Ministerul Educaţiei al Republicii Moldova

Universitatea de Stat ‘Alecu Russo’ din Bălţi

Facultatea Ştiinţe Reale

Lucrarea de curs la matematica

Tema: Geometrie sferică

A elaborat: Cozlov V

Studentul grupei MI31z

Conducator:

Lector superior

Ion Vrabie

Bălţi, 2012

2

Cuprins

1. Introducere ............................................................................................................................... 3

2. Întroducere în geometria sferică .............................................................................................. 3

2.1. Scurt istoric ...................................................................................................................... 3

2.2. Date generale ................................................................................................................... 3

2.3. Dreapta, segmentul, distanţa şi unghiurile pe sferă ......................................................... 4

2.4. Figurile pe sferă ............................................................................................................... 4

2.5. Triunghi sferic ................................................................................................................. 6

2.6. Condiţiile existenţei triunghiului sferic ........................................................................... 7

2.7. Condiţiile egalităţii triunghiurilor sferice ........................................................................ 7

2.8. Noţiune de triunghiuri sferice simetrice ......................................................................... 8

3. Dependenţa elementelor triunghiului sferic ............................................................................ 8

3.1. Măsurarea unghiurilor şi laturilor triunghiului sferic ...................................................... 9

3.2. Dependenţa între laturile triunghiului sferic .................................................................... 9

3.3. Legătura între unghiurile triunghiului sferic ................................................................. 10

3.4. Legătura între unghiurile şi laturile unui triunghi sferic................................................ 10

3.5. Cercul înscris şi circumscris unui triunghi sferic .......................................................... 11

4. Formulele de bază a geometriei sferice ................................................................................. 12

4.1. Teorema cosinusului ...................................................................................................... 13

4.2. Formule inverse formulelor cosinusul laturei (formulele cosinusul unghiului) ............ 14

4.3. Teorema sinusului ......................................................................................................... 15

5. Formule pentru rezolvarea triunghiului dreptunghic pe sferă ............................................... 17

5.1. Teorema lui Pitagora ..................................................................................................... 17

5.2. Teorema lui Legendre .................................................................................................... 21

6. Elemente triunghiului sferic .................................................................................................. 22

6.1. Înălţimea triunghiului sferic .......................................................................................... 22

6.2. Aria fusului şi triunghiului sferic ................................................................................. 22

7. Concluzii ................................................................................................................................ 23

8. Suplimentar ............................................................................................................................ 24

8.1. Dependenţa volumelor sferei, cilindrului şi conului de rotaţie ..................................... 24

8.2. Problema1 ...................................................................................................................... 24

8.3. Problema 2 ..................................................................................................................... 25

9. Referinţe bibliografice: .......................................................................................................... 26

3

1. IntroducereGeometria sferică este geometria suprafeţelor bidimensionale pe o sferă. Sfera fiind foarte

apropiată de suprafaţa Pămîntului, prezintă un interes deosebit. Mişcarea satelitilor, zborul

avioanelor este în corelaţie strînsă cu mişcarea Pămîntului şi forma deosebită a suprafeţei lui,

apropiată la cea sferică. Geometria sferică ca ramură a matematicii vine în ajutor în domeniul

ştiinţelor, cum ar fi astronomia şi geodezia.

Eu am ales această tema fiind mereu atras de geometrie, încă din şcoală. Această lucrare

mă ajutat în lărgirea orizontului meu.

Scopul acestei lucrării în primul rînd este descrierea geometriei distincte de cea cu care noi

suntem obişnuiţi şi în al doilea rînd evidenţierea deosebirii geometriei sferice de cea plană. În

marea majoritate această lucrare este consacrată triunghiului.

2. Întroducere în geometria sferică

2.1. Scurt istoric

Se consideră, că baza geometriei neeuclidiene a fost pusă de Lobacevski şi Gauss. Dar de

fapt , oamenii de mult ştiau de geometrie distinctă, de cea a lui Euclid. Bazele geometriei sferice

au fost studiate încă din antichitate în legatură cu probleme de astronomie. Întrucât suprafaţa

Pămîntului de fapt are forma sferei, putem afirma, că „geometria pămîntească” este geometria

sferică.

Prima menţiune a omenirii, la aceea ce pe urmă să ia denumirea de geometrie sferică, a

fost teoria despre planetele matematicianului grec Eudoxus din Knidos (aproh. 408-355), unuia

din membrii academiei lui Platon. Asta de fapt a fost o încercare de a explica mersul planetelor

în jurul Pamîntului cu ajutorul a patru sfere concentrice care se rotesc împrejurul său şi care au

avut axă de rotire proprie, iar capetele au fost fixate pe sfera de bază, la care la rîndul său au fost

adaugate şi stelele. Aşa de fapt se explicau traectoriile planetelor (planeta din greacă - rătăcitor).

Prin acest model savanţii Greciei Antice cu exactitate au putut să descrie mersul planetelor. Asta

a fost necesar, de exemplu, pentru marinari, unde ar trebui sa ţinem cont că Pămîntul nu e o

suprafaţă plană, care se sprijină pe trei balene.

Un aport deosebit în geometria sferică a adus Menelai din Alexandria (aprh. 100 î.e.n.).

Lucrarea lui “Sferica” se consideră culmea realizării grecilor în acest domeniu. În lucrarea

“Sferica” sunt evidenţiate triunghiuri sferice – obiect care lipseşte la Euclid. Menelai a transpus

pe sferă teoria lui Euclid despre triunghiuri plane şi a ajuns la condiţiia, că trei puncte situate pe

laturile triunghiului sferic sau pe prelungirea lor sunt coliniare. Teorema dată era cunoscută de

mult dar în isroria geometriei ea este cunoscută ca teorema lui Menelai.

2.2. Date generale

Definiţie: Geometria sferică este o disciplină matematică, care studiază elementele

geometriei (punct, dreapta, figura), bazate pe sfera şi relaţiile dintre ele.

Definiţie: Se numeşte suprafaţa sferică sau sferă, locul geometric al punctelor din spaţiu

egal departate de un punct fix O – centrul acestei suprafeţe.

Spaţiu mărginit de suprafaţa unei sfere se numeşte tot sferă. Suprafaţa sferei poate fi

definită şi ca suprafaţă produsă prin rotaţia unui semicerc în jurul diametrului său. Segmentul de

4

dreaptă care uneşte centrul sferei cu orice punct de pe suprafaţa ei se numeşte raza R a sferei, iar

segmentul de dreaptă, care unind două puncte de pe suprafaţa sferei şi trece prin centrul ei se

numeşte diametru.

În geometria plană conceptele de bază sunt punctul şi dreapta. Pe o sferă punctele sunt

definite în sensul uzual. Echivalentele liniilor sunt definite în sensul celor mai mici drumuri

dintre două puncte numite geodezice.

