Teorie ALGAD
2
1. Spatii Vectoriale. Pentru a defini un spatiu vectorial V , este necesara o multime de obiecte {x} numite de obicei elemente, vectori sau puncte, un corp K si doua operatii binare definite între acesti vectori si elemente ale corpului K , denumite scalari. Aceste operatii sunt urmatoarele: - o operatie interna denumita adunare VxV->V - o operatie externa denumita înmultire KxV->V Dupa cum se constata de mai sus rezultatul acestor operatii binare trebuie sa fie, de asemenea, un vector al multimii V . Aceasta proprietate se numeste închidere. 2.Vectori de ordinul n. Orice vector de ordinul n este descris printr-un sistem ordonat de n scalari din corpul K . 3.Vectori liniar independenti. Fie V un spatiu vectorial definit peste corpul K . O multime de vectori x, y, z,...,w E V se numeste liniar independenta daca relatia alfa × x + beta × y + gama(y) × z + ... + o × w = 0 unde alfa ,beta ,gama ,... E K este adevarata numai daca alfa = b = g = ... = 0 4.Baza si dimensiunea unui spatiu vectorial. Daca un spatiu vectorial V contine n vectori liniar independenti si daca orice n+1 vectori ai acestui spatiu sunt liniar dependenti se spune ca spatiul V este de dimensiune n. Daca o baza a spatiului V contine n vectori liniar independenti atunci spatiul se numeste n-dimensional. Numarul componentelor unui vector al spatiului n-dimensional este în mod normal n, dar nu în mod necesar. 6. Spatii vectoriale izomorfe. Doua spatii vectoriale V si V ' peste acelasi corp K se numesc izomorfe daca între elementele lor se poate stabili o corespondenta bijectiva, pusa în evidenta de o aplicatie f . Evident, operatiile de adunare si înmultire cu un scalar nu sunt în mod necesar aceleasi pentru cele doua spatii. Se poate demonstra ca toate spatiile vectoriale de aceeasi dimensiune peste un corp K sunt izomorfe intre ele. 7.Subspatii. Fie V un spatiu vectorial peste câmpul K . O submultime U se numeste subspatiu vectorial al spatiului V daca suma a doua elemente ale subspatiului U si produsul dintre un scalar si un element al acestui subspatiu apartin tot subspatiului considerat U.Elementul nul este cel mai mic subspatiu al lui V , iar V însusi este cel mai mare subspatiu al sau. 8.Varietati liniare. Daca x, y, z,...,w este o multime de elemente ale unui spatiu vectorial V , iar a1,a2,...,an sunt scalari oarecare ai corpului K , atunci multimea elementelor u=a1*x+a2*y+...+an*w obtinute pentru toate valorile posibile ale acestor scalari, formeaza un subspatiu vectorial U . Acest subspatiu se numeste varietatea liniara generata de vectorii {x, y, z,...,w} si este cel mai mic subspatiu care contine aceste elemente. 10.Inmultirea a doua matrice. Consideram matricele A=(ai,j)mxn si B=(bi,j)nxp. Se observa ca numarul de coloane ale primei matrice este egal cu numarul de linii ale celei de a doua matrice. Matricele care îndeplinesc aceasta conditie se numesc înlantuite. Pentru doua matrici înlantuite se poate defini operatia de înmultire C = A× B . 1. (A*B)*C=A*(B*C) - asociativitatea înmultirii 2. (A+B)*C=A*C+B*C - distributivitatea inmultirii în raport cu adunarea 3. A*(B+C)=A*B+A*C 11.Inversarea unei matrice. Fie A=(ai,j)mxn , o matrice patrata. Matricea A se numeste nesingulara, sau nedegenerata daca det A ą 0. Daca matricea A este nesingulara, atunci exista inversa sa A- 1 , definita de relatia A*A-1=A-1*A=In , unde prin In s-a notat matricea unitate de ordinul n. Pentru calcularea inversei unei matrici se utilizeaza relatia A- 1=A'/det A. 12.Matrice ortogonale. Fie matricea A=(ai,j)mxn=(ai,j)n. Matricea At reprezinta transpusa matricii A. Matricea A se numeste ortogonala daca are loc relatia A*At=At*A=In .Deoarece detA*detAt=(det A)^2=1 in cazul matricei ortogonale rezulta detA=+-1 . 13.Rangul unei matrice. Consideram o matrice A=(ai,j)mxn. Prin definitie rangul matricei A e dat de relatia r(A)=r unde prin r(A) s-a notat rangul matricei A, iar r reprezinta ordinul celui mai mare minor nenul al matricei considerate. Dimensiunea spatiului generat de acesti vectori se numeste rangul liniilor matricei A. Cu alte cuvinte rangul liniilor matricii A este dat de numarul de vectorii linie liniar independenti. 