64
6. Metoda vectorial n geometrie 6.1. Consideraii teoretice Pentru studiul geometriei euclidiene plane se folosesc mai multe modele: sintetic, analitic, vectorial, complex. Fiecare dintre aceste modele se dovedete a fi mai eficient ntr-un anumit tip de probleme, de aceea este util s le cunoatem pe toate i s avem posibiltatea de a trece cu uurin de la unul la altul. Modelul vectorial se preteaz la probleme n care apar drepte, segmente, rapoarte, probleme care de multe ori se rezolv mai simplu dect s-ar rezolva pe cale sintetic. Planul euclidian definit axiometric (modelul sintetic) l considerm cunoscut, elementele sale fiind puncte. Modelul analitic l obinem alegnd un sistem de coordonate n plan i considernd planul ca produsul cartezian a dou drepte (ortogonale) : ( ){ }RRR == yxyx ,\,2 . Modelul vectorial l obinem alegnd n planul un punct fix, numit origine i doi vectori necoliniari de baz, de exemplu i
ri j
r reprezentai prin
dou sgei (versorii directori ai axelor xO i yO ). Fig. 6.1.
Deci { }RR +=== yxjyixv ,\2 rrr . Orice punct M din planul are n modelul analitic dou coordonate M(x,y), deci este unic determinat de dou numere reale xR (abscisa) i y R (ordonata). Acelai punct M are n modelul vectorial un vector de poziie
jyixrMrr += , deci orice punct este unic determinat de vectorul su de
poziie, care se reprezint printr-o sgeat ce pornete din originea O i se termin n M.
65
Pentru o pereche de puncte (A,B) , reprezentm printr-o sgeat ce pornete din A i se termin n B, segmentul orientat (A,B). Fiecrui segment orientat (A,B) i se ataeaz un vector 2RAB , definit prin
AB rrAB = . Fig. 6.2.
Trei puncte A, B, C sunt coliniare dac vectorii AB i AC sunt coliniari, adic dac exist un numr real t astfel ca ABtAC = Mulimea punctelor coliniare cu dou puncte distincte A, B formeaz dreapta AB. Dintre ecuaiile dreptei amintim: a) :D vtrr += 0 ; t R Ecuaia dreptei ce trece prin vrful vectorului 0r i este paralel cu vectorul
0v . b) :D ( ) ;1 BA rtrtr += Rt . Ecuaia dreptei ce trece prin A i B. n ecuaia b) a dreptei, punctul M , al crui vector de poziie este
( ) BAM rtrtr += 1 , cu [ ]1,0t se afl pe segmentul [ ]AB i este determinat de raportul distanelor ( )( ) AB
AMBAdMAdt ==,, .
n particular mijlocul C al segmentului [ ]AB are vectorul de poziie
66
( )BAC rrr += 21 . Dac ABC este un triunghi, atunci pentru orice punct M din plan, exist numerele reale ,, unic determinate astfel ca: CBAM rrrr ++= , cu 1=++ . Dac ,, sunt pozitive, punctul M se afl n interiorul triunghiului ABC i numerele ,, reprezint rapoarte de arii:
==ABC
MBC
SS ;
ABC
MCA
SS= ;
ABC
MAB
SS= .
n particular pentru punctele importante din triunghi avem:
( )CBAG rrrr ++= 31 (centrul de greutate); cba
rcrbrar CBAI ++++= (centrul cercului nscris);
tgCtgBtgArtgCrtgBrtgAr CBAH ++++= (ortocentrul triunghiului);
CBArCrBrAr CBAO 2sin2sin2sin
2sin2sin2sin++
++= (centrul cercului circumscris);
HGE rrr += 43 (centrul cercului lui Euler);
Bibliografie
(1) BRNZEI, D. :Bazele geometriei analitice plane, Editura Paralele 45,
Piteti, 1999
(2) BESOIU, I., BESOIU, E. : Probleme de geometrie rezolvate cu vectori
pentru clasele a IX-a i a X-a, Editura
STAR SOFT, Alba Iulia, 2000.
67
(3) BRNZEI, D., NECHITA,V., ERDEAN, V. : Dicionar de geometrie
elementar, Editura Paralela 45, Piteti,
2001.
(4) BIBOAC, N. : Teme complementare de geometrie, Editura Paralela
45, Piteti, 1999.
(5) BRNZEI,D., ZANOSCHI, A. : Geometrie probleme cu vectori, clasa
a IX-a, Editura Paralela 45, Piteti, 1999.
(6) NECHIL, P. : Algebr vectorial i geometrie analitic, Editura
Paralela 45, Piteti, 2001.
(7) BRNZEI, D., ONOFRA, E., ANIA, S., ISVORANU, GH. : Bazele
raionamentului geometric, Editura
Academiei R.S.R., Bucureti, 1983.
(8) DRANCA, C., VORNICESCU, FL., RADU, L., VORNICESCU, N. :
Probleme i soluii de geometrie
vectorial, analitic i trigonometrie,
Editura Didactic i Pedagogic,
Bucureti, 2002.
(9) SIMIONESCU, GH., D. : Noiuni de algebr vectorial i aplicaii n
geometrie, Editura Tehnic, Bucureti,
1982.
(10) CMPEAN, V., CMPEAN, V. : Vectori geometrie, clasele IX X,
Editura Milenium, Alba Iulia, 2003.
(11) PIMSNER, M., POPA, S. : Probleme de geometrie elementar, Editura
Didactic i Pedagogic, Bucureti, 1979.
(12) NICOLESCU, L., BUMBCEA, AL., CATAN, A., HORJA, P.,
NICULESCU, GH., OPREA, N.N ZARA, C. : Metode de rezolvare a
problemelor de geometrie, Editura Universitii din Bucureti, 1998.
68
(13) ANDRICA, D., VARGA, Cs., VCREU, D. : Teme i probleme alese
de geometrie, Editura Plus, Bucureti, 2002.
(14) NICULA, V. : Geometrie plan (sintetic, vectorial, analitic)
culegere de probleme, Editura Gil, Zalu, 2002.
(15) CSINTA, Th., MODAN, L. : Probleme de matematic date ntre 1998-
2002 la concursul de admitere n grupul GEIPI al colilor superioare
franceze de nalte studii inginereti, vol. I, Editura Gil, Zalu, 2003.
(16) BRNZEI, D., ERDEAN, I., ERDEAN, V. : Olimpiadele balcanice de
matematic pentru juniori, Editura Plas, Bucureti, 2003.
Top Related