Geometrie

Victor Vuletescu

Cuprins

Capitolul 1. Spatii afine 51. Spatii afine.Definitie, exemple 52. Combinatii afine. Repere afine si carteziene 6

Capitolul 2. Subspatii afine. 91. Definitii, caracterizare intrinseca. 92. Operatii cu subspatii afine 103. Paralelism afin 124. Ecuatii ale subspatiilor afine 125. Ecuatii ale unor cazuri particulare de subspatii afine. 13

Capitolul 3. Transformari afine 151. Definitii, teoreme de caracterizare 152. Exemple de transformari afine. 18

Capitolul 4. Spatii afine euclidiene 211. Definitii, proprietati elementare 212. Geometrie analitica euclidiana 223. Izometrii, teorema fundamentala a geometriei euclidiene. 24

3

CAPITOLUL 1

Spatii afine

1. Spatii afine.Definitie, exemple

Definitie 1. Se numeste spatiu afin un triplet (A, V, ϕ) unde:- A este o multime nevida;- V este un spatiu vectorial peste un corp (comutativ) K;- ϕ : A×A → V este o functie ce satisface urmatoarele proprietati:i) pentru orice A,B,C ∈ A are loc

ϕ(A,B) + ϕ(B,C) = ϕ(A,C)(1)

ii) exista un punct O ∈ A astfel ıncat apliatia ϕO : A → V data prinϕO(A) = ϕ(O,A) este bijectiva.

Terminologie. Elementele lui A se vor numi puncte. Spatiul vectorialV se va numi spatiul director sau directia lui A. Elementele lui V se vor numisi vectori liberi. Functia ϕ se numi structura afina si vom utiliza notatia

~AB = ϕ(A,B).

Vectorul ~AB se va numi uneori si vectorul legat generat de A si B. Deasemeni, vom mai utiliza notatia

rO(A) = ~OA

si vom numi rO(A) vectorul de pozitie al lui A ın raport cu O.Fie A un spatiu afin ; vom defini dimensiunea lui A ca fiind dimensiunea

lui V.

Exemplu.(Structura afina canonica a unui spatiu vectorial.) Fie V unspatiu vectorial. Fie A = V si ϕ : V × V → V definita prin

ϕ(u, v) = v − u.

Se verifica imediat ca ϕ satisface cele doua proprietati din enunt.

Proprietati elementare.

Propozitie 1. Fie A un spatiu afin; atunci

a) ~AA = 0V pentru orice A ∈ A;

b) ~AB = − ~BA pentru orice A,B ∈ A.c) proprietatea ii) din definitia de mai sus ramane adevarata pentru orice

O ∈ A.

Observatie. Remarcam ca proprietatea ii) din definitie se poate citi siasa:

” Pentru orice v ∈ V si orice punct O ∈ A exista si este unic un punct

A ∈ A astfel ıncat ~OA = v.”

5

V. Vuletescu Geometrie

2. Combinatii afine. Repere afine si carteziene

In general, pe un spatiu afin dat, nu putem defini o structura algebrica”familiara”; grup, etc. Putem totusi defini o operatie ce suplineste aceastadeficienta, numita combinatie afina, dupa cum urmeaza.

Propozitie 2. Fie A un spatiu afin. Fie n ∈ N, n ≥ 1 arbitrar,P1, . . . , Pn ∈ A si α1, . . . , αn ∈ K arbitrare. Fie O ∈ A arbitrar. Daca

n∑i=1

αi = 1

atunci punctul P, unic definit de relatia

~OP =

n∑i=1

αi ~OPi

nu depinde de alegerea lui O. El va fi notat

P =n∑i=1

αiPi.

Demonstratie. Fie O′ ∈ A arbitrar, si fie P ′ definit de

~O′P ′ =n∑i=1

αi ~O′Pi.

Atunci

~OP ′ = ~OO′ + ~O′P =n∑i=1

αi ~OO′ +n∑i=1

αi ~O′Pi =

=n∑i=1

αi( ~OO′ + ~O′Pi) =n∑i=1

αi ~OPi = ~OP

Deci ~OP ′ = ~OP deci P ′ = P.Observatie. Desi pentru combinatiile afine nu are sens punerea pro-

blemei asociativitatii, are loc o proprietate similara, care se deduce imediatdin definitie

Observatie 1. Fie

a, b, α1 . . . , αn, β1, . . . , βm ∈ K

si punctele P1, . . . , Pn, Q1, . . . , Qm ∈ A arbitrare. Daca

a+ b = 1 ,

n∑i=1

αi =

m∑i=1

βi = 1

atunci

a(

n∑i=1

αiPi) + b(

m∑i=1

βiQi) = aα1P1 + · · ·+ aαnPn + bβ1Q1 + · · ·+ bβmQm.

– 6 – version 1.05, March 15, 2012

Geometrie V. Vuletescu

Fie A un spatiu afin si fie X ⊂ A. Numim acoperirea afina a lui Xmultimea Af(X) a tuturor punctelor lui A ce se pot obtine ca si combinatiiafine de elemente din X, i.e.

Af(X) = {P ∈ A|∃n ∈ N,∃{αi}i=1,..,n ∈ K,n∑i=1

αi = 1,∃{Pi}i=1..n ∈ A, P =

n∑i=1

αiPi}

Definitie 2. Fie A un spatiu afin si fie S ⊂ A. Spunem ca multimeade puncte S este un:

-sistem afin independent daca pentru orice P ∈ S avem ca

P 6∈ Af(S \ {P});

-sistem afin de generatori daca

A = Af(S);

-reper afin daca S este atat sistem afin independent cat si sistem afin degeneratori.

De asemeni, vom spune ca un spatiu afin este finit generat daca are unsistem afin de generatori care este multime finita.

Fie A un spatiu afin si fie S ⊂ A; fixam O ∈ S arbitrar si notam SO ⊂ Vsistemul de vectori definit prin

SOdef= { ~OA|A ∈ S \ {O}}.

Are loc

Teorema 1. Fie A un spatiu afin si S ⊂ A. Fie O ∈ S arbitrar; atuncia) S este sistem afin independent daca si numai daca SO ⊂ V este

sistem liniar independent;b) S este sistem afin de generatori daca si numai daca SO ⊂ V este

sistem de generatori.

