MINISTERUL EDUCAŢIEI SI ÎNVĂTĂMÎNTULUI

Ccnf. dr. ing. ADRIAN TRAIAN MURGAN Ş. I. dr. ing. IULIA SPÂNU Ş. I. ing. INGE GAVĂT Ş. I. dr. ing. ISTVAN SZTOJANOV Ş. I. dr. ing. VICTOR EMIL NEAGOE Ş. I. dr. ing. ADRIANA VLAD

Coordonator: prof. dr. ing. A L E X A N D R U S P Ă T A R U

TEORIA TRANSMISIUNII

INFORMAŢIEI •probleme

EDITURA DIDACTICĂ Şl PEDAGOGICĂ-BUCUREŞTI 1983

Lucrarea a fost analizată şi aprobată de colectivul Catedrei de Electronică Aplicată, de Consiliul Profe­soral al Facultăţii de Electronică şi Telecornunicaţii şi de Biroul Senatului Institutului Politehnic-Bucureşti

Contribuţia autorilor:

Cap. 1 — I. Sztojanov Cap. 2 — 1 . Gavăt Cap. 3 — 1 . Spânu Cap. 4 - A. Vlad Cap. 5 - A. T. Murgan Cap. 6 — V. E. Neagoe

Redactor: ing. Monica Ursea Tehnoredactor: Vergilia Rusu Grafician: Wegeman Victor

P R E F A J A

Culegerea de faţă este destinată în primul rînd stu­denţilor electronisti, dar poate fi utilă şi absolvenţilor în preocupările cărora intră probleme legate de trans­miterea informaţiei.

Scopul urmărit este să se pună la dispoziţia citi­torilor probleme tipice de teoria codurilor, transmiterea semnalelor aleatoare, teoria modulaţiei şi a deciziilor statistice. Lucrarea reprezintă o culegere de aplicaţii la principalele capitole ale cursului „Teoria transmisiunii informaţiei" ediţia 1983—autor prof. dr. ing. Al. Spă-taru. Pentru facilitatea utilizării culegerii, fiecare ca­pitol începe prin prezentarea succintă a noţiunilor te­oretice necesare pentru soluţionarea problemelor.

Deoarece această culegere de probleme a fost .elabo­rată în aceeaşi perioadă cu cursul „Teoria transmisiu­nii informaţiei", acesta nu a fost menţionat în biblio­grafie, consultarea şi citarea lui fiind de la sine înţe­lese.

Deşi culegerea nu are un caracter exhaustiv — dome­niul fiind foarte vast, ea poate avea un rol important în înţelegerea şi aprofundarea acestei discipline. Majo­ritatea problemelor sînt rezolvate pentru a permite urmă' rirea metodologiei corespunzătoare; la sfîrşitul fiecărui capitol sînt propuse probleme spre rezolvare.

Autorii ţin să-i mulţumească prof. dr. ing. Al. Spă-taru pentru interesul şi eficienţa cu care a coordonat întreaga activitate legată de elaborarea lucrării de faţă.

AUTORII

3

CUPRINS

Cap. 1. Surse, canale şi receptoare de simboluri discrete 5 Introducere teoretică 5 Probleme rezolvate 12 Probleme propuse 40

Cap. 2. Coduri 44

Introducere teoretică 44 Probleme rezolvate 51 Probleme- propuse , 97

Cap. 3. Semnale aleatoare şi transmiterea lor prin sisteme liniare şi neliniare 99

Introducere teoretică 99 Probleme rezolvate : ,. . 105 Probleme propuse 125

Cap. 4. Detecţia semnalelor şi estimarea parametrilor 127

• Introducere teoretică 127 Probleme rezolvate 132 Probleme propuse 154

Cap. 5. Estimarea formei semnalului 160

Introducere teoretică 160 Probleme rezolvate , 165 Probleme propuse 213

Cap. 6. Modulaţia 218

Introducere teoretică 218 Probleme rezolvate 233 Probleme propuse 267

4

CAPITOLUL 1

SURSE, CANALE Şl RECEPTOARE DE SIMBOLURI DISCRETE

INTRODUCERE TEORETICĂ

A. Surse discrete fără memorie

O asemenea sursă se caracterizează printr-un număr finit de stări în care se generează simbolurile x{ de durată rt cu probabilităţile p(x4). Notăm:

[X] = [xlt x2, ..., xn];

t = [TI , T2, . . . , T J ;

V = {p(x1),p(x2),...,p(xn)].

Cantitatea de informaţie obţinută prin apariţia unui simbol xi va fi:

/(*,) = -log2p(xt) [bit].

Pentru caracterizarea surselor din punct de vedere informaţional se folo­sesc următoarele mărimi:

• entropia sursei (informaţie medie/simbol)

H(X) = - f ^ ^ l o g ^ H b i t / s i m b o l J , (1.1> »=i

a cărei valoare maximă este:

Hmax(X) = log2n [bit/simbol]; . (1,2)

• debitul de informaţie al sursei

Ht = S^L [bit/simbol.s], (1.3) T

unde n

r = ^2p(x{) -T4; i = i

• redundanţa sursei

R(X) = Hmax{X) - H{X) [bit/simbol]; (1.4)

• eficienţa sursei

rt(X) = JW-— (1.5) Hmax(X)

5

B. Surse continue

Un semnal de bandă limitată w şi durată finită T se poate scrie sub forma:

sin 2TZW it I

•«-s-Ga- { *] 2TZW

sau, sub formă vectorială,

V 2u>)

x = x (a1( a2, ..., ocj,

unde as = # | — 1 si n = 2wT, 1 < k < «.

Spaţiul semnalului cuantizat cu Aq generat de o sursă continuă va fi:

[X] = [x1; x2, ..., x^j, unde:

P{*k) =PWx< x(h) < <*i + A?, .... a, < *(*,) < aB + A?}.

Prin analogie cu cazul discret se defineşte entropia sursei continue sub forma:

H(X) = -[ p(xk)log2p(xk)dx • (1.6) jx

C. Canale de transmisiune discrete

Se notează cu X mulţimea simbolurilor de intrare în canal (cîmpul de intrare), cu Y — mulţimea simbolurilor de ieşire (cîmpul de ieşire), cu P(X) — probabilităţile simbolurilor de intrare şi cu P(Y) — probabilităţile sim­bolurilor de ieşire. Se definesc, astfel:

[X] = [xlt x2) ..., xn];

J>(X)=[p(Xl),p(x2),...,p(xn)];

[Y] = ÎVi. yt,.». %J ;

W = »WJW #y. Pentru caracterizarea canalului din punct de vedere informaţional se

definesc următoarele entropii: • entropia cîmpurilor reunite

n m H(X, Y) = - £ £ # * « • yi) l°g*P(xi' Vi) [bit/simbol]; (1.7)

6

• entropiile condiţionate

H{XjY) = - £ £ # * „ y,) logrfixjy,) [bit/simbol]; (1.8)

H(YJX) = -J2 £>(*« . yJ l0S*P(y,l*i) [bit/simbol]; . ; (1.9) 1 = 1 J = l • • . - ;

Aceste entropii se mai numesc: echivocaţie H(X/Y), respectiv eroare medie H(Y/X).

• transinformaţia (informaţia medie transmisă prin canal)

I(X, Y) = H(X) + H(Y) - H(X, Y). (1.10)

Se mai folosesc şi următoarele relaţii:

H{YJX) = H(X, Y) - H(X); (1.11)

H{XjY) = H(X, Y) -H(Y); (1.12)

I(X, Y) = H(Y) - H(YjX) = H(X) - H(XjY). . (1.13)

Probabilităţile care apar în definiţiile entropiilor condiţionate şi respectiv în definiţia entropiei cîmpurilor reunite sînt date, de obicei, sub forma unor matrice de probabilităţi:

• matricea probabilităţilor reunite intrare-ieşire

P(X, Y)

P(xi. yi) P(xi> ye) ••• P(xi, ym)

Pix2,yi) P(x2,yz)—P(x2, ym)

p{*n> yx) P{%„ yz) -P{xn, ym).

cu proprietăţile n m

£ £>(*«. y,) = i; J^P(xt, y,) = P(y,\; i=\ j=i

i=i

• matricele probabilităţilor condiţionate (nutrite şi matrice de zgomot sau matrice de tranziţie)

J>(Y/X)

cu proprietatea

P(yilxi) Piyz/xi) •••p{yjx1) P(yilx2) P(yzlx2) •••P(yjx2)

L P(yilxn) P(y2/xn) ...p(y

Ş2P(yjl*<)= i; 3=1

P(Z/Y) = P{xJyi) P(xilyz)-P(%ilym)

Pinhi) P(x2ly2)..,p(x2lym)

-Pixjyi) p{x.\yt) ...p(xjym). proprietatea

t = i

D. Canale de transmisiune continue

Prin analogie cu cazul discret se definesc entropiile condiţionate şi transin-formaţia:

H(X/Y) = - \ [ P(*>y)log,p(xly)dx dy; (1.14)

H(Y/X) = - [[ p(x, y) log2 p(y/x) dx dy; ' (1.15)

I(X,Y) = [ [ p(x, y) log2 ^ dxdy (1.16)

E. Capacitatea canalelor

Capacitatea C a unui canal de transmisiune reprezintă cantitatea maximă de informaţie ce se poate transmite pe acel canal.

Se mai utilizează şi noţiunea de debit informaţional al canalului (CJ, reprezentînd cantitatea de informaţie furnizată de acesta în unitatea de timp.

Se poate scrie relaţia:

O Observaţie. Dacă T = 1 s, C — Cf

Prezentăm în continuare principalele modele de canale şi expresia capa­cităţii acestora.

• Canale discrete: • cazul

C = max I(X, Y) = max [H(Y) - H{YjX)}; (1.17) p{*t) p{*t)

%

• canal discret dublu uniform, pentru care matricea de zgomot are aspectul următor:

¥(YJX) =

I" 1 - p q q...q

<i l-fi 1-1

1 q 1 -PA

C =?.logzn + (1 — p)log2(l —p) + (n—l)q logtf;

• canal discret binar simetric:

P(YIX) = \ l ~ ^ $ [fi • 1 - fii

C = l + (1 -fi) log2(l -fi)+fi log2p;

• canal discret binar [cazul general)

P ( Y / Z ) = \ p n p12' [p21 p22 .

C = log2 [2<?.+ 2<?*]

unde:

p22 ?H = ^ - ; ?12 =

A

Q1 = -qn H(Y/Xl) - ql2H(Yjx2) ;

Q2= -q2XK{Y\xx) - q22K(Y\x2);

Pl2 ?21

A A

A = A 1 A 2 — ^21^12-

» ţ/22 — f Jn.

(1.18)

(1.19)

(1.20)

(1.21)

(1.22)

(1.23)

(1.24)

(1.25)

(1.26)

(1.27)

Probabilităţile simbolurilor de la intrare pentru care se obţine această capacitate rezultă din relaţiile:

. p(Xl) = 2-c[qn 2^ + ql22Q*] ;

p(x2) = 2~c[q21 2<?» + q22Z9*}.

(1.28)

(1.29)

• Canal continuu • Cazul general. Capacitatea unui canal continuu se calculează cu aju­

torul relaţiei:

C = wR\og2 (1 - PjN), (1.30)

unde s-a notat : WR — banda de frecvenţă a semnalului transmis; P —puterea semnalului; N — puterea zgomotului.

Cunoscînd capacitatea canalului, se pot defini: — redundanţa canalului

R(C) = C-,I(X,Y); (1.31)

9

eficienta canalului

r,(Q = I(X, Y)

C (1.32)

F. Cazuri particulare

De importanţă practică sînt cele două cazuri limită: canalul fără pertur­baţii şi canalul cu perturbaţii mari. Definim entropiile, transinformaţia şi capacitatea canalului în aceste cazuri.

• Canal fără perturbaţii: H(XjY) = H{YjX) = 0; H{X) = H(Y) = I(X, Y) = H(X, Y);

C = maxH(X).

• Canal cu perturbaţii foarte mari: ' H(XIY) = H(X); H{Y/X) = H{Y); H(X, Y) =B{X) + H(Y) ; I(X, Y) = 0 ; C = 0. .

©d CANAL R

H(X/Y)~(p\N(Y/X) Cazperera/

0H CANAL R

H(X)=I(X,Y)=H(Y)

H(X/Y) = H(Y/X)'°

Cana/ fără perturba///

N/X/Y) I(X,Y) H(Y/X)

H(Y)

Canal ca perturbaţii foarte mori

N(X)=H(X/Y) H(r/X)=H(Y)

H(X) H(Y):

I(X,Y)=ff Fig. 1. Modelul trecerii informaţiei pe un canal de transmisiune.

10

G. Receptoare de simboluri discrete (cazul binar)

Criteriul de optimizare folosit în cazul receptoarelor de simboluri discrete este cel al costului mediu minim, numit risc şi avînd expresia:

• Partiţia simbolurilor recepţionate se face comparînd următoarele două mărimi:

— raportul de plauzibilitate: •

— pragul testului:

V=feM; (1.34) P(y*l**)

K = H^L. c2X-c22 t (135) P(xi) C12 — Cu

unde Ci} reprezintă costurile de decizie (Cxx şi C22 — costurile unor decizii corecte; C12 şi C2X — costurile unor decizii eronate), A — simbolul emis, yk — simbolul recepţionat şi xt — simbolul estimat.

Dacă Xk > K, vom plasa simbolul yk în submulţimea Yx, iar dacă \ < K, atunci yk e Y2, ceea ce se poate scrie compact în felul următor:

\ i K . (1.36)

In urma partiţiei se estimează deci simbolurile xx din Yx şi x2 din Y2.

• Se definesc următoarele criterii de partiţie: * criteriul riscului minim:

PiyJxi) Y-i P(x2) C2i — C2

PiyJxz) y* p{xx) cX2 — cx criteriul plauzibilităţii maxime

(l!37)

P(yJx2) Y, • criteriul observatorului ideal

P(yJxi) l1 p{x2)

P{y*IXl) | l ; '(1-38)

Ş P(yJx2) Y, p(xx)'

criteriul probabilităţii aposteriori maxime

(1.39)

t^M \ 1. (1.40) P{x2lyk) Y>

i i

• Matricea strategiei;-de decizie i se defineşte prin

' P(xih'i) p{x2lyi)'

s = = PiZihi) fi(x2ly2) . , { 4 1 v

. P(xilym) p{x2lym).

• Matricea de tranziţie a canalului echivalent (intrare în canalul de transmisiune—ieşire din receptorul optimal) — care înglobează canalul pro-priu-zis şi receptorul optimal — este

T = P ( Y / X ) - S . (1.42)

• Strategia aleatoare minimax. în cazul unei ^strategii aleatoare simbo­lurile recepţionate yk nu sînt atribuite în mod univoc uneia dintre submul-ţimile Yx sau Y2, ci cu o anumită probabilitate sînt incluse în Y± şi cu com­plementul acestei probabilităţi — în Y2. Relaţia (1.33) se mai poate scrie şi astfel:

R^Pix^PCxJx,)^. (1.43) i j

Vom numi risc condiţionat expresia:

2?(*,,S)=£>(*,/*4)CM. (1.44) - i

Introducînd relaţia (1.44) în (1.43) rezultă

R = Ylfi(xt)R(x(,S). (1.45) i

î n cazul strategiei minimax se combină în general două strategii cu riscurile condiţionate cît mai mici.

Criteriul minimax presupune alegerea acelei coordonate x( care conduce la valoarea maximă a riscului condiţionat şi adoptarea acelei strategii care conduce la valoarea minimă a acestui risc:

minmax R(xt,S). S Xi

PROBLEME REZOLVATE

1.1. Să se calculeze cantitatea de informaţie necesară pentru precizarea po­ziţiei unei figuri pe o tablă de şah.

Soluţie 0 primă posibilitate pentru precizarea poziţiei unei figuri constă în nume­

rotarea fiecărui pătrat. în total sînt necesare m = 64 de cifre. Figura pu­ţind ocupa oricare dintre aceste pătrate, rezultă că pentru precizarea poziţiei ei va fi necesară o cantitate de informaţie:

Ifu = log2 l/w = log2 64 = 6 bit.

12

O a doua posibilitate de a preciza poziţia unei figuri constă în cunoaşterea coordonatelor sale. î n cazul tablei de şah vor fi necesare 8 cifre sau litere pe orizontală şi 8 cifre sau litere pe verticală.

Cantitatea de informaţie necesară pentru precizarea poziţiei figurii va fi:

Im = - 2 log2 1/8 = 6 bit.

1.2. Fie 12 monede dintre care una este falsă — mai uşoară sau mai grea. Se cere să se determine numărul minim de cîntariri necesare găsirii monedei false şi precizării dacă este mai uşoară sau mai grea. Se presupune că pentru cîntariri se utilizează o balanţă fără greutăţi.

Soluţie O problemă se poate rezolva dacă prin testări sau măsurări se obţine o

cantitate de informaţie mai mare sau cel puţin egală cu cantitatea de infor­maţ ie necesară rezolvării problemei.

Cantitatea de informaţie necesară pentru a preciza care, este moneda falsă este:

Ix = - log2 1/12 bit.

La aceasta se mai adaugă o cantitate de informaţie necesară pentru a preciza dacă moneda este mai uşoară sau mai grea, adică:

h = - l o g 2 1/2 bit.

Cantitatea totală de informaţie necesară rezolvării complete a problemei este:

I = h + Iz = log2 24 bit. .

întrucît balanţa se caracterizează prin trei poziţii, şi anume egal, mai mare şi mai mic, cantitatea de informaţie obţinută la o cîntărire este de:

h = - log2 1/3 bit.

Numărul minim de cîntariri se deduce din condiţia ca informaţia obţinută în urma efectuării a „k" cîntariri, k I3, să fie mai mare decît informaţia necesară soluţionării problemei, / :

log2 24 < k • log2 3 ; log2 24 < log2 3fc.

Ţinînd cont că funcţia logaritm este o funcţie monotonă, rezultă:

24 < 3*.

Primul număr întreg care satisface inegalitatea este k = 3. Deci, sînt necesare trei cîntariri.

1.3. Fie un alfabet format din literele A, B, C. Se cere să se calculeze: a) numărul maxim de mesaje de lungime 3 ce se pot forma cu acest alfabet ; b) cantitatea de informaţie conţinută de un asemenea mesaj.

13

Soluţie a) Mesajele ce pot fi formate cu acest alfabet sînt în număr de 2V=

= 33 = 27, şi anume:

A A A B A A C A A A A B B A B C A B A A C B A C C A C A B A B B A C B A A B B B B B C B B A B C B B C C B C A C A B C A C C A A C B B C B C C B A C C B C C C C C

b) Mesajele sînt echiprob abile. înseamnă că fiecărui mesaj îi corespunde o cantitate de informaţie:

Kc*ai = - l o g a 1/27 = log2 27 = 4,75 bit.

1.4. 0 sursă discretă care generează opt mesaje se caracterizează prin:

\Pi = [sl> $2, S 3 ' S4> S5> S6> s 7, %] '

t = [2, 2, 3, 3, 4, 4, 4, 4];

P = [1/4, 1/4, 1/8, 1/8, 1/16, 1/16, 1/16, 1/16].

Se cere să se calculeze: a) entropia sursei; b) debitul de informaţie; c) redundanţa sursei; d) eficienţa sursei.

Soluţie

a) H(S)=f;p(si) log2p(Si) = - 1/4 log2l/4 - 1/4 log2 1/4 - 1/8 log2l/8 -

- 1/8 log2l/8 - 1/16 log2 1/16 - 1/16 log2 1/16 - 1/16 log2 1/16 -

— 1/16 log2 1/16 = 11/4 bit/simbol.

b) Folosim relaţia (1.3). Deoarece

T = 2-1/4 + 2-1/4 + 3-1/ 8 + 3-1/8 + 4-1/16 +

+ 4-1/16 + 4-1/16 + 4-1/16 = 11/4 s/simbol,

rezultă

Ht (S) = 1 bit/s.

c) în conformitate cu relaţia (1.2) rezultă

Hmax(S) = log28 = 3 bit/simbol.

Folosind relaţia (1.4) se obţine:

R(S) = 3 - 11/4 = 1/4 bit/simbol.

14

d) Din expresia (1.5) se deduce: 11/4

7,(5) = —^ = 0,91.

1.5. Să se evalueze cantitatea de informaţie obţinută prin măsurarea poziţiei unui punct oarecare M pe un segment de dreaptă AB de lungime L, folosind o unitate de măsură de lungime A (fig. 1.5).

A nA M (a+1)A S

Fig. 1.5. Determinarea poziţiei punctului M pe dreapta AB cu aju­torul unităţii de măsură A.

Soluţie Pentru a rezolva problema, trebuie evaluată transinformaţia pentru cazul

canalului continuu I(X, Y) = H{X) - #(X/Y).

Pentru a putea evalua entropiile în cazul canalului continuu, se consideră un segment s (e -> 0) comensurabil atît cu segmentul AB de lungime L, cit şi cu unitatea de măsură folosită, A. Cu ajutorul lui e se vor discretiza segmentele AB şi A în N = L/s, respectiv K = A/e puncte distincte. Iniţial punctul M poate ocupa oricare dintre cele N poziţii de pe dreapta AB. Re­zultă că nedeterminarea iniţială va fi

ff(X)=log2iV = l o g 2 - . £

După efectuarea măsurării se constată că punctul M se află la „n" inter­vale A de capătul A al segmentului, deci se obţine prin măsurare o anumită cantitate de informaţie prin scăderea incertitudinii de la valoarea iniţială H(X) la o valoare H(X/Y). Incertitudinea rămasă se datorează faptului că după efectuarea măsurării punctul M poate ocupa una dintre cele K poziţii din interiorul segmentului A. Incertitudinea finală va fi:

ff(x/Y)=iog2*: = iog2A. s

Informaţia obţinută în urma procesului de măsurare va fi:

I(X, Y) = H(X) - H(X/Y) = log2 - - log2 - = log2 ~ • s s A

La limită se obţine:

H(X) = lim lcg2 • oo ;

H(X/Y) = lim log2 — -> oo ;

I(X,Y) = H(X) - ff(X/Y) = log2 A • A

15

O Se observă că, deşi nedeterminările iniţială H(X) şi finală H(X[Y) tind spre infinit în cazul continuu, totuşi, cantitatea de informaţie obţinută efectiv în urma măsurării este finită şi cu atît mai mare cu cît unitatea de măsură A cu care se face măsurarea este mai mică. «*

1,6. La intrarea unui canal de transmisiune se cuplează o sursă care gene­rează simbolurile 1,2,3 cu probabilităţi egale. Perturbaţiile de pe canal sînt de aşa natură încît 5% din simbolurile transmise se pot transforma cu probabi­lităţi egale în oricare dintre simbolurile alfabetului dat.

Să se determine: a) entropia sursei; b) entropiile. condiţionate; ,, ,...., c) entropia cîmpurilor reunite; d) transinformaţia; e) capacitatea canalului. Soluţie Din datele problemei rezultă:

# 1 ) = # 2 ) = # 3 ) = 0,33 ;

#1 /1) = # 2 / 2 ) = #3 /3 ) = 0,95;

#2 /1 ) = #3 /1 ) = #1 /3) = #2 /3 ) = # 1 / 2 ) = # 3 / 2 ) = 0,025;

•#1,1) = # 2 , 2 ) = # 3 , 3 ) = 0,33 -0,95 = 0,316;

#1 ,2) = # 1 , 3 ) = # 2 , 3 ) = # 3 , 1 ) = # 2 , 1 ) = # 3 , 2 ) =

= 0,33 • 0,025 = 0,0083.

Matricele de probabilităţi care caracterizează canalul vor fi:

" 0,316 0,0083 0,0083 P(X, Y) = 0,0083 0,316 0,0083

. 0,0083 0,0083 0,316

"0,95 0,025 0,025" P(X/Y) = P(Y/X) = 0,025 .0,95 0,025

_0,025 0,025 0,95.

a) Folosim relaţia (1.1) şi obţinem:

H(X) = log2 3 = 1,58 bit/simbol.

b) Folosind relaţiile (1.9), respectiv (1.8), rezultă:

H(Y/X) = - [ 3 • 0,316 log2 0,95 + 6 • 0,0083 log2 0,025] =

= 0,336 bit/simbol;

H(XJY) = H(YjX) = 0,336 bit/simbol.

c) în conformitate cu relaţia (1.7) rezultă

H(X/Y) = - [ 3 • 0,316 log2 0,316 + 6 • 0,0083 log2 0,0083] = = 1,92 bit/simbol.

16

d) Tiansinformaţia se poate calcula cu relaţia (1.13): .••••••

J(X, Y) = 1,58 - 0,336 = 1,244, bit/simbol. -

e) Folosim relaţia (1.17), .în care vom ţine cont de faptul că eroarea medie este o constantă (punctul „b"). Cu această precizare vom putea scrie: , • • . . . . .

C = max H(Y) — 0,336 = log23 - 0,336 = 1,244 bit/simbol. P(xt) • •

1.7. Un canal de transmisiune se caracterizează prin următoarea matrice de zgomot:

' 0,98 0,01 0,01 V(YjX) = 0,1 0,75 0,15

[ 0,2 0,3 0,5

La intrarea în canal se aplică simbolurile xx, x2 şi x3 cu probabilităţile:

p(Xl) = 0,7; p(x2) = 0,2; p(x3) = 0,1.

Se cere: a) cantitatea medie de informaţie furnizată de un simbol recepţionat; b) cantitatea de informaţie care se pierde la transmiterea unui mesaj format

din 400 de simboluri; c) cantitatea de.informaţie recepţionată în condiţiile de la punctul b).

Soluţie a) Se calculează entropia sursei conform relaţiei (1.1):

H(X) = [0,7 log2 0,7 + 0,2 log2 0,2 + 0,1 log2 0,1] =

= 1,156 bit/simbol.

b) Eroarea medie corespunzătoare receptionării unui simbol se calculează conform relaţiei (1.9):

H{YjX) = -0 ,7(0,98 log2 0,98 + 2 • 0,01 log2 0,01) + 0,2(0,1 log2 0,1 +

+ 0,75 log2 0,75 + 0,15 log2 0,15) + 0,1(0,2 log2 0,2 + 0,31og20,3 +

+ 0,5 log2 0,5) = 0,473 bit/simbol.

Eroarea care apare la recepţioriarea unui mesaj format din n = 400 de simboluri va fi:

M = nH{YţX) = 400. 0,473 = 189,5 bit.

c) Informaţia totală recepţionată va fi:

I = nI(X, Y) = n[H(Y) - ti(Y/X)] = nH(Y) - M.

Trebuie să determinăm H(Y); pentru aceasta este necesară calcularea probabilităţilor p(y}). Deoarece

3

E P(y,) =Ţ,P{Xi)P(y,I*t),

se obţine:

p(yi) = 0,7 • 0,98 + 0,2 • 0,1 + 0,1 • 0,2 = 0,726;

P(y2) = 0,7 • 0,01 + 0,2 • 0,75 + 0,1 • 0,3 = 0,187;

p(y3) = 0,7 • 0,01 + 0,2 • 0,15 + 0,1 • 0,5 = 0,087.

Entropia cîmpului de ieşire se calculează cu o relaţie de forma (1.1):

H(Y) = - X > M logap(y,) = -(0,726 log2 0,726 +

+ 0,187 log20,187 + 0,087 log3 0,087) = 1,09 bit/simbol.

Informaţia totală recepţionată va avea valoarea:

I = 400 • 1,09 — 189,5 = 248,1 bit/simbol.

1.8. Fie matricea probabilităţilor cîmpului produs intrare-ieşire de forma:

0,3 0 0 V{X, Y) = 0,2 0,3 0,1

L0 0,1 o

Se cere să se calculeze entropiile condiţionate H(Y/X) şi H(X/Y).

Soluţie Ţinînd seama că:

3 3 ' •

£ P(xo yt) = P.(yi) şi J2^x'> ^) = P^>

rezultă:

p(xj) = 0,3; p(x2) = 0,6; p(x3) = 0 ,1;

P(yi) = 0,5; p(y2) = 0,4; p(y3) = 0,1.

Deoarece

#tt/*«) = P(Xj, 3'j) . / » ( * f / ^ ; )

P(xt, y,) P(y})

rezultă ca matricea P(Y/X) se obţine din matricea V(X, Y) împărţind elemen­tele fiecărei linii i prin p{xt). Se obţine:

P(Y/X) 1 0 0 " 0,33 0,5 0,167 0 1 1

Eroarea medie S3 calculează conform relaţiei (1.9):

H{YIX) = —[0,3 log2 1 + 0,2 log2 0,33 + 0,3 log2 0,5 +

+ 0,1 log2 0,167 + 0,1 log, 1] = 0,876 bit/simbol.

18

Similar, elementele matricei F(X/Y) se vor obţine prin împărţirea ele­mentelor fiecărei coloane j a matricei P(X, Y) prin p(y}). Se obţine:

f(X/Y) 0,6 0 0 0,4'' 0,75 1 0 0,25 0

Echivocaţia se va calcula cu relaţia (1.8):

H{XjY) = - [0,3 log2 0,6 + 0,2 log2 0,4 + 0,3 log2 0,75 +

+ 0,1 log2 1 + 0 , 1 log2 0,25] = 0,809 bit/simbol.

1.9. La intrarea unui canal binar simetric caracterizat prin matricea de tranziţie de forma

V(Y/X) 2/3 L 1/3

1/3 2/3_

se aplică simbolurile xx şi x2 cu probabilităţile p(xx) = 3/4 şi p(x2) = 1/4. Se cere să se calculeze:

a) entropia cîmpului de la intrare; b) entropia cîmpului de la ieşire; c) entropia cîmpurilor reunite; d) eroarea medie şi echivocaţia; e) transinformaţia; f) capacitatea canalului; g) setul optim de probabilităţi de intrare care maximalizează transin formaţia; h) redundanţa şi eficienţa canalului.

Soluţie a) Cu relaţia (1.1) calculăm

H(X) = —3/4 log2 3/4 — 1/4 log2 1 / 4 = 2 - 3 / 4 log2 3 = 0,81 bit/simbol.

b) H(Y) = -22P(y,)i°s*P(y,)-

Pentru a calcula probabilităţile simbolurilor de la ieşire, se înmulţeşte setul de probabilităţi de la intrare cu matricea de tranziţie:

P(Y) = P(X) V{YjX) = [3/4 1/4] 2/3 1/3' 1/3 2/3

[7/12 5/12],

Deci:

H(Y) 1/12 log2 7 / 1 2 - 5 / 1 2 log2 5/12 = 0,98 bit/simbol.

c) Entropia cîmpurilor reunite se calculează cu relaţia (1.7). Mai înainte însă trebuie să calculăm matricea probabilităţilor cîmpurilor reunite. Pentru aceasta se înmulţeşte matricea probabilităţilor cîmpului de intrare, scrisă de data aceasta ca o matrice diagonală, cu matricea de tranziţie:

P(X, Y) = F(X) P(Y/X) = 3/4 0 ] f 2 / 3 1/3

][ 0 1/4 J|_ 1/3 2/3 1/2 1/4 1/12 1/6

19

Prin urmare:

H(X, Y) = - 1 / 2 log2 1/2 - *l/4 loga 1/4 - 1/12 loga 1/12 -

— 1/6 log2 1/6 = 1,73 bit/simbol.

d) Eroarea medie şi echivocaţia pot fi calculate direct din relaţiile lor •de definiţie sau pe baza relaţiilor dintre entropii, ţinînd cont de rezultatele de la punctele „a", „b" şi „c".

Pe baza relaţiei (1.9) se deduce eroarea medie;

H(Y[X) - - 1 / 2 lofo 2/3 - 1/4 log2 1/3 - 1/12 loga 1/3 -

— 1/6 log2 2/3 = 0,92 bit/simbol.

Acelaşi rezultat se obţine folosind relaţia (1.11). Pentru a calcula echivocaţia, trebuie determinată matricea ViXjY).

Ţinînd cont că :

MxJyj) p{Xj, y,)

p{y,) rezultă că matricea F(XjY) se obţine din matricea V(X, Y) prin împărţirea •coloanelor acesteia la valorile probabilităţilor p{y}) corespunzătoare. î n cazul particular al problemei, se vor împărţi elementele primei coloane prin p(yi), iar elementele celei de-a doua coloane — prin p(y2):

P(X/Y) = 7/12 5/12

1/12 J / 6 _

_ 7/12 5/12_

Pe baza relaţiei (1.8) se deduce

1/2 1/4 6/7 3/5" 1/7 '2/5.

H(XfY) 1 i 6 1 , 3

— loga —• - — loga — -1

l0£ 1 . 4 -,. 5 12

= 0,75 bit/simbol.

1 i 2

7 log27 =

La acelaşi rezultat se ajunge folosind relaţia (1.12); e) Transinformaţia se va putea calcula în mai multe feluri, ţinînd seama

de relaţiile (1.10) sau (1.13) dintre entropii şi se obţine

Î{X, Y) = 0,06 bit/simbol.

/ ) Capacitatea canalului binar simetric se calculează cu formula (1.21):

C =±= 1 + 2/3 log2 2/3 + 4/3 log2 1/3 = 0,082 bit/simbol.

g) Pentru a calcula setul optim de probabilităţi po(%i), po(x2> care maxima-lizează transinformaţia, vom utiliza relaţiile:

' P(y'i), = Po(xi) • 2/3 + p0(x2) • 1/3 ; p(y2)=Po(x1)-ll2,+p0(x2)-2l2>;

C max[H(Y) H(YIX)}.

20

în cazul canalului binar simetric ... ....

H(Y/X) ='— p(xx, v j logzpiyjxj — p(xx, y2) \og2p(y2\xx) —

— P(x2, yi) log2 p(yi!x2) — p(x2, y2) log2 Pb'zl^) =

= — P(xi) [P(yilxi) log2p{yilxi) + p(y2/xx) log2p{y2jXl)] —

— P(%z) iP(yilx2) log2p{yxjx2) + p(y2/xz) log2p(y2jx2)] =

= - P{*i) P /3 log2 2/3 + 1/3 log2 1/3] - p(x2) [1/3 log2 1/3 + : .

+ 2/3 log2 2/3] =

= - [ 2 / 3 log2 2/3 + 1/3 log2 1/3] [p(Xl) + p(x2)] =

= - 2/3 log» 2 / 3 - 1 / 3 log8 1/3.

Deci H(YJX) nu depinde de probabilităţile simbolurilor de . l a i n t r a r e Rezultă:

C = max H(Y) + ' 2 /3 log2 2/3 + 1/3 log2 1/3.

Dar max fi(Y) = 1 bit şi se obţine cînd p(yx) = p(y2). Din această condiţie p("t) ' " • • ' • - • ' ' :

şi ţinînd cont că pQ(xx) + p0{x2) = 1> se obţine un sistem de două ecuaţii cu două necunoscute:

p0(Xl) 2/3 + p0(x2) 1/3 = ^o(^) 1/3 + p0(x2) 2/3

A>(*i) + Po(x2) — 1 • . " - ' . - " din care rezultă:

A>(*i) = A>(*2) = 1/2.

Ii) Redundanţa canalului este, conform relaţiei (1.31):

R(Q = C - I"(X, Y) = 0,082 — 0,06 = 0,022 bit/simbol.

Pentru calculul eficienţei canalului se foloseşte relaţia (1.32):

1.10. Matricea probabilităţilor reunite intrare-ieşire asociată unui canat de transmisiune este de forma:

"1/4 1/4" P(X, Y)

J / 4 1/4 Se cere să se calculeze: a) entropia cîmpului de la intrare; b) entropia cîmpului de la ieşire; c) entropia cîmpurilor reunite; d) eroarea medie şi echivocaţia; e) transinformaţia şi capacitatea canalului.

21;

Soluţie a) Pentru calculul entropiei H(X) sînt necesare probabilităţile p(xt).

Acestea se calculează din matricea probabilităţilor cîmpurilor reunite ţinînd seama că:

2

p{xt) =I2P(xi>yi)-

Prin urmare, p(xt) se obţine prin însumarea elementelor liniei i a matricei f(X, Y). Rezultă:

P(*i) = P(x2) = 1/2.

Aplicînd relaţia (1.1) se obţine entropia:

H(X) = — 1/2 log2 1/2 — 1/2 log2 1/2 = 1 bit/simbol.

b) Deoarece 2

Pi.y,)=Y^P(xi-y,)-

rezultă că p(y}) se obţine prin însumarea elementelor coloanei j a matricei P(X, Y). Rezultă:

^ i ) = ^ 2 ) = l / 2 ;

H(Y) = — 1/2 log2 1/2 — 1/2 log2 1/2 = 1 bit/simbol.

2 2

c) H(X, Y) = £ £ P(*t. y,) lcg2 P(x{, y,) = - 4 • 1/4 log2 1/4 = j = i y = i

= 2 bit/simbol.

d) Entropiile condiţionate se vor putea calcula pe baza rezultatelor ante­

rioare, aplicînd relaţiile (1.11) şi (1.12):

H{Y/X) == 1 bit/simbol;

H{XjY) = 1 bit/simbol.

e) Introducînd valorile calculate ale entropiilor H(X), H(Y) şi H(X, Y) în relaţia (1.13), se obţine I(X, Y) = 0, astfel încît capacitatea rezultă din (1,17) 'ca fiind C = 0.'

O Concluzie. Acest canal are perturbaţii foarte mari şi ca urmare nu t rans­mite informaţie.

1.11. Două canale binare cu graf urile de tranziţie din figura 1.11,8, se leagă în cascadă. Se cere:

a) graful de tranziţie al canalului echivalent obţinut prin conectarea în cas-•cadă a celor două canale;

b) valoarea lui q (v. matricea (1.18)) pentru care canalul echivalent este binar simetric ;

c) capacitatea canalului echivalent.

22

Fig. l . l l , o . Grafurile de tranziţie ale celor două canale.

Soluţie

a) în primul rînd se completează probabilităţile care nu au fost precizate în grafurile de tranziţie din figura 1.11,a. Completarea se poate face ţinînd

m

cont că J2P(yjlxi) = L

In acest caz:

de unde rezultă: Pb'ilxi) + Piyz/xi) = i,

PiyJxi) = 1 — 0,8 = 0,2.

După un raţionament similar se deduc:

P(yilx2) =• 1 - ^ 2 / ^ 2 ) , = 1 - 0,7 = 0,3;

. piwzjzi) = 1 — p(wi/zi) — 1 — 0,5 = 0,5;

P(w1lz2) = 1 — p(w2lz2) = 1 — q.

Conectarea în cascadă a celor două canale este prezentată în figura 1.1 i,b. Matricea de tranziţie a canalului echivalent se obţine prin înmulţirea ma-

tricelor de tranziţie ale celor două canale. Deoarece

OW, X;

w2 x 2

pOwf

rezultă:

sau mea:

Fig. 1.11,6. Conectarea în cascadă a celor două canale.

Ti = 0,t 0,:

5 0,2"

> 0,7 r 2 = 0,5

1 - 9

0,5"

9 9

P11 . P21 .

Pl2_

P22. = Tjl r2 =

0,8 0,3

0,2

0,7

"0,5 1 —

0,5"

9 9

T = 0,6 — 0,2? 0,4 + 0,2? 0,85 — 0,7? 0,15 + 0,7?

23

b) Condiţia de canal binar simetric este, în conformitate cu matricea ( i . 2 0 ) , - • • ' • • ; ; •~~~r. . , - : ^ v - .-,.,.

><'' Pil = P22, '" ;,..;•"' •ceea ce conduce'la condiţia-:,.^ .„••''" '"-•

0,6 — 0,2q = 0,15 + 6,7 q,

•de unde se obţine:

0,45 0,9

0,5.

& P(Y/Z) =

Prin urmare, matricea de tranziţie a canalului echivalent va fi:

f0,5 0,5' 0,5 0,5_

c) Capacitatea unui canal binar simetric este dată de formula (1.21), astfel încît pentru p — 0,5 se obţine:

C = 1 — 0,5 log2 0,5 + 0,5 log2 0,5 = 0.

1.12. Un canal de: transmisiune, al cărui graf de tran "f ziţie este -prezentat în figura 1.12, se caracterizează prin

următoarea matrice de zgomot: [1/2 1/4 1/8 1/8 .1/8 1/8 1/2 1/4

Se cere să se calculeze capacitatea acestui canal. oy3 Soluţie

Se foloseşte relaţia (1.17). Canalul din problemă are o structură de zgomot simetri-

J ^ că, aşa încît calculul va fi relativ simplu. Se calculează Fig. 1.12. Graful de pentru început eroarea medie dată de relaţia (1.9).

'tranziţie al canalului. Rezultă:

H{YIX)= - £fi(*t) £j>b>,[xt) log2p(yJlXi) = i=i 3 = 1 - -

= —P(*i) [1/2 log2 1/2 + 1/4 log2 1/4 + 2 . 1/8 log2 1/8] -

— pfa) [l/21og2 1 / 2 + l/4log2 1 /4+ 2. !l/8 1og2 1/8] =

= - [1/2 log2 1/2 + 1/4 log2 1/4 + 2 . 1/8 log2 1/8] [p(Xl) + fi(x2)] =

= —[l /21og 2 1/2 + l/41og2 1 / 4 + 2 - l/81oga 1/8]= 1,75 bit/simbol. Se constată că H{YjX) este o constantă, ceea ce înseamnă că pentru

•a calcula capacitatea este suficient să se calculeze max H(Y): C =max H(Y) — 1,75.

Folosind relaţia (1.2) se obţine:

C = log2 4 — 1,75 = 0,25 bit/simbol.

:24

1.13. Să se determine capacitatea cana­lului binar cu anulări avînd graful de -*/ tranziţie din figura 7,13, a.

Soluţie Un canal binar cu anulări se carac­

terizează prin faptul că spaţiul obser­vaţiilor de la recepţie se împarte în trei regiuni, aşa cum se ilustrează în figura 1.13, b,

Dacă semnalul recepţionat depăşeşte nivelul nlt se ia decizia ylt dacă este mai mic decît n2 se ia decizia y2l iar dacă este cuprins între cele două nivele Sfâ ia decizia y3.

Capacitatea acestui canal se calculează cu formula (1.17). Vom calcula, pe rînd, entropiile H(Y) şi H(Y/X):

H(Y)=- — p(yl) log p(yt) — p(y2) logp(yz) —p(y3) logp(y3).

*-o y*

Fig. 1.13,a. Graful de tranziţie al canalului binar cu anulări.

X,

x2

Fig. 1.13,6. Partiţia spaţiului observaţiilor de la recepţie.

Pentru calculul probabilităţii p(yî), folosim relaţiile

M*u yi) ^Pixi) P(yilxi)=fi(yi) P(%ilyi)-

Deoarece P(%ilyi) = 1, rezultă:

P(yi) =Pi*i) P(yilxi) =P(xi) (1 — q). Analog se poate calcula p(y2) şi se obţine

P(y*) = P(xz) P{y2lx2)=p(x2) (1 — q).

Semnalui y3 poate apărea fie din semnalul xlt fie din x2, ceea ce se va putea scrie astfel:

de unde rezultă:

ya = CysQtfi) u (y3 n xz),

P(ys)=p{xi) p(yslxi) + p{xi)p(y»l%s) = = q[p{xi) + p(x2)] = q.

25

Introducînd valorile probabilităţilor p(y-i), p(y2) si fi(y3) în expresia lui H(Y), rezultă:

H(Y) = -p(Xl) - (1 - q) \\og2p{Xl) + log2 (1 - q) ] -

— p{x2) • (1 — q) \log2p{x2) + log2 (1 —?)] — ? log2 ? =

= —p(xi) • ( ! — ? ) logzX^i) —P{xz) • (1 — ?) log2^(^2) — - (1 — ?) log2 (1 — ?) — ? log2 <? = (1 - ?) ff(X) -

—' (i — ?) iog2 (i - q) —'?iog2 y. Calculăm în continuare eroarea medie, folosind relaţia (1.9) care se mai

scrie sub forma

#(Y/X) = - £ £ > ( * , ) -p{y3K) logtPiyjx,).

Din matricea de tranziţie prezentată în figura 1.1.3, a rezultă probabili­tăţile condiţionate:

PiyJxi) ='l—q: P(yil%i) = 0; p(y2/xl) = O; p(y2/x2) = 1 - q;

P(yalxj) = q: P(yslx2) = q. Expresia erorii medii devine

H(Y/X) = -p(Xl) -(l-q) log2 ( l - q ) - p(x2) -(l-q) log2 (1 - q)-

— Pixi) • ?log2 q — P(x2) • q iog2 q, sau încă

H(Y/X) = - ( 1 - q) log2 (1 - q ) - q log2 q.

Se poate calcula acum capacitatea canalului cu ajutorul relaţiei (1.17). Se obţine:

C = max [(1 - q)H(X) — (1 — q) log2(l — q) — q log2 q +

+ (1 - q)logt (l—q)+q log2 ?] = (1 - q) max H(X).

Dar valoarea maximă a entropiei i?(.X") se obţine cînd:

# * i ) = P{x2) = 1/2 şi este egală cu unitatea. Rezultă în final capacitatea canalului binar cu anulări ca fiind:

C = 1 - q.

1.14. La intrarea unui canal caracterizatprintr-o matrice de zgomot de forma:

' 0,97 0,03 0 ' V(Y/X) = 0,01 0,98 0,01

L 0 0,04 0,96

se aplică simbolurile xx, x2 şi x3 cu probabilităţile p ( x j = 0,5, p(x2) = 0,3 şi p(x3) = 0,2. Se cere să se calculeze entropia cîmpului de la ieşire.

26

Soluţie Probabilitatea recepţionării unui simbol y} se poate calcula cu formula:

p{ys)=J2P(xi)-P(y}lxi) şi rezultă:

P(yi) =P(%i) -P(yilxi) +P(xz\ -P{yil^) +P(x3) -p(yilx3) = = 0,5 • 0,97 + 0,3 • 0,01 + 0 , 2 - 0 = 0,488;

p(y2) = 0,5 • 0,03 + 0,3 • 0,98 + 0,2 • 0,04 = 0,317;

p(y3) = 0,3 • 0,01 + 0,2 • 0,96 = 0,195;

H(Y) = -JŞpiy,) log2p(ys) = - 0 , 4 8 8 log2 0,488 - 0,317 log2 0,317 -

— 0,195 log2 0,195 = 1,49 bit/simbol.

1.15. Matricea de tranziţie a unui canal binar este:

P(Y/X) = 0,9 0,11 0,2 0,8J

Se cere: a) să se calculeze capacitatea canalului; b) să se determine setul optim de probabilităţi ale simbolurilor de la intrare.

Soluţie a) Se calculează entropiile:

H(Ylxi) = —Piyilxi) logspiy^xi) —p(y2lx1) log2p{y2lxi) =

= — 0,9 log2 0,9 — 0,1 log2 0,1 = 0,46 bit/simbol;

H(Y/x2) = —p(yilx2)log2p{y1lx2) — p{y2/x2)log2 p(y2/x2) =

= —0,2 log2 0,2 — 0,8 log2 0,8 = 0,72 bit/simbol.

Se calculează mărimile ajutătoare folosind (1.24), (1.25), (1.26) şi (1.27) şi rezultă:

A = 0,9 -0,8 - 0,1 -0,2 = 0,7; 0 8 0 2

^ = - ^ = 1 , 1 4 ; ? 2 1 = _ _ i 7 = _ 0 , 2 8 ; •

?12=-^i-=-0,14; 922 = AL=1,28;

(?! = —1,14 • 0,46 + 0,14 • 0,72 = —0,42;

Q2 = +0,28 • 0,46 — 1,28 • 0,72 = —0,79.

Capacitatea canalului va fi (v. rel. (1.23)):

C = log2[2-0'42 + 2-°'79] =

= log2 (0,77 + 0,58) = log2 1,35 = 0,43 bit/simbol.

b) Setul optim de probabilităţi se calculează cu ajutorul formulelor (1.28) şi (1.29):

p{xx) = 2-°'43[l,14 • 0,77 - 0,14 • 0,58] = 0,53;

p(x2) = 2-°'4 3[-0,28 • 0,77 + 1,28 • 0,58] = 0,47.

1.16. La transmiterea pe teleimprimator, o imagine de formă pătrată se descompune în 1 500 de linii şi 7 500 de coloane. Pentru o redare cît mai corectă a imaginilor, sistemul poate reproduce 12 nivele de gri.

Se cere: a) numărul elementelor în care se descompune imaginea; b) cantitatea de informaţie furnizată de un singur element de imagine; c) cît timp ar necesita transmiterea unei imagini pe o linie telefonică avînd

lărgimea de bandă de 3,1 kHz, la un raport semnal-zgomot de 26 dB.

1Z 1500

1500 Fig. 1.16. O posibilitate de descom­

punere a imaginilor.

Soluţie a) Descompunerea imaginii se face deci în

1 500 de linii şi 1 500 de coloane. Numărul elementelor de imagine va fi:

n = 1 500 • 1 500 = 2,25 • 106.

b) Un element de imagine poate avea cu aceeaşi probabilitate oricare dintre cele 12 nivele de gri. Rezultă că un singur element de imagine va furniza cantitatea de informaţie:

T - _ l -_i ' elem.imag *®&2

loga 12 3,59 bit.

Cantitatea de informaţie pe care o conţine o imagine va fi:

I , = 2,25 • IO6 • 3,59 = 8,07 • IO6 bit.

c) Dacă se consideră că se utilizează canalul telefonic foarte aproape de capacitatea lui, C, înseamnă că debitul informaţional al canalului va fi Ct = = C bit/s. Capacitatea canalului se calculează cu formula (1.30), unde:

P/N = 26 dB = IO2'6 = 400.

Prin urmare rezultă:

C, = 3,1 • IO3 (1 + 400) = 2,67 • IO4 bit/s.

Timpul necesar transmiterii imaginii în cazul utilizării canalului telefonic la capacitatea sa va fi:

^ intri n

8,07 • IO6

Ct 2,67 • 104 = 320 s.

î n legătură cu această problemă putem face următoarele observaţii:

O Observaţia 1. Putem ajunge la acelaşi rezultat prin următorul raţionament simplu. Se eşantionează semnalul de imagine la intervale teş = 1/2 WR. Pentru cuantizare se alege

28

mărimea cuantei egală cu dispersia zgomotului a^f. Astfel, dacă se consideră că semnalul este cules pe o rezistenţă unitară, avem

A? = Smin = ^N = cN,

unde N reprezintă puterea zgomotului, iar Sm-m —nivelul minim al semnalului. Se motivează această alegere prin faptul că probabilitatea de apariţie a unui zgomot de amplitudine 3ajf este practic zero, iar probabilitatea de apariţie a unui zgomot de amplitudine 2on este foarte mică. î n consecinţă, un semnal de amplitudine a^f provine cu mare probabilitate din zgomot, iar un semnal de amplitudine 2a?f provine dintr-un semnal util peste care s-a suprapus zgomot de aceeaşi putere.

Nivelul maxim al semnalului va fi

Smax = V-P + N,

unde P reprezintă puterea semnalului. Rezultă numărul m al nivelelor de cuantizare:

Smax V P + N

m = — = — — — • Smin yN

U n eşantion va conţine o cantitate de informaţie: .

Ie( = - log l/m = log JT+~¥JN,

care va determina un debit informaţional egal cu Q, deoarece:

I* =, . 1 / 2 l 0 g ( 1 + P W = i , -log. (1 + P/AT] = C , TTe f 1/2 WR

O Observaţia 2. Deoarece canalul telefonic are o bandă de 3,1 kHz, eşantioanele pe care le transmite trebuie să se succeadă cu o frecvenţă de cel puţin 2 x 3,1 = 6,2 kHz, ceea ce reprezintă frecvenţa fi cu care pot fi transmise elementele „de imagine. Astfel, durata necesară transmiterii întregii imagini va fi

n 2,25 • IO6

= 363 s. fi 6,2 • IO3

Aşadar, rezultă t'imag> hmag, ceea ce.semnifică faptul că în cazul transmiterii tipului de ima­gine presupus cu rata de 6,2 kHz nu se utilizează canalul la capacitatea sa. într-adevăr, reluînd calculele în sens invers, pentru o durată de 363 s rezultă cantitatea de informaţie furnizată de un element de imagine egală cu 4,28 bit, ceea ce corespunde unui număr de aproximativ 20 de nivele de gri.

O Trebuie reţinut însă, că în instalaţii practice nu se poate atinge capa­citatea canalului, transinformaţia tinzînd doar către valoarea capacităţii canalului.

1.17. Fie o sursă de informaţii care generează semnale continue în timp. Se cere:

a) să se calculeze cantitatea de informaţie furnizată de sursă dacă semnalul generat ocupă banda de frecvenţe 0 Hz — 6 MHz şi are amplitudinea cuantizată în 128 nivele egal probabile ;

b) să se calculeze banda de frecvenţă necesară transmiterii • cantităţii de informaţie conţinute în semnalul de la punctul „a", dacă se transmite, în urma unei transformări adecvate, o succesiune de eşantioane care vor putea lua cu aceeaşi probabilitate unul dintre patru nivele de cuantizare posibile;

29

c) să se calculeze de cîte nivele de cuantizare ar fi nevoie pentru a transmite cantitatea de informaţie conţinută în semnalul de la punctul „a" pe un canal de transmisiune avînd banda de 3 MHz;

d) să se calculeze de cîte ori creşte durata transmisiei faţă de cazul de la punctul „a", dacă folosim un canal de transmisiune avînd banda de 6 MHz, dar cu un raport semnal/zgomot de 20 dB.

Soluţie a) Numărul maxim de nivele de cuantizare depinde de raportul semnal-

zgomot şi este dat de relaţia:

m = P+ N

N

Relaţia (1.30) care dă capacitatea unui canal continuu se poate scrie şi în funcţie de numărul nivelelor de cuantizare astfel:

C = 2w log2 W — ^ — = 2 f log2 m.

Din datele problemei avem: w = 6 MHz, m = 128, astfel încît:

C = 2 • 6 • IO6 • log2 128 = 84 Mbit/s.

b) Avînd în vedere faptul că trebuie transmisă aceeaşi cantitate de infor­maţie, datorită reducerii numărului nivelelor de cuantizare de la 128 la 4, va trebui să crească în mod obligatoriu banda de frecvenţă necesară trans­miterii, aşa cum se poate observa din cele de mai jos

C = 1 wx log2 « 1 = 1w% log2 m%;

log2 mx w2 = wx —

log2 m2 Pentru m± = 128, m2 — 4 şi wx = 6 MHz, rezultă:

w% = 6 • 106 lQgs 1 2 8 = 6 . 10e . 1 = 2i M H z

log2 4 2

O Se observă că printr-o mărire de numai de 3,5 ori a benzii de frec­venţă s-a putut reduce numărul nivelelor de cuantizare de 32 de ori.

c) Dacă notăm prin m3 numărul nivelelor de cuantizare necesare şi prin ws banda de frecvenţă a canalului, capacitatea canalului se scrie sub forma:

C = 2 w3 log2 m3, de unde rezultă

m3 = 2CI2<°*.

Pentru C = 84 Mbit/s şi w3 = 3 MHz, rezultă:

m3 = 284/6 = 214 = 16 192 nivele.

O Concluzie. Rezultatul obţinut scoate în evidenţă faptul că transmiterea unei anumite cantităţi de informaţie este posibilă şi pe un canal de transmi­siune avînd o bandă mai redusă decît cea a semnalului iniţial, prin mărirea apreciabilă a numărului nivelelor de cuantizare.

30

d) Prin reducerea raportului semnal-zgomot capacitatea canalului scade, deci pentru a transmite o anumită cantitate de informaţie durata transmisiei va creşte. Notăm cu indicele „4" mărimile caracteristice canalului în acest caz. Capacitatea canalului va fi:

C4 = WţlogJl + —\ = 6 • 106log2(l + 0,01) = 8,64 • IO4 bit/s.

Dacă notăm prin C'j capacitatea canalului de la punctul „a", rezultă raportul:

C 1 = ^ 4 j i 0 ! _ = 9 8 0

C4 8,64 -IO4

Astfel, pe canalul mai zgomotos transmiterea informaţiei se face de cea. 980 ori mai lent decît pe canalul iniţial şi, deci, în mod corespunzător, şi timpul necesar transmiterii va creşte de acelaşi număr de ori.

1.18. Să se calculeze capacitatea banalului necesar pentru a transmite: a) semnal vocal; b) o piesă muzicală; c) imagine statică; d) imagine TV alb-negru.

Soluţie a) Semnalul sonor reprezintă o modificare în timp a presiunii aerului,

care creează în ureche senzaţia de sunet. în cazul în care avem în vedere realizarea unui sistem de transmitere a semnalelor sonore, trebuie să luăm în consideraţie în primul rînd caracteristicile fiziologice ale sistemului auditiv uman. In urma unor experienţe s-a constatat că urechea poate percepe sunete al căror spectru se întinde de la 30 ... 50 Hz pînă la 15 kHz. O altă caracte­ristică este raportul dintre intensitatea maximă a sunetului care încă nu pro­voacă dureri organului auditiv şi intensitatea sunetului abia perceptibil. Tot pe cale experimentală s-a găsit că, de exemplu, pe frecvenţa de 1 000 Hz intensitatea maximă este de IO4 W/cm2, iar cea minimă — de IO-16 W/cm2, ceea ce înseamnă un raport IO12 (sau 120 dB). Acest raport va reprezenta dinamica semnalului sau raportul semnal-zgomot. Datele prezentate antericr reprezintă valori limită peste care nu are sens să se treacă şi de multe ori nu este necesar nici să fie atinse.

Pentru a realiza o transmisie vocală inteligibilă, este necesară o bandă de fre:venţă cuprinsă între 300 Hz şi 3 000 Hz şi o dinamică de 20 dB.

Cu aceste precizări rezultă capacitatea canalului Cv, pentru transmiterea semnalului vocal:

Cv = Wlog2 (1 + P/N) = 2,7 • IO3 log2 (1 + 100) = 18 • IO3 bit/s.

b) î n cazul unei emisiuni muzicale, pentru o calitate foarte bună este necesară o bandă de frecvenţă cuprinsă între 40 Hz şi 15 000 Hz şi o dinamică de cea. 80 dB. Pentru a realiza această transmisie va fi necesar un canal avînd capacitatea Cm:

Cm = 14 960 • log2 (1 + IO8) = 4 • 10s bit/s.

31

Este deci necesară o capacitate cu cea. două ordine de mărime superioară celei necesare transmiterii unui semnal vocal.

O Observaţie. Datele obţinute la punctele „a" şi „b" sîrit valori teoretice care arată cît trebuie să fie capacitatea minimă a canalului pe care dorim să facem transmisiunea. în practică, intervin o serie de factori cum ar fi costul sistemului, siguranţa lui în funcţionare e t c , care fac ca aceste date să sufere modificări. De exemplu, în cazul unei transmisiuni muzicale nu este necesar să se reproducă toată dinamica unei orchestre într-o cameră de locuit, deci în acest caz se poate reduce substanţial capacitatea canalului de transmitere.

c) în cazul transmiterii unor imagini statice, în primul rînd, se pune pro­blema transformării imaginii, care nu este o funcţie de timp, într-o funcţie de timp care să reprezinte în mod univoc imaginea dată. Se poate consi­dera că o imagine statică alb-negru este formată dintr-o serie de zone avînd forme şi intensităţi luminoase diferite. Un element de imagine suficient de mic va putea fi caracterizat printr-un număr care să reprezinte intensitatea lumi­noasă a acelui element de imagine. Dacă dimensiunile elementului de imagine sînt suficient de mici, atunci variaţiile de intensitate din interiorul elemen­tului de imagine pot fi neglijate, fără ca prin aceasta să aibe de suferit cali­tatea imaginii. Astfel, descompunînd o imagine într-un număr suficient de mare de elemente de imagine de dimensiuni suficient de mici, fiecărui ele­ment punîndu-i în corespondenţă o cifră care reprezintă intensitatea sa lumi­noasă şi luînd aceste cifre într-o anumită succesiune, vom obţine o funcţie de timp, mesajul, care va putea fi transmis. în concluzie, la punctul de emisie va fi necesar un analizor de imagine (tubul videocaptor), iar la re­cepţie, pentru refacerea imaginii din semnalul recepţionat —un sintetizator de imagine (tubul cinescop).

Ne propunem în continuare să calculăm cantitatea de informaţie conţinută într-o imagine şi, pe baza acesteia, să determinăm capacitatea necesară a canalului de transmitere a imaginilor statice. în prealabil trebuie să precizăm numărul de elemente în care se descompune imaginea. Avînd în vedere că receptorul final este sistemul vizual uman, la descompunere va trebui să ţinem cont de posibilităţile acestuia. Este cunoscut faptul că în cazul imaginilor alb-negru rezoluţia sistemului vizual reprezintă un unghi de cea. 2 minute, detaliile cuprinse sub un unghi mai mic decît acesta neputînd fi observate. Pe cale experimentală s-a constatat că unghiul de deschidere optim pentru

a privi o imagine este de cea. 20 grade şi că formatul optim al imaginii este de 3: 4 (fig. 1.18).

Cu aceste date vom putea calcula nu­mărul elementelor de imagine. Pe dire'-ţia verticală vom avea

20° 20 • 60' 600 elemente.

fiezo/uf/a ochii//ui 2'

Unghi op fim de vedere 20"

Fig. 1.18. Determinarea numărului de elemente pe verticală.

2' 2 ' Pe direcţia orizontală rezultă:

4 n« = — », = 800 elemente.

3 Numărul total de elemente dintr-o ima­gine va fi:

n = nxn2 = 600 • 800 = 4,8 • IO5.

32

Următoarea problemă este să determinăm numărul de nuanţe de gri pe care le poate avea un element de imagine. S-a constatat experimental că dacă numărul nivelelor de gri se alege în jur de 100, imaginea reconstituită din aceste puncte pare suficient de naturală. Alegerea unui număr mai mare de nivele de gri nu aduce îmbunătăţiri notabile în calitatea percepţiei, iar la un număr mai redus de nivele de gri se observă deja structura discretă (nenaturală) a imaginii.

