Teoria Fractalilor Si Teoria Haosului
of 47
-
Upload
calin-fabri -
Category
Documents
-
view
573 -
download
19
Transcript of Teoria Fractalilor Si Teoria Haosului
ACADEMIA DE STUDII ECONOMICEFACULTATEA DE CIBERNETIC , STATISTIC sI INFORMATIC ECONOMIC
LUCRARE DE DIPLOM Teoria fractalilor si Teoria haosuluiBUCUREsTI 2008
CuprinsIntroducere............................................................... Capitolul 1. Ce sunt fractalii?...............................1.1. 1.2. 1.3. 1.4 2.1. 2.2. 2.3. 2.4. 2.5. 2.6. 2.7. 3.1. 3.2. 3.3. 3.4. Scurt istoric................................................................... Primii fractali faimosi................................................... Definitie........................................................................ Dimensiunea fractala ...................................................
4 66 7 10 11
Capitolul 2.
Aplicatii curente ale fractalilor.........
1313 14 16 17 19 20 21 22 23 24 27
Avantajele utilizarii fractalilor...................................... Economie...................................................................... Astronomie.................................................................... Meteorologie................................................................. Dinamica fluidelor si chimia......................................... Fizica............................................................................. Grafica pe calculator..................................................... Notiuniintroductive...................................................... "Efectul fluturelui" - Atractorul Lorentz...................... Exemple de sisteme haotice.......................................... Caracteristicile sistemelor haotice n analogie cu organizatiile manageriale..............................................
Capitolul 3.
Teoria Haosului................................. 22
Capitolul 4.4.1.1. 4.1.2.
Tehnici de reprezentare a fractalilorJocul pisicii.................................................................. Jocul haosului............................................................... Scurt istoric.................................................................. Descrierea procesului...................................................
303132 33
4.1. Sistemul functiei iterate (IFS).......................................
4.2. Sisteme Lindenmayer...................................................4.2.1. 4.2.2.
3434 35
Capitolul 5.
Realizarea aplicatiei.......................... 3838 38 4040
5.1. Scopul aplicatiei............................................................ 5.2. Descrierea interfetei...................................................... 5.3. Structura aplicatiei........................................................5.3.1. Clasa Fractal.................................................................
5.3.2. 5.3.3. 5.3.4.
Curba dragonului......................................................... Copac fractal................................................................ Setul Mandelbrot..........................................................
42 44 44
Concluzii................................................................... 49 Anexe........................................................................ 51 Anexa Lista 511. Anexa 2. figurilor..................................................... Listare de cod sursa...........................................
52
Bibliografie............................................................... 59
Introducere"Se pare ca nimeni nu este indiferent fata de fractali. De fapt, multi privesc prima lor ntlnire cu geometria fractala ca o experienta cu totul noua, att din punct de vedere estetic, ct si stiintific." Benoit Mandelbrot - "Frumusetea fractalilor", 1986 Rigla si compasul au constituit pentru matematicienii antici principalele unelte utilizate n studiul geometriei, al carei parinte este considerat si n ziua de azi Euclid din Alexandria, nca din secolul IV . Hr. stim cu totii ca geometria euclidiana este un ansamblu de leme, corolare, teoreme si demonstratii, care foloseste doar patru notiuni fundamentale: punct,dreapta, plan si spatiu, si care se bazeaza pe cele cinci axiome, enuntate de Euclid n cartea sa "Elementele". Orice obiect al muncii omului era scufundat si reprezentat n spatiul 1D, 2D, 3D. Dar Natura, n imensa ei complexitate, nu s-a limitat la a construi corpuri geometrice doar n acest spatiu att de particular, a carui masura este un numar ntreg si mai mic dect 3. Privind n natura, observam imagini imposibil de ndesat ntr-o viziune euclidiana, precum conturul coastei Normadiei, al crestei muntilor, al norilor, chiar si brocolli si conopida, care nu pot fi construite si definite geometric la fel de usor. Aparitia calculatorului a permis patrunderea n acest univers n care rigla si compasul nu mai sunt suficiente pentru reprezentarea unor obiecte prea complexe pentru a putea fi integrate ntr-o lume geometrica. Acesta este universul fractalilor, definit in 1975 odata cu aparitia primei carti a lui Mandelbrot: "Les objects fractales, forme, hasard et dimension". Fiind primele forme geometrice nebazate pe linii drepte sau liniarizabile, fractalii au fost considerate ciudatenii si abandonate de matematicieni caci erau dezordonat de complexe. Neliniari, deci imposibil de construit prin linii nentrerupte, este nevoie de calculator pentru a fi trasati. Mandelbrot, considerat "Parintele geometriei fractale", a inventat si numele de "fractal", care vine din latinescul "frangere" - a sparge n fragmente neregulate. El nota patetic: "Deoarece "algebra" deriva din cuvntul arab "jabara" (a lega mpreuna), ntre cuvintele "fractal" si "algebra" este o contradictie etimologica." Din nefericire pentru aceia dintre noi carora le place sa controleze lucrurile, mare parte din lumea naturala nu se conformeaza cu usurinta ecuatiilor liniare. Formele neliniare, "fractale", sunt mai degraba regula dect exceptie. Asa cum spunea Benoit Mandelbrot n cartea sa "Geometria fractala a naturii": "Norii nu sunt sfere, muntii nu sunt conuri, liniile de coasta nu sunt cercuri, iar scoarta copacilor nu e neteda...". Tehnicile noastre matematice au repurtat un mare succes n prezicerea fenomenelor exceptionale, care sunt aproape liniare, cum ar fi traiectoriile pro 10110h71k iectilelor, planetelor si particulelor. Subiecte mai haotice (si imediat folositoare) cum ar fi vremea, cutremurele, curgerea fluidelor si dinamica formativa au nselat constant previziunile.
Fractalii nu ofera n mod neaparat speranta ca putem controla aceste fenomene nselatoare. Din contra, ncepem sa ntelegem ca haosul si imprevizibilul sunt mult mai puternic incluse n natura dect ne-am imaginat vreodata. Oricum, fractalii ne ofera instrumente puternice pentru modelarea si vizualizarea sistemelor neliniare. n majoritatea cazurilor, cu ajutorul fractalilor putem modela aspectul si structura lumii reale mult mai usor si mai succint dect cu formele liniare.
Capitolul 1Ce sunt fractalii?"n ochii mintii, un fractal este un mod de a vedea infinitul." James Glick, "Haos", 1986 1.1. Scurt istoric Asa cum am mentionat mai sus, Euclid a construit o geometrie bazata pe logica si pe niste adevaruri intuitive. El a dezvoltat astfel un set de reguli logice pentru a descrie punctul, dreapta si planul (axiome):1. 2. 3. 4. 5. Prin oricare doua puncte distincte trece o dreapta si numai una; Orice segment de dreapta poate fi prelungit la infinit (sub forma unei drepte); Dat fiind un segment de dreapta, se poate construi un cerc cu centrul la unul din capetele segmentului si care are segmentul drept raza; Toate unghiurile drepte sunt congruente; Printr-un punct exterior unei drepte se poate trasa o singura paralela la acea dreapta.
n geometria euclidiana, trei puncte necoliniare determina un plan si numai unul, iar patru puncte necoplanare determina un spatiu. Simplu si logic. Observatiile nu au avut nici un rol n gndirea euclidiana. Aproape doua milenii mai trziu, n 1600, Rene Decartes a zguduit geometria euclidiana, sugernd ca spatiul fizic poate fi disecat si masurat cu ajutorul a trei axe perpendiculare, localiznd astfel fiecare punct din spatiu prin trei dimensiuni liniare. Ideea ca Universul poate fi imaginat ca o multitudine de cuburi mici a format fundamentul stiintei moderne asupra lumii. Un secol mai trziu, Gottfried Wilhelm Von Leibniz si Sir Isaac Newton au dus lucrurile mai departe, facnd o presupunere periculoasa si revolutionara, pe care nu au putut-o demonstra matematic initial, si anume ca orice curba este de fapt un numar infinit de segmente de dreapta (numite tangente). Astfel, ei au inventat calculul diferential. Ideea de baza a acestuia este ca orice curba marita la infinit se aseamana din ce n ce mai mult cu o dreapta, iar limita acestui proces este tocmai linia cu care ar semana curba la infinit. Leibniz nu a putut sa si explice nsa de ce teoria lui dadea rezultate n majoritatea cazurilor, dar uneori ducea la nepotriviri neasteptate. Desi chiar el a abandonat ideea segmentului de dreapta infinitezimal, ea a ramas n folosinta dnd rezultate n majoritatea cazurilor. Presupunerea ca, la infinit, curbele de fapt sunt similare dreptelor, ramne n picioare, desi aparitia iminenta a unor forme imposibil de supus liniaritatii avea sa zguduie iar matematica.
Fig. 1.1. - Aproximarea curbelor cu linii tangente Totul a nceput n 1875 cnd marele matematician german Karl Waierstrass a descris o curba continua care nu putea fi diferentiata, deci nu parea sa aiba nici o tangenta. O multime de curbe ciudate au nceput sa apara, denumite "Galerie de monstri". 1.2. Primii fractali faimosi Triunghiul lui Sierpinski Polonezul Waclav Sierpinski a pornit de la un triunghi pe care l-a divizat n patru parti egale. Apoi a divizat cele trei parti marginale n acelasi mod, continund procesul la infinit. Figura obtinuta este numita "Triunghiul lui Sierpinski".
Fig. 1.2. - Triunghiul lui Sierpinski Un alt mod de constructie a aceleiasi forme porneste de la un triunghi plin, n care "decupam" gauri identice, n loc de a trasa linii. Rezultatul este acelasi desi este numit n aceasta maniera "Sita lui Sierpinski".
Fig. 1.3. - Sita lui Sierpinski "Covorul lui Sierpinski" este o alta forma care a nedumerit matematicienii, format la fel, prin ambele variate:
Fig. 1.4. - Covorul lui Sierpinski 1
Fig. 1.5. - Covorul lui Sierpinski 2
Principala problema era legata de aria acestor figuri. Din moment ce ele erau alcatuite din segmente de dreapta, care, matematic, nu au nici arie, nici latime, matematicienii au convenit ca aria figurilor este 0, mai mult nsa deoarece nu puteau spune ct este aria, daca nu ar fi 0. Matematicianul italian Giueppe Peano, "profesor extraordinar de calcul infinitezimal" la Universitatea din Torino, folosindu-se de Covorul lui Sierpinski, a demonstrat ca o curba continua, fara latime (si deci fara arie), poate umple o portiune de spatiu, deoarece la infinit, ntre linii nu va mai ramne deloc spatiu gol (curba de umplere a spatiului). Curba va avea asadar aria patratului care o margineste, desi este alcatuita n continuare din segmente de dreapta. Praful lui Cantor Matematicianul german Georg Cantor[1], cel care a dezvoltat singur teoria seriilor, a creat n 1877 o forma denumita "Praful lui Cantor". Ea este construita din fragmentarea segmentelor de dreapta unidimensionale, continnd la sfrsit doar puncte de dimensiune 0, desi este n continuare alcatuita din segmente de dreapta.