Demonstratie.a)”⇒ ”. Presupunem ca SO nu este liniar independent; atunci exista un

vector din SO care este combinatie liniara de alti vectori din SO, i.e existaA,A1 . . . , An ∈ S distincte si α1, . . . , αn ∈ K astfel ıncat

~OA =n∑i=1

αi ~OAi

Atunci

~OA = (1−n∑i=1

αi) ~OO +

n∑i=1

αi ~OAi

deci

A = (1−n∑i=1

αi)O +

n∑i=1

αiAi.

Deducem A ∈ Af(S \ {A}), contradictie.

– 7 – version 1.05, March 15, 2012

V. Vuletescu Geometrie

b)” ⇒ ”. Fie v ∈ V arbitrar; atunci exista A ∈ A astfel ıncat ~OA = v.Cum Af(S) = A, exista A1, . . . , An ∈ S \ {O} astfel ıncat

A =

n∑i=1

αiAi + (1−n∑i=1

αi)O.

Atunci ~OA =∑n

i=1~OAi

Corolar 1. Fie S ⊂ A; atunci S este sistem afin independent, daca sinumai daca pentru orice puncte A1, . . . , An ∈ S si orice α1 . . . , αn, β1, . . . , βn ∈K, relatia

n∑i=1

αiAi =n∑i=1

βiAi

implica αi = βi,∀i = 1, . . . , n.

Definitie 3. Fie A un spatiu afin de directie spatiul vectorial V. Vomnumi reper cartezian al lui A un cuplu (O,B) unde O ∈ A iar B ⊂ V esteo baza a lui V.

Observatie 2. Fie A un spatiu afin de directie spatiul vectorial V sifie S ⊂ A. Atunci S este un reper afin daca si numai daca (O,SO) este unreper cartezian.

Definitie 4. Fie A un spatiu afin fixat si P ∈ A arbitrar.a) Daca R = (O,B) este un reper cartezian atunci coordonatele vectoru-

lui ~OP in baza B se vor numi coordonatele carteziene ale lui P (ın raportcu R);

b) Daca S este un reper afin, si P se reprezinta sub forma (unica!)

P =n∑i=1

αiAi

cu Ai ∈ S pentru orice i, atunci α1, . . . , αn se numesc coordonatele afinesau coordonatele baricentrice ale lui P ın raport cu S.

Observatie 3. Fie A un spatiu afin finit generat de dimensiune n.Atunci

a) orice reper afin al lui A are n+ 1 puncte.b) pentru orice reper afin Raf = {O,A1, . . . , An} si orice punct P ∈ A

avem

P = (1−n∑i=1

)αiO +n∑i=1

αiAi

unde (α1, . . . , αn) sunt coordonatele carteziene ale lui P ın raport cu reperulcartezian

R = (O, { ~OA1, . . . , ~OAn}).

– 8 – version 1.05, March 15, 2012

CAPITOLUL 2

Subspatii afine.

1. Definitii, caracterizare intrinseca.

Definitie 5. Fie A un spatiu afin de directie spatiul vectorial V. Senumeste subspatiu afin o submultime A′ ⊂ A pentru care exista un subspatiuvectorial V ′ ⊂ V si exista O ∈ A′ astfel ıncat

V ′ = { ~OA|A ∈ A′}.

De asemeni, multimea vida este considerata subspatiu afin de dimensiune

dim(∅) = −1.

Remarca. Daca A′ este un subspatiu afin, atunci A′ are o structura despatiu afin de directie V ′.

Exemple. Evident, A este un subspatiu afin al sau. De asemeni, pentruorice A ∈ A, multimea {A} este un subspatiu afin, de directie subspatiulnul {0V } ⊂ V.

Teorema 2. Fie A un spatiu afin de directie spatiul vectorial V pestecorpul K. O submultime A′ ⊂ A este subspatiu afin daca si numai daca pen-tru orice n ∈ N, orice α1, . . . , αn ∈ K cu

∑ni=1 αi = 1 si orice A1, . . . ,An ∈

A′ avem ca∑n

i=1 αiAi ∈ A′.

Demonstratie. ”⇒ ”. Fie n ∈ N, orice α1, . . . , αn ∈ K cu∑n

i=1 αi = 1

si A1, . . . ,An ∈ A′ arbitrare. Avem ~OAi ∈ V ′ pentru orice i si, cum V ′ estesubspatiu vectorial, deducem

n∑i=1

αi ~OAi ∈ V ′;

din definitia lui V ′ vedem ca exista A ∈ A′ astfel ıncat

~OA =n∑i=1

αi ~OAi;

dar atunci A =∑n

i=1 αiAi deci∑n

i=1 αiAi ∈ A′.”⇐ ” Fie O ∈ A” arbitrar; aratam ca V ′ = { ~OA|A ∈ A′} este subspatiu

vectorial. Fie v1, v2 ∈ V ′ si a, b ∈ K arbitrare. Avem v1 = ~OA1, v2 =~OA2 cu A1, A2 ∈ A′. Din ipoteza, (1 − a − b)O + aA1 + bA2 ∈ A′, deci

(1 − a − b) ~OO + a ~OA1 + b ~OA2 ∈ V ′. Deci av1 + bv2 ∈ V ”, i.e. V ′ estesubspatiu vectorial.

9

V. Vuletescu Geometrie

2. Operatii cu subspatii afine

Propozitie 3. Fie A un spatiu afin si fie A1,A2 subspatii afine. AtunciA1 ∩ A2 este un subspatiu afin, iar daca A1 ∩ A2 6= ∅ atunci

dir(A1 ∩ A2) = dir(A1) ∩ dir(A2).

Demonstratie. Faptul ca A1 ∩ A2 este subspatiu afin rezulta dinteorema de caracterizare anterioara. Privitor la directia intersectiei, dacaA1 ∩A2 = ∅, nimic de demonstrat. Fie deci O ∈ A1 ∩A2. Avem ca un vec-

tor v apartine lui dir(A1∩A2) daca si numai daca v = ~OP cu P ∈ A1∩A2.Dar atunci v ∈ dir(A1) ∩ dir(A2), deci dir(A1 ∩ A2) ⊂ dir(A1) ∩ dir(A2).pentru incluziunea inversa, observam ca dacu v ∈ dir(A1) ∩ dir(A2) atunci

v = ~OP1, respectiv v = ~OP2 cu Pi ∈ Ai, i = 1, 2. Dar din unicitatea scrieriilui v ca vector din directia lui A deducem P1 = P2 deci v ∈ dir(A1 ∩ A2),Q.E.D.

