Algebr a liniar a ˘si elemente de geometrie Ioan Bucataru...

Algebra liniara si elemente de geometrie

Ioan Bucataru si Mircea Crasmareanu

2 Martie 2020

Cuprins

1 Spatii si subspatii vectoriale 1

2 Operatii cu subspatii vectoriale. Generatori 5

3 Calcul vectorial ın baze 9

4 Transformari liniare 13

5 Calcul operatorial ın baze 15

6 Spatii vectoriale euclidiene 19

7 Spatiul vectorilor liberi 21

8 Spatiul vectorilor liberi: structura euclidiana 25

9 Produsul vectorial. Produse de cate 3 vectori 29

10 Aplicatii geometrice si fizice ale calculului vectorial 33

11 Planul. Moduri de determinare si ecuatii 39

12 Dreapta. Moduri de determinare si ecuatii 43

13 Configuratii remarcabile de puncte, drepte si plane 47

14 Conice 51

iii

iv CUPRINS

Cursul 1

Spatii si subspatii vectoriale

Reamintim ca pe multimea numerelor reale R = (−∞,+∞) avem doua operatii interne, adunarea +si ınmultirea ·, astfel ıncat tripletul (R,+, ·) este un corp comutativ. Cadrul de lucru al urmatoarelorcursuri din partea de Algebra este fixat de urmatoarea notiune:

Definitia 1.1 Fixam multimea nevida V 6= ∅ ale carei elemente u, v, w, . . ., le vom numi vectori.O structura de spatiu vectorial real pe V este o pereche de operatii (+, ·) de forma:i) + : V × V → V , (u, v)→ u+ v ∈ V ; deci + este o operatie interna,ii) · : R× V → V , (λ, u)→ λu ∈ V ; deci · este o operatie externa,ce satisfac urmatoarele doua seturi de axiome:I) perechea (V,+) este grup comutativ (i.e. abelian):SV1) + este asociativa: (u+ v) + w = u+ (v + w),SV2) + este comutativa: u+ v = v + u,SV3) + admite element neutru: ∃ 0 ∈ V : u+ 0 = u,SV4) orice vector admite invers relativ la +: u+ (−1)u = 0.II) · satisface 4 axiome:SV5) distributivitatea fata de +: λ(u+ v) = λu+ λv,SV6) (α+ β)u = αu+ βu,SV7) α(βu) = (αβ)u,SV8) 1 · u = u.Toate aceste axiome au loc pentru orice vectori si orice scalari. 0 se numeste vectorul nul iar tripletul(V,+, ·) ıl numim spatiu vectorial real. R este corpul de scalari al lui V .

Observatia 1.2 i) In baza axiomei SV4 vectorul (−λ)u se va nota −λu si avem urmatoareleidentitati:

λ · (−u) = −(λu), λ(u− v) = λu− λv, (α− β)u = αu− βu. (1.1)

ii) Pentru orice u ∈ V avem 0u = 0 si pentru orice scalar λ avem λ0 = 0. Mai mult, relatia λu = 0implica λ = 0 sau u = 0. Reamintim faptul ca elementul neutru al unui grup este unic; deci vectorulnul este unic. La fel, inversul oricarui element din grup este unic.iii) Extrem de utile pentru Fizica sunt si spatiile vectoriale complexe care se definesc complet analogprin utilizarea corpului comutativ C ın locul lui R.iii) Anumiti autori, de formatie algebrica, folosesc denumirea de spatiu liniar pentru aceeasi notiune.De aceea, teoria spatiilor vectoriale are numele de algebra liniara. Datorita semnificatiei fizice avectorilor vom utiliza varianta mai lunga de spatiu vectorial dar recomandam parcurgerea oricaruimaterial bibliografic indiferent de denumire! 2.

Exemple 1.3 1) Fixam numarul natural n ∈ N si consideram produsul cartezian Rn := R×...×R;deci factorul R apare de n ori. Prin conventie R0 = {0}. Elementele x ale lui Rn sunt n-uple:

1

2 I. Bucataru, M. Crasmareanu

x = (x1, ..., xn)

si definim:x+ y := (x1 + y1, ..., xn + yn), λx := (λx1, ..., λxn). (1.2)

Precizam ca un egal precedat de doua puncte ınseamna exact ”prin definitie”. O verificare imediataa axiomelor da faptul ca (Rn,+, ·) este spatiu vectorial real. In exact aceeasi maniera Cn este spatiuvectorial complex. Vectorul nul este n-upla cu toate elementele zero.2) Fixam m,n ∈ N∗ si fie Mm,n(R) multimea matricilor cu elemente reale avand m linii si n coloane.Cu aceleasi operatii element cu element ca mai sus avem ca (Mm,n(R),+, ·) este spatiu vectorial real.In fapt, Rn este un caz particular al acestui exemplu deoarece o conventie utila ın calcule (chiar dacapare o complicare a scrierii) noteaza vectorii x ∈ Rn ca fiind matrici coloane:

x =

x1

...xn

∈ Rn. (1.3)

O matrice A ∈ Mm,n(R) va fi notata A = (aij)i=1,m;j=1,n cu indicele superior reprezentand linia iarindicele inferior reprezenand coloana!

Astfel, relatia vectoriala y = A · x va deveni relatia matriceala:

y =

y1

...ym

= A ·

x1

...xn

. (1.4)

Egalitatea liniilor i ∈ {1, ...,m} din (1.4) se scrie:

yi = aijxj (1.5)

unde ın membrul drept folosim conventia Einstein de scriere: aparitia unui indice atat jos cat si sussemnifica sumarea dupa toate valorile acelui indice.

Atentie: vom utiliza mereu aceasta conventie!

Prin urmare Rm = Mm,1(R). Analog Mm,n(C) este spatiu vectorial complex. De asemeni, pentrusimplitate spatiul vectorial Mn,n(K) se va nota Mn(K) pentru K ∈ {R,C}.3) Pentru multimea nevida X fie F(X,K) := {f ; f : X → K} multimea tuturor functiilor de la X laK. Fie f, g ∈ F(X,K) si λ ∈ K oarecare. Definim f + g si λ · f punctual:

(f + g)(x) := f(x) + g(x), (λ · f)(x) := λf(x).

Avem imediat ca (F(X,K),+, ·) este un K-spatiu vectorial. 2

O maniera des utilizata de a obtine noi structuri este prin restrictie la submultimi. Fixam K-spatiul vectorial V si o submultime a sa nevida W ⊂ V .

Definitia 1.4 Spunem ca W este subspatiu vectorial ın V si notam W ⊂sv V daca restrictiileoperatiilor (+, ·) ale lui V la W determina pe W o structura de K-spatiu vectorial.

Din punct de vedere tehnic verificam starea de subspatiu vectorial cu urmatoarea caracterizare:

Teorema 1.5 W ⊂sv V daca si numai daca sunt satisfacute urmatoarele doua conditii:sV1) restrictia operatiei + la W este interna: u, v ∈W ⇒ u+ v ∈W ,sV2) restrictia operatiei · la W este interna: λ ∈ K, u ∈W ⇒ λu ∈W .Echivalent:

Cursul 1 3

sV) α, β ∈ K si u, v ∈W implica αu+ βv ∈W .Drept consecinta 0 ∈W !

Exemple 1.6 1) Orice spatiu vectorial are macar doua subspatii, {0} si V , numite subspatiiletriviale. Daca exista, toate celelalte subspatii se vor numi proprii.2) Relativ la exemplul 1.3.2 fie 0 < m < n. Atunci consideram Km ca subspatiu vectorial ın Kn princonsiderarea elementelor x ∈ Km ca fiind:

x = (x1, ..., xm, 0, ..., 0) ∈ Kn

deci avand nule ultimele n−m componente!

Din punct de vedere geometric subspatiile lui R2 sunt: {0 = (0, 0)}, dreptele prin origine si R2.Subspatiile lui R3 sunt: {0 = (0, 0, 0)}, dreptele prin origine, planele prin origine si R3.3) Fie P(R) multimea functiilor polinomiale P : R→ R cu coeficienti reali respectiv Pn(R) multimeafunctiilor polinomiale de grad cel mult n deci a expresiilor:

P (X) = a0Xn + a1X

n−1 + ...+ an−1X + an, a0, ..., an ∈ R.

X se numeste nedeterminata. P(R) si Pn(R) sunt subspatii vectoriale importante ın F(R,R).4) Deosebit de importante ın Analiza Fourier a semnalelor si undelor sunt polinoamele trigonometriceadica expresii de forma:

T (X) =α0

2+∞∑k=1

[αk cos(kX) + βk sin(kX)], α0, αk, βk ∈ R. (1.6)

Ca la exemplul precedent notam multimea lor cu T respectiv Tn si avem ca acestea sunt subspatiivectoriale ın F(R,R). 2

Cursul 2

Operatii cu subspatii vectoriale.Generatori

Fixam spatiul vectorial real V si doua subspatii vectoriale V1, V2 oarecare. Reamintim ca douaoperatii fundamentale cu multimi sunt reuniunea ∪ si intersectia ∩.

Observatia 2.1 In general V1∪V2 nu este subspatiu si prezentam un contra-exemplu. Fie V = R2

si V1 = B1 prima bisectoare respectiv V2 = B2 a doua bisectoare din plan:

B1 : y = x, B2 : y = −x. (2.1)

Alegem cate un vector ın fiecare subspatiu: v1 = (1, 1) ∈ V1 si v2 = (1,−1) ∈ V2. Suma lorv1 + v2 = (2, 0) nu apartine reuniunii V1 ∪ V2. 2

Din fericire, pentru intersectie lucrurile stau bine:

Propozitia 2.2 V1 ∩ V2 este subspatiu vectorial ın V . Mai general, pentru orice familie indexatade subspatii Vi, i ∈ I avem ca intersectia ∩i∈IVi este subspatiu vectorial.

Deoarece + este operatie interna pe V putem defini o noua operatie pe multimea subspatiilor luiV :

Definitia 2.3 i) Suma subspatiilor date este multimea:

V1 + V2 := {u+ v; u ∈ V1, v ∈ V2}. (2.2)

ii) V1 si V2 se numesc direct sumabile daca V1 ∩ V2 = {0} si ın acest caz notam suma lor prin V1⊕ V2.

Teorema 2.4 i) Avem V1 + V2 ⊂sv V . Mai general, pentru orice familie finita de subspatii avemV1 + ...+ Vn ⊂sv V .ii) V1 si V2 sunt direct sumabile daca si numai daca scrierea oricarui vector u ∈ V1 +V2 ca suma esteunica i.e. exista si sunt unici vectorii v1 ∈ V1, v2 ∈ V2 asa ıncat u = v1 + v2.

Exemple 2.5 1) Fie V = R3 si V1=planul xOy respectiv V2=planul xOz. Avem ecuatiile acestorplane:

xOy : z = 0, xOz : y = 0. (2.3)

V1 ∩ V2 este dreapta Ox ce este subspatiu vectorial ın R3. Suma acestor subspatii este ıntreg spatiul:V1 + V2 = R3 si ele nu sunt sumabile direct.

Putem verifica faptul ca nu sunt sumabile direct si concret. Fie u = (1, 1, 1) ∈ R3. Avem:

u = v1 + v2 = w1 + w2, v1 = (1, 1, 0) ∈ V1, v2 = (0, 0, 1) ∈ V2, w1 = (0, 1, 0) ∈ V1, w2 = (1, 0, 1) ∈ V2.

5


deci scrierea lui u ∈ V1 + V2 ca suma nu este unica.2) Spatiul vectorial real Mn(R) este o suma directa de doua subspatii. Reamintim ca pentru matriceafixata A = (aij) ∈Mm,n(R) transpusa sa este tA ∈Mn,m(R) data de tA = (aji )j=1,n, i=1,m. Fie:

Sym(n) := {A ∈Mn(R);tA = A}, o(n) = {A ∈Mn(R);tA = −A}. (2.4)

Aceste multimi sunt subspatii vectoriale ın Mn(R) si A ∈ Sym(n) se numeste matrice simetrica iarA ∈ o(n) se numeste matrice antisimetrica. Avem descompunerea ın suma directa:

Mn(R) = Sym(n)⊕ o(n), A = As +Ao, As =1

2(A+t A), Ao =

1

2(A−t A). (2.5)

2

Fixam acum un sistem finit de vectori S = {v1, ..., vn} din spatiul vectorial real V .

Definitia 2.6 Un vector u ∈ V de forma:

u = λivi = λ1v1 + ...+ λnvn (2.6)

se numeste combinatie liniara de vectorii dati. Multimea combinatiilor liniare o notam span{v1, ..., vn}sau span S. Prin conventie span∅ = {0}.

Teorema 2.7 span{v1, ..., vn} ⊂sv V .

Definitia 2.8 span{v1, ..., vn} se numeste subspatiul generat de vectorii dati. Vectorii v1, ..., vnse numesc generatorii lui span S. Spatiul V se numeste finit generat daca admite un sistem finit degeneratori.

Observatia 2.9 i) Vectorii v1, ..., vn apartin subspatiului generat deoarece facem pe rand cateun scalar 1 si ceilalti 0:

v1 = 1v1 + 0v2 + ...+ 0vn.

In fapt, span{v1, ..., vn} este cel mai mic subspatiu (ın sensul incluziunii de multimi) ce contine totivectorii dati: daca U ⊂sv V contine pe S atunci spanS ⊂ U .ii) Daca w1, ..., wk apartin lui spanS atunci span{w1, ..., wk} ⊆ spanS.iii) Fie v ∈ V oarecare. Avem spanS = spanS ∪ {v} daca si numai daca v ∈ spanS.iv) span{v} = Rv = {λv;λ ∈ R}. Deci:

span{v1, ..., vn} = Rv1 + ...+ Rvn. (2.7)

2

O alta notiune deosebit de importanta este:

Definitia 2.10 Sistemul S se numeste liniar independent daca pentru orice j ∈ {1, ..., n} avem cavj nu apartine subspatiului span(S \ {vj}). In caz contrar, S se numeste liniar dependent.

Caracterizarea tehnica a sistemelor liniar independente este data de:

Teorema 2.11 Urmatoarele afirmatii sunt echivalente:1) S este liniar independent;2) relatia λivi = 0 implica λ1 = ... = λn = 0,3) relatia λivi = λivi implica λi = λi pentru toti i = 1, ..., n.Consecinta: daca 0 ∈ S atunci S este liniar dependent.

