2, v3(t) =sh t etet2.Deoarece1et 1ch t 1sh t = 0, mult imea v1, v2, v3esteliniardependenta. g) Mult imeaS = X1, X3, X5, . . . , X2k+1, . . . R[X] este innita, liniar independenta.Lema. FieL(S)acoperirealiniaraamult imiiliniarindependenteS= v1, v2, . . . , vp V, p N.Atunci orice familie dep + 1 vectori dinL(S) este liniar dependenta.Demonstrat ie. Fiep+1 vectori arbitrari dinL(S), a caror descompunere dupa baza v1, . . . vp estewi =p

j=1aijvj, i = 1, p + 1.Consideram relat iak1w1 +k2w2 + +kp+1wp+1 = 0.Inlocuind expresiile vectorilorw1, w2, . . . wp+1 relativ la vectorii dinS n relat ie, avemp+1

i=1ki__p

j=1aijvj__= 0 p

j=1_p+1

i=1kiaij_vj = 0;Dar vectorii vj, j= 1, p ind liniar independent i, rezulta anularea tuturor coecient ilor combinat ieiliniare nule, deci rezulta relat iilek1a1j +k2a2j + +kp+1ap+1j = 0, j = 1, p.Acesteaformeazaunsistemliniaromogencupecuat iisi p + 1necunoscute, deci admitesi solut iinebanale k1, k2, . . . , kp+1 K , carenlocuiten relat ia init iala, o transformantr-o relat ie de dependent aliniara, si deci vectoriiwi, i = 1, p + 1 sunt liniar dependent i. 4 BazasidimensiuneDenit ii.FieV unK -spat iu vectorial,K R, C.a) O submult ime de vectoriBV se numeste baza pentruV dacaBeste liniar independenta sigenereaza peV- deci, pe scurt,Bsatisface condit iile ind(B) siL(B) = V.b) Spat iul vectorialV se numeste nit dimensional daca admite o baza nita sau dacaV = 0. Incaz contrar,V se numeste innit dimensional.Observat ie.Utilizand axioma alegerii se poate demonstra ca orice spat iu vectorial diferit de spat iulvectorial nul 0 admite o baza.Student Web CopySpat iivectoriale 15Teorema. FieV un spat iu vectorial nit dimensional. Oricare doua bazeB, Bt ale luiV au acelasinumar de elemente.Demonstrat ie.FiennumaruldevectoridinBsi ntnumaruldevectoridinBt. DarBesteliniarindependenta si genereaza spat iul V = L(Bt). Daca prin absurd Bar avea mai multe elemente decatBt, deci dacan>nt, atunci conformLemei dinsect iuneaanterioaraarrezultaliniardependent afamilieiB-contradict ie, deoareceBeste o baza.In concluzien nt. Un rat ionament similar aplicatmult imii liniar independenteBt V = L(B) conduce lant n; decin = nt. Denit ii.a) Se numeste dimensiunea spat iului vectorial nit-dimensionalV, numaruldimV =_n, dacaV admite o baza formata dinn vectori (deciV ,= 0),0, dacaV = 0.b) Un spat iu vectorial de dimensiunen nita spunem ca esten-dimensional si l notam cuVn .Exemple.a) FieKnspat iul vectorial aritmeticn-dimensional. Vectoriie1 = (1, 0, 0, . . . , 0), e2 = (0, 1, 0, . . . , 0), . . . , en = (0, 0, . . . , 0, 1) KndeterminaobazaB = e1, e2, . . . , enaspat iului Kn.Intr-adevar, Besteliniar independenta,deoarecek1e1 +k2e2 + +knen = 0 (k1, k2, . . . , kn) = (0, 0, . . . , 0),de unde rezultak1 = k2 == kn = 0. Pe de alta parte x = (x1, x2, . . . , xn) Kn, avemx = x1e1 +x2e2 + +xnen L(B),deciKn L(B); incluziunea inversa este banala, deciBgenereaza peV = Kn.b) Spat iul vectorial Kn[X] = p K[X][ grad p nal tuturorpolinoamelordegradcel mult(inclusiv) n, are dimensiunea n+1.Intr-adevar, observamcafamiliade polinoame B =1X0, X1, X2, . . . , Xn este liniar independenta, deoarecek0 +k1X +k2X2+ +knXn= 0k0 = k1 = k2 == kn = 0si orice polinom de grad mai mic sau egal cu n este o combinat ie liniara nita de monoamele mult imiiB.c) Spat iul vectorial K [X] al tuturorpolinoamelor nnedeterminataXesteinnitdimensional siadmite baza 1, X, X2, . . . , Xn, . . . .d) Spat iul vectorialMmn(K ) al matricelor dreptunghiulare cum linii sin coloane si coecient i ncorpulKare dimensiuneamn, admit and bazaB= Eij [ 1 i m, 1 j n,undeEijeste matricea care are coecientul 1 la intersect ia linieii cu coloanaj, iar ceilalt i coecient isunt nuli.e) DacaV este un C-spat iu vectorial, atunci spat iul vectorial realRV care coincide cuV ca grupaditiv si cu nmult irea cu numere reale denita exact ca nV, se numeste trecerea n real a spat iuluiV. In particular, trecand n real spat iul vectorial complex n-dimensional V = Cn, se obt ine R-spat iulvectorial RCn R2n, de dimensiune 2n. O baza a acestuia este e1, e2, . . . , en, ie1, ie2, . . . , ien RCn,obt inuta prin trecerea n real a bazei e1, e2, . . . , en Cn.Student Web Copy16 Baza sidimensiuneTeorema. FieVnun spat iu vectorial n-dimensional. Atunci au loc armat iile:a) O mult ime liniar independenta dinVneste o submult ime a unei baze dinVn .b) FieS = v1, v2, . . . , vn Vno mult ime formata dinn vectori dinVn .Atunci urmatoarele armat ii sunt echivalente:(i)Seste baza nVn ;(ii)Seste familie liniar independent a (ind(S));(iii)Seste sistem de generatori pentruVn(L(S) = Vn ).Demonstrat ie. a) Dataindomult ime liniar independenta S =v1, v2, . . . , vpdinVn , avemurmatoarelesituat ii: e L(S) =Vnsi deci Sesteobaza, e L(S) esteosubmult imepropriealui Vn .Inal doileacazexistamacarunvectorv VnL(S), si atunci St=S vesteliniarindependenta (tema, vericat i!) . DacaL(St) = Vn , atunciSt este o baza ce cont ine peS (deci bazacautata), iar daca L(St) este o submult ime proprie a lui Vn , atunci se reia acelasi rat ionament pentruS := St. Dupa un numar nit de pasi (caci numarul de vectori dintr-o familie liniar independenta nupoate mai mare decatn), obt inem o bazaBVnce cont ine familiaS.In concluzie, orice familieliniar independentaSpoate prelungita sau completata pana la o baza a spat iului vectorialVn .b) Implicat iile (i)(ii), (i)(iii) sunt evidente. Demonstram implicat ia (ii)(i). Avem ind(S)Sbaza nL(S) dimL(S) = n = dimVn . DarL(S) Vn , deciL(S) = Vn ; rezultaSbaza nVn .Demonstram implicat ia (iii)(i). Fie L(S) = Vn ; daca avem prin absurd dep(S), atunci ar rezultaca orice baza a spat iuluiL(S) are< n vectori, decin = dimVn= dimL(S) < n, contradict ie. Exemplu.Familia de vectoriS = v1 = (1, 1), v2 = (1, 1) R2este liniar independenta. CumSare 2 vectori, iar dimR2= 2, rezulta conform teoremei caSeste baza n R2.Teorema.FieVnun spat iu vectorialn-dimensional si eB= e1, e2, . . . , en o baz a n acest spat iu.Atunci orice vectorx Vnadmite o exprimare unica de formax =n

i=1xiei, xi K , i = 1, n (1)(numita descompunerea luix dupa vectorii bazeiB).Demonstrat ie. Deoarece V = L(B), orice vector x V poate scris ca o combinat ie liniara de vectoriibazei, adica x =n

i=1xiei, iar aceasta descompunere este unica. Intr-adevar, daca vectorul x ar admite sidescompunereax =n