2.3. Dreapta, segmentul, distanţa şi unghiurile pe sferă

Dreptele pe sferă se socot cercuri mari. Daca două puncte

aparţin cercului mare, atunci lungimea unei părţi ale arcului care

unesc acele puncte, se definesc ca distanţa sferică între acele puncte, iar arcul de cerc – ca

segment sferic. Lungimea unui segment sferic se determină prin

unghiul α (în radiani) şi raza sferei R

L R

Definiţie: Circumferinţă sferică este mulţimea de puncte egal

departate de un punct fix P.

Se poate de arătat că circumferinţa aparţine planului, care este

perpendicular diametrului sferei PP’, adică o circumferinţă plană

centrul careia este situat pe diametru PP’, unde P şi P’ sunt polare.

La intersecţia a două drepte a şi b pe sferă se formează patru fuse sferice, aşa ca şi două

drepte ce împart planul în patru unghiuri plane. Fiecăruia din fuse îi corespunde unghi diedru.

Unghiul dintre două drepte sferice este egal cu cel mai mic unghi format la intersecţia lor. La

fel, ca şi unghiurile plane, unghiurile sferice pot fi ascutite, drepte şi obtuze si pot avea valori de

la 0 la 360°.

2.4. Figurile pe sferă

Definiţie: Partea din suprafaţa sferei cuprinsă între două semicercuri care au acelaşi

diametru se numeşte fus sferic; evident, fusul sferic pate fi considerat drept

suprafaţă de rotaţie a unui semicerc, când acesta se roteşte în jurul

diametrului sau cu un unghi oarecare α.

Teorema: Fusele sferice cu unghiurile egale pe aceeaşi sferă, au şi

ariile egale.

Teorema: Ariile a două fuse sferice

se raportează ca unghiurile lor.

Definiţie: Figura de pe suprafaţa sferei formată din trei arcuri de

cerc mari care se întretaie in trei puncte se numeste triunghi sferic.

Elementele triunghiului sferic sunt:

trei unghiuri, fiecare în parte mai mic de 180° şi trei laturi;

dacă laturile sunt mai mici decît 2d (d = 90°), atunci

triunghiul se numeşte triunghi al lui Euler;

5

triunghiurile care au laturile mai mari decât 2d, se numesc triunghiuri Moebius Study.

Triunghiurile sferice pot fi isoscele, echilaterale, dreptunghice sau oarecare.

Definiţie: Triunghiuri polare.

Două triunghi sferice se numesc polare,

dacă vîrfurile unuia se consideră polare

laturilor celuilalt. Noţiunea de “triunghi

polar” a fost introdusă în ştiinţă în sec.

XVIII de savantul Snellius.

Să construim un triunghi polar

pentru triunghiul ABC. Din punct A cu

deschizătura compasului egală cu 900

ducem un arc B1C1 unde A, o să fie polar

pentru arcul construit. La fel, din punct B

ducem un arc A1C1, din punct C ducem un

arc A1B1. Triunghiul A1B1C1 este un

triunghi polar pentru triunghiul dat.

Să construim prin punctele B1şi A,

B1 şi C arcele cercurilor mari. Atunci, dacă vîrful A este un polar arcului B1C1, fiecare punct al

arcului dat se află la mărimea constantă de la A - 900, şi deaceea arcul cercului mare AB1, o să

fie egal cu 900 şi unghiul central B1OA, care se sprijină pe arc o să fie drept. În aşa fel se judecă

şi referitor la vîrful C al arcului A1B1.

Dar dacă dreapta B1O este perpendiculară la două drepte, duse pe plan A1OC1, atunci ea o

să fie perpendiculară şi la oricare a treia dreaptă dusă în acest plan prin baza ei. Adică cu alte

cuvinte arcul cercului mare, care se uneşte cu vîrful triunghiului polar B1 cu oricare punct M,

plasat pe latura triunghiului de bază AC, o să fie egală cu 900. În aşa fel se poate de demonstrat,

că celelalte două vîrfuri ale triunghiului polar A1 şi C1 sunt polare pentru laturile BC şi AB a

triunghiului ABC.

Remarcă: Dacă un triunghi sferic este polar faţă de celălalt, atunci şi al doilea triunghi o

să fie polar faţă de primul (triunghiurile concomitent polare).

Teorema[ 1, р.13-14]: Laturile şi unghiurile celor două triunghiuri concomitent polare,

unul faţă de celălalt, concomitent completează şi unul pe celălalt pînă 1800.

Demonstraţie:

Sunt date triungirile ABC şi 1 1 1A B C polare unul faţă de celălalt (desen. de mai sus). Să

notăm unghiurile şi laturile triunghiului de bază cu A, B, C, a, b, c, iar elementele triunghiului

polar corespunzător cu A1, B1, C1, a1, b1, c1.

a) Să demonstrăm că unghiul triunghiului de bază, de exemplu B, adunat cu latura

triunghiului polar b1, dă în sumă 1800 .

Să prelungim arcele cercurilor mari BA şi BC pe sfera pînă la intersecţia cu latura

triunghiului polar A1C1 în punctele K şi L. Se ştie că unghiul sferic se măsoară prin arcul

cercului mare, care se află între laturile lui, în raport cu care vîrful unghiului este polar, deci

unghiul B se măsoară cu arcul KL. Deci:

B+b1=KL+A1C1

Înlocuind A1C1 prin A1K+KL+LC1 obţinem:

B+b1=KL+A1K+KL+LC1=A1L+KC1

6

C1- polarul arcului BK, deci KC1=900; tot aşa şi A1- polarul arcului BL, deci A1L=90

0

Deci: B+b1=900+90

0=180

0

Tot aşa se demonstrează că: A+a1=1800; C+c1=180

0

Se poate de demonstrat, că: suma unghiului triunghiului polar şi latura corespunzătoare a

triunghiului ABC este egală cu 1800

Fie, că B1+b=1800. Unghiul B1 se măsoară prin

arcul NS, deci: B1+b=NS+AC;

Înlocuim în loc de NS suma NC+CS, iar în loc de AC

diferenţa AS – CS, deci obţinem:

B1+b=NC+CS+AS - CS=NC+AS=900+90

0=180

0

Definiţie: Triunghiul simetric. Daca din

varfurile triunghiului sferic ABC ducem raze la centru

şi le prelungim pînă la intersecţia cu suprafaţa sferei, în

punctele A, B, C, atunci, unind două cîte două punctele

obţinute prin arcuri de cerc mare, obţinem un triunghi

sferic opus celui dintîi, care se numeşte triunghi

simetric triunghiului dat.

