Semnale si sistemeFacultatea de Electronica si Telecomunicatii, octombrie 2011

OBIECTIVELE CURSULUIDisciplina i propune s familiarizeze studentul cu noiunile de semnal i de sistem, care stau la baza tuturor disciplinelor pe care acesta le va parcurge n continuare. Studentul este nvat s judece i n domenii alternative domeniului timp, ca de exemplu domeniul frecven. Este antrenat s lucreze cu aparate specifice domeniului frecven, ca de exemplu: voltmetre selective i analizoare de spectru.

1

SUBIECTELE CURSULUI 1. Definiii i clasificri. 2. Determinarea rspunsului unui sistem liniar i invariant n timp la un semnal specificat, Convoluia semnalelor n timp discret, Convoluia semnalelor n timp continuu, Metoda armonic. 3. Analiza de fecven a semnalelor periodice, Seria Fourier i transformata Fourier folosite pentru analiza semnalelor n timp continuu, Seria Fourier n timp discret i transformata Fourier n timp discret pentru analiza semnalelor n timp discret. 4. Analiza de frecven a semnalelor aperiodice n timp continuu, Transformarea Fourier. 5. Analiza de frecven a semnalelor aperiodice n timp discret. Transformarea Fourier n timp discret.

2

BIBLIOGRAFIE Naforni Ioan, Gordan Cornelia, Isar Alexandru, Semnale i Sisteme, http://shannon.etc.upt.ro/cercetare/carti.html http://shannon.etc.upt.ro/teaching/

1.1. SemnaleUn fenomen fizic, variabil in timp, care poarta cu sine o informatie este un exemplu de semnal. Tipuri de semnale: biologice, acustice, chimice, optice, electronice,

3

a)

b)

4

Modelul matematicFunctia, avand ca variabila independenta timpul,

x ( t ) = 10 sin 2 103 t

[V]

5

Semnale in timp discretEsantionand x(t) cu pasul Te=0,05 ms

( t ) = x ( nTe ) = 10 sin 2 103 0 , 05 103 n = x = 10 sin 0 ,1 n

[V]

nZ

n=t/Te timp normat

x [ n ] = x ( nTe ) ; n Z

6

Cateva semnale mai importante pentru un ingineri) Semnalul sinusoidalx ( t ) = Acos ( 0t + ) A, 0 = 2f0 , T0 ,

Semnalul sinusoidal este periodicx ( t + T0 ) = x ( t ) , t x ( t + nT0 ) = x ( t ) , t si n Z Acos 0 t + T0 + = Acos ( 0t + ) ; t cos ( 0t + + 0T0 ) = cos ( 0t + ) , t 0T0 = 2 T0 = 1 2 = f0 0

(

)

7

ii) Semnalul sinusoidal in timp discretx [ n ] = Acos ( 0Te n + )

[0Te ] = [0 ][Te ] =

rad s = rad s

f 0 = 0Te =2 0 - frecventa in timp discret fe x [ n ] = Acos ( 0 n + ) cos ( 0 + 2 ) n + = cos ( 0 n + )

Frecventa in timp discretx [ n ] = cos 0 n

8

Confuzii datorate esantionarii0 = 0; xk +1 ( t ) = Acos k 2 t; k =0,1,... Tex1 (t ) = 1

t x2 (t ) = cos 2 T e

t x3 (t ) = cos 4 T e

x1 (nTe ) = x2 (nTe ) = x3 (nTe ) = x[n] 0 =0

1

Peridicitatea dupa n a semnalului sinusoidal in timp discretFie numarul natural N perioada dupa n a acestui semnal.A cos[ 0 (n + N ) + ] = A cos( 0 n + ), n 0 N = k 2 N =k 2 0

Q 0

Exemplu0 =

Valoarea minima a lui k pentru care N este un intreg este k=2. Rezulta N=7, perioada semnalului x [ n] = Acos 4 n + . Semnalul dupa n.x [ n ] = Acos ( 2n + ) 7

4 7 27 7 = N =k =k 7 0 4 4 2

nu este periodic

Tema de curs: Reprezentati grafic acest semnal.

