1

1

Transformarea Fourier a semnalelor

analogice

O reprezentare spectrala aplicabila

semnalelor neperiodice

http://shannon.etc.upt.ro/teaching/ssist/Cap5.pdf

2

Transformarea Fourier pentru

semnale aperiodice

• Semnalul x(t) poate fi periodizat prin

repetarea sa la infinit din T in T.

• Semnalul este versiunea periodizata a

lui x(t). Pentru T ∞ se obtine semnalul

neperiodic x(t)

Tk k

x t x t t x t t kT x t kT

T

x t x t

x t

2

3

Semnalul rectangular

Semnalul neperiodic si cel periodic, de perioada T.

repetare T ∞

1

11

0 otherwiseT

, t Tx t p t

,

Neperiodic

Periodic

4

T

x t x t

Cresterea perioadei T face ca semnalul periodic sa se apropie

de cel neperiodic

• Semnalul periodic este de banda nelimitata, cu seria Fourier:

• Produsul Tck

3

5

Produsul Tck si anvelopa

Relatia dintre produs si anvelopa 0 01 2

kc X k ,T T

X() = anvelopa pentru Tck

6

Demonstratie • Coeficientii seriei Fourier pentru semnalul periodic sunt:

• Cu notatia:

• Rezulta:

0

2

2

1T

jk tk

T

c x t e dtT

0

2

2

1T

jk tk

T

c x t e dtT

Semnalele egale pe [-T/2, T/2]

j tX x t e dt

0 01 2

kc X k ,T T

4

7

Spectrul semnalului dreptunghiular

pentru diverse valori ale perioadei T

8

Cateva observatii

• Anvelopa nu este afectata de T.

• Cu cat creste T componentele spectrale sunt

mai “aproape”.

• T→∞

– distanta→0

– Reprezentarea spectrala discreta devine continua.

– Iar semnalul periodic devine neperiodic.

5

9

Definitii. Perechea Fourier

1

2

j t j tx t X e d X x t e dt

Transformata Fourier directa, functia

de densitate spectrala, sau Spectru Transformata Fourier inversa

• Spectrul unui semnal periodic este discret: linii spectrale

la frecventele k0

• Spectrul unui semnal aperiodic este continuu.

0 01 2

kc X k ,T T

10

Teorema de reconstructie. Semnale din clasa L1

• Transformata Fourier a unui semnal din L1, nu apartine neaparat de

L1 : Transformata este convergenta (x(t)L1) dar X()L1.

• Daca semnalul x(t) apartine clasei de functii L1 si este marginit pe

toata axa reala, atunci transformata Fourier inversa este

ω

ωsin2ω

X

tttptx σσ

detxtx tjR

RR

1lim F

6

11

Remarci • Transformata Fourier este o functie complexa.

Transformata Fourier H() a raspunsului la impuls

h(t) al unui sistem: raspunsul in frecventa al

sistemului.

• Dependenta modulului lui H() in functie de

frecventa se numeste caracteristica de modul a

sistemului, |H()|

• Dependenta fazei lui H() in functie de frecventa se

numeste caracteristica de faze a sistemului,

arg{H()}

12

Proprietati: 1. Liniaritatea Daca semnalele x(t), y(t) L1 au transformatele Fourier

X(ω), Y(ω) atunci pentru a, b=const., semnalul ax(t)+by(t)

L1 si are transformata Fourier X(ω)+bY(ω). Tema:

demonstratia.

bYaXtbytax

2. Deplasarea in timp

0

0

j tx t t e X

. F

Xedexdtettxttxtjtj

tttj 00

0

001

7

13

3. Modularea semnalului

0

0 .j t

e x t X

00 01

0Fj tj t j t j tx t e x t e e dt x t e dt X

Dualitatea

• operatie in timp alta operatie in frecventa

(modulatie deplasare in frecventa)

• A doua operatie in timp efect: prima operatie

in frecventa (deplasare in timp modulatie).

14

4. Scalarea variabilei timp • Daca x(t) L1 versiunea scalata x(t/a) L1 , spectrul

este o versiune scalata a semnalului x(t). Operatie auto-

duala.