Exista o legatura profunda ıntre cele doua tipuri de sisteme finite introduse anterior adica degeneratori si liniar independente:

Cursul 2 7

Teorema schimbului a lui Steinitz Fie V un spatiu vectorial finit generat ın care fixam S1 ={u1, ..., um} sistem liniar independent si S2 = {v1, ..., vn} sistem de generatori i.e. V = spanS2.Avem:

m ≤ n (2.6)

si, dupa o eventuala renumerotare a indicilor:

V = span{u1, ..., um, vm+1, ..., vn}. (2.8)

Prin urmare, suntem interesati de cazul de egalitate m = n ceea ce conduce la urmatoarea notiunefundamentala:

Definitia 2.12 Sistemul finit B din V finit generat ıl numim baza daca este simultan sistem degeneratori si liniar independent.

Teorema schimbului furnizeaza acum rezultatul central al teoriei spatiilor finit generate:

Teorema fundamentala a teoriei spatiilor finit generate Daca V este finit generat atuncitoate bazele sale au acelasi cardinal n ce reprezinta numarul maxim de vectori liniar independenti dinV si simultan numarul minim de generatori pentru V .

Definitia 2.13 Daca V este finit generat atunci n se numeste dimensiunea lui V si deseori vomnota Vn pentru a preciza acest fapt.

Exemple 2.14 1) Kn are dimensiunea n deoarece sistemul Bc = {e1, ..., en} cu:

ei = (0, ..., 0, 1, 0, ..., 0) (2.9)

unde 1 apare doar pe locul i este o baza ın Kn numita baza canonica.2) Mm,n(K) are dimensiunea m ·n deoarece avem baza canonica Bc = {E1

1 , ..., Emn } unde matricea Eij

are elementul 1 la intersectia liniei i cu coloana j si ın rest 0.3) Pn(R) are dimensiunea n+ 1 deoarece avem baza canonica Bc = {1 = X0, X = X1, ..., Xn}.4) Fixarea bazei B = {v1, ..., vn} ın K-spatiul Vn ınseamna splitarea:

Vn = Kv1 ⊕ ...⊕Kvn. (2.10)

2

Cursul 3

Calcul vectorial ın baze

Fixam un spatiul vectorial (real sau complex) Vn si baza B = {v1, ...vn}. Fie x ∈ Vn oarecare. Dindefinitiile Cursului anterior exista si sunt unice (!) numerele x1, ..., xn ∈ K = R,C a.ı.:

x = xivi = x1v1 + ...+ xnvn. (3.1)

Definitia 3.1 Numerele x1, ..., xn se numesc coordonatele vectorului x ın baza B.

Exemplul 3.2 1) Fie x = (x1, ..., xn) ∈ Kn. Coordonatele lui x ın baza canonica Bc sunt exactcomponentele sale vectoriale x1, ..., xn si acest fapt motiveaza denumirea de canonica.2) Componentele vectorului nul 0 ∈ Vn sunt toate nule ın raport cu orice baza a lui Vn. 2

Notatie foarte utila Deoarece din acest moment vom lucra matriceal este convenabil sa rescriemrelatia (3.1) matriceal:

x = B ·

x1

...xn

(3.2)

Prin urmare, fixarea bazei B permite identificarea vectorului x cu matricea coloana a coeficientilor:

x→ xB :=

x1

...xn

. (3.3)

adica transferul calculului pe spatiul Kn prin identificarile:

(x+Vn y)B = xB + yB, (λ ·Vn x)B = λxB. (3.4)

2

Apare acum ca naturala problema schimbarii coordonatelor unui vector dat la o schimbare debaze B → B = {v1, ..., vn}. Fie indicele j ∈ {1, ..., n} fixat. Avem ca vectorul vj ∈ B admite odescompunere unica ın raport cu B:

vj = B ·

s1j...snj

. (3.5)

In acest mod se naste matricea:Mn(K) 3 S = (sij)i,j=1,n (3.6)

9


si avem formal:

B = B · S. (3.7)

Definitia 3.3 S se numeste matricea de trecere de la B la B si de aceea mai poate fi notataC(B, B) din englezescul change=schimbare.

Proprietatea fundamentala a matricii S = C(B, B) este faptul ca este inversabila cu:

S−1 = C(B, B). (3.8)

Revenim la vectorul fixat x si matricile coloana asociate xB, xB. Vrem legatura dintre acestematrici coloana. Cu scrierea (3.2) avem:

x = B · xB = B · xB = (B · S) · xB. (3.9)

unde, pentru ultimul egal am utilizat relatia (3.7). Inmultirea matricilor este asociativa, deci avem:

B · xB = B · (S · xB) (3.10)

si cum descompunerea lui x ın baza B este unica avem:

xB = S · xB (3.11)

ceea ce implica formula de ”trecere de la coordonatele vechi xi la coordonatele noi xa”:

xB = S−1 · xB. (3.12)

Daca vrem scrierea explicita a ecuatiei (3.12) fie S−1 = (saj )a,j=1,n. Deci schimbarea coordonatelorla o schimbare de baze este:

vb = sibvi ⇒ xa = sajxj . (3.13)

Pentru usurarea memorarii sa notam si utilizarea de seturi distincte de indici: i, j, k, ... pentrubaza/coordonatele vechi respectiv a, b, c, ... pentru baza/coordonatele noi!

Observatia 3.4 In anumite teorii fizice moderne apar ”obiecte geometrice” T ce se exprima (maicorect spus ”se descompun”) ın baza B respectiv B prin ansambluri de numere din K:

T i1...ikj1...jl, T a1...akb1...bl

, i, j, a, b = 1, ..., n

Daca regula de schimbare a acestor componente la schimbarea bazelor este:

T a1...akb1...bl= sa1i1 · ... · s

akik· sj1b1 · ... · s

jlblT i1...ikj1...jl

(3.14)

atunci spunem ca T este tensor de tip (k, l) sau ınca tensor de k ori contravariant si de l ori covariant.Prin urmare, indicii de sus sunt de contravarianta deoarece corespund matricii inverse S−1 iar indiciide jos sunt de covarianta deoarece corespund aceleaiasi matrici S ca si schimbarea de baze!

Comparand (3.13) si (3.14) obtinem ca vectorii sunt tensori de tip (1, 0) sau ınca tensori contravarianti!2

Observatia 3.5 Am vazut mai sus ca S este o matrice inversabila. Pentru n ∈ N∗ multimeaGL(n,K) a n-matricilor, cu elemente din K, ce sunt inversabile formeaza un grup relativ la operatiade ınmultire a matricilor patratice, numit n-grupul liniar general peste K. Avem GL(1,K) = K∗ siacesta este singurul grup liniar general comutativ!

Cursul 3 11

In limbaj algebric avem ca GL(n,K) este grupul unitatilor ın inelul (Mn(K),+, ·), deci este ”celmai mare” grup relativ la ınmultirea matricilor, ce se poate forma cu elemente din Mn(K). Deosebitde importante, atat pentru matematica cat si pentru fizica, sunt o serie de subgrupuri ın GL(n,K):1) n-grupul liniar special: SL(n,K) = {A ∈Mn(K); detA = +1},2) n-grupul ortogonal: O(n) = {A ∈Mn(R);tA ·A = A ·t A = In},3) n-grupul ortogonal special: SO(n) = O(n) ∩ SL(n,R) = {A ∈ O(n); detA = +1}.In limbaj geometric, spatiul liniar o(n) ınzestrat cu crostul de anti-comutare:

[A,B] := A ·B −B ·A (3.15)

este algebra Lie a grupului Lie O(n). 2

Cursul 4

Transformari liniare

In Cursul precedent am studiat schimbarea coordonatelui unui vector fixat la o schimbare de baze.Vom generaliza aceasta problema ın prezentul Curs. Fixam doua K-spatii vectoriale, notate V si W .

Definitia 4.1 Aplicatia T : V → W o numim transformare liniara sau operator liniar dacainvariaza operatiile spatiilor adica satisface cele doua conditii urmatoare: TL1) T (v1 + v2) = T (v1) +T (v2),TL2) T (λv) = λT (v),pentru orice λ ∈ K si orice vectori v, v1, v2 ∈ V . Notam cu L(V,W ) multimea lor.

Observatia 4.2 i) Putem unifica cele doua conditii ale definitiei ıntr-o singura conditie:

TL)T (αv1 + βv2) = αT (v1) + βT (v2)

valabila pentru toti scalarii α, β.ii) Pentru V = W notam L(V ) ın loc de L(V, V ) si T ∈ L(V ) ıl numim endomorfism liniar, uneoripe scurt endomorphism. Unii autori folosesc notatia End(V ) pentru L(V ).iii) T (0v) = 0W . 2

Unui operator liniar fixat T ıi asociem, de o maniera naturala, cate o submultime ın fiecare spatiuvectorial dat.

Definitia 4.3 Nucleul lui T este:

KerT := {v ∈ V ;T (v) = 0W }. (4.1)

Imaginea lui T este:ImT := {w ∈W ;∃v ∈ V, w = T (v)}. (4.2)

Structura algebrica a acestor multimi este adaptata cadrului de lucru ın sensul urmatorului rezul-tat:

Teorema 4.4 KerT ⊂sv V si ImT ⊂sv W .

In continuare presupunem ca ambele spatii vectoriale considerate sunt finit-dimensionale: V = Vnsi W = Wm. Atunci KerT respectiv ImT vor fi finit-dimensionale ceea ce conduce la urmatoarelenotiuni:

Definitia 4.5 Pentru T ∈ L(Vn,Wm) definim: i) defectul lui T este defT := dimKerT ; ii) rangullui T este rangT := dimImT .

Rezultatul central al teoriei operatorilor liniari ıntre spatii finit-dimensionale este dat de:

13


Teorema 4.6 (a rangului) Pentru orice T ∈ L(Vn,Wm) avem:

n = defT + rangT . (4.3)

O clasa speciala de operatori liniari este data de:

Definitia 4.7 T se numeste izomorfism (liniar) daca este bijectie. In acest caz, spatiile V , W senumesc izomorfe.

Teorema 4.8 i) Daca T este izomorfism liniar atunci inversa sa T−1 ∈ L(W,V ).ii) Spatiile finit-dimensionale Vn, Wm sunt izomorfe daca si numai daca:

n = m .

Demonstratie i) Fie w1, w2 ∈ W si α, β ∈ K arbitrari. Cum T este surjectie avem wi = T (vi)cu v1, v2 ∈ V . Avem:

T−1(αw1 + βw2) = T−1(αT (v1) + βT (v2)) = T−1(T (αv1 + βv2)) = αv1 + βv2 = αT−1(w1) + βT (w2).

ii) Fie T ∈ L(Vn,Wm) izomorfism. T fiind injectiva avem defT = 0 si T fiind surjectiva avemrangT = m. Din teorema rangului n = m. Invers, fixam o baza BV = {v1, ..., vn} respectiv BW ={w1, ...wn} ın cele doua spatii. Definim:

T (v)i = wi, 1 ≤ i ≤ n

si extindem prin liniaritate:T (xiv)i = xiwi

ceea ce spune ca T ∈ L(Vn,Wn). Avem imediat ca T este izomorfism cu:

T−1(T (xiwi) = Txivi.

Deci Vn si Wn sunt izomorfe via T astfel construit. 2

Observatia 4.9 Punctul ii) al teoremei precedente ne spune un fapt fundamental: ın teoriaspatiilor vectoriale finit-dimensional exista un singur invariant si anume dimensiunea! 2

Cursul 5

Calcul operatorial ın baze

Fixam operatorul liniar T ∈ L(Vn,Wm) si bazele BV = {v1, ..., vn} = {vj}j=1,n respectiv BW ={w1, ..., wm} = {wa}a=1,m ın Vn respectiv Wm. Vom proceda ca ın Cursul 3; pentru indicele j ∈{1, ..., n} fixat vectorul T (vj) ∈Wm se descompune ın mod unic ın baza BW :

T (vj) = BW ·

a1j...amj

= BW ·Aj , T (vj) = abjwb. (5.1)

Fie matricea AT (BV , BW ) ∈ Mm,n(K) ce are drept coloane matricile coloane Aj ∈ Mm,1(K). Prinurmare, avem globalizarea relatiei (5.1):

T (BV ) = BW ·AT (BV , BW ). (5.2)

Matricea AT joaca un rol fundamental ın tot ceea ce urmeaza si de aceea poarta un nume:

Definitia 5.1 AT (BV , BW ) ∈Mm,n(K) se numeste matricea lui T ın raport cu bazele BV , BW .

Fie x ∈ Vn oarecare cu x = BV · xB. Aplicam T acestei relatii liniare:

T (x) = T (BV ) · xB = BW ·AT · xB

ceea ce spune ca avem, din punct de vedere matriceal:

[T (x)]BW = AT · xB . (5.3)

Sa presupunem acum ca schimbam bazele ın ambele spatii: BV → BV via C(BV , BV ) ∈ GL(n,K)

respectiv BW → BW via C(BW , BW ) ∈ GL(m,K). Fie AT respectiv AT matricile operatorului T ın

perechile de baze (BV , BW ) respectiv (BV , BW ). Deci la relatia (5.2) adaugam noua relatie:

T (BV ) = BW · AT . (5.4)

Aplicam T relatiei liniare:BV = BV · C(BV , BV )

si avem:T (BV ) = T (BV ) · C(BV , BV ) =(5.2) BW ·AT · C(BV , BV ). (5.5)

Dar relatia (5.4) se scrie:

T (BV ) = BW · C(BW , BW ) · AT . (5.6)

15


Comparam relatiile (5.5) si (5.6); avem o egalitate vectoriala exprimata ın baza BW si din unici-tatea scrierii ıntr-o baza rezulta:

AT · C(BV , BV ) = C(BW , BW ) · AT (5.7)

ceea ce da matricea noua AT ın functie de cea veche AT :

AT = [C(BW , BW )]−1 ·AT · [C(BV , BV )] . (5.8)

Sa observam si egalitatea dimensionala asociata:

(m,n) = (m,m) · (m,n) · (n, n).