Fig. 1.6. - Praful lui Cantor Curba lui Koch Matematicianul suedez Helge Von Koch[2], fascinat de infinit ca toti colegii sai n timpul marii crize din matematica, a construit "curba liniei de coasta". El a pornit de la o dreapta pe care a desenat un triunghi exterior. Pe fiecare segment de dreapta al aceleiasi forme a desenat cte un triunghi, s.a.m.d. Asemanator, se poate crea Curba liniei de coasta Koch si pornind de la un patrat, sau de la un triunghi echilateral pe laturile caruia desenam triunghiuri echilaterale.
Fig. 1.7. - Curba lui Koch
Fig. 1.8. - Fulgul de zapada Koch
Curba lui Koch da nastere la un paradox interesant. De fiecare data cnd un nou triunghi este adaugat figurii 12, lungimea liniei evident creste. Totusi, aria interioara a curbei lui Koch ramne mai mica dect aria cercului care trece prin vrfurile triunghiului initial. O linie de lungime infinita care nconjoara o arie finita. Lungimea curbelor este diferita, pornind de la tipul de generare. La primul nivel, lungimea curbei din figura 11 va fi de patru treimi din segmentul de dreapta, iar lungimea curbei similare generate cu un patrat va fi de cinci treimi, adica 133, respectiv 166, daca lungimea segmentului initial este de 100. Pentru a rezolva aceasta dificultate, matematicienii au inventat dimensiunea fractala, prezentata n cele ce urmeaza. La nceputul secolului al XX-lea, cercetarea n domeniul acestor curbe complexe s-a lovit de o mare piedica: calculul laborios. Matematicienii trudeau zile si chiar luni, calculnd si desennd pentru a produce niste aproximatii foarte inexacte si sarace n detalii ale curbelor neliniare infinit detaliate. Din 1925 pna n 1960, limitele calculului manual au mpiedicat orice proces serios n geometria complexitatii si infinitului. Apoi au aparut calculatoarele. La nceput, nimeni nu s-a gndit sa foloseasca aceste masini scumpe, construite pentru calcule contabile sau pentru utilizari militare, n cercetarea matematica. Apoi, calculatoarele au nceput sa atraga atentia matematicienilor, prin furnizarea sutelor de zecimale ale numerelor , e, sau ale radacinii patrate din 2. Dar matematicienii erau nca nelinistiti de bazarea calculelor pe "aproximari". Primul care a ndraznit sa foloseasca simularea pe calculator a fost un biolog: Aristid Lindenmayer, care a introdus ideea "automatelor celulare" pentru a modela dezvoltarea organismelor vii. El era n special interesat de dezvoltarea celulei si de modele ramificate ale plantelor. 1.2. Definitie Fractalii sunt reprezentari ale planului complex, ntr-o maniera recursiva. Un obiect fractal este mai dificil de surprins n complexitatea sa, el necesita din partea observatorului un efort imaginativ, o participare mentala de natura unui proces nesfrsit, care este nsasi esenta fractalilor - ei si pastreaza forma, indiferent ct de mult am mari o reprezentare. n termenii cei mai generali, un fractal demonstreaza o limita; obiectul fractal este chiar limita acestui proces cu numar infinit de operatii. Fractalii pot parea foarte complicati fata de formele geometrice clasice. Liniile drepte, arcele gratioase, curbele, poligoanele, etc., au un lucru n comun: chiar daca unele nu sunt drepte, ele sunt considerate liniare, datorita diferentierii (marind la infinit frontiera lor, obtinem tangenta). n cazul formelor neliniare, marind la infinit imaginea lor, obtinem n continuare detalii complexe. nsa, ei sunt de obicei niste procese foarte simple care produc rezultate complicate. Aceasta proprietate se transfera si asupra Teoriei Haosului. Daca ceva are rezultate complicate, nu nseamna neaparat ca a avut si un input complicat. Este posibil ca haosul sa se fi strecurat n proces, producnd rezultate complicate. Fractalii sunt forme auto-similare, aceasta nsemnnd ca structura ntregului sistem e deseori reflectata n fiecare portiune a sa. Un sistem va arata auto-similar cnd forte asemanatoare actioneaza la mai multe nivele ale scarii. Natura abunda n forme auto-similare, cum ar fi liniile de coasta, ramurile care se aseamana cu copacii, vrful muntilor care are
aceeasi forma ca ntregul munte, valurile si norii mici sunt o replica a celor mai mari. si astfel putem caracteriza ntr-un mod nou mediul nconjurator. 1.4. Dimensiunea fractala O notiune elementara cnd discutam despre fractali este dimensiunea fractala. Formal, spunem ca un set este n-dimensional daca avem nevoie de n variabile pentru a descrie vecinatatea unui punct. Aceasta notiune a dimensiunii este numita dimensiunea topologica a setului. Uneori apar confuzii cu privire la dimensiunea unei figuri. Evident, o linie are dimensiunea 1, un plan dimensiunea 2, un cub dimensiunea 3. Deseori se crede nsa ca o sfera are dimensiunea 3, ea neputnd exista dect n spatiu, nu si n plan. Dar sfera este bidimensionala: fiecare particica a ei arata ca o portiune din plan si ntr-o portiune asa mica, este nevoie doar de doua coordonate pentru a reprezenta un punct. ntr-o exprimare libera, dimensiunea fractala este o masura a ct de "complicata" este o figura auto-similara. Exista mai multe definitii si metode de a determina dimensiunea fractala a unei figuri. n1919, matematicianul Hausdorff, a introdus o noua dimensiune, dimensiunea fractala sau dimensiunea Hausdorff. Aceasta dimensiune, masoara numarul de multimi de diametre mai mici, necesare pentru a acoperi o figura. Daca acest numar este ntreg, atunci dimensiunea este topologica, altfel, dimensiunea este fractala. Besicovitch, dezvoltnd lucrarile anterioare ale lui Hausdorff, a afirmat ca formele ar putea avea ntradevar dimensiuni fractionare cum ar fi 1,3 sau 2,5. Curbe precum cele ale lui Sierpinski si ale lui Koch ar putea fi explicate cu ajutorul aceste dimensiuni. n mod concret, dimensiunea Hausdorff/Besicovitch este definita ca raportul dintre logaritmul numarului de copii si logaritmul marimii semintei corespunzatoare fiecarei copii. Pentru linia de coasta Koch triunghiulara vom gasi dimensiunea fractala log4/log3=1,2618, deoarece sunt patru copii si fiecare este o treime din marimea semintei, iar pentru linia de coasta patrata: log5/log3=1,46. Dimensiunea fractala a prafului lui Cantor este log2/log3=0.63, deci acest obiect are dimensiunea mai mare dect punctul (0) si mai mica dect linia (1). Dimensiunea fractala a triunghiului lui Sierpinski este log(3)/log(2) = 1.585. Pentru a fi clasificata oficial ca fractal, o forma trebuie sa aiba dimensiunea HausdorffBesicovitch mai mare ca dimensiunea sa topologica traditionala. Muntii, norii, copacii, florile au dimensiuni ntre 2 si 3, si putem deduce multe doar din dimensiunea unui corp. Dimensiunea fractala, asa cum a denumit-o mai trziu Mandelbrot, a devenit un instrument nou de masurare a spatiului.
Capitolul 2Aplicatii curente ale fractalilor si haosului"...ntotdeauna au existat zone mari ale stiintei n care metodele analitice simple puteau fi cu greu aplicate. Fenomenele naturale erau prea complexe. n legatura cu ele, oamenii ridicau din umeri a zadarnicie si enuntau teorii calitative sau aproximatii grosolane, sau nu emiteau nici o parere. Acestea sunt domeniile n care fractalii si gasesc o multime de aplicatii." D.E. Thomsen, Science News, 1987
2.1. Avantajele utilizarii fractalilorFractalii prezinta anumite avantaje datorita carora sunt larg folositi n modelarea aspectului si comportamentului unor sistemelor naturale: y Fractalii pot reprezenta cu usurinta forte similare actionnd la mai multe niveluri ale scarii, n timp ce geometria liniara nu poate. Fractalii ofera deseori o metoda mai compacta de nregistrare a imaginilor si datelor complexe dect vectorii liniari. Cu ajutorul fractalilor, se pot gasi curbe fractale care sa aproximeze un set de date (precum temperaturi nregistrate ntr-o anumita perioada de timp, preturile unei actiuni la bursa ntr-un interval de timp, etc.) Fractalii pot fi folositi pentru a construi modele folositoare ale unor sisteme imprevizibile si haotice, unde ecuatiile liniare dau gres.
y
y
y
Fractalii sunt folositi n diverse discipline, precum: economie, astronomie, fizica si dinamica fluidelor, chimie, cardiologie, ornitologie, etc.
