CURS 5 - Spatii liniare. Spatiul liniar Rnandreea.arusoaie/Cursuri/S_Curs5.pdf · Dimensiunea unui...

CURS 5Spatii liniare. Spatiul liniar Rn

A. [email protected]

[email protected]

Facultatea de Informatica,Universitatea ”Alexandru Ioan Cuza” din Iasi

30 Octombrie 2017

Structura cursului

1 Lege de compozitie. Grupuri. Corpuri

2 Spatii liniareSpatii liniare. Subspatii liniareLiniara dependenta si independentaDimensiunea unui spatiu liniar. Baza algebrica. Schimbare de baza

3 Produs scalar. Norme ın Rn

4 Baze ortonormate. Procedeul de ortonormalizare Gram-Schmidt

Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 2 / 40

Structura cursului






Lege de compozitie. Grupuri. Corpuri

Definitie

Fie M o multime nevida. Numim operatie algebrica sau lege de compozitie pe M o functie“◦”:M ×M →M , (x, y)→ x ◦ y, care asociaza fiecarui element (x, y) ∈M ×M , un unicelement x ◦ y ∈M .

Definitie

Fie M 6= ∅ si fie operatia algebrica interna “◦” pe M . Atunci (M, ◦) se numeste grup daca suntverificate urmatoarele axiome:

(A) (x ◦ y) ◦ z = x ◦ (y ◦ z), ∀x, y, z ∈M (asociativitate);

(EN) daca exista e ∈M , astfel ıncat x ◦ e = e ◦ x = x,∀x ∈M ; (element neutru)

(ES) daca ∀x ∈M, ∃x′ ∈M , astfel ıncat x ◦ x = x ◦ x = e; (element simetrizabil)

Daca ın plus, este verificata urmatoarea axioma

(C) x ◦ y = y ◦ x, ∀x, y ∈ R (comutativitate)

vom spune ca (M, ◦) este grup abelian (grup comutativ).


Lege de compozitie. Grupuri. Corpuri

Definitie

Fie K 6= ∅ si fie “+” si “·” sunt doua operatii interne pe K.Se numeste corp un triplet (K,+, ·), ce satisface urmatoarele axiome:

1. (K,+) este un grup comutativ, avand elementul neutru notat cu 0;

2. (K \ {0}, ·) este grup cu elementul neutru notat cu 1;

3. Inmultirea este distributiva fata de adunare, adica ∀x, y, z ∈ K, avem

x · (y + z) = x · y + x · z,(x+ y) · z = x · z + y · z.

Daca, ın plus, operatia “·” este comutativa atunci spunem ca (K,+, ·) este corp comutativ.

Grupul (K,+) se numeste grupul aditiv al corpului, iar grupul (K \ {0}, ·) se numeste grupulmultiplicativ al elementelor nenule ale corpului.

Exemple: (R,+, ·), (C,+, ·) sunt corpuri comutative.


Structura cursului






Spatii liniare

Un spatiu liniar (spatiu vectorial) este o colectie de obiecte, numite vectori, ce pot fi adunateıntre ele si ınmultite cu numere, numite scalari.Scalarii sunt elemente din R,C,Q sau orice corp comutativ.

Cele mai utilizate spatii liniare sunt spatiile Euclidiene:

R - dreapta reala - spatiu liniar 1-dimensional

R2 = R× R - planul real - spatiu liniar 2-dimensional

R3 = R× R× R - spatiul real - spatiu liniar 3-dimensional

Rn, n ≥ 4 - hiperspatiul real - spatiu liniar n-dimensional


Spatii liniare

Fie V o multime nevida si K un corp comutativ. In general, se considera K = R sau K = C.