In cele ce urmeaza consideram cazul endomorfismului T ∈ End(Vn) si a perechii de baze (BV , BV )

pentru care folosim notattia simplificata S = C(BV , BV ). Formulele asociate sunt:

T (BV ) = BV ·AT , AT = S−1 ·AT · S (5.9)

ceea ce conduce la urmatoarea notiune:

Definitia 5.2 Matricile A, A ∈ Mn(K) le numim asemenea (sau similare) si notam A ∼ A dacaexista S ∈ GL(n,K) a. ı.:

A = S−1 ·A · S. (5.10)

Observatia 5.3 i) Asemanarea este o relatie de echivalenta pe Mn(K).ii) Date matricile asemnea din definitie avem o interpretare operatoriala asociata: sunt matricile unuiacelasi T ∈ End(Vn) ın doua baze distincte! 2

Problema schimbarii matricii unui endomorfism T la o schimbare de baze ridica problema existenteiunei baze ”cat mai adaptate” la T i.e. a existentei unei baze ın care matricea lui T este cat maisimpla posibil! Din punct de vedere calculatoriu, cea mai simpla forma a matricilor patratice este ceadiagonala:

AT =

λ1 . . . 0

0. . . 0

0 . . . λn

= diag(λ1, ..., λn).

ceea ce ınseamna:

T (x) = diag(λ) ·

x1

...xn

=

λ1x1

...λnx

n

. (5.11)

Suntem astfel condusi la urmatoarea notiune:

Definitia 5.4 λ ∈ K se numeste valoare proprie a endomorfismului T ∈ End(Vn) daca existamacar un vector nenul x a. ı. T (x) = λx. In acest caz, x se numeste vector propriu corespunzator luiλ si multimea lor o notam Vλ. Daca multimea valorilor proprii este nevida atunci o notam Spec(T )si o numim spectrul lui T .

Observatii 5.5 i) Daca λ ∈ Spec(T ) atunci Vλ ⊂sv Vn.ii) Daca λ, µ ∈ Spec(T ) difera atunci Vλ ∩ Vµ = {0}. Mai mult, fie λ1, ..., λk ∈ Spec(T ) diferite six1 ∈ Vλ1 , ..., xk ∈ Vλk . Atunci sistemul de vectori {x1, ..., xk} este liniar independent. Prin urmare,cardinalul multimii Spec(T ) este cel mult n!

Cursul 5 17

In particular, daca cardSpec(T ) = n si avem λ1 < ... < λn atunci sistemul de vectori B ={x1, ..., xn} este o baza a lui Vn si ın raport cuB avem exact forma diagonala doritaAT = diag(λ1, ..., λn)!Acest fapt arata si ne-unicitatea bazei ın raport cu care T are forma diagonala! 2

Sa tratam matriceal problema existentei valorilor proprii λ. Cu formula (5.3) avem:

AT · xB = λxB = λ(In · xB)

unde In este matricea identica de ordin n. Prin urmare, matricea coloana xB satisface sistemul liniaromogen:

(AT − λIn) · xB =

a1j...amj

. (5.12)

Dar, un sistem liniar omogen admite solutii nebanale (ne-nule) daca si numai daca determinantulmatricii sistemului este nul! Am ajuns astfel la urmatoarea notiune:

Definitia 5.6 Polinomul caracteristic al matricii A ∈Mn(K) este PA ∈ Pn(K):

PA(λ) := det(A− λIn). (5.13)

Un rezultat central al teoriei diagonalizarii este:

Teorema 5.7 Polinomul caracteristic, si deci si toti coeficietii sai, este invariant la actiunea prinasemanare a grupului GL(n,K) pe Mn(K) i.e. PS−1AS = PA pentru orice S ∈ GL(n,K).

In acest moment putem prezenta criteriul general de diagonalizare ın care pentru λ ∈ Spec(T )notam m(λ) multiplicitatea lui λ ca radacina a polinomului caracteristic PAT :

Teorema 5.8 (!) Pentru T ∈ End(Vn) fixat exista macar o baza B ın raport cu care AT =diag(λ1, ..., λn) daca si numai daca au loc urmatoarele doua conditii: D1) PAT are toate radacinileλ1, ..., λn ın corpul de scalari K,D2) pentru orice λi avem egalitatea dintre multiplicitatea geometrica dimVλi si multiplicitatea alge-brica m(λi).

Putem reformula doar la nivel matriceal:

Criteriul general de diagonalizare Pentru matricea A ∈Mn(K) exista macar un S ∈ GL(n,K)a. ı. S−1AS = diag(λ1, ..., λn) daca si numai daca se ındeplinesc ambele conditii urmatoare:DM1) polinomul caracteristic PA are toate radacinile λ1, ..., λn ın corpul de scalari K,DM2) pentru orice λi avem: rang(A− λiIn) = n−m(λi)!

Observatia 5.9 Orice polinom cu coeficienti complecsi are toate radacinile complexe; spunem caC este corp algebric ınchis. Prin urmare, conditia D1 , DM1 se pune doar cand suntem peste corpulnumerelor reale. Mai reamintim ca daca un polinom P cu coeficienti reali are radacina compexaz = x+ iy atunci P are ca radacina si conjugata z := x− iy. 2

Incheiem cu expresia desfasurata a polinomului caracteristic:

PA(λ) = (−1)n[λn − δ1λn−1 + δ2λ

n−2 + ...+ (−1)nδn] (5.14)

cu: δ1 = TrA, δn = detA, δ2 =suma determinantilor (minorilor) de ordinul 2 care au diagonala pediagonala principala a lui A, etc! Prin urmare, din invarianta din Teorema 5.7 avem:

TrA = λ1 + ...+ λn, detA = λ1 · ... · λn. (5.15)

Cursul 6

Spatii vectoriale euclidiene

Fixam spatiul vectorial real V . Definim un instrument de ”masurare” a lungimii (i.e. normei)vectorilor din V .

Definitia 6.1 I) Numim produs scalar pe V o forma biliniara, simetrica si pozitiv definita pe Vadica o aplicatie < ·, · >: V × V → R satisfacand:PS1) (pozitiva definire) < v, v >≥ 0 pentru orice v ∈ V si avem egalitate doar pentru vectorul nul 0,PS2) (simetria) < u, v >=< v, u > pentru orice u, v ∈ V ,PS3) (biliniaritatea) < αu+ βv, w >= α < u, w > +β < v, w > pentru orice triplet de vectori din V .Perechea (V,< ·, · >) o numim spatiu vectorial euclidian iar daca < u, v >= 0 atunci spunem ca acestivectori sunt ortogonali sau perpendicularisi notam u⊥v!II) Fixam spatiul euclidian (V,<>). Functia norma este ‖‖ : V → R+ = [0,+∞), u =

√< u, u >.

Daca ‖u‖ = 1 spunem ca u este versor.

Observatii 6.2 i) In PS3 am scris doar liniaritatea produsului scalar ın primul argument deoarecedatorita simetriei avem liniaritatea si ın al doilea argument: < u, αv+βw >= α < u, v > +β < u, w >.ii) Din proprietatile PS obtinem imediat proprietatile normei:N1) (pozitiva definire) ‖u‖ ≥ 0; ‖u‖ = 0⇔ u = 0,N2) (pozitiva omogenitate) ‖λu‖ = |λ|‖u‖ pentru orice scalar real λ,N3) (inegalitatea triunghiului) ‖u+ v‖ ≤ ‖u‖+‖v‖ cu egalitate daca si numai daca u, v sunt coliniarisi de acelasi sens i.e. exista scalarul λ > 0 a. ı. v = λu.In disciplina matemarica numita Analiza functionala, utila ın studierea ecuatiilor Fizicii matematice,exista notiunea de spatiu vectorial (real) normat ca fiind o pereche (V, ‖ · ‖) unde ‖ · ‖ satisface exactaxiomele N1−N3! 2

Doua rezultate fundamentale ın geometria spatiilor spatiilor euclidiene sunt date de:

Teorema 6.3 (Pitagora) Fie u, v ∈ V \{0}. Avem u⊥v daca si numai daca ‖u+ v‖ = ‖u‖+‖v‖i.e. functia norma devine liniara doar cand se aplica pe suma a doi vectori ortogonali!

Inegalitatea CBS (Cauchy-Buniakowski-Schwarz) Pentry u, v ∈ V arbitrari avem | < u, v > | ≤‖u‖‖v‖ cu egalitate daca si numai daca u, v sunt coloniari!

Aceasta inegalitate ne permite definirea de unghiuri:Definitia 6.4 Daca u, v sunt ambi vectori nenuli atunci definim unghiul dintre ei ca fiind ϕ ∈ [0, π]

dat de:

cosϕ :=< u, v >

‖u‖‖v‖(6.1)

ceea ce spune ca u⊥v ınseamna ϕ = π2 .

19


In continuare, presupunem ca V are dimensiunea finita n si fixam baza B = {v1, ..., vn}. Pentru

vectorii arbitrari x, y ∈ Vn avem asociate via B matricile coloana xB =

x1

...xn

, yB =

y1

...yn

. Cu

regula Einstein reamintim ca: x = xivi, y = yj vj . Prin urmare, folosind biliniaritatea avem relatiamatriceala:

< x, y >=< xivi, yj vj >= xi· < vi, vj > ·yj = xigijy

j =t xB ·G(B) · yB (6.2)

unde am notat matricea G(B) = (gij =< vi, vj >) ∈Mn(R) cu gij =< vi, vj >.

Prin urmare, produsul scalar este atat de complicat pe cat de complicata este matricea G(B) ceeace ne determina sa cautam expresii mai simple, pe modelul problemei diagonalizarii. Cum vi 6= 0fiind vector ıntr-o baza avem gii > 0 dar gij cu i 6= j poate fi 0. Prin urmare, cea mai simpla matriceG din punct de vedere multiplicativ satisfacand aceste conditii este chiar matricea unitate In!

Definitia 6.5 Baza Bo = {e1, ..., en} o numim ortonormata (relativ la < ·, · >!) daca G(B0) = Ini.e. ei sunt toti versori, ortogonali doi cate doi.

Prin urmare, ıntr-o baza ortonormata avem:

< x, y >=t xBo · yBo = x1y1 + ...+ xnyn, ‖x‖ =

√(x1)2 + ...+ xn2 (6.3)

care sunt exact expresia produsului scalar euclidian < ·, · >e si a normei euclidiene ‖ · ‖e pe Rn. Deci,daca o baza oarecare B identifica Vn si Rn doar la nivel algebric, o baza ortonormata Bo identifica celedoua spatii (Vn, < ·, · >), (Rn, < ·, · >e) si la nivelul geometric adica al produsului scalar si normei!

Prin urmare suntem interesati de obtinerea de baze ortonormate. Exista un procedeu pentruaceasta problema:

Ortonormarea Gram-Schmidt

In spatiul euclidian (Vn, < ·, · >) se dau 2 ≤ m ≤ n vectori B = {v1, ..., vm} avand dimspanB =m = rangB, deci vectorii din B sunt liniar independenti, si se cere o baza ortonormata B0 ın spanB.

Pasul 1: Se calculeaza u1 = v1 si norma ‖u1‖.

Pasul j = 2, ...,m: Pentru i = 1, j − 1 calculam mai ıntai scalarii αij =<vj ,ui>‖ui‖2 apoi vectorul si

scalarul:uj = vj − αij ui, ‖uj‖.

Liniara independenta a sistemului B ne asigura faptul ca vectorii uj sunt nenuli!

Raspunsul problemei: B0 = {e1 = u1‖u1‖ , ..., em = um

‖um‖}. Sa observam ca baza B′ = {e′1 =

u1, ..., e′m = um} este doar ortogonala dar nu ortonormata!

Cursul 7

Spatiul vectorilor liberi

Fie E3 spatiul euclidian 3-dimensional, construit (spre exemplu) cu axiomatica Hilbert, si fie puncteleA,B ∈ E3. Celor interesati de axiomatica Hilbert le recomandam pagina personala:https://www.math.uaic.ro/∼mcrasm/depozit/axiom.pdf.

Definitia 7.1 Perechea ordonata (A,B) o numim segment orientat si o notam AB. Daca A 6= Batunci AB ıl numim segment orientat nenul iar daca A = B spunem ca avem segmentul orientat nulAA. Punctul A ıl numim originea iar B ıl numim extremitatea lui AB. Daca A 6= B dreapta AB onumim dreapta suport a lui AB; daca A = B dreapta suport este nedeterminata. Segmentele orientatenenule AB,CD au aceeasi directie daca dreptele lor suport coincid sau sunt paralele. Deci putemdefini directia segmentului orientat nenul AB ca fiind multimea tuturor dreptelor paralele cu AB lacare adaugam dreapta AB. Prin conventie, un segment orientat nul are aceeasi directie cu orice altsegment orientat (nul sau nenul). Segmentele orientate cu aceeasi dreapta suport le numim coliniareiar cele cu drepte suport paralele le numim necoliniare.

Cum relatia de paralelism a dreptelor este simetrica si tranzitiva, coincidenta dreptelor suportimplica reflexivitatea relatiei ”a avea aceeasi directie” si deci avem:

Propozitia 7.2 Relatia ”a avea aceeasi directie” este o relatie de echivalenta pe multimea seg-mentelor orientate.

Definitia 7.3 Segmentele orientate nenule AB,CD avand aceeasi directie, au acelasi sens daca:(i) sunt coliniare si semidreptele (AB, (CD se intersecteaza dupa o semidreapta,(ii) sunt necoliniare si extremitatile B,D sunt ın acelasi semiplan determinat de dreapta AC.Prin conventie, un segment orientat nul are acelasi sens cu orice alt segment orientat (nul sau nenul).

O analiza detaliata a configuratiilor geometrice implicate conduce la:

Propozitia 7.4 Relatia ”a avea acelasi sens” este o relatie de echivalenta pe multimea segmentelororientate avand aceeasi directie.

Fiind interesati ın calculul distantelor introducem:

Definitia 7.5 Numim marimea (sau lungimea sau modulul) segmentului orientat AB numarulreal pozitiv ‖AB‖ = de (A,B) unde de este distanta euclidiana pe dreapta AB (pentru cazul A 6= B)masurata cu o unitate de masura fixata, respectiv ‖AA‖ = 0. Spunem ca segmentele orientateAB,CD au aceeasi marime daca ‖AB‖ = ‖CD‖.

Cum relatia de egalitate a numerelor reale este o relatie de echivalenta rezulta ca avem:

Propozitia 7.6 Relatia ”a avea aceeasi marime” este o relatie de echivalenta pe multimea seg-mentelor orientate.