1

.x at Xa a

.1

;111

aX

aatx

aX

adex

adteatxatx a

jattj

F

8

15

Exemplu: semnalul rectangular

• Spectrul semnalului este

• Versiunea scalata in timp cu a=2:

• Cu a=1/2

21 2 2 2

212 2

2

sin sinp t p t

2 sin

p t

2

22 2 22 =2

2

sin sin

p t p t

16

Comprimarea in timp expandare in

frecventa

Expandarea in timp comprimare in

frecventa

9

17

Spectrul constantei 1(t)

F

1 2t

* *x t X

*

1 * *F *j tj tx t x t e dt x t e dt X

5. Transfomata conjugatei complexe a

semnalului

18

6. Reflectarea in timp

• Demonstratie: tema

Xtx

1F

7. Derivarea in timp

Xjtx

1

'F

10

19

8. Integrarea in timp • Pentru x(t) L1 fara componenta continua X(0)=0,

integrala semnalului este tot din L1

1F

pentru 0 0

t Xx d X

j

9. Convolutia semnalelor: teorema convolutiei

x t y t X Y

• Convolutia a doua semnale din L1 este tot din L1.

Convolutia in timp -> produs in frecventa.

20

1

1

F

F

.

j t

j t

j tj

t uj j u

x t y t x y t e dt

x y t d e dt

x e x t e dtd

x e d y u e du

x t y t X Y

Demonstratie

11

21

Semnalul triunghiular este obtinut prin convolutia a doua semnale

dreptunghiulare cu aceeasi durata

2 2

1t

p t p t p t

Exemplu. Spectrul semnalului triunghiular

2

2 22

2

sin sin

p t

2

2 21

2

sintp t

22

10. Teorema de derivare a spectrului

Derivata spectrului este transformata Fourier a semnalului

–jtx(t).

ω

ω

dXtx t j

d

j t j t j t

dX d dx t e dt x t e dt x t jt e dt

d d d

12

23

•Spectrul unui semnal real si par este real si par.

•Spectrul unui semnal real si impar este pur imaginar si impar.

11. Proprietati ale spectrelor semnalelor

reale din L1

Re = ; Imp P i Ix t X X x t j X jX

*

* *

Re Im

Re Im

j

j

X X e X j X

X X e X j X

x t x t X X

; ;

Re Re ; Im Im .

X X

X X X X

Modulul si partea reala ale spectrului: functii pare.

Faza si partea imaginarea ale spectrului: functii impare.

24

Semnal real impar

2 2

2 2

222 2

j jsin

x t p t p t e e

Spectrul unui semnal real impar este pur imaginar si impar

13

25

Deplasare in timp

22

2

sin

tp

2 2

sin1 cos22 2

j j

x t e e j

22

2 and 22

22

2

2

2

sin

etp

sin

etpjj

Relatia lui Euler

sin2(u) =1-cos (2u)

26

12. Teorema lui Parseval pentru

semnale din L1

Forma echivalenta:

dYxdttytX

x t y t dt x y t d

Transformata Fourier a semnalului

x(t) cu variabila timp, t

Semnalul x(t) cu variabila

frecventa

14

27

Aceasta relatia a fost deja stabilita.

13. Relatia dintre transformata Fourier a unui semnal

aperiodic si coeficientii seriei Fourier exponentiale ai

semnalului obtinut prin periodizarea semnalului aperiodic

0 01 2

kc X k ,T T

22

0

2

0

2

00

Ttp

Ttptx TT

0122

Tcos

X j

0 0

0 0

1 cos2 2

1 cos2

x

k

k Tj

cT k

kj

k

28

Transformata Fourier a unui semnal din L1 L2 este din L2

Energia semnalului (relatie de tip Parseval sau Rayleigh) .

Densitatea de energie: |X()|2

Relatia se poate scrie folosind norma in L2 :

2 2

2X d x t dt

2

2

2

22 txX

1) Semnale de energie finita x(t) L1 L2

Transformata Fourier pentru semnale din L2

15

29

norma L2 a transformatei Fourier

2 l.i.m. j tx t x t e dt

2

2

2

dtetxlimtx tj

Transformata Fourier in clasa L2

2) Semnale de energie finita x(t) L2 \ L1

•Trunchierea x(t) prin inmultirea cu pτ(t) duce la aproximarea lui x(t) L1 L2 .

•Avem doua aproximari.

• Cea mai “buna” este cea cu durata mai

mare.

• Cealalta este o aproximare a primei.

•Eroarea tinde spre zero daca durata tinde

spre infinit.

Teorema lui Plâncherel

2Daca atunci:

i) exista , R

ii) pentru are loc egalitatea:

1

2

j t

Rj t

R R

x t L

X l.i.m x t e dt ,

t R

x t l.i.m X e d

30

16

2 2

1

2

Observatii

i) Transformata Fourier a semnalelor din este si ea in .

ii) Toate proprietatile demonstrate pentru transformarea Fourier raman valabile si

pentru transformarea Pentru semnale din

L L

.

