Notiuni de Modelare in Calculul Liniar Si Neliniar

of 28

Principii de bază în calculul liniar/neliniar al structurilor supuse acțiunilor

seismice.

Contents

1. NOȚIUNI DE BAZĂ. 3

1.1. PARTE TEORETICĂ 3

1.2. METODE DE REDUCERE A RĂSPUNSULUI SEISMIC 3

2. SISTEME DE DISIPARE/IZOLARE A CLĂDIRILOR. 4

2.1. TIPURI DE SISTEME. 4

2.2. DESCRIEREA SISTEMELOR DE AMORTIZARE FOLOSITE ÎN LUME. 4

2.2.1. ”TUNED MASS DAMPERS” – SISTEME DE AMORTIZARE CU MASĂ ACORDATĂ 4

2.2.2. ”TUNED LIQUID DAMPERS” – SISTEME DE AMORTIZARE CU REZERVOR DE LICHID 4

2.2.3. ”FRICTION DAMPERS” – SISTEME DE DISIPARE A ENERGIEI PRIN FRECARE 5

2.2.4. ”HISTEREZIS DAMPERS” – AMORTIZORI CARE DISIPĂ ENERGIA PRIN DEFORMAȚII PLASTICE 5

2.2.5. ”VISCOUS DAMPERS” – SISTEME DE DISIPARE CU AMORTIZORI VÂSCOŞI 6

3. CONSOLIDAREA STRUCTURII DE REZISTENȚĂ A CLĂDIRII MILLENNIUM BUSINESS CENTER. 7

3.1. ISTORICUL CLĂDIRII. 7

3.2. DESCRIEREA SISTEMULUI STRUCTURAL. 7

3.2.1. INFRASTRUCTURA. 7

3.2.2. SUPRASTRUCTURA. 7

3.3. CONCLUZIILE EXPERTIZEI TEHNICE. 8

4. METODA DE CALCUL ŞI REZULTATELE OBȚINUTE 9

4.1. PRINCIPII DE BAZĂ. 9

4.2. MODELAREA STRUCTURII ŞI ALEGEREA TIPULUI DE ANALIZĂ 9

4.2.1. ELEMENTELE DE TIP ”FRAME” 9

4.2.2. ELEMENT DE TIP ”MEMBRANE” 9

4.2.3. DEFINIREA TIPULUI DE MATERIAL: 9

4.2.4. ELEMENT DE TIP ” LINK/SUPPORT‐DAMPER‐NONLINEAR” 12

4.2.4.1. METODA DE CALCUL PENTRU CARACTERISTICILE AMORTIZORILOR 14

4.2.4.2. CONVENȚII PENTRU MODELAREA AMORTIZORILOR. 17

4.2.5. ARTICULAȚIE PLASTICĂ DE TIP ”HINGE” 17

4.2.6. CARACTERISTICI COMPLEMENTARE. 20

4.2.7. DEFINIREA TIPULUI DE FUNCȚIE. 20

of 28

4.2.7.1. ACCELEROGRAMA. 20

4.2.7.2. FUNCȚIA UNITATE. 21

4.2.8. DEFINIREA TIPURILOR DE CAZURI DE ÎNCĂRCARE. 22

4.2.8.1. CAZUL DE ÎNCĂRCARE GRAVITAȚIONAL NELINIAR 22

4.2.8.2. CAZUL DE ÎNCĂRCARE CU SEISM. 23

4.2.9. DEFINIREA OPȚIUNILOR DE ANALIZĂ 24

4.3. REZULTATE OBȚINUTE. 25

4.3.1. CARACTERISTICI ENERGETICE ALE STRUCTURII ACTUALE. 26

4.3.2. CARACTERISTICI ENERGETICE ALE STRUCTURII CU AMORTIZORI 27

of 28

1. Noțiuni de bază.

1.1. Parte teoretică

Toată această teorie porneşte de la ecuația diferențială a mişcării care în forma ei generală este prezentată astfel:

Unde s‐a notat cu:

m – masa structurii

c – coeficientul de amortizare

k – rigiditatea structurii (în domeniu liniar)

x”(t) – accelerația terenului în amplasament

Această ecuație mai poate fi scrisă şi sub forma următoare:

Unde se va nota cu:

2

ξ – fracțiunea din amortizarea critică

2

Din înlocuirea ecuațiilor de mai sus rezultă următoarea formă a ecuației diferențiale a mişcării:

2

1.2. Metode de reducere a răspunsului seismic

Din această ecuație se pot deduce două ipoteze de lucru pentru reducerea răspunsului seismic structural şi anume:

reducerea amplitudinii accelerației seismice

creşterea amortizării structurii

Dacă ecuația diferențială a mişcării va fi scrisă sub forma:

Unde:

sin

F(t) – funcție periodică a cărei perioadă este:

2

Rezolvarea acestei ecuații diferențiale de ordin II conduce la obținerea soluției:

cos sinF sin θt φ

m ω θ 4ξω θ

Din această soluție se observă că pentru a reduce răspunsul seismic structural al structurii trebuie ca pulsațiile celor 2 entități (structura şi

foța perturbatoare) să fie diferite, pentru a evita apariția fenomenului de rezonanță.

ω θ se află la numitor

Cu cât ω θ 0 rezultă că x t ∞.

Aceste ipoteze de lucru ne conduc la următoarele 2 concepte de izolare structurală.

of 28

2. Sisteme de disipare/izolare a clădirilor.

2.1. Tipuri de sisteme.

A. Sisteme pasive

a. Izolarea bazei – are ca efect reducerea accelerației terenului asupra structurii prin introducerea unui element intermediar care

”amortizează” – elimină din miscarea seismică frecvențele înalte ale acesteia.

b. Sisteme de amortizare care utilizează capacitatea de disipare a energiei a materialelor (amortizare vâscoasă sau prin histerezis)

B. Sisteme active – sisteme care ”îndepărtează” perioadele fundamentale de vibrație ale structurii de perioada de vibrație a forței

perturbatoare.

Din categoria (a) a sistemelor pasive de amortizare a vibrațiilor prin izolarea bazei fac parte următoarele tipuri de elemente:

Izolatori elastomerici: aici s‐au dezvoltat mai multe tipuri de izolatori elastomerici (reazem elastic cu diafragme orizontale din

oțel sau cu miez din plumb).

Izolatori ai bazei prin frecare.

Aceste sisteme sunt eficace şi se folosesc pentru structuri de mică şi medie înălțime, deoarece aceste sunt caracterizate prin perioade

mici de vibrație (frecvențe mari).