2.2. EconomieBenoit Mandelbrot si-a ntemeiat geometria fractala bazndu-se n principal pe simularea sa ncununata de succes a tendintei preturilor bunurilor de consum, iar analiza pietei ramne una dintre cele mai atragatoare aplicatii ale geometriei fractale. n economie, probabil cel mai important lucru este prezicerea ntr-un mod ct mai sigur a ceea ce se va ntmpla pe piata dupa o perioada de timp. Pna recent, teoria dominanta folosita n acest scop era Teoria Portofoliului. Conform acesteia, probabilitatea schimbarilor de pe piata puteau fi modelate prin clopotul lui Gauss:
Fig. 2.1. - Probabilitatea schimbarilor de pe piata
Presupunnd ca aceasta teorie este corecta, putem conchide ca schimbarile foarte mici sunt si cele mai frecvente, iar schimbari foarte mari au loc extrem de rar. Acest lucru nu este nsa adevarat n practica. Pe aceasta curba, putem observa probabilitatea schimbarilor rapide apropiindu-se de 0, schimbari care pot fi vazute lunar pe piata. Recent, la 20 de ani de la descoperirea fractalilor, Benoit Mandelbrot introduce o noua teorie fractala care poate fi folosita mai eficient dect Teoria Portofoliului n analiza pietei. Consideram un an de activitate de piata si reprezentarea grafica a pretului n fiecare luna. Vom obtine o linie frnta cu suisuri si coborsuri. Daca luam una din aceste luni si realizam un grafic mai detaliat pe fiecare saptamna, vom obtine o linie foarte similara, cu suisuri si coborsuri. Daca detaliem curba din ce n ce mai mult, pe fiecare zi, ora, chiar minut sau secunda, vom obtine aceleasi, numai ca mai mici, suisuri si coborsuri. Aceasta este autosimilaritatea Browniana.Mandelbrot a definit o metoda de a crea fractali pe baza descrierii de mai sus. El a bazat-o pe o iteratie cu generator si a creat fractali care pot modela piata. n Februarie 1999 el a publicat n Scientific American ctiva dintre acesti fractali, alaturi de grafice ale pietei, aratnd ct de asemanatori sunt. n aceasta metoda, se porneste de la o forma, numita generator. Generatorul trebuie sa fie compus din 3 segmente de dreapta, pentru a obtine si cresterea si scaderea pretului. De exemplu, luam o linie frnta, si nlocuim fiecare segment cu linia frnta initiala, obtinnd dupa un numar de pasi urmatorul grafic:
Fig. 2.2.a
Fig. 2.2.b
Fig. 2.2.c - Grafic fractal de modelare a pietei comparativ cu un model al teoriei de portofoliu:
Fig. 2.3. - Grafic de modelare a pietei (Teoria de Portofoliu)
Una din revelatiile majore ale analizei fractale a pietei este memoria sau persistenta pe piata. Modele economice traditionale iau n considerare un consumator care traieste totdeauna n prezent, care ia decizii pe baza preturilor curente ale pietei si pe dorinta perfect rationala de a obtine profit n orice moment. nsa piata are att memorie pe termen lung, ct si pe termen scurt si este persistenta la fiecare scara posibila, de la ore la secole. Adevaratul participant la economie si aduce aminte si cnd a obtinut profit maxim, si cnd si-a pierdut bunicul ferma.[3] n domeniul pietei, ca si n alte domenii n care fractalii si haosul dau rezultate, rareori se dovedesc att de folositori pentru prezicere, pe ct sunt pentrusimulare. Simularea fractala poate modela si prezice natura general statistica a unui sistem, fara a i prezice comportarea ntr-un anumit moment. Pretul bumbacului era subiectul preferat al lui Mandelbrot, deoarece existau date disponibile de-a lungul a sute de ani de comert. El prezenta nsa o constanta ciudata: aceeasi variatie ntr-o perioada de secole, ca si ntr-o perioada de zeci de ani sau de ctiva ani. El a numit acest lucru invarianta de scara. Desi valoarea variantei din scara ramne constanta, aceasta este imposibil de prezis n orice moment si la orice marime a scarii. Simularile lui asupra pretului bumbacului in 1953 continua sa prezica cu exactitate cantitatea de variatie din pretul bumbacului, att lunar ct si anual, dar nu pot pretinde ca indica pretul bumbacului din iulie 2008.
2.3. AstronomieUnul dintre cei mai frumosi fractali matematici a fost inventat de un astronom. La nceputul anilor 1960, Michel Henon de la observatorul din Nisa din Franta a observat o comportare tulburatoare ntr-un simplu model al stelelor care orbiteaza ntr-o galaxie. Cteva dintre orbite erau line si stabile, n timp ce altele pareau aproape aleatoare. La nceput, a ignorat orbitele anormale, creznd ca ele apar datorita unor erori de calcul inexplicabile. n cele din urma, Henon a descoperit ca acest tip de comportare haotica era o parte esentiala a dinamicii orbitelor stelare. Planetele, ca orice obiect din Univers, se supun legii gravitationale a lui Newton. nsa desi legea lui Newon pare relativ simpla, poate fi greu de pus n practica, deoarece ntr-un univers real, atractiile gravitationale ale altor planete si stele fac ca orbita planetei analizate sa fie mai putin previzibila. Folosind aproximatii, astronomii pot prezice care va fi traiectoria orbitelor corpilor ceresti din sistemul nostru solar saptamna viitoare sau peste douazeci de ani; unii dintre ei cred nsa ca nu putem afirma sigur unde se vor afla ele peste un milion de ani. Trebuie specificat nsa ca orbitele planetelor nu sunt fractali; ele se apropie sensibil de elipse perfecte. Daca plasam nsa pozitia planetei noastre sub anumite conditii, descoperim ca se ncadreaza n limitele unei curbe numite bazin de atractie. Acesta, de cele mai multe ori, este un fractal. Henon, dupa ce a studiat modele care explicau comportarea turbulenta a fenomenelor terestre, a elaborat un model si pentru orbitele planetare. Desi n trecut nu era folosit, denumim acum acel tip de modele pe care Henon l-a folosit atractori stranii. Spre deosebire de modelele liniare clasice, care par sa prezica pentru totdeauna traiectoria fiecarui corp
ceresc, ei ofera un amestec de comportari nesigure. Vechile modele si pastreaza capacitatea de a previziona pe termen scurt, dar cercetari recente au aratat ca, pe termen lung, modul de comportare al sistemului nostru solar este cel putin incert.
2.4 MeteorologieMeteorologii, ca si economistii, investesc o cantitate enorma de efort, bani si energie ncercnd sa prezica ce se va ntmpla mine si saptamna urmatoare. Ambele categorii fac sute de previziuni zilnic, folosind teorii binecunoscute, bazate pe secole de calcule si cercetari, dar dau gres, previziunile economice si cele meteorologice fiind cunoscute pentru inexactitatea lor. Vremea poate fi previzionata suficient de bine pentru cel mult doua zile, dar dincolo de aceasta, predictiile sunt slabe. Fractalii nu au fost de mare ajutor n jocul previziunii meteorologice, dar au ajutat explicnd de ce aceasta nu da rezultate. nregistrarile pe termen lung ale datelor climaterice deseori prezinta cicluri autoreflectoare: valuri de arsita care dureaza ctiva ani, un deceniu sau chiar secole de caldura. nregistrarile facute pe fluviul Nil dezvaluie perioade uscate de un mileniu. Viata de zi cu zi ne sugereaza ca ciclurile neregulate de temperatura au loc si n perioade de o luna, sau o saptamna. Figura urmatoare confirma acest lucru.
Fig. 2.4. - nregistrarile pe o perioada de 600 de zile ale temperaturilor din Middlesex, statul Vermont Acest tip de date este greu de caracterizat prin metodele liniare traditionale. Modelarea printr-un val sinusoidal ar pierde aparenta de cicluri mbinate unul n altul, si acesta este tocmai aspectul cel mai interesant de modelat. Acest lucru se poate face aproximnd datele cu o curba fractala, nu n scopuri anticipative, predictive, ci pentru a sugera caracterul esential al curbei.
Fig. 2.5. - Aproximare fractala a figurii 2.4 n 1961, Eduard Lorentz, meteorolog si matematician la MIT, pasionat de studiul vremii, a descoperit si a introdus n istorie, pornind de la modelarea vremii pe calculator, "efectul fluturelui" si atractorul Lorentz, prezentate n capitolul urmator. Graficele fractale sunt cele mai adecvate reprezentari ale formelor neregulate ciclice, prezente n seriile de date complexe, privind evolutia n timp a fenomenelor naturale si economice. Cutremurele evidentiaza de asemenea prin seismograma lor complexitate si forme auto-similare, deoarece undele de avertizare si replicile lui sunt niste cutremure n miniatura, iar cutremurul principal este o perioada de activitate intensa constituita din subperioade similare. Activitatea seismica este greu de modelat cu ajutorul curbelor traditionale. Alte fenomene usor de modelat cu ajutorul fractalilor sunt debitele rurilor, evolutia pretului unei actiuni la bursa, cursul valutar, etc.
2.5. Dinamica fluidelor si chimiaTurbulenta n dinamica fluidelor reprezinta starea de miscare a unui fluid, caracterizata de schimbari haotice si stohastice. Aceasta include difuzii, convectii si variatii rapide ale presiunii si vitezei n timp si spatiu. Turbulenta reprezinta nca un domeniu incontrolabil de savanti, ea rezistnd tuturor aproximarilor liniare si consumnd foarte mult timp calculatoarelor. Lorentz a fost unul dintre cei mai nversunati exploratori ai analizei neliniare a fluidelor, prin atractorul Lorenz, prezentat n Capitolul 3. Sistemul de ecuatii din care a derivat Atractorul Lorentz este nonlinear, tridimensional, si deterministic. n dinamica fluidelor, atractorul Lorentz este un model realist al "climei" turbulente dintr-un cilindru mic de fluid nchis, pe masura ce i se aplica o ncalzire continua la partea inferioara a cilindrului. Cele trei variabile ale sistemului corespund vitezei fluidului, temperaturii si vitezei de modificare a temperaturii. O metoda de simulare a mai multe fenomene diferite din fizica, chimie si electricitate este agregarea limitata de difuzie. La nceputul simularii pe calculator, se plaseaza n centrul
unui cerc o bucata mica de materie artificiala. Apoi calculatorul lanseaza aleator, una dupa alta, particule din jurul cercului care ratacesc la ntmplare, pna ies din cerc sau adera la alta particula ntlnita. Treptat, particulele virtuale formeaza dendrite fractale orientate din centrul cercului spre circumferinta. Acestea prezinta trei proprietati de baza ale fractalilor: autosimilaritate, dimensiune fractala si lacune. Ele pierd din densitate pe masura ce cresc n dimensiune.
Fig.2.6. - Dendrite fractale formate prin agregarea limitata de difuzie[4] Procese fizice care dau nastere la astfel de forme sunt agregarea cenusii n cosuri, depunerea zincului n celulele electrolitice, difuzia bulelor de gaz prin lichidele vscoase si descarcarile electrice n atmosfera. Aceste sisteme sunt departe de echilibru, ele primind si disipnd cantitati importante de energie. Simularea pe calculator ntoarce cumva procesul real pe dos, particulele artificiale deplasndu-se lent din exterior spre interior, n timp ce structura dendritica reala se formeaza rapid din interior spre exterior.
2.6. FizicaExista patru clase fundamentale de sisteme fizice: sisteme liniare conservative (pendul fara frecari care oscileaza liber) sisteme neliniare conservative (pendul fara frecari, mpins) sisteme liniare disipative (pendul care oscileaza liber ntr-o atmosfera care i opune rezistenta) sisteme neliniare disipitave (pendul mpins ntr-o atmosfera care i opune rezistenta).
Sistemele neliniare au fost mereu considerate ciudate si mai putin importante. Sistemele neliniare disipative sunt chiar iremediabile. Dar lumea reala este alcatuita tocmai din astfel de sisteme, iar modelarea acestora se face tocmai prin atractori fractali haotici. Fizicienii au ajuns la concluzia ca o gama larga de comportari complexe, unele de o mare regularitate, rasar acum din ceea ce nainte era doar haos. Multe sisteme fizice si chimice fluctueaza printr-o serie de schimbari majore de la ordinea liniara la complexitatea haotica si napoi. A doua lege a termodinamicii are si o fateta surprinzatoare: multe sisteme se autoorganizeaza si creeaza spontan o ordine proprie acolo unde nu era nici un fel de ordine.
2.7. Grafica pe calculator
Domeniul cel mai larg n care sunt folositi fractalii astazi este grafica pe calculator. Multe scheme de comprimare a imaginilor folosesc algoritmi fractali pentru a comprima fisiere grafice la mai putin de un sfert din dimensiunea originala. Artisti ai graficii pe calculator folosesc forme fractale pentru a crea peisaje si modele intrinseci; productii cinematografice importante i folosesc pentru efecte speciale.
