tehnologia sistemelor

of 290 /290
tefan Ababei TEORIA SISTEMELOR I ELEMENTE DE REGLAJ AUTOMAT Editura TEHNICA-INFO CHI IN U 2006

Transcript of tehnologia sistemelor

Page 1: tehnologia sistemelor

tefan Ababei

TEORIA SISTEMELOR

I ELEMENTE DE REGLAJ AUTOMAT

Editura TEHNICA-INFO

CHI IN U 2006

Page 2: tehnologia sistemelor

CZU 681.51 (075.8) A 11

tefan Ababei – Teoria sistemelor i elemente de reglaj automatEditura “TEHNICA-INFO”, Chi in u, 2006. – 292 p.

Referen i tiin ifici: Dan Rotar, doctor inginer, profesor la Universitatea din Bac u, România

Mihai Romanca, doctor inginer, profesor la Universitatea Transilvania Bra ov, România

Descrierea CIP a Camerei Na ionale a C r iiAbabei, tefan

Teoria sistemelor i elemente de reglaj automat/ tefan Ababei. – Ch.: “TEHNICA-INFO”, 2006 (Tipogr. Ia i). – 294 p.

Bibliogr. p.291-292 (52 titluri.) ISBN 978-9975-910-04-0300 ex.

681.51 (075.8)

Consilier editorial: Alexandru MARIN, doctor în tiin e tehnice, DHC, profesor la Universitatea Tehnic din Moldova, Chi in u

ISBN 978-9975-910-04-0 © t. Ababei,

2006

Page 3: tehnologia sistemelor

CUPRINS

CAP. I. NO IUNI INTRODUCTIVE 9 1.1. Sistem i mediu 9

1.2. Definirea no iunii de teoria sistemelor i automatic 10 1.3. Elementele unui sistem automat 11

1.4. Reglare automat . Sistem de reglare automat 14 1.4.1. Clasificarea sistemelor de reglare 15 1.5. No iuni introductive referitoare la sistemele dinamice 16 1.5.1. Semnale 16 1.5.1.1. Clasificarea semnalelor 17 1.5.1.2. Semanle definite printr-o distribu ie 17 1.5.1.3. Reprezentarea temporal a semnalelor continui în timp 19 1.5.1.4. Reprezentarea temporal a semnalelor discrete în timp 20 1.5.2. Modele matematice 21 1.5.2.1. Ob inerea modelelor matematice pe cale analitic 21 1.5.3. Tipuri de sisteme 26 CAP. II. DESCRIEREA EXTERN A SISTEMELOR DINAMICE NETEDE 28 2.1. Modelul matemetic intrare-ie ire al sistemelor monovariabile, liniare, cu parametri concentra i 28 2.2. Analiza sistemelor automate liniare i continui prin metode opera ionale 30 2.2.1. Transformata Laplace 30 2.2.2. Func ia de transfer 32 2.2.2.1. Dependen a func iei de transfer de sarcin 32 2.2.2.2. Reprezentarea grafic a func iei de transfer 34 2.2.2.3. Schema func ional 38 2.2.2.4. Reducerea formei schemelor func ionale complexe 43 2.2.2.5. Calculul func iei de transfer pentru elementele tip ale sistemelor de reglare 43

automat 2.2.2.6. Calculul r spunsului unui sistem pe baza func iei de transfer 45 2.2.2.7. Calculul erorii în regim sta ionar cu ajutorul func iei de transfer 47 2.3. Analiza în domeniul timpului a sistemelor netede 51 2.3.1. Calculul r spunsului sistemelor netede 51 2.3.2. Utilizarea transformatei Laplace pentru calculul condi iilor ini iale conven ionale 52

ale sistemelor netede 2.3.3. Determinarea condi iilor ini iale 53 2.3.4. R spunsul la impuls 55 2.3.5. R spunsul indicial 56 2.4. Analiza în frecven 59 2.4.1. Transformata Fourier 59 2.4.2. Teorema e antion rii (Shanon) 61 2.4.3. R spunsul unui sistem liniar la o intrare sinusoidal 62 2.4.4. Caracteristica amplitudinii i a fazei 64 2.4.5. Caracteristici de frecven în reprezentare logaritmic 66

2.4.5.1. Reprezentarea prin caracteristici a func iei de transfer a unor elemente tip 67 2.4.6. Performan ele unui sistem în domeniul frecven elor 73 2.4.7. Leg tura dintre r spunsul în timp i r spunsul în frecven a 73 2.4.8. Indici de performan în domeniul timpului 76 2.5. Elemente tipice din compunerea sistemelor automate netede 78 2.5.1. Analiza principalelor elemente tipice netede 80 2.5.1.1. Element propor ional (element de tip P) 80 2.5.1.2. Element cu întârziere de ordin 1(PT1) 81 2.5.1.3. Element cu întârziere de ordin 2 (PT2) 84 2.5.1.4. Element integrator (I) 92 2.5.1.5. Element derivativ (D) 93 CAP. III. DESCRIEREA EXTERN A SISTEMELOR DISCRETE 96 3.1. Modelul matematic intrare ie ire al sistemelor discrete 96 3.2. Analiza sistemelor discrete prin metode opera ionale 97 3.2.1. Aplicarea transformatei Z în studiul sistemelor discrete în timp 97 3.2.1.1. Propriet ile transformatei Z 98 3.2.2. Func ia de transfer a unui sistem discret în timp 101

Page 4: tehnologia sistemelor

3.2.3. Func ia de transfer a unui sistem cu e antionare 102 3.2.4. R spunsul unui sistem discret în timp 103 3.2.4.1. Utilizarea func iei de transfer discrete i a transformatei Z inverse la calculul 105 r spunsului unui sistem discret în timp 3.3. R spunsul la impuls a unui sistem discret în timp 106 3.4. Analiza în frecven a sistemelor discrete 108 3.4.1. Teorema e antion rii 108 3.4.2. Caracteristici de frecven pentru sisteme discrete 109 3.5. Elemente tipice din compunerea sistemelor discrete 110 CAP. IV. DESCRIEREA INTERN A SISTEMELOR DINAMICE 117 4.1. Metode de alegere a variabilelor de stare pentru sisteme netede monovariabile 118 4.1.1. Forma canonic controlabil 118 4.1.2. Forma canonic observabil 119 4.1.3. Forma canonic diagonal 120 4.1.4. Variabile de stare fizice 124 4.2. Sisteme multivariabile netede 127 4.2.1. Matricea de tranzi ie 127

4.2.1.1. Determinarea matricii de tranzi ie a st rilor 129 4.2.1.2. Metode de calcul a matricii de tranzi ie 129

4.2.3. Solu ia ecua iei neomogene 135 4.2.4. R spunsul la impuls 136 4.2.5. Matricea de transfer 137 4.2.6. Sisteme dinamice echivalente 138 4.2.7. Controlabilitatea i observabilitatea sistemelor netede 139 4.2.7.1. Controlabilitatea st rilor sistemelor netede 139 4.2.7.2. Observabilitatea sistemelor liniare netede 142 4.2.8. dualitatea sistemelor dinamice 144 4.3. Descrierea intern a sistemelor discrete 145

4.3.1. Alegerea variabilelor de stare pentru sistemele monovariabile 145 4.3.1.1. Variabile de stare sub forma canonic controlabil 146 4.3.1.2. Variabile de stare sub form canonic observabil 148 4.3.1.3.Variabile de stare sub form canonic diagonal 150 4.3.1.4. Variabile de stare fizice 151 4.3.2. Sisteme discrete multivariabile 154 4.3.2.1. Ecua ia intrare-ie ire 154 4.3.2.1. R spunsul al impuls 155 4.3.2.3. Matricea de transfer 156 4.3.2.4. Controlabilitatea i observabilitatea sistemelor discrete 156

CAP. V. STABILITATEA SISTEMELOR LINIARE 157 5.1. Stabilitatea extern a sistemelor netede 158 5.1.1. Criteriul matematic general de stabilitate 158 5.1.2. Criteriul Algebric (Ruth-Hurwitz) 160 5.1.3. Criteriul Cramer-Leonhard 161 5.1.4. Metoda locului r d ciniilor 163 5.1.5. Criteriul de stabilitate Nyquist 166 5.1.6. Marginea de amplitudine i marginea de faz ; criteriul lui Bode 168 5.2. Stabilitatea extern a sistemelor discrete 171 5.2.1. Criteriul matematic general de stabilitate a sistemelor discrete 171 5.2.2. Criteriul Schur-Cohn 171 5.2.3. Criteriul Jury 172 5.2.4. Criterii bazate pe transform ri omografice 173 CAP. VI. SINTEZA SISTEMELOR AUTOMATE LINIARE I CONTINUI 174 6.1. Problemele sintezei SALC 174 6.2. Proiectarea prin încerc ri 174 6.2.1. Reprezent ri grafice utilizate la proiectarea prin încerc ri 175 6.2.2. Amplasarea elementelor de corec ie 178 6.2.3. Re ele de compensare 178 6.2.3.1. Re ele cu avans de faz (re ele derivative) 179 6.2.3.2. Re ele cu întârziere de faz (re ele integratoare) 180 6.2.3.3. re ele cu întârziere I avans de faz (integro-derivative) 181

Page 5: tehnologia sistemelor

6.2.4. Realizarea proiect rii prin metoda încerc rii-etapa compens rii 183 6.3. Proiectarea analitic bazat pe localizarea punctelor singulare ale sistemului 186

6.3.1. Determinarea func iei de transfer a sistemului deschis din specifia ii 186 6.3.1.1. Determinarea excesului poli-zerouri 186 6.3.1.2. Localizarea punctelor singulare func ie de performan ele de regim static 187 6.3.1.3. Leg tura dinre performan ele de regim dinamic i localizarea punctelor singulare 190 6.3.2. Determinarea func iei de transfer a sistemului deschis din func ia de transfer a 190

sistemului închis 6.3.2.1. Metoda reprezent rii grafice a polinoamelor 191 6.3.3. Determinarea func iei de transfer a elementului de compensare 193 6.3.3.1. Implementarea re elelor de corec ie cu ajutorul cuadripolilor pasivi RLC 194 CAP VII. STATICA SISTEMELOR DE REGLARE AUTOMAT 197 7.1. No iuni introductive 197 7.2. Statica SRA cuplate la ie ire 200 CAP. VIII. REGULATOARE AUTOMATE 204 8.1. Principii generale. Clasific ri 204 8.1.1. Locul regulatorului automat într-un sisteme de reglare automat 204 8.1.2. Structura de baz a regulatorului 205 8.1.3. Clasificarea regulatoarelor automate 206 8.2. Caracterizarea func ional a regulatoarelor automate 207 8.2.1. Regulatoare liniare 207 8.2.1.1. Regulator propor ional 207 8.2.1.2. Regulator integral (de tip I) 209 8.2.1.3. Regulator propor ional-integrativ (PI) 210 8.2.1.4. Regulator propor ional derivativ (PD) 210 8.2.1.5. Regulator propor ional-integro-derivativ (PID) 211 8.2.2. Caracterizarea func ional a regulatoarelor continui neliniare 214 8.2.2.1. Regulatorul bipozi ional 214

8.2.2.2. Regulatorul tripozi ional 215 8.3. Criterii de alegere i acordare a regulatoarelor 215 8.3.1. Obiectivele proiect rii în cazul utiliz rii regulatoarelor automate 215 8.3.2. Criterii de alegere a regulatoarelor 216 8.3.2.1. Alegerea tipului de regulator pe baza caracteristicilor procesului reglat 216 8.3.2.2. Alegerea tipului de regulator func ie de natura fizic a parametrului reglat 219

8.3.2.3. Alegerea tipului de regulator pe baza caracteristicilor de frecven a procesului 219 8.3.3. Criterii de acordare a regulatoarelor 223 8.3.3.1. Criteriul modulului. Varianta Kessler a criteriului modulului 223 8.3.3.2. Criteriul suprafe ei minime a erorii ziegler Nichols 225 8.3.3.3. Criteriul suprafe ei patratice a erorii 227 8.3.3.4. Metode de acordare bazate pe func ia de transfer a p r ii fixe 227

CAP. IX. ELEMENTE DE EXECU IE 229 9.1. Locul i rolul elementelor de execu ie în cadrul sistemelor de reglare automat 229 9.2. Elemente de ac ionare 230 9.2.1. Elemente de ac ionare pneumatic 230 9.2.1.1. Elemente de ac ionare pneumatic cu membran cu simplu efect 230 9.2.1.2. Elemente de ac ionare pneumatic cu piston cu simplu i dublu efect 231 9.2.2. Elemente de ac ionare hidraulice 232 9.2.3. Elemente de ac ionare electric 233 9.3. Organe de reglare 235 9.4. Alegerea i dimensionarea elementelor de execu ie 239 CAP. X. TRADUCTOARE 241 10.1 Caracteristicile traductoarelor. Clasific ri 241 10.1.1. Clasificarea traductoarelor 243 10.2. Traductoare analogice 243 10.2.1. Traductoare parametrice rezistive 243 10.2.1.1. Traductoare reostatice 244 10.2.1.2. Traductoare termorezistive 245 10.2.1.3. Traductoare tensometrice 245 10.2.2. Traductoare parametrice inductive 246 10.2.2.1. Traductoare cu întrefier 247

Page 6: tehnologia sistemelor

10.2.2.2. Traductoare de tip transformator 247 10.2.2.3. Traductoare cu miez mobil 248 10.2.3. Traductoare parmetrice capcitive 249 10.2.3.1. Traductoare cu distan a dintre arm turi variabil 249 10.2.3.2. Traductoare cu suprafa a arm turilor variabil 249 10.2.3.3. Traductoare cu permitivitatea dielectricului dintre arm turi variabil 250 10.2.4. Traductoare generatoare 250 10.2.4.1. Traductoare de induc ie 250 10.2.4.2. Traductoare termolelectrice 251 10.2.4.3. Traductoare Hall 251 CAP XI. SINTEZA AUTOMATELOR FINITE 253 11.1 Automat finit 253 11.2. Realizabilitatea fizic a expresiilor logice 254 11.2.1. Reprezentarea func iilor booleene 254 11.2.2. Particularit ile elementelor fizice utilizate în implementarea schemelor logice 255 11.2.2.1. Implementarea cu relee 255 11.2.2.2. Implementarea cu elemente pneumatice 257

11.2.2.3. Implementarea cu elemente hidraulice 258 11.2.2.4. Implementarea cu elemente electronice de comuta ie 258

11.3. Clasificarea schemelor logice 259 11.3.1. Scheme logice combina ionale 259 11.3.2. No iunea de schem secven ial 260

11.3.2.1. Scheme secven iale asincrone 261 11.3.2.2. Scheme secven iale sincrone 263

11.4. Metode de proiectare a schemelor logice 266 11.4.1. Sinteza schemelor logice combina ionale 266 11.4.1.1. Etape i opera ii logice utilizate 266 11.4.1.2. Sinteza schemelor combina ionale cu o singur ie ire 267 11.4.1.3. Minimizarea cshemelor combina ionale cu mai multe ie iri 270 11.4.2. Sinteza schemelor secven iale asincrone cu linii de întârziere 276 11.4.2.1. Descrierea func ion rii automatului 276 11.4.2.2. Determinarea matricii (tabelei) primitive a st rilor i a ie irilor 277 11.4.2.3. Întocmirea matricii reduse a st rilor i a ie irilor 278 11.4.2.4. Codificarea st rilor matricii reduse 279 11.4.2.5. Determinarea matricii de tranzi ie a st rilor i ob inerea func iilor de excita ie 281 11.4.2.6. Determinarea func iilor de ie ire 281

11.4.2.7. Implementarea schemei 282 11.4.2.8. Analiza schemei ob inute 282

11.4.3. Sinteza schemelor secven iale sincrone cu automate elementare 282 11.4.4. Sinteza schemelor secven iale sincrone 286

11.4.4.1. Întocmirea organigramelor 286 11.4.4.2. Etapele sintezei schemelor logice secven iale sincrone 287

BIBLIOGRAFIE 291

Page 7: tehnologia sistemelor

NO IUNI INTRODUCTIVE9

I. NO IUNI INTRODUCTIVE

1.1. Sistem i mediu

No iunea de sistem este o no iune complex , în literatura de specialitate g sindu-semultiple defini ii. Am preferat-o pe cea din [1], i anume:

În sens fizic larg, prin sistem se în elege un complex unitar, relativ delimitat fa de mediu, printr-o structur intern . Pentru explicitarea acestei defini ii vom apela la un exemplu,a c rei schem este prezentat în fig. 1.1:

În figur este prezentat un ansamblu formatdintr-un recipient (R), în care se afl lichid; prinreglarea deschiderii ventilului de intrare (V1) se poate modifica debitul de intrare (Qi), iar prinmodificarea deschiderii ventilului (V2) se poatemodifica debitul de ie ire (Qe). În recipient se maiafl o spiral (SC) prin care circul un agent de înc lzire al c rui debit (Q1) poate fi reglat cuajutorul ventilului (V1).

Pentru desf urarea corect a procesului tehnologic reprezentat în figur presupunem c este necesar s fie rezolvate simultan dou probleme: a) S se modifice adecvat debitul de intrare Qi , astfel încât nivelul lichidului în recipient (h) sr mân constant, indiferent de varia ia debitului deie ire Qe; acest lucru poate fi realizat prin intermediul unui operator uman, care s urm reascnivelul lichidului din recipient i în func ie de tendin a de modificare a acestuia s regleze debitul de intrare, sau utilizând un echipament specializat

(un regulator automat de nivel) care s realizeze aceea i func ie ca i operatorul uman.Elementele care concur la realizarea scopului propus ac ioneaz într-o anumit ordine isunt intercorelate.

Fig. 1.1.

De i din punct de vedere fizic spirala se afl în interiorul recipientului, înc lzirealichidului nu influen eaz p strarea constant a nivelului (neglijând dilatarea recipientului i alichidului).

S-a pus în eviden un prim sistem. b) S se modifice adecvat debitul Qt al agentului termic astfel încât temperaturalichidului din recipientul R s r mân constant . Ca i prima problem , aceast problem poate fi rezolvat utilizând un operator umansau un echipament automat specializat (regulator de temperatur ). i în acest caz seeviden iaz o unitate, respectiv un sistem; de aceast dat , varia ia nivelului din recipientapar ine unit ii, deoarece temperatura lichidului (determinat de schimbul de c ldur întreagentul de înc lzire i lichidul din recipient) depinde de volumul lichidului din recipient (conform legii calorimetriei), deci de nivelul lichidului din recipient, care la rândul s udepinde de debitele Qi i Qe.

Page 8: tehnologia sistemelor

TEORIA SISTEMELOR I REGLAJ AUTOMAT10

Pe baza acestui exemplu se pot formula urm toarele caracteristici relative la no iunea de sistem: 1. Pentru un sistem este esen ial faptul c p r ile sale componente sunt într-o anumitrela ie, care constituie totodat criteriul de delimitare fa de mediul exterior. 2. P r ile sau elementele componente au func ii precise i ocup în cadrul sistemului pozi ii bine determinate, ceea ce permite s se afirme c sistemul se caracterizeaz printr-o anumit structur . 3. Între m rimile fizice ale sistemului exist leg turi de cauzalitate concretizate în procesarea substan ei, energiei i informa iei în conformitate cu legile generale ale naturii. 4. Leg turile de cauzalitate pot fi astfel ordonate încât în cadrul sistemului s existe leg turi inverse – reac ii. Acest tip de conexiune este specific sistemelor cibernetice. 5. Ac iunea comun a p r ilor sistemului asigur realizarea unui anumit scop; prin reuniunea p r ilor, sistemul dobânde te calit i noi, care nu pot fi identificate din analiza p r ilor sale, luate separat. 6. Realizarea scopului propus în exemplul dat, se poate face utilizând un operator uman sau un regulator automat. Func ional, cele dou solu ii au la baz aceea i structurabstract a comunica iilor între p r ile sistemului. Faptul acesta arat c leg turile din cadrul sistemului pot fi descrise pe baza unei scheme abstracte. Sistemele care au aceea i schemabstract sunt izomorfe. 7. No iunea de sistem este relativ deoarece una i aceea i realitate fizic poate cuprinde diverse sisteme corelate sau nu între ele.

1.2. Definirea no iunii de teoria sistemelor i automatic

În natur reg sim sisteme care se bucur de propriet ile enun ate mai înainte, în cele mai diverse domenii (economie, biologie, tehnic , etc.). Analiza unitar a unei asemenea diversit i de sisteme impune elaborarea unor principii, a unor metode i reguli generale pe baza c rora s se poat face aprecieri asupra sistemelor din cele mai diverse domenii. Teoria sistemelor este tiin a care se ocup cu elaborarea metodelor de studiu cele mai generale utilizabile în studierea sistemelor din cele mai diverse ramuri de activitate. O categorie aparte de sisteme o formeaz sistemele automate. Acestea sunt sisteme tehnice care func ioneaz în mod automat (f r interven ia omului) pentru realizarea unui scop impus de realizatorii sistemelor respective. Automatica este ramura tiin ei care se ocup de elaborarea metodelor de analiz isintez a sistemelor automate. Implementarea practic a principiilor i metodelor automaticii poart numele de automatizare. Automatizarea proceselor industriale rezolv cu succes probleme legate de asigurarea unor regimuri optime dorite pentru acestea f r interven ia subiectiv a operatorului uman, asigur conducerea unor procese greu accesibile în care prezen a omului este imposibil . Problematica general a automaticii ca ramur a tiin ei conducerii vizeaz în primul rând conceperea structurilor i strategiilor optime pentru conducerea proceselor i în al doilea rând implementarea pe un suport fizic (hardware) corespunz tor acestor strategii. O prim problem strâns legat de elaborarea structurilor i strategiilor de conducere, o constituie construc ia modelelor func ionale i structural-func ionale pentru procesele supuse automatiz rii, respectiv identificarea cât mai exact a proceselor tehnologice. O alt

Page 9: tehnologia sistemelor

NO IUNI INTRODUCTIVE11

problem ce se impune rezolvat în cadrul automaticii, o reprezint sinteza structurilor istrategiilor de conducere, în vederea realiz rii unor obiective prestabilite la valori optime. Odat elaborat structura teoretic a sistemelor de reglare precum i a strategiei de conducere a acestora, este necesar s se analizeze posibilitatea implement rii acesteia cuelemente fizice (dispozitive de automatizare) care s realizeze cât mai fidel, cu o fiabilitatemaxim i pre minim, performan ele i strategiile de conducere determinate teoretic. O ultim etap în realizarea sistemelor automate este validarea structurilor hardwarealese la etapa precedent , acest lucru realizându-se prin determinarea performan elorstructurilor hardware alese pentru implementare. Solu ia de automatizare este determinat de tipul procesului supus automatiz rii, departicularit ile i complexitatea acestuia, de gradul de cunoa tere a procesului i de cerin elede performan impuse acestuia. Gradul de automatizare i complexitatea echipamentelordestinate conducerii unui proces sunt determinate de complexitatea strategiilor sintetizate, de cerin ele de performan impuse sistemului de conducere.

1.3. Elementele unui sistem automat i ale unui sisteme de reglare

automat

Obiectivele sistemelor automate sunt definite în general prin realizarea unor anumiteleg turi între dou sau mai multe m rimi fizice, chiar dac acestea nu sunt legate prin legifizice. Pentru exemplificare vom presupune c dorim s realiz m o dependen impus întredou m rimi variabile în timp i(t) i y(t), dependen exprimat printr-o func ie:

f(i,y,t)=0 (1.1)

Pentru aceasta vom intercala între ele un dispozitiv de automatizare (DA) care varealiza aceast func ie ca în figura 1.2.

Fig. 1.2.

Ne propunem s realiz m prin intermediul unui dispozitiv de automatizare leg turaîntre iluminatul interior al unei camere Ei i iluminatul exterior Ee.

Un dispozitiv automat ca cel din figura 1.3. va realiza ceea ce ne-am propus. Instala ia este compus dintr-o lamp L alimentat la o surs de tensiune U prin intermediul uni reostat R. Dispozitivul de automatizare este format din celula fotoelectricCFE care m soar iluminarea exterioar Ee, un amplificator AMP i un motor M careac ioneaz cursorul reostatului i care este alimentat cu tensiunea de la ie ireaamplificatorului. Elementele ce alc tuiesc dispozitivul de automatizare precum i leg turile func ionaledintre acestea sunt reprezentate în fig. 1.4.

Elementul 1 – celula fotoelectric realizeaz transformarea m rimii de intrare(iluminarea exterioar ) într-o m rime accesibil celorlalte elemente ale dispozitivului deautomatizare (o tensiune propor ional cu iluminarea). Aceast func ie se realizeaz în cazgeneral de traductorul de intrare. Semnalul (m rimea) de intrare în elementul 1, Ee(iluminarea exterioar ) este numit în general m rime de intrare i este notat cu i. Semnalul de

Page 10: tehnologia sistemelor

TEORIA SISTEMELOR I REGLAJ AUTOMAT12

ie ire al traductorului (în cazul nostru tensiunea v poart numele de m rime de ac ionare, se noteaz cu a i constituie m rimea de intrare pentru elementul 2.

Fig.1.3

Fig. 1.4.

Elementul 2 – (Amplificatorul AMP) prelucreaz semnalul primit de la traductor i genereazla rândul s u un semnal (în cazul nostru o tensiune propor ional cu tensiunea celuleifotoelectrice) care s comande elementul 3 în scopul realiz rii de c tre DA a scopului propus. În caz general elementul 3 poart numele de element de amplificare i comand iar semnalulgenerat de el (în cazul nostru tensiunea V) se nume te semnal (m rime) de comand i se noteaz cu u.

Elementul 3 – (motorul M în cazul exemplului nostru) realizeaz o ac iune (o rota ie în exemplul nostru) care este în general de natur mecanic (rota ie, transla ie), capabil sinfluen eze procesul tehnologic în sensul dorit. El se nume te în caz general element de

execu ie iar m rimea generat de el m rime de execu ie., notat în caz general cu m. Elementele 1-3 formeaz împreun dispozitivul de automatizare.

Elementul 4 reprezint instala ia automatizat (numit uneori procesul tehnologic

supus automatiz rii, pe scurt PT) iar la ie irea lui se ob ine m rimea de ie ire (în cazul nostru iluminatul Ei) notat în caz general cu y, m rime ce trebuie corelat cu m rimea de intrare.

Dispozitivul de automatizare împreun cu instala ia tehnologic formeaz sistemul

automat.Pentru o iluminare exterioar constant (deci pentru o aceea i pozi ie a cursorului pe

rezisten a R) trebuie s avem o iluminare constant Ei. Dac îns la Ee =constant variaztensiunea de alimentare a becului U, atunci Ei se va modifica în sensul modific rii lui U; Acela i lucru se întâmpl dac se modific rezisten a becului sau a rezistorului R (datorituzurii sau îmb trânirii, de exemplu). Exist dou posibilit i de a corecta func ionarea instala iei. 1. S intercal m în circuitul becului o rezisten variabil care s aib o curb de varia ie astfel încât s compenseze varia ia tensiunii de alimentare U a becului; acest lucru

Page 11: tehnologia sistemelor

NO IUNI INTRODUCTIVE13

presupune ca s fie cunoscut anticipat curba de varia ie a tensiunii U. Pentru a realiza ocorec ie eficient ar trebui introduse un num r de rezisten e variabile egal cu num rulfactorilor perturbatori care pot interveni în func ionarea instala iei. În caz general acest lucrunu este posibil pentru c pe de o parte nu putem cunoa te modul de evolu ie în timp afactorilor perturbatori dintr-o instala ie i chiar dac am cunoa te acest lucru, compensareaprin mijloace tehnice a fiec rui factor perturbator ar duce la un pre prea mare al DA.

Fig. 1.5.

Fig. 1.6.

2. S realiz m o supraveghere simultan a celor dou ilumin ri i atunci cândEe=constant iar Ei variaz s ac ion m în a a fel încât s compens m aceast varia ie. Un operator uman ar putea realiza acest lucru dac ar avea afi ate la un loc valorile celor douilumin ri (Ei i Ee), iar când Ee = ct. i Ei tinde s varieze ar ac iona asupra cursorului reostatului R astfel încât s compenseze varia ia lui Ei. Înlocuirea operatorului uman se poateface prin modificarea instala iei ca în figura 1.5.

Prin introducerea celulei fotoelectrice CFE2 i legarea ei în sens opus lui CFE1 vom transmite amplificatorului AMP un semnal egal cu diferen a de tensiune v1-v2; astfel motorulM va fi ac ionat numai când diferen a v1-v2 este diferit de zero. Schema func ional a instala iei este prezentat în figura 1.6. Observ m c fa de schema din fig. 1.4. au ap rut dou noi elemente:

- elementul 5 – celula fotoelectric CFE2 care are ca intrare m rimea de ie ire din sistem (Ei în cazul nostru) i genereaz la ie irea lui un semnal compatibil cu DA, în rela ie cu

Page 12: tehnologia sistemelor

TEORIA SISTEMELOR I REGLAJ AUTOMAT14

y. În caz general el poart numele de traductor de reac ie iar m rimea general se nume tereac ie i se noteaz de obicei cu r. - elementul 6 face compararea prin diferen a m rimilor ob inute de la traductoarele de intrare i de reac ie i aplic acest semnal notat cu (eroare) amplificatorului 2. În cazul instala iei noastre acest element a fost ob inut prin legarea în opozi ie a celor dou celule fotoelectrice. Analizând schemele din fig. 1.4. i 1.6. observ m câteva deosebiri: 1. Sensul de transmisie a semnalului este unic în cazul schemei din fig. 1.4., de la intrare spre ie ire, i dublu, atât de la intrare spre ie ire pe ramura superioar cât i de la ie ire spre elementul de compara ie pe ramura inferioar . 2. Schema din fig. 1.4. se prezint ca un circuit deschis iar cea din fig. 1.6. se prezintca un circuit închis (cu reac ie). Rezult o prim clasificare a instala iilor de automatizare: a) Instala ii cu circuit deschis care au o singur cale de transmitere a informa iei,aceasta circulând de la intrare spre ie ire. Am v zut c aceste instala ii nu preiau informa iireferitoare la m rimea de ie ire, deci nu sunt sensibile la eroare. Precizia acestor instala iidepinde numai de liniaritatea elementelor componente. Conectarea la instala ia automatizatse realizeaz printr-un singur punct. b) Instala ii de automatizare cu circuit închis care au dou sensuri de transmitere a informa iei, corespunz tor celor dou c i de transmitere a informa iei, care sunt conectate la instala ia automatizat în dou puncte: leg tura principal (leg tura direct ) care asigurtransmiterea informa iei de la intrare spre ie ire i leg tura secundar (leg tura invers sau reac ia) care asigur transmiterea informa iei de la ie ire spre intrare. Aceste instala iistabilesc un circuit închis i sunt denumite în mod curent bucle de automatizare. Schemele de automatizare în circuit închis nu sunt sensibile la m rimea de intrare ci la diferen a dintre m rimea de intrare (sau m rimea dependent de aceasta) i m rimea de reac ie (care poate fi chiar m rimea de ie ire sau o m rime dependent de aceasta); în cazul exemplului nostru g=v1-v2. Deducem c instala ia automatizat în circuit deschis este un caz particular al instala iei cu circuit închis la care s-a întrerupt reac ia (f când v2=0 rezult=v1=m rimea de intrare în elementul de comand a instala iei de automatizare deschise).

1.4. Reglare automat . Sistem de reglare automat

Reglarea automat este definit ca fiind un ansamblu de opera ii care se efectueaz în circuit închis, alc tuind o bucl echipat cu dispozitive anume prev zute, cu ajutorul c rora se efectueaz o compara ie prin diferen a valorii m surate a unei m rimi din procesul reglat, cu o valoare prestabilit , constant sau variabil în timp, i se ac ioneaz asupra procesului astfel încât s se tind spre anularea acestei diferen e. Schema func ional a unui sistem de reglare automat este prezentat în fig. 1.7. Cel mai important element al sistemului de reglare automat este regulatorul automat (RA); din punct de vedere constructiv, în general, regulatoarele automate con in înglobate ielementele de compara ie având deci dou intr ri, una pentru semnalul de intrare (referin ),iar alta pentru semnalul reac ie. În instala ii regulatorul poate fi reprezentat de un calculator numeric care are implementa i algoritmi de reglare. În sistemele de reglare automat se întâlnesc de obicei i alte elemente menite sasigure buna func ionare a sistemului sau s ofere informa ii suplimentare despre diferite

Page 13: tehnologia sistemelor

NO IUNI INTRODUCTIVE15

m rimi din sistem precum: convertoare, adaptoare, elemente de calcul, înregistratoare, surse de energie, etc.

Fig. 1.7. (Legend : TrI – traductor de intrare; Ec – comparator diferen ial;RA – regulator automat; EE – element de execu ie; IT – instala ie

tehnologic ; TrR – traductor de reac ie; P – perturba ie; W – perturba ie pe calea de reac ie)

1.4.1. Clasificarea sistemelor de reglare

Exist mai multe criterii de clasificare a sistemelor de reglare:1. Dup principiul de func ionare deosebim:

a) sisteme de reglare conven ionale de baz la care m rimea de ie ire (y) urm re tem rimea de intrare (i) i care la rândul lor pot fi:

- sisteme de urm rire la care m rimea de ie ire urm re te m rimea de intrareindiferent de evolu ia în timp a m rimii de intrare;

- sisteme de reglare automat la care m rimea de intrare are o evolu ie în timppredeterminat ;

b) sisteme de reglare specializate care pot fi adaptive, optimale sau extremale. 2. Dup aspectul varia iei în timp a m rimii de intrare:

a) sisteme de stabilizare automat la care m rimea de intrare este fix (invariant în timp) – se mai numesc i sisteme de reglare automat cu consemn fix;

b) sisteme de reglare automat cu program variabil la care m rimea de intrare are o evolu ie impus în timp;

c) sisteme de reglare automat de urm rire la care m rimea de intrare variazaleatoriu.3. În func ie de viteza de varia ie a m rimii de ie ire:

a) sisteme de reglare automat pentru procese lente; b) sisteme de reglare automat pentru procese rapide;

4. În func ie de num rul de intr ri i ie iri:a) sisteme de reglare cu o singur intrare i o singur ie ire;b) sisteme de reglare cu mai multe intr ri i/sau ie iri.

5. În func ie de natura comenzii:a) cu comand continu , când m rimea de comand (u) a regulatorului automat este o

func ie continu ; b) cu comand discret , când m rimea de comand este un tren de impulsuri (modulatîn amplitudine, frecven , faz , etc.).6. Dup complexitatea schemei func ionale:

a) simple, care au o singur bucl ;b) complexe, care au mai multe bucle i care pot fi:

Page 14: tehnologia sistemelor

TEORIA SISTEMELOR I REGLAJ AUTOMAT16

- în cascad , la care în cursul regl rii pe lâng m rimea de ie ire sunt reglate ialte m rimi intermediare; - cu reglare combinat , la care în schem sunt prev zute mai multe regulatoarecare îns intervin numai în anumite momente func ie de evolu ia unor parametri din instala iatehnologic .

1.5. No iuni introductive referitoare

la sistemele dinamice

1.5.1. Semnale

În timpul func ion rii oric rui sistem automat, în elementele care îl constituie seproceseaz materie sau energie. Leg turile ce se stabilesc între diferitele elemente ale sistemelor automate sunt materializate prin m rimi fizice care se transmit între aceste elemente. Indiferent de natura fizic i de parametrii acestor m rimi fizice, ceea ce le este comun tuturor, este c ele pot ficaracterizate în fiecare moment prin anumite valori ale parametrilor acestor m rimi, adiccon in o înc rc tur informa ional ce se transmite între elementele sistemului. În analizasistemelor proprie teoriei sistemelor se ia în considerare în primul rînd caracterulinforma ional al m rimilor implicate în func ionarea sistemului respectiv, acest mod deabordare conferind analizei cel mai înalt grad de generalitate. Ceea ce caracterizeaz orice fel de informa ie este faptul c ea nu este cunoscut dinainte. O m rime fizic prin care se transmite o informa ie se nume te semnal.

M rimile fizice sunt caracterizate de o multitudine de parametri fizici (de exemplu o tensiune alternativ este caracterizat de frecven , amplitudine, defazaj); nu to i parametrii ce caracterizeaz m rimea fizic transmit informa ia în cadrul leg turilor dintre elementelesistemului.