Avînd în vedere cele de mai sus, se va putea calcula cantitatea de infor­maţie conţinută într-o imagine. Cantitatea de informaţie conţinută într-ura element de imagine este

hum = - lo&»7^7 = 6 '6 5 b i t

Cantitatea de informaţie conţinută în întreaga imagine rezultă:

Iimag = * hum = 4,8 • 10s • 6,65 = 3,19 • IO8 bit.

Transmiterea la distanţă a unei imagini o singură dată, este posibilă pe orice canal de transmisiune. Durata transmisiei depinde însă de capacitatea canalului utilizat.

De exemplu, dacă dorim să transmitem o imagine (fotografie) pe o linie telefonică avînd w = 3 kHz şi un raport semnal-zgomot de 26 dB, va trebui să calculăm la început capacitatea acestui canal

C = oiloga f i + — ) = 3 • IO3 • log., (1 + 400) = 26 kbit. •K) .iţjDebitul informaţional al canalului este C; = 26 kbit/s, astfel încît durata transmisiei unei

imagini pe acest canal va fi:

-P hmag 3,19 • 10 _ 1 imag — — — LZ/J b-C( 26 • 103

în concluzie, transmisia unei imagini staticej pe un canal telefonic durează cea. două minute.

d) î n cazul în care se pune problema transmiterii de imagini dinamice, vom avea în vedere inerţia ochiului uman şi în locul unei transmisii continue vom transmite o succesiune de N — 25 imagini pe secundă, suficient pentru a crea o senzaţie de imagine vie în sistemul vizual uman (principiul cinemato­grafului şi al televiziunii). Se pune problema calculului capacităţii canalului

-^capabil sâ transmită o astfel de informaţie. Durata transmiterii unei imagini ofiind impusă, 1/25 s, debitul de informaţie a! sursei (sistem TV alb-negru) se va obţine înmulţind cantitatea de informaţie conţinută într-o imagine cu numărul N de imagini ce se transmit într-o secundă. Acest debit de informaţie este numeric egal cu capacitatea canalului necesară transmiterii imaginilor alb-negru, C:

C = ltma9 N = 3,19 • IO6 • 25 £ 80 Mbit.

Deci, pentru a realiza o transmisie TV alb-negru este necesar un canal cu o capacitate minimă de 80 Mbit sau un debit informaţional de 80 Mbit/s.

Avînd în vedere faptul că:

C = 2 w log2 P + N . . = 2 w log2 m,

N

3a

unde m reprezintă numărul nivelelor de cuantizare (egal cu 100 —vezi ra­ţionamentul de la punctul „c"). vom putea calcula şi banda de frecvenţă necesară transmiterii unei imagini TV alb-negru:

w = c _ N îimag _Nn Ielem _N n log2 m _ Nn 2 log2m 2 log2 m 2 log2 m 2 log2 m

25 • 4,8 • IO5

= = 6 MHz.

2

p ( y / Z ) =

Valoarea obţinută reprezintă limita teoretică a benzii de frecvenţă necesare şi ea presupune o transmitere continuă de informaţie. în realitate, acest lucru nu este posibil deoarece, din cînd în cînd, secvenţa informaţională trebuie întreruptă pentu a face loc unor semnale de sincronizare fără de care nu este posibilă refacerea imaginii la recepţie. Rezultă că în timpul dispo­nibil va trebui să transmitem mai repede, ceea ce impune o bandă mai mare, sau. să transmitem o cantitate de informaţie mai mică, înrăutăţind calitatea imaginii.

1.19. Fie un canal caracterizat prin următoarea matrice de zgomot:

•1/3 1/3 1/6 1/6 1/6 1/6 1/3 1/3

La intrarea canalului se aplică simbolurile xx şi x2 cu probabilităţile

P{xx) = p(x2) = 1/2. Se cere: a) să se facă partiţia simbolurilor recepţionate conform criteriului plauzi­

bilităţii maxime; b) să se scrie matricea strategiei care caracterizează partiţia; c) să se scrie matricea de tranziţie a canalului echivalent; d) să se calculeze eroarea medie înainte şi după partiţie.

Soluţie a) Folosim inegalităţile (1.36):

P(vilxi) = 1/3 Pfjil**) 1/6

P(yal*i) _ 1/3

2 > 1, deci y\ e Yx;

2 > 1, deci y2 e Y1;

< 1, deci y3eYs;

< 1, deci jy4 e Y2.

p{yzJx2) 1/6

p(y3lXl) _ 1/6 _ 1 p(y3/x2) 1/3 2

pjyjxj = 1/6 = 1 PiyilH) 1/3 2

Partiţia simbolurilor recepţionate astfel dedusă este prezentată în figura l.l9,a.

34

Fig. 1.19,a. Partiţia simbolurilor re­cepţionate conform criteriului plauzi­

bilităţii maxime.

Fig. 1.19,6. Graful de tranziţie al ca­nalului echivalent.

b) Matricea (1.39) devine

s = P(xalyj) P(X2ly2)

P(xily3) P(x2lys) Pi*ily*) P{x2bi) J

i o _ 1 0

0 1 L 0 1 .

c) Matricea de tranziţie a canalului echivalent este

P ( Z / Z ) = P ( Y / Z ) S = 1/3 1/3 1/6 1/6 1/6 1/6 1/3 1/3

r î oi 1 0 0 1

Lo î j

f2/3 1/3-l [ 1/3 2/3 J

Graful de tranziţie corespunzător canalului echivalent este prezentat în figura 1.19,&.

d) Calculul erorilor medii înainte şi după decizie, avînd în vedere structu­rile de zgomot, se face similar cu cel din problema 1.9. Deci:

H(YJX) = - 2 - 1 / 3 log2 1 / 3 - 2 • 1/6 log2 1/6 = 1,908 bit/simbol;

H(XJX) = - 2 / 3 log2 2 / 3 - 1 / 3 log2 1/3 = 0,918 bit/simbol.

1,20. Fie un canal de transmisiune caracterizat prin următoarea matrice de zgomot:

P(Y/Z) 0,4 0,3 0,2 0,1 .0,1 0,2 0,3 0,4 J

La intrarea canalului se aplică simbolurile xA şi x2 cu probabilităţile:

p(xj) = 2Ji; p(x2) = 1/3.

Matricea costurilor este de forma:

0,2 0,4" 0,8

C = • : ] • 35

Se cere să se facă partiţia simbolurilor şi să se scrie matricea strategiei şi matricea de tranziţie a canalului echivalent dacă:

a) se aplică criteriul riscului minim; b) se aplică criteriul plauzibilităţii maxime; c) se aplică criteriul observatorului 'ideal.

Soluţie a) Se calculează pragul testului în ccnformitate cu relaţia (1.34):

K (x2) C21 — C 2

(#1) C12 — Cx

0 , 8 - 0 0,4 — 0,2

Nctăm cu:

P(yJxi) K

Conform relaţiei (1.36), cu notaţiile din (1.33) şi (1.34) rezultă partiţia:

Xi > 2, deci Vi e Yt;

L-z < 2, deci y2 e Y2,"

X3 < 2, deci y3 eY2;

X4 < 2, deci y^ s Y2.

Partiţ ia simbolurilor recepţionate dedu­să în acest fel este prezentată în figu­ra 1.20,«.

Matricea strategiei de decizie definită *' de relaţia (1.24) va fi:

r l 0-1 0 1

s =- 0 1 .0 1.

Fig. 1.20,a. Partiţia simbolurilor re­cepţionate conform criteriului riscu­

lui minim. Matricea de tranziţie a canalului echi­

valent este:

T = P(Y/X)S= 0,4 0,3 0,2 0,1 0,1 0,2 0,3 0,4

r l 01 0 1 0,4 0,6" 0 1

.0 1. 0,1 0,9

36

Graful de tranziţie al canalului echivalent este prezentat în figura 1.20,6.

b) Se alege pragul testului K = 1. Re­zultă următoarea partiţie (v. şifig. 1.20,c):

Xj > 1, y1eY1;

X2 > 1, y2e Y1;

X3 < 1, yseYs;

X4 < 1, y4 e Y2-

Matricea strategiei de decizie şi matricea de tranziţie a canalului echivalent se obţin după cum urmează:

S =

ri 01 1 0 0 1

.0 1J

T = V(YjX)S = 0,4 .0,3 0,2 0,1' 0,1 0,2 0,3 0,4

r l 01 1 0 0 1

_0 l j 0,7 0.3

0,3 0,7

în figura 1.20,d se prezintă graful de tranziţie corespunzător canalului echivalent.

c) î n cazul criteriului observatorului ideal dat de relaţia (1.37) pragul testului se ia:

K = P(x2) 1 P(%) 2

Rezultă următoarea partiţie (v. şi fig. 1.20,e):

X J > 1 / 2 , y i e Y i :

^2 > 1/2 y2 e Yj ;

X3 > 1/2 y3e Yx;

>.4 < 1/2 i'i e Y2.

Rezultă următoarele matrice S si T:

S =

[ 1 01 1 0 1 0 0 L

Fig. 1.20,6. Graful de tranziţie al canalului echivalent.

Fig. 1.20,c. Partiţia simbolurilor recep­ţionate conform criteriului plauzibili­

tăţii maxime.

Fig. 1.20,d. Grafml de tranziţie al canalului echivalent.

r~~2^t

Fig. 1.20,e. Partiţia simbolurilor recepţionate conform criteriului ob­

servatorului ideal.

37

T = P(Y/X)S: 0,4 0,1

0,3 0,2 0,2 0,3

-l o-0,1 " 1 0 "0,9 0,1" 0,4 1 0

,0 1. .0,4 0,6

. 1.21. O sursă generează simbolurile Xi şi xa cu •probabilităţile p(xi) = 8/11 şi p(x2) = 3/11. Simbolurile sursei se aplică la intrarea unui canal cu pertur­baţii, avînd următoarea matrice de zgomot:

WJX) = 0,6 0,3 .0,2 0,3 a-0,1

o Se'cere să se găsească strategia aleatoare pentru estimarea simbolurilor recep­

ţionate'a plicind criteriul minimax. Matricea costurilor este următoarea:

4 0J

Soluţie Pentru a soluţiona problema vom recurge la o reprezentare vectorială a

diverselor strategii de decizie în spaţiul riscului condiţionat. î n cazul binar, acest spaţiu se reduce la un plan avînd axele de coordonate R{xx;,S) şi R{x2\S). Vom nota cu ex şi e2 versorii celor două axe.

Vectorul de poziţie corespunzător unei anumite strategii se va scrie sub forma:

rj = e i r , i + e2r i 2 ; rn = Cu P(%il%i). + Ga p{x2\xx) ; r& = C21p(xjx2) + C22p{x2/x2).

Se notează cu:

T = P(Y/Z) • S = pixjxj) p{x2jx^ p{xx\x2) p(x2/x2)

Pentru a putea găsi strategia minimax se iau în considerare toate stra­tegiile deterministe posibile cu ajutorul cărora se construieşte poligonul stra­tegiilor. Aceste strategii deterministe S4, matricele T4 şi componentele vec­torilor de poziţie corespunzători rezultă după cum urmează:

roi= 4; r02 = 0; o r o r

S0 = 0 1 -0 1.

; • To = .0 1.

; Î

o r "0,1 0,9" Si = 0 1 ; T1 =

:i o. .0,5 0,5.

-o r "0,3 0,7' s2 = 1 0 ; T2 =

LO 1. _0,3 ( ),7J

?u = 3,7; r12 = 1,5;

r 2 i = 3 , l ; r 2 2 = 0,9;

38

Ss = "0 r 0,4 0,6" 1 0 ; T 3 =

.1 o_ .0,8 0,2 ; r31 = 2,8; r32= 2,4;

"1 0 "0,6 0,4" 0 1 ; T 4 =

Lo i i .0,2 0,8. ; rn = 2,2; r 42 :

ss = "1 0 "0,7 0,3' 0 1 ; T 5 = -1 0. .0,7 0,3.

"1 01 "0,9 0,1' 1 0 ; T6 =

L0 1_ .0,5 0,5.

; r-0l = 1,9; r5a = 2 , l ;

; rel = 1,3; r 6 2 = l , 5 ;

S7 = "1 01 n oi 1 0 ; T7 =

-1 0. - 1 ' 0 .

rn = 1; r, 72

Strategiile deterministe St caracterizate prin vectorii de poziţie r r sînt reprezentate în figura 1.21,a.

1 '/?Cx2$, ) - •

* • -

s„ *;'.

3 "7

•

2 • tj \ SSjf.

ts2

i'-^' ^

/ - A\

— fi , ~ % •

So 0 / 2 3 fi(X,S) Fig. 1.2l,a. Vectorii de poziţie ai strategiilor deterministe.

Punctul 5 corespunzător strategiei minimax se află la intersecţia dreptei 5"4 -S6 cu prima bisectoare. Vectorul de poziţie r al punctului 5 este:

r = PiU + p6T4 = tj_(l,3pt + 2,2 p6) + e2(l,5 p4 +*0,6p6) ;., •'. •.

unde p4 reprezintă probabilitatea de utilizare a strategiei S4, iar p6 reprezintă probabilitatea de utilizare a strategiei S6. • . '

39

Cum acest vector se află pe prima bisectoare, rezultă

Ţinînd cont şi de condiţia

1,5^4 + 0 ,6^ , .

Pi + p6 = 1. rezultă:

" 1 0 "l 0" 1 0 + 1/9 0 1 =

.0 1 .0 1

1 0 8/9 1/9 0 1

pi = 8/9 şi p6 = 1/9.

Matricea strategiei minimax, SMNx, va fi, prin urmare:

SMNX = Pi S6 + PSi = 8/9

Aceasta înseamnă că strategia minimax va utiliza cu probabilitatea 8/9 strategia deterministă S6 şi numai cu probabilitatea 1/9 strategia S4. Simbolul y2 face parte atît din submulţimea Yx cit şi din submulţimea Y2. Recep-

ţionînd y2 în general se estimează xx, dar cu probabilitatea 1/9 se mai estimează şi x2. în figura 1.21, b se prezintă partiţia simbolurilor recepţionate în conformitate cu strategia aleatoare determinată.

în spaţiul riscului se poate găsi o repre­zentare grafică şi pentru criteriul riscului minim. Dacă se notează cu :

Pig. 1.21,6. Partiţia simbolurilor re cepţionate în conformitate cu o stra

tegie aleatoare.

P = P(xi) e-t + p(x2) e2,

rezultă că riscul corespunzător unei anu­mite strategii este:

R = P • h-î n raport cu criteriul riscului minim va fi optimă acea strategie a cărei

proiecţie pe direcţia vectorului p este minimă, în cazul exemplului din fi­gura 1.21,0, este optimă strategia S6.

PROBLEME PROPUSE

1.22. Fie canaltd binar simetric cu matricea de tranziţie de forma:

1

P V(Y/X) = P P

1 —

Se cere să se determine: a) valorile lui p care asigură valoarea maximă, respectiv valoarea minimă

a capacităţii canalului; b) capacitatea maximă Cmax şi capacitatea minimă Cmi„. R. a) p = 0; p= 1/2; b) Cmax = 1; Cmm = 0.

40

1.23. Care este structura matricei probabilităţilor spaţiului produs intrare-ieşire P(X,Y) în cazul canalului fără perturbaţii! Dar în cazul canalului cu perturbaţii foarte marii

R. V(X, Y)

P(X, Y) =

P(*l) 0 .. 0 0 P(xzS .. 0 0 0 •• P(Xn)

' p(xj) piyj p(x1) p(y2) ... p{xx) p(y„)

MxJp(yi) P(xJP(yJ ... p(x.) P(y«) 1.24. Fie un canal discret cu alfabetul de intrare format din simbolurile

xx, x2, x3, xt cu probabilităţile de apariţie egale p(xx) = p(xo) = p(x3) = = p(x4). Considerînd capacitatea teze matricea de zgomot:

egală cu zero, se cere să se comple-

? 1/4 ? ? -

P( Y, X) = 1/2

? ? ? ? ? ? ?

x> ? ? 1/6 ? _

M\,

- 1/2 1/4 /16 1/12 -

V(YţX) = 1/2 1/2

L 1/2

1/4 1/4 1/4

1/6 1/12 1/6 1/12 1/6 1/12 _

1.25. Fie matricea de zgomot a unui canal, de forma.

P(YA K) = "1/2 1/3 ? • . ? 2/3 1/4

•

Se cere: a) să se completeze matricea de zgomot; b) să se scrie matricea probabilităţilor spaţiului produs intrare-ieşire ştiind

că distribuţia probabilităţilor alfabetului de intrare este uniformă.

R. a) V{YIX) =

b) r(X, Y) =

1/2 1/3 1/6 _ 1/12 2/3 1/4

1/4 1/6 1/12 1/24 1/3 1/8

1.26. O sursă discretă se caracterizează prin:

[S] = [si, s2, s3, s4] ;

P(5) = [1/2 1/4 1/8 1/8 ] .

Se cere să se calculeze: a) entropia sursei;

41

b) redundanţa sursei; c) eficienţa sursei; d) debitul de informaţie dacă duratele simbolurilor sînt zx = 1 s, T2 = 3 s,

T3 = 3 s si ~4 = 5 s. R. a) H(S) = 1,75 bit/simbol; b) R(S) = 0,25 bit/simbol; c) Y)(S) = 0,87;

d) Ht(S) = 0,78 bit/s.

1.27. Matricea probabilităţilor cîmpurilor reunite intrare-ieşire a unui canal discret este de forma:

0,1 0,25'

nx, Y) = 0,2 0 0,3 0,15.

Se cere să se calculeze: a) entropiile cîmpurilor de la intrare şi de la ieşire; b) eroarea medie şi echivocaţia; c) entropia cîmpurilor reunite; d) transinformaţia. R. a) H(X) = 1,51 bit/simbol; H(Y) = 0,97 bit/simbol;

b) H(XjY) = 1,25 bit/simbol; H(YJX) = 0,71 bit/simbol; c) H(X,Y) = 2,28 bit/simbol; d) I{X, Y) = 0,255 bit/simbol.

1.28. La intrarea unui canal de transmisiune caracterizat prin matricea de zgomot

P(Y/Z) 1/2 1/4 1/8 1/8" 1/8 1/8 1/2 1/4.

se aplică simbolurile Xi şi x2 cu probabilităţile p(xx) = 3/4 şi p(x2) = 1/4.

Se cere: a) să se facă partiţia simbolurilor recepţionate, pe baza criteriului plauzibi­

lităţii maxime; b) să se scrie matricea strategiei;

c) să se calculeze matricea de tranziţie a canalului echivalent;

d) să se calculeze eroarea medie înainte şi după decizie.

R. a) Partiţ ia simbolurilor recepţionate pe baza criteriului plauzibilităţii maxime este prezentată în figura 1.28.

b) S =

rl °1 1 0 0 1

^0 1.

Fig. 1.28. Partiţia simbolurilor re­cepţionate conform criteriului plau­

zibilităţii maxime. c) T =

3/4 1/4' 1/4 3/4

42

d) H(Y/Z) = 7/4 bit/simbol; R(X/X) = 1,208 bit/simbol.

1.29. Să se calculeze entropia maximă a unui sistem în cazul în care acesta este constituit din:

a) două elemente, fiecare avînd cîte două stări distincte; b) trei elemente, fiecare avînd cîte patru stări distincte; c) patru elemente, fiecare avînd cîte trei stări distincte. R. a) Hj = log2 22 = 2 bit/simbol;

b) H2 = log2 43 = 6 bit/simbol; c) Hs = log3 34 = 6,32 bit/simbol.

1,30. La intrarea unui canal binar avînd matricea de tranziţie de forma s

10,1 0,3" V(YjX) = 0,2 0,8.

se aplică simbolurile Xi şi x s cu probabilităţile p(xx) = 1/3 s* p(x2) = 2/3. Să se /«că partiţia simbolurilor recepţionate pe baza criteriului riscului minim, matricea costurilor fiind de forma:

R. 4: -r.î

0,9 0,2

BIBLIOGRAFIE

1. S p ă t a r u , AL Teoria transmisiunii informaţiei, voi. I. (Semnale şi preturbaţi i) . Ed . Tehnică, 1966.

2. S p ă t a r i i , Al. Teoria transmisiunii informaţiei, voi. I I . (Coduri si decizii s tat ist ice) , Ed. Tehnică, 1971.

3. T î m b a l , V. P . Zadacinik po teorii informaţii i codirovaniiu. Vişcea Şcoia, Kiev, 1976. 4. T e m e s i , A., D a l o s , Gy. Hirkozleselmeleti peldatăr. Tankonyvkiado, Budapest, 1972. 5. F e r e n c z y , P Hirhozleselmelet. Tankonyvkiado, Budapest , 1971.

CAPITOLUL 2

CODURI

INTRODUCERE TEORETICĂ

Codarea surselor discrete se face în două scopuri distincte: fie pentru mărirea eficienţei transmisiei prin reducerea redundanţei, respectiv prin micşo­rarea numărului de simboluri în fiecare cuvînt de ccd, fie pentru îmbună­tăţirea stabilităţii la perturbaţii prin introducerea unei redundanţe, respectiv prin adăugarea la simbolurile informaţionale din cuvîntul de cod a unor simboluri de control, care să permită detecţia sau corecţia erorilor. Pentru realizarea primului deziderat se utilizează coduri cu lungime medie cît mai mică a cuvintelor, numite optimale şi obţinute printr-o codare compactă% iar pentru realizarea celuilalt deziderat se utilizează coduri detectoare sau corectoare de erori.

A. Coduri compacte

Pentru codare compactă se folosesc algoritmii Shannon-Fano sau Huffman, descrişi în [2] (v, problemele 2.1 şi 2.2).

Fie o sursă caracterizată prin alfabetul [S] cu N simboluri şi matricea probabilităţilor P :

[S] = Oi, s2, .... sN];

P =[>(«]) P(S2) ... P(SN)].

Prin operaţia de codare compactă, se poate aloca fiecărui simbol st al sursei un cuvînt de cod c{ de lungime lt constituit din litere ale alfabetului [X] al codului:

[X] = [xlt x2, ..., xD],

unde D este numărul de litere al alfabetului [X]. — Dacă probabilităţile p(s4) sînt puteri negative întregi ale numărului

de litere D, atunci lungimea unui cuvînt este:

lt= -logDp(st), (2.1)

iar lungimea medie:

1 = f>(«,) h (2-2) i = l

devine cu relaţia (2.1):

1=-Y;p(sj logDp(st) = - ] [ > & ) iogsp(Si) = — 4 - -f^i log2 D fci log2 D

44

Se poate arăta că această valoare a lungimii medii / este valoarea minimă, respectiv că:

Imin — : ~ " (2-3) lcg2£>

Codurile pentru care l = lmin se numesc coduri absolut optimale. Se pot defini:

• eficienţa codului:

• redundanta codului:

"min n = —v- (2.4)

1 - -n. (2.5)

Se constată că pentru codurile absolut optimale eficienţa este unitară iar redundanţa este nulă.

— Dacă probabilităţile p(si) nu sînt puteri negative întregi ale numărului D, atunci pentru lungimea lt a unui cuvînt de cod se alege numărul întreg imediat superior lui —logBp(s() — logD l/p(st), aşa încît:

P(s<) P(st)

î n acest caz lungimea medie l a cuvintelor de cod satisface relaţia:

l ^J^L<1< H& , , (zi) l-min — - — ^ ^ " — + 1 \l-l)

log2 D log2 D şi se constată că ea este mai mare decît valoarea minimă lmin. Astfel de coduri se numesc coduri optimale. Pentru aceste coduri eficienţa este subunitară, ar redundanţa este mai mare ca zero.

Prin procedeele de codare compactă, simbolurilor mai probabile ale sursei li se asociază cuvinte de cod mai scurte, iar simbolurilor mai, puţin probabile — cuvinte mai lungi (v. relaţiile (2.1) şi (2.7)). Lungimile cuvinte­lor obţinute prin procedee de codare compactă satisfac inegalitatea lui Mc-Millan:

N £}£>-'* <1. (2.

Inegalitatea lui Mc-Millan devine egalitate pentru codurile absolut optimale:

N N

£ £ - ' ' = j > ( s « ) = 1. (2.9) < = 1 i = l

O Notă. Ccdurile rezultate prin procedeele de codare ccmpactă sînt coduri cu proprietate de prefix caracterizate prin aceea că din cuvinte scurte nu se pot forma cuvinte mai lungi; aceste coduri se mai numesc şi instan­tanee sau ireductibile.

45

B. Coduri detectoare si corectoare de erori y

Pentru detecţia şi corecţia erorilor singulare se folosesc în special coduri bloc, din această categorie făcînd parte codurile grup şi codurile ciclice.

Determinarea numărului de simboluri. Un cuvînt de cod de lungime n are k simboluri de informaţie şi m simboluri de control şi poate fi reprezentat sub forma matricei linie:

v = [«i «2 «»L (2-10) unde n = m + k.

Dacă se foloseşte pentru codare un alfabet [X] = [0,1], pentru transmi­terea a N simboluri ale sursei sînt necesare un număr k de simboluri de informaţie, număr care satisface relaţia:

2* > N. (2.1 lj

— Pentru a corecta e erori, codul trebuie să aibă un număr de simboluri de control stabilit de marginile Hamming sau Varşamov-Gilbert:

• marginea Hamming:

Zm>Y^,C\ (2.12,a)

(C* sînt combinări de n elemente luate cîte i), care reprezintă o condiţie nece­sară, dar nu suficientă pentru stabilirea lui m; pentru cazul corecţiei unei singure erori (e = 1) relaţia (2.12,a) se poate pune sub forma:

2»>C» + CJ sau:

2m — l^n, (2.12,b) deoarece C° = 1 iar CJ = n ;

• marginea Varşamov-Gilbert:

2™>2J2Cin_1, (2.13)

care reprezintă o condiţie suficientă, dar nu necesară pentru determinarea lui m.

Distanţa între cuvintele de cod. — Pentru ca un cod să poată avea proprietăţi de corecţie, este necesar ca

din mulţimea de cuvinte de n litere, numai o parte să constituie cuvinte cu sens. Rezultă astfel în spaţiul cuvintelor o distanţă între cuvintele de cod v = [a}1 aj2... ajn] şi vf = [aa ai2... am], care a fost definită de Hamming în următorul mod:

d(yi> v3) = f > ; * © aa, (2.14)

unde 2 reprezintă însumarea în corpul numerelor reale, iar ® adunarea modulo doi; distanţa dintre două cuvinte de cod este egală cu numărul

46

poziţiilor prin care cele două cuvinte diferă. Se observă cu uşurinţă că dis­tanţa dintre cuvintele de cod v şi \} reprezintă ponderea unui cuvînt de cod'vz = vt © v,:

d(vt, v,) = P(v,). (2.15)

Condiţia necesară şi suficientă fie care trebuie să o îndeplinească distanţa dintre cuvinte pentru ca să se poată corecta e erori este ca:

dnt,= PnU. = 2e+l. (2.16)

— Pentru detecţia a e erori condiţia este:

dmtn = Pmin==e+l. (2.17)

Se observă că un cod corector de e erori este detector de 2e erori.

Matricea de control şi matricea generatoare. Orice cod corector sau de­tector de erori este caracterizat prin matricea de control H, care are m^ linii şi n coloane, şi de matricea generatoare G, care are k linii şi n coloane. între aceste două matrice există relaţia:

HGT = 0, (2.18)

unde GT este matricea transpusă matricei G. Orice cuvînt de cod, fiind o combinaţie liniară a liniilor matricei G, sa­

tisface relaţia: HvT = 0. (2.19)

Relaţia (2.19) permite determinarea simbolurilor de control cînd se cunosc simbolurile de informaţie, operaţie efectuată la codare.

Dacă se admite o reprezentare a matricei H de forma:

H = [K h2.... hn], (2.20)

pentru un cuvînt eronat v ' = v -f- £ (unde E este cuvîntul eroare) se poate defini corectorul z utilizînd relaţia:

z = H(v')T = H(v + sf = HE1*. (2.21)

La decodare, cu relaţia (2.21) se calculează corectorul. Urmează ca pe baza unei corespondenţe biunivoce între corector şi poziţia eronată să se stabilească poziţia eronată, pentru ca, după aceea, să se corecteze eroarea.

— Pentru a putea face corecţia a e erori, oricare 2e + 1 coloane ale matricei H trebuie să fie liniar independente (sau, sumele oricăror e coloane ale matricei H trebuie să difere de sumele oricăror altor e coloane ale ma­tricei H).

•— Pentru a putea face detecţia a e erori, e + 1 coloane ale matricei H tre­buie să fie liniar independente (sau, sumele oricăror e coloane ale matricei H trebuie să fie diferită de zero).

• La codurile grup cuvintele de cod se reprezintă sub formă de vectori şi formează un grup faţă de operaţia ©.

Mulţimea [W] a tuturor cuvintelor de lungime n conţine 2" elemente. Dintre acestea, numai o parte, şi anume 2", alcătuiesc mulţimea [V] a cu­vintelor de cod. Celelalte 2n — 2S cuvinte se pot considera a fi rezultatul recepţiei eronate a cuvintelor de cod, în jurul fiecărui cuvînt de cod putîn-

47

du-se grupa (2" — 2*)/2* sau 2n~k — 1 cuvinte eronate v). Aceasta se obţine însumînd la cuvîntul de cod v;. 2™ — 1 cuvinte eroare, corespunzătoare combi­naţiilor de erori corectabile şi deci:

vj = Vj © zn, cu n < 2" 1. (2.22)

Mulţimea obţinută însumînd la cuvintele corecte un cuvînt eroare £s

reprezintă o clasă alăturată mulţimii sau clasei [V];. există un număr de 2m — 1 clase alăturate clasei [F], care epuizează mulţimea tuturor cuvintelor fără sens din mulţimea [W].

— Dacă se transmite cuvîntul de cod v,., pentru a-1 putea decoda corect este necesar ca orice cuvînt recepţionat v) să se găsească în tabloul claselor alăturate. Se poate deci considera că probabilitatea decodării corecte este:

fie =p{iy't = v, + «o) U (v', = v, + 8 l) U ... U vi = v, + E2„_!}

sau fio =fi{v'i = v; + £o} + PW = vi + £i} + ••• +fi{v'i = v,- + £2»-i}.

Dacă admitem o transmisie pe un canal binar simetric, rezultă:

A = X>i?* fi > (2.23)

unde e reprezintă numărul cel mai mare de erori care pot fi corectate cu ajutorul tabelei claselor alăturate, p este probabilitatea erorii la un canal binar simetric, q = 1 — p, iar nt este numărul de combinaţii corectabile de i erori.

— Probabilitatea decodării eronate este:

fie = 1 ~ fio = 1 ~ £ »,(1 - fiT-V- (2.24)

— Vectorii bază ai spaţiului [V] sînt în număr de k şi determină liniile matricei generatoare G:

Vl

v2

£11 £ 1 2 - . . g i »

§21 §22 • • • §2B

L §j;l & 2 ••• Skn-

(2.25)

Cu ajutorul unor transformări elementare, matricea G poate fi adusă la una dintre formele canonice echivalente din punctul de vedere al capacităţilor de corecţie:

1 0 . . . 0

G'

JU ••• Plm

0 1...0 p21...p2m

0 0 . . . 1 pkl...fikJ

[I.,P] (2.26)

sau:

G"

'fiii •••film

p21---p2m

o . . . o 1 ... 0

.Pkl-Pkm 0 0 . . . 1

[PI*]. (2.27)

48

— Mulţimea tuturor vectorilor ortogonali pe vectorii din V formează unt spaţiu ai cărui vectori bază determină liniile matricei de control H:

H

Ui

«2

h-,1 fa Ai

A2i

12 ••• » l n

22 ••• " 5 ^n

K

[ h i h a . . . ^ ] . (2.28).

Prin transformări elementare, şi această matrice poate fi adusă la una. dintre formele canonice echivalente din punctul de vedere al posibilităţilor de corecţie:

H '

sau

H"

?n ?12 ••• qik 1 0 ... 0 ?2i fe... q2k o 1... o

^«l ?m2 ... ?mt 0 0 ... 1.

1 0 . . .0 qn q12...qlk

0 1 0 q21 q22 ... q2k

[QiJ (2.29>

= [Im©]- (2.30>

Şl

-0 0 1 ?m l grm2... ? m J

Avînd în vedere relaţia (2.18) dintre matricele H şi G, rezultă relaţiile r

P = QT (2.31>

Q = PT (2.32}

dintre matricele P şi Q. — Unul dintre codurile grup cele mai cunoscute este codul Hamming'

corector de o eroare, la care coloana Ir, a matricei H este reprezentarea binară a numărului j . Datorită acestui fapt, orice corector este reprezentarea binară-a poziţiei erorii respective din cuvîntul de cod.

Codul Hamming este nesistematic, respectiv poziţiile de control s înt 1, 2, 4 ... 2m~1, corespunzînd unor vectori-colpană cu o singură poziţie dife­rită de zero, ceea ce uşurează determinarea simbolurilor de control din relaţia. (2.19).

Dacă, pe lîngă corecţia unei erori, trebuie să se asigure şi detecţia erorilor duble, matricea de control H capătă structura:

H1 0 hj h 2 . . . h K

1 1 1 ... 1 (2.33)

unde hj h 2 . . . hre este matricea de control a codului Hamming corector de o eroare. La cele m simboluri de control ale codului corector de o eroare se mai adaugă un simbol de verificare la paritate, numărul total m1 al simbo­lurilor de control fiind m1 = m + 1.

49»

Corectorul este pentru acest cod:

z1 = H V F = HV (2.34)

Dacă z0 = 0 şi z = 0, atunci nu apar erori. Dacă z0 = 0 şi z ^ 0, atunci sînt două erori, detectabile. Dacă z0 = 1 există o singură eroare, corectabilă, a cărei poziţie este

determinată de z.

• La codurile ciclice, cuvîntului de cod reprezentat prin vectorul: v = [a0 ax... < v J

i se ataşează polinomul: v(x) = a0 -4- «]>' + a2#2 + ••• + «n_i#M_1. (2.35)

Coeficienţii polinomului sînt elementele unui cîmp cu două elemente, 0, 1. Cuvîntul fiind identificat cu un polinom, constituie un element al unei algebre liniare în care pe lîngă operaţia de adunare se poate defini şi operaţia de înmulţire. Dacă numărul de litere dintr-un cuvînt este n, se pot forma 2" cuvinte. Dintre acestea, ca şi la codurile grup, se consideră cuvinte cu sens numai 2*. Cele 2n — 2* cuvinte fără sens pot fi grupate în jurul cuvintelor cu sens, alcătuind cele 2m — 1 aşa-zise, „clase de resturi modulo un polinom p{x)". Se alege:

p(x) = xn + 1. (2.36)

Cele 2* cuvinte cu sens se aleg astfel încît să aibă o proprietate comună, pe care restul cuvintelor nu o au, şi anume aceea de a fi multipli ai polinc-mului generator g{x), respectiv de a face parte din idealul generat de poli­nomul g(x) de grad m, divizor al polinomului p(x). Dimensiunile idealului fiind k = n —m, orice cuvînt de cod poate fi exprimat printr-o combinaţie liniară a următoarelor k polinoame:

g(x), xg(x) ... x«-ig(x). (2.37)

— Coeficienţii polinoamelor de mai sus determină liniile matricei gene­ratoare G:

G = xg(x)

3-1 g(x).

po Si. • Sm 0 . . 0 0 go. • Sm-1 bffl • . 0

0 0 •go-

(2.38)

— Pentru orice polinom g(x) divizor al polinomului p(x) există un polinom de control:

* ( * ) -= P(x) g(x)

Acest polinom de control generează un ideal [J] de dimensiuni m = n a cărui bază este constituită de cele m linii ale matricei de control H:

(2.39)

k.

H =

0 0 . . . 0 K • . hx h0

0 o... K K-i • .h0 0

K k-i h h • ..6 6 (2.40)

50

Ţinînd cont de structura matricei H dată de relaţia (2.40), se poate vedea cu uşurinţă că dacă vfl = [a0 « i . . . #„_J este un cuvîntde cod ciclic, atunci şi v, = [a} at_x ... a0 an_± ... aj+1] este un cuvîntde cod, ceea ce şi justifică denumirea de „ciclic" a codului.

PROBLEME REZOLVATE

2.1. Se consideră o sursă cu alfabetul [S] = [s1( s2, s3, s4, s5, s6] şi probabili­tăţile P = [1/2 1/4 1/8 1/16 1/32 1/32]. Se cere să se determine:

a) un cod compact folosind algoritmul de codare Shannon-Fano; alfabetul codului este [X] = [0,1];

b) lungimea mediei a cuvintelor de cod; c) eficienţa y\ şi redundanţa p a codului. Soluţie \ a) Se fac partiţii succesive ale mulţimii [S], cu simbolurile s4 ordonate

în sens descrescător al probabilităţilor p{s^, în submulţimi de probabilităţi egale pînă cînd fiecare submultime conţine un singur element. Procedura

TABELUL 2.1

! Mesaje Probabilităţile P(st)

Partiţii Cuvimele de cod Ci

Lungi­mea li

sl

S2

1 2

I 4

1

&

1

16

32

_i 32

SP Ci = [01 1 sl

S2

1 2

I 4

1

&

1

16

32

_i 32

5 ! •->10 c2 = [1 0] 2

3

sl

S2

1 2

I 4

1

&

1

16

32

_i 32

5 !

•5n •~>110 c3 = [1 1 0]

2

3

sl

S2

1 2

I 4

1

&

1

16

32

_i 32

5 !

•5n

• ^ 1 1 1 0 c4 = [1 1 1 0 ] 4

sl

S2

1 2

I 4

1

&

1

16

32

_i 32

5 !

•5n

• ^ 1 1 1 1 •~>11110 c5 = [1 1 1 1 0] 5

sl

S2

1 2

I 4

1

&

1

16

32

_i 32

5 !

•5n

• ^ 1 1 1 1

• ^ 1 1 1 1 1 c6 = r i i i i i] 5

de codare se poate urmări în tabelul 2.1 şi pe graful din figura 2. i.

Se observă că simbolurilor mai probabile li se alocă cuvinte de cod mai scurte. Pe gra­ful din figura 2.1 se poate vedea că se obţine un cod cu proprietate de prefix: fiecare cuvînt de cod cx este punct terminal în arborele de cod şi deci din nici un cuvînt scurt nu se poate forma un cuvînt mai lung.

Fig. 2.1. Arborele codului instan­taneu obţinut prin codare Shannon-

Fano a sursei S.

51

<b) Lungimea medie / se poate determina cu relaţia (2.2]: N - l 1 1 1 1 31

/ = Y>fi(st) / = - . ! + _ _ . 2 + - - 3 + 1 - 4 + 2 - 1 • 5 = — • £ f 2 4 8 16 32 16

c) Eficienţa 75 a codului este, în conformitate cu relaţia (2.4): _ Ljn = H(S)llog2D __ 31/16 _ j

° l l 31/16 •deoarece:

#(S) = - f>(^) log2p(st) = 1 . 1 + 1 . 2 + 1 - 3 + iTi 2 4 8

+ 1.4 + 2 . 1 . 5 = ^ ^ 1 -16 32 16 simbol

.Avînd 7j = 1, codul,este absolut optimal. Redundanţa codului, conform (2.5), este p = 0.

2.2. Se consideră o sursă cu alfabetul [S] = [s1, s2, s3, s4, s5, s6] şi probabi­lităţile P = [0,05 0,1 0,3 0,25 0,1 0,2].

a) Să se determine un cod compact folosind algoritmul de codare Huffman, .dacă alfabetul codului este [X] = [0, 1] si dacă alfabetul codului este [X] = = [0, 1, 2].

b) Pentru cele două cazuri să se calculeze lungimea medie a cuvintelor de cod şi eficienţa codului.

Soluţie a) Algoritmul Huffman se aplică după ordonarea în sens descrescător

:a probabilităţilor simbolurilor sursei. Se grupează D simboluri cu probabili­tăţile cele mai mici şi se formează o sursă restrînsă Rx care conţine simbolu­rile: Si, s2, ..., sN_D, srl cu probabilităţile p(sj), p{si), ..., p(sN_D), p(srl), unde fi(sri) = P(SN) + PisN-i) + ••• P(SN~B-I)- Procedeul se continuă pînă cînd se ajunge la o sursă restrînsă cu D simboluri cărora li se alocă cuvinte de •de cod care încep cu 0 ,1 , . . . . , D. Literele următoare ale cuvîntului de cod alocat fiecărui simbol se obţin parcurgînd sursele restrînse în sensul opus restrîngerii şi alocînd litere 0,1, ..., D pînă la regăsirea simbolului original.

Codarea Huffman pentru D = 2 este dată în tabelul 2.2, a. TABELUL 2.2,a

Simbo­lurile sursei

Probabilităţile Probabilităţile mesajelor surselor restrînse Rn

Cuvintele Simbo­lurile sursei

Probabilităţile

**> Pfl2 pR, VR*

Cuvintele

*2

S5

S l

0,3 0,25

0,20

0,10 1 0,10 ţ 10001

0,3 0,25

0,20 0,15 | 100 1

0,3

0,25 0,25 1 10 0,20 J 11

0,45 0,30 | 00

0,55 1 0

c3 = [0 0] c4 = [0 1]

ce = [1 1]

c2 = [10 r] c5 = [10 0 0] c1 = [10 0 1]

*2

S5

S l

0,3 0,25

0,20

0,10 1 0,10 ţ 10001

0,3 0,25

0,20 0,15 | 100 1

0,3

0,25 0,25 1 10 0,20 J 11

0,45 0,30 | 00

0,45 J 1 c3 = [0 0] c4 = [0 1]

ce = [1 1]

c2 = [10 r] c5 = [10 0 0] c1 = [10 0 1]

*2

S5

S l

0,3 0,25

0,20

0,10 1 0,10 ţ 10001

0,3 0,25

0,20 0,15 | 100 1

0,3

0,25 0,25 1 10 0,20 J 11

0,25 J 01

0,45 J 1 c3 = [0 0] c4 = [0 1]

ce = [1 1]

c2 = [10 r] c5 = [10 0 0] c1 = [10 0 1]

*2

S5

S l

0,3 0,25

0,20

0,10 1 0,10 ţ 10001

0,10 J 101

0,3

0,25 0,25 1 10 0,20 J 11

0,45 J 1 c3 = [0 0] c4 = [0 1]

ce = [1 1]

c2 = [10 r] c5 = [10 0 0] c1 = [10 0 1]

*2

S5

S l 0,05 J 1001

0,10 J 101

0,3

0,25 0,25 1 10 0,20 J 11

0,45 J 1 c3 = [0 0] c4 = [0 1]

ce = [1 1]

c2 = [10 r] c5 = [10 0 0] c1 = [10 0 1]

-52

O Observaţie. Pentru codarea Huffman cu D simboluri, trebuie a v u t în vedere că după prima restrîngere se obţine o sursă cu N — D + 1 = = N — (D — 1) simboluri, iar după n restrîngeri — o sursă cu N — n(D — 1) simboluri. Pentru a putea efectua operaţia de codare, ultima sursă trebuie-să aibă D elemente, deci: D = N —n(D — 1) sau N = n(D — 1) + D, de-unde rezultă:

n = N — D D

Dacă D = 3 (ca în al doilea caz — pct. „a"), avînd N = 6 se obţine urn număr de surse restrînse n = 3/2, care nu este un număr întreg. Alegînd n = 2. rezultă N = 1. Va trebui deci să adăugăm sursei [S] simbolul s7 cu ft(s7) = 0,. Codarea Huffman pentru D — 3 este dată în tabelul 2.2,b.

TABELUL 2.2,b

Simbo­lurile sursei

Probabilităţile Probabilităţile surselor restrinse Rţ Cuvintele • Simbo­

lurile sursei P(s,) P K t

p R 2

Cuvintele •

0,30 0,25 0,20

0,10 0 , 1 0 \ 010 0,05 / OII 0,00 / 012

0,20 \ 00 0,15 / 01

0,45 0 0,30 1 0,25 2

c3 = [1] c4 = [2] c6 = [0 0]

c2 = [0 2] cb = [0 1 0] c, = [0 1 1] c, = [0 1 2]

0,30 0,25 0,20

0,10 0 , 1 0 \ 010 0,05 / OII 0,00 / 012

0,10 / 02

0,45 0 0,30 1 0,25 2

c3 = [1] c4 = [2] c6 = [0 0]

c2 = [0 2] cb = [0 1 0] c, = [0 1 1] c, = [0 1 2]

Graful corespunzător codării Huffman cu D = 2 este dat în figura 2.2,«„ iar graful corespunzător codării Huffman cu D = 3 este dat în figura 2.2,b. Se observă din arborii de cod că ambele coduri sînt ireductibile.

Fig. 2.2. Arborele codului instantaneu obţinut prin codare Huffman a sursei S:

a — cu D = 2 simboluri; 6 — cu D = 3 simboluri.

5$

b) Folosind relaţiile (2.2), (2.3) şi (2.4) se obţine pentru D = 2:

l = 2 • 0,3 + 2 • 0,25 + 2 • 0,2 + 3 • 0,1 + 4 • 0,1 + 4 • 0,05 = 2,4;

H(S) "min

"o

log 2D

''min 2,3

= #(S) = - [ 0 , 3 log0,3 + 0,25 log 0,25 + 0,2 log 0,2

+ 2 • 0,1 log 0,1 + 0,05 log 0,05] = 2,3;

= 0,96. / 2,4

Pentru D = 3 rezultă, cu aceleaşi relaţii:

Ţ= 1 • 0,3 + 1 • 0,25 + 2 • 0,2 + 2 • 0,1 + 3 • 0,1 + 3 • 0,05 = 1,(

"min H(S)

los2D

2 - 3 = —— = 1,44;

1,44

l 1,6

1,6

= 0,90.

2.3. Se consideră o sursă cu alfabetul [S] = [sx, s2, s3, s4, s5, s6, s7, s8] şi probabilităţile P = [l /2 1/4 1/8 1/16 1/64 1/64 1/64 1/64].

Se cere: a) să se găsească un cod binar pentru care 1 este minim; b) să se găsească un cod binar pentru care lmax este minim; c) să se găsească un cod binar pentru care lmax = 4 şi 1 este minim; d) să se calculeze pentru fiecare dintre cele trei cazuri eficienţa codului.

Soluţie a) Se poate adopta un procedeu de codare compactă, de exemplu, pro­

cedeul Huffman. Codarea Huffman pentru această sursă este dată în ta­belul 2.3.

Lungimile cuvintelor de cod sînt:

l\ = = 1 ; Iz === 2 ; tg = 3;J £4 ^= 4, /g = /g = /^ == /g = 6.

#' Lungimea medie este conform relaţiei (2.2):

' c2 l= — + 2

2 1 1 1 1 - + 3 • — + 4 - — + 4 • 6 • _ = 2. 4 8 16 64

Folosind relaţiile (2.1) şi (2.3) rezultă:

l = \ i n = 2 = H(S).

Arborele de cod este prezentat în figura 2.3, a, codul obţinut fiind instantaneu.

b) Dacă nu se adoptă regula de codare compactă Cg c7 °s (de a atribui cuvinte de cod lungi simbolurilor mai

Fig. 2.3,a. Arborele codului H i n P 1 ? ^ ^ ?* C U V i n t e ^ . C ° d S C U l t ? s imbolur i lor instantaneu obţinut prin m ^ 1 probabile), se poate obţme un cod cu lmax mai codare Huffman a sursei s. mic. Valoarea minimă a lungimii lmax se obţine

54

TABELUL 2.3

ra Probabilităţile mesajelor surselor restrînse Ri Cuvintele j ra f p ^ *R, VRs 1 P*4

p*s F*.

Cuvintele j

1 i î 1 1 1 1 1 . H — — — — — — — 0 Cl = [0]

2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1

*2 — — — — — — c2 = [1 0] 4 1

4 1

4 1

4 1

4 1 '

4 10 1 1

Sn — 1 — > • H 2 , c3 = [1 1 0]

3 8 8 8 8 8 1 4

*4 1

16

1 16

1 16

1

16

110 i — * •

111

1 4 e4 = [l 1 10]

1 1 ' 1110 1 —¥

32 32 > :— l l l l

8

1

64

1 ' ^ 11110 1

h 1

64 64 111110 1

i ^

11111 16 c5 = [111110]

1

64

1 mim" 32 S6

1

64 64 c 6 = [ l l l l l l ]

1 Si

64 111100 111101

c, = [111100]

sa 1 c 8 = [111101]

64

dacă fiecărui simbol i se alocă reprezentarea binară a cîte unuia dintre nu­merele de la 0 la 7. Valoarea lui lmax se poate determina din relaţia:

2'max N = 8

sî se obţine 1 - 3

Se poate obţine astfel următorul cod: cx = [0 0 1], c2 = [0 1 0], c3 = = [0 1 1], c4 = [ 1 0 0 ], c6 = [1 0 1], c6 = [1 1 0], c7 = [1 1 1], c8 = [0 0 0]. Se vede din arborele de cod din figura 2.3, b că şi acest cod este instantaneu.

c) Dacă lmax = 4, codul va avea w4 cuvinte de cîte patru simboluri, % cuvinte de cîte trei simboluri, n2 cuvinte de cîte două simboluri şi % cuvinte

Fig. 2.3,&. Arborele codului instantaneu obţinut prin codarea binar-naturală a sursei S.

55

•de cîte un simbol. Se notează prin niM — 2* numărul maxim al cuvintelor «de cîte i simboluri (i ~ 1, 2, 3, 4). Numerele nlt n2, ns, n4 trebuie să satisfacă «următoarele condiţii:

% + n2 + na + nt = N ; nx • 2»1 + M2 • 2~2 + % • 2-3 + «4 . 2-4 = 1 (v. rel. (2.9)) ;

i < w4 < w (%M. -W) ;

0 < n3 < mira («3M, 2V) ;

0 <; n2 < «îi» (»2Af, iV) ;

0 < % < «MM («i4f, iV).

Prin introducerea valorilor numerice, sistemul de mai sus devine:

«X + n2 + nS + n4 — 8 .' 8 % + 4 w2 + 2w3 -4- »4 = 16;

1 < % < 8;

0 < % < 8;

0 < «2 < 4;

0 < % < 2.

•Scăzînd primele două relaţii din sistem se obţine:

lnx + 3#2 + « 3 = 8 .

Se va rezolva în numere întregi ecuaţia de mai sus, dînd lui % cele trei valori posibile: 0, 1 şi 2.

• Fie nx = 0; se va rezolva ecuaţia:

3 n2 + n3 = 8,

deducînd valoarea lui n3 pentru cele patru valori posibile: 0, 1, 2, 3 ale lui «2 Şi obtinînd din ecuaţia precedentă valoarea lui «4 corespunzătoare fiecărui caz. Se obţine pentru:

n2 = 0, n3 = 8, fii = 0, ceea ce contravine condiţiei ni > 1;

»2 = 1> «3 = 5, «4 = 2 ;

«2 = 2, % = 2, w4 = 4 ;

w2 = 3, 4, n3 devine negativ.

• Fie nx = 1; se va rezolva ecuaţia:

3ra2 + n3 = 1

•şi rezultă pentru:

M2 = 0, % = 1, «4 = 6 ;

w2 = 1, 2, 3, 4, «3 devine negativ.

.56

• Fie n1 = 2; rezultă valori negative atît pentru n2, cît şi pentru ns.

Rezumînd rezultatele de mai sus se obţin următoarele coduri:

A) % = 0; » 2 = 1 ; n3 = 5; n4 = 2 ;

B) Ml = 0; n2 = 2 ; n3 = 2; w4 = 4;

C) % = 1; ?Î2 = 0; « 3 = 1 ; m = 6. Cuvintele mai lungi se vor atrib'ui mesajelor mai puţin probabile. Arborii

de cod sînt daţi în figurile 2.3, c, 2.3, d şi 2.3, e; rezultă într-adevăr coduri

Fig. 2.3.c,d,e. Arborele codului instantaneu obţinut prin codarea sursei S: c — cu lmax = 4, »4 = 2 ; d — cu lmax = 4, »4 = 4 ; e — cu /maa; = 4, K4 = 6.

57

instantanee, cu următoarele valori ale lungimii medii a cuvintelor de cod:

^ 2 U 8 16 64 64; \64 6A)

l = 2,51; N

trf U 4 / \8 16/ \64 64 64 64J

1 = 2,31; N 1 1 / 1 1 1 1 1 1 \ C) l = f\p{s^lt = ~-l +J--3+ l± + ± + ± + -L+± + ±U;

fe 2 4 \ 8 16 64 64 64 64/ 7 = 2,25.

d) Cunoscînd lmtn = 2 şi valoarea lungimii medii / pentru fiecare dintre metodele de codare adoptate, rezultă cu relaţia (2.4):

2,00 , , 1 , , „ 7) = = 1, pentru codul de la punctul „a ;

2,00

71 = — = 0,66, pentru codul de la punctul „b" ; 3,00

= Ljn_ = 2^00 = p e n t r u c a z u i 4 . r 2,51

= ^ _ 2^00 = pentru cazul 5 ; J 2,31

= iş _ = A 2 2 . = o,9, pentru cazul C. I 2,25

Se observă că eficienţa codului este cu atît mai mare cu cît este mai bine respectată regula de a atribui simbolurilor foarte probabile cuvinte de cod scurte.

2.4. Un număr de 20 simboluri se transmit pe un canal cu perturbaţii utili-zînd un cod Hamming grup corector de o eroare. Se cere:

a) să se determine numărul simbolurilor de informaţie k, al celor de control m şi lungimea n a fiecărui cuvînt de cod ;

b) să se scrie matricea de control a codului, H ; f

c) să se scrie cuvintele de cod; cît este-ămlnl dar Pmin7 d) să se scrie formele canonice H ' şi H" ale matricei de control; e) să se scrie formele canonice G' şi G" ale matricei generatoare şi să se

deducă matricea G;

58

f) să se reprezinte schema codorului şi a decodorului; g) să^se stabilească expresia corectorului pentru cazul în care se eronează c4 ; h) să se explice ce se întîmplă dacă într-un cuvînt recepţionat apar două

erori pe poziţiile*! şi 1.

Soluţie

a) Pentru a transmite N = 20 simboluri ale sursei este necesar un număr k = 5 simboluri de informaţie dat de relaţia (2.11).

Numărul simbolurilor de control m = 4 rezultă din expresia marginii Hamming (v. rel. (2.12, b)):

2m — 1 > n = m + k = m + 5.

Lungimea cuvîntului de cod este » = w + & = 4 + 5 = 9. b) Matricea de control este o matrice cu n = 9 coloane şi m — 4 linii ;

pentru codul Hamming grup, fiecare coloană reprezintă codul binar al numă­rului de coloană:

"o o o o o o o i r H = o o o i i i î o o

0 1 1 0 0 1 1 0 0 _1 0 1 0 1 0 1 0 1.

c) Cuvîntul de cod Hamming este nesistematic şi are structura v = = [cx c2 iz Ci i5 ie Î'J c8 i9]. Orice cuvînt de cod satisface relaţia (2.19):

HvT = 0,

care permite determinarea simbolurilor de control cx, c2, c4, cs în funcţie de simbolurile de informaţie i3, i5, H,.ilt i9 cu ajutorul-sistemului:,

^8 = = ^ 9 '

" c4 = i5 + i6 + i7 ;

c2 = H + H + h',

ci = h + h + ii + V

în tabelul 2.4 se dau cele 20 de cuvinte ale codului Hamming, obţinute alegînd pentru simbolurile de informaţie 20 de combinaţii distincte de 0 şi 1 sicalculînd cu relaţiile de mai sus simbolurile de control. î n tabel, cele 20 de combinaţii reprezintă codul binar cu cinci poziţii al numerelor 0 ... 19.

Din inspectarea tabelului 2?4 rezultă că Pmin = 3 ; avînd în vedere struc­tura de grup a codului faţă de suma modulo, doi, şi dmin = 3, rezultat pre­vizibil avînd în vedere relaţia (2.16) pentru e = 1.

59

TABELUL 2.4

^*'-*-^^ Simboluri

Cuvinte ^ ~ \ ^ Ci c, ', c4 io H »'» cs »»

v0 0 0 0 0 0 0

0

0 0 0 0

V i 1 1 1 0 0

0

0 0 0 0

v 2 1 0 0 1 1 0 0 0 0

V 3 0 1 1 1 1 0 0 0 0

V 4 0 1 0 1 0

0

1 0 0 0

V 5 1 0 1 1

0

0

0 1 0 0 0

V 6 1 1 0

1

0 1 1 0 0 0

V? 0 0 1 0 1 1 0 0 0

V 8 1 1 0 1 0 0 0 0

v9 0 0

1

1 1 0 0

0

0 0

V 1 0 0

0

1 0 0 1

0

0 0 0

v l l 1 0

0

1 0 1 0 0 0

""12 1

0

0 ' 0 0 0 1 0 0

0

0 V l 3 0 1 1 0 0 1 0

0

0

0 V 1 4 0 0 0 1 1 1 0

0

0

0

V 1 5 1 1 1 1 1 1 0 0

V 1 6 1 0 0 0 0 0 0 1 1

1 V l 7 0 1 1 0 •

1

0 0 0 1

1

1

V 1 8 0 0 0

0 •

1 1 0

0

0 1 1

v l9 1 1 1 1 1

0

0 0 1 1

d) Formele canonice H ' si H" sînt conform relaţiilor (2.29) si (2.30): H ' = [l raQ] şi H " = [ I m Q ] :

" 0 0 0 0 1 1 0 0 0 " H, = o i i i o o i o o

1 0 1 1 0 0 0 1 0 _1 1 0 1 1 0 0 0 1_

şi corespunde unui cuvînt de cod sistematic cu structura: v = [iz ib ie i-, i9 cg c4 c2 c j ;

"i o o o o o o o r H„ = o î o o o î î î o

0 0 1 0 1 0 1 1 0 . 0 0 0 1 1 1. 0 1 1_

şi corespunde de asemenea unui cuvînt de cod sistematic, cu structura: v = [c8 c4 c2 c± is i5 i6 i7 ia).

60

e) Formele canonice G' şi G" sînt G' = [IXP] şi G" = [P IK], unde P = QT (v. rel. (2.26), (2.27), (2.31), (2.32)). Rezultă:

G'

1 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1

G"

1 0 1 1 1 0 0 0 0' 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1

Formele canonice G' şi G" corespund codurilor sistematice cu cuvinte avînd structura specificată pentru formele canonice H', respectiv H".

Formele canonice H ' şi G', respectiv H" şi G" determină coduri cu ace­leaşi proprietăţi de corecţie ca şi codul determinat de matricele H şi G. Matricea G se obţine prin permutări ale coloanelor matricelor G' şi G", co­respunde ca şi matricea H unui cod nesistematic cu cuvinte avînd structura v = [c-i c2 i3 c4 i5 i6 i. cg i9] şi este de forma:

" l 1 1 0 0 0 0 1 0' 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 .

Se recunosc în liniile matricei G cuvinte de cod: de exemplu, linia a 2-a ;ste cuvîntul v2, linia a 3-a — cuvîntul v4; de pot recunoaşte drept cuvinte de cod şi combinaţii liniare ale liniilor matricei G: de exemplu cuvînul v3 rezultă din însumarea liniilor 2 şi 3 ale matricei G.

f) Codorul este format dintr-un registru de deplasare RDX cu 9 celule şi este reprezentat în figura 2A,a. Simbolurile de informaţie se înscriu în celulele 9, 7, 6, 5, 3. Simbolurile de control cg, c4, c2, cx se înscriu în registru în celulele S, 4, 2, 7, respectiv de la ieşirea celulei 9 şi de la ieşirile sumatoarelor S3, S2, Si.

Decodorul, reprezentat în figura 2.4,&, este format din registrul de depla­sare RD2, descifratorul binar zecimal D şi sumatoarele Sit S5, S6,. S7 care ;alculează componentele corectorului din relaţia (2.21):

2-2

Za zi A

= H(v')2 c'i + i'n + i's + H 4 + h + H + H ci + h + H + H + H

61

o o o

l3

Oi «©£

c,

RDi

ie *7 % *9

/esire

*© Of M

Fig. 2A,a. Codorul pentru un cod Hamming grup corector de eroare, cu n = 9, w = 4.

/n/rare o - * • */

D

% îs h c# l9 HD2

*©

*©

*©

*© £t

Fig. 2.4,&. Decodorul pentru un cod Hamming grup corector de o eroare cu n = 9, m = 4.

Corectorul z reprezintă codul binar al poziţiei eronate >. Descifratorul D scoate nivel 1 logic la ieşirea p; cu acest semnal este corectat conţinutul celulei registrului RD2 conectate la ieşirea p.

. g) Pentru acest caz cuvîntul eroare s este de forma:

£ = [ 0 0 0 1 0 0 0 0 0 ] .

62

Corectorul se poate calcula cu relaţia (2.21):

0

z = H(v')2, = H £T = h4 = l

. 0 . şi reprezintă codul binar al poziţiei eronate.

h) în acest caz cuvîntul eroare este:

E = [ 0 1 0 0 0 0 1 0 0 ] .

Corectorul rezultă conform relaţiei (2.19):

"0

z = [h2 + h7] = [h5] = l

. 1.

Decodorul va acţiona ca şi cînd eroarea ar interveni pe poziţia a 5-a şi efectuează „corecţia" presupusei erori. Rezultă că pe lîngă erorile de pe poziţiile 2 şi 7 apare o eroare suplimentară pe poziţia 5.