Definiţie: Poligon sferic – face parte din sfera mărginită de

arcele cercurilor mari şi semicercurilor mici, capetele căruia sunt

puncte de intersecţie ale acestor cercuri mari, luate în ordine

secvenţială.

Un poligon sferic se numeşte convex

în cazul în care el este plasat de aceiaşi parte

a fiecărui cerc mare care îl formează, în caz

contrar el se numeşte concav. În cazul, cînd

poligonul este concav, fiecare cerc mare,

partea căruia este latură a poligonului, împarte sfera în două emisfere,

dintre care cel mult una conţine poligonul în întregime, suprafaţa totală a

tuturor emisferilor R, care conţine acest poligon, o să fie suprafaţă

interioară a poligonului dat.

2.5. Triunghi sferic[1, р. 8]

Introducere din istorie

Triunghurile sferice au fost studiate din antichitate de matematicienii greci precum

Menelaus din Alexandria, care a scris o carte despre triunghiurile sferice numită “Sphaerica”

dezvoltînd teorema lui Menelaus.

Un progres mai însemnat s-a produs în lumea Islamică. În scopul respectării zilelor sfinte din

calendarul Islamic în care cronometrările erau determinate de fazele Lunii, astronomii au folosit

iniţial metoda lui Menelaus pentru a calcula locul în care se află Luna şi stelele, dar metoda era

greoaie şi dificilă. Aceasta implica asamblarea a două triunghiuri dreptunghice care se

intersectau, iar prin aplicarea teoremei lui Menelaus era posibilă soluţionarea unei laturi din cele

şase, dar cu condiţia, că celelalte cinci laturi să fie cunoscute. De exemplu, pentru a afla timpul

în funcţie de înălţimea Soarelui, se cerea repetarea de mai multe ori a teoremei lui Menelaus.

7

Deci, pentru astronomii Islamici medievali a fost o adevărată provocare de a găsi o metodă

simplă de revolvare a triunghiurilor sferice.

La începutul secolului al IX-lea, Muhammad ibn Mūsā al-Khwārizmī a fost un pioner în

trigonometria sferică, scriind un tratat pe această temă.

În secolul al X-lea, Abū al-Wafā' al-Būzjānī a stabilit formula de adunare a unghiurilor,

adică sin(a + b), precum şi formula sinusului

pentru trigonometria sferică.

Dacă oricare unghi triedru cu vîrful în O

şi cu laturile Oα,Oβ, Oγ se intersectează în

sferă, centrul căreia este vîrful unghiului

triedru, atunci la intersecţie se obţin trei arcuri

ale cercurilor mari AB, AC, BC care la

suprafaţa sferei formează triunghiul sferic. De

fapt dacă luăm pe sferă trei puncte A, B, C şi

prin fiecare pereche ducem un arc la cercul

mare, atunci la intersecţie se obţine tot un

triunghi sferic ABC, pentru că prin două puncte,

luate pe sferă, se poate duce un singur arc la

cercul mare. Deaceea triunghiul sferic poate fi

definit ca o parte a suprafeţei sferice, mărginite

de intersecţia a trei cercuri mari. Vom nota

vîrfurile triunghiului cu litere mari ale alfabetului latin, iar laturile corespunzătoare cu litere mici.

La oarecare triunghi sferic nu pot fi două laturi, lungimea cărora să depaşească jumătatea

circumferinţei, adică mai mult de 1800. De fapt din două laturi, lungimea cărora, aparte depăşeşte

1800, triunghiul sferic nu se obţine nici într-un caz, pentru că aceste două laturi fiind lipsite de

intersecţia cu cea de a treia latură, se obţine pe sferă un fus sferic.

2.6. Condiţiile existenţei triunghiului sferic [1, р.134]

1) Suma unghiurilor triunghiului sferic mai mare decît 1800;

2) Suma a două unghiuri, fără de al treilea , trebuie să fie mai mică decît 1800;

3) Dacă suma a două unghiuri ale triunghiului sferic este mai mare, egală, sau mai mică

decît 1800, atunci şi suma a două laturi opuse trebuie să fie mai mare, egală, sau mai mică decît

1800;

4) Suma laturilor triunghiului sferic mai mică decît 3600;

5) Suma a două laturi mai mare decît cea de-a treia latură;

6) Dacă diferenţa a două laturi este mai mare, egală, sau mai mică decît 0, atunci şi

diferenţa a două unghiuri opuse este mai mare, egală, sau mai mică decît 0;

2.7. Condiţiile egalităţii triunghiurilor sferice [1 р. 15]

Triunghiurile sferice sunt egale pe aceeaşi sfera dacă:

a) două laturi egale şi unghiul între ele (LUL);

b) o latură şi două unghiuri alăturate (ULU);

c) trei laturi egale (LLL);

8

d) trei unghiuri egale(UUU);

Primele trei principii se demonstrează, la fel, ca şi pentru triunghiul plan, al patrulea caz se

demonstrează cu ajutorul triunghiurilor polare pentru triunghiuri date.

Fie este dat un triunghi sferic care are unghiurile respective A, B, C şi laturile a, b, c un alt

triunghi are unghiurile D, E, F şi laturile respective d, e, f. Se dă: A=В, B=E, C=F , trebuie să

demonstrăm că triunghiurile sunt asemenea.

Demonstraţie:

Ne vom imagina pentru triunghiurile date triunghiurile polare. Fie că laturile şi unghiurile

vor fi notate cu aceleaşi litere cu indici. Pe baza proprietăţiilor triunghiurilor polare avem

următoarele egalităţi:

0

1 180A a

0

1 180B b

0

1 180C c

0

1 180D d

0

1 180F f

0

1 180E e

Conform ipotezei A=D, B=E, C=F se determină că 1 1,a d 1 1,b e 1 1.c f De unde

rezultă, că triunghiurile polare 1 1 1A B C şi 1 1 1D E F sunt egale după trei laturi deci şi unghiurile lor

tot sunt egale. Dar dacă unghiurile triunghiurilor polare sunt egale atunci laturile triunghiurilor

sferice cu atît mai mult sunt egale, pentru că, unghiurile triunghiului polar sunt unghiurile

suplementare pînă 1800 a laturilor triunghiului sferic de bază . Deci, concludem că laturile

triunghiului de bază sunt congruente, deci pe baza principiului c) şi triunghiurile sunt

congruente.

2.8. Noţiune de triunghiuri sferice simetrice [1 р. 16]

Dacă pentru fiecare vîrf a triunghiului sferic ABC

vom duce un diametru, sfera va fi intersectată în trei

puncte A1, B1 şi C1. Vom uni aceste puncte cu semicercuri

ale cercurilor mari şi vom obţine un alt triunghi sferic

1 1 1A B C , care este opusul triunghiului ABC şi în plus este

simetric faţă de acest triunghi. În caz mai general vom

numi triunghiuri asemenea ale unei sfere şi acele

triunghiuri care nu sunt diametral opuse, dar totuşi, în

general, după careva transformări pot fi aduse în această

stare.