Fig. 2.7. - Peisaj fractal stiinta, matematica si tehnologia nu mai sunt domeniile plictisitoare, inestetice si rigide, ci capata o frumusete care face competitie artei.
Capitolul 3Teoria haosului"Evolutia este haos cu reactie inversa." Joseph Ford, fizician, 1990
3.1. Notiuni introductivestiinta a cautat mereu ordinea ntr-un univers haotic, dominat de fenomene imprevizibile si incontrolabile. Dorinta de a fi cu un pas naintea timpului l-a caracterizat dintotdeauna pe om; el a dorit mereu sa poata anticipa viitorul, vremea, succesul sau esecul n comert, n evenimente sociale. Dar ntotdeauna Natura a dovedit ca nu poate fi cuprinsa n ntregime n legi pe baza carora sa-i fie descris si prezis comportamentul. Un sistem haotic este caracterizat prin instabilitatea, imposibilitatea de a fi controlat si dezordinea sa, prin dependenta de conditiile initiale, care determina mari modificari n starea sistemului, ca urmare a unei mici schimbari neperiodice anterioare. Supersensibilitatea la conditiile initiale este o notiune cheie a teoriei haosului. Aceasta nseamna ca evolutia sistemului este dependenta de starea initiala. Formele neregulate si procesele haotice abunda n natura. Astfel, fumul dintr-o anumita sursa se raspndeste formnd o multime de vrtejuri, un curs de apa este nvolburat din cauza obstacolelor, o nava sau un avion lasa n urma o dra turbulenta. Instabilitate si haos
ntlnim att n societate (politica si razboaie, boli, familie si relatii sociale), ct si n fenomene complexe, precum circuite electrice, eruptii de pojar, lasere, bataile inimii, activitatea electrica a creierului, mecanica fluidelor, reactii chimice, sau n sisteme simple precum un pendul. Teoria haosului a nceput ca un subdomeniu al fizicii si al matematicii, lucrnd cu structuri ale turbulentei (una dintre cele mai dificile probleme din fizica) si auto-similaritatea formelor din geometria fractala. Ea a aparut la sfrsitul anilor '60, fundamentata de matematicianul James Yorke de la Universitatea din Maryland. Primul care a descoperit nsa efectele haosului, pe care le-a numit "Efectul fluturelui", a fost Edward Lorentz, meteorolog la Massachusetts Institute of Technology. De-a lungul ultimelor decenii, aceasta dependenta fata de conditiile initiale a fost cunoscuta sub diferite nume, precum "Teoria haosului", "Teoria complexitatii", "Procese stohastice", etc. Teoria vizeaza procesele naturale exprimate sub forma formulelor matematice, calcule ce erau imposibile fara calculatoare. n calculul diferential, sistemele haotice sunt reprezentate prin ecuatii neliniare diferentiale, care se ocupa cu fenomene naturale precum turbulenta apei sau piete financiare. Spre deosebire de ecuatiile liniare care se comporta previzibil, sistemele haotice sunt reprezentate prin ecuatii neliniare diferentiale care se schimba brusc sau discontinuu. ntr-o ecuatie neliniara, o mica schimbare ntr-o variabila poate avea un efect disproportionat, chiar catastrofal asupra celorlalte variabile.
3.2. "Efectul fluturelui" - Atractorul LorentzSimulnd vremea pe calculator n 1961, Edward Lorentz a vazut oportunitatea de a combina meteorologia cu matematica. Modelul lui matematic al vremii era constituit dintr-un set de 12 ecuatii diferentiale care reprezentau schimbari n temperatura, presiune, intensitatea vntului, etc. ntr-o zi, vrnd sa repete o secventa interesanta din model, din dorinta de a salva timp, a renceput procesul din mijloc. Datele din aceasta rulare ar fi trebuit sa fie identice cu cele din prima rulare, dar rezultatul a fost surprinzator: desi au pornit similar, spre final au devenit complet divergente, al doilea model pierznd orice asemanare cu primul n cteva "luni". O imagine a acestor doua rulari este prezentata mai jos:
Fig. 3.1. - Graficul obtinut de Lorentz n simularea vremii Lorentz a presupus ca a fost o eroare, fie cnd a introdus numerele, fie n derularea calculelor de catre calculator. Dupa ce a cercetat tot procesul, a descoperit sursa problemei: pentru a salva spatiu, imprimanta includea numai patru zecimale dupa virgula, n timp ce datele n memoria calculatorului era exacte pna la a sasea zecimala. Lorentz a introdus o diferenta ntre prima si a doua rulare, care nu s-a dovedit a fi nesemnificativa.
El a ajuns la concluzia ca perturbatii extraordinar de mici ale datelor se mbina cu rapiditate, ducnd la o schimbare uriasa a vremii. Asadar, previzionarea vremii este pentru totdeauna "compromisa". Daca modelul lui Lorentz s-ar asemana ntru totul cu realitatea, atunci o interferenta minuscula cum ar fi bataia de aripi a unui fluture n Amazon ar putea modifica radical vremea n Massachusettes. "Efectul fluturelui", cunoscut mai exact ca dependenta sensibila de conditiile initiale, este o proprietate comuna a sistemelor naturale si sociale complexe. n concluzie, Lorentz a apreciat ca sunt imposibile previziunile precise n meteorologie datorita cunoasterii aproximative a legilor naturii si a situatiei Universului la momentul initial.Pentru a preciza modul n care se ajunge la haos, trebuie stiut ca un regim regulat devine neregulat sau turbulent ca urmare a actiunii atractorilor stranii. Un atractor poate fi un punct, o curba, o suprafata sau mai adesea, un fractal, catre care converg traiectoriile izvorte din toate punctele care apartin vecinatatii sale.
Lorentz a observat n reprezentarea grafica a sistemului sau de ecuatii ca rezultatul se mentinea mereu pe o curba, o spirala dubla. Erau cunoscute numai doua stari de ordine: o stare stabila, n care variabilele nu se schimbau niciodata, si comportament periodic, n care sistemul intra ntr-o bucla, repetndu-se nedefinit. Ecuatiile lui Lorentz erau clar ordonate: urmareau mereu o spirala. Nu se opreau niciodata ntr-un punct stabil, dar din moment ce nu repetau mereu acelasi lucru, nu erau nici periodice. El a numit imaginea pe care a obtinut-o Atractorul Lorentz.
Fig. 3.2. - Atractorul Lorentz De ce un set de ecuatii complet deterministe au acest comportament? Raspunsul rezida n natura lor: sistemele neliniare, de altfel dificil de rezolvat, sunt supuse teoriei haosului si deseori manifesta comportamente extrem de complexe si haotice. n 1963, Lorentz a publicat o lucrare care descria ceea ce descoperise, nsa ntr-un jurnal meteorologic, pentru ca era meteorolog. Din aceasta cauza, descoperirile lui Lorentz nu au fost recunoscute dect ani mai trziu, cnd au fost redescoperite de altii. Lorentz descoperise ceva revolutionar, si acum astepta la rndul lui sa fie descoperit de altii.
3.3. Exemple de sisteme haoticeUn alt sistem n care sensibilitatea la conditiile initiale este evidenta este aruncarea unei monede. Exista doua variabile n acest experiment: ct de rapid moneda loveste pamntul, si ct de rapid se nvrte. Teoretic, ar trebui sa fie controlabile aceste variabile n totalitate, precum si rezultatul aruncarii. n practica, este imposibil de controlat exact ct de sus va sari moneda si ct de repede se va roti. Se pot ncadra variabilele ntr-un interval
anume, dar este imposibil de controlat astfel nct sa se stie exact ce fata va arata moneda. O problema similara este ntlnita n predictia populatiei biologice. Ecuatia ar fi simpla daca populatia ar creste indefinit, dar efectul calamitatilor si a resurselor de hrana limitate fac aceasta ecuatie incorecta. Cea mai simpla ecuatie care considera aceste aspecte ar arata astfel:Populatia anului viitor = r * populatia anului curent * (1 - populatia curent).n aceasta ecuatie, populatia este un numar ntre 0 si 1, unde 1 reprezinta populatia maxima posibila, iar 0 reprezinta extinctia. R este rata de crestere. Cum afecteaza acest parametru ecuatia? Evident, pentru o rata mare, populatia se va stabiliza la o valoare mare, pentru o rata mica, se va stabiliza la o valoare mica. Dar ecuatia manifesta un comportament socant, dupa cum a demonstrat biologul Robert May n 1970, schimbnd rata de crestere n ecuatie. La valori mici ale ratei de crestere, populatia se va stabiliza ntr-adevar la o singura valoare: de exemplu, pentru o rata de 2,7, populatia va fi 0.6292. Pe masura ce creste rata, populatia finala va creste si ea. Dar cnd rata a devenit mai mare dect 3, linia s-a descompus n doua. n loc sa ramna la un singur numar, populatia oscila an dupa an ntre doua valori. Cu fiecare crestere a ratei, linia se bifurca n continuare, pna cnd a aparut haosul. Peste o anumita valoare a ratei de crestere, devine imposibil de prezis comportamentul ecuatiei. Asadar, la nceput, rezultatele se nscriu pe o dreapta, iar n final manifesta o neregularitate haotica. Auto-similaritatea, faptul ca graficul are o copie exacta a sa ascunsa n structura sa, a devenit un aspect important al haosului.
Fig. 3.3. - Diagrama bifurcatiei pentru ecuatia populatiei[5]
Fractal a ajuns sa nsemne orice imagine care dispune de auto-similaritate. Bifurcatia diagramei ecuatiei populatiei este un fractal. Atractorul lui Lorentz este fractal. Curba lui Koch este fractal. Piata este de asemenea un sistem instabil si haotic, iar teoria haosului este si mai interesanta cnd este aplicata evenimentelor umane, precum bursa de valori. Teoreticienii haosului au combatut direct teoria neoclasica a bursei de valori, care presupunea ca asteptarile cu privire la piata sunt "rationale", adica omnisciente despre viitor. Daca toate preturile de pe piata bunurilor sau preturile actiunilor cotate la bursa ncorporeaza cunostinte exacte despre viitor, atunci orice nclinatie a bursei ar fi total accidentala, nensemnata, adica nici un pret nu are legatura cu vreun altul, fie viitor, fie trecut. Dar un aspect crucial al istoriei umanitatii este ca toate evenimentele sunt interconectate, orice eveniment economic are efecte asupra altora, si dupa cum am aratat n Capitolul 2, piata are memorie att pe termen scurt, ct si pe termen lung.
Sistemul liniar n care exista doar doi atractori: cererea si oferta nu este suficient pentru a modela structura neliniara, complexa, turbulenta si volatila specifica pietei. Pentru aceasta trebuie plasat un al treilea atractor, care va induce haosul si structura fractala n sistem.