2

Semnalul treapta unitara in timp continuu1, t 0 (t ) = 0 , t < 0

Acesta este doar un model neputand fi generat in practica.

Semnalul treapta unitara discreta1, n 0 [ n ] = ( nTe ) = 0 , n < 0

3

Semnalul impuls unitar in timp continuu. Impulsul lui Dirack 0A1 = A2 = A3

f k ( t ) dt = 1

k 0

, t = 0 lim f k ( t ) = k 0, t 0 , t = 0 (t ) = 0, t 0

( t ) dt = 1

Legatura intre impulsul unitar si treapta unitaralim g k ( t ) = ( t )

k 0

g'k ( t ) = f k ( t ) k 0

lim g'k ( t ) = lim f k ( t ) = ( t ) k 0 '

lim g k ( t ) = ( t ) k 0 ' ( t ) = ( t )

4

( )d = 0, t < 0

t

1, t > 0

( )d = ( t )

t

Impulsul unitar in timp discret1, n = 0 [ n] = 0 , n 0

Tema de curs. Demonstrati urmatoarele relatii:[n] =k =

[k ]

n

[n] [n 1] = [n]

5

Oscilatie cu anvelopa complexa in timp discretx [ n ] = a n cos 0 n

Exercitiu Trasati graficul semnalului pentru cazul a>1.

Semnale complexe. Fazorie j = cos + j sin ; e j = cos j sin e j + e j cos = 2 cos = Re e j ; ; e j e j sin = 2j sin = Im e j

{ }

{ }

6

Semnalul sinusoidal real

7

Pentru =0, varful fazorului descrie o elice infasurata pe un cilindru de raza A.

Frecventa negativa

8

Transformari simple ale semnalelori) Multiplicarea cu o constanta

Permite amplificarea sau atenuarea semnalului.

9

Deplasarea in timpx ( t t0 ) reprezinta versiunea deplasata a lui x ( t ) spre dreapta daca t0 > 0 stanga daca t0 < 0

10

Scalarea timpului pentru semnale analogice

11

Scalarea timpului pentru semnale definite in timp discret n x , daca n este divizibil cu k x(k ) [n] = k 0, in rest

x[n]

x(2 ) [n]

SistemeSunt modelate prin operatori.d dt : x ( t ) x' ( t ) : x ( t ) x ( )d - t

12

Sistem digitalx[n] x[n-1] x[n-2] x[n] + x[n-1] +x[n-2] 3

Mediere alunecatoare. Algoritm.

Modelul matematic

y ( t ) = S { x ( t )} sau x ( t ) y ( t ) y [ n ] = Sd { x [ n ]} sau x [ n ] y [ n ]Sd

S

13

Sisteme liniareS {a1x1 ( t ) + a2 x2 ( t )} = a1S { x1 ( t )} + a2 S { x2 ( t )} Sd {a1x1 [ n ] + a2 x2 [ n ]} = a1Sd { x1 [ n ]} + a2 Sd { x2 [ n ]}

t

OmogenitateS {ax ( t )} = aS { x ( t )} Sd {ax [ n ]} = aSd { x [ n ]}

2y(t) t

AditivitateaRaspunsul sistemului liniar la suma a doua semnale de intrare este suma raspunsurilor la fiecare semnal.

14

Sisteme invariante la translatia in timpS { x ( t )} = y ( t )

S { x ( t t0 )} = y ( t t0 )

Stabilitatea sistemelorDaca semnalul de intrare este marginit si semnalul de iesire trebuie sa fie marginit.

15

Cauzalitatea sistemelorEfectul sa nu apara inaintea cauzei.x(t) y(t) x[n]=[n] y1[n] y2[n] n t n

t y(t) x(t)

n

Cateva exemple de sistemei) Sistemul proportional ideal

y ( t ) = ax ( t ) , a R y [ n ] = ax [ n ] , a R Este un sistem fara memorie.