14.Operatii elementare asupra matricelor. Se definesc urmatoarele operatii elementare asupra vectorilor linie sau coloana ale unei matrice: 1. Interschimbarea a doua linii sau coloane; 2. Multiplicarea tuturor elementelor unei linii sau coloane cu un scalar nenul din corpul K : 3. Adunarea elementelor unei linii (sau coloane) cu elementele altei linii (sau coloane) înmultite cu un scalar nenul. Se poate demonstra sa rangul unei matrice ramâne invariant fata de operatiile elementare asupra liniilor sau coloanelor sale. 15.Determinarea rangului unei matrice. -Metoda directa. Se calculeaza toti minorii de ordin min(m,n) . Daca exista unul diferit de zero rangul matricei A va fi r = min(m,n) . Daca toti acesti minori sunt nuli se iau in consideratie minorii de ordin min(m,n) - 1 si se repeta calculele, pâna se gaseste un minor nenul. Ordinul acelui minor este rangul matricei A. 16.Compatibilitatea sistemelor neliniare neomogene.Teorema Kronecker-Capelli. Teorema Kroneker-Capelli afirma ca sistemul de ecuatii liniare este compatibil numai daca r(A)=r(A cu o linie deasupra) unde A cu linie se numeste matricea extinsa si se obtine prin adaugarea coloanei vectorilor liberi la matricea sistemului A. 17. Compatibilitatea sistemelor neliniare neomogene.Teorema Rouche. Sistemul de ecuatii este compatibil daca si numai daca toti determinantii caracteristici ai matricei A sunt nuli. 18.Resolvarea sistemelor neliniare neomogene. Formulele lui Kramer. xi=Di/D , i=1,2,....n , unde D = det(A) si Di este determinantul minorului obtinut prin înlocuirea vectorului coloana i din matricea A cu vectorul termenilor liberi. 21.Forme liniare. Fie un spatiu vectorial V , definit peste corpul K . O forma liniara este o functie f:V->K , care satisface conditiile de liniaritate si de omogenitate, adica: f(x+y)=f(x)+f(y) f(tetax)=tf(x), oricare x,yEV, oricare tEk. 23.Forme biliniare. O forma biliniara este o functie numerica de doua variabile vectoriale, liniara în raport cu fiecare dintre acestea. Fie deci functia g:VxV- >K .Pentru oricare x,yEV si oricare tetaEK, forma biliara g trebuie sa indeplineasca conditiile: 1.g(x,y+z)=g(x,y)+g(x,z) g(x,teta y)=teta g(x,y) 2. g(x+z,y)=g(x,y)+g(z,y) g(teta x,y)=teta g(x,y) 24.Efectul schimbarii de baza asupra unei forme biliniare. Desi valoarea functiei g(x, y) nu depinde de alegerea bazei, aceasta operatie va modifica totusi elementele matricei A. Pentru a studia acest efect sa consideram în spatiul vectorial V doua baze B1={e1,e2,...en} si B2={f1,f2,....fn} , legate între ele prin matricea de transformare C , prin relatia f = C^t e .Daca consideram ca vectorii x, y din baza B1 au în baza B2 reprezentarea x',y' , atunci prin schimbarea bazei componentele vectorilor se modifica x=Cx' , y=Cy' 25.Forme biliniare simetrice. O forma biliniara se numeste simetrica daca pentru oricare x,y E V avem g(x,y)=g(y,x). a i,j=a j,i rezulta A=A' .De aici rezulta ca matricea unei forme biliniare simetrice este de asemenea simetrica. Matricea unei forme biliniare simetrice ramâne simetrica si dupa o schimbare de baza. B^t=(C^tAC)^t=CtAt(Ct)t=CtAtC=CtAC=B . 26.Forme patratice. Fie g(x, y) o forma biliniara simetrica a spatiului n -dimensional V , definit peste corpul R si B={e1,e2,....en) o baza a acestui spatiu. O functie h :V->R se numeste forma patratica asociata formei biliniare simetrice g daca h(x) = g(x,x)
-
Upload
georgiana-matei -
Category
Documents
-
view
63 -
download
0
Transcript of Teorie ALGAD
1. Spatii Vectoriale.Pentru a defini un spatiu vectorial V , este necesara o multime de obiecte {x} numite de obicei elemente, vectori sau puncte, un corp K si doua operatii binare definite între acesti vectori si elemente ale corpului K , denumite scalari. Aceste operatii sunt urmatoarele:- o operatie interna denumita adunare VxV->V - o operatie externa denumita înmultire KxV->VDupa cum se constata de mai sus rezultatul acestor operatii binare trebuie sa fie, de asemenea, un vector al multimii V . Aceasta proprietate se numeste închidere.