3.4. Caracteristicile sistemelor haotice n analogie cu organizatiile managerialeJames Gleick a publicat n 1987 cartea "Chaos: Making A New Science" ("Haos: crend o noua stiinta"), un best-seller care a facut din teoria haosului o metafora extrem de populara n literatura de management, fiind privita ca "noua stiinta" a administratiei.[6] Gleick nu a inventat teoria haosului, nici nu a contribuit la partea ei stiintifica, dar a scos-o din obscuritatea jurnalelor stiintifice si a adus-o n ochii publicului larg. Exista multe carti, articole, jurnale, institute, firme de consultanta care fac din teoria haosului noua "paradigma" pentru aplicarea teoriei complexitatii n managementul afacerilor. Sensibilitatea la conditiile initiale. Ca si n cazul experimentului lui Lorentz, un sistem complex reactioneaza la diferite variabile n moduri imprevizibile. Daca sistemul este complex, chiar si folosirea acelorasi date de intrare sau a unora similare nu va duce la aceleasi rezultate. Ireversibilitatea timpului. ntr-un sistem complex, nu ntlnim niciodata acelasi context de doua ori. O analogie folosita des pentru a descrie acest lucru este: "Niciodata nu calci de doua ori n acelasi ru.", ntelegnd prin aceasta ca sistemul nu este niciodata acelasi. Apa rului se schimba n fiecare moment, precum n management, o strategie sau decizie nu va fi niciodata luata n acelasi context.Atractorii stranii. Un regim regulat devine neregulat sau turbulent ca urmare a actiunii atractorilor stranii. Atractorii n teoria haosului sunt ca influenta gravitatiei, seturi de valori spre care sistemul migreaza n timp, numiti si "insule de stabilitate". ntr-o formula, un atractor poate fi un singur punct fixat, o colectie de puncte, o orbita complexa sau un numar infinit de puncte.
Atractorii pot fi asimilati lacurilor care aduna toate apele iesite dintru-un bazin determinat, sau pot fi centre de prelucrare (consum) care focalizeaza curentii de marfuri dintro anumita zona. Denumirea de straniu se datoreaza dificultatii de prezentare a atractorilor si aspectului lor curios. De regula, atractorii sunt fractali caracterizati printr-o structura geometrica complexa, neregulata. Atractorul Lorentz este un fractal cu dimensiunea Hausdorff cuprinsa ntre 2 si 3. Desi este mai neclar cum atractorii stranii pot fi reprezentati ntr-o organizatie sociala, este convingerea ca fiecare organizatie are "atractori" care duc la alterarea comportamentului organizatiei n timp, n functie de ce forte sociale, economice sau de alt fel conduc sistemul catre un punct dat si de interactiunea acestora. Forme fractale. Orice parte a unui fractal, marita, reflecta exact ntregul. n management, se presupune ca diferite nivele ale organizatiei se aseamana cu altele, ca un fractal n ierarhia manageriala. O forma a structurii sociale poate fi examinata n relatie cu caracteristicile ntregului sistem la nivel macro si micro.
Bifurcatii. Bifurcatia reprezinta aparitia brusca a solutiilor diferite calitativ atunci cnd se modificam parametru dintr-un sistem neliniar. n orice organizatie, doua cai diferite pot adresa o problema diferit, complexitatea crescnd. Aceasta este recomandata des ca o sursa de creativitate. Atractia pentru teoria haosului porneste din viziunea teoreticienilor managementului si ai organizatiilor sociale ca organizatiile sunt sisteme complexe, adaptive, neliniare, dinamice, care au comportament similar cu sistemele naturale - diferite nivele de stabilitate si haos.[7] n mod similar, comportamentul acesteia este imprevizibil, fiind imposibil de prezis "uragane" n viitorul ndepartat. Mai degraba dect sa controleze un sistem, un manager ar trebui sa profite de complexitatea sa. Stacey afirma ca managerii nvata cum sa faca fata anxietatii ce nsoteste aparitia haosului n sistemul lor prin adoptarea unui concept "mistic" de "distrugere creativa". Stacey ncheie ntr-o nota pozitiva, avnd convingerea ca desi rezultatele pe termen lung sunt imposibil de prezis, tratarea eficienta a schimbarilor si a provocarilor n fiecare moment vor duce n final la succes. Dennard afirma n 1996: "La ce buna o stiinta a haosului daca nu ne nvata cum sa nfruntam haosul si complexitatea? Nu la asta se refera managementul?" n analiza finala, aceasta este cea mai importanta ntrebare. Daca un manager nu poate controla sau forta un sistem ntr-o forma oarecare de ordine, este managementul posibil? Este el necesar? Cu exceptia cazurilor specifice, precum fluxurile monetare mondiale sau aritmia cardiaca care pot fi usor reprezentate numeric, este dificil de demonstrat ca sistemele sociale au aceleasi trasaturi. Totusi, ca o metafora sau analogie, teoria haosului este des folosita ca mijloc de conceptualizare a teoriei managementului si altor sisteme sociale. Asadar, managerul eficient se va pregati si va astepta schimbari constante n sistemul sau. Scopurile lui vor fi nu un set de rezultate, ci o serie de scenarii contingente la care va putea reactiona n cel mai scurt timp n viitor.
Capitolul 4Tehnici de reprezentare a fractalilor"Pentru imaginatie, calculatorul poate fi un prieten foarte puternic. Ca si matematicile, el nu numai ca largeste orizontul imaginatiei, dar o si disciplineaza si o controleaza." Richard Dawkins, "Ceasornicul Orb" n ultimii ani, interesul n teoria haosului si geometria fractala s-a intensificat, pe masura ce oamenii de stiinta au descoperit pas cu pas ca multe dintre procesele din Univers pot fi descrise utiliznd aceste teorii. Industria graficii pe calculator ncorporeaza rapid aceste tehnici pentru a genera imagini uimitor de frumoase, precum si structuri naturale realiste. Algoritmii variati si rezultate lor afiseaza o mare diversitate. O completa apreciere a graficii fractale pe calculator necesita n prealabil prezentarea conceptelor matematice care stau la baza geometriei fractale si o cunoastere a aplicatiilor stiintifice a acestora, aspecte prezentate n capitolele precedente. Formele fractale sunt aproape imposibil de trasat fara ajutorul calculatorului. Formulele care genereaza fractalii sunt de multe ori relativ simple, dar trebuie calculate repetat, fiecare iteratie utiliznd rezultatul precedentei. Rezultatele cele mai precise sunt atinse cu ajutorul calculatorului. Grafica pe calculator faciliteaza de asemenea comparatiile ntre formele naturale si imitatiile lor computerizate. Majoritatea fractalilor sunt generati lund un set de date si introducndu-le ca date de intrare ntr-o ecuatie. Rezultatul acestei ecuatii este apoi furnizat ecuatiei din nou, acest feedback repetndu-se de un numar dorit de pasi sau pna cnd comportamentul valorilor de intrare este determinat. Criteriile de oprire a procesului sunt diferite n functie de tipul de fractal. Exista mai multe tehnici de reprezentare (atractorii stranii, pentru sisteme haotice, metoda Newton-Raphson, care se bazeaza pe gasirea solutiei unei ecuatii polinomiale, agregarea limitata de difuzie, etc.), IFS, Sisteme-L.
4.1. Sistemul functiei iterative (IFS)Codurile IFS (Iterated Function System) sunt utilizate pentru a descrie fractalii liniari (un nume mai corect ar fi fractali afini, datorita transformarilor afine pe care le folosesc). Un fractal liniar este o imagine care poate fi definita prin copii ale ei nsesi create prin transformari afine. Exista si alte tipuri de fractali care contin forme auto-similare, cum ar fi binecunoscutul set Mandelbrot. IFS nlocuieste un poligon cu alte poligoane, pe baza unui generator. La fiecare iteratie, fiecare poligon este nlocuit cu o versiune scalata, rotita si translatata a poligonului n generator.
Matematica din spatele fractalilor liniari este surprinzator de simpla, necesitnd doar cunostinte de transformari liniare. Un astfel de sistem de functie iterativa este compus dintrun set de transformari, care pot fi orice transformare afina normala. Singura restrictie impusa este contractia transformarii, adica transformarea aduce doua puncte mai aproape unul de altul. Fiecare transformare are asociata o anumita probabilitate de alegere, p; suma acestora este 1. Modul de functionare a sistemului este urmatorul: se alege un punct initial, si la fiecare iteratie este aleasa o anumita transformare pe baza probabilitatilor asignate, iar punctele rezultate sunt desenate pe foaie/ecran. Practic, pentru a crea un IFS pentru o imagine dorita, procedeul este simplu. Luam imaginea unei frunze, spre exemplu, o scalam, rotim si translatam pna cnd aceasta versiune micsorata a imaginii initiale este cuprinsa n interiorul imaginii mari. Aceasta va fi prima transformare a setului de transformari, w1. n pasul urmator, se va lua din nou imaginea initiala, se va scala, roti, translata astfel nct sa ocupe un spatiu din forma initiala, neacoperit de transformarea precedenta. Suprapunerea este de preferat sa fie ct mai mica. Se repeta acest procedeu pna cnd toata suprafata imaginii este acoperita de copii micsorate ale ei nsesi. Setul de transformari utilizate devine setul de transformari IFS pentru reprezentarea fractala a imaginii dorite.
4.1.1. Jocul pisiciiDick Oliver propune n cartea sa "Fractali"[8] un joc practic bazat pe primele cercetari asupra fractalilor pentru a ntelege cum functioneaza calculatorul. Pentru aceasta este nevoie de cteva foi de hrtie, un creion, o rigla si o mna sigura pentru a crea un fractal aspectuos. Pasii sunt urmatorii: 1. Desenati ceva, de exemplu, o pisica, n mijlocul unei foi de hrtie. 2. Desenati trei copii cu dimensiunile jumatate din cele ale primului desen. 3. Desenati trei copii n jurul acestora, n exact acelasi aranjament. 4. Continuati. Pe masura ce copiile devin tot mai mici, ele devin doar puncte. Daca desenul este precis, aceste puncte formeaza binecunoscutul fractal "Triunghiul lui Sierpinski". Jocul pisicii gaseste fractalul desennd aproximatii din ce n ce mai apropiate de el. Destul de adecvat, aceasta tehnica este denumita aproximare succesiva.
Fig. 4.1. Jocul pisicii
4.1.2. Jocul haosului
Acest joc, uneori numit algoritmul iteratiei aleatoare, este unul dintre un set de algoritmi care pot fi folositi pentru a genera fractali liniari. A fost inventat de Michael Barnsley[9] la Georgia Tech. Este deseori referit ca un generator pentru Sita lui Sierpinski, dar jocul haosului poate genera orice fractal liniar. Etapele jocului haosului sunt:1. 2. 3. ncercuiti trei puncte oarecare de pe o foaie de hrtie si n mijloc desenati un punct. Alegeti la ntmplare unul din punctele ncercuite si desenati un punct la jumatatea distantei dintre ultimul punct pe care l-ati desenat si acest punct. Repetati pasul doi pentru foarte mult timp. Daca masurati jumatatile distantelor cu o precizie considerabila s-ar putea ca n cele din urma sa vedeti din nou Triunghiul lui Sierpinski.