16

2. CONVOLUTIA2.1 Suma de convolutie. Raspunsul sistemelor discrete liniare si invariante in timp la un semnal de intrare oarecare

17

x [ n ] [ n ] = x [ 0] [ n ] 1, n = k [n k ] = 0 , n k x [k ] , n = k x [ n] [ n k ] = nk 0, x [ n] [ n k ] = x [ k ] [ n k ] x [ n] = x [ k ] [ n k ]k =

Raspunsul sistemelor discrete liniare si invariante in timp la un semnal de intrare oarecare y [ n ] = Sd { x [ n ]} = Sd x [ k ] [ n k ] = k = = x [ k ] Sd { [ n k ]} hk [ n ] = Sd { [ n k ]} y [ n ] = x [ k ] hk [ n ]k = k =

18

Suma de convolutie

y [ n] = x [ k ] h [ n k ] = = x [ n] h [ n] = h [ n] x [ n]k =

19

2.1. Conditia de cauzalitate a unui SLITDh [ n] 0 , n < 0 k =

h [ n ] = h [ n ] [ n ] , n Z k =0

y [ n] = x [ n k ] h [ k ] = x [ n k ] h [ k ] = = x [k ] h[n k ]k = n

Daca atat semnalul de intrare cat si sistemul sunt cauzale atunci si semnalul de iesire este cauzal.

2.1.2 Conditia de BIBO stabilitate a SLITDDaca semnalul de intrare este marginit atunci si raspunsul trebuie sa fie marginit.x [ n ] M , n Z y [ n] k =

x [k ] h[n k ] x [k ] h[n k ] k =

M h [k ]k =

y [ n] <

k=-

h [ k ] < h [ n ] l1 conditie suficienta

1

Necesitatea conditieiM = 1, x [ n ] = sgn ( h [ n ] ) y [ 0] = x [ k ] h [ 0 k ] = sgn ( h [ k ] ) h [ k ] a = a sgn ( a ) y [ 0] = h [ k ] k = k k k = k =

y [ 0] = h [ k ]k =

y [ 0] <

K a.i. n h [ n ] < K

kl=-

h [ k ] < , h [ n ] l1, conditie necesara,

Un exempluh [ n] = [ n] , y [ n] = x [ k ]k = n

x [ n ] - cauzal, y [ n ] = x [ k ] - acumulatork =0

n

x [ n] = [ n] y [ n] = 1 = n + 1k =0

n

Acumulatorul este instabil.

2

Asociativitatea convolutiei. Conectarea in cascada (serie) a SLITD

he [n] = h1[n] h2 [n]

y[n] = (x[n] h1[n]) h2 [n] = x[n] (h1[n] h2 [n])

Prin conectarea in cascada a 2 sisteme stabile se obtine tot un sistem stabil.

h1[n] l1 , h2 [n] l1 (h1 h2 )[n] l1Suma de convolutie este comutativa.

he [n] = h1[n] h2 [n] = h2 [n] h1[n]x[n]

h1[n]

x1[n]

h2 [n]

x[n]

y[n]

h2 [n]

h1[n] x2 [n]

y[n]

La conectarea in cascada nu conteaza ordinea.

3

Sistemul inversSistemul cu raspunsul la impuls h1[n] este inversul sistemului cu raspunsul la impuls h[n] daca prin conectarea lor in cascada se obtine un sistem de identitate. h[n] h1[n] = [n]Tema de curs. Dati un exemplu de sisteme inverse.

Distributivitatea convolutiei fata de adunare. Conectarea in derivatie (paralel) a SLITD

y1[n] = x[n] h1[n] = x[k ] h1[n k ] , y2 [n] = x[n] h2 [n] = x[k ] h2 [n k ]k = k =

y1[n] + y2 [n] = x[k ](h1[n k ] + h2 [n k ]) , y[n] = x[k ] he [n k ]k =

he [n] = h1[n] + h2 [n]

k =

4

2.2 Raspunsul indicial al unui SLITDx[n] = [n ], y[n] = s[n] = h[n] [n] = h[k ] Daca sistemul este cauzal, s[n] 0, pentru n < 0 s[n] = h[k ]k =0 n n

h[n] = s[n] s[n 1]

k =

2.3 Sisteme cu raspuns finit la impuls (FIR) si cu raspuns infinit la impuls (IIR) ak y[n k ] = bk x[n k ] ;k =0 N M

-2

0

2

4

6

8

10

k =0

In ipoteza ca a0 0 si a1 = a2 = ... = a N = 00 2 4 6 8 10

M b y[n] = k x[n k ] ; y[n] = h[k ]x[n k ] a0 k =0 k =

-2

0

2

4

6

8

10

bn , 0nM h[n] = a0 0, in rest

FIR (Finite Impulse Response Systems).