Din categoria (b) a sistemelor pasive de amortizare a vibrațiilor fac parte următoarele tipuri de elemente:

TMD‐urile: sisteme de disipare cu masă acordată,

TLD‐urile: sisteme de disipare cu masă lichidă acordată,

Amortizori care disipă energia prin frecare, sau altfel spus transformă energia cinetică indusă de seism în structură în energie

termică (prin frecarea a 2 elemente aflate în contact)

Amortizori care disipă energia prin deformarea plastică a unor sisteme speciale introduse ca şi legături între elementele

principale ale structurii,

Amortizori care disipă energia prin materiale vâsco‐elastice,

Amortizori care disipă energia prin fluide vâscoase.

2.2. Descrierea sistemelor de amortizare folosite în lume.

2.2.1. ”Tuned mass dampers” – sisteme de amortizare cu masă acordată

TMD‐urile sunt sisteme de amortizare pasive care folosesc următorul mod de disipare a energiei induse de cutremur în structură:

Sunt amplasate la vârful structurii,

Sunt alcătuite dintr‐o masă adițională calculată în funcție de amortizarea necesară şi în funcție de masa totală a structurii. Este

legată de structură printr‐un element elastic (cu rigiditate k) şi un amortizor (cu caracteristica de amortizare c). Acest dispozitiv intră în

lucru imediat după începerea mişcării seismice el având o deplasare defazată cu π/2 față de deplasarea structurii.

2.2.2. ”Tuned liquid dampers” – sisteme de amortizare cu rezervor de lichid

TLD‐urile sunt sisteme de amortizare pasive care se aseamănă destul de mult cu TMD‐urile singura diferență este că acestea reduc

deplasările la vârful structurii prin mişcarea unui lichid în interiorul unui rezervor. Caracteristicile de rigiditate şi amortizare sunt date de

introducerea în rezervor a unui perete despărțitor, care împarte rezervorul în 2 camere, în care se practică nişte orificii (ale căror

diametre sunt calculate în funcție de necesarul de amortizare) prin care lichidul trece dintr‐o parte în alta.

În general aceste sisteme sunt folosite pentru structuri foarte înalte şi au fost concepute pentru reducerea mişcărilor orizontale produse

de acțiunea vântului (care este definitorie pentru acest tip de structuri). Ulterior aceste sisteme au fost implemenetate, cu rezultate

foarte bune, şi pentru protecția structurilor la acțiuni seismice.

of 28

2.2.3. ”Friction dampers” – sisteme de disipare a energiei prin frecare

„Friction dampers” sau amortizori prin frecare, folosesc un alt mod de amortizare a vibrațiilor şi anume transformarea energiei cinetice

induse de cutremur în structură în energie termică prin frecarea între 2 piese aflate în contact. Ca şi sistem de disipare a energiei este cel

mai utilizat (la nivel global).

Amortizorii prin frecare sunt un caz particular al amortizorilor vâscoşi cu caracteristici neliniare. Pentru amortizorii vâscoşi neliniari forța

care se dezvoltă în ei în timpul mişcării este dată de relația:

| |

Din această relație rezultă caracteristicile (forță de amortizare) pentru 2 cazuri particulare de amortizori:

Amortizori liniari – pentru α=1

Amortizori prin frecare – pentru α=0

În cele 2 situații reprezentarea grafică a comportării amortizorului în funcție de deplasare este:

Avantajul folosirii amortizorilor prin frecare este acela că sunt uşor de realizat şi se comportă foarte bine la acțiunile orizontale care se pot

manifesta asupra structurii. Dezavantajele acestui tip de amortizor însă sunt multiple, dintre ele se pot menționa următoarele:

Dificultatea menținerii pe durată îndelungată a proprietăților mecanice – coroziunea (care are influență directă asupra

caracteristicilor de frecare)

Deformarea din variații de temperatură

2.2.4. ”Histerezis dampers” – amortizori care disipă energia prin deformații

plastice

Amortizorii care disipă energia cinetică indusă de cutremur prin deformație plastică a unor sisteme adiționale, este un alt tip de sistem de

protecție. Proiectarea tradițională a structurilor la acțiunile seismice se bazează pe ductilitatea elementelor ce alcătuiesc structura. Acest

fapt a condus la ideea de a introduce nişte sisteme adiționale în nodurile de legătură dintre sistemele clasice de protecție la seism

(diagonale sau contravântuiri excentrice) şi elementele principale ale structurii, care au rolul de a prelua energia indusă de seism şi a o

disipa prin deformații plastice. Aceste dispozitive au o comportare histeretică stabilă, comportare bună la oboseală şi nu sunt sensibile la

diferențele de temperatură. O altă caracteristică, pentru care sunt folosite, este aceea că pot fi înlocuite foarte uşor după producerea

unui cutremur. Totodată ele au şi anumite dezavantaje pe care le enumerăm în continuare:

Intră în lucru şi încep să disipe energia indusă doar după ce la nivelul elementelor structurale se vor fi consumat deja importante

deformații plastice

Au o comportare neliniară care depinde de materialul din care sunt alcătuite,

Cresc rigiditatea structurii o dată cu creşterea amortizării.

Din aceste cauze analiza care trebuie efectuată pentru dimensionarea lor este una foarte greoaie şi necesită un proces de calcul iterativ

îndelungat.

Amortizorii vâsco‐elastici folosesc capacitățile de amortizare mari ale materialelor vâsco‐elastice care pot disipa energie prin deformarea

la forță tăietoare. Ca şi structură aceştia se aseamănă foarte bine cu unii amortizori prin frecare doar că la interfața dintre cele doă

elemente (care se deplasează relativ unul față de celălalt) este introdus un material cu caracteristici elastice.

Avantajul folosirii acestor amortizori este acela că ei se comportă în general liniar (deoarece la realizarea lor se folosesc materiale

elastice). Acest lucru conduce la o simplificare a analizei şi a calculului de dimensionare. Această caracteristică de comportare liniară le

conferă capacitatea de a disipa energia produsă de seisme severe sau de a atenua deplasările foarte mici produse de acțiunea vântului.

of 28

Pe lângă aceste avantaje se poate menționa faptul că au şi câteva dezavantaje majore care pot fi puse în balanță cu caracteristicile foarte

bune de amortizare şi anume:

Sunt dependente de variațiile de temperatură

Sunt dependente de variațiile de frecvență.