JC JR e

Fig.1.8.

Parametrul care se modific dependent de informa iatransmis de semnalul respectiv se nume te parametru

informa ional.

În cazul oric rei transmisii de informa ie existimplicit un emi tor i un receptor al informa iei. Leg turaîntre informa ie i parametrul informa ional se realizeazpe baza unui cod la emi torul informa iei. Pentru ca spoat fi în eles întregul con inut informa ional al unui semnal, este necesar ca la receptor s se realizeze opera iainvers , adic din varia ia parametrului informa ional s fieextras , pe baza aceluia i cod, ca i la emisie, informa ia.

Pentru exemplificare vom considera cazul m sur rii unei temperaturi cu un termocuplu ca în figura 1.8.; informa ia este constituit de valoarea temperaturii . La capetele jonc iunii reci (JR) a termocuplului apare o tensiune continu , a c rei valoare este propor ional cu temperatura jonc iunii calde (JC). Semnalul este constituit în acest caz detensiunea continu ce apare la capetele jonc iunii calde iar parametrul informa ional este constituit din valoarea efectiv a tensiunii (e).

Page 15: tehnologia sistemelor

NO IUNI INTRODUCTIVE17

1.5.1.1. Clasificarea semnalelor

Se pot stabili diverse criterii de clasificare a semnalelor:1. Dup efectele produse asupra sistemului în care acestea sunt transmise:

a) semnale utile, care introduc efecte dorite;b) semnale perturbatoare, care introduc efecte nedorite asupra sistemului.

2. Dup natura m rimii fizice care constituie suportul semnalului:a) semnale electrice (tensiune, curent, parametrii de circuit); b) semnale mecanice (for e, cupluri, etc.); c) semnale hidraulice (presiuni de lichide); d) semnale pneumatice (presiuni de gaze).

3. Dup mul imea valorilor pe care le poate lua parametrul informa ional între dou valori aleacestuia:

a) semnale analogice, atunci când mul imea valorilor pe care le poate lua parametrulinforma ional este o mul ime inclus în mul imea numerelor reale; b) semnale numerice la care mul imea valorilor parametrului informa ional este o mul ime inclus în mul imea numerelor întregi.4. Dup modul de definire a parametrului informa ional func ie de variabila de timp:

a) semnale continui în timp, la care pentru fiecare valoare a variabilei timp este definit o valoare a parametrului informa ional;

b) semnale discrete în timp, la care valorile parametrului informa ional sunt definitenumai pentru diferite valori admisibile ale variabilei de timp.5. Dup previzibilitatea evolu iei în timp:

a) semnale deterministe, la care valoarea parametrului informa ional poate fi cunoscut aprioric pentru orice valoare admisibil a timpului;

b) semnale nedeterministe, la care pentru orice valoare admisibil a timpului nu se poate face decât o estimare probabilistic a valorilor parametrului informa ional.

1.5.1.2. Semnale definite printr-o distribu ie

Vom defini no iunea de distribu ie prin analogie cu definirea unei func ii.O func ie este un procedeu prin care se asociaz fiec rui num r din mul imea de defini ie un num r (nici unul, mai multe sau o infinitate) din mul imea valorilor. O distribu ie T este un procedeu care asociaz fiec rei func ii din mul imea de defini ie un num r notat <T, >, sau T( ). Func iile pe care opereaz distribu ia T apar in unui domeniu D. Func iile satisfaccondi ii severe:

a) func iile sunt nule în afara unui interval finit ;b) func iile sunt indefinit derivabile; c) pe D – domeniul func iilor , este definit func ia norm , . care

permite s se m soare “distan a” dintre dou func ii 21 .

Un ir de func ii n din D converge la implic faptul c toate distan ele n ,

)1()1(n , ...... )()( p

np , tind c tre zero când n tinde la infinit.

Distribu ia este un procedeu liniar i continuu.

Page 16: tehnologia sistemelor

TEORIA SISTEMELOR I REGLAJ AUTOMAT18

Unei func ii continui i integrabil pe orice interval finit i se poate asocia o distribu ienotat [f], astfel:

dtttff )()(, (1.2)

O distribu ie important este distribu ia Dirac notat care asociaz fiec rei func iinum rul (0):

)0(, (1.3)

În mod asem n tor se define te a astfel ca:

)(, aa (1.4)

Un exemplu sugestiv referitor la modul de definire al distribu iei îl constituiecurentul care apare într-un circuit în care este conectat o capacitate la conectarea circuitului ca în fig. 1.9. Considerând tensiunea pe condensator definit de:

0.

0.0)(

tptE

tpttU C (1.6)

K

E UC C Curentul prin circuit, aproape peste tot nul,exist totu i deoarece condensatorul se încarci are semnifica ia unei distribu ii.

Fig. 1.9 Dintre propriet ile distribu iilor amintim:

a) Egalitatea a dou distribu ii T1 i T2:T1=T2 dac T1, T2, pentru orice func ie ) din D.

b) produsul unei func ii g printr-o distribu ie T, notat gT sau Tg este o distribu iedefinit prin:

gT, Tg, T, g

unde g este produsul algebric a dou func ii. Pentru ca Tg s existe este necesar ca g s fie o func ie indefinit derivabil .

c) Derivata T’ a unei distribu ii T este definit prin procedeul: T’, T ’

Dac distribu ia este asociat unei func ii continui f atunci: f ’, f’ ,

Dac distribu ia este asociat unei func ii discontinui în punctul a, atunci: f ’, f’ , f(a+)-f(a-) (a) f’ , f (t-a),

unde s-a notat f(a+) valoarea în vecin tatea din dreapta iar cu f(a-) valoarea din vecin tatea dinstânga lui punctului a a func iei f(t), iar:

f f(a+)-f(a-) saltul func iei în punctul a. Distribu ia f exist pentru c f este local integrabil .

Page 17: tehnologia sistemelor

NO IUNI INTRODUCTIVE19

1.5.1.3. Reprezentarea temporal a semnalelor continui în timp

Principalele semnale utilizate în analiza sistemelor continui sunt: a) Semnalul treapt unitar (t) este definit de rela ia:

01

00)(

t

tt (1.7)

(t) (t)

1

Fig. 1.10 a) b)

Fig. 1.11

Graficul func iei treapt este prezentat în figura 1.10. Func ia treapt unitar (treaptHeaviside) nu este definit pentru t=0; func ia treapt aproximeaz într-o form idealfenomenele de cuplare la re ea a aparatelor electrice. R spunsul unui sistem la semnal treapt unitar este numit r spuns indicial sau func ieindicial i se noteaz cu w(t).

b) Impulsul unitar (t) (Impulsul Dirac) este definit de :

+ pentru t=0

(t) (1.8)0 pentru t 0

Graficul func iei impuls unitar este prezentat în figura 1.11.a. Impulsul unitar are o amplitudine infinit i o durat infinit mic ; acest semnal poate fi aproximat printr-un semnalde amplitudine finit (1/ i de durat ( ) cât mai mic , ca în fig. 1.11.b. R spunsul unui sistem la semnalul impuls unitar se nume te func ie pondere (r spunspondere). Se observ c atunci când tinde spre zero impulsul real prezentat în figura 1.11.b. tinde spre (t).

Semnalul impuls unitar se bucur de proprietatea c suprafa a sa este egal cu unitatea;acest lucru se exprim prin rela ia:

(1.9) 1)( dtt

rela ie ce constituie un mod de defini ie a lui (t).c) Semnalul ramp unitar r(t) este definit de rela ia:

0 pentru t 0

r(t) (1.10) t pentru t 0

(t)

ttt 0

22

Page 18: tehnologia sistemelor

TEORIA SISTEMELOR I REGLAJ AUTOMAT20

r(t)

tg 1 t

Fig. 1.12

Semnalul ramp exprim viteza de varia ie a m rimii considerate iar reprezentarea grafic este prezentat în figura 1.12. Trebuie remarcat faptul cpanta semnalului ramp poate fi diferit de unitate.

d) Semnalul armonic sinusoidal este un semnal periodic necauzal definit prin rela ia:

u(t)= sin t (1.11)

i este utilizat pentru a studia comportarea sistemelor în domeniul frecven elor. Uneori se folose te semnalul armonic complex mult mai u or de manipulat:

u(t)=ej t (1.12)

1.5.1.4. Reprezentarea temporal a semnalelor discrete în timp

Principalele semnale discrete utilizate în studiul sistemelor sunt:a) Semnalul impuls unitar discret (k) definit de rela ia:

0 pentru k 0

(k)= (1.13)1 pentru k=0

iar graficul este prezentat în figura 1.13. b) semnalul treapt discret (k) definit de rela ia:

0 pentru k<0

(t)= (1.14)1 pentru k 0

Graficul semnalului treapt discret este prezentat în figura 1.14. c) Semnalul ramp unitar discret r(k) definit de rela ia:

0 pentru k<0

r(k)= (1.15)k pentru k 0

i cu graficul din figura 1.15.

(k) (k) r(k)

k k k

0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4

Fig. 1.13 Fig. 1.14 Fig. 1.15

Page 19: tehnologia sistemelor

NO IUNI INTRODUCTIVE21

1.5.2. Modele matematice

Prin analiza unui sistem se urm re te determinarea comport rii sistemului respectiv în diferite condi ii, comportare ce este descris prin evolu ia anumitor m rimi ce intervin în func ionarea sistemului respectiv. O analiz exhaustiv în domeniul sistemelor tehnice ce ar implica determinarea evolu iei tuturor m rimilor ce intervin în func ionarea sistemului respectiv, este pe de o parte foarte dificil de realizat, iar pe de alt parte lipsit de utilitate practic deoarece influen aanumitor m rimi asupra evolu iei generale a sistemului este neglijabil în raport cu alte m rimi. Teoria sistemelor elaboreaz legi generale pe baza c rora se poate face analiza sistemelor tehnice i fizice din cele mai diverse domenii. Pentru ca aceste reguli cu caracter general s poat fi aplicate unor sisteme particulare este necesar ca, în prealabil, acestea s fie prezentate într-o form general care s uniformizeze modul de prezentare a sistemelor; aceast form general de prezentare se constituie ca un model a sistemului respectiv.

Un model a unui sistem este o imagine a acestuia, care reflect într-o form

simplificat i idealizat i cu o acurate e suficient (determinat de necesit ile practice de

utilizare) rela iile cauzale ce se stabilesc între elementele sistemului (structura acestuia) i

care determin evolu ia m rimilor de interes pentru analiza sistemului respectiv.

Deoarece limbajul cu gradul de universalitate cel mai ridicat este limbajul matematic, forma cea mai general i în acela i timp cea mai abstract de prezentare a modelelor o va reprezenta modelul matematic. Un model matematic ata at unui sistem reprezint un set de rela ii matematice de tipul ecua iilor algebrice sau diferen iale în care sunt implicate variabile fizice specifice sistemului respectiv, pe baza c reia se poate ob ine o caracterizare cantitativ a func ion rii sistemului cât mai apropiat de realitate. Modelele matematice utilizate pentru caracterizarea proceselor pot fi structurale sau sintetice. Parametrii unui model structural au o interpretare structural natural i sunt determina i pe baza legilor fizice ce guverneaz sistemul c ruia îi este ata at modelul matematic. Modelele sintetice nu sunt bazate pe legile fizice ce caracterizeaz sistemul respectiv. Un model matematic eficient trebuie s satisfac urm toarele cerin e: -universalitate (se poate aplica tuturor obiectelor ce fac parte dintr-o clas de interes); -un num r limitat de parametri; -identificabilitatea parametrilor. Modelele matematice se pot ob ine pe cale analitic , pe cale experimental sau prin metode mixte. Pe baza unui model matematic corect întocmit se pot explica anumite aspecte ale func ion rii sistemului deja cunoscute i se pot face predic ii asupra func ion rii sitemului în diverse situa ii.

1.5.2.1. Ob inera modelelor matematice pe cale analitic

Ob inerea pe cale analitic a modelelor se face pe baza legilor fizice ce guverneazsistemul respectiv i care determin leg turile între elementele sistemului respectiv. Etapele ob inerii pe cale analitic a unui model matematic sunt: 1. Stabilirea conexiunilor exterioare ale procesului cu mediul i a ipotezelor simplificatoare utilizate în elaborarea modelului, ipoteze ce vor mic ora efortul de modelare

Page 20: tehnologia sistemelor

TEORIA SISTEMELOR I REGLAJ AUTOMAT22

f r a afecta prea mult acurate ea (precizia cu care descrie cantitativ func ionarea sistemului) acestuia. 2. Stabilirea ecua iilor de bilan dinamic pentru masele energiile sau impulsurile care apar în cadrul sistemului respectiv. În cadrul acestei etape pe baza ipotezelor simplificatoare stabilite la etapa 1, se pun în eviden elementele care realizeaz acumularea, disiparea sau transferul de mas , energie sau impuls i ecua iile ce descriu func ionarea acestor elemente. Func ionarea elementelor care realizeaz acumularea de energie, mas sau impuls este descris cu ajutorul ecua iilor diferen iale, iar func ionarea elementelor disipative este descriscu ajutorul ecua iilor algebrice ordinare. În aceast etap se stabile te ce tip de ecua ie se ata eaz fiec rui element. Ecua iile de bilan care reflect varia iile acumul rilor, reprezintecua ii diferen iale, acestea fiind ecua ii de stare ale sistemului. 3. Stabilirea ecua iilor de stare fizico-chimice; ecua iilor generale stabilite anterior li se ata eaz m rimi fizico-chimice coerente, implicate în func ionarea sistemului respectiv. 4. Simplificarea modelului prin opera ii specifice precum: - liniarizarea ecua iilor neliniare în jurul punctului nominal de func ionare; - aproximarea ecua iilor cu derivate par iale prin ecua ii diferen iale ordinare; - reducerea ordinului ecua iilor diferen iale ordinare. 5. Validarea modelului; în cadrul acestei etape se face compara ie între datele deja cunoscute referitoare la func ionarea sistemului (din experimente deja realizate sau pe baza experien ei anterioare cu privire la sisteme similare) i datele ob inute prin calcul pe baza modelului matematic. De asemenea se fac predic ii asupra func ion rii sistemului pe baza modelului matematic i se concep i se realizeaz experimente cu ajutorul c rora s se verifice aceste predic ii. Atunci când datele experimentale coincid cu cele teoretice (cu o marj de eroare impus de aplica ia respectiv ) modelul matematic este corect. În caz contrar se corecteaz modelul matematic ac ionând asupra ipotezelor simplificatoare de la etapa 1 sau asupra simplific rilor efectuate la etapa 4, pân când verific rile experimentale coincid cu predic iile teoretice f cute pe baza modelului, deci modelul este validat. Exist dou mari categorii de caracteriz ri a sistemelor prin modele matematice analitice:

a) Caracterizarea extern (caracterizare intrare-ie ire)

În acest caz sistemul este v zut ca un tot (cutie neagr ) iar caracterizarea acestuia se face numai prin intermediul descrierii interac iunii cu mediul ca în fig. 1.16. Modelul matematic va fi constituit în acest caz dintr-un set de rela ii între m rimile de intrare u ce ac ioneaz din exterior asupra procesului i m rimile de ie ire y prin care sistemul ac ioneazasupra mediului exterior. Aceste rela ii se ob in din condi ii de echilibru dinamic al m rimilor ce intervin în func ionarea sistemului respectiv. Pentru exemplificare vom considera cazul unui sistem format dintr-un cuadripol de elemente pasive RLC ca în fig. 1.17.: m rimea de intrare în sistem este constituit de tensiunea de intrare Ui(t) iar m rimea de ie ire din sistem de c tre m rimea de ie ire Ue(t), ambele variabile în timp. Modelul matematic va descrie leg tura în regim dinamic dintre m rimea de intrare im rimea de ie ire. În componen a circuitului intr elementul disipativ constituit din rezistorul R ielemente acumulatoare (inductan a L i capacitatea C)

Page 21: tehnologia sistemelor

NO IUNI INTRODUCTIVE23

i R L

u y Ui UR UL UC C Ue

Fig. 1.16 Fig. 1.17 Rela ia ce caracterizeaz func ionarea unui element disipativ este o ecua ie algebricde forma:

y(t) = K u(t) (1.16)

Rela ia ce caracterizeaz func ionarea unui element acumulator este de forma:

y(t) =Kdt

du(1.17)

Pentru elementul R considerând m rimea de intrare i (curentul prin circuit) iar m rimea de ie ire UR (c derea de tensiune pe rezistor) se particularizeaz astfel:

UR(t) =K i(t) (1.18)

Pentru inductan a L consider m m rimea de ie ire UL (c derea de tensiune pe inductan ) iar rela ia cap t forma particular :

UL = Ldt

di(1.19)

Pentru elementul acumulator C, considerând m rimea de intrare UC(t) i m rimea deie ire iC(t) (curentul prin condensator) rela ia se pune sub forma particular :

iC(t) = Cdt

duC (1.20)

Rela ia de bilan dinamic din care se ob ine modelul matematic intrare-ie ire este datde legea lui Kirckhoff:

ui =ur + uL + uC (1.21)

inând cont c uC =ue i i = iC (quadripolul func ioneaz în gol) ob inem:

ui = R i + Ldt

di + ue (1.22)

Înlocuind i = iC din rela ie ob inem:

eee u

dt

dURC

dt

udLC

2

2

(1.23)

Page 22: tehnologia sistemelor

TEORIA SISTEMELOR I REGLAJ AUTOMAT24

Rela ie ce constituie modelul matematic al sistemului constituit din quadripolul din fig. 1.17. Notând Ue = y i Ui = u se ob ine rela ia:

uydt

dyRC

dt

ydLC

2

2

(1.24)

Notând în continuare: nLC

1 pulsa ie natural

L

CR

2 - factor de amortizare

K = 1 – factor de amplificareob inem o form general a modelului matematic al unei categorii largi de sisteme dat deecua ia:

uKydt

dy

dt

ydnnn

222

2

2 (1.27)

Descrierea extern este util în special în cazul analizei i a sintezei sistemelormonovariabile, forma general a modelului matematic intrare – ie ire fiind:

0),,.....,,,,......,,( )1()()1()( tuuuyyyf mmnn (1.28)

Pentru sistemele liniare, continui, cu parametrii concentra i forma general a modelului matematic a unui sistem de ordin n este:

(1.29) ubububyayayay m

m

m

m

n

n

n

n

n

0)1(

1)(

0)2(

2)1(

1)( ..............

unde an-1, an-2, ... ,a0, bm, bm-1, ... ,b0 sunt constante, y(t) este m rimea de ie ire iar u(t)m rimea de intrare. Dup cum se observ , ecua ia (1.26) este o particularizare de ordin 2 (n=2, m=0) amodelului general prezentat de (1.28). Prin identificare a1 2 n, a0 = n

2, b0 = K n2.

Pornind de la descrierea extern exprimat de ecua ia (1.28) care reprezint modelulmatematic intrare-ie ire în domeniul real se poate ob ine modelul matematic intrare-ie ire îndomeniul complex i modelul intrare-ie ire în frecven .

Aplicând transformarea Laplace în ambii membri ai rela iei (1.29) se ob ine modelulmatematic intrare-ie ire în domeniul complex reprezentat de func ia de transfer notat în general cu H(s), unde s este o variabil complex s = j prin defini ie, func ia de transfereste raportul dintre imaginea prin transformarea Laplace a r spunsului normal a unui sistemi imaginea prin transformarea Laplace a semnalului de intrare care a provocat acel r spuns.

Din rela ia (1.29) se ob ine:

01

1

01

1

.....

.....

)(

)()(

asas

bsbsb

sU

sYsH

n

n

n

m

m

m

m (1.30)

Page 23: tehnologia sistemelor

NO IUNI INTRODUCTIVE25

Func ia de transfer fiind determinat de coeficien ii bm, bm-1, ... , b0, an-1, an-2, ... , a0 ca i modelul matematic în domeniul timpului descris de rela ia (1.29), evolu ia în planul

complex a func iei de transfer va oferi informa ii despre evolu ia în planul real al semnalului de ie ire y(t), deci va descrie func ionarea sistemului.

Înlocuind în rela ia (1.30) variabila complex s cu j� se ob ine func ia de transfer în fecven cu ajutorul c reia se poate descrie comportarea sistemului atunci cînd la intrare este aplicat un semnal sinusoidal cu frecven variabil .

b) Descrierea intern

Descrierea intern a unui sistem este realizat de c tre ecua iile intrare stare ie ire a c ror form general este:

)),(),(()( ttUtXftX

(1.31))),(()( ttXgtY

unde, fiind definite XXX = mul imea valorilor variabilelor de stare, UUU = mul imea valorilor semnalelor de intrare, YYY = mul imea valorilor variabilelor de ie ire:

- reprezint vectorul variabilelor de stare care determin comportarea unui sistem atunci cînd starea actual a sistemului i intr rile sunt cunoscute

;

nRtX X)(

)],....,[)(( 21T

nxxxtX

- reprezint vectorul de intrare mRtU U)( )]...,,[)(( 21T

muuutU

- reprezint vectorul de ie irepRtY Y)( )],...,,[)(( 21T

pyyytY

Modelul matematic ce asigur descrierea intern a unui sistem, numit i sistem dinamicneted, este reprezentat de c tre tripleta ( ,f,g) care satisface rela iile matematice (1.31), unde: 1- –este clasa admisibil a func iilor de intrare; = },)({ UTtt iar TTT este

mul imea valorilor variabilei independente de timp RT ; un operator extrage m rimilede comand u(t) din evolu iile admisibile (t):u(t)= (t); 2- f:Rn*Rm*R Rn este o func ie continu în x i u i global Lipschitzian în raport cu x, adic fiind date dou faze x1 i x2 oarecare, exist un num r L astfel încît: ),,(),,( 21 tuxftuxf 21 xxL ;

3- g:R*Rn Rp este o func ie continu . Condi iile 1 i 2 asigur existen a local a solu iei ecua iei diferen iale x’=f(t,x,u) pentru orice comand u(t) U i condi ie ini ial x( )=x , solu ie care se scrie:

,,,()( xttx ) (1.32)

Mul imea },,,({ Rtxt se nume te traiectorie de stare, care trece prin x� la

momentul . Func ia (t, ,x ) se nume te func ie de tranzi ie a st rilor.

Atunci cînd variabila independent este definit pe mul imea numerelor întregi, k Zatunci sistemele dependente de aceast variabil sunt sisteme discrete, modelele lor matematice similare ecua iilor (1.29), (1.31) fiind:

- modelul matematic intrare-ie ire în domeniul real pentru sisteme liniare invariante:

Page 24: tehnologia sistemelor

TEORIA SISTEMELOR I REGLAJ AUTOMAT26

)(...)1()()(...)1()( 0101 kubmkubmkubkyankyanky mmn (1.33)

pentru sistemele fizic realizabile n m.- modelul matematic intern:

)),(),1(()1( kkUkXfkX

(1.34))),(()( kkXgkY

unde: 1 – }RZ:(.)(.){ muuU

2 - continunmnf RR*R*Z:

3 - continu în raport cu x pn RR*Z:g

1.5.3. Tipuri de sisteme

Pornind de la ecua iile (1.31) care descriu modelul, matematic al sistemelor netedeimpunînd anumite restric ii asupra func iilor f i g, se poate face urm toarea clasificare asistemelor dinamice: 1. Dac func ia f este liniar în x i u i func ia g este liniar în x atunci sistemuldinamic este liniar. Aceasta înseamn c se poate scrie:

)()()()(),,( tUtBtXtAUXtf (1.35)

i:

)()(),( tXtCXtg (1.36)

cu pxnnxmnxn tCtBtA R)(,R)(,R)( Dac f sau g nu sunt liniare sistemul este neliniar.

În cazul sistemelor liniare func ia de tranzi ie a st rilor t, ,x ) este o aplica ieliniar în argumentele x, Datorit liniarit ii se poate scrie:

),,,(),,,(),,,( 22211122112211 xtcxtcccxcxct (1.37)

2. Dac variabila t nu apare explicit în func iile f i g atunci sistemul dinamic este invariant

în timp i se poate scrie pentru sistemele continui:

)()())(),(( tUBtXAtUtXf

(1.38))())(( tXCtXg

unde A,B,C sunt matrici constante de dimensiuni corespunz toare. Dac func iile f i/sau g depind explicit de timp atunci sistemul dinamic este variant în

timp.

3. Dac în cazul ecua iilor (1.31) se poate pune în eviden o singur variabilindependent (t pentru sistemele netede) atunci sistemul este un sistem cu parametrii

concentra i; când în (1.31) pot fi puse în eviden mai multe variabile independente sistemul

Page 25: tehnologia sistemelor

NO IUNI INTRODUCTIVE27

este un sistem dinamic cu parametrii distribui i, ecua iile care constituie modelul lor matematic fiind ecua ii cu derivate par iale. 4. Dac toate semnalele ce intervin în (1.31) sunt semnale deterministe atunci sistemul este un sistem determinist; dac cel pu in unul din semnale este nedeterminist atunci sistemul este stocastic (nedeterminist). 5. Dac în spa iul st rilor este un spa iu cu un num r finit de dimensiuni sistemul dinamic este un sistem finit dimensional; dac mul imea st rilor este o mul ime finit atunci sistemul este un sistem cu un num r finit de st ri; dac un sistem cu un num r finit de st ri are mul imea m rimilor de intrare i mul imea m rimilor de ie ire finite, atunci sistemul este un sistem finit.

Page 26: tehnologia sistemelor

TEORIA SISTEMELOR I REGLAJ AUTOMAT28

CAP.II DESCRIEREA EXTERN A SISTEMELOR

DINAMICE NETEDE

2.1. Modelul matematic intrare-ie ire al sistemelor monovariabile, liniare,

invariante în timp cu parametrii concentra i

Pornind de la rela iile care descriu un sistem dinamic:

0)),((

0)),(),((

ttxg

ttutxf (2.1)

Pentru sistemele netede invariante în timp ecua iile anterioare se particularizeazastfel:

)()()(

)()()(

tDUtCXtY

tBUtAXtX (2.2)

unde A,B,C,D sunt matrici de elemente constante de dimensiuni corespunz toare (A(nxn), B(nxm), C(pxn), D(pxm)); în cazul sistemelor monovariabile m=p=1. Introducând un operator de derivare p, astfel încât p*f=df/dt, din prima rela ie (2.2), presupunând matricea A nesingular , se ob ine:

(2.3) BuApIX 1)(

unde I este matricea unitate. Introducând în cea de a doua ecua ie (2.2) rezult :

duBuApIadj

CduBuApICty TT )()()( 1 (2.4)

unde s-a notat cu determinantul matricii (pI-A) care va fi un polinom de gradul n cu variabila p. Elementele matricii adj(pI-A) vor fi polinoame în p de grad cel mult n-1. Dacd=0 (cazul sistemelor proprii), atunci rela ia (2.4) se poate scrie:

)()(

)()( tu

pQ

pPty (2.5)

unde P(p) este un polinom de grad mxn iar Q(p) este un polinom de grad n în p. Explicitând cele dou polinoame se ob ine:

)(....

....)(

01

1

01

1 tuapap

bpbpbty

n

n

n

m

m

m

m (2.6)

Page 27: tehnologia sistemelor

DESCRIEREA EXTERN A SISTEMELOR29

inând cont de semnifica ia operatorului p din (2.6) rezult :

)(....)()()(....)()( 0)1(

1)(

0)1(

1)( tubtubtubtyatyaty m

m

m

m

n

n

n (2.7)

Rela ia (2.7) constituie modelul matematic intrare-ie ire în domeniul timpului al sistemului dinamic monovariabil neted liniar cu parametri concentra i exprimat de (2.2). În cazul sistemelor care nu sunt proprii rela ia (2.70) r mâne valabil cu precizarea c în acest caz n=m.

Rela ia (2.7) descrie interac iunile sistemului dinamic cu mediul, sistemul fiind v zutîn acest caz ca o cutie neagr asupra c ruia ac ioneaz m rimea de intrare u din exterior icare reac ioneaz prin intermediul m rimii de ie ire y (vezi fig 2.1).

u(t) y(t) Sistemdinamic

Fig. 2.1

A analiza un sistem descris de o ecua ie de tipul (2.7) înseamn a determina modul în care sistemul r spunde la diferite semnale de intrare, ceea ce presupune rezolvarea ecua ieidiferen iale (2.7); pentru a putea rezolva aceast ecua ie diferen ial este necesar s fiecunoscute condi iile ini iale pentru y(t) i cele n-1 derivate ale lui y precum i evolu ia în timp a m rimii de intrare, atât pentru t 0 cât i pentru t 0. Solu ia general a ecua ieidiferen iale (2.7) va avea dou componente: o component determinat numai de condi iileini iale i de propriet ile sistemului dinamic (solu ia ecua iei omogene) numit componentade regim liber, yl i o solu ie determinat de m rimea de intrare u(t) (o solu ie particular a ecua iei neomogene) numit componenta de regim for at yf, adic :

)()()( tytyty fl (2.8)

Componenta yl(t) se determin ca o sum de exponen iale de forma:

(2.9) n

i

t

ilieCty

1

)(

unde i sunt solu iile ecua iei caracteristice ata ate ecua iei omogene; Ci sunt constante care se determin din n condi ii ini iale ale ie irii i derivatelor acesteia.

Componenta de regim for at yf se calculeaz prin metoda varia iei constantelor, c utându-se o solu ie de aceea i form cu componenta liber în care constantele sunt înlocuite prin func ii de timp ce urmeaz a fi determinate din condi ia ca solu ia de regim for at ssatisfac ecua ia neomogen (2.7).

n

i

ifietqty

1

)()( (2.10)

Aceast modalitate de analiz devine dificil în cazul sistemelor de grad n 3.

Page 28: tehnologia sistemelor

TEORIA SISTEMELOR I REGLAJ AUTOMAT30

2.2. Analiza sistemelor automate liniare i continui

prin metode opera ionale

2.2.1. Transformata Laplace

Transformata Laplace obi nuit (unilateral ) a unei func ii f(t) se define te ca fiind):

(2.11) 0 0

)()()()]([ dteetfdtetfsFtfL tjtst

unde s este o variabil complex s j . Transformata Laplace opereaz cu func ii care se consider nule pentru t <0. f(t) se nume te func ie original, iar F(s) imaginea lui f(t) printransformata Laplace.

inând cont de formula lui Euler:

tjte tj sincosultima integral din rela ia (2.11) devine:

L (2.12) 0 0

sin)(cos)()]([ tdtetfjtetftf tt

De aici rezult în primul rând c transformata Laplace a unei func ii de timp este o func iecomplex . În al doilea rând se constat c pentru ca transformata Laplace s existe, este necesar ca amândou integralele din rela ia (2.12) s fie convergente, adic suprafe ele închisede curbele:

itetf t cos)( tetf t sin)(

pe intervalul t 0 s fie finite. Apari ia în transformata Laplace a termenului et faciliteaz

sensibil aceast cerin . Astfel fie:

0 la t 0f(t) =

eat la t 0 cu a 0

Pentru o asemenea func ie transformata Laplace este:

0 0

)( tjtsstat eedteesFasas

esH

tas 1)( 0

)(

Aceast integral exist (este convergent ) numai când a.Deci pentru func ia f(t) = eat transformata Laplace exist când a; valoarea lui 0=a se nume te abscis de convergen (vezi fig. 2.2).

Page 29: tehnologia sistemelor

DESCRIEREA EXTERN A SISTEMELOR31

j

a

Fig.2.2

Transformata Laplace invers este dat de rela ia:

)]()(2

1)( 1 sFLdsesF

jtf

jc

jc

st (2.13)

unde c este abscisa de minim convergen i c este mai mare decât partea real a oric ruiadin polii func iei F(s); f(t) este func ia original iar F(s) =L f(t) poart numele de func ieimagine. Propriet i ale transformatei laplace:- Liniaritate: L [f1(t)+f2(t)]=L [f1(t)]+L [f2(t)]=F1(s)+F2(s) (2.14)

L [af(t)]=aL []f(s)]=aF(s) (2.15) - Derivarea originalului: L [f

(n)(t)]=s

nF(s)-s

n-1f(0+)-s

n-2f’(0+)- ....-f

(n-1)(0+)

i dac f(0) ..... f(n-1)

(0) = 0 atunci L [f(n)

(t)]=snF(s) (2.16)

- Integrarea originalului:

L

t

s

sFdf

0

)(])([ (2.17)

- Deplasarea imaginii)()]([ asFtfeL at (2.18)

- Derivarea imaginii

)()]([ sFds

dttfL (2.19)

- Integrarea imaginii

0

)(])(

[ dssFt

tfL (2.20)

)()]([ asaFa

tfL (2.21)

- Deplasarea originalului )()([ sFeatfL as (2.22)

- Teorema valorii ini iale)(lim)(lim 0 ssFtf st (2.23)

- Teorema valorii finale )(lim)(lim 0 ssFtf st (2.24)

Page 30: tehnologia sistemelor

TEORIA SISTEMELOR I REGLAJ AUTOMAT32

2.2.2. Func ia de transfer

Fie un sistem liniar continuu i sta ionar descris de ecua ia diferen ial :

any(n)

+an-1y(n-1)

+ ...... +a1y +a0y=bmu(m)

+bm-1u(m-1)

+ ..... +b1u +b0u (2.25)

în care .mn

Dac în momentul excit rii sale sistemul se afl în stare de echilibru de zero (y(0),y (0), .... , y(n)(0) = 0) i u(t)=0 pentru t 0, atunci, operând transformarea Laplace termen cu termen se ob ine urm toarea expresie opera ional a ecua iei (2.25):

(a0sn+an-1s

n-1+ ... +a1s+ao)Y(s)=(bms

m+bm-1s

m-1+ ... +b1s+b0)U(s) (2.26)

Propriet ile interne ale sistemului sunt determinate de coeficien ii a0....an ai ecua ieiopera ionale. Transferul informa ional este determinat în plus i de coeficien ii b0 ... bm. Deaceea pentru a caracteriza transferul informa ional realizat de un sistem descris de ecua ia(2.26) se poate construi o func ie de variabil s con inând atât coeficien ii a0 ... an cât i b0 ... bm.O astfel de func ie este o func ie de transfer:

011

1

011

1

....

.....)(

asasasa

bsbsbsbsH

n

n

n

n

m

m

m

m (2.27)

Din (2.26) rezult :

)]([

)]([

)(

)()(

tuL

tyL

sU

sYsH (2.28)

Func ia de transfer a unui sistem este definit prin raportul dintre imaginea prin transformataLapalce a m rimii de ie ire a sistemului, ce se ob ine în cadrul r spunsului normal i imagineam rimii de intrare care a provocat acel r spuns. Dac u(t) este un impuls unitar (t) atuncir spunsul lui normal este func ia pondere h(t) i cum L (t) =1 rezult c (2.28) devine:

(2.29) 0

)()]([)( dteththLsH st

Deci func ia de transfer este imaginea func iei pondere, adic imaginea r spunsului normalprovocat de impulsul unitar.

2.2.2.1. Dependen a func iei de transfer de sarcin

No iunea de func ie de transfer este proprie sistemelor liniare, monovariabile sta ionare i continui. Rela ia (2.27) arat c func ia de transfer este deplin determinat dacse cunoa te ecua ia diferen ial respectiv . Se impune totu i urm toarea observa ie:

Pentru acela i element expresia ecua iei diferen iale care determin transferul intrare-ie ire i deci i expresia func iei de transfer depinde de faptul c elementul func ioneaz în gol sau în sarcin . Fie ca exemplu circuitul din fig. 2.3.

Page 31: tehnologia sistemelor

DESCRIEREA EXTERN A SISTEMELOR33

R +

ui C ue Rs

-

Fig.2.3

ei uRiu

se iii

dt

duCi e

e (2.30)

s

es

R

ui

Deci: e

s

eeesci u

R

uCuRuiiRu )()( / sau ie

s

e uuR

RRCu )1(/ (2.31)

sau sub form opera ional :

)()()]1([ sUsUR

RRCs ie

s

(2.32)

dac circuitul func ioneaz în gol, Rs= i (2.32) devine:

)()()1( sUsURCs ie (2.33)

ob inându-se urm toarele expresii pentru func ia de transfer:

sRCsH g 1

1)( (2.34)

sCRR

RsH

s

s

1

1)( (2.35)

(2.34) – pentru func ionarea în gol; (2.35) – pentru func ionarea în sarcin .