Definitie

Se numeste spatiu liniar (vectorial) peste corpul K o multime V , ınzestrata cu

- o lege interna ” + ” : V × V → V, (x, y)→ x+ y, ∀x, y ∈ V,

- o lege externa ” · ” : K × V → V, (α, x)→ α · x,∀α ∈ K,x ∈ V

asa ıncat sunt ındeplinite urmatoarele cerinte (axiome):

(SL1) (V,+) este un grup comutativ;

(SL2) α · (x + y) = α · x + α · y, ∀α ∈ K, x, y ∈ V ;

(SL3) (α+ β) · x = α · x + β · x, ∀α, β ∈ K, x ∈ V ;

(SL4) α · (β · x) = (αβ) · x, ∀α, β ∈ K, x ∈ V ;

(SL5) 1 · x = x, ∀ x ∈ V (unde 1 este elementul unitate din K).

- elementele K-spatiului liniar V se numesc vectori, iar elementele lui K se numesc scalari.


Spatii liniare

Propozitie

Fie n ∈ N∗ si Rn = R× R× . . .× R︸︷︷︸de n ori

. Definim operatiile + : Rn × Rn → Rn si · : R× Rn → Rn

prin

x + y = (x1 + y1, x2 + y2, . . . , xn + yn), ∀ x = (x1, x2, . . . , xn), y = (y1, y2, . . . , yn) ∈ Rn

α · x = (αx1, αx2, . . . , αxn), ∀α ∈ R, x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn.

Atunci (Rn,R,+, ·) este un spatiu liniar.


Exemple de spatii liniare

Fie X 6= ∅, K un corp comutativ, (V,K,+, ·) un spatiu liniar si F(X,V ) = {f : X → V }.F(X,V ) are o structura algebrica de spatiu liniar ın raport cu adunarea functiilor, definita ın

mod obisnuit prin

(∗) (f + g)(x) = f(x) + g(x),∀x ∈ X, ∀ f, g ∈ F(X,V )

si ınmultirea functiilor cu scalari din K, definita prin

(∗∗) (α · f)(x) = α · f(x), ∀α ∈ K,∀x ∈ X, ∀ f ∈ F(X,V ).

Particularizand X, K, si V , obtinem diverse exemple de spatii vectoriale:

daca m,n ∈ N, X = {1, 2, . . . ,m} × {1, 2, . . . , n} si V = K = R, atunciF(X,V ) =Mm,n(R), iar (Mm,n(R),+, ·) este un spatiu liniar real (exercitiu);

daca X ⊆ R si V = K = R, se obtine R-spatiul liniar F(X,R) al functiilor reale, de osingura variabila reala, definite pe X;

cand X = N si V = K = R, multimea F(X,V ) este, ın raport cu operatiile (∗) si (∗∗),spatiul liniar real al sirurilor de numere reale.


Spatii liniare

Propozitie (Proprietati ale operatiilor unui spatiu liniar)

Fie (V,K,+, ·) un spatiu liniar. Atunci:

i) 0K · x = α · 0V = 0V , ∀x ∈ V, α ∈ K;ii) (−α) · x = α · (−x) = −α · x, ∀α ∈ K,x ∈ V ;iii) (−α) · (−x) = α · x, ∀α ∈ K,x ∈ V ;iv) α · x = 0 ⇒ α = 0K sau x = 0V .


Spatii liniare. Subspatii liniare

Definitie

Fie (V,K,+, ·) un spatiu liniar peste un corp comutativ K si W o submultime nevida a lui V .(W,K,+, ·) se numeste subspatiu liniar al lui (V,K,+, ·) daca:

∀ x, y ∈W , rezulta ca x + y ∈W ;

∀α ∈ K, x ∈W , reiese ca α · x ∈W .

Exemple:

1) Multimea {x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn | x1 = 0} este, ın raport cu adunarea n-uplelor dinRn si ınmultirea acestora cu scalari din R, un subspatiu liniar al lui (Rn,R,+·).

2) Multimea {f ∈ F(R,R) | f(x) = f(−x),∀x ∈ R} a functiilor reale, scalare si pare este unsubspatiu liniar al spatiului liniar real (F(R,R),R,+, ·).



Definitie

Daca n ∈ N∗ si x1, x2, . . . , xn sunt elemente ale unui spatiu liniar V peste un corp comutativ K,iar α1, α2, . . . , αn sunt scalari din K, atunci elementul

x =n∑k=1

αkxk = α1x1 + α2x2 + ...+ αnxn,

se numeste combinatie liniara a elementelor x1, x2, . . . , xn.