Analogul notiunii de suma a subspatiilor vectoriale o constituie urmatoarea

Definitie 6. Fie A un spatiu afin si fie A1,A2 doua subspatii afine.Definim uniunea A1 ∨ A2 ca fiind subspatiul generat de A1 ∪ A2.

Remarca. Am observat deja, ın teorema de caracterizare a subspatiilorafine, ca, prin contrast cu cazul subspatiilor vectoriale, nu mai este suficientsa testam ınchiderea unei submultimi doar ın raport cu combinatiile afinede cate doua puncte. Similar, in definitia uniunii nu este adevarat ca

A1 ∨ A2 = {a1P1 + a2P2|a1, a2 ∈ K, a1 + a2 = 1, P1 ∈ A1, P2 ∈ A2}.De exemplu, daca luam A =planul afin (de exemplu, peste R) A1 = odreapta arbitrara, A2 = {P} unde P 6∈ A1 atunci

{a1P1 + a2P2|a1, a2 ∈ K, a1 + a2 = 1, P1 ∈ A1, P2 ∈ A2}.este planul din care lipsesc semidreptele deschise determinate pe paraleladusa prin P la A1, care nu este un subspatiu afin.

Teorema 3. Fie A un spatiu afin si A1,A2 doua subspatii afine dedirectii V1 respectiv V2. Atunci

dim(A1∨A2) =

{dim(A1) + dim(A2)− dim(V1 ∩ V2) + 1, daca A1 ∩ A2 = ∅dim(A1) + dim(A2)− dim(A1 ∩ A2), daca A1 ∩ A2 6= ∅

Pentru demonstrarea teoremei este suficient sa demonstram

Lema 1. Cu notatiile de mai sus, fie O1 ∈ A1, O2 ∈ A2 arbitrare. Atunci

dir(A1 ∨ A2) = dir(A1) + dir(A2)+ < ~O1O2 >

Demonstratia lemei. Pentru ” ⊂ ”, fie v ∈ dir(A1 ∨ A2); atunci

v = ~A1A2 cu Ai ∈ Ai, i = 1, 2 Dar atunci

v = ~A1A2 = ~A1O1 + ~O1O2 + ~O2A2

deci incluziunea este demonstrata.Pentru ” ⊃ ” este suficient sa observam ca, direct din definitii avem ca

fiecare dintre dir(A1), dir(A2) si < ~O1O2 > sunt subspatii ale lui dir(A1 ∨A2), deci si suma lor este subspatiu al lui dir(A1 ∨ A2). Q.E.D. Lema.

Terecem acum la

– 10 – version 1.05, March 15, 2012

Geometrie V. Vuletescu

Demonstratia teoremei. Cazul A1∩A2 6= ∅ rezulta banal luand O1 = O2.Pentru celalalt caz, este suficient sa observam ca

< ~O1O2 > ∩(dir(A1) + dir(A2)) = {0}.Intr-adevar, ın caz contrar am avea O1O2 ∈ dir(A1)+dir(A2) deci ar existaA1 ∈ A1, A2 ∈ A2 astfel ıncat

~O1O2 = ~O1A1 − ~O2A2

Dar aceasta ar implica ~O1A2 = ~O1A1 deci A1 = A2, absurd.

– 11 – version 1.05, March 15, 2012

V. Vuletescu Geometrie

3. Paralelism afin

Definitie 7. Fie A un spatiu afin si A1,A2 subspatii afine ale sale.Spunem ca A1,A2 sunt paralele (notat A1||A2) daca dir(A1) ⊂ dir(A2) saudir(A2) ⊂ dir(A1).

Remarca. Daca dim(A1) = dim(A2) atunci conditiaA1||A2 este echiva-

lenta cu dir(A1) = dir(A2). In particular, pe multimea subspatiilor afine deo aceeassi dimensiune relatia de paralelism este relatie de echivalenta.

Exerctiu. Aratati ca relatia de paralelism nu este relatie de echivalenta pe

multimea tuturor subspatiilor afine ale unui spatiu afin dat.

Are loc

Teorema 4. Fie A un spatiu afin si fie A1 ⊂ A un subspatiu afin alsau si O ∈ A arbitrar fixat. Atunci exista si este unic un subspatiu afin A′astfel ıncat

dim(A′) = dim(A1),A′||A1, P ∈ A′.

Demonstratie. Existenta. Definim

A′ = {P ∈ A| ~OP ∈ dir(A1)}.

Din chiar definitia subspatiilor afine rezulta A′ subspatiu afin, dir(A′) =

dir(A1) (ın particular dim(A′) = dim(A1) si O ∈ A′ (pentru ca ~PP = ~0 ∈dir(A1)).

Unicitatea. Fi A” un subspatiu afin ce satisface proprietatile cerute.Din dim(A”) = dim(A1) rezulta dir(A”) = dir(A1); cum O ∈ A” rezultaatunci ca

A” = {P ∈ A| ~OP ∈ dir(A1)}deci A” = A′.

4. Ecuatii ale subspatiilor afine

Teorema 5. (Ecuatii carteziene ale subspatiilor afine.) Fie A un spa-tiu afin de dimensiune n si fie R = (O,B) un reper cartezian fixat al luiA. Atunci o submultime A′ ⊂ A este subspatiu afin daca si numai dacacoordonatele carteziene ale punctelor din A′ formeaza multimea solutiilorunui sistem liniar, i.e. exista m ≥ 0 si matricele A ∈ Mm,n si B ∈ Mm,1

astfel ıncat

A′ = {P (x1, , . . . , xn)|A

x1x2..xn

= B}.

In acest caz, dim(A′) = n− rang(A).

Demonstratie. FieO ∈ A′ un punct arbitrar de coordonate (xO1 , . . . , xOn ).

Reamintim ca A′ este subspatiu afin daca si numai daca multimea vecto-

rilor din A”O = { ~OP |P ∈ A′} formeaza un subspatiu vectorial al lui dir(A).Observam ca A′O este formata cu vectorii din A′O au coordonatele de forma(x1 − xO1 , . . . , xn − xOn ), unde P (x1, . . . , xn) sunt coordonatele unui punct

– 12 – version 1.05, March 15, 2012

Geometrie V. Vuletescu

arbitrar din A′. Ca atare, A′ este subspatiu afin daca si numai daca existao matrice A astfel ıncat

A′O = {A

x1 − xO1x2 − xO2

.