5

Sisteme IIR (Infinite Impulse Response)y [ n ] 0.5 y [ n 1] = x [ n ] y [ 1] = 0; y [ 0] 0.5 y [ 1] = x [ 0] = 1 y [ 0] = 1 y [ 0] = h [ 0] y [1] 0.5 y [ 0] = x [1] = 0 y [1] = 0.5 y [1] = h [1] y [ 2] 0.5 y [1] = x [ 2] = 0 y [ 2] = 0.52 y [ 2] = h [ 2] y [3] 0.5 y [ 2] = x [3] = 0 y [3] = 0.53 y [3] = h [3] h [ n ] = 0.5n [ n ]

2.4 Implementarea SLITD caracterizate prin ecuatii cu diferente finite, liniare si cu coeficienti constantiExemple de sisteme liniare si invariante in timp discret caracterizate prin ecuatii cu diferente finite: sistemul de intarziere, sistemul de mediere alunecatoare.a0 y[n] + a1 y[n 1] = b0 x[n] + b1x[n 1]

6

2.4.1 Implementarea directa Ia0 y[n] + a1 y[n 1] = b0 x[n] + b1x[n 1] z[n] = b0 x[n] + b1x[n 1] y[n] = 1 (z[n] a1 y[n 1]) a0

a0 y[n] + a1 y[n 1] = b0 x[n] + b1x[n 1]

7

x[n] b0Dx[n 1]

z[n]

1/a0

y[n]

Db1-a1 y[n 1]

Dx[n 2]. . .

Db2. . . . . .

-a2 y[n 2]. .

k =0

ak y[n k ] = bk x[n k ] ;k =0

N

M

bM

-aN-1

.

Dx[n M ]

D -aN

y[n N ]

SUBSISTEMUL 1 SUBSISTEMUL 2

Implementarea directa IIx[n ] x[n ]

1/ a0 v[n ] b 0

y [n ]

1/ a0 v[n ] b0D

y [n ]

a1

D

Dv[n 1]

b1

a1D

b1

v[n 1]SUBSISTEMUL 2

SUBSISTEMUL 1

x[n ]

1/ a0 b 0v[n ]

y [n ]

a2

b2

. . .

a1

Dv[n 1]

b1

a N 1 bN 1

. . .

D aNbN

8

2.5 Produsul de convolutie. Raspunsul SLITC la un semnal de intrare oarecare (tratarea euristica)1 , 0

jk

ck e

2 n N

1 ; ck = N

k< N >

% x [ n] e

jk

2 n N

1 = N

n =

x [ n] e

jk

2 n N

n =

1 2 x [ n] e jn ; ck = N X ( k 0 ) , 0 = N ;

1 1 X ( k 0 ) e jk 0 n = X ( k 0 ) e jk0n 0 2 k< N > k< N > N

sin ( 2 N1 + 1) 2 X () = . sin 2% Un termen al sumei x [ n ] reprezinta o arie elementara. Suma intreaga aproximeaza aria de sub curba intre abscisele si .

7

% x [n] =

1 X ( k 0 ) e jk 0n 0 ; 2 k< N >N

% x [ n ] = lim x [ n ] = X () =

1 X ( ) e jn d ; 2 2

n =

x [ n] e jn x [ n] e jn

Transformata Fourier in timp discret

Nck = X ( k 0 )

X ()

=

Functia X ( ) este continua. X ( + ) X ( ) =n =

n =

n =

x [ n] = x [ n] 1

x [ n] e jn ( e jn 1)1

0 X ( + ) X ( ) 2 x [ n ] 0 lim X ( + ) X ( ) lim x [ n] 0 e jn 1 = 0;0

;

0

lim X ( + ) = X ( ) .

n =

X ( + 2 ) =

n =

x [ n] e j( + 2)n = x [ n] e jn e j 2n = X ( );n =

Cazul semnalelor de energie finita x [ n ] l 2 lim X ( ) N

n = N

x [ n] e jn2

N

= 0,

X ( ) = l.i.m

N n = N

x [ n] e jn .