2

1 2

2

-

este valabila relatia Rayleigh.

Ea nu este valabila pentru semnale din

iii) Pentru ( ) si ( ) din are loc relatia:

1

2

Cele 2 integrale sunt formele de exprimare al

* *

L

L \ L .

x t y t L

x t y t dt X Y d

e unor produse scalare.

Relatia poate fi scrisa si in forma:

1

2x t , y t X ,Y

2 21

2x t dt X d

Daca cele doua semnale sunt egale, avem relatia lui Parseval:

31

Proprietati suplimentare ale

transformarii Fourier din L2 14. Convolutia spectrelor (teorema convolutiei spectrelor)

1

12

2

12 2

2

2 .

j u t

j u j t j t

Z X Y L

Z X u Y u du X u y t e dt du

y t X u e du e dt x t y t e dt

x t y t

F

1

.2

x t y t X Y

32

17

15. Teorema simetriei

2

x t X x t

X t x X t

F

F

• Se porneste de la o pereche cunoscuta (x(t), X(ω))

• Care este spectrul semnalului X(t)?

• Se schimba variabilele si constantele de timp cu cele

de frecventa,

• Se obtine perechea (X(t), 2πx(-ω)).

33

34

. 2τ

sintttp

. 2 and τ

sinXtptx

t 0

0sin2

tX t

t

. 22

0 px

Exemple: Semnalul poarta temporala

18

35

Semnalul triunghiular simetric

.

2

21

2

Tsin

tpT

tTttri TT

.

2

2 and

2

Tsin

Xttritx T

2

2

2

0

t

tsin

tX

0

2

2 .

x

tri

36

Semnal cauzal exponential cazator

.tetxt

0 with 0ω0

j

ej

dtedteeXtjtjtjt

00

000

11000

22

000

111

jjX

00

0

11

arctgjargargj

argXarg

19

37

22

0

1

X

0

arctg

38

Semnal anti-cauzal exponential cazator

.tetxt

0 with 0ω0

.tetxt

0 with 0ω0

.j

XX

0

1

22

0

1

XX

.arctg

jargXarg

00

1

20

39

Semnal simetric exponential cazator

10 ; 0

0 0

ω

0

00

t,e

t,eetx

t

tt

s

.txtxtxs

0

2 2

0 0 0

21 1

sX X X

j j

40

Semnalul Gaussian

0. ,

22

4

1

aea

e aat

Spectrul semnalului Gaussian este tot Gaussian

21

41

Transformarea Fourier pentru distributii

1) Spectrul distributiei Dirac

2) Spectrul constantei 1(t)

1t

cc 2

42

3) Spectrul treptei unitare (t)

1

tj

4) Spectrul semnalului sgn(t)

j

tutsgn2

2

1, 0

sgn 0, 0

1, 0

t

t t

t

22

43

5) Spectrul semnalului 1/(πt)

, 01

sgn 0, 0

, 0

j

jt

j

44

6) Transformata Fourier a integralei unui semnal

care are componenta continua, X(0)≠0

ττστττ dt-xdxtyt

ω1

ω ω ω ω πδ ω π ω δ ωω ω

XY X t X X

j j

ωδ0πω

ωττ X

j

Xdx

t

ωδ0ωδω XX

23

45

7) Spectrul exponentialei complexe

0ω

ω-ωπδ20 tj

e

46

8) Spectrul semnalului cosω0t

0 0ω ω

0 0 0cosω π δ ω-ω δ ω ω2

j t j te e

t

24

47

9) Spectrul semnalului sinω0t

0 0 0sin π δ ω-ω δ ω ωt j

48

Transformarea Fourier pentru

semnale periodice

0ω

0 0 ω0

0

1δ ω δ ω

jk t

T

k

t eT

ttxty T0δ

0ω-ωδπ2ω kcYyk

k

25

49

Repartitia unei variabile aleatoare Repartitia unei variabile aleatoare X este descrisa de functia de densitate

de probabilitate fX (x) :

i) Media

ii) Puterea

iii) Puterea de fluctuatie in jurul mediei: varianta (dispersie)

iv) Abatere standard (grad de imprastiere in jurul mediei)

0 si 1X Xf x f x dx

;μ

dxxxfXE XX

;22 dxxfxXE X

2 2

μ μX X XVar X E X x f x dx

σ .X Var X

50

Exemplu: repartitia gaussiana (normala)