2.Vectori de ordinul n.Orice vector de ordinul n este descris printr-un sistem ordonat de n scalari din corpul K .
3.Vectori liniar independenti.Fie V un spatiu vectorial definit peste corpul K . O multime de vectori x, y, z,...,w E V se numeste liniar independenta daca relatia alfa × x + beta × y + gama(y) × z + ... + o × w = 0 unde alfa ,beta ,gama ,... E K este adevarata numai daca alfa = b = g = ... = 0
4.Baza si dimensiunea unui spatiu vectorial.Daca un spatiu vectorial V contine n vectori liniar independenti si daca orice n+1 vectori ai acestui spatiu sunt liniar dependenti se spune ca spatiul V este de dimensiune n. Daca o baza a spatiului V contine n vectori liniar independenti atunci spatiul se numeste n-dimensional. Numarul componentelor unui vector al spatiului n-dimensional este în mod normal n, dar nu în mod necesar.
6. Spatii vectoriale izomorfe.Doua spatii vectoriale V si V ' peste acelasi corp K se numesc izomorfe daca între elementele lor se poate stabili o corespondenta bijectiva, pusa în evidenta de o aplicatie f . Evident, operatiile de adunare si înmultire cu un scalar nu sunt în mod necesar aceleasi pentru cele doua spatii. Se poate demonstra ca toate spatiile vectoriale de aceeasidimensiune peste un corp K sunt izomorfe intre ele.
7.Subspatii.Fie V un spatiu vectorial peste câmpul K . O submultime U se numeste subspatiu vectorial al spatiului V daca suma a doua elemente ale subspatiului U si produsul dintreun scalar si un element al acestui subspatiu apartin tot subspatiuluiconsiderat U.Elementul nul este cel mai mic subspatiu al lui V , iar V însusi este cel mai mare subspatiu al sau.
8.Varietati liniare.Daca x, y, z,...,w este o multime de elemente ale unui spatiu vectorial V , iar a1,a2,...,an sunt scalari oarecare ai corpului K , atunci multimea elementelor u=a1*x+a2*y+...+an*w obtinute pentru toate valorile posibile ale acestor scalari, formeaza un subspatiu vectorial U . Acest subspatiu se numeste varietatea liniara generata de vectorii {x, y, z,...,w} si este cel mai mic subspatiu care contine aceste elemente.
10.Inmultirea a doua matrice.Consideram matricele A=(ai,j)mxn si B=(bi,j)nxp. Se observa ca numarul de coloane ale primei matrice este egal cu numarul de linii ale celei de a doua matrice. Matricele care îndeplinesc aceasta conditie se numesc înlantuite. Pentru doua matrici înlantuite se poate defini operatia de înmultire C = A× B .1. (A*B)*C=A*(B*C) - asociativitatea înmultirii2. (A+B)*C=A*C+B*C - distributivitatea inmultirii în raport cu adunarea3. A*(B+C)=A*B+A*C
11.Inversarea unei matrice.Fie A=(ai,j)mxn , o matrice patrata.Matricea A se numeste nesingulara, sau nedegenerata dacadet A ą 0. Daca matricea A este nesingulara, atunci exista inversa sa A- 1, definita de relatia A*A-1=A-1*A=In , unde prin In s-a notat matricea unitate de ordinul n. Pentru calcularea inversei unei matrici se utilizeaza relatia A-1=A'/det A.
12.Matrice ortogonale.Fie matricea A=(ai,j)mxn=(ai,j)n. Matricea At reprezinta transpusa matricii A.Matricea A se numeste ortogonala daca are loc relatia A*At=At*A=In .Deoarece detA*detAt=(det A)^2=1 in cazul matricei ortogonale rezulta detA=+-1 .