Page 32: tehnologia sistemelor

TEORIA SISTEMELOR I REGLAJ AUTOMAT34

2.2.2.2. Reprezentarea grafic a func iei de transfer

Orice func ie de transfer este o func ie complex i poate fi reprezentat în planulcomplex Re H(s) , Im H(s) .Variabila ei complex s= +j poate fi reprezentat grafic în planul Re(s)= i Im(s)=j .De aceea pentru a putea reprezenta grafic o func ie de transfer trebuie mai întâi cunoscut conturul dup care variaz în planul ( , j ) variabila s (fig. 2.4a.). Pentru fiecare pereche (si, j ) (i=1,2,3, ... ) se ob ine în planul func iei de transfer un vectorcomplex.

Hi(s)=Hre i i)+jHim i i)=Hre+jHim (2.36)

j jHim

s3

s3 s2

s1

s2

0s1 Hre

Fig.2.4.a. Fig. 2.4.b.Vârful acestuia descrie un contur care constituie reprezentarea grafic a respectivei

func ii de transfer (fig. 2.4.b) Pe acest contur fiecare punct corespunde unei anume valori s i de aceea conturul

trebuie gradat în valori ale variabilei s. S consider m o func ie de transfer care admite m zerouri i n poli pe care s-o scriemsub forma:

)).......()((

))......()(()(

21

21

n

m

pspsps

zszszsAsH (2.37)

Fie de asemenea în planul s un contur închis C (fig. 2.5); se cere s se reprezintegraficul func iei de transfer (2.37) în cazul când vârful vectorului s parcurge conturul C însensul indicat de s geat (antiorar) considerat ca sens pozitiv.

j s-zk Q zk s-p�

u

C C

Fig.2.5

jjjjjjjjjjjjjjj

Page 33: tehnologia sistemelor

DESCRIEREA EXTERN A SISTEMELOR35

Din fig. 2.5 se constat c termenii de forma s-zk respectiv s-p , care apar în expresia func iei de transfer sunt vectori care pleac din punctul de localizare al zeroului zk, respectival polului p i se opresc în punctul curent Q de pe contur. Exprima i sub form polar ace tivectori devin:

(2.38) j

kek eNpsRzs k respectiv

Cu aceasta func ia de transfer devine:

).............(

21

21 2121

.......

.......)( nmj

n

m eNNN

RRRsH (2.40)

Dac punctul în care este localizat zeroul sau polul respectiv se afl în interiorulconturului C, atunci parcurgerea integral a acestuia în sens pozitiv duce la o varia ie aargumentului respectiv cu în caz contrar aceast varia ie este egal cu zero.

Ca atare se poate formula urm toarea teorem : dac conturul închis C din planul s cuprinde z zerouri i p poli ai func iei de transfer în interiorul s u, atunci la parcurgerea integral a acestui contur în sens pozitiv, argumentul fazorului H(s) înregistreaz o varia ieegal cu 2 (z-p).

Altfel spus, graficul func iei de transfer (H(s) este un contur închis care înconjoaroriginea de z-p ori. În cazul cel mai general o func ie de transfer se poate exprima în forma:

))......()()((

)).......()(()(

2121

221

q

m

pspspsss

zszszsAsH (2.40)

unde +2+q=n m. j

rej R

+j 0 Rej

C -j

Un contur care cuprinde în interiorul s u toate zerourile i to i polii func iei de transfer (2.40) situa i însemiplanul drept i în acela i timp,înconjoar prin cercuri de raz infinit micpolii func iei de transfer situa i pe axa imaginar a planului s poart numele de contur Nyquist i este prezentat în fig. 2.6.

Pentru a ob ine hodograful func ieide transfer când s parcurge în sens pozitiv un asemenea contur trebuie determinatevolu ia vectorului de pozi ie H(s) atunci când s parcurge semicercurile de razinfinit mic i semicercul de raz infinitmare ale acestuia.

Fig.2.6

Se poate demonstra c : a) Atunci când s parcurge în sens negativ un semicerc de raz infinit mic ce înconjoar polii de pe axa imaginar , în planul func iei H(s) se ob ine un hodograf sub formde arc de cerc de raz infinit mare cu centrul în originea axelor, vectorul rotindu-se în sens pozitiv.

Page 34: tehnologia sistemelor

TEORIA SISTEMELOR I REGLAJ AUTOMAT36

b) Atunci când s parcurge în sens pozitiv semicercul de raz infinit mare al conturuluiNyquist, se ob ine un hodograf sub form de arc de cerc de raz infinit mic cu centrul în originea axelor, vectorul rotindu-se în sens negativ.

În cazul cel mai general o func ie de transfer este dat de expresia (2.40) în care +2+q=n m.

Aceast func ie de transfer se caracterizeaz prin aceea c are un pol de ordin demultiplicitate în origine, are polii (-j 1, +j 1) situa i pe axa imaginar , polii p1, .... ,pq i z1,.... ,zm situându-se în afara axei imaginare. Pentru studiul sistemelor este foarte important sse cunoasc graficul func iei de transfer exprimat de rela ia (2.40) atunci când conturul C (pe care se deplaseaz s) are forma din fig. 2.7.

Acesta se caracterizeaz prin aceea c el închide în interiorul s u toate zerourile i to ipolii func iei de transfer care se afl în semiplanul drept i în acela i timp înconjoar prin semicercuri de raz infinit mic polii func iei de transfer situa i pe axa imaginar a planului s pentru care )(sH .

j

+j rej R j

0re

j

Rej j +

P j Rke

jk

-j C j zk

s =s0ej

o

Fig.2.7 Fig.2.8

În felul acesta func ia H(s) devine analitic în orice punt al acestui contur. Unasemenea contur poart numele de contur Nyquist. Pentru a ob ine locul de transfer al func iei H(s) este necesar s cunoa tem ce devin în planul Hre-Him semicercurile de razinfinit mic i cele de raz infinit mare ale conturului Nyquist din planul s.

Pentru aceasta s consider m în fig. 2.8 un semicerc de raz infinit mic ce înconjoarpolul s=j 1. Când s parcurge acest semicerc expresia sa este:

j

rejs 1 (2.41.a)

Pentru un zero oarecare zk (k=1,2,....,m), respectiv un pol oarecare p 1,2,....q)putem scrie:

i (2.41.b)kj

kk eRzs jeSps

Respectiv:

i (2.41.c) kj

kk eRzs jeSps

Page 35: tehnologia sistemelor

DESCRIEREA EXTERN A SISTEMELOR37

i cu aceasta expresia (2.40) devine:

m q

kj

q

j

r

j

r

m eSSSejeS

RRRAsH 1 1

)(

211

21

.......)2(

.....)( (2.42)

Vectorul s se poate exprima sub form polar :

00

jeSs

La rândul s u vectorul se poate exprima sub form polar : (2.43) j

r ej 12

)(12 j

r ej

i cu aceasta (2.42) devine:

)(

210

210

1 1

......)(

......)(

m q

kj

qr

m eSSSS

RRRAsH (2.44)

În aceast rela ie atât calculele R1......Rm, S1.......Sq i cât i argumentele 1..... m,1...... q, i sunt func ii de a a c ultima rela ie se poate scrie:

])([)()( j

r

eM

sH (2.45)

unde:q

m

SSS

RRRAM

......)(

.......)(

10

21 ;m q

ke1 1

0)(

cum îns semicercul de raz infinit mic se poate considera c atât modulele cât iargumentele r mân constante când variaz de la /2 la – /2 deci:

i = const. (2.46) const.Ncu)( )(jeNsH

În plus N când 0.

Cu alte cuvinte când s parcurge în sens negativ semicercul de raz infinit mic ceînconjoar polul s=j 1, în planul func iei H(s) de ob ine un loc geometric în form de arc de cerc cu raza infinit mare i cu centrul în originea axelor. Argumentul fazorului respectiv H(s)variaz în acest caz de la /2 când + la /2 când - vectorul rotindu-se deci în sens pozitiv.

Pentru a vedea ce se întâmpl când s parcurge semicercul de raz infinit mic din juruloriginii (deci înconjoar polii de origine), vom men ine nota ia:

00

jeSs

cu men iunea c de aceast dat S0 este foarte mic, aceasta face ca în expresia (2.40) s sputem neglija vectorul punctului s fa de vectorii polilor i zerourilor respective. Deci:

Page 36: tehnologia sistemelor

TEORIA SISTEMELOR I REGLAJ AUTOMAT38

)).....(2)(1(210

0

21 )).......()(()( qpppzm e

S

zzzAsH (2.47)

Notând cu: (k=1,2,...); (2.48) kj

kk eZzj

ePp

Ob inem:

)2

()(

21210

21 1 10

)).......()((

)).......()(()(

e

m q

k jj

q

m eNePPPS

ZZZAsH (2.49)

unde im q

kt

1 1 )).....()((

)).....()((

21210

2

q

m

PPPS

ZZZAN (2.50)

Deci semicercul de raz infinit mic ce înconjoar polul de origine devine în planul func iei H(s) un arc de cerc cu R i cu centrul în originea axelor. Argumentul complex arg[H(s)] variaz de la t- 2 când la t /2 când -.

(2.51)RS j cuRe

În cazul transform rii semicercului de raz infinit mare al conturului Nyquist în planul func iei H(s), dat fiind c de data aceasta în conformitate cu fig. 2.8 vectorii zerourilor z1.....zm

i polilor +/-j 1, p1......pq se pot neglija în raport cu vectorul variabilei s, ecua ia devine:

)(2

1)( mnj

mnn

m

qa

m

eR

AS

SA

SSS

sAsH (2.52)

Rezult c dat fiind n m, când s parcurge în sens pozitiv semicercul de raz infinitmare al conturului Nyquist de la /2 (corespunz tor valorii ), în planul func iei,fazorul de raz infinit mic se rote te în sens negativ, începând cu argumentul /2*(n-m)

pentru pân la – /2*(n-m) când .

2.2.2.3. Schema func ional

Am v zut c sistemele sunt caracterizate prin func ia de transfer dat în general sub forma unui raport cu polinoame de variabil complex s j . Un mod de reprezentare a sistemelor care pune în eviden rela iile ce exist între diferitele p r i componente ale unui sistem este schema func ional (exemplu fig. 2.9): 1 – Regulatorul; 2 – Elementul de execu ie;3 – Elementul supus automatiz rii;4 – Elementul de reac ie;H1(s)=Y1/ ; H2(s)=Y2/Y1;H3(s)=Y1/Y2; H4(s)=Y4/Y;Y1-m rimea de comand ; Y2 – m rimea de execu ie;Y – m rimea de ie ire (reglat );Y4 – m rimea perturbatoare.

Page 37: tehnologia sistemelor

DESCRIEREA EXTERN A SISTEMELOR39

M rimea perturbatoare poate fi aplicat direct sau prin intermediul unui bloc func ional la intrarea în elementul supus automatiz rii sau la ie ire (fig. 2.10)

Y4

U + Y1 Y -

-

H1(s)

H4(s)

H3(s)H2(s)

Fig. 2.9

P(s) P(s)

H2(s) H3(s)

Hp(s)

H2(s)

Hp(s)

H3(s)

Fig. 2.10Pentru aflarea func iei de transfer a întregului sistem vom prezenta mai întâi regulile de operare cu func iile de transfer:

a) Legarea în serie:

U(s) Y1 Y2 Y

Fig. 2.11

H1 H2 H3

UHHHU

YHHU

YHUU

YsH 12312323

111)( (2.53)

321)( HHHsH

pentru n elemente legate în serie:

n

kHH(s1

)

Page 38: tehnologia sistemelor

TEORIA SISTEMELOR I REGLAJ AUTOMAT40

b) Legarea în paralel înainte:

Y1

U Y2 Y

Y3

H1(s)

H2(s)

H3(s)

Fig. 2.12

321321321 )(1

)(1

)( HHHUHUHUHU

YYYUU

YsH (2.54)

c) Legarea în paralel înapoi:

U + Y - Y1

Fig, 2.13

Y=H1 =H1(U-Y1) =H1(U-H2Y);

deci: Y+H1H2Y=H1Ui:

21

1

1 HH

HH (2.55)

dac reac ia este rigid (H2=1) atunci:

1

1

1 H

HH

d) Eliminarea blocului pe calea de reac ie.Pornind de la schema din figura 2.13, punînd condi ia ca Y s fie egal ob inem:

U Y1+ YHx=1/H2 H1 H2

H1

H2

Fig. 2.14

221

1

21

21 1)

1()

1(

HH

HH

HUH

HH

HHU xx (2.56)

Page 39: tehnologia sistemelor

DESCRIEREA EXTERN A SISTEMELOR41

e) Deplasarea unui bloc de sumare înaintea unui bloc. Punând condi ia ca Y s fie egal rezult :

U Y1 Y U Y2 Y +

+ Z’ Z

H1

ZHx=1/H1

H1

Fig. 2.15

111

1)(

HHHHZUZHU xx (2.57)

f) Deplasarea unui bloc de sumare dup un bloc.

U + Y1 Y U + Y

+ + Y1 +

Z Z

H1 H1

Hx=H1

Fig2.16

Din condi ia ca Y s fie egal se ob ine:

H1(U+Z)=H1U+HxZ; Hx=H1 (2.58)

g) Deplasarea unui punct de intersec ie înaintea unui bloc.

Fig2.17 Punând condi ia ca valoarea semnalului Z s nu se modifice se ob ine:

HU=HxU Hx=H (2.59)h) Deplasarea unui punct de intersec ie dup un bloc.

Fig. 2.18

Punân condi ia ca Z s nu se modifice se ob ine:U=YHx=HUHx Hx=1/H (2.60)

Cu aceste opera ii oricare ar fi sistem închis poate fi pus sub forma canonic din fig. 2.19 unde H – func ia de transfer a sistemului deschis i H0 – func ia de transfer a sistemului

Page 40: tehnologia sistemelor

TEORIA SISTEMELOR I REGLAJ AUTOMAT42

închis, iar Hd – func ia de transfer a elementului de compara ie; între aceste func ii se pot scrie rela iile:

; 0U

YH

YH i

UH d

H

HH

10 (2.61)

0

0

1 H

HH (2.62)

000 11;1

1;1 H

U

y

U

YU

UH

HHH d

dd HHU

Y

U

YHHHH 00 ;

Hd

U Y + H0

-

H

Fig.2.19

Revenind la schema din fig. 2.9 considerând perturba ia = 0 rezult :

UHHHH

HHHY

HHHH

HHHH

4321

321

4321

321

11 (2.63)

Considerând acum U=0 i P 0 (Y4) i aplicând regulile de algebr prezentate ob inem:

4321

3

1 HHHH

HHH

p (2.64)

sau:

PHHHH

HHY

p

4321

3

1 (2.65)

Semnalul de ie ire se ob ine prin principiul superpozi iei, deci:

PHHHH

HHU

HHHH

HHHY

p

4321

3

4321

321

11

sau: PspHsHYYY )()( 0021

unde H0 i H0p sunt func iile de transfer raportate la intrare , respectiv la reac ie.

Page 41: tehnologia sistemelor

DESCRIEREA EXTERN A SISTEMELOR43

2.2.2.4. Reducerea formei schemelor func ionale complexe

Pentru sistemele care con in mai multe bucle i mai multe intr ri, se poate ob ine o schem echivalent , a c rei func ie de transfer se poate scrie pe baza rela iilor deja stabilite. Procedura de reducere a schemelor func ionale complexe poate fi prezentat sub formaurm torului algoritm:

1. Se combin toate elementele legate în serie.2. Se combin toate elementele legate în paralel.3. Se combin toate buclele interioare(secundare). 4. Se deplaseaz punctele de sumare la stânga i/sau punctele de intersec ie la dreapta

buclei principale, astfel încât s se ob in bucle interne.5. Se repet punctele 1-4 pân ce o form canonic a fost ob inut .6. Se repet punctele 1-5 pentru fiecare intrare a sistemului.

Exemplificarea acestui algoritm este prezentat în fig 2.18.

Fig 2.18

G)H+H(HH+GHH-1

)H+H(HH=

GGHH-1

)H+H(HH+1

GHH-1

)H+H(HH

=sHunde2432112

4321

2

121

431

121

4321

0

12

)( (2.66)

2.2.2.5. Calculul func iei de transfer pentru elementele tip ale sistemelor de reglare automat .

Pentru un element propor ional definit prin rela ia :y(t)=k1u(t)

aplicarea transformatei Laplace duce laY(s)=k1U(s)

iar func ia de transfer are forma:

K=U(s)

Y(s)=H(s) 1 (2.67)

Procedând în mod similar se ob in func iile de transfer pentru elementele tip alesistemului de reglare i anume:

-Element cu întârziere de ordin întâi ecua ia diferen ial :

Page 42: tehnologia sistemelor

TEORIA SISTEMELOR I REGLAJ AUTOMAT44

U(t)k=y+dt

dyT 0

func ia de transfer

Ts+

k H(s) =

10 (2.67)

-Element de ordin doi(armonic) - ecua ia diferen ial :

)()()()(

tuk=ty+dt

tdy2+

dt

tyd 2n0

2nn2

2

- func ia de transfer

+2+k=H(s)

2nn

2

2n0

ss (2.68)

-Element cu întârziere de ordin doi-ecua ia diferen ial :

)()()(

u(t)K=ty+dt

tdy)T+T(+

dt

tydTT 0212

2

21

- func ia de transfer

1)+T1)(+T(K=H(s)

21

0

ss (2.69)

-Element cu timp mort- ecua ia diferen ial :

)-u(t=y(t)

- func ia de transfer: se=H(s) (2.70)

-Element de întârziere cu timp mort- ecua ia diferen ial :

)-u(tK=y+dt

dyT 0

- func ia de transfer:

1)( 0

Ts

eKsH

s

(2.71)

-Element de întârziere de ordin doi cu timp mort- ecua ia diferen ial :

)-u(tK=ty+dt

tdy)T+T(+

dt

tydTT 0212

2

21 )()()(

- func ia de transfer:

Page 43: tehnologia sistemelor

DESCRIEREA EXTERN A SISTEMELOR45

1)+T1)(+T(eK=H(s)

21

s-0

ss(2.72)

-Element de anticipa ie de ordinul întâi - ecua ia diferen ial

tu+dt

tduT=ty )(

)()(

- func ia de transfer:

1T=H(s) s (2.73)

-Element de anticipa ie de ordinul doi ecua ia diferen ial :

)()(

2)(

)( tu+dt

tdu+

dt

tud=ty 2

nn2

2

func ia de transfer:+2+=H(s) 2

nn2 ss (2.74)

- Regulator PI - ecua ia diferen ial :

(t)dt]T

1+(t)[K=u(t)

i

0

- func ia de transfer:

)T

1+(1K=H(s)

i0

s (2.75)

-Regulator PD

]dt

dT+(t)[K=u(t) d0

-Regulator PIDecua ia diferen ial :

]dt

dT+(t)dt

T

1+(t)[K=u(t) d

i

0 (2.77)

2.2.2.6. Calculul r spunsului unui sistem pe baza func iei de transfer

Pentru un sistem de ordinul întâi descris de ecua ia

)()()(

tuk=ty+dt

tdyT 0

func ia pondere se determin cu rela ia:

ek=(t) -0

T

t

Th

func ia de transfer în cazul în care u(t)= (t) este:

1+Ts

K=Y(s)=H(s) 0

Page 44: tehnologia sistemelor

TEORIA SISTEMELOR I REGLAJ AUTOMAT46

Pentru a ob ine r spunsul sistemului se folose te transformata Laplace invers :U(s)][H(s)=[Y(s)]=y(t) -1-1

LL (2.77) adic

eT

K=]

1+Ts

K[=y(t) T

t-001-

L

Pentru o intrare treapt unitar L[u(t)]=1/s, r spunsul sistemului fiind:

]e-[1K=]1+Ts

TK-

s

K[=]

1+Ts

K

s

1[=[H(s)U(s)]=y(t) T

t-

0001-01-1-

LLL

În cazul general când func ia de transfer a sistemului este cunoscut i dat sub forma :

a+.......+sa+sa

b+.......+sb+sb=H(s)

01-n

1-nn

n

01-m

1-mm

m

pentru aplicarea transformatei Laplace invers în vederea determin rii r spunsului sistemuluila o intrare dat , este necesar dezvoltarea în sum de frac ii simple a func iei.

Pentru un sistem a c rei func ie de transfer are n poli reali simpli i intrarea este o treapt unitar , func ia de ie ire poate fi pus sub forma :

n

j

j

nj

j

mi

i

ps

C

s

C

sas

sb

=Y(s)1

0

0

0 (2.78)

iar r spunsul sistemului se calculeaz cu rela ia:

eC+C=]p+s

+s

C[=[Y(s)]=y(t) tp-

i1

n

=1i

0

1

n

=1i

011-1-i

1LL (2.79)

unde C01, C11, C21, ......,Cn1 sunt reziduurile func iei Y(s). Reziduurile func iei Y( s) se calculeaz cu rela ia:

ipsii1 )Y(s)p+(s=C | (2.80)

Dac o func ie complex F(s) are un num r pi de poli multipli de ordin de multiplicitate ni,adic :

)p+(s

C=

)p+(s

sb

=F(s)k

i

ikn

=1k

r

=1in

i

r

=1i

jj

m

j=0i

i

(2.81)

reziduurile acestei func ii se calculeaz cu rela ia :

i

i

i

i

ps

n

ikn

k-n

i

ik F(s))p+[(sds

d

k)!-n(

1=C ] (2.82)

Exemplu: S afl m transformata Laplace invers pentru func ia F(s)=1/(s+1)

2(s+2);

func ia F(s) are un pol multiplu de ordin 2 i un pol simplu s=-2 deci :

2+s

C+

)2+(s

C+

1)+(s

C=F(s) 21

2

1211 (2.83)

C11, C12 se calculeaz cu rela iile:

Page 45: tehnologia sistemelor

DESCRIEREA EXTERN A SISTEMELOR47

1=2+s

1=

2)+(s)1+(s

1()1+(s=C:2)=n ,2=k ,1=(iC

1=)2+(s

1-=

2)+(s)1+(s

1)1+((s

ds

d=C:2)=n ,1=k ,1=(iC

s

2

2

12i12

2

s

2

2

11i11

1

1

)

C21 se calculeaz cu formula (2.80)

1=2)+(s)1+(s

12)(+(s=C:2=p;2=i

s

221i

2

)

deci:ttt etee

ssssF 2

211 ]

2

1

)1(

1

2

1[)]([ LL

2.2.2.7. Calculul erorii în regim sta ionar cu ajutorul func iei de transfer.

Eroarea sistemului în regim sta ionar st se poate ob ine direct cu ajutorul func iei detransfer a sistemului deschis H(s) în condi iile în care reac ia este rigid . Pentru sistemul din fig (2.19.b) func ia de transfer a sistemului deschis Hd(s) în condi iile în care reac ia esteunitar poate fi pus sub forma general :

(s)P

(s)P

s

K=H(s)

2

1 (2.84)

unde K reprezint factorul de amplificare al c ii directe, reprezint num rul de poli înorigine ai func iei pentru calea direct , iar polinoamele P1(s) i P2(s) au ultimul termen egal cuunitatea.Aceast expresie se ob ine dac plecând de la forma general :

a+.......+sa+sa

b+.......+sb+sb=H(s)

01-n

1-nn

n

01-m

1-mm

m (2.85)

scoatem factor comun b0/a0=K este factorul de amplificare al sistemului deschis i deci vomavea :

(s)P

(s)PK=

(s)P

(s)P

a

b=

1+.......+sa

a+s

a

a

1+.......+sb

b+s

b

b

a

b=H(s)

2

1

2

1

0

0

1-n

0

1-nn

0

n

1-m

0

1-mm

0

m

0

0 (2.86)

Dac H(s) are un pol multiplu de ordin în origine (P2(s) are r d cin multipl de ordin s=0) atunci:

a

b=K 0

Valoarea define te tipul sistemului. Astfel sistemul definit în fig (2.19,a) este de tip 0 ( =0)cel definit în fig (2.19,b) este de tip 1 ( =1), iar sistemul definit în fig (2.19,c) este de tip 2 ( =2)

Page 46: tehnologia sistemelor

TEORIA SISTEMELOR I REGLAJ AUTOMAT48

inând seama de tipul sistemului i de tipul func iei aplicate la intrare, pornind de laexpresia (2.83) a func iei de transfer a sistemului deschis se pot defini coeficien ii de eroare în regim sta ionar a sistemului.

Fig. 2.19

Pentru intrarea treapt unitar se define te coeficientul de eroare de pozi ie Kp sub forma :

pentru

0=pentruK=(0)P

(0)KP=

(s)Ps

(s)PK=K 2

1

2

1

sp

0lim 0 (2.87)

iar eroarea în regim sta ionar pentru intrare treapt unitar se define te astfel

( )= st=1-y( )=1-yst (2.88)sau aplicând teorema valorii finale:

(s)][s=(t)=)(

sF(s)=f(t)

st

st

limlim

limlim 0 (2.89)

unde (s) reprezint transformata Laplace a erorii sistemului care se poate calcula cu formula :

U(s)

(s)P

(s)P

s

K+1

1=U(s)

H(s)+1

1=(s)

2

1

(2.90)

s-a inut cont c :

)(sUH(s)+1

1=(s)(s)H(s)-U(s)=Y(s)-U(s)=(s)

Pentru un sistem cu =0 i cu reac ie rigid (unitar ), eroarea în regim sta ionar este :

K+1

1=

K+1

1=

s

1

sP

(s)PK+1

1 s=

p

2

1sst

)(

lim 0 (2.91)

Pentru intrarea ramp unitar se define te coeficientul de eroare de vitez :

1>pentru

1=pentruK=(0)P

(0)KP

1=pentru0

=(s)Ps

(s)PK= sH(s)=K

2

1

21-

1

ssv 00 limlim (2.92)

iar eroarea de regim sta ionar pentru un sistem de tip 1:

Page 47: tehnologia sistemelor

DESCRIEREA EXTERN A SISTEMELOR49

K

1=

K

1=

s

1

(s)Ps

(s)PK+1

1s=

v2

2

1sst 0lim (2.93)

Coeficientul de eroare de accelera ie se define te pentru un sistem cu reac ie unitar la intrarea c reia se aplic o func ie parabol unitar u(t)=t2/2.

1>pentru

1=pentruK=(0)P

(0)KP

0=pentru0

=(s)Ps

(s)PK=H(s)]s[=K

2

1

22-

1s

2sa 00 limlim (2.94)

iar eroarea de regim sta ionar pentru un sistem de ordin 2:

K

1=

K

1=

(s)P

(s)PK+s

1=

s

1

(s)Ps

(s)PK+1

1s=(s)s=

a12s3

2

1ssst

2

0

2

00 limlimlim (2.95)

Cunoa terea coeficien ilor de eroare u or calculabili din func ia de transfer a sistemului deschis permite calcului erorii în regim sta ionar, respectiv aprecierea precizieisistemului în regim sta ionar.

Rezultatele ob inute pentru sistemele cu reac ie unitar pot fi extinse i la sistemele de reac ie neunitar îns stabil astfel :

Dac H(s) reprezint func ia de transfer a sistemului real, iar Hi(s) reprezint func iade transfer a sistemului ideal (care realizeaz ie irea dorit ) eroarea se ob ine ca diferenîntre cele 2 m rimi Yi(s) i Y(s) ob inute la ie irea sistemelor cu func iile de transfer Hi(s) iH(s) vezi figura (2.20).

Fig. 2.20

Eroarea de regim sta ionar se calculeaz în acest caz cu rela ia : H(s)]-(s)sU(s)[H=Y(s)]-(s)Ys[=(s)][s= isissst 000 limlimlim (2.96)

iar coeficien ii de eroare sunt defini i astfel :

aa

aa

aa

unitarparabolintrareapentru

H(s)]-(s)H[s

1

1=K

unitarrampintrarepentru

H(s)]-(s)H[s

1

1=K

unitartreaptintrarepentruH(s)]-(s)H[

1=K

i2s

a

is

v

is

p

0

0

0

lim

lim

lim

(2.97)

inând seama de rela ia anterioar i de definirea coeficien ilor de eroare K’ p, K’ v i K’ a

eroarea sta ionar pentru un sistem cu reac ie neunitar se calculeaz cu formulele :

Page 48: tehnologia sistemelor

TEORIA SISTEMELOR I REGLAJ AUTOMAT50

aa

a

a

unitarparabolintrarepentru-K

1=

unitarrampaintrarepentru-K

1=

unitartreaptaintrarepentru-K

1=

,a

st

,v

st

,p

st

Pentru a stabili o rela ie între coeficien ii de eroare în general, K’ p, K’ v, i K’a icoeficien ii de eroare pentru sistemul cu reac ie unitar , consider m c sistemul dorit (ideal) are func ia de transfer egal cu unitatea Hi(s)=1, iar sistemul real are reac ia unitarH0(s)=H(s)/1+H(s). inând seama de defini ia coeficien ilor de eroare, se ob ine :

K=H(s)s

1=

H(s)+1

1

s

1

1=K

K= sH(s)=

H(s)+1

1

s

1

1=K

K+1=H(s)+1=

]H(s)+1

1[

1=K

a2s

2s

,a

vs

s

,v

ps

s

,p

0

0

0

0

0

0

limlim

limlim

limlim

Page 49: tehnologia sistemelor

DESCRIEREA EXTERN A SISTEMELOR51

2.3. Analiza în domeniul timpului a sistemelor netede

2.3.1. Calculul r spunsului sistemelor netede

Modelul matematic intrare-ie ire este:ubububyayay m

m

m

m

n

n

n

0)1(

1)(

0)1(

1)( ...... (2.98)

considerând o evolu ie oarecare (cunoscut ) a semnalului de intrare u(t), a face analiza sistemului descris de ecua ia (2.98) presupune cunoa terea m rimii de ie ire atunci când u(t)are evolu ie cunoscut , adic determinarea solu iei y(t) a ecua iei (2.98) Aceast solu ie are dou componente:

)()()( tytyty fl (2.99)

yl(t) este r spunsul liber (solu ia ecua iei omogene), r spuns dependent numai de propriet ileinterne ale sistemului; forma general a lui yl(t) este:

n

i

tp

il thecty i

1

)()( (2.100)

unde pi sunt solu iile ecua iei asociate omogenei:0... 0

11 apap n

n

n (2.101)

Solu ia de regim for at, dependent atât de propriet ile interne ale sistemului cât i de func ia de intrare (coeficien ii b0, b1, …, bn) poate fi calculat utilizând metoda varia ieiconstantelor sau aplicând produsul de convolu ie. Prim metoda varia iei constantelor:

tp

ifietty )()( (2.102)

unde i(t) sunt func ii ce trebuie determinate din condi ia ca yf s satisfac ecua ia (2.98). Aplicând produsul de convolu ie real pe un interval finit 0+, :

tt

f uthtuhty00

)()()()()( dd (2.103)

Solu ia general va fi deci: tn

i

tp

i uthecty i

01

)()()( d (2.104)

Pentru ca solu ia s fie unic determinat este necesar ca s determin m constantele ci

din n condi ii ini iale; aceste condi ii vor fi:n

i

fli yycy1

)0()0()0(

n

i

fli yycy1

)0()0()0( (2.105)

……………………………n

i

n

f

n

li

n yycy1

)1()1()( )0()0()0(

Consider m o evolu ie oarecare (cunoscut ) a lui u(t) (figura 2.21.a); cunoa tem toatevalorile u(t) atât pentru t<0 cât i pentru t>0. Dac u(t) este cauzal, u(t) = 0 pentru t<0 iu(0)= 0.

Page 50: tehnologia sistemelor

TEORIA SISTEMELOR I REGLAJ AUTOMAT52

Pentru determinarea constantelor ci din rela ia (2.105) este necesar cunoa terea a n

condi ii ini iale în intervalul (0+, t) de obicei în 0+, numite condi ii ini iale conven ionale.

tb

y(t)u

ta

Fig. 2.21

Dac valorile lui y(t) pentru t<0 (y(0)) pot fi determinate din evolu ia anterioar a sistemului (a a numita preistorie a sistemului) valorile y(0+) nu sunt în general cunoscute (linie punctat în figura 2.21.b) ele trebuind s fie determinate plecând de la y(0),y’(0),…….,y(n-1)(0) i de la discontinuit ile în origine ale lui u(t) i ale derivateloracestuia.

2.3.2. Utilizarea transformatei Laplace pentru calculul condi iilor ini iale

conven ionale ale sistemelor netede.

Aplicând Laplace în sens distribu ie ecua ia (2.98) i inând seama cob inem:)]0()([L)]([L ftfssDf

)()]0()([...)]0(...)0(

)0([)()]0(...)0()0([

)()()0()(...)]0(...)0(

)0([)()]0(...)0()0([)(

0123

21

11

)1(21

011)2(3

21

11

)1(21

sUbussUbuus

usbsUsbuususb

sUsbsYayassYayys

ysasYsayysyssYs

mm

m

m

m

m

mmm

m

m

m

nn

n

n

n

n

nnnn

(2.106)

Din rela ia (2.106) rezult :

01

1

)1()1(

...

))0(),...,0(),0(),0()...,0(),0(,()()()(

asas

uuuyyysFsUsHsY

nn

n

mn

(2.107)

Pentru sistemele care pleac din repaus )0(...)0( )1(nyy

0)0(...)0( )1(nuu , rela ia (2.107) devine: )()()( sUsHsY (2.108)

Aplicând transformata Laplace invers în rela iat

uthsUsHty0

1 )()()]()([L)( d (2.109)

Dac am fi aplicat transformata Laplace în sensul func iilor:)0()()]([L fssFsf (2.110)

am fi avut nevoie de cunoa terea condi iilor ini iale la t = 0+ în general nenule. Dac momentul t = 0 y i u sunt nenule, din rela ia (2.106) ob inem:

Page 51: tehnologia sistemelor

DESCRIEREA EXTERN A SISTEMELOR53

)1(2

11

21

21

1)0(

)(

23

12

12

11)0(

...]...

[)(

)0(]...[

)(

)0(...

]...[)(

)0()...()()(

m

m

m

m

m

m

m

m

m

n

n

n

nn

n

n

ub

sbsbsP

ubsbsb

sP

uy

asassP

yasasysUsH

(2.111)

)()()()0()0()()()( 01

)(

1

)( sHsUsHuHyHsUsHsYm

j

j

bj

n

i

i

ai (2.112)

unden

ik

kn

kai sasP

H)(

1

m

jk

km

kbj sbsP

H)(

1

Pentru calcularea r spunsului în timp aplic m transformata Laplace în rela ia (2.112) i ob inem:

t

thuthsY0

0 )()()()( d (2.113)

integrala de convolu ie reprezentând evolu ia ie irii determinat de m rimea de intrare pentru t 0, iar h0(t) = L –1[H0(s)] reprezint evolu ia ie irii determinat de valorile nenule a lui y(0-)i u(0-), adic componenta datorat preistoriei semnaului.

2.3.3. Determinarea condi iilor ini iale.

Evolu ia m rimii de ie ire la momentul t = 0 cere cunoa terea m rimilor y,y(1), …,y(n-1)

la momentul t = 0, numite condi ii ini iale conven ionale. Aceste valori nu coincid, în general, (datorit aplic rii unei noi cauze) cu valori ini iale la t = 0, care se cunosc din evolu iaanterioar a sistemului.

