1

Transformata Fourier

Introducere

Sistemele liniare invariante în timp sunt de departe cele mai studiate și utilizate sisteme în

prelucrarea semnalelor. Un sistem se numește liniar dacă răspunsul acestuia la suma a două semnale

este identic cu suma răspunsurilor la fiecare semnal în parte. Un sistem se numește invariant în timp

dacă răspunsul său la un semnal este același indiferent de momentul când este aplicat semnalul

respectiv la intrarea sistemului. Din teoria sistemelor, se știe că funcțiile proprii ale sistemelor liniare

invariante în timp (pe scurt, SLIT) sunt (co)sinusoidele. Altfel spus, dacă la intrarea unui SLIT aplicăm

o cosinusoidă pură de frecvență ω0, atunci la ieșire vom avea tot o cosinusoidă pură ω0 (bineînțeles,

având altă amplitudine și fază). Acest fapt permite studierea comportamentului sistemului la un

semnal de intrare oarecare, cu condiția să putem scrie semnalul respectiv ca o sumă (fie și infinită) de

cosinusoide.

Semnalele periodice pot fi scrise ca o sumă numărabilă de componente sinusoidale ale căror

amplitudini și faze pot fi calculate cu ușurință din semnalul respectiv, acestea fiind seriile Fourier.

Transformata Fourier generalizează aceasta descompunere de semnal într-o sumă de sinusoide și

pentru semnalele neperiodice.

Să începem prin a studia forma spectrului semnalului periodic în funcție de perioada sa . Se observă

că pe măsură ce crește, componentele din spectrul semnalului se “îndesesc”. Acest lucru este

natural, întrucât creșterea lui este echivalentă cu scăderea frecvenței fundamentale

¸ și

deci, cu scăderea intervalului de frecvență între două componente succesive. Figura 1. ilustrează un

exemplu. Evident, la limită, când T → ∞, componentele frecvențiale se “contopesc”, iar spectrul

semnalului devine de natură continuă.

Ajungem, deci, la definiția transformatei Fourier.

Fie un semnal de modul integrabil:

Atunci, se definește transformata Fourier a semnalului

Semnalul original x(t) poate fi recuperat din transformata

Figura 1: Forma spectrului unui semnal periodic în func

perioada T. (b) Modulul coeficien

perioada T1>T. (d) Modulul coeficien

Este important, pentru înțelegerea noțiunilor, s

relațiile (2) și (3) și cele care descriu descompunerea

periodic:

ția transformatei Fourier.

un semnal de modul integrabil:

finește transformata Fourier a semnalului ca fiind semnalul obținut dup

fi recuperat din transformata sa prin aplicarea operatorului invers:

Figura 1: Forma spectrului unui semnal periodic în funcție de perioadă: (a) Semnal periodic de

perioada T. (b) Modulul coeficienților Anc pentru semnalul din figura (c) Semnal periodic de

T. (d) Modulul coeficienților Anc pentru semnalul din figura (c).

țelegerea noțiunilor, să observăm similitudinile și diferențele între

țiile (2) și (3) și cele care descriu descompunerea în serie Fourier complexă a unui semnal

2

(1)

ținut după:

(2)

lui invers:

(3)

ă: (a) Semnal periodic de

(c) Semnal periodic de

pentru semnalul din figura (c).

și diferențele între

plexă a unui semnal

3

Se observă că semnificația valorilor X(ω) este similară cu cea a coeficienților Anc, cu singura diferență

că, în cazul transformatei Fourier, numărul de cosinusoide în care se descompune semnalul devine

infinit nenumărabil. Modulul |X(ω)| ¸si faza ϕ(ω) ale cantității complexe X(ω)= |X(ω)| exp(jϕ(ω))

sunt amplitudinea, respectiv faza cosinusoidei de frecvență ω ce intră în descompunerea spectrală a

semnalului x(t). Într-adevăr, observând că, în ipoteza unui semnal x(t) cu valori reale, valorile

transformatei Fourier situate simetric față de 0 sunt complex conjugate:

(4)

Atunci (3) poate fi rescrisă ca:

(5)

În continuare, folosind faptul că , avem z+z* =2 {z} ¸si că

{X(ω) exp(jωt)} = {|X(ω)| exp(j(ωt + ϕ(ω)))} = |X(ω)| cos(ωt + ϕ(ω)), (5) devine:

, (6)

relație ce justifică afirmația despre semnificația modulului și fazei lui .

4

Proprietățile transformatei Fourier

Transformata Fourier este liniară.

Fie x(t) si y(t) două semnale de modul integrabil și fie a și b două constante complexe.