Definitie

Fie W o submultime nevida a unui spatiu liniar (V,K,+, ·).Spunem ca W este un subspatiu liniar al lui V daca si numai daca

∀α, β ∈ K, x, y ∈W ⇒ α · x + β · y ∈W,

altfel spus, daca orice combinatie liniara de oricare doua elemente ale lui W apartine lui W .



Definitie

Fie (V,K,+, ·) un spatiu liniar si U o submultime nevida a sa.

Multimea tuturor combinatiilor liniare de elemente din U se numeste acoperire liniara a lui Usi se noteaza cu Lin(U).

Se numeste subspatiu generat de submultimea U , intersectia tuturor subspatiilor liniare alelui V care contin elementele lui U (vom nota Sp(U)).

Se poate constata usor ca Lin(U) este un subspatiu liniar al lui (V,K,+, ·) care o include pe U .

Propozitie

Fie (V,K,+, ·) un K-spatiu liniar al lui V .

i) Intersectia a doua subspatii liniare ale lui V este un subspatiu liniar al lui V .

ii) Reuniunea a doua subspatii liniare ale lui V nu este ıntotdeauna un subspatiu liniar al lui V .



Propozitie

Oricare ar fi submultimea nevida U a unui subspatiu liniar (V,K,+, ·), avem:

Lin(U) = Sp(U) = {x ∈ V | ∃n ∈ N∗, αi ∈ K, xi ∈ U, 1 6 i 6 n, asa ıncat x =n∑i=1

αixi}.

Demonstratie: “⊆:” Cum Lin(U) este un subspatiu liniar al lui V care include pe U ,intersectia tuturor subspatiilor liniare ale lui V cu proprietatea ca o includ pe U , cu alte cuvinteSp(U) ⊆ Lin(U).

“⊇:” Reciproc, cum orice subspatiu liniar al lui V , care contine pe U , contine si orice combinatieliniara de elemente din U (cu scalari din K), adica include subspatiul liniar Lin(U).Considerand intersectia tuturor acestor subspatii, obtinem Lin(U) ⊆ Sp(U).


Structura cursului






Liniara dependenta si independenta

Definitie

Fie (V,K,+, ·) un spatiu liniar si x1, x2, . . . , xn din V .

a) Elementele x1, x2, . . . , xn se numesc liniar dependente daca ∃α1, α2, . . . , αn ∈ K, nu totinuli, astfel ıncat

α1x1 + α2x2 + ...+ αnxn = 0V.

b) Elementele x1, x2, . . . , xn ∈ V se numesc liniar independente daca

α1x1 + α2x2 + ...+ αnxn = 0V =⇒ α1 = α2 = . . . = αn = 0.

c) O submultime nevida U a unui subspatiu liniar V se numeste liniar independenta dacaoricare n elemente distincte x1, x2, . . . , xn ale lui U sunt liniar independente.

d) Daca exista n ∈ N∗ si x1, x2, . . . , xn elemente din U ce sunt liniar dependente, atuncimultimea U se numeste liniar dependenta.


Liniara dependenta si independenta

Teorema

Vectorii x1, x2, . . . , xn ai unui spatiu liniar sunt liniar dependenti daca si numai daca unul dintrevectori se poate scrie ca o combinatie liniara a celorlalti.

Demonstratie: “⇒:” Intr-adevar, daca vectorii x1, x2, . . . , xn sunt liniar dependenti, atunci

∃α1, α2, . . . , αn, nu toti nuli, astfel ıncatn∑k=1

αkxk = 0V .

Presupunem ca α1 6= 0, ar reiesi atunci ca avem: x1 = −n∑k=2

(α−11 · αk

)xk. Deci, unul dintre

elementele x1, x2, . . . , xn, aici x1, ar fi o combinatie liniara de celelalte.

