IV. ANALIZA DE CALCUL OPERATIONAL8. CALCULUL OPERAIONAL (Transformatele Laplace i Fourier) 8.1. Transformata Laplace Fief (x) : R + Rastfel nct are sens integrala improprie cu parametruF(p) = +0f ( x ) e px dx(1)Definiie. Dac are sens egalitatea (1), F se numete transformata Laplace a lui f i se noteaz iL (f ( x )) .Funciile f pentru care exist transformata Laplace se numesc funcii original (sau simplu, original), iar transformata Laplace F se mai numete funcia imagine (sau scurt imagine). poriuni Definiie. Funcia f(x): I R R (sau C), I interval mrginit sau nemrginit, este derivabil ped = a = x 0 , x1 , x 2 ,..., x n = b ,(dacpentru)orice cuintervalcompact[ a, b] Iexistodiviziunea = x 0 < x1 < x 2 < ... < x j1 < x j < ... < x n 1 < x n = b,astfel nct f(t) s fie derivabil pe fiecare interval(xj1 , x j i s existe limitele laterale)f ( x j1 + 0), f ( x j 0), f ( x + 0), f ( x 0), j = 1, nreale i care satisface urmtoarele condiii: a. f(x) = 0 dac x 0, 0 astfel nctf (x ) M es0 x(2)NumrulMulimea funciilor original se noteaz cu O. Cazuri concrete. (d1) Funcia > 1 ise numete indice de cretere al funciei f(x).f ( x ) = e bx , cu b real sau complex va avea cretere exponenial putnd lua a = Reb, M x0 Rntr-adevr,f ( x )e ax = e (Re b ) x e ax = 1 M L(f ( x ))(p) = exp( bx ) =Deci( 1 )0 e bx pxedx =0 e (p b) xdx =1 pb( 2 )1 pbpRi1 = exp( bx ) pbp C., convergena integralei avnd loc pentru p > Reb daci Rep > Reb dacObservaie.Nu este greu s vedem c L este liniar. Utiliznd liniaritatea, rezultatul din d1 i relaiile lui Euler:cos t =1 i t e + e it 2 ,()sin t =1 i t e e i t 2i()( 1 ) ( 2 )obinem:cos t = sin t =pentru1 1 1 p p i + p + i = 2 2 p + 2 1 1 1 = 2 p i p + i p 2 + 2 Re p > Im .Proprietile transformatei Laplace Este liniar; pentru constanteleL k1f1 ( x ) + k 2 f 2 ( x ) = k1L (f1 ( x )) + k (f 2 ( x )).(k1ik2f (x) f (x) i originalele 1 i 2 are loc egalitatea)Pentru orice a>0 i f(x) original are loc egalitateaL (f (ax )) =1 p F a a (3)n care F(p) este imaginea funciei f(x). Dac a > 0 i f(x) original atunciL (f ( x a )) = e ap L (f ( x ))Dac f(x) este original i o constant atunci(4)L (e ax f ( x )) = F(p )Teorema de derivare a originalului.(5)Dac funcia original f(x) este de n ori derivabil, cu derivatele continue atunciL f ( n ) ( x ) = p n F( p) p n 1 f (0+ ) p n 2 f (0+ ) ... ... pf ( n 2 ) (0+ ) f ( n 1) (0+ )()(6)Teorema derivrii imaginii. Dacxf ( x ), x 2 f ( x ),..., x n f ( x ) sunt funcii original atunci derivnd egalitateaF(p) = f ( x ) e px dx0 n raport cu p, obinem formuleleF( n ) ( p ) = +0( x ) n f ( x )e px dx , n = 0,1,2,...(7)Teorema integrrii originalului. Dac f este original atunci x 1 L f ( t )dt = F(p) 0 pTeoremele de integrare a imaginii.(8)f (x) Dac x este original atunci p F(g)dg = L Utiliznd teorema integrrii imaginii rezult f (x) x (9) f (x ) F(g)dg = L x = 0 f ( x ) px e dx x p(10)i pentru p = 0 obinemf (x ) dx = F(g )dg x 0 0(11)F0( n +1)(g )dg = ( 1) n +1 x n f ( x ) e px dxp(12)care pentru p = 0 devineF0( n +1)(g )dg = ( 1)n +1xpn f ( x )dx(13)Pentru n = 0, egalitatea (13) devine 0 f (x )dx = F(q)dq = F(q) 00(14)8.2. Aplicaii. 