.xn − xOn

=

00..0

}

Daca notam B = A

xO1xO2..xOn

vedem ca

A′O = {A

x1x2..xn

= B}.

In fine, cum dim(dir(A′)) = n− rang(A) rezulta dim(A′) = n− rg(A).

Remarca. Merita subliniat ca din teorema de mai sus rezulta ca dacaAX = B reprezinta ecuatiile carteziene ale unui subspatiu afin A” atunciecuatiile carteziene ale lui dir(A′) sunt AX = 0.

5. Ecuatii ale unor cazuri particulare de subspatii afine.

5.1. Ecuatii ale dreptelor. Reamintim ca dreptele unui spatiu afinsunt subspatiile afine de dimensiune 1. In functie de modul ın care le deter-minam si de tipul de ecuatii pe care ni-l dorim (cartezian sau parametric)distingem mai multe situatii.

A: Dreapta determinata printr-un punct si un vector nenul dindirectia sa. Presupunem deci date: un punct O(xO1 , . . . , x

On ) si un vector

nenul ~v = (v1, . . . , vn). Vrem sa determinam ecuatii ale dreptei d ce treceprin O si are directia generata de ~v.

Pornim de la definitie; un punct P (x1, . . . , xn) ∈ d daca si numai daca~OP ∈ dir(d), i.e. exista t ∈ K astfel ıncat ~OP = tv. Deducem ecuatiile

parametrice: x1 − xO1 = tv1x2 − xO2 = tv2

.

.xn − xOn = tvn

Eliminand parametrul t gasim ecuatiile carteziene:

x1 − xO1v1

=x2 − xO2v2

= · · · = xn − xOnvn

.

Remarca. Ecuatiile carteziene de mai sus au sens, strict vorbind, doarın cazul cand toti vi, i = 1, 2, . . . , n sunt nenuli. In practica, se utilizeaza

– 13 – version 1.05, March 15, 2012

V. Vuletescu Geometrie

aceeasi notatie ca mai sus ın toate cazurile, cu conventia ca daca vi = 0

pentru un i atunci fractiaxi−xOi

0 semnifica, riguros vorbind, xi − xOi = 0.

B: Dreapta determinata de doua puncte distincte. Presupunemdeci date doua puncte distincte A = (xA1 , . . . , x

An ) si B(xB1 , . . . , x

Bn ). Pentru

determinarea ecuatiilor dreptei AB utilizam cazul anterior, ın care ~v = ~ABsi O = A. Deducem:

Ecuatii parametrice:x1 − xA1 = t(xB1 − xA1 )x2 − xA2 = t(xB2 − xA2 )

.

.xn − xAn = t(xBn − xAn )

Ecuatii carteziene:

x1 − xA1xB1 − xA1

=x2 − xA2xB2 − xA2

= · · · = xn − xAnxBn − xAn

.

C: Dreapta ce trece printr-un punct dat si este paralela la odreapta data. Presupune deci date punctul A(xA1 , . . . , x

An ) si o dreapta d′.

Vrem sa determinam ecuatiile paralelei dusa prin O la d′.Daca, de exemplu, dreapta d′ este data parametric prin ecuatiile

(d′)

x1 − xO1 = tv1x2 − xO2 = tv2

.

.xn − xOn = tvn

atunci, cum d este paralea cu d′, deci are aceeasi directie gasim ecuatiileparametrice ale lui d :

(d)

x1 − xA1 = tv1x2 − xA2 = tv2

.

.xn − xAn = tvn

Similar, daca d′ este data prin ecuatiile carteziene

(d′) :x1 − xO1v1

=x2 − xO2v2

= · · · = xn − xOnvn

atunci d va avea ecuatiile

(d) :x1 − xA1v1

=x2 − xA2v2

= · · · = xn − xAnvn

– 14 – version 1.05, March 15, 2012

CAPITOLUL 3

Transformari afine

1. Definitii, teoreme de caracterizare

Definitie 8. Fie A1,A2 doua spatii afine astfel ıncat directiile lor suntspatii vectoriale peste un acelasi corp K. O functie τ : A1 → A2 se numestetransformare afina sau morfism afin daca exista un punct O ∈ A1 astfelıncat aplicatia

TO : A1 → A2, TO( ~OA) = ~τ(O)τ(A)

este liniara.

Remarca. 1. La fel ca ın toate definitiile de pana cum, se poate verifica(exercitiu!) ca daca τ este transformare afina, atunci aplicatia τO definitamai sus nu depinde de alegerea lui O ∈ A1. Ea se numeste si urma vectorialaa lui τ si se mai noteaza si Tτ sau Tr(τ).

Observatie 4. O transformare τ : A1 → A2 este injectiva (resp. sur-jectiva) daca si numai daca urma sa Tτ este injectiva(resp. surjectiva).

Demonstratie. Injectivitatea. Presupunem τ injectiva; daca Tτ nu arfi injectiva atunci ar exista v 6= 0 astfel ıncat Tτ (v) = 0 Dar atunci v =~AB 6= 0 implica A 6= B pe cand din ~τ(A)τ(B) = 0 deducem τ(A) = τ(B),

contradictie cu injectivitatea lui τ. Reciproca este similara.Surjectivitatea. Presupunem τ surjectiva. Fie u ∈ dir(A2) arbitrar;

atunci u = ~A2B2 cu A2, B2 ∈ A2 Cum τ este surjectiva, exista A1, B1 ∈ A1

astfel ıncat A2 = τ(A1), B2 = τ(B1). Fie v ∈ dir(A1) definit prin v =~A1B1; din definitia urmei rezulta imediat Tτ (v) = u deci Tτ este surjectiva.

Reciproca este de asemenea similara, si constituie un exercitiu.

Utilizand definitia putem da urmatoarea teorema de caracterizare atransformarilor afine utilizand sistemele de coordonate. Ne vom rezumala cazul sistemelor de coordonate carteziene, cazul coordonatelor afine fiindsimilar.