i=1xtiei, atunci prin scadere ar rezulta combinat ia liniara nula 0 =n

i=1(xixti)ei.Dar Bindbaza, esteformatadinvectori liniarindependent i, deci rezultaanulareacoecient ilorcombinat iei,xixti = 0, i = 1, n xi = xti, i = 1, n,deci descompunerea este unica. Denit ii. a) Se numesc componentele vectorului xn raport cu baza B, numerele x1, . . . , xn, asociatevectoruluix Vnprin descompunerea (1). Scriem [x]B =__x1. . .xn__.b) Se numeste sistem de coordonate peVnasociat bazeiB, biject iaf: Vn Kn, f(x) = (x1, x2, . . . , xn) Kn.Student Web CopySpat iivectoriale 17Inceleceurmeazavomidenticaunvectorxcucoordonatelesale(x1, x2, . . . , xn)relativlaobazaxata. Atunci, pentrux t(x1, x2, . . . , xn), y t(y1, y2, . . . , yn) VnKn, operat iilespat iuluivectorial se rescriu pe componente_x +y t(x1 +y1, x2 +y2, . . . , xn +yn)kx t(kx1, kx2, . . . , kxn), k K .Exemplu.Aam coordonatele vectoruluiv = (1, 0) R2relativ la baza din exemplul de mai sus,B= v1 = (1, 1), v2 = (1, 1) R2.Relat iav = v1 +v2 conduce la= = 1/2, deci coordonatele vectoruluiv relativ la bazaB suntt(1/2; 1/2).Inceeaceprivesteposibilitateadeacompletaofamiliedevectoriliniarindependent ilaobazafolosind pentru completare un sistem prescris de generatori, avem urmatoarele rezultateTeorema (teoremanlocuirii, Steinitz).Fie Vnun K -spat iu vectorial si e S0 = w1, . . . , wr Vn, (r 0) un sistem de vectori liniar independent i iarS = v1, . . . , vn Vnun sistem de generatori ai spat iuluiVn . Atunci are loc inegalitatear n si exista familia de vectoriS+ Scare cont inen rvectori astfel nc atS0 S+sa e sistem de generatori pentruVn .Un rezultat deosebit de util n cazul unui spat iu vectorial de dimensiune nita arbitrara, care faceposibila completarea a unei familii liniar independente la o baza, folosind vectorii unei baze cunoscute,esteTeoremacompletarii. DacaS0 V esteunsistemliniarindependent nK -spat iul vectorialV, atunciS0se poate completa la o baza a luiV.In cazul nit-dimensional, rezulta urmatorulConsecint a. FieS = B= e1, . . . , en Vno baza nK -spat iul vectorial Vn , si eS0 = w1, . . . , wr Vn, (r 0)un sistem liniar independent de vectori dinVn . Atuncir n siS0se poate completa cunr vectoriai unei subfamiliiS+ Bla o alta bazaBt = S0 S+a spat iuluiVn .Exercit iu.Completat i la o baza a spat iului vectorialV = R4familia de vectoriS0 = w1 = (1, 1, 1, 1), w2 = (1, 1, 1, 1).FamiliaS0 este liniar independenta (tema, vericat i!) . Consideram baza canonicaS = B= e1 = (1, 0, 0, 0), e2 = (0, 1, 0, 0), e3 = (0, 0, 1, 0), e4 = (0, 0, 0, 1) R4,si observam ca din cele A24 = 4 3 = 12select ii ordonate de 2 vectori din Bputem alege, spre exemplu,vectoriiS+ = e1, e2, iar vectorii familieiBt = S0 S+ = w1, e1, w2, e2suntliniarindependent i, si sunt nnumarde4 nspat iul R4(acarui dimensiuneestetot4), deciconform teoremei 4.3 rezulta ca Bt este o baza. In plus, prin construct ie, baza Bt cont ine atat familiaS0, cat si o parte din vectorii familieiS.Teorema(Grassmann). DacaU si Wsunt douasubspat ii dedimensiuni nitealespat iuluivectorial V, atunci are loc relat iadimU+ dimW= dim(U W ) + dim(U+W ).Student Web Copy18 Baza sidimensiuneConsecint a. DacaUsiWsunt doua subspat ii suplementare de dimensiuni nite ale spat iului vec-torial V, atunci are loc relat iadimU+ dimW= dimV.Matriceaasociatauneifamiliidevectorirelativlaobazadata.FieVnunK -spat iu vectorial si B= e1, e2, . . . , en o baza nVn . Considerand un sistem depvectoriv1, v2, . . . , vp Vn , atunci acestia se descompun relativ la bazaB, dupa cum urmeazav1 =n

i=1ai1ei, v2 =n

i=1ai2ei, . . . , vp =n

i=1aipei.Vectorilorv1, v2, . . . , vpli se ataseaza matricea formata din coecient ii celorp descompuneri, asezat isuccesiv pe coloane:A =_____a11a12. . . a1pa21a22. . . a2p............an1an2. . . anp_____,numita matricea asociata familiei de vectori S relativ la o baza matricea asociata unei familii de vectorirelativ la o bazaB. Vectoriiv1, v2, . . . , vppot identicat i cu coloanele matriceiA si notam aceastamatrice cuA = [S]B = [v1, v2, . . . , vp]B.Teorema. FieB= e1, e2, . . . , en o baz a a luiVn, S = v1, v2, . . . , vp o familie dep vectori dinVnsiA = [S]Bmatricea asociata acestei familii. Fierang A = m min(p, n), si e 1 i1i2. . . im pindicii coloanelor unui minor care da rangul matriciiA. Atunci au loc urmatoarele armat ii:a) familia de vectoriSt = vi1, . . . , vim este baza a subspat iuluiL(S).1b) vj L(St), pentru oricej 1, p i1, i2, . . . , im.Exemplu. Pentru subspat iile date n exemplul anterior,dimensiunea subspat iului U+ Wcoincidecu rangul matricei[w1, w2, w3, u1, u2, u3] =_1 2 3 1 1 25 10 15 4 2 0_,deci dim(U+W ) = 2. Un vector oarecare din subspat iulU Weste de forma(6 8, 30 40) = (6 8)vt, , R, vt = (1, 5),astfel ncat (dimU V) = 1. Se observa ca avem relat iileW= U W U= U+W= R2.Intrucat dimW= 1, dimU= 2, teorema Grassmann se verica, avand loc egalitateadimU+ dimW= 2 + 1 = 1 + 2 = dim(U W ) + dim(U+W ).Consecint a. FieB= e1, e2, . . . , en o baza a luiVnsi eS =_etj =n

i=1cijei, j = 1, n_(2)o familie de n vectori dinVn . Atunci urmatoarele armat ii sunt echivalente:a) Seste baz a a luiVn ;b) det C ,= 0, undeC = (cij)i,j=1,neste data de relat iile (2).1Decirezultaind(S

)siL(S) = L(S

); nparticular, rang A = dimL(S)).Student Web CopySpat iivectoriale 19Rezulta ca o familie S Vnreprezinta o baza a spat iului Vndaca matricea [S]B = (cij) a familieiSrelativ la o bazaBoarecare a spat iului este patratica si nesingulara.Exemplu.VectoriiBt = u = (1, 1), v = (1, 1) determina o baza a spat iului vectorialV2 = R2=L(B), B= e1 = (1, 0), e2 = (0, 1), deoarecedet[u, v] 1 11 1= 2 ,= 0.Schimbareabazei ntr-unspat iuvectorialVn.Fie B= e1, e2, . . . , en si Bt = et1, et2, . . . , etn doua baze distincte n spat iul vectorial Vn . Atuncivectorii bazeiBt se pot exprima relativ la bazaBprin relat iile:etj =n

i=1cijei, j = 1, n. (3)Fie (x1, . . . , xn) respectiv (xt1, . . . , xtn) coordonatele unui vector arbitrarx Vnn raport cu bazaBrespectivBt, deci aulocdescompunerilex=n

i=1xieirespectivx=n

j=1xtjetj. Folosindrelat iile(3)dintre vectorii celor doua baze, obt inem succesivx =n

j=1xtj_n

i=1cijei_=n

i=1__n

j=1cijxtj__ei.Din unicitatea descompunerii vectorului x =n

i=1xiein raport cu baza B, prin identicarea coecient ilor,rezulta relat iilexi =n

j=1cijxtj, i = 1, n. (4)Notand coordonatele vectoruluix relativ la cele doua baze respectiv prinX =t(x1, x2, . . . , xn),Xt =t(xt1, xt2, . . . , xtn) relat iile (4) se scriu condensat sub forma matricealaX = CXt. (5)Denit ii. a) Matricea patratica C = [Bt]B= (cij)i,j=1,n, unic determinata de relat iile (3), are dreptcoloane coordonatele vectorilor bazei Bt n raport cubazaB;aceasta matrice se numeste matriceade trecere de la bazaBla bazaBt.b) Relat iile (4) descriu transformarea coordonatelor vectoruluix la o schimbare a bazei Bn bazaBt.Exercit ii. a) Sasedeterminecoecient ii polinomului p=1 t2R2[t] relativlabazaBt=t, 1 +t2, 1.Solut ie. Coecient ii polinomului prelativlabazanaturalaB= 1, t, t2aspat iului vectorial R2[t]suntdat i devectorul coloanaX=t(1, 0, 1). Deasemenea, matriceacoecient ilorvectorilornoiibazeBtrelativ la bazaBeste (tema, vericat i!) , C= [Bt]B=__0 1 11 0 00 1 0__. Coordonatele luip relativ laBt formeaza vectorulXt ce satisface relat ia (5), deci prin calcul direct rezulta coecient iiXt =t(0, 1, 2), adicap admite relativ laBt descompunerea:p = 0t + (1)(1 +t2) + (2)(1).Student Web Copy20 Baza sidimensiuneb) Aat i coordonatele vectoruluiv =(1, 2) R2relativ la bazaBt = v1 = (1, 2), v2 = (3, 4).Solut ie.MatriceadetreceredelabazacanonicaB= e1= (1, 0), e2= (0, 1)aspat iuluivectorialR2la bazaBt esteC =_1 32 4_, iar coordonateleXt ale vectoruluiv = (1, 2) relativ la bazaBtsuntXt = C1X =t(1/5; 2/5), undeX = v.Altfel. Inlocuindv1, v2 siv3 n relat iav = v1 +v2, prin rezolvarea sistemului liniar obt inut rezultacoecient ii = 1/5, = 2/5 ai vectoruluiv relativ la bazaBt.Spat iivectorialeizomorfe.Denit ii.a) FieV siWdouaK -spat ii vectoriale. Se numeste transformare liniara de laV laW ,o aplicat ieT : VWcare satisface condit iile_T(x +y) = T(x) +T(y), x, y VT(kx) = kT(x), x V, k K .b) O transformare liniara bijectiva se numeste izomorsm.Exemplu.Un sistem de coordonate peVnreprezinta un izomorsm canonic ntreVnsiKn.Teorema. DouaK -spat ii vectoriale de dimensiuni niteV siWsunt izomorfe daca si numai dacadimensiunile lor coincid.Demonstrat ie. . FieV =Vnsi W=Wmsuntizomorfe, deci existaotransformareliniarabijectivaT : Vn Wm . AvemT(0) = T(0 + 0) = 2T(0) T(0) = 0.FieB= e1, e2, . . . , en o baza a luiVn . Mult imeaT(B) = T(e1), T(e2), . . . , T(en) Wmeste liniar independenta, deoarece:k1T(e1) +k2T(e2) + +knT(en) = 0 T(k1e1 +k2e2 + +knen) = T(0);darTinjectiva siBbaza, deci rezultak1e1 +k2e2 + +knen = 0 k1 = k2 == kn = 0.CumL(T(B)) Wmsi dimL(T(B))=cardT(B)=n, obt inemn m. Pedealtaparte, T(B)genereaza Wm , caci Tind surjectiva, rezulta ca pentru orice w Wm , exista v =n