Teorema valorii ini iale a transformatei Laplace permite determinarea condi iilorini iale la t = 0, a m rimii de ie ire i a derivatelor acesteia, f r ca y(t) s fie cunoscut. Considerând m = n, ecua ia (2.106) poate fi sub forma:

)0(...)0(

)0()0(...)0()0([)(

1)]0(

)0()0()0([)(

)]0()0([)(

)()()(

1)2(

)1(

)1(1

)2(1

)1(1

1

21

ubub

ubyayaysP

ub

ubyaysP

suby

sP

ssUsHsY

n

n

n

n

n

n

n

n

nn

n

n

n

(2.113)

Aplicând teorema valorii ini iale în rela ia (2.113) i presupunând c :

s

usU

)0()(

se ob ine:)0()0()0()(lim)0( ubyubssYy nn

s(2.114)

sau sub o alt form)0()0( uby n (2.115)

unde: ).0()0()0();0()0()0( uuuyyy

Page 52: tehnologia sistemelor

TEORIA SISTEMELOR I REGLAJ AUTOMAT54

Pentru derivata întâi rezult :)]0()([lim)]([Llim)0( yssYstysy

ss

)]0()0()0()0([

)0(_)]0()0()0()0(()(

)0()(lim)]}0()([)({lim

)0(...))0()0()0()0(()(

)]0()0([)(

)()(lim

11

1

1

12

ibubay

syubbubysP

sussHussUssH

syububyaysP

suby

sP

ssUsHs

nnn

nnn

n

tt

nnn

n

n

n

s

)]0()0()0()0([

)()0(lim

)()(

...)0(lim)0(

11

1101

1

ububyay

ssP

sy

sP

bs

sP

sbbsbsuub

nnn

n

s

n

n

n

n

n

n

sn

Rezult :)0()0()0()0()0()0()0( 111 ububyyaububy nnnnn

sau, sub o alt form :)0()0()0()0( 11 ububyay nnn (2.116)

În rela iile anterioare s-a sc zut i s-a adunat termenul sH(s)u(0+). Continuând calculele i

pentru celelalte derivate se ob ine sistemul:

)0()0( uby n

)0()0()0()0( 11 ububyya nnn

……………………………………………………… (2.117))0(...)0()0()0(...)0()0( )1(

21)1(

21n

n

n ubububyyaya

sistem care are n ecua ii i n necunoscute )).0(),...,0(),0(( )1(nyyy

Pus sub form matriceal sistemul (2.117) are forma:

)0(

.............

.............

)0(

)0(

...

................

................

0...0

0...00

)0(

...

...

)0(

)0(

1...

.....................

0...1

0...01

0...001

1321

1

)1(321

12

1

nn

nn

n

n

nn

n

u

u

u

bbbb

bb

b

y

y

y

aaa

aa

a

(2.118)

care, datorit faptului c matricea diagonal cu coeficien ii ai este inversabil , are solu ia:

)0(

.............

.............

)0(

)0(

...

................

................

0...0

0...00

1...

.....................

0...1

0...01

0...001

)0(

...

...

)0(

)0(

)1(321

1

1

321

12

1

)1( nn

nn

n

nn

n

n u

u

u

bbbb

bb

b

aaa

aa

a

y

y

y

(2.119)

Cunoscând din preistoria sistemului cu (2.119) se pot determina condi iile conven ionale ini iale cu:

)0(),...,0(),0( )1(nyyy

)0()0()0( )()()( iii yyy (2.120)

Page 53: tehnologia sistemelor

DESCRIEREA EXTERN A SISTEMELOR55

Când u(t) prezint puncte de discontinuitate cu salturi, , finite, rezolvarea

ecua iei (2.98), sau simularea pe calculatorul numeric a sistemului corespunz tor, trebuie s se fac pe intervale de continuitate (calculatorul nu poate prelucra distribu ii Dirac). Pentrufiecare început de interval de continuitate trebuie s se determine condi iile ini ialeconven ionale dup procedura prezentat .

)1(000 ,...,, nuu

2.3.4. R spunsul la impuls.

Consider m un sistem a c rei func ie de transfer este H(s), i aplic macestui sistem o intrare impuls unitar. Imaginea r spunsului va fi:

1)()()()( sHsUsHsY (2.121)

În rela ia (2.121) s-a inut cont c : L (t) = 1 i sistemul fiind cauzal condi iile ini ialepentru t < 0 sunt nule. Aplicând transformata invers în rela ia (2.121) ob inem:

)()]([L)( 1 thsHty (2.122)ceea ce arat semnifica ia fizic a func iei de transfer. Func ia de transfer reprezint imaginear spunsului la intrare impuls unitar. Din rela ia (2.121) rezult de asemenea:

t

thtthhssHsUsHsYty0

111 )()()()()]()([L)]()([L)]([L)( d (2.123)

unde s-a inut cont de definirea lui (t):

0,1

0,0)(

t

tt

În cazul general rezult :t

uthtuhty0

)()()()( d (2.124)

Defini ie Se nume te func ie pondere sau distribu ie pondere i se noteaz h(t) unui sistem la impuls unitar, r spuns ce reprezint originalul corespunz tor func iei de transfer:

)]([L)( 1 sHth

Se nume te func ie pondere datorit rolului jucat de aceasta în calculare r spunsuluiunui sistem la o intrare oarecare cu rela ia (2.124). Func ia pondere se bucur de propriet i remarcabile i anume:

1. Pentru t < 0, h(t) este nul ; aceast proprietate rezult din faptul csemnalul (t) este cauzal iar sistemul se consider în repaus la aplicarea acestuia.

2. Pentru t > 0, h(t) va trebui s satisfac ecua ia (2.98); aplicândderivarea în sens distribu ie ob inem:

)(...)]([)]([)(...)]([)]([ 01

101

1 tbtDbtDbthathDathD m

m

m

m

n

n

n

Aplicând transformata Laplace rezult pentru t 0:

01

101

11 ...)()...( bsbsbsHasasa m

m

m

m

n

n

n

n

rela ie care inând cont de modul în care a fost definit H(s) devin indentitate. 3. Pentru t > 0 func ia pondere reprezint solu ia ecua iei omogene:

0)(...)()( 0)1(

1)( thathath n

n

n

Page 54: tehnologia sistemelor

TEORIA SISTEMELOR I REGLAJ AUTOMAT56

aceast proprietate rezult din faptul c pentru t > 0, (t) = 0, h(t) ob inut astfel este o func iecontinu i infinit derivabil , func ie ce apare ca o combina ie de exponen iale.

4. În cazul m n–1, h(t) nu con ine distribu ia Dirac i derivatele salese pot calcula condi iile ini iale conven ionale pentru t = 0+, aplicând teorema valori finale a transformatei Laplace:

10

11

01

21

...

...lim)(lim)0( nn

nn

nn

nn

ssb

asas

bsbsbssHh ,

10

11

01

21

...

...lim)]0()([lim)0( nn

nn

nn

nn

ssb

asas

bsbsbshssHsh

12

1112

1

nn

n

nnnab

babb

1210

123

12

1

)(

...

..........................

0...

0...1

1...01

)0(

n

nnn

nn

n

n

aaab

aab

ab

b

h

5. Pentru t 0, h(t) va avea loc forma:q

i

n

k

tpkn

ik

i

ii etcth1 1

)( (2.125)

s-a considerat H(s) sub forma:

q

i

n

i

j

i

ips

zs

ksH

1

1

)(

)(

)(

constantele cik se calculeaz cu rela iile prezentate anterior ca reziduri ale func iei în poli. Din rela ia (2.124) se observ c r spunsul unui sistem la o intrare oarecare la un

moment dat, depinde atât de valoarea intr rii la momentul respectiv cât i de evolu ia acestuiapân la un moment considerat. Istoria evolu iei intr rii va influen a r spunsul cu o pondere dat de func ia pondere. Se poate considera aceea func ie pondere ca o memorie a sistemuluimonovariabil, memorie care se manifest numai în prezen a m rimii de intrare. R spunsul la impuls se poate ob ine experimental (în mod aproximativ) aplicând sistemului la un semnal de o amplitudine cât mai mare (dar care s poat fi suportat de sistem) i de o durat cât maimic , dar care s aib o energie suficient astfel ca s reac ioneze printr-un r spuns la ie ire.

2.3.5. R spunsul indicial

Consider m o intrare unitar (t) aplicat unui sistem aflat în repaos.inând cont c :

ss

1)(

Vom ob ine imaginea ie irii sub forma:

Page 55: tehnologia sistemelor

DESCRIEREA EXTERN A SISTEMELOR57

s

sHsUSHsY

)()()()( (2.126)

Defini ie: Se nume te r spuns indicial (func ie indicial ) i se noteaz cu w(t) r spunsul unui sistem la o intrare impuls unitar în condi ii ini iale nule. Din rela ia (2.126) rezult :

tt

- hththssHtw00

1 )()()())(()]()([L)( dd (2.127)

i

s

sHsw

)()( (2.128)

Propriet ile r spunsului indicial sunt similare func iei pondere i anume:1. R spunsul indicial este nul pentru t<0, aceast proprietate derivând

din faptul c un sistem cauzal nu poate r spunde anticipat la o intrare treapt .2. R spunsul indicial w(t) satisface ecua ia (2.98) pentru t>0 atunci când semnalul de

intrare este (t). Aplicând derivata în sens distribu ie în rela ia (1), ob inem:)(...)]([)](...)([)([ 00

1 tbtDbtatwDatwD m

m

n

n

n

i aplicând transformata Laplace ob inem:

sbsbsbswasas m

m

m

m

n

n

n 1)...()()...( 0

110

11

rela ie care devine identitate atunci când inem cont de rela iile (2.128) i de modul de definire a func iei transfer.

3. R spunsul indicial pentru t>0 se ob ine ca solu ie a ecua iei neomogene:

001

1 ...)()( batwatw nn

n (2.128)

acest lucru rezultând din defini ia lui (t).4. Leg tura dintre r spunsul la o intrare oarecare i r spunsul indicial Derivând ob ine:

)()( twt

thd

d(2.129)

inând cont de propriet ile transformatei Laplace i ale distribu iilor din (2.129) ob inem:

)]]([[L)()( swDsswsH

i ))(())(()( tDwtDwth

R spunsul la o intrare oarecare se va putea scrie ca: ))(())(())(()( tuwtuDwtuhty d

i:t

utwt

tuwDty0

)()()])([()( dd

d(2.130)

inând cont de formula de derivare a rela iei:)(

)(),()(

tb

tatft d

ca fiind:

t

tatf

t

tbtftf

tt

tb

ta d

)(d),(

d

)(d),(d),(

d

d)(

)(

)(

ob inem din (34)

Page 56: tehnologia sistemelor

TEORIA SISTEMELOR I REGLAJ AUTOMAT58

t

utwtuwty0

)()()()0()( d (2.131)

5. Pentru m n r spunsul indicial nu con ine func ia pondere i derivatele acesteia;condi iile ini iale conven ionale pot fi calculate cu rela iile:

12100

1211

122

11

)(

...

1...

00...

......

00...1

00...01

)1()0(

nn

n

nn

n

nn

aaaab

aaab

aab

ab

b

w (2.132)

Cu aceste valori ini iale se pot determina constantele Ci din solu ia general a ecua ieii func ia treapt :

r

i

ig

j

tijig

ij etkta

b

s

sHtw

1 10

01 )()(

L)( (2.133)

unde:

s

sHs

jgk ig

ijig

jig

i

ij

)()(

ds

d

)!(

1

(2.134) Componenta permanent a r spunsului indicial este:

)0()(0

0 Ha

btwp (2.134)

R spunsul indicial se poate ob ine cu o bun aproximare aplicând un semnal impulsdreptunghiular cu o durat suficient de mare ca s se ajung la regimul sta ionar i o vitezfoarte mare a frontului.

Page 57: tehnologia sistemelor

DESCRIEREA EXTERN A SISTEMELOR59

2.4. Analiza în frecven a sistemelor netede

2.4.1. Transformata Fourier

Amintim c dat fiind o func ie periodic f (t) cu un num r finit de discontinuit i despe a I, i un num r finit de maxime i minime, atunci aceast func ie poate fi descompus în serie Fourier conform rela iei:

00

00 cossin)(

k

k

k

k tkbtkatf

(2.136) 1

00

00 cossin)(k

k

k

k tkbtkabtf

unde:2

2

)(1

0

T

T

dttfT

b

2

2

0sin)(1

T

T

tdtktfT

ak

2

2

0cos)(1

T

T

tdtktfT

bk

0 i T fiind pulsa ia respectiv perioada semnalului ini ial iar b0 fiind valoarea medie a acestuia.

inând cont de formulele lui Euler:

j

ee jj

2sin ;

2cos

jj ee

seria Fourier din rela ia (2.136) se transform în seria complex :

k

tjk

k ectf 0)(

unde:

2

2

0)(1

T

T

tjk

k etfT

c

inând cont c sink 0t i cosk 0t au aceea i pulsa ie, rela ia (2.136) se poate scrie sub forma:

100 )sin()(

k

kk tkAbtf

unde:22kkk baA

i

Page 58: tehnologia sistemelor

TEORIA SISTEMELOR I REGLAJ AUTOMAT60

k

kk

a

barctan

Indiferent de forma în care este scris seria Fourier, ea tinde la f (t) pentru orice t

pentru care f (t) este continu , i tinde la valoarea medie a saltului f (t) pentru valorile lui tpentru care f (t) este discontinu . Consider m acum o func ie continu neperiodic f (t) i o func ie ob inut prin

repetarea lui f (t) între2

Ti

2

T pe care o not m f (t).

~f (t)

3T

2

3T

2

T

2

T

2

f (t)

T

2T

2

Unde func ia este periodic cu un num r finit de discontinuit i de spe a 1, deci poate fi descompus într-o serie Fourier astfel:

)(~

tf

Fig. 2.22

(2.139) k

tjk

koectf )(

~

undeT

2o este pulsa ia lui )(

~tf , sau notând cu distan a dintre dou frecven e vecine

din spectru, în cazul nostru fiind = o, rezult expresia: k

k

tjkk ec

tf 0

0

)(~

(2.140)

unde:

dtetfT

c

T

T

tjk

k

2

2

0)(~1

sau

dtetfTc

T

T

tjk

k

2

2

0)(~

(2.141)

Not m cu

kTcjF )( (2.142)

i rezult :

2

)( jFck (2.143)

Page 59: tehnologia sistemelor

DESCRIEREA EXTERN A SISTEMELOR61

Înlocuind rela ia (2.143) în rela ia (2.140), ob inem:k

k

tjkejFtf 0)(

2

1)(

~ (2.144)

Dac facem c T atunci )()(~

tftf iar distan a dintre dou pulsa ii vecine

0, spectrul de frecven devine continuu, rela iile (2.142) i (2.144) devin în acest caz:

dtetfjF tj)()( (2.145)

dejFtf tj)(2

1)( (2.146)

unde am notat: k 0 = . Rela ia (2.145) define te transformata Fourier a unei func ii continui, iar rela ia(2.146) define te transformata Fourier invers sau integrala Fourier.Dup cum se poate observa transformata Fourier a unei func ii se define te în mod identic cutransformata Laplace unde s = j . Din aceast cauz propriet ile transformatei Laplace se vorp stra i în cazul transformatei Fourier.

2.4.2 Teorema e antion rii (Shanon)

Fie o func ie f (t) continu , cu un num r finit de maxime i minime, i un num r finitde discontinuit i de spe a 1(deci care admite transformata Fourier). Consider m c f (t) este o func ie de band limitat , adic spectrul de frecven al acesteia este limitat la o frecven de pulsa ie c, adic F[f (t)] = F(j ) = 0 pentru oricare > c. E antion m acest semnal cu ofrecven a c rei perioad este T. Semnalul e antionat rezultat va fi:

(2.147) 0

* )()()(k

kTtkTftf

Aplicând transformata Fourier în rela ia (2.147), ob inem:

TjkekTfjF )()(* (2.148)

S-a inut cont c : Tjk

js

kTs

jseekTtLkTtF )]([)]([ .Func ia F(j ) pentru

- , repet aspectul lui F*(j ) în intervalul TT nn2

1

2

1, cu :

TT

2

Pentru a ar ta acest lucru vom considera F*(j 0) i F [j( o + n T)] astfel:

00

)(0

* 00 )()()]([k

kT

k

njkT

T eekTfekTfnjF T

S-a inut cont c : 122

jknjknTjkTneee TT . Deci

, ceea ce era de demonstrat.)()()]([ *

00

* 0 jFekTfnjFk

jkT

T

Page 60: tehnologia sistemelor

TEORIA SISTEMELOR I REGLAJ AUTOMAT62

Dac f(t) este banda limitat , spectrul ei de frecven arat de exemplu ca în fig. 2.23.

F*( )F( )

-3 T/2- c -3 T/2+ c

- 3 T/2 3 T/2

3 T/2- c 3 T/2+ c

- T/2 T/2

c - c- c c

Fig. 2.23 Fig. 2.24

Dac frecven a de e antionare este mai mare decât dublul frecven ei de t iere:T > 2 c, atunci spectrul de frecven a lui f*(t) va ar ta ca în figura 2.24, astfel spus, spectrul

de frecven al semnalului e antionat este complet caracterizat de spectrul semnaluluicontinuu i se ob ine prin repetarea acestuia. Dac T > 2 c atunci spectrul semnaluluie antionat ob inut prin adunarea spectrelor în intervalul - c, c va ar ta ca în figura 2.25. Se observ apari ia suprapunerilor în jurul pulsa iei T/2 ceea ce face ca spectrulsemnalului e antionat s nu mai fie identic cu spectrul semnalului continuu.

- T/2 T/2c- c

F*( )

Fig. 2.25

Teorema Shanon: Dac un semnal f (t) este de band limitat (adic nu con ine frecven e maimari de c), atunci acesta este complet caracterizat de e antioanele lui luate cu frecven a T

dac este îndeplinit condi ia: T > 2 . Dac nu este îndeplinit aceast condi ie, prin e antionare se va pierde din informa ia semnalului f(t).În practic se ia frecven a de e antionare de 10 100 de ori mai mare decât frecven a c.

2.4.3. R spunsul unui sistem liniar la o intrare sinusoidal

Reprezentarea în frecven a a unui sistem se ob ine prin aplicarea la intrarea sistemuluia unui semnal sinusoidal de frecven f = /2 , care în cazul sistemelor liniare determin la ie irea acestora un r spuns sinusoidal cu amplitudinea i faza diferite de semnalul de laintrare.

Vom considera un semnal u(t) = A sin t aplicat la intrarea unui element de ordin1.

22)(

s

AsU (2.149)

rezult c ie irea sistemului este dat de:

Page 61: tehnologia sistemelor

DESCRIEREA EXTERN A SISTEMELOR63

221

1)()()(

s

A

TssUsHsY (2.150)

Prin dezvoltarea în frac ii simple se ob ine:

js

C

js

C

s

C

s

A

ssY

TT

T 32

1

1221

1

)( (2.151)

Pentru t primul termen a c rui transformare invers este e-t/T tinde la 0, deci m rimea de

ie ire va fi determinat în regim sta ionar de ultimii 2 termeni. Dup evaluarea coeficien ilorvom ob ine:

)1()(2)()1(2)(

Tjjsj

A

jsTjj

AsY (2.152)

Aplicând transformata invers avem:

j

eeee

TjAsYty

tjjtjj

stst 21

1)]([)( 1L (2.153)

Din formula lui Euler, tj

ee tjtj

sin2

, rezult

)sin(1

1)( t

TjAtyst (2.154)

unde: = -arctg t.În mod similar pentru un sistem de ordinul n a c rei func ie de transfer este H(s) se ob iner spunsul sta ionar al sistemului la intrarea sinusoidal sub forma:

j

eeeesHA

jsj

jHA

jsj

jHAy

tjjtjj

st 2|)(|

)(2

)(

)(2

)(1L

rezult)sin()()( tjHAsH (2.155)

unde = arg[H(j )]

Deci un sistem liniar stabil are la ie ire un r spuns sinusoidal când la intrare se aplicun semnal sinusoidal, acest r spuns fiind caracterizat prin vectorul H(j ), al c rui modul este|H(j )| i al c rui argument este ( ) = argH(j ).Dac not m B = A |H(s)| atunci raportul dintre cele dou amplitudini ale semnalului de la ie ire i de la intrare este chiar modulul func iei de transfer a sistemului pentru s=j .Astfel pentru aprecierea r spunsului în frecven al unui sistem definit prin func ia de transferH(s) se înlocuie te s = j în expresia func iei de transfer i pentru diverse valori ale pulsa iei

se determin modulul i argumentul func iei H(j ).Pentru analiza i sinteza sistemelor automate în domeniul frecven elor sunt utilizate mai multecaracteristici de frecven i anume:

- caracteristica amplitudine faz sau locul de transfer- caracteristica amplitudine pulsa ie- caracteristica faz pulsa ie- caracteristica real de frecven- caracteristica imaginar de frecven

Page 62: tehnologia sistemelor

TEORIA SISTEMELOR I REGLAJ AUTOMAT64

2.4.4. Caracteristica amplitudinii i a fazei

Este cea mai important pentru un sistem automat. Aceast caracteristic se traseazpentru sistemul deschis:

)()( )()()( jj eAejHjH (2.156)

)](Im[)](Re[)](sin)()[cos()( jHjjHjAjH (2.157)

Locul de transfer sau caracteristica amplitudine faz reprezint hodograful vectorului H(j ) în planul complex pentru valori ale lui cuprinse între - i + ) conform graficului fig 2.26. Pentru exemplificare vom considera un sistem închis cu reac ie neunitar a c rei func ie de

transfer a c ii deschise este1

1)(

TssH .

Im

Re

An

A1

A2

A3

3n 2

1

Fig. 2.26

Înlocuind s = j i exprimând H(j ) în form polar :

1

1)()arctan(arg(

1

1

1

1)(

2222 TsHt

TjTjH (2.158)

i )arctan()( T

Pentru = 0, = 1, = i T = 1)0(1)0( jH punctul a din figura 2.27

)45(2

1)1( jH punctul b din figura 2.27

)90(0)( jH punctul c din figura 2.27 Pentru un sistem cu (anticipa ie de ordin 1) avem:TssH 1)( TjjH 1)( (figura2.28) i:

221)( TjH

Tarctan)(

Pentru un sistem cu H(s) = 1+Ts (anticipa ie de ordin 1) avem: H(j ) = 1+j T (vezifig 2.28) i:

Page 63: tehnologia sistemelor

DESCRIEREA EXTERN A SISTEMELOR65

c

b

cRe

Im

1 Re

Im

Fig. 2.27 Fig. 2.28

221)( TjH

Tarctan)(

Pentru un sistem de ordin 2

nn

n

jjH

2)(

22

2

sau

2

2

2222

2

41

2

241

1

)(

nn

n

nn

njjH

cu modulul:

2

2

2

41

1(

nn

jH

iar argumentul:

2

1

2

arctan)(

n

n

În cazul general a unui sistem definit prin func ia de transfer deschis:

)(

)()(

2

1

sP

sP

s

KsH (2.159)

se determin mai întâi locul de transfer la frecven e care tind spre 0 i spreÎnlocuind s = j ob inem:

Page 64: tehnologia sistemelor

TEORIA SISTEMELOR I REGLAJ AUTOMAT66

1)(...)()(

1)(...)()(

)(

)()(

11

1

11

1

2

1

jajaja

jbjbjb

j

K

jP

jP

j

KjH

n

n

n

n

m

m

m

m (2.160)

Pentru a calcula asimptotele locului de transfer vom calcula limitele expresiei (2.160) pentru .

)(

)(

)(lim)(lim

2

1

00 jP

jP

j

KjH

i)(

)(

)(lim)(lim

2

1

jQ

jQ

j

KjH

unde = + n – m; Q1(j ) i Q2(j ) sunt polinoamele ob inute prin împ r irea cu b m(j ) i

a n(j ) a polinoamelor P1(j ) i P2(j ), iarn

m

a

bKK

2.4.5. Caracteristici de frecven în reprezentare logaritmic

Aceste caracteristici sunt i caracteristici Bode i sunt caracteristici amplitudine-pulsa ie i faz -pulsa ie care au pe abscis logaritmul pulsa iei.Reprezentarea logaritmic simplific reprezentarea acestor caracteristici pe de o parte datoritfaptului c logaritmul transform produsul în sum (a a cum vom ar ta mai departe), iar pe de alt parte pentru c folosind o scal logaritmic se pot reprezenta u or domenii de varia ie maimari pentru (ceea ce este necesar de multe ori).Amplitudine unei func ii de transfer se reprezint în decibeli astfel:

A( ) = 20 lg |H(j )| [dB] (2.161) Caracteristica amplitudine-pulsa ie reprezint deci dependen a amplitudini m surat în decibeli de logaritmul pulsa iei.Caracteristica faz -pulsa ie, reprezint dependen a dintre faza i logaritmul pulsa iei.Pornind de la rela ia general ce define te func ia de transfer a unui sistem deschis, admi ândc are numai poli i zerouri, simpli i reali, expresia acesteia în domeniul frecven ei(pulsa iei)este:

))...()(()(

))...()(()(

21

21

n

md

pjpjpjj

zjzjzjKjH (2.162)

sau punând în eviden constantele de timp sub forma:k

k

i

iP

TZ

T1

;1

, rela ia 2.162 devine:

n

k

m

in

k

m

i

d

Tjj

Tj

p

z

K

jH

1

1

1

1

)1()(

)1(

)(

sau )(

1

1 )()1()(

)1()( j

n

k

m

ib

d eA

Tjj

TjK

jH (2.163)

Page 65: tehnologia sistemelor

DESCRIEREA EXTERN A SISTEMELOR67

unden

k

m

i

b

p

z

K

1

1

Prin logaritmare ob inem:

lg201lg201lg20lg20)(lg20)(11

n

i

k

m

i

ibd TjTjKjHA (2.164)

in

i

k

m

i

i TjTj11 2

)1arg()1arg()( (2.165)

Deci prin logaritmare, produsul termenilor liniari de la num r tor i de la numitor setransform în sum . Argumentul reprezint i el o sum întrucât fiecare termen se poate scrie sub forma:

1 + j Ti = Ai( )ej i

inând cont de rela iile (2.164) i (2.165) caracteristicile A( ) i ( ) se pot ob ine prinînsumarea caracteristicilor de frecven a unor elemente simple, tip.

2.4.5.1 Reprezentarea prin caracteristici a func iei de transfer a unor elemente tip.

a) Termen propor ional de forma: H(j ) = k- are amplitudinea A( ) = 20lg|H(j )| = 20lgk

- i argumentul (sau faza):

0pentru,

0pentru,00arctan)(arg

K

K

kjH

Caracteristicile sunt reprezentate în figura 2.29

A[dB] [rad]

20lgk

lg –

0

Fig. 2.29

b) Termenul liber la num r tor: H(j ) = j T.- amplitudinea:

TTjHA lg20lg20)(lg20)( 22

care este o dreapt care trece prin punctul 0,1T

i a c rei pant o calcul m astfel:

Consider m intervalul de dublare a pulsa iei (care se nume te octav ); 1= ; 2 = 2 ; = 2 – 1 i rezult panta:

Page 66: tehnologia sistemelor

TEORIA SISTEMELOR I REGLAJ AUTOMAT68

20lg 2T – 20lg 1T = 20lg2 1T – 20lg 1T = 20lg2 = 6dB/octavsau consider m intervalul în care cre te de 10 ori (care se nume te decad ) i avem:20lg 2T – 20lg 1T = 20lg10 1T – 20lg 1T = 20lg2 = 20dB/decad

- argumentul:20

arctan)](arg[T

jH

caracteristicile sunt prezentate în figura (2.30)

A[dB] [rad]

0 lgT

1

2

0 lg

Fig. 2.30

c) Termen liber la numitorT

j

TjjH

1)(

- amplitudinea: TT

A lg201

lg20)( deci tot o dreapt care trece prin 0,1T

,

Panta dreptei: -20lg2 = -6dB/octav -20lg10 = -20dB/decad

0 lg

T

1

1

0 lg

[rad] A[dB]

Fig. 2.31

- argumentul:

20arctan

T

caracteristicile sunt reprezentate în figura 2.31

Page 67: tehnologia sistemelor

DESCRIEREA EXTERN A SISTEMELOR69

d) Termen liniar la num r tor: H(j ) = 1 + jT .- amplitudinea:

221lg20|)(|lg20)( THA

- argumentul: ( ) = arctanT

Caracteristica A( ) se traseaz aproximativ prin asimptote, considerând 2 cazuri:

1. Partea imaginar neglijabil , T << 1 sau T

1

2. Partea real neglijabil T >> 1 sau T

1

Pentru cazul 1 caracteristica unui termen propor ional cu k =1 deci A = lg1 = 0 Pentru cazul 2 caracteristica este A = 20lgT care este o dreapt ce trece prin punctul

0,1

Ti are panta 20lg2/octav , cele 2 drepte sunt reprezentate în figura2.32, a.

Se poate defini eroarea dB ca fiind diferen a dintre valoarea aproximativ (aproximatconform celor 2 drepte) i valoarea exact a amplitudini.

)()(~

dB AA

pentruT

1,0 2222

dB1 1lg201lg201lg20 TT

pentru ,1

T

22dB2 1lg20lg20 TT

valoarea maxim a lui dB se ob ine pentru =T

1i este:

dB32lg201max21max1tt

Trasând punct cu punct valorile lui dB se ob ine caracteristica exact (caracteristica punctatdin figura 2.32, a).

lg0 1

T

4

2

A[dB]

01

T

max

lg

a) b)Fig. 2.32

Page 68: tehnologia sistemelor

TEORIA SISTEMELOR I REGLAJ AUTOMAT70

Pentru trasarea caracteristici ( ) se calculeaz mai întâi: T

1)( argumentul func iei

H(j ) = 1 i arg[H(j ) = 1] = 0, iarT

1)( arg[H(j ) = j T] = 2

.

Caracteristica trece prin punctul particular 4

,1

T

e) Termen liniar la numitor:

TjjH

1

1)(

- faza: -arctan T

- amplitudinea:

221lg201

1lg20)( T

TjA

Pentru trasarea caracteristici se procedeaz îm mod similar cu punctul

ca la punctul d. Deci pentru T

1 se consider A(j ) = 0, iar pentru

T

1 se consider

A(j ) = –20lg T.

Pentru cazul T

1 avem caracteristica unui termen propor ional.

Pentru cazul T

1 avem o dreapt care trece prin punctul 0,

1

Ti al c rei pant este –

6dB/octav sau – 10dB/decad .Deci caracteristica este cea prezentat în figura 2.33, a. Se define te la fel ca la punctul d) coeficientul de eroare dB a c rei valoare maxim se

ob ine de asemenea pentru T

1i dBmax = 20lg2 3dB.

0

T1

a)

max lg

A[dB]

_

_

lg

b)

T1

0

2

4

Fig. 2.33

Page 69: tehnologia sistemelor

DESCRIEREA EXTERN A SISTEMELOR71

Caracteristica de frecven trece prin punctul 4

,1

T iar asimptotele ei sunt (0,0) i

2, i este reprezentat în figura 2.33.b.

f) Termen quadric la num r tor H(j ) = – 2T

2 + 2j T + 1 222222 41lg20)( TTA

Se traseaz o caracteristic aproximativ pe intervalulT

1,0 i una pentru

,1

T. În intervalul

T

1,0 se poate considera 2

T2 << 1 i deoarece este

subunitar 2 << 1 se poate neglija termenul 4 2 2T

2, se ob ine A( ) = 20lg11/2=0.

În intervalul ,1

T se observ c T > 1 deci 2

T2 >> 1 i deci se poate neglija

unitatea i cum 2 <<1 i termenul 4 2 2T

2, se ob ine A( ) = 20lg 2T

2 = 40lg T.Deci pentru primul interval se poate reprezenta ca o dreapt ce se confund cu axa , iar cel

de-al doilea interval ca un segment de dreapt care trece prin punctul T

1,0 i care are panta

40lg2 12dB/octav , cele 2 drepte fiind reprezentate în figura 2.34, a.

Se define te eroarea dB într-un punct dat dB = A~

( ) – A( ) care pentru cele 2 intervale are expresiile

222222 41lg20 TTdB pentru intervalulT

1,0

i 222222 41lg20lg40 TTTdB pentru intervalul ,1

T.

Se observ c dB este func ie de valorile . Astfel, încât punctulT

1, se ob ine

2lg201

TdB care în func ie de valorile lui care variaz de la 0 la 1 este:

1pentru2

1pentru

0pentru

62lg20

02lg20

dB

dB

Pentru = 0, dB = + rezult o discontinuitate în reprezentarea grafic (ca în figura2.34, a), de natura unui vârf în jos. Argumentul este:

221

2arctan)(

T

T

Page 70: tehnologia sistemelor

TEORIA SISTEMELOR I REGLAJ AUTOMAT72

cu valorile particulare: ( = 0, = 0); 2

,1

Ti ( = + , = );

lg0 1

T

2

A[dB]

0

max

a)

T

1

= 0

= 1

2

1

lg

b)Fig. 2.34

Caracteristica ( ) este reprezentat în figura 2.34,b ; caracteristica ( ) depinde de valorile lui , pentru diferite valori ob inându-se diferite forme de varia ie.

g) Termen quadric la numitor:

12

1)(

22 TjTjH

având amplitudinea:

22222 41lg20)( TTA

care se aproximeaz pe dou intervaleT

1,0 i ,

1

T; pe primul interval A( ) = 0, iar pe

al doilea interval A( ) = –20lg 2T2 = –40lg T cu panta –40lg2 = –12dB/octava

lg

A[dB]

lgmax

a)

2

T1

b)

T1

= 0

= 1

21

00

Fig. 2.35

Page 71: tehnologia sistemelor

DESCRIEREA EXTERN A SISTEMELOR73

Caracteristica A( ) este prezentat în figura 2.35, a. Se observ c aceast caracteristic este simetric în raport cu axa fa de caracteristica pentru termenul cvadric la num r tor.Caracteristica = f ( ) are forma dat de rela ia:

221

2arctan)(

T

T

i este reprezentat în figura 2.35, b pentru diferite valori ale lui .

2.4.6. Performan ele unui sistem în domeniul frecven elor

Cu ajutorul caracteristicilor de frecven pot fi definite mai multe performan epentru un sistem de reglare, i anume:

- banda de frecven- frecven a de rezonan- valoarea de vârf a modulului M+

- stabilitatea sistemului.Banda de frecven sau l rgimea de band caracterizeaz propriet ile de filtru ale sistemului,comportarea acestuia în raport cu perturba iile de înalt frecven . Banda de frecven (de

trecere) se define te ca fiind acel domeniu defrecven pentru care raportul amplitudinlilorie ire-intrare nu scade sub 3dB. În figura 2.36se indic pulsa ia B care limiteaz banda de frecven a sistemului.

2

2

br

M( )

Mv

Pentru pulsa ii 0 < < B, sistemul se comport ca un filtru trece jos. La limita benzi

de frecven M( B) = 2

2 iar: 20lg

2

2 –

3dB. Pentru influen a perturba iilor de înaltfrecven asupra comport rii sistemului - ideci asupra m rimi de ie ire - s fie cât mairedus se impune ca l rgimea de band s fielimitat B Bimpus.Fig. 2.36

Frecven a de rezonan r se determin , deasemenea, din caracteristica M( ). Pentru aceasta frecven se ob ine valoarea maxim a modulului M( r)=Mv. Cunoa teara lui permite aprecierea suprareglajului sistemului automat.

2.4.7. Leg tura dintre r spunsul în timp i r spunsul în frecven

Pentru stabilirea coresponden ei între caracteristicile de frecven i performan elesistemului în domeniu real al timpului se porne te de la rela ia:

)()()( 0 jUjHjY (2.166)

Pentru intrarea în impuls unitar se ob ine func ia pondere a sistemului prin aplicarea transformatei Fourier invers rela iei 2.166:

dejHjYth tj)(2

1)]([F)( 0

1- (2.167)

Page 72: tehnologia sistemelor

TEORIA SISTEMELOR I REGLAJ AUTOMAT74

djtjQPdejQPth tj sincos)()(2

1)()(

2

1)( (2.168)

unde cu P( ) sa notat partea real , iar cu Q( ) s-a notat partea imaginar afunc iei H0(j ). Dac inem seama de tipul finc iilor de sub integral (P( ) este o func ie pariar Q( ) o func ie impar ), func ia pondere a sistemului liniar continuu se poate calcula cuajutorul rela iei:

0

sin)(cos)(1

sin)(cos)(2

1)( dtQtPdtQtPth (2.169)

sau inând seama c r spunsul sistemului este definit numai pentru t > 0, ob inem pentru t < 0:

dtQtPth sin)(cos)(1

)(

(2.170)

a2 – a1

a4 – a3

a4

0G

F

E

D

C

A B

P( )a2+a3

a4

a3

0

P( )a2

a1

G

FE

D

A

B C

Prin însumarea rela iilor (2.169) i(2.170) ob inem:

dtPth0

cos)(2

)(

(2.171) Astfel r spunsul tranzitoriu al unui sistem liniar continu poate fideterminat dac este cunoscutcaracteristica real de frecven a sistemului. Func ia indicial(r spunsul sistemului la o intraretreapt unitar aplicat la intrare), sepoate calcula cu rela ia:

dtdt

t

0 0

cos)Pdtthtw

t

0

(2

)()(

sau

dt

Ptw0

sin)(

2)( (2.172) Fig. 2.37

Integrala 2.172 poate fi rezolvat prin mai multe metode din care prezent m o metod grafo-analitic numit metoda trapezelor. În esen aceast metod const în aproximarea curbei reprezentative pentru varia ia P( ) prin segmente de dreapt astfel alese încât s delimiteze cuaxele (sau cu segmente paralele la axele de coordonate (P, ) un num r de trapezedreptunghiulare ca în figura 2.37. Se consider de arie pozitiv trapezele formate cu segmente înclinate pentru care P( )descre te cu ; ele se reprezint deasupra axei (trapezele a2BCEa3 i a3EFa4).

