Geometrie AnalItiCabAc

Geometrie analitic probleme bacalaureatVirgil-Mihail Zaharia

Elemente de geometrie analitic

1. Segmente

1. Distana dintre dou puncte A(x1,y1), B(x2,y2): AB = (x2 x1)2 + (y2 y1)22.Panta dreptei AB: m

=y2 y1

AB

x

x2

1

3.Coordonatele (x,y) ale mijlocului segmentului AB: x =x1 + x2, y =y1 + y2

2

2

4.Coordonatele punctului M care mparte segmentul (AB) n raportul k:

x =x1 + kx2, y =y1 + ky2

1+ k2

2. Ecuaia dreptei

Drepte paralele cu axele de coordonate: (d):x = a, (d Oy); (d):y = b, (d Ox)

Dreapta determinat de punctul Mo(xo,yo) i vectorul nul a(u,v) : (d) : r = ro + ta , tR,

ro -vectorul de poziie a lui Mo; r-vectorul de poziie a unui punct M al dreptei d.

x = xo+ ut(d) :, tR, ecuaiile parametrice;y = yo+ vt3. Ecuaia explicit: y =mx + n (mR*, nR, m panta, n ordonata la origine);4. Ecuaia prin tieturi: x + y 1 = 0,( a , b R*);b

Ecuaia dreptei de pant m, prin punctul Mo(xo,yo): y yo = m(x xo), (m0); Ecuaia dreptei determinat de punctele A(x1,y2), B(x2,y2):

y y =y2 y1(x x ),y y1=x x1,(x x

, y y

)

1x2 x1y2 y

x2 x1212

1

1

1

y 1

sau x1y11 = 0

x2y21

7.Ecuaia general: ax + by + c = 0;

8.Aria triunghiului ABC (A(x1,y1), B(x2,y2), C(x3,y3)): AABC =1

, unde

2

xy1

=x1y11

, dac = 0 atunci A, B, C sunt colineare

x2y21

9.Poziia relativ a dreptelor (d1) i (d2):

(d1 ) : a1 x + b1 y + c1 = 0 i (d2 ) : a2 x + b2 y + c2 = 0

1Geometrie analitic probleme bacalaureat

Virgil-Mihail Zaharia

d1 = d2, daca1=

b1=c1; d1d2, daca1=b1c1;

a 2

b2

c2

a 2 b2

c2

d1 d2 i d1 d2 , daca1b1

a 2

b2

10. Distana de la punctul Mo(xo,yo) la dreapta (h): ax + by + c = 0

d(M , h) =

ax0 + by0 + c

a2 + b2

11. Unghiul determinat de dreptele:

(d) : y = m x + n i(d

) : y = m x + n tg =

m2 m1,(m m 1)

2

11

1

22

12

1 + m1 m2

d1 d2, dac m1m2 = -1

3. Cercul

Cercul C de centru M(a,b) i raz r:

Ecuaia cercului (x a)2 + (y b)2 = r2; dac M(a,b) = O(0,0): x2 + y2 = r2;

Ecuaia general: x2 + y2 + mx + ny + p = 0, unde a = m , b = n i 22

r2 = 1 (m2 + n2) p. 4

4. Conice raportate la axele de simetrie

1. Elipsa E: F(c,0), F(-c,0), A(a,0), A(-a,0), B(0,b), B(0,-b), MF + MF = 2a, ME

x2 y2Ecuaia elipsei: a2 + b2 1 = 0,b2 + c2 = a2

Ecuaia tangentei n punctul M(xo,yo), ME:xxo + yyo 1 = 0 a2 b2

2. Hiperbola H: F(c,0), F(-c,0), A(a,0), A(-a,0), MF

x2 y2Ecuaiea hiperbolei: a2 b2 1 = 0,c2 b2 =

Ecuaia tangentei n Mo(xo,yo), MoH:

MF = 2a, MH.

a2xx0yy01= 0

2

a

b2

p 3. Parabola P: F( ,0), h:x = - (h dreapta directoare):2

d(M,h) = MF, MP.

Ecuaia parabolei P: y2 = 2px

Ecuaia tangentei n Mo(xo,yo), MoP: yyo = p(x + xo)

2Geometrie analitic probleme bacalaureatVirgil-Mihail Zaharia

Probleme rezolvate

1. Se d hiperbola H de ecuaie:x 2 y2 1 = 09

S se afle ecuaia tangentei la hiperbol n punctul T(2 2 ,3).