i=1viei Vnastfelncat T(v) = w. Dar Teste aplicat ie liniara, deci w =n

i=1viT(ei) T(B), de unde avem Wm T(B)si decim =dimWm cardT(B) = n. In concluzien = dimT(B) = dimWm= m.. Fie V = Vnsi W= Wn . Fixand doua sisteme de coordonate f: Vn Knsi g : Wn Kn,asociate unor baze arbitrar xate nVn , respectivWm , construim izomorsmulT= g1 f: Vn Wn,deci cele doua spat ii vectoriale sunt izomorfe. Exemplu. Spat iilevectorialeM23(R), R5[X] si R6suntizomorfe, deoarecetoateceletrei spat iivectoriale reale au dimensiunea 6.Student Web CopySpat iivectoriale 215 Spat iivectorialeeuclidieneIn celeceurmeaza,vom adauga lastructurade spat iu vectorial onoua operat ie cuvectori -ceadeprodus scalar, cu ajutorul careia vom putea deni:lungimea unui vector,unghiul format de doi vectori,ortogonalitatea a doi vectori,proiect ia unui vector pe un alt vector sau pe un subspat iu vectorial, etc.Denit ii. a) Fie V un C-spat iu vectorial. Se numeste produs scalar complex, saunca, produs scalarhermitic peV, o funct ie , ) : VVC care, pentru u, v, w V, k C, are proprietat ilev, w) = w, v) (hermiticitate) (1)u, v +w) = u, v) +u, w) (aditivitate/distributivitate) (2)kv, w) = kv, w) (omogena n primul argument) (3)v, v) 0; v, v) = 0 v = 0. (pozitivitate) (4)b) Unspat iuvectorial complexpecares-adenitunprodusscalarsenumestespat iuvectorialeuclidian complex.Observat ie. Din aceste proprietat i decurg relat iile (tema, vericat i!) v, kw) = kv, w) , u +v, w) = u, w) +v, w) , v, v) R , 0, 0) = 0, u) = u, 0) = 0, u, v, w V, k C,deci un produs scalar hermitic este aditiv n ambele argumente dar nu este n general omogen n aldoilea argument.Teorema.In orice spat iu euclidian complexV este satisfacuta inegalitatea Cauchy-Schwartz[v, w)[2v, v)w, w), v, w V;relat ia devine egalitate daca si numai dacav siwsunt liniar dependent i.Demonstrat ie.Dacav= 0sauw= 0,relat iaesteevidenta(cuegalitate). Pentruv, w V 0 si C scalar arbitrar, folosind pozitivitatea produsului scalar, avem0 E() := v w, v w) ,iarE()=0 v=w.Inparticular, alegand=, unde=v,w)w,w)(deci pentruv=prwv,v.def.6.2), rezulta0 E() = v, v) [v, w)[2w, w),de unde inegalitatea din enunt . A doua armat ie din enunt rezulta din echivalent a[v, w)[2= v, v)w, w) E() = 0 v = w.Student Web Copy22 Spat iivectorialeeuclidiene

Vom considera n continuare cazul candV este un spat iu vectorial real.Denit ii.a) FieV un spat iu vectorial real. Se numeste produs scalar real peV, o funct ie, ) : VVRcare pentru u, v, w V, k R, are proprietat ilev, w) = w, v) (simetrie) (1)u, v +w) = u, v) +u, w) (aditivitate/distributivitate) (2)kv, w) = kv, w) (omogena n primul argument) (3)v, v) 0; v, v) = 0 v = 0. (pozitivitate) (4)b) Un spat iu vectorial real pe care s-a denit un produs scalar se numeste . .Observat ie. Din aceste proprietat i decurg relat iile (tema, vericat i!) : v, kw) = kv, w) u +v, w) = u, w) +v, w) 0, 0) = 0, u) = u, 0) = 0 , u, v, w V, k R,deci un produs scalar real este omogen si aditiv n ambele argumente.Teorema.In orice spat iu euclidian real V este satisfacut a inegalitatea Cauchy-Schwartzv, w)2v, v)w, w), v, w V.Relat ia devine egalitate daca si numai dacav siwsunt liniar dependent i.Exempledespat iivectorialeeuclidiene.a) Funct ia cu valori reale denita pe spat iul vectorialV = Rnprinx, y) = x1y1 +x2y2 + +xnyn, x = (x1, x2, . . . , xn), y = (y1, y2, . . . , yn) Rneste un produs scalar pe Rn, determinand o structura de spat iu euclidian real pe Rn.b) Spat iul vectorial complex V=Cneste un spat iu vectorial euclidian complex n raport cu produsulscalarx, y) = x1y1 +x2y2 + +xnyn, x = (x1, x2, . . . , xn), y = (y1, y2, . . . , yn) Cnc) Spat iuleuclidianreal V =C0[a, b]altuturorfunct iilorcuvalorireale, continuepeuninterval[a, b], cu produsul scalar dat def, g) =_baf(x)g(x)dx.d) Spat iul euclidian complexV =C0([a, b], C) al tuturor funct iilor cu valori complexe, continue peun interval [a, b], cu produsul scalar dat def, g) =_baf(x)g(x)dx.Student Web CopySpat iivectoriale 23e) Spat iul euclidian realV al sirurilor realex = x1, . . . , xn, . . . R cu proprietatea ca

i=1x2iesteserie convergent a, cu produsul scalarx, y) =

i=1xiyi, x, y V.f ) Spat iuleuclidiancomplexV al sirurilorcomplexex = x1, . . . , xn, . . . Ccuproprietateaca

i=1[xi[2este serie convergenta, cu produsul scalarx, y) =

i=1xiyi, x, y V.g) Spat iul euclidian realV al matricilor patraticeMnn(R), cu produsul scalarA, B) = Tr(AtB), A, B Mnn(R),unde am notat prinTr(C) urma unei matrice patraticeC:Tr(C) = c11 +c22 + +cnn, C = (cij)i,j=1,n Mnn(R).Denit ie.FieV unK -spat iu vectorial euclidian. Se numeste norma peV, o aplicat ie [[[[ : VR+, care satisface relat iile[[v[[ 0, v V si [[v[[ = 0 v = 0 (pozitivitate) (1)[[kv[[ = [k[[[v[[, v V, k K (omogenitate) (2)[[v +w[[ [[v[[ +[[w[[, v, w V (inegalitatea triunghiului) (3)Inegalitatea triunghiului devine egalitate doar dacav siw sunt coliniari si de acelasi sens.Teorema. FieV unK -spat iu vectorial euclidian. Funct ia [[[[ : VR+, denita prin[[v[[ =_v, v), v Veste o norma peV.Normadenita nteoremasenumestenormaeuclidiana. Astfel, oricespat iuvectorialeuclidianeste n particular spat iu vectorial normat.Demonstrat ie. PresupunemcaV esteunspat iuvectorial complex. Inegalitatea(v, v) 0implica[[v[[ 0, cuegalitatedacasi numai dacavestevectorul nul. Avem, deasemenea, pentru v V, k C:[[kv[[ =_kv, kv) =_kkv, v) =_[k[2v, v) = [k[_v, v) = [k[ [[v[[.Inegalitatea triunghiului se demonstreaza astfel:[[v +w[[2= v +w, v +w) = v, v) +v, w) +v, w) +w, w) [[v[[2+ 2[[v[[[[w[[ +[[w[[2= ([[v[[ +[[w[[)2, v, w V,unde am t inut seama de inegalitatea Cauchy-Schwarz [v, w)[ [[v[[[[w[[, si de inegalitateav, w) +v, w) = 2Rev, w) 2 [v, w)[ , v, w V.Student Web Copy24 Spat iivectorialeeuclidiene