2.2.5. ”Viscous Dampers” – sisteme de disipare cu amortizori vâscoşi

Am lăsat la sfârşit prezentarea amortizorilot vâscoşi, deoarece este un sistem care este foarte des

folosit în ultima vreme şi care are capacități de disipare foarte bune precum şi posibilități de utilizare

multiple. Ideea de la care s‐a pornit a fost una des întâlnită în industria constructoare de automobile şi

anume amortizorii de maşini. Pornind de la această idee şi prin intermediul unor studii amănunțite

asupra comportării structurilor dotate cu aceste dispozitive, s‐a demonstrat utilitatea folosirii acestora

pentru protecția structurilor civile. Marea majoritate a acestor amortizori folosesc în componența lor

fluide cu caracteristici vâscoase. Aceste dispozitive opun o rezistență foarte mică atunci când sunt

solicitate de forțe aplicate cu viteză foarte mică însă au capacități de amortizare foarte bune atunci

când aceste forțe sunt aplicate cu viteze mari. Ecuația care guvernează comportarea acestora am

prezentat‐o şi la amortizorii prin frecare, însă o mai prezentăm încă o dată dar cu forma generală a

acesteia:

| |

Unde s‐a notat cu:

F – forța dezvoltată de amortizor,

v – viteza relativă dintre capetele amortizorului

c – coeficientul de amortizare

α – exponentul amortizării

Amortizorii vâscoşi sunt utilizați deoarece (precum se vede şi din formula de mai sus) ei sunt direct

dependenți de viteza relativă care se dezvoltă între punctele de prindere ale amortizorului. Acest fapt

explică şi sistemul folosit pentru amortizare şi anume: forța de amortizare nu este cuplată cu forțele de

inerție din structură. Din reprezentarea grafică a vitezei şi a amplitudinii mişcării dar şi a faptului că

viteza este egală cu derivata de ordin I a deplasării rezultă că aceste două componente sunt defazate

cu π/2 (altfel spus când deformata este maximă viteza este 0 şi când deformata este 0 viteza este

maximă). În teorie forțele din amortizor nu se adaugă la forțele care se dezvoltă în structură deoarece

acestea apar atunci când deformațiile structurii sunt foarte mici. Modelul care guvernează

comportarea acestui dispozitiv este modelul Maxwell: amortizor şi arc montați în serie.

Disiparea de energie în amortizorii vâscoşi poate fi reprezentată cu ajutorul următorului grafic:

of 28

Aria haşurată reprezintă lucrul mecanic efectuat de amortizor.

Pe lângă aceste avantaje prezentate mai sus, mai menționăm şi faptul că aceste dispozitive depind de

variația de temperatură şi frecvență. Aceste dezavantaje pot fi foarte uşor contracarate prin modalități

specifice de execuție, care nu influențează costul acestora.

3. Consolidarea structurii de rezistență a clădirii MILLENNIUM BUSINESS CENTER.

În cele ce urmează, vom prezenta aplicabilitatea acestor sisteme de amortizare pe un caz concret şi

anume: consolidarea ansamblului MILLENNIUM BUSINESS CENTER din Bucureşti.

3.1. Istoricul clădirii.

Din punct de vedere al istoricului acestei clădiri, trebuie menționate următoarele aspecte care au

condus la utilizarea acestui concept de consolidare structurală:

în perioada de execuție a infrastructurii, au existat probleme tehnice legate de verticalitatea

pereților mulați ancorați – a existat o cedare a unor ancore fapt ce a condus la inclinarea foarte mare a

unor panouri de perete mulat fenomen ce a condus la destabilizarea terenurilor din jurul incintei,

după ce a fost dată în folosință, această clădire a fost afectată de un incendiu puternic care însă

nu a afectat structura de rezistență a acesteia. După ce s‐au constatat pagubele produse de incendiu

clădirea a fost introdusă în conservare până la stabilirea condițiilor în care se poate relua activitatea în

aceasta.

Din motivele enumerate mai sus beneficiarul a cerut întocmirea unei expertize tehnice prin care să se

verifice starea actuală a clădirii. Expertiza tehnică a necesitat, tot la cererea beneficiarului, verificarea

acesteia conform normelor şi normativelor aflate în vigoare la data proiectării clădirii precum şi

verificarea după codurile şi normativele aflate în vigoare în momentul de față.

3.2. Descrierea sistemului structural.

3.2.1. Infrastructura.

Infrastructura este realizată într‐o incintă de pereți mulați cu grosimea de 80 cm care au fost realizați

înainte de începerea executării subsolurilor. Proiectul inițial a fost întocmit cu 5 niveluri de subsoluri

care ajungeau (sub radier) la o adâncime de ‐14,50 m. Din cauza adâncimii mari la care a trebuit

realizată spătura unii dintre aceşti pereți mulați au trebuit ancorați în terenul din vecinătate prin

intermediul unor ancore dispuse în plan orizontal. Aici trebuie menționat că în faza de execuție câteva

dintre aceste ancore au cedat ceea ce a condus la o înclinare foarte mare a unor panouri de perete

mulat fapt ce a avut consecințe nefaste asupra terenului din jurul incintei precum şi a clădirilor aflate în

acea zonă (cea care a avut cel mai mult de suferit a fost Biserica Armenească la care s‐a identificat

apariția unor fisuri). După remedierea acestor probleme apărute s‐a continuat cu executarea

subsolurilor care au fost reduse ca număr de niveluri subterane de la 5 la 4 (pentru a reduce

împingerea pământului asupra pereților mulați s‐a renunțat la un subsol iar radierul a fost îngroşat cu

2,00 m). Structura de rezistență a subsolului a fost realizată din pereți cu grosimi de 20, 40, 50 şi 80 cm

cu grinzi şi planşee cu grosimea de 30 cm. La intersecția pereților din infrastructură şi în continuarea

stâlpilor din suprastructură au fost introduse elemente metalice continue de la cota 0,00 până la radier.

În anumite zone, pe direcția scurtă a clădirii, au fost introduse şi grinzi metalice între profilele metalice

verticale din pereți. Acestea au avut un rol bine determinat pe toată perioada execuției infrastructurii

(ele asigurând sprijinirea în plan orizontal a pereților mulați).

3.2.2. Suprastructura.

of 28

Suprastructura clădirii a fost realizată în întregime din profile metalice singurele elemente de beton

armat care se întâlnesc sunt planşeele. Sistemul folosit pentru protecția la seism este unul foarte des

întâlnit şi anume cadre cu contravântuiri excentrice cu ”link‐uri”. Acest sistem se bazează pe disiparea

energiei induse de cutremur prin deformarea plastică a ”link‐urilor”, care sunt elemente special

calculate astfel încât să aibă o capacitate de deformare plastică foarte mare dar şi o poziționare optimă

în structură astfel încât după producerea unui seism link‐urile deteriorate să poată fi înlocuite foarte

uşor. Pentru elementele verticale ale structurii au fost folosite secțiuni compuse de tip ”cruce de

Malta”, grinzile au fost realizate din profile laminate de tip HEA500 iar contravântuirile au fost realizate

din tevi laminate cu diametre de 273 şi 324 mm şi grosimi de 17,5, 28 şi 40 mm. Acest sistem structural

este foarte des folosit în proiectarea curentă a structurilor metalice tocmai din motivele enunțate mai

sus.