Teorema 6. Fie A1,A2 doua spatii afine de dimensiuni n respectiv mdefinite peste un acelasi corp K. Fie R1 = (O1,B1),R2 = (O2,B2) reperecarteziene arbitrare fixate pentru A1, respectiv A2. O functie τ : A1 → A2

este transformare afina daca si numai daca are expresia ın coordonate

τ(X) = AX +B

unde A ∈Mm,n(K), B ∈Mm,1(K) sunt matrici arbitrare.

15

V. Vuletescu Geometrie

Demonstratie. Fie P ∈ A1 un punct arbitrar de coordonate

X =

x1x2··xn

ın raport cu reperul R1 si fie

Y =

y1y2··ym

coordonatele ın raport cu R2 ale lui τ(P ). Fie de asmenea

B =

b1b2··bn

coordonatele lui τ(O1). Vecorul ~O1P = va avea coordonatele X ın raport

cu baza B1 iar vectorul ~τ(O1)τ(P ) va avea coordonatele B− Y ın raport cu

baza B2, deoarece ~τ(O1)τ(P ) = ~O2τ(P )− ~O2τ(O1). Cum τ este afina, urmasa Tτ este liniara: fie A = matricea lui Tτ ın raport cu bazele B1,B2. Cum

Tτ ( ~O1P ) = ~τ(O1)τ(P ) vedem ca are loc relatia AX = Y −B, Q.E.D.

De asemenea, putem da o teorema de caracterizare utilizand notiuneade combinatie afina.

Teorema 7. Fie A1,A2 doua spatii afine peste un acelasi corp K.a) O functie τ : A1 → A2 este transformare afina daca si numai da-

ca pentru orice n ≥ 1, orice α1, . . . , αn ∈ K cu∑n

i=1 αi = 1 si oriceA1 . . . , An ∈ A1 avem

τ(α1A1 + · · ·+ αnAn) = α1τ(A1) + · · ·+ αnτ(An).

b) Daca char(K) 6= 2, atunci τ este transformare afina daca si numaidaca pentru orice α1, α2 ∈ K cu α1 + α2 = 1 si orice A1, A2 ∈ A1 avem

τ(α1A1 + α2A2) = α1τ(A1) + α2τ(A2).(2)

Demonstratie. Vom arata doar b), lasand punctul a) ca si exercitiu.”⇒ ”. Prespunem τ afina, si fie α1, α2 ∈ K α1 + α2 = 1 si A1, A2 ∈ A1

arbitrare. Sa notam A3 = α1A1 + α2A2, Bi = τ(Ai) (i = 1, 2, 3) si B =τ(α1A1 + α2A2). Fie de asemeni O ∈ A1 arbitrar fixat si fie O′ = τ(O).Relatia (2) este echivalenta cu

~O′B = α1~O′B1 + α2

~O′B2,

deci urma lui τ ın raport cu O este liniara.”⇐” Vom arata mai ıntai ca urma lui τ ın raport cu un punct arbitrar

fixat O ∈ A1 satisface proprietatile:

– 16 – version 1.05, March 15, 2012

Geometrie V. Vuletescu

1) este omogena, i.e. pentru orice v ∈ dir(A1) si orice α ∈ K avem

T (αv) = αT (v);

2) este ”semi-aditiva”, i.e. pentru orice doi vectori v1, v2 ∈ dir(A1) avem

T (1

2v1 +

1

2v2) =

1

2T (v1) +

1

2T (v2).

Pentru 1) fie v = ~OP si fie Q ∈ A1, Q = αP + (1 − α)O; cum ~OO = ~0avem

~OQ = αv.

Fie Q′ = τ(Q); din ipoteza, Q′ = ατ(P ) + (1− α)O′ (unde O′ = τ(O)) deci

~O′Q′ = α ~O′τ(P ).(3)

Dar~O′Q′ = ~τ(O)τ(Q) = TO( ~OQ) = TO(αv)

iar~O′τ(P ) = ~τ(O)τ(P ) = TO( ~OP ) = TO(v).

Din relatia (3) rezulta TO(αv) = αTO(v), Q.E.D.1).

Pentru 2) fie v1 = ~OA1, v2 ~OA2 si fie O′ = τ(O), A′1 = τ(A1), A′2 = τ(A2).

Consideram punctul A3 definit de

A3 =1

2A1 +

1

2A2

(deci ~OA3 = 12~OA1 + 1

2~OA2 = v1 +v2) si fie A′3 = τ(A3). Din ipoteza rezulta

ca

A′3 =1

2A′1 +

1

2A′2

deci~O′A′3 =

1

2~O′A′1 +

1

2~O′A′2

Dar ~O′A′i = TO( ~OAi), i = 1, 2, 3 deci

TO( ~OA3) =1

2TO( ~OA1) +

1

2TO( ~OA2)

adica TO(12v1 + 12v2) = 1

2TO(v1) + 12TO(v2), Q.E.D.2).

Pentru a ıncheia demonstratia, trebuie sa aratam ca TO este aditiva.Daca v1, v2 ∈ dir(A1) sunt arbitrari, atunci din 1) avem

T (v1 + v2) = T (2(1

2v1 +

1

2v2)) = 2T (

1

2v1 +

1

2v2)

care, daca tinem cont de 2), este mai departe egala cu

2(1

2T (v1) +

1

2T (v2)) = T (v1) + T (v2)

Q.E.D.

Corolar 2. (”Proprietatea de universalitate a reperelor afine”) FieA1,A2 spatii afine peste un acelasi corp K. Fie Raf = {P0, . . . , Pn} unreper afin fixat al lui A1. Atunci pentru orice functie f : Raf → A2 exista sieste unica o transformare afina τ : A1 → A2 astfel ıncat τ(P ) = f(P ), ∀P ∈Raf .

– 17 – version 1.05, March 15, 2012

V. Vuletescu Geometrie

Demonstratie. Rationam similar cu demonstratia proprietatii de uni-versalitate a bazelor ın spatii vectoriale. Daca P ∈ A1 este un punct arbitrar,atunci el se scrie ın mod unic ca si o combinatie afina de punctele reperului,

P =n∑i=0

aiPi.

Definim

τ(P ) =

n∑i=0

aif(Pi)

Din teorema de mai sus se vede imediat ca τ este transfomare afina. Unici-tatea este imediata.