2.5. Un număr de 8 simboluri se transmit cu ajutorul unui cod Hamming grup corector de o eroare şi detector de erori duble. Se cere:

a) să se determine numărul simbolurilor de informaţie k, al celor de control, m, şi lungimea cuvîntului de cod n ;

b) să se scrie matricea de control H a codului \ . -c) să se stabilească expresia corectorului corespunzător eronării simbolului c2 \ d) să se determine corectorul corespunzător eronării simbolurilor c2 şi cx] e) să se scrie cuvintele de codi f) să se precizeze dacă v = [l 1 0 0 1 1 0 ] este un cuvînt al acestui cod

Soluţie a) Numărul simbolurilor de informaţie k se determină din relaţia (2.11):

V > N = 8 şi rezultă k = 3. Marginea Hamming dă pentru numărul simbolurilor de control (reia

ţia 2.12): 2m — 1 > n — m + k = m -f- 3, din care rezultă, m = 3. La aceste simboluri de control, care permit corecţia unei erori, trebuie adă­

ugat simbolul de verificare la paritate, aşa încît numărul total al simbolu­rilor de control va fi:

w1 = m + 1 = 3 + 1 = 4.

Structura cuvîntului de cod va fi:

v = [c0cxc2 % C 4 Î 5 Î 6 ] ,

unde c0 este simbolul de verificare a parităţii, iar cx, c2. c4 — simbolurile de control pentru codul corector de o eroare.

63

b) Matricea H a codului corector de o eroare este de forma:

H = [hx h2 h3 h4 h5 h6]

respectiv:

H 0 0 0 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0

Cu relaţia (2.33) se obţine pentru matricea H1 expresia:

[hj h\ H h> h\ h- hi]. H1

0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1

c) Pentru acest caz cuvântul eroare este de forma:

£ = [ 0 0 1 0 0 0 0 ] .

Cu relaţia (2.34) rezultă pentru expresia corectorului

0 1

[14] = -[*]• Din expresia corectorului rezultă că apare o eroare corectabilă (z0 = 1)

pe poziţia a 2-a (z = h2). d) Pentru acest caz cuvîntul eroare este de forma:

£ = [ 0 1 1 0 0 0 0 ]

şi rezultă cu relaţia (2.34) corectorul:

0 '

z1 = [hi +M

Corectorul arată că apar două erori detectabile (z0 = 0 şi z ^ 0). e) Cuvintele de cod se pot scrie calculînd simbolurile de control din cele

de informaţie cu relaţia KPV = 0, din care rezultă:

Ci = h + H:

c2 = i3 -f- ie;

Ci = H + H»'

Co == ci + c2 + i3 + ci + ib + ie = i3 + ib + i6.

Cuvintele de cod se găsesc în tabelul 2.5.

64

TABELUL 2.5

^ ^ ^ ^ simboluri ! ^~\_^^ Cn cl 1 C2 H Ci h !«

Cuvinte ~~~^_ 1

v0 0 0 0 0 0 0 0

V i 1 0 1 0 1 0 1

v2 1 1 0 0 1 1 0

V 3 0 1 1 0 0 1 1

V 4 1 1 1 1 0 0 0

V 5 0 1 0 1 1 0 I

V 6 0 0 ! 1 1 1 1 0

V? 1 0 1 0 1

1 0 1 1

f) Se calculează corectorul z1

relaţia (2.34); rezultă: • z1 = H V =

cu

0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1

1 1

r 1 i 0 0 0 1. 1

1 0

r o i z 0 0 = —

_0_ . 2 - 0 -

Deoarece z0 = 0 iar z = 0 cuvîntul dat este un cuvînt al acestui cod, ceea ce era uşor de constatat şi prin inspectarea tabelului 2.5, în care îl regăsim sub forma cuvîntului v2.

2.6. Se dă matricea H a unui cod grup corector de erori:

H

1 0 0 0 0 0 0 1 o o

0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1

0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0

0 0 1 0 1 1 1 0

Se cere: a) să se determine numărul simbolurilor de control (m), de informaţie (k),

lungimea n a cuvintelor de cod, numărul de simboluri ce se pot transmite cu ajutorul acestui cod şi numărul de erori care se pot corecta;

b) să se precizeze structura cuvintelor de cod; c) să se scrie matricea generatoare G a codului.

Soluţie a) Se ştie că matricea H are m linii şi n coloane; rezultă m = 7 şi n =

= 10; h = n — m= 10 — 7 = 3. Cu cele trei simboluri de informaţie se pot transmite un număr de sim­

boluri IV < 2 l = 8. Pentru a determina numărul de erori pe care le poate corecta codul,

constatăm că: — toate coloanele sînt distincte, deci se poate corecta cel puţin o eroare ; — suma oricăror două coloane este diferită de suma oricăror altor două

coloane, deci se pot corecta şi două erori.

65

Nu se poate spune că suma oricăror trei coloane ale matricei H diferă de suma oricăror alte trei coloane ale matricei, deci codul nu poate corecta toate erorile triple. Corectorul pentru cuvîntul eroare:

sx = [1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 ]

este — de exemplu — acelaşi cu corectorul corespunzător cuvîntului eroare:

e2 = [0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 ] .

Expresia corectorului pentru cele două cazuri este:

" 0" 0

1 h 6 ] = 1

0 1

. 0 .

O Observaţie. Faptul că acest cod corectează două erori se poate stabili şi cu ajutorul marginilor Hamming şi Varşamov-Gilbert (v. rel. (2.12) şi (2.13). Pentru e = 2 marginea Hamming este satisfăcută eu prisosinţă:

z = [hj + h s + h„] = [h3

2™ — 1 10 • 9

1 = 127 > CI + C\ = 10 + = 55, .

iar marginea Varşamov-Gilbert nu este satisfăcută de puţin:

2» = 128 > CU + CU + CU + CU = 1 + 9 + -^~8 ' 9 ' 8 ' 7

3 - 2 - 1 130.

Nici una dintre cele două margini nu este însă satisfăcută pentru e = 3:

2m - 1 = 127 < Ci + CI + C£ = 175;

2 » = 128 < CU + CL-i + C?U + C|_x + C*^ + CU = 382.

b) Matricea H dată corespunde unui cod sistematic la care pe primele şapte poziţii sînt simbolurile de control şi pe ultimele trei — simbolurile de informaţie. Structura de cuvînt este deci:

v = [cx c2 c3 c4 c5 c6 c7 is ia i10],

Structura matricei H este, conform relaţiei (2.30), de forma:

H = [Im Q] unde matricea Q are expresia:

~ 1 0 l ' 0 0 1 1 0 1

Q = o i i 1 1 0 0 1 0 1 1 0

66

c) Utilizînd relaţiile (2.27) şi (2.31) rezultă expresia matricei G:

r G = 1 O 1 O i O 1 1 O O O O O l l l l O l O 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1

Matricele H şi G determinate mai sus verifică relaţia (2.18).

2.7. Se consideră un cod grup cu matricea de control de forma:

H = 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0

a) Să se determine proprietăţile de corecţie ale codului. Codul este perfect"} b) Să se stabilească dacă matricea:

poate să fie matricea generatoare a codului. c) Să se scrie cuvintele de cod utilizînd matricele H şi G.

Soluţie

a) Dimensiunile matricei H permit să se determine n = 5, m = 3 şi deci k = 2. Cu acest ccd se pot transmite patru simboluri şi se poate corecta o eroare căci coloanele matricei H sînt distincte dar nu se pot corecta două erori căci suma oricăror două coloane ale matricei H nu este diferită de suma oricăror altor două coloane ale matricei H. De exemplu:

hj + h2 = h3 + h4

Marginea Hamming care reprezintă condiţia necesară pentiu ccrecţia a e erori este satisfăcută pentru e = 1 (v. rel. (2.12)):

2» - 1 = 7 > n = 5.

Marginea Varşamov-Gilbert care reprezintă condiţia suficientă pentiu corecţia a e erori este de asemenea satisfăcută pentru e — 1 (v. rel. (2.13)):

2m = 8 > C% + Q = 1 + 6.

Codul nu este perfect deoarece se pot forma şapte corectori distincţi, dintre care se utilizează pentru corecţia unei erori numai cinci. Ceilalţi dci corectori pot fi folosiţi eventual pentru corectarea unor erori duble.

b) Dimensional matricea G îndeplineşte condiţiile de a fi matricea genera­toare a codului determinat de matricea de control H. Pentru a fi într-adevăr

matricea generatoare a codului, este necesar şi suficient să fie îndeplinită relaţia (2.18):

GT = 0; H

Lo o

o o 1

~~ 1 1 ~ 1 ' 0 1 0 0 1 1 0 = 0 0 0 _ 1

_ 0 0 1 _

.0 0 o.

Deci matricea G este într-adevăr matricea generatoare a acestui cod. c) Pentru a scrie cuvintele de cod cu ajutorul matricei de control H se

utilizează relaţia (2.19), care, pentru un cuvînt de cod sistematic de forma:

v = [cx c2 c3 ii i5]

conduce la relaţiile care dau simbolurile de control: cx = i4 + i5;

c2 = h; c3 = ii,

rezultînd astfel un cuvînt de forma: v = [^ + i5 i5 ii ^ i5].

Cuvintele de cod se obţin calculînd cu relaţiile de mai sus simbolurile de control pentru cele patru combinaţii posibile ale simbolurilor de informaţie. Cuvintele sînt date în tabelul 2.7.

Se recunosc în cuvintele vx şi v2 TABELUL 2.7 liniile matricei G; v3 reprezintă suma

liniilor matricei G.

O Notă. Cuvintele de cod se pot scrie si utilizînd relaţia:

~^~-~^^^ Simboluri]

Cuvinte ^~~~~~~~^^^ i H H i j H I

vo 0 0 0 0 0

v l 1 0 1 1 0

V 2 1 1 0 0 1

V 3 0 1 1 1 1

V = 1 G,

unde i este o matrice linie compusă din simbolurile de informaţie; pentru acest caz i are expresia:

i = [k i&] •

Prin înmulţire cu matricea generatoare G rezultă cuvinte de forma:

v = [k + i5 i5 n i4 i5],

aceeaşi ca şi în cazul utilizării relaţiei (2.19).

2.8. Se dă un cod, grup sistematic ale cărui cuvinte de cod sînt v0 = [0000000], Vx = [1111101], v2 = [1111010] şi v3 = [03D0111]. Se cere:

a) să se stabilească proprietăţile de corecţie ale acestui cod; b) să se scrie o matrice H corespunzătoare acestui cod; c) să se facă tabelul claselor alăturate şi să se specifice corectorii aferenţi;

68

d) să se stabilească în ce măsură scade probabilitatea recepţiei eronate dacă se utilizează acest cod. Se presupune că transmisia se face pe un canal binar simetric la care probabilitatea transmisiei eronate p = 0,1.

Soluţie a) Avînd în vedere faptul că acest cod are Pmin = 3, se pot corecta

sigur toate erorile singulare. Numărul de cuvinte de cod fiind egal cu 4, rezultă k = 2; din inspectarea cuvintelor de cod rezulta structura lor: v = = [cx c2 c3 c4 c5 ie i7]. Pentru acest cod m = 5. Numărul de corectori distincţi care se pot forma este 2m — 1 = 31 ; se pot deci corecta erorile sindulare, rămînînd disponibili 31 — 7 = 24 corectori, care pot fi utilizaţi pentru

"7 f\

corectarea celor CS = = = 21 combinaţii de cîte două erori si pentru 2 - 1

corectarea a trei combinaţii de cîte trei erori. O Observaţie. Nu este sigur însă că se pot corecta toate combinaţiile

de cîte două erori, ceea ce se va vedea din tabelul 2.8. TABELUL 2.8

Cuvinte recepţionat vi = Vi + E ; i = 0, 1, 2, 3

Corectori

Cuvinte eroare e

Cuvinte recepţionat vi = Vi + E ; i = 0, 1, 2, 3

Corectori

Cuvinte ăe cod v$ v„ = 0000000 Vj = 1111101 v 2 = 1111010 v3 = 0000111 000 00

1000000 0111101 0111010 1000111 10000 0100000 1011101 1011010 0100111 01000 0010000 1101101 1101010 0010111 00100

Erori simple 0001000 1110101 1110010 0001111 00010 0000 100 1111001 1111110 0000011 00001 0000010 1111111 1111000 0000101 11110 0000001 1111100 1111011 0000110 11111

1100000 0011101 0011010 1100111 11000 1010000 0101101 0101010 1010111 10100 1001000 0110101 0110010 1001111 10010 1000100 0111001 0111110 1000011 10001 1000010 0111111 0111000 1000101 01110 1000001 0111100 0111011 1000110 01111 0110000 1001101 1001010 0110111 01100 0101000 1010101 1010010 0101111 01010 0100100 1011001 1011010 0100011 01001 0100010 1011111 1011000 0100101 10110

Erori duble 0100001 1011100 1011011 0100110 10111 0011000 1100101 1100010 0011111 00110 0010100 1101001 1101110 0010011 00101 0010010 1101111 1101000 0010101 11010 0010001 1101100 1101011 0010110 11011 0001100 1110001 1110110 0000011 00011 0001010 1110111 1110000 0000101 11100 0001001 1110100 1110011 0000110 11101 0000110 1111011 1111100 0000001 11111 0000101 1111000 1111111 0000010 11110 00000 11

0011100

1111110

1100001

1111010 0000100 00001 00000 11

0011100

1111110

1100001 1100110 0011011 00111 0101100 1010001 1010110 0101011 01011

Erori triple 0110100 1001001 1001110 0110011 01101 1010100 0101001 0101110 1010011 10101 1100100 0011001 0011110 1100011 11001 1001100 0110001 0110110 1001011 10011

69

b) Din inspectarea cuvintelor de cod se vede că relaţiile între simbo­lurile de informaţie şi cele de control sînt:

cx = c2 = c3 = c4 = ie -j- i7; c5 = i7

deci matricea H va avea forma:

H

1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1

c) Clasele alăturate clasei cuvintelor de cod v0, v1} v2, v3 pentru cazul tuturor erorilor singulare, al tuturor erorilor duble şi al cîtorva dintre combi­naţiile de erori triple sînt date în tabelul 2.8. în acest tabel se găsesc cele 27 — 128 combinaţii distincte din spaţiul [W] în subspaţiul [V] intrînd 2* = = 22 = 4 combinaţii, respectiv v0, v1; v2, v3. Pentru subspaţiul [V] se pot forma clasele alăturate ce conţin cuvintele vi == \f + s, unde i = 0, 1, 2, 3. Fiecare cuvînt eroare generează o clasă alăturată. Corectorii corespunzători fiecărui cuvînt eroare se pot calcula cu relaţia (2.21):

z = HeT.

Din inspectarea tabelului 2.8 se constată că pentru erori singulare se obţin corectori distincţi. Pentru corecţia grupurilor de cîte două erori, corectorii sînt distincţi cu excepţia celor corespunzători cazurilor în care se ero­nează poziţiile 5 şi 6, 5 şi 7, 6 şi 7. Corectorii respectivi sînt identici cu cei care rezultă în cazul în care se eronează poziţiile 7, 6 şi 5, lucru de aşteptat căci h5 + h6 = h7, h5 -f- h7 = h8 şi h6 + h7 = h5. Va trebui să renunţăm la corectarea acestor din urmă trei combinaţii de erori duble, pentru a putea corecta toate erorile singulare. Acest cod va corecta, deci, toate cele şapte combinaţii de erori simple, Cf — 3 = 21 — 3 = 18 combinaţii de erori duble şi şase combinaţii de erori triple.

d) Probabilitatea erorii la codurile grup este dată de relaţia (2.24). Pentru cazul de mai sus: n0 = 1, nx = 1, n2 = 11

rezultă, după efectuarea calculelor: % = 6; cu p = 0,1

•

pe = 0,041.

Probabilitatea erorii, fie, în cazul utilizării codului corector este de peste 20 de ori mai mică decît probabilitatea de eroare p în cazul transmisiei simple pe un canal binar simetric, deci prin utilizarea codului corector de erori creşte stabilitatea la perturbaţii.

2.9. Structurile din figurile 2.9, a şi 2.9, b reprezintă circuite de multiplicare a folinoamelor. Se cere:

mod?

a) să se determine polinomul cu care se face multiplicarea; b) se pot genera cuvinte de cod ciclic cu ajutorul acestor circuite? în ce

70

% h

<? 0

& # 7

Y

&

c3 C2 —* - £> —

# 7

X c3 C2 —* - £> — <V

b Fig. 2.9. Circuit de multiplicare cu polinomul g(x) = xi -f xs + 1:

a — varianta cu sumatoare modulo doi între celulele bistabile; b — varianta cu registru d e deplasare cu reacţie logică prin sumatoare modulo doi.

Soluţie a) Polinomul cu care se face multiplicarea este pentru ambele cazuri

g(%) =go + gix + g2x2 + g3x3 + giX* = xi + xz + 1. b) Se pot genera cuvinte de ccd ciclic nesistematic dacă se consideră

drept polinom de intrare X(x) polinomul de informaţie i{x), iar drept polinom generator al codului, polinomul g(x) = x* + x3 + 1. Pentru acest caz, m = 4 şi, dacă ec— 1, atunci n = 2m — 1. Polinomul i(x) va fi un po­linom de grad k — 1 = n — m — 1 = 15 — 4 — 1 — 10 şi va fi de formar

i(x) a-tc\X' io -4- a9x9 + a8x8 + ayx"' + asxe + a5x5 + «4%4 +

Se alege, de exemplu

-f- a3x3 + %^2 + #i# + ^o-

i(x) = x9 + x1 + x4 + 1.

Secvenţa de intrare va fi:

[ai0agasa1a6aaaia3a2a1a0] = [01010010001].

Polinomul de ieşire Y(x) = i(x) g(x) fiind un multiplu al polinomului generator g(x), poate reprezenta un cuvînt de cod ciclic nesistematic v(x) şi deci:

v(x) = i(x) g(x) = buxu + ... + bxx + b0.

Pentru polinoamele i(x) şi g(x) de mai sus rezultă:

Y(x) = x13 + x12 + x11 + x10 + x9 + x8 + x3 + 1.

Cuvîntul de cod corespunzător este:

v = [100100001111110].

11

Se poate urmări în tabelul 2.9,a succesiunea de stări ale celulelor bistabile C0, d, C2, C3 pentru circuitul din figura 2.9,a şi în tabelul 2.9,b — succesiunea de stări ale celulelor C3, C2, C1( C0 pentru circuitul din figura 2.9,6. Se observă că operaţia de înmulţire se termină după k—\J

rm-\-\=n tacte, cînd st(C0) = st(Ci) = st(C2) = st(C3) = 0 (cu st(Cj) s-a notat starea celulei i la tactul curent).

TABELUL 2.9, a

Tact Secvenţa de

intrare X [x) Stările celulelor Secvenţa de

ieşire Y[x) Tact

"t xk st(C,) st(C.) stfCi) st (C„) bk X*

IO 0 0 0 0

1 0 X10 0 0 0 0 0 xu

2 1

0

X* 1 0 0 1 xlz

3

1

0 X* 0 1 0 0 x12

4 1

0

0

X7 1 0 1 1 X11

5

1

0

0

X6

x~*

0 1 0 1 xw

6

1

0

0

X6

x~* 0 0 1 0 X»

7 1 X1 1 0 0 0 xg

3 0 xz 0 1 0 0 0 X7

9 0 X2 0 0 1 0 0 xs

10 0 X1 0 0 0 1 0 xb

11 1 XQ 1 0 0 1 0 X1

12 0 0 1 0 0 1 X3

13 0 0 0 1 0 0 X2

14 0 0 0 0 1 0 X1

15 0 0 0 0 0 1 x°

Succesiunea de stări din tabelul 2.9,a s-a obţinut utilizînd relaţiile st(C0) = = ak, s t ( d ) = s t ( Q , st(C2) = s t ( Q , st(C3) = st(C2) + ak, Y = bk = s t ( Q + +jit, unde s-a|notat prin st(Co) starea celulei C0 la tactul precedent.

72

TABELUL 2.9, b

Tact

Secvenţa de intrare -^ f*i

Stările celulelor Secvenţa de ieşire Y[x)

Tact

«* | ** st(C„) st(C„) ! s t (C0 | st(C„) bt x"

1 0 0 0 0 0 0

1 0 xw 0 0 0 0 0 xu

j

2 1 x% 1 0

1

0 o i

0

0 X13

3 0 X8 0

0

1 0

o i

0 1 X12

4 1 x'' 1 0 1 0 0 X11

5 0

0

X6 0 1 0 1 1 X10

6

0

0 X5 0 0 1 0 1 x>

7 1 X4 1 0 0 1 1 X8

8 0 X3 0 1 0 0 . 0 X7

9 0 X2 0 0 1 0 0 xs

10 0 X1 0 0 0 1 0 *5

11 1 x° 1 0 0 0 0 xi

12 0

0

0 1 0 0 1 xs

13

0

0 0 0 1 0 0 x%

14 0 0 0 0 1 0 X1

15 0 0 0 0 0 1 x°

Stările succesive ale circuitului 2.9, b s-au determinat utilizînd relaţiile: st(C3) = ak, st(C2) = s t ( Q , st(C1) = s t ( Q J st(C0) = st(Ci) şi bk = ak + + st(Q + st(Q.

2.10. Structurile din figurile 2.10^ şi 2.10,b reprezintă circuite de divizare a polinoamelor.

a) Să se determine polinomul prin care se face divizarea. b) Să se determine succesiunea stărilor celulelor C0, C^ C2, C3 dacă la intrare

se aplică o secvenţă dată. c) Se pot folosi asemenea circuite pentru generarea cuvintelor de cod ciclic?

In ce mod?

73

1 9o 1

r

St •

- • — - H i O

o >r V " 1

r

St •

G, —* <£ —*-X L J V ^0 ^ 7 H G, —* <£ —*- <%

<5V -7

Si

X ' V .

fff , Sa

C? *- c, i >. p

,

*• °3 * C? *- c, ' * ^ Off Y b

Fig. 2.10. Circuit de divizare prin polinomul g(x) — #4 + x3 + 1 :

a — varianta cu sumatoare modulo doi între celulele bistabile; 6 — varianta cu registru de deplasare cu reacţie logică prin sumatoare modulo doi.

d) Se poate stabili cu un asemenea circuit dacă o secvenţă de simboluri este un cuvînt de cod ciclic?

Soluţie a) Polinomul cu care se face divizarea este, pentru ambele cazuri:

g(x) = go + gl% + gzX2 + gsX3 + giX* = X4 + X + 1.

b) Pentru circuitul din figura 2.10, a se vor analiza două situaţii. Pentru început se presupune că la intrarea circuitului din figura 2.10,a se

aplică un polinom x14 + x10 + x8 + x3 + x + 1, care reprezintă un cuvînt al codului ciclic generat de g(x). Coeficienţii acestui polinom sînt a'k. Stările celulelor circuitului de divizare se notează cu st(C'), st(C2), s t ^ ) , st(Câ). Polinomul de ieşire are coeficienţii b'k. Evoluţia circuitului în cursul procesului de divizare este dată în tabelul 2.10,«.

Cîtul împărţirii polinomuluiX'(%) pzing(x) este Y'{x) = x10 + %7 + %z + 1» Restul aceleiaşi împărţiri este nul, ceea ce corespunde stărilor nule st(Co), st(Cj), s t(Q), st(C's) ale celulelor la sfîrşitul operaţiei de împărţire prin g{x).

Se va considera acum că la intrarea circuitului din figura 2.10,a se aplică un polinom care nu este multiplu al lui g(x), de exemplu: X"(x) = xu + x10 + -j- xs -f- x6 + xi + x3 + x. Coeficienţii acestui polinom sînt a"h şi determină stările st(Co), st(C"), st(C2), st(Cg) ale celulelor. Polinomul de ieşire are coefi­cienţii b£. Succesiunea de stări se dă tot în tabelul 2.10,a. Se constată că polinomul cît este Y"(x) = x10 -f- x1 + x3 + x2, iar polinomul rest este deter­minat de stările finale st(C'o), st(C"), st(C£) şi st(C£) ale celulelor cu relaţia:

r(x) = s t(Q%° + st(Ci')%1 + st(Cţ)x2 + s t ( Q * 3 = 0 • x° + 1 • x1 +

+ 1 • X2 + 1 • X3.

Acest fapt poate fi verificat uşor efectuînd împărţirea polinomului X(x) la g(x) şi deter-minînd cîtul şi restul acestei împărţiri.

74

Tact Secvenţa de intrare X(x) Stările celulelor

0 alc \ a"k xk •t(cy st(C») st(C^) st(CJ) st(C'a) rt(cj)

0 0 0 0 0 0 0

1 1 1 xu 1 1 0 0 0 0

2 0 0 X13 0 0 1 1 0 0

3 0 0 X™ 0 0 0 0 1 1

4 0 0 X11 0 0 0 0 0 0

5 1 1 xw 0 0 1

0

1 0 0

1

0

6 0 0 X9 0 0

1

0 0 1

0

1

0 7 1 1 X8 1 1 0 0 0

0

1

0

8 0 0 x-> 1 1 0 0 0 0

9 0 1 X6 0 1 1 r 0

1

0

10 0 0 xh 0 0 0 î

0

1 1

1 11 0 1 X* 0 1 0 0

0

0

1

1

12 1 1 x3 0 0 1

0

0 0 0

13 0 0 X2 0 1 0 1 1 0

14 1 1 X1 1 1 0 1 0 1

15 1 1 x° 0 0 0 1 0 1

Pentru circuitul din figura 2.10,b se consideră ca polinoame deîmpărţit tot polinoamele X'(x) şi X"{x) de mai sus. Succesiunea corespunzătoare de stări se dă în tabelul 2.10,5, în care s-au utilizat aceleaşi notaţii ca şi în tabelul 2.10,«.

Pentru polinomul deîmpărţit X'(x) se [obţine acelaşi polinom cît Y'(x) = = x10 + x1 + x3 + 1 şi restul nul. Pentru polinomul deîmpărţit X"(x) se obţine polinomul cît Y"{x) -\- x1 + xs + x2, dar restul r(x) = x3 + -j- x2 + x nu mai poate fi determinat direct din stările celulelor C", C\, C", 'C„ deoarece stările finale ale celulelor reprezintă o formă modificată a restului.

c) Circuitele de divizare pot fi utilizate pentru generarea cuvintelor de cod ciclic sistematic. Un cuvînt de cod ciclic sistematic se obţine utilizînd relaţia:

xmi(x) v(x) = 1- rest (x). g(x)

Intrarea în circuitul de codare se face cu o întîrziere de m tacte faţă de intrarea în circuitul de divizare şi, în decursul primelor k tacte cît se introduc simbolurile de informaţie, intrarea în codor coincide cu ieşirea. în timpul ultimelor m tacte se forţează introducerea unor zerouri în celule, astfel încît după n tacte stările celulelor codorului devin nule, ceea ce corespunde cu restul nul al împărţirii prin g(x) a polinomului de ieşire. Secvenţa de ieşire este deci un cuvînt de cod ciclic care conţine pe primele k poziţii simbolurile de informaţie şi pe ultimele m poziţii simbolurile de control. Modificările suferite de un circuit de divizare pentru a deveni circuit de codare reies din figura 2.10,c. Comutatorul C este în timpul primelor k tacte pe poziţia 1 şi în timpul ultimelor m tacte pe poziţia 2.

Intrare

/es/re Fig. 2.10,c. Utilizarea circuitului de divizare prin polinomul g(x) la codarea unui cod ciclic

sistematic cu polinomul generator g(x).

d) Pentru realizarea decodării, circuitele de divizare pot fi folosite ca atare, realizîndu-se divizarea polinomului de intrare care este cuvîntul recep­ţionat v'{x) prin g(#). 'Dacă la sfîrsitul celor n tacte starea decodorului este nulă, deci dacă r(x) = 0, v'(x) nu a fost afectat de erori. Dacă r(x) =£ 0 au apărut erori.

2.11. Să se dă circuitul secvenţial liniar cu m celule avînd polinomul g(x) primitiv reprezentat în figura 2.11,a. Circuitul lăsat să evolueze liber trece prin toate stările nenule posibile şi generează ceea ce numeşte o „secvenţă pseudo-aleatoare" SPA de lungime n = 2m — 1. Orice secvenţă este unic determinată

76

Taci Secvenţa de intrare.

X(X) Stările celulelor Taci

a'h 1 aft xk S t ( C3» s t (C ' ) >t(c;i st(Cp st(C ) st(CJ)

0 0 0 0 0 0 0 0 0

1 î 1 xu 1 1 0 0 0 0

2 0 0 X™ 0 0 1 1 0 0

3 0 0 X™ 0 0 0 0 1 1

4 0 0 X11 1 1 0 0 0 0

5 1 xw 0 0 1 1 0 0

fi

7

0 X» 0 0 0 0 1 1 fi

7 1 xH 0 0 0 0 0 0

8 0 x> 1 1 0 0 0 0

9 0 x" 0 1 1 1 0 0

10 0 X 5 0 0 0 1 1 1

11 0 X1 1 0 0 0 0 1

12 1 x" 0 1 1 0 0 0

13 0 X2 0 1 0 1 1 0

14 1 X1

x°

0 1 0 1 0 1

15 1

X1

x° 0 1 0 1 0 1

cm-f G/n-2 cm-f G/n-2

\

Co Co Ieşire

" Ieşire

)Sm 0# g°0 ' ' Sm.f

Fig. 2.11,a. Circuit secvenţial liniar cu polincm caracteristic g(x) = g0 + ga» + ... + gm*™-

de primele m simboluri, respectiv de starea iniţială a registrului (m — to^to iniţial). Dacă se consideră secvenţa:

XQXJ . . . Xm_! . . . Xn_ l j

£w care simbolurile x0, Xj. . . xm_i constituie m — tuplu iniţial, atunci pentru orice valoare m — 1 < u < n — 1 eszte îndeplinită relaţia:

m Xu = © gm-lXu~l-

Să se demonstreze următoarele proprietăţi ale SPA: a) SPAt ®SPAi = SPAt;

SPAj se obţine din SPAj prin j — 1 deplasări ciclice, iar SPAj se obţine din SPAj prin k — 1 •lăsări ciclice.

b) orice SPA de lungime maximală conţine 2m x — 1 simboluri O şi 2m * simboluri 1.

c) Să se exemplifice aceste proprietăţi pe secvenţa pseudoaleatoare generată de structura pentru care g(x) = x3 -f x + 1 (fig. 2.11/b)

C2 — > - Gţ ^ —*-

93

C2 — > - Gţ

9,

r s* ^

9a

—*-

93 9,

r s* 9a

[XpXl

K. U( Fig. 2.11.&. Circuit secvenţial liniar cu polinom caracteristic g(x) = x3 -~ x -+- 1.

Soluţie a j Pentru S'P^j simbolul de rang w este:

m xu = © Sm-ix

n-u C U O T — 1 < « < » — 1.

Pentru S P ^ - simbolul de rang « este:

>'« = ©gm-jJVz, c u m — 1 <u < «— 1. z = l

78

Pentru SPAk simbolul de rang u este: m

*. = * . © .V» = © £m-l(*u-I © >'«-*)• 1=1

Deci, SPAk are aceeaşi perioadă ca şi SPAt sau -SP^l,- şi se generează după aceeaşi regulă, pornind însă de la alt m — tuplu iniţial.

b) Din metoda de generare rezultă că într-o SPA se pot identifica toate m — tuplele corespunzătoare stărilor prin care trece registrul, deci toate combinaţiile nenule de m simboluri. De aici rezultă că SPA conţine un

simbol 0 mai putm decit simboluri 1: n-, = = = l 2 2

n i 2m 1 1 este numărul de unităţi din SPA ; n0 = — • = 2m~x — 1

2 2 este numărul de zerouri din SPA.

c) Structura registrului cu g(x) = x3 + x + 1 este dată în figura 2.11,6. Considerăm w — tuplul iniţial: st(C0) = %0 = 1; st(Ci) = xx = 0; st(C2) =

= %2 = 0. Cu ajutorul relaţiei de recurenţă date se pot calcula celelalte simboluri ale secvenţei, respectiv x3, xit x5, x6:

3 XS = © #3-2*3-1 = #2*2 © glXl © #0*0. = 1 ,'

2=1 3

*4 = © #3-2*4-2 = g2X3 © #1*2 © #0*1 = 0 ; 2=1 3

*5 = © g3-lXs-i = #2*4 © #1*3 © g0X2 = 1 ; 2=1 3

*6 = © g3_z*6-2 = #2*5 © #1*4 © #0*3 = 1. 2=1

O Observaţie. Dacă în relaţia de recurenţă se face u > n — 1, se obţin simbolurile xn, xnArl, ... etc. care vor fi identice cu x0, xlt... etc. De exemplu:

3

x? = © #3^*7-2 = #2*e © gxx5 © g0Xi = 1 = #0; 2 = 1 3

*8 = © #3_!*8-2 = #2*7 © #1*6 © #0*5 = 0 = % ; 2=1

3

*9 = © £3-1*9-1 = #2*8 © #1*7 © #o*e = 0 = x2. 2 = 1

Deci, într-adevăr după n = 2™ — 1 simboluri, secvenţa obţinută SP.4, = = [1001011] se repetă.

Din SPAi se poate obţine prin permutări ciclice SPAj. De exemplu, prin trei permutări ciclice se obţine secvenţa: SPAj=i = [0111001].

însumînd modulo doi SPÂi cu SPÂj rezultă: SPAk=6 = [1110010]. Secvenţa [1110010] se obţine tot după regula de recurenţă dată, avînd însă ca w-tuplu iniţial st(C2) = x2 = 1; s t ^ ) = xx = 1; st(C0) = x0 = 1; ea este deci tot o SPA de aceeaşi perioadă ca şi SPA} sau SPAt.

79

Se observă că pentru oricare dintre SPA de mai sus rezultă: 23 — 1 — 1 8 - 2

nn = J = = 3:

n-, = 4 = 23 - 1 + 1

2

n0 nx = 2m — 1 = 23 — 1 7.

2.12. [/» număr de 16 simboluri se transmit pe un canal cu perturbaţii utilizînd un cod ciclic corector de o eroare. Se cere:

a) să se determine numărul simbolurilor de informaţie k, al celor de control m şi lungimea cuvîntului de cod n ;

b) să se aleagă polinomul generator dintre polinoamele: x + 1, x2 + 1, x2 + x2 + 1, x4 + x2 + x + 1 ;

c) să se scrie matricea generatoare G; d) să se determine polinomul p(x) şi polinomul de control h(x); e) să se scrie matricea de control H ; f) să se scrie cuvintele de cod ciclic sistematic, g) să se reprezinte schema codorului utilizînd registre de deplasare cu reacţie

şi să se explice funcţionarea circuitului; h) să se determine matricea caracteristică a codorului) i) să se determine evoluţia stărilor registrului codor; j) sâ se reprezinte schema decodorului; k) să se determine evoluţia stărilor registrului decodor pentru un cuvînt de

cod ciclic; 1) să se determine evoluţia stărilor registrului decodor pentru cazul în care

în cuvîntul de cod de la punctul „k" este eronat simbolul c2.

Soluţie a) Dacă N— 16, din relaţia (2.11) (2* > N) rezultă k = 4. Marginile

Hamming şi Varşamov-Gilbert (v. rel. (2.12) şi (2.13)) dau: 2m — 1 >n = m + k = m + 4,

respectiv : 2m > 1 + n — 1 = n = m + 4.

Ambele margini dau aceeaşi valoare pentru numărul simbolurilor de control, m = 3, şi rezultă: n = m-\-'k = 3 + 4 = 7.

b) Polinomul generator al codului este un polincm de grad m = 3. Deci putem alege: g(x) = xz + x% + 1.

c) Cunoscând polinomul generator, se poate scrie matricea generatoare G cu relaţia (2.38):

go gl &2 &3 0 0 0 0 go g l g2 gs o o 0 0 go gl gz gs ° 0 0 0 go gi g2 g:

1 1 0 1 0 0 0 Gi 0 1 1 0 1 0 0 G2 0 0 1 1 0 1 0 G3 0 0 0 1 1 0 1 . - G 4 J

Matricea corespunde unui cuvînt de cod sistematic cu structura: v = [c0 Ci c2 i3 ii h H]-

80

d) Conform relaţiilor (236) şi (2.39), se obţine p(x) = x7 + 1 şi h(x) = = X* + X% + X + l'.

e) Cunoscând polinomul de control, se poate determina matricea de con­trol H folosind relaţia (2.40):

H 0 0 ht h3 h2 ht hv

0 A4 h3 h2 kx ho 0 hA h3 h2 /?! ho 0 0

0 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0

. 1 0 1 1 1 0 0 = rh0h1h2h3h4h5h6].

/ ) Cuvintele de cod au structura v == [c0 cr c2 i3 i4 i& i6] sau v(x) = c0 + + cxx + c2x2 + i3x3 + iţX* + Î'S^5 + *6^6- Cuvintele de cod se pot scrie pornind fie de la matricea G, fie de la matricea H. Orice cuvînt de cod ciclic este o combinaţie liniară a liniilor matricei G:

v = o^Gi + a2G2 + a3G3 + a4G4,

unde ax, a2, a3 a4 pot lua toate cele 16 combinaţii de valcri începînd cu 0000' şi sfîrsind cu 1111. Se pot scrie, în acest fel, cuvintele de la v0 la v15. Ele se găsesc în tabelul 2.12,a.

TABELUL 2.12,o

^Simboluri

Cuvinte \ . Co c l Ci *3 *< H «'. 0£4 a 3 !*! «1

vo 0 0 0

0

0 0 0 0 0 0 0 0

v i 1 1

0

0 1 0 0 0 0 0 0 1

V 2 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0

V 3 1 0 1 1 1 0 0 0 0 1

^ 4 0

0

0 î 1 0 1 0 0 1 0

v5

0

0 1 i 1 0 0 1 0 1 0 1

V 6 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0

V7 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1

v8 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0

v9 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1

V 1 0 0 1 1 1 0 0 1

1

0 1 0

V i l 1 0 1 0 0 0

1

1 0 1 1

V 1 2 1 0 1 1 1 0 0 1 0 0

V 1 3 1 • 1 1 t 1 1 1 1 0 1

V l 4 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0

VJ5 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1

81

O Observaţie. Se pot obţine aceleaşi cuvinte de cod utilizînd relaţia (2.19), care conduce la sistemul:

c 2 = J4 T % T ^ i ci = H + H + h • o0 = i2 + H + H = H + H + H-

Alegînd pentru simbolurile de informaţie iz, i4, %, ie toate combinaţiile posibile începînd cu 0000 şi sfîrşind cu 1111 şi utilizînd relaţiile de mai sus se obţin tot cuvintele de cod din tabelul 2.12,a. dar în altă ordine.

ies/re

Cp C,

93 a Cn

St

- & s,

s> K

l6l5ltj13c2clco

In/rare

Fig. 2.12,a. Codorul pentru un cod ciclic corector de o eroare, cu polinom generator g(x) = x3 -j- x + 1-

g) Schema codorului este reprezentată în fig. 2.12, a. Codorul este format din celule C2, Cx, CQ ale unui registru de deplasare, din sumatoarele Sx şi S3 şi din comutatorul K. Pe primele, patru tacte comutatorul K este în pozi­ţia 1 şi în registrul codor intră simbolurile i6, i5, iit i3, care se succed în aceeaşi ordine şi la ieşire. în decursul ultimelor trei tacte, în registrul codor se introduc zerouri, starea finală a celulelor registrului fiind 000. Pe ultimele trei tacte, la ieşire apar simbolurile de control c2, clt c0, corespunzînd ieşirii sumatorului Si = st(Cx) + st(C0). în tabelul 2.12,& se prezintă succesiunea stărilor regis­trului codor.

TABELUL 2.12, b

Tact ! 1 !

K Intrare st(C2) st (CJ

1 st CQ Ieşire

I

î | 1

1 i 26 J„ 0 0 ' H

2 1 H H H 0 H

3 1 H H - h | H H U

4 1 i ':

H H~h + h H + J6 H H

5 2 Co \

0 1 t3+»5+*« H + H « cz — 'l4JrHJ^l$

6 2 Ci 0 0 l3 ~i~ H * Z6 ci=HJt~l$JrH

7 2 co 0 0 0 co~HJr'lhtlG

82

h) Matricea caracteristică sau de tranziţie este de forma:

0 1 0 " 0 1 0 0 0 1 = 0 0 1 go gi gz . . 1 1 0

Polinomul g(x) fiind ireductibil, perioada registrului este maximă; n = 2m — — 1 = 7 .

i) Succesiunea de stări din tabelul 2.12,& poate fi regăsită utilizînd matricea T. Se notează cu St starea registrului la tactul i:

S, = st,(C0)

Stările succesive ale registrului se pot determina cu relaţia de recurenţă:

S4 = T • S£_i + an_f • U,

unde s-a notat :

U =

Considerînd starea iniţială S0 =

0 0 1

0 ' 0

o » se deduce pentru primele patru

intervale de tact, cînd comutatorul K este pe poziţia 1, succesiunea de stări :

Si =

S , =

0 0 Hi

0 H H

i6~V;

*5u + *yru;

H H H + H

*4U + Î 5 T U + Î 6 T 2 U ;

H + k H + H + H

= »8U + *4TU + ?5T2U + ^6TSU.

în timpul ultimelor trei intervale de tact, cînd comutatorul K este pe poziţia 2, simbolurile de la intrarea în sumatorul S3 sînt simbolurile de con­trol, calculate de codor şi accesibile la ieşirea sumatorului S±. Se poate deci

83

•considera că la intrarea codorului se aplică simbolurile de control şi deci stările următoare se pot scrie:

S.,=

S« =

ii + ie

ie + H + H - H + H + ii + c2

U + H + H ie + H + H + c2

- ia + ii + H + Ci

= c2U + *3TU + *4T2U + z5T3U + HTV;

= ClU + c2TU + i3T2U + i 4 T 3 U+ ?5T4U+ Î 6 T 5 U ;

s7 = î'e + H + ii + c2

H + ii + H + Ci *3 + «5 + «6 + C0 .

= coU+C lTU+c 2T 2U+ i3TzV+iiTiV+i5T5V+HT6V.

O Observaţii. 1) Avînd în vedere că după şapte tacte stările celulelor C2, Cv C0 sînt nule, se pot determina simbolurile de control cu relaţia:

h + H + H + cs H + H + H + ci H + H + H + co

•care conduce la sistemul de ecuaţii:

c2 ~ H ~î~ H ~t~ H •

Cl = i3 + i4 + %; C0 = H + 25 + V

2) Este de asemenea de semnalat posibilitatea de a scrie relaţia S7 = 0 sub forma:

S, = Hv 5 , = 0,

•dacă se face notaţia:

H = [U TU T2U T3U T4U T5U T6U].

j) Schema decodorului este dată în figura 2.12,5. Decodorul este format din registrul principal cu şapte celule, registrele DEC1 şi DEC2 şi un comu­tator C. Cuvîntul recepţionat v' este introdus în DECi cînd comutatorul C este pe poziţia 1 şi în DEC2 cînd comutatorul C este pe poziţia 2; DEC±

va asigura astfel corecţia cuvintelor impare, iar DEC2 — pe cea a cuvintelor pare. Semnalul de corecţie se obţine la ieşirile circuitelor ŞI1 şi Ş72 şi se aplică celulei M0 prin circuitul SAU.

k) Se presupune că decodorul recepţionează un cuvînt v'. în primele şapte tacte, simbolurile cuvîntului sînt introduse în DECX. în următoarele şapte tacte, DECX determină poziţia eronată. î n cazul în care cuvîntul recep­ţionat este corect, la sfîrşitul primelor şapte tacte celulele DECX vor ajunge în starea 0. Succesiunea de stări a registrului în acest caz este dată în tabe­lu l 2.12,c.

84

V o > » M„ M, M* Mi MP Mi "o

V

A P

83 CD'. CD

Hk

<£4#

£ z^a

cJ>1

r' ~i

/?/£ :<i Fig. 2.12,6. Decodorul pentru un cod ciclic corector de o eroare cu polinom generator

g(x) = = x3 + x + 1.

TABELUL 2.12, c

Taci Poziţia C Intmrt st (C2) st (C,) st (C.)

0 0 0 0

1 h H 0 0

2 H H h 0

3 H H + H H «6

4 H J 3 1 l5 ' *6 li + *6 «5

5 c2 «* + *4 + *6 + *6 = 0 is + 'B + 'e «4 + *6

6 Cl C1 + î'3 + Î4 + % = 0 0 '3 +*5 + *6

. 7 c0 60 + »» + ^+*8 = 0 0 0

85

O Observaţii. 1) La acelaşi rezultat se putea ajunge utilizind matricea caracteristică T:

ro i Sj = «6U =

S2 = i5V + TS1 = i5V + i6TU

Sa = itV + TS2 = t4U + %TU + i6T2U

-*'« + «6

,U + TS3 = Î 3 U + i4TU + %T2U + i6T3U + H

S5 = c2V + TS4 = c2U + %TU + i4T2U + i5T3U + i6T4U

Î4 + H

H + h + h '• _c2 + t4 + is + ie = 0

S6 = ClU + TS5 = exU + c2TU + i3T2U + i4T3U + i5T4U + ^6T5U =

~H + H + H

0

0

S7 = c0U + TS6 = caV + cJV + c2T2U + Î 3 T 3 U + i4T4U + î5T3U + zeT6U

LCj + »3 + »4 + %

0

0

.C0 + % + % + i6 = °-2) Se poate arăta că, într-adevăr, matricea H determinată la punctul e) este aceeaşi cu

matricea H dată de relaţia:

H = [U TU T2U T3U T4U T5U T6U].

Pentru aceasta se calculează fiecare element al matricei H şi rezultă:

ro-

U = 0 = ho;

1

0 1 0' 0' -Q-

0 0 1 0 = 1

.1 1 0_ x .0.

TU =

T2U = T • TU

T3U = T • T2U =

V

"0 1 0- '0 ' 1-

0 0 1 1 = 0

u l 1 0. .0. . 1 .

0 1 0- r 0 -0 0 1 0 = 1

.1 1 0 . 1 . . 1

= h„:

86

"0 1 0" • 0 "

Tm = T • T3U = 0 0 1

1 1 0

"0 1 0-

T5U = T • T4U = 0 0 1

.1 1 0_

'0 1 (T

-1 -0.

• i -

T6U = T • T5U = 0 0 1

.1 1 0_ .0.

rrr 0

.0_

= h„

h„.

I) Dacă este eronat simbolul c2, cuvîntul de cod recepţionat este de forma v' = [c0 Ci 4 i3 ii *5 %]• Pînă la introducerea simbolului eronat c2, succesi­unea de stări a registrului DECX este aceeaşi ca în cazul recepţionării unui cuvînt corect respectiv:

Si = ieV =

S2 = *SU + TSX = i5V + *6TU =

S3 = »JJ + TS3 = *4U + t'5TU + «6T2U = H

H + *4

S4 = *8U+TSs = isV + *4TU + *5T*U + t8T8U = ^5

*4 + ie H + h +

Stările care apar după introducerea simbolului eronat sînt: S5 = 4U + TS4 = (c2 + 1)U + TS4 = U + c2U + TS4 =

= U + c2V + tjTU + *4T2U + Î5T3U + i6T4U ii + i6 iz + H + 6 .c2 + ii + h + ie + 1 = 1

56 = <aU + TS5 = TU + cxU + c2TU + »8T2U + t4TsU + i5W + i6T*V =

«3 + *5 + *6 1 Cl + î3 + Î4+*5=0.

57 = c0U + TS6 = T2U + c0U + ClTU + c2T2U + »8T8U + *4T4U + *5T5U + t6T8U =

T2U = h , 1 0 1

87

După aceste prime şapte tacte, în registrul principal de şapte celule a intrat cuvîntul de cod v', iar decodorul DEC1 a ajuns în starea S7 = T2U ^ 0. Din acest moment, decodorul DEC1 determină poziţia eronată, iar din regis­trul principal ies succesiv simbolurile cuvîntului de cod.

La tactul 8 decodorul DECX ia starea;

S8 = TS7 = T3U =

iar din M0 iese i6; st(iH0) = H-în continuare se obţin succesiv stările:

1 S9 = TS8 = T4U = 1 »

.1 iar din M0 iese i-0; st(Mo) = ii',

1 " S]0 = TS9 = T6U = 1

. 0 . iar din M0 iese it; st(3f0) = i3;

" r S u = TS10 = T6U = 0

O J

iar din M0 iese i3; st(M0) = c'2.

Avînd în vedere că perioada maximă a registrului este 7, TJ = I, unde I este matricea unitate şi deci T6U = T_1U.

Deci, cînd simbolul eronat se află în M0, registrul trece prin starea fixă:

THJ

Această stare este recunoscută de circuitul Ş71# care formează impulsul de corecţie aplicat celulei M0 prin circuitul SA U. Impulsul de corecţie este, de asemenea, folosit pentru aducerea la 0 a celulei C0 a registrului DECt prin bistabilul B. Circuitul ŞIZ inhibă formarea impulsului de corecţie dacă în decursul primelor şapte tacte a apărut starea T -1U.

2.13. Se consideră două registre decodificatoare pentru un cod ciclic corector de o eroare cu k = 7, m = 3, n = 7 şi g(x) = x3: -J- x2 + 1 avînd structurile din figurile 2.1'3,a şi 2J3,b. Se cere:

a) să se scrie matricele caracteristice T şi % corespunzătoare celor două structuri ;

b) să se determine matricele de control H şi H' corespunzătoare celor două structuri ;

c) să se precizeze corectorul corespunzător cuvîntului eronat pe o poziţie v' = [777077 7] pentru cele două cazuri.

9s

&

'/esire

C2

2

"V

9z

^~^\ O*

) ' s . Q tnfrare

- o a

Gn

9o"

Ies/re

s2

—s

S3 i

1

c, *r C2

S3 i

1

- * - L,O — * • c, >

#2

1 i

C2

i

93

< 1

9o

-».

>

#2

1 i

i

93

< 1

fa/rare

b . Fig. 2.13. Circuit de decodificare pentru un cod ciclic corector de o eroare cu g(x) = = x3 + x% -f- 1: a — varianta cu registru de deplasare cu reacţie logică prin suma-toare modulo doi; 6 — varianta cu sumatoare modulo doi între celule bistabile.

Soluţie "0 1 0 '' 0 1

a) T = 0 0 1 — 0 0 -go gi gz L 1 0

S2 1 0 gi 0 1 go 0 0

1 1 0 0 0 1 1 0 0

b) Matricea H corespunzătoare structurii din figura 2.13,a este:

H = [U TU T2U T3U T4U T5U T«U] = r 0 0 1 1 1 0 1"

0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 0

Matricea H' corespunzătoare structurii din figura 2.13,6 este:

H' = [U xV T2U 'T3U T4U T5U T61J] = 0 0 1 1 1 0 1 0 10 0 111 10 0 1 1 1 0

O Se poate observa că cele două matrice diferă numai prin ordinea în care sînt scrise coloanele, codurile construite cu cele două matrice avînd aceleaşi proprietăţi corectoare.

c) Conform relaţiei (2.34) se obţin crectorii z = H(v ' ) T =h 4 şi z ' = H ' ( v ' ) T = = h4. Este deci eronată poziţia a 4-a din cuvîntul de cod, respectiv i3.

89

Cuvîntul de cod corect este: v = [ l l 1 1 1 1 1 ] . Se vede că, cu corectori diferiţi, în cele două cazuri, se ia aceeaşi decizie cu privire la poziţia eronată, ceea ce înseamnă că din punctul de vedere al corecţiei erorilor cele două structuri sînt echivalente.

O Este de remarcat că, în timp ce corectorul z reprezintă o formă modi­ficată a restului împărţirii lui v'(x) prin g(x), zr reprezintă chiar acest rest. într-adevăr, se obţine:

\'(x) _ x6 + x5 + xi + x2 + x + 1 _ 3 x2 + 1 ~g~(x~) x3 + x2 + 1 ~ X x s + x 2 + l '

Restul împărţirii este x2 + 1, ceea ce corespunde corectorului z'.

2.14. Fie un cod ciclic corector de o eroare care are vectorii liniar indepen­denţi [0110100], [0001101], [0011010], [1101000]. Se cere:

a) polinomul generator g(x) şi matricea generatoare G; b) matricea de control; c) să se spună dacă [1101101] este sau nu cuvînt de cod; dacă nu este, să

se indice cuvîntul corect din care provine prin eronarea unui simbol.

Soluţie

a) Cei patru vectori liniari independenţi constituie cele patru linii ale matricei G, care este de forma (v. rel. (2.35)):

gb gi g2 ga 0 0 0 0 go gi gz ga 0 0 0 0 gQ g! g2 g3 0 0 0 0 g0 gi g2 gz-

Se identifică prima linie a matricei G ca al patrulea vector aat, 1101000, şi rezultă g0 = gx = g3 = 1, g2 = 0, adică g(x) = x3 + x + 1. Matricea generatoare a codului va fi:

^ 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1

b) Pentru codul dat, n = 7, k = 4, m = 3, deci p(x) = x7 + 1 şi h(x) P(x)/g(x)= x*+ x2+ x+ 1. Expresia matricei H este următoarea (v. rel. (2.40)):

H 0 0 hţ h3 h2 hx h0

0 h4 h3 h2 hi ha 0 ht h3 h2 hx h0 0 0 .

0 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 "0 0

90

c) Dacă corectorul z = hj # 0., atunci este eronată poziţia i din cuvîntul d a t ; aplicînd relaţia (2.21) rezultă că este eronată poziţia a patra:

z = H(v'f = 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0

1 ~ "o r 1 1 0 0 =• 1 0_ 1 0

_ 1 _ _ l _

h4.

Se obţine cuvîntul eroare £ = [ 0 0 0 1 0 0 0] şi cuvîntul corect v = v' + + £ = [ 1 1 0 1 1 0 1] + [0 0 0 1 0 0 0] = [1 1 0 0 1 0 1 ] .

2.15. Efectele zgomotului de impulsuri într-o transmisiune digitală pot fi diminuate folosind un sistem cu acumulare discretă. Cuvîntul de transmis, compus numai din simboluri de informaţie, se repetă de un număr b de ori. Dacă în decursul transmisiei fiecare dintre simbolurile cuvîntului nu a fost eronat de mai mult de d ori, recepţia acestuia se poate face corect. Considerînd ca model al canalului afectat de zgomot un canal binar simetric cu probabilitate de transmisie eronată p se cere:

a) să se determine pragul optim d în funcţie de numărul de repetări b : b) pentru b = 5 să se determine efectele unui asemenea, sistem asupra pro­

babilităţii de recepţie eronată.

Soluţie a) Deoarece se pune problema realizării de d ori a unui eveniment din b

încercări, se poate considera probabilitatea de recepţie eronată pentru cazul transmisiunii simbolului 0 ca avînd o distribuţie binominală, respectiv:

Din considerente similare, probabilitatea recepţiei corecte în cazul transmisiunii simbolului 1 este:

p11(b,d)=j2ci(i-pypb-i. i—d

Probabilitatea recepţiei eronate în cazul transmisiunii simbolului 1 este:

p10(b, d) = 1 - pu(b,d) = i -£c* 6 ( i -PYP"-1. i=d

Utilizînd expresia probabilităţii complete, se poate determina probabili­tatea recepţiei false:

Pf(b, d) = J2T,P(Xi) P(y,l*i) Pentru i * j ,

1 P(x2) = — reprezintă probabilitatea apriori de transmisiune unde P{xi)

a simbolului xlt respectiv x2. Deoarece:

P(yilx2) = P10(b, d); P{y1jx1) = P00(6, d) ;

P(y2/Xl) = P01(b, d); P{y2\x2) = Pn(b, d),

91

rezultă :

Pf(b,d) = Pix,) P(y2lXl) + P(x2) PLVi/xoJ =

= P(0) P01(b,d) + P( l ) Pw(b,d) =l[P10(b, d) + P01(b, d)};

Pt(b, d) = l - £ C j ( l - ^ / - ' + ^ C j / ( l -

Folosind expresia posibilităţii recepţiei false, rezultă pentru probabilitatea recepţiei corecte Pc (b,d):

pc(b, d) = \- p,(b, d)^i+~Y:c^ - vff-' - \ i b c ^ - ^"l £> £> i—d & i=ă

Ultimele două expresii pentru Pf{b,d) şi Pc{b,d) se pot scrie sub forma:

pf(b, d) = 1 (1 - Y;cm - pfp»-* - f{\ - py-^ 2 [ i=d

PÂb, d) = i ( i + £ctf(i -pyp^-f(\ -pr% 2 ^ i=d

Pentru valoarea optimă d a pragului, probabilitatea recepţiei eronate Pt{b,d) trebuie să fie minimă, respectiv:

Pf(b, d—l)> Pf(b, d),

Pf(b, d+ \)>Pf{b, d).

Prima inegalitate se mai poate scrie:

1 i - £ C\[{\-PYP

i jJ)—i iÂt i-pri\>~ i

E cmi-pyp^-fii-pr1]} i=d

respectiv:

J2 cm -pyp^-m -pri < j^cim-pyp^-p'a-p)^}, i=d-l

sau

b

—\ i=d

ctlrdi — py-ip»-^—p*-\\ — py-d+i] < o. Avînd în vedere că Cţ"1 este singur un număr pozitiv, trebuie ca:

(i - py-1 pb~M - pd-\i - p)b-a+i < o sau:

1 _ p\b-*+i

f-7T<M Dar 1 — pip > 1, şi deci d— 1 < 6 — d + 1, astfel încît rezultă d < 6 /2+1 . Prelucrînd a doua inegalitate într-o manieră similară, se obţine d ^ 6/2.

92

C.onsiderînd valoarea optimă a lui d ca fiind media aritmetică a celor două valori extreme, rezultă:

A — bl2 + 1 + bl2 - b + 1

~ 2 ~ 2

Dacă numărul de repetări 6 este par, se alege d = 6/2. 6) Pentru 6 = 5, valoarea optimă a lui d rezultă d = 6+1/2 = 3. Utili­

zînd relaţia ce dă probabilitatea recepţiei false şi înlocuind 6 = 5 şi d = 3, se determină:

P,(5, 3) = 1 1 1 - £ CI [(1 - j6)' - f (1 - ^ J | =

= ±.{l-Cl[(l-p)>fi*-p*(l-fi)*]-Cl[(l-fi)*fi-pi(l-j>)]-

— C|[(l—/))6 — ^ 6 ] } = - i {1 — 10[0,93 - 0 , 1 2 — 0 , 1 8 -0,92J —

— 5[0,94 -0,1 — 0,14 -0,9] — [0,95 —0,1 5]}= 0,00135.

Se observă că dacă nu se foloseşte un asemenea sistem probabilitatea recepţiei eronate este p = 0,1, iar dacă se foloseşte un sistem cu 6 = 5 repe­tări şi prag de decizie d = 3 se obţine o îmbunătăţire substanţială, proba­bilitatea P/(5,3) a recepţiei eronate scăzînd la valoarea Pf = 0,00135, adică de circa 75 ori.

2.16. O posibilitate de realizare simplă a unui cod corector de erori singulare este de a transmite cuvîntul de cod urmat de cuvîntul inversat. La recepţie se însumează modulo doi cele două secvenţe, rezultînd un cuvînt format numai din imitaţi dacă nu au apărut erori. Dacă în procesul de transmisiune apare o eroare, pe poziţia eronată simbolul transmis coincide cu cel inversat şi, în sumă, pe poziţia respectivă va apărea un zero, care localizează eroarea. Utilizînd acest principiu, să se determine eroarea în următoarele combinaţii: 11001001110, 101100000011, 100000011111, 110001011110, 111100000011.

Soluţie Localizăm secvenţa informaţională şi secvenţa inversată (corectoare) pe

combinaţiile recepţionate:

110001 001110 101100 000011 100000 011111 110001 011110 111100 000011

însumăm modulo doi secvenţa informaţională cu cea inversată. Obţinem:

110001 10110 100000 110001 111100 001110 000011 011111 011110 000011

111111 101111 111111 101111 l l l l l l

Au apărut erori în secvenţa a 2-a pe poziţia a 2-a şi în secvenţa a 4-a tot pe poziţia a 2-a. Secvenţele a 2-a şi a 4-a corecte sînt, respectiv, 111100 şi 100001.

93

2.17. în transmisiuni telex se foloseşte un cod în care cuvintele de cod sînt de lungime 7 şi au trei unităţi şi patru zerouri. Cuvintele acestui cod sînt date în tabelul 2.77.

TABELUL 2.17

Combinaţia

Semnificaţia combinaţiei

Combinaţia

Semnificaţia combinaţiei

Combinaţia Registrul Registrul Combinaţia Registrul Registrul »j°s" „sus" >=jos" „susu

0011010 A 1100100 R 3 0011001 B ' ? 0101010 s Apostrof 1001100 C 1000101 T 5 0011100 D Cine este ? 0110010 u 7 0111000 E w 1001001 V = 0010011 F °/

/o 0100101 w 2

1100001 G Spaţiu între cuvinte

0010110 X. / • 1010010 H 8 0010101 Y 6

1110000 I Sonerie 0110001 z + 0100011 J ( 1011000 întoarcerea carului 0001011 K ) 0001110 început de rînd 1100010 L 0100110 Litere 1010001 M , 1101000 Cifre 1010100 N 9 0000111 Apel 1100110 O 0 0110100 Hîrtie neperforată 1001010 P 1 0101001 Rechemare 0001101 O 4 0101100

1000011 a 3

a) Ce proprietăţi de corecţie are acest cod} b) Găsiţi eroarea în următoarea secvenţă: 00110100001010100010100110100

1100011110000110000100110101001101011100010100011100001100111001100 1011001000101010011001011001001111000.