În urma analizelor efectuate şi a prelucrării datelor obținute precum şi după verificarea elementelor

care alcătuiesc structura am constatat următoarele:

structura are un spor foarte mare de rigiditate, fapt confirmat şi de perioadele proprii

fundamentale de vibrație ale structurii, fenomen ce conduce la considerarea în calculul forței seismice

de cod a unui factor de amplificare dinamică cu valoare maximă (β=2,5). Acest lucru are ca efect

apariția unor eforturi foarte mari în elementele structurii,

grinzile cadrelor necontravântuite au o rezistență de 2 ori mai mare decât cea necesară,

elementele de tip link, zonele elastice din grinzi precum şi diagonalele satisfac în totalitate

cerințele de rezistență şi stabilitate,

stâlpii satisfac în totalitate (chiar cu rezerve importante de rezistență) cerințele de rezistență şi

stabilitate.

3.3. Concluziile Expertizei Tehnice.

S‐a putut, astfel, trage concluzia că structura a fost bine conformată şi dimensionată, satisfăcând în

totalitate cerințele de rezistență, stabilitate şi rigiditate impuse de codurile şi normativele după care a

fost proiectată.

Concluziile Expertizei Tehnice care a fost întocmită pentru verificarea elementelor structurii conform

codurilor şi normativelor aflate acum în vigoare le vom prezenta în continuare:

după cum am precizat şi mai sus, structura are o rezervă foarte mare de rezistență (cel puțin în

cazul grinzilor şi contravântuirilor), elemente care satisfac cerințele de rigiditate şi stabilitate şi conform

codurilor actuale,

elementele de tip link satisfac de asemenea cerințele actuale de rezistență şi stabilitate,

în cazul stâlpilor au fost identificate câteva probleme majore referitoare la cerințele de

rezistență şi stabilitate: la mai multe nivele (inclusiv la parter) stâlpii nu satisfac aceste cerințe ceea ce a

condus la adoptarea unei soluții de consolidare pentru această structură.

Soluția adoptată pentru consolidarea clădirii a fost aleasă după studierea mai multor variante posibile,

varianta cu introducerea unor amortizori vâscoşi pentru disiparea energiei induse de cutremur fiind

optimă din toate punctele de vedere (costuri, mentenanță, execuție, timp de realizare, posibilități de

modificare a spațiului interior, samd).

of 28

4. Metoda de calcul şi rezultatele obținute

4.1. Principii de bază.

Pentru a putea înțelege calea pe care am urmat‐o pentru stabilirea caracteristicilor sistemului de

disipare a energiei cu ajutorul amortizorilor vâscoşi trebuie sa ne oprim puțin asupra prevederilor din

codul de proiectare la seism aflat în vigoare în momentul de față P100‐1/2006.

În capitolul 4.5.3 sunt prezentate metodele de calcul structural, cazurile de aplicare ale acestora,

principiile de bază ale fiecărei metode, modurile de aplicare precum şi sistemele structurale de bază

care trebuie considerate. Pornind de la aceste principii am considerat că metoda de calcul care

simulează cel mai bine comportarea clădirii consolidate (cu amortizori) este metoda calculului dinamic

neliniar. Prin intermediul acestui calcul se obține răspunsul în timp al structurii prin integrarea directă a

ecuațiilor diferențiale ale mişcării, folosind accelerograme reale şi accelerograme artificiale. Modelul

considerat trebuie suplimentat cu reguli care să descrie comportarea elementelor sub acțiuni ciclice de

încărcare‐descărcare cu incursiuni în domeniul post‐elastic.

4.2. Modelarea structurii şi alegerea tipului de analiză

Calculul dinamic neliniar a fost efectuat cu ajutorul programului SAP2000.

Modelul de calcul considerat pentru analiza dinamică neliniară a fost realizat cu ajutorul elementelor

de tip ”frame” (pentru grinzi, diagonale şi stâlpi) şi ”membrane” pentru planşee. Pentru modelarea

amortizorilor s‐a folosit elementul de tip ”link/support‐damper‐nonlinear”. În cele ce urmează voi face

o detaliere a acestor elemente precum şi a altor parametri de care s‐a ținut cont în modelarea

structurii.

4.2.1. Elementele de tip ”frame”

Aceste elemente sunt folosite pentru modelarea componentelor liniare ale structurii (grinzi, stâlpi,

contravântuiri, diagonale, etc). Ele au următoarele caracteristici principale:

sunt definite între 2 noduri

au atribuită o secțiune transversală

au atribuit un material

pentru analize neliniare se pot defini la captele acestui element zone plastice.

4.2.2. Element de tip ”membrane”

Aceste elemente sunt des utilizate în modelarea componentelor plane ale structurilor – de obicei

pentru planşee deoarece ele prin definiție sunt elemente care preiau şi distribuie eforturi (au rigiditate)

doar în planul determinat de punctele de definiție, în planele perpendiculare ele au rigiditate zero. Ele

sunt folosite în calculul structurilor doar pentru a realiza efectul de ”şaibă rigidă” şi de a transmite

încărcările verticale de la nivelelel structurii la componentele orizontale şi verticale ale acesteia.

Caracteristicile principale ale membranelor sunt:

sunt definite între 3 sau 4 noduri,

au atribuită o secțiune transversală (cu ajutorul căreia este calculată rigiditatea în planul ei),

au atribuit un material.

4.2.3. Definirea tipului de material:

În analizele neliniare (în care se ține cont şi de neliniaritățile de material) definirea caracteristicilor

materialelor din care este alcătuită structura se face în modul următor:

of 28

se bifează căsuța cu ”Show Advanced Properties” după care se defineşte un nou material prin

butonul ”Add New Material...”,

se alege tipul de material dorit – poate fi oțel, beton, aluminiu, laminat la rece, bara de

armătură sau tendon fiecare din aceste materiale având la dispoziție caracteristicile: izotrop, ortotrop,

anizotrop sau uniaxial

după aceasta se începe definirea caracteristicilor materialului în fereastra ”Material Property

Data” (ce apare prin butonul ”Modify/Show Material Properties...”)

în această fereastră se definesc: modulul de elasticitate, coeficientul lui Poisson, coeficientul de

dilatare termică (acolo unde este cazul), densitatea materialului, greutatea materialului, rezistența la

curgere, rezistența la rupere, rezistența de calcul la curgere, rezistența de calcul ultimă şi pentru

caracteristicile neliniare, de amortizare si termice mai există 3 butoane care conduc la ferestre în care

se definesc acestea (marcaj cu dreptunghi roşu în imaginea de mai sus),

prin butonul ”Nonlinear Material Data...” se activează fereastra de definire a caracteristicilor

neliniare ale materialului: comportarea histeretică (tip elastic, cinematic şi Takeda), definirea curbei σ‐ε

(parametric – valorile de calcul sunt predefinite de program sau ”User Defined” dacă se doreşte ca

graficul să fie definit de utilizator – în cazul în care acesta cunoaşte toate punctele pentru definirea

curbei). Pentru definirea parametrică a curbei σ‐ε se vor introduce valorile de deformație specifică ε

pentru diferite puncte fixe de pe curbă şi anume: la începutul palierului de consolidare ”Strain At Onset

of Strain Hardening”, la valoarea maximă a lui σ ”Strain At Maximum Stress”, la rupere ”Strain At

Rupture” şi panta finală ”Final Slope (Multiplier on E)”. Cu ajutorul acestor valori programul calculează

singur toate punctele curbei σ‐ε şi o trasează.

of 28

prin butonul ”Material Damping Properties...” se activează fereastra de definire a

caracteristicilor de amortizare intrinsecă ale materialului. În această fereastră există trei tipuri de

amortizare: modală (se aplică doar pentru analizele de tip ”Response‐Spectrum” sau ”Modal Time‐

History”), vâscoasă ( se aplică pentru analizele de tip ”Direct Integration Time‐History”) – care se aplică

în cazul de față şi histeretică (se aplică doar pentru analizele de tip ”Steady‐State” sau ”Power‐Spectral‐

Density”).