Corolar 3. (”Proprietatea de universalitate a reperelor carteziene”)Fie A1,A2 spatii afine peste un acelasi corp K. Fie R = (O1,B = {ei}i=1,...,n)un reper cartezian fixat al lui A1. Atunci pentru orice functie

f : B → dir(A2)

si orice O2 ∈ A2 exista si este unica o transformare afina τ : A1 → A2

astfel ıncat τ(O1) = O2, Tτ (~v) = f(~v),∀~v ∈ B.

Demonstratie. Formam reperul afinRaf = {O,P1, . . . , Pn} prin cerinta

~OPi = ei, i = 1, . . . , n.

Fie Qi ∈ A2 unic definite de

~O2Qi = f(ei), i = 1, . . . , n.

Fie acum g : Raf → A2 definita prin

g(O1) = O2, g(Pi) = Qi, i = 1, . . . , n.

Aplicam corolarul anterior reperului afin Raf si functiei g.

Corolar 4. Doua spatii afine sunt izomorfe daca si numai daca auaceeasi dimensiune.

Corolar 5. Fie A un spatiu afin. Multimea transformarilor afine bi-jective τ : A → A formeaza un grup, numit grupul afin, si notat Iso(A).

Demonstratie. Singurul lucru ce trebuie demonstrat este ca inversaunei transformari afine este tot transformare afina, ceea ce rezulta imediatdin teorema de mai sus.

Corolar 6. Fie τ : A1 → A2 o transformare afina. Atuncia) oricare ar fi A′1 ⊂ A1 avem τ(A′1) ⊂ A2 subspatiu afin;b) oricare ar fi A′2 ⊂ A2 avem τ−1(A′2) ⊂ A1 subspatiu afin.

Exercitiu 1. Daca τ : A1 → A2 este transformare afina si P ⊂ A2 este unpunct, aratati ca

dir(τ−1({P}) = Ker(Tτ ).

2. Exemple de transformari afine.

Pe parcursul acestei sectiuni, fixam un spatiu afin afin A.

– 18 – version 1.05, March 15, 2012

Geometrie V. Vuletescu

2.1. Translatii.

Definitie 9. O transformare afina τ : A → A se numeste translatiedaca Tτ = iddirA.

Propozitie 4. O transformare afina τ : A → A este translatie daca si

numai daca exista v ∈ dir(A) astfel ıncat ~Pτ(P ) = ~v pentru orice P ∈ A, sireciproc, pentru orice vector v ∈ dir(A) exista o unica translatie τ : A → Aastfel ıncat ~Pτ(P ) = v pentru orice P ∈ A.

Demonstratie. Fie τ o translatie. Aratam ca vectorul v definit de

relatia v = ~Pτ(P ) nu depinde de alegerea lui P. Fie R un alt punct; din

faptul ca τ este translatie avem ~PR = ~τ(P )τ(R) de unde rezulta, calculand

ın doua moduri pe ~Pτ(R) ca ~Pτ(P ) = ~Rτ(R).Pentru reciproca, fie deci v ∈ V arbitrar. Cu acelasi rationament se vede

ca aplicatia τ definita prin

~Pτ(P ) = v,∀P ∈ A

are urma iddir(A), deci este translatie Q.E.D.

Corolar 7. Multimea Trans(A) a translatiilor formeaza un subgrupnormal a lui Iso(A), subgrup izomorf cu (dir(A),+). Avem un izomorfismcanonic

Iso(A)/Trans(A)→ Gl(dir(A)).

2.2. Omotetii.

Definitie 10. Fie A un spatiu afin, O ∈ A si λ ∈ K∗ arbitrare, fix-ate. Definim o functie hO,λ : A → A astfel. Fie P ∈ A arbitrar; definimhO,λ(P ) = P ′ prin

~OP ′ = λ ~OP .

Functia hO,λ se numeste omotetia de centru O si raport λ.

Propozitie 5. Aplicatia hO,λ definita mai sus este corect definita si estetransformare afina.

Demonstratie. Din definitie rezulta h(O) = O. Fie v ∈ dir(A) arbitrar

si P ∈ A astfel ıncat ~v = ~OP . Vedem atunci ca TO(~v) = ~h(O)h(P ) = λ~vdeci h este transformare afina.

Corolar 8. O transfomare afina τ este omotetie daca si numai dacaexista λ ∈ K∗ astfel ıncat Tτ = λiddir(A). In particular, ıntr-un sistem decoordonate carteziene fixat, o functie τ este omotetie daca si numai dacaeste de forma

τ(X) = λX +B.

Propozitie 6. a) Multimea HO = {hO,λ|λ ∈ K∗} este un grup, izomorfcu (K∗, ·);

b) Compunerea a doua omotetii de centre arbitrare hO1,λ1 , hO2,λ2 este fieo omotetie (daca λ1λ1 6= 1), fie o translatie (ın cazul λ1 · λ2 = 1) .

– 19 – version 1.05, March 15, 2012

V. Vuletescu Geometrie

Demonstratie. a) Se vede imediat ca hO,λ ◦hO,µ = hO,λµ deci HO este

ınchisa la compunerea functiilor. Cum h−1O,λ = hO,λ−1 vedem ca HO este un

grup. ın fine, evident aplicatia f : HO → K∗, f(hO,λ) = λ este izomorfism.b) Daca hO1,λ1 si hO2,λ2 sunt doua omotetii arbitrare, atunci ele au

expresia ın coordonate

hO1,λ1(X) = λ1X +B1,

hO2,λ2(X) = λ2X +B2.

DeducemhO1,λ1 ◦ hO2λ2(X) = λ1λ2X + (λ1B2 +B1)

de unde decurge imediat afirmatia.

– 20 – version 1.05, March 15, 2012

CAPITOLUL 4

Spatii afine euclidiene

1. Definitii, proprietati elementare

Definitie 11. Se numeste spatiu afin euclidian un spatiu afin E pestecorpul R pe a carui directie dir(E) am fixat o structura de spatiu vectorialeuclidian, i.e. un produs scalar

<,>: dir(E)× dir(E)→ R.

Propozitie 7. Fie E un spatiu afin euclidian si fie d : E×E → R functiadefinita prin

d(A,B) = || ~AB||.Atunci (E , d) este un spatiu metric.