Soluţie a) Fiind un cod cu ponderea minimă 3, poate corecta o eroare apărută

în fiecare cuvînt. Structura fixă a cuvîntului permite, de fapt, corectarea erorilor care modifică structura. O singură eroare modifică întotdeauna structura cuvîntului de cod, adică fie apare un zero în plus şi o unitate în minus, fie invers. Două erori pot modifica structura dacă sînt de acelaşi fel prin modificarea numărului de zerouri şi uni tă ţ i ; daca simultan un zero este transformat în unu şi un unu este transformat în zero, structura cuvîntului nu se schimbă. în general, toate erorile impare modifică structura cuvîntului de cod, în timp ce cele pare nu o modifică în med obligatoriu.

b) împărţim secvenţa pe cuvinte de cod şi descifrăm textul:

0011010 A 0001010 [S] 1000101 T 0011010 A 0110001 Z 1110000 I

94

1100001 Spaţiu între cuvinte 0011010 A 1001101 [V] 0111000 E 1010001 M 1100001 Spaţiu între cuvinte 1001110 [C] 0110010 u 1100100 R 0101010 S 0110010 u 1100100 R 1111000 [I]

O Observaţie. Dacă în situaţiile în care apare eroare receptorul nu deco­difică litera corectă, corecţia se poate face la citire ţinînd seama de context. Corecţia este mult mai uşor de făcut în situaţia reală, pentru că erorile nu sînt atît de frecvente ca în exemplul luat în consideraţie, exemplu în care din 20 simboluri recepţionate sînt eronate 4 simboluri, deci un procent de 20%.

2.18. Utilizînd controPul de paritate pe coloane, să se găsească eroarea în fragmentul de cartelă perforată reprodus mai jos:

Număr coloană i 2 3 4 5 6 7 8 9 10 i i 12 13 14

o 0 0 0 0 0 0 0 0 X 0 0 0 0 x X 1 1 x X 1 X 1 1 1 1 1 1 2 2 2 V 2 2 2 2 2 2 2 '2 2 X 3 3 x 3 3 3 3 3 3 3 3 >< 3 3 4 4 4 4 4 X x 4 "X 4 4 4 4 X 5 5 x 5 5 5 5 5 5 5 X 5 X 5 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 X 7 7 7 X X 7 7 X X 7 X 8 8 8 8 8 8 S 8 X x 8 8 8 8 9 X x 9 q X 9 9 9 9 9 9 X 9

Perforarea se face după codul alfa-numeric următor:

A 95 H 85 0 75 X 65 0 0 7 B 94 I 84 P 74 Y 64 4 4 8 C 93 Y 83 R 73 Z 63 6 6 9 D 92 K 82 S 72 — 11 E 91 L 81 T 71 1 1 F 93 N 80 U 70 2 2 G 911 M 811 V 711 5 5

Soluţie Controalele de paritate pentru coloanele 1 ... 14 dau

0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1.

95

Poziţiile eronate corespund coloanelor 3, 6 şi 14:

— în coloana 3 se citeşte 953, care va fi interpretat ca 95(A); — în coloana 6 se citeşte 941, care va fi interpretat ca 94(B); — în coloana 14 se citeşte 742, care va fi interpretat ca 74(P).

Codul scris pe cartelă şi semnificaţia sa sînt:

71 91 953 72 71 941 74 71 81 95 75 73 95 742

T E (A) S T (B) P T I N O R A (P)

Din context rezultă descifrarea textului ciorect: TE AŞTEPT ÎN ORAŞ.

2.19. Pentru detecţia erorilor în sisteme ce transmit informaţia sub formă de cifre zecimale se foloseşte controlul modulo N al numărului transmis, al sumei cifrelor lui sau al sumei cifrelor numărului, multiplicată fiecare cu pon­derea ordinului zecimal pe care7l reprezintă. în aceste sisteme, la cifrele infor­maţionale se adaugă o cifră de control care reprezintă restul împărţirii cu N fie a numărului transmis, fie a sumei cifrelor numărului transmis, fie a sumei cifrelor multiplicate cu ponderile ordinului zecimal. Dacă la recepţie cifra de control nu respectă regula după care se formează, se consideră că au apărut erori. Să se verifice corectitudinea următoarelor grupuri de cifre:

a) 731, 810, 821, 933, 955, 990 dacă s-a făcut controlul modulo 9 al numă­rului transmis;

b) 53724, 57350, 24510, 47388 dacă s-a făcut controlul modulo 10 al sumei cifrelor numărului de transmis;

c) 53710, 24315, 17429 dacă s-a făcut controlul modulo 10 al sumei pon­derate a cifrelor numărului de transmis.

Soluţie

a) Delimităm cifrele informaţionale şi cele de control; verificăm con­gruenţa modulo N a părţii informaţionale cu cea de control:

73 — 1 modulo 9,

81 î= 0 modulo 9,

82 = 1 modulo 9,

93 = 3 modulo 9,

95 = 5 modulo 9, 99 = 0 modulo 9.

Deci toate combinaţiile au fost transmise corect. b) Delimităm cifrele informaţionale şi cele de control şi verificăm con­

gruenţa modulo N a sumei cifrelor cu cifra de control:

5372 5 + 3 + 7 + 2 = 17 = 7 modulo 10; 4 # 7, deci combinaţia transmisă 53724 este incorectă;

5735 5 + 7 + 3 + 5 = 20 = 0 modulo 10; 0 = 0, deci combinaţia transmisă 57350 este corectă;

96

2451 2 + 4 + 5 + 1 = 12 = 2 modulo 10; 0 ^ 2; deci combinaţia transmisă 24510 este eronată;

4738 4 + 7 + 3 + 8 = 22 = 2 modulo 10: >S ¥= 2, deci combinaţia transmisă 47388 este eronată.

c) Partea informaţională pentru numerele transmise şi suma ponderată a cifrelor sînt:

5371 5 • 5 + 3 • 4 + 7 • 3 + 1 • 2 = 25 + 12 + .21 + 2 = 60;

2431 2 - 5 + 4 - 4 + 3 - 3 + l - 2 = 1 0 + 1 6 + 9 + 9 = 37;

1742 1 • 5 + 7 • 4 + 4 • 3 + 2 • 2 = 5 + 28 + 12 + 4 = 49.

Cifrele de control sînt:

0 = 60 modulo 10, deci combinaţia 53710 este corectă;

5 ^ 37 modulo 10, deci combinaţia 24315 este eronată;

9 = 49 modulo 10, deci combinaţia 17429 este corectă.

PROBLEME PROPUSE

2.20. Fie o sursă discretă caracterizată prin:

[S] = [si, s2, s3, s4, s5] ;

P = [0, 5 0,1 0,2 0,005 0,15].

a) Să se efectueze codarea acestei surse utilizînd metoda Huffman, alfabetul codului avînd D = 2 litere.

b) Să se determine lungimea medie a cuvintelor de cod. c) Codul obţinut este absolut optimal?

2.21. Fie o sursă discretă care furnizează N = 30 mesaje. Se cere să se determine:

a) lungimea cuvintelor unui cod Hamming corector de o eroare şi detector de două erori;

b) matricea de control H ; c) expresiile corectorilor; să se explice luarea deciziei; d) cuvîntul de cod cu toate simbolurile informaţionale egale cu 1; e) schema bloc a decodorului; să se indice semnalele la ieşirile tuturor ele­

mentelor decodorului în situaţia în care cuvîntul recepţionat provine din cuvîntul de la punctul „d" prin eronarea simbolurilor de pe primele două poziţii.

2.22. Fie un cod Hamming corector de erori cu k = 4, m = 3. Acest cod se foloseşte pentru detecţia erorilor.

a) Care este numărul de erori care pot fi detectate? b) Să se dea schema bloc a decodorului pentru acest caz.

9?

2.23. Se dă matricea de control a unui cod ciclic corector de o eroare:

H O O 1 O 1 1 l 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0

Se cer

a) n, m k; b) polinoamele h(x), p(x), g(x); c) matricea generatoare G; dj corectorul corespunzător cuvîntului cu o eroare [1101011]; e) cuvîntul de cod corect din care provine cuvîntul eronat de mai sus.

BIBLIOGRAFIE

1. S p ă t a r u , Al. Teoria transmisiunii informaţiei, voi. I. Ed. Tehnică, Bucureşti, 1966. 2. S p ă t a r u , Al. Teoria transmisiunii injormaţiei, voi. I I . Ed. Tehnică, Bucureşti, 1971. 3. C n l l m a n , G. Coduri detectoare şi corectoare de erori. Ed. Tehnică, Bucureşti, 1972. 4. A n g h e 1 o i u, I. Teoria codurilor. Ed. Militară, Bucureşti, 1972. 5. P e t e r s o n , W., W e 1 d o n, E. Error Correcting Codes. MIT Press, Massachussets, 1972. 6. T i m b a l , V. Zaddcinik po teorii informaţii i codirovaniu. Izdatelstvo „Vîşcia Şcola",

Kiev, 1976. 7. V a l ţ e v, T. A. Pamehoiistoicivosti sistem peredaci dannîh s discretnîm nacopleniem. Izda­

telstvo „Fan", Taskent, 1969.

CAPITOLUL 3

SEMNALE ALEATOARE Şl TRANSMITEREA LOR PRIN SISTEME LINIARE Şl NELINIARE

INTRODUCERE TEORETICĂ

A. Semnale aleatoare

Un semnal aleator este o funcţie de două variabile £(k,t), unde k ia valori în spaţiul eşantioanelor, iar t ia valori pe axa timpului. Astfel, semnalul aleator Z,(t) reprezintă de fapt mulţimea realizărilor sale particulare {£,(k)(t)}. Pentru orice valoare particulară t = tx, \ fa) = {Qk)fa)} este o variabilă aleatoare.

Un caz particular foarte simplu îl constituie semnalele condiţionat deter­ministe, la care caracterul aleator intervine în mod parametric. Aceste semnale pot fi reprezentate de o funcţie de timp în care unul sau mai mulţi parametri sînt variabile aleatoare.

De exemplu, semnalul a. cos (W -|- cp) este un semnal condiţionat determinist dacă cel puţin unul dintre parametrii a, v, 9 este o variabilă aleatoare.

Proprietăţile statistice ale semnalelor aleatoare pot fi caracterizate cu ajutorul densităţilor de probabilitate. Densitatea de probabilitate de ordinul n este w„(xlt ..., xn; tx,...,tn), unde xi reprezintă o valoare particulară a lui l{tt).

• Valorile medii statistice reprezintă momentele de diferite ordine ] ale variabilelor aleatoare ţ(t{) pentru V(. Cele mai uzuale sînt:

• valoarea medie (j = 1) şi valoarea pătratică medie (j = 2):

f CO

TO=\ *W*i : ' i )d* i ; (3.1) J - cO

• funcţia de corelaţie (corelaţie mutuală pentru semnale diferite y\(t) # ¥=£>(t) şi autocorelaţie pentru T J ( ^ = ţ(t))

B5„(tfi, t2) = Ifa) r)(t2) = V \ xxy2w2[xx, y2; h, t2) dxx dy2; (3.2,a) J — 00 J— CO

. f c O f*CO

Bzfa, t2) = i(tj) l(t2) = V \ xxx2w2{xx,x2; tx,t^dxxdx2; (3.2,6) J— 00 J — 00

O Observaţie. In cazurile în care nu pot apărea confuzii, la funcţia de autocorelaţie indi­cele 5 poate lipsi.

• dispersia

Sfa) = [Ifa) -Jfa)f = ¥fa)-W)i> (3:3)

99

funcţia de covariaţie mutuală:

K^(h, y . = . g W - im MQ-yiM = B^(h, k) - l(k) r)(t2). (3.4)

• covariaţia normalizată sau coeficientul de corelaţie:

p ( ^ 2 ) = ^ £ i ^ ? l . (3.5)

• Prezintă interes şi valorile medii temporale ale semnalelor aleatoare definite pentru anumite realizări particulare. Cele mai uzuale sînt:

• valoarea medie (componenta continuă):

| ( ^ y = l i m — [ £*>(*)dt; (3.6)

T^ca T J-T/2

• valoarea pătr atică medie (puterea medie):

_- i rr/2 [ ^ ) ] 2 = l i m _ \ [£*>(/)]* d/; (3.7)

• funcţia de corelaţie (autocorelaţie pentru v\(t) = ţ(t) şi corelaţie mutuală pentru T}(*) =£ l{t)):

~~^.~_- ~_ 1 rr/2 i?«(T ) = Hk)(t)-n^{t — T) = lini — V £*)(*) r^{t - T) dif. (3.8)

2>oo T J-T/2

O Observaţie. Uneori se omite scrierea indicelui (k), subînţelegîndu-se că este vorba de o realizare particulară.

• în aplicaţiile practice se întîlnesc frecvent anumite clase sau tipuri de semnale aleatoare, dintre care se amintesc semnalele staţionare, semnalele ergodice, semnalul pur aleator, semnalele gaussiene.

• Se numesc staţionare semnalele ale căror proprietăţi statistice nu depind de originea timpului:

wn(x3_, ..., xn; tly .... tn) = wn (xx, ..., xn; tt + T, .... tn + T) (3.9,a)

Dacă relaţia (3.9) este satisfăcută pentru orice n, semnalul este staţionar în sens strict. Semnalele care satisfac această relaţie pentru ordinul I şi I I (n = 1 şi n == 2) se numesc staţionare în sens larg. Funcţiile de corelaţie sta­tistică ale semnalelor staţionare depind numai de diferenţa T = tx — tz, iar celelalte medii statistice definite mai sus sînt constante (£(£i) = x = -jB(<x>), V^)=-^=B(0),a\tx)=J).

• Semnalele ergodice reprezintă acea submulţime a semnalelor staţionare în sens strict, pentru care mediile statistice sînt egale cu mediile temporale.

• Semnalul pur aleator este acel semnal ale cărui valori succesive sînt independente şi, ca urmare,

wn(xn', tJxi, •••• %«-i; h, •••-, t„-i) = wx{xn, th). (3.9,5)

3 00

• Un semnal gaussian este un semnal staţionar în sensdargla care densi­tăţile ele probabilitate ele ordinul I şi II sînt de forma:

wJ.x) = = ~ ^ = e x p

^z(xi, xz>

X — X

2o2

exp

2TOT 2 V1 - P 2 ( T )

(xx — x)2 + (x2 — x ) 2 — 2p(x)(^1 — Sd)(x2 — x) M I - P

2 ( T ) ]

' (3.10)

unde

p(T) = Br(i) - x2

Densitatea de probabilitate de ordinul I I a două semnale gaussiene, ţ{t) şi y}(t) este:

^z{xi, v2; T) = l-nota^ Vi — 2p2(x)

•exp< 1

unde

2(1 _ P2 (T)) L of

P(i

(^1 — ^) 2 + (V2 —. F) 2 2 P ( T ) ( ^ — X)(.V2 — g Ţ

75crn (3.11)

B

• în analiza semnalelor aleatoare, un rol deosebit de important îl ]oacă teorema Wiener-Hincin conform căreia, în cazul unui semnal aleator staţionar în sens larg, densitatea spectrală de putere şi funcţia de autocorelaţie statis­tică sînt perechi Fourier:

? ( w ) = gF{B(T)}; B{-z)=9-1{q{<*)}

(3.12)

în cazul semnalelor ergodice, în relaţiile (3.12) JS(-r) poate fi substituit prin

Funcţia de autocorelaţie temporală a semnalelor ergodice are o serie de proprietăţi care se adaugă la cea dată de relaţia (3.12):

l(t) =JR{CO);

l2(t) = R(0) = P(puterea); a2 = R(0) - R(ao) ;

£ ( T ) = # ( - T ) ;

(3.13)

101

B. Transmiterea semnalelor aleatoare prin sisteme liniare

La transmiterea semnalelor aleatoare prin sisteme liniare, cunoscînd densitatea spectrală de putere a semnalului de la intrare \{t), poate fi deter­minată densitatea spectrală de putere a semnalului t](t) de la ieşire:

? » = < 7 5 ( < o ) | # ( j < o ) | 2 . (3.14)

Dacă semnalul £(t) este staţionar, atunci şi t\(t) este staţionar. în acest caz funcţia de autocorelaţie Bn(z) se determină cu relaţia (3.12).

Considerînd că la intrarea unui sistem liniar se aplică un semnal pur aleator (zgomot alb), constrîngerile introduse de sistem pot fi apreciate cu ajutorul timpului de corelaţie T0:

^ ^ T î i o j — <3 '15>

• O categorie aparte de sisteme liniare, întîlnite la recepţia semnalelor slabe (semnale acoperite de perturbaţii aleatoare), o constituie filtrele adaptate. Filtrul adaptat la o formă particulară de semnal s(t) are funcţia de pondere proporţională cu imaginea întîrziată a semnalului:

h(t) = Ks{-(t~ rf)l (3.16)

unde -ty reprezintă întîrzierea introdusă de filtru. Funcţia de transfer a filtrului adaptat este

ff(jco) = e-^°S(J6>), (3.17)

unde S(]u>) este conjugata densităţii spectrale a semnalului s(t). Proprietatea remarcabilă a filtrului adaptat o constituie faptul că răs­

punsul y{t) la un semnal x{t) este corelaţia mutuală a semnalului de intrare cu semnalul la care este adaptat filtrul:

y[t) = KRJt - T / ) . (3.18)

în cazul în care x(t) = s(t), răspunsul este funcţia de autocorelaţie a semnalu­lui s(t).

• Din clasa semnalelor aleatoare fac parte şi zgomotele. Cel mai frecvent se întîlneşte zgomotul de fluctuaţii, denumit şi zgomot gaussian datorită distribuţiei sale [1]. Zgomotul de fluctuaţii care perturbă transmisia infor­maţiei provine din canalul de transmisie, din sursa de semnal de la intrarea receptorului (antenă, cablu) şi din receptor. Produc zgomot de fluctuaţii atît rezistenţele (datorită agitaţiei termice), cît şi toate dispozitivele active (tuburi, diode, tranzistoare).

102-

Orice rezistenţă, ca „sursă de zgomot", poate fi reprezentată printr-o rezistenţă „fără zgomot" şi un generator ideal de tensiune sau de curent, aşa cum se arată în figura 1. Expresia pătratului tensiunii eficace de zgomot este dată de formula lui Nyquist:

E% = AkTRAf, (3.19)

unde: k = 1,37 • IO"23 W s / g r a d este c o n s t a n t a lui FiS- } • Schemele echivalente ale

„ „ unei rezistente ca sursa de Boltzrmn; z g o m o t .

Ţ — temperatura absolută; A/—lărgimea de bandă considerată. Notînd cu pE(f) densitatea spectrală definită pentru frecvenţe nenegative,

se poate scrie

PzU) = *kTR. în cazul unei impedanţe Z densitatea spectrală este:

pE(f) = 4kTRe{Z}.

(3.20)

(3.21)

în cazul circuitului echivalent cu generator de curent reprezentat în figura 1 se poate scrie:

F~f =ălL=4 kTGAf; i?"

PAJ) = 4 kTG; pi(j) = A kTRe{Y}.

(3.22)

Din relaţiile de mai sus se observă că zgomotul de agitaţie termică are densitatea spectrală constantă în raport cu frecvenţa, deci este un zgomot alb.

Zgomotul propriu al sursei de semnal conectate la intrarea receptorului se datoreşte rezistenţei interne i?, a acestei surse. î n cazul adaptării intrării receptorului la sursă, puterea de zgomot introdusă de sursă în receptor este

Ps = kTAf,

respectiv densitatea spectrală de putere este

ps(f) = kT.

(3.23)

(3.24)

Zgomotul propriu al receptorului provine, în principal, din primele etaje ale receptorului, unde nivelul semnalului util este mic. Cu toate că acest zgomot este colorat, dacă lărgimea de bandă a receptorului este relativ mică, el poate fi considerat zgomot alb.

Pentru aprecierea cantitativă a zgomotului propriu al receptorului se introduce factorul de zgomot F, reprezentînd raportul dintre densitatea spec­trală de putere echivalentă la intrarea receptorului (incluzînd atît zgomotul

103

sursei, cît şi pe cel al receptorului) şi densitatea spectrală de putere a zgomo­tului sursei la intrarea receptorului:

F=Mfl = MA. (3.25) Uf) kT

O Se observă că factorul de zgomot F reprezintă sensibilitatea receptorului în unităţi kT.

Adesea, el se exprimă în decibeli: G = 10 lg F. (3.26)

Dacă receptorul are o amplificare de putere A constantă în baijda A/, puterea de zgomot la ieşire este

P = kTFAAf. (3.27) O Notă. în cazul transmiterii semnalelor aleatoare prin sisteme liniare

fără memorie, se pot determina proprietăţile statistice ale semnalului de ieşire.

C. Transmiterea semnalelor aleatoare pr in sisteme neliniare

Sistemul neliniar fără memorie caracterizat de transformarea y = f(x) transformă variabila aleatoare de intrare £(£x) într-o variabilă aleatoare de ieşire TJ^ ) = f[l{h)].

Dacă semnalul E,(t) este staţionar (caz considerat în continuare), şi yj(/) este staţionar.

• Densitatea de probabilitate îa ieşire este [ 1]: • dacă funcţia inversă f~x(y) este uniformă

dx W(y) = w(x)

dy (3.

• dacă funcţia inversă f 1(y) nu este uniformă şi unei valori y0 îi corespund mai multe valori x01, x02, ...

W(y) = w(x01)\^» 1 dy

M ^ ) \ ^ \ + ... (3.29) 1 dy I

• Valoarea medie şi valoarea pătratică medie se determină cu relaţia:

?%- {•*";} = \ f(x) w(x) dx, (3.30) J—GO

iar dispersia: a\ = m2{-q} — m\ {•/]}. (3.31)

• Funcţia de autocorelaţie este:

- B 7i (^)=\ \ f(xi)f(x2)w2(x1,x2;T)dx1dx2, (3.32) J — 0 0 J—CO

iar densitatea spectrală de putere se determină cu relaţia (3.12).

104

PROBLEME REZOLVATE

3.1. Fie semnalul condiţionat determinist x(t) = a Sî'»(o)i + ţ ) , unde a este o variabilă aleatoare cu distribuţie uniformă în intervalul [—V, V], iar u> şi 9 sînt constante. Să se calculeze următoarele medii statistice: valoarea medie, valoarea pătratică medie şi funcţia de autocorelaţie. Să se indice dacă semnalul este sau nu este staţionar în sens larg.

Soluţie Pentru calcularea valorii medii şi valorii pătratice medii este necesară

cunoaşterea densităţii de probabilitate de ordinul I, care se determină conform relaţiei (3.1):

^ i ( * i ; h) = ^i(a)

unde

Ca urmare se obţine:

ze>x(a)

dx1

1/2V pentru | a | < V 0 în rest. •

1 pentru | xx | < V\ sin (w^ + 9) [ 2V\ sin (co^ + tp)

0 în rest

Se constată că densitatea de probabilitate de ordinul I depinde de timp,' deci semnalul x(t) nu este staţionar.

Se calculează x(tx) şi xz(tx) conform definiţiei date de relaţia (3.1):

x(h V [ sin (oi^j + cp) ; rV [ sin(6)«, +

J—V j sintwfi -<?) IV \ sin (u>xt + 9) dxx = 0 ;

xHh) rV | sin (at, + cp) |

2 F | sin(co^ + <p)J d#x

F2

sin2 (to^ 4- ' J—F I sin (cofi -f- cp)]

Pentru determinarea funcţiei de autocorelaţie este necesară cunoaşterea densităţii de probabilitate de ordinul I I . Se ştie că

w2(xx, x2; tx, t2) — wx(xx; tx)w2{x2; t2/xx; tx).

Semnalul x(t) fiind condiţionat determinist, valoarea lui Ia tx determină în mod univoc valoarea lui la t2, adică x2 ia cu probabilitate 1 valoarea:

x2 —

si ca urmare

w2(x2; t2jxx; tx)--x2-

xx sin (co/2 + 9) sin (oiti + 9)

Xi sin (w/2 + 9) sin (<x>t1 + 9)

0 (cu S s-a notat funcţia Dirac).

pentru x-i\ < F | sin (co£1-|-'<p) |

[#2 |< F | s in (co^+9) | în rest

10E

Conform relaţiei (3.2), funcţia de autocorelaţie este:

B(h, h) = x(h) x(t2) = rV | sin (coia + cp) | y f F | sin (»22 + cp) | r F | sin (coia + cp) | ~ fF[s in(«« 2

1 \ " ^ \ J-v i sin ţatl + <?) | 2V | sin (oitj + 9) ] J_F | sin (0

^ 2 S M« + *) I

x-, —

x x s i n (coz^ __ T17!sin (°>*i + *) I #? sin (cof2 + 9) J-FjsmM1 + «>)| 2 F | sin (u>tj + 9 ) 1 sin (co^+9) sin (co/j + 9)

F 2 f s i n M ! + 9) |3 sin M 2 + 9) V2 . . = = — ) TI — — s m ( c o ^ _]_ g,) s i n ( w ^ 2 _|_ ţp).

3 | sin (dt1 + 9) | sin (G>^ + 9) 3 3.2. i*Ye două procese aleatoare staţionare independente, %{t) şi -/}(i), şi fie

y[t) =ţ(t) + y)(t). Să se exprime By(z) şi qy(u>) în funcţie de B%{x), S „ ( T ) , S ţ M « ?T)(«)-

Soluţie Conform definiţiei funcţiei de autocorelaţie statistice:

J5Y(T) = y(*i) Y(*I - T) = K W + vjfa)] [l(h - T) + 1,(4

= Sfo) ^ - T) + Tjfo) Tjfa - T) + 5(4) i}(*i - r) + Uh - T) Tjfo).

Primii doi termeni reprezintă funcţiile de autocorelaţie B^(z) şi 5 , ( T ) . Ţi-nînd seama mai întîi de independenţa proceselor ţ(t) şi t)(t), apoi de staţiona-ritatea lor, termenul al treilea poate fi adus la forma:

UtMh - T) = Sfa) -n(h - T) = 5(0 1,(0 = V35(OT) 5,(oo). Evident

^ 1 - T ) - 0 ( ^ ) = V 5 5 ( O O ) ^ ( O O )

si ca urmare

BY(T) = S 5 ( T ) + B , ( T J + 2jBt(co)Bn(co).

Densitatea spectrală de putere a procesului Y(0 e s t e , conform teoremei Wiener-Hincin (vezi rel. (3.12)):

? » = !F{£ Y (T)} = ^ { 5 £ ( T ) } + SF{5 , (T)} +

+ W{2jBi(oo)BTi(oo)}.

Primii doi termeni reprezintă densităţile spectrale de putere q^(co) şi ^ (w) , iar cel de-al treilea poate fi calculat cu uşurinţă:

^ { 2 V S s ( c o ) S , ( c o ) } = 2 ^ / 5 ^ 00) 5 , (00)^(1} =4TT:V55((0)5,(00) S(co).

Deci

? > ) = ftM + ? » + ^ V5?(oo) £,(co) 8(<o).

106

3.3. Fie funcţia de autocorelaţie a unui semnal aleator ergodic cu distribuţie gaussiană

R(z) = 4e-«M + B, unde A, B, a sînt constante pozitive. Se cere să se determine:

a) valoarea medie, valoarea pătratică medie, dispersia; b) puterea semnalului ; c) densitatea de probabilitate; d) • densitatea spectrală de putere. Soluţie a, b) Din proprietăţile funcţiei de autocorelaţie a unui semnal aleator

ergodic rezultă (v. rel. (3.13)):

î* = 12(0) = P = A + B; a2 = 12(0) - R(oo) = A.

c) Cunoscînd \ şi a2, se poate scrie densitatea de probabilitate

w{x) = - exp ' [-(^F[ •JlizA X l 2A d) Densitatea spectrală de putere este, conform teoremei Wiener-Hincin:

foo poo q(a) = ^{12(T)} = \ Ae~a\^ e-JMT d r + \ S e - ' 6 " dx =

J— 00 . J—00

= A [ e^-M d i + A C° e-T<°< + JM> dx + 2TT;£S(CO) = J—oo Jo

2a = .4- 27rfiă(w).

a2 + <o2

3.4. Fie funcţiile din figura 3.4. Să se stabilească pentru fiecare dintre aceste funcţii în parte dacă poate reprezenta funcţia de autocorelaţie a unui semnal aleator.

Z D Z ' ~O

Fig. 3.4. Funcţiile f^x) - f„(x).

107

Soluţie

Funcţiile ÎZ(T), f3(r) şi I5(T) reprezintă funcţiile de autocorelaţie ale unor semnale aleatoare, ele fiind funcţii pare şi avînd maximum în origine.

Nu pot fi funcţii de autocorelaţie fi(-r), ii(~), U(T) deoarece ele nu satis­fac aceste condiţii.

3.5. Fie £(t) un semnal aleator ergodic cu densitatea spectrală de putere ^((o) = N0 /2 pentru Vw (zgomot alb) şi fie semnalul determinist 8(t). Să se calculeze funcţiile de autocorelaţie ale celor două semnale şi să se interpreteze rezultatele.

Soluţie în conformitate cu teorema Wiener-Hincin, pentru semnalul aleator ergodic

\if) se poate scrie

2?5(T) = 5 5 ( T ) = ff-^M} = - \ - ? • e i - dco = _? S(T).

Funcţia de autocorelaţie a semnalului 8(t) este [1]:

Ă 8 ( T ) = ^ { | A ( J C O ) | 2 }

unde | A(jo))[2 este densitatea spectrală de energie a semnalului S(t). Deoarece

/ * CO

rezultă funcţia de autocorelaţie

1 f00

ks(z) = — \ e-JWT doo = S(T). ^ ^ J — co

, O- Observaţie. Cu toate că cele două semnale sînt de natură diferită (pri­mul pur aleator, de energie infinită, al doilea — determinist apericdic, de energie finită), se remarcă aceeaşi formă a funcţiei de autocorelaţie (avînd însă dimen­siunea unei puteri în primul caz şi cea a unei energii — în al doilea).

Explicaţia aspectului comun al celor două funcţii de autocorelaţie este legată de faptul că acestea nu conţin nici o informaţie asupra fazei. Atît 8(t), cît şi £,(t), pot fi puse sub forma unei sume infinite de cosinusoide, diferenţa constînd numai în fazele acestora.

Astfei

S(t) = cf-1{A(co)}= — y ejtot,dco = V° cos coi dco, 2TT J —co 2 ~ J—co

deci în cazul semnalului 8(t) toate componentele cosinusoidale sînt de fază zero. Zgomotul alb poate fi considerat ca format din însumarea unui număr foarte mare de

impulsuri independente, de amplitudine şi durată infinit de mică şi de fază aleatoare [1], deci: f

i(t) = J^ ^-rMt - St) = ]C A*i* — { n li 2>k J

1 fco cos ((ut — cpj.) dco,

103

unde ţ>ft este o variabilă aleatoare cu distribuţie uniformă în intervalul [0,27t].. Se poate scrie:

1 rco ^—^ 1 poo \{t) = — \ / , AYJJ; cos (<at — 9A.) do) = — 1 [a cos wt + (3 sin coi] dco,

2— J—oo k 2TT J — CO

unde a şi Ş sînt variabile aleatoare:

a = 2_/A7]fc coscps;

P = 2 J AT)* s i n 9 * •

Introducînd notaţiile

5(0 devine:

Y = V*2 + P2;

<& = a r c t g I — — 1 ,

1 foo

5(0 = — \ Y c o s M + ®) dt>-2 T Î J _ O O

Rezultă că 5(0 reprezintă tot o sumă infinită de componente cosinusoidale dar, spre deo­sebire de 8(0, acestea au o fază aleatoare ©. Prin trecerea de la semnal la funcţia lui de auto-corelaţie pierzîndu-se informaţia asupra fazei, EJ (T) este de aceeaşi formă cu ks!T)-

3.6. Fie semnalul aleator telegrafic, care poate lua cu aceeaşi probabilitate valorile 1 şi —7. Tranziţiile de la o valoare la alta {trecerile prin zero) sînt inde­pendente, aleatoare şi sînt caracterizate de distribuţia Poisson. Să se calculeze şi să se reprezinte grafic funcţia de autocorelaţie statistică a semnalului B(ti, t2).

Soluţie în figura 2>.6,a este reprezentată o realizare particulară a acestui semnal.

Tranziţiile semnalului avînd o distribuţie Poisson, probabilitatea ca într-un interval t să aibă loc k tranziţii, P{k, t}, este [1]:

P{k, t\ 1 "ĂI (1)

unde T0 este valoarea medie a intervalului dintre două tranziţii, deci tjT0 este valoarea cea mai probabilă a numărului de tranziţii în intervalul t.

-îci)(t)

-—»-*

a " b Fig. 3.6. Semnal aleator telegrafic:

o realizare particulară; b — funcţia de autocorelaţie.

109

Funcţia de autocorelaţie B{tly t2) se determină conform relaţiei (3.2) :

B(h, h) = l(tx) l(tz) = 1 • P{x(t2) = *(*,)} + ( - 1 ) P{x(t2) = - *&)} .

Evident, x(t2) coincide sau nu cu x[tx) după cum numărul de tranziţii ce au loc în inter­valul t2 — tx este par sau impar.

Notînd t2 — h = -r,

JB(T) = P{kpar, T} — P{& impar, T}

şi, ţinînd seama de relaţia (1) pentru T > 0, rezultă

kpar K I \ J 0 / himpar K l \J. 0 /

= e-^r» Y^ — f - —1 = e-2^/ r«.

Funcţia de autocorelaţie fiind pară, se poate scrie expresia finală

B{x) = e- 2!^»!

Reprezentarea grafică este dată în figura 3.6,6.

O Concluzii. Funcţia de autocorelaţie nedepinzînd de originea timpului, semnalul aleator telegrafic analizat este staţionar în sens larg. Mai mult, se poate arăta că acest semnal este şi ergodic.

3.7. Fie secvenţa aleatoare binară formată din simboluri 1 şi — 1 de durată T fiecare. Oricare simbol al secvenţei poate lua cu aceeaşi probabilitate valorile 7 sau —7, independent de valoarea simbolurilor anterioare. Să se calculeze şi să se reprezinte grafic funcţia de autocorelaţie statistică a secvenţei, B(tx, t2).

Soluţie

în figura 3.7, a este prezentată o realizare particulară £[{j a secvenţei aleatoare binare. Se observă că semnalul are tranziţii (treceri — 1 —> 1 sau 1 —> — 1) numai la momente de timp reprezentînd multipli de T.

-3T

-27 -T

f'(t)

2T -i (—H-

¥T

3T 51

-1

Fig. 3.7. Secvenţă aleatoare binară: a — o realizare particulară; b — funcţia de autocorelaţie.

110

Funcţia de autocorelaţie B(^, t2) este:

B(h, h) = £fo) l(tz) = 1 • P{*fe) = x{h)} +

+ ( - 1 ) - P{x(t2) = - * f o ) } = ^ - pa, (1)

unde cu pe şi ^ a se notează probabilitatea coincidenţei, respectiv a anticoin-cidenţei valorilor x(ti) şi x(t2).

Evident, x(t2) coincide sau nu cu x(t^) după cum numărul tranziţiilor ce au loc între tx şi t2 este par sau impar. Pentru orice interval t2—h se poate scrie:

t2 - tx = NT + 0, unde fiV = °> ^ 2 -\ O < 0 <T

Numărul de tranziţii în intervalul t2 — tx este dat de numărul k de tran­ziţii din intervalul NT (0<&<A7) la care se adaugă numărul de tranziţii din intervalul 0 (0 sau 1).

Datorită independenţei simbolurilor secvenţei, numărul tranziţiilor din intervalul NT are o distribuţie binomială. Pentru fiecare interval T proba­bilitatea unei tranziţii este egală cu probabilitatea absenţei tranziţiei, deci cu 1/2. Ca urmare, probabilitatea ca din N tranziţii posibile în intervalul NT să aibă loc k tranziţii este [1]:

PN (k) = C&2-*2-<*-*> = C%1'N pentru 0 < k < N.

î n ceea ce priveşte intervalul 0, probabilitatea ca acesta să conţină un moment iT (la care poate avea loc o tranziţie) este:

P { * T e 6 } = - i ,

iar probabilitatea ca la iT să aibă loc o tranziţie este PtT ( 1 ) = — •

Probabilitatea ca în intervalul 6 să aibă loc o tranziţie, Pe(l), este pro­babilitatea intersecţiei a două evenimente independente şi ca urmare

Pe(l) = P { t T e 8 } . 2 V ( l ) : 2T

iar probabilitatea ca în intervalul 6 să nu aibă loc nici o tranziţie, P$(0), este

P e ( 0 ) = 1 - P 9 ( l ) = 2T

Cunoscînd PN{k), Pe(l) şi Pe(0), se pot determina pc şi pa:

Pe = Pe(0) E Pv(^) + Pe(l) E PW(*) 0 < k< 2V; A par k impar

fia = Pe(0) E P ^ ) + Pe( 1) E iV(*) 0 < k < N. k impar k par

n i

înlocuind pc şi pa în relaţia (1), rezultă funcţia de autocorelaţie:

• pentru N = 0 (t2 —t± = 6):

r —e B(h, h) = A

N=0 = P e ( 0 ) - P e ( l ) = -

iv=o • -L

• pentru iV > 0 (4 — tx = NT + 8) :

B{h, t%) = fP6(0) - P6(l)]f E W ) - E ^(*) l L ?.£flf k impar J

= 2-*[P6(0) - Pe(l)]f E C& - E Qv)),

Deoarece,

rezultă, pentru N > 0

2-j (-"N — 2-j W» & £ar  impar

B(h, k) = 0.

O Se observă că funcţia de autocorelaţie nu depinde de originea timpului, ci numai de diferenţa t%—ti, deci secvenţa aleatoare binară analizată este staţionară.

Funcţia de autocorelaţie fiind pară, se poate scrie expresia finală:

r T B(h, h) = B(t2 - tx) = B(T) T

0 M > T

Reprezentarea grafică este dată în figura 3.7,6.

O Notă. Se poate arăta că secvenţa aleatoare binară este nu numai staţionară, ci şi ergodică.

3.8. Fie o secvenţă pseudoaleatoare periodică de lungime maximală n = = 2m — 1 (v. cap. 2, problema 2.11), formată din simboluri de durată T fiecare. Să se calculeze şi să se reprezinte grafic funcţia de autocorelaţie R(T) .

Soluţie Funcţia de autocorelaţie a secvenţei pseudoaleatoare SPA(t) de perioadă

nT se calculează conform relaţiei [ 1]:

P ( T ) = — (" SPA (t) SPA (t - T) dt, nT '„ nT J0

unde înmulţirea se face conform tabelului următor :

X ! 1 - 1

1 - l

— 1 1

112

Se observă cu uşurinţă că notînd cu Ic şi Ia intervalele de timp în care SPA(t) şi SPA(t— T) coincid, respectiv nu coincid, P ( T ) este:

Rb)=LzLL. (1) ni

Pentru determinarea expresiilor Ic şi Ia, se poate considera SPA echiva­lentă formată din simboluri 0 şi 1. Echivalenţa 0 «-» 1, 1 <-»• — 1, se stabileşte pe baza izomorfismului grupurilor 1, — l / x şi 0,1/©. Adunarea modulo doi sste definită în tabelul următor:

© 1 0 1

o 1 1 1

0 1 1 0

La calcularea funcţiei de autocorelaţie se vor folosi proprietăţile SPA de lungime maximală (demonstrate la problema 2.11):

— dacă SPA} este o secvenţă pseudoaleatoare obţinută din SPA( prin / — i deplasări ciclice, _ atunci

SPAt © SPA, = SPA,,,

unde adunarea modulo doi se face simbol cu simbol, iar SPAk provine din SPAf prin k—i deplasări ciclice (de exemplu 1110100 © 1010011 = = 0100111);

n •— 1 — orice SPA de lungime maximală n = 2m — 1 conţine = 2m 1— 1

2 simboluri 0 si •== 2"1"1 simboluri 1 (deci cu un simbol 1 mai mult).

2 Fie T din relaţia (1)

T = 8 + jT, unde 0 < 0 < T şi / = 0, 1, 2, ..., n — 2.

Pentru determinarea expresiilor Ic şi Ia, se consideră suma modulo doi SPA(t) © SPA{t—z) pe o perioadă hf:

SPA(t) © SPÂ(t _ T) = ( SPAo ® SPA^ î n t r " U n i n t e r V a 1 ' ° l a f i 6 C a r e T ' ' \ SPA0 © SPA, într-un interval T — 0 la fiecare T.

Notînd cu N0{SPA( © SPA,} şi cu N^SPAf © SPA,} numărul de simbo­luri 0 (coincidenţe), respectiv 1 (anticoincidenţe) ale secvenţei SPAt © SPA,, se poate scrie:

Ic = 0ATo{5P^o © SPAj+1} + (T - 0) 2V0{SPJ0 © S.P4,} 1

4 = 6A7i{5P^o © SPA,+1} + (T -0) iV^^P^o © SP.4,} } • Pentru j — 0 (T = 0), înlocuind _; = 0 şi 0 = x în relaţiile (2) şi ţi-

nînd seama de proprietăţile SPA, rezultă:

n — .1 „ 7 C = T — h ( P — +)»;

j _ 7 » + 1 .

113

înlocuind Ic şi Ia în relaţia (1) se obţine

T — T(1 + l/w) R(T)

T

• Pentru 0 < j < n — 2 (T = 8 + j T ) :

si rezultă:

Jo = 6 ^ ± i + ( T - 0 )

* ( * ) = - •

2

w+ 1

Deoarece 2?(T) este o funcţie pară şi periodică, de perioadă «T, expresia pentru [ T | < (n — 1)2" este:

T 'R) i?(T) =

1

iar reprezentarea grafică este cea din figura 3.8.

pentru | T | < J T ;

pentru r < | x | < (n — 1) 7\

-r/#

Fig. 3.8. Funcţia de autocorelaţie a secvenţei pseudoaleatoare periodice de lungime n.

O Se observă că funcţia de autocorelaţie a SPA este cu atît mai apropiată de cea a secvenţei aleatoare binare (analizată în problema 3.7) cu cît n este mai mare.

3.9. Să se calculeze şi să se reprezinte grafic densitatea spectrală de putere a semnalului aleator telegrafic din problema 3.6.

114

Soluţie Funcţia de autocorelaţie a semnalului aleator telegrafic (v. problema

3.6) este:

J?(T) = e-2lT/T»l.

Conform teoremei Wiener-Hincin

q(a) = &{B(T)} = C" e-2lT/r»l e-*>» dr = J — co

fO f co

J—=o Jo

4/r0

de unde rezultă

?M «2 + (2/r0; î n figura 3.9 este reprezentat y(co).

- " • ' - . ' - > 1&) • &

/ 2

1 V

1 ^ 0 T # 5 &;

Fig. 3.9. Densitatea spectrală de putere a semnalului aleator telegrafic.

O Se observă că frecvenţa unghiulară corespunzătoare unei atenuări de 3 dB este inversul constantei de timp ce intervine în exponentul funcţiei de autocorelaţie. Cu cît valoarea medie a intervalului dintre două tranziţii, T0, este mai mică, cu atît mai repede se atenuează funcţia de autocorelaţie şi cu atît mai mare este lărgimea de bandă a semnalului aleator telegrafic.

3.10. Să se calculeze şi să se reprezinte grafic densitatea spectrală de putere a secvenţei aleatoare binare din problema 3.7.

Soluţie

este Funcţia de autocorelaţie a secvenţei aleatoare binare (v. problema 3.7)

f T J5 (T ) = T

0

| T | < T

115

Conform teoremei Wiener-Hincin

~T r — | T |

. -T T

Integrînd prin părţi, rezultă

q(<*) = F{B(r)} = ^ g - ^ T (JT T—r

T ccs (OT d-r.

, fs incoT/2\ 2

în figura 3.10 este reprezentat q(a>).

-n/T -2X/T 2J/T 4J/T Fig. 3.10. Densitatea spectrală de putere a secvenţei aleatoare binare.

O' Şi la secvenţa aleatoare binară se observă legătura între lăţimea funcţiei de autocorelatie şi lărgimea de bandă. Cu cit durata unui simbol, T, este mai mică, cu atît mai 'repede se atenuează funcţia de autocorelatie şi cu atît mai lat este lobul principal al densităţii spectrale de putere q(a).

3.11. Fie filtrul trece-jos din figura 3.11. La intrarea acestuia se aplică zgomot de bandă largă ţ(t), avînd densitatea spectrală de putere

R

Kt) 0-

qz(<*) = iVo/2

0 •C y(t)

-9$ Fig. 3.11. Filtru trece-jos.

Soluţie Funcţia de transfer a filtrului trece-jos este

1

co [ > co0

Se cere să se determine funcţia de autocorelatie a semnalului de la ieşirea filtrului, B^(T) , precum şi timpul de corelaţie în următoarele două cazuri: a) w 0 >l /RC, b) wo^l /RC.

H()c 1 + juRC

iar densitatea spectrală de putere a semnalului de la ieşirea filtrului este

1 ?„(«) =??(*>) | f f ( j<») | 2 =?5M 1 + (<»RC)2

116

a) în cazul în care « 0 P RC, banda zgomotului de intrare este mul t nai mare decît banda filtrului şi, ca urinare, zgomotul de bandă largă de a intrare are aproximativ acelaşi efect ca şi zgomotul alb, adică:

ni \ ~ A'° l

2 1 + (o>RC)2

iar funcţia de autocorelaţie este [ 1]:

BM = f-HqM} = ~^ e-|Ti/KC-

Timpul de corelaţie se calculează conform relaţiei (3.15):

x01 = \ e-wisc dT = RC.

b) în cazul în care a>0 < RC, se poate considera, dimpotrivă, | H(](x>) |2 = = 1 în banda zgomotului şi, ca urmare,

fiVo/2 H<<o0

( 0 | (o | > w0

iar funcţia de autocorelaţie la ieşire (pentru calcul v.[l], p. 240—241)

^ . M S B 5 ( T ) = 9 1 {^(O))} = —

Timpul de corelaţie este, în acest caz f00 sinw0T , 1 c . , -. K

T02 = \ - dx = — Si (oo) = Jo WOT co0 2<o0

O Concluzii. Analizînd x0i şi i02, se observă că timpul de corelaţie este determinat de filtru atunci cînd zgomotul de bandă este co0 > IjRC, respectiv de banda zgomotului de intrare dacă co0 < \jRC. Acest lucru era de aşteptat , filtrul neintroducînd practic constrîngeri dacă banda semnalului de intrare este mult mai mică decît banda filtrului.

3.12. Fie un semnal aleator de bandă îngustă (obţinut prin trecerea zgo­motului alb printr-un filtru trece-bandă de bandă îngustă, cu frecvenţa centrală co0) care poate fi pus sub forma

ţ(t) = a.(t) cos u>0t + $(l) sin a>ot,

unde <x(i) şi $(t) sînt procese aleatoare cu variaţie lentă în timp faţă de ţ(t),. Se cere să se arate că:

a) £(£) fiind de valoare medie nulă, ţ,(ţ) = 0, a(t) = Ş>(t) = 0; b) Ba(x) = B P (T) şi £ag(x) = - B P a ( x ) ;

c) <jţ = aa — ap ,

d) ^«c« !;(/) e s ^ gaussian şi densitatea spectrală de putere definită pentru frecvenţe nenegative, p^(co), este simetrică faţă de co0, atunci a(t) şi [}(£) s W statistic independente.

m:

Soluţie în [1] se demonstrează că pentru semnalul aleator de bandă îngustă

din relaţia (1) se poate scrie:

1 f00 • Bţ{x) = cos CO0T • — V pj((£>) cos COT dco -j-

270-00 i r°°

+ sin CO0T • — \ Pj(<*>) sin UT dco, (2)

unde pj (co) = pţ{& — «o) este densitatea spectrală de putere a semnalului ţ(t) translatată la frecvenţe joase.

a) Ştiind că ţ(t) = O, din relaţia (1) rezultă

ţ,(t) = <x.(t) c o s (£>Qt + ${t) s i n cooif = O,

de unde dj) = J(t) = 0. ',

b) Pornind tot de la relaţia (1) se poate scrie

Bt(i) = ţ,{t%{t — T) = a{t) • tx(t — T) COS CO0£ cos co0( — T) +

-|- $(i) $(t — T) sin co0£ sin <x>0(t — T) + a(^) $(t — T) COS <a0t sin <d0(t — T) +

+ a(t — T) $(t) cos co0( — CO0T) sin co0£ =

= — Ba(x) [cos CO0T + cos (2co0/ — W0T)] H -Bg(T) fcos W ° T —

— cos (2(x>0t — COQT)] -l -Bap(T)[sin (2u>0t — CO0T) — sin CO0T] +

+ — B&a(z) [sin (2cop£ — COQT) + sin CO0T].

Din identificarea acestei expresii a funcţiei de autocorelatie cu cea dată de relaţia (2) rezultă

Ba(t) = -B[J(T) = — \ Pj{u>) cos COT dco; (3) - = J (4)

1 f*3

5ga(T) = — - B ^ T ) = — \ A / H sin COT dco

şi se poate scrie

B £ (T) = J5a(T) cos CO0T + -Bga(T) sin CO0T. (5)

c) Deoarece \(t) = 0,

^ = B5(0)

dar , din (5) şi ţinînd seama de (3) rezultă

£5(0) = £a(0) = £p(0)

118

si, ca urmare, al = al = ol = ff2-

d) Simetria faţă de co0 a densităţii spectrale de putere pt,{ai) implică paritatea densităţii spectrale de putere translatate pj(a>):

Ca urmare, din relaţia (4) rezultă:

B^r) = - B B 3 (T) = O, (6)

adică a.{t) şi $(t) sînt necorelate. Pe de altă parte <x(t) şi $(t) rezultînd prin transformări liniare ale lui

ţ(t), dacă ţ,(t) este gaussian <x,(t) şi $(t) vor fi, de asemenea, gaussiene. Condiţia de independenţă statistică a proceselor staţionare a.(t) şi fir­

eşte

Dacă a(2) şi (J(£) sînt procese gaussiene de valoare medie nulă şi de dispersii egale a2, conform relaţiei (3.11)

r A - f - 2 P

1 2a2[l 1 " A-f — 2p W\xxx2 + xf

exp . - .

unde coeficientul de corelaţie este

CT2

Deoarece, conform relaţiei (6), p(r) = 0, rezultă

1 f *? + A. \

— -;—=5 e x P • - - exp | I = wjxi) Wa(x2), V2TTCT2 y{ 2a2) V2-a2 \ 2a2) a l ' & '

adică x(t) şi jî(^) sînt independente statistic.

3.13. Fie un filtru adaptat la semnalul

s(t)=lA W<T12

[0 în rest

Se cere să se determine răspunsul filtrului adaptat y(t) la semnalele s(t) şi v)(t), unde 7](t) este un semnal aleator.

Soluţie Ţinînd seama de faptul că s(t) este par, din relaţia (3.16) rezultă funcţia

de pondere a filtrului adaptat :

h(t) =Ks(-t + T0) = Ks(t - T / ) .

11»

Pentru ca să fie satisfăcută condiţia de realizabilitate a filtrului (h(t) = 0 pentru t < 0), este necesar ca rf > T/2. Fie xf = T/2 şi deci

(KA 0 < t < T h(t) = Ks(t -rrr T ' / 2 )

10 în rest Filtrul adaptat fiind un sistem liniar, răspunsul la s(t) + T](2) este suma

răspunsurilor la fiecare dintre semnale în parte. Conform relaţiei (3.18) răs­punsul y(t) este: ; • ; , .

y(t) = ys(i) + y*(t) = KR.(t - r /2) + KRjt - r /2 ) .

Funcţia de autocorelaţie a semnalului s{t), RS{T), se calculează conform relaţiei

\: î n figura 3.13,a sînt reprezentate semnalele s(t) şi s(t — T) pentru T > 0.

Se observă că cele două semnale se suprapun (cel puţin parţial) numai pentru O < T < T. Pentru acest interval de variaţie a lui T

rT/2 RS(T) = A*\

J-T/2+T

s(t) r — i \s(t-z)

•2 2+z 2 •+z

Fig. 3.13. Semnalul s(t) la care este adaptat filtrul (a). Răspunsul filtrului la acest semnal (b)

Funcţia de autocorelaţie fiind pară, se poate scrie:

RMWT-W) 0 < N < T ; \0 în rest.

Deci răspunsul filtrului adaptat la semnalul s(t) este '

ys(t) = KRs(t - T/2) = \KA^T ~ I* - T™> - T/2 < , < 3T/2; 0 în rest.

î n figura 3.13,6 este reprezentat jys(£). Răspunsul filtrului adaptat la semnalul i](t) este:.

yv(t) = KR.Jt~ T/2) =K[ '\{t ~ X) s(X - T/2) dX J—00

= KA [ rtf - X) dX.

120

Se observă că y^(t) este proporţional cu media temporală a semnalului r)(t) pe un interval de durată T. Cu cît este mai mare T, cu atît mai mult se apropie această medie de r^t), deci de o constantă.

& R 3.14. Fie o sursă de semnal de re­zistenţă internă R4 conectată la intrarea unei celule de filtrare RC, aşa cum se arată în figura 3.14. Să se determine expresia pătratului tensiunii eficace a zgomotului de agitaţie termică (datorat rezistenţelor R^ şi R) de la ieşire. Fig. 3.14. Sursă de semnal conectată la

intrarea unei celule RC.

Soluţie Circuitul echivalent pentru determinarea zgomotului de agitaţie termică

rezultă din cel reprezentat în figura 3.14 dacă se consideră rezistenţele fără zgomot şi se înlocuieşte sursa de semnal vs cu un generator ideal de tensiune de zgomot a cărui densitate spectrală este, conform relaţiei (3.20):

pEi(f) = AkT{Ri + R). Densitatea spectrală la ieşire (la bornele condensatorului C) este:

fiB0(f) =Pit(f) \H(]f)\2, unde H()f) este funcţia de transfer a circuitului R(, R,C:

mf) = i

Ca urmare

iar

Plod)

P*o(f)df-

l+]2nfC(Rt + R)

4kT(Rt + R) ' 1 + [2^fC(Ri + R)]2 '

r°° AkT(Ri + R) V 14- r2ir fC(R, 4- R))'

df- kT 1 + [2nfC(R(

O Observaţie. Rezultatul este interesant: Eff nu depinde de rezistenţa Rt 4- R; aceasta se explică prin faptul că dependenţa liniară a densităţii spectrale pEi{f) de Rt 4- R este compensată de dependenţa benzii FTJ de Rt 4- R (/3dB = \j2TzC(Rt 4- R)). î n schimb, cu toate că pEt(f) nu depinde de C, -de C.

Elf scade cu creşterea lui C tocmai datorită dependenţei benzii FTJ

3.15. Fie un receptor la intrarea căruia este conectată o sursă de semnal de rezistenţă internă R., aşa cum se arată în figura 3.15. Intrarea receptorului este adaptată la sursa de semnal (R = R i), iar sensibilitatea lui este 20 dB. Demodulatorul re­ceptorului este precedat de un bloc de intrare avînd o amplificare de putere de 60 dB şi a cărui funzţie de transfer poate fi aproximată cu cea a unui FTB ideal. Să se determine den­sitatea spectrală de putere a zgomotului propriu al sursei şi receptorului la intrarea demodulato­rului, cunoscînd că at-t sursa, cît si rece-ptorul „. , ,_ c „ ,

u • r r ig . o. la. Sursa de semnal eonec-lucreaza la O temperatura de 2 2 ° C . tată la intrarea unui receptor.

121

Soluţie Conform relaţiei (3.25), densitatea spectrală de putere echivalentă la

intrarea receptorului este

pt{J) = kTF = kT + kT(F - 1),

unde primul termen reprezintă zgomotul de agitaţie termică al rezistenţei interne a sursei, iar cel de-al doilea — zgomotul propriu al receptorului. La intrarea demodulatorului

PoU) = fii(f)A = kTF A. (1)

Ţinînd seama de datele numerice, din relaţia (3.26) rezultă

F = 10 G / , 0 = 100;

pe de altă parte amplificarea de putere

A = 10-AOB/IO = io6.

înlocuind aceste date numerice, precum şi T — 295°K în relaţia (1) rezultă

pjj) = 1,37 • IO-23 • 295 • IO2 • IO6 = 0,404 • 10~8 JAW/HZ,

3.16. Să se arate că momentele iniţiale ale unui semnal gaussian de valoare medie nulă sînt de forma:

l*{ţ) = 1 - 3 - . . . -(2k- 1)G2*; (1)

£«-!(*) = 0. (2)

Soluţie Conform relaţiei (3.10), densitatea de probabilitate de ordinul I este:

Deoarece

se poate scrie

Wl(X) = J^eXP{-io> w^x) dx =• 1,

exp (— cx2) dx = 7T

c (3)

unde c = l/2a2. Derivînd expresia (3) de k ori în raport cu c, rezultă:

î x™ exp ( - cx2) dx = l - 3 - - - ( 2 Ă - 1) ~2*;+l (*)

deci -2

l™(t) = " S = r *2* exp ( - - ) d* = 1 • 3 • ... • (2k - l)a V2rcr J_ x \ 2a2)

relaţia (1) fiind astfel demonstrată.

122

Derivînd acum expresia (4) în raport cu x, rezultă:

V 2k x2*-1 exp (— cx2) dx — \ 2c#2*+1 exp (— cx2) dx — 0, J—00 J—00

de unde

kţ**-i(t) - c£2*+1 = 0.

Ţinînd seama de faptul că ţ(t) — 0, prin recurenţă rezultă relaţia (2).

3.17. Fie un sistem neliniar fără memorie caracterizat de transformarea y = ax2(a > 0). La intrarea sistemului se aplică un semnal aleator staţionar gaussian £(t) de valoare medie nulă. Se cere să se determine pentru semnalul de ieşire 7j(t):

a) densitatea de probabilitate de ordinul I, W(y); b) funcţia de autocorelaţie B7)(T) ; c) densitatea de probabilitate ^„(to).

Soluţie Densităţile de probabilitate de ordinul I şi I I ale semnalului l,(f) rezultă

din relaţiile (3.10):

w(x) — — = exp V27ÎCT2 ("£>

unde

27ra2Vl - p2(~) exp

xi + x\ — 2p(r)%^2

2a2[l - p2(r)]

(1)

PW = B 5 ( T )

Transformarea v = a*2, reprezentată în figura 3.17 nu are soluţie reală pentru jy < 0. Pentru y > 0 există două soluţii: %01 — Jyja şi #02 = — VjvM-Deoarece

si

d%i dy

Q.XQ2

dy 2<Jay

w(x01) = w(x02),

conform relaţiei (3.29), rezultă

W(y) = — = - w %iay

—) <y), a }

unde u(y) este funcţia treaptă unitate

1 y > 0 ; 0 y < 0. «00 Fig. 3.17. Transformare neliniară

123

Funcţia de autocorelaţie se calculează conform relaţiei (3.31 f CD f* CO

B-n(T) = \ \ a2x\xŞwz(xx% %2 J T) d% d#2 = J — CC J — CO

= a2 \ x\w{x1) dxA x\w2{x2lx1] T) d#2-

Date fiind relaţiile (1), rezultă:

[x2 — P(T)X!]2' w2(xzjx1; T)

V2T O2(1 - p2(x)) exp 2a2[l - P

2 (T)]

(2)

(3)

reprezentînd expresia densităţii de probabilitate a* unei variabile aleatoare gaussiene (x2 condiţionată de Xi) de valoare medie p(t)xi si de dispersie a2[l - P

2 (T) ] , iar

(*CO

\ x\w2(x2\xx\ T) d%2

este valoarea pătratică medie m2 a acestei variabile aleatoare. După cum se ştie (v. rel. (3.3)):

m2 = M2 + ful, deci

u x\w2{x2\xx; T) d*2 = a2[l — p2(-r)] + p2(x)*2. ' J—CO

înlocuind acest rezultat în relaţia (2), rezultă:

5 „ ( T ) = a2a2[l - p2(x)] V fte>(%a) d% + a2p2(x) \ *ÎB»(*I) d% J — 0 0 J—CO

La problema 3.16 s-a demonstrat că

x\w(xij d.ri = 3G4

- 8

şi ca urmare

£ „ ( T ) = « V i l - P2 (T)] + 3« 2

P2 (T)C 4 .

înlocuind P(T) CU expresia din (1), rezultă:

B^r) = «2a4 + 2a2BK~) = a2£|(0) + 2 « 2 £ | ( T ) .

Densitatea spectrală de putere ^(ca), este, conform teoremei Wiener-Hin-cin

y,(o)) = W{a2B\(0)} + ${2a2Bl(r)}.

Utilizînd teorema convoluţiei funcţiilor aperiodice rezultă:

£,(<o) = 27Ta2JB (0)S(co) + 2«2^(«) ® ?5(«)

124

PROBLEME PROPUSE

3.18. Fie semnalul condiţionat determinist x(t) = A sin (cot +'vş)> • unde A şi co sînt constante, iar cp este o variabilă aleatoare cu distribuţie uniformă în intervalul (0,7u/2). Să se calculeze valoarea medie, valoarea pătr atică medie şi funcţia de autocorelatie statistică a semnalului. Să se indice dacă semnalul este sau nu este staţionar în sens larg.

3.19. Să se calculeze şi să se reprezinte grafic spectrul de putere al secvenţei pseudo-aleatoare din problema 3.8.

3.2D. Fie funcţiile de autocorelatie a două semnale ergodice:

RX(T) = Ae-^'< + C cos W0T;

^ ( T ) = Ae-^'i + B + C cos CO0T.

Prin simpla inspectare a acestor funcţii de autocorelatie, să se determine com­ponenta semnalelor £(t) si r\(t), precum si valorile medii statistice de ordinul I şi Ii'.

3.21. Fie un semnal aleator ergodic cu densitatea spectrală de putere

1 0 |toj > co0.

Se cere: a) să se analizeze componenţa semnalului aleator ; b) să se determine şi să se reprezinte grafic funcţia de autocorelatie; c) să se reprezinte grafic funcţia de autocorelatie pentru co0 -*• 0 şi pentru

to 0 —• o o .

3.22. Să se determine valoarea pătratică medie a unui semnal aleator avînd densitatea spectrală de putere

co4 + lOco2 + 9 «*—t -C

3.23. Fie filtrul trece-jos din figura 3.23. fn<j ±.n -L^ yjm ha intrarea filtrului se aplică zgomot alb. Să T T ' se determine funcţia de autocorelatie a sem­nalului de la ieşirea filtrului, B„(T) . Cum ** variază aceasta cu constanta RC a filtrului? Fig. 3.23. Filtru trece-jos.