Pentru amortizarea modală se introduce coeficientul de amortizare ”C” din ecuația de mişcare

cu valoarea numerică (pentru amortizare de 2% se introduce valoarea 0,02)

Pentru amortizarea vâscoasă şi histeretică sunt indicate 2 casuțe pentru definire şi anume:

”Mass Coefficient” şi ”Stiffness Coefficient”. Deoarece introducerea directă în calcul a amortizării de

material în analizele de tip ”Direct Integration Time‐History” este dificil de realizat s‐a recurs la o

modalitate alternativă de definire a amortizării materialului (vezi cartea ”Three dimensional static and

dynamic analysis of structures – Edward L. Wilson” – capitolul 19.6).

Se porneşte de la ecuația matricială:

Unde:

‐ este ”Mass Coefficient”

‐ este ”Stiffness Coefficient”

Formulele de calcul pentru aceşti coeficienți sunt următoarele:

2

of 28

4.2.4. Element de tip ” link/support‐damper‐nonlinear”

Aceste elemente au fost folosite pentru modelarea componentelor de amortizare mai exact a

amortizorilor. ”Link/support‐damper‐nonlinear” este un element general cu ajutorul căruia se pot

modela în programul SAP2000 diferite tipuri de elemente cu caracteristici liniare sau neliniare. Ele au

fost introduse tocmai pentru a putea defini diferite sisteme de protecție antiseismică la structurile

civile şi pentru a putea analiza aceste structuri speciale. Sunt, prin definiție, elemente liniare (dar pot fi

şi punctuale) şi au următoarele caracteristici:

sunt definite între 2 noduri (sau într‐un reazem)

pot avea caracteristici liniare sau neliniare,

nu au definita o secțiune transversală şi nici un material

Pentru definirea caracteristicilor neliniare ale elementelor de tip ”damper” se vor urma paşii descrişi

mai jos:

se va alege din meniul ”Define” – Section properties – Link/Support Properties,

of 28

pentru definirea unui nou tip de element neliniar se vor urma pasii:

se alege ”Add New Property” unde se va defini tipul de element neliniar pe care îl folosim în

analiză (în cazul nostru ”Link/Support Type” = Damper), se introduc valorile pentru greutatea/masa

amortizorului (în căsuțele ”Mass” şi ”Weight” după care se va alege tipul de comportare şi direcția

după care va acționa (în coloana ”Direction” se vor bifa axele locale ale elementului pentru care se vor

defini proprietățile liniare/neliniare – prin ”confirmarea/bifarea” casuței corespunzătoare din coloana

”NonLinear)”

of 28

în fereastra care apare (după apasarea butonului ”Modify/Show for U...” se vor introduce

valorile pentru coeficientul de amortizare şi pentru rigiditatea efectivă a acestuia (pentru calculul liniar)

şi valori pentru coeficientul de amortizare, rigiditatea efectivă şi exponentul amortizării (pentru calculul

neliniar). Aceste valori se obțin folosind formulele de calcul din FEMA 356 sau FEMA 273 (din capitolele

9 din ambele cărți) pe care le voi prezenta şi explicita în continuare.

4.2.4.1. Metoda de calcul pentru caracteristicile amortizorilor

Pentru calculul coeficientului de amortizare al amortizorului se utilizează o metodă de calcul care porneşte de la ”coadă la cap” mai exact

se stabileşte o amortizare țintă a structurii , care ne conduce la valori mici ale eforturilor în elementele structurii, conform unui calcul

spectral simplificat pe baza unor spectre elastice de răspuns calculate (conform P100‐2006, Anexa A.7) cu formula:

% % (1)

Unde:

% ‐ spectrul elastic de răspuns pentru componentele accelerației terenului în amplasament corespunzător fracțiunii din

amortizarea critică convențională 5%

% ‐ spectrul elastic de răspuns pentru componentele accelerației terenului în amplasament corespunzător fracțiunii din

amortizarea critică convențională 5%

– factor de corecție care ține cont de amortizare, care se determină cu relația:

0,55 (2)

După ce se stabileşte valoarea efectivă a amortizării structurii , se calculează cu ajutorul formulei

(3)

valoarea amortizării care trebuie să o dezvolte sistemul de disipare a energiei.

Unde:

‐ amortizarea sistemului de disipare a energiei

‐ amortizarea intrinsecă a structurii (are valori care variază între 2%‐5% în funcție de tipul de structură, legăturile între elementele

structurii, s.a.)

În continuare, calculul se desfăşoară în funcție de tipul de analiză folosit (time history liniar sau neliniar).

Pentru analiza liniară procedeul de calcul folosit este următorul:

(4)

Pentru un sistem cu 1 grad de libertate dinamică care este echipat cu un amortizor liniar şi supus unei mişcări sinusoidale de tip:

sin (5)

Unde:

– variația în timp a mişcării sistemului (structură şi amortizor)

– amplitudinea mişcării

– pulsația mişcării

Răspunsul în unități de forță al sistemului este:

sin (6)

Unde:

– variația în timp a răspunsului (în unități de forță) structurii

– amplitudinea răspunsului

– defazajul care apare între excitație şi răspunsul structurii.

Energia disipată de amortizor se defineşte ca fiind lucrul mecanic al forței dezvoltate de amortizor şi se poate determina cu ajutorul

formulei:

(7)

Unde:

of 28

– forța dezvoltată în amortizor

(8)

– coeficientul de amortizare al amortizorului

– viteza

Prin înlocuirea relației (8) în (7) se obține:

⁄

(9)

(10)

2 (11)

(12)

Introducând în relația (9) formulele (10), (11) şi (12) se obține:

2 √ 2 (13)

(14)

Unde şi sunt explicitate în figura de mai jos:

‐ energia disipată de sistemul de amortizare într‐un ciclu de mişcare armonică

‐ energia totală de deformație elastică a structurii

În cazul structurilor supuse la acțiuni seismice , rezultă că formula de calcul pentru amortizarea introdusă de sistemul de disipare

a energiei se poate scrie:

(15)

Extrapolând relația de mai sus de la un sistem cu 1 GLG la un sistem cu n GLD vom obține formula generală de calcul pentru coeficienții de

amortizare ai sistemului de disipare:

∑

(16)

Unde:

∑ ‐ suma energiillor disipate de amortizorii din structură

‐ energia de deformație elastică (sau lucrul mecanic efectuat de forțele tăietoare de nivel).