Liniaritatea transformatei Fourier se traduce prin faptul că aceasta comută

(7)

Deplasarea în timp cu o cantitate constantă t0 a unui semnal corespunde unei deviații induse în faza

spectrului:

(8)

(9)

Deplasarea spectrului unui semnal cu o frecvență constantă ω0 corespunde înmulțirii semnalului în

timp cu o cosinusoidă complexă:

(10)

5

(11)

O contracție a semnalului cu o constantă corespunde unei relaxări a spectrului cu aceeași

constantă și vice-versa.

(12)

(13)

unde

(14)

(15)

(16)

Se aplică relația precedentă.

6

Transformata Fourier conservă energia semnalului.

(17)

(18)

(19)

Se folosește simetria între relațiile care dau transformata Fourier directă și inversă.

Spectrul semnalului obținut prin convoluția temporală a două semnale se obține ca produsul

spectrelor celor două semnale. Fie x(t) și y(t) două semnale de modul integrabil, și fie z(t) produsul lor

de convoluție:

(20)

Atunci, între transformatele Fourier ale celor trei semnale ale loc relația:

(21)

7

(22)

Spectrul semnalului obținut prin produsul a două semnale se obține prin convoluția spectrelor celor

două semnale. Fie x(t) ¸si y(t) două semnale de modul integrabil, și fie z(t) semnalul obținut prin

produsul lor:

, (23)

Atunci, între transformatele Fourier ale celor trei semnale are loc relația:

(24)

Transformatele Fourier ale câtorva semnale de interes

În relația de mai sus s-a folosit proprietatea impulsului Dirac:

Figura 2: Impulsul Dirac si transformata sa Fourier

Transformatele Fourier ale câtorva semnale de interes

a folosit proprietatea impulsului Dirac:

Figura 2: Impulsul Dirac si transformata sa Fourier

8

(25)

(26)

(27)

Calculul transformatei Fourier a semnalului constant x(t)=1 nu poate

imposibilității calculului limitei

rezultatul anterior (conform căruia transformata Fourier a unui impuls Dirac este func

se aplică proprietatea simetriei transformatei Fourier, care a

unei operații de simetrizare, două func

timp și care în frecvență. Rezultatul anterior poate

de unde, aplicând relația (19), avem:

Intr-adevăr, calculând transformata Fourier inversă a semnalului

ceea ce completează demonstrația noastr

Figura 3: Semnalul constant

Având în vedere semnificația transformatei Fourier a unui semnal, era normal s

rezultat, care se interpretează în sensul că în descompunerea unui semnal constant ca o sumă de

sinusoide intră numai componenta de frecven

La fel ca și în cazul semnalului constant, calculul transformatei Fourier a funcției

poate fi abordat în mod direct, ci tot folosind rezultate deja determinate

transformatei Fourier.

Calculul transformatei Fourier a semnalului constant x(t)=1 nu poate fi făcut direct, datorită

. Pentru rezolvarea problemei, se folose

rezultatul anterior (conform căruia transformata Fourier a unui impuls Dirac este funcția constant

se aplică proprietatea simetriei transformatei Fourier, care afirmă că, cu excepția unor constante și a

ă funcții fac pereche Fourier indiferent care din ele e exprimat

ă. Rezultatul anterior poate fi scris compact ca:

adevăr, calculând transformata Fourier inversă a semnalului , avem

ția noastră.

Semnalul constant și transformata sa Fourier

ficația transformatei Fourier a unui semnal, era normal să ne aștept

rezultat, care se interpretează în sensul că în descompunerea unui semnal constant ca o sumă de

componenta de frecvență zero, adică semnalul constant!

și în cazul semnalului constant, calculul transformatei Fourier a funcției x(t) = cos(

n mod direct, ci tot folosind rezultate deja determinate și proprietăți ale

9

ăcut direct, datorită

rezolvarea problemei, se folosește

ția constantă) și

ția unor constante și a

ții fac pereche Fourier indiferent care din ele e exprimată în

(28)

(29)

, avem

(30)

șteptăm la acest

rezultat, care se interpretează în sensul că în descompunerea unui semnal constant ca o sumă de

) = cos( 0t) nu

ale

Pornind de la forma complexă a descompunerii unui semnal periodic în serii Fourier:

și folosind rezultatul anterior și teorema deplas

Figura 4: Semnalul cosinusoidal pur

Transformata Fourier a semnalului x(t) = sin(ω

pornind de la:

La fel ca în cazul transformatei Fourier a semnalului constant, rezultatul ob

întrucât arată faptul că descompunerea unui semnal co

cosinusoide este compusă dintr-o singur

Pornind de la forma complexă a descompunerii unui semnal periodic în serii Fourier:

i teorema deplasării în frecvență, avem succesiv:

Figura 4: Semnalul cosinusoidal pur și transformata sa Fourier

Transformata Fourier a semnalului x(t) = sin(ω0t) se poate deduce în mod absolut similar

La fel ca în cazul transformatei Fourier a semnalului constant, rezultatul obținut mai sus este intuitiv,

întrucât arată faptul că descompunerea unui semnal cosinusoidal pur de frecvență 0 ca o sumă de

singur cosinusoidă, și anume cea pe frecvența respectiv

10

(31)

t) se poate deduce în mod absolut similar

(32)

ținut mai sus este intuitiv,

ca o sumă de

și anume cea pe frecvența respectivă!