“⇐:” Daca xj =n∑k=1k 6=j

βkxk, atunci xj −n∑k=1k 6=j

βkxk = 0, ceea ce ınseamna ca, pentru elementele

x1, x2, . . . , xn, exista scalarii β1, . . . , βj−1, 1, βj+1, . . . , βn, evident nu toti nuli, asa ıncat sepoate vorbi despre o combinatie liniara a respectivelor elemente egala cu vectorul nul.


Structura cursului






Dimensiunea unui spatiu liniar. Baza algebrica. Schimbare de baza

Definitie

Fie (V,K,+, ·) un K-spatiu liniar.

i) Se numeste dimensiune (algebrica) a spatiului liniar V numarul maxim de elemente liniarindependente din V . Vom nota dimensiunea spatiului V cu dim(V ).

ii) Spatiul liniar V este numit infinit-dimensional daca exista cel putin o submultime infinita si

liniar independenta a lui V . In caz contrar, V este numit spatiu liniar finit-dimensional.

Exemple:

1. dimR(Rn) = n;

2. dimRMm,n(Rn) = m · n.



Definitie

O multime nevida B, dintr-un spatiu liniar (V,K,+, ·), se numeste baza algebrica a lui V daca Beste liniar independenta si Sp(B) = V .

Fie V un spatiu liniar n-dimensional.O baza a lui V este o multime B alcatuita din n elemente, b1, b2, . . . ,bn, liniar independente,din V . Fiecare element x ∈ V se reprezinta atunci, ın mod unic, sub forma

x =n∑k=1

γkbk,

K-scalarii γ1, γ2, . . . , γn numindu-se coordonatele lui x ın baza B .Orice baza a unui spatiu liniar V are un numar de vectori egal cu dimensiunea lui V .



Propozitie

Spatiul liniar (Rn,R,+, ·) este n-dimensional. O multime de m (m 6 n) elemente din Rn esteliniar independenta daca si numai daca matricea avand drept coloane cele m n-uple realecorespunzatoare elementelor ın cauza are rangul egal cu m.

Demonstratie: In Rn exista multimea B = {e1, e2, . . . , en}, unde e1 = (1, 0, ..., 0),e2 = (0, 1, ..., 0), ..., en = (0, 0, ..., 1) care alcatuiesc o baza, numita baza canonica a lui Rn.

Intr-adevar, multimea B este liniar independenta ın R, ıntrucat avem

α1 · e1 + α2 · e2 + . . .+ αn · en = 0 ⇐⇒ α1 = α2 = ... = αn = 0.

Mai mult, Sp(B) = Rn (∀x ∈ Rn, x = x1 · e1 + x2 · e2 + . . .+ xn · en). Asadar, dim(Rn) = n.

In al doilea rand, daca x1 = (x11, x12, . . . , x1n), x2 = (x21, x22, . . . , x2n), . . . sixm = (xm1, xm2, . . . , xmn) (cu m 6 n) sunt m elemente din Rn, atunci acestea sunt liniarindependente daca si numai daca relatia α1 · x1 + α2 · x2 + · · ·+ αm · xm = 0 este posibila doarcand α1 = α2 = . . . = αm = 0.Altfel spus, daca si numai daca

α1x11 + α2x21 + . . .+ αmxm1 = 0α1x12 + α2x22 + . . .+ αmxm2 = 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .α1x1n + α2x2n + . . .+ αmxmn = 0

Vom obtine, solutia banala αi = 0, i = 1, n, daca si numai daca rangul matricii sistemului, este m.



O submultime nevida a unui K spatiu liniar finit dimensional, B = {b1,b2, . . . ,bn}, este o baza a

lui V daca si numai daca orice vector x ∈ V se exprima, ın mod unic, sub forma x =n∑k=1

xkbk,

scalarii x1, x2, . . . , xn din K fiind coordonatele lui x ın baza B.Daca notam cu XB matricea coloana

x1x2...xn

a coordonatelor vectorului x ın baza B si cu B = [b1, b2, . . . ,bn] matricea linie a vectorilor bazei

B, relatia x =n∑k=1

xkbk se poate reda, matriceal, sub forma:

x = B ·XB .