Page 73: tehnologia sistemelor

DESCRIEREA EXTERN A SISTEMELOR75

Se consider cu arie negativ i se reprezint dedesubtul exei acele trapeze formate din segmente înclinate pentru care P( ) cre te cu (trapezele a1ABa2 i a4FGHa4).În acest fel curba P( ) poate fi înlocuit printr-o serie de segmente de dreapt caredetermin cu axele, trapeze dreptunghiulare; rezult penru n trapeze:

n

i

iPP1

)()( (2.173)

0 diR

Oi

M NPi(0)

Pi( )

Fig. 2.38

Se observ c aria delimitat de P( ) i axele de coordonate este aproximativ egal cu sumaalgebric a ariilor trapezelor Ai în care s-a descompus P( ):

n

j

iAdP10

)()( (2.174)

În exemplul considerat în figura 2.37; i = 1,2,3,4 (n = 4). R spunsul y(t) pentru o varia ie laintrare tip treapt unitar este:

n

i

i

dtPty

1 01

sin)(2

)( (2.175)

Rela ia 2.174 permite efectuarea integralei 2.171 ca o sum de integrale ale unor func iisimple, determinate de trapeze tip, de aceea i form cu trapezul elementar din fig 2.38 care difer de acesta din urm numai prin constantele geometrice Pi(0), di, Oi.Varia ia Pi( ) corespunz toare trapezului elementar OMNR din figura 2.38, este o func iediscontinu i se define te astfel:

],[pentru0

],[pentru1)0(

][0,pentru)0(

)(

di

oidi

di

dioi

dii

i

i P

P

P (2.176)

Se determin r spunsul indicial par ial dat de trapezul elementelor definit de (2.176):Oi

di

di dtP

dtPty

dioi

Oiiii sin)0(

2sin)(

2)(

0

(2.177)

Introducând func ia sinus integral:

0

sin)( d

ttSi

i integrând rela ia 2.177 se ob ine:

Page 74: tehnologia sistemelor

TEORIA SISTEMELOR I REGLAJ AUTOMAT76

)cos()cos()()()(

)0(2)(

1ttttSttS

Pty diOidiidiOiiOi

diOi

ii (2.178)

În care Oi i di caracterizeaz trapezele dreptunghiulare extrase din reprezentarea lui P( ),ca în figura (2.37). Func ia (2.178) poate fi calculat pentru fiecare trapez în parte; de regul

func ia sinus integral este tabelat ceea ce permite determinarea comod a r spunsurilorpar iale pentru P1( ),P2( ), ..., Pn( ). Cum sistemul este liniar r spunsul rezultant se ob ine

prin însumarea grafic a func iilor y1(t), y2(t), ..., yn(t) corespunz toare trapezelor. Astfel:

(2.179)n

i

i tyty1

)()(

Metoda trapezelor este simpl , comod dar ca orice metod grafo-analitic introduceaproxima ii care sunt acceptabile pentru aflarea r spunsului indicial al sistemului automat liniar presupus stabil i determinarea calit ii r spunsului sistemului.

2.4.8. Indici de performanta in domeniul timpului

Deoarece r spunsul unui sistem este determinat a a cum am v zut în paragrafeleanterioare de semnalul de intrare, acesta fiind specific fiec rei aplica ii în parte, iar propriet ile sistemului determinate de parametrii membrului stâng ai ecua iei diferen iale, ce constituie modelul matematic intrare-ie ire al sistemului, sunt independente de semnalul de intrare, a ap rut necesitatea definirii unor indici care s descrie performan ele sistemelor,performan e determinate de propriet ile interne ale acestora. Ace ti indici de performan au fost defini i în rela ie cu r spunsul unui sistem oscilant la o intrare treapt unitar icaracterizeaz comportarea sistemului atât în regim sta ionar cât i în regim dinamic(tranzitoriu). Indicii de performan sunt:

a) Indici de performan sta ionari:eroarea sta ionar st ; se define te ca diferen între valoarea de regim sta ionar asemnalului de intrare i valoarea de regim sta ionar a semnalului de ie ire corespunz tor(figura 2.39)

b) Indici de performan de regim dinamic suprareglajul ; se define te ca diferen între valoarea maxim a semnalului de ie ire ivaloarea de regim sta ionar a acestuia (figura 2.39)timpul total tranzitoriu tt ; se define te ca intervalul de timp dintre momentul aplic riisemnalului de intrare i momentul când semnalul de ie ire intr în gama (0,95 – 1,05) yst inu mai p r se te aceast gamtimpul de cre tere tc ; se define te ca fiind intervalul de timp dintre momentul când semnalul de ie ire atinge valoarea 0,05 yst i momentul când semnalul de ie ire atingevaloarea 0,95 yst

timpul întârziere tî ; se define te ca intervalul de timp dintre momentul aplic riisemnalului de intrare i pân când semnalul de ie ire atinge valoarea 0,5 yst.

Ace ti indici sunt utiliza i pentru a caracteriza performan ele în domeniu timpului a sistemelor dinamice.

Page 75: tehnologia sistemelor

DESCRIEREA EXTERN A SISTEMELOR77

y(t)

u(t) st

tctî

ymax

0,5 yst

0,95 yst

1,05 ystyst

0,05 yst0

u(t)

y(t)

tt

t

Fig. 2.39

Page 76: tehnologia sistemelor

TEORIA SISTEMELOR I REGLAJ AUTOMAT 78

2.5 Elemente tipice din compunerea sistemelor automate netede

Un sistem neted liniar oarecare, a c rui func ie de transfer se prezint sub forma:

01

1

01

1

...

...)(

asas

bsbsbsH

n

n

n

m

m

m

m (2.181)

poate fi descompus în subsisteme, descompunerea realizându-se în mai multe moduri pe baza regulilor algebrei func iilor de transfer. De exemplu, sistemul a c rui func ie de transfer este prezentat în ecua ia (2.181) poate fi descompus în m elemente legate în paralel (corespunz tor fiec rui termen de la num r tor)legate în serie cu un element a c rui func ie de transfer este 1/(numitor). Schema bloc fiind prezentat în figura 2.39;

Daca func ia de transfer este pus sub forma:

n

j

m

i

ps

zs

ksH

1

1

)(

)()( (2.182)

atunci sistemul poate fi descompus în m elemente legate în serie de forma s+zI înseriate cu n elemente a c ror func ie de transfer este de forma 1/(s+pj) i un element k, schema bloc func ional fiind cea din figura 2.40;

Descompunerea sistemelor pune în eviden ã existen a unor elemente simple, numite elemente tipice, cu ajutorul c rora se realizeaz analiza sistemelor automate. Fiecare din aceste elemente tipice va avea o anumitã comportare la transferul semnalelor, comportare descris de func ia de transfer. Existã mai multe moduri de clasificare a acestor elemente: Din punct de vedere al vitezei cu care m rimea de ie ire a elementului urm re te m rimea de intrare, deosebim: a) elemente neiner iale, la care m rimea de ie ire urm re te instantaneu m rimea de intrare

(f r nici un fel de întârziere); b) elementele iner iale, la care între momentul în care se modific m rimea de intrare i

momentul în care m rimea de ie ire ajunge la valoarea corespunz toare m rimii de intrare, trece o anumit perioad de timp.

s+z1 s+z2 s+zm1

1

ps 2

1

ps nps

1K

U(s) Y(s)

Fig. 2.40

011 ...

1

asas nn

n

Y(s)

m

msb

1m

1msb

0b

Fig.2.39

+

++

Page 77: tehnologia sistemelor

DESCRIEREA EXTERN A SISTEMELOR 79

Elementele neiner iale descriu comport ri ideale la trecerea semnalelor, existând trei tipuri de comport ri neiner iale: - elemente propor ionale, a c ror model matematic în domeniul timpului este

y(t) = kpu(t)

i în domeniul complex H(s) = k

kp fiind factor de propor ionalitate, adimensional. - Elemente integrative, a c ror comportare la trecerea semnalelor (model matematic) este

dat de: t

i

duT

ty0

)(1

)(

Ti fiind constanta de timp de integrare, m surat în secunde. - elemente derivative descrise de:

dt

tduTty d

)()(

sauH(s) = Tds

Td fiind constanta de timp de derivare, m surat în secunde. Elementele reale au o comportare iner ial , acest lucru datorându-se existen ei elementelor acumulatoare de energie(substan )sau disipative. Existen a acestor elemente determin o întârziere între semnalul de intrare isemnalul de ie ire, ordinul acestor întârzieri fiind dat de num rul elementelor acumulatoare idisipative. Ordinul de întârziere este dat de gradul ecua iei diferen iale ce descrie func ionarea elementului, egal cu gradul polinomului de la numitorul func iei de transfer. Elementele iner iale tipice cu importan deosebit în analiza sistemelor sunt: - elemente de ordin 1 (T1), descrise de:

)(tuydt

dyT

sau,

1

1)(

TssH

T fiind constanta de timp m surat în secunde. - elemente de ordin 2 (T2), descrise de:

)()( 212

2

21 tuydt

dyTT

dt

ydTT

T1 i T2 fiind, în acest caz, constante în timp. Atunci când T1 i T2 au valori complexe, modelul matematic devine:

)(2 222

2

tuydt

dy

dt

ydnnn

sau,

22

2

2)(

nn

n

sssH

unde,

21

1

TTn

poart numele de pulsa ie natural , iar

Page 78: tehnologia sistemelor

TEORIA SISTEMELOR I REGLAJ AUTOMAT 80

21

21

2

1

TT

TT

poart numele de factor de amortizare. Pentru unele elemente tipice exist un interval de timp între momentul aplic rii semnalului

de intrare i momentul în care semnalul de ie ire începe s se modifice. Acest interval poartnumele de timp mort (întârziere pur ), i prezen a lui în func ionarea elementelor constituie un criteriu de clasificare în: - elemente cu timp mort, descrise de:

y(t) = u(t- )sau,

H(s) = e-s

- elemente f r timp mort.Exist posibilitatea combin rii unor elemente, razultând elemente tip PT1,

PT2, PT1 cu timp mort, PT2 cu timp mort, etc. Din punct de vedere al pozi ion rii polilor func iei de transfer, elementele tipice se clasific în: - elemente stabile, ale c ror func ii de transfer au polii pozi iona i în semiplanul stâng, pe

axa imaginar având eventual numai poli simpli (ordin de multiplicitate 1); - elemente instabile, ale c ror func ii au polii repartiza i în întreg planul complex.

Din punct de vedere al pozi ion rii zerourilor func iei de transfer, elementele tipice se împart în: - elemente de faz minim , a c ror zerouri sunt pozi ionate în semiplanul stâng; - elemente de faz neminima, a c ror zerouri sunt pozi ionate în întreg planul S.

2.5.1. Analiza principalelor elemente tipice netede.

2.5.1.1. Elementul propor ional (element de tip P)

Modelul matematic în domeniul real este: )()( tukty p

Modelul matematic în domeniul complex va fi dat de func ia de transfer definit astfel:

pksH )(

Pornind de la forma general :a0y(t)=b0u(t), notând b0/a0=kp se ob ine: y(t)=kpu(t).

R spunsul la impuls (func iapondere) este:

h(t)=kp (t)

Graficul acestuia fiind reprezentat în figura 2.41 R spunsul la treapt (r spunsul indicial) este dat de :

w(t)=kp (t)

i are aspectul din figura 2.42 Func ia de transfer în frecven este:

H(j )=kp,

h(t)

kp (t)

tFig. 2.41

w(t) (t)w(t)

(t)

kp

1

Fig. 2.43 t

Page 79: tehnologia sistemelor

DESCRIEREA EXTERN A SISTEMELOR 81

Se ob in pentru caracteristica real , caracteristica imaginar , caracteristica modul idefazaj expresiile:

HRe( )=kp, HIm( )=0,|H(j )| = M( )=kp

( )=0 pentru kp > 0, ( ) = – pentru kp < 0.

Caracteristicile de frecven pentru elementul de tip propor ional sunt prezentate în figura 2.43. Caracteristicile Bode au expresiile:

A( )=20lnkp

( )=0 Exemple de elemente cu func ionare ideal de tip propor ional sunt:

- amplificatorul electronic; - traductorul poten iometric, reductor mecanic.

2.5.1.2. Elemente cu întârziere de ordin 1 (PT1)Este descris de ecua ia:

)()( tuktydt

dyT p

sau

1)(

Ts

ksH

p

Parametrii elementului PT1 se ob in pornind de la forma general :

)(00 tubyadt

dy

notând Ta 0

1 ipk

a

b

0

0

R spunsul la impuls (func ia pondere) se ob ine astfel:

h(t) = L -1 H(s) = L -1 TeT

k

Ts

k pp1

1

R spunsul la treapt unitar (r spuns indicial) se ob ine astfel:

T

p

T

p

s

c

s

cL

T

k

sTs

kLsWLtw

1

101

1

11 )]([)(

Tetks

T

s

T

T

kp

T

p1

)(11

Pentru t > 0 rezult

HRe( )

kp

0a)

HIm( )

0b)

M( )

kp

0c)

( )

–0

d)

HIm

kp

0e)

HRe

Fig. 2.43

Page 80: tehnologia sistemelor

TEORIA SISTEMELOR I REGLAJ AUTOMAT 82

Tt

p ektw 1)(

Derivata în origine w(0+) = kp/T este tangenta la curb în origine. Deci, dreapta a c reipant este =kp/T va intersecta dreapta paralel cu axa t care trece prin kp la timpul t = T,putându-se astfel determina T. Înlocuind în rela ia lui (t) pe t = T, se ob ine

pep kktw 632,01)( 1 . Cum kp = wst = limw(t) pentru t tinzând la infinit rezult

w(t) = 0,632 wst. Punând condi ia w(t) = 0,95kp ob inem:

0,95kp = kpT

tt

e1

Atunci va rezulta c tt = Tln 0,05 ~ 3T.Graficul func iei pondere este prezentat în figura 2.44, a iar graficul r spunsului indicial este prezentat în figura 2.44, b.

Func ia de transfer în frecven are expresia:

1)(

Tj

kjH

p

Ra ionalizând, ob inem:

221

)1()(

T

TjkjH

p

de unde rezult caracteristica modulului, a argumentului i caracteristica amplitudinii:

221)(

T

kM

p

Tarctan)(221lg20lg20)( TkA p

Caracteristica real este dat de expresia

)(1

)( 22Re PT

kH

p

cu maximul în HRe(0).

h(t)

t0

T

kp

w(t)

t0

T

kp

T

a) b)

Fig. 2.44

Page 81: tehnologia sistemelor

DESCRIEREA EXTERN A SISTEMELOR 83

Caracteristica imaginar are expresia

221)(

T

TkQ

p

Q(0) = 0, Q( ) = 0, Q 21 pk

T.

2222

22

222

2222

1

)1()1(

1

1

1

21)(

T

TT

T

T

T

TTTkQ p

Rezult un maxim în T

1.

Pentru ob inerea hodografului se elimin din P( ) i Q( ) i ob inem:

Re

Re2222Re ,1

H

HkTkTH

p

p

rezult

2

Re

Re

Re

Re2

2Im

1H

Hk

H

Hkk

H

p

p

p

2ReRe

2Im HHkH p

rezult2

2Im

2

Re 2

1

2

1pp kHkH .

Aspectul caracteristicilor de frecven pentru un element de tip PT1 este prezentat în figura 2.46 (Caracteristicile au fost trasate prin asimptote, caracteristicile exacte fiind prezentate cu linie întrerupt ).

Fig.2.46Un exemplu de element cu func ionare de tip PT1 este cuadripolul RC din figura 2.47, a. inând cont de nota iile de pe figur , ecua ia de func ionare a acestui cuadripol se ob ine

astfel: Aplicând legea a doua a lui Kircoff se ob ine

HRe( )HIm( )

M( )

HIm( )

A( ) ( )

kp M(0)

lg

0

0

2 pk 0

HRe

0

2 pk

0

lg

0

4

2

T1

T1

a)

b)c)

e)f)

Page 82: tehnologia sistemelor

TEORIA SISTEMELOR I REGLAJ AUTOMAT 84

dt

duCiuRiu e

ci , , rezult iee uu

dt

duRC ,

cu ue = y, ui = uRC, kp = 1, rezult

ipukydt

dyT .

Un alt exemplu de element cu func ionare de tip PT1 este cel prezentat în figura 2.47, b. F când nota iile:

Rh = rezisten a hidraulic a ventilului V1; S = suprafa a bazei; p = presiunea coloanei.

Varia ia volumului este egal cu diferen a debitelor i se ob in succesiv rela iile:

dtQQdV )( 11 rezult 21 QQdt

dhS

hh R

gh

R

pQ2 rezult 1Q

R

gh

dt

dhS

h

notând phh kg

RT

g

SR; rezult 1Qkh

dt

dhT p .

2.5.1.3. Element propor ional cu întârziere de ordin 2 (PT2).Modelul matematic se poate scrie sub dou forme:

ukydt

dyTT

dt

ydTT p212

2

21 (I)

1)(

212

21 sTTsTT

ksH

p

sau:

yukydt

dy

dt

ydnpnn22

2

2

2 (II)

12)(

2

2

ss

ksH

np

ui ue

R

C

a)

h

S

Qi

Qe

V1

V2 b)Fig. 2.47

Page 83: tehnologia sistemelor

DESCRIEREA EXTERN A SISTEMELOR 85

Cele dou forme se ob in de la forma generala a modelului matematic:

ubyadt

dya

dt

yd0012

2

i notând 210

1TT

a; 21

0

1 TTa

a; pk

a

b

0

0 , ob inem

ukydt

dyTT

dt

ydTT p112

2

21

Cum se ob ine forma a doua a fost prezentat anterior, forma a doua, caracteristicelementul cu r spuns oscilant, fiind cea mai des folosit , deci:

ukdt

dy

dt

ydnpnn22

2

2

2

Ecua ia asociat omogenei 02 22nn pp are solu iile

22,1 1np

distingându-se urm toarele posibilit i:a) >1 rezult p1,2 r d cini reale i inând cont de rela iile lui Viete rezult p1 = T1 i

p2 = T2. Ecua ia va avea forma (I), iar elementul se va numi element PT2 aperiodic. b) = 1 rezult p1 = p2 = - n;c) 0 < < 1 rezult p1,2 r d cini compelexe.

Ecua ia va avea forma (II), iar elementul se va numi PT2 oscilant. - Pentru elementul PT2 aperiodic r spunsul la impuls va fi solu ia ecua iei:

)(112

2

21 tkydt

dyTT

dt

ydTT p

pentru t > 0 devine

0112

2

21 ydt

dyTT

dt

ydTT

Solu iile ecua iei ata ate 01)( 212

21 pTTpTT vor fi 1

1

Ti

2

1

T iar solu ia general

21

11

21)()( TT eCeCthty

Condi iile ini iale se ob in aplicând teorema valori ini iale, 0)(lim)0( ssHhs

deci:

21212

21 1)(lim)]0()([lim)0(

TT

k

sTTsTT

ksshssHsh

pp

ss

rezult21

221121 ,0TT

kTCTCCC

p , deci, )(

,)( 21

221

1TT

kC

TT

kC

pp i

21

21)( T

t

T

t

pee

TT

kth

Func ia are un maximum pentru 2

1

21

211 ln

T

T

TT

TTt i un punct de inflexiune pentru t2 =

2t1.

Page 84: tehnologia sistemelor

TEORIA SISTEMELOR I REGLAJ AUTOMAT 86

R spunsul indicial w(t)se ob ine pentru intrarea u(t) = (t), deci s

sU1

)( .

0

2121

21

111

1)()( TT eTeTTT

kdhtw p

Pe baza r spunsului experimental la intrare treapt unitar se pot aproxima cele douconstante de timp pe baza rela iilor

1270

21t

TT

70

30703021 45,0

6,0 t

tttTT

unde t30 este timpul pentru care stwtw100

30)( 30 iar t70 este timpul pentru care

stwtw100

70)( 70 .

- Pentru elementul PT2, aperiodic critic:

2

2

22

2

)(2)(

n

np

nn

np

s

k

ss

ksH

Func ia pondere:

tnp

np-- nteks

ksHth 2

2

211

)()]([)( LL

2

00)]0()([lim)0(;0)(lim)0( np

sskhssHshssHh

sau notând T

n

1, rezult

22)0(;0)0(;)(

T

khhte

T

kth

ppTt

R spunsul indicial:

211012

2

211

)(

1

)()]()([)(

nnnp

n

np--

s

C

s

C

s

Ck

ss

ksusHtw LLL

rezult ,

nsnsnsn nns

Cs

Cs

C11

;11

;1

)(

122212

020 .

Deci, t

npnektw )1(1)(

Tt

eT

tktw p 11)(

Page 85: tehnologia sistemelor

DESCRIEREA EXTERN A SISTEMELOR 87

01

)(lim)(lim)0(

2

2

ss

ksssww

n

np

ss

01

)(lim)]0()([lim)0(

2

2

ss

ksswsswsw

n

np

ss

S-a notat T

n

1, vom avea: w( ) = kp.

În figura (2.48,a) este prezentat aspectul r spunsului la impuls unitar al unui element PT2 iar in figura (2.48,b) este prezentat r spunsul indicial aperiodic critic, punctat; în figur a fost reprezentat r spunsul indicial pentru sisteme PT2 aperiodice, observând c r spunsul aperiodic critic este mai rapid.

Pentru elemente PT2 oscilant: Func ia pondere se calculeaz cu:

tek

ss

kth n

tnp

nn

np n 2

222

21 1sin

12)( L

Rezultatul de mai sus s-a ob inut notând cu 21

21; ndnd iar cu

dd jp2 , r d cinile ecua iei caracteristice. Prin descompunere în factori simpli se

ob ine:

dddd

-np

js

C

js

Ckth 2112)( L

djsdd jjsC

dd2

111 ;

dd jsdd jsC

12

ddddd

np

jsjsj

kth

11

2)( 1

2

L

tjtj

d

np dddd eej

k )()(2

2

h(t)

t1 t2 t

w(t)

kp

t

a) b)Fig 2.48

Page 86: tehnologia sistemelor

TEORIA SISTEMELOR I REGLAJ AUTOMAT 88

tt

ek

j

eee

kn

tnp

tjtjt

d

npddd

d 2

2

2

1sin12

Condi iile ini iale conven ionale se calculeaz cu ajutorul teoremei valorii ini iale i au expresiile:

0)(lim)0( ssHhs

2)0()(lim)0( nps

khssHsh

În figura (2.49, a) este reprezentat aspectul grafic al func iei pondere h(t) pentru un element oscilant de tip PT2.

Perioada proprie de r spuns a oscilatoriu a c rei semnifica ii este cea din figur , se calculeaz cu rela ia:

21

2

n

T

R spunsul indicial w(t) calculat prin aplicarea transformatei Laplace inverse imaginii semnalului corespunz tor unei intr ri de tip treapt se calculeaz cu:

2

2

1 1sin1

11

)()(t

p

nek

ssHtw L

unde:21

arctanarctand

d

Punând condi ia w = 0 ob inem expresia analitic a suprareglajului:

21e

i cu 2

1ln , unde 1 reprezint suprareglajul maxim iar 2 diferen a dintre al doilea

maxim i valoarea de regim sta ionar a r spunsului indicial, rezult :

h(t) w(t)

00 t tTp

= 02

1

a)b)

2 > 1 > 0

Fig. 2.49

Page 87: tehnologia sistemelor

DESCRIEREA EXTERN A SISTEMELOR 89

21

2

Leg tura dintre p corespunz toare perioadei proprii Tp i p este dat de 21np .

Punând condi ia ca extremele relative ale lui w(t) s se încadreze în limitele (0,95 – 1,05) yst,ob inem expresia analitic a timpului total tranzitoriu:

ntt

2105,0ln

se ia acoperitor n

tt4

.

Pentru = 0 se ob ine )cos1(2

sin1)( tktkt npnp .

Pentru = 1 se ob ine expresia elementului critic amortizat prezentat anterior. Aspectul grafic al r spunsului indicial pentru diferite valori ele factorului de amortizare este prezentat în figura (2.49,b).

Func ia de transfer are expresia:

j

k

j

k

j

kjH

p

nn

p

nn

np

2121

2)(

2

2

222

2

unden

.

Expresia modulului func iei de transfer va fi dat de:

2222 4)1()(|)(| pk

MjH

Aspectul grafic al caracteristici M( ) pentru un element PT2 este prezentat în figura (2.50,d).

Punând condi ia M( ) = 0 ob inem 21

20 21 adic , pulsa ia de rezonan

20 21n , iar valoarea de vârf

221

pkM .

Valoarea ini ial a modulului este:

sts

p ytykM )(lim)0(

Ra ionalizând în expresia func iei de transfer în frecven se ob ine:

2222

2

41

21)(

jkjH

p

rezult partea real a func iei de transfer în frecven :

2222

2

Re41

1)( pk

H

i partea imaginar :

Page 88: tehnologia sistemelor

TEORIA SISTEMELOR I REGLAJ AUTOMAT 90

2222Im

41)( pk

H

Punând H R( ) = 0 rezult 211 ;)1(

1

4)( 1

pR

kH ;

212 ;)1(

1

4)( 2

pR

kH ;

Caracteristica real de frecven este reprezentat în figura (2.50,a) iar caracteristica imaginar de frecven este prezentat în figura (2.50,b). Expresia defazajului va fi:

21

2arctan

Expresia defazajului se ob ine prin eliminarea variabilei între expresiile HRe( ) i HIm( ),aspectul grafic al acestuia fiind prezentat în figura (2.50,c).

Caracteristicile Bode sunt date de expresiile: - caracteristicile amplitudine-frecven :

2222 4)1(lg20lg20)( pkA

- caracteristicile defazaj-frecven

21

2arctan)(

M( )

M(0)M

00

HIm( )

0HRm( )

= =0

c)d)

1

2

kp

0

HRm( )HIm( )

3

0

a)

b)

Fig. 2.50

Page 89: tehnologia sistemelor

DESCRIEREA EXTERN A SISTEMELOR 91

Aspectul grafic al caracteristicilor Bode este prezentat în figura 2.51; caracteristicile au fost trasate prin asimptote, caracteristica exact fiind reprezentat cu linie întrerupt :

Un exemplu de element PT2 aperiodic este ansamblul format din dou recipiente reprezentat în figura (2.52,a).

Pentru primul recipient, din condi ia de echilibru dinamic rezult : dtQQdhS i )( 111 , de

unde reprezint densitatea lichidului. Pentru al doilea recipient: dtQQdhS ei )(22 , notând cu Rh1 i Rh2 rezisten ele hidraulice

ale robinetelor se ob ine: 1

1

1

11

hh R

gh

R

PQ ;

2

21

hR

PQ .

de unde: 1

11

11

Rh

ghQ

dt

dhS i

2

2

1

122

Rh

h

Rh

h

dt

dhS

rezult 22

12121 h

Rh

Rh

dt

dh

g

RhSh i înlocuind în prima ecua ie rezult succesiv

eQhRh

Rh

dt

dhRh

g

S

Rh

g

dt

dh

Rhdt

hd

g

SRhS 2

2

121

2

1

2

222

22

111

20lgkp

lgkp

A( )

a)

lg

( )

b)

Fig. 2.51

h1

S1

Qi

V1

a)

Q1

Rh1

h2

S2

Qe

V2

ui ue

R

C

b)

Rh2

Fig. 2.52

L

Page 90: tehnologia sistemelor

TEORIA SISTEMELOR I REGLAJ AUTOMAT 92

iQdt

dhRhSRhgS

dt

hdRhSRhS 2

22112

2

2211

1222

2122

2

221111

Qg

hdt

dh

g

RhSSRh

dt

hdRhSRhS

g

Notând 22

2111 ;; Tg

RhSTRhSk

g

Tp , ob inem

ipQkhTTdt

hdTT 2212

22

21 )(

Un element PT2 oscilant este cuadripolul din figura (2.52,b). Aplicând legile lui Kirckoff se

ob ine dt

duCiu

dt

diLRiu e

ei , rezult eee

i udt

udLC

dt

duRCu

2

2

rezult : ieee u

LCu

LCdt

du

L

R

dt

ud 112

2

.

Notând 1;2

;1 2

pn kL

Cr

LC rezult

inpenee uku

dt

du

dt

ud 222

2

2 .

2.5.1.4. Elementul integrator I: Modelul matematic are expresia:

t

t

duT

ty

0

)(1

)(

sau

STsH

i

1)(

Care se ob ine pornind de la ubyadt

dyo0 , unde a0 = 0 i

iTb

10

Func ia pondere este dat de: )(11

)( 1 tTST

tHti

L

R spunsul indicial este dat de expresia: )(111

)( 1 ttTsST

twti

L

Aspectul grafic al func iei pondere i al r spunsului indicial sunt prezentate în figura (2.53,a), respectiv (2.53,b).

h(t)w(t)

1

00 tTi

1Ti

t

a)b)

Fig. 2.53

Page 91: tehnologia sistemelor

DESCRIEREA EXTERN A SISTEMELOR 93

Elementul integrator are proprietatea de a memora m rimea de ie ire anterioar , atunci când intrarea devine zero.

Func ia de transfer în frecven are expresia: iTj

jH1

)(

Caracteristicile de frecven fiind date expresiile:

1ImRe

1;0;

2)(;

1)(

THH

TM

i

Hodograful este identic cu HIm,Caracteristica A( ) are expresia: A( )= -20lg Ti.Aspectul grafic al caracteristicilor de frecven este prezentat în figura (2.54)

Ca exemplu prezent m cuadripolul din figura (2.55). Aplicând legile lui Kirchoff se ob ine succesiv:

iee u

dt

du

dt

duRC

Pentru valori succesive ale lui RC avem dt

du

dt

duRC ee , rezult iu

dt

dyRC , cu iTRC i

t

t

duT

y

0

)(1

2.5.1.5. Elementul derivativ (D): Modelul matematic al unui element derivativ are formele:

sTsHdt

duTty dd )(,)(

Modelele s-au ob inut pornind de la forma general a unui element de ordin 1

M( )

0

HIm( )

0

0 0

A( ) ( )

lg( ) lg( )

iT

1

2a) b) c) d)

Fig. 2.54

ui ue

R

C

Fig. 2.55

Page 92: tehnologia sistemelor

TEORIA SISTEMELOR I REGLAJ AUTOMAT 94

ubdt

dubya 010

punând condi ia dTa

b

1

1 i 00 ab

Func ia pondere are expresia:

)()]([)( 1 tTssTth ddL

R spunsul indicial se calculeaz astfel:

)(1

)( 1 tTs

Ttw ddL

Reprezentarea grafic a celor dou func ii este prezentat în figura 2.56

Din aceste r spunsuri se vede c elementul de tip D are un efect de anticipare a m rimii de intrare. Func ia de transfer în frecven :

dTjjH )(

Caracteristica real i cea imaginar au expresiile 0ReH i respectiv dTH Im

Modulul i defazajul au expresiile dTM )( i respectiv 2)(

Reprezentarea grafic a caracteristicilor de frecven este prezentat în figura (2.57).

Un exemplu de element derivativ este cuadripolul din figura 2.58. Rela iile care constituie modelul matematic al cuadripolului sunt:

ecie

ccc uuuR

uidti

Cu ,,

1, rezult eci udti

Cu

1i eei udtu

RCu

1.

h(t) w(t)

t t0 0

a) b) Fig. 2.56

M( )

0

HRe( ) A( )HIm( )

0 0 0 0

( )

lg( ) lg( )

a) b) c) d) e)

2

Fig. 2.57

Page 93: tehnologia sistemelor

DESCRIEREA EXTERN A SISTEMELOR 95

dt

duRCu

dt

duRC e

ei , dac RC este ales astfel încât e

e udt

duRC .

uuTRCdt

duRCu id

ee ,, rezult

dt

duTy .

ui ueR

C

Fig. 2.58

Page 94: tehnologia sistemelor

TEORIA SISTEMELOR I REGLAJ AUTOMAT 96

CAPITOLUL III

DESCRIEREA EXTERN A SISTEMELOR DISCRETE

3.1. Modelul matematic intrare ie ire al sistemelor discrete

Sistemele discrete sunt acele sisteme pentru care variabila independent este definitnumai pe submul imi ale mul imii numerelor întregi. Putem deosebi sisteme discrete propriu-zise la care variabila independent nu poate avea decât valori discrete i sisteme e antionate care se

ob in din sistemele continui la care valoarea de ie ire este definit numai pentru multiplii întregi ai unei anumite cantit i a variabilei de intrare.

Un exemplu de sisteme discrete propriu-zise poate fi considerat cantitatea de marftransportat pe calea ferat cu trenurile de marf ; fiec rui tren i se asociaz un num r prin care el poate fi identificat, acest num r fiind evident întreg i constituind variabila discret propriu-zis .Fiec rui tren i se poate asocia o cantitate ce constituie o valoare inclus în mul imea numerelorreale; considerând ca variabil de intrare num rul de identificare a trenului i ca variabil de ie ire cantitatea de marf transportat de acesta se poate defini un sistem discret.

Un exemplu de sistem discret ob inut prin e antionarea unui sistem continuu în timp, se poate ob ine dac se cite te valoarea energiei electrice consumate la intervale de timp fixe (de exemplu la aceia i or în fiecare zi); în acest fel variabila continu timp este transformat într-o variabil definit numai pe mul imea numerelor întregi.

Pornind de la modelul matematic în domeniul real al unui sistem dinamic continuu:

u(t)b+...+ub+(t)ub=y(t)a+...+(t)ya+(t)y 01)-(m

1-m(m)

m0

1)-(n

1-n

(n) (3.1)aproximând derivata într-un punct a unei func ii y(t) prin tangenta în acel punct la curba de reprezentare a func iei,

T

y(t)-T)+y(t=

dt

dy (3.2)

iar derivata a doua prin tangent la curba primei derivate, adic :

y(t)]+T)+2y(t-2T)+[y(tT

1=

]T

y(t)-T)+y(t-

T

T)+y(t-2T)+y(t[

T

1=

T

(t)y-T)+(ty=

dy

y(t)d

2

2

2

(3.3)

Procedând similar ob inem pentru derivata de ordin i expresia:

y(t)]C)(-1+...+1)T)-(i+y(tC-iT)+y(tC[T

1=

dt

yd ii

(i)

i0iii

i1

(3.4)

Înlocuind expresiile derivatei de ordin i ale func iei de ie ire i ale func iei de intrare conform(3.4) în ecua ia (3.1), se ob ine o expresie de forma:

u(t)...+1)T)-(m+u(t+mT)+u(t=y(t)+...+1)T)-(n+y(t+nT)+y(t01-mm01-n (3.5)

Page 95: tehnologia sistemelor

DESCRIEREA EXTERN A SISTEMELOR DISCRETE 97

unde 0, 1,..., n-1 sunt coeficien ii lui y(t), y(t+T),...,y(t+(n-1)T) iar 0, 1,...,

m sunt coeficien ii corespunz tori ai termenilor u(t), u(t+T),...,u(t+mT). F când nota iile

0=a0, 1=a1, ,..., n-1=an-1, =b0, 1=b1, ..., m=bm i considerând T (pasul de e antionare) ca unitate de m sur a timpului (ceea ce înseamn t=kT unde k Z i T=1)ob inem din (3.5):

(3.6)u(k)b+...+1)-m+u(kb+m)+u(kb=y(k)a+...+1)-n+y(ka+n)+y(k 01-mm01-n

Rela ia (3.6) constituie modelul matematic intrare-ie ire în domeniul real al sistemelordinamice discrete. Dup cum se vede aceasta este o ecua ie cu diferen e i corespunde ecua ieidiferen iale ce constituie modelul matematic al sistemelor continui. Pentru sistemele fizic

realizabile, la fel ca i în cazul sistemelor continui, este necesar ca n m.Dac aproximarea derivatelor se face prin cu ajutorul semnalului întârziat:

T

T)-y(t-y(t)=

dt

dy (3.7)

se ob ine rela ia:

u(k)b+...+1))-(mu(kb+m)-u(kb=y(k)a+...+1))-(n-y(ka+n)-y(k 01-mm01-n (3.8)Rela ia (3.6) constituie modelul matematic intrare-ie ire al sistemelor discrete sub formavansat , iar rela ia (3.8) constituie modelul matematic al sistemelor discrete sub form întârziat .Cele dou forme sunt echivalente.