1. S se arate c0sin 2 u u2du = 2Soluie: Fie funciaI( x ) =creia s-i calculm transformata Laplace.0sin 2 xu u2du sin2 xu L ( I( x)) = L 2 0 u 1 1 = 2 L ( 1 cos 2 xu du ) 20u =Deci 1 du =2 0u(L2 sin) xu du= =2 du 0 4 u2 + p2 p 1 1 1 p = 2 2 du 2 2 0 u p + p 4u 1 2 u =2arctg = . 2 0 p p 2pL ( I( x ) ) =i 2p 2Trecnd la limit pentru x 1 obinem sin 2 xu I( x ) = x = du 2 2 0 u0sin 2 xu u2du = 2.2. Integrai ecuaia diferenial, liniar, cu coeficieni constani i neomogeny9 x ) 2 y( x ) y( x ) + 2 y( x ) = 5 sin 2 xcu condiiile iniialey(0) = 1, y(0) = 1, y(0) = 1.Soluie: Teorema derivrii originalului conduce laL( y ( x) ) = p 3 Y ( p ) p 2 y (0) py (0) y (0) = = p 3Y ( p ) = p 2 p + 1 L( y ( x) ) = p 2 Y ( p ) py (0) y (0) = = p 2 Y ( p) p 1 L( y ( x) ) = pY ( p ) y (0) = pY ( p ) 1 L( y ( x) ) = Y ( p )L( 5 sin 2 x ) =i10 p +42Se obine ecuaia operaional(p3 2 p 2 p + 2 Y ( p) p 2 + p + 2 =)10 p +42,din careY ( p) =1 1 5 1 1 p 2 + + + 3 p + 1 12 p 2 4 p 2 + 4 p 2 + 4 Funcia original corespunztoare, soluie a ecuaiei, are formay ( x) =1 x 5 2x 1 1 e + e + sin 2 x + cos 2 x 3 12 4 43. Integrai ecuaia diferenial, liniar, cu coeficieni constani i neomogeny( x ) + 4 y( x ) = sin y(0) = 1, y(0) = 0Soluie: Ecuaia se mai poate scrie i3x x sin 2 2y( x ) + 4 y( x ) = Ecuaia operaional are forma1 ( cos 2x cos x ). 21 p p ( p 2 + 4) Y ( p) p = 2 p2 + 4 p2 + 1 ,din careY ( p) =1 p 5 p 1 p + 2 2 6 p +1 6 p + 4 2 p2 + 4 2()Utiliznd teorema derivrii imaginii se obine 2 4p 2 = L( x sin 2 x ) = 2 ( p + 4) 2 p + 4y( x ) = 1 5 1 cos x + cos 2 x + x sin 2x. 6 6 8 0 iarL(af ( x) + bg ( x))( p) = (af ( x) + bg ( x)e px dx = = a f ( x)e px dx + b g ( x)e px dx =0 0 = aL( F ( x))( p) + bL( g ( x))( p).8.3. Proprietile de omotetieL(f (ax ))( p) =L(f ( x ))(ap) =1 p L(f (ax )) a a1 x L f ( p), a > 0 a a (1) i (2) pot fi exprimate mai simplu astfel:f (ax ) =1 p F a a 1 x F(ap) = f , a > 0 a aDemonstraie:L( f (ax ) )( p ) = f ( a )e px d = (cu x x0 ax = t) ==1 a0f (t )ep t adt =1 p L ( f ( x )) . a a L ( f ( ) )ap ) = ( e x ( f x)0 dx apx cu = (ax = = t)=1 a0 f a e t ptdt =1 x L f (p). a a 8.4. Prima teorem de translaie Se folosete funcia unitate a lui Heaviside H(x)=0 pentru x < 0 i H(x) = 1 pentru x 0. Prima teorem de translaief ( x a )H( x a ) = e ap F(p), a > 0ntr-adevr,(1)L( f ( x a ) H ( x a))( p ) =0= f ( x a )H ( x a )e pxdx= = (cu x-a = t) = = e ap 00 H(t) f (t )edt = e ap p (t + a )dt=f (t )e pt 0f (t )e ptdt==e apF ( p ), a > 0Dac relaia (3) se folosete de la dreapta la stnga, trebuie inut cont c originalul H(x-a) = 0 pentru x < a i atunci, fr a mai utiliza funcia unitate avem:e ap F(p) = f ( x a ).A doua teorem de translaiea f ( x + a ) = e ap F(p) f ( x )e px dx , a > 0 0 (2)ntr-adevr, L( f ( x + a ))( p ) = f ( x + a )e pxdx = = f (t )e p (t a ) dt = 0 a = e ap f ( x)e px dx e ap f ( x )e px dx.0 0aTeorema de deplasaree x f ( x ) = F(p + ), CL e x f ( x ) (p) =(3)()0 f (x )e( p + ) xdx = F(p + )Din proprietatea a doua de omotetie i din teorema de deplasare, deci din (2) i (3), obinem:e x f (x ) =1 p+ F (4)Teorema de derivare a originaluluif ( x)( n ) = p n F ( p) p n 1 f (0 +) ... pf n 2 (0 +) pf ( n 1)(0 + )valabil dac f C Demonstraie:n(5)i are sens 0L (f(n)( x ))(p).L( f ( x ))( p) = f ( x)e px dx = + p f ( x)e px dx =0 = f ( x)e px 0= pF ( p ) f (0+)Deci f(x) = p F(p) - f(0+) i pentru n = 1, (5) se verific. Pentru n = 2 avem:f ( x ) = ( f ( x ) ) = pL (f ( x )) f (0+ ) = (innd cont de rezultatul pentru n = 1 obinem) = p 2 F(p) pf (0+) f (0+ ). Pentru n > 2 iterm acest procedeu.Operaia de derivare n spaiul funciilor original se transform n operaia de nmulire cu p n spaiul funciilor imagine, abstracie fcndu-se de un polinom n p. Teorema derivrii imaginii n ipoteza cxf ( x ), x 2 f(x),..., x n f(x) sunt funcii original se poate argumenta posibilitateaF( p) = f ( x )e px dx0 derivrii sub integral n raport cu p n relaia de definiie:Obinem formulele: n ( x )n f ( x ) = F ( ) ( p ),n = 0,1,...(6)Deci i acestei operaii de derivare i corespunde operaia de nmulire cu x. Teorema integrrii originaluluiDemonstraie: Fie Cumx0f (t ) dt =1 F ( p ), f C0 ( R+ ) p(7)g( x ) =0 f (t )dt .i g(0+) = 0 (din modul de definire a lui g).xf C 0 (R ), g C1 (R + )g( x ) = pG (p) g (0+ ) = pG (p)x L( g( x ) ) (p) = L( f ( x ) ) (p) = pG (p) = pL f ( t )dt (p) 0 Deci de unde se obine (7).Teorema de integrare a imaginiieste dat prin relaia:f ( x) = F ( q) dq p xf (x) valabil cnd x este funcie original.Demonstraie: (8) f ( x )e sx dx = f ( x ) sx s = p = f ( x )e sx dx = e dx = s = 0 0 x f ( x ) px f (x) = e dx = L (p). 0 x x pF(s)ds =p 0 sin ax = d.Din faptul c i din teorema de deplasare:a p +a2 2 , icos ax =obinem:p p + a22 cu p > 0e x f ( x ) = F(p + )ebx sin ax = ebx cos ax =a ( p b) 2 + a 2 p b, ,( p b) 2 + a 2 a > 0, b R. e.Se poate arta cu ajutorul teoremei de convoluie cB( p, q ) = ( p ) (q ) , p, q > 0 ( p + q ) f (x) = F(q )dq p x(9)Cu ajutorul teoremei de integrare a imaginii:putem calcula integrale de forma:0cu formula: f (x)xdx0ntr-adevr, f (x)xdx =0F(q )dq f (x) = F(q )dq p xse mai scrie0 f (x)x e -px dx =0F(q )dqFcnd p = 0 obinem relaia cutat.sin x =a)1 , p +12atunci cu d avem: sin x0xdx =0dp p2 +1= arctgp = 0 2b) pentru a > 0, b > 0ntr-adevr, avem: e at e bt b dt = ln 0 t a0 e at e bt 1 1 dp = dt = 0 p+a t p+b = lnIntegralele lui Froullanip+a p = a b = ln = ln . p+b p = 0 b a1 t(e 0 at e bt ) sin mtdt = a , b, m > 0= arctg1.b a arctg , m m 2. 