Teoria Sistemelor - Cap 1 (Sistem Liniar Neted)
-
Upload
madallin-oprea -
Category
Documents
-
view
145 -
download
5
description
Transcript of Teoria Sistemelor - Cap 1 (Sistem Liniar Neted)
-
CURS 2
Capitolul 1: Rspunsul n domeniul timp i operaional al sistemelor liniare netede
Fie sistemul liniar neted:
TtxxtCxty
tButAxtx
,0 0
(1)
Rspunsul n domeniul timp al unui sistem liniar neted este:
t
t
tAAt dBuetxetx0
0 (2)
Este evident c rspunsul nu depinde dect de 0ttt i atunci alegem 00 t :
ttAAt dBuexetx
00
(3)
Remarcm c rspunsul este format din doi termeni:
0()0 uAt
l txxetx este rspunsul liber al sistemului, adic rspunsul sistemului n
condiiile n care comanda este identic nul.
00 0
xt
tA
f txdBuetx este rspunsul forat al sistemului, adic rspunsul
sistemului n condiiile n care starea iniial este identic nul.
Se poate observa c se aplic principiul superpoziiei, mai exact:
00() 0 xuft txtxtxtxtx (4)
Se numete matricea de tranziie a strilor i se noteaz cu t matricea:
...!2!1
22
At
At
Ietdef
Atdef
(5)
Folosind aceast notaie, putem scrie:
00 xtxetxAt
l (6)
Ieirea sistemului se obine din ecuaia a doua a sistemului (1):
ttAAt dBuCexCetCxty
00
(7)
i aici se remarc doi termeni:
0()0 udef
Atdef
l tyxCety este ieirea liber a sistemului, adic ieirea sistemului n
condiiile n care comanda este identic nul.
t
x
deftA
def
f tydBuCety0
00 este ieirea forat a sistemului, adic ieirea
sistemului n condiiile n care starea iniial este identic nul.
i aici este valabil principiul superpoziiei, mai exact:
00() 0 xufl tytytytyty (8)
Definiie: Se numete matricea pondere i se noteaz cu tT matricea definit de:
BCetT Atdef
(9)
-
Se poate observa c folosind aceast notaie, avem:
t def
f tuTdutTty0
(10)
Dac aplicm transformata Laplace ecuaiilor sistemului (1) obinem:
0xssxtxL (11) Sistemul se poate rescrie:
sCxsy
sBusAxxssx 0 (12)
Astfel, n operaional, rspunsul sistemului este:
sBuAsIxAsIsx 101
(13)
Se remarc aici cele dou componente ale rspunsului:
0)(01
su
def
l sxxAsIsx componenta liber a rspunsului
01
0
x
def
f sxsBuAsIsx componenta forat a rspunsului
Evident, se respect principiul superpoziiei:
00)( 0 xsufl sxsxsxsxsx (14)
Observaie: Din relaia (6) de mai sus, observm c:
1 AsIs (15) Observaie: Metode de calcul al lui Ate :
calculul direct al seriei ...!2!1
22
At
At
Ie At , care are sens n mod special atunci cnd
seria are un numr finit de termeni (adic dac exist k astfel nct 01 kk AA ). n acest caz, matricea se numete nil potent, de exemplu, n cazul unei matrice superior diagonale.
cnd exist k astfel nct 1 kk AA neidentic nul (matricea se numete idem potent)
folosind forma Jordan: dac 1 TJTA , atunci 11
TTeee JttTJTAt
0,11 tAsILe At
Ieirea sistemului se scrie:
zBuAsICxAsICsCxsy 101
(16)
Remarcm cele dou componente ale ieirii:
001
su
def
l syxAsICsy este componenta liber a ieirii
01
0
xf sysBuAsICsy este componenta forat a ieirii
Din nou, se observ respectarea principiului superpoziiei:
00 0 xsufl sysysysysy (17)
Definiie: Se numete matricea de transfer i se noteaz cu zT matricea definit de:
BAsICsTdef
1 (18)
Ecuaia fundamental a lumii liniare:
susTsBuAsICsy x
1
00 (19)
-
Observaie: Reversibilitatea timpului.
Din ecuaia (13) se poate calcula 0x :
t
sBusxssx0
0
sau n domeniul timp:
ttAAt dBuexetx
00
t
dButxttx0
0
Deoarece Atet exist mereu tt 1 i atunci:
t
dButttxtx0
1
0 x (20)
De aici se observ posibilitatea de a l extrage pe 0x , ceea ce nseamn c timpul este mereu
reversibil ntr-un sistem liniar neted.
Observaie: Cazul mono intrare - mono ieire. Funcia de transfer sH . Pentru cazul 1 pm avem:
Rtxx
txcty
tbutAxtx
T
,0, 0
(21)
bAsIcsH Tdef
1 (22)
Proprietile sH :
este scalar
este o raional strict proprie
0
1
1
0
1
1
...
...
n
n
n
n
n
ss
s
sp
srsH
descrierea ca schem ecuaie diferenial a sistemului liniar discret
susp
srsusHsy f z (23)
susrspsy f (24)
sussyss nnfnnn 011011 ...... (25) Dac relaiei de mai sus i aplicm transformata Laplace invers n condiii iniial nule, obinem:
tutuptytyty nnf
n
fn
n
f 0
1
10
1
1 .........
(26)
fie
0,0
0,11
t
ttutu . Definim:
tututU nndef
0
1
1 ...
(27)
ttutututU 110011 ' Folosirea transformatei Laplace i a funciilor de transfer rezult i din abilitatea acesteia de a trata discontinuitile de spea 1 pe mrimea de intrare.
interpretarea lui sH
-
susHsy f Dac considerm un semnal sinusoidal, js , atunci:
jujHjy f
jeHjH jjjjf eHeeHjueHjy
Un semnal sinusoidal este amplificat cu un factor de amplificare i defazat cu o faz ceea ce justific interpretarea lui hH ca o admitan complex.
ttu de unde sHssHsy jf
0,0
0,_,1
t
tponderematriceathbecsHL
defAtT
thsyL cdef
f 1 , rspunsul cauzat la impuls.
0,0
0,
t
tththc . unde th este funcia
pondere i este prelungirea analitic n R a rspunsului cauzat la impuls.