Propozitie

Fie (V,K,+, ·) un spatiu liniar cu dim(V ) = n. Atunci

1. Orice multime de m elemente din V , cu m > n, este liniar dependenta;

2. Orice multime de n elemente din V este baza a lui V daca si numai daca este multime liniarindependenta.

3. Orice multime de n vectori din V este baza a lui V daca si numai daca multimea este unsistem de generatori al lui V.

Exemplu: Sa se arate ca multimea B = {v1 = (1, 0,−1), v2 = (2, 1, 0), v3 = (0, 1, 1)} este obaza a spatiului vectorial R3. Determinati coordonatele vectorului v = (1, 2, 3) ın aceasta baza.



Definitie

Fie (V,K,+, ·) un spatiu liniar cu dim(V ) = n, B = {b1, b2, . . . , bn} o baza a sa siB′ = {b′1, b′2, . . . ,b′m} o multime de m elemente ale lui V .Se numeste matrice de trecere (schimbare) de la baza B la sistemul de vectori B′ matriceaS = (sij)i,j ∈Mn,m(K), unde 1 6 i 6 n si 1 6 j 6 m, care are, pe coloane, coordonatelevectorilor din B′ ın baza B, adica

S =

s11 s21 . . . sm1

s12 s22 . . . sm2

...... . . .

...s1n s2n . . . smn

,

unde sij ∈ K sunt asa ıncatb′1 = s11b1 + s12b2 + . . .+ s1nbnb′2 = s21b1 + s22b2 + . . .+ s2nbn...

...b′m = sm1b1 + sm2b2 + . . .+ smnbn

Altfel spus, matricial, avem B′ = B · S, unde B′ = [b′1, b′2, . . . ,b

′m] si B = [b1, b2, . . . , bn].



Propozitie

Fie B si B′ doua baze distincte ale unui spatiu liniar (V,K,+, ·), finit-dimensional si x ∈ V .Daca XB si XB′ sunt matricile coloane ale coordonatelor lui x ın baza B si respectiv ın baza B′,iar S este matricea de trecere de la B la B′, atunci formula de transformare a coordonatelor luix la schimbarea bazei de la B la B′ este urmatoarea:

XB′ = S−1XB .

Demonstratie: Intrucat x = BXB = B′XB′ si B′ = B · S, avem: BXB = BSXB′ . De aici,cum B este nesingulara, prin ınmultirea la stanga cu B−1, rezulta: XB = SXB′ . In fine,deoarece S este nesingulara, reiese ca are loc formula XB′ = S−1XB .



Definitie

Fie (V,K,+, ·) un spatiu liniar, finit-dimensional si doua baze ale sale, B si B′.

Spunem ca bazele B si B′ sunt la fel orientate daca determinantul matricii S de trecere dela B la B′este pozitiv;

Spunem ca bazele B si B′se numesc contrar orientate daca det(S) < 0.


Structura cursului






Produs scalar. Norme ın Rn

Definitie

Fie (V,K,+, ·) un spatiu vectorial peste un corp comutativ si ordonat K.

a) Se numeste produs scalar pe V o aplicatie 〈·, ·〉 : V × V la K, care satisface urmatoareleproprietati:

(PS1) 〈·, ·〉 este pozitiv definita, adica

? 〈x, x〉 > 0, ∀ x ∈ V si? 〈x, x〉 = 0, daca si numai daca x = 0 ∈ V ;

(PS2) 〈·, ·〉 este simetrica, adica

? 〈x, y〉 = 〈y, x〉, ∀ x, y ∈ V ;

(PS3) 〈·, ·〉 este biliniara, adica

? 〈α · x + β · y, z〉 = α〈x, z〉 + β〈y, z〉, si? 〈x, α · y + β · z〉 = α〈x, y〉 + β〈x, z〉, ∀α, β ∈ K, x, y, z ∈ V .

b) Perechea (V, 〈·, ·〉), ın care V este un spatiu liniar peste un corp comutativ si ordonat, iar〈·, ·〉 este un produs scalar pe V se numeste spatiu prehilbertian.

c) Un spatiu prehilbertian pentru care K = R se numeste spatiu euclidian.