3. Dependenţa elementelor triunghiului sferic

9

3.1. Măsurarea unghiurilor şi laturilor triunghiului sferic [1 р. 10]

Unghiul între linii curbe, se numeşte unghi, între tangente

la linii date, în punctul de intersecţie. Deaceea unghiul A a

triunghiului ABC o să înţelegem ca unghi între tangentele AT şi

AT1, duse la laturile AB, AC în vîrful A. Aceste tangente se află

pe planul ABMA1 şi ACNA1 unghiului diedru MAA1N, sunt

perpendiculare la marginea AA1, adică formează unghi linear al

unghiului diedru, care măsoară unghiul sferic TAT1. De aici

unghiul TAT1 este egal cu unghiul MON, deci unghiul sferic A

se măsoară prin arcul MN, a cercumferinţei mare, mărginit de

AB şi AC, unde vîrful A este polar.

Lungimea laturei triunghiului sferic, a cercului mare care

trece printre două unghiuri a triunghiului este de fapt o distanţă

minimă pe sfera dintre unghiurile respective şi poartă denumirea

de distanţa sferică dintre acele puncte.

Măsurarea distanţei pe sferă se reduce la masurarea

unghiurilor, ce ne dă posibilitatea de a compara în geometria

sferică unghiul şi latura.

În afară de măsurarea în grade există şi măsurarea în

radiani, unitatea de măsură la care se acceptă raza cercului

corespunzător. Dacă notăm lungimea distanţei sferice dintre două puncte A, B în grade prin φ,

iar aceeaşi distanţa în radiani prin l , atunci obţinem următoarea egalitate:

0 0360

2l R

3.2. Dependenţa între laturile triunghiului sferic [1 р. 11]

În unghiul triedru OABC (desen 4) unghiurile plane se măsoară prin laturile treunghiului

sferic, pe care se sprijină, dar unghiurile diedre se măsoară prin unghiurile corespunzătoare.

Dependenţa între unghiul triedru şi triunghiul sferic corespunzător, ne permite plasarea

teoremelor unghiului triedru şi pe triunghiul sferic.

1. Cunoaştem, că în oricare unghi triedru, oricare din unghiurile plane, este mai mic decît

suma celorlalte două:

AOC<AOB+BOC

Prin faptul, că aceste unghiuri plate se măsoară prin laturile triunghiului sferic, atunci:

AOC b , AOB c , BOC a , de unde pentru triunghiul sferic avem:

b<a+c , adică fiecare latură a triunghiului sferic este mai mică decît suma celorlalte două

b-c<a, adică fiecare latură a triunghiului sferic este mai mare decît diferenţa celorlalte două.

Adunăm la ambele părţi b şi împarţind ambele părţi la 2 obţinem:

2

a b cb

, jumătatea perimetrului triunghiului sferic întotdeauna este mai mare decăt

fiacare latura a lui

2. Cunoaştem că în fiecare unghi triedru suma unghiurilor plane este mai mică decît 3600 :

10

0360AOC BOC AOB

Înlocuind unghiurile plate cu laturile triunghiului sferic, care le măsoară, obţinem:

a+b+c<3600 , adică suma laturilor triunghiului sferic întotdeauna este mai mică decît 360

0.

3.3. Legătura între unghiurile triunghiului sferic [1 р. 14]

Pentru triunghiul sferic dat ABC, ne imaginăm triunghiul polar 1 1 1A B C , care are laturile:

1a , 1b ,

1c .

Pentru triunghiul polar avem următoarele : 0

1 1 1360 0a b c

Trecem de la triunghiul polar la triunghiul ABC: 0

1 180a A 0

1 180b B 0

1 180c C

Respectiv obţinem: 0 0 0 0360 180 180 180 0A B C

0 0360 540 ( )A B C 0180A B C

0540 ( ) 0A B C 0540A B C

În reuniune vom avea :

0 0540 180A B C

Adică, în oricare triunghi sferic suma unghiurilor este mai mică decît 5400, şi mai mare

decît 1800. Diferenţa între suma a celor trei unghiuri şi 180

0 se numeşte excesul triunghiului

sferic, care vom nota cu , 0 .

0 0

0 0

0

540 180 ,

360 180 0,

360 0.

A B C

A B C

3.4. Legătura între unghiurile şi laturile unui triunghi sferic [1 р. 19]

Teorema: Dacă într-un triunghi sferic două laturi sunt

congruente, atunci sunt congruente şi unghiurile opuse

corespunzătoare.

Demonstraţie: Fie a = с. Trebuie să demonstrăm că A = С.

11

Vom duce semicercul arcului mare între vîrful B şi mijlocul laturii AC (punctul K).

Atunci în triunghiurile ABK şi BKC latura BK este comună, AK = KC după construcţie, AB =

BC după ipoteză. Triunghiurile ABK şi BKC au laturi aşezate în altă ordine egale, deci

triunghiurile sunt asemenea şi respectiv unghiul A este egal cu unghiul C.

Teorema: Într-un triunghi sferic larurile, opuse unghiurilor egale, deasemenea sunt

egale.

Demonstraţie: Fie A = C, trebuie să demonstrăm că a = с.

Vom vemonstra această teorema cu ajutorul triunghiului polar. Dacă A = C, atunci: 0 0

1 1180 180a c ; 1 1a c .

Într-un triunghi polar care are laturile egale 1 1a c , unghiurile opuse vor fi egale, adică 1 1A C .

Transferînd datele la triunghiul de bază vom

avea: 0 0180 180a c , deci a = c.

Teorema: În oricare triunghi sferic

latura, opusă unghiului mare este deasemenea

mare.

Demonstraţie: Fie B C , trebuie să

demonstrăm că b c .

Ducem din vîrful B un arc la cercul mare,

sub unghiul C, către latura a. Deci triunghiul

KBC o să fie isoscel, avînd laturile egale BK şi

KC. Din triunghiul ABK avem AB AK BK , dar BK = KC , deci AB AK KC sau

AB AC , sau b c .

Teorema: Într-un triunghi sferic unghiul, opus laturii mare, este deasemenea mare.

Demonstraţie: Fie b c , trebuie să demonstrăm că B C .

Vom demonstra această teoremă cu ajutorul triunghiului polar. Dacă în triunghiul de bază

b c , atunci în triunghiul polar 0 0

1 1180 180B C sau 1 1B C . Pe baza teoremei precedente

avem că 1 1b c sau prin trecerea la triunghiul de bază vom avea: 0 0180 180B C , de unde

B C .