∑ Δ (17)

‐ forțele tăietoare de nivel

Δ – deplasarea relativă de nivel

Energia de amortizare se poate scrie sub forma:

∑ ∑ ∑ (18)

Unde:

– deplasarea relativă axială între capetele amortizorului.

Din experimentele efectuate s‐a constatat că odată cu creşterea amortizării sistemului răspunsul structurii pe modurile superioare este

redus la valori foarte mici (raportate la răspunsul pe modurile fundamentale) practic neglijabile. Consecința acestui fenomen este

considerarea în calcul doar a perioadelor fundamentale de vibrație ale structurii şi de aici se ajunge la o metodă de calcul simplificată

pentru calculul coeficienților de amortizare ai amortizorilor.

∑ ∑ (19)

Forta

Deplasare

of 28

ΦT Φ ΦTω Φ ∑ ∑ (20)

Unde:

‐ matricea de rigiditate a structurii MDOF (”Multiple degree of freedom” = n GLD)

‐ matricea maselor de nivel a structurii MDOF

Φ ‐ vectorul valorilor proprii de vibrație a structurii MDOF

‐ unghiul format de axa amortizorului şi planul orizontal al nivelului

– valoarea proprie de vibrație a nivelului i (deplasarea niveluilui i în modul fundamental de vibrație al structurii)

După efectuarea înlocuirilor în relațiile de mai sus se obține forma finală a relației de calcul pentru coeficienții de amortizare:

∑

∑ (21)

Unde:

– masa nivelului i

– valoarea proprie relativă de vibrație a amortizorului j (deplasarea axială relativă între capetele amortizorului în modul fundamental

de vibrație al structurii)

În mod evident, se poate observa că din formula de mai sus se poate determina un coeficient de amortizare ”unic” pentru toți amortizorii

din structură. Totuşi, în urma experimentelor efectuate, s‐a observat că este mai eficient să se introducă amortizori cu coeficienți de

amortizare mai mari la nivelele inferioare. Aceşti coeficienți pot fi determinați din coeficientul ”unic” scalat cu raportul între forțele

tăietoare de nivel de la parter şi cele de la nivelele superioare.

În cazul utilizării amortizorilor cu comportare neliniară calculul se desfăşoară la fel ca şi pentru amortizorii cu comportare liniară diferența

între aceştia este dată doar de relația cu care se determină forța de amortizare din amortizor:

(22)

Unde:

– exponentul amortizării

Considerând acelaşi SDOF ca şi în calculul de mai sus putem scrie următoarea relație:

ωcos (23)

Introducând relațiile (22) şi (23) în relația (7) şi după efectuarea operațiilor se obține:

|cos |⁄

dt (24)

Se face înlocuirea:

2 (25)

Înlocuind (25) în relația (24) şi efectuând toate operațiile se obține:

2⁄

(26)

Unde:

Γ t ‐ funcția Gamma care pentru valori reale ale variabilei t are forma:

Γ (27)

of 28

Folosind aceeaşi extrapolare ca şi în cazul sistemelor cu amortizori liniari, putem scrie pentru un MDOF cu amortizori neliniari următoarea

relație:

∑ (28)

Presupunând că toți amortizorii din structură au aceeaşi valoare pentru , şi înlocuind relația (26) şi (28) în relația (15) şi efectuând

operațiile se va obține:

∑

∑ (29)

Unde:

– deplasarea relativă între capetele amortizorului.

– deplasarea nivelului i

Deoarece am considerat în calcul numai comportarea în modurile fundamentale de vibrație ale structurii, se pot scrie următoarele relații:

(30)

Înlocuind relația (30) în relația (29) se obține formula generală de calcul pentru amortizarea sistemului de disipare din structură:

∑

∑ (31)

Folosind relațiile (21) şi (31) se pot determina coeficienții de amortizare pentru amortizorii care vor fi introduşi în structură.

4.2.4.2. Convenții pentru modelarea amortizorilor.

Pentru modelarea structurii cu amortizori s‐au folosit următoarele convenții:

La elementele de tip ”Link/Support Type” se vor modifica axele locale astfel încât axele locale 1 ale

acestora să fie definite ca vectorul ce trece prin nodurile i şi j ale elementelor. Am recurs la acest

artificiu pentru a putea obține (în urma analizei) direct valorile de deplasare şi viteză în lungul

amortizorului. Aceste valori sunt necesare pentru calculul forțelor din amortizori precum şi a

energiei disipate de aceştia.

Caracteristicile de amortizare şi rigiditate se vor calcula cu ajutorul unui fisier excel (care este atasat

acestui document: calcul rigiditate si coeficient de amortizare directia x liniar_neliniar amortizare

17%.xlsx)

În fişierul menționat mai sus se introduc următoarele date: sporul de amortizare introdus în clădire,

perioada de vibrație pe direcția considerată, unghiurile sub care sunt dispuşi amortizorii, numărul de

amortizori pe nivel (pe direcția considerată), masele de nivel, vectorul propriu de vibrație

corespunzător perioadei de vibrație considerate, modulul de elasticitate al diagonalei care conține

amortizorul, aria secțiunii diagonalei, lungimea acesteia, înălțimea totală a clădirii şi exponentul

vitezei (pentru amortizori cu comportare neliniară). Datele necesare pentru modelarea amortizorilor

sunt marcate cu culoare albastră (pentru amortizori liniari şi pentru cei neliniari).

4.2.5. Articulație plastică de tip ”Hinge”

Articulațiile plastice reprezintă zone ale elementelor structurale pe care se manifestă şi se dezvoltă

deformațiile plastice ale acestora. Ele sunt zone potențiale, aşteptate, prin care datorită deformațiilor

plastice se produce disiparea de energie. De aceea articulațiile plastice potențiale pot fi definite şi

atribuite pentru diferitele tipuri de solicitări care produc deformații platice în elementele structurale:

încovoiere (în cazul grinzilor şi al elementelor de tip “link”), efort axial cu efort de încovoiere pe două

direcții (pentru stâlpi), efort axial (pentru contravântuiri şi / sau unii stâlpi), forță tăietoare (în cazul

elementelor de tip “link”).

Articulațiile plastice potențiale sunt atribuite elementelor structurale punctual, acolo unde este de

aşteptat să apară plastificări. Spre exemplu, o articulație plastică potențială pentru încovoiere ce

trebuie atribuită unei grinzi, nu se va aplica la mijlocul deschiderii acesteia, întrucât din acțiunea

of 28

seismică nu este de aştepat să apară plastificarea grinzii respective în secțiunea de mijloc, ci în

secțiunile de capăt.