13.Rangul unei matrice.Consideram o matrice A=(ai,j)mxn. Prin definitie rangul matricei A e dat de relatia r(A)=r unde prin r(A) s-a notat rangul matricei A, iar r reprezinta ordinul celui mai mare minor nenul al matricei considerate. Dimensiunea spatiului generat de acesti vectori se numeste rangul liniilor matricei A. Cu alte cuvinte rangul liniilor matricii A este dat de numarul de vectorii linie liniar independenti.
14.Operatii elementare asupra matricelor.Se definesc urmatoarele operatii elementare asupra vectorilor linie sau coloana ale unei matrice:
1. Interschimbarea a doua linii sau coloane;2. Multiplicarea tuturor elementelor unei linii sau coloane cu un scalar nenul din corpul K :3. Adunarea elementelor unei linii (sau coloane) cu elementele altei linii (sau coloane) înmultite cu un scalar nenul. Se poate demonstra sa rangul unei matrice ramâne invariant fata de operatiile elementare asupra liniilor sau coloanelor sale.
15.Determinarea rangului unei matrice.-Metoda directa.Se calculeaza toti minorii de ordin min(m,n) . Daca exista unul diferit de zero rangul matricei A va fi r = min(m,n) . Daca toti acesti minori sunt nuli se iau in consideratie minorii de ordin min(m,n) - 1 si se repeta calculele, pâna se gaseste un minor nenul. Ordinul acelui minor este rangul matricei A.
16.Compatibilitatea sistemelor neliniare neomogene.Teorema Kronecker-Capelli.
Teorema Kroneker-Capelli afirma ca sistemul de ecuatii liniare este compatibil numai daca r(A)=r(A cu o linie deasupra) unde A cu linie se numeste matricea extinsa si se obtine prin adaugarea coloanei vectorilor liberi la matricea sistemului A.
17. Compatibilitatea sistemelor neliniare neomogene.Teorema Rouche.Sistemul de ecuatii este compatibil daca si numai daca toti determinantii caracteristici ai matricei A sunt nuli.
18.Resolvarea sistemelor neliniare neomogene. Formulele lui Kramer.xi=Di/D , i=1,2,....n , unde D = det(A) si Di este determinantul minorului obtinut prin înlocuirea vectorului coloana i din matricea A cu vectorul termenilor liberi.
21.Forme liniare.Fie un spatiu vectorial V , definit peste corpul K . O forma liniara este o functie f:V->K , care satisface conditiile de liniaritate si de omogenitate, adica: f(x+y)=f(x)+f(y)f(tetax)=tf(x), oricare x,yEV, oricare tEk.
23.Forme biliniare.O forma biliniara este o functie numerica de doua variabile vectoriale, liniara în raport cu fiecare dintre acestea. Fie deci functia g:VxV->K .Pentru oricare x,yEV si oricare tetaEK, forma biliara g trebuie sa indeplineasca conditiile:1.g(x,y+z)=g(x,y)+g(x,z)g(x,teta y)=teta g(x,y)2. g(x+z,y)=g(x,y)+g(z,y)g(teta x,y)=teta g(x,y)
24.Efectul schimbarii de baza asupra unei forme biliniare.Desi valoarea functiei g(x, y) nu depinde de alegerea bazei, aceasta operatie va modifica totusi elementele matricei A. Pentru a studia acest efect sa consideram în spatiul vectorial V doua baze B1={e1,e2,...en} si B2={f1,f2,....fn} , legate între ele prin matricea detransformare C , prin relatia f = C^t e .Daca consideram ca vectorii x, y din baza B1 au în baza B2 reprezentarea x',y' , atunci prin schimbarea bazei componentele vectorilor se modifica x=Cx' , y=Cy'
25.Forme biliniare simetrice.O forma biliniara se numeste simetrica daca pentru oricare x,y E V avem g(x,y)=g(y,x).a i,j=a j,i rezulta A=A' .De aici rezulta ca matricea unei forme biliniare simetrice este deasemenea simetrica. Matricea unei forme biliniare simetrice ramâne simetrica si dupa o schimbare de baza. B^t=(C^tAC)^t=CtAt(Ct)t=CtAtC=CtAC=B .