3.24. Fie un filtru adaptat la secvenţa pseudoaleatoare 1 1 1 — 1 — 1 1 — 1, durata unui simbol fiind T. Se cere:

a) să se reprezinte grafic funcţia de pondere a filtrului adaptat; b) să se determine şi să se reprezinte grafic răspunsul filtrului la secvenţa

la care este adaptat; c) să se determine şi să se reprezinte grafic răspunsul filtrului la semnalul

IA 0 ^ t < T; 0 m rest.

125

3.25. Fie receptorul din problema 3.15. Să se determine expresia densităţii spectrale de putere a zgomotului propriu al sursei şi receptorului la intrarea demodulatorului, ştiind că temperatura sursei Tx este diferită de temperatura receptorului T2.

3.26. Fie un sistem neliniar fără memorie caracterizat de transformarea y = a|x| (a > 0). La intrarea sistemului se aplică un semnal aleator staţionar gaussian E,(t) de valoare medie nulă. Se cere să se determine pentru semnalul de ieşire 7)(t) :

a) densitatea de probabilitate de ordinul I ; b) valoarea medie şi valoarea patratică medie; c) funcţia de autocorelaţie; d) densitatea spectrală de putere.

Indicaţie: v. [1].

BIBLIOGRAFIE

1. S p ă t a r u, A l . Teoria transmisiunii informaţiei, voi. I (Semnale şi perturbaţii). E(î. Tehnică, Bucureşti, 1965.

2. P a p o u 1 i s A. Probability, random variables and stochastic processes. Mc Graw-Hill Book Company, New York, 1965.

3. L a t h i , B. P. Random signals and communication theory. International. Textbook Com­pany, 1968.

CAPITOLUL 4

DETECŢIA SEMNALELOR Şl ESTIMAREA PARAMETRILOR

INTRODUCERE TEORETICĂ

A. Detecţia semnalelor

• Schema de principiu a sistemelor cu decizii pe care le studiem este dată în figura 1.

Sid) r(t)=si(t)+n(t) A * © - *—. o^So

n(t)

Fig. 1 Schema de principiu a unui sistem de decizii binare.

Sursa de mesaje este o sursă de informaţie binară, care generează simbolurile 0 şi 1 cu probabilităţile P0 şi P±, respectiv. Pentru transmisiune, celor două simboluri 0 şi 1 li se asociază două forme de undă distincte, s0(t) şi Si(ţ), res­pectiv.

Semnalele purtătoare de informaţie, s0(t) şi s^t), sînt transmise pe un canal pe care apar perturbaţii aditive. Zgomotul aditiv n(t) îl vom presupune gaussian, staţionar, de valoare medie statistică nulă şi densitate spectrală de putere q(f) dată.

La recepţie apare semnalul r(t) reprezentând semnalul util înecat în zgomot. Asupra lui r(t) se fac observaţii discrete sau continue (cum vom vedea mai departe) şi pe baza acestor observaţii se ia decizia că a fost transmis semi­nalul s0(t) sau Si(t).

Observatorul situat la recepţie nu ştie care anume semnal a fost transmis, s0(t) sau Si(t), dar ştie că s-a transmis cu siguranţă unul dintre acestea şi cunoaşte atît statistica zgomotului n(t), cîţ şi formele de undă s0(t) şi s^t), probabilităţile P0 şi Plt precum şi intervalul de timp de emisie, pe care îl vom considera [0, T].

• Există următoarele două cazuri de recepţionare (fig. 1): — întrerupătorul I se închide la momente de timp discrete, tx, t2, ..., tN,

în intervalul de emisiune [0, T]: — întrerupătorul i" stă închis pe toată durata [0, T] de emisiune a semna­

lelor st(t); i = 0, 1.. • Observarea la momente de timp discrete a unor variabile aleatoare. Ob­

servaţiile făcute la recepţie sînt de tipul: r(t,) = 'st(t}) + »(*,) «—»> r, = stj + n„ (4.1)

unde i = 0 ,1 ; j = 1,2, ...,N;

rt = r(tt); stj = st(t,); n, = n{t,). Evident, într-o măsurare particulară i este fix, iar perturbaţ ia este o realizare particu­

lară a zgomotului n(t).

127

Privite pe ansamblul măsurărilor,•rij(j'= 1, 2, ..., N) din relaţia (4.1) sînt variabile aleatoare definite pe, spaţiul eşantioanelor £1 asociat zgomotului. Dacă se face în plus ipoteza că aceste variabile aleatoare n}(j = 1,1,'..., ~N) sînt necorelate, atunci putem scrie:

Pn1...nN{n1, ..., nN) = J ţ p(n,)

Pn, K) 1

n2j

2a2

V2TCCT2

(4.2)

unde

(%, este densitatea de probabilitate asociată grupului de variabile aleatoare (%, n2, ..., nN);

cr2 — dispersia zgomotului n(t). Ţinînd seama de faptul că sursa de informaţie şi zgomotul sînt statistic

independente, putem scrie următoarea expresie a densităţii de probabili­tate condiţionată a grupului de variabile aleatoare (rx, r2, ..., rN):

Pr,...ry{rt, ..,•%/ Sf) = pni..., „ir, — st, — s. ml (4.3)

unde:

Prl...rx{rx> •••> rNlSi) e s t e densitatea de probabilitate asociată grupului de variabile aleatoare (rx, r2, ..., rN), condiţionată de transmiterea semnalului

stj — notaţia din relaţia (4.1). Observatorul recepţionează, deci, grupul de numere reprezentînd valorile

măsurate ale variabilelor aleatoare (rx, r2, ..., rN) şi ia decizia că s-a transmis s0(t) sau Si(^).

Evident, există o anumită probabilitate ca decizia luată să fie greşita. Se asociază un cost pentru fiecare decizie eronată, conform tabelului următor:

Ipoteza adevărată

Decizia luată

unde:

Ht este ipoteza că s-a transmis s((t); Dt — decizia prin care acceptă Hi; CiS — costul în cazul în care semnalul transmis s}(t) este interpretat

drept semnalul s((t). î n general C0o = C n = 0; acesta este cazul pe care îl vom considera. Există o infinitate de posibilităţi de alegere a unui criteriu de decizie. Per­

formanţele receptorului (construit conform criteriului ales) sînt apreciate prin numerele P(DijSj), P(e)., C, unde s-a notat :

P(Z) i/5 i) — probabilitatea de a lua decizia Dit cînd s-a transmis

' • H0 # i

-Do Coo Coi

. Di ^10 Cn

ss(t), unde i,j = 0, 1.

128

P(s) — probabilitatea erorii de decizie, deci:

P(e) = PoPiDJSo) + P i P p o / 5 0 ;

C — costul mediu (riscul de decizie)

C = C10PoP(P1/5-0) + C0]P1 P(D0/S1).

Un criteriu de deosebit interes teoretic şi practic este cel care duce la an cost mediu minim (numit criteriul Bayes). Dacă într-o măsurare parti­culară observaţiile făcute sînt rx, r2, .... rN, atunci receptorul Bayes proce­dează astfel:

— acceptă H0, dacă

Pn-rsin,

Prl...r1,{rv ••> rNl S0)

VN! SI)< R = P0C10. PiQ 01

— acceptă P x în caz contrar. Relaţia Bayes se scrie compact:

A. .™(fi, ...,rNj Sx) ^ R

pri...rN{rl- ••• TNI S0) H, (4.4)

Dacă aplicăm relaţia (4.4) pentru cazul în care variabilele aleatoare %, n2, ..., nN sînt necorelate, rezultă următoarea expresie a relaţiei de decizie Bayes (v. rel. (4.2) şi (4.3)):

E ' A , -s<w) $aalnX + £^-E; (4.5)

• Observaţii continue. Observaţiile sînt de tipul:

r(t) = Si{t) + n(t); i = 0 ,1 ; t e [0, T}.

în acest caz, facem în plus ipoteza că zgcmotul este alb, adică are densi tatea spectrală de putere q(J) din figura 2.

Definiţiile privind deciziile Dt, ipotezele Hit costurile C(j, precum şi va­lorile P(DJSj), P(e) şi C sînt aceleaşi de la cazul prezentat anterior.

Relaţia de decizie care conduce la un cost mediu minim este următoarea (numită tot relaţia Bayes):

rx $KX = VP5L

El.\XiK + -E1~-E0

VP. 1 ^r(t)[Sl(t)-s0(t)]ăt

(4.6)

unde:

r(t) este semnalul recepţionat într-o sin­gură înregistrare făcută în intervalul [0, T] ;

K = i o .

P l ^ O l

, l(f) No/2

». -P

Fig. 2. Densitatea spectrală de )utere a zgomotului alb.

L29

Ei — energia semnalului s^t), deci

E{=[ sl(Qâi; i = 0,l;

Es — energia semnalului diferenţă, s(t), deci:

E,=[ s*(t)dt; s(t) = Sl{t) ~ s0(t)

Rezultă că în luarea deciziilor conform relaţiei Bayes (4.6) nu interesează forma de undă r(l) a semnalului recepţionat, ci doar coeficientul r1 (exprimat tot în relaţia (4.6)).

Putem scrie: ri = sn + ni

~T st(t)s(t)ăt; i = 0, 1

^ n(t)s(t)ât <lEt

(4.7)

Pentru o măsurare particulară, % şi rx sînt valori bine precizate. Privite pe ansamblul măsurărilor, nx şi r1 din relaţiile (4.7) sînt variabile aleatoare.

Dat fiind tipul de zgomot considerat (gaussian, alb, de valoare medie nulă), % este o variabilă aleatoafe gaussiană cu următoarea expresie a densi­tăţii de probabilitate:

w. M,) = -4 f e- . (4.8)

Sursa de informaţie şi zgomotul fiind statistic independente, densităţile de probabilitate condiţionată asociate variabilei aleatoare r} sînt:

Pr^xlS,) = j>ni(x - sa) (4.9)

unde sa sînt notaţiile din relaţia (4.7).

B. Estimarea parametrilor semnalului

Estimarea parametrilor semnalului se poate considera că este generali­zarea problemei de detecţie pentru o infinitate de ipoteze. Semnalul recep­ţionat în intervalul de timp [0, T] este

r(t) = s(t, 8) + n(t), (4.10)

unde s(t,Q) este semnalul transmis, presupus cunoscut cu excepţia parametrului 6 (scalar sau vectorial) care poate lua valori într-un interval, iar n(t) este zgomot gaussian staţionar, de medie 0 şi funcţie de autocorelaţie cunoscută ,Rn(t2 —h)-Parametrul 0 conţine informaţia emisă de sursă. Valoarea sa este necunos-

330

cută, iar sarcina receptorului este să o estimeze cît mai corect. (Cînd 6 este parametru vectorial se poate cere estimarea unei singure componente a lui).

• î n cazul cînd 9 este variabilă aleatoare, se presupune cunoscută şi densitatea sa de probabilitate, p(Q).

Fie 6 estimatul lui 6 obţinut din r(t) printr-un procedeu oarecare deter­minat. 6 este o variabilă aleatoare ce poate lua valori în domeniul de valcri ale lui 0. Diferenţa

s e = 0 - 0 (4.11)

este eroarea de estimare, a cărei importanţă o luăm în considerare printr-o funcţie cost C(e0). Această funcţie înlocuieşte costurile Ctj din cazul pro­blemelor de decizie. Estimatele bayesiene se obţin din condiţia de risc minim. Riscul este costul mediu (mediere după r(t) şi după 0). Ca să lucrăm cu repar­tiţii în spaţii finit dimensionale, se înlocuieşte semnalul recepţionat, r(t), t e [0, T], cu vectorul eşantioanelor sale, r = (rx, ..., rN).

Funcţiile cost cel mai des utilizate sînt funcţia pătratică, funcţia modul (normă) şi funcţia prag:

C ( e e ) = l | e e | | 5 ; . (4.12)

C(ee) = I|se II.: (4-13) E

0 pentru J | se 11, < C(ee)

1 pentru || eo | | s > | (4.14)

Estimatul bayesian corespunzător funcţiei (4.12) este tocmai valoarea medie a lui 6 condiţionată de r (media corespunzătoare densităţii aposteriori):

%(i) = C+<" 0^>(0/r)d0. (4.15) J—co

Cel corespunzător funcţiei (4.13) este mediana densităţii aposteriori, iar cel corespunzător funcţiei (4.14) este maximul densităţii aposteriori dacă se consideră E arbitrar de mic diferit de zero; notăm acest maxim cu Qmap. Dacă densitatea aposteriori este de clasă C1 şi maximul este în interiorul do­meniului de valori admise pentru 6, atunci Qmap satisface ecuaţia:

8 mP(0M = 0. (4.16)

Deoarece

Mm=imm, iar logaritmul este funcţie monotonă, relaţia (4.16) este echivalentă cu:

A lnrj>(r/6)] + A lnrj>(0)] = 0. (4.17) ot) ou

131

• Dacă parametrul necunoscut 0 nu poate fi tratat drept variabilă aleatoare, în calculul riscului nu mai are sens medierea după 0. 0 minimizare a erorii medii pătratice

R(Q) = \ [ 0 ( r ) - §fp{rjb)âr \m-nu dă decît soluţia 0(r) = 0 (valoarea adevărată, necunoscută), soluţie lipsită de sens pentru problemă căci tocmai 0 este valoarea pe care dorim s-o esti­măm.

Calitatea estimării se măsoară cu media lui 0(r) (după r) şi cu dispersia sa. Dacă

0(r) — 0 = 0 pentru orice 0, (4.18)

atunci estimatul se numeşte nedeplasat. Sînt de dorit estimate nedeplasate şi cu dispersie cît mai mică, dar nu există procedee generale de a găsi astfel de estimate.

Un estimat utilizat este estimatul de maximă plauzibilitate, Qmp, adică 0 care maximizează p(r/Q) pentru r recepţionat (ca funcţie de 0, p(tj%) se numeşte funcţie plauzibilitate). Dacă p(r/0) este de clasă C1 şi dacă maximul este în interiorul domeniului de valori admise pentru 0, atunci estimatul de maximă plauzibilitate satisface ecuaţia:

A l n t f ( r / 6 ] | = 0 . (4.19)

Se poate considera că (4.19) rezultă din (4.17) cînd termenul al doilea (infor­maţia apriori asupra lui 0) se anulează.

Pentru orice estimat nedeplasat este satisfăcută inegalitatea Cramer-Rao:

1 [(WM - 9J2 >

-lln[^(r/0)]2

do

adică dispersia sa este limitată inferior. Estimatele pentru care inegalitatea Cramer-Rao este satisfăcută la limită (este egalitate) se numesc eficiente. Se arată că dacă există un estimat eficient, atunci acela este estimatul de maximă plauzibilitate, Qmp. Dar se poate să nu existe estimate eficiente şi atunci nu putem spune cît de bun este Qmp fără o analiză pe cazul particular respectiv.

PROBLEME REZOLVATE

4.1. Să se verifice că relaţia de decizie Bayes (4.4) conduce la un cost mediu minim. Se va considera cazul unei singure observaţii la momentul tx (deci N = = 1 ) . Se presupune că zgomotul este aditiv, gaussian, staţionar, de valoare medie statistică nulă şi dispersie finită, a2. Să se deducă relaţia concretă de lucru pentru receptorul Bayes.

132

Soluţie

Sistemul este cel din figura 1 cu întrerupătorul / închis doar la momentul t = tx. în punctul A al schemei, rezultatele măsurărilor au expresia:

r(h) = sS-i) + Mh) •*—> ri = sn + Mi,

unde:

*' = 0 ,1; n± = n{tx) este o variabilă aleatoare rezultată din eşantionarea zgo­

motului la momentul tx.

Evident, într-o măsurare particulară i este fix, iar % este un număr rezultat din eşantionarea unei realizări particulare a zgomotului.

Spaţiul observaţiilor (mulţimea valorilor posibile rx) este deci axa reală R. Receptorul lucrează conform criteriului de decizie ales şi ia decizia pe baza unei singure măsurări a variabilei aleatoare rx. Costul mediu de decizie, pentru un criteriu oarecare ales, este:

C = C01PyP{D01 Sx) + C10P0P{D11 S0)

unde Dj, P(DijSj) şi Ctj au semnificaţiile din introducerea teoretică. Receptorul realizează pe axa R o partiţie în domeniile Ao şi A1; unde

Aj conţine toate valorile rx pentru care decizia luată este Dt. Deci, într-o mă­surare particulară, receptorul înregistrează valoarea obţinută rx şi constată în care domeniu, A0 sau A1( se află aceasta, apoi ia decizia corespunzătoare.

Vom nota prin C costul mediu de decizie în cazul unui criteriu oarecare, dar diferit de criteriul Bayes, şi prin CB costul mediu de decizie în cazul cri­teriului Bayes (corespunzător rel. (4.4)). Urmărim să arătăm că diferenţa C — CB este un număr pozitiv. Specificăm prin indicele B toate notaţiile referitoare la criteriul Bayes:

Putem scrie

A0 U Ai = 5 ; A 0 n A1 = 0 ;

A0B U A ] £ = R; A0B n A1B = <D,

unde $ este mulţimea vidă.

P(Dt / Ss) = C pfl (rj SJdfL JA(

Putem scrie următoarele relaţii între submulţimile lui R induse de cele două partiţii {A0, A^ şi {A0B , A 1 B} (fig. 4.1):

A 1 = (Ai fi A0B) u (Ax n A l B);

Ai£ = (AlB n A0) U (AXB fi Ai) ;

133

A0 = (A„ fi AoB) LI (AO n A l B) ;

A0B = (A0iS n A0) U ( A 0 s n AO.

"OB "fB Fig. 4.1. Identificarea regiunilor de decizie pentru două strategii de decizie diferite.

Rezultă :

C-Cr [ [C10Popr1 (rjSo) - C01Pd>fl (rJS1)]dr1 + ) A n A - _

JA 0 n AlB

^Ax n A Q B

[CoiPiprXrt / Sj) - CnPoPrfa I S0)]drv (1)

Criteriul Bayes se exprimă astfel (rel. 4.4): dacă valoarea măsurată a va­riabilei aleatoare rx este x, atunci se ia decizia Da dacă:

PiC01pri(x I Sx) < P0C1Qpri(x I S0), (2)

iar în caz contrar se ia decizia Dx. înlocuind relaţia (2) în (1) rezultă:

C — CB > 0, q.e.d.

Pentru sistemul de transmisiune considerat rezultă (v. rel. (4.2) şi (4.3)) că receptorul Bayes:

— decide D0 dacă:

^ i c o i ~^=== e < -Po^io . r e V2TCCT" ij2na"

— decide Di în caz contrar.

Scrisă, compact, relaţia de decizie Bayes este:

rx(sn - «oi) 5 a2ln ^ Ş * + I (sf, - s0f),

unde rx este eşantionul măsurat la momentul tx, din semnalul r(t) recepţionat. 4.2. Se consideră sistemul de transmisiune din problema 4.1. Receptorul este

de tip Bayes (cost mediu minim). Semnalele purtătoare de informaţie, sx(t) şi s0(t), sînt reprezentate în figurile 4.2, a respectiv b .

Se presupun costuri egale C0i = C10 si semnale de probabilităţi egale, Po = = Pi.

134

s,(t)

T/2 T - W

k sad)

T/2 T 2

<12' 2

ÎL T/2 - W

Fig. 4.2. Semnalele Si(t); i — 0,1 şi eşantionul r1 recepţionat la t-, = — • 2

a T a) Observatorul măsoară eşantionul rj = — la tx = — f/ig. 4.2,c). Ce

decizie ia ? b) Care este probabilitatea ca decizia luată la „a" să fie greşită? Se va evalua

2a pentru diferite valori ale parametrului y = —, adică pentru y = 1, 2, ..., 10,

a MM e a2 este dispersia zgomotului.

Soluţie

a) Schema este cea din figura 1, cu întrerupătorul / închis doar la mo-T

mentul ti = — 2

Detectorul lucrează conform relaţiei (4.5) adică:

ri(sn - soi) %K1 = o2lnK + ^- (sfx - sgj. H i 2

Pentru cazul considerat rezultă:

K = 1 ; S j ! = —s0i = «.

Deci, relaţia de decizie este:

Observaţia făcută la U = — este rx = — şi deci detectorul acceptă ipo-2 2 '

teza i î x (ia decizia D J . 6) Care este probabilitatea ca ipoteza adevărată să fie H0, cînd s-a recep­

ţionat valoarea r1 = — ? Notăm această probabilitate

P I So / fi = — I nu se poate calcula folosind definiţia probabilităţilor condiţio­

nate, deoarece evenimentul care condiţionează este de probabilitate zero. Este

135

nevoie de o definiţie a probabilităţii „a posteriori" a semnalului s0(t), dată fiind valoarea rx = x0. Această probabilitate „a posteriori" se defineşte astfel:

P(S01 fi = xo) A lim P(S01 x0 < rj < x0 + e). e->-0

Rezultă :

Deci

-P(50 / r1 = #„) = Hm P0P(x0 < >! < x0 + z I S0)

o P(x0 < r2 < x0 + e)

A \ Ai(* I So)d# -P(-So / h = x0) = Hm

\ Ai (#)d#

PoPrXXpl Ş0)

Pn(Xo)

unde

Rezultă: Pn(Xo) = PoPr^Xo I S0) + PlPrS.X0 / St)

PxPr^Xo I Sx) ^ P(S0 l rx = xo) = 1 + PoPrXXo I S0) .

Ţinînd seama de relaţiile (4.2) şi (4.3), rezultă:

PrSX0 I SX) __ ~^l2x0(s,1-s11)+sl1 -SQI]

Pfl(x0 / S0) Pentru exemplul ales:

Po=Pi ,' S y SQ2 <?.

Deci: Zaxa " l - l

P(S0/r1 = = *o) = l + e J .

*-T-*(* /,-{)-[. + .«] Calculul numeric:

Y *(*/*-§) 1 2 3 4 5 6 7 8 9

10

0,437 0,268 0,095 0,017 1,9 • 1,2 • 4,8 • 1,1 • 1,6-1,4-

823 941 349 986 IO"3

io-4

io-6

10-7

IO"9

io-11

136

4.3. Se consideră sistemul de transmisiune binară cu decizii din problema 4.1, unde receptorul este de tip Bayes. Să se determine probabilitatea erorii receptorului (eroarea pe ansamblu, cînd semnalul transmis poate fi oricare dintre cele două posibile, s0(t) si $\(X)), în funcţie de parametrul y. Se va face calculul numeric pentru y = 1, 2, ..., 5.

Se presupune: C0i = CM ;• P0 = P i ; y = —; d = s u — s01,

unde a2 este dispersia zgomotului canalului.

Soluţie

Probabilitatea erorii de decizie condiţionată de transmiterea semnalului $j(t) este:

P(Dt I S,) = Pr {/! e A, / S3] = [ pri(x I S,) ăx, J&i

unde s-a notat prin As domeniul de pe axa reală R, care conţine mulţimea valorilor variabilei aleatoare rx pentru care decizia luată este D{.

Criteriul de decizie considerat fiind Bayes, rezultă că decizia luată este D0 (deci acceptă H0) dacă valoarea măsurată x a variabilei rx satisface:

x{su — Soi) < K1)

Kx = o*lnK + i (sf, - 4 ) ; K = ^ -2 ^01-^1

în caz contrar, decizia este Dx (v. rel. (4.5)). Din datele problemei rezultă K = 1 şi deci:

H. 1 x $ -(su + Soi).

H 2

Dar:

Rezultă

Similar:

1 (*-s/,)a

A>(* / 5,) = pni (x - sn) = — = e w yZrar

- — X* - 1 X*

1 C 2° - T 1 f 2 ~T P(I>„/51) = 4 = \ e d ^ = - 7 T = \ e d*-V2TT J-CO -\/2TU J_OO

1 [*«> _î^ 1 f00 — î-P ( D i / 5 0 ) = - 7 = \ e 2 d * = — \ e 2dx,

"ăS 2"

cu

137

, 1 x*

777tâ7M

\ ^ PCD1/S0)

2 2 Fig. 4.3. Determinarea grafică a probabilităţilor erorii

de decizie condiţionate.

Din figura 4.3 se vede că probabilităţile erorii condiţionate scad cu creş­terea lui y (ariile haşurate).

Probabilitatea erorii de decizie P(e) este:

P(e) = P1P(D01 S1) + P0P(D1 / 50). Pentru cazul considerat rezultă

P(DolS1) = P(D1jS0) = P(s). Calculul numeric:

P(e) 1 f°°

V27Î J Y

- - 1 e 2 dx = i7

2 î> i?W = i r

\'27T Jo dx.

Funcţia i7^) este tabelată în [1], deci pentru y = 1, 2, ..., 5 rezultă:

P(e) Mi) 0,30854 0,15866 0,06681 0,02215 0,00621

4.4. 5«rs« emite semnalele s0(t) şi s^t) rfi» figura 4.4, a cw probabilităţi egale. Transmisiunea se face pe un canal cu zgomot aditiv, gaussian, alb, de

valoare medie statistică nulă şi densitate spectrala de putere dată, — . Observa­torul recepţionează în intervalul de timp [0, T] semnalul transmis perturbat de zgomot şi ia decizii conform criteriului Bayes. Se presupun costuri egale C01 = C10.

a) Observatorul înregistrează semnalul r(t) din figura 4.4,a. Ce decizie ia? b) Să se implementeze receptorul. Soluţie

a) Sistemul de transmisiune este cel din figura 1 pentru I închis în inter­valul [0, T]. Receptorul ia decizii conform relaţiei (4.6). Pentru datele problemei rezultă :

K = 1 -+ In K = 0:

138

Sg(t)

1 t 3A T ^ 2A

r(i)

>.->/

-ZA

s,(t)

T Z T i -A\~

T

O

l l I i l l I I

\ \ \ \ |

\ş\ m j g j L a 7"

2 / 8 Fig. 4.4,a. Semnalele st(t); i — 0,1 şi r(i!) pentru problema 4.4.

5 £ 1 = ' ^ 2 r :

( S\(t)ât: . 'o

£ 0 = r s i ( ^ ) d i ( = 4 2 r ; .'o

Es^[T[Sl(t)-s0(t)fdt = ~A'T.

Deci, relaţia de decizie devine:

H° 1 A

unde

^F r(t)[Sl(t)-sQ(t)]dt. s Jo

t

7- * ;»-

(1)

jEt

Pentru înregistrarea particulară r(t) din figura 4.4,« observatorul eva­luează coeficientul r±:

ri^-jLţ" r(t)[Sl(t)-s0(t)]dt=0 V £ J o

şi ia decizia D0 (acceptă ipoteza H0). O Se observă că în acest caz, în luarea deciziilor nu contează valoarea densităţii spectrale

de putere a zgomotului.

b) Pentru implementarea receptorului, transcriem întîi relaţia de decizie(l) sub forma:

\ r(t)[Sl(t) - sofflâtş \&>T. Jo Ht 4

(2)

139

r(t) r(t)s(t)

Jr(t)sU)dt

Multiplicator I > lirlegrofor •off-

s(t) 4A*T

Comparohrfr~°ao

Generator de refer/filă

Fig. 4.4,6. Receptor cu multiplicator şi integrator.

Relaţia (2) ne sugerează următoarele variante pentru implementare: receptor cu multiplicator şi integrator (fig. 4.4, b); receptor cu filtru adapta (iig.JA, c).

î n figura 4.4, b am presupus că există o sincronizare între receptor şi emiţător, exprimată prin generatorul de referinţă (generează semnalul s(t) în intervalul de timp de emisie, [0,T]).

Al doilea mod de implementare a receptorului rezultă din inspectarea următoarelor două relaţii:

— relaţia \ r(t) [s^t) — s0(t)] dt; >M — relaţia intrare-ieşire a unui sistem liniar invariant în timp, cu funcţia

de pondere h(t):

y(t) x(-u)h(t ~ x)dx,

unde x(t) aparţine spaţiului de intrare, iar y(t) aparţine spaţiului de ieşire. Pentru un filtru fizic realizabil impunem condiţia:

; h(t) = 0 pentru t < 0.

Schema receptorului este dată în figura 4.4,c.

Filtru adaptaf

P(t) tr(t) = s(-t+tf) ilV Comparator

I: închis Ia i=if^T Deschis m resf

s(t) âL(t)~s0(t) ,te[0j] ( 0 . în resf- ,

Fig. 4.4,c. Receptor cu filtru adaptat.

140

ls(i)

~3A

2 T a -?+a t

-3A

Fig. 4-A,d. Semnalul diferenţă s(t) şi funcţia pondere h(t) a filtrului adaptat coresp unzător.

Rezultă:

(h) = \ r(x)s(r) dx =

z(t)=\ r(r)s(-t+ T+h)dT;

»s( r )dT.

Din figura 4.4, ^rezultă că sistemul liniar cu funcţia de pondere h(t) este un filtru adaptat pentru semnalul s(t), [1]. Acest filtru este fizic realizabil pentru tx > T.

Şi în figura 4.4, c am presupus că există o sincronizare între receptor şi emiţător, exprimată prin alegerea momentului de eşantionare la t = tx. Dacă intervalul de timp în care se face emisia este (tQ, t0 -f- T), atunci eşan­tionarea în figura 4.4, o se face la t = t0 -f tx.

4.5. Care este probabilitatea ca decizia luata la punctul a al problemei 4-A să fie greşită ?

Să se efectueze calculul numeric pentru cazul cînd semnalele s0(t) şi sx(t) au — — N

energia medie statistică, E, în intervalul [0, T] astfel încît E = 7 — , unde:

E

N0

A pj\ sl(t)ăt + pX sl(t)ăt; Jo Jo

— este densitatea spectrală de putere a zgomotului.

Soluţie Pentru realizarea particulară r(t) din figura 4.4, a., observatorul ia deci­

zia D0 (acceptă ipoteza H0). Care este probabilitatea ca această decizie să fie greşită ?

Deci ne interesează probabilitatea de a se fi transmis semnalul sx(t), dat fiind coeficientul rx = 0 (v. soluţia la problema 4.4, a). Fie această probabilitate P(Sx/rx = 0). Nu putem calcula P(Sx/rx = 0) folosind direct definiţia pro­babilităţii condiţionate, deoarece evenimentul care condiţionează este de probabilitate zero (v. problema 4.2). Este nevoie de o definiţie a probabilităţii semnalului sx(t), dată fiind valoarea măsurată x0 a variabilei aleatoare rx. Această definiţie este:

P(Si/rx = xo)= Hm P{Sx/Xo < rx < x0 + t}. £-M>

141

Rezultă:

P(S1/r1 = ^ ) = 3 M ^ L ; (1) PrĂXo)

1 (Xg—Su)2

pr&olSi) = pni(xo - «ii) = 7 = = e N° ;

Pnixo/So) = />„,(*<> — Soi) = - = , e N° ; <JnN0

A,(*o) = Pr1(x0IS0)P0 + pri{XolSl)Pl.

înlocuind expresiile densităţilor de probabilitate, relaţia (1) devine:

2*o(Sii—SQI)+SQ1 — Sil-, _ 1

P ( 5 j / r 1 = « a ) =

= r si(')[si(*) - s « > ( W

Rezultă:

1 fr

soi = -7==\ s0(i;)[s1(i;) — so(0]d^. •jEa Jo

S n ~~ SQI = yEs;

s î i — s 0 l = Ei — E0 ;

[2^V£8 + E 0 - £ , _ - ,

l + | ° e

(2)

Calculul numeric. Datele numerice ale problemei (v. şi figura 4.4,«) sînt:

_A A'o 5 1 E^P0E0 + P1El = l— ; £ i = - £ 0 ; P o = P i = - -

Rezultă:

£ 0 = 2iV0 ; £ < ~ - g ° = 3 ; iVo

P(5'1/r1 = 0) = î — s 4,8 • IO"2. 1 + e3

4.6. Fie sursa de informaţie, canalul de transmisiune şi receptorul considerate în problema 4.4.

a) Să se determine probabilitatea erorii de decizie condiţionată de transmi­tere a semnalului s0(t); idem, pentru s^t).

142

b) Să se evalueze probabilitatea erorii receptorului (pe ansambhd condiţiilcr de transmisiune) considerînd că semnalele s0(t) şi s1(t) au energia medie sta-

"vr

tistică, E, în intervalul de timp [O, T] astfel încît E = 7— , unde:

dt. E^P0[T sţ(t) dt + Pt [ sl(t) Jo Jo

Soluţie

a) Fie P(DJSj) — probabilitatea erorii de decizie condiţionată de trans­mitere a semnalului s}(t); i # j .

Receptorul considerat ia decizii conform relaţiei (4.6), unde K = 0. Deci:

rx % -\= (E1 - E0) = K,,

unde:

H* Et=\ s\{t)dt ; » = 0,1;

E,=\ s%t)dt ; s(t) = Sl(t) - s0(t).

Putem scrie:

Dar:

Rezultă:

J—oo

P (DJS0) = T firi(xfS0)dx.

1 _fl pr^xlS,) = pni(x - sa); />„,(*) = — = e »•

V7TiVo

s a = - - i = r s , ( ^ ) d ^ * = 0,1; V-Es Jo

1 f«i _ — P ( D 0 / 5 1 ) = - 7 = \ e 2 d*;

V27îJ_co

P(Z)1/So)=-s=V e 2 d * ; - Ja2

1 V2TC .

ttl = V 2 . (K, - 5U); a2 = V_L (Kx - s01). iV0

L43

Ţinînd seama de notaţiile făcute, rezultă:

K, sn = • ; Kx — sox = V-E,

Deci:

« i a 2 = • JES

Nn 2 '• Y <JES N0' Parametrul y este cunoscut sub numele de raport semnal/zgomot.

Se observă că probabilităţile erorii condiţionate scad cu creşterea lui y. b) Probabilitatea erorii receptorului este.

P(e) = PoP(Di/S0) + PXP (Do/5a).

Pentru datele problemei (P0 = Px) rezultă:

P(e) = P (Di /5 0 ) = P (D 0 / 5 i ) V27TJ

e 2d^.

Calculul numeric. Datele problemei sînt:

E± P0E0 + P1E1 = 7 Ş ; ^ = | £ 0 ;

P 0 = A2T ; P 0 = P i =

(1)

Rezultă:

unde:

y =11/4^1/^=3.72; 2 2 (/ 2 iV0

P(D 0 / 5 i ) = P(Di /5 0 ) = 1 - F ^ | V2 ).

1 fz

P(2") = - = V e 2 d#. A/ZTT In V2/t Jo

Funcţia P(^) este tabelată [1].

F\- V 2 | s P ( 2 , 1 2 ) ^0 ,48300.

P(e) = P (D 0 / 5 i ) = P(Di/5"o) s 1,7 • 10"

Deci:

4.7. Considerăm sistemul de transmisiune din problema 4.6, cu următoarea deosebire: modificăm forma de undă a semnalului s^t). Ce formă de undă ar trebui să aibe Si(t), astfel încît energia acestuia să fie egală numeric cu cea con­siderată în problema 4.6, iar probabilitatea erorii receptorului să fie minimă ?

144

Să se evalueze probabilitatea erorii receptorului corespunzătoare lui Sj(t) optim determinat.

Soluţie

Expresia (1) (problema 4.6) a probabilităţii erorii receptorului a fost dedusă independent de forma de undă sx{t). Probabilitatea erorii P(s) depinde exclusiv de parametrul y, şi anume P(e) scade cînd y creşte:

Deci, echivalent, P(e) scade cînd Es creşte, unde Es este energia semnalului diferenţă s(t) = sx{t) — s0(t).

Problema de optimizare pe care trebuie să o rezolvăm este deci urmă­toarea: să se determine un semnal s^t), de energie finită în [0,T], astfel încît

£ i = ( T sl(t)ăi = -A2T 'n L

Şi

Putem scrie:

Es = \ [s\(t) — s0(t)]2dt = maxim.

Es = E1 + E0-l[ Sl(t)s0(t) dt; In

r .10

Ex + E0 = C,

unde C este un număr pozitiv fixat prin problemă. Rezultă că Es este

maxim pentru V Si(t)s0(t) dt minim posibil. Jo

Considerînd inegalitatea lui Schwarz-Buniakovski, [2]:

|C s1(/)s0(/) dt < \jEx\IEo,

unde egalitatea are loc pentru sx(t) = Xs0(Q, X — număr real oarecare. Deci

valoarea V Sx(t)sQ(t) dt este minimă pentru sx(t) = Xs0(if) unde X < 0. Jo

Parametrul X trebuie să satisfacă:

\2E0 = -A2T. 2

Rezultă:

X2 = | ; Sl(t) = -)f^s0(t);

145

Es = 1 + hUl E0; *S,(t)

(l+fl)M 2 -iţA

T t

Forma de undă a semnalului Sl(t) optim ob- F i g 4_7> S e m n a l u l % w o p t i m ţ inut este dată în figura 4.7. obţinut.

Calculul numeric, Pentru valorile numerice considerate în problema (4.6) rezultă:

E0 = A2T = 2N0;

T 1 +

Din tabele, [1], apreciem:

5_.

X2

e 2 d#.

F[ţ\ s F(2,58) ^0,49506.

Deci (v. rel. (1) — problema 4.6):

1 P ( 6 ) = 2 - f ( l ) S 5 • 10"

4.8. -Ffe sistemul de transmisiune cu decizii considerat în problema 4.4 înlocuim formele de undă s0(t) şi s1(t) ^>n'# semnalele z0(t) şi z1(t) respectiv, astfel:

z0(t) = s„(2) — a(2); *i(*) = •s1(f) — «(2); 2 e [0, Ţ ] ,

unde a(t) es2e un semnal de energie finită în [0,TJ. Să se determine a(t) astfel încît energia medie statistică a semnalelor purtă­

toare de informaţie să fie • minimă, pentru o probabilitate a erorii de detecţie egală cu cea evaluată în problema 4.6:

EA 4 P 0 r zi{t) ât+pf z\{t) ăt. Jo Jo

Soluţie Pentru sistemul de transmisiune cu decizii din problema 4.6 a rezultat

că probabilitatea erorii totale şi probabilităţile erorii condiţionate satisfac relaţia:

P(e) = P(D1lS0) = P(D0ISJ: V2TO

e 2 ăx,

146

unde:

T JE~][4- ; Es = tT s2(*) d^; s(*) = S l $ - s0(*). r Vo Jo

Din datele problemei se observă că: s(t) = 5l(*) - s0(*) = â-i(0 - *<>(*),

ceea ce face ca probabilităţile erorii condiţionate, şi implicit ale erorii totale a receptorului, să fie aceleaşi indiferent dacă semnalele purtătoare de infor­maţie sînt Si(t) şi s0(t) sau zi{t) şi zQ(t).

Rezultă că problema de optimizare cere determinarea semnalului a(ţ), de energie finită în [0,T], astfel încît valoarea energiei medii statistice Ez

T EZ = P0[T 4(t)dt + pĂ z\{t)dt

Jo Jo să fie minimă.

Ţinînd seama de expresiile semnalelor z0(t) şi Z\{t), rezultă:

EZ = E — { a.{t)a{t)dt, (1) Jo

unde:

E = P0(T sl(t) dt + PĂT sl(t) dt; Jo Jo

t = 0

Din relaţia (1) rezultă că trebuie determinat a(t) astfel încît valoarea

V a(t)a(t)dt să fie maximă. Jo

Se rezolvă folosind inegalitatea lui Schwarz-Buniakovski [2]

^ a(t)a(t)dt | < 1/ ^ a.2(t) dt 1/ T a2(t) dt. (2)

Egalitatea în expresia (2) are loc dacă:

a.(t) = Xa(t).

Pentru problema de optimizare considerată se impune X > 0;

Rezultă:

8 W = 7 T T E P A W ;

1 + Xi=u

1=0 ; = 0 Jo

4X

;iT^)2

147

, aopt (t)

 T

7 t A Z

3^ - - - i A

z0d

•?

; •

/ 0 T

z T

-3-Z--Fig. 4.8. Formele de undă optime pentru a{t), z0(t) şi z^t).

nZ,&)

T 7 T t

0 A z

Se observă că Ez este minim pentru X = 1. __ Rezultă valorile optime aopt(t) şi Eopt(t) pentru a(t) şi Ez, respectiv:

*oJt)=J2P^:

E0Pt = E T a2(t) d = PoPi [T s2(t) dt, '" JO „'0

(3)

unde s(t) = s^t) — s0(t). Formele de undă aept(t) şi semnalele z0(t) şi z^ft) corespunzătoare (optime)

sînt date în figura 4.8 (v. rel. (3) şi figura 4A,a).

înlocuind în relaţia (3) P 0 Pi = — > rezultă: 2

K — — F ^Opt A S

0,115.

4.9. Canalul de transmisiune este cu zgomot aditiv, alb, gaussian, de valoare No medie statistică nulă şi densitate spectrală de putere — (W/Hz) . La recepţie se

fac observaţii continue în intervalul [0, T] şi se iau decizii conform criteriului Bayes.

Să se determine formele de undă s0(t) şi s^t) optime în sensul următor: pentru o probabilitate dată a erorii totale a receptorului, aceste semnale s0(t) şi Si(t) să fie de energie medie statistică E minimă:

E = PA* sl(t) dt + PX sl(t) dt. Jo Jo

Soluţie Fie s0(t) şi sx(£) semnalele purtătoare de informaţie (alese la întîmplare,

nu neapărat perechea optimă). Receptorul de tip Bayes ia decizii conform relaţiei (4.6).

Fie P(Di/Sj) — probabilitatea erorii de decizie, condiţionată de transmi­siunea semnalului s}(t); j ^ i.

Ţinînd seama de expresiile densităţilor de probabilitate asociate variabi­lelor aleatoare r± şi % (v. rel. (4.8) şi (4.9)) rezultă (v. şi problema 4.6):

P W ^ H - L T e 2 dx; P(D1ISo)=-^={C°e 2 dx, (1) 41T aa

148

mde:

a j

« 2

K =

[N0

1 2 1

CioPi

1

l n X —

— • - = l n i £ +

' 2_

ÎVo

N0

V£s

Qi-Pi

(2)

Probabilitatea erorii totale a receptorului este:

P(e) = P1P{D0/S1) + P0P(D1IS0).

Din relaţiile (1) şi (2) rezultă că probabilitatea erorii receptorului considerat lepinde de alegerea semnalelor purtătoare de informaţie numai prin inter­mediul energiei Es a semnalului diferenţă:

s2(t) dt; s{t) = sx(t) - s0(t).

Deci problema cere să se determine perechea optimă {s0(t), Si(t)} care satisface condiţiile:

f Es = constant (fixat prin problemă, întrucît P(e) este dat) ; I 1 = P0EQ -f Pi i?! = minim.

Fie o pereche s0(tf) şi sx(£) pentru care:

r [Sl{t) -^ So(t)fdt=£..

Extragem din semnalele s0(^) şi s^t) un semnal «(£) de energie finită în

[0, T], deciv a2(t) dt < oo, astfel încît să generăm o nouă pereche de sem-

nale purtătoare de informaţie, z0(t) şi zx{t):

Zo(t) = so{t) — a{t) zx(t) = Sl(t) - a(t)

Determinăm valoarea optimă a lui a(t), pentru care semnalele z0(t) şi zx(t) sînt de energie medie statistică minim posibilă. Procedeul este acelaşi din problema 4.8.

Deci căutăm a(t) pentru care: rT rT

P 0 \ zl{t) dt + Px\ z\(t) dt = minim,

date fiind semnalele sQ(t) şi s ^ ) (deci dată fiind energia Es). Rezultă următoarea expresie pentru a(t) optim:

a0Pt{t) = P0s0{t) + PlSl(t).

Evident, noile semnale z0(t) şi zx(t) specificate de aopt(t) sînt optime numai în raport cu modalitatea de generare exprimată de relaţiile (3) (adică extră-

(3)

gînd un semnal a(t) dintr-o pereche s0(t) şi sx(t) dată) ; deci ele nu formează perechea optimă la modul absolut, căutată prin problemă.

149

Presupunem acum că am găsit perechea {s0(t), sx(t)} optimă căutată. In acest caz, rezultă că nu se poate obţine din aceasta o altă pereche de energie medie mai mică, prin extragerea unui semnal a(t). Deci:

««*(*) = 0 = PoSoV) + PMt)-Deci perechea optimă de semnale trebuie să satisfacă următoarea condiţie:

Po Sl(t)

Pi s0(t).

Prin datele problemei, P(e) este fix; deci Es este dat.

s(t) = Sl(t) - So(t) = - ~ s0(t).

Perechea optimă este prin urmare, de forma:

s0(t) = - PlS(t)

Sl(t) = P0s(t) unde s(t) este o formă de undă oarecare, dar care satisface condiţia

s2(t) dt.

(4)

Există deci o infinitate de perechi optime, specificate de alegerea lui s(t). Oricare dintre aceste perechi (deci cele care satisfac relaţiile (4)) are aceeaşi probabilitate P(e), specificată d e ^ , şi aceeaşi energie medie statistică Eovt> specificată tot de Es:

Eovt = P0E0 + PjJEi,

1

a

\ s,(t) 1

a i

2 T i

a

i s0(t) s0(t)

T 2 t

-a -a

i

\ T ' V T * 0 v_ J

i Mi}

r V t 0

^ k b c

Fig. 4.9. Exemple de perechi optime de semnale, s0(t) şi s^t), cînd P 0 = Px.

150

unde E0 şi E1 sînt energiile semnalelor optime s0(t) şi s^t), exprimate de relaţia (4). Deci:

Eopt = PQPIES.

Se observă că dacă P0 = Px, perechea optimă este de tipul următor:

s0(t) = — si(f),

forma de undă Sj_(t) fiind arbitrar aleasă. Cîteva exemple de perechi optime pentru cazul P0 = P i sînt date în

figurile 4.9, a, 4.9, b, 4.9, c.

4.10. Fie <§ familia funcţiilor cost §.(&), e = 0 — 6 simetrice în raport cu s = 0 şi convexe:

C(e) = C( —e); C[as1+(1—a)e2]<«C(s1) + (l—«)C(e2) V 0 < « < 1 . (1)

Să se arate că dacă densitatea aposteriori p9r(0/r) es/e simetrică în raport cu 0P, atunci estimatul hayesian pe baza erorii medii patratice minime este optim pentru orice funcţie din <§ („invarianta estimatului bayesian").

Soluţie Estimatul 6 este valoarea care minimizează riscul condiţionat

£{C(0 — 8)/r} = r C ( 0 - 6 ) ^ e , r 0/r) d0. Dacă în loc de 0 folosim variabila J —CO

zv = 0 — Qp* aceasta se rescrie, folosind şi proprietatea (1):

E{ C(e, + 0 2 - 0 ) / r } = ( " C (e, + 6, - S ) ^ ( e / r ) des = «J — CC

f10 ^ * f00 r 1

J-oo " P J-

£(y/f)de,>

> \ C(s)A /(yrfdj? = E{C(e3,)/r} J-CO

şi se vede că luînd 0 = 0 ^ riscul condiţionat îşi atinge marginea inferioară (relaţia devine egalitate).

4.11. Se cere estimarea parametrului 8, vector M —dimensional cu repar­tiţie normală (ma, V8), dacă vectorul observat este

r = H0 + n, (1)

J — ce 2c(.„ +

+ ~ C ( S ~- 9»

* Şi dacă sînt asigurate condiţiile de convergenţă pentru riscul condiţionat, ceea ce implică de ex. lim C(9 — 8) £(8/r) = 0.

151

unde n este zgomot normal (O, V„), N —dimensional (N > M), independent de 0 (modelul liniar cu „matricea de modulaţie" H de dimensiuni N X M ; V3 şi VK sînt matricile de covariaţie).

Soluţie ,

Calculăm densitatea aposteriori ^>9,r(6/r) şi cu ajutorul ei găsim atît Qp

cît şi (L„m. Avem -'mav

tm=inm (2) Pi*)

şi toate densităţile care intervin în partea dreaptă a egalităţii (2) sînt normale. Avem din ipoteze şi din (1):

£(r/0) = H8; V(r/8) = Vn;

£ ( 8 ) = m e ; V ( 8 ) = V 6 ;

E(T) = Hm, ; V(r) = V(H8 + n) = V(H8) + V(n) =

*= £{H(0 - m e ) • (H(6 - m e ) ) T } + Vn = H£{(G - m e ) ( G - m 9 ) r } H r +

+ Vn = HVeHr + Vn.

Exprimînd densităţile normale din dreapta egalităţii (2) cu valorile găsite, obţinem la exponent expresia

- — (r - H 0 ) ^ V - n ( r - H 8 ) - i - (9 - m 6 ) r V ^ ( 6 - m 9 ) +

+ — (r - H m / • (HV8Hr + Vn)"1. (r - Hm,),

care se poate aranja în forma 1 / -\T

[e - e] s - ^ e - 8),

unde

S-i = V? , + H r V ^ H ,

iar

e = S (H T V^r+V-e 1 m e ) . Rezultă că per(8/r) este tot repartiţie normală şi deci

6, = E(6/r) = 8

De asemenea, p9r(8/r) este maxim pentru 0 = 0 şi deci

4.12. Eşantioanele semnalului recepţionat sînt r4 = s(8) + m i = 1, 2, .... N unde n{ sînt scalari, au repartiţie normală N(0, al) şi sînt variabile aleatoare independente între ele şi independente de 8 care are repartiţie normală N(0, al). Să se găsească ecuaţia pentru dmap. Caz particular: s(6) = 03.

152

Soluţie Avem

p(Qjr (2n)>

1 • 7 ^ exp

(v. rel. (4.15))

2o8 P(r)

exp

= k(r) exp \ - -

an »=i r E ( ^ - ^ ( e ) ) 2 ' 02

1 <7e

» = 1

Maximul se găseşte minimizînd exponentul. Prin derivare obţinem

- 2 N - ds -s(0 de (i)

Pentru s(0) = 83, (1) este o ecuaţie algebrică de gradul 5:

92 2 > -Se vede că, în general, nu putem avea o expresie analitică pentru soluţia ui (1). Dacă(2) are o singură soluţie reală, ea este Qmav= 0 (independentă ie r{). Această situaţie are loc dacă an este suficient de mare şi semnifică faptul că informaţia apriori asupra lui ft este mai consistentă decît cea obţi­nută din măsurări (a9 < <jn). Dacă (2) are trei soluţii reale, trebuie deter­minată cea care dă cea mai mică valoare exponentului.

Mai observăm, de asemenea, că dp este mult mai dificil de găsit deoarece repartiţia aposteriori a lui 0 nu este normală.

4.13. Semnalul recepţionat, r este o variabilă aleatoare cu repartiţie Poisson (un număr de impulsuri) de medie 0, 0 fiind la rîndul său variabilă aleatoare zu repartiţie exponenţială:

Ptr = &/8=«) = — e" kl

= 0.1.

P(Q) Xe M 0 > 0, cu X cunoscut 0 în rest

Să se calculeze Qmap şi Qp.

Soluţi e

Avem pentru densitatea aposteriori a lui 0:

P(r) r\ P{r) P{r)r! Qr e_ (JH-ije,

f*O0

Din condiţia de normare \ p(Qjr)â.Q = 1 găsim coeficientul

x _ (x + iy+i r \P(r) r !

153

deci

P(Qjr) f (X + l ) r + 1

rl O

r. e x p [ - ( X + 1)6] 6 > 0

în rest.

®mav s e găseşte anulînd derivata lui p(Qjr) (şi verificînd că este vorba de ma­xim); derivăm logaritmul

In p{Qjr) = ln(X + l) r + 1 — ln(r !) + rln8 - (X + 1)0;

— ln£(0/r) = — 30 0

(X + 1) = 0 X+l

6j, se găseşte .calculînd media condiţionată:

8 = C" 0.^(0/r)d0 = (X + 1 ) r + P 0r+1 e x p [ - (X + 1)0] d0 Jo r ! Jo

(X + l) r + 1 (r + 1) ! _ r + 1 ( X + 1) r+2 X + 1

Se remarcă faptul că 0„

PROBLEME PROPUSE

4.14. Semnalele s0(t) şi Si(t) s W ie energie finită în [0,T]. Receptorul face o integrare a semnalului primit în intervalul [t±, tx + At] şi pe baza acestei măsurări ia decizia (fig. 4.14). Zgomotul este aditiv, gaussian, staţionar, de valoare medie nulă şi densitate spectrală de putere q(f) (fig. 4.14).

Să se exprime relaţia de decizie care conduce la un cost mediu minim.

Si(t r(t)=Si(t)+n(t) ^ l ©— *- Integrator \JL J

Receptor decizie

n(t) -*—O t/f

I: inch/'s în[t,, t/ +At] Deschis in rest

No | q_m

• tf+At •rr/r(t)dt

-f Fig. 4.14. Sistemul de transmisiune cu decizii presupus: q( f )

de putere â zgomotului. densitatea spectrală

Indicaţie. Variabila aleatoare r1 satisface:

PrA*ISt) = 2a?

•\/2TOJI

(1)

154

*

fti + Ai Ch+M unde of este dispersia variabilei aleatoare % = \ n(t)dt şi sn = V s}(t)dt

(v.şiproblema4.1). Singura deosebire faţă de problema4.1 apare în exprimarea dispersiei of. Deci relaţia de decizie optimă pe care o căutăm are aceeaşi expresie (2), din problema 4.1, în care vom ţine însă cont că densităţile de probabilitate prXxISo) Şi Pnix/Si) sînt cele din relaţia (1) de mai sus.

Relaţia concretă de lucru a receptorului optim căutat este:

unde:

ri(sn - Soi) £ c r f l n ^ + - ( & - &), Hi L-01-t 1 ^

Sil = V Si(t)dt; a\ = ^ b ; b = \ \U(f)\2âf;

U(f) = ( " w(i!)e-J2"/(d;; u{t) J—co

1, pentru 2 e [tlt tx + A*];

0, în rest

4.15. Considerăm sistemul de transmisiune binară cu decizii din problema 4.14, cu receptorul optim (care conduce la cost mediu minim). Presupunem:

P0 = P i ; Coi = wo-

Să se determine probabilitatea erorii totale a receptorului. Să se compare rezultatul cu cel obţinut în problema 4.3. Pentru comparaţie se va considera că, în ambele cazuri, zgomotul este cel descris în figura 4.14, iar semnalele s0(t) şi sx(t) sînt cele din figura 4.2.

Indicaţie Probabilitatea erorii totale P(s) are aceeaşi expresie ca şi în problema 4.3:

1 f00 -— P(e) = - = \ ^ e 2 dx, V27T J 2

unde:

d J y = — ; d = sn — SQI, oi

Sn', i = 0,1 şi ai sînt notaţiile din problema 4.14 (v. indicaţia pentru pro­blema 4.14). Compararea probabilităţilor P(e) din problemele 4.3 şi 4.15- se reduce deci la compararea parametrilor y corespunzători.

4.16. O sursă generează semnalele s0(t) şi sx(t), de probabilităţi egale, la intrarea unui canal de transmisiune cu zgomot aditiv, alb, gaussian, de valoare medie nulă. Observatorul înregistrează în două măsurări semnalele r0(t) şi r ^ t ) . Observatorul trebuie să decidă în cele două cazuri, care este semnatul transmis. Deciziile se iau conform criteriului Bayes (relaţia 4.6).

Costurile pentru cele două tipuri de erori posibile la recepţie sînt egale (Coi = N0 = C10). Densitatea spectrală de putere a zgomotului alb este (W/Hz).

Semnalele sînt date în figura 4.16.

155

-s„(t)

A s,(t)

j T

T A

T

T

T

-A

A T

-A

A r0d)

T Z T

-A

A T Z T

-Â - 1 -Â 1

A fi(t) T A

4

-A Z 1 Z

r

-A Z 1 Z

r

Fig. 4.16. Semnalele st(t); i = 0,1 şi două realizări particulare ale semnalului r(t) (res­

pectiv r0(t) şi r-fff)).

a) Ce decizii ia observatorul în cele două cazuri de recepţionare, adică pentru r0(t) şi iiif), respectiv}

b) Să se implementeze receptorul. c) Să se determine probabilităţile celor

două tipuri de erori posibile, ^(DQ/SX) şi P(D1/S0) şi să se scrie relaţia din­tre A, T, N0 pentru probabilităţi date (constante) ale erorilor P^Do/SJ si P(Do/So).

d) Ce formă de undă ar trebui să aibă s1(t), menţinînd însă energia sa cons­tantă, astfel încît probabilitatea erorii medii de detecţie, P(s), să fie minimal

e) Care sînt probabilităţile ca deci­ziile luate la „a" să fie greşitei

f) Extragem din s0(t) şi s1(t) un semnal a(t) de energie finită în inter­valul [0,T]. Să se determine a(t) optim astfel încît noile semnale purtătoare de informaţie, z0(t) şi zx(t),

*o(t) = s0(t) — a(t); z±(t) = sx(t) — «(*)

să fie de energie medie statistică minimă, Ez, menţinînd constantă probabili­tatea P(s) a receptorului Bayes considerat.

Energia medie: a semnalelor z0(t) şi Zj(t), 2JZ, este:

E, PA 4(t) dt + Pt *\ 4 Jo

(t) dt,

unde Pt este probabilitatea de generare a semnalului zf(t); i = 0,1.

Indicaţie Se procedează la fel ca în problemele 4.4—4.8.

4.17. Sursa emite semnalele s0(t) şi s1(t) din figura 4.17. Observatorul înre­gistrează în intervalul [0, T] semnalul transmis înecat în zgomot şi ia decizii conform relaţiei (4.6J, deci conform criteriului Bayes în ipoteza zgomot alb. Se presupune P0 = Pi şi C10 = C0i.

Să se determine probabilitatea P(s) a erorii de decizie totale, cînd zgomotul este aditiv, gaussian, staţionar, de valoare medie nulă şi cu densitatea spectrală de putere q(f) din figura 4.14, în ipotezele:

a) W = — • 3 T

b) W = 10.

Să se compare rezultatul cu P(s) obţinut în ipoteza că zgomotul este alb (W -> oo).

156

d z

5g(t)

O '2

T -t

t :sfCi)

r 2 T

1Â J 2

Fig. 4.17. Semnalele si[t); i = 0,1.

Calculul numeric se va efectua pentru valorile:

_ ° = 0,05 W/Hz; Es = 0,9 Ws;

E.= Jo

- s0(*)]2 d*.

Indicaţie

P(e) = P(Z?x | S0) = P(A> I SJ V2TT J

e d#,

unde:

a2 este dispersia variabilei aleatoare % definite astfel:

nx = - L C »(*)s(*) d ; s(f) = s^) - s0(*);

*»(i) — zgomotul canalului cu q(f) din figura 4.14. Rezultă:

- Ş - C \U(f)\2df; U(f) = [X « W r W d / ; 2 J_W . J-oo

» < " = ! •

Calculul numeric

a)W = -^--2> ->P(e) S 1,539 • IO""2;

5)FF= —-lO-^P(e ) S 1,61 • IO-2;

c) W = -> oo -» P(e) S 1,7 • IO"2.

V

157

4.18. Sursa generează semnalele s0(t) = O şi s1(t), în intervalul [O, T] pe un canal cu zgomot aditiv, alb, gaussian de valoare medie nulă si densitate

N0 spectrală de putere •— (WjHz). Se presupune că observatorul ia decizii con­form criteriului Neyman-Pearson, pe baza semnalului recepţionat în [O, T]. Probabilitatea erorii de decizie de tip alarmă falsă este P f = P (Dx/So) = = 5.10-3.

Să se determine relaţia de decizie Neyman-Pearson şi să se evalueze proba­bilitatea unei pierderi, P m = P(D0/S1).

Calculul numeric se va efectua pentru y2 = 16, unde:

Ei=f m &• Jo

Se presupun costurile: C0o = C n = O; C0i = C10.

Indicaţie (v. [2], §7.2.1.7) Relaţia de decizie Neyman-Pearson nu depinde de valoarea probabili­

tăţii P1 a semnalului s^t). Relaţia Neyman-Pearson coincide cu relaţia Bayes pentru acea valoare P i = a care satisface condiţia:

PB(D1\S0)^5-10-3,

unde PB{D1 \ S0) este probabilitatea erorii receptorului Bayes cînd s-a trans­mis s0(t).

Deci:

PB(Di | So) = —= \ e 2 dx = 5 • IO"3;

a = — In \- — • T Pi 2

Din relaţia de mai sus rezultă valoarea lui a. Deci relaţia de decizie Neyman-Pearson este:

(\(;)slWd4°^lni^+±£i. Jo HX 2 a 2

Probabilitatea unei pierderi este:

Pm=-£=-\ e 2dx,

unde:

P=J_lni^-X y a 2

158

Rezultă 7,78 • IO-2

4.19. Eşantioanele semnalului recepţionat sînt ri = 0 + n i ( i = 1, ..., N unde 0, ii;, ri sînt scalari, 0 fiind presupus cu repartiţie normală N(m6, a2), iar rij — zgomote, independente între ele şi faţă de 0, cu repartiţie N(0, o-2,). Să se

găsească 0p şi dispersia erorii 0 — 0p, particularizînd modelul problemei 4-11.

Indicaţie

Se pune

R.

>r ; H = "1"

," n = "%"

/* . LiJ nN.

« , + 3 E <?». i

1 + ^-N oi

h+^-N 4.20. 0 variabilă aleatoare pozitivă \ se zice cu repartiţie log-normală daca

7) = ln£ are repartiţie normală. Presupunînd că eşantioanele semnalului recep­ţionat Ti, ..., Tn sînt independente şi au repartiţie log-normală să se determine estimatul de maximă plauzibilitate al mediei lui r.

R. Dacă notăm cu mmv estimatul de maximă plauzibilitate cerut, se obţine

unde

m„ (Â^H^S'1"'^1"'1}' In r

\ n

-•£ ln>v

BIBLIOGRAFIE

1. S p ă t a r i i , A l . Teoria transmisiunii informaţiei — voi. I. Semnale şi perturbaţii . Ed . Tehnică, Bucureşti, 1966.