21


Definitia 7.7 Segmentele orientate AB,CD se numesc echipolente segmente echipolente si notamAB ∼ CD daca:(i) au aceeasi directie,(ii) au acelasi sens,(iii) au aceeasi marime.

Corolarul 7.8 Relatia de echipolenta este o relatie de echivalenta pe multimea segmentelor ori-entate.

Definitia 7.9 O clasa de echivalenta ın raport cu relatia de echipolenta o numim vector liber.Notam cu V3 multimea vectorilor liberi.

Deci segmentul orientat AB este reprezentant al vectorului liber {CD;AB ∼ CD} notat−−→AB si

−−→AB =

−−→CD ⇔ AB ∼ CD. Cum un segment orientat nul nu poate fi echipolent, datorita marimii

nule, decat tot cu un segment orientat nul, avem vectorul nul 0 = {AA;A ∈ E3} =−→AA. Cand nu

dorim specificarea unui segment orientat anume (adica a unui reprezentant) pentru un vector liberdat, acesta ıl vom nota a, b, c, . . . , u, v, w. Alte notatii:

-dat planul π notam V2 (π) = V2 = {−−→AB;A,B ∈ π}. Spunem ca V2 (π) este planul vectorial director

al lui π.-data dreapta d notam V1 (d) = V1 = {

−−→AB;A,B ∈ d}. Spunem ca V1 (d) este directia lui d iar un

element u ∈ V1 (d) \{0} ıl numim vector director al lui d.

Data importanta relatiei de echipolenta ın definirea vectorilor liberi, dam o caracterizarea a acesteirelatii:

Propozitia 7.10 Fie AB,CD nenule.(i) Daca AB, CD sunt coliniare atunci AB ∼ CD ⇔ segmentele (AD) , (CB) au acelasi mijloc.(ii) Daca AB, CD sunt necoliniare atunci AB ∼ CD ⇔ ABDC este paralelogram.In consecinta AB ∼ CD ⇒ AC ∼ BD.

Un rezultat foarte important pentru cele ce urmeaza este:

Propozitia 7.11 Fie u ∈ V3 oarecare si O ∈ E3 un punct fixat. Atunci exista si este unic X ∈ E3

a.ı.−−→OX = u. Spunem ca am aplicat vectorul u ın punctul X.

Prin urmare, exista o bijectie ϕO : V3 → E3, u → X. Astfel, putem spune ca V3 si E3 sunt ınbijectie, dar aceasta bijectie este necanonica deoarece depinde de punctul O ales!

Definitia 7.12 Dat u ∈ V3 numim directia, sensul si marimea lui u directia, sensul si marimeaunui reprezentant oarecare al sau. Doi vectori cu aceeasi directie ıi numim coliniari. Marimea ‖u‖ omai numim norma lui u. Un vector de norma 1 ıl numim vector unitar sau versor.

Lema 7.13 Daca AB ∼ A′B′ si BC ∼ B′C ′ atunci AC ∼ A′C ′.

Demonstratie Folosind consecinta din propozitia 7.10 avem AA′ ∼ BB′ si BB′ ∼ CC ′. Dintranzitivitatea relatiei de echipolenta avem AA′ ∼ CC ′ adica AC ∼ A′C ′. 2

Fie u, v ∈ V3 si A ∈ E3 oarecare dar fixat. Aplicand u ın A obtinem punctul B si aplicand vectorul

v ın B obtinem punctul C. Din lema precedenta vectorul−→AC nu depinde de punctul initial A. Notam

acest vector cu u+ v.

Definitia 7.14 Adunarea vectorilor este aplicatia + : V3 × V3 → V3, (u, v) → u + v. Reguladescrisa anterior de obtinere a sumei vectorilor o numimregula triunghiului.

Teorema 7.15 Perechea (V3,+) este grup abelian.

Cursul 7 23

Demonstratie Asociativitatea Fie u, v, w ∈ V3 si A ∈ E3. Fie punctele B,C,D a.ı. u =−−→AB,

v =−−→BC, w =

−−→CD. Avem: {

(u+ v) + w =−→AC +

−−→CD =

−−→AD

u+ (v + w) =−−→AB +

−−→BD =

−−→AD.

Comutativitatea Fie u, v,A,B,C ca mai sus si punctul D a.ı. v =−−→AD. Din AD ∼ BC avem

AB ∼ DC i.e. u =−−→DC. Rezulta: {

u+ v =−→AC

v + u =−−→AD +

−−→DC =

−→AC.

Element neutru este vectorul nul iar inversul lui u =−−→AB este −u =

−−→BA. 2

Observatii 7.16 a) Din comutativitatea adunarii obtinem o a doua regula de ınsumare a vectorilor

si anume regula paralelogramului: daca u =−−→AB si v =

−−→BC atunci u+ v are ca reprezentant diagonala

AC a paralelogramului ABCD.

b) Suma u+(−v) o notam u−v si se numeste diferenta vectorilor u, v. Daca u =−−→AB, v =

−−→BC =

−−→AD

atunci u−v =−−→AB+

−−→DA =

−−→DB i.e. u−v are ca reprezentant segmentul orientat ce uneste extremitatea

lui v cu extremitatea lui u cand u, v sunt aplicati ın acelasi punct!

-�RABCDuvu− vFig. 1 Diferenta vectorilor

c) Folosind asociativitatea adunarii putem defini suma a n ∈ N∗, n ≥ 3, vectori u1, . . . , un. Fie

A ∈ E3 fixat si punctele A1, . . . , An a.ı. u1 =−−→AA1, . . . , un =

−−−−−→An−1An. Atunci u1 + . . . + un =

−−→AAn.

2

Definitia 7.17 Inmultirea cu scalari a vectorilor este aplicatia ·R : R × V3 → V3, (λ, u) → λuunde:(i) λu = 0 daca λ = 0 sau u = 0,(ii) λu are directia lui u, sensul acelasi cu u daca λ > 0 respectiv contrar lui u daca λ < 0 si‖λu‖ = |λ|‖u‖, ın celelalte cazuri relativ la λ si u.

Se arata imediat urmatoarele proprietati ale ınmultirii cu scalari:(λ+ µ)u = λu+ µuλ (u+ v) = λu+ λvλ (µu) = (λµ)u

1 · u = u

care se pot considera drept distributivitati generalizate. Din aceste 4 proprietati si teorema 7.15rezulta c:

Teorema 7.18 Tripletul (V3,+, ·R) este un spatiu vectorial real.

Din acest motiv numim V3 spatiul vectorilor liberi. Un calcul imediat arata ca V1 (d) , V2 (π) suntsubspatii vectoriale ın V3 iar daca d ⊂ π atunci V1 (d) este subspatiu vectorial ın V2 (π).

Cursul 8

Spatiul vectorilor liberi: structuraeuclidiana

Fie u, v ∈ V3\{0} si punctul A ∈ E3 fixat. Aplicand u, v ın A obtinem punctele B,C a.ı u =−−→AB, v =

−→AC. Fie A′ alt punct si B′, C ′ punctele obtinute ın maniera precedenta. Avem ca ]BAC ≡ ]B′A′C ′

ca fiind unghiuri cu laturile respectiv paralele. Acest fapt ne permite sa introducem:

Definitia 8.1 i) Numim ]BAC unghiul orientat dintre u si v si-l notam ϕ = ] (u, v). Datoritaorientarii consideram ϕ ∈ [−π, π].ii) Vectorii u, v ıi numim ortogonali sau perpendiculari daca ϕ = ±1dr = ±π

2 si notam u⊥v. Prindefinitie, vectorul nul este ortogonal pe orice alt vector.

Ortogonalitatea este o relatie:(i) simetrica: u⊥v ⇒ v⊥u deoarece ] (v, u) = −] (u, v) acesta fiind motivul alegerii ϕ ∈ [−π, π],(ii) biliniara: u⊥v, u⊥w ⇒ u⊥ (λv + µw).Din aceste proprietati rezulta imediat:

Propozitia 8.2 (i) Daca u⊥S= sistem oarecare de vectori, ın sensul ca u este ortogonal pe oricevector din S, atunci u⊥Span (S).(ii) Dat u ∈ V3 multimea u⊥ = {v ∈ V3; v⊥u} este subspatiu vectorial ın V3.

Presupunand S = {v1, ..., vn} si definind S⊥ = {v ∈ V3; v⊥vi, 1 ≤ i ≤ n} avem ca S⊥ =n⋂i=1

v⊥i si

cum intersectia de subspatii vectoriale este subspatiu vectorial avem:

Propozitia 8.3 S⊥ este subspatiu vectorial ın V3.

In cele ce urmeaza, pentru unificarea expunerii, notam generic Vn unul din spatiile vectorialeV3, V2 (π) , V1 (d). Deci n ∈ {1, 2, 3} desi, ceea ce urmeaza ın acest Curs se generalizeaza mot-a-motla un Vn general i.e. cu n ∈ N∗ oarecare. Operatia fundamentala a calculului analitic n-dimensional,cea care permite masurarea distantelor si a unghiurilor, este:

Definitia 8.4 Numim produs scalar pe Vn aplicatia <,>: Vn × Vn → R:

< u, v >= ‖u‖‖v‖ cos] (u, v) . (8.1)

Proprietati imediate ale produsului scalar:PS1) pozitiva definire: < u, u >≥ 0,∀u ∈ Vn;< u, u >= 0⇔ u = 0,PS2) simetria: < u, v >=< v, u >,

25


PS3) biliniaritatea: < λu+µv,w >= λ < u,w > +µ < v,w >, datorita simetriei avem liniaritateasi ın primul membru,PS4) caracterizarea ortogonalitatii: u⊥v ⇔< u, v >= 0.

Deci produsul scalar astfel definit este un exemplu al notiunii generale din Cursul 6 si deci(Vn, < ·, · >) este un spatiu vectorial euclidian!

Prin urmare, putem utiliza toate formulele introduse anterior:{‖u‖ =

√< u, u >

u, v ∈ Vn\{0} ⇒ cos] (u, v) = <u,v>‖u‖‖v‖ .

(8.2)

Semnificatia acestor relatii e aceea ca produsul scalar este, ın fapt, obiectul primar al geometrieieuclidiene, generand urmatorul ”turn” de structuri:

produs scalar (pe Vn)(8.22)→ unghiul dintre vectori (pe Vn)↘ (8.21)

norma (pe Vn)↓

distanta euclidiana (pe En).

(8.3)

Sa detaliem ultima sageata a schemei precedente.

Definitia 8.5 (i) Numim reper pe dreapta d un ansamblu R = {O; e1} cu O ∈ d si B = {e1} bazaın V1 (d) adica e1 6= 0.

-dOe1Fig. 2 Reper pe dreapta d

(ii) Numim reper ın planul π un ansamblu R = {O; e1, e2} cu O ∈ π si B = {e1, e2} baza ın V2 (π)adica e1, e2 sunt vectori necoliniari (deci si nenuli!).

π-�Oe1e2Fig. 3 Reper ın planul π

(iii) Numim reper ın spatiu un ansamblu R = {O; e1, e2, e3} cu O ∈ E3 si B = {e1, e2, e3} baza ınV3 adica e1, e2, e3 sunt necoplanari (deci si necoliniari, ın particulari nenuli!).

-6Oe1e2e3Fig. 4 Reper ın spatiu

In toate cazurile O ıl numim originea reperului iar B baza reperului. Fie punctul M ∈ E3 oarecare

dar fixat. Vectorul rM =−−→OM ıl numim vectorul de pozitie al lui M ın raport cu R. Descompunand

acest vector ın baza B avem rM = x1e1 + x2e2 + x3e3 = xiei; scalarii(x1, x2, x3

)unic determinati

de rM deci de M , se numesc coordonatele lui M ın raport cu R. Prin urmare, reperul R induce obijectie:

R : E3 → R3,M → XM = X =

x1

x2

x3

.

In planul π avem bijectia:

R : π → R2,M → XM = X =

(x1

x2

)

Cursul 8 27

daca M ∈ π are vectorul de pozitie rM =−−→OM = x1e1 + x2e2 = xiei ın raport cu reperul R.

Analog, pe dreapta d avem bijectia: R : d → R,M → XM = X =(x1)

daca M are vectorul de

pozitie rM =−−→OM = x1e1 ın raport cu reperul R. Pentru simplificarea scrierii vom utiliza notatiile:

· M(x1, x2, x3

)sau M

(xi),

· M(x1, x2

)sau M

(xi),

· M(x1)

sau M (x).

Fie acum M,N ∈ E3 (ın particular, M,N ∈ π respectiv M,N ∈ d) avand vectorul de pozitierM , rN ın raport cu un reper fixat ın spatiu (ın particular ın π respectiv pe d). Avem:

−−→MN =

−−→ON −

−−→OM = rN − rM (8.4)

ceea ce implica:

de (M,N) = ‖−−→MN‖ = ‖rM − rN‖. (8.5)

Definitia 8.8 Un reper R ıl numim ortonormat daca baza sa B este ortonormata.

Pentru a deosebi acest caz special de baze de celelalte se foloseste si o notatie speciala:· ın V3, B = {i, j, k},· ın V2 (π), B = {i, j},· ın V1(d), B = {i}.Bineınteles, pentru utilizarea ın continuare a conventiei lui Einstein, vom folosi si vechea notatie,tinand cont ca, dupa efectuarea calculelor avute ın vedere, sa rescriem rezultatul final si ın nouanotatie. Formulele fundamentale devin ıntr-un reper ortonormat:

< u, v >= δijuivj =

n∑i=1

uivi = u1v1 + . . .+ unvn

‖u‖ =√< u, u > =

√n∑i=1

(ui)2 =

√(u1)2 + . . .+ (un)2

u, v 6= 0⇒ cos] (u, v) = u1v1+...+unvn(n∑i=1

(ui)2) 1

2(

n∑i=1

(vi)2) 1

2

u⊥v ⇔ u1v1 + . . .+ unvn = 0

de (A,B) =√(

x1B − x1

A

)2+ . . .+

(xnB − xnA

)2(8.6)

daca avem punctele A(x1A, . . . , x

nA

), B

(x1B, . . . , x

nB

).

Forma algebrica a inegalitatii CBS este:

|n∑i=1

uivi|2 ≤

(2∑i=1

(ui)2)( n∑

i=1

(vi)2)

. (8.7)

Avem egalitate daca si numai daca | cos] (u, v) | = 1, echivalent vectorii u, v sunt coliniari, echivalent

exista λ a.ı. v = λu, echivalent avem proportionalitatea v1

u1= . . . = vn

un (= λ).