Fie semnalul:

Transformata Fourier a lui x(t) se calculează direct precum:

Unde cu sinc(x) am notat funcția sinus cardinal:

Figura 5: Semnalul de tip box si transformata

Aplicând rezultatului anterior teorema simetriei

transformata Fourier a unei funcții de tip sinc este o funcție box:

Rezultatul de mai sus este extrem de util în studiul fil

Transformata Fourier a lui x(t) se calculează direct precum:

ția sinus cardinal:

Figura 5: Semnalul de tip box si transformata Fourier

teorema simetriei și folosind faptul că funcția “box” e par

ții de tip sinc este o funcție box:

Rezultatul de mai sus este extrem de util în studiul filtrelor lineare.

11

(33)

(34)

(35)

ția “box” e pară, rezultă că

(36)

Figura 6: Semnalul de tip sinus cardinal

Aplicații ale transformărilor

Transformarea Fourier a unui semnal permite analiza semnalului în raport cu frecven

extrem de importantă în studiul ulterior al modului în care semnalul se

Transformata Fourier Discretă (TFD) și Transformata Fourie

care permit calculul facil al spectrului de frecven

date realizat pe baza relației

reprezintă un “alter ego” al acesteia, putând fi folosit la identificare, clasificare, comparare

să vedem acum dacă spectrul secven

s-a prelevat. Prin analogie cu teorema Fourier, care se refer

discret, trebuie menționat că, similar în cazul TFD, dacă dispunem de un spectru discret, înseamnă că

secvența de date de la care acesta provine este periodică. Deci secven

TFD, este privită ca provenind dintr-un semnal periodic, având perioada egală cu N Te unde Te

reprezintă perioada de eșantionare. Reciproc, dac

căruia îi va corespunde spectrul rezultat se ob

Cele menționate au consecințe importante. Să analizăm exemplul următor în care TFD este aplicată

inițial unei secvențe ce conține un număr

reflectată fidel în spectrul său.

Figura 6: Semnalul de tip sinus cardinal și transformata sa Fourier

transformărilor Fourier

Transformarea Fourier a unui semnal permite analiza semnalului în raport cu frecvența, analiz

extrem de importantă în studiul ulterior al modului în care semnalul se propagă prin diverse sisteme.

și Transformata Fourier Discretă Rapida (TFDR) sunt instrumente

care permit calculul facil al spectrului de frecvență al unei secvențe de date. Spectrul secvenței de

,

pentru n=0,1,2,...,N-1

un “alter ego” al acesteia, putând fi folosit la identificare, clasificare, comparare

să vedem acum dacă spectrul secvenței de date este același cu spectrul semnalului din care aceasta

a prelevat. Prin analogie cu teorema Fourier, care se referă la semnale periodice care au un spectru

ă, similar în cazul TFD, dacă dispunem de un spectru discret, înseamnă că

de date de la care acesta provine este periodică. Deci secvența de N date căreia i se aplică

un semnal periodic, având perioada egală cu N Te unde Te

șantionare. Reciproc, dacă aplicăm TFD unei secvențe de N date, semnalul

căruia îi va corespunde spectrul rezultat se obține multiplicând prin periodicitate această secven

importante. Să analizăm exemplul următor în care TFD este aplicată

număr întreg de perioade, dintr-un semnal sinusoidal, situa

12

ța, analiză

prin diverse sisteme.

Discretă Rapida (TFDR) sunt instrumente

țe de date. Spectrul secvenței de

(37)

un “alter ego” al acesteia, putând fi folosit la identificare, clasificare, comparare. Trebuie

ței de date este același cu spectrul semnalului din care aceasta

ă la semnale periodice care au un spectru

ă, similar în cazul TFD, dacă dispunem de un spectru discret, înseamnă că

ăreia i se aplică

un semnal periodic, având perioada egală cu N Te unde Te

țe de N date, semnalul

dicitate această secvență.

importante. Să analizăm exemplul următor în care TFD este aplicată

un semnal sinusoidal, situație

Figura 7: Spectrul dat de TFD pentru secven

Se observă că în al doilea caz, atunci când secven

rezultat nu este cel corect fiindcă el este în fapt spectrul semnalului rezultat prin multipl

periodicitate a secvenței , reprezentat în figura 7.b, care nu este sinusoid

determinat spectrul unui semnal folosind TFD, atunci în cazul în care

de N eșantioane “prelevată” din sem

Atunci când se preia o porțiune din N eșantioane dintr

că se preia o

dacă semnalul analizat este periodic și numai preluând o

număr întreg de perioade.