Demonstratie. Trebuie sa demonstram ca d satisface proprietatilei) d(A,B) ≥ 0, ∀A,B ∈ E si d(A,B) = 0 daca si numai daca A = B;ii) d(A,B) = d(B,A), ∀A,B ∈ E ;iii) d(A,B) + d(B,C) ≥ d(A,C), ∀A,B,C ∈ E .Pentru i), d(A,B) = || ~AB|| ≥ 0 si daca || ~AB|| = 0 atunci ~AB = ~0 deci

A = B.Pentru ii) d(B,A) = || ~BA|| = || − ~AB|| = || ~AB|| = d(A,B).

In fine, observam ca inegalitatea de la iii) este echivalenta prin ridicarela patrat cu

|| ~AB||2 + || ~BC||2 + 2|| ~AB|| · || ~BC|| ≥ || ~AC||2

ceea ce, tinand cont ca ~AC = ~AB + ~BC si || ~AC||2 =< ~AC, ~AC > esteechivalent cu

|| ~AB|| · || ~BC|| ≥< ~AB, ~BC >

ceea ce este adevarat (”inegalitatea Cauchy-Buniakowski-Schwartz”).

Definitie 12. Fie E un spatiu afin euclidian si fie E ′, E” ⊂ E subspatiiafine. Spunem ca E ′ este perpendicular pe E” (notat E ′ ⊥ E”) daca

dir(E ′) ⊥ dir(E”),

i.e. oricare ar fi v′ ∈ dir(E”), v” ∈ dir(E”) avem < v′, v” >= 0.

Observatie 5. Cu notatiile de mai sus, daca E ′ ⊥ E” atunci

card(E” ∩ E”) ≤ 1.

Demonstratie. Daca E ′ ∩ E” = ∅ sau vreunul dintre E ′, E” are di-mensiune zero, nu avem ce demonstra. Presupunem deci ca E ′ ∩ E” 6= ∅si fie O1, O2 ∈ E ′ ∩ E”. Avem deci pe de o parte ~O1O2 ∈ dir(E ′) dar si~O1O2 ∈ dir(E”). Dar cum E ′ ⊥ E” deducem < ~O1O2, ~O1O2 >= 0, deci

O1 = O2.

21

V. Vuletescu Geometrie

Teorema 8. (”Teorema cosinusului”) Fie E un spatiu afin euclidian sifie A,B,C ∈ E puncte necoliniare. Notam

a = d(B,C) = || ~BC||, b = d(A,C) = || ~AC||, c = d(A,B) = || ~AB||.Atunci

cos( ~AB, ~AC) =a2 + b2 − c2

2ab(4)

Demonstratie. Din definitia unghiului ıntre doi vectori ıntr-un spatiuvectorial euclidian avem:

cos( ~AB, ~AC) =< ~AB, ~AC >

|| ~AB|| · || ~AC||Pe de alta parte, avem

~BC = ~AC − ~AB

de unde

|| ~BC||2 =< ~AC − ~AB, ~AC − ~AB >= || ~AC||2 + || ~AB||2 − 2 < ~AB, ~AC > .

Deducem2 < ~AB, ~AC >= a2 + b2 − c2

ceea ce demonstreaza egalitatea dorita.

Corolar 9. (”Teorema lui Pitagora”) Fie E un spatiu afin euclidi-an si fie A,B,C ∈ E puncte necoliniare. Atunci dreptele AB,BC suntperpendiculare daca si numai daca

d2(A,B) + d2(B,C) = d2(A,C).

Observatie 6. (”Teorema celor trei perpendiculare”) Fie E un spatiuafin euclidian , α ⊂ E un plan, d1, d2, d3 ⊂ E drepte si M ∈ d1. Daca d1 ⊥ α,d2, d3 ⊂ α astfel ıncat d2 ⊥ d3 si {O} = d1 ∩ d2 ∩ α, {N} = d2 ∩ d3 atunci

NM ⊥ d3.

Demonstratie. Fie v 6= 0, v ∈ dir(d3); cum d3 ⊂ α rezulta v ∈ dir(α).

Din ipoteza, cum d1 ⊥ α avem ~OM ⊥ v, deci < v, ~OM >= 0. Pe de alta

parte, d3 ⊥ d2 implica v ⊥ ~ON deci si < v, ~ON >= 0. Dar atunci

< v, ~MN >=< v, ~ON − ~OM >=< v, ~ON > − < v, ~OM >= 0.

2. Geometrie analitica euclidiana

Definitie 13. Fie E un spatiu afin euclidian; un reper cartezian R =(O,B) se numeste reper ortonormat daca B este baza ortonormata a luidir(E).

Existenta reperelor carteziene ortonormate este asigurata de existentabazelor ortonormate ın spatii vectoriale euclidiene.

Fie deci E un spatiu afin euclidian si R = (O,B = {ei}i=1,...,n) un repercartezian ortonormat.

Daca A(xA1 , . . . , xAn ) respectiv B(xB1 , . . . , x

Bn ) sunt doua puncte arbitrare

din E atunci

~AB =n∑i=1

(xBi − xAi )ei

– 22 – version 1.05, March 15, 2012

Geometrie V. Vuletescu

deci, cum B este ortonomata deducem:

d(A,B) = || ~AB|| =

√√√√ n∑i=1

(xBi − xAi )2.

In continuare vom arata cum putem deduce ecuatii pentru cateva configuratiigeometrice ıntr-un spatiu afin euclidian E .

Hiperplanul perpendicular pe o dreapta data ıntr-un punct dat.Fie d ⊂ E o dreapta si O(xO1 , . . . , x

On ) ∈ d un punct fixat. Cum d este

dreapta, avem dim(dir(d)) = 1 deci exista si este unic un subspatiu vectorialdir(d)⊥ ⊂ dir(E) astfel ıncat

dir(d)⊕ dir(d)⊥ = dir(E).

Ca atare, dim(dir(d)⊥) = dim(E) − 1 si deci unicul subspatiu afin ce treceprin O si are directia dir(d)⊥ va fi un hiperplan, evident perpendicular ped.

Acum, daca d are ecuatiile

(d) :x1 − xO1v1

=x2 − xO2v2

= · · · = xn − xOnvn

avem ca dir(d) este generat de ~v = (v1, v2, . . . , vn). Deci, cum

dir(d)⊥ = {u| < u, v >= 0}

vedem ca

dir(d)⊥ = {~u = (u1, u2, . . . , un)|v1u1 + v2u2 + · · ·+ vnun = 0}.