Modelele de articulații plastice folosite în analiza structurală au fost definite conform FEMA 356.

Rotirile în articulațiile plastice au fost calculate de program conform FEMA 356:

Valorile limită ale rotirilor în zonele plastice potențiale pentru criteriile de acceptare pentru analizele

neliniare sunt prezentate în tabele (pentru fiecare tip de structură în parte: metal, beton, zidărie, lemn,

compozită) în FEMA 356. Pentru exemplificare vă prezentăm tabelul corespunzător structurilor

metalice.

of 28

Introducerea articulațiilor plastice pe elementele structurii se realizează în modul următor:

se definesc prima dată tipurile de articulații plastice în funcție de eforturile care le produc (P, V,

M, P‐M‐M)

Articulație plastică la forță axială

Articulație plastică la forță tăietoare

of 28

Articulație plastică la forță axială cu momente încovoietoare pe cele 2 direcții

la fiecare tip de articulație în parte se introduc coeficienții de multiplicare ai rotirilor în căsuțele

de la zona ”Acceptance Criteria (Plastic Deformation / SF)”. Aceşti coeficienți se obțin din tabelele

corespunzătoare din FEMA 356 (vezi paragraful anterior).

4.2.6. Caracteristici complementare.

După ce s‐au definit caracteristicile secționale şi de material pentru elementele structurii se continuă

cu definirea sursei maselor ”Mass Source”, a constrângerilor nodurilor ”Joint Constraints” (prin această

definiție şi întroduc şaibele rigide de nivel – diafragmele orizontale de nivel).

4.2.7. Definirea tipului de funcție.

4.2.7.1. Accelerograma.

Definirea funcției de mişcare (accelerograma). În cazul de față s‐au introdus 2 funcții de accelerație

înregistrate (pe direcția N‐S şi E‐W a cutremurului din 1977 înregistrate la INCERC şi scalate pentru

0,24g) conform prevederilor normativului P100‐2006 capitolul 3, paragrafele 3.1.1, 3.1.2 şi 3.1.3. Pe

lângă acestea s‐au mai introdus încă 5 perechi de accelerograme artificiale generate cu programul

NSPECTRA ver.2.5, realizat de University of Buffalo, pentru spectrul corespunzător Bucureştiului şi

scalat pentru ag=0,24g. Aceste funcții se introduc din meniul ”Define‐Functions‐Time History...”. După

accesarea acestui meniu apare o fereastră pentru definirea accelerogramei. Se alege în căsuța ”Choose

Function Type to Add” valoarea ”From File” care conduce la apariția unei ferestre de definire a funcției.

of 28

primul pas este alegerea fisierului în care avem stocată funcția: se apasă ”Browse” şi se alege

fisierul. Atenție: în fişier se poate defini funcția pe o singură coloană sau pe două coloane (daca vrem

sa introducem prin fisier şi pasul de timp pentru funcție). Aceste formate de definire a funcțiilor implică

următorul pas.

Pasul doi: în aria ”Values are:” se alege prima caracteristică ”Time and Function Values” (dacă în

fişier este definit şi pasul de timp al funcției) sau a doua caracteristică ”Values at Equal Intervals of” şi

se precizează valoarea pasului de timp în casuța adiacentă.

Pasul trei: se alege butonul ”Display Graph” pentru afişarea funcției

Pasul patru: este foarte important ca funcția să fie transferată cu valori în fişier şi asta se face

prin butonul ”Convert to User Defined”. Această conversie este indicată deoarece există posibilitatea

ca fişierul de analiză să fie mutat pe un alt calculator. Dacă nu se face conversia atunci trebuie mutat

odată cu fişierul de analiză şi fişierul în care este stocată funcția altfel analiza nu poate rula. Trebuie să

ne gândim că într‐o astfel de analiză se introduc cam 10 funcții de accelerație, aşa că la mutarea

fişierului de analiză ar trebui să mutăm şi fişierele de stocare a funcțiilor.

4.2.7.2. Funcția unitate.

În tipul de analiză ”Direct Integration Time‐History” este indicat să se pornească de la o analiză

anterioară care să furnizeze o stare inițială de eforturi şi deformații. Aceasta semnifică de fapt că

structura este solicitată în stadiul de exploatare în momentul în care se produce seismul.

Această funcție este de forma:

of 28

4.2.8. Definirea tipurilor de cazuri de încărcare.

4.2.8.1. Cazul de încărcare gravitațional neliniar

Este cazul de încărcare care generează o stare de eforturi şi deformații de la care porneşte analiza de

tip ”Direct Time‐History”. Acest caz de încărcare se defineşte pentru a simula faptul că structura este

solicitată în stadiul de exploatare în momentul în care se produce seismul. Pentru definirea lui se

foloseste funcția unitate (descrisă la pct‐ul 4.2.7.2) duupă cum urmează:

Se alege meniul ”Define‐load Cases” şi se urmăresc valorile care trebuie modificate conform

imaginii de mai jos.

Caracteristicile care trebuie modificate sunt: ”Load Case Type” – Time History, ”Analysis type” –

Nonlinear, ”Time History Type” – Direct Integration, ”Load Type” – Accel, ”Load Name” – U3,

”Function” – UNIFTH (sau ce nume a fost folosit pentru funcția unitate), ”Scale Factor” – 1.

Se mai modifică valorile pentru ”Time Step Data” – ”Number of Output Time Steps” şi ”Output

Time Step Size” astfel încât produsul acestora să fie egal cu 1.

Daca vrem să analizăm o structură complexă atunci ar mai trebui modificați încă 2 parametri

astfel încât integrarea soluției să fie convergentă. Aceşti parametri se găsesc accesând din fereastra de

definiție a cazului de încărcare prima dată butonul ”Time Integration” – se alege metoda de integrare

”Hilber‐Hugues‐Taylor” şi se modifică coeficientul Alpha (am obținut rezultate bune pentru o valoare a

lui alpha de ‐0,2 – pentru mai multe informații se poate consulta ”Three dimensional static and

dynamic analysis of structures – Edward L. Wilson”) şi al doilea parametru se gaseşte accesând butonul

”Nonlinear Parameters” – se modifică ”Iteration Convergence Tolerance (Relative)” atribuindu‐i‐se o

valoare mai mică decât 0,0001 (am obținut rezultate bune pentru o valoare de 0,01).

of 28

4.2.8.2. Cazul de încărcare cu seism.

Este de acelaşi tip ca şi cazul de încărcare definit la punctul 4.2.8.1. doar că față de acesta apar câteva

mici diferențe şi anume:

La ”Initial Conditions” se bifează ”Continue from State at End of Nonlinear Case” şi se alege

numele cazului de încărcare gravitațional neliniar ales la punctul anterior.