3.2. Analiza sistemelor discrete liniare prin metode opera ionale

3.2.1. Aplicarea transformatei Z în studiul sistemelor discrete în timp

Consider m o func ie de variabil discret f(k), k . Pentru func iile cauzale (f(k)=0pentru k<0) se define te transformata Z unilateral astfel:

zf(k)*=Z[f(k)]=F(z) k-

=0k

(3.9)

unde z este o variabil complex .Transformata Z astfel definit este unilateral deoarece suma începe de la k=0; se poate

defini i o transformat Z bilateral cu suma începând de la k= -Pentru ca transformata Z s fie definit de rela ia (3.9) este necesar ca seria definit de

(3.9) s fie convergent . Pentru aceasta este necesar ca z-k s fie cât mai mic. Deci z s fie cât mai mare. În acest caz, în mod similar condi iei de existen a transformatei Laplace pentru sistemele continui (abscisa de convergen ), pentru transformata Z se define te raza de convergen astfel încât transformata Z exist pentru z >R0 unde R0 este raza de convergen .Deci transformata Z va exista numai pentru acele valori ale lui z pozi ionate în afara cercului de raz R0 (în afara zonei ha urate din figura 3.1)

Leg tura dintre transformata Z i transformata Laplace se poate stabili e antionând cu pasul T o func ie continu oarecare f(t). Se ob ine seria echivalent func iei f(t):

k)-(tf(k)=kT)-(tf(kT)=(t)f=0k=0k

(3.10)

În cea de-a doua parte a rela iei 3.10 s-a considerat T=1 sau t’=t/T notat abuziv tot cu t. Aplicând transformata Laplace în (3.10) se ob ine:

Page 96: tehnologia sistemelor

TEORIA SISTEMELOR I REGLAJ AUTOMAT 98

ef(kT)=kT)-(tf(kT)(t)]f[ kTs-

=0k=0k

LL (3.11)

Fig. 3.1

În rela ia (3.11) s-a inut cont c transformata Laplace este liniar i Ls Realizând

schimbarea de variabil eTs =z se ob ine din (3.11)

zf(k)=

e

(t)]f[=F(z) k-

=0k

z=sT

L (3.12)

Printr-un abuz de limbaj (pentru c nu se poate vorbi de transformata Z a unei func iicontinui) spunem totu i c transformata Z a unei func ii continui f(t) este transformata Laplace a seriei ob inute prin e antionarea func iei continui. Modalitatea practic de trecere din domeniulcontinuu în domeniul opera ional z este urm toarea:

F(z)(s)F(t)ff(t)e=z

Laplace

sT

(3.13)

3.2.1.1.Propriet i ale transformatei Z

1) Liniaritatea: fiind date 2 func ii cauzale discrete f(k) i g(k) i dou constante C1 i C2

atunci:G(z)C+F(z)C=g(k)]C+f(k)CZ[ 2121 (3.14)

unde F(z)=Z[f(k)] i G(z)= Z[g(k)]

2) Transformat Z a unui semnal cauzal întârziat. Fie f(k) un semnal cauzal discret (vezi fig. 3.2) i g(k)=f(k-k0). Atunci:

z)k-f(k=zg(k)=Z[g(k)]=G(z) k-0

=0k

k-

=0k

(3.15)

F când schimbarea de variabil i=k-k0 rezult :

zf(i)z=zf(i)=G(z) i-

=0i

k0-)k0+-(i

k0=i

(3.16)

În (3.16) s-a inut seama de faptul c pentru i<k0 (deci pentru k<0) func ia f(i)=0 (pentru-c f(k) este cauzal ). Se ob ine deci din (3.16):

Page 97: tehnologia sistemelor

DESCRIEREA EXTERN A SISTEMELOR DISCRETE 99

F(z)z=)]k-Z[f(k k-0

0 (3.17)3) Transformata Z a produsului de convolu ie a dou semnale cauzale

Se define te produsul de convolu ie a dou semnale cauzale discrete f(k) i g(k) notat(f*g)(k)

astfel:

i)-f(i)g(k=g)(k)*(fk

=0i

1

(3.18)

Fig. 3.2

Aplicând transformata Z în (3.18) ob inem:

zi)-f(i)g(k=g)(k)]*Z(f k-k

=0i=0k

1

(3.19)

inând cont de faptul c g(k-i)=0 pentru i>k (deoarece g(k) este cauzal ) ob inem în continuare:

zi)-g(kf(i)=zi)]-[f(i)g(k=g)(k)]*Z[(f k-

=0k=0i

k-

=0k

(3.20)

Am schimbat ordinea de sumare i am scos pe f(i) în afara sumei dup k. inând cont ctransformata Z a unui semnal cauzal întârziat este conform propriet ii 2, Z[g(k-i)]=z

-iG(z)

înlocuind în rela ia anterioar ob inem:

F(z)G(z)=zf(i)G(z)=G(z)zf(i)=g)(k)]*Z[(f i-

=0i

i-

=0i

(3.21)

Din rela ia (3.21) rezult c transformata Z a produsului de convolu ie a dou func ii este produsul imaginilor prin transformata Z a celor dou func ii.

4) Transformata Z a unui semnal necauzal decalat Fie f(k) un semnal necauzal i g(k)=f(k+k 0) (vezi figura 3.3).Calculând transformata Z a semnalului g(k) ob inem:

zf(i)-F(z)z=]zf(i)-zf(i)[z=

=zf(i)z=zf(i)z)k+f(k=zg(k)=Z[g(k)]=G(z)

i-k0

1-k0

=0i

k0i-

1-k0

=0i

i-

=0i

k0

i-

k=i

k0)k0--(i

k0=i

k-0

=0k

k-

=0k 0

(3.22)

Page 98: tehnologia sistemelor

TEORIA SISTEMELOR I REGLAJ AUTOMAT 100

Fig. 3.3.

Deci pentru a ob ine transformata Z a unui semnal necauzal avansat cu k0 pa i, se înmul e teimaginea cu zk0 i se scad e antioanele pierdute prin decalare.

Dac k0 este negativ, atunci semnalul va fi întârziat i:

zf(i)+zf(i)z=

=zf(i)zif=z)k-f(k=G(z)

)k0(i+-1-

k0-=i

i-

0=i

k0-

)k0(i+-

=i

)k(i+--1

k0-=i

k-0

0=k

+0

0)(

(3.23)

Pentru semnalele necauzale întârziate se înmul e te imaginea cu z-k0 i se adaug valorile

corespunz toare e antioanelor câ tigate prin deplasare. 5) Teorema valorii ini iale

f(k)=f(0)=zf(k)=F(z) kk-

=0k

zz 0limlimlim (3.24)

Proprietate ce decurge din defini ia transformatei Z.6) Teorema valorii finale

1)F(z)-(z=f(k) zk 1limlim (3.25)

Transformatele Z a unor func iile elementare sunt:

1+a2z-z

a)-z(z=(ak)] Z[;

1+a2z-z

az=(ak)] Z[;

)a-(z

za=]aZ[k

a-z

z=]a Z[;

)1-(z

1)+z(z

2

1=]

2

k Z[;

)1-(z

z= Z[k];

1-z

z=(k)] Z[1;=(k)]Z[

222

k

k

3

2

2

cos

coscos

cos

sinsin

Page 99: tehnologia sistemelor

DESCRIEREA EXTERN A SISTEMELOR DISCRETE 101

3.2.2. Func ia de transfer a unui sistem discret în timp.

Consider modelul matematic general în forma anticipat a unui sistem discret:

y k n an 1y k n 1 ... a1y k 1 a0y k

b mu k m b m 1u k m 1 ... b 0u k (3.26)

Considerând ini ial sistemul în repaus (deci condi ii ini iale nule), adic :y 1 y 2 ... y n 1 0

i (3.27)u 1 u 2 ... u m 1 0

Aplicând transformata Z în ambii membrii ai ecua iei (3.26) i inând cont de propriet ile acesteia precum i de condi iile (3.27) ob inem:

Y z (zn an 1zn 1 ... a0 ) U z (bmzm bm 1zm 1 ... b0 ) (3.28) unde am notat:

Y z Z y k

iU z Z u k

Din (3.28) ob inem:

01

1

01

1

...

...)(

azaz

bzbzbzH

n

n

n

m

m

m

m (3.29)

H(z) se nume te func ie de transfer a sistemului discret (3.26) i se define te ca raport între imaginile prin transformarea Z a m rimii de ie ire i a m rimii de intrare. Func ia de transfera unui sistem discret descrie în planul complex evolu ia sistemului. Un sistem discret se poate reprezenta prin eviden ierea func iei de transfer. Func ia de transfer este o func ie ra ional de variabil complex Z i reflect în spa iul imaginilor structura sistemului discret; am numit-ofunc ie ra ional datorit faptului c prin înlocuirea variabilei complexe z în H(z) cu o variabil real se ob ine o func ie real . Datorit similitudinii rela iei (3.29) cu rela ia de definire a func iei de transfer a sistemelor netede, algebra func iilor de transfer a sistemelor discrete va avea acelea i reguli ca i algebra func iilor de transfer a sistemelor netede; ca exemplu:

- legarea în paralel:

)()(1

zHzH i

n

i

- legarea în serie:

)()(1

zHzHn

i

i

- legarea în reac ie:

)()(1

)()(

21

1

zHzH

zHzH

Page 100: tehnologia sistemelor

TEORIA SISTEMELOR I REGLAJ AUTOMAT102

3.2.3. Func ia de transfer a unui sistem cu e antionare.

În cazul sistemelor automate conduse cu calculator numeric este necesar ca datele prelucrate din sistem s fie discretizate iar semnalele furnizate de calculator (semnalediscrete) s fie transformate în semnale continui; rezult schema bloc din figura 3.4.

Fig.3.4Ansamblu CNA, proces continuu, CAN constituie un proces continuu discretizat.

Pentru a calcula func ia de transfer a acestui sistem vom considera pentru CNA i CAN structura conven ional din figura 3.5.

Fig.3.5

Similar procesului de conversie numeric i analog - numeric func iile elementelor 1 i 2 vor fi:

- elementul 1 din CNA - converte te impulsurile numerice primite de la calculator în impulsuri continui; - elementul 2 din CNA - converte te impulsurile continui u*(t) în semnalul scar )(tu ; este numit element cu re inere de ordin zero; - elementul 1 din CAN - e antioneaz semnalele continue y(t) cu perioada T furnizând la ie ire un tren de impulsuri continui y*(t); este numit e antionator ideal; - elementul 2 din CAN converte te impulsurile continui în impulsuri discrete.

Elementul cu re inere de ordin zero furnizeaz la ie ire atunci când îi este aplicat un impuls unitar ( (t)) semnalul dreptunghiular:

)()()()(0 thTtttu ER (3.30)

iar func ia de transfer a lui va fi:

s

e

tL

tuLsH

sT

ER

1

)]([

])([)( 0 (3.31)

Page 101: tehnologia sistemelor

DESCRIEREA EXTERN A SISTEMELOR DISCRETE 103

Func ia de transfer a întregii p r i continui notat H1*(s) se va calcula cu:

H*1(s H ER s H s (3.32)

unde H(s) este func ia de transfer a procesului continuu. Se va ob ine:sTe

s

sH

s

sHsH

)()()(*

1 (3.33)

Func ia de transfer a sistemului discretizat H(z) va fi:

sT

d es

sH

s

sHZsHZ

kuZ

kyZzH

)()()]([

)]([

)]([)( *

1 (3.34)

Dac not m cu H2(z) func ia de transfer a sistemului discret ob inut prin e antionarea

sistemului continuu a c rui imagine este H ss , atunci func ia de transfer a sistemului ob inut

din e antionarea sistemului a c rei imagine este sTes

sH )(va fi: z

-1H2(z); am inut cont c

sTes

sH )(este imaginea unei func ii întârziat cu perioada T fa de func ia a c rei imagine

estes

sH )(i c întârzierea cu un pas în domeniul timpului corespunde înmul irii cu z

-1

domeniul transformatei Z. Se ob ine: (3.35) )1)(()( 1

2 zzHzH d

H2(z) se calculeaz atunci când îl cunoa tem pe H2(s) prin transform rile succesive cunoscute:

)()()()( 222

1

2 zHZ

kTheesantionar

thL

sH

Exemplu:

S se calculeze H2(z) atunci când 1

)(1sT

ksH

h2 kT k1 1 ekTT1 h2 k k1 1 e

kT1

Notând:e

1T1 a h2 k k1 1 a k

de unde rezult :

3.2.4. R spunsul unui sistem discret în timp

Calculul r spunsului unui sistem discret descris de ecua ia (3.26) presupune determinarea seriei y(k) care satisface ecua ia (3.26) pentru orice Zk atunci când sunt cunoscute condi iile in iale conven ionale atât pentru y(k) cât i pentru u(k) i este cunoscutu(k) pentru orice k.

Cunoscând u(k) pentru k < 0 (k = -1,-2,...) i pentru k > 0, valorile ini iale y(0), y(1), ...,y(n-1) se calculeaz cu ecua ia (3.26) dând lui k valorile -1,-2,... . Seria solu ie a ecua iei (3.26), se poate calcula termen cu termen din ecua ia (3.26) inând cont c din (3.26) rezult :

y k n an 1y k n 1 an 2y k n 2 ... a0y k

bmu k m bm 1u k m 1 ... b0u k

inând cont c u(k) se consider cunoscut pentru orice k, atunci este cunoscut ivaloarea lui g(k) pentru orice k, unde:

g k bmu k m bm 1u k m 1 ... b0u k

Page 102: tehnologia sistemelor

TEORIA SISTEMELOR I REGLAJ AUTOMAT104

iy k n an 1y k n 1 an 2y k n 2 ... a0y k g k (3.36)

unde y(n-1), y(n-2), ...,y(0) sunt cunoscute. Dând succesiv lui k valori: k = 0, 1, ... se ob intocmai termenii seriei solu ie. Acest lucru justific i determinarea de rela ii de recuren ce sunt atribuite rela iilor (3.26). Exist posibilitatea dea exprima solu ia ecua iei (3.26) sub o form analitic compact ,similar solu iei sistemelor netede, adic :

y k yl k yf k (3.37) unde yl(k) este solu ie a ecua iei omogene:

y k n an 1y k n 1 ... a0y k 0 (3.38) iar yf(k) este o solu ie par ial a ecua iei (3.26). Dac ecua ia asociat omogenei:

(3.39) zn an 1zn 1 ... a 0 0

are solu iile i atunci yl(k) se prezint ca o combina ie liniar de forma:yl k

n

i 1ckyil k (3.40)

unde:- în cazul i solu ii distincte i reale atunci:

(3.41) k

lil ky )(

- în cazul c una din solu iile i este multipl de ordin de multiplicitate j atunci în loc de j termeni, în (3.40) vom avea:

(3.42)

- în cazul c i, I+1 sunt dou r d cini complex conjugate ale ecua iei (3.40) atunci:

(3.43)

unde: ci1

i i sunt constante utilizate în locul lui c1.Pentru determinarea componentei for ate exist mai multe metode: metoda

coeficien ilor nedetermina i, metoda varia iei constantelor adaptate pentru cazul discret. Astfel metoda coeficien ilor nedetermina i const în: - dac exist o valoare p astfel încât g(k), g(k+1),..., g(k+p) sunt liniar independente iar g(k+p+1) se poate exprima ca o combina ie liniar a irurilor g(k), g(k+1),..., g(k+p), adic :

yf k p0g k p1g k 1 ... ppg k p (3.44) unde coeficien ii pi se determin din condi ia ca yf(k) din (58) s satisfac ecua ia neomogen

(40), pentru orice k .0

Cu yl din (3.40) i yf din (3.44) se ob ine o solu ie dependent de n constante. Cele n constante se determin impunând condi ia de satisfacere a celor n condi ii ini iale y(0),

y(1),..., y(n-1).

În cazul în care m rimea de intrare este impulsul unitar discret (k), m rimea de ie irese nume te secven de ponderare i se determin ca solu ie a ecua iei omogene (3.38) pentru k > 0 având deci o form identic cu (3.40) adic :

n

i

k

iiCkh1

)( pentru k 0 (3.45)

Page 103: tehnologia sistemelor

DESCRIEREA EXTERN A SISTEMELOR DISCRETE 105

Cunoscut fiind h(k) se poate calcula solu ia for at la o intrare oarecare cunoscut u(k)

cu ajutorul produsului de convolu ie discret:

yf kk 1

i 0h k i u i

(3.46) solu ia general c p tând forma:

y kn

i 0ci i

kk 1

i 0h k i u i

(3.47)

3.2.4.1. Utilizarea func iei de transfer discrete i a transformatei Z inverse la calculul r spunsului unui sistem discret în timp.

În cazul în care sistemul pleac din repaus, deci condi iile ini iale sunt nule din rela ia(3.30) rezult :

Y z H z U z (3.48) R spunsul discret se va putea calcula aplicând transformata Z invers rela iei (3.48), deci:

y k Z 1 H z U z (3.49) Pentru calculul transformatei Z inverse a unei func ii oarecare exist mai multe

metode:a) Aplicarea func iei de inversiune:

dzzzYj

ky k 1)(2

1)( (3.50)

unde este un contur circular centrat pe originea planului Z i de raz ec (c fiind abscisa de minim convergen a integralei din L-1

(Y(s)) care trebuie s con in toate singularit ile lui Y(z)zk-1. Aceast metod este incomod în cazul general i de aceea ea are numai o importan pur teoretic .b) Descompunerea func iei Y(z) = H(z)U(z) în func ii simple:

S consider m:)(

)()(

zQ

zPzY

Se descompuneY Zz în sum de func ii simple:

n

i

i

pz

c

z

zY

1

)( (3.51)

unde ci se calculeaz cu acela i expresii ca i în cazul sistemelor continui. inând cont de liniaritatea transformatei Z ob inem y(k) ca sum a transformatelor Z inverse a termenilor din membrul drept al rela iei (3.51).

n

i i

ipz

zcZky

1

1)( (3.52)

Transformatele inverse a termenilor din rela ia (3.52) se ob in din tabele; s-a descompus Y(z)/z i nu Y(z) deoarece majoritatea transform rilor Z elementare con invariabila z la num r tor.

c) Metoda împ r irii infinite

Page 104: tehnologia sistemelor

TEORIA SISTEMELOR I REGLAJ AUTOMAT106

Aceast metod se bazeaz pe dezvoltarea în serie Taylor a func iei Y(z) în jurul punctului de la . Conform rela iilor de defini ie a transformatei Z coeficientul lui z-k va fi tocmai termenul k din irul c utat.

Fie: )(

)()(

zQ

zPzY

Facem schimbarea de variabil =1/z i definim func ia:

/1)()(/1

YzYz

(3.53)

Se dezvolt în serie Taylor în jurul originii. Se ob ine:

0

)(k

k

kc (3.54)

cu:

0

)(

!

1k

k

kd

d

kc

Din rela iile (3.53) i (3.54) rezult pentru z=-1 func ia Y(z):

(3.55) 0

)(k

k

k zczY

Comparând (3.55) cu defini ia transformatei Z pentru y(k) ob inem:

y(k) = ck

i deci termenii y(k) se pot calcula cu rela ia (3.54). Dezvoltarea func iei în jurul originii este echivalent cu dezvoltarea lui Y(z) în jurul punctului de la .

Atunci când ne intereseaz un num r finit de termeni ai irului y(k) în loc de a utiliza rela ia (3.54) se poate face împ r irea direct a polinoamelor Q(z) i P(z) din Y(z). De aici rezult i denumirea metodei.

3.3 R spunsul la impuls a unui sistem discret

R spunsul cauzal a unui sistem la o intrare impuls unitar se nume te secven de pondere. Consider:

y k 1 ay k b0u k : cu valoarea y(-1) = 0

Dac semnalul de intrare este impulsul unitar :00

01)()(

kpentru

kpentrukku

Se ob ine succesiv:

10

0

0

)(

.................

)2(

)1(

0)0(

kabky

aby

by

y

R spunsul la impuls al unui sistem de ordin 1 va avea forma:

Page 105: tehnologia sistemelor

DESCRIEREA EXTERN A SISTEMELOR DISCRETE 107

00

0)(

10

k

kabkh

k

Pentru un sistem care nu pleac din repaus ci dintr-o condi ie dat y(k0) r spunsulsistemului de ordin unu va fi:

y k yl k yf k

unde yl(k) este solu ia ecua iei: y(k+1) - ay(k) = 0.

Pentru k>k0 se ob ine:

)()(

.............................

)()1(

)()1(

00

02

0

00

kyakky

kyaky

kayky

k

iar pentru k0 = 0 avem: y k aky 0

Se observ rolul similar al termenului ak cu termenul e

at din cazul sistemelor netede. Pentru calculul r spunsului for at vom amplifica rela iile:an 1/ y k0 1 ay k0 b0u k0

an 2/ y k0 2 ay k0 1 b0u k0 1

............................................................................... a0/ y k0 n ay k0 n 1 b0u k0 n 1

Adunând rela iile, ob inem:

y k0 n any k0 b0n

i 1an iu k0 i 1

k0 n k y k ak k0y k0 b0

k k0

i 1ak k0 iu k0 i 1

k0 i 1 i y k ak k0 y k0 b0

k 1

i k0ak i 1u i

Pentru cazul general: k0 = 0 de unde rezult :

y k aky 0k 1

i 0b0ak 1 iu i

cum: h k b0ak 1 b0ak 1 i h k i .

y k aky 0k 1

i 0h k i u i

Pentru sisteme de ordin n avem:y k n an 1y k n 1 ... a0y k bmu k m ... b0u k

yf kk 1

i 0h k i u k

Deci secven a h(k) se nume te secven de ponderare datorit rolului ei în calcularea r spunsului unui sistem la o intrare oarecare.

Se poate defini i un sens fizic al func iei de transfer discrete ca fiind imaginear spunsului la intrare impuls unitar.

y k0 n an 1uy k0 b an0 k u0 ... k n 10

Page 106: tehnologia sistemelor

TEORIA SISTEMELOR I REGLAJ AUTOMAT108

3.4.Analiza în frecven a sistemelor discrete.

3.4.1. Teorema e antion rii (Shanon)

Fie o func ie f(t) continu , cu un num r finit de maxime i minime i un num r finit de discontinuit i de spe a 1 (deci care admite transformata Fourier). Consider m c f(t) este o func ie de band limitat , adic spectrul de frecven al acesteia este limitat la o frecven de

pulsa ie c adicF f t F j 0

pentru oricare > c. E antin m acest semnal cu o frecven a c rei perioad este T. Semnalul e antionatrezultat va fi a a cum am v zut:

f tk 0

f kT t kT (3.56)

Aplicând transformata Fourier în rela ia (3.56), ob inem:

F jk 0

f kT e jk T

(3.57) S-a inut cont c :

Tjk

js

kTs

js eekTtLkTtF ||)]([)]([

adic F*(j ) pentru repet aspectul lui F*(j ) în intervaluln 1

2 T n 12 T , cu T

2T .

Pentru a ar ta acest lucru vom considera F*(j ) i F*(j n ) astfel:

0

0

0

)0(0 )()()]([*

k

TjkTnjkT

k

TnkT

T eekTfekTfnjF

Cum ejkTn T ejknT2T ejkn2 1

F j 0 n Tk 0

f kT e jkT 0 F j 0

ceea ce era de demonstrat.Dac f(t) este de band limitat , spectrul ei de frecven arat de exemplu ca în figura 3.5.

Fig. 3.5. Fig. 3.6.

Dac frecven a de e antionare este mai mare decât dublul frecven ei de t iere:

T 2 c, atunci spectrul de frecven a lui f*(t) va arat ca în figura 3.6., astfel spus, spectrul de frecven al semnalului e antionat este complet caracterizat de spectrul semnaluluicontinuu i se ob ine prin repetarea acestuia ob inut.

Dac T 2 c atunci spectrul semnalului e antionat ob inut prin adunarea spectrelor

în intervalul va ar ta ca în figura 3.7. c, c

Page 107: tehnologia sistemelor

DESCRIEREA EXTERN | A SISTEMELOR DISCRETE 109

Fig. 3.7..

Se observ apari ia suprapunerilor în jurul pulsa iei T2 ceea ce face ca spectrul

semnalului e antionat s nu mai fie identic cu spectrul semnalului continuu. Teorema lui Shanon: Dac un semnal f(t) este de band limitat (adic nu con inefrecven e mai mari de c), atunci acesta este complet caracterizat de e antioanele lui luate cu frecven a T dac este îndeplinit condi ia: T >2 c. Dac nu este îndeplinit acest condi ie,prin e antionare se va pierde din informa ia semnalului f(t). ~n practic se ia frecven a de e antionare de 10 100 de ori mai mare decât frecven a

c.

3.4.2. Caracteristici de frecven pentru sisteme discrete.

R spunsul la frecven a sistemelor discrete reprezint r spunsul unui sistem discret la intrare sinusoidal complex :

u t U me j 0t

a c rei transformat z este:

0)(

jmez

zUzU

inând cont de acest lucru se ob ine r spunsul for at a unui sistem discret a c reifunc ie de transfer este H(z) sub forma:

y k Y mej 0k

unde:

)( 0jmm eHUY

iarg H ej 0 .

Deci r spunsul la intrare sinusoidal este tot un semnal sinusoidal de aceea i frecven

dar de amplitudine i faz diferite, dependente de H ej 0 . R spunsul la frecven se ob ine

înlocuind z din z-func ia de transfer cu ej . Caracteristicile de frecven sunt acelea i ca i în

cazul sistemelor netede, dar intervalul de varia ie a lui va fi 0- inând cont c H ej 0 este periodic cu perioada 2 iar caracteristicile continui nu se traseaz pentru (- , ) ci pentru

(0, ).

Page 108: tehnologia sistemelor

TEORIA SISTEMELOR I REGLAJ AUTOMAT 110

3.5. Elemente tipice din compunerea sistemelor discrete.

Datorit formalismului identic al func iilor de transfer a sistemelor netede i a z-func iilorde transfer a sistemelor discrete, analiza sistemelor discrete se va face prin descompunere în elemente tipice, conform acelora i reguli ca i în cazul sistemelor netede, rezultând o clasificare similar a elementelor tipice discrete i anume: - Din punct de vedere a întârzierii între m rimea de ie ire i m rimea de intrare:

- elemente neiner iale (ideale). Ecua iile elementelor discrete se ob in din cele ale elementelor continui, aproximând derivata prin dx/dt = (x(k+1) - x(k))/T. Cele mai importantesunt:

- element propor ional discret: y(k) = kpu(k), H(z) = kp

- element integrativ discret: y(k+1) - y(k) = ki - u(k), H(z) = ki/(z-1)

- element derivativ discret: y(k+1) = (u(k+1) - u(k))kd, H(z) = kd(z-1)/z

- elemente iner iale:- element T1 discret: y(k+1)-y(k)(1-T/T1) = T/T1u(k); H(z) = (1-a)/(z-a).

unde a = 1-T/T1, T1 constanta de timp i T intervalul de e antionare.

- element T2 discret:a+az2-z

k=H(z)

22

,1 cu <1 i k1

’ = 1-2 a+a

2.

- Din punct de vedere al repartiz rii zerourilor z-func iei de transfer:- elemente stabile care au polii repartiza i în exteriorul cercului de raz unitate, iar

eventualii poli de pe cercul de raz unitate sunt poli simpli;- elemente instabile cu poli repartiza i în întreg planul z.

- Din punct de vedere al repartiz rii zerourilor: - elemente în faz minim - care au zerourile pozi ionate în exteriorul cecului de

raz unitate; - elemente în faz neminim - cu zerouri în întreg planul z.

- Din punct de vedere al timpului mort: - elemente cu timp mort; - elemente f r timp mort.

a)Element de tip P: Modelul matematic este:

y(k) = kpu(k) ; H(z) = kp.

Func ia pondere are expresia: h(k) = Z-1

[H(z)] = kp (k); graficul este prezentat în fig. 3.8.

fig.3.8

R spunsul indicial este dat de: w(k) = Z-1

[kpz/(z-1)] = kp (k); graficul este cel din fig. 3.9.

Page 109: tehnologia sistemelor

DESCRIEREA EXTERN A SISTEMELOR DISCRETE 111

Fig. 3.9

R spunsul în frecven : H(ej ) = kp,Caracteristicile de frecven având expresiile: M( ) kp; HRe( ) = kp; HIm( ) = 0.

Aspectul grafic al caracteristicilor de frecven este prezentat în figura 3.10.

Fig. 3.10

b) Element de tip I: Este descris de un model matematic de forma:

[y(k+1)-y(k)] = k1u(k),

rezultH(z) = k1 /(z-1).

Func ia pondere va fi:

]1-z

k[Z=h(k) i1- ;

1-z

c+

z

c=

z

H(z) 1 2 ,

rezult

(k)]-(k)[k=1]-1-z

z[kZ=h(k) 11

1- .

R spunsul indicial:

kk=]1-z

z

1-z

k[Z=(z)][H(z)Z=w(k) ,

1

,11-1- .

Aspectul grafic al r spunsurilor în domeniul real este prezentat în figura 3.11.

Fig. 3.11

Page 110: tehnologia sistemelor

TEORIA SISTEMELOR I REGLAJ AUTOMAT 112

R spunsul în frecven :

)-2(1

)j-1-(k=

+)1-(

)j-1-(k

=j+1-

K=

1-j+

k=

1-e

k=)eH(

,1

22

,1

,1

,1

j

,1j

cos

sincos

sincos

sincos

sincossincos

2

k-=

)-2(1

1)-(k=H

,1

,1

Recos

cos,

2ctg

2

k-=

24

222

k-=)-2(1

k-=H

,1

2

,1

,1Im

sin

cossin

cos

sin,

22

k=

)-2(1

K|=)eH(|

,1

,1j

sincos;

= arctg (ctg /2) = arctg(tg(-( /2 + ))),

lg k’i lg( sin

Aspectul grafic al r spunsului la frecven este prezentat în figura 3.12.

Fig. 3.12

Page 111: tehnologia sistemelor

DESCRIEREA EXTERN A SISTEMELOR DISCRETE 113

c) Element derivativ: Modelul matematic este:

z

1-zk=H(z);

T

u(k)-1)+u(kk=1)+y(k dd ,

Func ia pondere are expresia:

1))-(k-(k)(k=))z-(1Z(k=]z

k-k[Z=]

z

1-zk[Z=h(k) d

1-1-d

dd

1-d

1- .

R spunsul indicial se calculeaz cu rela ia:

(k)k=]1-z

z

z

1-zk[Z=w(k) dd

1-

Aspectul grafic al r spunsului în domeniul real este prezentat în figura 3.13.

Fig. 3.13 R spunsul în frecven :

k)j+-(1=

1

)j-)(j+1-(k=

j+

1-j+k=

e

1-ek=)eH(

d

ddj

j

dj

sincos

sincossincos

sincos

sincos

HRe=kd(1-cos ; HIm = dsin =arctg sin (1-cos )=arctg(ctg /

22=)-2(1=+)-(1=)M( 222

sincossincos

Caracteristicile de frecven ale elementului de tip D sunt prezentate în figura 3.14.

Fig. 3.14

Page 112: tehnologia sistemelor

TEORIA SISTEMELOR I REGLAJ AUTOMAT 114

d) Element PT1:Pornind de la modelul matematic al unui element de tip PT1 continuu:

ku(t)=y(t)+dt

dyT 1 ,

u(k)k=y(k)+T

y(k)-1)+y(kT p1

rezult

u(k)kT

T=)

T

T-y(k)(1-1)+y(k p

11

.

Not m 1-T/T1 = a rezult y(k+1)-ay(k) = kp(1-a)u(k)

ia-z

a)-(1k=H(z) p

pentru a în intervalul [-1,1), rela ii ce constituie modelul matematic al elementului PT1 discret. Func ia pondere are expresia:

a-z

1Za)-(1k=

a-z

a-1kZ=h(k) 1-

pp1- ;

a)-a(z

1+

az

1-=

a-z

c+

z

c=

z

H(z) 21 , rezult :

(k))-a(a

a)-(1k=1)-

a-z

z(Z

a

a)-(1k=h(k) k

p1-

p .

Aspectul grafic al r spunsului la intrare impuls unitar este prezentat în figura 3.15.

Fig. 3.15 R spunsul indicial se calculeaz astfel:

]1)-(za)*-(z

z[Za)*-(1k=]

1-z

z*

a-z

a-1k[Z=w(k) 1-

pp1- .

1-z

1*

a-1

1+

a-z

1*

1-a

1=

1-z

c+

a-z

c=

z

H(z) 21 ,

rezult )a-(k)(k=]a-z

z-

1-z

z[Zk=(k) k

p1-

p

Aspectul grafic al r spunsului pentru diferite valori ale parametrului a este cel din fig. 3.16.

Fig. 3.16

Page 113: tehnologia sistemelor

DESCRIEREA EXTERN A SISTEMELOR DISCRETE 115

Func ia de transfer în frecven :

a+2a-1

j-a-a)-(1=

+a+2a-

*j-a-a)*-(1=

a-j+

a-1=

a-e

a-1=)eH(

2222j

*j

cos

sincos

sincoscos

sincos

sincos

Partea real , respectiv imaginar au expresiile:

a+a2-1

a-a)-(1=H 2Re

cos

cos,

a+2a-1a)--(1=H 2Im

cos

sin.

Celelalte caracteristici de frecven au expresiile analitice:

a+2a-1

1a)-(1=)M(

2cos,

a--arctg=)(

cos

sin,

a+a-1

a-120lg=)A(

2cos.

Aspectul grafic al caracteristicilor de frecven este cel din figura 3.17.

Fig. 3.17

e) Element PT2:Ecua ia care constituie modelul matematic în domeniul real este:

y(k+2) - 2a y(k+1) + a2y(k) = ku(k), cu |a| < 1; < 1, 1- 2a + a

2 = kp astfel c H(0) = 1.

Modelul în domeniul complex rezult :

a+z2a-z

k=H(z)

22

p .

Func ia pondere are expresia:

])a+z2a-z(-1

-1za+

a+z2a-z

za-z-[1Z

a

k=

=]a+2aetaz-z

z)2a-z(-a+2az-z*

a

k[Z=]

a+z2a-z

k[Z=h(z)

222

2

22

21-

2

p

22

222

2

p1-

22

p1-

Notând cu cos rezult :

Page 114: tehnologia sistemelor

TEORIA SISTEMELOR I REGLAJ AUTOMAT 116

])a+z2a-z(-1

za+

a+z2a-z

)a-z(z-[1Z

a

k=h(k)

22222

1-

2

p

cos

sin

cos

cos

Trecând în domeniul real se ob ine:

k]a-1

+ka-(k)[a

k=h(k) k

2

k

2

p sincos .

Notând ctg=-1

2rezult :

))-k(a

+(k)(a

k=h(k)

k

2

p sinsin

R spunsul indicial:

))-(a-(k)(k=1-z

z*

a+z2a-z

kZ=w(k) k

kp22

1- sin ,

unde s-au folosit nota iile: = cos , kp 1-2 a+a2,2

-1

a-1=ctg .

Aspectul grafic al r spunsului la impuls i la treapt este prezentat în figura 3.18.

Fig. 3.18 Func ia de transfer în frecven are expresia:

a)-(2j+a+a2-2

k=

a+ea2-e

k=)eH(

2

p

2j2j

pj

cossincoscos.

Page 115: tehnologia sistemelor

DESCRIEREA INTERN A SISTEMELOR DINAMICE 117

CAPITOLUL IV

DESCRIEREA INTERN A SISTEMELOR DINAMICE

Dezvoltat în ultima perioad , descrierea intern a sistemelor sau descrierea prin ecua ii de stare, presupune punerea în eviden a variabilelor de stare, num rul variabilelor de stare fiind egal cu ordinul ecua iei diferen iale care, constituie domeniul matematic în domeniul timpului a sistemului respectiv sau cu gradul polinomului de la numitorul func iei de transfer.