N

8

Exemple

1. x [ n ] = [ n + N1 ] [ n N1 1] ; sin ( 2 N1 + 1) 2 X () = sin 2

Tema de curs Reprezentati grafic spectrul obtinut pentru N1=3.

2. x [ n ] = [ n ] ; X () =n =

[ n] e jn = e0 = 1.

3. x [ n ] = a n [ n ] , a < 1, X () = X () =n =

a n [ n ] e jn = 1

n =0

( ae j )

n

=

1 1 ae j

, a < 1.

1 2a cos + a

2

a sin ; Arg ( X ( ) ) = arctg a cos 1

9

X () =

1 1 2a cos + a2

a sin ; Arg ( X ( ) ) = arctg a cos 1

Transformarea Fourier in timp discret pentru semnale discrete si periodicex x [ n ] = x [ n + N ] , ck =

1 2 X k . N N n =

[ n ] = e j 0 n

n =

e j 0 n e j n =

e

j 0 ) n e ( 2 0

1 0 ( ) = ( k 0 ) = 0 k = 2 ( ) = k =

1 ( k 2 ) = 2

k =

jk

,

e jn .

n =

[ n ] 22 ( 0 ) =

k =

( 0 k 2 ).

10

x [ n] =

N 1 k =0

ck e jk n ; e j n0 0

22 ( 0 ) N 1

e jk 0n 2 2 ( k 0 ) x [ n ] 2 ck 2 ( k 0 ) . X ( ) = 2 ckk =0 N 1

2 2 k m 2 = 2 ck ( k + mN ) N N m = k = 0 m =

k =0 N 1

Fie l = k + mN . Datorita periodicitatii coeficientilor Fourier cu perioada N : cl = ck . In consecinta X ( ) = 2 Exemplu 1 N [ n ] = [ n - kN ] ; ck = N k = N [ n ] 2 N 1 n=0

l =

cl l N . jk 2 n N

2

N [ n] e

=

1 N

1 2 k = 0 0 ( ). N k = N

[ n + N ]

[ n]

[ n N ]

[ n 2N ]n

-N

0

N

2N

00 ( )0 ( ) 0 ( 0 )

-2 -

0

0

0

(N-1)0

11

Proprietatile transformarii Fourier in timp discret1. Liniaritateaax [ n ] + by [ n ] aX ( ) + bY ( ) .

2. Translatia in domeniul timpx [ n n0 ] e jn0 X ( ) .

3. Modularea in domeniul timpe j0 n x [ n ] X ( 0 ) .

4. Scalarea variabilei timpx( k ) [ n ] X ( k ) .

5. Conjugarea complexa a semnaluluix* [ n ] X * ( ) .

1

6. Reflectarea in timp a semnaluluix [ n ] X ( ) .

7. Diferentierea numerica a semnalului discretx [ n ] x [ n 1] 1 e j X ( ) .

(

)

8. Convolutia semnalelorx [ n] y [ n] X ( ) Y ( ) .

9. Insumarea in domeniul timpuluik =

( ) x [ k ] 1 e j + X ( 0 ) 2 ( ).n

X

10. Produsul semnalelor discrete 1 1 x [ n ] y [ n ] X ( u ) Y ( u ) du = X ( ) Y ( ) . 2 2 2

11. Derivarea in domeniul spectruluinx [ n ] j dX ( ) d .

2

12. Proprietati ale transformatelor semnalelor discrete reale x* [ n ] = x [ n ] X * ( ) = X ( ) . x p [ n ] Re { X ( )} ; xi [ n ] j Im { X ( )} . X ( ) = X ( ) ; Arg ( X ( ) ) = Arg ( X ( ) ) ; Re { X ( )} = Re { X ( )} ; Im {X ( )} = Im { X ( )} . 13. Relatia lui Parsevalx [ n] l 2 , X ()2 L2 ,] [ n=-

x [ n] =

2

2 1 X () d ; 2 2 2 l2

= 2 x [ n ]