În zona de ”Loads Applied” se definesc cele 2 mişcări în plan orizontal (după direcțiile

accelerațiilor U1 şi U2) de această dată pentru factorul de scalare ”Scale Factor” se introduce valoarea

coeficientului de importanță a clădirii.

Valorile pentru ”Number of Output Time Steps” şi ”Output Time Step Size” se introduc astfel

încât produsul acestora să fie egal cu timpul total al accelerogramei.

De asemenea, dacă avem de analizat o structură complexă, vom modifica şi aici parametrii din

”Time Integration” şi ”Nonlinear Parameters” (am obținut rezultate bune pentru valorile precizate la

punctul 4.2.8.1.)

of 28

4.2.9. Definirea opțiunilor de analiză

Când se doreşte analizarea unei structuri complexe cu acest tip de analiză este necesar să se modifice

opțiunile alaizei din meniul ”Analyze‐Set Analysis Options” accesând butonul ”Solver Options...”. în

fereastra care apare se aleg ”Solver Options” – ”Multi‐threaded Solver” şi la ”Analysis Process Options”

– ”Separate Process”.

of 28

4.3. Rezultate obținute.

După efectuarea analizei (b.t.w. rularea pentru structura cu accelerograma de INCERC 1977 şi încă 5

accelerograme artificiale generate a durat cam 45 ore) am obținut o datele necesare pentru calibrarea

amortizorilor precum şi o imagine asupra comportării structurii echipate cu amortizori vâscoşi. O serie

de date însă au trebuit analizate şi prelucrate separat (cu ajutorul programului Microsoft Excel)

deoarece programul SAP2000 nu le poate procesa – este vorba de forțele care se dezvoltă în amortizori

şi energia de input precum şi energia disipată de amortizori (date pentru care am construit un fisier

excel – care are o capacitate de 180 MB). Pentru a se putea face o comparație cât de cât reală între

cele 2 modele pe care le‐am considerat (varianta actuală şi varianta cu sistem de disipare a energiei)

voi prezenta datele de la momentul în care structura actuală s‐a ”rupt” prin apariția articulațiilor

plastice de tip ”Collapse prevention” în stâlpii şi grinzile acesteia. Acest moment se manifestă la

secunda 8 a accelerogramei INCERC 1977. În tabelul de mai jos am prezentat cateva valori maxime

pentru mărimi de răspuns obținute pentru structura existenă şi cea echipată cu amortizori, valori care

(spun eu) sunt edificatoare pentru confirmarea corectitudinii alegerii sistemului de consolidare a

structurii.

Rezultate obținute în urma analizelor efectuate pe cele 2 structuri (existentă şi consolidată):

Mărime de răspuns Varianta existentă Varianta consolidată

Deplasare maximă la vârf [m] 0,6537 (la t = 7,3 s) 0,6971 (la t = 7,7 s)

Accelerație absolută maximă la vârf [m/s2]

11,58 (la t = 7,2 s) 5,432 (la t = 7,6 s)

Deplasare relativă maximă de nivel [m]

dr efectiv = 0,0875 m = 0,0243h

dr adm SLU = 0,025h = 0,09 m

dr efectiv = 0,0534 m = 0,0148h

dr adm SLU = 0,025h = 0,09 m

Forța tăietoare maximă de bază [kN]

69785 30256

Perioade de vibrație [s] T1=1,5064 s T2=1,3602 s T3=1,0727 s

T1=2,6865 s T2=2,4154 s T3=2,1727 s

β 3,2869 (pentru 2% amortizare) 0,8820 (pentru 17% amortizare)

of 28

4.3.1. Caracteristici energetice ale structurii actuale.

Pentru structura actuală prezint în continuare 2 imagini relevante pentru comportarea structurii în

timpul unui seism real precum: aparitia articulațiilor plastice la momentul colapsului structurii precum

şi reprezentarea energiei de input pe care structura trebuie să o disipe prin diferite mecanisme (în

cazul acesta este vorba de o disipare în elementele structurii care se manifestă prin apariția

articulațiilor plastice în grinzi şi stâlpii de la parter – mecanism de nivel).

0

20000

40000

60000

80000

100000

120000

140000

0 1 2 3 4 5 6 7 8

Energie (kN

m)

timp (sec)

Structura existentă

Ei ‐ Energia totala (kNm)

of 28

4.3.2. Caracteristici energetice ale structurii cu amortizori

Aşa cum am precizat la punctul 4.3. pentru a avea un termen de comparație corect între comportările

celor 2 structuri (actuală şi consolidată) am selectat şi pentru structura echipată cu amortizori date

doar până la secunda 8 (moment de colaps al structurii existente). La fel ca şi la punctul anterior voi

prezenta 2 imagini una cu formarea articulațiilor plastice (se observă foarte clar că la acest moment

articulațiile plastice formate sunt în stadiul ”Imediate occupancy” şi câteva în stadiul ”Life safety”

neexistând pericolul apariției mecanismelor de nivel).

Graficul energiei de input şi a energiei disipate prin amortizorii vâscoşi.

0

20000

40000

60000

80000

100000

120000

140000

0 1 2 3 4 5 6 7 8

Energie (kN

m)

timp (sec)

Structura consolidată cu amortizori vâscoşi

Ei ‐ Energia totala (kNm)Ed ‐ Energia de amortizare (kNm)Es+Eh ‐ Energia produsa prin deformatii elastice + Energia histeretica (kNm)

of 28

Din cele două grafice de energie (pentru structura actuală şi cea consolidată) se pot observa

următoarele:

. ă 120

ă . ă . ă 120

. ă 100

. ă 32

ă . ă . ă . ă 100 32 68

Concluzia ce se desprinde de aici este următoarea: în cazul structurii actuale toată energia de input se

disipă în elementele structurii (valoarea este 120 MJ) pe cand în cazul structurii consolidate valoarea

care se disipă în elementele structurii esto mult mai mică (valoarea este 68 MJ – 50% din valoarea care

se disipă la structura actuală)

În continuare voi prezenta graficul energiei totale de input precum şi cel pentru energia disipată în

sistemul de amortizare. Pe acest grafic mai este prezentată (cu culoarea roşie) energia pe care trebuie

să o disipe structura prin deformații elastice şi plastice. Această curbă nu trebuie confundată cu energia

capabilă de deformație a elementelor structurii (care este mai mare). Pentru calculul energiei capabile

voi încerca să construiesc un fisier excel.

0

50000

100000

150000

200000

250000

0 10 20 30 40

Energie (kN

m)

timp (sec)

Structura consolidată cu amortizori vâscoşi

Ei ‐ Energia totala (kNm)Ed ‐ Energia de amortizare (kNm)Es+Eh ‐ Energia produsa prin deformatii elastice + Energia histeretica (kNm)

Notiuni de Modelare in Calculul Liniar Si Neliniar

Documents

Transcript of Notiuni de Modelare in Calculul Liniar Si Neliniar