2. S p ă t a r u, A l . Teoria transmisiunii informaţiei — voi. I I — Coduri şi decizii. Ed. Tehnică, Bucureşti, 1971.

3. L a t h i, B. P. Random Signals and Communication Theory. International Texbook Company, 1968.

4. F r a n k s, L. E. Signal theory. Prentice Hali, 1969. 5. S a g e, A. P. , M e l s a J. L. — Estimation Theory with applications to communication

and control. Mc Grow-Hill, Book Co, New York, 1972.

159

CAPITOLUL 5

ESTIMAREA FORMEI SEMNALULUI

INTRODUCERE TEORETICĂ

Estimarea formei semnalului este o operaţie de filtrare (extragere) a sem­nalului util din semnalul recepţionat r(t) pentru a obţine un semnal dorit d(t). Semnalul dorit d(t) este legat de semnalul util (mesajul) m(t) printr-o trans­formare cunoscută apriori

d(t) =®[m(t)].; (5.1)

Vom nota prin: m(t) — mesajul debitat de sursă; s[t;m(t)] — semnalul debitat de emiţător (modulator) în canal; n(t) — zgomotul aditiv care afectează canalul; r(t) — semnalul recepţionat (observat) ; d(t) — semnalul dorit la destinatar (ieşirea receptorului).

Vom presupune că semnalul recepţionat este de forma r(t) = s[t; m(t)] + n(t). (5.2)

în practică, de deosebită importanţă este cazul cînd transformarea © din relaţia (5.1) este liniară. Principalele situaţii sînt:

• d(t) = m(t); r(i) = m(t) + n(t); este cazul filtrării mesajului din zgo • moţul canalului; se realizează o estimare a semnalului util în fiecare moment de observaţie;

• d(t) = m(t — a) ; a > 0; r(t) —- m(t) + n(t); este cazul filtrării cu întîrziere sau interpolării sau, încă, al netezirii;

• d(t) = m(t + a); a > 0; r{t) = m(t) + n(t); este cazul filtrării cu anticipare sau extrapolării sau, încă, al predicţiei mesajului;

• d{t) = m(t + a ) ; a > 0; r{t) = m(t); este cazul predicţiei pure (canal fără zgomot).

în realitate, semnalul dorit d(t) nu poate fi obţinut cu exactitate ci se A

obţine o estimare d(t) a lui d(t). Estimarea se bazează pe observarea valorilor r(t{), numite date, ale semnalului recepţionat r(t) în anumite momente t = tf.

Un receptor-estimator optimal (numit şi filtru optimal) trebuie să realizeze fizic o transformare convenabilă a datelor

d(t) = ST[r{t)], Vtel, (5.3)

(unde I este un interval de t imp sau întreaga axă a timpului), care să repre­zinte „cea mai bună estimare" a lui d(t).

Pentru a preciza noţiunea de „cea mai bună estimare" se ia în consideraţie faptul că în A

utilizarea cantităţii d(t) ca estimator al lui d[t) comitem o eroare

s{t) = dt) - d(t), (5.4)

160

are trebuie să fie minimă. Deoarece e este în cazul cel mai general o funcţie aleatoare, apre-ierea estimării ca optimală se face în raport cu un criteriu de optim convenabil. Un criteriu le optim convenabil poate consta, de exemplu, în minimizarea unei funcţii de e.

Unul dintre cele mai utilizate criterii de optim este criteriul erorii pătra-ice medii minime. Estimatoarele optimale care lucrează în raport cu acest xiteriu minimizează eroarea pătratică medie definită prin:

e = [d(t) — d{t)f. (5.5)

în cele ce urmează ne vom ocupa de filtrele optimale în raport cu criteriul irorii pătratice medii minime (EPMM).

• în cazul cînd operatorul ST din relaţia (5.3) este liniar, se enunţă nincipiul ortogonalităţii, conform căruia funcţia de covariaţie KEar(t) dintre

A

iroarea s0 în cazul estimatului optimal d0(t), A

s0 = d(t) — d0(t),

;i semnalul recepţionat r(t) este nulă: 2C,(*) = 0, Vtel. (5.6)

• Ca o consecinţă a principiului ortogonalităţii, eroarea pătratică medie (evident, minimă) a filtrelor optimale în raport cu EPMM este

e0 = [d{t) - d0(t)]d{t). (5.7)

A. Filtre optimale Wiener Filtrele optimale Wiener, a căror teorie a fost fundamentată de Wiener

;i Kolmogorov, sînt liniare, invariante în timp, estimează în sensul EPMM ;i se referă la procese aleatoare staţionare.

• Funcţia pondere h0(t) a unui filtru Wiener satisface ecuaţia Wiener-Hopf

[ah0(t)Krr(^-t)dt = Kar(T), (5.8)

înde Krr reprezintă funcţia de autocovariaţie a semnalului recepţionat ar Kdr — funcţia .de covariaţie mutuală dintre semnalul dorit şi semnalul •ecepţionat.

a. Filtre optimale Wiener realizabile

• Deoarece funcţia pondere h^t), respectiv funcţia de transfer fî^jco), corespunzătoare unui filtru Wiener care recepţionează zgomot alb se deduc nai uşor, sinteza unui filtru optimal Wiener realizabil care recepţionează in semnal staţionar oarecare, r(t), se face în conformitate cu modelul din figura 1.

Filtrul de albire FA se caracterizează prin funcţia pondere w{t) şi funcţia le transfer W(p), filtrul invers de albire, FIA —prin w1^), respectiv, W~x{p), .ar filtrul optimal, FO, ~ prin h0{t) şi H0(p). Blocul constituit din FIA şi FO "eprezintă filtrul Wiener pentru semnalul recepţionat albit, z{t), şi se carac­terizează prin funcţia de pondere how(t) şi funcţia de transfer How(p).

161

how (t)

w(t) r i i

Z(t) I 1 ~n_

w~'(t) p(t)

h0(t) |

rCt) FA

r i i

Z(t) I 1 ~n_ FIA

p(t) FD ! rfffl FA 1 -0-

1 1 1 1

FIA FD

W(p) 1 -0-1 1 1 1

W~(h H0(p) *j I _ _ • I

How(p) Fig. 1. Filtrul optimal Wiener cu filtru de albire.

• Funcţia de transfer a filtrului optimal Wiener realizabil, H0(p). Dacă se consideră că zgomotul alb z(t) are densitatea spectrală de putere Szz uni­tară*, se obţin relaţiile:

1 W(p) =

SMP) W~\p)=SUP); H^P) = +Saz(p) ;

Srr(P)

(5.9)

(5.10)

(5.11)

(5.12)

O Atenţie la semnificaţia notaţiilor +S şi S+ , respectiv S ş i S , lămurite de relaţiile (5.16) şi (5.17)1

Deoarece

sM relaţiile (5.11) şi (5.12) se mai scriu

HUP)

fl-w=«Wl

Srr(P)

[srr(P)V

S7AP) unde s-a notat

Kaz(T)=+Kdz(z) + -Kăz(T);

\Kaz(x) x > 0 ;

(5.13)

(5.14)

(5.15)

(5.16)

>Kdz(r) 0 T < 0 ;

* în teoria estimării este mai uzuală notaţia S pentru densitatea spectrală de putere, întîlnitâ în capitolul 3 sub f6rma „q".

162

\ ^ ( T ) T < 0 ;

+Săz(p) = £{+Kaz(t)} > Săl[p) = &{~Kdz{t)}.

De asemenea,

S„(p) = SUP).S7r{p) (5.17)

unde S?r{p) reprezintă factorul care conţine doar zerouri şi poli în semiplanul stîng, iar S~(p) — factorul care conţine zerourile şi polii din semiplanul drept.

• Pentru calculul erorii filtrului optimal Wiener realizabil se utilizează expresiile

eo=K„(0) -^h0(r)Kar(r) dx (5.18)

Şl

unde

= ff„(0)-(">(«) d«, (5.19)

Kaz{t) = <$>{t + a), u = t + a.

Eroarea normată este

e»0 = _ A - = 1 - — — C" <t>2(uydu. (5.20) j<«(0) J« KM(0) K,

b. Filtre optimale Wiener nerealizabile • în cazul filtrelor optimale Wiener nerealizabile se obţine funcţia de

transfer:

Hm{P)=S-^ (5.21)

care, în cazul r(t) — m(i) + n(t), d(t) = m{t), devine

H (6)= S™m(P) f*T>\ m{P) smmip) + snn(P) <5-22>

în acelaşi caz, formula erorii (5.18) ia forma:

i r° ~ 2^"j-

dw • (5.23) • Smm((a) + Snn(<*)

B. Filtre optimale Kalman — Bucy

în cazul filtrului optimal Kalman—Bucy, criteriul de optim este tot cri­teriul EPMM, dar mesajul poate fi un proces aleator staţionar sau nestaţionar şi

163

reprezintă soluţia unui sistem dinamic generator reprezentat prin ecuaţiile de stare:

x = Fx + Gu;

y = Cx,

(5.24)

(5.25)

unde u este un proces aleator (cel mai adesea zgomot alb) care excită sistemul dinamic generator al mesajului, iar y este ieşirea aceluiaşi sistem.

Mărimile care intervin în ecuaţiile de stare (5.24) şi (5.25) reprezintă: x — vector de stare n X 1 ; F — matricea de evoluţie a sistemului dinamic generator, nX n; G — matricea constrîngerilor introduse de zgomotul de intrare asupra sis­

temului generator, « X m; u — vectorul intrărilor de excitaţie, « x l ; C — vectorul de selecţie sau de modulaţie, I X » .

• Sursa este modelată de sistemul dinamic descris de relaţiile (5.24) — (5.25) reprezentat în figura 2.

Acest sistem dinamic este utilizat în structura receptorului Kalman-Bucy.

• Dacă se notează vectorul semnal recepţionat

r{t) = y(t) + n(t),

matricea de autocovariatie a semnalului u(t)

KMU(T) = QS(r), (5.26)

matricea de autocovariatie a zgomotului de pe canal

Knn = Pâ(x) (5.27)

şi matricea de autocovariatie a erorii în cazul în care semnalul dorit â(t) — x(/)

KJt) = [l$)-%>(t)][x(t)-x$fiT. (5-28)

atunci ecuaţiile care descriu filtrul optimal Kalman-Bucy estimator al mesa­jului sînt:

k0(t) = FxoW + A(f) [r(t) - C(t)xo(t)} ; (ecuaţia procesorului)

a h^>H / X

F

(5.29)

y

Fig. 2. Modelul unui sistem dinamic generator de mesaj aleator.

164

^itz A(t) =£l J xB (t)

4i

C(i)

Fig. 3. Structura receptorului de tip filtru optimal Kalman-Bucy.

A(0 = K£S(0CTWP-1; (ecuaţia cîştigului)

d K ,

ăt FKS£ + KE EF^- K ^ P ^ C K , , + GQGT.

[ecuaţia variantei)

(5.30)

(5.31)

• Structura receptorului de tip filtru-optimal Kalmari-Bucy este prezen­tată în figura 3.

PROBLEME REZOLVATE

5.1. într-un sistem de transmisiune a informaţiei, pe canal se emite mesajul aleator m(t) cu densitatea spectrală de putere

2a SmJP>) a2 + ca2 ' > 0 .

Ştiind $ă semnalul perturbator n(t) de pe canal este zgomot alb aditiv cu densitatea spectrală de putere Snn(oL>) = N0/2, se cere:

a) să se calculeze funcţia de transfer a filtrului optimal Wiener nereali­zabil, Hm()(x>), în cazurile în care semnalul dorit d(t) este:

1. d(t) = m(t);

2. d(t) = m(t — T), T > 0;

b) să se calculeze eroarea filtrului optimal Wiener nerealizabil în cazul d(t) = m(t) ;

c) valoarea erorii dedusă la punctul anterior în cazul în care raportul semnal f zgomot definit prin

C

este 1= 1/2 (3 dB).

165

Soluţie al) Folosind relaţia (5.22) obţinem în cazul d(t) = m(t) ;

4a 1 H„(H = N0 4 a / . ¥ 0 + a2 + co2'

*-(#)=£ j N0 4a/iV0 + a 2 - ^ 2

al) î n cazul d(t)]= m(t—i), deoarece

Sdr(]<») = Snm{*>)e-i°"

rezultă

O B U ' N0 4*1 N0 + a2 + « 2

b) Eroarea filtrului optimal Wiener nerealizabil pentru d(t) = m{t) este, în conformitate cu relaţia (5.23),

lî dw

(4a/iV0 + a2) 1 + - 2 ) ( l 4a/iV0 + o?)

Pentru rezolvarea integralei, expresia erorii se poate scrie sub forma:

OC/TC fm 1 V4a/A^0 + a2 J =

l V4«/iVo + a2 J

a 1 ! u> arctg • TZ V4a/iV0 + <*2 | W - ^ o + a2

î n definitiv, se obţine eroarea [2]:

1 £/]•*?

~ Vl + 4/iVoOc

c) Deoarece

Smm(0) = 2/«,

rezultă 4

X = <xAr

0

Prin urmare, se obţine valoarea

166

5.2. Funcţia pondere a unui filtru optimal Wiener realizabil este

h0(t) = f exp (— lai), t > O, a > O \o , t <o

Ştiind că funcţia de autocovariaţie a semnalului recepţionat este

K„(x) = exp(— la [ T |),

;e cere: a) s« se deducă funcţia de covariaţie dintre semnalul recepţionat r(t) şi

semnalul dorit d( t ) ; b) să se determine funcţia de autocovariaţie în origine KM (0) a semnalului

iorit astfel încît eroarea filtrului optimal Wiener să reprezinte 50% dinKM{0).

Soluţie a) VARIANTA A Din ecuaţia Wiener-Hopf (5.8) scrisă sub forma

\ Krr(r)h(t - T ) d T = J U * ) J—co

se obţine pentru t —- T > 0, respectiv T < £:

V Krr(-c)e-^-*dT = Kar(t). J—co

Deoarece

rezultă: — pentru t ^ 0

^ /T) = ( e x P (2aT)> T < 0

\ exp (—2az), T > 0

#,«,(*) = e-*oi e2aTe4ttT d.T + f e-2^e4aT d-rl :

. _ e-2at Q-iat. Ia ia

• pentru t < 0

Kăr (t)= e - ^ T e 2 ^e 4 « ck J—00 6a

Deci:

Kir(t) =

1 2a

1 6a

3a

, t < 0

167

Funcţia de covariaţie în origine este:

Kăr(0+) = ±e-2"'-~±e~«" la oa (=o 6a

Şi

Kdr(0_) = - l e*" oa 6a

ceea ce arată continuitatea funcţiei. Momentul în care se obţine valoarea maximă a funcţiei de covariaţie se

deduce anulînd derivata:

dKdr(t) ât

= _ e-2at I _ e-4at = ()

4>0

de unde rezultă

1 i 4

t0 = In -2a 3

Graficul lui -K,gr(£) este prezentat în figura 5.2.

Fig. 5.2. Graficul funcţiei de covariaţie Kgr(t).

VARIANTA B Din ecuaţia Wiener-Hopf (5.8) se obţine pentru t > 0 :

j ^ (T) = V e-4ate-2a\r:-t\ dx . * • * \

Deoarece

rezultă : — pentru T > 0

| T - * | T—f, T > *

* — T, T < *

K, r(r) = (T e - ^ e - ^ - ' W + C 4a(g-2a;r-*)d; _|_ V g-4«<g-2a(j-T) ^ __ e"2 a T - 4 U T •

2a

168

— pentru T < O

6a Jo Deci

#*w =

f 1 1 — e_2aT — — e~4a', T ^ 0 2a Za

— e2*- , T < 0 6a

6) Eroarea filtrului optimal Wiener realizabil este dată de relaţia (5.18) Eroarea normată este (v. rel. (5.20)):

e" = KM(0)

Se deduce din relaţia (5.18)

^ ( 0 ) = - ^ r ^ ( T ) X , r ( T ) d T . 1 — e" Jo

Deoarece

1 dT = CM A0(T) ^ ( T ) dx = r e~*" f i e - 2 - - 1 e"*"}

Je Jo V2 f l ! 3a / 24a

rezultă:

1 1 1 KM(0) = 1 — e" 24a2 12 a2

5.3. Pe MW canal de comunicaţie se transmite mesajul m(t) a cărui densi­tate spectrală de putere este:

2 i 2

Semnalul recepţionat este

r(t) = »»(*) + »(*).

««ie n(t) es/e zgomot alb cu densitatea spectrală de putere

S«» = Nol2. Se cere: a) să se determine constanta Ş astfel încît funcţia de autocorelaţie a mesajului

să fie Rmm(T) = exp (— a | T |), şi să se arate că funcţia de autocorelaţie a mesajului este egală cu funcţia de autocovariaţie;

b) sa se calculeze funcţia de transfer Hon(p) a filtrului optimal Wiener ne­realizabil în cazul filtrării pure, d(t) = m(t) ;

169

c) să se deducă funcţia de transfer H0(p) a filtrului optimal Wiener realizabil în cazul d(t) = m(t) ;

d) să se calculeze eroarea filtrului optimal nerealizabil; e) să se interpreteze rezultatul de la punctul precedent în cazul în care raportul

S/Z = X = Smm(0) IS„ este

1) X « 1;

2) X = 3.

Soluţie a) î n conformitate cu teorema Wiener-Hincin rezultă

2a - s Sm(<*) = \ e"*M e - i - dr a2 + o>2

Prin identificare, rezultă (3 = 2a. Deoarece valoarea medie a mesajului aleator este

m(t) = jRmm(co) = 0,

rezultă că funcţia de autocorelatie este egală cu funcţia de autocovariaţie, adică

•R»»m(T) = Kmm{-z). b) Funcţia de transfer a filtrului optimal Wiener nerealizabil în cazul

d(t) = m(t) este, în conformitate cu relaţia (5.22):

N0 4a/iVo + o? - p*

(a se vedea problema 5.1). c) Deoarece funcţia de transfer a filtrului nerealizabil se poate scrie

sub forma

Hm(P) = 2 1 1

2V0 ^xjNo+^-p No j4*IN0 + a? + p

rezultă funcţia de transfer a filtrului optimal realizabil de tip filtru trece-jos

H0(P) = 2 '

cu polul

A o yl4<x.lN0 + a?+p

P = - V4oc/iV0 + a2.

d) Eroarea filtrului optimal nerealizabil se calculează ca în problema 5.1 şi se obţine:

_ 1

170

e) în conformitate cu problema 5.1, rezultă:

} _ SmJ0) = 4 Snn <*No

— Dacă

X = — — <g 1,

adică Sm > ^ ( O ) , rezultă

ceea ce arată că filtrarea optimală nu duce la nici o îmbunătăţire. — Dacă

X = 4/2V> = 3

adică 5'B,m(0) = 3, rezultă o îmbunătăţire deoarece ecn = 1 / 2 . 5.4. Fie un semnal aleator staţionar s(t) caracterizat prin funcţia de autoco-

relaţie

£..M = 4(1+e"*'M). a > 0 -4

Semnalul recepţionat la ieşirea canalului unui sistem de transmisiune a informaţiei este

r(t) = m(t) + n(t),

unde n(t) este zgomot alb cu densitatea spectrală de putere Snn = N0/2, iar m(t) este mesajul obţinut din semnalul s(t) prin eliminarea valorii medii a acestuia, dar avînd aceeaşi putere cu acesta.

Să se deducă funcţia de transfer W(p) a filtrului de albire a semnalului re­cepţionat r(t) în cazul în care zgomotul alb z(t) debitat de filtrul de albire are densitatea spectrală de putere Sz;î(<o) = N/2.

O Notă: rezultatul se va exprima în funcţie de parametrii a, N, N0 şi X = Smm(0)ISnn.

Soluţie

Deoarece valoarea medie a semnalului s(t) este

iar puterea aceluiaşi semnal este

P , = i?,s(0) = i ,

rezultă funcţia de autocorelaţie a semnalului m(t)

Rmm(t) = - e x P ( — 2 * | T | ) . £4

171

Densitatea spectrală de putere a lui m(t) este

1 | Smm(*>) = -f \ e-*l*l e T - dr

sau, mea,

Smm{P) la

Aa2 - p 2

Pentru semnalul recepţionat se deduce

srr{p) = - ^ - + ^ = ^ . ^ ^ + ia2-^ rrKr> Aa2~p2 2 2

Deoarece X = ljaN0, rezultă:

4a2 - p2

rr{F> 2 Aa2 - p*

Relaţia care caracterizează filtrul de albire este:

S„(«) [ W{j<*) | 2 = Szz(o>),

de unde rezultă

S r r H | W(jco) |2 = ^

sau

^ ^ • W - I K T . - W Î ^ - W ) Deoarece

Srr(P)

2a ~\- p N0 2a v/l + X + p

2a — p N0 2a Vi + X - p

rezultă

1

SJr(P)

1

2a + p N0 2a Vi + X + p '

SM 2a — p

N0 2a VI + X + p

Prin urmare, în conformitate cu (5.9):

W(P) = N 1 2 S+(0

172

care devine:

W(p) = N la + p No 2«Vl + *• + p

5.5. Pe canalul unui sistem de transmisiune a informaţiei se emite mesajul m(t), care reprezintă un semnal de comutaţie cu o distribuţie a trecerilor prin zero de tip Poisson (fig. 5.5, a).

Fig. 5.5,a. Semnal de comutaţie (te­legrafic) .

11 (t)

II

1 11 (t)

II

'1

io t, t? {'

'1

Semnalul recepţionat r(t) este

r{t) = mit) + n(t),

unde n(t) este zgomot alb cu densitatea spectrală de putere Snn = N0/2, iar sem­nalul dorit este d(t) = m(t -f- <*)•

Se cere: a) funcţia de autocorelaţie a mesajului; b) densitatea spectrală de putere a mesajului; c) funcţia de transfer a filtrului optimal Wiener realizabil în cazurile

1) a > 0 (predicţie) ;

2) a = 0 (filtrare pură) ;

d) sinteza structurală a filtrului în cazul a = 0; e) lărgimea de bandă la 3 dB a procesului mesaj, puterea mesajului,

puterea zgomotului, lărgimea de bandă rectangulară echivalentă a mesajului (BER) şi raportul dintre X şi raportul semnal/zgomot la 3 dB, \CLBW^ZCIB) '•

f) să se discute variaţia benzii de frecvenţă la 3 dB a filtrului optimal, AF0 (co), în funcţie de a = 2y, X şi N0 .

Soluţie a) Dacă notăm distribuţia Poisson prin

f Pn = r" — e-yt,

n!

rezultă funcţia de autocorelaţie

R(T) = exp (—2y ! T

(vezi probi. 3.6).

173

b) Densitatea spectrală rezultă

Smm(^) = 4Y

(2Y)2 + «2

(vezi probi. 3.6). c) Pentru calculul lui H0(p) folosim expresiile (5.11) şi (5.12). Determinăm mai întîi S+r(p). Deoarece mesajul m(t) şi zgomotul n(t) se

consideră a fi necorelate, rezultă că funcţia de autocovariaţie Krr(-u) a sem­nalului recepţionat este:

Krr(z) = Kmn{i) + Knn{^),

respectiv densitatea spectrală de putere SYr(co) a semnalului recepţionat este:

4y , N0

Calculînd

Srr(o>) = 5mm(co) + 5BB(w)

SmJ0)

(2y)2 + co2 2

S„ YN0

si notînd

se obţine

şi, deci

sau

a = 2y,

X = «A'

5rr(w) = iV0 a2 (1 + X) + co2

2 ' a2 + co2

SAP) = N0t a2(l + X)-^>a

2 ' « 2 -^> 2

Deoarece se poate scrie

se deduce a + p

N. m ay'1 + X + # . 1 / AT„. «Vi + X-^> a — p

SAP) = N^ ajl + \ + p 2 * a + p

' 2 a — j>

174

Trebuie să calculăm acum Sar(p). Pentru aceasta calculăm funcţia de covariatie

Kdr(-z) = d(t) r(t — T) = m(t + a) [m(t — T) + n (t — T)] =

= m(t + a)m(t — T)

presupunînd că mesajul m(t) şi zgomotul n(t) sînt procese necorelate. Prin urmare:

Deoarece

rezultă

KM = Kmm{i-\- a).

54r(jco) = 9 {K^)} = 9{Kna(z + a)},

Sar(}<») = S„(a) ) e>««;

•S*(0 = Smm{p) e*>« =

In definitiv, se obţine (v. rel. (5.13)):

2a a2-p2

SM) = la 1 P«P.

N0 aJl + \ - p a + p

Dacă descompunem expresia de mai sus sub forma

A . B Sdz{p)=la m a + ţ /z^/l + x — p

4 Cea*\

parte părţi realizabilă nerealizabile

se observă că pentru a ^ 0 partea realizabilă este dată doar de primul termen din paranteză. Deci,

+saz(p) =

Determinăm constanta A din

' T 1 2a

de unde rezultă:

= 2aV*- A a + p

P«P

N0 a^l + X-p ,„_ 2a

A' 7 A,

A = a-Jl + X + a

Prin urmare

+ W ) = Vi + x + i N0 a+p

175

Acum, rezultă imediat funcţia de transfer a filtrului optimal Wiener rea­lizabil în cazul predicţiei (a > 0):

H„(fi) = 2 - . N0 1 + Vi + *• «Vi + ^ + P

în cazul filtrării pure (a = 0) rezultă

Ho(P)=2~ N0 1 + Jl + \ ajl + \ + p

d) Fie cazul filtrării pure (a = 0). Funcţia de transfer a filtrului H0(p) reprezintă un filtru trece-jos cu polul:

p0 = — a Vi + a,

respectiv, cu frecvenţa de tăiere dependentă de parametrii a şi X:

w( = a Vi + X.

Caracteristica Bode amplitudine-frecvenţă a filtrului este reprezentată în figura 5.5, b.

y\ \»oiO)\ J

N ,-20dB/t/ec

ut = an/î+Ă Fig. 5.5,6. Caracteristica Bode amplitudine-frecvenţă a filtrului

optimal în cazul filtrării.

Funcţia de transfer este de forma

H0(p) = A

care se mai scrie

H0(p) = A

b + p

ui l+bjp

Graful corespunzător funcţiei H0(p) este reprezentat în figura 5.5, c şi are o cale C = A • Ijp şi o buclă adiacentă 23 = — 5/ >.

Fig.5.5,c. Graful corespunzător func­ţiei de transfer a filtrului optimal

în cazul filtrării.

176

în consecinţă, funcţia de transfer H0(p) este modelată de circuitul din figura 5.5, d legat în cascadă cu un inversor

Fig. 5.5,(2. Modelarea funcţiei de transfer a fii- Q. trului optimal. y^

unde

A = R4RX = 4-N0 1 + VI + X

b = i?2c = W i + ^

e) Lărgimea de bandă a procesului mesaj este direct proporţională cu parametrul a. Căderea de 3 dB a densităţii spectrale a mesajului faţă de valoarea ei în origine se obţine la frecvenţa

w(,m — a> Jt.m — — Z7Î

deoarece trebuie ca Smm{<^) 1 Smm(0) 2

Prin urmare, banda mesajului la 3 dB este

Am,3dB(/) = - ( H z ) .

Puterea mesajului pe o bandă de frecvenţă A(«) este

2a

Calculînd integrala, se obţine

1

= — \ 5„B(<o)dw = — V 2 i 2 dco.

— arc tg — = — A(coJ. 7t I a A(<o) ^a

Puterea zgomotului în aceeaşi bandă A(co) este

P, = — t S*,d*> = — [ ^ do = ^ A(a). 2TT: JA(CO) 2TC J A ( m ) 2 4TC

Lărgimea de bandă rectangulară echivalentă a mesajului. Raportul dintre puterea mesajului şi puterea zgomotului, calculate în banda A(w), este:

p «iV„

177

şi, prm urmare, Smm(0) P .

O ™ p aN„ Dacă drept A(co) se consideră lărgimea de bandă rectangulară echiva­

lentă a mesajului (BER) care rezultă dintr-un spectru rectangular de înăl­ţime Smm(0) avînd aceeaşi putere ca mesajul real (fig. 5.5, e), atunci se obţine puterea

2/a Fig. 5.5,e Spectru rectangular pentru defi­nirea lărgimii de bandă rectangulară echi­

valentă a mesajului (BER).

w

Puterea totală a mesajului este:

2 1 _ d « = — A(w).

p — i r° dw

1 arc tS co

7T a 2TC J_OO « ' + « '

Pentru a calcula co ., notăm A(co) = 1mx şi egalăm:

P' — P

= 1.

Deci

de unde rezultă

1 2u>„ = 1,

7T#

Tea . . a

«* = y ; A = — • Raportul X/X^B. Raportul dintre lărgimea de bandă rectangulară echiva

lentă a mesajului ABER(/) şi lărgimea de bandă a mesajului la 3 dB, Am,3dB (/) este

.o Dacă notăm prin X3dB raportul semnal/zgomot în cazul benzii evaluate la 3 dB, se obţine

a 3 d B

Deci:

m,3dB

X = — A3dB-IM

* « , 3 d B (/)

178

f) Banda de frecvenţă la 3 dB a filtrului optimal, după cum rezultă din figura 5.5, b, este

A*.0(w) = 2w* = 2a Vi + x;

&F0(f)=— Vi + X. 7T, *

înlocuind pe X, rezultă

4 NT

Se observă că: — pentru a = constant, cînd X -> oo, banda AFO -> oo, permiţînd trecerea

mesajului fără distorsiuni;

— pentru a = constant, cînd A -> 0, banda A^Q -» —, iar cîstigul

tinde către zero; există deci zgomot atît de mare, încît ieşirea filtrului optimal este zero.

Rezulta o discuţie similară în funcţie d e parametr i i a şi N0 [1], [3].

5.6. Să se deducă funcţia de transfer a filtrului optimal Wiener realizabil în cazul filtrării cu întîrziere, a < 0, pentru cazul din problema 5.5.

Soluţie Din expresia lui Sdz dată de relaţia din problema 5.5

~T ( A B Săz(p) = 2a u N0\a + P <*Vl + ^ — p + Ce8»

parte p a r t e parte realizabilă nerealizabilă realizabilă

se observă că partea realizabilă este dată de primul şi ultimul termen, întrucît <x < 0 .

Deoarece coeficientul C nu poate fi uşor determinat prin metoda expusă în problema anterioară, vom calcula în prealabil funcţia de covariaţie Kăz(z), cu ajutorul căreia vom deduce +Sdz(p) din relaţia

f OO

+Saz(p) = \ i ^ ( T ) e - ^ d x .

Calculăm funcţia de covariaţie Kdz(x):

Kăl{t) = £„» {Sdz(P)} = -^V3aSaz(p) e* dp.

înlocuind expresia lui Sdz(p) obţinem: r 2 rc+fa e(a+T)p

N~0 )c-ja, (a + p)(ajTT^~P)

179

a+Z>0 \ <x+Z<0

*~tx

Dacă pentru evaluarea inte­gralei se foloseşte teorema rezidu­urilor şi contururile de integrare pentru a + f > 0 ş i a + T < 0 din figura 5.6, se obţine:

— pentru a + T < 0: unicul pol din interiorul conturului Y este

Fig. 5.6. Contururi de integrare pentru evaluarea funcţiei de covariaţie K&Z{Ţ:).

şi, cfeci:

p = a Vi + X Se obţine

~2~ I e(a+T)P 2a y iV0 a + P—tty/l + X

K. dz(T)\ = 2a j(i+t)oVl+X

A70 a + ayj\ + X

— pentru a + T > 0: unicul pol din interiorul conturului V este

p ' = — a. Se obţine

#«te(i")(T) = 2 a g(a+T)o '_2_

p=— a

si, deci:

^ & [ r ' ) « = 2aJ/ | - g—(a+r)a

«Vi + X + a Calculăm +Sdz{p):

/"oo ("—a 1 / 2 p(a+T)»v'î -•S^tt) = \ ^ ( T ) e-» " dT = \ la / - • _ — —

Jo Jo p . « + «VI + x -e-^dr +

/•oo

"L + \ 2a g-(a+T) a

N0 a + aVl + X - e - ^ d T .

Efectuînd integralele obţinem:

~2~" f e««VT+S ^ f c ( ^ ) - 2a [ / ^ \ ( a + a^1 + X)(aVl + X - # )

_| C gC+P)" (a + «Vi + X) (a + p).

r e - (a«Vl+Â- P) _ l]c|_

180

Se poate calcula, acum, funcţia de transfer:

H°{p)=2 2

N0 1 + V l + X J L + j ! / P « P . - ^««VI+M

(«Vi + x + .)(«Vi + x-^) 1

_| , p«f «Vi + X + p Aparent funcţia de transfer H0(p) este nerealizabilă datorită prezenţei

polului p0 = a V1 + X. în realitate, în punctul p = p0 în funcţia de transfer H0(p) apare o nedeterminare de forma 0/0. Ridicînd nedeterminarea cu aju­torul regulei lui l 'Hopital se obţine o valoare finită:

eWî+x l _ «2(1 + x) — a2Vl + X F0(«Vl + X ) = 2

AT0 1 + Vi + X 2«Vl + X

Prin urmare, p = p0 reprezintă un punct ordinar şi, ca atare, funcţia de transfer H0(p) este realizabilă.

5.7. Semnalul recepţionat r(t) este un proces aleator .cu densitatea spectrală de putere

S„(co) = 1 + c o 2

ar semnalul dorit este de forma d(t) = r(t + a) (predicţie). Se cere să se determine: a) funcţia de transfer a filtrului de albire; b) funcţia de transfer a filtrului invers de albire; c) funcţia pondere a filtrului invers de albire; d) funcţia de transfer a filtrului optimal pentru semnalul recepţionat albit

în cazul predicţiei; e) funcţia de transfer a filtrului optimal Wiener pentru semnalul recepţionat

în cazul predicţiei; f) structura predictorului; g) structura filtrului invers de albire.

Se va considera pentru zgomotul alb densitatea spectrală de putere uni­tară (S« = 1).

Soluţie a) î n conformitate cu relaţia (5.17) se obţine:

1 1 SVrN =

i + j « î — jco Prin urmare:

S + ( j < o ) = — — 1 + jw

Funcţia de transfer a filtrului de albire este, în conformitate cu relaţia (5.9):

W(jco) = 1 -f- j o .

181

b) Funcţia de transfer a filtrului invers de albire este (v. rel. (5.10)):

W-^a) = • 1

1 + jco

c) Calculăm funcţia pondere a filtrului invers de albire:

^1= — C°° PF-^jw) e** do. 2TC J - C O

Se obţine:

a r 1 ^) = '0 , t<0

d) Deoarece d(t) = r(t -f a), în conformitate cu figura 1 rezultă

r f ^ U " ^ - <r)z(T)d-r;

r(t + a) = ( " ze-"1^ + a — T) Z(T) dr. J CO

şi în acelaşi timp

f ( ^ + a ) = r + a ^ ^ - T ) ^ ( T ) d x . J—oo

Identificînd ultimele două relaţii rezultă

\w\t + «), t > 0 Ţinînd cont de expresia lui Wx{t), rezultă

[o, t < o de unde se obţine imediat funcţia de transfer căutată,

e_a How(i<

l + j<0

e) Funcţia de transfer a filtrului optimal Wiener este (v. fig. I ) :

tf0(jco) = ^(jo>)ffOM(j<o);

se obţine

ff.(j*>) = 1 | ! e— = e-«. I + ] "

/ J în acest caz, predictorul este un simplu atenuator (fig. 5.7, a) g) Densitatea spectrală Srr(a) se poate obţine excitînd un filtru RC de

constantă de timp unitară cu o sursă de zgomot alb de impedanţă internă $ nulă (fig. 5.7,b); dacă tensiunea pe condensator reprezintă semnalul r(t),

182

e'ar(t)

Fig. 5.7,a Predictorul ca atenuator.

Sursa de zgoma/ a/Afde jm/teada/r/a/rt//â

1 RC=1

1 1

ff

} • e± r(i)

' ' Fig. 5.7,6. Generarea unui semnal cu densitatea spectrală de putere Srr (<o).

atunci valoarea acestei tensiuni prezisă de predictorul optim la momentul t + a este tensiunea care rămîne pe condensator după ce acesta se descarcă pe rezistenţa R după a secunde [5].

5.8. Funcţia de transfer a unui filtru de albire care transformă semnalul aleator recepţionat r(t) într-un zgomot alb z(t) cu densitatea spectrală de putere

N S„ = —- este 2

f ~T « + P ir.'TTf' ^> 0 '6 >°) -

Ştiind că densitatea spectrală de putere de interacţiune dintre semnalul dorit d(t) şi zgomotul alb z(t) este

Sd,{p) = la f No (« + p)(b ^- p) -eaP, (a > 0),

se cere să se deducă funcţia de transfer H0(p) a filtrului optimal Wiener rea­lizabil.

Soluţie Conform relaţiei (5.12), pentru a afla funcţia de transfer H0(p) trebuie

determinate W(p) şi H0U!{p). Relaţia intrare-ieşire pentru filtrul de albire considerat este

sau, mea,

s„H = MHI2 s„{<»)

^ = % } F * Q f f l ) 5 » ,

183

de unde rezultă

^=y^--^W; W()

W*(ja>) y W i 2 ' S-(jco)

Din ecuaţia Wiener-Hopf în cazul particular al zgomotului alb la intrare

\ KM Kzz{x- 0) d0 = Kaz(z), (8>0), J—CO

unde h^, este funcţia pondere a filtrului optimal Wiener pentru zgomot alb, înlocuind

2V„ X „ ( . T ) = ^ S ( T )

rezultă

„M = 2

0 , T < 0 .

Funcţia de transfer How(p) a filtrului optimal Wiener realizabil pentru zgomot alb este

H0W(P)=~SX(j>).

Deoarece Sdi(p) se poate scrie sub forma

rezultă partea realizabilă

Se determină

±Sdz{p) = la

A =•

A , B

Tp+T=P+CeaP

A f 1

N0 a + p

b + a şi prin urmare, se obţine

rl T e-=:" 1

N0 b + a a+p H0W(P) = -jf- • la r- 1

AT0 b + a a+p

Funcţia de transfer finală H0(p) va fi deci 8a e~aa 1 H0(P) = W(p)lH0W(p) = NI b + a (a+p)(b + p).

184

S.9. Semnalul aleator x(t) cu funcţia de autocorelaţie Rxx(?) = exp (-a > O, se aplică la intrarea unui filtru adaptat pentru semnalul

s(t) = exp ($t), t < 0. O , t > O, (p > 0)

obţinîndu-se la ieşire semnalul y(t).

Se cere: a) densitatea spectrală de putere Sxx(u>) a semnalului x(t) ; b) funcţia pondere şi funcţia de transfer a filtrului adaptat; c) sinteza filtrului adaptat cu elemente de integrare şi de însumare ; d) funcţia de corelaţie mutuală a semnalului de la intrarea şi ieşirea filtrului

adaptat, ROT(f); . . . . e) funcţia de corelaţie mutuală a semnalului de la ieşirea şi intrarea filtrului

adaptat, R J ^ T ) ; M f) funcţia de autocorelaţie a semnalului de la ieşirea filtrului adaptat K ^ T ) ; g) puterile medii ale semnalelor de la intrarea şi ieşirea filtrului adaptat; h) funcţiile de transfer ale filtrului de albire şi filtrului de albire invers

pentru semnalul x(t); i) sinteza filtrului optimal Wiener nerealizabil care permite filtrarea semnalu­

lui r(t) = x(t) pentru a obţine semnalul dorit d(t) = y(t) ; j) eroarea pătr atică medie minimă a filtrului optimal Wiener dedus la

punctul anterior. Soluţie a) Din teorema Wiener-Hincin se deduce imediat:

f0 0 , , • -, 2 a

Funcţiile ^ ( T ) şi SM(co) sînt prezentate în figura 5.9, a.

*~Z *~0i

Fig. 5.9,a. Reprezentarea funcţiei de autocorelaţie Rxx{s] şi a densităţii spectrale de putere Sxx (&>)•

6; Funcţia pondere a filtrului adaptat este (v. rel. (3.16)), considerînd întîrzierea introdusă de filtru nulă:

h(t) = s ( - 0 = { exp(— (32), * > ° 0 , 2 < 0

şi este reprezentată în figura 5.9, b.

185

h(t)=exp(-/t) Funcţia de transfer corespunzătoare este

H(]u>) = V e"^ e~iatdt = Jo p + j W

c) Scriem funcţia de transfer sub forma P-1

H(p) = l + pp-

graful corespunzător fiind reprezentat în fi-^ gura 5.9, c.

Fig. 5.9,b. Funcţia pondere a fii- Deoarece unui arc de transmitanţă p~x îi truiui adaptat. corespunde un integrator, se obţine structura

filtrului adaptat din figura 5.9, d. d) Pentru calculul funcţiei de corelaţie mutuală a semnalului de la intrarea

şi de la ieşirea filtrului adaptat se pot folosi două metode.

o-/ p 1

Fig. 5.9,c. Graful corespunzător funcţiei de transfer a filtrului adaptat.

~J*

AO

fiY-VARIANTA A

Fig. 5.9,d. Structura filtrului adaptat.

Rxy(-c) = x(t) y(t - T) = x(t) \ A(8) x(t - T - 6) d9 = J — CO

= T *(6) J U T + 6) d6. (1) J— co

în acest caz expresia funcţiei de corelaţie devine

J ? w ( T ) = l e-We-« l '+» ld6. (2)

Efectuăm calculele pentru cazurile (T + 0) > 0, şi (T + 6) < 0.

— Pentru |T + 8 | = T + 0, T + 0 > 0, (T > 0), din relaţia (2) se obţine /•oo

Rxv(T) =_- V e-Pe e~«f»+8) d 0 Jo

adică, în final,

(T>O) a + p-

186

Fig. 5.9,e. Graficul funcţiei de corelaţie JRxy(-c) pentru T > 0. 4 % &)

funcţie reprezentată în figura 5.9, e. — Pentru |T + 6| = — T — 0, i + 0 < 0, (T < 0), din relaţia (2) se

obţine

R (T) =\ e-^9 e»* ea9 d0 + V e~W e~^ e~a9 d0.

Efectuînd integralele Ix corespunzătoare primului termen şi I2 corespun­zătoare celui de-al doilea termen obţinem

I i =

I2 =

P —a

a + P si deci:

(T<0) a2 — p 2 e 3 - _j e°<T

P — a

î n punctul T = 0, funcţia de corelaţie mutuală este continuă deoarece

(t>o) a + P

1 (T<OJ a + p

RXV{T:) prezintă un maxim în punctul -r0 care satisface ecuaţia

Se obţine astfel

ecuaţie satisfăcută de

V dT

2«P .B

*i 0. <o

a 2 - p 2

^0 ==

p - a

P + a — In P — a 2p

y

/ 1 > / 1 y i

— • i

/

\ \ \

j t f

i i

& a #

Fig. 5.9,/. Graficul funcţiei de corelaţie Bxy(i) pentru T < 0 .

Funcţia i ?^ ( r<0) este reprezentată în figura 5.9,/. î n acest fel se obţine în final

J U * ) =

a + p

2a e<* + 1 a2 — p2 ' p - a

funcţie reprezentată în figura 5,9,g.

T > 0

e" , x < 0

XXy(Z) Fig. 5.9,g. Graficele funcţiilor de corelaţie Rxyiy) Ş' flwW-

VARIANTA B Luînd transformata Fourier a relaţiei (1) se obţine

(•00 f0O (•«> 5w(jco) = V V *(6) R„(z + 6) e r ^ d 8 d T = S„(a) U(0) e ^ 9 d 6 .

J—CO J — 0 0 J—CO

Prin urmare: Sw(j<o) = ff*(jo>) 5M(W)

înlocuind expresiile lui H*(j<v>) şi S^oo) se obţine

1 2a S « / ( j w )

p — jco a 2 + w 2

Deoarece

^ W = »-1{5«(H},

(3)

(4)

188

Iescompunem membrul drept al relaţiei (3) în fracţii simple:

2a A B , C ((5 — jw)(a — jco) (a + j<o) (J — j« a — jco a + jco

unde: 2a

P =

a2 - [i2 '

1

c =

( J - a -

1

P + oc Integrala (4) se calculează pe contururile din figura 5.9,

Fig. 5.9,h. Contururile de integrare pentru calculul funcţiei de corelaţie Rxy(i).

Se obţine acelaşi rezultat. e) Funcţia de corelaţie mutuală Ryx(r) se calculează în aceleaşi două

variante ca RX,J(T).

VARIANTA A

Ryx{t) = y(t) * (* — T) = V A(8) x (t — 0) x (t — T) d6 = J—co

| * C O

= \ h ^ R ^ - 6) d6. (5) J — co

înlocuim h(Q) şi K ^ T — 6) şi obţinem / •CO

^ w W = \ e-P9 e-ai^-eide.

Pentru | T — 6 | = T — 6, T — 6 > 0, (T > 0)

OT(T) = C' e-Pe e-a(--e) d0 + T e ^ 9 e ^ ^ - ^ d e . J0 Jr

i?

189

Evaluînd cele două integrale, rezultă

a2 — p2 p — a In origine se obţine

* w ( 0 + ) P + a Valoarea maximă a lui i?,,»(x) se obţine din

C ^ U T )

dr I = 0,

ecuaţie satisfăcută de 1 - I n

2(3

P — a a + p

Se observă că TQ = — T0 > 0.

- Pentru | T - 0 | = — T + 6, T - 6 < 0 , (T < 0)

e-pe e-«(8-T) d0 «+ P

Se observă că în origine se obţine aceeaşi valoare ca în cazul lui ^ „ ( T ) . Obţinem astfel:

R»M =

2 a e~^ + — 1 — e~« T > 0 a 2 - p2 p — a

, T < 0

Graficul funcţiei -R„S(T) este reprezentat prin linie punctată în figura 5.9,g

VARIANTA B Relaţia (5) se poate scrie sub forma Syx = H()<x>) Sxx şi deci:

(p + jco) (a2 + ca2)

Descompunem în fracţii simple această expresie:

2 a 4 , 5 , C (P -fjto)(a — jto) (a + jto) P + jw a — jcol a + j w '

se calculează coeficienţii i ^ a

.a

B =

C =

a 2 - p2

1 a + p

1 P - a

190

Funcţia de corelaţie mutuală se calculează din relaţia RvJs l{SyÂ)^)}

şi efectuînd integrala pe contururile din figura 5.9, i se obţine acelaşi re­zultat ca în prima variantă de calcul.

Fig. 5.9,i. Contururile de integrare pentru calculul funcţiei de corelaţie Ryx(t). i >-«C

/ ) Se calculează iniţial densitatea spectrală de putere a semnalului y(t):

((}2 + co2) (a2 + o2)

Luînd transformata Fourier inversă a lui S^co) se găseşte

1 Rm(t) p 2 - a 2

• g) Puterile medii se calculează imediat

P, = KÂO) = i

Py = R„(0)

L-«W - — e-P'TiV

1 Ş(P + a)

A) Funcţia de transfer W(p) a filtrului de albire, considerînd zgomotul alb de la ieşirea lui cu densitatea spectrală de putere unitară, este dedusă din relaţia (5.9), unde S„ este Sxx.

Deoarece

rezultă

şi deci

SM

SUP)

2a 2 j , 2

a — _p

V2a a. -\r p

mP)=^A V2a

191

Pentru filtrul de albire invers rezultă (v. rel. (5.10))

W-\p\ = J^L.. yFI OL+p

i) Funcţia de transfer a filtrului optimal Wiener este (v. rel. (5.21))

Prin urmare 1

if0B(j«) = H()a) = P + jw

adică filtrul adaptat este chiar filtrul optimal Wiener. /) Eroarea este, în conformitate cu relaţia (5.18),

de unde rezultă în final a

e0 = • (P + «)2

5.10. .Fie wra semnal m(t) cw funcţia de autocovariaţie

K (T) = — e -M — — e~6lTi m m ( ) 35 35 •

Se cere:

a) densitatea spectrală de putere Smm(p) ; b) funcţia de transfer a filtrului de albire; c) funcţia de transfer a filtrului invers de albire; d) graf urile pentru sinteza filtrului invers de albire (în două variante); e) funcţia pondere a filtrului invers de albire, w_1(t) ; f) funcţia de covariaţie Kaz(t) corespunzătoare cazului filtrării cu predicţie

a semnalului pentru a = — secunde;

g) funcţia pondere a filtrului optimal Wiener pentru zgomot alb, hoto(t), în condiţiile de la punctul „f";

h) funcţia de transfer How(p) a filtrului optimal Wiener pentru zgomot alb în condiţiile de la punctul ,i";

i) funcţia de transfer a filtrului optimal de predicţie Wiener, H„(p) pentru semnalul mft) în condiţiile de la punctul ii" adică d(t) = m(t + a)

a = — secunde; să se deseneze graful corespunzător; 6

j) funcţia pondere h0(t) a filtrului optimal de la punctul „i"

Soluţie a) Din teorema Wiener-Hincin se deduce

36 smm(p) ( l - ^ ) ( 3 6 - ^ ) .

192

b) Folosim relaţia (5.9). Deoarece Smm(p) se scrie sub forma

^mm\P) = — —— ~ * ; '

(l+p)(6-+p) (l-p)(6,~p) se obţine

SUP)= (i- + P)(6+p) şi deci

W(p) = ^ + ^ { 6 + ^ 6

c) Aplicînd relaţia (5.10) se obţine:

W-Hfi) = (l+p)(6 + p)

d) VARIANTA A

W-\p) = - 6 - ^ ' 6 + lp + p2 1 + Ip'1 + 6p~2

Graful corespunzător este prezentat în figura 5.10, a.

1 p~r p'1 6 o > o- > P > o * o

Fig. 5.10,0. Graful pentru sinteza filtrului invers de albire (varianta A).

Arcelor de transmitantă p'1 le corespund integratoare, arcelor de transmi-tanţe constante le corespund scalori, iar nodurilor — sumatoare.

VARIANTA B

6 A . B W~1{p) =

(l+p)(6 + p) l+p 6 + p

După ce se determină constantele A şi B, se obţine

5 ^ + 1 p + t) 5U+P-1 î+ep-1) expresie căreia îi corespunde graful din figura 5.10, b.

e) w-\t) = 2-^W-^p)} = — .(e-* - e " 6 ' ) .

193

g)

h)

i)

Fig. 5.10,6. Graful pen|r,u sinteza filtrului invers de albire (varianta B)

Kaz(t) = ur\t + a) = — [e-(*+V0 — er«;*V6)ili-

W ) =• Kăz(t), t>0 o , t < o

5 ( + 1) ( + 6)

ff0(/>) = W ^ ) / U 0 = 1 [e-V«( + 6) - e-1 (# + 1)].

Graful corespunzător este desenat în figura 5.10, c.

Fig. 5.10,c. Graful funcţiei de transfer a filtrului optimal Wiener de predicţie.

a h(t) - 1 / 6 , e-1) 8(0 + (! e"1/6 - e"1] 8' (*)•

5.11. La ieşirea unui canalse recepţionează semnalul r(t) = s(t) cu funcţia de autocovariaţie KS S(T) = exp (— « | f | ) . Folosind principiul ortogonalităţii, să se determine filtrul optimal liniar de predicţie pură care estimează semnalul dorit d(t) = s(t + T), T > 0, presupunînd că estimatul este de forma

d(t) = as ( t ) .

194

Să se calculeze eroarea pălratică medie minimă. Ce se.întîmplă în cazul cînd T —* oo? Să se verifice principiul ortogonalităţii pentru orice moment u 6 (— oo, t) şi să se interpreteze.

Soluţie Din principiul ortogonalităţii (5.6), care se scrie sub forma

[d(t) - d0(t)] r(t) .= o

unde d0(t) reprezintă estimatul optimal, se obţine

sau, mea:

de unde rezultă

[S{t + T) - a0s(t)]s(t) = O

KS S(T) - aoKss(0) = 0,

« = **&<!. Kss(0)

Prin urmare, estimatul optimal al lui s(t + f) este

K (i) d0(t) = a0s(t) = J ^ ^ L s(t),

Kss(0)

care reprezintă un atenuator ideal (fig. 5.11).

O —1 t « O

r(i)=5(t) R2 d0(t) = a0s(t)~s(t+Z)

Fig. 5.11. Estimatorul optimal de predicţie ca atenuator ideal.

Eroarea pătratică medie minimă este (v. rel. (5.7))

e0 = Kss(0) - a0Kss(z)'

sau, încă, KU-z)

Dacă înlocuim pe Kss(0) şi Kss(z) obţinem

«B = e - « ; e0 = 1 — e~2xr.

Cînd T —s- oo, exp. (— 2a~) < 1, eroarea de predicţie este maximă, ceea ce arată că în cazul predicţiei unui viitor prea îndepărtat, cunoaşterea prezentului nu ne mai este de folos, funcţia de autocovariatie tinzînd la zero.

195

Dacă scriem principiul ortogonalităţii pentru orice u < t, [2], se obţine

[s(t + T) -a0s(t)]s{u) - K.,(t + x-u) -

Kss{0) "\ O Se observă că şi în cazul în care se cunoaşte semnalul s(t), Wt e (— oo, t),

cel mai bun estimator este tot a0s(t), ceea ce se interpretează prin faptul că, în acest caz, dacă prezentul este cunoscut, cunoaşterea trecutului nu aduce nici o informaţie suplimentară pentru prezicerea viitorului [2].

5.12. Ştiind că semnalul recepţionat este r(t) = s(t) şi că semnalul dorit este d(t) = s(t), să se determine, folosind principiul ortogonalităţii, filtrul optimal de interpolare care estimează semnalul dorit sub forma [2]:

d(t) = as{0) + bs{T).

Ce valoare au coeficienţii a şib în cazul t —- T/2 ?

Soluţie Se scrie principiul ortogonalităţii (v. rel. (5.6)) în momentele t = 0 şi

t= T:

[d(t)-do(t)]r(O)=0:

[d(t) - d0(t))r(T) = 0,

de unde se obţin ecuaţiile

KJO)a + K.,{T)b = K,,W:'- . . . K..(T)a + K„{p)b=£„{T-t).

Rezolvînd sistemul de. ecuaţii de mai sus, se obţine:

a = K„(t) K„(0) - KSS(T) KJT - t),

b = KJO) KJT - *) - K„(t) KJT)

T Pentru t = — , din expresiile anterioare se determină:

6 =

#2,(0) - K%(T)

srioare s«

KJT/2) KJO) + KJT)

5.13. Fie un semnal m(t) cu funcţia de autocovariaţie

Se cefe: a) densitatea spectrală de putere Smm(co) şi SOTm(p); b) funcţia de transfer a filtrului de albire;

196

c) funcţia de transfer a filtrului optimal Wiener de predictie H0(p), care estimează semnalul dorit d(t) = m(t -j- a), a > 0 ; aplicaţie numerică pentru a = In 2;

d) funcţia pondere a filtrului optimal Wiener de predictie pentru cazul de la punctul „c"; • - . . - .

e) sinteza structurală a filtrului optimal considerînd semnalul m(t) debitat de o sursă de curent, iar răspunsul ca fiind o tensiune.

Soluţie a) Din teorema Wiener-Hincin se calculează

49 + 25w2

SmJa>)

Smmifi) =

ii + G>2) (9 + 6>2) 49 — 15p2

(1-P*)(9-P2) b) Expresia lui Smm se poate scrie sub forma

7 + 5p l~5p SmmiP) =

Se deduce 1+P)P+P) (1~P)Q-P)

7 +-5 > ^mm\r)

(1 + P) (3 + p) Aplicăm formula (5.9) şi deducem:

(1 + P) (3 + P) 1 + 5p

W(p) =

c) Pentru a = In 2 se găseşte

7 + 5^ 5 5 5p + 7 dj Notînd prin DT(z!) funcţia treaptă unitate, se obţine:

.. , 0 +

m(i) ©

1/5

25/3 ţ .

I l d(f)r»m (UI/J2)

3/35

-o — Fig. 5.13. Structura filtrului opttimal de predictie pentru m(t -f- In 2).

197

... ,••;' '•"";• ; : ;. * ; $ = I ă W + 1 e - 7 " 5 u ( t ) .

ej Structura filtrului în acest caz este prezentată în figura 5.13 [2]. 5.14. Semnalul recepţionat la ieşirea unui canal este r(t) = m(t) + n(t),

unde semnalul util şi zgomotul sînt procese necorelate caracterizate prin densi­tăţile spectrale de putere . *

Smm((i>)

•S»„(«>) =

1 + co2

Nb2

&2 + a>2

Se cere să se determine funcţia de transfer a filtrului optimal Wiener în cazul filtrării pure (cu netezire). Ce se întîmplă cînd b -» co?

Soluţie Pentru semnalul recepţionat se obţine densitatea spectrală de putere

s„H = smm + snn = (No* + i) ^2 + w" (& + JG>) (&- j« ) ( l+ jc0 ) ( l - j<0)

unde A2 = (N + 1) b2j(Nb2 + 1).

Deoarece

« < H _ » £ + T * + * • -••• (b + j<a) (1 + jft>)

__,. . WiV + 1 4 4 (6 — jco)(l — jo>)

şi ştiind că Sdr = Smm putem calcula expresia

SmJo>) _ A b - j How()<*) w

S-T(]<x>) bjN+1 (1 + jto) (A - jco)

care, descompusă în fracţii simple, devine:

Smm(o>) _ j 4 ^ 6 + 1 - . 1 , 6 - ^ . 5r,(j«) 6VAr

în acest fel

_(b+ l l {b - A 1 \

T \ 4 + 1 1 + JG> 4 + 1 A — jcoj

rs. 4 & + 1 1 .5s(jto)J bjN+1 A + l 1 + j w

aşa încît aplicînd formula (5.15) rezultă funcţia de transfer 1 b + 1 6 + jw

ff»(i«) IV&2 + 1 A + 1 4 + jc

Cînd b -»• oo, obţinem funcţia de transfer, a filtrului optimal care esti­mează semnalul d(t) = m(t) în cazul prezenţei unui zgomot alb cu densitatea spectrală de putere de valoare N [5].

198

5.15. Un condensator de capacitate C încărcat la tensiunea iniţială vc(0) = V este introdus într-un circuit în serie cu o rezistenţă R şi o sursă de tensiune v(t). Pentru a cunoaşte starea electrică a condensatorului, se transmite un mesaj m(t), care reprezintă tensiunea la bornele sale, vc(t).

Se cere: a) modelul matematic, respectiv ecuaţia de stare a circuitului (matricele

F, G, C); b) structura sistemului dinamic generator al mesajului m(t) folosind inte­

gratoare şi sumatoare; c) forma mesajului m(t) în cazul în care v(t)"= O şi vc(0) = V este o

variabilă aleatoare; d) structura sistemului dinamic generator al mesajului în cazul de la punc­

tul „c"; e) să se arate că în cazul de la punctul „c" mesajul m(t) este un proces

aleator nestaţionar; f) funcţia de transfer a sistemului dinamic generator al mesajului m(t)

obţinut în condiţiile vc(0) = V = O, v(t) fiind zgomot alb; g) să se arate că mesajul m(t) obţinut în condiţiile de la punctul „î" este

un proces aleator staţionar; să se deducă relaţia dintre densitatea spectrală de putere a zgomotului alb v(t) şi dispersia o\ a lui y(.t).-.

Soluţie a) Ecuaţia care guvernează circuitul este

vR(t) + vc(t) = v(t),

unde vR(t) este tensiunea pe rezistenţa R. Dacă se notează variabila de stare prin

(1)

din (1) rezultă:

x{t) = vc(t) = m(t),

Lx(t)+J—V(t). RC RC

(2)

Ieşirea este reprezentată de mesajul m(t), adică

y(t) = x(t).

Din ecuaţiile de stare (2) şi (3) rezultă matricele

1 RC

1 RC

C = [1].

(3)

b) Aplicînd transformata Laplace ecuaţiei de stare (2) se obţine

X(p) RC

X(p) + x(0) 1 RC p

V(p). (4)

Structura sistemului dinamic generator al mesajului este reprezentată în figura 5.15, a.

199

m, w i

xft)

x(ff)*V

+ / -x(t) </(t)=x(t),m(t)

(F)

Fig. S.15,a. Structura sistemului dinamic generator a,l mesajului m(t).

c) în cazul cînd v(t) = 0 iar vc(0) = V este variabilă aleatoare, din ecu­aţia (2) se obţine:

1 ,

m(t) = y(t) = x(t) = Ve RC (5)

Fig. 5.15, b. Structura sistemului dinamic generator al mesajului m{t) =

= V exp ( -1 / i îC) t.

d) Structura sistemului dinamic generator în condiţiile de la punctul „c" este reprezentată în figura 5.15, b.

e) Dacă vc(0) = x(0) = y(0) = V este o variabilă aleatoare cu densi­tatea de probabilitate p(V), atunci densitatea de probabilitate a lui y(t) la un moment de t imp t — tx este:

w(y, h) = P(V) exp hH" (6)

Din relaţia (6) rezultă că y{t) este un proces aleator nestaţionar, deoarece

densitatea sa de probabilitate variază cu timpul. f) Din relaţiile (1) şi (4) se obţine

k H(j>) = (7)

P + k unde k = URC.

g) Densitatea spectrală a lui y(t) cînd densitatea spectrală a lui v(t) este Sm = N0j2 rezultă

Sm(<*) = | ff(jU) \*SJo>)

200

sau, mea,

k + (O2

Spectrul Sm(<a) fiind raţional, rezultă că y(t) este un proces aleator sta­ţionar.

Se alege partea realizabilă a lui Syy{cx>):

kN0IA \ kN0l4.

. k + jw /jM=/, & + p Conform relaţiei (3.13), trebuie să calculăm

4 = i?(0) - R(co),

unde:

« ( 0 ) = U m # . + S w r ( ^ ) = A2V0/4;

R(«>)=1imp.+Sm(p) = 0.