Jocul haosului gaseste fractalul sarind aleator printre partile lui, scotnd la iveala fractalul punct cu punct, pe masura ce jocul avanseaza. Aceasta este denumitaiteratia aleatoare. Ambele tehnici folosesc relatiile geometrice dintre parti pentru a defini un fractal. Jocul haosului este un exemplu de proces aleator care duce la un rezultat predeterminat. Astazi, ntelesul jocul haosului a fost generalizat si se refera acum la un mod de a genera atractorul, sau punctul fix, al unui sistem de functie iterativa. ncepnd cu un punct X0, iteratii succesive sunt formate: Xk+1=fk(Xk), unde fk este o functie din setul IFS, selectata aleator pentru fiecare iteratie. Iteratiile converg catre punctul fix din IFS. Daca X0 apartine atractorului IFS, toate iteratiile ramn n interiorul atractorului si cu probabilitate 1, formeaza un set dens n acesta.
Fig. 4.2. Jocul haosului
4.2. Sisteme Lindenmayer (L-Systems)4.2.1. Scurt istoricn 1968, Aristid Lindenmayer[10], biolog la Universitatea din Utrecht, Olanda, a introdus o metoda noua de modelare a dezvoltarii plantelor. Acum numita L-Sistem, metoda lui Lindenmayer este un tip de sistem recursiv, un instrument general de construire a unor obiecte complexe pornind de la un obiect simplu si nlocuind parti din acesta conform instructiunilor furnizate de un set de reguli de rescriere. Reprezentari grafice ale Sistemelor Lindenmayer au fost publicate prima oara n 1974 de Frijters si Lindenmayer, si de Hogeweg si Hosper. Potentialul Sistemelor-L de a crea imagini realiste ale plantelor a fost demonstrat n 1978 de Smith. n 1979, Szilard si Quinton au aratat ca Sistemele Lindenmayer pot genera curbe fractale. n 1982, Dekking a gasit dimensiunea pentru cteva curbe generate de Sisteme-L. n 1986 Prusinkiewicz a creat mai mute exemple de fractali si plante generate astfel, obtinnd versiuni tridimensionale de Sisteme-L.
4.2.2. Descrierea procesuluin versiunea cea mai simpla, un Sistem-L consta dintr-un alfabet, un set de simboluri, o axioma, un string (sir) de simboluri din alfabet si un set de reguli de productie, care atribuie fiecarei litere a din alfabet un string P(a) de litere din alfabet. Stringul P(a) este numit succesorul lui a. Vom descrie procesul folosind urmatorul set de figuri. Pornim cu o linie, pe care matematicienii o numesc axioma.
n continuare, trebuie definita o transformare, numita regula de productie de catre matematicieni. Vom ridica pe centrul liniei un patrat, cu lungimea laturilor egala cu o treime din lungimea liniei noastre initiale.
Repetam acest proces pentru fiecare dintre cele cinci linii si obtinem urmatoarea figura:
Privind la aceasta iteratie, poate fi greu de observat care este axioma si regula de productie, dar stim din Capitolul 1 ca aceasta este Curba lui Koch dreptunghiulara. Matematicienilor le place sa exprime aceste idei folosind simboluri, caractere normale cu ntelesuri speciale. Acest lucru este folositor mai ales cnd se ajunge la implementarea acestora pe calculator. Lucrul util n cazul sistemelor-L este ca foloseste putine simboluri pentru a descrie si axioma si regulile de productie. Un exemplu de alfabet poate fi:
Simbol F + f
nteles Deseneaza o linie Spre dreapta cu un anumit unghi Spre stnga cu un anumit unghi Mergi mai departe fara a desena o linie Fig. 4.3. - Alfabet L-Sistem
Pentru a descrie Curba lui Koch printr-un L-Sistem trebuie sa stabilim conditiile initiale, axioma si regula de productie.
Componenta Conditii initiale
Descriere textuala1) lungimea liniei 1 inch 2) unghiul de 90 de grade 3) directia initiala dreapta
Descriere matematica 1) L = 1 2) A = 90o 3) AI = 0o FNew L = L/3 F -> F-F+F+F-F
Axioma Regula de productie
Deseneaza o linie. nlocuieste fiecare linie cu o linie cu un patrat ridicat in centru, latura lui fiind de o treime din lungimea liniei.Fig. 4.4. - L-Sistem pentru Curba lui Koch
Regula spune sa nlocuim fiecare linie (sau fiecare F) cu urmatoarea secventa de simboluri: F-F+F+F-F. Sa aratam matematic cum creste fractalul lui Koch:
Iteratie
Imaginea fractala
sirul descriptor
Axioma Prima iteratie A doua iteratie
F F-F+F+F-F F-F+F+F-F-F-F+F+F-F+F-F+F+FF+F-F+F+F-F-F-F+F+F-FF-F+F+F-F-F-F+F+F-F+F-F+F+F-F+F-F+F+F-F-F-F+F+F-FF-F+F+F-F-FF+F+F-F+F-F+F+F-F+F-F+F+F-F-F-F+F+F-F+F-F+F+F-F-F-
A treia iteratie
F+F+F-F+FF+F+F-F+F-F+F+F-F-F-F+F+F-F+F-F+F+F-F-F-F+F+F-F+FF+F+F-F+FF+F+F-F-F-F+F+F-F-F-F+F+F-F-F-F+F+F-F+F-F+F+F-F+FF+F+F-F-FF+F+F-F F-F+F+F-F-F-F+F+F-F+F-F+F+F-F+F-F+F+F-F-F-F+F+F-FF-F+F+F-F-FF+F+F-F+F-F+F+F-F+F-F+F+F-F-F-F+F+F-F+F-F+F+F-F-FF+F+F-F+FF+F+F-F+F-F+F+F-F-F-F+F+F-F+F-F+F+F-F-F-F+F+F-F+FF+F+F-F+FF+F+F-F-F-F+F+F-F-F-F+F+F-F-F-F+F+F-F+F-F+F+F-F+FF+F+F-F-FF+F+F-F-F-F+F+F-F-F-F+F+F-F+F-F+F+F-F+F-F+F+F-F-FF+F+F-F-FF+F+F-F-F-F+F+F-F+F-F+F+F-F+F-F+F+F-F-F-F+F+F-F+FF+F+F-F-FF+F+F-F+F-F+F+F-F+F-F+F+F-F-F-F+F+F-F+F-F+F+F-F-FF+F+F-F+FF+F+F-F+F-F+F+F-F-F-F+F+F-F-F-F+F+F-F-F-F+F+F-F+F-
A patra iteratie
F+F+F-F+FF+F+F-F-F-F+F+F-F+F-F+F+F-F-F-F+F+F-F+F-F+F+F-F+FF+F+F-F-FF+F+F-F-F-F+F+F-F-F-F+F+F-F+F-F+F+F-F+F-F+F+F-F-FF+F+F-F+FF+F+F-F-F-F+F+F-F+F-F+F+F-F+F-F+F+F-F-F-F+F+F-F+FF+F+F-F-FF+F+F-F+F-F+F+F-F+F-F+F+F-F-F-F+F+F-F-F-F+F+F-F-FF+F+F-F+FF+F+F-F+F-F+F+F-F-F-F+F+F-F+F-F+F+F-F-F-F+F+F-F+FF+F+F-F+FF+F+F-F-F-F+F+F-F-F-F+F+F-F-F-F+F+F-F+F-F+F+F-F+FF+F+F-F-FF+F+F-F+F-F+F+F-F-F-F+F+F-F+F-F+F+F-F+F-F+F+F-F-FF+F+F-F+FF+F+F-F-F-F+F+F-F+F-F+F+F-F+F-F+F+F-F-F-F+F+F-F-FF+F+F-F-F-
F+F+F-F+F-F+F+F-F+F-F+F+F-F-F-F+F+F-F-F-F+F+F-F-FF+F+F-F+FF+F+F-F+F-F+F+F-F-F-F+F+F-F-F-F+F+F-F-F-F+F+F-F+FF+F+F-F+FF+F+F-F-F-F+F+F-F+F-F+F+F-F-F-F+F+F-F+F-F+F+F-F+FF+F+F-F-FF+F+F-F+F-F+F+F-F-F-F+F+F-F+F-F+F+F-F+F-F+F+F-F-FF+F+F-F-FF+F+F-F-F-F+F+F-F+F-F+F+F-F+F-F+F+F-F-F-F+F+F-F
Fig. 4.5.- Desfasurarea procesului L-Sistem pentru Curba lui Koch
Capitolul 5Realizarea aplicatiei"n plus fata de utilitatea ei n descrierea complexitatii lucrurilor naturale, geometria fractala ofera o binevenita ocazie pentru revitalizarea educatiei matematice. Conceptele geometriei fractale sunt vizuale si intuitive. Formele implicate au o atractivitate estetica mare si o mare diversitate a aplicatiilor. De aceea, geometria fractala ne poate ajuta sa ne opunem impresiei ca matematica este arida si inaccesibila si i poate motiva pe studenti sa nvete despre acest uimitor si captivant domeniu de studiu." Hartmut Jurgens, H.O. Peitgen si Dietmar Saupe, "Limbajul Fractalilor", Scientific American, 1990
5.1 Scopul aplicatieiSubiectul acestei lucrari l reprezinta fractalii si aplicatiile lor curente si practice n domenii specifice ale stiintei, aspecte detaliate n capitolele precedente. Scopul aplicatiei curente este de a implementa si prezenta vizual unii dintre fractalii descrisi n partea de teorie, n limbajul de programare C#, Visual Studio .Net 2005. Unii dintre fractalii implementati sunt prezentati n Capitolul 1, n cadrul primilor fractali faimosi. Lor li se adauga tipuri de plante fractale, modelate prin IFS.
5.2. Descrierea interfetei
Interfata cu utilizatorul are doua componente: panelul din stnga realizeaza dialogul cu acesta (variante de fractal, desenare, optiuni de desenare), iar panelul din dreapta reprezinta suprafata pe care va fi desenat fractalul. Alegerea acestuia se face din meniul Fractal. Meniul "About" furnizeaza informatii teoretice despre fractali, precum si instructiuni de utilizare a aplicatiei. La lansarea n executie, toate controalele panelului 1 sunt dezactivate pna cnd este selectat un fractal din meniu; n acel moment, devin vizibile si active controalele necesare acelui fractal. Primul groupBox contine butoane radio prin care este aleasa varianta dorita a fractalului, al doilea contine butoanele comanda pentru desenarea pas cu pas sau automata a fractalului (Start, nainte, napoi, Auto), iar al treilea contine optiuni de colorare (doua colorDialog prin care se poate selecta culoarea creionului si a fundalului, si optiune de colorare interior, acolo unde este cazul). Panelul 2 este spatiul de desenare. Toate punctele si segmentele fractalilor sunt considerate n functie de conturul panelului 2. Odata generat desenul, acesta poate fi printat apelnd din meniul Printare: "Printare imagine". Tot aici, utilizatorul poate face setarile dorite pentru pagina si imprimanta.