Exemplu.Norma euclidiana canonica a spat iului R3este data de[[v[[ =_v, v) =_x2+y2+z2, v = (x, y, z) V.Denit ii. a) Un spat iu vectorial normat n care norma provine dintr-un produs scalar se numestespat iu prehilbertian.b) Un spat iu prehilbertian complet (n sensul ca orice sir Cauchy format din vectori ai spat iului esteun sir convergent) se numeste spat iu Hilbert.Observat ii. 1. Primeledouaproprietat ialenormeiasiguracaoriceelementvdinV 0poatescris nformav= [[v[[e, undee=1[[v[[vareproprietatea [[e[[ =1si senumesteversorul asociatvectorului nenulv. In general, un vectore cu proprietatea [[e[[ = 1 se numeste versor.2. FieV unspat iuvectorial euclidianreal. Pentruv, w V 0, inegalitateaCauchy-Schwarz,[v, w)[ [[v[[[[w[[, se poate rescrie sub forma1 v, w)[[v[[[[w[[ 1,dubla inegalitate care justica urmatoarea denit ie a unghiului format de doi vectori.Denit ie. FieV unspat iuvectorial euclidianreal, si v, wdoi vectori nenuli dinV. Senumesteunghiul dintre vectoriiv siw, numarul [0, ] denit de egalitateacos =v, w)[[v[[[[w[[.Se observa ca n denit ie este esent ial sa avemK= R.Denit ie. FieMo mult ime. Se numeste distant a (metrica) pe M, o aplicat ied(, ) : M M R+,care pentru u, v, w Msatisface relat iile:d(u, v) 0; d(u, v) = 0 u = v (pozitivitate) (1)d(u, v) = d(v, u) (simetrie) (2)d(u, v) d(u, w) +d(w, v) (inegalitatea triunghiului) (3)In acest caz spunem ca mult imeaMare o structura de spat iu metric.Teorema. FieV un spat iu vectorial normat. Atunci funct ia realad(, ) : VVR+ denita prind(u, v) = [[u v[[, u, v Veste o distant a peV.Deci orice spat iu vectorial normat este un spat iu metric. Daca norma este norma euclidiana, atuncidistant a denita cu ajutorul ei se numeste distant a euclidiana.Exercit iu.FieP2spat iul euclidian real al funct iilor polinomiale reale de grad cel mult doi nzestratcu produsul scalar , ) : P2P2 R,p, q) = a0b0 + 2a1b1 + 2a2b2, p, q P2,Student Web CopySpat iivectoriale 25pentrup(x) = a0 +a1x +a2x2, q(x) = b0 +b1x +b2x2. Fie vectoriip1(x) = 3 +x2, p2(x) = 1 x, p3(x) = 1 +x x2, p4(x) = 2x2 P2.Aat i un vectorp0 echidistant fat a de cei patru vectori si calculat i distant a comuna.Solut ie. Fie p0(x) = a+bx+cx2; aam coecient ii a, b, c din condit ia ca distant ele de la acest polinomla celelalte patru, sa coincida,[[p1p0[[ = [[p2p0[[ = [[p3p0[[ = [[p4p0[[;obt inem(tema, vericat i!)a = 15/26, b = 14/26, c = 23/26,decip0 = (15 + 14x + 23x2)/26. Distant a ceruta este prin urmared = [[p3p0[[ =_p3p0, p3p0) =_1526_2+_1426_2+_2926_2=126226.6 Ortogonalitate. ProcedeuldeortogonalizareGram-SchmidtDenit ii.FieV un spat iu vectorial euclidian.a) Doi vectori dinV se numesc ortogonali daca produsul lor scalar este nul.b) O submult imeS V se numeste ortogonala daca vectorii sai sunt ortogonali doi cate doi, adicav, w) = 0, v, w S, v ,= w.c) Omult imeortogonalasenumesteortonormatadacaecareelemental sauarenormaegalacuunitatea.Teorema.FieV unK -spat iu euclidian siS o submult ime dinV formata din vectori nenuli. Atunciau loc urmatoarele armat ii:a) Daca S este mult ime ortogonala, atunci este liniar independenta.b) Daca dimV = n iarScont ine exactn vectori, atunciSeste o baza a luiV.Demonstrat ie. a) DacaS V0 este mult ime ortogonala, iark1v1 +k2v2 + +kpvp = 0,o combinat ie liniara nita nula de elemente din S. Aplicand acestei egalitat i de vectori produsul scalarcuvj, rezultak1v1, vj) +k2v2, vj) + +kpvp, vj) = 0, j 1, p.Sind ortogonala, celep relat ii obt inute devin egalitat ilekjvj, vj) = 0, j 1, p. Dar vectoriivj, j 1, p sunt nenuli, decivj, vj) = [[vj[[ , = 0, j 1, p,de unde rezultakj = 0, j 1, p, si deci mult imeaSeste liniar independenta.b) rezulta imediat din prima armat ie si din egalitatean = p. Observat ie.Inspat iilevectorialeeuclidieneestecomodsaseexprimevectorii nraportcubazeortonormate. Faptul ca o bazaB= e1, e2, . . . , en Vneste ortonormata se poate rescrieei, ej) = ij =_1, pentrui = j0, pentrui ,= j, i, j = 1, n,Student Web Copy26 Ortogonalitate. ProcedeuldeortogonalizareGram-Schmidtunde simbolulijse numeste simbolul lui Kronecker.Exemplu. Inspat iul vectorial euclideanreal V =C0[0, ] al funct iilorreale, continue, denitepeintervalul [0, ] nzestrat cu produsul scalarf, g) =_0f(x)g(x)dx,consideram urmatoarea submult ime de funct ii trigonometriceS = f0, f1, f2, . . . , cuS = f0(x) = 1 f2n1(x) = cos 2nx, f2n(x) = sin 2nx [ n 1 .Mult imeaSesteortogonala, caci fi, fj)=0, i ,=j, i, j N (tema, vericat i!). DeoareceSnucont ine elementul nul al spat iului C0[0, ] (funct ia identic nula), rezulta conform teoremei de mai suscaSeste liniar independenta.InsaSnu este ortonormata, caci normele vectorilor sai nu sunt toateegale cu 1, anume:___[[f0[[ =_f0, f0) =__0dx =,[[f2n1[[ =__0cos22nxdx =_/2,[[f2n[[ =__0sin22nxdx =_/2, n N.Impart ind ecare funct ie prin norma sa, obt inem mult imea ortonormata g0, g1, g2, . . . de mai jos:g0(x) =1, g2n1(x) =_2 cos 2nx, g2n(x) =_2 sin 2nx, n N.Denit ie.FieV un spat iu vectorial euclidian si un vectorw V0.a) Se numeste proiect ia vectoruluiv V pew, vectorulprwv = v, w)w, w)w.b) Se numeste marimea algebrica a proiect iei luiv V pew, numarul realprwv = v, w)[[w[[,unde norma este cea euclidiana asociata produsului scalar considerat.Teorema. Fiespat iul vectorial euclidianV =Vn . FieB = e1, e2, . . . , enobazapentruV six =n

i=1xiei V. Au loc urmatoarele armat ii:a) DacaBeste baza ortogonala atuncixi =x,ei)ei,ei), i = 1, n.b) DacaBeste baza ortonormata, atuncixi = x, ei), i = 1, n.Demonstrat ie. a) Orice vectorx Vnse descompune relativ la bazaB, decix =n

j=1xjej.Inmult indscalar aceasta relat ie cu vectorulei, i = 1, n, obt inemx, ei) =n

j=1xjej, ei) = xiei, ei) xi = x, ei)ei, ei), i = 1, n.Student Web CopySpat iivectoriale 27b) Daca baza eii=1,n este ortonormata, atunci ei, ei) = 1 xi = x, ei), i = 1, n. Observat ie.Incazul al doileadinteorema, oricevectorx Vnadmitereprezentareaunicax=n

i=1x, ei)ei. Coordonatelexi= x, ei), i = 1, n ale vectorului x reprezinta exact marimile algebriceale proiect iilor vectoruluix (pe scurt, proiect ii) pe versoriiei si se numesc coordonate euclidiene.Teorema. FieVnunspat iuvectorial euclidiancomplex si B= e1, e2, . . . , enobazaortonormatanVn ; atuncia) produsul scalar a doi vectorix, y Vnare expresiax, y) =n

j=1xjyj, undexj = x, ej), yj = y, ej), j = 1, n;b) norma satisface relat ia [[x[[2=n

j=1[xj[2.Demonstrat ie. a) Baza ind ortonormata, avem ei, ej) = ij; ex =n

j=1xjej, y =n

j=1yjej Vn.Folosind proprietat ile produsului scalar, obt inemx, y) =_n

j=1xjej,n

k=1ykek_=n

j=1n

k=1xjykej, ek) =n

j=1n

k=1xjykjk =n

j=1xjyj.b) Inlocuindy = x n expresia produsului scalar, rezulta relat ia. Denit ii.FieV un spat iu vectorial euclidian siSo submult ime a sa.a) Un vector dinV se numeste ortogonal luiSdaca este ortogonal pe ecare element dinS.b) Mult imea tuturor vectorilor ortogonali relativ la submult imeaSse numeste S-ortogonal si senoteaza cuS. Se observa caSeste un subspat iu vectorial al luiV, indiferent dacaSeste sau nuun subspat iu al luiV.c)Incazul candSesteunsubspat iuvectorial, subspat iul vectorial Ssenumestecomplementulortogonal al luiS.Teorema. FieV unspat iuvectorial euclidian si W=Wnunsubspat iuvectorial n-dimensional alluiV; atunci:a) Are loc descompunerea n suma direct aV =W W .b) Fiev V, v =w + w V =W W . Atuncivectorul vsatisfacerelat ia(numita siteoremaPitagora):[[v[[2= [[w[[2+[[w[[2.Vectorul w din descompunerea de mai sus se numeste proiect ia vectorului v V pe subspat iul Wal luiV.In cazul cand subspat iulW este nit-dimensional, acesta este dat de suma proiect iilor salepe vectorii unei baze ortogonale a subspat iului.Demonstrat ie. a) FieB= e1, e2, . . . , en o baza ortonormata a luiWnsi ew =n

i=1v, ei)eiStudent Web Copy28 Ortogonalitate. ProcedeuldeortogonalizareGram-Schmidtproiect ia vectoruluiv V pe subspat iulWn . Notandw = v w, rezultaw, w) = v, w) w, w) ==_v,n

i=1v, ei)ei__n

i=1v, ei)ein

j=1v, ej)ej_==n

i=1v, ei)2n

i=1n

j=1v, ei)v, ei)ei, ej) ==n

i=1v, ei)2n

i=1n

j=1v, ei)v, ej)ij = 0si deci w W . Exprimarea unica v = w+w arata ca V =W W . 2) Teorema Pitagora rezultadin urmatoarele egalitat i:[[v[[2= v, v) = w +w, w +w) == w, w) + 2w, w) +w, w) = [[w[[2+[[w[[2.

Fie n continuare V un spat iu vectorial euclidian. Vom arata ca din orice mult ime liniar independentade vectoriSdinV se poate construi o mult ime ortonormataSt(mult ime ortogonala ai carei vectoriaunormaegalacu1)caresagenerezeL(S). Aceastamult imeortonormatarezultaprinnormareavectoriloruneimult imiortogonaleS. Moduldeobt inerealmult imiiortogonaleS,cunoscutsubnumele de procedeul de ortogonalizare Gram-Schmidt, este descris n cele ce urmeaza.Teorema. FieV un spat iu vectorial euclidian de dimensiunen, iarB= v1, v2, . . . , vn o baza a luiV. Atunci exista o bazaBt = e1, e2, . . . , en care are urmatoarele proprietat i:a) bazaBteste ortonormata;b) mult imile v1, v2, . . . , vk si e1, e2, . . . , ek genereaza acelasi subspat iu vectorial,Wk = L(v1, v2, . . . , vk) = L(e1, e2, . . . , ek) Vpentru ecarek 1, n.Demonstrat ie. Mai ntai construim o mult ime ortogonalaBtt= w1, w2, . . . , wn ce satisface propri-etateab), si apoi i normamelementele. Mult imeaortogonala w1, w2, . . . , wnseconstruiestedinv1, v2, . . . , vn n felul urmator:Se consideraw1 = v1.Se alegew2 = v2 +kw1. Vectorulw2nu este zero deoarece ind(B) indv1, v2. Se determinakdin condit ia caw2 sa e ortogonal luiw1, adica0 = w2, w1) = v2 +kw1, w1) k = v2, w1)w1, w1) k = v2, w1)w1, w1)de unde rezultaw2 = v2 prw1v2.Vectorul w3 este luat de forma w3 = v3+k1w1+k2w2; el este nenul deoarece ind(B) indv1, v2, v3.Scalariik1, k2 sunt determinat i din condit iile caw3 sa e ortogonal luiw1 si luiw2,_0 = w3, w1) = v3, w1) +k1w1, w1)0 = w3, w2) = (v3, w2) +k2w2, w2)_k1 = v3,w1)w1,w1)k2 = v3,w2)w2,w2)si deciw3 = v3v3,w1)w1,w1)w1v3,w2)w2,w2)w2, adicaw3 = v3 prw1v3prw2v3.Repetam procedeul pana obt inem o mult ime den vectori ortogonaliBtt = w1, w2, . . . , wn.Student Web CopySpat iivectoriale 29Se observa ca procedeul de ortogonalizare Gram-Schmidt descris mai sus poate sintetizat astfel:___w1 = v1,w2 = v2 prw1v2w3 = v3 prw1v3prw2v3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .wn = vnprw1vnprw2vn... prwn1vndeci ecarevector wkseconstruiestescazanddinomologul sauvkproiect iileacestuiapevectoriiw1, . . . , wk1anterior determinat i. Mult imeaortonormataBt= e1, e2, . . . , enseobt ineprinnormarea vectorilor bazeiBtt,ei =wi[[wi[[, i = 1, n.Din modul de obt inere a noii bazeBt din bazaB, rezulta relat iileWk = Lv1, v2, . . . , vk = Le1, e2, . . . , ek, k 1, n.