.2 L[ ,]

x [ n ] , y [ n ] l 2 , X ( ) ,Y ( )

= 2 x [ n ] , y [ n ]

l2

Densitatea spectrala de energieS X () = X () W=2

;

1 S X ( ) d . 2 2

3

Calculul raspunsului unui sistem discret liniar si invariant in timp la un semnal de intrare discret si periodicx [ n] =N 1 k =0

ck e jk n0

y [ n] =

N 1 k =0

ck H ( k 0 ) e jk n ;0

2 2 j +0 A j 0 2 A j N +0 N ; c = A e j0 si c = c + 0 = +e x [ n ] = Acos e e . 1 N 1 = 1 2 2 N 2 A j 0 A j 0 y [ n ] = e H ( 0 ) e j 0 n + e H ( 0 ) e j0 n ; h [ n ] R H ( ) = H * ( ) . 2 2 A j n + ( 0 ) +0 + A H y [ n ] = H ( 0 ) e 0 ( 0 ) e j 0n+( 0 )+0 , 2 2 y [ n ] = A H ( 0 ) cos 0 n + ( 0 ) + 0 .

Cazul sistemelor caracterizate de ecuatii cu diferente finite liniare si cu coeficienti constantik =0

ak y [ n k ] = bk x [ n k ] , a0 0 ,N k =0

N

N

Y ( ) ak e

(

k =0 k j

)

= X ( ) bk ek =0 k

N

(

j

)

k

, a0 0.

bk ( e j ) Y ( ) k =0 H () = =M

X ()

k =0

ak ( eN

j k

)

; a0 0.

4

Exemplei) y [ n] 2 1 y [ n 1] + y [ n 2] = x [ n ] x [ n 1] . 2 4 1 e j 2 j 1 2 j 1 e + e 2 4

H () =

=

(1 1e j )(1 2e j )

1 e j

,

2 1 j 1,2 = (1 j ) = e 4 . 4 2 A1 A2 1 2 2 1 ; A1,2 = j . H () = + j j 2 2 1 1e 1 2en h [ n ] = A11 + A2 n [ n ] = ... = 2

(

)

2 n +1 n 2 sin [ n ] . cos 4 4 2 n

ii) 3 . 1 j 1 j 1 e 1 e 2 8 4 1 H () = ; 1 j 1 j 1 e 1 e 2 8 1 1 h [ n ] = 4 n 3n [ n ] . 2 2 H () =

5

iii) y [ n ] ay [ n 1] = x [ n ] , a < 1. H () = 1 1 ae j

h [ n] = a n [ n] .

Raspunsul indicialTransformata Fourier in timp discret a treptei unitare poate fi determinata aplicand proprietatea P9 de insumare in domeniul timp:

Pentru x [ k ] = [ k ] membrul drept al relatiei anterioare devine: X () = S () = 1 1 e j j

k =

( ) x [ k ] 1 e j + X ( 0 ) 2 ( ).n

X

+ 2 ( ) , S ( ) = H ( ) X ( ) ; 1 j

(1 ae )(1 e )

+

2 ( ) . 1 a

S ( ) = ... = s [ n] =

1 1 1 a + + 2 ( ) ; 1 a 1 ae j 1 a 1 e j

1 1 a n+1 a n a [ n] + [ n] = [ n] . 1 a 1 a 1 a

6

Sisteme discrete liniare si invariante in timp de ordinul intai si doiH () =k =0 N k =0

bk ( e j )M

k

ak e

(

j k

)

=

b0 a0

(1 + 1k e j + 2k e2 j ) P

M 2 P

(k =1

k =1 Q

1 + 1k e j + 2 k e2 j

) 1 (1 + k e j ) k=

N 2Q

(1 + k e j ) k =1

Fie M = N . H () =Q N 2Q bN 0 k + 1k e j Ak + + j 2 j j aN k =1 1 + 1k e + 2k e k =1 1 + k e

Sisteme de ordinul intaiy [ n ] ay [ n 1] = x [ n ] , a < 1 . H ( ) = s [ n] =n +1

1 1 ae j

; h [ n] = a n [ n] .