3.5. Cercul înscris şi circumscris unui triunghi sferic [1]

12

Cercul înscris:

Vom împărţi unghiurile A , B a triunghiului

sferic ABC prin arcurile cercului mare AO şi BO în părţi

egale. Din punctul O, punctul de intersecţie a arcurilor,

ducem arcele cercurilor mari OK, OL şi OM perpendicular

către laturile triunghiului. Atunci triunghiurile AMO şi

AKO, cu unghiurile egale pe lîngă vîrful A, latura AO

comună şi unghiurile K , M egale, vor fi simetrice.

Deci MO KO . În mod asemănător aflăm din

triunghiurile simetrice KOB, OBL, că KO OL .

Deci, circumferinţa cu centrul în punctul O şi raza

OM va fi tangentă la fiecare latura a triunghiului sferic.

Mai departe vom uni centrul cercului circumscris O cu

vîrful în C. În rezultat vom obţine două triunghiuri

simetrice MOC, OLC, din care determinăm egalitatea

unghiurilor OCM OCL .

Vom numi arcul cercului mare, care împarte unghiul în două părţi egale, bisectoarea

unghiului.

Concluzie:

Bisectoarele a celor trei unghiuri ale triunghiului sferic se întersectează în centrul cercului

mic, înscris în triunghiul sferic.

Cercul circumscris:

Vom împărţi triunghiul ABC, în părţi egale BC şi AB, din

punctele de împărţire K şi L ducem arcurile cercurilor mari sub

unghiurile drepte la laturile respective. În rezultat vom obţine punctul

de intersecţie a acestor arcuri O, vom uni acest punct cu vîrfurile A,

B, C prin arcurile cercurilor mari OA, OB, OC. Vom demonstra

egalitatea acestor arcuri.

Triunghiurile AOK şi KOB au o latură comună KO, laturile KB

şi KA sunt egale şi unghiurile pe lîngă vîrfului comun sunt drepte.

De unde deducem, că triunghiurile AKO şi KBO sunt simetrice.

Laturile AO şi OB, sunt laturile opuse unghiurilor drepte, deci

respectiv ele vor fi egale.

În mod asemănător din triunghiurile simetrice BOL şi LOC

deducem că BO OC . De aici tragem concluzia, că

AO OB OC , adică, dacă din punct O, vom circumscrie cu raza AO o circumferinţă, atunci ea

va fi tangentă la cele trei vîrfuri ale triunghiului sferic.

Dacă vom uni centrul cercului O cu mijlocul laturii AC, prin arcul cercului mare OM, vom

obţine două triunghiuri simetrice AOM şi MOC. Tragem concluzia, că unghiurile, de pe lîngă

punctul M vor fi congruente şi mai mult decît atît ele vor fi drepte.

Concluzie:

Trei cercuri mari, duse prin mijlocul laturilor triunghiului sferic, perpendicular la ele

(medianele triunghiului sferic), se intersectează în centrul cercului mic, circumscris triunghiului

sferic.

4. Formulele de bază a geometriei sferice

13

4.1. Teorema cosinusului

Teorema cosinusului în plan:

Teorema: Într-un triunghi oarecare pătratul unei laturi este egal cu suma pătratelor

celorlalte două laturi minus produsul lor dublu de înmulţit cu cosinusul unghiului dintre ele.

2 2 2 2 cosBC AB AC AB AC A

Teorema cosinusului triunghiului sferic [1]

Trei planuri ale cercurilor mari, la intersecţie cu sfera formează triunghiul şi unghiul

triedru, vîrful căruia coincide cu centrul sferei. Figura din partea dreaptă reprezintă un exemplu

unghiului triedru cu vîrful în punctul M; ABC – triunghi sferic format. MA, MB, MC ca razele

sferei sunt egale două cîte două. În

triunghiul ABC latura a este egală cu

unghiul opus BMC , latura b este egală cu

unghiul AMC şi latura c cu unghiul

AMB . Ducem două perpendiculare la

latura MA, în punctul A(AD şi AE), care

formează unghiurile diedre cu latura MA.

Unghiul DAE format, reprezintă unghiul

plan unghiului triedru şi este egal cu unghiul

triunghiului sferic. Unim punctele D şi

E. În triunghiul DEA , conform Teoremei lui

Pitagora obţinem:

2 2 2 2 cosDE AE AD AE AD

Din triunghi DEM, tot conformTeoremei lui

Pitagora:

2 2 2 2 cosDE ME MD ME MD

Părţile stîngi sunt egale , deci respectiv avem:

2 2 2 cosAE AD AE AD 2 2 2 cosME MD ME MD

Împărţind egalitatea la 2ME MD , vom obţine:

cos cosMA MA AE AD

aME MD ME MD

Înlocuind unele relaţii cu formulele trigonometrice, obţinem:

cos cos cos sin sin cosa b c b c - formula teoremei cosinusurilor triunghiului sferic. Prin

analogie pot fi construite formulele pentru cosb şi cosc .

Teorema: Cosinusul laturei triunghiului sferic este egal cu suma produsului

cosinusurilor celorlalte laturi şi produsl sinusurilor lor şi cosinusul unghiului opus primei laturi.

14

4.2. Formule inverse formulelor cosinusul laturei (formulele cosinusul unghiului)[1]

Aceste formule arată legătura între cele trei unghiuri ale triunghiului sferic şi o latura.

Deducerea formulei

Pentru deducerea formulelor vom folosi formulele cosinusului laturei.

Avem sistemul de egalităţi (1):

cos cos cos sin sin cos ,

cos cos cos sin sin cos ,

cos cos cos sin sin cos .

a b c b c A

b a c a c B

c a b a b C

Valoarea cosc din a treia egalitate o înlocuim în primle două formule:

cos cos (cos cos sin sin cos ) sin sin cos ,a b a a b C b c A (I)

cos cos (cos cos sin sin cos ) sin sin cos .b a a b a b C a c B (II)

Din egalitatea (I), obţinem:

2

2

2

cos cos cos sin sin cos cos sin sin cos ,

cos (1 cos ) (sin cos cos sin cos )sin ,

cos sin (sin cos cos sin cos )sin ,

a b a a b b C b c A

a b a b C c A b

a b a b C c A b

cos sin sin cos cos sin cos .a b a b C c A (III)

În aşa fel din egalitatea (II), obţinem următoarele:

cos sin sin cos cos sin cos .b a b a C c B (IV)

Pe baza egalităţii sin sin sin

,sin sin sin

a b cm

A B C înlocuim în formule (III), (IV) în loc de:

sin sin ;a m A sin sin ;b m B sin sin ;c m C

Vom obţine:

cos sin sin cos cos sin cos ,

cos sin sin cos cos sin cos .