Observat ie. Teoremasepoateaplicasi pentrucazul candBesteofamilieliniarindependentaSdinV. CumSeste baza pentruL(S), procedeul Gram-Schmidt produce o noua baza (ortogonala !)Bt = St a subspat iului vectorialL(S).Exercit iu. Determinat i baza ortonormata Bt asociata bazei Ba spat iului canonic cu trei dimensiuniR3, undeB= v1 = (1, 0, 1), v2 = (1, 1, 2), v3 = (0, 1, 1) R3.Solut ie. Utilizand procedeul Gram-Schmidt, construim o baza ortogonalaBtt = w1, w2, w3 formatadin vectoriiw1= v1 = (1, 0, 1)w2= v2v2,w1)w1,w1)w1 = (1, 1, 2) 12(1, 0, 1) = (3/2; 1; 3/2)w3= v3v3,w1)w1,w1)w1v3,w2)w2,w2)w2 == (0, 1, 1) (1)2(1, 0, 1) 1/211/2 (3/2; 1; 3/2) = (4/11; 12/11; 4/11) .Impart imecarevectordinbazaortogonalaprinnormasasi obt inemobazaortonormataBt=et1, et2, et3 formata din vectoriiet1 =w1[[w1[[=_12, 0,12_,et2 =w2[[w2[[=_322,222,322_,et3 =w3[[w3[[=_111,311,111_.Observat ie. Osimplicareconsiderabilaacalculului, careconducelaobazaortogonalaBttcuproprietat isimilare,si nnallabazaortonormataBt, esteurmatoarea: dupaortogonalizare, decidupadeterminareacelortreivectoriaibazei Bt, acestiapot nlocuit iprinmultipliconvenabiliailor. Acest fapt nu inuent eaza rezultatul, deoarece au loc urmatoarele proprietat i:a) u, v) = 0 u, kv) = 0, u, v Vn, k K= R;b) klprvu =prlvku, u, v Vn, k, l K= R,Student Web Copy30 Problemepropuseadica, pescurt, pentruunsistemortogonal dat, oricealtsistemformatdinmultipli nenuli aivectorilor acestuia este tot ortogonal. In cazul nostru putem nlocui, spre exemplu, prin amplicarileindicate:___w1 = (1, 0, 1) (1)w1 = (1, 0, 1)w2 = (3/2; 1; 3/2) 2w2 = (3, 2, 3)w3 = (4/11; 12/11; 4/11) (11/4)w3 = (1, 3, 1)Observamcasistemul Btt=w1, w2, w3conducelabazaortonormataBt=e1, e2, e3, cesatisface proprietat ile teoremei 6.5. Considerand cazul innit dimensional, generalizam teorema astfel:Teorema. FieB=v1, v2, . . . V omult imenitasauinnita nspat iulvectorialeuclidianV sieL(v1, . . . , vk)subspat iul generatdeprimii kvectori ai acestei mult imi. Atunci existaomult imeBt = w1, w2, . . . V astfel ncat:a) vectorul wkeste ortogonal peL(v1, v2, . . . , vk1), k Nb) L(w1, . . . , wk) = L(v1, . . . , vk), k N;c) vectoriiw1, w2, . . . cu proprietat ile 1) si 2) sunt unic determinat i, abstract ie facand de sens (de oposibila amplicare cu 1).Demonstrat ie. Vectoriiw1, w2, . . . , wkdin teorema sunt determinat i recursiv prin relat iile:w1 = v1, wr+1 = vr+1r