3.0 cos at cos bt b dt = ln , a , b > 0 t a 1 ax a e sin bxdx = arctg , a > 0, b > 0. x b0Cu teorema de deplasare i faptul cx n =n! p n +1 , obinem c: n!x n e x =( p )n +18.5. Transformata Laplace n calculul operaional a. Metoda general a calculului operaional const n urmtoarele: - dat o problem n spaiul original, o transpunem n spaiul imagine. Se fac calculele algebrice din spaiul imagine. Aplicnd inversa transformatei Laplace, sau mai comod, utiliznd tabelul f(x) = F(p) obinem soluia din spaiul original . Calculul operaional este calculul care utilizeaz transformata Laplace. b. Problema Cauchy pentru ecuaii difereniale liniare, cu coeficieni constani, rezolvat operaional.Pentru simplificarea expunerii, prezentm lucrurile legate de ecuaia diferenial liniar de ordinul al doilea, avnd coeficienii constani:a 0 x + a 1x + a 2 x = f ( t ), a 0 0, a 1 , a 2 R, f(x) x (0) = x 0 , x (0) = x1 , x 0 , x1 R.-original, cu problema Cauchy:Soluie: Utiliznd Transformata Laplace, din x(t)=X(p), f(t)=F(p), ecuaia (original) devine: operaional. De unde obinem X(p) i Exemple:t x (0) = 1, x (0) = 1. 1. Fie ecuaia : x 5x + 6 x = e cu(a 0 p 2 + a1p + a 2 )X(p) ( a 0 x 0 p + a 0 x1 + a1x 0 ) = F(p) numit ecuaiax ( t ) = L --1 (X(p))( t ).Artai cx (t ) =1 t 7 e 5e 2 t + e 3t 2 2Soluie: x = p2 X ( p) px(0) x (0) =p2 X ( p) + 1 p et =1 p 1Ecuaia operaional este:( p 2 5p + 6)X(p) = p + 6 + p 1 1 Descompunnd n fracii simple obinem:X ( p) = De unde:5 7 1 + + p 2 2(p 3) 2(p 1)1 t 7 3t e + e 5e 2 t . 2 2 x 4x + 4 x = sin t cu x (0) = 1, x (0) = 2. 2. x (t ) =Soluie:( p 2 4p + 4 )X ( p) = p 2 +1 1+ p2X ( p) =21 1 3 4p + + + 2 2 25(p 2) 5(p 2) 25(p + 1) 25(p 2 + 1) 21 2 t 1 2 t 3 4 e + te + sin t + cos t 25 5 25 25x (t ) =3.x 2x + 2 x = t , x(0) = -2, x (0) = 0. X ( p) = 1 1 5 p 1 4 + 2p 2p 2 2 ( p 1) 2 + 1 ( p 1) 2 + 1Soluie:x (t ) =1 t 5 t + e cos t 4e t sin t 2 2 24.x + 2x = e t ( 2 cos 2t + sin 2 t ) , x(0) = 0 (p + 2)X(p) = 2(p + 1) (p + 1) 2 + 4 + 2 (p + 1) 2 + 4Soluie:X ( p) =2( p + 1) 2 + 1ix ( t ) = e t sin 2t5.x = 3y 3x + 3z, y = x - t, z = -z, x(0) = x (0) = 0 y(0) = 0, y(0) = -1, z(0) = 1, z(0) = 0. p 2 X = 3( Y X + Z) , p 2 Y = X - Y - 1, p 2 Z = -Z + p de unde: 3(p 1) 3(p - 1) p X= 2 , Y= 2 2 , Z= 2 2 2 (p + 4)p p (p + 1)(p + 4) p +1Soluie:faz n care putem considera problema rezolvat aproape n totalitate (restul calculelor fiind de rutin i uzur). 8.6. Proprietatea transformatei Laplace a. Dac inegalitatea care exprim proprietatea de cretere exponenial este valabil pentru tripletul( x 0 , a , M ) pentru orice a > a. . Notnd = inf a , a fiind n tripletul ( x 0 , a , M ) , se numete L (f )(p) esteabscisa de convergen a funciei f. suficient ca f s aib abscis de convergen R sau = i transformata are sens pentrui g. b. PentruDin cele fcute pn acum rezult c pentru a exista transformata Laplacep > n cazul p R i Re p > n cazul p C. Vom nota cu f , g abscisele de convergen pentru f p > = max f , g ,{}are loc proprietatea de liniaritateaf + bg = aF ( p ) + bG ( p).Aplicaii on-line: f. Identificai pe google documente pdf din acest capitol. b. Deschideti documentul corespunztor din mathworld.wolfram.com c. Trimitei tutorelui lucrarea cu atingerea solicitrilor din a. si b..