Identitatea paralelogramului este specifica normelor euclidiene, adica celor generate de un produsscalar:

Propozitia 8.9 ∀u, v ∈ Vn avem:

‖u+ v‖2 + ‖u− v‖2 = 2(‖u‖2 + ‖v‖2

). (8.8)


Demonstratie Se aduna relatiile:{‖u+ v‖2 = ‖u‖2 + ‖v‖2 + 2 < u, v >‖u− v‖2 = ‖u‖2 + ‖v‖2 − 2 < u, v > .

2

Sa mai observam ca prima din relatiile precedente este exact teorema Pitagora generalizata sauteorema cosinusului:

‖u+ v‖2 = ‖u‖2 + ‖v‖2 + 2‖u‖‖v‖ cos] (u, v) (8.9)

sau ınca, alegand u =−−→BA, v =

−→AC:

BC2 = AB2 +AC2 + 2AB ·AC · cos(π − A

)deoarece ]

(−−→BA,

−→AC)

= π − A. Literal, avem:

a2 = b2 + c2 − 2bc cos A. (8.10)

Evident, pentru triunghiul dreptunghic ın A, i.e. A = π2 , avem teorema Pitagora ce spune ca patratul

ipotenuzei (latura ce se opune unghiului drept A) este egala cu suma patratelor catetelor.Incheiem acest curs cu:

Aplicatii economice ale produselor scalareSa consideram urmatorul exemplu. O fabrica de tricotaje produce ıntr-o luna:

·x1 tricouri marimea S (short),·x2 tricouri marimea M (medium),·x3 tricouri marimea L (large),·x4 tricouri marimea XL (extra-large).

Costul de realizare, ın unita ti monetare (u.m.), pe unitatea de produs este:·y1 u.m. pentru S,·y2 u.m. pentru M,·y3 u.m. pentru L,·y3 u.m. pentru XL.

Prin urmare, cheltuielile de productie pe acea luna sunt date de expresia x1y1 + . . .+x4y4 care esteexact produsul scalar din R4 al vectorilor produse=(x1, . . . , x4) si costuri=(y1, . . . , y4). Evident cadupa acest model se pot imagini multe alte exemple de natura economica ce pun ın evidenta notiuneade produs scalar.

Cursul 9

Produsul vectorial. Produse de cate 3vectori

Expunerea din Cursul precedent ridica (macar) doua ıntrebari naturale:1) Am afirmat ca produsul scalar este definit pe orice Vn. Exista oare o operatie specifica dimensiunii3? Dar 2 respectiv 1?2) Produsul scalar este o forma biliniara pe Vn i.e. are valori ın corpul de scalari; pentru teoriaformelor k-liniare pe un spatiu vectorial trimitem la orice curs (mai general) de Algebra Liniara.Exista oare vreo lege de compozitie interna pe Vn?

Pentru ambele ıntrebari, operatia numita ”produs vectorial” ofera raspunsuri. Inainte de a definiaceasta aplicatie mai introducem o proprietate a spatiului fizic, aflata ın legatura cu notiunea deorientare si unghi orientat.

Definitia 9.1 Sistemul S de 3 vectori ıl numim pozitiv orientat daca satisface regula burghiuluidrept: rotind v1 spre v2 pe drumul cel mai scurt, avem aceeasi miscare ca a unui burghiu ce sedeplaseaza ın sensul lui v3. In caz contrar S este negativ orientat.

Putem da si alta interpretare a pozitivei orientari: daca v1, v2, v3 sunt aplicati ın acelasi punctatunci un observator situat ın extremitatea lui v3 vede unghiul ] (v1, v2) ca fiind orientat trigonometrici.e. antiorar. Deci pentru acel observator ] (v1, v2) ∈ [0, π].

Definitia 9.2 Numim produs vectorial aplicatia × : V3×V3 → V3, (u, v)→ u× v determinata de:i) u× v = 0 daca u, v sunt coliniari,ii) ın caz contrar vectorul u× v are:PV1) directia perpendiculara pe planul vectorial Span (u, v) determinat de u si v,PV2) sensul a.ı. S = {u, v, u× v} este baza orientata pozitiv,PV3) ‖u× v‖ este aria paralelogramului generat de u si v.

Proprietati imediate ale produsului vectorial:PV4) ortogonalitate pe factori: < u× v, u >=< u× v, v >= 0, din PV1,PV5) antisimetrie: u× v = −v × u, din PV2,PV6) biliniaritate: u× (λv + µw) = λu× v+µu×w, din PV5 rezulta si liniaritatea ın primul factor.

Produsul vectorial raspunde ıntrebarilor de la ınceputul Cursului:1) o operatie cu proprietatile PV4-PV6 este specifica lui R3 si R7!2) produsul vectorial este lege interna pe V3 iar biliniaritatea spune ca (V3,+, ·R,×) este o algebrareala (antisimetrica) 3-dimensionala.

29


Relativ la norma produsului vectorial reamintim ca aria paralelogramului ABCD este AB ·AD ·sin]

(−−→AB,

−−→AD

)ceea ce conduce la:

PV7) ‖u× v‖ = ‖u‖‖v‖| sin] (u, v) |.

Drept consecinta a lui PV7 si a identitatii trigonometrice fundamentale cos2 ϕ+ sin2 ϕ = 1 avem:PV8) Identitatea Lagrange: < u, v >2 +‖u× v‖2 = ‖u‖2‖v‖2.

Sa remarcam ca daca u si v sunt versori ortogonali atunci ‖u × v‖ = 1 si din PV4 rezulta ca{u, v, u×v} este o baza ortonormata! Acest fapt ne determina sa fixam baza ortonormata B = {i, j, k}pe care o consideram si pozitiv orientata. Analizand directia, sensul si norma lui i×j prin comparatiecu proprietatile corespondente ale lui k avem ca i × j = k. Permutarea circulara a vectorilor lui Binduce si egalitatile: j × k = i si k × i = j i.e. avem tabelul:

× i j k

i 0 k −jj −k 0 i

k j −i 0

.

Fie u si v ∈ V3 oarecare cu u = u1i+ u2j + u3k =(u1, u2, u3

), v = v1i+ v2j + v3k =

(v1, v2, v3

).

Avem atunci, folosind tabelul:

u× v =(u1i+ u2j + u3k

)×(v1i+ v2j + v3k

)=

=(u2v3 − u3v2

)i+(u3v1 − u1v3

)j +

(u1v2 − u2v1

)k

adica valoarea determinantului urmator, obtinuta prin dezvoltare formala dupa prima linie:

u× v =

∣∣∣∣∣∣i j ku1 u2 u3

v1 v2 v3

∣∣∣∣∣∣ . (9.1)

Rezulta ca: ‖u× v‖ =

√(u2v3 − v3u2)2 + (u3v1 − u1v3)2 + (u1v2 − u2v1)2.

In continuare introducem doua produse a trei vectori:

Definitia 9.3 Numim produs mixt in V3 aplicatia (·, ·, ·) : V3 × V3 × V3 = (V3)3 → R data de:

(u, v, w) =< u, v × w > . (9.2)

Datorita antisimetriei produsului vectorial ordinea ın produsul mixt este esentiala!

Din PV1 rezulta imediat:

Propozitia 9.4 i) (u, v, w) = 0⇔ vectorii u, v, w sunt coplanari.ii) In consecinta, sistemul de vectori {u, v, w} constituie o baza ın V3 daca si numai daca (u, v, w) 6= 0.

Semnificatia geometrica a produsului mixt este urmatoarea: valoarea sa reprezinta volumul (ori-entat) paralelipipedului generat de cei 3 vectori aplicati ın acelasi punct, avand semnul + respectiv− dupa cum sistemul {u, v, w} este pozitiv sau negativ orientat! O consecinta importanta a acestuifapt este aceea ca, deoarece volumul unui paralelipiped nu depinde de ordinea muchiilor, produsulmixt este invariant la permutari circulare:

(u, v, w) = (v, w, u) = (w, u, v) (9.3)

ın timp ce permutarea a doar doi dintre vectori schimba semnul:

(u, v, w) = − (u,w, v) . (9.4)

Cursul 9 31

Pentru expresia analitica a produsului mixt fie B = {i, j, k} baza ortonormata, pozitiv orientatasi vectorii u, v ca mai sus, repectiv w = w1i+ w2j + w3k =

(w1, w2, w3

). Rezulta:

(u, v, w) = u1(v2w3 − v3w2

)+ u2

(v3w1 − v1w3

)+ u3

(v1w2 − v2w1

)(9.5)

adica exact valoarea determinantului urmator, dezvoltat dupa prima linie:

(u, v, w) =

∣∣∣∣∣∣u1 u2 u3

v1 v2 v3

w1 w2 w3

∣∣∣∣∣∣ . (9.6)

Acest fapt ımpreuna cu (9.3) si (9.4) conduce la proprietatea de 3-liniaritate a produsului mixt adicaliniaritatea ın fiecare din cei 3 factori! Formula (9.6) si propozitia 9.4 conduc la:

Propozitia 9.5 Sistemul de vectori {u, v, w} constituie o baza ın V3 daca si numai daca:∣∣∣∣∣∣u1 u2 u3

v1 v2 v3

w1 w2 w3

∣∣∣∣∣∣ 6= 0.

Observatia 9.6 Desi am precizat ca ıntr-un Vn oarecare nu mai avem notiunea de produs vectoriala 2 vectori, exista cea de produs vectorial a (n− 1) vectori si ın consecinta, prin extinderea relatiei(9.2), avem notiunea de produs mixt a n vectori pentru care se obtine o formula analoaga lui (9.6).Prin urmare, se extinde si caracterizarea ultimei propozitii la n ≥ 3: {v1, . . . , vn} este baza ın Vndaca si numai daca: ∣∣∣∣∣∣

v11 . . . vn1. . . . . . . . .vn1 . . . vnn

∣∣∣∣∣∣ 6= 0

unde liniile sunt date de componentele vectorilor ıntr-o baza initial precizata!

Am introdus produsul vectorial ca lege de compozitie pe V3 si apare ca natural studiul perechii(V3,×) ca structura algebrica. Datorita lui PV4 aceasta operatie de produs vectorial nu are ele-ment neutru si atunci mai ramne de studiat asociativitatea sa ceea ce ne conduce la introducereaurmatorului produs:

Definitia 9.7 Numim dublul produs vectorial al vectorilor u, v, w, vectorul u× (v × w). Din nouordinea este esentiala!

Teorema 9.8 Avem:

u× (v × w) =< u,w > v− < u, v > w. (9.7)

Demonstratie Din: {u× (v × w)⊥v × wSpan (v, w)⊥v × w

rezulta ca u× (v × w) ∈ Span (v, w) i.e. u× (v × w) = λv + µw.

Daca v si w sunt coliniari i.e. w = εv atunci ambii membrii ai relatiei (9.7) sunt zero deci egali.Prin urmare, consideram v, w necoliniari. Rescalarile v → αv,w → βw invariaza relatia (9.7) deciputem considera v, w ca fiind versori. Daca ] (v, w) = π

2 putem alege v = j, w = k si atunci avem:

u× (v × w) = u× i = u3j − u2k = u3v − u2w =< u,w > v− < u, v > w

ceea ce voiam. Pentru cazul general ] (v, w) ∈ (0, π]\{π2 } un calcul algebric repetat stabileste con-cluzia. 2

Avem astfel raspunsul la ıntrebarea ridicata anterior: produsul vectorial nu este asociativ darsatisface o slabire a asociativitatii data de:


Corolarul 9.9 Are loc identitatea Jacobi:

u× (v × w) + v × (w × u) + w × (u× v) = 0. (9.8)

Demonstratie Se ınsumeaza (9.7) si permutarile sale circulare. 2

O algebra reala (A,+, ·R, ·) pentru care ınmultirea satisface:L1) antisimetria: x · y = −y · x,L2) identitatea Jacobi: x (yz) + y (zx) + z (xy) = 0se numeste algebra Lie. Deci (V3,+, ·R,×) este o algebra Lie 3-dimensionala.

Cursul 10

Aplicatii geometrice si fizice alecalculului vectorial

A) Aplicatii fizice ale calculului vectorial

Exista aplicatii directe ale calculului vetorial ın fizica. Vom enumera ın continuare doar catevacu mentiunea ca ın fizica vectorii se noteaza cu o sageta deasupra si nu cu o linie cum o facem ınmatematica.

I) Aplicatie a produsului scalar

Fie−→F campul vectorial al fortelor ce actioneaza asupra unui sistem fizic provocandu-i o deplasare

descrisa de vectorul −→s . Atunci lucrul mecanic (work, ın engleza) asociat perechii (−→F ,−→s ) este: W =<

−→F ,−→s >. Rezulta ca exista situatia (netriviala) cand lucrul mecanic este nul si anume

−→F ⊥−→s . Este

exact cazul miscarii circulare cand−→F este forta centripeta iar −→s este tangenta la cercul traiectorie.

De asemeni, exista cazuri de lucru mecanic negativ cand ](−→F ,−→s ) ∈ (π2 , π].

II) Aplicatii ale produsului vectorial

1) (ın mecanica) Fie forta−→F ce produce o miscare de rotatie avand axa de rotatie d; spre exemplu

rotim cu mana o roata de bicicleta la care d este axul rotii. Daca −→r este vectorul de la punctul de

aplicatie la axa d atunci momentul fortei este:−→M = −→r ×

−→F .

2) (ın electromagnetism) Consideram o particula de sarcina q ce se deplaseaza cu viteza −→v ın

campul magnetic de inductie−→B . Atunci forta ce actioneaza asupra particulei se numeste forta Lorentz

dupa numele lui H. A. Lorentz (1853-1928) si are expresia:−→F = q−→v ×

−→B.

B) Distante, arii, volume

Fie A,B,C,D ∈ E3 avand ın raport cu un reper R ortonormat si pozitiv orientat, coordonatele(xA, yA, zA), ..., (xD, yD, zD).