m a B m A b B m C A

m b A m B a C m C B

Împărţim ambele părţi ale egalităţilor la m:

cos sin cos sin cos sin cos ,

cos sin cos sin cos sin cos .

a B b A C C A

b A a B C C B

Valoare cosb din a doua egalitate o înlocuim în prima egalitate:

cos sin cos sin coscos ,

sin

a B C C Bb

A

15

2cos sin cos sin cos sin cos cos sin cos ,a B a B C C C B C A 2

2

cos sin (1 cos ) sin cos cos sin cos ,

cos sin sin sin cos cos sin cos .

a B C C C B C A

a B C C C B C A

Împărţim ambele părţi ale egalităţii la sinC :

cos sin sin cos cos cosa B C B C A

cos cos cos sin sin cos .A B C B C a

Formule obţinute ne arată, că laturile triunghiului sferic pot fi determinate prin cele trei

unghiuri ale lui.

cos cos coscos ,

sin sin

cos cos coscos ,

sin sin

cos cos coscos .

sin sin

A B Ca

B C

B C Ab

C A

C A Bc

A B

De aici confirmăm afirmaţia, că avînd trei unghiuri date putem construi un singur triunghi sferic.

4.3. Teorema sinusului

Teorema sinusului în plan:

Dacă laturile unui triunghi au lungimile a, b şi c, iar unghiurile care se opun acestora sunt

A, B şi C, atunci, conform teoremei sinusurilor avem:

2sin sin sin

a b cR

A B C

unde R este raza cercului circumscris triunghiului respectiv.

Teorema sinusului triunghiului sferic [1]

Teorema: Sinusurile laturilor triunghiului sferic sunt proporţionale sinusurilor unghiurilor

opuse respective

Deducerea formulei ( în baza formulelor cosinusului):

cos cos cos sin sin cosa b c b c A

cos cos cos sin sin cosb a c a c B

În componenţa formulelor intră elementele necesare: a, b, A, B, dependenţa între care

trebuie să găsim şi în plus mai avem elementul c, de care nu avem nevoie. De unde reese că

problema deducerii formulei se bazează pe excludere a acestui element.

16

Mutăm primul termen din partea dreaptă a fiecărei egalităţii şi ridicăm la pătrat ambele

părţi ale egalităţii.

cos cos cos sin sin cosa b c b c A

cos cos cos sin sin cosb a c a c B 2 2 2 2 2 2cos cos cos 2cos cos cos sin sin cosa b c a b c b c A 2 2 2 2 2 2cos cos cos 2cos cos cos sin sin cosb a c a b c a c B

Scădem din prima egalitate a doua egalitate:

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2cos cos cos cos cos cos sin sin cos sin sin cosa b b c a c b c A a c B

Scoatem în afara parantezei factorul comun:

2 2 2 2 2 2 2 2 2cos (1 cos ) cos (1 cos ) sin (sin cos sin cos )a c b c c b A a B

Sau 2 2 2 2 2 2 2 2 2cos sin cos sin sin (sin cos sin cos )a c b c c b A a B

Împărţim ambele părţi a egalităţii la 2sin c :

2 2 2 2 2 2cos cos sin cos sin cosa b b A a B

Înlocuim în egalitatea dată în loc de cosinus – sinusul unghiului respectiv:

2 2 2 2 2 2(1 sin ) (1 sin ) sin (1 sin ) sin (1 sin )a b b A a B

2 2 2 2 2 2 2 21 sin 1 sin sin sin sin sin sin sina b b b A a a B

Reducem termenii asemenea:

2 2 2 2sin sin sin sin 0a B b A 2 2 2 2sin sin sin sina B b A

2 2

2 2

sin sin

sin sin

a A

b B , sau

sin sin

sin sin

a A

b B

La fel, putem afirma că:

sin sin

sin sin

a A

c C ;

sin sin

sin sin

b B

c C

De unde avem:

sin sin sin

sin sin sin

a b cm

A B C

Adică în triunghiul sferic raportul între sinusul laturei şi sinusul unghiului opus este o mărime

constantă egală cu m.

17

5. Formule pentru rezolvarea triunghiului dreptunghic pe

sferă

Triunghiul sferic poate fi determinat după trei elemente date; în triunghiul sferic

dreptunghic un element este cunoscut – unghiul drept, deci pentru rezolvarea triunghiului avem

nevoie încă de două elemente, după care vom putea să determinăm oricare al treilea element. În

formula pentru rezolvarea triunghiului sferic dreptunghic trebuie să între trei elemente: două

cunoscute şi unu, care trebuie să-l determinăm. În total vom avea 10 cazuri diferite pentru

rezolvarea triunghiului şi anume: abc, abB, abC, acB, acC, aBC, bcB, bcC, bBC, cBC (combinări

din cinci elemente”a, b, c, B, C” luate cîte trei)

5.1. Teorema lui Pitagora

Teorema lui Pitagora în plan:

Teorema: În orice triunghi dreptunghic, suma pătratelor catetelor este egală cu pătratul

ipotenuzei.

Teorema lui Pitagora în spaţiu:

Teorema : Dacă ABCDA'B'C'D' este un paralelipiped dreptunghic, cu AB = l (lăţimea),

BC = L (lungimea) şi AA' = h (înălțimea), atunci lungimea diagonalei sale mari, AC' = d, se

poate determina prin formula 2 2 2 2d h l L .

Teorema lui Pitagora pe sferă:

Teorema: Cosinusul ipotenuzei este egal cu produsul cosinusurilor catetelor.

Deducerea formulei:

Cazul 1: fie ABC triunghi sferic

dreptunghic, cu unghiul drept A. Unghiul

triedru OABC(desen *).

Luăm pe segmentul OB a unghiului

triedru OABC un punct arbitrar P şi vom duce

prin acest punct un plan PTS, PTS OB . Am

obţinut un tetraedru SOPT, observăm , că

triunghiurile STR şi STO sunt dreptunghice cu

punctul comun T. Din raportul laturilor avem:

cosOT

bOS

;

cosOP

cOT

; cosOP

aOS

.

Prin substituţia egalităţilor în identitate obţinem:

OP OT OP

OS OS OT

În rezultat final avem:

18

cos cos cosa b c

Cazul 2: în baza formulei cosinusul laturei

cos cos cos sin sin cosa b c b c A

În triunghiul dreptunghic A=900, cosA=0 avem:

cos cos cosa b c

Teorema: Sinusul fiecărei catete este egal cu produsul sinusului ipotenuzei, cu sinusul

unghiului opus.

Deducerea formulei:

Cazul 1: Vom folosi desenul *

sinST

BSP

; sinSP

aSO

; sinST

bSO

Efectuăm substituţia în identitate:

ST ST SO

SP SO SP

Deunde avem: sin

sinsin

bB

a , sau sin sin sinb a B .