S se calculeze aria triunghiului format de asimptotele hiperbolei H i de dreapta de ecuaie 9x+2y-24=0. R. a) Verificm dac T0H: 8 9 1 = 09 Ecuaia tangentei se obine prin dedublarea ecuaiei hiperbolei:xx0 yy0 1 = 0 Y a 2 b2t: 22x 3y 1 = 0 3 2x 2y 6 = 09 Asimptotele y = b x

a

Calculm coordonatele punctelor de intersecie:

3

x = 2

y =

x

A(2;3)

2

= 0y = 3

9x + 2y 24

3

x = 4

y =

x

B(4;-6)

2

= 0y = 6

9x + 2y 24

1

001

1

=

( ), =

= 24, SAOB =

24= 12

S AOB

231

2

2

46

1

2. Se d cercul de ecuaie x2+y2 -4x+2y=0. S se scrie ecuaia dreptei caretrece prin centrul cercului dat i este perpendicular pe dreapta de ecuaie 2x+3y-4=0.

R. C: x2-4x+4+y2+2y+1=5 (x-2)2+(y+1)2=5Centrul cercului M0(2,-1)

d: 2x+3y-4=0 Y y = 2 x + 4 Y md=-2/3 3 3mh=-1/md=3/2

h: y-y0=mh(x-x0) Y y + 1 = 3 (x 2) h: 3x-2y-8=0 2

3. S se determine aria triunghiului ABC determinat de dreptele de ecuaii: (AB): x-2y+4=0

(BC): 2x+y+1=0 (AC): x+y+2=0

6

x 2y + 4 = 0x 2y + 4 = 0x =

5

R. AB1BC={B} B:

B

2x + y + 1 = 0

4x + 2y + 2= 0

7

y =

5

5 x / + 6=0

7

5 5



3 y 2 = 0x = 8

x 2y + 4 = 0

8 2

3

AB1AC={A} A:

+ y + 2 = 0

2

A

,

x

x = 2

2

3 3

3y =3

2x + y + 1 = 0

x = 1

C(1, 3)

BC1AC={C} C:

x+ y + 2 = 0

y = 3

A ABC=1

2

6

7

1

5

5

8

2

121

121

=

1

=

A

=

.

3

3

15

ABC

30

3

1

1

4. S se scrie ecuaia cercului circumscris triunghiului ABC, unde vrfurile triunghiului au coordonateleA(2,5), B(5,1) i C(-2,2).

R. Calculm pantele dreptelor AB i AC: m = y 2 y1 x2 x1

m

=1 5= 4

AB

5 2

1

3

m AB=

AB AC ABC este dreptunghic centrul cercului

2 5

3

m

=

=

m

AC

AC

2 2

4

circumscris este la mijlocul [BC].

M0:x=x1 + x2=3,y0=

y1 + y2=3

0

2

2

2

2

BC

2

BC2

(x x ) 2

+ ( y2 y )2

(5 + 2)2 + (1 2)2

50

r =

r

=

=

2

1

1

=

=

2

4

4

4

4

C : ( x x ) 2 + ( y y

)2= r 2 x

3 2+y 32=50.

0

0

2

4

2

5. Paralelogramul ABCD are vrfurile consecutive A i B de coordonate A(-3,-1) i B(2, 11 ). Se tie c4punctul Q(3, 1 ) este intersecia diagonalelor paralelogramului. S se afle coordonatele vrfurilor C2

i D i ecuaia laturii BC.

R. Coordonatele mijlocului unui segment sunt: x =x1 + x2, y0=y1 + y2

02

2

Q -mijlocul segmentului AC Y 3 = 3 + x Y x=9 i1= 1+ y Y y=0. Atunci C(9,0)

2

2

2

11+ y

2 + x

1

9

9

Q -mijlocul segmentului BD Y 3 =

Y x=4 i

=4

Y y=

. Atunci D(4,

)

2

2

2

4

4

Ecuaia dreptei CD:y y1=x x1

x2 x1

y 2 y1



y 0=x 94y=x 9 20y = 9x 81 CD: 9x-20y-81=0.

9 0 4 9

9

5

4

6. n sistemul cartezian de coordonate xOy se consider punctele A (0,2

), B(-2,0), C(2,0).

3

S se reprezinte punctele i s se arate c triunghiul ABC este echilateral.

S se determine coordonatele punctului D, simetricul lui C fa de dreapta AB. S se scrie ecuaia cercului de centru D i care trece prin A.

R. a) Prin calcul BC=4=AB=ACY ABC echilateral.

b) Fie D(u,v) simetricul lui C fa de AB i

M mijlocul lui [AB]Y M(-1, 3 ) este mijlocul segmentului [DC]. Atunci

1 =u + 2

=v + 0, de unde u = 4;v = 2

D(-4,2

).

;3

3

3

2

2

Cercul care trece prin A i are centrul n D este C(D,r), unde r = AD = ( 4 0)2 + 23 23 2 = 4 .

Deci C: (x+4)2+(y-2 3 )2=16.7. n sistemul cartezian de coordonate xOy se consider punctele A(0,3) i B(-6,0).

Scriei ecuaiile medianelor duse din A i B, determinai coordonatele lui G, centrul de greutate al triunghiului AOB. Reprezentai punctele i dreptele.

Care este poziia centrului cercului circumscris; dar a ortocentrului triunghiului AOB ? Demonstrai c aceste dou puncte i G sunt coliniare.