Formularul principal contine o variabila ntreaga, tip, care, n functie de meniul si varianta de fractal selectata, capata o anumita valoare ntreaga, cod. La apasarea butoanelor de comanda (Start, nainte, napoi, Auto), programul va verifica mai nti valoarea variabilei tip, si n functie de aceasta, va executa codul aferent si tot n functie de acest cod, panelul se va redesena prin apelarea functiei Invalidate(). Desenarea automata se face pe baza unui timer, care are asociat evenimentului de click un handler OnTick().
Fig. 5.1. Interfata aplicatiei
5.3. Structura aplicatieiAplicatia se prezinta sub forma unui proiect Visual Studio .Net 2005, constituit din doua proiecte: un proiect de tip Class Library, numit Fractal, n care sunt stocate clasele ce implementeaza fractalii, si un proiect de tip Windows Application, numit Aplicatie Licenta, n care se afla fereastra/forma principala (mainform) care apeleaza obiecte de tipul claselor din Fractal. Asadar, proiectul Class Library fractal trebuie inclus ca referinta n proiectul Windows. Deoarece aplicatia n sine are scopul de a genera si desena fractali, ambele proiecte au nevoie de componenta Drawing a sistemului, si de Collections.Generic, care stocheaza liniile sau poligoanele care formeaza fractalul de desenat. Directivele utilizate de proiectul Fractal sunt: System, System.Collections.Generic, System.ComponentModel, System.Data, System.Drawing, System.Text, acestora adaugndu-se n cazul proiectului Windows Application: System.Windows.Forms si Fractal. 5.3.1. Clasa Fractal Fiecare clasa ce implemeanteza un fractal este derivata din clasa publica, abstracta, Fractal, care contine doua atribute (suprafata de tip Rectangle pe care va fi desenat fractalul si un obiect de tip Pen, cu care va fi desenat acesta) si trei metode abstracte (Start(), nainte() si napoi()).
Clasele derivate din aceasta initializeaza prin constructorii lor atributele comune contur si segPen cu datele primite ca parametri, precum si cele proprii, si implementeaza metodele abstracte ale clase parinte Fractal. Fiecare clasa are o colectie proprie, publica, de segmente sau figuri geometrice care formeaza fractalul. Structura generala a fiecarei clase este urmatoarea: Public class unfractal : Fractal public override void Start() public override void Inainte() public override Inapoi() } Generarea fractalului se face prin instantierea unui obiect de tip clasei respective, apelarea metodei Start() si apeluri repetate ale metodei nainte(). Procesul trebuie nsa oprit la un moment dat, n functie de capacitatile procesorului, deoarece dupa un numar de pasi generarea va consuma toate memoria calculatorului.
5.3.2. Curba dragonului Deoarece fractalii Koch, Sierpinski, Cantor au fost prezentati n capitolul 1, n continuare vor fi explicate tehnicile folosite pe alti doi fractali: curba dragonului si copacul fractal. Aceasta curba faimoasa (cunoscuta si sub numele de dragonul Harter-Heighway sau Jurassic Park) a fost investiga prima oara de fizicienii de la NASA, John Heighway, Bruce Banks si William Harter. A fost descrisa de Martin Gardner n coloana lui din Scientific American: "Jocuri matematice" n 1967. Multe din proprietatile aceste curbe au fost prima oara publicate de Chandler Davis si Donald Knuth. A aparut pe sectiunea paginilor de titlu ale romanului "Jurassic Park", al lui Michael Crichton. ntr-o reprezentare L-Sistem, curba dragonului ar putea fi realizata astfel: variabile : X Y F constante : + start : FX reguli : (X unghi : 90, X+YF+),(Y -FX-Y)
unde F nseamna "deseneaza", "-" ntoarce spre stnga cu 90 de grade, "+"ntoarce spre dreapta cu 90 de grade. X si Y nu corespund unei instructiuni de desenare, au doar rolul de a controla evolutia curbei. Acest lucru poate fi descris astfel: pornind de la un segment de baza, nlocuim fiecare segment cu doua segmente care formeaza un unghi drept ntre ele si cu o rotatie de 45 de grade alternativ spre stnga si spre dreapta. Altfel spus, la fiecare pas/iteratie, nlocuim fiecare segment cu catetele cu care el ar forma un triunghi dreptunghic isoscel, orientate alternativ.
Fig. 5.2. - Curba dragonului pas cu pas n aplicatia de fata, acest lucru a fost realizat astfel: pentru fiecare segment din colectia de segmente a clasei Dragon, se calculeaza panta=a; calculam coordonatele vrfului triunghiului dreptunghic isoscel, folosind functii trigonometrice si unghiul (a+rangle), daca indicele segmentului n colectie este par, sau (a-rangle), daca indicele segmentului n colectie este impar. Colectia devine multimea acestor catete noi. Functia nainteaza pna la pasul 14, cnd colectie contine 15625 de segmente. Desi n teorie nu exista limite ale calculatorului, limita devine memoria disponibila si procesorul. Chiar daca acesta este unul dintre fractalii care se genereaza cel mai lent, cel mai probabil nu putem depasi iteratia 15. Codul pentru aceasta clasa este inclus n Anexa 2.
Fig. 5.3. - Curba Dragonului 5.3.3. Copac fractal Acest fractal foloseste clasa Samnta, gestionnd o colectie de astfel de obiecte. Colectia este initializata cu un element, si la fiecare pas, pentru fiecare obiect samnta din
colectie se aplica un set de transformari. Fiecare samnta are 9 puncte si 8 segmente. Transformarea consta n nlocuirea fiecarui segment al semintei cu o alta samnta, scala fiind de din dimensiunea segmentului initial, pastrnd unghiurile tipice semintei si panta segmentului. Codul pentru aceasta clasa este inclus n Anexele 3 si 4. Dupa patru pasi, vom obtine:
Fig. 5.4. - Copac fractal 5.3.4. Setul Mandelbrot "cel mai complicat obiect din matematica..." (John Hubbard, 1985) Cel mai faimos fractal apartine celui care a fundamentat geometria fractala, Benoit Mandelbrot, desi el a mai fost observat cu multi ani nainte de alti doi matematicieni. Acest set este creat pe planul complex, fiecare punct din plan fiind inclus sau nu n set. n ciuda complexitatii vizuale, setul este determinat de o formula recursiva simpla: Z2 + C. (Z si C sunt ambele numere complexe). Fiecare punct din planul complex, este luat si introdus n formula: Z1 = Z02 +Z0. Apoi repetam procedeul, folosind Z1 n formula: Z2 = Z12 +Z0. Prima parte a formulei este mereu rezultatul anterior, iar a doua parte este acelasi numar complex initial Z0. General, putem exprima acest lucru prin formula recursiva: Zn+1 = Zn2 +Z0. Iternd acest proces, rezultatele obtinute fie vor tinde catre infinit, fie vor ramne finite. Daca rezultatul ramne finit, punctul original apartine setului Mandelbrot. Daca rezultatul tinde spre infinit, atunci puntul nu apartine setului. Efectund aceasta iteratie pentru fiecare punct din planul complex, colornd punctele din set cu negru si cele din afara setului cu alte culori (pe baza numarului de iteratii efectuate pna la stabilirea daca punctul apartine sau nu setului), vom obtine o figura impresionanta, numita Fractalul Mandelbrot. nainte de prezentarea algoritmului, este necesar a lamuri cteva aspecte: pe ce baza spunem ca un punct apartine sau nu setului, care parte din planul complex este vizata si care este numarul de iteratii necesar. Pentru a stabili daca un punct tinde la infinit sau nu, s-a dovedit ca daca modulul rezultatului este mai mare ca 2, atunci punctul iese din set; daca modulul este mai mic ca 2,
punctul apartine setului. Asadar, aplicatia verifica acest lucru, facnd nsa un artificiu pentru a usura calculul: verifica daca patratul modulului este mai mare dect 4 sau nu, stabilind astfel apartenenta la set. Nu putem genera setul pentru tot planul complex. Se cunoaste faptul ca setul Mandelbrot se afla cuprins ntre valorile reale -2.1 si 1, si ntre valorile imaginare -1.2 si 1.2, deci acestia sunt parametrii cu care putem ncepe generarea ntregului set. Micsornd aceste intervale, obtinem regiuni detaliate ale setului. Un numar de iteratii foarte mare va ncetini evident programul la rulare, dar 50-100 de iteratii vor da o acuratete decenta a imaginii. Partea stnga a ferestrei solicita utilizatorului coordonatele celor 2 puncte care determina planul complex folosit (denumite n codul programului TopLeft si BottomRight. Fiind numere complexe, ele vor avea o parte reala si una imaginara). De asemenea, utilizatorul trebuie sa furnizeze numarul de iteratii si daca doreste sau nu sa si coloreze fractalul. Acesta va fi desenat n partea dreapta a ferestrei, ntr-un control PictureBox. PictureBox-ul are asociate 2 imagini: pictureBox1.BackgroundImage, pe care este generat fractalul, si pictureBox1.Image, pe care vor fi desenate dreptunghiurile selectate cu mouse-ul. Programul functioneaza pe fire de executie. Pentru a porni desenarea fractalului, trebuie selectat din meniul Fractal submeniul "Start". Tot aici desenarea poate fi oprita prin "Stop", suspendata temporar prin "Pause" si reluata iar prin "Reluare". Generarea completa a setului va dura cteva secunde, n functie mai ales de viteza procesorului, de numarul de iteratii, de modul de generare a imaginii. n proiectul de fata, imaginea este desenata pixel cu pixel, ceea ce ofera feed-back constant utilizatorului, desi nu este cea mai rapida. Setul ar putea fi generat si pe coloane de pixeli, actualiznd imaginea pe masura ce noi coloane sunt generate. Generarea pe un grafic bitmap n spate si afisarea direct a imaginii complete ar lasa impresia de program suspendat, si nu i-ar oferi utilizatorului acest feed-back. Odata generat fractalul, programul ofera posibilitatea celui ce l foloseste de a "se juca" cu imaginea rezultata. Detaliind figura, vom obtine forme din ce n ce mai spectaculoase, si vom observa ca partea reprezinta o copie a ntregului, dovedind proprietatea de auto-similaritate a fractalilor. Putem mari imaginea prin butonul ZoomIn, si reveni la dimensiunile initiale prin butonul ZoomOut. ZoomIn, facnd o marire centrata, nu poate fi folosit dect o data (Zoom 2x), pentru observarea unei anumite regiuni putnd selecta cu mouse-ul un dreptunghi care va reprezentat pe tot controlul Picturebox.