Avem deci ecuatia directiei hiperplanului afin cautat, deci ecuatia sa va fi:

v1(x1 − xO1 ) + v2(x2 − xO2 ) + · · ·+ vn(xn − xOn ) = 0.

Perpendiculara pe un hiperplan dat ce trece printr-un punct dat.Reciproc, sa presupunem ca avem un hiperplan afin H de ecuatie

(H) : a1x1 + · · ·+ anxn + b = 0

si un punct O(xO1 , xO2 , . . . , x

On ) ∈ E arbitrar. Rationand ca la punctul

anterior, deducem ca orice dreapta de directie generata de vectorul ~v =(a1, a2, . . . , an) este perpendiculara pe H; daca cerem si ca acea dreapta satreaca prin O gasim ca ea are ecuatiile:

(d) :x1 − xO1a1

=x2 − xO2a2

= · · · = xn − xOnan

Distanta de la un punct la un hiperplan.Ca mai sus, presupunem ca avem date un hiperplan

(H) : a1x1 + · · ·+ anxn + b = 0

si un punct O(xO1 , xO2 , . . . , x

On ) ∈ E arbitrar. Atunci distanta de la O la H

este (prin definitie) egala cu d(O,O′) unde O′ este unicul punct de intersectie

– 23 – version 1.05, March 15, 2012

V. Vuletescu Geometrie

dintre H si dreapta perpendiculara pe H ce trece prin O. Pentru a determinacoordonatele lui O′ scriem mai ıntai d sub forma parametrica:

(d) :

x1 = ta1 + xO1x2 = ta2 + xO2

··

xn = tan + xOn

Determinam valoarea lui t corespunzatoare punctului de intersectie O′

din conditia O′ ∈ d ∩H;

a1(ta1 + xO1 ) + a2(ta2 + xO2 ) + · · ·+ an(tan + xOn ) + b = 0

de unde gasim

t0 = −a1xO1 + a2x

O2 + · · ·+ anx

On + b

a21 + a22 + · · ·+ a2n

Deducem ca ~OO′ are coordonatele

~OO′ = (t0a1, t0a2, . . . , t0an).

Deci

|| ~OO′|| = |t0|√a21 + a22 + · · ·+ a2n

de unde rezulta

d(O,H) =|a1xO1 + a2x

O2 + · · ·+ anx

On + b|√

a21 + a22 + · · ·+ a2n

3. Izometrii, teorema fundamentala a geometriei euclidiene.

Definitie 14. Fie E1, E2 doua spatii afine euclidiene, de directii respectivspatiile vectoriale euclidiene (dir(E1), <,>) , (dir(E2), ( , )) . O transformareafina τ se numeste trasnformare ortogonalasau izometrie (pe imagine) dacaurma sa vectoriala

Tτ : dir(E1)→ dir(E2)este aplicatie ortogonala, i.e.

(Tτ (v1), Tτ (v2)) =< v1, v2 >, ∀v1, v2 ∈ dir(E1).

Spre deosebire de transformarile afine, transformarile ortogonale satisfaco proprietate similara morfismelor de corpuri.

Observatie 7. Orice transformare ortogonala este injectiva.

Demonstratie. Este suficient sa ne reamintim ca τ este injectiva dacasi numai daca Tτ este injectiva si ca orice aplicatie liniara ortogonala esteinjectiva. Q.E.D.

Ca atare, ne vom restrange la studiul automorfismelor ortogonale τ aleunui spatiu euclidian, τ : E → E .

Evident, are loc urmatoarea teorema de caracterizare ın raport cu sis-temele de coordonate carteziene ortogonale.

– 24 – version 1.05, March 15, 2012

Geometrie V. Vuletescu

Teorema 9. Fie E un spatiu afin euclidian si R = (O,B) un repercartezian ortonormat fixat. O functie τ : E → E este izometrie daca sinumai daca τ are expresia ın coordonate

τ(X) = AX +B

unde A este matrice ortogonala, i.e. A ·At = In.

Demonstratie. Este suficient sa ne reamintim ca A este matricea lui Tτın raport cu baza (ortonormata) B si ca o aplicatie liniara care are matriceaA este ortogonala daca si numai daca A satisface relatia A ·At = In. Q.E.D.

Avem nevoie ın continuare de urmatoarea

Lema 2. Fie (V,<,>) un spatiu vectorial euclidian si T : V → V ofunctie. Daca T pastreaza atat normele cat si unghiurile, i.e.

||T (v)|| = ||v||,∀v ∈ Vsi

T (u), T (v) = u, v, ∀u, v ∈ V ∗

atunci T este izometrie.

Demonstratie. Deoarece < u, v >= ||u|| · ||v|| · cos(u, v) rezulta ca Tpastreaza produsul scalar, i.e.

< T (u), T (v) >=< u, v >,∀u, v ∈ V.Ramane sa aratam ca T este liniara. Fie a, b,∈ R,u, v ∈ V arbitrari. Avem

||T (au+ bv)− aT (u)− bT (v)||2 =

< T (au+ bv)− aT (u)− bT (v), T (au+ bv)− aT (u)− bT (v) >=

=< T (au+ bv), T (au+ bv) > +a2 < T (u), T (u) > +b2 < T (v), T (v) > −−2a < T (au+ bv), T (u) > −2b < T (au+ bv), T (v) > +2b < T (u), T (v) >=

=< (au+ bv), (au+ bv) > +a2 < u, u > +b2 < v, v > −−2a < (au+ bv), u > −2b < (au+ bv), v > +2b < u, v >=

< (au+ bv)− au− bv, (au+ bv)− au− bv >= 0.

Deducem T (au+ bv)− aT (u)− bT (v) = 0,Q.E.D.Putem acum demonstra

Teorema 10. Fie E un spatiu afin euclidian si τ : E → E o functie.Daca τ pastreaza distantele, i.e.

d(τ(A), τ(B)) = d(A,B), ∀A,B ∈ Eatunci τ este izometrie.

Demonstratie. Trebuie sa demonstram ca urma lui τ ın raport cu unpunct fixat A ∈ E este ortogonala. Cum τ pastreaza distantele, din teoremacosinusului, τ va pastra si unghiurile. Ca atare, din lema anterioara rezultaTτ izometrie, Q.E.D.

– 25 – version 1.05, March 15, 2012