Cazul 2: Aceasta formula poate fi obţinută ca caz particular din dependenţa dintre

laturile si unghiurile opuse a unui triunghi sferic:

sin sin

sin sin

a A

b B ;

sin sin

sin sin

a A

c C .

Pentru triunghi dreptunghic avem A=900, sin 1A deci:

1 sin

sin sin

a

B b ; sin sin sinb a B

1 sin

sin sin

a

C c ; sin sin sinc a C .

Teorema: Tangenta fiecărei catete este egală cu produsul tangentei ipotenuzei la

cosinusul unghiului alăturat.

Deducerea formulei:

Cazul 1: După desen * avem:

19

PTtgc

PO ;

PStga

PO ; cos

PTB

PS .

Scriem identitatea şi substituim:

PT PS PT

PO PO PS

De unde: costgc tga B .

Cazul 2: Luăm formulele de bază a sinusului laturei la cosinusul unghiului alăturat:

sin cos sin cos cos sin cosb A c a c a B ,

sin cos sin cos cos sin cosc A b a b a C .

Luînd în consideraţie că cosA=0, avem:

sin cos cos sin cosc a c a B ,

sin cos cos sin cosb a b a C .

Împărţim ambele părţi ale primei inegalităţii la sin cosa c , dar a doua la cos sinb a vom obţine:

costgc ctga B , costgc tga B

costgb ctga C , costgb tga C .

Teorema: Tangenta unei catete este egală cu produsul sinusului celeilalte catete la

tangenta unghiului opus.

Deducerea formulei:

Cazul 1: Din desen * avem:

TStgb

TO ; sin

TPc

TO ;

TStgB

TP.

Scriem identitatea:

TS TP TS

TO TO TP ,

De unde obţinem: sintgb c tgB .

Cazul 2: Din formulele de bază cu cotangente, unde în componenţa părţii din dreaptă

intră şi unghiul A

sin sin cos cosctgb c ctgB A A c ,

sin sin cos cosctgc b ctgC A A b

Luînd în consideraţie că 090A , sin 1A , cos 0A avem:

20

sinctgb c ctgB , sintgb c tgB ,

sinctgc b ctgC , sintgc b tgC .

Teorema: Produsul cotangentei unghiurilor alăturate la ipotenuza, este egal cu

cosinusul ipotenuzei.

Deducerea formulei:

Cazul 1:

sintgb c tgB

sintgc b tgC

Înmulţim parte cu parte ambele egalităţi:

sin sintgb tgc c b tgB tgC

Împărţim ambele părţi la sin sinc b

sin sin

tgb tgctgB tgC

c b

1 sin sinc b

tgB tgC tgb tgc

sin sin

cos cosb c

ctgB ctgC b ctgb tgc

În baza formulei cos cos cosb c a (teorema lui Pitagora pe sferă) avem:

cosa ctgB ctgC

Cazul 2: Luăm ca formulă de bază formula cosinusului unghiului:

cos cos cos sin sin cosA B C B C a

În baza că cos 0A , avem:

cos cos sin sin cosB C B C a .

Împărţim ambele părţi la sin sinB C , vom avea:

cosa ctgB ctgC

Teorema: Cosinusul unuia din unghiuri este egal cu produsul cosinusului laturei opuse

la sinusul celuilalt unghi.

Deducerea formulei:

Cazul 1: Din formulele triunghiului sferic dreptunghic. Luăm formulele care leagă în

triunghi sferic o catetă, ipotenuza şi unghiul alăturat catetei:

21

cos

cos

tgc tga B

tgb tga C

De unde avem:

sin cos sin cos

coscos sin sin cos

tgc c a c aB

tga c a a c

Pe baza formulelor :

sin

sinsin

cC

a ;

coscos

cos

ab

c

Avem:

cos sin cosB C b

Cazul 2: Luăm formulele cosinusurilor unghiurilor B şi C:

cos cos cos sin sin cos ,

cos cos cos sin sin cos .

B A C A C b

C A B A B c

Fiindcă cos 0A , sin 1A vom avea:

cos sin cos ,

cos sin cos .

B C b

C B c

5.2. Teorema lui Legendre

În geometrie sferică această teorema permite rezolvarea mai uşoară a triunghiului sferic,

dacă se ştie că laturile lui sunt destul de mici faţă de raza acestei sfere, pe care el este plasat.

Teorema:

Fie dat un triunghi sferic cu laturile a, b, c, care sunt mici faţă de raza sferei R, cu

unghiurile , , şi cu excesul . construim în plan un triunghi cu laturile ' ' ', ,a b c , egale cu laturile corespunzătoare triunghiului sferic. Fiindcă laturile triunghiului sferic

se măsoară în radiani, atunci ' ,a aR ' ,b bR ' .c cR Notăm unghiurile triunghiului sferic,

exprimate în radiani prin ' ' ', , . Teorema lui Legendre afirmă, că sunt juste următoarele

relaţii:

'

'

'

,3

,3

.3

22

Deci, dacă laturile triunghiului sferic sunt mici în raport cu raza sferei, noi putem înlocui

triunghiul sferic cu triunghiul plan cu aceleiaşi laturi după mărime şi cu 1

3 mai mici

unghiurile, şi în aşa fel se determină elemente triunghiului plan.

6. Elemente triunghiului sferic

6.1. Înălţimea triunghiului sferic

Înălţimea triunghiului sferic se numeşte arcul

cercului mare, dus prin vîrful triunghiului şi

perpendicular laturii opuse.

Din triunghiurile sferice dreptunghice ABD,

BCD avem:

sinh sin sin sin sinb c A a C

Adică sinusul înălţimii triunghiului sferic este egal cu produsul sinusului laturii alăturate cu

sinusul unghiului opus înălţimii alăturate de latura dată.

6.2. Aria fusului şi triunghiului sferic

Fie ABA1C – un fus sferic, format la intersecţia a două

cercuri mari, care trec prin diametrul AA1 (des I). Unghiul A,

format la intersecţia celor două cercuri mari, se numeşte

unghiul fusului sferic respectiv. Evident, că suprafaţa S a

fusului sferic va ocupa aceeaşi parte a suprafeţei sferice, ca şi

unghiul A de la 3600. Adică:

2 0

02

0

,4 360

.90

S A

R

AS R

Aria fusului sferic este egală cu aria cercului mare a

sferei înmulţită cu raportul unghiului fusului la unghiul drept.

Vom folosi formula ariei fusului sferic pentru

deducerea ariei triunghiului sferic.