26.Forme patratice.Fie g(x, y) o forma biliniara simetrica a spatiului n -dimensional V , definit peste corpul R si B={e1,e2,....en) o baza a acestui spatiu. O functie h :V->R se numeste forma patratica asociata formei biliniare simetrice g daca h(x) = g(x,x)
27.Transformari liniare.O transformare liniara este o aplicatie a elementelor unui spatiu vectorial în alt spatiu vectorial. Fiecarui punct al primului spatiu i se asociaza un punct, numit imagine, în cel de-al doilea spatiu. Nu este necesar ca cele doua spatii sa fie izomorfe.Fie V si W doua spatii vectoriale definite peste acelasi corp K . O functie f :V->W se numeste transformare liniara, operator liniar, aplicatie liniara sau morfism daca1. f(x+y)=f(x)+f(y)2. f(alfa x)=alfa f(x)
27.Nucleul si imaginea unei transformari liniare.Fie V si W doua spatii vectoriale definite peste corpul K , iar f:V->W o transformare liniara. Multimea ker f={x|xEV, f(x)=0} se numeste nucleul transformarii f. Se observa ca ker f inclus(c) in V.Multumea Im f={f(x)|xEV} se numeste imaginea spatiului vectorial V prin transformarea f.Se vede imediat ca Im fc|W .
28.Matricea unei transformari liniare.Consideram doua spatii vectoriale U (de dimensiune n ) si V (de dimensiune m), definite peste acelasi corp K si o transformare liniara f :U->V . In aceste spatii consideram bazele B1={e1,e2...en} B2={h1,h2....hn}. Vectorii f(ei),i=1,2...n apartin spatiului V, deci pot fi exprimati sub forma f(e1)=a1,1h1+a2,1h2+...+am,1hmf(e2)=a1,2h1+a2,2h2+...+am,2hm..............................f(en)=a1,nh1+a2,nh2+...+am,nhm Matricea A=(ai,j)mxn definita de matriceaA=[linia 1= a1,1 a1,2 ... a1,nlinia2=a2,1 a2,2 ... a2,n......linian=am,1 am,2 ... am,n]care are drept coloane coordonatele vectorilor f(ei),i=1,2,...,n în bazaB2, se numeste matricea transformarii liniare f relativ la bazele B1 si B2
29.Modificarea unei transformari liniare la schimbarea bazei.Presupunem ca matricea transformarii f :V->V în baza B este A.Pentru un vector oarecare xEV si imaginea sa y = f (x) , în raportcu baza B , putem scrie y = Ax. Consideram acum o noua baza B' . Vectorii x si y devin în noua baza x' si y' . Intre coordonatele acestora exista relatiile x=Cx' y=Cy'In noua baza B' matricea transformarii liniare devine A', astfel incat putem scrie Y'=A'x'. Inlocuind relatiile rezulta Cy'=ACx' sau y'=C-1ACx' .Comparand relatiile anterioare putem scrie A'=C-1AC. Matricele A si A' se numesc matrice asemenea.30.Valori si vectori proprii.Consideram acum o transformare liniara f :V->V , unde V este un spatiu vectorial definit peste corpul R . Un scalar teta E R se numeste valoare proprie a transformarii f daca exista un vector x E V , nenul astfel încât f(x)=teta x. Vectorul x se numeste vector propriu corespunzator valorii proprii teta.
31.Reducerea unei transformari liniare la forma cea mai simpla în cazul valorilor proprii reale distincte.Transformarea f :V->V se numeste diagonalizabila daca exista o baza B1 , astfel încât matricea transformarii f sa aiba în aceasta baza o forma diagonala. In rezolvarea acestei probleme se disting urmatoarele cazuri:1. Valorile proprii reale si distincte. In acest caz ecuatia caracteristica (teta)=det(A-teta I)=0 are n radacini reale si distincte, fie acestea teta i,i=1,2...n.Fiecarei valori proprii ii corespunde un vector propriu. Acesti xi,i=1,2..n vectori proprii sunt liniari independenti si formeaza deci o baza a spatiului V, fie aceasta B1={x1,x2,...xn} in care matricea transformarii f are forma diagonala.Vectorii proprii xi,i=1,2....n se determina pentru fiecare teta i,i=1,2...n.
32. Valori proprii reale multiple. Dupa rezolvarea ecuatiei caracteristice a matricei A care defineste transformarea f într-o baza oarecare B , se constata ca unele valorii proprii teta i au multiplicitatea m i.