Deci:

Prin urmare, pentru a genera un mesaj de dispersie a | trebuie ca zgomotul alb care excită sistemul dinamic generator să se caracterizeze prin [3]:

. Nj2 = 24lk.

5.16. Fie un mesaj m(t) cu densitatea spectrala de putere

la SmmH — a2 + co2

transmis pe un canal cu zgomot alb aditiv n(t) cu densitatea spectrală de putere Snn = N0/2. Ştiind că semnalul recepţionat este

rit) = m(t) + n{t), se cere: *"'/' . ;

a) ecuaţia de stare a sistemului dinamic generator al mesajului m(t) şi modelul acestui sistem, considerînd că zgomotul alb de excitaţie u(t) are funcţia de autocovariaţie KMM(T) = QS(x); Q == [2a];

b) cîştigul în regim permanent al filtrului optimal Kalman-Bucy, A, care estimează semnalul d(t) = m(t ) ;

c) ecuaţia erorii filtrului optimal Kalman-Bucy în regim tranzitoriu; d) funcţia de transfer Hok(jco) a filtrului optimal Kalman-Bucy în condi­

ţiile de la punctul „c" ; e) raportul dintre funcţia de transfer a filtrului optimal Kalman-Bucy

Hok(j«) şi funcţia de transfer a filtrului optimal Wiener în condiţiile de la punctul „c";

f) structura filtrului optimal Kalman-Bucy estimator al mesajului, ţinînd cont de punctele „c" şi „d".

201

Soluţie a) Alegem drept variabilă de stare x(t)=m(t). La ieşirea sistemului

dinamic generator se obţine semnalul x(t) cu densitatea spectrală de putere

5 " , » = |H(j«) j 2 S M » ,

unde H(]<*>) este funcţia de transfer a sistemului dinamic generator, iar

Sxx(<*) = Smm(a>). Deoarece

S«A<») — 2a, rezultă

1 mp) (1)

a+p Funcţia de transfer H(p) corespunde modelului de sistem dinamic

x(t) = — a x(t) + u(t), (2)

de unde rezultă

F = [ - « ] , G==[ l ] .

Deoarece ieşirea este y(t) = x(t), rezultă C = [l],

Adăugăm, în conformitate cu notaţiile utilizate în breviarul teoretic în relaţiile (5.25) şi (5.26),

Q = [2a], P = [No/2].

Modelul sistemului dinamic generator este reprezentat în figura 5.16,a.

y'w r i Cano/ '

Fig. 5.16,a. Modelul sistemului dinamic generator al mesajului m(t) cu densitatea spectrală de putere

2a

b) Pentru a determina cîştigul A(t) în regim permanent trebuie să rezolvăm ecuaţia variantei (rel. (5.31)) în cazul dK,e/di! = 0.

FKES + KSEFT - KSECTP CK^ + GQGT •= 0. (3)

202

Deoarece matricea de autocovariaţie a erorii se reduce la un singur ele­ment,

• KES = [£],

din relaţia (3) se obţine ecuaţia

k2 + aN0k — aN0 = 0

de unde, alegînd, evident, rădăcina pozitivă, rezultă

K = ~ (~N0a + jNy + iN0a ). (4)

Deoarece cîştigul se defineşte prin expresia (5.30) rezultă

No

c) î n regim tranzitoriu cînd KSE = [k(t)], ecuaţia variantei (5.31), devine

&M. = _ 2 a k(t) - — k2(t) + la. (5) ăt N0

Pentru (5) se poate alege cea mai dezavantajoasă condiţie iniţială, adică se poate considera k(t0) drept eroare maximă, deci egală cu puterea mesaju­lui util [1]:

Wo) \ M(w) dco, J—co

unde

d) Deoarece

Hok(]<»)

M(<o) = C?{m(t)}:

AH{]<») 1 + AH(]<a)

rezultă

Hok(]<*) = a(-l + v ' l + X ) -J6) + « Vi + ^

unde

X = 4/iV>.

e) Funcţia de transfer H0(]u>) a filtrului optimal Wiener de netezire a fost calculată în problema 5.5.

Făcînd rapDrtul celor două funcţii de transfer, se obţine

Hok{]<»)IHoW{)u) = const.

f) Structura filtrului optimal Kalman-Bucy este dată în figura 5.16,6.

203

A (O

p-^P^^r e

Fig. 5.16,6. Structura filtrului optimal Kalman-Bucy pentru recepţia mesajului m[t) cu densi­tatea spectrală de putere

>(*>) 2a

5.17. Fie un mesaj aleator m(t) care se transmite în urma unei modulaţii în amplitudine cu purtătoare suprimată cu ambele benzi laterale (MA-PS), •pe un canal cu zgomot alb aditiv, semnalul modulat injectat în canal fiind

y(t) = c(t) mit),

unde purtătoarea este de forma

c(t) = *J2 P0 COS a>Qt.

Densitatea spectrală de putere a zgomotului alb n(t) de pe canal este Snn = N0/2 Ştiind că semnalul recepţionat este

r(t) = y(t) + n(t),

se cere:

a) ecuaţia de stare a sistemului dinamic generator al mesajului m(t) şi modelul acestui sistem, în cazul cînd m(t) = Am cos (cot + cp), m(0) şi rii(O) fiind variabile aleatoare gaussiene de valoare medie nulă şi dispersie cunoscută ;

b) cîştigul filtrului optimal Kalman-Bucy, A(t), care lucrează ca receptor (demodulator) optimal, şi structura bloc a receptorului;

c) tipul filtrului buclei în raport cu frecvenţa purtătoarei co0; d) să se simplifice structura receptorului de la punctul „b" la un sistem

cu reacţie unitară, ţinînd cont de rezultatul de la punctul „c" ; e) funcţia de autocovariaţie şi densitatea spectrală de putere a zgomotului

echivalent care afectează semnalul de la intrarea buclei demodulatoare simpli­ficate de la punctul „d"; , .

204

f) să se rezolve ecuaţia variantei,în regim permanent în cazul în care m(t)

este caracterizat prin densitatea spectrală, de putere SmTO(w);=^ Şî + co2

să se arate că rezultatul este acelaşi atit-ân cazul structurii de la punctul „b", cît şi în cazul buclei demodulatoare din modelul simplificat de'la punctul „d" în condiţiile din problema 5.22 punctul „a";;*,

g) cîştigul A(t) al demodulatorului Kalman-Bucy în condiţiile de la punctul „i" în funcţie de raportul semnal/zgomot în cazul MA-PS, ~kMAps >

h) să se deducă funcţia de transfer a demodulatorului optimal Kalman-Bucy care estimează mesajul m(t) caracterizat la punctul „i". .-"''.'•

Soluţie :

a) Mesajul mit) se scrie sub forma

m(t) — a cos M^ + b sin<x>t, unde

a — Am cos ©; b = Am sin cp.

Dacă alegem variabilele de stare %x — m(t) şi x2 = —- obţinem sistemul

xx = oiX2;

x2 = — <>>Xi,

unde *'i(0) = a şi x2(0) sînt variabile aleatoare gaussiene de valoare medie nulă şi dispersie cunoscută.

Semnalul transmis se serie sub forma

y(t) = [c(t), 0] Cx, (1)

" 0 M" ; G = 0"

— w 0 0

astfel încît obţinem matricele sistemului dinamic [6] în conformitate cu rela­ţiile (5.24), (5'.25)

; G = [c(t), 0].

Modelul sistemului dinamic generator al mesajului m(t) este prezentat în figura 5.17, a.

b) Deoarece matricele P, Kes{£) şi C se reduc la:

P==[iV0/2]; KJt)=[k]; C = [c(t)],

rezultă cîştigul filtrului Kalman-Bucy

Structura bloc a receptorului optimal este prezentată în figura 5.17,6. c) Deoarece mesajul m(t) are banda de frecvenţă mai mică decît frecvenţa

purtătoarei co0, filtrul buclei este un filtru trece-jos în raport cu co0.

205

Fig. 5.17,a. Modelul sistemului dinamic generator al mesajului m(t) pentru o transmisiune MA-PS.

Cit)

r(i) *r® - i _

V(t) (2k,

Â(t) A2kk Filfrul

buclei >—

Fig. 5.17,6. Structura bloc a receptorului optimal Kalman-Bucy în cazul transmi­siunii MA-PS.

d) întrucît în structura din figura 5.11,b mesajul estimat ix(t) este multi­plicat în buclă de două ori prin semnalul purtător c(t), efectuăm acest calcul

c\t)m{t) = (V2P^)2(cos2cooOw(^) = P„(l + cos 2«p2) m(t).

Mesajul estimat m(t) nu are componente de frecvenţe apropiate de 2a>0, astfel încît filtrul buclei FB va rejecta componenta de frecvenţă 2«0. î n acest fel, semnalul v(t) după multiplicatorul căii directe a buclei din figura 5.11,b va fi

c(t)[r(t) - c{t)m{t)} = c{f)r(t) — c\t)m{t) = v(t)

unde am notat

V2P0 cosu>0tr(t) — -Pfl(l + cos 2<y>0t) m(t) s

£ V2~P0 cos a>0tr(t) — P„m(t) =

rit) f P .cos a>0tr(t).

(2)

(3)

206

în conformitate cu relaţia (2), receptorul optimal din figura 5A7,b se simplifică după cum se arată în figura 5.17,c.

r(i)

2/fg COS U)0t

*

i .1

rP(t) FB m(ty

H(jco)

âemodu/a/or Ho/m an - Bucy

Fig. 5.17,c. Structura bloc simplificată a receptorului optimal Kalman-Bucy în cazul transmisiunii MA-PS.

e) La intrarea buclei demodulatoare se aplică semnalul

re(t) =r{t)j2lPocos<*0t; (4) relaţia devine

unde

re(t) = V 2 / JP 0 cos co< [\/2Po cos u>0t • m(t) -f n(t)] =

= 2 cos2<60t m(t) + 42\P0 cos<^.n(t) ==

= (1 + cos 2a>0t) m(t) + -i2J-P0cos<»ot-n(t)s

S m(£) + »,(£) + cos 2<dQt • m(t),

s{t) = J2/P0.cos o>0t.n(t).

(5)

(6)

Termenul de frecvenţă dublă se neglijează deoarece filtrul trece-jos din bucla demodulatorului taie componentele de frecvenţă dublă.

Din relaţia (5) se obţine:

. re(t) s m(t) + ns(t),

zgomotul echivalent fiind ns(t) dat de formula (6). Funcţia de autocovariaţie a lui ns(t) este

R«s«* (T) = n{t)n(t + T). 42\P0 COS CO0*. V2/P0 cosco0 (*+ T). (7)

Deoarece procesele n(t) şi cos«0(^) sînt independente, relaţia (7) devine

R«.«, (T) = Rnn{^) — COSWoiCOS(Oo(i + T) . (8)

Calculăm

1 fr/2 „ „ _ _ _ . ± (T/2 cos o ^ cos co0 (t -j- T) = lim — \ cos co0 cos M0(^ + f) d£.

r-»co T J-r/2

207

-

Deoarece

i rT/2 [•T/2 j /T/2 V cos u>0t cos coo^ + T) di! — —V [cos co0(2i + ") + cos co0T]d£ J-r/2 2T J-T/2

rezultă;

1 = — cos «0T,

2

cosa>0t coso>o(i + T) = — COSCOQT. (9)

N înlocuind în relaţia (8) rezultatul (9) şi Rm(x)= — B(z), obţinem:

N 2 1 N i?„ . „ „(") = — ' cos CO0T â(x) = — - cos W 0 T S ( T ) .

2 P0 2 2P0

Densitatea spectrală de putere a lui ns{t) se obţine aplicînd teorema Wiener--Hincin:

s ^ H = <? {R«t»s(^)}> de unde rezultă:

C» 7V" AT S.* . = \ r^-cos<O 0 T • 8(T) exp (-JCOT) dx = - ^ - - (10)

J-oo 2.P0 Z-f 0

f) în cazul structurii de la punctul „6", matricele sistemului sînt

F = [ _ « ] ; G = [1]; Q = [2a]; P = [NJ2] ;

C = [<#)]; K „ = [*]. Ecuaţia variantei în regim permanent devine

c2(t)k2 + aN0k - aN0 = 0. (11)

Deoarece filtrul buclei FB este un filtru trece-jos, care taie componenta de frecvenţă 2(o0, se poate aproxima

c2(t) = P„(l + cos 2<*0t) s P9

şi ecuaţia (11) ia forma

 2 + ^ _ ^ = 0 . (12) P P •*- o o

Soluţia convenabilă a ecuaţiei (12) este

K = — ( - ^ + V^a2 + 4iV0a P0). 2P 0

în cazul buclei demodulatoare din modelul simplificat de la punctul „d" matricele sistemului sînt:

F = [-a]; G = [1]; Q = [2a]; P = [iV0/2P0] ;

C = [ l ] ; K „ = t*].

208

Din ecuaţia variantei în regim permanent rezultă

k* + ^ k - ^ = 0. (13) P P •*- n -*- n

Deoarece ecuaţiile (12) şi (13) sînt identice, rezultă

k0 = k0.

g) în cazul structurii de la punctul „b" rezultă

A(t) = k-^-P0 = ~a + \ u «? '+ jj- P0 = « ( - ; ! + Vi + KAPS),

unde l\a \P0

^MAPS ' NojlPo N0a

în cazul structurii de la punctul „d" rezultă, evident, acelaşi cîştig. h) Funcţia de transfer a demodulatorului optimal Kalman-Bucy este

1 + AH(im) unde H(]<x>) = l/(« + j«) (v. problema 5.16).

Se obţine în final

H.(j«) = - « ( - 1 + VI + W ) - 1 + Vi + \wAPs) + a + j w

Funcţia i?o(j«) caracterizează un filtru trece-jos de tipul celui dedus în cazul în care mesajul era nemodulat (v. problema 5.16) [3], [4].

5.18. Un mesaj m(t) cu densitatea spectrală de putere

co2 + a1

este integrat într-un modulator integrator. Semnalul integrat

y(t) = C «(*) • ' o ;

es/fe transmis pe un canal cu zgomot alb aditiv cu densitatea spectrală de putere Snn = Ar

0/2, #s /eZ £wc# semnalul recepţionat este, ...j

r(*) = y{t) + n{t).

Considerînd că zgomotul de excitaţie a sistemului dinamic generator al mesajului m(t) are funcţia de autocovariaţie KMU(T) = Q8(T) , unde Q = [2a], se cere să se determine receptorul demodulator optimal care estimează mesajul m(t).

Soluţie Alegem ca primă variabilă de stare—ieşirea modulatorului

xe(t) = y(t)

209

şi drept a doua variabilă de stare—chiar mesajul: ; ; xx = m(t).

Se obţin ecuaţiile de stare %Q = %i;

" %i= —a %i + u(t), unde u(t) este zgomotul alb care excită sistemul dinamic generator al mesa­jului m(t).

Rezultă matricele sistemului

C = [l 0]; 0 1" ; G =

0"

u — a [1J V = [NJ2]; Q = [2a].

Dacă notăm matricea «11 «12

«22.

atunci ecuaţia variantei în regim permanent devine.:

K„ r«n Lfel

N0

sau, încă: [ fei «22

\_—ak2i - (2«22.

1 — a

ku k12

«21 «22

11 «1?1 j _ [

21 . «22 J L

[t. 0]

fel «12 fel «22.

fel fe2

hi htl M + 2« l[0 1] = [0]

+ L^22 -afe

2 « i i «11«12

hihz ro o + Lo 2aJ

= [0]. (1)

Deoarece Ă.y = k}i, Vi,j din ecuaţia:. matriceală (1) obţinem următoarele trei ecuaţii scalare necesare:

m(t)

Fig. 5.18. Receptor optimal K a l -man-Bucy pentru mesaj transmi s.

prin modulator integrator.

2kls— — «f1 = 0 . N

N0

fe2 — «fe2 feife2 = 0 ) No

2 — 2«&,2 fe, -\- 2a = 0 N0 '

(2)

210

Se rezolvă sistemul de ecuaţii (2) şi se obţine demodulatorul optimal Kalman-Bucy estimator al mesajului m(t) din figura 5.18 [4].

5.19. Să se rezolve problema 5.18 în cazul modulaţiei de fază (MP) cînd semnalul transmis este de forma

y(t) =4 A0 sin [<60t + $m(t)~\.

Să se determine receptorul-demodulator cuasi-optimal Kalman-Bucy în cazul cînd raportul semnaljzgomot al canalului (A|/(N0WC) este suficient de mare (W0 — banda canalului).

Soluţie în acest caz semnalul recepţionat este de forma

r(t) =h{t-m(t)) + n(t). .

Notăm prin x şi Kse aproximanţii estimaţilor x şi, respectiv, Kes. Ecuaţia procesorului este (v. rel. (5.29))

Î = F Î + X(<) [r(t)-h(t; x(t))] (1)

unde, în conformitate cu (5.30)

A(t) = KJ)[h(t: x)]P"\

D[h(^; x)] fiind matricea iacobiană al cărei element de pe rîndul i şi coloana / este

8h}(t; %)ISxi.

Ecuaţia variantei este (v. rel. (5.31)):

J ° Ş ^ = FK££ + K £ F r + GQGT + KieD[D(h(*; x)]T~^[r(t) -at

-h(t;x)}KtE. (2)

în cazul particular al problemei noastre, dacă notăm %i(t) = m(t), avem ecuaţia de stare

s i

unde

%i(t) = —ax1 -f u(t)

r(t) = A0 sin [u0t + ^x1(t)] + n(t),

x = [ * j ; F = [ - « ] ; G = [ l ] ;

T(t) = [r(*)]; m(t) = [>(*)]; n(*) = [»(*)] ;

h(*; x(0) = [^o sin(co0* + P*i(*))];.

D[h(2; x(2)] = [$A0cos(u0t + p ^ ) ] .

211

Ecuaţiile procesorului şi variantei devin:

2Mo r Xl -axx N0

-—k22 cos ((x>0t 4- fix-i) [r(t) — A0 sin (<o0£ + $Xi)]',

K5E =%K e s + K ^ + GQGr - (2/iV0) MpM0 [r(t) sin (co0/ + -

+ p ^ ) + 4 0 cos (2o0* + 2 P * I ) ] ,

unde M(t) este o matrice simetrică al cărei element (i,j) este k2i k2}. Să exa­minăm termenul

rit) sin («„£ + p%i) = «(/) sin (c>y + P^i) +

+ ^40 sin (wo^ + P*]) sin (u>0t -f p^j) == n(^) sin (oV + P*i) +

1 1 ~ H A0 cos p(^j — ^i) y40'cos (2ca0t + p% + P#i).

Deoarece 1 1 1 •

— A0 cos p ( ^ — %!) = — A0 A0 p 2 ( ^ - xj* + ..'.,

obţinem:

r(t) sin(w0i! -f p%x) ş — A0 A0

n(t) sin(co0i! + P#i)

după ce am neglijat termenii d.e frecvenţă dublă 2<o0. Pentru un raport sem­nal/zgomot (AI/NQ WC) al canalului suficient de mare, termenul al doilea din paranteza din membrul drept este neglijabil şi deci:

r(t) sin ((x>0t + p ^ ) ^ — A0. (3)

Ţinînd cont d.e (3) şi, nşglijînd termenii de frecvenţă dublă, ecuaţiile pro­cesorului (1) şi variantei (2) devin

2QA ~ 'x1 = — ax-x H 7 ^ k22?{t) cos[a0t + P^J

şi respectiv N,

2ak22 + 2« 1 M | N0

«22- (4)

Valoarea lui k22 se deduce din ecuaţia (4) scrisă în regim permanent (Â22 = 0). Se obţine structura demodulatorului cuasi-optimal din figura 5.19 [4].

r®>& /w%\ k22 X,=m(l) pfa

COS (ojgt+fiXf)

Modu/ofor MP

Fig. 5.19. Receptor cuasi-opti Modu/ofor MP mal Kalman-Bucy pentru sem

nale MP.

212

PROBLEME PROPUSE

5.20. Fie un semnal m(t) caracterizai prin densitatea spectrală de putere

Şmnfa) 1 ' + Oi4

Se cere: •a) funcţia de autocorelaţie (autocovariaţie) a semnalului m( t ) ; b) funcţia de transfer a filtrului, invers de albire; c) funcţia de transfer a filtrului optimal Wiener de predicţie care estimează

semnalul dorit d(t) = m(t + a), a > 0; d) funcţia pondere a filtrului optimal de la.punctul ,,c"[2].

5.21. Fie o tensiune aleatoare e(t) care apare la bornele unuj, circuit paralel RLC comandat de- o sursă de curent i(t) de tip zgomot alb (fig. 5.21), <o§ = = 1/LC, Q = R/w0L.

Fig. 5.21. Generator de tensiune comandată de o sursă de eurent de tip zgomot alb. fff)

— - ••• — • i — : , o

^ A 0: I

L e(

, 0

Se cere: a) să se găsească densitatea spectrală de putere a tensiunii de ieşire See(«)

în funcţie de w0, L şi Q presupunînd că Sii(w) = 1; b) să se arate că pentru a = jco/co0, ?i Q2 P 1. ss obţine funcţia de transfer

G(joo) = G (a«0) ( a + l / 2 ( ? - j ) ( a + l / 2 ^ + j) ' .

c) să se arate că funcţia de transfer a filtrului optimal Wiener de predicţie pentru e(t) {utilizînd un trecut infinit), în condiţiile de la punctul „b", este '

H(]a>) = exp ( ~ | sin u>0\ I ctg <o0X — — jcoj

unde X este timpul de predicţie [5].

5.22. Fie un semnal x(t) staţionar eşantionat cu ajutorul unui semnal p(t) necorelat cu x(t), astfel încît la ieşirea eşantionorului avem

unde y(t) = x(t) p(t),

p(t)= g h(t-tn),

213

h{t) descriind forma impulsurilor de eşantionare, iar {tn} fiind momentele de eşantionare. Ştiind că

i* an

h(o)d(r= 1, x>

că valoarea medie a lui p(t) este Ş (unde (3 este numărul mediu de puncte de eşantionare în unitatea de timp) si că momentele de eşantionare {tn} constituie un proces staţionar punctual independent de x(t), se cere [7], [9]:

a) să se arate că: RzV(r) — $RXx{~)'> K W ( T ) = ^ ( r ) f i „ ( T } ;

•£*„(<•>) = $Sxx(v); b) să se arate că

SmH = £• T 5„(os - Q) | H(Q) |2 ( £ Fn(Cl) } dQ, (1) Z7U J _ C O [ M= —CO J

•^m^ H(£î) = ^{MO}* S55 (co) reprezintă densitatea spectrală a procesului CO

n —— oo

fn{.) reprezintă densitatea de probabilitate asociată cu lungimea a n intervale consecutive în procesul punctual {tn}, iar F n (co) = S*{fn(.)}, ştiind că

p(t)=\ h(t — O)S(<J) ăv . H şt

71= — 00

c) să se particularizeze rezultatul (1) cînd eşantionarea se face cu impulsuri Dirac, h(t) = S(t) ;

d) să se deducă funcţia de transfer Gore(jco) a filtrului optimal nerealizabil Wiener care reconstruieşte (interpolează) semnalul original din cel eşantionat

(estimează d(t) = x(t)), în cazul eşantionării ideale periodicei fi = — , fn(a) =

= B(a - nT), Fre(co) = e-^»T V . e) să se arate ce devine funcţia G0„(jco) de la punctul „d" cînd x(t) este semnal

de bandă limitată (—W, W) ; f) să se calculeze eroarea filtrului optimal interpolator în condiţiile punctelor

„<&!' şi „e" ; g) să se repete punctele „d" şi „i" în cazul cînd {t„} constituie un proces

JPoisson cu

(n — 1) ! Indicaţie: vezi [7]. 5.23. Să se calculeze eroarea unui filtru optimal Wiener realizabil cu funcţia

de pondere — , O ^t ^ T, A >0 A h0{t) = ' O, t < 0

214

••are estimează semnalul dorit d(t) = m(t), unde mesajul m(t)- se caracteri-•ează prin funcţia de autocovariaţie ''••-•,

K„Jx) = Ae~*M cos M0T,

ransmisia mesajului fiind efectuată pe un canal cu zgomot alb aditiv. Care iste valoarea erorii în cazul co0 = 0 ?

Indicaţie Formula care dă eroarea (v. rel. 5.18)

eo Kda(0) ~ \ h0(x)Kdm(x)dx, ' f i

:inînd cont că

ievine

Kda{x) = Kmm(x) ;

Kdm(r) = Kmm(x),

f*.CO

e0 = Kmm(0) - V h0(x)Kmm(T)dr. Jo

înlocuim expresiile lui Kmm(x) şi h0{x) şi obţinem pentru co0 = 0:

e0 = A + (.4/a)exp~( —ocT).

5.24. Fte «« mesaj m(t) caracterizat prin densitatea spectrală de putere 1 + o 2

5 mm î + « 4

Se cefe."

a) să se deducă funcţia de transfer a filtrului optimal Wiener de predicţie; b) să se calculeze eroarea normată a predictorului dedus la punctul anterior[2>].

5.25. Mesajul m(t) transmis pe un canal de comunicaţie cu zgomot alb iditiv n(t) se caracterizează prin

Smm\CX)) ' mm\ (w2 + k2)2

iar zgomotul—prin . _ N 0 ••;

Se cere să se calculeze filtrul optimal Kalman-Bucy pentru semnalul dorit [3]:

dm(t) d(t)

dt

5.26. Să se rezolve problema 5.18 în cazul modulaţiei de frecvenţă (MF) cînd. semnalul transmis este

y{t) = A0 sin a>0t + d\ m(x)dx

215

Să. se determine receptorul-demodulator cuasi-optimal Kalman-Bucy în condiţii similare cu cele din problema 5.19.

Indicaţie Notăm:

x0 = \ m(x)ăz;

x1 = m(t).

Ecuaţiile de stare sînt

x0 — %x;

%i = —axx + u(t)',

h[t; x(t)] = A0sm[<A0t + dfx0(t)]. Se deduce

D[h(t; x)] = dfA0 cos [<x>0t -f- dfx0(t)].

Ecuaţia procesorului este de tipul celei deduse în problema 5,19:

x = Fx + No

hi dfA0r(t)cos[(A0t + dfx0(

Ecuaţia simplificată a variantei este:

ăt F K £ e + K s e F r + G Q G î ' - ^ ° -

N0

Pentru aflarea soluţiei de regim permanent se anulează termenul din membrul drept al relaţiei de mai sus.

Structura demodulatorului MF cuasi-optimal Kalman-Bucy este, prezen­t a t ă în figura 5.26 [4].

r(t) ^®

I l Osci fa fer comandat în

tensiune - VCO Fig. 5.26. Receptor cuasi-optimal Kalman-Bucy pentru semnale MF.

216

BIBLIOGRAFIE

S p ă t a r u, A l . Teoria transmisiunii informaţiei, voi. I I (Coduri şi decizii statistice). Ed. Tehnică, Bucureşti, 1971.

P a p o u l i s , A. Probability, Random Variables and Stochastic Processes. McGraw-Hill Book Co., New York, 1965.

V a n T r e e s, H. L. Detection, Estimation and Modulation Theory, voi. I, I I , I I I . J. Wiley and Sons Inc., New York, 1968/1971.

S n y d e r, D. L. The State-Variable Approach to Continuous Estimation with Applications to Analog Communication Theory, MIT-Press, Cambridge (Mass.), 1969.

D a v e n p o r t , W. B., R o o t , W. L. Introduction to Random Signals and Noise. McGraw-Hill Book Co., New York, 1958.

S a g e, A. P. , M e 1 s a, J. L. Estimation Theory with Applications to Communications and Control. McGraw-Hill Book Co., New York, 1971.

L e n e m a n , O. A. Z. On Finite Pulsewidth Sampling. î n : I E E E Trans. on Comm. Techn., COM-15, 1967, p . 7 1 8 - 7 1 9 .

N i ' c o l a u , E d. Introducere în cibernetica sistemelor continue. Ea. Tehnică, Bucureşti, 1972. M u r g a n , A. T., R ă d o i , C , L ă z ă r e s c u, V. Introducere în discretizarea şi refacerea

semnalelor continue. Atei, IPB , Bucureşti, 1980.

CAPITOLUL b

MODULAŢIA

INTRODUCERE TEORETICA

Prin modulaţie se înţelege corespondenţa biunivocă dintre spaţiul. mesa­jelor şi spaţiul semnalelor transmise, realizată în scopul facilitării transmisiunii printr-un mediu dat, al obţinerii de transmisiuni multiple şi al măririi stabili­tăţii faţă de perturbaţii.

Caracteristic pentru orice proces de modulaţie este utilizarea unei „pur­tătoare", care constituie un semnal cu proprietăţile de a se distinge şi separa de alte semnale purtătoare şi de a avea parametri care pot fi variaţi în ritmul mesajului.

în funcţie de natura purtătoarei, modulaţia poate fi: • modulaţie cu purtătoare sinusoidală; • modulaţie cu purtătoare pulsatorie (modulaţie de impulsuri).

• Modulaţia cu purtătoare sinusoidală poate fi: • modulaţie liniară (ML) sau modulaţie de amplitudine; • modulaţie exponenţială (ME), care poate fi modulaţie de frecvenţă

(MF) sau modulaţie de fază (MP).

• Modulaţia cu purtătoare pulsatorie poate fi: • modulaţie de impulsuri fără cuantizare (analogică) ; • modulaţie de impulsuri cu cuantizare (digitală). Modulaţia de impulsuri analogică poate fi:

• modulaţie de impulsuri în amplitudine (MIA); • modulaţie de impulsuri în poziţie (MIP) ; • modulaţie de impulsuri în durată (MID) ; • modulaţie de impulsuri în frecvenţă (MIF).

Modulaţie de impulsuri digitală (cu discretizarea eşantioanelor) este: modulaţie de impulsuri în cod (MIC).

A. Modulaţia cu purtătoare sinusoidală

a. Modulaţia liniară (de amplitudine)

• Modulaţia de amplitudine cu purtătoare si cu ambele benzi laterale (MA)

în domeniul timp expresia semnalului modulat este

sjt) = [Ax + m(t)] cos(«^ -f ? 1 ) ; (6.1)

unde m(t) reprezintă mesajul modulator, Ax > 0, iar sp(t) = 0 pentru Ax + + m{t) < 0.

218

Pentru modulaţia de amplitudine cu purtătoare şi ambele benzi laterale (MA), expresia (6.1) poate fi pusă sub forma

sp(t) = Ax{\ + ~m{t)) cos^t + 9 l ) , (6.2) A

unde

a = — se numeşte grad de modulaţie) (6.3) Ai

(—A) reprezintă valoarea instantanee negativă cea mai mare în valoare absolută a lui m(t).

în domeniul frecvenţă expresia semnalului modulat în amplitudine este

Sp(v) = 7w41[e^S(u — Wl) -f- e-J^S(w + Wj)] +

H [ e^Mţu — toi) + e-**M(w + coj)], (6.4)

unde Af(co) ==F {*»(*)}. (6.5)

• Modulaţia de amplitudine cu purtătoarea suprimată (MA-PS). în do­meniul timp MA-PS are expresia

s(t) == ra(£) cos(w^ + fi), (6.6)

ceea ce corespunde în domeniul frecvenţă la

S{<â) = — e^M"(<a — <*>i) -j e-w*M(w + w :). (6.7)

9 Modulaţia de amplitudine cu banda laterală unică (MA-BLU). Ex­presia semnalului în domeniul frecvenţă, cînd. se transmite numai banda late­rală superioară (respectiv numai banda inferioară), este

5i(i)(co) = —eJ<«»M±(w — «x) + — e- '^M^co + u,) , (6.8)

în care

M„(«) = M(<o), w < 0 ; (6.9)

Af+(«) = M(o>), co > 0, (6.10)

ceea ce corespunde în domeniul timp la

s i(i)(0 = — w ( 0 cos(cox£ + şi) ±—H{m(z!)} sin(co^ + q3X), (6.11)

unde H{m(£)} semnifică transformarea Hilbert a semnalului m(t).

O Notă. în relaţiile (6.6) şi (6.9) se consideră semnul „ + " pentru modulaţia cu bandă laterală superioară şi respectiv semnul „—" pentru modulaţia cu bandă laterală inferioară.

• Demodulaţia semnalelor modulate liniar poate fi realizată prin demo-dulaţie de înfăşurătoare sau demodulaţie de produs.

219

• Demodulaţia de înfăşurătoare se aplică în cazul în care înfăşurătoarea semnalului variază liniar cu mesajul. Ea este adecvată pentru modulaţia în amplitudine cu ambele benzi laterale şi purtătoare.

• Demodulaţia de produs [sincrona), adecvată în special pentru semnale MA-PS sau MA-BLU, se face prin intermediul unei noi modulaţii, analoagă cu aceea de la emisie (multiplicarea semnalului recepţionat cu purtătoarea cos(to0£ + 90), urmată de trecerea printr-un filtru presupus ideal, cu timp de întîrziere nul şi frecvenţa de tăiere Q0, avînd caracteristica de frecvenţă

f 2, pentru — Qo < " < ^o , l(- 10N

[ 0, pentru u> < — O0, co > Q.0.

Frecvenţa O0 satisface condiţia

O M ^ O 0 ^ « i — &M. (6-13) unde QM este cea mai înaltă frecvenţă din spectrul mesajului.

MA - PS

î n urma realizării produsului cu purtătoarea de la recepţie, de frecvenţă ca0 şi fază cp0, se obţine

S*(v) = —[eJ^+^'MYco — «! — to0) + e>lv°-^M(o> + 4

+ Oi — co0) + e-«cP»-tPJM(co — co! + co0) + e-H-t'+'^M^ + cox + co0)] (6.14)

care, trecută prin filtrul F0(co) (rel. (6.12)), conduce la spectrul iV(to))

iV(co) = — ejtPAM"(co - coA) + e-itPAM(to + toA). (6.15)

Acesta, în dcmeniul t imp, devine

n(t) = m(t) cos(coA^ + 9A) , (6.16) unde

COA = CO0 — coi; (6-17)

9A = 90 — 9i- (6-18)

MA-BLU

De exemplu, dacă se transmite banda laterală superioară, după realizarea produsului sincron, la recepţie, se obţine spectrul SÎ(+)(to)

5*+)(co) = — [e«"!»+^iM+(co — cox — co0) + &&*-^M_(a> + 4

+ co! — coo) + e-J(tP»-*i)M+(co — coi + co0) + e-J<*>«+*i).M_(w + coi +-to0)]. (6.19)

220

După trecerea prin filtrul F0{u>) se obţine spectrul AT(ca)

N(<*) = — [ e ' ^ M ^ o ) -<oA) + e-i^M+(<x> + wA)], (6.20)

are conduce în domeniul t imp la semnalul

n(t) = — m ( t ) cos(c£>At••+ cpA) •^5{w(/5)}sin(coAi!4-(PA)- (6.21)

Dacă se transmite banda laterală inferioară, se obţine

1 ' 1 n(t) = — m(t) cos(coAif + <pA) 4 ^3{«(i)}sin(«Ai! + cpA). (6.22)

• Interferenţe în MA cu demodulaţie de înfăşurătoare Se consideră semnalul util s^t) şi, respectiv, semnalul perturbator s2(t):

înde s2{t) = 42eJ^«,

« = ^ - < l . ^ i

Semnalul rezultant este

s(t) = s ^ ) + s-a(*) == A{t)&°>t+*)l

mde înfăşurătoarea are expresia

A(t) = Ax Vi + «2 + 2a cos coA^ = ^4x V) Q c o s « « A ' .

iar:

a sin « A i = arctg

1 + a cos « A i

S-au făcut următoarele notaţii:

coA = co2 — « i ; I

co = 1 + —;

Ci " ( ' - * ) •

Pentru cazul general, cînd ambele semnale sînt modulate si cînd

^2 + n{t) A1 + m(2) « 1,

(6.23)

(6.24)

(6.25)

(6.26)

(6.27)

(6.28)

(6.29)

(6.30)

(6.31)

(6.32)

expresia înfăşurătoarei devine

A(t) = Ax + m(t) + A2 cos u>At -f n(t) cos (£>At (6.33)

şi se obţine raportul semnal/perturbaţie în prezenţa interferenţei

(I) = 2 _ ^

A% + n%î)

• Interferenţe în MA cu demodulaţie de produs î n cazul cînd două semnale sx şi s2 au ambele benzi laterale sime trice

există posibilitatea de a anula la punctul de recepţie pe unul din ele, celălalt putînd fi recepţionat în anumite condiţii fără distorsiuni.

Dacă mi(t) — > s i 0 0 r '

m2(t) — > sz(t),

atunci, după demodularea de produs cu purtătoarea locală se obţine

n-i(t) = mx[t) cos[(w0 — coi)£ + <p0 — fli], (6.35)

n2(t) = m2(t) cos [(«o — u>2)t + <p0 — cp2]- (6.36)

Dacă se urmăreşte eliminarea unuia dintre semnale la recepţie, de exemplu a lui n2(t), se reglează frecvenţa şi faza oscilatorului de la recepţie astfel încît

w0 = «2 şi <po — 92 = (2A + 1 ) — i k fiind un întreg.

• Zgomote de fluctuaţii la demodulatoarele de înfăşurătoare Se consideră un semnal util

Sl(t) = (At + m(t)) costojt (6.37)

şi un semnal perturbator, care constituie zgomotul de fluctuaţii, reprezentat de |

z(t) = V(t) cos[u2t + Q(t)}, (6.38)

unde Q(t) este o funcţie aleatoare cu distribuţie uniformă

w(Q) = — , pentru 6 e (0,2n) ; (6.39) 2n

iar

222

a — \ YM <g l. (6.40) | Ax + m(t).

Notînd cu N((x>) densitatea spectrală de putere a zgomotului de fluctuaţii •eprezentat printr-o funcţie simetrică faţă de frecvenţa centrală co1; se deduce raportul semnal/zgomot la ieşire

(I). " m2(t) 1 r^M

ieşire V JV((0 + (O^dtO " Jo

(6.41)

în cazul zgomotului alb

N(<* + toi) = N0 = 2nz0, . (6.42)

I) =#L- ( M 3 > ^ Jieşire ^^ i l f^O

Pentru comparaţie, raportul semnal/zgomot la intrarea demodulatorului îste

(fi — A\ + AM7) + -1-wT(7) . .,-• .

S2{t) 2 * . 2 ' . (6-44) intrare ^^^M^O ^^-^M^O

m Zgomote de fluctuaţii la demodulatoarele de produs Semnal MA Considerînd pentru sx{t) şi z(t) expresiile (6.37) (6.38), în cazul zgomotului

alb se deduce:

^ = _ L . w2(7) cos2(9o - 9l) _ 4 5

£ ) ieşire ^ ^S-^M^O

Raportul semnal/zgomot la intrarea demodulatorului este exprimat de relaţia (6.44).

Semnal MA-PS Raportul semnal/zgomot la ieşire, în cazul zgomotului alb, este'.

\^- 'ieşire ^HMZQ

Semnal MA-BLU

'i-Y =J-.^W. (6.47) ^ Jieşire ^ ^ M ^ O

b. Modulaţia exponenţială

i Expresia în domeniul timp a semnalului modulat exponenţial este

s(t) = £ 0 e i , r w = £0eJK'+*(')> , (6.48)

223

• în cazul modulaţiei de fază (M<5),

*(*) = m{t), (6.49)

unde m(t) reprezintă mesajul modulator,

m) = o0t + m(t) (6.50) si

Sţ (t) = E0en°>°t+mW. (6.51)

• în cazul modulaţiei de frecvenţă (MF)

cos — co0 + tn{t) (frecvenţă instantanee); (6.62)

q>(t) = C m{l)âl (6.53) Jo

Şi

s/(/) = Eo&W+i m(a*a • (6.54)

• Spectrul mesajului modulat exponenţial în cazul cînd mesajul este

s i

se obţine

m{t) = M cos D,t (6.55)

D. <4 co0, (6.56)

M = — C O

(6.57)

(3 = A*p = M în cazul M O ; (6.58)

Aco M . B = = — în cazul MF. o. n

(6.59)

Este uzual să se definească banda ocupată de semnalele modulate expo­nenţial din condiţia ca puterea componentelor pînă la ordinul 7Y să conţină 99% din puterea semnalului, adică

00

2 £ J | ( S ) = 0 , 0 1 , (6.60) n=N+l

relaţia (6.60) fiind satisfăcută pentru

n > N = B + 1, (6.61)

deci, rezultă că lărgimea de bandă B este exprimată de relaţia

2TCB = 2(8 -f 1)0. - (6.62)

Dacă mesajul este format dintr-o sumă de sinusoide M

m(t) = y~) aKcos(QKt -(- <pA), (6.63) Ă' = l

224

se poate aproxima că lărgimea de bandă este

M M

£ (p* + i) aK = J2 K = l X = l

B = 2 £ (p* + 1) 0 K = | 3 5 £ . (6.64)

© Interferenţe în sistemele cu modulaţie exponenţială. Se consideră că la intrarea în receptor apar două semnale cu modulaţie exponenţială, de frecvenţe instantanee <x>i(t) şi co3(i):

Sl(t) = E^fa®** ; (6.65)

s2{t) = E^ti^m, (6.66)

unde Si(t) reprezintă semnalul util, iar s2(t) — semnalul perturbator, iar

a = — < 1 . (6.67)

Semnalul la intrarea în demodulator va fi

s(t) = s^t) + s2(t) = £iVl + a2 + 2«cosaeiW>; (6.68)

unde

a = ('coA(&)d&; (6.69) Jo

« A (0 = «*(*) - wi(0 ; (6.70)

<K0 = P'w1(g)d5 + «p = co10* + «B^) + cp. (6.71) Jo

în relaţia (6.71):

, a ş ina . . cp = arc tg > (6-72)

1 -f- a cos a co10 reprezintă frecvenţa purtătoare a semnalului Si(^), iar <£>i(t) — termenul variabil care conţine informaţia.

Semnalul la ieşirea demodulatorului este

n9(t) = 0>x(if) + a s i n i coA (£)d£, pentru M O ; (6.73) Jo

%(/) = Qi(2) + wA(^)a cos\ wA (£)d£, pentru Mi7, (6.74) Jo

unde

dî

225

Pentru a evalua raportul semnal/perturbaţie în cele două cazuri, se pre­supune

O^jj) = m(t), în cazul M®, (6.76)

a^t) = m(t), în cazul MF. (6.77)

.Se deduce raportul semnal/perturbaţie la modulaţia de fază

fŞ\ = ^ _ = 2 ^- r ( 7 ) ) (6.78) \P)z 1 ,2 El

şi la modulaţia de frecvenţă

^ - ^ -2^5i.^L (6.79) •P/F 1 /•,-, _ , s 12 / r 2 W Â

unde 6)A = «20 — «10- (6.80)

Dacă D.M reprezintă cea mai înaltă frecvenţă din spectrul mesajului,

iar p = A<& = > atunci se obţine

fS\ = pEŞ_t pentru M O ; (6.81)

("—Nj = p 2 ^ 1 / i ^ _ y , pentru M F . (6.82)

9 Zgomote de fluctuaţii în sistemele cu modulaţie exponenţială

Asupra semnalului modulat exponenţial

s(t) = EQ • oi^+vm (6.83)

acţionează zgomotul de fluctuaţii de bandă îngustă z(t) = V(t) cos{a0t + Q{t)) (6.84)

(se presupune că mijlocul benzii de trecere a receptorului coincide cu frec­venţa purtătoare a semnalului util).

Pentru EQ Ş> \V(t) |, (6.85)

dacă se notează cu iV(co) densitatea spectrală de puter e a zgomotului la intra­

rea demodulatorului, cu B — banda de trecere a receptorului, iar fM = ——= 2n

= B/2 este frecvenţa de tăiere a filtrului demodulatorului, se deduce

226

raportul semnal/zgomot la ieşirea demodulatorului, cazul M€>, respec­tiv MF:

(D.BS-rp^ : (6-86) 7Î J n

^ ) ( 6 . 8 7 ) (Ti = w !

TC Jo Ar(w + co0)dto

Dacă ^ reprezintă sensibilitatea receptorului în unităţi KT (K — con­stanta lui Bolzrnann, T — temperatura absolută), atunci pentru zgomot alb cu densitatea spectrală de putere 2V(co + co0) = N0

N0 = 2nZ0 = 4?KT ;J (6.88)

E0min = 4 £ e / . zgomot = 4j2r.BfZ0, (6.89)

unde i? / reprezintă banda de trecere a receptorului (anterior demodulării) ex­primată în herţ i .

B. Modulaţia de impulsuri

a. Eşantionarea semnalelor

Funcţia delta periodică de perioadă TlT — —- J este

Sr(f) = £ 8 ( 2 - nT). (6.90) a = — co

Funcţia delta de valoare medie a este

-}-00 +CO

8p(t) =aT J^ W—»T) = a J2 ei"a'*- (6-91) K= — co n = — oo

Funcţia rectangulară periodică este

%(*) = £ / ( * - » r ) , (6-92) « = — 00

unde

M, I « I < Ţ /(«) = ! r (6-93)

( T < r )

227

Expresia (6.92) se mai poate scrie

smsun— + 00 2

eT{t) = a V* cos noi0t, (6.94) n = — <x>

««o 2 unde

a = A — • (6.95)

b. Modulaţia de impulsuri analogică

e Modulaţia în amplitudine a impulsurilor (MIA) • Legea de modulaţie. în cazul modulaţiei sincrone (eşantionare uniformă),

legea de modulaţie este exprimată de relaţia

A = Km(nT), (6.96)

m( t) reprezentînd mesajul modulator, A — amplitudinea impulsului, T — pe­rioada de eşantionare, K — o constantă.

Se presupune că eşantionarea se face cu funcţia rectangulară periodică. Pentru modulaţia asincronă (eşantionarea naturală) amplitudinea este

proporţională cu valoarea semnalului în momentul evaluării:

A = km(nT + u). (6.97)

Evaluarea se face în momentul nT + y-, unde fi < T(T — lăţimea im­pulsurilor rectangulare de eşantionare).

• Spectrul impulsurilor modulate în amplitudine (MIA) în cazul eşantio­nării uniforme cu perioada T — 2TT/CO0 este

sin 63 — S.(a)=a — e" iMT g M{<* -noi0), (6.98)

O)

2

Din punct de vedere practic, se pot neglija componentele spectrale supe-

rioare frecvenţei— [lărgimea de bandă ocupată fiind B = — - ] • (6.99) Spectrul impulsurilor modulate în amplitudine (MIA) în cazul eşantio­

nării naturale este exprimat de relaţia

sm %<o0 — Sn(u>) = — a J^ — lM (w — n(*°) + M(<* +»"o)] . (6.100)

^ n= — co ~ ?ÎG) 0

2

228

• Modulaţia impulsurilor în poziţie (MIP) • î n cazul eşantionării uniforme poziţia p a impulsului faţă de momentul

nT este proporţională cu valoarea mesajului în momentul nT:

p = Km{nT). (6.101)

în cazul eşantionării naturale, poziţia p este proporţională cu valoarea semnalului în momentul {nT + ft) '•

p = Km(nT+p). (6.102)

Se consideră un mesaj sinusoidal

m(t) = Ap sin Q,t, (6.103)

unde Ap este valoarea absolută a deplasării impulsului. • Spectrul impulsurilor modulate în poziţie. în cazul eşantionării uniforme cu un mesaj sinusoidal, momentul de

apariţie a impulsului se consideră de forma

tn = [ » r - Ap sin QnT, (6.104) unde

Spectrul corespunzător al impulsurilor modulate în Doziţie este

sinea — S.(co) = 2TT« - i . e " J V ^ ^ / m ( 6 > A ^ ) 8(wQ - «o - wo>0)J (6.106)

<• ?n n Ci

2

(a si T caracterizează funcţia rectangulară esantionatoare, conform relaţiilor (6.92), (6.93), (.6.94), (6.95)).

în cazul eşantionării naturale, momentul tn de apariţie a impulsurilor, pentru un mesaj sinusoidal, se consideră de forma

tn = nT — Ap sin Qtn, (6.107)

semnalul MIP avînd un spectru de forma

s i n « — 2 —' — f

Sn(a>) = 2TÎ • a e 2 Y^ Y^ Jm(nu>0Ap) j §(« — wco0 — mQ) + T n m \

CO 2

1 1 i H OA^S[w — « u 0 - (w — 1)Q] -\ QA£S[« — ww0 — (w + 1)Q]

Z 2 1 (6.108)

229

• Modulaţia în durată • Legea de modulaţie Pentru eşantionarea uniformă, relaţia de definiţie a modulaţiei în durată

este

-. = Km(nT), (6.109)

iar pentru eşantionarea naturală

z = Km{nT + z), (6.110)

unde T reprezintă durata (lăţimea) impulsului purtător de informaţie. • Spectrul impulsurilor modulate în durată

Dacă se consideră un mesaj sinusoidal în (6.109) pentru eşantionarea uniformă, durata impulsurilor este proporţională cu valoarea mesajului în momentele de eşantionare, conform relaţiei

T = T0 - A-c sin QnT. (6.111)

Spectrul impulsurilor modulate în durată rezultă de forma

S » = 2rc — £ W j , > A T ) S ( m Q - co - nco0) - e - i « * . £ S(o> - *K*O)\, ] w m n { n J

(6.112) unde a = ^4/T, .4 fiind valoarea de vîrf a impulsurilor.

Pentru eşantionarea naturală, durata unui impuls este proporţională cu valoarea mesajului în momentul evaluării, adică

T = To _ AT sin Cit. (6.113)

Spectrul semnalului modulat este

1 A [ Sn(ta) =!-•- — |££/ w (»KooAT)[8(to - mo0 - mCl) +

+ — Q(AT)S[CO - «co0 - (m — 1)Q] + — Q(AT)S[W — «wB — (m + 1)0] —

_ e - J " - » ^ S(w — »cD0)j- (6.114)

• Raportul semnal/zgomot • Raportul semnal/zgomot la ieşirea demodulatorului MIA cu eşantio­

nare uniformă rezultă egal cu raportul semnal/zgomot la intrare:

(A) =(!_) = ţSl (6.115) \ £ )ieşire \ ^ /intrare *• 1 A A T / •> j

MIA uniform \ iV(tt)aCO 27L J 0

unde iV(«) este densitatea spectrală de putere (definită pentru frecvenţe pozitive) a perturbatiei la intrare, iar a>A este lărgimea de bandă a receptorului (respectiv cea mai mare frecvenţă a mesajului).

230

• în cazul unui semnal MIA cu eşantionare naturală, raportul semnal/per-turbatie la ieşirea demodulatorului este

(!) ; ^ b >(• \ ^ /ieşire { „;„,, T \ v

iV(co)dco

(6.116): \ ^ \ ^ J ieşire \ MTÂ unifnrtfj.

i raA 2

ieşire / • T V V. •" /«eţ»« MIA natural , - „ , , S 1 I 1 M — MIA uniform

2-K JO T

• în cazurile MIP şi MID (modulaţia în poziţie şi în durată a impulsu­rilor) problema raportului semnal/zgomot este aceeaşi, deoarece zgomotul introduce o nedeterminare în poziţia frontului impulsului modulat.

Dacă se notează cu a valoarea efectivă a zgomotului şi cu F i — valoarea sa de vîrf:

Vv=4a, (6.117)

atunci condiţia ca valoarea de vîrf a zgomotului să nu depăşească jumătate din amplitudinea A a semnalului modulat se exprimă sub forma

a <— • (6.118) 8

Raportul semnal/zgomot la ieşirea demodulatorului este

S_\ _ A2 _ w2(7) £2

/ leştrs ° MIP-MID

(6.119)

c. Modulaţia de impulsuri digitală

® Modulaţia de impulsuri în cod (MIC) se caracterizează prin aceea că valorile mesajului în punctele de eşantionare sînt aproximate prin valori discrete, astfel încît este posibilă transmisiunea în cod de impulsuri a fie­cărui eşantion.

Dacă W reprezintă frecvenţa cea mai mare din spectrul unui mesaj m(t), atunci

sin2itW(t —\ m(t)= V^ m(—\ ^ mtl. (6.120)

— V ^ i 2ltW(t —*-) { IW)

Se consideră că domeniul de variaţie al semnalului m(t) este

-V < m{t) ^ V, {V > 0 ) . (6.121) 231

Mesajul m(t) este substituit de mesajul mq(t), avînd expresia

k sin 2-izW.

.w= E m„

unde:

m, (—) \2W )

2W

in

2W (6.122)

2nW 2W

2W + 6rf.

q reprezintă intervalul minim de cuantizare a semnalului:

2V 1 = N

(6.123)

(6.124)

unde N reprezintă numărul nivelelor de cuantizare. 6 t este o variabilă alea­toare avînd densitatea de probabilitate

fl>

» «« = <

10,

%\<\

,1 > •

(6.125)

• Eroarea de cuantizare este

e(i!) = mq(t) — w(£).

• Puterea zgomotului de cuantizare

7^= -ii-12

• Rezultă raportul semnal/zgomot de cuantizare

'JL\ ~y$\ =3y2^2(7) p

e2(o

T/2

5.126)

(6.127)

(6.128)

Dacă se presupune că mesajul m(t) este cuantizat într-un număr N de nivele şi că un eşantion este transmis prin n impulsuri de durată T, consti­tuind un cuvînt de cod de durată T, atunci există relaţiile

2n = N.

• Banda semnalului MIC este

n T < i-V

IW)

1 2 T

B r > ^ me>,

(6.129)

(6.130)

232

• Dacă asupra unui semnal MIC binar, în care

„ 1 " - * + 4 (volt);

„0" ~> 0 (volt),

acţionează un zgomot Gaussian aditiv cu dispersie a2 şi valoare medie nulă şi dacă probabilităţile celor două variabile binare sînt egale, atunci proba­bilitatea de eroare este

m care Ps= 1 — F(t>), (6.13i)

4 2CT

(6.132)

F(p) = - ! = ( ' e " " d « = ^ + 0 ( P ) ; (6.133) \Ll\. J-03 2

1 (*p — *(p) = — = \ e T d « .

V2TC J0

PROBLEME REZOLVATE

6.1. Se consideră un semnal modulator multilon m(t) = K {Icos Qt -j-+ cos 2 0 t + «5 cos 5Oi), care reprezintă intrarea unui sistem cu modulaţie în amplitudine MA, avînd indicele de modulaţie a = 1.

a) Să se determine K astfel încît m(t) să fie normalizat (A = 1). b) S« se reprezinte spectrul frecvenţelor pozitive ale undei modulate.

P !P

c) Să se calculeze rapoartele —— şj i_p_, ţn care PB L reprezintă puterea

^e bandă laterală, Pp — puterea purtătoarei, PT — puterea medie transmisă

Soluţie «J Din cmdiţia de normalizare, pentru evitarea distorsionării anvelope

i *»{*) | < 1 se deduce la limită

6K = 1 ==> X = —• 6

Expresia în domeniul t imp a semnalului modulat în amplitudine este (relaţiile (6.2), (6.3), pentru <pi = 0):

A

sp(i) = i4x[l + txm(t)) cos c». =

1 4- -1- (2 cos O/ + cos 2 0 i + 3 cos 5 Oi) 6

COS Wj t .

Această expresie poate fi pusă sub forma

A { \ sp(t) = ^4j cos oijH - j—[cos (&>! — Q,)t + cos(co1 + Q)i] +

+ —[cos(co! — 2£l)t + cos(«x + 2Q)t] H [COS(G>! — 5Q)<î + 6 2

cos (coj + 5Q)m«

b) în figura 6.1 este reprezentat spectrul de amplitudine, corespunzător

acestei forme de undă (ft: O, 2TC

reprezintă frecvenţa purtătoare; F

-At

2TC ) •

I I £

AJ 12

# 4 f

4

\

•+.

Fig. 6 .1 . Spectrul de amplitudine al semnalului MA din problema 6.1.

c) Puterea medie transmisă

PT = sl(t) = A{{[\ + a • m(t)f cos2co^}.

Dacă fx ş> fM, unde fM reprezintă frecvenţa maximă a semnalului, atunc

Pr = [l + a2 K(0f—•

Dacă sursa de mesaje este ergodică,

OT2 =

Puterea purtătoarei (A± ccs w^) este

J°p = ^î

234

Puterea j>e bandă laterală este

pBL = S ^L = — a2m2PTl.

'entru condiţiile problemei, în care

e deduce

Rezultă:

1 1 1 mit) = — cos D,t -\ cos 2Qt A cos 5Q,t,

3 6 2

1 1 1 7 (W*(f))= _L + _L + -L =

18 72 8 36

4? a2[m2(^)] ^ -—a?[m*{t)] = — [«2(0] =

8P, ^ 2 2 72 2

ii P„ _ 2 1 _ 36 P? ( l + a 2 R ( l ) ^ J+^ 'W] 43

(Simbolul „— " indică medierea statistică, iar simbolul „~~~" medierea temporală).

6.2. Se consideră semnalul de la problema 6.1, aplicat la intrarea unui sistem cu modulaţie în amplitudine cu purtătoarea suprimată şi dublă bandă laterală MA—PS. Să se reprezinte spectrul de amplitudine al frecvenţelor po­zitive, să se construiască diagrama fazorială corespunzătoare şi să se exprime anvelopa undei modulate.

Soluţie

1 1 1 mit) = — cos Qi -\ cos 2Q,t -A cos 5Q^.

3 6 2

Expresia semnalului MA-PS este (v. rel. (6.6) pentru <px = 0)

s(t) = m(t) cos a>xt = — — [003(002 — Q.)t + 003(001! + Q,)f] -\ [003(0!— 2i1)t +

6 12

+ cos(«! + 20)/] -f- — [COS(CL.! — 5Q.)t + c o s ^ + 5Q)t]. 4

235

Spectrul de amplitudine corespunde aceluia din figura 6.1, cu excepţia

purtătoarei fx = -> care acum este suprimată.

Diagrama fazorială a oscilaţiei MA-PS este reprezentată în figura 6.2. Rezultanta, care constituie anvelopa, este diagonala OD a rombului OCDC, avînd direcţia fazorului care reprezintă purtătoarea şi care descrie o mişcare de rotaţie cu viteza unghiulară cox.

Dacă se punctează conturul poligonal OCBA pe direcţia OD se obţine

1 1 '1 OC cos y = — cosClt A cos 2£lt A cos 5Cit;

6 12 4

1 1 1 OD = rit) = 20C cos x = — cos Q.t -f cos 2Qi -l cos 5Q2

3 6 2

Fig. 6.2. Diagrama fazorială a semnalului MA-PS din problema 6.2.

6.3. Se consideră m(t) w* semnal telegrafic aleator (fig. 6.3,2.). Să se dese­neze forma de undă a oscilaţiei modulate în amplitudine (MA) pentru valori ale indicelui de modulaţie a = 0,5 şi a = 1.

Soluţie

Dacă oscilaţia este MA, conform relaţiilor (6.2), (6.3), pentru <pi = 0)

sp(t) = Ai(l +—-m{t)) cos vi-jţ A

A

236

Semna/ modulator

0,5Ai-

c O MA cu

a-~1

Fig. 6.3. Semnalul telegrafic aleator utilizat ca mesaj modu­lator (a). Semnalul corespunzător MA pentru a = 0,5 (b).

Semnalul corespunzător MA pentru a = 1 (c).

în figurile 6.3, b,c sînt reprezentate formele de undă ale oscilaţiei modu-iate pentru a = 0,5 şi a = 1.

6.4. Un nou sistem stereo compatibil de multiplexare a fazei cu modulaţie n amplitudine (Compatibile Phase Multiplex AM Stereosystem) este utilizat bentru transmiterea stereo în aceeaşi bandă de frecventă alocată pentru transmi-tiunile mono.

Un semnal convenţional cu modulaţie în amplitudine constă dintr-o purtă-oare de amplitudine constantă şi un set de componente laterale în fază cu pur­tătoarea, care conţin informaţia audio:

X(t) = [1 + M{t)] cos co0 = cos <*0t + M(t) coscc0t, purtătoare benzi laterale

%nde X(t) este semnalul transmis cu modulaţie în amplitudine; M(t) — semnalul modulator; t — timpul; «o = 1-K X frecvenţa purtătoare.

în noul sistem propus, de tip CPM-AM stereo, purtătoarea rămîne neschim­bată, dar componentelor laterale li se aplică o rotaţie 6 la stingă, respectiv la dreapta, conform formulei:

V{t) = cos oV + L(t) cos (<i>0t — 6) + R(t) cQs(u,0t + 6), purtătoare benzi laterale stînga benzi laterale^dreapta

237

unde: V(t) este semnalul stereo transmis; L(t) — semnalul modulator al canalului sting; R(t) — semnalul modulator al canalului drept:

8 = radian = 15°. 12

Constrîngerile modulaţiei sînt:

-0,8 < L(t) < 0,8;

-0,8 < R(t) < 0,8;

— 7,0<L( t ) + R(t) < 1,25;

- 1,0 ^ Ut) - R(t) < 1,0.

Se cere: a) să se arate că noul sistem propus conţine componenta L(t) + R(t) trans­

misă ca la un sistem convenţional AM, în fază cu purtătoarea, iar diferenţa L(t) — R(t) se adaugă la semnal ca un set de benzi laterale în cuadratură cu purtătoarea ;

b) să se deducă diagramele vectoriale ale semnalelor transmise; c) să se deducă schema bloc a sistemului de transmisie, bazat pe modulaţie

CPM stereo.

Soluţie a) Expresia semnalului cu modulaţie liniară de tip CPM-AM stereo

poate fi transformată prin identităţi trigonometrice în

V(t) = cos co0 + [L(t) + R(t)] cos 6 cos <*0t + [L(t) — R(t)] sin 6 sin co^, purtătoare benzi laterale în fază benzi laterale în cuadratură

unde 6 = 15°;

cos 6 = 0,966;

sin 6 = 0,259.