Propozitie

Spatiul liniar real (Rn,R,+, ·), dotat cu produsul scalar canonic, definit prin

〈x, y〉c =n∑i=1

xiyi, ∀ x = (x1, x2, . . . , xn), y = (y1, y2, . . . , yn) ∈ Rn,

este un spatiu euclidian.

Observatie: Produsul scalar 〈·, ·〉c pe Rn se mai numeste si produs scalar euclidian.



Definitie

Fie (V,K,+, ·) un spatiu prehilbertian, dotat cu produsul scalar 〈·, ·〉.

a) Elementele x si y din V se numesc ortogonale daca si numai daca 〈x, y〉 = 0. (x⊥y)

b) Spunem ca un vector x ∈ V este ortogonal pe o multime nevida U ⊂ V (notam x⊥U), daca

〈x, y〉 = 0, ∀ y ∈ U.

c) Un sistem de vectori din V se numeste ortogonal daca este alcatuit din vectori ortogonalidoi cate doi. Mai exact, daca 〈x, y〉 = 0, ∀ x, y din respectivul sistem, cu x 6= y.

d) Daca U ⊂ V , atunci prin suplimentul ortogonal al lui U , ıntelegem multimea

U⊥ = {x ∈ V | x⊥U}



Definitie

Fie (V,K,+, ·, 〈·, ·〉) un spatiu euclidian si x, y ∈ V \ {0}.

Unghiul dintre vectorii x si y, notat prin ^(x, y) sau (x, y), se defineste prin relatia:

(x, y) = arccos〈x, y〉√

〈x, x〉√〈y, y〉

.



Definitie

Fie (V,R,+, ·) un spatiu liniar real.

a) Se numeste norma pe V o aplicatie de la V la R, notata simbolic prin ‖ · ‖ , care satisfaceurmatoarele axiome:

(N1) ‖x‖ > 0, ∀ x ∈ V si ‖x‖ = 0 ⇔ x = 0;

(N2) ‖α · x‖ = |α|‖x‖, ∀α ∈ R, ∀ x ∈ V ;

(N3) ‖x + y‖ 6 ‖x‖+ ‖y‖, ∀ x,y ∈ V .

b) Perechea (V, ‖ · ‖) se numeste spatiu normat.

Propozitie

Spatiul liniar real (Rn,R,+, ·), ınzestrat cu asa-numita norma euclidiana, definita prin

‖x‖e =√〈x, x〉 =

(n∑i=1

x2i

) 12

, ∀ x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn,

este un spatiu normat.



Definitie

Fie (V, ‖ · ‖) un spatiu normat si x ∈ V . Elementul x se numeste versor daca ‖x‖ = 1.

Definitie

Fie (V, 〈·, ·〉) un spatiu prehilbertian.

a) O submultime nevida U ⊆ V se numeste sistem ortonormal daca si numai daca

〈x, y〉 ={

0, cand x 6= y1, cand x = y

, ∀ x, y ∈ U.

b) Daca B este o baza a lui V si B este un sistem ortonormal stunci B este o baza ortonormala

Exemplu: Baza canonica din Rn, {e1 = (1, 0, ..., 0), e2 = (0, 1, ..., 0), ..., e3 = (0, ..., 0, 1)} este obaza ortonormala.


Structura cursului






Baze ortonormate. Procedeul de ortonormalizare Gram-Schmidt

Fie B = {b1, b2, . . . bn} o baza a unui spatiu euclidian V , cu dim(V) = n, si fie Fie 〈·, ·〉 esteprodusul scalar definit pe V .

Vom nota cu G = (gij)16i,j6n ∈Mn(R), unde gij = 〈bi,bj〉. Determinantul matricii G se

numeste determinant Gram.Cum pentru doi vectori arbitrari din x, y ∈ V , avem reprezentarile (ın baza B) x = BXB si

y = BYB , unde XB , YB sunt matricile asociate lui x si y, gasim expresia analitica a produsuluiscalar 〈·, ·〉 ın baza B

〈x, y〉 =n∑

i,j=1

gijxiyj = XTBGYB .