Fie, că avem triunghi sferic ABC (des II) şi trebuie să determinăm aria lui. În acest scop

vom construi pentru fiecare unghi al triunghiului sferic un fus sferic corespunzător; Aşa pentru

unghiul A, fusul sferic ABFC, pentru unghiul B, fusul sferic BADC şi în sfîrşit pentru unghi C

fusul sferic CAC1B. În baza formulei ariei fusului sferic vom avea:

23

02

0

02

0

02

1 0

,90

,90

.90

BABC ACD R

AABC CBF R

CABC ABC R

În fiecare parte stîngă a egalităţii intră în componenţa

sa două triunghiuri sferice, adunînd toate trei egalităţii parte

cu parte, obţinem:

2

1 0( ).

90

RABC ACD ABC CBF ABC ABC A B C

În partea stîngă în loc de triunghiul ABC1, înlocuim triunghiul cu aceeaşi mărime, simetric CDF:

2

02 ( ).

90

RABC ABC ACD CBF CDF A B C

Din partea stîngă a egalităţii ultimele patru elemente formează în sumă suprafaţa

semicercului 22 R , deci ultima egalitate se înscrie în:

22

0

0 0 02 2

0

0 0 0 2 0 0 0 02 2

0 0

2 0

0

2 2 ( ),90

2 2 ,90

( 180 ),

180 180

_ .180

RABC R A B C

A B CABC R R

A B C R A B CABC R R

RAria ABC

Aria triunghiului sferic este egală cu aria cercului mare înmulţită cu raportul excesului

la 1800.

7. Concluzii

În cadrul lucrării de curs “Geometrie sferică”, eu am ajuns la concluzia, că elemente sferei:

unghiuri, segmente, figuri se definesc şi se privesc puţin din alt punct de vedere, ca şi aceleaşi

figuri pe suprafaţa plană sau din spaţiu în cadrul geometriei euclidiene.

În mod diferit se expun teoremele cunoscute de noi. De exemplu, cunoaştem că, suma

unghiurilor triunghiului este egală cu 1800, dar în acelaşi timp suma unghiurilor triunghiului

sferic este mai mult decît 1800.

În cadrul cursului şcolar de geometrie, am studiat, că mărimea minimală a vîrfurilor unui

poligon este 3 şi acest lucru a fost just, nu am putut construi un poligon cu numărul laturilor mai

mic decît 3. Studierea geometriei sferice mi-a ajutat să descoper, pentru mine, o nouă figură – fus

sferic.

24

8. Suplimentar

8.1. Dependenţa volumelor sferei, cilindrului şi conului de rotaţie[4]:

Considerăm corpul sferic S(0, r), cilindrul de rotaţie C de raza r şi înălţimea 2r, precum şi

corpul 1 2C C , unde C1 şi C2 sînt conuri de rotaţie congruente, de raza r şi înălţime r. Aceste trei

corpuri sunt disjuncte şi aşezate pe acelaşi plan . Secţionîndu-le cu planul || , la distanţa x

de O, se obţin trei discuri respective MN pentru sferă, PQ pentru con şi UV pentru cilindru.

Deoarece 2 2 2 ,MN r x ,PQ x ,UV r rezulţă că 2 2 2 ,MN PQ UV adică aria

secţiunii prin în 1 2( )S C C este egală cu aria secţiunii în C. Aplicînd principiul lui

Cavalieri (Corpurile cu aceleaşi sectiuni transversale şi cu aceeaşi înaltime au aceleaşi volume)

obţinem:

1 2( ) ( ) ( )V S V C C V C

8.2. Problema1:

Un corp sferic de rază 2 se secţionează cu un plan la distanţa 1 de la centrul sferei.

Determinaţi cel mai scurt drum pe suprafaţă sferică, între

două puncte mai îndepărtate ale secţiunii.

Rezolvarea:

Se ştie că: Daca două puncte aparţin cercului mare,

atunci lungimea unei părţi ale arcului care unesc acele

puncte, se defineşte ca distanţa sferică între acele puncte,

iar arcul de cerc – ca segment sferic.

Pentru determinarea lungimii arcului de curbă BA vom

folosi formula:

25

L R

Mai întîi vom determina unghiul în radiani:

După condiţiile problemei: 2OA , 1 1OO

0

1

1( ) arccos 60

2 3m O OA sau

1

22 ( ) ;

3m O OA

Înlocuim valorile obţinute în formula de calcul:

2 4;

3 3L R R

Răspuns: 4

.3

8.3. Problema 2:

Mărinarul Hristofor Vespucci a navigat

1800 de mile într-o direcţie de la punctul A

spre punctul B. Peurmă el a schimbat direcţia

cu 600 şi a navigat într-o nouă direcţie 2700 de

mile, şi a ajuns în punctul C. Determinaţi

distanţa între puncte A şi C pe suprafaţă

pămîntului.

Rezolvarea:

Fie a, b, c lungimile arcelor de curbă BC, AC

şi AB respectiv, - unghiul intern pe lîngă

vîrful B triunghiului sferic ABC. Atunci:

108001800 / ,

6

108002700 / ,

4

c

R

a

R

Unde R – raza Pămîntului, exprimat în milă marină.

Folosind teorema cosinusului triunghiului sferic avem:

2cos cos cos sin sin cos cos cos sin sin cos

6 4 6 4 3

3 2 1 2 1 2 6 20.4356

2 2 2 2 2 8

b c a c a

R R R R R

Cu ajutorul calculatorului determinăm:

arccos 0.4356 0.90662( )b

radianiR

Deci lungimea arcului de curbă *0.90662 3437.4*0.90662 3116.7AB b R mile .

Răspuns: 3117 mile marine sau 5772 km.

26

9. Referinţe bibliografice:

1. Н.Н. Степанов, „Сферическая тригонометрия” Гостехиздат,1948; 155 стр.

2. П. Кранц, „Сферическая тригонометрия” Издательство ЛКИ, 2007; 93 стр. ISBN 978-5-382-00146-3

3. Б.А.Волынский, “Элементы феерической тригонометрии”. УЧПЕДГИЗ 1961; 56 стр.

4. Augustin Cota, Ecaterina Kurthy ş.a. Matematică Geometrie şi Trigonometrie Manual pentru clasa a X-a. Editura “Didactica şi Pedagogică” Bucureşti 1992.

5. http://www.astronet.ru/db/msg/1190817/node7.html 6. http://www.pm298.ru/riman.php

7. http://www.krugosvet.ru/node/41971?page=0,0

8. http://sch140.omsk.edu/projects/evclides/orisfera.htm

9. http://geometrie.ru/site/lobachevskiy/posg.htm

10. http://www.referatele.com/referate/matematica/online5/GEOMETRIA-SFERICA-

Cercuri-pe-sfera-Trigonometrie-sferica-referatele-com.php

11. http://ro.wikipedia.org/wiki/Geometrie_sferic%C4%83