Figura 7: Spectrul dat de TFD pentru secvențele de date

Se observă că în al doilea caz, atunci când secvența nu conține un număr întreg de perioade, spectrul

rezultat nu este cel corect fiindcă el este în fapt spectrul semnalului rezultat prin multipl

ței , reprezentat în figura 7.b, care nu este sinusoidă. În concluzie, dacă trebuie

unui semnal folosind TFD, atunci în cazul în care semnalul este periodic, secven

ă” din semnal trebuie să conțină un număr întreg de perioade.

țiune din N eșantioane dintr-un semnal, fără a le schimba valoarea, se zice

. Am văzut ca prin TFD putem obține spectrul corect numai

și numai preluând o fereastră dreptunghiulară care con

13

ăr întreg de perioade, spectrul

rezultat nu este cel corect fiindcă el este în fapt spectrul semnalului rezultat prin multiplicarea prin

ă. În concluzie, dacă trebuie

este periodic, secvența

ă un număr întreg de perioade.

un semnal, fără a le schimba valoarea, se zice

ține spectrul corect numai

dreptunghiulară care conține un

Figura 8: Porțiune

În caz contrar, alterarea spectrului de frecven

ferestrei. Acestea sunt privite ca ”făcând parte din semna”, ori este evident că semnalul original nu

are astfel de salturi, precum zonele încercuite din figura 8.a.

Soluția de înlăturare a variațiilor mari

aplatizarea acestora. Acesta este obiectivul metodelor de ”ferestruire”. Algoritmul este

relația

țiune de semnal preluată cu și fără ferestruire

rar, alterarea spectrului de frecvență se datorează cu prioritate zonelor de margine ale

ferestrei. Acestea sunt privite ca ”făcând parte din semna”, ori este evident că semnalul original nu

are astfel de salturi, precum zonele încercuite din figura 8.a.

țiilor mari din zona de margine a unei porțiuni de semnal, o constituie

aplatizarea acestora. Acesta este obiectivul metodelor de ”ferestruire”. Algoritmul este

14

ă se datorează cu prioritate zonelor de margine ale

ferestrei. Acestea sunt privite ca ”făcând parte din semna”, ori este evident că semnalul original nu

țiuni de semnal, o constituie

aplatizarea acestora. Acesta este obiectivul metodelor de ”ferestruire”. Algoritmul este cel descris de

(38)

15

Se observă că porțiunea prelevată se înmulțește cu funcția , numită ”funcție fereastră”. Așa cum

este arătat în figura 8, funcția fereastră trebuie să aibă amplitudinea unitară pe toată lungimea

porțiunii de semnal prelevate, mai puțin în zonele de capete unde ea trebuie să descrească uniform

către zero. Există mai multe funcții care au această proprietate, unele dintre ele consacrate deja în

literatura de specialitate, ca de exemplu: fereastra triunghiulară (relația 39), fereastra Welch (relația

40), fereastra Hanning (relația 41).

(39)

(40)

(41)

În exemplele date, M poate fi egal cu lungimea secvenței prelevate (N), sau poate fi mai mic decât N,

și atunci algoritmii 39, 40, 41 se ”împart în două”, câte o jumătate pentru fiecare capăt al secvenței,

așa cum este ilustrat în figura 8.

În concluzie, procedeul numeric de ferestruire se aplică secvenței numerice căreia urmează să-i fie

aplicată transformarea TFD sau altă transformare. Ferestruirea are rolul de a reduce contribuția

nefastă a porțiunilor de capăt ale secvenței prelevate, în spectrul de frecvență al semnalului. Tehnica

de ferestruire mai este folosită pentru a ajusta și alți algoritmi de procesare numerică și anume pe cei

cu rolul de filtru numeric.

Spectrul unui semnal nu oferă o informație intuitivă, sub aspectul energetic, a contribuției fiecărei

armonici la alcătuirea semnalului. Pentru aceasta se folosește o altă mărime denumită

, care arată contribuția energetică a fiecărei armonici. Prin analogie cu energia

semnalelor analogice, energia totală a unei secvențe de N eșantioane se exprimă ca fiind suma

pătratelor eșantioanelor. Energia semnalului în transformata Fourier se regăsește cu ajutorul

teoremei Parseval:

(42)

Contribuția la energia totală a semnalului, corespunzătoare fiecărei armonici rezultate prin

transformarea Fourier a semnalului, este următoarea:

(43)

Unde sunt coneficienții complecși rezultați din transformarea Fourier a semnalului .