Descrierea intern se realizeaz a a cum a fost ar tat deja, prin dou seturi de ecua ii: - un set de ecua ii diferen iale care exprim evolu ia în timp a variabilelor de stare în

func ie de evolu ia semnalului ( variabilelor de intrare). Acest set poart numele de ecua ii de stare sau ecua ii stare-intrare;

- un set de ecua ii algebrice care exprim evolu ia semnalelor de ie ire func ie de evolu iaîn timp a variabilelor de stare, eventual de varia ia în timp a semnalelor de intrare. Acest set poart numele de ecua ii ie ire-stare-intrare.

Forma general a descrierii este:

DU+CX=Y

BU+AX=X,

(4.1)

Pentru rezolvarea primului set de ecua ii este nevoie de cunoa terea valorilor de stare la

un moment dat (X( )), aceste valori constituind condi iile ini iale, precum i de cunoa terea

evolu iei în timp a m rimilor de intrare. Solu ia general a ecua iei va fi ob inut pentru t > .Unei descrieri interne îi corespunde o singur descriere extern .Unei descrieri externe îns , îi pot fi asociate o infinitate de descrieri externe. Acest lucru

poate fi ar tat intuitiv astfel: fie X un vector de stare a c rui evolu ie caracterizeaz intern un sistem. Dac aplic m un operator liniar N acestuia, ob inem un alt vector X1 = NX care are valori diferite de valorile lui X pent ru oricare moment t, dar a c rui varia ie în timp este identic cu a lui X. Aplicarea operatorului liniar corespunde modific rii (translat rii) originii spa iului vectorului X. Cum evolu ia în timp a vectorului de stare caracterizeaz sistemul i cum cei doi vectori au evolu ii identice, rezult c vectorul X1 este de asemenea un posibil vector de stare; deoarece putem defini o infinitate de operatori liniari, rezult posibilitatea ob inerii unui num r infinit de descrieri interne.

S-a dezvoltat descrierea intern deoarece prezint unele avantaje precum: - descriere formal identic pentru sisteme monovariabile i multivariabile; - utilizarea calculului matricial convenabil din punct de vedere al analizei prin intermediul

calculatoarelor numerice; - ofer posibilit i largi de rezolvare a problemelor de optimizare; - se pot explicita noi propriet i ale sistemelor precum observabilitatea i controlabilitatea.

Page 116: tehnologia sistemelor

TEORIA SISTEMELOR I REGLAJ AUTOMAT 118

4.1. Metode de alegere a variabilelor de stare pentru sisteme netede

monovariabile.

4.1.1. Forma canonic controlabil

Pornim de la descrierea extern în domeniul timpului:

b....++ub+ub=a.....++ya+y 01)-(m

1-m(m)

m0

1)-(n

1-n

(n) (4.2)

cu func ia de transfer:a...++sa+s

b...++sb+sb=H(s)

01-n

1-nn

01-m

1-mm

m (4.3)

Pe baza algebrei func iei de transfer putem considera c sistemul, a c rui func ie de transfer a fost prezentat , este alc tuit din dou subsisteme legate în serie ca în figura 4.1.

Se aleg ca variabile de stare originalul semnalului conven ional Y1(s) i cele n-1 derivate ale acestuia, adic :

x=x=y=x

x=x=y=x

...

x=x=y=x

x=y=x

y=x

1)-(n1

,1-n

1)-(n

1n

)-(n1

,2-n

2)-(n

11-n

,,1

,2

,,

13

,1

,

12

11

2

(4.4) aranjând convenabil rezult

x=x

...

x=x

x=x

n,

1-n

3,2

2,1

(4.5)

Cum setul ecua iilor de stare con ine n ecua ii iar în (4.5) avem numai (n-1) ecua ii cea de a n-1 ecua ie se ob ine extrapolând (4.4) i anume:

xnî = y1

(n) (4.6) Din figura 4.1. rezult : Y1(s)(s

n + an-1s

n-1 + ...+ a0) = U(s) (4.7)

Trecând în domeniul timpului prin transformata Laplace invers ob inem: y1

(n) = -an-1 y(n-1) - an-2 y

(n-2) - ... - a0 y + u (4.8)inând seama de (4.4) i (4.6) din (4.8) ob inem:

xnî = - a0 x1 - a1 x2 - ... - an-1 xn + u (4.9)

Rela ia (4.9) completeaz setul (4.5) ob inându-se astfel setul ecua iilor de stare: Xî = AX + BU, unde

]

a-.........a-a-

0...0100

0...0010

[=A

1-n10

, A(n x n) i ]

1

..

0

0

[=B , B(n x1). (4.10)

Fig. 4.1.

Page 117: tehnologia sistemelor

DESCRIEREA INTERN A SISTEMELOR DINAMICE 119

Setul ie ire-stare-intrare se ob ine plecând de la func ia de transfer a elementului al doilea din figura 4.1, rezult :

Y(s)=)b...++sb+sb(s)(Y 01-m

1-mm

m1 (4.11) Trecând în domeniul timpului i inând cont de (4.4) ob inem:

xb...++xb+xb=y(t) 1+mm2110 (4.12)

Scris matricial: XC=Y T (4.13)

unde, CT este un vector linie cu m+2 elemente CT = [b0 b1 ... bm+1], iar D = 0.

În cazul în care m = n, xn+1 nu exist i ultimul termen, din (4.11) se ob ine cu (4.4) i(4.9), rezultând:

u]+xa-...-xa-xa[-b+xb...++xb+xb=y(t) n1-n2110nn1-n2110

saubu+x)ba-b(...++x)ba-b(+x)ba-b(=y(t) nnn1-n1-n2n111n00

Ecua ia (4.12) va c p ta forma: Y = C T. X + D . U, unde:

b=D

]ba-b...ba-bba-b[=C

n

n1-n1-nn11n00T

Expresiile ob inute anterior pentru CT i D sunt forme particulare a ultimelor expresii.

4.1.2. Forma canonic obsevabil

Consider m cazul m = n i aplicând transformata Laplace în (1) ob inem: u(s)b...++u(s)sb+u(s)sb=y(s)a...++y(s)sa+y(s)s 0

1-n1-n

nn0

1-n1-n

n (4.14)

sau 0=Ub-Ya+U(s))b-Y(s)as(...++U(s))b-Y(s)a(s+U(s))b-(Y(s)s 00111-n1-n1-n

nn (4.15) Se aleg variabilele de stare sub forma:

U(s)b-Y(s)a+sX=

=U(s)b-Y(s)a+...+U(s))b-Y(s)a(s+U(s))b-(Y(s)s=(s)X

......

U(s)b-Y(s)a+sX=

=U(s)b-Y(s)a+...+U(s))b-Y(s)a(s+U(s))b-(Y(s)s=(s)X

......

U(s)b-Y(s)a+sX=

=U(s)b-Y(s)a+U(s))b-Y(s)as(+U(s))b-(Y(s)s=(s)X

Ub-Ya+(s)sX=U(s)b-Y(s)a+U(s))b-s(Y(s)=(s)X

U(s)b-Y(s)=(s)X

11-n

111-n1-n2-n

n1-n

n

1+k-n1+k-n1-k

1+k-n1+k-n2-n1-n2-k

n1-k

k

-n2-n2

2-n2-n1-n1-nn2

3

-n1-n11-n1-nn2

n1

1

2

1

(4.16)

Înmul ind ultima ecua ie cu s i inând cont de ecua ia (4.15) ob inem: U(s))bY(sa-(=(s)sX 0n 0) (4.17)

Trecând în domeniul timpului prin transformata Laplace invers , ob inem:

Page 118: tehnologia sistemelor

TEORIA SISTEMELOR I REGLAJ AUTOMAT 120

u)b-ya-(=x

u)b-ya(-x=x

..............................

u)b-ya(-x=x

u)b-ya(-x=x

ub-y=x

00,n

11n,

1-n

1-n2-n3,2

1-n1-n2,1

n1

(4.18)

Înlocuind pe y din prima rela ie y = x1 + bnu se ob ine:

u)ab-b(+xa-=x

)ab-bu(+xa-x=x

......................................

)ab-bu(+xa-x=x

)ab-bu(+xa-x=x

0n010,n

1n11n,

1-n

2-nn2-n12-n3,2

nn1-n11-n2,1

1

1

(4.19)

Notând cu k = bn-k - bnan-k ob inem:

n10,n

1-n11n,

1-n

212-n3,2

111-n2,1

u+xa-=x

u+xa-x=x

........

u+xa-x=x

u+xa-x=x

(4.20)

Setul de ecua ii (4.20) va reprezenta setul ecua iilor de stare unde:

0...00

1...00

...............

0...10

0...01

0

1

2

1

a

a

a

a

A

n

n

,

n

2

1

...

...=B .

Prima ecua ie din (4.19) y = x1 + bnu va reprezenta setul ie ire-stare-intrare cu: C

T = [1 0 ... ... 0] , D = bn.

Condi iile ini iale se ob in din ecua iile (4.18) considerând y(0-) i u(0-) cunoscute.

4.1.3. Forma canonic diagonal :

Consider m sistemul cu func ia de transfer :

a+...+sa+s

b+...+sb+sb=H(s)

1-n1-n

n

01-m

1-mm

m

0

a) Dac polii func iei de transfer sunt reali simpli 1, 2... n, atunci putem scrie:

Page 119: tehnologia sistemelor

DESCRIEREA INTERN A SISTEMELOR DINAMICE 121

U(s)-s

C....++U(s)

-s

C+U(s)

-s

C=Y(s)

n

n

2

2

1

1 (4.21)

unde C1,C2,C3,....Cn se calculeaz cu Ck =H(s) (s- k) s= k

Se aleg variabilele de stare astfel:

U(s)-s

1=(s)X

...

U(s)-s

1=(s)X

U(s)-s

1=(s)X

n

n

2

2

1

1

(4.22)

trecând în domeniul timpului ob inem:

u+x=x

....

u+x=x

u+x=x

nn,n

22,2

11,1

(4.23)

Setul (23) reprezint ecua iile de stare, matricea de evolu ie fiind:

n

A

...000

...............

0...00

0...00

0...00

3

2

1

, iar

1

...

1

1

1

=B

unde A este matricea Jordan, i indic faptul c variabilele de stare sunt complet decuplate (independente).

Ecua iile ie ire-stare-intrare se ob in din (4.21) prin transformata Laplace invers , deci:

]C...CC[=C

xC+...+xC+xC=y(t)

n21T

nn2211,

iar D = 0.

b) Dac polii func iei de transfer sunt reali multipli (exemplu: fie 1 ordin multiplu de ordin k) atunci imaginea ie irii poate fi scris sub forma:

]U(s)-s

C..++

-s

C+]

)-(s

C..++

)-(s

C+

-s

C[[=Y(s)

n

n

1+k

1+k

k

1

kk

2

1

2k

1

1k (4.24)

Se aleg variabilele de stare astfel:

Page 120: tehnologia sistemelor

TEORIA SISTEMELOR I REGLAJ AUTOMAT 122

U-s

1=X

...

U-s

1=X

U-s

1=X

X-s

1=X

...

X-s

1=X

X-s

1=X

n

n

1+k

1+k

1

k

k

1

1-k

3

1

2

2

1

1

(4.25) ;

trecând în domeniul timpului rezult :

u+x=x

...

u+x=x

u+x=x

x+x=x

...

x+x=x

x+x=x

nn,n

1+k1+k,

1+k

k1,k

k1-k1,

1-k

321,2

211,1

(4.26)

Matricea de evolu ie va fi:

n

k

A

...00...000

........................

0...0...000

0...0...000

........................

0...00...00

0...00...10

0...00...01

1

1

1

1

1

,

iar matricea de intrare:

Page 121: tehnologia sistemelor

DESCRIEREA INTERN A SISTEMELOR DINAMICE 123

1

...

1

1

...

...

0

0

=B .

c) polii func iei de transfer sunt complex conjuga i simpli: Consider m o pereche de poli complex conjuga i 1,2 = j . Corespunz tor celor doi

poli complec i definim variabilele de stare:

u+x)j-(=u+x=x

u+x)j+(=u+x=x

222,2

111,1 (4.27)

Cum variabilele complexe nu au în general sens fizic definim dou variabile de stare reale:

2j

x-x=x;

2

x+x=x

2112

2111 (4.28)

Rezult din (4.27) i (4.28) :

x+x=2j

x+xj+

2j

x-x=

2j

x-x=x

u+x-x=u+2

x-xj+

2

x+x=

2

x+x=x

12112121

,2

,1,

12

12112121

,2

,1,

11

Ecua iile matriciale vor fi:

u*

1

...

1

0

1

+

x

...

x

x

x

*

...0000

0...............

0...000

0...00

0...00-

=

x

...

x

x

x

n

3

12

11

n

3

,n

,3

,12

,11

(4.29)

Din descompunerea lui Y(s) în frac ii simple rezult :

y(t) = C11 x11 + C12 x12 + C3 x3 +...+Cn xn, (4.30)

cuC11 = (C1 + C2)/2 i C12 = (C1 - C2)/2j

unde C11, C12 se determin ca orice reziduu al lui Y(s) într-un pol simplu.

Page 122: tehnologia sistemelor

TEORIA SISTEMELOR I REGLAJ AUTOMAT 124

4.1.4.Variabile de stare fizice

Aceast metod se poate aplica numai în cazul polilor reali simpli. Vom considera pentru început un sistem a c rei func ie de transfer are forma particular :

)()(

1

0

i

n

i

s

bsH (4.31)

inând seama de regulile algebrei func iilor de transfer, se poate considera c sistemul este ob inut din legarea a n+1 elemente în serie, schema func ional având forma din figura 4.2.

Fig 4.2

Se aleg ca variabile de stare m rimile de ie ire a fiec rui element din schema 4.2. func ional , rezultând sistemul:

)(1

)(

:

:

)(1

)(

)(1

)(

1

12

2

11

sXs

sX

sXs

sX

sUs

sX

n

n

n

Aplicând transformarea Laplace invers i trecând în domeniul real se ob ine:

1

1222

111

':

:'

)('

nnnn xxx

xxx

tuxx

(4.32)

Rezult urm toarele expresii pentru matricile A i B

0

:

0

0

1

;

1...000

:::::

0...10

0...01

0...00

3

2

1

BA (4.33)

Trecând în domeniul timpului rela ia rezultat din func ia de transfer a ultimului element din schema func ional din figura 4.2. rezult :

xby 0

Page 123: tehnologia sistemelor

DESCRIEREA INTERN A SISTEMELOR DINAMICE 125

De unde se pot deduce expresiile matricilor C i D astfel: 0;...000 DbC n

T

În cazul în care func ia de transfer a sistemului are forma general :

)(

)()(

1

1

i

n

i

j

m

j

s

zs

ksH (4.34)

Se poate considera c sistemul este ob inut din urm toarea schem func ional :

Fig. 4.3.

inând cont c se poate scrie:

i

ji

i

j

s

z

s

zs1

schema func ional din figura 4.3. poate fi pus sub forma:

Fig 4.4.

Se aleg ca imagini ale variabilelor de stare m rimile de ie ire din fiecare element al schemei func ionale din figura 4.4.

)(1

)(

.............................................

)(1

)(

))()(...)()((1

)(

))()(...)()(()(

.............................................

))()(()(

)()(

1

12

2

111

1

121

12

222

1

111

sXs

sX

sXs

sX

sUsXsXsXs

sX

sUsXsXsXs

zsX

sUsXs

zsX

sUs

zsX

n

n

n

m

m

m

mm

m

m

mm

m

mmm

(4.35)

Aplicând transformata Laplace invers se ajunge în domeniul real la:

Page 124: tehnologia sistemelor

TEORIA SISTEMELOR I REGLAJ AUTOMAT 126

)()()('

...............................................

)()()('

)()(...)()()('

)()()()()(...)()()()()('

........................................................................

)()()()()()('

)()()()('

1

2212

11211

121

22221221

11111

txtxtx

txtxtx

tutxtxtxtx

tuztxtxztxztxztx

tuztxtxztx

tuztxtx

nnnn

mmm

mmm

mmmmmmmmmmmm (4.36)

Scris sub form matricial sistemul 4.36 devine:

uz

z

z

x

x

x

x

x

x

zz

z

x

x

x

x

x

x

mm

n

m

m

m

n

m

m

mmmmm

n

m

m

m

0

:

0

1

:

:

:

...000...00

::::::::

0...10...00

0...01...11

0...00...

::::::::

0...000...

0...000...0

'

:

'

'

'

:

'

'

22

11

2

1

2

1

2

1

222

1

2

1

2

1

(4.37)

Ecua ia intrare-stare-ie ire se ob ine din func ia de transfer a ultimului element din figura 4.4.:

)()( skXsY n

Rela ie care devine în domeniul real:

)()( tkxty n

Rezult forma matricilor C i D:

0;...000 DkCT (4.38)

Page 125: tehnologia sistemelor

DESCRIEREA INTERN A SISTEMELOR DINAMICE 127

4.2. Sisteme multivariabile netede

Din punct de vedere al formalismului, descrierea intern a sistemelor multivariabile este identic cu descrierea intern a sistemelor monovariabile, adic :

DUCXY

BUAXX ' (4.41)

Deosebirea const în faptul c U i Y sunt vectori, iar B C i D sunt matrici de dimensiuni corespunz toare:

pmpp

m

m

pnpp

n

n

nmnn

m

m

pmddd

ddd

ddd

D

ccc

ccc

ccc

C

bbb

bbb

bbb

B

y

y

y

Y

u

u

u

U

:

::::

...

...

;

...

::::

...

...

;

...

::::

...

...

;:

;:

21

22221

11211

21

22221

11211

21

22221

11211

2

1

2

1

Analiza unui sistem descris prin ecua ii de stare presupune determinarea varia iei în timp a variabilelor de stare, adic rezolvarea ecua iei de stare (prima rela ie din 4.41).

4.2.1. Matricea de tranzi ie (solu ia ecua iei omogene)

Ecua ia omogen a c rei solu ie o reprezint matricea de tranzi ie este ecua ia matricial :

AXX ' (4.42) A rezolva ecua ia (4.42) înseamn a g si solu ia general a acestei ecua ii diferen iale. Fie M(t) o matrice p trat de dimensiune nxn care satisface aceast ecua ie, adic :

)()(' tAMtM (4.43) Conform defini iei produsului matricial, fiecare coloan a acestei matrici va satisface ecua ia omogen , adic :

)()(' tAMtM ii (4.44)

Presupunând c determinantul matricii M(t) este diferit de zero, deci matricea este nesingular , matricea M(t) se va numi matrice solu ie a sistemului.

Facem o schimbare a vectorului de stare definit astfel:

)()()( tXtMtX (4.45) Noul vector de stare trebuie s satisfac de asemenea ecua ia omogen (4.42), adic :

)()()(')()()(' tXtAMtXtMtXtM (4.46) Cum îns M(t) este o matrice solu ie, atunci satisface rela ia (4.43) i deci din (4.46) rezult :

0)(')( tXtM (4.47) inând cont c determinantul matricii M(t) este diferit de zero, rezult c singura

posibilitate de a satisface ecua ia (4.47) este ca :

0)(' tX

Deducem de aici c matricea X este constant . Orice solu ie a ecua iei omogene se va ob ineprin înmul irea matricii solu ie cu o matrice constant (notat C), adic :

CtMtX )()( (4.48)

Page 126: tehnologia sistemelor

TEORIA SISTEMELOR I REGLAJ AUTOMAT 128

Din rela ia (4.48) rezult c orice solu ie a ecua iei omogene este o combina ie liniara coloanelor matricii solu ie. Dat fiind c determinantul matricii M este diferit de zero, rezult c coloanele matricii M(t) sunt liniar independente i formeaz un sistem fundamental de solu ii. Presupunem în continuare o matrice (t, ) care se bucur de propriet ile:

omogenaecuatiasatisfacetAt

unitatematriceaI

),(),('

),(

Dat fiind c (t, )=I rezult c determinantul matricii (t, ) este diferit de zero, deci coloanele matricii (t, ) sunt liniar independente i formeaz un sistem fundamental de solu ii. Solu ia general a ecua iei omogene va fi o combina ie liniar a acestora, adic :

CttX ),()( (4.49)

Punând condi ia ca solu ia general s satisfac condi iile ini iale X( ) din rela ia(4.49) ob inem:

CX ),()( (4.50) inând cont de faptul c : I),( , rezult : CX )(

Înlocuin în 4.49 ob inem:

)(),()( XttX (4.51) Expresia (4.51) define te solu ia general a ecua iei omogene care satisface condi iile

ini iale (deci o solu ie particular ). Aceast solu ie descrie evolu ia liber a variabilelor de stare pornind din condi iile ini iale X( ), atunci când u(t)=0, notat XBBBBlBBBB(t). Solu ia liber a sistemului XBBBBl BBBB(t) depinde de propriet ile interne ale sistemului. Matricea (t, ) care exprim component liber XBBBBl BBBB(t) determinat de condi iile ini iale X( ), se nume te matrice de tranzi ie a st rilor. Fiec rui termen BBBBij BBBB al acestei matrici i se poate atribui un sens fizic. Pentru aceasta vom considera c toate elementele vectorului X(t) sunt nule cu excep ia componentei xBBBBi BBBB(t) care se consider egal cu unitatea. ~n acest caz componenta liber va fi:

ni

ii

i

i

nnninn

iniiii

ni

ni

n

i

l

tx

tx

tx

tx

tX

:

:

0

:

1

:

0

0

..

......

::::::

......

::::::

......

......

)(

:

)(

:

)(

)(

)(

2

1

21

21

222221

111211

2

1

(4.54)

Adic fiecare termen BUBUBUBUij UUUUBBBB reprezint evolu ia liber a variabilei de stare xBBBBi BBBB determinat de condi ia ini ial xBBBBj BBBB( ).

Page 127: tehnologia sistemelor

DESCRIEREA INTERN A SISTEMELOR DINAMICE 129

UUUU4.2.1.1. Determinarea matricii de tranzi ie a st rilor

Func ia de tranzi ie a st rilor se bucur de proprietatea:

),0()0,(),( ttt (4.55) Matricea de tranzi ie a st rilor se va bucura de aceia i proprietate. Fie matricea solu ie a ecua iei omogene M(t, ):

)0,(),()(),( tttMtM

Vom considera M(t- ) de forma:

k

k tMtMtMItM )(...)()()( 221 (4.56)

Cum M(t- ) este matricea solu ie, ea va satisface ecua ia (4.42). Înlocuind în rela ia (4.42) pe M(t- ) din (4.56) se ob ine:

.....)()()(...)(2 221

121 tAMtAMAtkMtMM k

k (4.57)

Prin identificare dup puterile lui t- se ob ine:

k

k Ak

M

AAM

AM

AM

AM

AM

!

1...................................

!3

1

32

1

3

2

1

2332

3

212

1

(4.58)

Înlocuind MBBBB1 BBBB, M BBBB2BBBB, …, M BBBBkBBBB din rela ia (4.58) în rela ia (4.56) i inând cont c pentru matricea solu ie ( , )=I, adic M( - )=M(0)=I se va ob ine:

!

)()(

!...)(

!...)(

2)()(

0

22

k

tAt

n

At

k

At

AtAItM

kk

k

nn

kk

(4.59) Suma din membrul drept al rela iei (4.59) reprezint dezvoltarea în serie în jurul originii a func iei de matrice ePPPP

A*(t- )PPPP,PPPP

PPPPdeci:

)(),( tAet (4.60) Solu ia ecua iei omogene pentru sisteme invariabile în timp devine:

)()()0,()( )( XeXttX tA (4.61)

UUUU4.2.1.2. Metode de calcul a matricii de tranzi ie:

Matricea de tranzi ie se utilizeaz pentru calcularea r spunsului sistemelor netede, având acela i rol în calcularea r spunsului sistemelor în cazul descrierii interne ca i func iapondere în cazul descrierii externe. Vom prezenta în continuare mai multe metode pentru calcularea acestei matrici:

Page 128: tehnologia sistemelor

TEORIA SISTEMELOR I REGLAJ AUTOMAT 130

a) Dezvoltarea în serie Taylor Este o metod numeric ; matricea p trat ePPPP

A*tPPPP se poate dezvolta în serie infinit :

!!...

2 0

22

k

tA

k

tAtAAtIe

kk

k

kktA (4.62)

Se consider numai un num r finit de k termeni, astfel încât contribu ia termenilor de rang mai mare decât k s poat fi neglijat . Pentru orice valoare t se poate calcula numeric pentru un k finit expresia lui e PPPP

A*tPPPP (4.62).

e PPPP

A*t PPPPva fi o matrice în care elementele vor avea valori numerice i nu analitice, pentru

orice valoare a lui t. Metoda se preteaz la analiza cu ajutorul calculatorului.

b) utilizarea teoremei Cayley-Hamilton Pornind de la ecua ia omogen AXX ' , aplic m transformata Laplace în ambii membrii iob inem succesiv în condi iile ini iale X( ):

s

s

eXsXAsI

sAXeXssX

sAXtLXssX

)()()(

)(*)()(

)()]([*)()(

(4.63)

seXAsIsX )()()( 1

Polinomul (s) definit de rela ia de mai jos se nume te polinom caracteristic al sistemului:

01

1 ...)det()( n

n

n ssAsIs

Egalând polinomul caracteristic cu zero se ob ine ecua ia caracteristic :

0... 01

1n

n

n ss (4.65)

R d cinile ecua iei caracteristice se numesc valori proprii ale matricii A.Teorema Cayley-Hamilton se enun astfel: Orice matrice p trat de ordin n î i satisface propria ecua ie caracteristic .În cazul nostru, ecua ia (4.65) fiind ecua ia caracteristic va rezulta:

0... 01

1 IAA n

n

n (4.66)

unde I este matricea unitate, iar 0 este matricea nul .În acest fel putem calcula orice putere a unei matrici p tratice A dac se cunoa te un

num r finit n-1 de puteri ale acesteia. Din rela ia 4.66 rezult :

IAAA

IAA

AAIAA

AAAAAA

IAAIAAA

knn

knn

kkn

nn

nn

nn

nn

nnn

nn

nn

nn

nn

nn

n

n

n

n

n

02

21

1

012

211

11

001

20

002

201

10

1

001

20

101

002

201

10

02

21

1

...

.............................................................................................................

...

...)...(

...

...)...(

(4.67)

Rezult c i matricea e PPPP

A*tPPPP care este o serie infinit de puteri va putea fi calculat cu

ajutorul unui num r finit de termeni:

1110 ... n

n

tA AAIe (4.68)

Page 129: tehnologia sistemelor

DESCRIEREA INTERN A SISTEMELOR DINAMICE 131

Unde BBBB0 BBBB, BBBB1 BBBB,… BBBBn-1BBBB, vor fi func ii de timp, deoarece în dezvoltarea ePPPP

A*t PPPPapar termeni de

forma A PPPP

kPPPPtPPPP

kPPPP.

Func iile de timp BBBB0 BBBB, BBBB1 BBBB,… BBBBn-1BBBB, se determin din condi ia ca orice valoare proprie ssatisfac condi ia descris de teorema Cayley-Hamilton, adic :

1110 ... n

knk

tke (4.69)

Scris sub form matricial pentru k=1….. n ecua ia 4.69 devine:

t

t

t

t

n

n

nnn

n

n

n

ne

e

e

e

1

3

2

1

::

...1

:::::

...1

...1

...1

1

2

1

0

12

13

233

12

222

11

211

(4.70)

Adic un sistem de n ecua ii cu n necunoscute care admite un sistem unic de solu iidac BBBB BBBB BBBB BBBB … BBBBn BBBB, adic , dac ecua ia caracteristic are r d cini distincte. Dac o r d cin a ecua iei caracteristice este multipl atunci determinantul primei matrici din (4.70) va fi nul, deoarece vor fi cel pu in dou linii identice, iar solu ia sistemului (4.70) nu va mai putea fi calculat . Presupunând c BBBBk BBBB este o r d cin multipl de ordin p a ecua iei caracteristice, atunci BBBBk BBBB va satisface i p-1 derivate ale rela iei (4.69):

11

11

3110

12

21110

1

11

2210

1

)1)...(2)(1(...000

...............................................................

)2)(1(...00

1...20

...

pn

kn

tkp

n

kn

tk

n

knk

tk

n

knkk

tk

pnnnet

nnet

nte

e

(4.71)

Un num r de p ecua ii din (4.70) vor fi înlocuite cu (4.71). presupunând c BBBBk BBBB= BBBB1 BBBB, rela ia (4.70) devine:

t

t

tp

t

t

t

nn

nnnn

n

pppp

pn

n

n

n

n

p

e

e

et

et

te

e

pnnn

nn

n

:

:

:

:

:

:

1

::::::::

.........1

)1)...(2)(1(.........0000

::::::::

)2)(1(.........6200

)1(.........3210

.........1

1

1

1

1

1

1

2

1

2

1

0

132

11

31

211

11

211

21

211

11

31

211

(4.72)

Page 130: tehnologia sistemelor

TEORIA SISTEMELOR I REGLAJ AUTOMAT 132

c) Utilizarea transformatei Laplace invers

Aplicând transformata Laplace invers ecua iei omogene (4.42) se ob ine a a cum am ar tat:

seXAsIsX )()()( 1 (4.73)

inând cont de modul în care se calculeaz matricea invers (sI-A)PPPP

-1PPPP rezult urm toarea

expresie pentru matricea de tranzi ie a st rilor

seAsIadj

s)(

)( (4.74)

unde este polinomul caracteristic de grad n, iar adj(sI-A) are ca termeni polinoame de grad

cel mult egal cu n-1. Cum n-1<n atunci fiecare termen al matricii )( AsIadj

va fi o

func ie ra ional cu gradul numitorului n i cu gradul num r torului cel mult egal cu n-1, deci va admite transformata Laplace invers . În acest caz, matricea de tranzi ie se poate calcula direct aplicând transformata Laplace invers în 4.71, adic :

stA eAsIadj

Let)(

)0,( 1)( (4.75)

Metoda se poate aplica atunci când ordinul polinomului caracteristic nu este prea mare, dar are avantajul c furnizeaz expresia analitic pentru matricea de tranzi ie.

d) Diagonalizarea matricii A

Dac matricea A este o matrice diagonal de forma:

n

A

...00

::::

0...0

0...0

2

1

(4.76)

atunci:

ns

s

s

AsI

...00

::::

0...0

0...0

)( 2

1

Matricea invers are expresia

Page 131: tehnologia sistemelor

DESCRIEREA INTERN A SISTEMELOR DINAMICE 133

ns

s

s

AsI

1...00

::::

0...1

0

0...01

)(2

1

1 (4.77)

Originalul matricii 4.77 va fi:

t

t

t

tAt

ne

e

e

ee

...00

::::

0...0

0...02

1

(4.78)

Matricea de tranzi ie va avea în acest caz forma:

)(

)(

)(

)(

...00

::::

0...0

0...0

)0,(2

1

t

t

t

tA

ne

e

e

et (4.79)

Rezult c atunci când matricea sistemului este diagonal de forma diag( BBBB1 BBBB, BBBB2 BBBB,…, BBBBn BBBB) matricea de tranzi ie va fi tot o matrice diagonal de forma diag(ePPPP

PBPBPBPB1 PBPBPBPB

(t- )PPPP, ePPPP

PBPBPBPB2 PBPBPBPB

(t- )PPPP,…, ePPPP

PBPBPBPBn PBPBPBPB

(t- )PPPP). Metoda caut

s transforme matricea A în general nediagonal , într-o matrice diagonal , printr-o transformare liniar . Vom face urm toarea afirma ie pe care o vom demonstra ulterior: Dac UUUU UUUU este o valoare proprie a matricii A atunci PPPP

IPPPP este o valoare proprie a matricii A PPPP

IPPPP, i i

exist vectorii V 0 si W 0 care satisfac rela iile:

TT WAWsiVAV (4.80) Vectorii V i W se numesc vectori proprii: V – vector propriu la dreapta; W – vector propriu la stânga. Pentru a demonstra afirma ia de mai sus vom porni de la rela iile (4.80) din care rezult :

0)(

0)(

AIW

VAIT

(4.81)

Cum este o valoare proprie a lui A, atunci determinantul matricii ( I-A) este egal cu zero, deci sistemul (4.81) admite i solu ii nebanale V 0 i W 0. În ceea ce prive te prima afirma ie, din rela ia 4.80, înmul ind cu ob inem:

Page 132: tehnologia sistemelor

TEORIA SISTEMELOR I REGLAJ AUTOMAT 134

VVAVA

VVAVA

VAV

iii 1

22

............................ (4.82)

Din 4.82 rezul c V este vector propriu a matricii A PPPP

IPPPP i deci PPPP

IPPPP este valoare proprie a matricii

A PPPP

iPPPP.

Din cele ar tate rezult c dac matricea A nu este diagonal , dar este diagonalizabil(nu este singular ), atunci matricea V PPPP

-1PPPPAV va fi o matrice diagonal adic :

AAVV 1 (4.83)

Unde V este matricea proprie a matricii A i are ca i coloane vectorii proprii a matricii A. Matricea este o matrice diagonal constituit din valorile proprii ale matricii A i deci:

t

t

t

t

ttA

ne

e

e

e

ee

...000

:::::

0...00

0...00

0...00

3

2

1

(4.84)

Matricea de tranzi ie a st rilor se va calcula cu ajutorul rela iei:

1VVee tAAt

Page 133: tehnologia sistemelor

DESCRIEREA INTERN A SISTEMELOR DINAMICE 135

4.2.3. Solu ia ecua iei neomogene (r spunsul for at)

Ecua ia neomogen a c rei solu ie trebuie determinat este:

(4.85)

solu ia general a ecua iei neomogene va avea forma:

unde: Xl(t) - este solu ia ecua iei omogene (solu ie de regim liber) de forma:

Xf(t) – este o solu ie particular a ecua iei (4.85) dependent de vectorul de intrare, U(solu ie de regim for at). Solu ia de regim for at se poate determina prin metoda varia iei constantelor. Pentru aceasta se consider Xf(t) de aceia[i form cu solu ia de regim liber Xl(t),constantele din expresia solu iei de regim liber fiind înlocuite cu func ii de timp ce se determin din condi ia ca solu ia particular s satisfac ecua ia neomonen (4.85). Deoarece constantele din solu ia de regim liber sunt reprezentate de vectorul de stare in ial X( ), solu iade regim for at va avea forma:

(4.86)

Punând condi ia ca Xf(t) din (4.86) s satisfac ecua ia neomogen (4.85) ob inem:

Cum (t- ) este solu ie a ecua iei omogene :

înlocuind în rela ia precedent se ob ine:

Se ob ine urm toare rela ie pentru q’(t):

(4.87)

Cum (t- ) este matrice de tranzi ie de forma eA*(t- ), se bucur de propriet ile:

Din rela ia (4.87) rezult :

(4.88)

Înlocuind q(t) în (4.86) se ob ine solu ia de regim for at:

(4.89)

BUAXX '

)()()( tXtXtX fl

)()()0,()( )( XeXttX tA

l

)()()( tqttX f

)()()()(')()()(' tBUtqtAtqttqt

)()(' tAt

)()()()(')()()( tBUtqtAtqttqtA

)()()(' 1 tBUttq

)()()(

)()(

11

1

tt

tt

t

dBUtq )()()(

t

f dBUttX )()()()(

Page 134: tehnologia sistemelor

TEORIA SISTEMELOR I REGLAJ AUTOMAT 136

Introducând (t- ) sub integral i inând cont de propriet ile enun ate anterior, se ob ine:

(4.90)

Solu ia general a ecua iei neomogene va fi deci:

(4.91)

sau înlocuind în expresie (t- ) :

(4.92)

Înlocuind expresia vectorului de stare în ecua ia intrare – stare – ie ire se ob ine:

(4.93)

sau:

(4.94)

Dac momentul ini ial conven ional ales este =0 i în plus X( ) = 0 rezult :

(4.95)

(4.96)

Expresiile (4.91 – 4.96) r mân valabile i pentru sisteme monovariabile, fiind date de formele particulare ale matricilor CT, B i D.