i=1prwivr+1, r = 1, k 1pentruk N. Din mult imea ortogonala w1, w2, . . . se poate obt ine mult imea ortonormata_w1[[w1[[,w2[[w2[[, . . ._,aicareivectoriauproprietat ile1) si2)dinteorema,sisuntunicdeterminat i, abstract iefacanddesemn. Exercit iu. Fie V spat iul vectorial euclidian al funct iilor polinomiale reale denite pe intervalul [1, 1],cu produsul scalar dat dev, w) =_11v(t)w(t)dt, v, w V.Aplicat i procedeul Gram-Schmidt bazei canoniceB= vnnN V,vn(t) = tn, n N.R:Aplicand acestei baze procedeul Gram-Schmidt, obt inem baza ortogonalaBt = wnnN formatadin polinoamele Legendre,w0(t) = 1, w1(t) = t, w2(t) = t2 13, w3(t) = t3 35t, . . . , wn(t) =n!(2n)!dndtn(t21)n, . . .7 Problemepropuse1. Fie mult imea R3pe care denim operat iile(i)x +y = (x1 +y1, x2 +y2, x3 +y3), x, y R3,(ii)x +y = (x1 +y1, x2 +y2, x3y3), x, y R3,(iii)kx = (kx1, 0, kx3), k R, x R3,Student Web CopySpat iivectoriale 31(iv)kx = (kx1, kx2, kx3), k R, x R3.Sa se determine urmatoarele:a) Formeaza R3un spat iu vectorial real fat a de operat iile (i) si (iii) ?b) Dar fat a de (i) si (iv) ?c) Dar fat a de (ii) si (iv) ?R:a) nu; b) da; c) nu.2. Determinat i dacamult imiledemai josreprezintaspat ii vectorialecuoperat iiledeadunareavectorilor si nmult ire cu scalari descrise alaturata) (V = R2, , ),_(x1, x2) (y1, y2) = (x1 +y1, x2 +[y2[) (x1, x2) = (x1, 0), (x1, x2), (y1, y2) R2, R.b) (V = p R[X ][ grad p = 4, +, R).c) (V = R2[X] p R[X] [grad p 2, +, R).d) (V = C2(a, b) = f[f: (a, b) R, fderivabila de 2 ori,fttcontinua , +, R),_(f +g)(x) = f(x) +g(x)(f)(x) = f(x), x (a, b), f, g V, RR:a) nu, b) nu, c) da, d) da. c)3.a) Sa se arate ca mult imea tuturor sirurilor convergente cu termeni din K(K R, C) formeazaun spat iu vectorial pesteKrelativ la adunarea a doua siruri si nmult irea dintre un numar si un sir.b) Sa se stabileasca daca mult imea V a tuturor funct iilor reale de clasa Ckdenite pe o submult imedeschisaU Rn, estespat iuvectorialreal nraportcuadunareafunct iilor si nmult ireadintreunnumar si o funct ie, descrise prin(f +g)(x) = f(x) +g(x)(kf)(x) = kf(x), k R, f, g V, x U.c)Aratat icamult imeaV afunct iilorintegrabilepe[a, b],(a 0, i = 1, n;b) Q este negativ denita daca si numai daca (1)kk> 0, k = 1, n.Denit ie. FieQ(v) =ni=1aix2ioexpresiecanonicaaformei patraticeQ: VnR. Senumestesignatura formei patraticeQ tripletul de numere reale (p, q, d), n care:p =numaruldecoecient idinsetul a1, . . . , ancaresuntstrictpozitivi, numitindicelepozitivdeinert ie al luiQ;Student Web CopyFormebiliniare sipatratice 95q =numarul de coecient i strict negativi, numit indicele negativ de inert ie al luiQ;d = n (p +q) =numarul de coecient i nuli.Teorema(legeadeinert ie, Sylvester). Signaturaunei formepatraticeQesteaceeasi noriceexpresie canonica a lui Q.Observat ii. 1. Legeadeinert iearatacaurmandoricaredincele3metodedeobt inereaexpresieicanonice(carepoatesadifere), signaturaformei patratice(dedusadinexpresiacanonicaobt inuta)este totdeauna aceeasi.2.Data ind o forma patraticaQ : Vn R si matricea A asociata acesteia relativ la o baza a spat iuluiVn ,Q este pozitiv denita daca si numai daca oricare din urmatoarele condit ii este ndeplinita. forma patraticaQ are signatura (n, 0, 0), determinant ii i, i = 1, n calculat i conform metodei Jacobi sunt strict pozitivi, valorile proprii ale matriceiA sunt strict pozitive.4 Problemepropuse1. Se da aplicat ia / B(R3, R),/(x, y) = 2x1y2 + 2x2y13x3y3, x = (x1, x2, x3), y = (y1, y2, y3) R3.Sa se determine urmatoarele:a) Aratat i ca / este forma biliniara.b) Aratat i ca / este forma biliniara simetrica.c) Determinat i matriceaA = [/]Brelativ la baza canonicaB.d) Aat i forma patraticaQ asociata formei biliniare simetrice /.e) Vericat i relat iile /(x, y) =tXAY, Q(x) =tXAX, X = [x]B, Y= [y]B, x, y R3.f) Determinat i matriceaAt = [/]B , relativ la bazaBt = et1 = (1, 1, 0), et2 = (1, 0, 1), et3 = (0, 1, 1).R:Matricea formei patratice date esteA =__0 2 02 0 00 0 3__, expresia analitica esteQ(x) = 4x1x23x23,cu matricea de schimbare la noua baza C, iar matricea formei patratice relativ la baza Bt de la punctul6,At, undeC = [Bt]B =__1 1 01 0 10 1 1__, siAt =tCAC =__4 2 22 3 12 1 3__.2. Se da funct ia / B(R4, R),/(x, y) = x1y2x2y1 +x1y3x3y1 +x1y4x4y1++x2y3x3y2 +x2y4x4y2 +x3y4x4y3, x, y R4.a) Sa se arate ca / este o forma biliniara antisimetrica.Student Web Copy96 Problemepropuseb) Sa se determine matricea corespunzatoare formei biliniare / relativ la bazaBt = et1 = (1, 1, 1, 0), et2 = (0, 1, 1, 1), et3 = (1, 1, 0, 1), et4 = (1, 0, 1, 1).R:A = [/]B =____0 1 1 11 0 1 11 1 0 11 1 1 0____, At = [A]B =tCAC,C =____1 0 1 11 1 1 01 1 0 10 1 1 1____.3. FieP2 spat iul vectorial al funct iilor polinomiale reale de grad cel mult doi si e produsul scalar/ : P2P2 R, /(v, w) =_10_10v(t)w(s)dtds, v, w P2 R2[x].a) Sa se arate ca / este o forma biliniara simetrica pozitiv semidenita, dar nu este pozitiv denita.b) Sa se determine matricea formei biliniare / relativ la baza canonica a spat iuluiP2,B= 1, t, t2si relativ la bazaBt = 1, t 1, t2t.R:A = [/]B =__1 1/2 1/31/2 1/4 1/61/3 1/6 1/9__, At = [A]B =tCAC, C =__1 1 00 1 10 0 1__.4.Determinat i valoarea parametrului R astfel ca vectorii x = (1, 1) si y = (2, ) sa e ortogonalin raport cu forma patraticaQ : R2R, Q(x) = x212x1x2 +x22R:(1, 1)_1 11 1__2_= 0 = 2.5. Se dau urmatoarele forme patratice:a) Q(v) = ac 2bc + 3c2, v = (a, b, c) R3;b) Q(w) = xy zv + 2v2+ 3xv, w = (x, y, z, v) R4.1) Determinat i forma polara / asociata formei patraticeQ prin dedublare.2) Aat i matricea formei patraticeQ relativ la baza naturala.R:. Tema a). Solut ia la punctul b):/(x, y) =12(x1y2 +x2y1) 12(x3y4 +x4y3) + 2x4y4 + 32(x1y4 +x4y1), x, y R4,[Q] = [/] =____0 1/2 0 3/21/2 0 0 00 0 0 1/23/2 0 1/2 2____.6. Se dau urmatoarele forme patraticea) Q : R3R, Q(v) =12x28xy 16xz + 7y28yz +z2, v = (x, y, z) R3;b) Q : R3R, [Q] =__3 2 42 6 24 2 3__;c) Q(x) = x21 + 6x1x3 +x22 + 4x2x35x23, x = (x1, x2, x3) R3;Student Web CopyFormebiliniare sipatratice 97d) Q(v) = xy + 2y2yz z2, v = (x, y, z) R3.Determinat i expresia canonica a acestor forme patratice folosind metoda Gauss.R:Tema a, b, c. d)Q(v) =13xt23yt2zt2, v R3, [v]B= (xt, yt, zt),C = [Bt]B =__1 1 01 1 00 0 1____3 2 1/20 1 00 0 1__1__1 0 00 1/3 1/60 0 1__1.7.Determinat i expresia canonica a formelor patratice din exercit iul precedent folosind metoda Jacobisi metoda valorilor proprii.R: Temaa, c, d. Solut ielapunctulb)PrinmetodaJacobi, [Q]B =__1/3 0 00 3/14 00 0 1/7__. Prinmetoda valorilor proprii, [Bt]B = [et1, et2, et3]B =__1/5 4/35 2/32/5 2/35 1/30 5/3 2/3__, [Q]B=__7 0 00 7 00 0 2__.8. UtilizandmetodaGauss, metodaluiJacobi sirespectivmetodavalorilorproprii, saseaducalaexpresii canonice forma patraticaQ : R3R,Q(v) = 5x21 + 6x22 + 4x234x1x24x1x3, v (x1, x2, x3) R3si sa se verice teorema de inert ie, determinand n ecare caz signatura formei patratice.R:Matricile asociate expresiei canonice n urma aplicarii celor trei metode sunt, respectiv:__1/5 0 00 5/26 00 0 40/13__,__1/5 0 00 5/26 00 0 13/40__,__2 0 00 5 00 0 8__;signatura este (3, 0, 0), deci forma patratica este pozitiv denita.9. Sa se scrie forma patratica corespunzatoare matriciiA =____1 1 0 11 1 1 00 1 1 11 0 1 1____, sa se gaseascaexpresia canonica si sa se verice teorema de inert ie.R:Expresia analitica a formei patratice esteQ(v) = x21 +x22 +x23 +x24 + 2x1x22x1x42x2x3 + 2x3x4, v (x1, x2, x3, x4) R4;obt inem expresiile canonice, dupa cum urmeaza: prin metoda Gauss,Q(v) = xt12 12xt22+ 2xt32+ 8xt42;prinmetodavalorilorproprii, Q(v)=xt12+ xt22+ 3xt32 xt42. MetodaJacobi nusepoateaplica(deoarece 2 = 0); signatura formeiQ este (3, 1, 0).10.Sa se arate ca daca (gij)i,j1,n, (hij)i,j=1,n sunt matrice pozitiv denite, atunci matricea (fij(t))i,j1,n,fij(t) = (1 t)gij +thij, t [0, 1] este pozitiv denita.Student Web CopyParteaII-GEOMETRIEANALITICACapitolul1. Vectoriliberi1 Spat iulvectorialalvectorilorliberiFieE3 spat iul tridimensional al geometriei elementare.Denit ii.Pentru oricare doua puncteA, B E3 consideram segmentul orientat AB.Fig. 3. a)Vectorlegat; b)Relat iadeechipolent aPunctulA se numeste originea, iarBse numeste extremitatea (varful) segmentului orientat. Dacaoriginea si extremitatea coincid, se obt ine segmentul orientat nul.Dreapta determinata deA siBse numeste dreapta suport a lui AB si se noteaza cuAB. Aceastadreapta este unic determinata doar dacaA ,= B; pentru segmentul orientat nul, dreapta suporteste nedeterminata. Doua segmente orientate se numesc coliniare daca dreptele suport coincid;se numesc paralele daca dreptele suport sunt paralele.Se numeste lungimea (norma, modulul) unui segment orientatAB, lungimea segmentului neorientat[AB], deci distant a de la punctul A la punctul B. Un segment orientat are lungime nula doardaca el este segmentul nul. Doua segmente neorientate de aceeasi lungime se numesc segmentecongruente.Douasegmenteorientatenenulesenumescechipolentedacaauaceeasi direct ie, senssi lungime.Doua segmente nule vor considerate totdeauna echipolente.Daca ABesteechipolentcu CD, atuncivomscrie AB CD. Sepoatearatausorca AB CD AC BD (vezi gura).Doivectoricareauacelasisensauautomataceeasidirect ie; decidoivectorisuntechipolent id.n.d.au sensul si lungimea identice.Teorema. Relat ia de echipolent a denita pe mult imea segmentelor orientate este o relat ie de echivalent a.Demonstrat ie. Relat ia de echipolent a este reexiva, simetrica si tranzitiva (tema, vericat i!) . Denit ie. Clasele de echivalent a ale segmentelor orientate ale relat iei de echipolent a se numesc vectoriliberi. Direct ia, sensul si lungimea care coincid pentru segmentele orientate echipolente ce denesc unvector liber se vor numi direct ia, sensul si respectiv lungimea vectorului liber.Notat ii. Vectorii