X -medie

σX –abatere standard

2

2

σ2

μ

Xσπ2

1X

Xx

X exf

2

2

2

μ

2σ

X

X

2

11

2πσ

μ 0,σ 1

11

2π

X

X

x

X

x

e dx

e dx

26

2

2

Repartizarea in timp a energiei semnalului :

: densitate de repartitie in timp a energiei.

moment de timp in jurul caruia se grupeaza energia semnalului

si o dispersie a acestuia,

c

x t W x t dt

x t

W

t

2

222

2t

2 2

σ

t

c

c

:

t x t dt t t x t dt

t

x t dt x t dt

Repartizarea in timp a energiei semnalului

51

2

2

Repartizarea in frecventa a energiei semnalului , cu spectrul

1

2

:densitate de repartitie in frecventa a energiei.

Frecventa in jurul careia se grupeaza e

nergia semnalului

si o

c

x t X

W X d ;

X

W

2

222

2ω

2 2

dispersie in frecventa,

ω ω ω ω ω ω ω

ω σ

ω ω ω ω

c

c

:

X d X d

X d X d

Repartizarea in frecventa a energiei semnalului

52

27

Valorile abaterilor standard si ne dau informatii despre durata efectiva

si banda efectiva a semnalului ( )

t

x t .

Relatia de incertitudine Heisenberg-Gabor

Daca si pot fi definite, atunci pentru orice semnal avem:

Egalul are loc daca si numai daca este un semnal Gaussian.

t

1

2t

x t

Exemplu: semnalul gaussian

2

21

4

2 2

t ω

10; σ ; ω 0 σ

4

at a

c c

x t e X ea

t aa

t ω

1σ σ .

2

53

54

2

3

2

2 66

3

2

20.9974 99.74%

2

a

at

a

WW e dt

Wa

23

626

3

1 20.9974 ; 99.74%

2 2

a

a

a

WW e d

a Wa

Energia in intervalul de timp 3 3

3 ,3 ,2 2

t ta a

Energia in banda de frecvente ω0,3σ

3Durata semnalului ; banda 3

produsul durata-banda 9 pentru 99.74% W

T B aa

TB

28

55

Observatii:

i) Interpretari ale inegalitatii Heisenberg-Gabor

Daca durata semnalului t creste banda (intinderea spectrala) descreste. Exemplu: proprietatea de scalare in timp. La o durata a semnalului fixata, intinderea spectrala este

Dintre toate semnalele cu aceeasi durata, semnalul gaussian are banda de frecvente minima.

Dintre toate semnalele de banda de frecvente impusa, cea mai mica durata o are semnalul gaussian.

Folosirea sa este indicata in telecommunicatii: la banda impusa ofera cea mai mare viteza de transmisie.

t ω

1σ σ

2

ω

t t

1σ

σ 2σ

C

56

ii) Nu intotdeauna se pot determina σt si σω

2

0 0 0

22

2 2

ω2 220

222

02 2

0 0

ω

1 1 1; ;

2 2 2

ω ω ω1

(functie para) 0 σ ;

ω ω

ωω ω ω ω

σ nu poate fi definit

C t

C

W x t dt t

X d

X

X d

X d d arctg

0ω

0

1

tx t e t X

j

29

In intervalul [0,T] energia semnalului:

Impunem WT=0,995W si avem: T=2,65/ω0

Energia in banda de frecvente [0,Bω] este

Impunem WBω =0,995W si avem: Bω≈127,3ω0

Rezulta produsul durata-banda 337,3

Un astfel de semnal, la o durata impusa, are o banda foarta larga, astfel incat 99,5% din energia sa sa fie transmisa.

57

2

0

1 2ω ω

2

B

B

B

BW X d arctg W

0 02 2 2

0 0

= 1

T T

t T

TW x t dt e dt e W

iii) Semnalul poarta temporala In durata T este cuprinsa toata energia semnalului. In domeniul frecventa:

Energia ce nu este cuprinsa in intervalul [0,Bω] este

Impunem WBω =0,995W si avem produsul durata-banda 130.

La aceeasi durata, semnalul dreptunghiular are o banda de frecventa mai mica decat semnalul exponential.

58

2

21 2 sinω ω

2

B Bx

B

B B

x

x

xW X d dx

x

, cu 2p t T

2sin

B

B B

x

x

xdx

xW W

W

30

59

Pentru 65 0 5 0 995

65 2 130

x BB ; , % W , W

B T