3

R. a) Fie AOB i M, respectiv N mijloacele segmentelor [AO], respectiv [BO], atunci M0,

i

2

N( 3,0) i BM: y = 1 (x + 6) , iar AN: y = 3 (x + 3) ecuaiile medianelor din B, respectiv A i cum 4 3{G}=BMANYG(-2,1).

b) Cum A0Oy i B0OxY AOB e dreptunghic n O, deci centrul cercului circumscris e la mijlocul Q al ipotenuzei [AB]YQ(-3, 3 ) iar ortocentrul AOB e O(0,0) i cum

2

211

21

d = 331=

3

= 3 + 3 = 0 deci punctele Q,O i G sunt coliniare.

2

3

2

001

8. n sistemul cartezian de coordonate xOy se consider punctele A(3,0) i B(0,2).

S se determine coordonatele punctului D, mijlocul segmentului [AB]. Scriei ecuaia mediatoarei d a segmentului [AB].

S se determine coordonatele urmtoarelor puncte: {E}=d1OB, {F}=d1OA, M mijlocul segmentului [AE] i N mijlocul segmentului [BF]. S se verifice dac dreptele MD i ND sunt perpendiculare. Dar MO i ON? 3 +0 0 + 2

3

=2 0= 2

R. a) a) D

,

, deci D

,1 i mAB

;

2

0 3

3

2

2

1

3

3

15

d : y 1 =

x

d : y =

x

2

2

2

4

3

5

5

b) {E}=d, unde OB=OxY E

,0; {F}=d, unde OA=OyY F0,

6

4



233

M mijlocul lui [AE]Y M

,0 ; N mijlocul lui[BF]Y N0,

.

128

3 1

1

24

=52=5 i m MD mND 1Y MD i ND nu sunt

mMD =

=

, iar mND =8

23

3

50 38312

2

12

2

perpendiculare.

MO=Ox, iar ON=Oy i cum OxOyYMOON.

9. n sistemul cartezian de coordonate xOy se consider elipsele de ecuaii:x2

+y2

= 1 i

169

x2+y2

= 1.

16

4

Pentru fiecare elips s se scrie ecuaia tangentei n punctul de abscis 2 i ordonata pozitiv. S

se arate c cele dou tangente se intersecteaz ntr-un punct situat pe axa Ox. Reprezentai grafic

elipsele i tangentele.

3

R. a)Coordonatele punctelor:

A 2,3

pentru E1 , B ( 2,

3) pentru E2

2

Ecuaiile tangentelor:

t:x+y

3= 1, pentru E ,t

:x+y

3= 1, pentru E

4

186128

2

Intersecia tangentelor: T(8,0)

Reprezentarea grafic:

10. n sistemul cartezian de coordonate xOy se consider elipsele de ecuaii:x2

+y2

= 1 i

169

x2+y2

= 1.

16

4

Pentru fiecare elips s se scrie ecuaia tangentei n punctul de abscis 3 i ordonata negativ. S

se arate c cele dou tangente se intersecteaz ntr-un punct situat pe axa Ox. Reprezentai grafic

elipsele i tangentele.

9+y2=

1 y = 123, 12 E1

R. a) .Pentru x=3 i y 1 M0exteriorului elipsei.

9

16

16

b) Fie P(u,v)0E Yu2+v2

= 1(*)

16

9

Tangenta n P: ux + vy = 1 care conine pe M(0,5) de unde 5u + 0 v = 1 u = 16 i apoi din (*) Y

169

169

5

v1 = 9 i v2 =9

16, 9

169

, deci exist dou puncte cu proprietatea cerut:P1

i P2

,

.

5

5

5

5

55

Tangenta n P1e t1:x

z= 1cu panta m1=1

5

5

Tangenta n P2e t2:x+z= 1cu panta m1=-1.

5

5

19. n sistemul cartezian de coordonate xOy se consider punctele A(-1,2) i B(1,4).S se determine ecuaia cercului C de centru A i care trece prin B. Reprezentai cercul C.

S se scrie ecuaiile tangentelor la cerc n punctele care au abscisa x=-1. S se arate c tangentele sunt paralele cu axa Ox.

R. a) r = AB = 22 + 22 = 22 , C: (x+1)2+(y-2)2=8

9Geometrie analitic probleme bacalaureatVirgil-Mihail Zaharia

b) Dac x=-1 Y (y-2)2=8 Y y-2= 22 Y T1(-1,2- 22 ); T2(-1,2+ 22 ). Ecuaia tangentei n T1: (x+1)(-1+1)+(y-2)(2- 22 -2)=8 Y y=2- 22Ecuaia Tangentei n T2: (x+1)(-1+1)+(y-2)(2+ 22 -2)=8 Y y=2+ 22 .

Digitally signed by Virgil-Mihail Zaharia

10

Geometrie AnalItiCabAc

Documents

Transcript of Geometrie AnalItiCabAc