1 a [ n ] (conform exemplului iii)). 1 a

7

Sisteme de ordinul doii) y [ n ] 2 cos y [ n 1] + 2 y [ n 2] = x [ n ] , 0 k xx ( ) = 0. Tinand seama de paritatea functiei de autocorelatie se obtine reprezentarea grafica din figura.

3

Coeficientul de intercorelatie xy () = R xy () R x (0) R y (0)

xy ( ) 1Apreciaza calitatea unei metode de prelucrare a semnalelor exprimand gradul de asemanare dintre semnalul original si rezultatul prelucrarii. Watermarking.

Watermarking

4

Functia de intercorelatie a semnalelor periodice1 Rxy ( ) = lim T TT 2

T 2

1 x ( t ) y ( t + ) dt si Rxx ( ) = lim T T

T 2

x ( t ) y ( t + ) dt. Daca semnalele x si yT 2

sunt periodice de perioada T0 atunci si semnalul x ( t ) y ( t + ) este periodic de aceiasi perioada si a0 + ak cos ( k0t + k ) . De aceea 2 k =1 intercorelatia semnalelor periodice x si y poate fi pusa in forma: poate fi descompus in serie Fourier in forma:x ( t ) y ( t + ) = 1 Rxy ( ) = lim T T a0 1 /2 2 dt + Tlim T k =1 T T/2 T 2

ak cos ( k0t + k ) dt

T 2

rezulta ca:Rxy ( ) = Rxy ( ) =

a0 1 = x ( t ) y ( t + ) dt 2 T0 T0

1 x ( )* y ( ). c T0

Proprietatile intercorelatiei semnalelor periodiceP1. P2. Rxy ( ) = Ryx ( - ) Rxx ( ) = Rxx ( - ) . Rxy ( ) ( ckx* ) cky .

x ( t ) ckx , y ( t ) cky

D. Rxy ( ) =

v 1 1 x ( - ) * y ( ) T0ckx cky = ( ckx c T0 T0

)* cky . (c.c.t.d)

x = y ckRxx = ckx . Dezvoltarea in serie Fourier a semnalului Rxx ( ) este:x Rxx ( ) = c0 + 2 ckx e- jk0 . 2 2 k =1

2

Pentru = nT0 cu n Z se obtine: Rxx ( nT0 ) = c0x + 2 ckx relatie care demonstreaza ca valorile autocorelatiei2 k =1

la momente multipli de T0 sunt egale cu puterea semnalului considerat.

5

ExempluRxy ( ) = 1 T0 1 T0T0 / 2 T0 / 2

x ( t ) y ( t + ) dt

- [ 0, b ] [ -b, 0] Rxy ( ) = = Em1 Em2 T0b

b

Em1 b

tEm2 dt =

(1 T0

b2 2 2 2b

).

- [ -b, 0] [ 0, b ] Rxy ( ) = = Em1 Em2 bT0

0

Em1 b

tEm2 dt =2 ( b- ) .

b

tdt =0

Em1 Em2 2bT0

Relatia intre densitatile spectrale de putere si de energie ale semnalelor ce trec prin SLITy ( t ) = h ( t ) *x ( t ) = x ( t ) *h ( t ) 1 1 Rxy ( ) = x v ( ) * y ( ) Ryy ( ) = y v ( ) * y ( ) = c c T0 T0 1 1 = ( h ( - ) *x ( - ) ) * ( h ( ) *x ( ) ) = ( h ( - ) *h ( ) ) * ( x ( - ) * x ( ) c c T0 T0 = Rhh ( ) *Rxx ( )

)=

S y ( ) = Sh ( ) S x ( ) = H ( ) S x ( ) Sx ( ) = k =-

2

2 cy 2 k

x 2 k

( -k0 ) S y ( ) = 2 ckx H ( k0 ) ( -k0 ) =2 k=-

= 2 ck=-

( k0 ).

6

Corelatoare analogiceLinii de transmisie Multiplicatoare analogice

Integratoare analogice

Avantaj: Banda larga