I) Distanta euclidiana dintre A si B este:

de(A,B) =√

(xB − xA)2 + (yB − yA)2 + (zB − zA)2. (10.1)

In particular, daca A,∈ d = Ox si avem A(xA, 0, 0), B(xB, 0, 0) atunci:

de(A,B) =1

1!|xB − xA|. (10.2)

II) Fie S(ABC) aria ∆-ului ABC si ABCD paralelogramul cu A′ simetricul lui A fata de mijlocul

lui BC (BC este diagonala). Cum S(ABC) = 12S(ABA′C) avem: S(ABC) = 1

2‖−−→AB ×

−→AC‖ i.e.:

S(ABC) =1

2‖(rB − rA)× (rC − rA)‖. (10.3)

33

34 I. Bucataru, Crasmareanu

In particular, daca A,B ∈ π = xOy si avem A(xA, yA, 0), B(xB, yB, 0) atunci:

(rB − rA)× (rC − rA) =i j k

xB − xA yB − yA 0xC − xA yC − yA 0

=xB − xA yB − yAxC − xA yC − yA

k

ceea ce da:

S(ABC) =1

2!

xB − xA yB − yAxC − xA yC − yA

. (10.4)

III) Fie V (ABCD) volumul tetraedrului ABCD si paralelipipedulABA′CC ′DB′A′′ obtinut prin dedublarea bazeiABC la paralelogramulABA′C ca la punctul anterior;

deci−−→AD ‖

−−→BB′ ‖

−−−→A′A′′ ‖

−−→CC ′. Cum V (ABCD) = 1

3S(ABC) · hD cu hD ınaltimea din D pe bazaABC avem ca:V (ABCD) = 1

6V (ABA′CC ′DB′A′′) = 16 |(−−→AB,

−→AC,−−→AD)| i.e. V (ABCD) = 1

6 |(rB − rA, rC − rA, rD −rA)| sau, ın final:

V (ABCD) =1

3!|xB − xA yB − yA zB − zAxC − xA yC − yA zC − zAxD − xA yD − yA zD − zA

. (10.5)

Putem unifica formulele (10.2), (10.4) si (10.5):

Mn(A1, ...An+1) =1

n!|

x11 ... xn1 1. ... . .

x1n+1 ... xnn+1 1

| (10.6)

cu Mn=masura n-dimensionala a n-simplexului generat de punctele A1, ...An+1.Relativ la semnificatia geometrica a celor trei produse putem concluziona cu tabelul urmator:

operatia semnificatia geometrica masura

produs scalar ortogonalitate lungime=masura 1D

produs vectorial coliniaritate arie=masura 2D

produs mixt coplanaritate volum=masura 3D

.

C) Programe C/C++ pentru calculul vectorial

I) Programul C/C++ pentru produsul scalar a doi vectori n-dimensionali. Pentru doi vectorineortogonali se cere unghiul dintre vectori.

//produsul scalar a doi vectori n-dimensionali#include<iostream.h>#include<math.h>void main (){

long x[50], y[50];int i=1, n;float PS=0, N1=0, N2=0;cout<< ”Dati dimensiunea vectorilor n:=”;cin>>n;while (i<=n){cout<< ”Dati componenta a ”<<i<<”-a a primului vector: ”;cout<<”x[”<<i<<”]:= ”<<endl;cin>>x[i];i+=1;}

Cursul 10 35

i=1;while (i<=n){cout<< ”Dati componenta a ”<<i<<”-a a celui de al doilea vector: ”;cout<<”y[”<<i<<”]:= ”<<endl;cin>>y[i];i+=1;}

for (i=1;i<=n;i++){PS+=x[i]*y[i];N1+=x[i]*x[i];N2+=y[i]*y[i];}

cout<< ”Produsul scalar este PS:= ” <<PS<<endl;if ((PS==0)&&((sqrt)(N1)==1)&&((sqrt)(N2)==1))

cout<< ”Vectorii dati sunt ortonormati. ” <<endl;else

cout<< ”Vectorii dati nu sunt ortonormati. ” <<endl;cout<< ”Norma primului vector este:= ” <<(sqrt)(N1)<<endl;cout<< ”Norma celui de al doilea vector este:= ” <<(sqrt)(N2)<<endl;cout<< ”Cosinusul unghiului dintre vectori este:= ”

<<(PS)/((sqrt(N1))*(sqrt)(N2))<<endl;}

Exemplu:Dati dimensiunea vectorilor n:= 2 <Enter>Dati componenta a 1-a a primului vector: x[1]:= 1 <Enter>Dati componenta a 2-a a primului vector: x[2]:= 0 <Enter>Dati componenta a 1-a a celui de al doilea vector: y[1]:= 0 <Enter>Dati componenta a 2-a a celui de al doilea vector: y[2]:= 1 <Enter>Produsul scalar PS:= 0Vectorii dati sunt ortonormatiNorma primului vector este:= 1Norma celui de al doilea vector este:= 1Cosinusul unghiului dintre vectori este:= 0

II) Programul C/C++ pentru produsul vectorial a doi vectori si produsul mixt a trei vectori.

//produsul vectorial a doi vectori (aria paralelogram, coliniaritate)//produsul mixt a trei vectori (volumul paralelipiped, orientare baza, coplanaritate)#include<iostream.h>#include<math.h>void main (){

float a[3], b[3], c[3], PV[3], A, PM;int i;cout<< ”Dati componentele primului vector: ” <<endl;for (i=1;i<=3;i++){cout<< ”a[”<<i<<”]:= ”;cin>>a[i];}

cout<< ”Dati componentele celui de-al doilea vector: ” <<endl;


for (i=1;i<=3;i++){cout<< ”b[”<<i<<”]:= ”;cin>>b[i];}

PV[1]=a[2]*b[3]-a[3]*b[2];PV[2]=a[3]*b[1]-a[1]*b[3];PV[3]=a[1]*b[2]-a[2]*b[1];A=(sqrt)(PV[1]*PV[1]+PV[2]*PV[2]+PV[3]*PV[3]);if(A==0)

cout<< ”Vectorii sunt coliniari. ”<<endl;else{cout<< ”Produsul vectorial are componentele: ”

<<PV[1]<<” ”<<PV[2]<<” ”<<PV[3]<<endl;cout<< ”Paralelogramul generat de cei doi vectori are aria:= ”

<<A<<endl;}

cout<< ”Dati componentele celui de al treilea vector: ”<<endl;for (i=1;i<=3;i++){cout<<”c[”<<i<<”]:= ”;cin>>c[i];}

PM=c[1]*PV[1]+c[2]*PV[2]+c[3]*PV[3];if(PM==0)

cout<<”Vectorii sunt coplanari. ”<<endl;else{cout<< ”Produsul mixt este:= ”<<PM<<” si volumul paralelipipedului generat de cei 3

vectori este:= ”<<(abs)(PM)<<endl;if (PM>0)

cout<<”Cei 3 vectori constituie o baza ın spatiu, orientata pozitiv. ”<<endl;else

cout<<”Cei 3 vectori constituie o baza ın spatiu, orientata negativ. ”<<endl;}

}

Exemplu:Dati componentele primului vector:a[1]:= 1 <Enter>a[2]:= 0 <Enter>a[3]:=0 <Enter>Dati componentele celui de al doilea vector:b[1]:= 0 <Enter>b[2]:= 1 <Enter>b[3]:= 0 <Enter>Produsul vectorial are componentele: 0 0 1Paralelogramul generat de cei doi vectori are aria:= 1Dati componentele celui de al treilea vector:c[1]:= 1 <Enter>c[2]:= 1 <Enter>c[3]:= 1 <Enter>

Cursul 10 37

Produsul mixt este:= 1 si volumul paralelipipedului generat este:= 1Cei 3 vectori constituie o baza ın spatiu, orientata pozitiv.

D) Functii MATLAB pentru calculul vectorial

Un vector linie u = (x, y, z) se introduce folosind comanda:

<< u = [x y z];

Daca nu punem ”;” atunci dupa apasarea tastei Enter va apare:

u =x y z

adica avem output-urile ”u =” si ”x y z” pe linii diferite, separate de o linie alba (blank line).

Vectorul coloana v =

abc

se introduce astfel:

<< v = [a; b; c]

cu rezultatul:v =

abc

Prin urmare, o matrice se introduce separand liniile cu ”;”. Spre exemplu:

A =

−3 0 −12 5 −7−1 4 8

se scrie:

<< A = [−3 0 − 1; 2 5 − 7; −1 4 8]

cu rezultatul:A =

−3 0 −12 5 −7−1 4 8

Produsul scalar se calculeaza cu functia ”dot (u, v)” iar cel vectorial cu functia ”cross (u, v)” scriindambii vectori dati sau ın linie sau coloana:

<< u = [−1 0 1]; v = [3 4 5]<< dot(u, v)ans =

2<< cross(u, v)ans =

−4 8 −4MATLAB a creat automat o variabila cu numele ”ans” (de la answer=raspuns). Daca dorim

stocarea valorilor obtinute putem aloca variabila ”ps” pentru produs scalar respectiv ”pv” pentruprodus vectorial.

Norma se calculeaza cu functia ”norm(x)”:<< u = [3 0 − 4]<< norm(u)ans =


5Pentru produsul mixt, cum acesta este un determinant se foloseste functia ”det(A)”. Spre exemplu,

dupa introducerea matricii A de mai sus se obtine rezultatul:ans =

−217

Cursul 11

Planul. Moduri de determinare siecuatii

Un plan π este determinat de:I) un punct M0 al sau si doi vectori necoliniari u, v ∈ V2(π). In acest caz, planul dat ıl mai notamπ(M0, Span{u, v}),II) un punct M0 al sau si normala N ∈ V2(π)⊥. Notam un astfel de plan π(M0, N).

Fixam ın spatiu un reper ortonormat si pozitiv orientat ın raport cu care consideram vectorii depozitie ai punctelor ce vor interveni. Fie deci M0(r0) si M(r) ∈ π oarecare.

I) Vectorul−−−→M0M are expresia r − r0 si apartine lui V2(π). Cum vectorii u, v sunt necoliniari,

ei constituie o baza ın V2(π) ın raport cu care vectorul−−−→M0M se descompune (ın mod unic!). Deci

exista scalarii λµ unic determinati de punctul M a.ı. r − r0 = λu + µv de unde rezulta ecuatiavectorial-parametrica a planului:

π(M0Span{u, v}) : r = r0 + λu+ µv, λ, µ ∈ R. (11.1)

Daca avem M0(x0,0 , z0),M(x, y, z) respectiv u = (ux, uy, uz) , v = (vx, vy, vz) obtinem ecuatiile para-metrice ale planului:

π(M0, Span{u, v}) :

x = x0 + λux + µvxy = y0 + λuy + µvyz = z0 + λuz + µvz

λ, µ ∈ R. (11.2)

Uneori avem nevoie de o ecuatie a planului care sa nu faca apel la un element extrinsec cumar fi parametrii λ, µ. Pentru a obtine o astfel de ecuatie sa reamintim caracterizarea coliniritatii a

trei vectori prin anularea produsului mixt. Avem astfel:(−−−→M0M,u, v

)= 0 care genereaza ecuatia

vectorial-canonica a planului:

π(M0, Span{u, v}) : (r − r0, u, v) = 0 (11.3)

sau ınca ecuatia cartezian-canonica a planului:

π(M0, Span{u, v}) :

∣∣∣∣∣∣x− x0 y − y0 z − z0

ux uy uzvx vy vz

∣∣∣∣∣∣ = 0. (11.4)

Exemple:I.1) Planul prin trei puncte necoliniare

Fie π determinat de punctele necoliniare A (rA) , B (rB) , C (rC). Alegem M0 = A si u =−−→AB =

rB − rA, v =−→AC = rC − rA de unde rezulta:

π (ABC) : r = rA + λ (rB − rA) + µ (rC − rA) , λ, µ ∈ R (11.5)

39


π (ABC) :

x = xA + λ (xB − xA) + µ (xC − xA)y = yA + λ (yB − yA) + µ (yC − yA)z = zA + λ (zB − zA) + µ (zC − zA)

λ, µ ∈ R (11.6)

π(ABC) : (r − rA, rB − rA, rC − rA) = 0 (11.7)

π(ABC) :

∣∣∣∣∣∣x− xA y − yA z − zAxB − xA yB − yA zB − zAxC − xA yC − yA zC − zA

∣∣∣∣∣∣ = 0. (11.8)

Ultima relatie se poate scrie si:

π (ABC) :

∣∣∣∣∣∣∣∣x y z 1xA yA zA 1xB yB zB 1xC yC zC 1

∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0. (11.9)

In particular, pentru A (a, 0, 0) , B (0, b, 0) , C (0, 0, c) obtinem, prin dezvoltarea determinantului core-spunzator, ecuatia planului prin taieturi:

π (ABC) :x

a+y

b+z

c− 1 = 0. (11.10)

I.2) Planul determinat de o dreapta si un punct neincident acesteiaFie dreapta d ce trece prin punctul A (rA) si are vectorul director u ∈ V1 (d) \{0}. Fie si punctul

B (rB) /∈ d. Atunci perechea (d,B) determina un plan π = π (d,B). Deoarece B /∈ d avem ca vectorul−−→AB(= rB − rA) este necoliniar cu u deci poate fi considerat drept v. Avem deci:

π (d,B) : r = rA + λu+ µ (rB − rA) , λ, µ ∈ R (11.11)

π (d,B) :

x = xA + λux + µ (xB − xA)y = yA + λuy + µ (yB − yA)z = zA + λuz + µ (zB − zA)

λ, µ ∈ R (11.12)

π(d,B) : (r − rA, u, rB − rA) = 0 (11.13)

π(d,B) :

∣∣∣∣∣∣x− xA y − yA z − zAux uy uz

xB − xA yB − yA zB − zA

∣∣∣∣∣∣ = 0. (11.14)

II) Vectorul N este perpendicular pe−−−→M0M = r − r0 si deci avem ecuatia:

π(M0, N) : < r − r0, N >= 0, (11.15)

sau ınca, notand D = − < r0, N >:

π(M0, N) : < r,N > +D = 0. (11.16)

Presupunem ca N = (A,B,C) si ultima relatie conduce la ecuatia generala a planului:

π(M0, N) : Ax+By + Cz +D = 0. (11.17)

Fie functia Fπ : E3(= R3)→ R, Fπ (M) = Fπ (r) := Ax+By + Cz +D; deci π este suprafata denivel F−1 (0). Avem semispatiile determinate de π:{

S+π = {M ∈ E3 : Fπ (M) > 0}S−π = {M ∈ E3 : Fπ (M) < 0} .