33.Valori proprii complexe. Daca polinomul caracteristic admite una sau mai multe perechi de valorii proprii complexe, atunci matricea A nu poate fi adusa la o forma diagonala peste corpul numerelor reale. Exista totusi posibilitatea reducerii matricei A la o matrice celulara. Fiecare celula corespunde unei perechi de valori proprii complex conjugate.
34.Spatii euclidiene.Sa consideram un spatiu vectorial V definit peste corpul numerelor reale R si doi vectori ai spatiului x si y . O functie (x, y) :V->R se numeste produs scalar daca verifica urmatoarele axiome:1. (x, y) = ( y, x)2. (x + z, y) = (x, y) + (z, y)3. (alfa x, y) =alfa (x, y)4. (x, x) > 0 pentru oricare x diferit 0(x, x) = 0 numai pentru x = 0In cele de mai sus s-a considerat ca x, y, zEV,alfa E R . Se observa ca functia produs scalar este, de fapt, o forma biliniara simetrica.Un spatiu vectorial real sau complex peste care s-a definit un produs scalar se numeste spatiu euclidian.
35.Norma unui vector.Consideram spaNiul euclidian real E . In acest spaNiu putem defini lungimea sau norma unui vector xEE prin relatia ||x||=sqrt((x,x)). Functia norma are urmatoarele proprietati: 1.||x||>=02.||alfa x||=|alfa|*||x||3.||x+y||<=||x||+||y||
35.Versorul unui vector.Primele doua proprietati ale normei ne sugereaza faptul ca orice element xEE poate fi scris sub forma x =||x||*e unde || e ||= 1 si se numeste versorul vectorului x . Versorul unui vector x este definit de relatia e=( 1/||x|| )*x
36.Unghiul în spatiul euclidian.Sa consideram acum spatiul euclidian normat E si doi vectori nenuli x, yEE . Numarul fiE[0,pi], dat de relatia cos fi=(x,y)/||x||*||y|| defineste unghiul dintre cei doi vectori.
37.Distanta în spatiul euclidian.Pe un spatiu euclidian real se poate defini functia distanta sau metrica prin relatiad(x, y) =||x - y|| Aceasta functie are urmatoarele proprietati:1. d(x, y) >= 0, d(x, y) = 0 numai daca x = y .2. d(x, y) = d( y, x)3. d(x, y) <= d(x, z) + d(z, y)
38.Baze ortonormate.O baza ortogonalaB={e1,e2...en} în care toti vectorii au lungimea egala cu unitatea se numeste baza ortonormata.
39.Transformari ortogonale.O transformare liniara f : E->E , a unui spatiu euclidian real, se numeste ortogonala daca pastreaza neschimbata valoarea produsului scalar.o transformare ortogonala nu modifica lungimea vectorului.
40.Coliniaritate si coplanaritate.Doi vectori sunt coliniari daca au reprezentantii pe aceeasi dreapta suport. Multimea vectorilor care sunt coliniari cu o anumita directie delta formeaza un subspatiu de dimensiune 1. Toti acesti vectori sunt liniar dependenti. Trei vectori sunt coplanari daca au reprezentantii în acelasi plan.
41.Produsul scalar în spatiul euclidian.Fie doi vectori a si b din spatiul E3 si alfaE[0,pi] unghiul dintre acesti vectori. Produsul scalar al vectorilor a si b poate fi definit: (a,b)=||a||*||b||*cos alfa
42.Produsul vectorial.Fie vectorii a,bE E3. Produsul vectorial al acestor vectori este definit de relatia axb=||a||*||b||*sin alfa*e , unde e este un versor pependicular pe a si b si cu sensul dat de regula burghiului.
43.Produsul mixt a trei vectori.Numim produs mixt a trei vectori a,b,c E E3 produsul scalar dintre vectorul axb si vectorul c . Aceasta cantitate se noteaza cu (axb)c=(a,b,c) .Produsul mixt este un numar real. Daca unul dintre vectori este nul atunci produsul mixt este de asemenea nul. Produsul mixt a treivectori este numeric egal cu volumul paralelipipedului construit de reprezentantii celor trei vectori.
44.Repere carteziene.Se numeste reper cartezian ortonormat în E3 ansamblul format dintr-un punct OEE3 si dintr-o baza ortonormata B={i,j,k] a spatiului E3 orientata pozitiv. Un reper cartezian este precizat prin notatia E{O,i,j,k}.Punctul O se numeste originea reperului iar xx' este axa absciselor, yy' axa ordonatelor si zz' axa cotelor.