Baza B este numita ortogonala ori de cate ori matricea G este diagonala, adica gij = 0,∀ i, j ∈ {1, 2, . . . , n}, i 6= j.Spunem ca baza B este ortonormala daca si numai daca G este matricea unitate In.


Procedeul de ortonormalizare Gram-Schmidt

Teorema

In orice spatiu prehilbertian finit dimensional (V, 〈·, ·〉) exista baze ortonormale.

Demonstratie: Fie (V, 〈·, ·〉) un spatiu prehilbertian n-dimensional si B = {b1, b2, . . . , bn} obaza a lui.Pentru a arata existenta unei baze ortonormale, este suficient sa gasim o baza ortogonala.

Plecand de la B, se poate construi o baza B′ = {b′1, b′2, . . . , b′n}, ortogonala, a spatiului V ,utilizand algoritmul lui Gram-Schmidt, dupa cum urmeaza:

Pasul 1: Fie b′1 = b1 .

Pasul 2: Se determina scalarul λ1 ∈ R, asa ıncat vectorul b′2 = b2 + λ1b′1 sa fie ortogonal pe

b′1, adica sa avem 0 = 〈b′1,b2〉+ λ1〈b′1, b′1〉. Asadar,

b′2 = b2 −〈b′1,b2〉〈b′1, b′1〉

b′1.


Procedeul de ortonormalizare Gram-Schmidt

Pasul 3: Se cauta scalarii µ1 si µ2 din R, asa ıncat b′3 = b3 + µ1b′1 + µ2b′2 sa fie ortogonal pesistemul {b′1, b′2}, adica sa avem 〈b′3, b′1〉 = 0 si 〈b′3, b′2〉 = 0.

Gasim µ1 = −〈b′1,b3〉〈b′1,b′1〉

si µ2 = −〈b′2, b3〉〈b′2, b′2〉

. Prin urmare, avem:

b′3 = b3 −〈b′1,b3〉〈b′1,b′1〉

b′1 −〈b′2, b3〉〈b′2, b′2〉

b′2.

Pasul k: Continuand procedeul, obtinem formula generala:

b′k = bk −k−1∑i=1

〈b′i, bk〉〈b′i, b′i〉

b′i, k = 2, n.

In final, plecand B′, putem obtine baza ortonormata B′′ = {b′′1 , . . . ,b′′n}, daca luam b′′k =b′k‖b′k‖

,

k = 1, n, unde ‖ · ‖ este norma indusa de produsul scalar 〈·, ·〉, considerat pe V .


Bibliografie

Anca Precupanu - Bazele analizei matematice (Cap. 10), Editura Polirom, Iasi, 1998.

V. Postolica - Eficienta prin matematica aplicata. Analiza matematica (Cap. 10, 11 si 12),Editura Matrix Rom, Bucuresti, 2006.

Emil Popescu - Analiza matematica. Calcul diferential, Editura Matrix Rom, Bucuresti, 2006.

E. Macovei, F. Iacob - Matematica pentru anul I), Editura Universitatii ”Al. I. Cuza”, Iasi,2005.

W. F. Trench - Introduction to Real Analysis (Chap. 4), Library of CongressCataloging-in-Publication Data, 2010.

M. Postolache - Analiza matematica ( teorie si aplicatii ), Editura ”Fair Partners”,Bucuresti, 2011.

Steven Heilman - Sequences and Series of Functions.Convergence, UCLA Department ofMathematics, Los Angeles, 2015.

M. Deisenroth, M. Cheraghchi - Mathematical Methods (Chap.4:Power Series), ImperialCollege London, Department of Computing, 2016.


CURS 5 - Spatii liniare. Spatiul liniar Rnandreea.arusoaie/Cursuri/S_Curs5.pdf · Dimensiunea unui...

Documents

Transcript of CURS 5 - Spatii liniare. Spatiul liniar Rnandreea.arusoaie/Cursuri/S_Curs5.pdf · Dimensiunea unui...