- b) Această reprezentare a unui semnal CPM -A M stereo este prezentată în figura 6.4,(2(3. în comparaţie cu diagrama unei MA monofonice din figura 6.4,aa.

Benzi laterale

Purtătoare

(«)

238

(L +R)CDS & benzi laterale

•*• (L-R)sin& benzi laterale

purtătoare

(fi Fig. 6.4,a. Diagrama fazorială a sem­nalului CPM-AM stereo ((3) compara­tiv cu aceea a semnalului MA mono-

fonic (a).

0,966 (L+R)

Audio

Fig. 6.4,6. Schema bloc a sistemului de modulare CPM-AM stereo (emisia)

c) î n figura 6A,b, respectiv în figura 6.4,c, sînt prezentate schemele bloc ale unui sistem de transmisiune CPM stereo (emisie, respectiv recepţie).

în figura 6.4,5 este prezentată schema bloc a sistemului de modulare (emisia) CPM-AM stereo. Plecînd de la semnalele audio L(t) (left) şi R(t) (right), o matrice produce semnalele 0,966 [L(t) + R(t)] şi 0,259 [L(t) — R(t)]. Un semnal pilot de nivel scăzut este adunat la semnalul L(t)—R(t) pentru a fi utilizat în comutaţia mono-stereo la recepţie. Semnalul pilot este constituit dintr-o formă de undă sinusoidală de 20 pînă la 25 Hz, care dă o pereche de componente laterale, avînd nivelul cu 38 dB mai redus decît al purtă­toarei. O pereche de modulatoare cu balans produc benzile laterale în fază şi în cuadratură, la care este adăugată purtătoarea, obţinîndu-se astfel semnalul complet CPM-AM stereo, de nivel scăzut. Se poate arăta prin identităţi trigonometrice că semnalul CPM-AM, V(t), este egal cu produsul unei funcţii anvelopă, Ve(t), cu o purtătoare modulată în fază, Vc(t).

V(t)^Ve(t)-Vc(t);

V.(t) = V{1 + [L(t) + R(t)] cos 0}2 + {[L(t) - R(t)] s ine} 2 ;

[L(t) - R{t)] sin G Vd(t) = cos | a0t — arc tg

1 + [L(t) + R{t)] cos 6

Semnalul Ve(t) este obţinut detectînd anvelopa semnalului CPM-AM, iar Vc(t) rezultă din limitarea aceluiaşi semnal CPM-AM. Semnalul Ve(t) este aplicat la intrarea audio a emiţătorului, iar semnalul Vc(t) feeste aplicat la intrarea de radiofrecvenţă a emiţătorului. Emiţătorul multiplică Ve{t) şi Vc(t) Şi produce semnalul CPM. Această tehnică permite ca un emiţător conven­ţional AM să fie adaptat pentru o transmisie stereo.

239

Di

cosaiit

J ^ V ^ V ieşire audio ——-l I / stwqa

Ini rare 35»—ţ

/ . £

Indicator stereo —>

sin uit

VCO

Mofrice at/dio r

ff leşireaudio Mono I Stereo • -dreapta

Filtrai deboclâl

^ 0,253 (L-R)

L. z7// I

Fig. 6.4,c. Schema bloc a sistemului de demodulare CPM-AM stereo (recepţia).

Receptorul din figura 6.4,c arată una dintre căile posibile pentru a demo-dula un semnal CPM-AM stereo. Receptorul are la intrare secţiunile con­venţionale de RF şi IF (reprezentate în figură). Detectorul sincron, Da, are două funcţiuni. Prima funcţiune este aceea de a servi ca detector de fază pentru sistemul PLL (Phase-Locked-Loop) şi este realizată de Da, filtrul buclei şi oscilatorul controlat în tensiune {VCO).

Circuitul VCO lucrează pe frecvenţa intermediară (IF), avînd un defazaj de 90° faţă de purtătoarea IF de la intrare. Ca o a doua funcţie, Dq demo-dulează direct componenta în cuadratură, (L—R), a semnalului. Semnalul de ieşire VCO este rotit cu 90° şi este utilizat pentru a demodula compo­nenta (L -j- R) în fază cu semnalul. Filtrele trece-jos (FTJ) elimină compo­nentele frecvenţei purtătoare de la ieşirea detectoarelor. O matrice audio reconstituie componentele L şi R din (L+R) şi (L—R). Un detector de ton subsonic indică prezenţa unei transmisii stereo şi poate fi utilizat pentru a comuta receptorul între modurile de lucru mono şi stereo. Receptorul poate fi plasat simplu în modul de lucru stereo, aducînd la „off" (eliminînd) intrarea (L—R) a matricei audio.

6.5. Să se determine lărgimea de bandă la un sistem cu modulaţie de frec­venţă (MF) atunci cînd modulaţia se face cu două semnale cosinusoidale de frecvenţe i'm = 5 kHz şi i'^ = 10 kHz în cazul în care deviaţiile de frecvenţă individuale (dacă semnalele s-ar aplica separat) ar fi Ai' = 2 kHz si Af" = = 3 kHz.

Soluţie

Conform relaţiei (6.59), în care A / = AO 2-

f 5

Şi / » = 2TC

rezultă

si

P' = A / '

f" J m

10 = 0,3.

240

Pentru un mesaj modulator eonţinînd două componente sinusoidale de forma (6.55), conform relaţiei (6.34) rezultă expresia semnalului MF

Slt) = E0 • eil^t + P' sin2nf'mt+$" sia2nf"mtî

Deoarece B' Şi B" <? 1

se poate dezvolta s(t) în serie, limitîndu-se la primii termeni:

s(t) = Eoei^eWsin z^/v+risiiWV) ~ £0eJ"»'[l + jp 'sin27c/^ +

+ jB"sin 2nf„f] = £ 0 (cos co0i! + j sinw0/)(l + jj3'sin27r/^ + j (3" sin 2 7 ^ ] .

Din transformări trigonometrice ale acestei expresii se vor obţine com­ponente de următoarele frecvenţe:

/ o + fm> / o — fm, / o + fm: / o — fm-

tu acest caz, lărgimea de bandă este dată de ccmpcnenta de frecvenţă maximă, deci rezultă

Bf = 2 / ; = 2 • 10 = 20 kHz..

6.6. La intrarea unui receptor cu modulaţie în frecvenţă (MF) puterea semna­lului util este P u = 10~12W. Sensibilitatea receptorului în unităţi KT este 100. Frecvenţa de modulaţie este fm = 20 kHz (T = 500°K; K = 7,57 • 10~23 J/grad); semnatul modulator este sinusoidal. Care este deviaţia de frecvenţă (Af) tcare dă valoarea maximă a raportului semnallzgomot (S/Z) la ieşirea demodula­torului!

Soluţie Particularizînd relaţia (6.87) pentru cazul zgomotului alb cu densitatea

spectrală

N(a + co0) = N0 = 27T Z0, rezultă

S \ = 3 E2mV) . Z)F 2 ° zQD%

Pentru un semnal sinusoidal

m(t) = Aco cos Q.Mt,

se obţine raportul semnal/zgomot

(lb = 33* El

4O„Z0

Cu: QM ~ 2nfM

s-a notat pulsaţia maximă din spectrul mesajului (fM = fm), iar

este indicele de modulaţie.

241

Raportul semnal/zgomot maxim se obţine atunci cînd 3 este maxim, unde p este legat de banda corespunzătoare sistemului MF prin relaţia (6.62)

B = Bf = 2(p+l)fK, sau

Vu deci trebuie determinat Bf.

Puterea utilă minimă este exprimată de relaţia

P • = — F2 •

tinde, conform relaţiilor (6.88) şi (6.89)

E0min = 4 V2rc BfZ0 = 4JYKTB,.

Din ultimele două relaţii se deduce

p 7T2 RWKTF!

Rezultă P 10~12

B , = " = = 0,3 MHz ; SYKT 8 • 100 • 1,37 • IO"23 • 300

B=A__l = _ ^ l = 6,5; 2/ M 2 • 0,02

A / = 8 -fM = 6,5 • 0,02 = 130 kHz.

6.7. 5« se demonstreze că valoarea pătratică medie a eşantioanelor semna­lului x(t).

i +M xHkT) = lim —— y ^ xHkT)

M-,a> IM kt^M

•este legată de puterea medie a semnalului

l?(t) = lim — V~ ' x\t) dt

^>n'« relaţia:

X' \kT) = x2(t) + Ij^ 2x\t) cos W U=i

242

Soluţie

sau

deci:

x*(kT) = \ x2(t) 8{t- kT) ât

p+MT x2(kT) = lim V x\t) S(t - kT) ât,

M^co J_MT

1 +M C + MT

x2 (kT) = lim —!— "P ^ x\t) 8(t - kT) ât.

Considerînd funcţia 8p(t) pentru a = 1 (rel. 6.91)

SP(t) = T £ Ht-kT) sau

Sp(t) = 1 + 2 ^ cos ka>0t

I o0 = — j , înmulţind cu x2(t) cele două relaţii, integrînd de la — MT

la + MT şi împărţind apoi cu lungimea intervalului de integrare se obţine:

T" C+MT +M 1 C+MT lim —i— V x\t) y- &(t - kT) di = lim \ x\t) ât 4-

Af-oo 2 M T J_MT *f=Jf ' M-«> 1MT J_MT

-|- l im \ 2x2(t) cos nvifjt ât. M-,ao 2MT J-MT

De aici rezultă relaţia cerută.

6.8. Se consideră mesajul m(t) = esantionat ideal cu funcţia ,2-Wt

8P(£) /a momentele iT (i = 0, ± 1, ± 2, ...), ÎW care T = — > fs = 2W -f e şi îs

0 < s > W. Să se reprezinte în domeniul timp şi în domeniul frecvenţă semnalul esantionat şi să se discute cazul s -> 0.

243

Soluţie

Conform expresiei (6.91) a funcţiei Sp(t), rezultă

m*{i) n = — co

*,.. +^ sin 2uWt .( «ir '» 2*TW \ 21^ 7)'

Fig. 6.8,a. Semnalul »n(0 eşantionat ideal cu funcţia 8p(t).

Se observă din figura 6.8,a, că punctele de eşantionare sînt apropiate de k zerourile semnalului mit), care corespund punctelor , (k = ± 1, ± 2...).

Pe măsură ce k are o valoare mai mare, distanţele dintre punctele de anulare ale mesajului şi momentele de eşantionare corespunzătoare se măresc.

Pentru s = 0, aceste puncte de eşantionare coincid cu rădăcinile funcţiei m(t), deci eşantionarea în aceste momente nu aduce o informaţie. Mentinînd

perioada T = > este necesară pentru recuperarea mesajului, o translare

a momentelor de eşantionare în punctele t0:

t0 ¥= 0, 0 < t0 < 2W 1W 2W

Reconstituirea mesajului iniţial, după o filtrare adecvată, este fără dis­torsiuni, deoarece operaţia se încadrează în condiţiile teoremei de eşantionare

1 1 T < 2W + e 1W

J-co

M*(u>) = a j ^ M(o — ww0)

unde

« o 2n 1 T 2W + e

«o = 2K(2W + S).

244

în figura 6.8,6 este reprezentat spectrul M*(«).

M*(at)

Fig. 6,8,5. Spectrul corespunzător M(co).

6.9. Să se deseneze spectrul de frecvenţă al impulsurilor modulate în amplitudine (MIA), în cazul eşantionării naturale şi uniforme, pentru semnalul

sin lizWt m t\ =

2nWt

eşantionat la T < » cunoscîndu-se durata -z a impulsurilor de eşantionare. 2W

Soluţie

Pentru eşantionarea uniformă (rel. 6.98)

f — , I co ! ^ 2T.W 1W

.0 , | co | > 2TZW

Slt l (x> -2 — j&> — • +CO

Su((x>) = a e 2 V^ M(<o — n «0) ^ n = — co

(6o0 = 2TT/T > 4TZW)

Pentru eşantionarea naturală (relaţia 6.100)

sm «con — 1 +co 2

S^co) = — a ^ [M(a> — na0) + M(co'+ mo0)] ^ n = —co ^

245

în figurile 6.9,a,b,c sînt reprezentate formele de undă corespunzătoare relaţiilor anterioare.

2co0 0g-21tW \J+2JWac 2u)3

-oj0 -2irwf+2irw OD0 2ua c

Fig. 6.9. Spectrul M(to) al mesajului modu­lator (o). Spectrul S (td) al semnalului cor­espunzător MIA în varianta eşantionării uni­forme (b). Spectrul SMţco) al semnalului corespunzător MIA in varianta eşantionării

naturale (c).

6.10. Se va determina spectrul semnalului modulat obţinut la ieşirea chop­per ului bipolar din figura 6.10, a.

Tn

a ' b Fig. 6.10. Modulator de tip chopper bipolar (a). Ilustrarea formelor de undă corespunzătoare (6).

Soluţie

Problema reprezintă un caz de modulaţie a impulsurilor în amplitudine (MIA) cu eşantionare naturală (instantanee), de forma

s(t) = m(t) -p(t).

î n această relaţie, m{t) reprezintă mesajul, iar p(t) — o funcţie rectangu­lară periodică, cu valoarea medie nulă, a cărei formă reprezintă generalizarea relaţiilor (6.92), (6.93):

P(t) g Jt-kTo; Ş).

246

JI care

izit-to'.t) f l , \t-to\ < -

O, \t-to\ > —

T Pentru T = —, se scrie dezvoltarea în serie Fourier

2

^) = - E (- !)* TTV; COS ( 2 Â + *> <*oi-~ *To 2A + 1

Se deduce

e - f ( - 1 ) * — {M[« - (2fc + l)coo] + M[co + (2As + 1)«0]}~ K M 2& + 1

6.11. S"e consideră un eşantionator practic, avînd forma impulsurilor

p(t) = cos 2TT (4/0)I!, | / | < — • 16

Dacă eşantionarea este uniformă, se cere să se determine funcţia de transfer a filtrului egalizor pentru corectarea distorsiunilor de apertură.

Soluţie Expresia mesajului eşantionat uniform cu funcţia p(t) este

m*{t) = f^ OT^r°) M ~ kT°)-

în care m(t) reprezintă semnalul care se eşantionează. Se deduce corespondenţa în domeniul frecvenţă:

1 -J-oo

S » = P(co) £ M (co - *coo), i 0 A= —oo

în care

« 0 2TZ

M(co) = = F {m(*)}

P(«) = = F {P(t)}.

Pentru corectarea distorsiunilor de apertură (datorate duratei diferite de zero a impulsurilor de eşantionare), se poate utiliza un filtru egalizor avînd funcţia de transfer

H(ta) = — — . P(co)

247

Se deduce

P(to) = F#(*)} = V ' " ^ ) e-*"" d* = 2 ţ " cos 87c — cos t*t di = r0

cos w — cos 8 w0 cos -16 16 16

4tt>0 - } - co 4co0 — <a 16 COQ — co2

6.12. Pentru comunicaţiile prin fibre optice se utilizează diferite sisteme de modulaţie analogică în impulsuri, ca modulaţia impulsurilor în durată (Puise Width Modulation) sau modulaţia impulsurilor în poziţie (Puise Position Modulation). O metodă nouă de modulaţie analogică propusă de cercetătorii japonezi Salo, Murata şi Namekawa pentru transmisiunile video prin fibre optice este modulaţia, simultană a impulsurilor în durată şi în poziţie (Puise Interval and Width Modulation).

a) Să se imagineze schema bloc a unui sistem de transmisiune prin fibre optice a semnalelor video, ulilizînd modulaţia simultană în durată şi în poziţie a impulsurilor şi să se ilustreze formele de undă corespunzătoare acestei scheme.

b) Să se compare acest tip de modulaţie cu alte sisteme de modulaţie analogică în impulsuri, utilizate în comunicaţiile optice.

Soluţie a) în figura 6.12 sînt prezentate schema bloc a sistemului propus şi

formele de undă corespunzătoare in fiecare punct. Semnalul video de intrare 1 este aplicat la modulatorul impulsurilor în poziţie şi este modulat sub forma •unui tren de impulsuri 2, ale căror distanţe sînt proporţionale cu amplitudinea semnalului de intrare la momentele de eşantionare. Fie frecvenţa medie de eşantionare 25MHz. Aceste impulsuri sînt aplicate la un bistabil ele tip T şi sînt convertite într-un tren de impulsuri modulate simultan în poziţie şi în durată 3. Frecvenţa lor medie de repetiţie este 12,5 MHz, care reprezintă jumătate din frecvenţa de eşantionare. Aceste impulsuri, care conţin infor­maţie atît în intervalul dintre două impulsuri succesive (modulaţie în poziţie) cît şi în lăţimea impulsurilor, comandă o diodă foto emisivă (LED). Impulsu­rile optice modulate se transmit printr-o fibră optică, sînt detectate de o fotodiodă PIN şi sînt convertite în impulsuri electrice. După amplificare şi formare, impulsurile 4, obţinute la ieşirea triggerului din schemă corespund atît frontului crescător, cît şi frontului descrescător al impulsurilor de la intrare. Aceste impulsuri comandă generarea unui semnal liniar-variabil 5. Anvelopa acestei forme de undă liniar-variabile este identică cu semnalul video de intrare, fiind obţinută prin trecerea semnalului 5 printr-un filtru trece-jos; rezultă la ieşire semnalul reconstituit 6.

b) Modulaţia impulsurilor în poziţie şi durată face parte din categoria modulaţiilor analogice în impulsuri de speţa a doua (eşantionare naturală — modulaţie asincronă). Se observă că numărul de impulsuri pe secundă în sistemul de modulaţie simultană a impulsurilor în poziţie şi în durată este numai jumătate din numărul impulsurilor într-un sistem cu modulaţie în poziţie sau cu modulaţie în durată a impulsurilor, caracterizate prin aceeaşi frecvenţă de eşantionare. Rezultă că banda de frecvenţă necesară sistemului

248

-îg. 6.12. Structura sistemului de transmisiune prin fibre optice a semnalului video utilizînd aodulaţia în durată şi poziţie a impulsurilor (PIWM) (a). Formele de undă care caracterizează

funcţionarea sistemului PIWM din figura a (b).

le transmisiune propus este numai jumătate din banda de frecvenţă a sis-:emului cu modulaţie în durată sau a aceluia cu modulaţie în poziţie a impulsu­rilor.

6.13. Să se imagineze un procedeu care să permită vizualizarea unor semnale ie joasă frecvenţă pe ecranul tubului cinescop al unui receptor de televiziune standard, utilizînd modulaţia în poziţie a impulsurilor (în varianta eşantionării naturale).

249

Soluţie Obiectul transmisiei în sistemele de televiziune în alb-negru este imaginea

optică plană a scenei captate, care poate fi prezentată sub forma unei funcţii de trei argumente, B (x, y, t), unde:

B este strălucirea unui punct oarecare al imaginii; x, y sînt coordonatele punctului respectiv în plan; t este timpul.

Pentru a se vizualiza un semnal pe televizor, din semnalul respectiv se iau eşantioane cu frecvenţa liniilor, realizîndu-se o modulaţie în poziţie a impulsurilor, în funcţie de amplitudinile semnalului studiat.

Se introduc următoarele notaţii: i — un număr natural care reprezintă indicele unei linii active; pentru

standardele TV OIRT şi CCIR -

1 < i < 575;

Att — deviaţia (în timp) a poziţiei impulsului de eşantionare pentru linia i (impuls care corespunde pe ecran unui punct cu strălucirea mai intensă) faţă de poziţia centrală a impulsului în lipsa modulaţiei;

x( — abscisa punctului luminos de pe ecran, corespunzător liniei i; Tz — perioada liniilor, egală cu perioada impulsurilor de eşantionare

(64 j is); sm(t) — semnalul de vizualizat; • fo(t) — u n semnal rectangular eşantionator:

Mt) = A, — — < t < —

2 2

°> ^ ( - ° ° ' - Y ) U ( Y ' °°) în lipsa modulaţiei, se obţine un set de impulsuri

+ 00

care vor corespunde intensificării strălucirii fiecărei linii în punctul de abscisă x0, deci se va traduce pe ecran prin obţinerea unei linii verticale luminoase.

Se realizează o modulaţie în poziţie de speţa a doua (în varianta eşantio­nării naturale) a succesiunii de impulsuri cu semnalul studiat

i= — 00

Mf = Csm(iTz + Att),

unde C este o constantă de proporţionalitate. Deviaţia At( a poziţiei în t imp corespunde pe ecran unei deviaţii faţă de

coordonata de referinţă x0

Ax{ = Xf — x0.

250

Notînd cu Vs viteza de deplasare pe orizontală a fasciculului electronic videoreproducător, se poate" scrie:

Axt = cvxsjn\ + &i() de unde rezultă că pentru fiecare linie poziţia spotului luminos va depind.e de nivelul semnalului modulator în momentul respectiv. Pe ecran, ansamblul acestor puncte luminoase formează o curbă continuă, care constituie repre­zentarea semnalului de studiat, axa timpului avînd direcţia verticalei ecranu­lui tubului cinescop. Prin rotirea cu 90° a sistemului de deflexie pe gîtul tubului cinescop, imaginea devine normală (axa timpului paralelă cu orizon­tala ecranului).

6.14. Să se deducă structura unui modulator în poziţie a impulsurilor, funcţionînd -pe baza principiului prezentat în problema 6.13, care, anexat la un televizor standard, să permită cu un efort minim transformarea acestuia în osciloscop, pentru semnale de joasă frecvenţă.

Soluţie Structura modulatorului în poziţie a impulsurilor este prezentată în

figura 6.14,a. Acest sistem comportă următoarele etaje: — etaj limitator (formator de impulsuri dreptunghiulare); — circuit de derivare; — integrator; — comparator; — etaj de diferenţiere şi redresare; —* etaj inversor; — modulator în amplitudine al frecvenţei intermediare; — etaj de adaptare (amplificare sau atenuare). Funcţionarea este ilustrată de formele de undă din figura 6.19,6. Semnalul

sinusoidal de la oscilatorul de linii al televizorului, cu frecvenţa fz = — =

= 15 625 Hz, se aplică la intrarea aparatului. La ieşirea primului etaj se obţin impulsuri dreptunghiulare cu lăţimea

palierului superior de aproximativ 12 [îs. Aceste impulsuri sînt diferenţiate şi sînt aplicate la intrarea integratorului, obţinîndu-se semnalul liniar-variabil (fig. 6.14,6S) care este condus la prima intrare a comparatorului. Semnalul studiat este trecut printr-un etaj de adaptare (amplificator sau atenuator), care-1 aduce la un nivel convenabil, după care se atacă cu el cea de-a doua intrare a comparatorului.

La ieşirea comparatorului se obţine un semnal rectangular, durata impulsu­rilor fiind funcţie de amplitudinea semnalului de - măsurat în momentul comparării (modulaţie în durată a impulsurilor, de speţa a doua). Semnalul furnizat de comparator este diferenţiat (fig. 6.14,60), după aceea redresat (fig. 6.14,6e), conservîndu-se numai flancul anterior. Se obţine astfel un tren de impulsuri cu frecvenţa liniilor, modulate în poziţie (tipul eşantionării naturale) cu semnalul de observat. Aceste impulsuri vor modula în ampli­tudine tensiunea de înaltă frecvenţă generată de oscilatorul etajului modu-

251

Oscilatori de linii |

Tub cinescop AVF

Ultimul efajAFI î

Circuit de derivare

a

n Integrator Comparator

fi J

Diferenţiere si redresare RHQ Repetor -li-1

Y

Tr

Limitator Amptificatm'

sau atenuator

Semnat de studiat

s> -ş»~ /

n rr

II (D

Fig. 6.14. Structura unui modulator al im­pulsurilor în poziţie (MIP) care permite transformarea televizorului în osciloscop (a). Formele de undă care caracterizează funcţi­onarea sistemului de modulaţie a impulsurilor în poziţie (MIP) reprezentat în figura a(b).

lator MF (avînd frecvenţă egală cu frecvenţa de acord a celui de-al treilea etaj amplificator de frecvenţă intermediară — AFI — din televizor.)

Prin repetor, semnalul de înaltă frecvenţă modulat în impulsuri este aplicat ultimului etaj AFI din televizor.

Se deconectează etajul separator din televizor pentru că sincronizarea ar anula modulaţia în poziţie a impulsurilor.

6.15. Se consideră un sistem cu modulaţie de impulsuri în cod (MIC) carac­terizat prin N = 24 nivele de amplitudine, cei patru biţi corespunzători fiecărui eşantion fiind transmişi simultan prin patru canale Cx, C2, C3, C4. Pentru

2J2

fiecare dintre aceste canale informaţia de „1" sau „O" înseamnă prezenţa sau absenţa unui semnal de energie E, pe durata intervalelor de lungime x. Spectrele de frecvenţă corespunzătoare semnalelor din canalele C1; C2, C3, C4 sînt diferite, •astfel încît benzile de frecvenţă ale celor patru canale sînt adiacente, lungimile intervalelor ocupate în domeniul frecvenţă de aceste canale fiind egale (MIC cu diviziune în frecvenţă).

Se consideră ca element ie comparaţie un sistem cu modulaţie discretă a frecvenţei, caracterizat prin prezenţa unui impuls numai într-unui dintre cele patru canale menţionate anterior; aceste impulsuri au aceeaşi formă (spectru de frecvenţă) şi energie ca acelea considerate la sistemul MIC de mai sus.

Să se realizeze o comparaţie între cele două sisteme din punctul de vedere al raportului semnal/zgomot de cuaniizare pentru un semnal de intrare avînd o lege de repartiţie uniformă a amplitudinii eşantioanelor. Se va exemplifica pentru un semnal de intrare liniar-variabil cu viteza de variaţie qh, unde q este cuanta minimă.

Să se rezolve aceeaşi problemă pentru cazul unui grup de şase canale (6 biţi pe eşantion).

Soluţie în figura 6.15,a sînt reprezentate semnalele în cele patru canale în funcţie

de timp, pentru sistemul MIC cu diviziune în frecvenţă. Un dreptunghi negru reprezintă prezenţa unui impuls în canal („1"), iar un dreptunghi alb semni­fică absenţa impulsului („0"). Lungimea unui asemenea dreptunghi (pe

unde W este frecvenţa maximă din spectrul semnalului abscisă) este -. 2W

de intrare. înălţimea unui dreptunghi elementar este W, fiind egală cu lăţimea benzii de frecvenţă a unui canal. Secvenţa de cuvinte de cod din figura 6.15,3 constituie aproximarea cuantizată a unei schimbări de ampli-

Fîg. 6.15, a, b. Secvenţa cuvintelor de cod pentru un sistem MIC cu diviziunea în frecvenţă (a). Forma de undă a semnalului •cuantizat corespunzător secvenţei de cuvinte

de cod din figura a (b).

253

tudine liniar-variabilă în timp, cu viteza i - , forma de undă cuantizată T

corespunzătoare fiind reprezentată în figura 6.15,5. î n ipoteza în care, utilizînd aceleaşi patru canale, transmisiunea informa­

ţiei se realizează cu un sistem cu modulaţie discretă a frecvenţei, între valorile corespunzătoare domeniilor de frecvenţă alocate canalelor, se obţine secvenţa codată din figura 6.15,c; semnalului modui.at din figura 6.15.C îi corespunde reprezentarea cuantizată din figura 6.\5,d.

!

î

Fig. 6.15, c,d. Secvenţa cuvintelor de cod pen­tru un sistem cu modulaţie discretă a frecvenţei (c). Forma de undă a semnalului cuantizat corespunzător secvenţei de cuvinte

de cod din figura c (d).

Cele două sisteme comparate ocupă în domeniul frecvenţă intervale de

lungimi egale, 4 W. Pentru primul sistem (fig. 6.15,0), energia medie pe un interval x este

32£ E i = •

16 2E.

în al doilea caz (fig. 6.15,c) energia medie este

E2 = E.

Puterea zgomotului de cuantizare este (rel. 6.127) — în primul caz

în al doilea caz

ehc(i)=~l

12

Deci, raportul semnal/(zgomot de cuantizare) este în primul caz cu 20 log 16 = 12 dB mai bun decît în al doilea caz, cu o creştere de 3dB a puterii medii transmise.

254

Pentru şase canale se obţine o îmbunătăţire de 21 dB a raportului semnal/ (zgomot de cuantizare), cu o creştere de 4,77 dB a puterii medii.

6.16. Se consideră un semnal cu modulaţie a. impulsurilor în cod (MIC) avînd următoarele caracteristici:

— numărul impulsurilor binare prin care se transmite un eşantion n = 6; — intervalul de timp disponibil pentru transmiterea unui cuvînt (eşantion)

T = 10 ms. Se cere să se determine: a) frecvenţa maximă a semnalului continuu, anterior discretizării ; b) numărul N al nivelelor de cuantizare; c) lărgimea de bandă B T a semnalului MIC.

Soluţie a) Intervalul de t imp dintre două eşantioane consecutive, T, satisface

condiţia (v. rel. (6.129))

r< l

iw ie unde, la limită, se deduce banda semnalului analogic

W < — = = 50 Hz. 2T 2 . 10-IO"3

b) Numărul nivelelor de cuantizare

N = 26 = 64.

c) Frecvenţa bi ţ i lor/6 este (v. rel. (6.129))

/ , = — = — = = 600 biti/s. T T 10. IO"3

Banda canalului digital rezultă

BT > -l/f, = 300 Hz.

6.17. Se consideră im mesaj avînd banda W, transmis prin modulaţie de 'mpulsuri binare în cod (MIC), cu frecventa de eşantionare a semnalului f0 = = 2,5 W.

Se cere să se exprime raportul semnal/zgomot de cuantizare în funcţie de ÎJ'T

'aportul , în care Bx reprezintă lărgimea de bandă ocupată de semnalul ligital.

Se va admite valoarea de vîrf a semnalului V = 1 si se va considera m2(t) = _ 1 ~~ 2

Să se discute cazurile unei cuantizări cu un număr de nivele N = 4, 16, U, 256.

255

Soluţie Conform relaţiei (6.128), raportul semnal/zgomot de cuantizare este

& - * • ~mŞf)_

V2

unde (rel. 6.129)

A" = 2n,

m%(ţ) reprezintă valoarea cuadratică medie a mesajului digital şi «—numărul de biţi (digiţi) prin care este transmis un eşantion cuantizat.

Banda semnalului digital MIC (rel. (6.130))

B„ > — nf0 = — n • 2,5 W = 1,25 nW. 2 2

La limită

Rezultă

B, W

1,25 «.

A

di 1,6 . 1,5 -2

B„

w

Pentru N =4, 16, 64, 256, raportul—— are valori din tabelul ele mai W

jos AT 4 16 64 256

BT 2,5 5 7,5 10

şi se pot calcula valorile corespunzătoare ale raportului semnal/zgomot de cuantizare.

6.18. Se consideră un sistem de transmisiune cu modulaţie a impulsurilor în cod, caracterizat prin impulsuri de tip „on-off", de amplitudine A, perturbate de un zgomot gaussian aditiv cu dispersia a şi valoarea medie nulă.

Pragul de decizie este stabilit la A/2. c* Se presupun probabilităţi egale ale celor două variabile binare. a) Să se determine puterea semnalului „on" pentru ca probabilitatea de

eroare să fie mai mică decît IO-3. b) Să se explice de ce această putere poate fi mai mică atunci cînd sistemul

( A \ binar este de tip bipolar j impulsuri + —» prag de decizie zero J •

256

Soluţie a) Probabili tatea de decizie eronată este (v. rel. (6.131), (6.132), (6.133):

P e = l - F ( p ) ,

unde «2

Y + *(p). F(P) = 1

«2

Y P 2 A... -F(P) =

V2^T 1 "^ *_lt* — J — C O

Cu datele din enunţ,

*(A)>0,«9

şi se deduce

i - > 3 ; 2CT

-4 > 6CT.

Rezultă că puterea medie a semnalului

A%

Ţ)on-off m ~ 2

trebuie să satisfacă inegalitatea

A2

f_ > 18*2. 2

5,) Dacă se utilizează o formă de undă bipolară pentru transmiterea infor­maţiei binare, pentru semnalul recepţionat Z vor exista două situaţii posibile:

Z = j-7), cînd la emisie s-a transmis „ \ " ' ,

Z = — - — j - 7], cînd la emisie s-a transmis „0",

unde 7) reprezintă zgomotul aditiv. Pentru Z > 0, se ia decizia

iar pentru Z < 0, se ia decizia

y = yo, unde y1; v0 corespund valorilor binare „1" sau „0".

Probabilităţile de eroare a lui „1" şi „0" sînt respectiv:

Pe1=P(yi<o) = p(j + -n<o\,

Pe. = P ( . V 0 > 0 ) = = P ( - - + T] X ) V

257

Probabilitatea medie de eronare este:

Pe = PlPH + P0Pe„ în care

P i = P0 — 1/2 reprezintă probabilităţile egale de emitere a simbolurilor „1" , respectiv „0".

Se deduc

Expresia Pe este identică cu cea de la sistemul de tip ,,on-off" datorită simetriei con­

diţiilor problemei \Po — Pi = —» impulsuri £ — şi prag de detecţie zero !• I 2 2 J

Din condiţia

Pe < IO"3,

rezultă

A > 6a

şi, de aici, se obţine condiţia pentru puterea medie a semnalului bipolar

A2

pbivola, = _ > 9CT2_ 4

6.19. Un semnal avînd frecvenţa maximă din spectru W este transmis printr-un canal cu banda Bx, utilizînd un sistem de modulaţie de impulsuri în cod. Fiecare dintre cele Q = NM secvenţe posibile de M eşantioane succesive funde fiecare eşantion poate avea N valori posibile corespunzător unui număr N de nivele de cuantizare a semnalului vîrf la vîrf) este reprezentată prin cîte un eşantion complex, de durată MT şi avînd NM valori posibile. Să se arate în ce condiţii un asemenea sistem de transmisiune poate realiza o compresie de bandă (Br < W ) .

Soluţie

Dacă T reprezintă intervalul de timp dintre două eşantioane succesive, atunci un eşantion complex va avea perioada MT. Conform teoremei eşantio­nării :

1W

1W

Frecvenţa eşantioanelor complexe este

1 ZW ft = >

MT M 258

Banda corespunzătoare (v. rel. (6.130)) este, pentru T = MT

1 W B*T >-f*0 = — ; 2 ' M

W — < w M '

ceea ce implică M > 1.

în particular, dacă N = 2 (transmisiune binară) se poate utiliza o grupare în secvenţe cu M > 2 a esantioanelor binare, fiecare secvenţă fiind transmisă printr-un eşantion complex cu 2M valori posibile.

Dacă eşantioanele ar fi fost transmise separat, prin impulsuri binare, banda necesară a sistemului digital ar fi fost

BT > W log2 N

Compresia de bandă raportată la banda sistemului digital binar, echivalent, corespunzător codării individuale a esantioanelor, este

- - 5 = M log2 A, W M

şi respectiv compresia de bandă raportată la banda sistemului analogic este

W •f)A= = M •

M

Dacă cele M eşantioane se transmit fiecare sub forma unui set de n impulsuri

(i" = IV

(generalizarea rel. (6.129)), rezultă frecvenţa digiţilor

f0 = n — > 2 nW. T

Banda corespunzătoare

BT = —/o = nW >W,

deci în acest caz nu se poate realiza cerinţa din enunţ. Dacă pachetul de M eşantioane succesive este transmis sub forma unei sec­

venţe de K eşantioane complexe (K < M), avînd fiecare „Q" valori posibile astfel încît (Q > N)

KQ = NMt

frecvenţa acestor impulsuri complexe este (M-ary ASK)

K io —

MT

259

Deci, rezultă banda echivalentă a sistemului

1 K. K Bţ* = _ . _ ^ î _ > _ ÎF 2 M T Af

Dar

— W < W; M

W log2 N M AT

*w K

M W M

r, — — — . *w K

M De exemplu, dacă N = 4, M = 4,

JfO = 44 ; 6 = 8; iT = 2 ; 22.4 = 4 4 ; ?)B = 4 ; "04 = 2 .

6.20. Un semnal vocal cu banda limitată la W = 3 kHz este transmis prin modulaţie de impulsuri în cod printr-un canal cu banda BT = 20 000 Hz

Raportul semnaljzgomot la ieşire trebuie să fie minimum 18 000 ~^xf%~'

unde m2(t) reprezintă valoarea pătratica medie a zgomotului de cuantizare, iar V — valoarea vîrf la vîrf a semnalului.

Să se proiecteze un sistem cu modulaţie în cod de impulsuri (MIC) cores­punzător acestor cerinţe.

Soluţie Din condiţiile precizate pentru banda semnalului şi a sistemului de trans­

misiune, cu relaţia (6.130)

BT > nW,

rezultă numărul de digiţi/eşantion

n < 6,66.

Raportul semnal/zgomot de cuantizare este (rel. (6.128))

m 3N> ?WL > 18 000 !*® 9 F 2 V2

unde N reprezintă numărul nivelelor de cuantizare.

260

Rezultă

N > JTOOO s 77.

Cum:

N = y.\ în care y. reprezintă numărul de simboluri ale alfabetului canalului de trans­misiune (p. = 2, 3, 4, ...), se obţine:

— pentru p. = 2 -> 2VmiB = 2 ' = 128 > 77, însă n = 7 nu corespunde relaţiei » < 6,66;

— pentru \x. = 3 -> 7Y = 3"; unde

n = 3, 4, 5, 6

asigură

AT > 77, n < 6,66.

Stabilind un compromis între gradul de compresie şi rezoluţie, se alege una dintre valo­rile de mai sus.

— pentru (x = 4 ->N = 4" > 77 conduce la

n = 4, 5, 6.

Se poate continua analiza pentru următoarele valori ale lui u.

Pentru ;x = A7 = 77 -* n = 1. Deci, banda canalului

B'T = W (canal ideal),

realizîndu-se un raport al compresiei de date de

, 2 0 00° A m tL = = 6,67. 3 000

6.21. Se consideră un sistem de cuantizare neliniară cu N nivele de ampli­tudine. x reprezintă semnalul de intrare, iar y reprezintă semnalul cuantizat. Xj sînt limitele subdomeniilor în care este împărţit domeniul de variaţie a semnalu­lui de intrare, iar Y ; — valorile corespunzătoare ale semnalului cuantizat, conform algoritmului

*e {Xi, xM) -» y = yt

(* = 1, 2, ... N + 1)

Se defineşte eroarea medie de cuantizare

D = E [f(x - y)] = £ \ i(x - yM*) &x,

unde E indică operaţia de mediere statistică, f esfe o funcţie difer entiabilă, iar w(x) reprezintă densitatea de probabilitate a semnalului de intrare.

261

a) Presupunînd N dat, să se determine caracteristica de cuantizare neli­niară optimă (necunoscutele xiy yî) care asigură minimizarea expresiei D (cuantizatorul LLoyd-Max),

b) Să se particularizeze relaţiile obţinute, pentru

i(x) = x2.

c) Să se rezolve problema pentru o densitate de probabilitate

X ' 42-K

cu restricţiile xN/z+1 = O (N par) sau yN+n% = O (N impar) Se vor considera cazurile 2 < N < 16.

Soluţie a) Pentru a minimiza eroarea de cuantizare pentru N dat, este necesar

să diferenţiem D în raport cu Xj şi yi:

cD — = i{x, - y^i)w{xt) — i(xt - y'i)w(xt) = o (1) cxt

(i = 2, .... N)

= — V f'(x — yt) w(x) dx = 0 (2) Syt M

(i = 1.... . N) Aceste două relaţii conduc respectiv la:

i{*<-y^ = î{*t-ytl. (* = 2,. . . ,JV); (3)

r + 1 i'(x - v4) w{x) dx — 0, (t = 1, 2, ..., A'), (4)

care definesc caracteristica optimă de cuantizare. b) Pentru

i[x) = x2, din relaţia (3) se deduce: (5)

r _ y±±_yt-i *- 2

iar relaţia (4) conduce la:

; (* = 2 N), (6)

} \

x) d#

V ze»(#) da:, , ( » = 1, .... N).

"Re'atia (7) exprimă faptul că y{ este centrul de greutate al ariei cuprinse între curba w(x), axa OX, verticalele x

262

c) Pentru a rezolva numeric sistemul (6), (7) pentru o densitate de proba­bilitate simetrică faţă de origine, se consideră caracteristica de cuantizare numai în cadranul I :

x. > 0, li = 1 , 2 ,...,— si #, = 01 pentru N par ; l 2 ) li = 1,2, ..., •, % # Ol pentru A7 impar;

y. > 0, (i = 1, 2, ..., — Şi yi ¥= 0J pentru A7 par ;

t — ş i J/J — oj pentru A7 impar. [ « = 1, 2

(8)

(9)

Pentru rezolvarea sistemului (6), (7), (8), (9) cu ajutorul calculatorului, se utilizează un procedeu iterativ.

Se obţin rezultatele din tabelul următor: TABELUL 6.2t

X = = 2 N = 3 N = 4 N = 5 N = 6

Xi y< Xi Vi Xi Vi x, yt X( Vi

0,0 0,7980 1,224 0,0 0,0 0,4528 0,3823 0,0 0,0 0,3177 0,6120 0,9816 1,510 1,244 0,7646

1,724 0,6589 1,447

1,000 1,894

N = = 7 IV = 8 N = -9 JV= 10 N = 77

*.' y< *s Vi Xi Vi Xi | Vi Xi Vi

0,2803 0,0 0,0 0,2451 0,2218 0,0 0,0 0,1996 0,1837 0,0 0,8744 0,5606 0,5006 0,7560 0,6812 0,4436 0,4047 0,6099 0,5599 0,3675 1,611 1,188 1,050 1,344 1,198 0,9188 0,8339 1,058 0,9656 0,7524

2,033 1,748 2,152 1,866 1,476 1,325 1,591 1,436 1,179

-2,255 1,968 2,345 2,059 1,693

2,426

N = 12 N =• 13 N = U N = 15 N = 16

i i y» Xi Vi Xi Vi x% Vi Xi Vi

0,0 0,1684 0,1569 0,0 0,0 0,1457 0,1369 0,0 0,0 0,1284 0,3401 0,5119 0,4760 0,3138 0,2935 0,4413 0,4143 0,2739 0,2582 0,3881 0,6943 0,8768 0,8126 0,6383 0,5959 0,7505 0,7030 0,5548 0,5224 0,6568 1,081 1,286 1,184 0,9870 0,9181 1,086 1,013 0,8512 0,7996 0,9424 1,534 1,783 1,623 1,381 1,277 1,468 1,361 1,175 1,099 1,256 2,141 2,499 2,215 1,865 1,703 1,939 1,776 1,546 1,437 1,618

2,565 2,282 2,625 2,344 2,007 2,681

1,844 2,401

2,069 2,733

6.22. Se consideră un semnal r caracterizat printr-o densitate de probabilitate de tip Rayleigh

{ re~r2'K r > 0 w(r) = {

* 0, r < 0

263:

a) Să se realizeze o cuantizare neliniară optimală, în sensul minimizării erorii pătratice medii între semnalul de intrare r şi semnalul cuantizat q.

b) Să se rezolve numeric problema cu ajutorul calculatorului pentru un număr de nivele de cuantizare N = 2, 4, 8, 16, 32, 64.

Soluţie a) Cuantizarea optimă este aceea care minimizează eroarea pătratică

medie

- D = E \ ^ - qtf w{r) dx, (1) i = l .V,'

unde algoritmul de codare este exprimat de relaţia

re(rit rM) - q = q{ (t «= 1, 1,...,N). (2)

Condiţiile necesare, deduse din diferenţierea parţiala a expresiei (1) în raport cu ri şi qt sînt

cD dqt

Şl

= — 2 V (r — q()w(r) ăr — 0, (* = 1, 2, ... Ar)

^ =

Relaţia (3) conduce la

., iV)

rz»(r) dr ] 2 r . . . ,A-).

(4)

(5) w(r) dr

b) Sistemul constituit din relaţiile (4) şi (5) se rezolvă cu ajutorul calcula­torului, utilizînd o metodă iterativă.

Se obţin rezultatele tabelate în continuare.

TABELUL 6.22

.V = = 2 N = 4 _Y = * N = 16

ti <n r> li a >'t ' i a

1,3748 0,8292 0,8218 0,5293 0,4992 0,3286 0,3018 0,2003 1,9204 1,4195 1,1144 0,8251 0,6697 0,4920 0,4033

2,1269 1,7246 1,135 1 0,9805 0,6636 0,5806 2,5291 1,4532 1,2898 0,8270 0,7467

1,8000. 1,6166 0,9869 0,9074 2,2082 1,9835 1,1464 1,0664 2,7597 2,4329

3,0864 1,3083 1,4751 1,6497 1,8357 2,0381 2,2645 2,5280 2.8549 3,3181

1,2265 1,3902 1,5601 1,7394 1,9321 2,1441 2,3849 2,6710 3,0388 3,5974

264

TABELUL 6.22 (continuare)

A7 = 32

fi î i ri li r% a

0,1813 0,1207 1,2350 1,1939 2,4297 2,3616 0,2942 0,2420 , 1,3179 1,2762 2,5732 2,4979 0,3943 0,3464 1 1,4022 1,3597 2,7336 2,6486 0,4875 0,4422 1.4881 1,4447 2,9177 2,8187 0,5763 0.5328 1,5760 1,5315 3,137 1 3,0166 0,6621 0,6198 1.6664 1,6205 3,4159 3,2575 0,7458 0,7044 1,7599 1,7124 3,8209 3,5743 0,8282 0,7873 1,8570 1,8074 4,0676 0,9097 0,8691 ! 1,9584 1,9065 0,9907 0,9503 2,0650 2,0103 1,0718 1,0312 2,1780 2,1198 1,1531 1,1123 2,2989 2,2363

6.23. Se consideră un mesaj binar care constituie un element al unui spaţiu •ectorial cu (n + l ) x ra dimensiuni, avînd o reprezentare matriceală de forma

fX0,l *0,2 %1,1 Xl,2 X,

x0,m

*1.»

u.

ll

in care

i'= 0, 1, ..., n; j = 1, 2, ..., m; h= 1, 2, ..., 2; (n + 1). m

Se consideră funcţiile n m

Â(i) = E E yi.i <* - (* -» = 0 ; = 1

(h = 1, 2, . . . ,2C+1) 'B)

•<w e **(t) swzi polinoame care se presupun ortogonale si normalizate pentru t e ( 0 , T ) .

Se consideră operaţia de modulare definită de corespondenţa biunivocă iintre elementele Xft ale spaţiului (n + 1) X m — dimensional al mesajelor şi cuvintele de cod Vft, aparţinînd urnii spaţiu m — dimensional, care se reprezintă 'n domeniul timp prin funcţiile fh(t). / » ipoteza utilizării metodei pentru multi­plexarea informaţiei digitale furnizate de (n + 1) canale binare, algoritmul de 'odare este definit de relaţia

a) Să se deducă primele cinci polinoame a;(t) (j = 0, 1, 2, 3. 4, 5). b) Sa se reprezintă funcţia fb(t) ^>rw care se codează mesajul

-l 1 1 - l 1 1

265

Soluţie a) Din relaţiile de ortogonalitate şi normalizare

\ OLk(u) *}{u) du = 0 (V,, k = 0, 1,

si

V 7.%u)du = a2, ( y = 0, 1,

cu

se deduce

2 Y

x, (u) = ! a | V 2/ + 1 £

care, prin particularizare, conduc la

2_,

A~0 Ai

«o(w) = «;

ax(«) = «7^(1 — 2M) ;

«2(M) = a~j5 (i — 6w + 6«2) ;

<X3(M) = ayjl (1 — 12 u + 2>Ou2 — 20M3) ;

a4(«) = W9 ( 1 — 2 0 u + 90 M2 — 140 v? + 70 M4]

6) în figura 6.23 este reprezentată forma de undă fn{t), corespunzătoare codării mesajului Xft.

Xfi=l~f 1-11 1-1 {-1-1 1-1 1 1

T 2T 3T W 5T 6T Fig. 6.23. Ilustrarea operaţiei de codare pentru sistemul de modulaţie în cod

de impulsuri polinomiale ortogonale din problema 6.23.

266

PROBLEME PROPUSE

6.24. Fie un filtru trece-bandă ideal (FTB) cu frecvenţele de tăiere w1; w2. La intrarea FTB se aplică un impuls S(t). Cu semnalul de la ieşirea FTB se modulează în amplitudine (MA) o purtătoare sinusoidală de pulsaţie u>0 > o)3 — — coi". Se cere să se scrie expresia şi să se reprezinte grafic modulul densităţii spec­trale a semnalului modulat.

•\ 6.25. La intrarea într-un demodulator de anvelopă puterea semnalului util

(nemodulat) este Pu = 10~8W, iar a semnalului perturbator (nemodulat) este ? p = 4 • IO-12 W. Gradul de modulaţie m = demodulator este RD = iOOfi.

Să se calculeze raportul semnal/perturbaţi a) semnalul modulator este sinusoida!; b) s",nnalul modulator este rectangular (factor de umplere 1J2). 6.26. La intrarea demodulatorului de înfăşurătoare al unui receptor MA,

puterea semnalului util nemodulat este 10~8W, iar cea a semnalului perturbator nemodulat este 4 • IO"12 W. Impedanţa de intrare a demodulatorului este 100 fi.

Să se determine raportul semnaljperhirbaiie la ieşirea demodulatorului. ştiind că gradul de modulaţie este 0,5, iar mesajul -modulator este sinusoidal,

6.27. Fie două semnale modulate în am­plitudine cu rest de bandă laterală, avînd

50%. Impedanţa de intrare în

la ieşirea demodulatorului, cînd:

\\S,(u)\

âjg. CQg+Âti) ăJ

ii r™]\ ' \

spectrul de amplitudine ca în figura 6.27, unde «o este frecvenţa purtătoarei. Aceste sem­nale sînt demodulate sincron. Să se analizeze pentru fiecare din ele spectrul de amplitudine al mesajului de la ieşirea demodulatorului si să se arate dacă mesajul de la emisie este reconstituit cu sau fără distorsiuni, (soluţie analitică şi grafică).

6.28. Se presupune că banda laterală superioară a unei unde modulate în ampli­tudine este atenuată cu un factor de 1j2. Considerînd o modulaţie cu un singur ton avînd gradul de modulaţie a. — 1, să se şi să se exprime anvelopa rezultantă.

6.29. Se consideră că banda laterală superioară a unei oscilaţii modulate în amplitudine este inversată cu 180°. Considerînd o modulaţie cu un singur ton avînd a = 1, să se construiască diagrama fazorială şi să se exprime anvelopa rezultantă.

<i)0-â<v UQ cjg-tÂb)

Fis;. 6.27.

construiască diagrama fazorială

6.30. Fie mesajul modulator

m(t) sin Qt Qt

şi fie purtătoarea

A cos oy0t.

a) Să se determine expresia spectrului semnalului modulat în amplitudine cu purtătoarea suprimată (MA-PS).

267

b) Să se determine şi să se reprezinte grafic mesajul de la ieşirea filtrului trece-jos (FTJ) al demodulatorului de produs în cazul detecţiei sincrone, ştiind

că frecventa de tăiere a filtrului este —'-

6.31. Cu un semnal sinusoidal de frecvenţă fm se modulează în frecvenţă un emiţător (MF) şi în fază un alt emiţător (MO), astfel încît Af = 75 kHz şi A O = = 7,5 radiani.

Să se determine lărgimea de bandă cînd frecvenţa de modulaţie ia următoa­rele valori:

a ) / „ = 1 0 k H z ;

b) fm = 1 kHz.

6.32. Cu un mesaj sinusoidal avînd frecvenţa fm se modulează în frecvenţă (MF), respectiv în fază (MO) două purtătoare identice. Deviaţia de frecvenţă este 60 kHz. La intrările în cele două receptoare (MF şi MO) este prezent un semnal interferent, diferenţa dintre purtătoarea utilă si cea perturbatoare fiind 10 kHz.

Să se determine indicele de modulaţie $<j> şi frecvenţa de modulaţie îm, astfel încît lărgimile de bandă, ale celor două semnale modulate să fie egale şi rapoartele semnal/per turbaţie de asemenea egale.

6.33. La intrarea unui receptor cu modulaţie de frecvenţă (MF) amplitudinea semnalului util este 10~a V. Sensibilitatea receptorului este de 700 unităţi KT. Mesajul modulator este o succesiune de impulsuri dreptunghiulare de perioadă 0,5 ms, factor de umplere 0,5 şi valoare medie nulă. Deviaţia de frecvenţă a semnalului modulat este de 50 kHz.

Să se determine raportul semnal/zgomot la ieşirea demodulatorului.

6.34. Două semnale sx(t) = cos 2TZ • 10 t şi s2(t) = cos 2iz 70 t sînt eşan-iionate la f0 = 80 Hz. Să se arate analitic şi grafic că cele două semnale conduc la aceeaşi formă de undă reconstituită.

6.35. Să se discute forma spectrului impulsurilor modulate în amplitudine T 1 (MIA) în cazul eşantionării naturale, pentru •— = —, în care K reprezintă un

numea natural. Particularizări pentru K = 2 şi K = 7.

6.36. Să se calculeze raportul semnal/zgomot (S/Z) la ieşirea demodulato­rului, constituit dintr-un filtru trece-jos (FTJ), în cazul unei transmisiuni cu modulaţia în amplitudine a impulsurilor ştiind că:

— sensibilitatea receptorului în unităţi KT este <l> = 700; — valoarea de vîrf a impulsurilor de eşantionare nemodulate este A = 100 mV,

la intrarea receptorului; — durata impulsurilor de eşantionare x — 2 p.s; — frontul impulsurilor de eşantionare s = 0,2 \is ; — perioada de eşantionare, T0, este jumătate din perioada maximă de eşan­

tionare {conform teoremei de eşantionare); — mesajul modulator este

m(t) = a cos Ot cu a = 0,8 şi O = 2 TT • IO4.

Se vor considera cazurile eşantionării naturale şi eşantionării uniforme.

268

6.37. Să se determine domeniul de frecvenţă în care este necesar să se înca­dreze semnalele care pot fi vizualizate pe ecranul unui receptor de televiziune, utilizînd procedeul de modulaţie în poziţie a impulsurilor prezentat la pro­blema 6.13.

3.38. Fie un mesaj al cărui spectru se găseşte în banda de frecvenţă (O—10) kHz. Se realizează o transmisie cu modularea impulsurilor în poziţie (MIA) cu •eşantionare uniformă. Să se determine durata impulsurilor -., pentru ca la punctul de recepţie componenta de frecvenţă 10 kHz să nu fie atenuată faţă de frecvenţele joase cu mai mult de.5%.

3.39. Să se calculeze valoarea de vîrf minimă în cazul impulsurilor de eşan­tionare, la recepţie, în c , IVI, ştiind că sensibilitatea receptorului este 6 = = 100, iar frontul impulsurilor este s = 0,1 ţj.s.

6.40. Să se calculeze raportul semnaljzgomot la ieşirea demodulatorului în cazul unei transmisii cu modulaţie în poziţie a impulsurilor (MPI) ştiind că:

— mesajul modulator este

m(t) = (Ap) cos Ot, Ap = 3 us.;

— valoarea de vîrf a impulsurilor de eşantionare A = 200 \JV ; — sensibilitatea receptorului, în unităţi KT, este ii = 100; — frontul impulsurilor de eşantionare este s = 0,1 ţis,

6.41. Fie schema bloc din figura 6.41. ,,. „ Mesajului m(t) i se aplică o modulaţie ' """ MÂ PSi ' s(t) •in cod de impulsuri (MIC) după care, l___lLlLj semnahdui rezultant l(t) i se a-plică o modulaţie în amph'udine Cil' puri'ă- Fig. 6.41. Schema bioc a sisternului de mo-, ' . . ,"/in \ nev u • -. j dnlatie MIC-(MA-PS). toarea suprimata (MA-Fb), obţinindu-se la ieşire semnalul s(t). Ştiind că lăr­gimea de bandă a semnalului s(t) depăşeşte de 12 ori lărgimea de bandă a mesajului m(t), să se determine numărul maxim al nivelelor de cuantizare.

6.42. [Generalizarea cuantizatorului LLoyd-Max din problema 6.22). Fie variabilele aleatoare X şi Y cu densitatea de probabilitate compusă

PXY(^,V)> x G ^ î , y e ( ^ . Se consideră funcţia de distorsiune nenegativă tj>(x,y). Se caută o aproximare optimală a lui X bazată pe o versiune de cuantizare a lui X cu M nivele şi respectiv pe o versiune de cuantizare a lui Y cu N nivele. Altfel spus, se caută o funcţie cu M valori, gn(x), o altă funcţie cu N valori, IMy) Şi o funcţie F( .,.) avînd domeniul de valori în Y, peutru a minimiza

E^E6{X,F[gM(X),hN(Y)]}

(E indică operatorul de mediere statistică.)

Aplicaţie: pxy(x, y) = 1/TC, dacă x2 + y2 = i şi pxy(x, y) = 0, în rest; M = N = 2 ; 0 (x, y) = (x - y)2.

6.43. Să se deducă schema unui sistem de modulaţie în cod de impulsuri ortogonale capabil să realizeze algoritmul de codare prezentat în problema 6.23.

6.44. Se consideră modelul unui sistem de modulaţie delta adaptivă a cărui schemă bloc este reprezentată în figura 6.44.

289

Cum parelor cu cuonh'zare , î

Sn ~r y, 'n u -^S*H

L. R.

- A

rr-1

. _ ]

Integrator Sisiemui de adop- ^_ /*'/'/? # dJmensw/fii

pasuiui Memorie a secvenţei i/Jţf

Fig. 6.44. Schema bloc a sistemului de modulaţie delta adaptivă din problema 6.44.

Se consideră secvenţa momentelor de timp

4 Î + 1) = {tn-U «.-«4.1. - . * . } . ega/ distanţate cu T, /a care se aplică secvenţa, de eşantioane ale semnalului de intrare

" » ' = l \ - I ' ^M-Z+l< •••' $ni.

Bucla de reacţie a modulatorului realizează o estimare a semnahdui de intrare în 'forma unei secvenţe de eşantioane analogice

D(i + T ) _ ( D r> P I • " » = \"-n-l> K » - I + l > • • • ' • " • » / •

La ieşirea modulatorului este generată secvenţă binară

ÎM care

funcţia F /m«£ definită ca

F(u) =

F{sm - R„

„l", pentru u > 0 „0", pentru u < 0

Semnalul reconstituit variază la momenttd tn cw un pas An, care conform algoritmului Abate-Candy se presupune de forma

An = g(yir1]), (i) astfel că

Rm = ^m-1 + A»-Se consideră, o densitate de probabilitate exponenţială a gradientelo-r de am­

plitudine ale eşantioanelor de intrare (x = Xm k = Sm — Sk).

wT(x) = 1 1*1 *oM

2% 0 (T)

X 0 ( T ) fiind o tensiune caracteristică.

, (*=*„-*,)

270

Utilizînd criteriul minimizării erorii pătratice medii de cuantizare, se •ere să se optimizeze sistemul de adaptare (să se evalueze funcţia g din •elaţia (1).

BIBLIOGRAFIE

i. S p ă t a r i i , A l . Teoria transmisiunii informaţiei, voi. I (Semnale şi perturbaţii). Ed. Tehnică, Bucureşti, 1966.

2. C a r l s o n , A. B. Communication systems: an introduction to signals ană noise in electrical communication. Mc. Graw-Hill, New York, 1968.

3. C a r t i a n u , G. Modulation de frequence. Dunod, Paris, 1968. 4. L e i t c h, C. D., H e r s h b e r g , D. L. A linear AM stereo system using quadrature

modulation. î n : I E E E Transactions on Broadcasting, septembrie, 1978, p . 57—61. 5. S a t o, M., M u r a t a , M., N a m e k a w a, T. Puise interval and width modulation

for video transmission. î n : I E E E Transactions on Cable Television, octombrie, 1978, p. 165-173 .

6. N e a g o e, V. E., Transformarea televizorului în osciloscop pentru semnale cu spectrul în joasa frecvenţă, utilizînd modulaţia în poziţie a impulsurilor. î n : Telecomunicaţii, septembrie, 1973, p . 496 -502 .

7. O l i v e r, B. M., P i e r c e, J. R., S h a n n o n, C. R., The philosophy of PCM. î n : Proceedings of the IRE, voi. 36, noiembrie, 1948, p . 1324—1331.

8. M a x, J. Quantizing for minimum distortion. î n : I R E Transactions on Information Theory, martie 1960, p . 7V 12. .

9. L 1 o y d, S. P. Least squares quantization in PCM. î n : I E E E Transactions on Information Theory, martie 1982, p. 129-137.

10. P a p o u 1 i s, A. Probability, random variables, and stochastic processes. Mc. Graw-Hill, New York, 1965.

11. B e c k m a n n , P. Probability in communication engineering. Harcourt, New York, Brace and Wold, Inc., 1967.

12. P e a r l m a n , W. A., S o n g e, G. H. Optimal quantization of the Rayleigh probability ăistribution. î n : I E E E Transactions on Communications, ianuarie, 1979, p . 101 — - 1 1 2 .

13. G a a r d n e r , N. T., S l e p i a n , D. On optimalfinite-state digital transmission systems î n : I E E E Transactions on Information Theory, martie 1982, p. 167 — 186.

14. N e a g o e, V. E. Optimal M-ary system with polynomidl form puise code modulation. î n : Proceedings of the I E E E Canadian Conference on Communications and Energy Montreal, octombrie 13 — 15, 1982.

15. N e a g o e, V. E., Adaptive delta modulation with double delayed decision system for tele­vision signals. î n : Revue Roumaine des Sciences Techniques, serie Electrotech-nique et Energetique, Bucureşti, aprilie-iunie, 1980, p. 305 — 320.

271

Plan editură nr. 7 264. Coli de tipar; 17 Bun de tipar 21.XII. 83

Tiparul executat sub comanda nr. 432 la

întreprinderea poligrafică „13 Decembrie 1918",

str. Grlgore Alexandrescu nr. 89-97 Bucureşti,

Republica Socialistă România