liberi vor notat i cu litere mici supraliniate a,b, c, . . . , iar n desen vor reprezentat iprintr-unul dintre segmentele orientate echipolente ce reprezinta clasa lor. Din acest motiv,vectoriiliberi se vor nota si prinAB, CD, . . . .Denit ii.Un segment orientat determina un vector liber (o clasa de echipolent a), si spunem ca esteun reprezentant al vectorului liber determinat, si scriem AB AB.Student Web CopyVectoriliberi 99Denim lungimea (norma) unui vector liber a (sau AB), ca ind lungimea unui reprezentant al sau,si vom nota aceasta norma prin [[ a[[, [[AB[[ saud(A, B).Un vector liber de lungime unu se numeste versor sau vector unitate. Vectorul liber de lungimeazero se numeste vectorul nul si se noteaza cu 0, reprezentat de segmentul orientatAA, A E3;direct ia si sensul lui sunt nedeterminate.Doi vectori liberi a si b sunt egali si scriem a = b, daca reprezentant ii lor sunt echipolent i (deci dacaau aceeasi direct ie, sens si lungime).Vectorii liberi a si b care au aceeasi direct ie se numesc vectori coliniari; scriem a [[b (vezi Fig. a).Doi vectori coliniari de aceeasi lungime dar cu sensuri opuse, se numesc vectori opusi; vom notaopusul unui vector liber a, prin a (vezi Fig. b).Trei vectori liberi se numesc coplanari d.n.d. admit reprezentant i coplanari (vezi Fig. c)Inceleceurmeaza, notamcuVmult imeatuturorvectorilorliberi dinspat iul E3. Fixam nE3unpunct Onumitorigine. Oricarui punct ME3i corespundeunvectorlibersi numaiunul r V de reprezentant OM. Reciproc, oricarui vector liber r V, i corespunde un unicpunctM E3, astfel ncat OM r. Vectorul liber r = OMse numeste vectorul de pozit ie alpunctuluiMfat a de origineaO.Astfel, mult imileE3 siVsunt n corespondent a biunivoca, biject ia ind unic determinata prinxarea originiiO.Fig. 4. Vectoricoliniari; vectoriopusi; vectoricoplanariMult imeaVavectorilor liberi dinspat iul E3sepoateorganizacaungrupaditivcomutativ,denind adunarea acestora prin regula triunghiului (regula paralelogramului).Fig. 5. a)Regulatriunghiului; b)RegulaparalelogramuluiDenit ie. Fie a,b V doi vectori liberisi O E3unpunctarbitrarxat. ConstruimpuncteleA, B E3astfel ncat OA a si AB b. Vectorul liber c reprezentat de segmentul orientat OBsenumeste suma vectorilor a si b si se noteaza c = a+b sau OB = OA+AB (vezi gura). Vectorii liberi a,b si c = a + b sunt vectori coplanari. Regula de determinare a sumei a 2 vectori liberi se numesteregula triunghiului.Adunareavectorilorliberi + :( a,b) V V a + b V esteolegedecompozit ieinternabine denita: vectorul liber c = a +b nu depinde de alegerea punctuluiO, originea reprezentantuluiOB OB = c (tema, vericat i!) .Student Web Copy100 Spat iulvectorialalvectorilorliberiTeorema. Adunarea vectorilor liberi are urmatoarele proprietat i, care determina o structura de grupabelian (V, +) pe mult imea vectorilor liberi:a) asociativitate: a + (b + c) = ( a +b) + c, a,b, c V;b)0 este element neutru: a V, a + 0 = 0 + a = a;c) opusul lui a este simetricul lui a : a V, a + ( a) = ( a) + a = 0;d) comutativitate: a,b, V, a +b = b + a.Observat ii. 1. Comutativitatea adunarii justica determinarea sumei a doi vectori necoliniari prinregula paralelogramului: se deseneaza OA a, OB b si se xeaza punctul Cca intersect ia dintreparalela la OA dusa prin B si paralela la OB dusa prin A; segmentul orientatOC este reprezentantullui a +b (vezi gura).Fig. 6. Diferent aadoivectori2. Asociativitatea adunarii permite generalizarea regulii tri-unghiului, obt inand suma a mai mult de doi vectori prin reg-ula poligonului.3.In grupul abelianVecuat ia b + x = a are o solut ie unica x= a + (b)not= a b, numitadiferent adintrevectorul a sivectorulb(vezi gura). Daca OA a, si OB b, atunciBA a b.Fie corpul scalarilor R (corpul numerelor reale) si e Vgrupuladitiv abelian al vectorilor liberi. Denim o lege de compozit ieexterna, care permitenmult irea unui vector liber cu unscalar, dupa cum urmeaza:Denit ie. Senumesteprodusul dintrevectorul liber a V si scalarul t R, vectorul t a, denitastfel:a) daca a ,= 0 si t ,= 0, atunci t a este vectorul care are aceeasi direct ie cu a, lungimea egala cu [t[ [[ a[[si sensul dat de cel al lui a sau contrar lui a, dupa cumt > 0 saut < 0;b) dacat = 0 sau a = 0, atuncit a = 0.Se observa ca vectorii liberit a si a sunt coliniari.Teorema.Inmult irea vectorilor liberi cu scalari are urmatoarele proprietat i:a) 1 a = a, a V;b) s(t a) = (st) a, s, t R, a V;c) distributivitate fat a de adunarea scalarilor(s +t) a = s a +t a, s, t R, a V;d) distributivitate fat a de adunarea vectorilort( a +b) = t a +tb, t R, a,b V.Demonstrat ie. a)-c) tema. d) FieOA a siAB b. AtunciOB a+b. Fara a restrange generalitatea,presupunemt >0si e At, BtE3astfel ncat OAtt asi OBtt( a + b). DinasemanareaOABOAtBt, (latura-unghi-latura) rezultaAB[[ AtBtsi AtBt=tAB, deci AtBttbsiOBt t a +tb. In nal avemt( a +b) = t a +tb. Cazult < 0 se trateaza analog. Observat ie. Proprietat ile adunarii vectorilor liberi (structura de grup abelian) si proprietat ilenmult iriivectorilor liberi cu scalari arata caVeste un spat iu vectorial peste corpul R al numerelor reale.Student Web CopyVectoriliberi 1012 ColiniaritatesicoplanaritateFie Vspat iul vectorial real al vectorilor liberi. Presupunem cunoscute not iunile de subspat iu vectorial,dependent a si independent a liniara, baza si dimensiune, coordonate si izomorsm de spat ii vectoriale.Denit ie.Dat ind un vector nenul a V 0, se numeste versorul lui a vectorul unic determinatde lungime 1 (tema, vericat i!) , a0 =1[[ a [[ a.Stim ca doi vectori dinVse numesc coliniari daca dreptele lor suport sunt paralele. Cu ajutorulnot iunii introduse mai sus, putem da o formulare echivalenta a not iunii de coliniaritate:Teorema. Daca vectorii a si b sunt coliniari si a ,= 0, atunci exista un unic numar realt astfel ncatb = t a.Demonstrat ie. Daca b = 0, alegemt = 0. Daca a = b, alegemt = 1. Deci presupunem a ,= b ,= 0 siputem scrie a = [[ a[[ a0,b = [[b[[ b0. Vectorii a si b sunt coliniari,deci versorii a0,b0sunt e egali,eopusi. Daca a0= b0avem b = [[b[[ b0= [[b[[ a0= [[b[[[[ a[[1 a si deci t = [[b[[ [[ a[[1,iarpentru a0 = b0, rezultat = [[b[[ [[ a[[1. Consecint a. Dat ind un vector nenul a V 0, mult imeaV1 = b V[ t R,b = t aa tuturor vectorilor coliniari cu a, formeaza cu adunarea si nmult irea cu scalari reali a vectorilor liberiun spat iu vectorial unidimensional.Deci, doi vectori liberi sunt coliniari doar daca sunt dependant i liniar; doi vectori liberi necoliniarisunt totdeauna liniar independent i.Demonstrat ie. Se verica usor ca V1 este un subspat iu vectorial al lui V; ind nenul, a este un vectorliniar independent; folosind teorema, a genereaza peV1. Stimcatrei vectori dinVsenumesccoplanari dacaadmitreprezentant i paraleli cuunplandat.Putem da o formulare echivalenta a not iunii de coplanaritate:Teorema. Vectorii a,b, c V sunt coplanari daca si numai daca ei sunt liniar dependent i.Demonstrat ie. Presupunem ca a,b, c sunt liniar dependent i, adica r, s, t V nu tot i nuli cu propri-etatear a +sb +t c = 0.Fig. 7. Descompunere nplanFara a restrange generalitatea,et ,= 0; mpart ind relat iaprint,aceasta devine c =k a + lb,undek = r/t, l = s/t.Deci reprezentant ii OA a,OB b, OC c satisfac relat iaOC = kOA+lOB,adica OCse aa n planul determinat de OA si OB.Reciproc, descompunandreprezentantul OC c, coplanarcureprezentant ii OA a,OB b, obt inem OC= OE +OF(vezi gura)unde k, l Rastfel ncat OE=kOA,OF=lOB; rezulta relat ia c = k a +lb, deci cei trei vectori liberi suntlinear dependent i. Consecint a. Dat i ind vectorii liberi necoliniari a,b V, mult imeaV2 = c V[ r, s R, c = r a +sbatuturor vectorilor coplanari cu asi cub, formeazacuadunareasinmult ireacuscalari reali avectorilor liberi un spat iu vectorial bidimensional.Student Web Copy102 Proiect iiortogonaleDemonstrat ie. V2esteunsubspat iuvectorialallui V (tema,vericat i!),iar a,besteomult imeliniar independenta care genereaza peV2. Deoarece dependent a liniara a trei vectori liberi este echivalenta cu coplanaritatea, rezulta ca orice treivectori liberi necoplanari sunt liniar independent i. Un asemenea sistem determina o baza a spat iuluiV, deci putem formula urmatoareaTeorema. Spat iul vectorial real Val vectorilor liberi dinE3are dimensiunea 3.In cele ce urmeaza, vom nota acest spat iu prinV3.Demonstrat ie.InVexistatrei vectori liniar independent i: oricare trei vectori necoplanari a,b, c.Acestiagenereazape V, deoarece pentruunvector arbitrardV, considerandreprezentant iiOA a,OB b,OC c,OD d si proiectand vectorul ODpe vectorii OAt,OBt,OCt,are loc de-scompunerea OD =OAt +OBt +OCtunde OAt = k =OA,OBt = lOB,OCt = mOC,k, l, m R,deci rezultad = k a +lb +m c. Fie a,b, c o baza xata nV3 sir, s, t coordonatele unui vectord V3 n raport cu aceasta baza;atunci vom scried(r, s, t) si identicamd (r, s, t).Putemcaracteriza nfunct iedecoordonateoperat iilecuvectori liberi si proprietat ileacestora:pentrudi = (ri, si, ti) V3, i = 1, 3, avem1)d1 +d2 = (r1 +r2, s1 +s2, t1 +t2);2) kd1 = (kr1, ks1, kt1);3)d1 =d2 r1 = r2, s1 = s2, t1 = t2;4)vectoriid1, d2 sunt coliniari d.n.d. coordonatele lor sunt proport ionale;5)vectoriid1, d2, d3 sunt coplanari d.n.d. coordonatele unuia sunt combinat ii liniare de coordonatelecelorlalt i doi; spre exemplu, pentrud3 = kd1 +ld2, au loc relat iile:r3 = kr1 +lr2, s3 = ks1 +ls2, t3 = kt1 +lt2, k, l R.3 Proiect iiortogonaleFig. 