Exemple:

Cursul 11 41

II.1) Planele de coordonate (xOy) : z = 0(yOz) : x = 0(zOx) : y = 0

. (11.18)

II.2) Plane paralele cu planele de coordonateπ q (xOy) : z = cπ q (yOz) : x = aπ q (zOx) : y = b

a, b, c ∈ R. (11.19)

II.3) Plane perpendiculare pe planele de coordonateπ⊥ (xOy) : Ax+By +D = 0π⊥ (yOz) : By + Cz +D = 0π⊥ (zOx) : Ax+ Cz +D = 0

. (11.20)

II.4) Plane ce contin axele de coordonateπ 3 Oz : Ax+By = 0π 3 Ox : By + Cz = 0π 3 Oy : Ax+ Cz = 0

. (11.21)

II.5) Planul oarecare prin origine

π 3 O : Ax+By + Cz = 0. (11.22)

II.6) Planul printr-un punct dat si perpendicular pe o dreapta dataFie M0 (r0) si dreapta d cu vectorul director u ∈ V1 (d) \{0}. Atunci exista un unic plan π =

π (M0,⊥ d) incident lui M0 si perpendicular pe d si avem:

π (M0,⊥ d) :< r − r0, u >= 0.

***

Trecerea de la modul I la modul II se face imediat considerand: N = u × v ceea ce revinela dezvoltarea dupa prima linie a determinantului (11.4). In aplicatii se prefera (deseori) ecuatiagenerala a planului!

***

III) Pozitiile relative a doua planeFie planele πi : Aix+Biy + Ciz +Di = 0, 1 ≤ i ≤ 2. Atunci:III1) planele coincid daca si numai daca A2

A1= B2

B1= C2

C1= D2

D1. In adevar, coincidenta normalelor

este echivalenta cu primele doua egalitati si punctul M0 comun implica ultima egalitate.III2) planele sunt paralele si distincte daca si numai daca A2

A1= B2

B1= C2

C16= D2

D1. Argumentul este

cel precedent fara ultima parte.

III3) planele se intersecteaza (fa ra a coincide) daca si numai daca rangul matricii

(A1 B1 C1

A2 B2 C2

)este 2.

Unghiul ϕ = ϕ (π1, π2) dintre cele doua plane este unghiul dintre normalele lor. Deci:

cosϕ (π1, π2) =A1A2 +B1B2 + C1C2(

A21 +B2

1 + C21

)1/2 (A2

2 +B22 + C2

2

)1/2 .In particular, planele sunt perpendiculare daca si numai daca: A1A2 +B1B2 + C1C2 = 0.

Cursul 12

Dreapta. Moduri de determinare siecuatii

A) Dreapta ın spatiu

Fixam dreapta d ın spatiul E3 si reperul ortonormat si pozitiv orientat ın raport cu care vomprecixa coordonatele punctelor utilizate. Exista doua moduri de determinare a lui d:I) ca intersectie a doua plane π1 si π2, ın acest caz notand d (π1, π2),II) ca dreapta ce trece prin punctul M0(r0) ∈ E3 si are vectorul director (directia) u ∈ V1(d)\{0}dat, ın acest caz notand d (M0, u).

I) Fie planele πi : Aix+Biy + Ciz +Di = 0, 1 ≤ i ≤ 2 cu

rang

(A1 B1 C1

A2 B2 C2

)= 2 ceea ce ınseamna geometric necoliniaritatea normalelor N i = (Ai, Bi, Ci)

la planele πi si care se verifica computational prin N1×N2 6= 0. Atunci planele date se intersecteazadupa o dreapta d de ecuatie:

d (π1, π2) :

{A1x+B1y + C1z +D1 = 0A2x+B2y + C2z +D2 = 0

. (12.1)

Ecuatiile (12.1) se numesc ecuatiile generale ale dreptei.Exemple:I.1) Dreapta ce trece printr-un punct si este perpendiculara pe un plan dat (cazul 1)Presupunem ca M0(r0) ∈ d si d⊥π cu π determinat de un punct dat si vectorii necoliniari N1, N2.

Fie πi planul ce contine M0 si are normala N i; deci d ∈ πi. In concluzie d = π1⋂π2 si deci:

d :

{< r − r0, N1 >= 0

< r − r0, N2 >= 0. (12.2)

I.2) Axele de coordonate

Ox :

{y = 0z = 0

, Oy :

{z = 0x = 0

, Oz :

{x = 0y = 0

. (12.3)

II) Fie M(r) ∈ d oarecare. Vectorii−−−→M0M = r− r0 si u sunt coliniari fiind ambii vectori directori

pentru d si dimensiunea lui V1 (d) fiind 1. Rezulta ca exista scalarul λ, unic determinat de M , a.ı.r − r0 = λu ceea ce da ecuatia vectoriala a dreptei:

d (M0, u) : r = r (λ) := r0 + λu, λ ∈ R.

43


Putem oferi o imagine cinematica pentru aceasta ecuatie: avem un punct material ce pleaca dinpunctul M0 si descrie o traiectorie rectilinie cu vectorul viteza u. Cum, de regula, parametrul uneimiscari este timpul vom renota ın cele ce urmeza cu t parametrul ce descrie dreapta adica avemecuatia vectoriala:

d (M0, u) : r = r (t) := r0 + tu, t ∈ R. (12.4)

Daca avem r0 = (x0, y0, z0), r = (x, y, z), u = (l,m, n) atunci obtinem ecuatiile parametrice aledreptei:

d (M0, u) :

x = x (t) = x0 + tly = y (t) = y0 + tmz = z (t) = z0 + tn

, t ∈ R. (12.5)

Prin eliminarea parametrului t obtinem ecuatiile canonice ale dreptei:

d (M0, u) :x− x0

l=y − y0

m=z − z0

n(= t) . (12.6)

Peste tot ın ceea ce urmeaza folosim conventia standard ca anularea numitorului atrage anulareanumaratorului!

Exemple:II.1) Dreapta prin doua puncte distincteFie punctele distincte (!) A (rA) , B (rB) si dreapta d = d(AB) unic determinata de aceste puncte.

Avem directia u =−−→AB = rB − ra si deoarece punctele sunt distincte acest vector este nenul. Avem

deci:d (AB) : r = r (t) = rA + t (rB − rA) , t ∈ R (12.7)

d (AB) :

x = x (t) = xA + t (xB − xA)y = y (t) = yA + t (yB − yA)z = z (t) = zA + t (zB − zA)

, t ∈ R (12.8)

d (AB) :x− xAxB − xA

=y − yAyB − yA

=z − zAzB − zA

. (12.9)

II.2) Dreapta ce trece printr-un punct si este perpendiculara pe un plan dat (cazul 2)Presupunem planul π determinat de normala N si fie dreapta d = d (M0,⊥ π) ce trece prin M0 si

este perpendiculara pe π. Prin urmare d are vectorul director N . Rezulta ca avem:

d (M0,⊥ π) :x− x0

A=y − y0

B=z − z0

C. (12.10)

Trecerea I)→II)Cum d = π1 ∩ π2 rezulta ca N i ⊥ d ceea ce ınseamna ca u = N1 ×N2 ceea ce da:

u = (B1C2 −B2C1, C1A2 − C2A1, A1B2 −A2B1) . (12.11)

Pentru a gasi un punct al lui π cum avem doua ecuatii si trei necunoscute (x, y, z) conform teoriei dela clasa a XI-a avem o necunoscuta secundara (3− 2 = 1). Prin urmare fixam una din necunoscute,e.g. z0 = 0 (sau x0 respectiv y0; mai precis variabila corespunzatoare unui minor nenul de ordinul doi

din matricea

(A1 B1 C1

A2 B2 C2

)care are rangul 2 conform ipotezelor de lucru in cazul I) si rezolvand

sistemul (12.1) avem punctul M0 (x0, y0, z0) ∈ d. Obtinem ın concluzie:

d = π1 ∩ π2 :x− x0

B1C2 −B2C1=

y − y0

C1A2 − C2A1=

z − z0

A1B2 −A2B1. (12.12)

Exemplu: Axele de coordonate

Cursul 12 45

Ox :x

1=y

0=z

0, Oy :

x

0=y

1=z

0, Oz :

x

0=y

0=z

1.

Trecerea II)→I)Din ecuatiile canonice (12.6) rezulta:

d :

{m(x− x0)− l (y − y0) = 0n(x− x0)− l (z − z0) = 0

. (12.13)

III) Pozitiile relative a doua drepte din spatiuFie dreptele di : x−xi

li= y−yi

mi= z−zi

ni, 1 ≤ i ≤ 2. Avem deci punctele Mi (ri = (xi, yi, zi)) ∈ di si

dreapta di are vectorul director (nenul) ui = (li,mi, ni). Dreptele date sunt coplanare daca si numai

daca vectorii−−−−→M1M2 = r2 − r1, u1, u2 sunt coplanari ceea ce ınseamna anularea produsului mixt

(r2 − r1, u1, u2). Avem deci:III.1) dreptele sunt necoplanare (spunem ca sunt ın pozitie generala) daca si numai daca

(r2 − r1, u1, u2) 6= 0 i.e.: ∣∣∣∣∣∣x2 − x1 y2 − y1 z2 − z1

l1 m1 n1

l2 m2 n2

∣∣∣∣∣∣ 6= 0. (12.14)

III.2) dreptele sunt coplanare daca determinantul precedent este nul. Avem subcazurile:III.2a) daca u1×u2 6= 0 i.e. vectorii directori sunt necoliniari atunci dreptele sunt concurente iar

planul care le contine este planul determinat de punctul M1 (r1) si vectorii necoliniari u1, u2:

π(3 d1, d2) :< r − r1, u1 × u2 >= 0. (12.15)

III.2b) daca u1 × u2 = 0 atunci acesti vectori sunt coliniari. Avem:

III.2b’) daca−−−−→M1M2 × u1(= (r2 − r1) × u1) = 0 atunci avem si

−−−−→M1M2 coliniar cu u1 si u2 ceea

ce implica faptul ca dreptele coincid: d1 = d2.

III.2b”) daca−−−−→M1M2 × u1 6= 0 atunci avem drepte paralele distincte: d1 ‖ d2.

Unghiul ϕ = ϕ (d1, d2) dintre doua drepte este unghiul dintre vectorii directori si deci:

cosϕ (d1, d2) =l1l2 +m1m2 + n1n2(

l21 +m21 + n2

1

)1/2 (l22 +m2

2 + n22

)1/2 . (12.16)

In particular, doua drepte sunt perpendiculare (d1 ⊥ d2) daca: l1l2 +m1m2 + n1n2 = 0.

B) Dreapta in plan

Drept caz particular al modului de determinare II) de la dreapta ın spatiu, consideram ın planulfixat π o dreapta data printr-un punct al sau M0 (r0) si avand vectorul director u ∈ V1 (d) \{0} undevectorii de pozitie ai punctelor implicate sunt date ın raport cu un reper ortonormat fixat al planuluiπ. Obtinem ecuatia vectoriala a dreptei ın plan:

d (M0, u) : r = r (t) = r0 + tu, t ∈ R. (12.17)

Daca r0 = (x0, y0), r = (x, y) si u = (l,m) atunci avem ecuatiile parametrice ale dreptei ın plan:

d (M0, u) :

{x = x (t) = x0 + tly = y (t) = y0 + tm

, t ∈ R. (12.18)

Prin eliminarea parametrului t obtinem ecuatia canonica a dreptei ın plan:


d (M0, u) :x− x0

l=y − y0

m(= t) . (12.19)

Observatie Daca l = 0 atunci obtinem ecuatia dreptelor paralele cu Oy:

d ‖ Oy : x = x0. (12.20)

Daca l 6= 0 atunci renotand cu m fractia ml avem din (12.19):

d : y = m (x− x0) + y0

sau ınca, notand n = −mx0 + y0:d : y = mx+ n. (12.21)

Pentru a gasi o interpretare geometrica a acestei ecuatii fie θ unghiul orientat dintre versorul i si

vectorul director u. Avem cos θ = <i,u>‖u‖ = l

‖u‖ si sin θ = ‖i×u‖‖u‖ = 1

‖u‖ ‖

∣∣∣∣∣∣i j k1 0 0l m 0

∣∣∣∣∣∣ ‖= ‖(0,0,m)‖‖u‖ =

m‖u‖ . Rezulta ca tgθ = m

l este exact coeficientul m din ecuatia (12.21). Celalalt coeficent din aceastaecuatie este ordonata punctului de intersectie al lui d cu axa Oy.

Putem da si o alta continuare ecuatiei (12.19): notam a = m, b = −l, c = −mx0 + ly0 si atunciavem:

d(M0, u) : ax+ by + c = 0. (12.22)

Pe aceasta ecuatie coeficientii lui x, y sunt exact componentele normalei la d, u⊥ = (a, b) = (m,−l).

Cursul 13

Configuratii remarcabile de puncte,drepte si plane

I) Proiectii si simetrii. Distante

I.1) Proiectia si simetricul unui punct fata de un plan

Fie punctul M (rM ) si planul π = π(M0, N

)de ecuatie:

π : Fπ (r) =< r − r0, N >= 0. (13.1)

Consideram dreapta d = d (M,⊥π) ce trece prin M si este perpendiculara pe π. Atunci d intersecteazaπ si punctul unic de intersectie M ′ (rM ′) al lui d cu π se numeste proiectia lui M pe planul π. PunctulM ′′ (rM ′′) pentru care M ′ este mijlocul segmentului [MM ′′] se numeste simetricul lui M fata de planulπ. Ne propunem sa determinam rM ′ si rM ′′ ın functie de datele problemei: rM si Fπ!

Ecuatia parametrica a lui d este:

d (M,⊥π) : r = rM + tN (13.2)

si deci avem intersectia (13.1) ∩ (13.2)

M ′ = d ∩ π :< rM + tN − r0, N >= 0

de unde obtinem parametrul t = tM ′ corespunzator lui M ′ pe dreapta d:

tM ′ = −< rM − r0, N >

‖N‖2= −Fπ (rM )

‖N‖2

care ınlocuit ın (13.2) da primul raspuns al problemei puse:

M ′ : rM ′ = rM −Fπ (rM )

‖N‖2N. (13.3)

Conditia ca M ′ sa fie mijlocul lui [MM ′′] se scrie vectorial rM + rM ′′ = 2rM ′ de unde rezultarM ′′ = 2rM ′ − rM si avem al doilea raspuns al problemei puse:

M ′′ : rM ′′ = rM −2Fπ (rM )

‖N‖2N. (13.4)

Din ultimele doua formule reobtinem rezultatul evident ca daca M ∈ π i.e. Fπ (rM ) = 0 atuncirM = rM ′ = rM ′′ i.e. M = M ′ = M ′′.