Fig. 5.5. Setul Mandelbrot
Fig. 5.6. Setul Mandelbrot colorat Meniul Fisier ofera posibilitatea de salvare a imaginii, a parametrilor care au generato, precum si ncarcarea din fisier a unor parametri doriti de utilizator, salvati eventual anterior. Submeniul Start apeleaza functia Initializare(), n care se preiau datele din textbox-uri, apoi porneste firul de executie fir = new Thread(newThreadStart(Deseneaza)). Functia Deseneaza() este cea care genereaza fractalul. Conform explicatiilor date mai sus, algoritmul de generare a acestui fractal este urmatorul: 1. citeste numarul de iteratii, x0,y0,x1,y1
2. calculeaza schimbarea in x si y a pixelilor de pe ecran: dx=(x1-x0)/xpixeli si dy=(y1-y0)/ypixeli, unde xpixeli=pictureBox1.width si ypixeli=pictureBox1.Height 3. c0=TopLeft (punctul initial) 4. de la 0 la xpixeli-1 5. de la 0 la ypixeli-1 6. 7. 8. inset = adevarat c=c0 de la 1 la nr. iteratii 9. 10. 11. c1=c*c c2=c1+c; daca |c2|*|c2|>4 a. b. c. 12. c=c2; 13. daca apartine setului, coloreaza negru 14. daca nu apartine setului, coloreaza altfel 15. c0.imaginar-=dy; 16. c0.imaginar=TopLeft.imaginar inset=fals; stabileste culoarea pe baza iteratiei break for
17.
c0.real+=dx;
Fig. 5.7 - Parte marita a setului
Concluzii"Geometria fractala va va face sa vedeti totul diferit. Riscati sa pierdeti imaginea din copilarie a norilor, padurilor, galaxiilor, frunzelor, pietrelor, torentelor, covoarelor, caramizilor si a multor alte lucruri." Michael Barnsley, "Fractali pretutindeni", 1988 Geometria fractala este fara ndoiala "una dintre marile evolutii a matematicii secolului al 20-lea."[11] Ea ofera oamenilor de stiinta un model matematic care mbratiseaza neregularitatile din natura. Numarul mare al fractalilor din natura este suficient pentru a justifica studiul fractalilor. Recunoasterea unui obiect ca fractal poate ajuta ntelegerii comportamentului sau.[12] Multe fenomene naturale pot fi descrise prin conceptele geometriei fractale. Prin urmare, fractalii au devenit din ce n ce mai importanti. Ceea ce a nceput ca un pur concept matematic are acum numeroase aplicatii n stiinta. Fractalii au o larga plaja de modele vizuale fascinante, dintre care multe au aplicatii stiintifice practice.[13] Unele sunt referite drept "curbe ale dragonului", n timp ce altele imita exact lanturi de munti. Fractalii pot imita suisurile si coborsurile pietei bunurilor si serviciilor si bursei de valori, miscarile neregulate ale particulelor moleculare, activitatile seismice, traiectoriile corpilor ceresti, temperaturile pe o perioada ndelungata de timp, sau cresterea plantelor. si-au gasit aplicabilitatea n domenii diverse, precum fizica, biologie, sociologie, meteorologie, astronomie, teoria haosului si mai ales, economie. Mandelbrot a folosit geometria fractala chiar n studiul transmisiei acustice a zgomotelor si a grupurilor galactice. Multe dintre tehnicile matematice au gasit un teren solid n industria graficii computerizate pentru crearea unor imagini uimitoare, precum si a unor structuri care imita fidel realitatea. Din anii 1990 fractalii sunt larg folositi, si cel mai mult n stiinta informaticii. Productii cinematografice importante i folosesc pentru efecte speciale, sistemele de redare grafica pe calculator i folosesc pentru a crea structuri naturale, oamenilor de stiinta si matematicienilor le sunt indispensabili. Interesul crescnd n grafica fractala a fost de asemenea influentat de proliferarea microcalculatoarelor puternice. Numeroase articole despre fractali au aparut n publicatii tehnologice. Parte din acest interes porneste din natura imprevizibila a anumitor fractali; un pasionat poate petrece ore n sir explornd varietatea formelor pe care le poate crea un singur program.[14] stiinta, matematica si tehnologia nu mai sunt domeniile plictisitoare, inestetice si rigide, ci capata o frumusete care face competitie artei.
AnexeAnexa 1. Lista figurilorCapitolul 1 Figura 1.1. Figura 1.2. Figura 1.3. Figura 1.4. Figura 1.5. Figura 1.6. Figura 1.7. Figura 1.8. Aproximarea curbelor cu linii tangente Triunghiul lui Sierpinski Sita lui Sierpinski Covorul lui Sierpinski 1Covorul lui Sierpinski 2
Praful lui Cantor Curba lui Koch Fulgul de zapada Koch
Capitolul 2 Figura 2.1. Figura 2.2. Figura 2.3. Figura 2.4. Figura 2.5. Figura 2.6. Figura 2.7. Probabilitatea schimbarilor de pe piata Grafic fractal de modelare a pietei Grafic de modelare a pietei (Teoria de Portofoliu) nregistrarile pe o perioada de 600 de zile ale temperaturilor din Middlesex, statul Vermont Aproximare fractala a figurii 2.4. Dendrite fractale formate prin agregarea limitata de difuzie Peisaj fractal
Capitolul 3 Figura 3.1. Figura 3.2. Figura 3.3. Graficul obtinut de Lorentz n simularea vremii Atractorul Lorentz Diagrama bifurcatiei pentru ecuatia populatiei
Capitolul 4 Figura 4.1. Figura 4.2. Figura 4.3. Figura 4.4. Figura 4.5. Jocul pisicii Jocul haosului Alfabet L-Sistem L-Sistem pentru curba Koch Desfasurarea procesului L-Sistem pentru Curba lui Koch
Capitolul 5 Figura 5.1. Figura 5.2. Figura 5.3. Figura 5.4. Interfata aplicatiei Curba Dragonului pas cu pas Curba Dragonului Copac fractal
Figura 5.5. Figura 5.6. Figura 5.7.
Setul Mandelbrot Setul Mandelbrot colorat Parte marita a setului
Anexa 2. Listare de cod sursan paginile care urmeaza sunt prezentate cteva dintre secventele de cod utilizate n aplicatie: # -1# Clasa Segmentpublic class Segment
set } public Point P2
set } public int Height
} public int Width
} public double Length
} public Segment(int x1, int y1, int x2, int y2)
public void Desenare(Graphics gr, Pen pen)
}
# -2# Clasa Dragonpublic class Dragon : Fractal
public override void Start()
public override void Inainte()
else
} segmente = noi; } } public override void Inapoi()
}
# -3# Clasa Samntapublic class Samanta
public Samanta(List s)
public void Desenare(Graphics g, Pen pen)
}
# -4# Start(), nainte(), napoi() pentru copacpublic override void Start()
} public override void Inainte()
} foreach (Samanta sem in noi) seminte.Add(sem); k++; } } } public override void Inapoi()
} }
# -5# Mandelbrotprivate void Deseneaza()
c = c2; } if (InSet)
else if (useColor)
currentPoint.b -= yDelta; } currentPoint.b = TopLeft.b; currentPoint.a += xDelta; } this.FormBorderStyle = FormBorderStyle.Sizable; running = false; this.Text = "Mandelbrot"; buttonZoomIn.Enabled = true; buttonZoomOut.Enabled = true; }
BibliografieCarti/ManualeDick Oliver - "Fractali", editura Teora, 1996 Benoit Mandelbrot - "Frumusetea fractalilor", 1986 Niculae Visinoiu - "Statistica formelor economice. Teoria catastrofelor, fractalilor si haosului", editura Lumina Lex, 2001 James Gleick - "Chaos: Making A New Science", 1987
ArticoleDave Snyder - "Benoit Mandelbrot, Fractals and Astronomy ", publicat n "Reflections", noiembrie, 1998. (http://www.umich.edu/~lowbrows/reflections/1998/dsnyder.3.html) Murray N. Rothbard - "Chaos Theory - Destroying Mathematical Economics from Within?", publicat n "The Free Market", Volumul VI, Numarul 3, Martie 1988. (http://mises.org/freemarket_detail.aspx?control=296) Paul Bourke - "Fractals and Computer Graphics", publicat n Interface Magazine, Decembrie 1990 (http://ozviz.wasp.uwa.edu.au/~pbourke/fractals/interface/)
Adrese Internet"Introduction to Fractal Theory" http://pages.cs.wisc.edu/~ergreen/honors_thesis/fractal.html "Dimensiunea fractala" http://www.math.sunysb.edu/~scott/Book331/Fractal_Dimension.html Peter Alan - "The Mandelbrot Set" http://www.informit.com/articles/article.aspx?p=598986&seqNum=2 "Fractali n C#" http://www.componentsnotebook.com/notebooks/csharp/fractals.aspx
"Introducere n Geometria Fractala", Florin Munteanu http://www.csc.matco.ro/1fract.html "Aplicatii ale fractalilor. Economie" http://library.thinkquest.org/26242/full/ap/ap7.html
"Teoria haosului si fractalii", Jonathan Mendelson, Elana Blumenthal http://www.tnellen.com/alt/chaos.html
"Teoria Haosului: O scurta introducere" http://imho.com/grae/chaos/chaos.html
"Ce este teoria haosului?" http://iit.ches.ua.edu/systems/chaos.html Jocul haosului http://en.wikipedia.org/wiki/Chaos_game
Sisteme Lindenmayer http://classes.yale.edu/fractals/IntroToFrac/InitGen/LSystems/LSystems.html
"Fractali bazati pe Sisteme-L" http://ejad.best.vwh.net/java/fractals/lsystems.shtml
Imaginile cu fractali folosite: http://local.wasp.uwa.edu.au/~pbourke/fractals/gasket/ http://www.fractal.org/Bewustzijns-Besturings-Model/Fractals-Useful-Beauty.htm
[1] 1845-1918 [2] 1870-1924 [3] Dick Oliver, "Fractali" [4] Imagine preluate din cartea "Fractali", Dick Oliver
[5] James Gleick, Chaos - Making a New Science, pg. 71[6] Overman, 1996; Evans, 1996; Morcol, 1996 [7] Stacey, 1996 [8] "Fractali", Dick Oliver, Editura Teora, 1996) [9] Barnsley, M., Fractals Everywhere, Academic Press Inc., ISBN 0-12-079062-9, 1988 [10] Aristid Lindenmayer, botanist and biolog de nationalitate maghiara, 1925-1989 [11] Donald J. Albers and G. L. Alexanderson, eds., Mathematical People: Profiles and Interviews (Boston: Birkhauser,1985), 207.
[12] H. Eugene Stanley and Nicole Ostrowsky, eds., On Growth and Form: Fractal and Non-Fractal Patterns in Physics,Nato Advanced Science Institute Series E: Applied Sciences, no. 100 (Dordrecht: Martinus Nijhoff, 1986), 25.
[13] Nicholas J. Rose, ed., 1987 Mathematical Sciences Calendar (Raleigh: Rome Press, 1986), 24. [14] Steve Estvanik: "From Fractals to Graftals," Computer Language, Mar. 1985: 45.