8. a)Proiect iapeodreapta b)Proiect iapeunvectorliberFieodreapta, a V unvectorlibersi AB aunreprezentant al acestuia. Planele 1si2duseprinAsi Bsi perpendicularepeintersecteazadreaptarespectiv npunctele At= 1, Bt = 2(vezigura). Sepoatearataprinconsiderat iidegeometriesinteticafaptulca vectorul liberAtBtnu depinde de alegerea reprezentantului AB a, deci depinde efectiv doar devectorul liber a (tema, vericat i!) . Acest lucru conduce la urmatoareaDenit ie. Vectorul liber AtBt determinat prin construct ia de mai sus, se numeste proiect ie ortogonalaa vectorului a = ABpe dreapta si se noteaza pr a.Student Web CopyVectoriliberi 103Observat ii. 1. Vectorul proiect ieortogonala pr aavectorului apedreaptanudepindedecatdevectorul liber asi dedirect iadreptei , deci daca1si 2suntdouadrepteparalele, atuncipr1 a = pr2 a.Daca u este un vector nenul care da direct ia dreptei , atunci putem vorbi de proiect ia ortogonalaa lui a pevectorulliber u, pe care o notam cu pr u a. Deci pentru un vector nenul u V30 xat,s-a denit practic o transformarepr u : V3 V3,pr u a) = pru( a) , a V3.Aceasta este o transformare liniara (tema, vericat i!) .2. Fie u V30 si u0versorul sau, ( u = [[ u[[ u0, [[ u0[[ = 1). Pentru orice a V3, vectorul pr u aeste coliniar cu u0 si deci exista un numar realpr u a denit de relat ia: pr u a = pr u a u0.Acest numar se numeste marimea algebrica a proiect iei ortogonale pr u a a vectorului liber a pe u (vezigura). Deci pentru un vector nenul u V30 xat, am denit astfel o transformarepr u : V3 R, pr u( a) = pr u a, a V3.Aceasta este o transformare liniara(tema, vericat i!) denita pe spat iul vectorilor liberi V3 cu valorin corpul numerelor reale R considerat ca spat iu vectorial peste el nsusi.Denit ii.Fie a,b V30,O E3 si reprezentant ii OA a,OB b.Fig. 9. a)Unghiulformatdedoivectori;b)Unghiuldintreunvector siodirect iedataSenumesteunghiul dintrevectorii asib V 0, unghiul [0, ] determinatdesegmenteleorientate (reprezentant ii) OA si OB; (vezi Fig. a). Se observa ca denit ia unghiului format devectorii liberi a si b nu depinde de alegerea punctuluiO, deci denit ia data este corecta.In cazul n care unul dintre cei doi vectori este nul, unghiul [0, ] dintre a si b este nedeterminat.Doi vectori nenuli a si b se numesc ortogonali daca unghiul dintre ei este /2. Prin denit ie, vectorulliber nul 0 va considerat ortogonal pe orice vector.Cuajutorul not iunii deunghi adoi vectori liberi putemexprimanumarul pr u a nfunct iedelungimea [[ a[[ a vectorului liber a si de unghiul dintre a si b (vezi Fig. b),pr u a = [[ a[[ cos .Denit ie. Fie un plan, a V30 si AB a. Prin puncteleA siB ducem drepte perpendicularepe planul si notam cuAt siBtpunctele n care acestea ntersecteaza planul. Vectorul liberAtBtnudepindedesegmentul ABci numai devectorul liber a. Dinacestmotivvectorul liberAtBtsenumeste proiect ia ortogonala a vectorului a pe planul, si se noteaza pr a.Student Web Copy104 Produsscalar nV3Observat ii. Ca si ncazulproiect ieipeodreapta, proiect iaortogonalaavectorului apeplanul coincide cu proiect ia sa pe orice alt plan paralel cu acesta. In plus, dat ind un plan, procedeul demai sus deneste un endomorsm al spat iului vectorilor liberiV3, pr : V3 V3,pr( a) =pr a, a V3,a carui imagine este spat iul vectorial bidimensional atasat planului.4 Produsscalar nV3Pentrudoi vectori liberi arbitrari nenuli a,b V30, vomnotaunghiul formatdeacestiaprin [0, ].Teorema. Funct ia , ) : V3V3 R denita prin a,b) =_ [[ a[[[[b[[cos , pentru a,b V300, pentru a = 0 sau b = 0este un produs scalar pe spat iul vectorilor liberiV3.Demonstrat ie. Sunt de vericat pentru funct ia , ) proprietat ile unui produs scalar:comutativitatea,omogenitatea, distributivitateafat adeadunare sipozitivitatea. Demonstramomogenitatea, lasandcelelalte proprietat i drept exercit iu. Fie t R. Daca a = 0, sau b = 0, sau t = 0, atunci are loc relat iat a,b) = t a,b) (ambii membri ai egalitat ii ind nuli). Dacat > 0, atunci unghiurile formate de b cuvectorii a sit a coincid, [t[ = t si avem t a,b) = [[t a[[[[b[[ cos = t[[ a[[[[b[[ cos = t a,b).Pentrut< 0,unghiurile formate de b cu vectorii a si t a sunt suplementare,deci cosinusurile lorsunt opuse; folosind [t[ = t, rezulta relat ia. Observat ii.1. Teorema arata caV3 este spat iu vectorial euclidian.2. Arelocrelat ia a, a) = [[ a[[2, deci putemcalculalungimeaunui vectorliber a V3folosindprodusul scalar, prin relat ia [[ a[[ =_ a, a).3. Relat ia [cos [ 1 implica inegalitatea Cauchy-Schwarz a,b) [[ a[[ [[b[[.4. Doi vectori liberi sunt ortogonali d.n.d. produsul lor scalar este nul.Fie e1, e2, e3 V3 o bazan spat iul vectorilor liberi, si e a,b V3 doi vectori arbitrari. Exprimandn coordonate acesti doi vectori, a = a1 e1 +a2 e2 +a3 e3,b = b1 e1 +b2 e2 +b3 e3,putemdeterminaoformulacomodadecalculaprodusuluiscalar, nipotezacavalorileacestuiapevectorii bazei sunt cunoscute: a,b) = a1 e1 +a2 e2 +a3 e3, b1 e1 +b2 e2 +b3 e3) == a1b1 e1, e1) +a1b2 e1, e2) +a1b3 e1, e3)++a2b1 e2, e1) +a2b2 e2, e2) +a2b3 e2, e3)++a3b1 e3, e1) +a3b2 e3, e2) +a3b3 e3, e3) == (a1, a2, a3)__ e1, e1) e1, e2) e1, e3) e2, e1) e2, e2) e2, e3) e3, e1) e3, e2) e3, e3)____b1b2b3__.Student Web CopyVectoriliberi 105Matricea patrata din membrul drept poarta numele de matrice Gram a familiei de vectori e1, e2, e3.Relat ia de mai sus arata ca daca se cunosc matricea Gram a bazei si coordonatele a doi vectori, produsulscalar al acestora este perfect determinat. Se observa ca n cazul unei baze ortogonale, matricea Grameste matrice diagonala,deci are o forma extrem de convenabila pentru calcule. Considerand o bazaortonormata i,j,k V3(obazaformatadinversorireciprocortogonali), matriceaGramdevinematricea unitate__i,i) i,j) i,k)j,i) j,j) j,k)k,i) k,j) k,k)__=__1 0 00 1 00 0 1__.Coordonatele unui vector n raport cu o asemenea baza se numesc coordonate euclidiene. Baza ortonor-mata i,j,kestecaracterizataprinegalitateadesus, carepoaterescrisasubformatabeluluicuvalorile produsului scalar pe aceasta baza:, )ijki 1 0 0j 0 1 0k 0 0 1In acest caz, expresia de mai sus a produsului scalar al vectorilor a = a1i +a2j +a3k,b = b1i +b2j +b3k V3devine extrem de simpla, ind numita si expresia canonica a produsului scalar: a,b) = a1b1 +a2b2 +a3b3.Observat ii. 1. Coordonatele euclidiene ale unui vector a reprezinta exact proiect iile ortogonale alelui a = a1i +a2j +a3k pe cele trei axe de coordonate (considerate cu direct ia si sensul date de versoriii,j,k respectiv), adica au loc relat iilea1 = pri a a,i), a2 = prj a a,j), a3 = prk a a,k).2. Tot ncazul bazei ortonormate, normaeuclidianaavectorului aareexpresiamultsimplicata(tema, vericat i!) :a = [[ a [[ =_ a, a) =_a21 +a22 +a23.3. Unghiul dintre vectorii nenuli a = a1i +a2j +a3k,b = b1i +b2j +b3k V30este dat de formulacos = a,b)[[ a[[[[b[[=a1b1 +a2b2 +a3b3_a21 +a22 +a23_b21 +b22 +b23, [0, ].Seobservacavectorii asib sunt perpendiculari (ortogonali) dacasi numai dacaarelocrelat iaa1b1 +a2b2 +a3b3 = 0.5 ProdusvectorialStudent Web Copy106 ProdusvectorialFig. 10. Produsulvectorial.6Fie a,b V3 doi vectori arbitrari n spat iul vectorilor liberi. Pentru a,b V30 vom nota cu [0, ] unghiul dintre a si b.Denit ie. Se numeste produsul vectorial dintre vectorii a sib, vectorulliber a b =_ [[ a[[[[b[[sin e, pentru a,b necoliniari0, pentru a,b coliniariunde e este un versor perpendicular pe a si b, care are sensul dat deregulamainiidreptepentrutripletulordonat a,b, e,(vezigura).Produsul vectorial dintre doi vectori liberi determina o aplicat iebiliniara antisimetrica denita peV3V3 cu valori nV3.Teorema. Produsul vectorial are urmatoarele proprietat i:1) a b = b a (anticomutativitate),2)t( a b) = (t a) b = a (tb), t R (omogenitate),3) a (b + c) = a b + a c (distributivitate),4) [[ a b[[2= [[ a[[2[[b[[2 a,b)2(identitatea Lagrange),5) a 0 = 0, a a = 0,6) a b = 0 a si b sunt coliniari,7) daca a si b nu sunt coliniari, atunci [[ ab[[ este aria paralelogramului construit pe doi reprezentant icu origine comuna ai vectorilor a si b (vezi gura).Demonstrat ie. Proprietat ile 1), 2), 3), 5), 6), 7) le lasam ca tema. Pentru a obt ine identitatea Lagrange,nmult im cu [[ a[[2[[b[[2identitatea sin2 = 1 cos2. Apoi t inand cont de denit ia produselor scalarsi vectorial, rezulta relat ia dorita. Fie i,j,k o baza ortonormata n V3. Se observa ca versorul k al bazei ortonormate poate ales ndoua moduri (care difera prin sens, k = ij). Fixam sensul versorului k, convenindij = k; atunci,folosind denit ia produsului vectorial si proprietat ile din teorema, obt inem tabelul (unde produsul serealizeaza n ordinea liniecoloana)ijki 0k jj k 0ikj i 0Deasemenea, relativlaaceastabazaortonormata, doi vectori arbitrari asibsedescompun a=a1i + a2j + a3k,b =b1i + b2j + b3k V3, si efectuand calculele corespunzatoare,obt inem expresiacanonica a produsului vectorial, a b = (a2b3a3b2)i + (a3b1a1b3)j + (a1b2a2b1)ksau nca, simbolic, a b =ijka1a2a3b1b2b3.Dubluprodusvectorial.Student Web CopyVectoriliberi 107Fig. 11. DubluprodusvectorialSe numeste dublu produs vectorial al vectorilor a,b, c V3,vectorul w = a (b c).Exprimandvectorii a,b, c nbazaortonormata _i,j,k_sifolosindexpresiile canonice ale produselor scalar si vectorial,rezulta (tema, vericat i!) , relat ia a (b c) = a, c)b a,b) c.Din relat ie se poate observa ca vectorul dublu produs vectorial westecoplanarcuvectoriibsi c(ceeaceimplica wb c),si perpendicularitateavectorului dubluprodusvectorial wpevectorul a (vezi gura).Observat ii. 1. Ordinea parantezelor este esent iala n calcululdublului produs vectorial: produsul vectorial nu este asociativ,deci n general a (b c) ,= ( a b) c.2. Dublul produs vectorial se poate calcula folosind expresia simbolica: a (b c) =b c a,b) a, c).Exercit ii.1.Se dau vectoriiAO = k 3i, CA =i +j, CB = 2i 3j + 5k. Sa se gaseasca vectoriide pozit ie ai punctelorA, B, C si sa se calculeze lungimeahA a nalt imii dinA a triunghiuluiABC.Solut ie.Vericam n prealabil ca puncteleA, B, Cnu sunt coliniare (!). Cum vectorii CA si CBnuau coordonatele proport ionale, deci nu sunt vectori coliniari, rezul