Exemplu: Proiectia si simetricul unui punct fata de planele de coordonatePresupunem rM = (xM , yM , zM ). Atunci:

xOy :

{M ′ (xM , yM , 0)

M ′′ (xM , yM ,−zM )(13.51)

47


yOz :

{M ′ (0, yM , zM )

M ′′ (−xM , yM , zM )(13.52)

zOx :

{M ′ (xM , 0, zM )

M ′′ (xM ,−yM , zM ). (13.53)

Aplicatia 1: Distanta de la un punct la un plan

Numarul real d (M,π) := inf{de(M,M

); M ∈ π} ≥ 0 se numeste distanta de la M la planul

π. Deoarece ıntr-un triunghi dreptunghic orice cateta este strict mai mica decat ipotenuza avem cad (M,π) = de (M,M ′) si folosind (13.3) rezulta:

d (M,π) = ‖−−−→MM ′‖ = ‖rM ′ − rM‖ = ‖ − Fπ (rM )

‖N‖2N‖ =

|Fπ (rM ) |‖N‖2

‖N‖

ceea ce da:

d (M,π) =|Fπ (rM ) |‖N‖

. (13.6)

Astfel, daca avem:

π : Fπ (r) = Fπ (x, y, z) = Ax+By + Cz +D = 0 (13.7)

atunci:

d (M,π) =|AxM +ByM + CzM +D|√

A2 +B2 + C2. (13.8)

Evident, daca M ∈ π i.e. Fπ (rM ) = 0, atunci d (M,π) = 0 rezultat ce se obtine si direct din definitia

lui d (M,π) luand M = M .Exemple:I.1.1) Distanta de la un punct la planele de coordonate

d (M,xOy) = |zM |, d (M,yOz) = |xM |, d (M, zOx) = |yM |. (13.9)

I.1.2) Distanta dintre doua planeFie planele π, π′. Numarul real d (π, π′) := inf{de (M,M ′) ;M ∈ π,M ′ ∈ π′} ≥ 0 se numeste

distanta dintre planele date. Daca planele au o dreapta d comuna atunci alegem M = M ′ ∈ d si decid (π, π′) = 0. Daca sunt paralele: {

π : Ax+By + Cz +D = 0π′ : Ax+By + Cz +D′ = 0

atunci alegem M ∈ π oarecare si avem d (π, π′) = d (M,π′) ceea ce da:

d(π, π′

)=|AxM +ByM + CzM +D′|

(A2 +B2 + C2)1/2

dar cum AxM +ByM + CzM = −D rezulta:

d(π, π′

)=

|D′ −D|(A2 +B2 + C2)1/2

. (13.10)

Ultima formula implica simetria d (π, π′) = d (π′, π).I.1.3) Distanta dintre un plan si o dreaptaFie dreapta d oarecare. Numarul real d (d, π) := inf{de (M,M ′) ;M ∈ d,M ′ ∈ π} ≥ 0 se numeste

distanta de la d la π. Daca d intersecteaza π ın punctul M luam M ′ = M si deci d (d, π) = 0. Dacad‖π atunci alegem M ∈ π oarecare si atunci d (d, π) = d (M,π). Astfel, daca:

d :x− xM

l=y − yMm

=z − zMn

(13.11)

Cursul 13 49

cu Al +Bm+ Cn = 0 atunci d (d, π) este data de formula (13.8).

Aplicatia 2: Simetrica unei drepte fata de un planFie dreapta d = d (M,u). Daca d‖π atunci simetrica d′′π lui d fata de π este dreapta d′′π = d (M ′′, u).

Daca d ∩ π = {M} atunci simetrica d′′π este dreapta d′′π = d(M ′′M

).

Exemplu: Simetrica unei drepte fata de planele de coordonatePresupunem ca dreapta d de ecuatie (13.11) intersecteaza planul xOy ın punctul M

(rM

). Un

calcul imediat conduce la rM

=(xM − l

nzM , yM −mn zM , 0

)si folosind prima relatie (13.6) avem:

d′′xOy :x− xM− lnzM

=y − yM−mn zM

=z + zMzM

ceea ce implica:

d′′xOy :x− xM

l=y − yMm

=z + zM−n

. (13.12)

Prin permutari circulare avem si:

d′′yOz : x+xM−l = y−yM

m = z−zMn

d′′zOx : x−xMl = y+yM−m = z−zM

n

. (13.13)

I.2) Proiectia si simetricul unui punct fata de o dreaptaFie punctul M (rM ) si dreapta d = d (M0, u):

d : r = r0 + tu. (13.14)

Consideram planul π = π (M,u) ce trece prin M si este perpendicular pe d. Atunci π intersecteazad si punctul unic de intersectie M ′ (rM ′) se numeste proiectia lui M pe dreapta d. Punctul M ′′ (rM ′′)pentru care M ′ este mijlocul segmentului [MM ′′] se numeste simetricul lui M fata de dreapta d. Nepropunem sa determinam rM ′ si rM ′′ ın functie de datele problemei: rM si ecuatia lui d!

Cum ecuatia lui π este:π (M,u) : Fπ =< r − rM , u >= 0 (13.15)

avem intersectia (13.14) ∩ (13.15):

M ′ = d ∩ π :< r0 + tu− rM , u >= 0

de unde rezulta parametrul t = tM ′ corespunzator lui M ′ pe dreapta d:

tM ′ = −< r0 − rM , u >‖u‖2

= −Fπ (r0)

‖u‖2

care, ınlocuit ın (13.14) da primul raspuns al problemei puse:

M ′ : rM ′ = r0 −< r0 − rM , u >

‖u‖2u = r0 −

Fπ (r0)

‖u‖2u. (13.16)

Din aceeasi relatie rM ′′ = 2rM ′ − rM avem si al doilea raspuns al problemei:

M ′′ : rM ′′ = 2r0 −2Fπ (r0)

‖u‖2u− rM . (13.17)

Daca M ∈ d i.e. rM = r0 + λu atunci ınlocuind ın ultimele doua relatii avem:{rM ′ = r0 − −λ‖u‖

2

‖u‖2 u = rM

rM ′′ = 2rM − rM = rM


ceea ce exprima rezultatul evident al acestei situatii: M ∈ d =⇒M = M ′ = M ′′.Daca d are ecuatia:

d :x− x0

l=y − y0

m=z − z0

n

cum planul π este:

π : Fπ (x, y, z) = l (x− xM ) +m (y − yM ) + n (z − zM ) = 0

prin ınlocuirea ın formulele (13.16) si (13.17) obtinem:{rM ′ = (x0, y0, z0)− l(x0−xM )+m(y0−yM )+n(z0−zM )

l2+m2+n2

rM ′′ = (2x0 − xM , 2y0 − yM , 2z0 − zM )− 2 l(x0−xM )+m(y0−yM )+n(z0−zM )l2+m2+n2

. (13.18)

Aplicatie: Distanta de la un punct la o dreapta

Numarul real d (M,d) := inf{de(M,M

); M ∈ d} ≥ 0 se numeste distanta de la M la d. Cu

acelasi argument cu cel de la aplicatia 1 de la I.1 avem d (M,d) = de (M,M ′) si folosind (13.16) avem:

d (M,d) = ‖−−−→MM ′‖ = ‖rM ′ − rM‖ = ‖r0 −

Fπ (r0)

‖u‖2u− rM‖.

Putem simplifica aceasta ultima relatie speculand faptul ca u⊥−−−→MM ′. Mai precis, din ]

(u,−−−→MM ′

)=

±π2 rezulta | sin]

(u,−−−→MM ′

)| = 1 si cum | sin] (u, v) | apare ın propretatea PV7) a produsului vec-

torial avem ca: ‖−−−→MM ′ × u‖ = ‖

−−−→MM ′‖‖u‖ ceea ce conduce la:

d (M,d) =‖−−−→MM ′ × u‖‖u‖

. (13.19)

Un calcul imediat da−−−→MM ′ × u =

(r0 − Fπ(r0)

‖u‖2 u− rM)× u = (r0 − rM )× u si deci:

d (M,d) =‖(r0 − rM )× u‖

‖u‖. (13.20)

sau ın coordonate:

d (M,d) =‖ (x0 − xM , y0 − yM , z0 − zM )× (l,m, n) ‖

(l2 +m2 + n2)1/2.

In final:

d (M,d) =∆

(l2 +m2 + n2)1/2

unde:∆2 = [n (y0 − yM )−m (z0 − zM )]2 +

+ [l (z0 − zM )− n (x0 − xM )]2 + [m (x0 − xM )− l (y0 − yM )]2 .

Cursul 14

Conice

Fixam planul π odata pentru totdeauna si ın acest plan fixam o multime Γ. Am vazut ca drepteledin π au o ecuatie liniara ın coordonatele (x, y), de tipul ax + by + c = 0 si atunci e natural sa nepunem problema gradului superior adica 2. Obiectul de studiu al acestui Curs este dat de:

Definitia 14 Γ se numeste conica daca exista ın π un reper ortonormat R = {O; i, j} a. ı.coordonatele (x, y) ale oricarui punct M ∈ Γ ın raport cu R satisfac o aceeasi ecuatie patratica:

fΓ(x, y) = a11x2 + 2a12xy + a22y

2 + 2a10x+ 2a20y + a00 = 0. (14.1)

Vom nota simplu:Γ : a11x

2 + 2a12xy + a22y2 + 2a10x+ 2a20y + a00 = 0. (14.2)

Studiul conicelor face apel la matricile asociate. Mai precis, fie:

AΓ,R = A =

(a11 a12

a12 a22

)∈ Sym(2), AeΓ,R = Ae =

a11 a12 a10

a12 a22 a20

a10 a20 a00

∈ Sym(3),

BΓ,R = B = (a10, a20) ∈M1,2(R), X =

(xy

)(14.3)

unde e ınseamna extinsa. Avem varianta matriceala a ecuatiei (14.2):

Γ :t X ·A ·X + 2B ·X + a00 = 0. (14.4)

O problema naturala ce apare ın raport cu definitia 14.1 este daca notiunea de conica depinde acelreper ortonormat din definitie. Vom arata ca nu, deci ca structura de conica nu depinde de reperulortonormat ın care se lucreaza! Fie deci R = {O; i, j} un alt reper ortonormat si (x, y) coordonateleaceluiasi punct fixat M ∈ Γ relativ la R. Legea de schimbare a coordonatelor la schimbarea reperelorortonormate este:

X = S · X + S0, S ∈ O(2), S0 =

(xOyO

)cu S matricea ortogonala a schimbarii de baze ortonormate! Inlocuind ın (14.1) obtinem o nouafunctie patratica:

fΓ =t X · A · X + 2B ·X + a00, a00 = f(O), A =t S ·A · S, B =t S0 ·A · S +B · S. (14.5)

B =t S0 ·A · S +B · S. (14.5)

In concluzie, avem independenta de reper a proprietatii de a fi conica pentru multimea data Γ!

51

52 I. Bucatrau, M. Crasmareanu

Prin urmare, ne punem problema unei posibile existente a unui reper ortonormat optim, adicaın raport cu care ecuatia (14.2) sa aiba cea mai simpla expresie posibila, gandindu-ne si la expresiaconicelor din clasa a XI-a:1) elipsa E(a, b) : x

2

a2+ y2

b2− 1 = 0 cu a, b numere reale pozitive satisfacand a > b,

2) hiperbola H(a, b) : x2

a2− y2

b2− 1 = 0 cu a, b numere reale pozitive oarecare dar nenule,

3) parabola P (p) : y2 − 2px = 0 cu p numar real oarecare dar nenul.Problema pusa are solutie unica si gasirea reperul ortonormat optim se numeste aducerea la formacanonica. Metoda aducerii pe care o prezentam utilizeza invariantii conicei Γ si respectiv structurasimetrica a matricii A. Invariantii sunt:

I := a11 + a22 = TrA, δ := detA, ∆ := detAe, D := δ + a11a00 − a210 + a22a00 − a2

20. (14.6)

Clasificarea generala este urmatoarea:I) δ > 0 ınseamna genul eliptic cu subcazurile:I1) I ·∆ < 0; Γ este o elipsa E(a, b),I2) I ·∆ > 0; Γ este o elipsa imaginara, cu forma canonica x2 + y2 + 1 = 0,I3) ∆ = 0; Γ e data de (doua drepte imaginare concurente) un punct dublu, cu forma canonicax2 + y2 = 0.II) δ < 0 ınseamna genul hiperbolic cu subcazurile:II1) ∆ 6= 0+I 6= 0; Γ este o hiperbola H(a, b),II2) ∆ 6= 0+I = 0; Γ este o hiperbola echilatera x2 − y2 − 1 = 0 sau xy = c=constant,II3) ∆ = 0; Γ e data de doua drepte reale concurente.III) δ = 0 ınseamna genul parabolic cu subcazurile:III.1) ∆ 6= 0; Γ este o parabola P (p),III.2) ∆ = 0 si (sa presupunem) a11 6= 0 avem 3 sub-subcazuri:III.2a) a11a00 − a2

10 < 0; Γ este data de doua drepte reale paralele,III.2b) a11a00 − a2

10 <>; Γ este data de doua drepte imaginare paralele,III.2c) a11a00 − a2

10 = 0; Γ este data de o dreapta reala dubla.

Matricea A fiind simetrica admite o forma diagonala diag(λ1, λ2). Prin urmare, aplicam algoritmulde diagonalizare si gasim o baza ortonormata B′ = i′, j′ iar ın reperul R′ = {O; i′, j′} vom avea nouaecuatie a conicei:

Γ : λ1(x′)2 + λ2(y′)2 + 2a′10x′ + 2a′20y

′ + a′00 = 0. (14.7)

In acest moment vom face o translatie ce transforma ecuatia (14.7) ın ecuatia canonica data declasificare!

Algebr a liniar a ˘si elemente de geometrie Ioan Bucataru...

Documents

Transcript of Algebr a liniar a ˘si elemente de geometrie Ioan Bucataru...