4.2.4. R spunsul la impuls

Pentru calcularea r spunsului la impuls vom considera pentru început un sistem monovariabil propriu (D=0) în condi ii ini iale nule ( =0, X( )=0). Expresia m rimii de ie ire va fi în acest caz:

(4.97)

Considerând c m rimea de intrare este impulsul unitar (u(t)= (t)) atunci r spunsul va fi func ia pondere determinat cu rela ia:

t

f dBUttX )()()(

t

fl dBUtXttXtXtX )()()()()()()(

t

tAtA dBUeXetX )()()( )()(

)(])()()()([)( tDUdBUtXtCtYt

)(])()([)( )()( tDUdBUeXeCtY

t

tAtA

)()()(

)()(

0

)(

0

)(

tDUdBUeCtY

dBUetX

t

tA

t

tA

t

tAT dBueCty0

)( )()(

Page 135: tehnologia sistemelor

DESCRIEREA INTERN A SISTEMELOR DINAMICE 137

(4.98)

Cum (t) este de fapt o distribu ie i se bucur de proprietatea:

rezult :

(4.99)

Func ia h(t) definit de rela ia (4.99) reprezint r spunsul la impuls al sistemelor monovariabile.

În cazul sistemelor multivariabile, se consider c vectorul de intrare are toate componentele egale cu (t), adic ;

(4.100)

R spunsul unui sistem multivariabil la un vector de intrare de forma celui definit de rela ia (4.100) va fi r spunsul la impuls al acelui sistem i va fi determinat cu rela ia:

(4.101)

Dup cum se observ , forma lui este identic cu a sistemelor monovariabile, cu precizarea c h(t) este în acest caz o matrice rxm , fiecare coloan a lui h(t) ,(hi de exemplu) reprezentând evolu ia vectorului de ie ire, atunci când toate componentele vectorului de intrare sunt nule, cu excep ia componentei i care este un impuls unitar.

4.2.5. Matricea de transfer

Matricea de transfer este definit ca i în cazul descrierii externe de o rela ie de forma:

(4.102) Aplicând transformata Laplace în condi ii ini iale nule în rela ia (4.85) se ob ine:

Imaginea vectorului de stare va fi determinat cu:

(4.103)

t

fdfdf0

)0()()()()()()(

BeCth AtT)(

t

tAT dBeCth0

)( )()(

)(

1

:

1

1

)( ttU

BCeth At)(

1)()()( sUsYsH

)()()(

)()()(

sBUsXAsI

sausBUsAXssX

)()()( 1 sBUAsIsX

Page 136: tehnologia sistemelor

TEORIA SISTEMELOR I REGLAJ AUTOMAT 138

Aplicând transformata Laplace în condi ii ini iale nule în ecua ia intrare – stare – ie ire se ob ine:

(4.104)

Înlocuind expresia lui X(s) din (4.103) în (4.104) se ob ine:

(4.105)

inând cont de modul de definire al matricii de transfer (4.102) se ob ine din (4.105):

(4.106)

Pentru sisteme proprii (D=0) matricea de transfer este definit de: (4.107)

H(s) este o matrice de dimensiuni rxm; elementele sale sunt func ii ra ionale în s, cu numitorul de grad n i num r torul de grad m n. Matricea de transfer este imaginea r spunsului la impuls unitar; pentru sisteme proprii:

(4.108)

Pentru sisteme la care D 0:

(4.109)

În cazul sistemelor monovariabile, matricea de transfer se reduce la func ia de transfer:

(4.110)

unde b este vector coloan de dimensiune nx1, iar d este scalar.

4.2.6. Sisteme dinamice echivalente

Vectorul de stare evolueaz într-un spa iu n-dimensional, numit spa iul st rilor. O modificare liniar a vectorului de stare printr-o matrice P constant , nesingular de dimensiune nxn este echivalent cu modificare originii spa iului st rilor. Consider m c , printr-o modificare liniar a vectorului de stare se ob ine un nou vector, astfel:

(4.111)

unde P este o matrice nesingular nxn (det(P) 0). Atunci matricea P este inversabil i : (4.112)

Introducând noua variabil de stare în modelul matematic se ob ine:

)()()( sDUsCXsY

)(])([)( 1 sUDBAsICsY

DBAsICsUsYsH 11 )()()()(

BAsICsH 1)()(

][)()( 1 BCeLBAsICsH At

)]([)()( 1 tDBCeLDBAsICsH At

dbAsICsH T 1)()(

PXX

XPX 1

Page 137: tehnologia sistemelor

DESCRIEREA INTERN A SISTEMELOR DINAMICE 139

,,,, DCBA

Dup înmul irea primei rela ii cu P rezult :

Se vor considera matricile definite astfel:

(4.113)

Cu aceste nota ii se ob ine sistemul:

(4.114)

Sistemul descris de rela iile (4.114) este echivalent cu sistemul descris de rela iile:

Rezult c dou sisteme A,B,C,D i sunt echivalente dac exist o matrice P nesingular care face ca rela iile (4.113) s fie adev rate:

Dou sisteme echivalente au aceea i ecua ie caracteristic , aceea i matrice de transfer, acela i r spuns la impuls i evident acela i r spuns liber.

inând cont de faptul c se pot defini o infinitate de matrici de dimensiune nxn nesingulare, rezult c se pot defini o infinitate de sisteme dinamice echivalente. Cum pentru sistemele echivalente matricea de transfer este comun , rezult c unei singure descrieri externe (reprezentat de modelul matematic intrare-ie ire în complex) îi pot fi asociate o infinitate de descrieri externe (modele intrare – stare – ie ire).

4.2.7. Controlabilitatea i observabilitatea sistemelor netede

Controlabilitatea i observabilitatea sistemelor sunt propriet i interne ale sistemelor care definesc condi iile necesare i câteodat suficiente pentru existen a solu iilor de conducere a proceselor.

4.2.7.1. Controlabilitatea st rilor sistemelor netede

Un sisteme dinamic descris intern de rela iile:

DUXCPY

BUXAPXP1

11 '

DUXCPY

PBUXPAPX1

1'

DD

CPC

PBB

PAPA

1

1

UDXCY

UBXAX '

DUCXY

BUAXX '

DUCXY

BUAXX '

Page 138: tehnologia sistemelor

TEORIA SISTEMELOR I REGLAJ AUTOMAT 140

,,,, DCBA

A B

cQ

cQ A B

este de stare complet controlabil dac pentru oricare exist un vector de intrare U(t) care determin tranzi ia din oricare stare ini ial X( ) în oricare stare final X(t 1) pentru oricare t1> >0 i t1 finit. Exist multe teoreme care definesc condi iile necesare i suficiente pentru ca un sistem s fie de stare complet controlabil ; vom afirma f r demonstra ie dou dintre cele mai utilizate:

a) Un sistem A,B,C,D este de stare complet controlabil dac i numai dac liniile matricii eA*(t- )B sunt liniar independente pentru oricare t> .

b) Un sistem A,B,C,D este de stare complet controlabil dac i numai dac matricea de controlabilitate Qc de dimensiune nxnm definit de rela ia (4.115) este de rang n.

(4.115)

Dup cum se observ din cele dou defini ii controlabilitatea st rilor sistemelor nu depinde decât de matricile A i B; de aceea se poate afirma c un sistem este de stare complet controlabil dac perechea de matrici (A,B) este complet controlabil . Controlabilitatea st rilor sistemelor este invariant la transform rile liniare nesingulare ale vectorului de stare. Aplicând o transformare liniar nesingular definit printr-o matrice nesingular P de dimensiune nxn, unui sistem dinamic A,B,C,D se ob ine un sistem echivalent, . Între matricile A,B ale celor dou sisteme existând rela iile:

Calculând matricea de controlabilitate pentru sistemul , se ob ine:

Deoarece matricea P este nesingular , rezult c rangul matricii este egal cu

rangul matricii Qc , i rang( )=n , deci perechea , este complet controlabil .Sisteme par ial controlabile

Presupunem un sistem A,B,C,D care printr-o transformare nesingular definit de matricea P este adus la forma :

(4.116)

În acest caz matricea de controlabilitate a sistemului definit de rela iile (4.116) va fi:

]¦.....¦¦¦[ 12 BABAABBQ n

c

PBBPAPA ;1

c

n

orinde

c

PQBPAPABPB

PBPAPPAPAPPPBPAPPBQ

1

1111

¦......¦¦

]....¦.........¦¦[

]¦[;}

0;

}

¦

¦

0

¦

¦

0'

'

21111

22

1211

2

1

21

1

2

1

22

1211

2

1

1

CCCnB

Bn

A

AAA

DUX

XCCY

UB

X

X

A

AA

X

X

n

.0

¦........¦¦ 11

111111 BABABQ

n

c

Page 139: tehnologia sistemelor

DESCRIEREA INTERN A SISTEMELOR DINAMICE 141

,,,, DCBA

A

B

A BB

al c rei rang este n1. În acest caz numai primele n1 st ri sunt controlabile (n1+n2=n);deoarece ultimele n2 variabile nu vor depinde de vectorul de intrare nici direct, nici prin intermediul componentelor vectorului 1X .

Func ia de transfer a sistemului definit de rela iile (4.116) va fi:

(4.117)

inând cont de modul în care sunt definite matricile rezult func ia de transfer:

(4.118)

Se poate deci enun a urm toarea teorem : Orice sistem este echivalent în spa iul st rilor cu un altul având structura dat de rela iile (4.116), în care sistemul (A11,B1,C1,D) este controlabil i este echivalent intrare-ie ire cu sistemul ini ial.

Controlabilitatea sistemelor cu matricea A diagonal

În cazul în care matricea A este diagonal , atunci sistemul este de stare complet controlabil numai dac nici o coloan a matricii B nu are elementele identic nule. Dacexist coloane ale matricii B care au toate elementele egale cu zero, atunci variabilele de stare a c ror indici sunt egali cu indicii coloanelor matricii B formate numai din zerouri sunt necontrolabile.

Orice matrice nesingular A p trat poate fi transformat într-o matrice diagonalcare are pe diagonala principal valorile proprii ale matricii printr-o transformare liniar :

unde V este matricea proprie a matricii A; considerând matricea care define te transformarea

liniar (4.113) de forma P=V-1 se calculeaz matricea cu:

Dac matricea nu are nici o coloan cu toate elementele nule, atunci sistemul , este de stare complet controlabil ; cum controlabilitatea este invariant la transform rileliniare rezult c i sistemul (A,B) va fi de stare complet controlabil .

Controlabilitatea ie irilor Un sistem propriu (D=0) are ie irea complet controlabil dac matricea de dimensiune rxnm

definit de rela ia (4.119) este de rang r.

(4.119)

Un sistem care nu este propriu (D 0) are ie irea complet controlabil dac matricea definit de rela ia (4.120) este de rang r.

(4.120)

DBAsICsH 111 )()(

DBAsICsH 1111 )()(

AVVA 1

BVPBB 1

BCACABCBQ n

c

1¦..........¦¦

DBCACABCBQ n

c ¦¦..........¦¦ 1

Page 140: tehnologia sistemelor

TEORIA SISTEMELOR I REGLAJ AUTOMAT 142

,,,, DCBA

,,,, DCBA

,,,, DCBA

Matricea de cuplaj D nu influen eaz controlabilitatea st rilor dar îmbun t e te întotdeauna controlabilitatea ie irilor.

4.2.7.2. Observabilitatea sistemelor liniare netede

Un sistem este de stare complet observabil dac pentru oricare t, vectorul de stare X( ) poate fi complet determinat pe baza cunoa terii vectorului de ie ire Y(t) pe un interval ( ,t1) cu t1> >0 Exist de asemenea multe teoreme care stabilesc condi iile necesare i suficiente pentru ca un sistem s fie de stare complet observabil . Vom prezenta aici:

a) Condi ia necesar i suficient pentru ca un sistem s fie de stare complet observabil este ca cele n coloane ale matricii CeAt s fie liniar independente pentru t [0, )

b) Condi ia necesar i suficient pentru ca un sistem s fie de stare complet observabil este ca matricea de observabilitate Qo definit de rela ia (4.121) de dimensiuni nrxn s fie de rang n.

(4.121)

Dup cum se observ în cele dou teoreme care definesc observabilitatea nu intervin decât matricile A, i C; de aceea se spune c un sistem A,B,C,D este de stare complet observabildac matricile A i C sunt observabile. Fie dou sisteme echivalente A,B,C,D i ; între matricile lor vor exista rela iile:

Calculând matricea de observabilitate a sistemului ob inem:

(4.122)

Cum P este nesingular deci i P-1 este nesingular ; rezult c rangul matricilor de observabilitate definite de (4.121) i (4.122) este n, adic dac sistemul A,B,C,D este observabil i sistemul este observabil; deci observabilitatea este invariant la transform rile liniare.

1

0

:

:

nCA

CA

C

Q

11 CPCsiPAPA

11

11

)1(

111

11

1

:

:

....

:

: PQP

CA

CA

C

PPAPAPPAPPC

PAPCP

CP

Q o

n

orin

o

Page 141: tehnologia sistemelor

DESCRIEREA INTERN A SISTEMELOR DINAMICE 143

CA

0Q

Observabilitatea sistemelor cu matricea A diagonal

Condi ia necesar i suficient pentru ca un sistem care are matricea A diagonal s fie observabil este ca matricea C s nu aib nici o coloan cu toate elementele nule. Cum orice matrice nesingular A poate fi transformat într-o matrice diagonal printr-o transformare liniar de forma:

unde V este matricea proprie a lui A, iar observabilitatea este invariant la transform rileliniare, considerând matricea de transformare liniar nesingular P=V-1 ob inem:

Condi ia necesar i suficient pentru ca un sistem s fie de stare complet observabileste ca matricea CV s nu aib nici o coloan cu toate elementele nule.

Sisteme par ial observabile

Dac pentru un sistem oarecare A,B,C,D se poate g si o transformare liniar astfel încât:

(4.123)

atunci sistemul A,B este de stare complet observabil . Acest lucru poarte fi ar tat calculând rangul matricii de observabilitate pentru matricile

Deoarece rangul matricii este n2 rezult c numai n2 variabile de stare pot fi observate. Func ia de transfer va fi în acest caz:

(4.123)

Se poate enun a urm toarea teorem : Orice sistem A,B,C,D poate fi descompus într-un sistem echivalent în spa iul st rilor de forma (4.123) în care sistemul A11, C1, este observabil i echivalent intrare-ie ire cu sistemul ini ial.

AVVA 1

212

2

12

2221

11

2

1

21

2

2

12

2

1

2221

11

2

1

¦}}0

¦

¦

¦

}}0

¦

¦

'

'

2

2

CCCn

B

BB

n

AA

AA

X

XCCY

Un

B

Bn

X

X

AA

A

X

X

n

n

0

¦

¦

¦

¦

¦

:1

111

2111

111

1

n

o

AC

AC

AC

C

Q

DBAsICDBAsICsH 11

1111 )()()(

Page 142: tehnologia sistemelor

TEORIA SISTEMELOR I REGLAJ AUTOMAT 144

4.2.8. Dualitatea sistemelor dinamice

Fie un sistem:

(4.125)

Se nume te dualul sistemului (4.125) sistemul definit de rela iile (4.126), unde AT, BT,CT sunt transpusele matricilor A,B respectiv C.

(4.126)

Schema bloc a sistemului definit de rela iile (4.125) este prezentat în figura 4.5.

Fig 4.5 Schema bloc a sistemului definit de rela iile (4.126) este prezentat în figura 4.6.

Fig. 4.6.

Dup cum se observ din figurile 4.5 i 4.6. schema dualului se ob ine schimbând intr rile cu ie irile i matricile A,B,C cu transpusele lor. Pe baza acestei observa ii se poate enun a urm toarea teorem : Un sistem A,B,C este controlabil (sau observabil), dac i numai dac dualul s u este observabil (sau controlabil).

CXY

BUAXX '

**

***'

XBY

UCXAXT

TT

Page 143: tehnologia sistemelor

DESCRIEREA INTERN A SISTEMELOR DINAMICE145

4.3 Descrierea intern a sistemelor discrete

Un sistem discret este descris intern prin setul de ecua ii:

rmrr

m

m

d

rnrr

n

n

d

nmnn

m

m

d

nnnn

n

n

d

rmn

dd

dd

ddd

ddd

ddd

D

ccc

ccc

ccc

C

bbb

bbb

bbb

B

aaa

aaa

aaa

A

ky

ky

ky

kY

ku

ku

ku

kU

kx

kx

kx

kX

kUD+kXC=kY

kUB+kXA=kX

...

::::

...

...

...

::::

...

...

;

...

::::

...

...

:

::::

...

...

)(

:

)(

)(

)(;

)(

:

)(

)(

)(;

)(

:

)(

)(

)(

)()()(

)()()1(

21

22221

11211

21

22221

11211

21

22221

11211

21

22221

11211

2

1

2

1

2

1

(4.127)

unde : - X reprezint vectorul de stare de dimensiune n - U reprezint vectorul de intrare de dimensiune m - Y reprez int vectorul de ie ire de dimensiune r - Ad reprezint matricea sistemului (matricea de evolu ie) de dimensiune nxn - Bd reprezint matricea de intrare de dimensiune nxm

- Cd reprezint matricea de ie ire de dimensiune rxn - Dd reprezint matricea de influen de dimensiune rxmDup cum se observ descrierea intern a sistemelor discrete este similar descrierii interne asistemelor netede.

4.3.1. Alegerea variabilelor de stare pentru sistemele monovariabile

În cazul sistemelor monovariabile o parte din matricile asociate descrierii internedevin vectori sau scalari, astfel:

dDcccC

b

b

b

B dnd

n

d ;...;: 212

1

unde : - Bd este un vector coloan de dimensiune n - Cd este un vector linie de dimensiune n

- Dd este un scalar Pornind de la descrierea extern a sistemelor discrete monovariabile, trebuie determinatevariabilele de stare i matricile Ad,Bd,Cd i Dd asociate descrierii interne.

Modelul matematic intrare– ie ire în domeniul real pentru sistemele monovariabile discrete este reprezentat sub forma general de ecua ia cu diferen e (4.128).

)()1()()()1()( kub+....+mkub+mkub=kya+.....+nkya+nky 01-mm01-n (4.128)

Page 144: tehnologia sistemelor

TEORIA SISTEMELOR I REGLAJ AUTOMAT146

Descrierea extern în domeniul complex a sistemelor discrete este realizat cu ajutorul func iei de transfer în z sau z-func iei de transfer a c rei form general este reprezentat de rela ia (4.129)

a+...+za+z

b+...+zb+zb=H(z)

01-n

1-nn

01-m

1-mm

m (4.129)

Pentru descrierea intern a unui sistem discret este necesar ca dimensiunea vectoruluide stare s aib dimensiunea egal cu ordinul ecua iei cu diferen e (sau ordinul polinomuluide la numitorul z-func iei de transfer).

4.3.1.1. Variabile de stare sub form canonic controlabil

Consider m un sistem a c rui model matematic intrare-ie ire este reprezentat de z func ia de transfer din rela ia (4.129). }inând cont de regulile algebrei func iilor de transferacest sistem poate fi descompus în dou subsisteme ca în figura 4.7.

Fig. 4.7

Se aleg ca variabile de stare originalul prin transformarea Z invers a semnalului Y1(z)i n-1 semnale decalate fa de acesta, adic :

)1()1()1()(

)1()2()2()(

................................................

)1()2()2()(

)1()1()(

)()(

11

21

21

kx=nkx=nky=kx

kx=nkx=nky=kx

kx=kx=ky=kx

kx=ky=kx

ky=kx

n1n

n11-n

13

112

11

(4.130)

Rearanjând rela iile (4.130) se ob ine:

)()1(

...........................

)()1(

)()1(

kx=kx

kx=kx

kx=kx

n1-n

32

21

(4.131)

Ultima rela ie din setul de ecua ii intrare-stare-ie ire care completeaz rela iile (4.131) se ob ine aplicând transformata Z invers în rela ia ce descrie leg tura dintre semnalul Y1 i Udin figura 4.7., adic în rela ia:

Y1(z)(zn + an-1z

n-1 + ...+ a0) = U(z)

Page 145: tehnologia sistemelor

DESCRIEREA INTERN A SISTEMELOR DINAMICE147

inând seama de semnifica ia înmul irii cu zk la trecerea în domeniul real (avans cu k pa i) se ob ine:

x1 (k+n)+an-1x1(k+n-1)+…+ a0u(k)=u(k) (4.132)

Înlocuind x1(k+i) din (4.131) în (4.132) se ob ine:

xn(k+1) = - a0 x1(k) - a1 x2(k) - ... - an-1 xn(k)+ u(k) (4.133)

Setul de ecua ii intrare-stare se poate scrie sub form matricial astfel:

)(

1

:

0

0

)(

:

)(

)(

...

:::::

0...100

0...010

)1(

:

)1(

)1(

2

1

1210

2

1

ku

kx

kx

kx

aaaakx

kx

kx

nnn

(4.134)

Matricile Ad i Bd fiind în acest caz:

a-.........a-a-

0...0100

0...0010

=A

1-n10

d ::::::; (4.135)

1

..

0

0

=Bd

Ecua ia intrare-stare-ie ire se ob ine aplicând transformata Z invers în rela ia cedescrie leg tura între intrarea i ie irea din cel de-al doilea element din figura 4.7, adic în:

Y(z)=)b+...+zb+zb(z)(Y 01-m

1-mm

m1 (4.137)Se ob ine:

)()()( kxb+...+kxb+kxb=y(k) 1+mm2110 (4.138)Din rela ia (4.138) se ob ine forma matricilor Cd

T i Dd:

CdT = b0 b1 ... bm+1 , Dd = 0 (4.138)

În cazul particular în care m=n, matricile Ad i Bd r mân nemodificate dar în rela ia(4.137) varibila xn+1 nu mai are semnifica ie. inând îns cont c din rela iile (4.130) se ob inexn+1(k)=xx(k+1), înlocuind (4.133) în (4.137) se ob ine:

)]()()()([)()()( ku+kxa-...-kxa-kxa-b+kxb+...+kxb+kxb=y(k) n1-n2110nn1-n2110

sau, ordonând dup indicii variabilei de stare:)()()()( kub+kx)ba-b(+...+kx)ba-b(+kx)ba-b(=y(k) nnn1-n1-n2n111n00 (4.139)

Din rela ia (4.139) se deduce forma vectorilor CdT i Dd

b=Dba-b...ba-bba-b=C ndn1-n1-nn11n00d

T ; (4.140)

dup cum se observ rela iile (4.138) sunt o form particular a rela iilor (4.140) ob inutpentru bn=0.

Page 146: tehnologia sistemelor

TEORIA SISTEMELOR I REGLAJ AUTOMAT148

4.3.1.2. Variabile de stare sub form canonic obsevabil

Pornind de la modelul intrare-ie ire sub forma ecua iei cu diferen e în cazul în care m=n a c rei form este:

u(k)b+...+)nu(kb+n)u(kb=y(k)a+...+)ny(ka+n)y(k 01-nn01-n 11 (4.141)

Aplicând transformata Z în condi ii ini iale nule în rela ia (4.141) rezult ;

U(z)b+...+U(z)zb+U(z)zb=Y(z)a+...+Y(z)za+Y(s)z 01-n

1-nn

n01-n

1-nn

Grupând dup puterile variabilei z se ob ine:

0)()( =U(z)bY(z)a+...+U(z)zbY(z)az+U(z)bY(s)z 001-n

1-n1-n1-n

nn (4.142)

Se aleg imaginile variabilelor de stare astfel:

U(z)b-Y(z)a+zzX=

=U(z)b-Y(z)a+...+U(z))b-Y(z)a(z+U(z))b-(Y(z)z=(z)X

U(z)b-Y(z)a+zzX=

=U(z)b-Y(z)a+...+U(z))b-Y(z)a(z+U(z))b-(Y(z)z=(z)X

U(z)b-Y(z)a+zzX=

=U(z)b-Y(z)a+U(z))b-Y(z)az(+U(z))b-(Y(z)z=(z)X

zUbzYa+(z)zX=U(z)b-Y(z)a+U(z))b-z(Y(z)=(z)X

U(z)b(z)=Y(z)-X

11-n

111-n1-n2-n

n1-n

n

1+k-n1+k-n1-k

1+k-n1+k-n2-n1-n2-k

n1-k

k

1-n2-n2

2-n2-n1-n1-nn2

3

-n1-n11-n1-nn2

n

1

1

1

)(

................................................................................................................

)(

..................................................................................................................

)(

)()(

(4.143)

Înmul ind ultima rela ie din (4.143) cu z i inând cont de (4.142) ob inem:

U(z))bY(za(=(z)zX 0n 0) (4.144)

Aplicând transformata Z invers în rela iile (4.143) i (4.144) , inându-se cont de propriet ileacesteia se ob ine:

)kub-kya-(=kx

)kub-kya(-kx=kx

)kub-kya(-kx=kx

)kub-kya(-kx=kx

kub-ky=kx

00n

11n1-n

1-n2-n32

1-n1-n21

n1

)()()1(

)()()()1(

.............................................................

)()()()1(

)()()()1(

)()()1(

(4.145)

Page 147: tehnologia sistemelor

DESCRIEREA INTERN A SISTEMELOR DINAMICE149

Înlocuind în rela iile (4.145) valoarea semnalului de ie ire ob inut prin aplicarea transformatei Z inverse în prima rela ie din setul (4.143), adic :

y = x1 + bnu

se ob ine setul complet al rela iilor intrare stare sub forma:

)ab-b(ku+kxa-=kx

)ab-b(ku+kxa-kx=kx

)ab-b(ku+kxa-kx=kx

)ab-b(ku+kxa-kx=kx

0n010n

1nn11n1-n

2-nn2-n12-n32

nn1-n11-n21

)()()1(

)()()()1(

..................................................................

)()()()1(

)()()()1( 1

(4.146)

Se noteaz k = bn-k - bnan-k i rela ia (4.146) se poate scrie sub form matricial :

nn

n

n

n kx

kx

kx

a

a

a

kx

kx

kx

:

)(

:

)(

)(

0...00

:::::

0...10

0...01

)1(

:

)1(

)1(

2

1

2

1

0

2

1

2

1

(4.147)

Din rela ia (4.147) se pun în eviden matricile Ad i Bd:

n

n

d

n

n

d B

a

a

a

a

A

1

2

1

0

1

2

1

:;

0...00

1...00

:::::

0...10

0...01

(4.148)

Ecua ia intrare-stare-ie ire se ob ine din prima rela ie a setului (4.143) aplicândtransformata Z invers :

y(k) = x1(k)+ bnu(k) (4.149)

Din rela ia (4.149) rezult forma vectorilor Cd i Dd i anume:

CdT = 1 0 ... ... 0 , Dd = bn

În cazul în care n>m rezult Dd = 0.

Page 148: tehnologia sistemelor

TEORIA SISTEMELOR I REGLAJ AUTOMAT150

4.3.1.3. Variabile de stare sub form canonic diagonal

Consider m un sistem a c rei z-func ie de transfer este reprezentat punându-se în eviden polii i zerourile, de rela ia (4.150).

n

j

m

i

pz

zz

zH

1

1

)(

)()( (4.150)

Imaginea r spunsului acestui sistem se va calcula cu rela ia:

U(z)-z

C+....+U(z)

-z

C+U(z)

-z

C=Y(z)

n

n

2

2

1

1 (4.151)

unde C1,C2,C3,....Cn se calculeaz cu Ck = (s- k) |s= k..

Se aleg imaginile variabilelor de stare sub forma:

U(z)-z

1=(z)X

U(z)-z

1=(z)X

U(z)-z

1=(z)X

n

n

2

2

1

1

............................

(4.152)

Trecând rela iile (4.152) în domeniul real prin aplicarea transformatei Z inverse se ob ine:

1

:

1

1

;

...00

::::

0...0

0...0

)()()1(

.......................................

)()()1(

)()()1(

2

1

d

n

d

nnn

222

111

BA

ku+kx=kx

ku+kx=kx

ku+kx=kx

(4.153)

Imaginea în complex a ecua iei intrare-stare-ie ire se ob ine din rela ia (4.151):

)()()( zXC+...+zXC+zXC=Y(z) nn2211 (4.154)

Page 149: tehnologia sistemelor

DESCRIEREA INTERN A SISTEMELOR DINAMICE151

Trecând în domeniul real prin aplicarea transformatei Z inverse se ob ine:

0

)()()(

d321T

d

nn2211

D]C...CC[=C

kxC+...+kxC+kxC=y(k) (4.155)

4.3.1.4. Variabile de stare fizice

Consider m un sistem a c rei z-func ie de transfer are forma particular :

)()(

1

0

i

n

i

z

bzH

inând cont de regulile algebrei func iilor de transfer acest sistem poate descompus într-oserie de subsisteme legate în serie ca în figura 4.8.

Fig. 4.8.

Se aleg ca variabile de stare variabilele a c ror imagini sunt m rimi de ie ire din elementele legate în serie în figura 4.8., adic :

)(1

)(

:

:

)(1

)(

)(1

)(

22

11

zUz

zX

zUz

zX

zUz

zX

n

n

(4.157)

Aplicând transformata Z invers se ob ine:

)()()1(:

:)()()1(

)()()1(

1

1222

111

kxkxkx

kxkxkx

kukxkx

nnnn

(4.158)

Din rela iile (4.158) se ob ine forma matricilor Ad i Bd :

Page 150: tehnologia sistemelor

TEORIA SISTEMELOR I REGLAJ AUTOMAT152

0

:

0

0

1

;

...000

:::::

0...10

0...01

0...00

3

2

1

d

n

d BA(4.159)

Trecând în domeniul timpului rela ia rezultat din func ia de transfer a ultimuluielement din schema func ional din figura 4.8. rezult :

(4.160))()( 0 kxbky n

Rezult forma vectorilor Cd i Dd :

0;...000 dn

T

d DbC

În cazul în care z-func ia de transfer a sistemului are forma general dat de rela ia(4.161)

)(

)()(

1

1

i

n

i

j

m

j

z

zz

KzH(4.161)

Sistemul poate fi considerat ca fiind format din m elemente a c ror z-func ie de transfer are forma (z- I)/(z- I) i n-m elemente a c ror z-func ie de transfer are forma 1/(z- I)legate în serie ca în figura 4.9.

Fig. 4.9.

Fiecare z-func ie de transfer de forma (z- I)/(z - I) poate fi pus sub forma (4.162).

i

ji

i

j

z

z

z

zz1 (4.162)

inând în continuare cont deregulile algebrei func iilor de transfer, pornind de la sistemul a c rei schem func ional este prezentat în figur (4.9) se ob ine schema func ional din figura 4.10.

Fig. 4.10.

Page 151: tehnologia sistemelor

DESCRIEREA INTERN A SISTEMELOR DINAMICE153

Alegând variabile de stare originalele semnalelor de ie ire din fiecare element din figura 4.10 ob inem:

)(1

)(

.............................................

)(1

)(

))()(...)()((1

)(

))()(...)()(()(

.............................................

))()(()(

)()(

1

12

2

111

1

121

12

222

1

111

zXz

zX

zXz

zX

zUzXzXzXz

zX

zUzXzXzXz

zzX

zUzXz

zzX

zUz

zzX

n

n

n

m

m

m

mm

m

m

mm

m

mmm (4.163)

Trecând în domeniul real se ob ine din (4.163):

)()()1(

...............................................

)()()1(

)()(...)()()1(

)()()()()(...)()()()()1(

........................................................................

)164.4()()()()()()1(

)()()()1(

1

2212

11211

121

22221221

11111

kxkxkx

kxkxkx

kukxkxkxkx

kuzkxkxzkxzkxzkx

kuzkxkxzkx

kuzkxkx

nnnn

mmm

mmm

mmmmmmmmmmmm

Din rela iile (4.164) se ob in matricile Ad i Bd sub forma:

0

:

0

1

:

;

...000...00

::::::::

0...10...00

0...01...11

0...00...

::::::::

0...000...

0...000...0

22

11

2

1

222

1

mm

d

n

m

m

mmmmm

d

z

z

z

Bzz

z

A(4.165)

Din z-func ia de transfer a ultimului termen din figura (4.100 se ob ine ecua ia ie irii:

0;...000 ddT DkC)()( kKxky n

Page 152: tehnologia sistemelor

TEORIA SISTEMELOR I REGLAJ AUTOMAT154

4.3.2. Sisteme discrete multivariabile

Analiza sistemelor discrete multivariabile presupune rezolvarea ecua iilor cu diferen eatunci când se cunosc condi iile ini iale i evolu ia vectorului de intrare.

4.3.2.1. Ecua ia intrare-ie ire (ecua ia de stare)

Presupunem cunoscute condi iile ini iale exprimate prin X(k 0). Din ecua ia:

)()()1( kUBkXAkX dd

se poate scrie succesiv începând cu k=k0:

)()()(

............................................................................

)1()()(

)1())()(()1()1()2(

)()()1(

01

1

000

0002

000000

000

jkUBAkXAikX

kUBkXBAkXA

kUBkUBkXAAkUBkXAkX

kUBkXAkX

d

ji

d

k

j

i

d

dddd

dddddd

dd

(4.167)

Dacnot m în ultima rela ie k0+i=k, rezult :

)()()( 01

1

00

00

0 jkUBAkXAkX d

jkk

d

kk

j

kk

d (4.168)

Notând în continuare i=j+k0, rezult :

)()()( 11

00

0 iUBAkXAkX d

ik

d

k

ki

kk

d (4.169)

Se consider în continuare k-i=j i rezult succesiv:

)()()( 11

00

0 jkUBAkXAkX d

j

dkk

kk

d (4.170)

)()()( 01

10

00 jkUBAkXAkX d

j

d

kk

j

kk

d (4.171)

Ecua ia (4.169) sau (4.171) reprezint solu ia general a ecua iei cu diferen e intrare-stare. Ea este compus din dou p r i:

- solu ia de regim liber: Xl(k)=Ad

k-k0X(k0)

care este solu ia general a ecua iei omogene i depinde de condi iile ini iale X(k0). Adk-k0

reprezint matricea de tranzi ie a st rilor i se bucur de toate propriet ile func iilor detranzi ie a st rilor. Notând Ad

k-k0= (k,k0) vor fi adev rate rela iile:

(k,k0) = (k-k0,0); (k-k1)* (k1-k2)= (k,k2)

Page 153: tehnologia sistemelor

DESCRIEREA INTERN A SISTEMELOR DINAMICE155

- cel de-al doilea termen al membrului drept din expresiile (4.169) i (4.171) reprezint o solu ie particular a ecua iei neomogene, solu ie dependent de vectorul de intrare.

Tranzi ia intrare-ie ire se ob ine din ecua ia intrare-stare-ie ire (ecua ia ie irii)înlocuind x(t) cu (4.163) sau (4.171), adic :

)()()()( 11

00

0

0 kUDiUBAkXACkY dd

kk

d

k

ki

kk

dd (4.172)

sau:

)()()()( 1

10

00 kUDjkUBAkXACkY dd

j

d

kk

i

kk

dd

(4.173)

Rela iile (4.172) i (4.173) r mân valabile i în cazul sistemelor monovariabilediscrete cu observa ia c Bd este un vector coloan , Cd este un vector linie, iar Dd este scalar.

4.3.2.2. R spunsul la impuls

Pentru un sistem monovariabil propriu (Dd=0) care plec din condi ii ini iale nule(k0=0 i X(k0)=0), aplicând la intrare un impuls unitar discret (k), din (4.172) sau (4.173) se ob ine:

(4.174)d

k

d

T

d bACkhky 1)()(

Rela ia (4.174) reprezint r spunsul la impuls a unui sistem monovariabil discret i senume te secven pondere.

În cazul unui sistem multivariabil, r spunsul la impuls va fi r spunsul ce se ob ineatunci când vectorul de intrare are toate componentele egale cu (t), adic :

)(

1

:

1

1

)( kkU

Pentru un sistem multivariabil propriu care plec din condi ii ini iale nule, r spunsulva avea aceia i form ca (4.174), adic :

(4.175)d

k

dd BACkY 1)(

Y(k) din (4.175) poart numele de matrice pondere i este o matrice de dimensiune rxm,fiecare coloan a matricii descriind evolu ia vectorului de ie ire atunci când toate componentele vectorului de intrare sunt nule cu excep ia componentei cu indicele egal cu indicele coloanei respective, aceast component fiind egal cu impulsul unitar discret (k).

Page 154: tehnologia sistemelor

TEORIA SISTEMELOR I REGLAJ AUTOMAT156

4.3.2.3. Matricea de transfer

Aplicâd transformata Z în condi ii ini iale X(0) în ecua ia intrare-stare-ie ire ob inem:

)()()0()()(

)()())0()((11 zUBAzIXAzIzzX

zUBzXAXzXz

ddd

dd (4.176)(4.177)

Dac sistemul este izolat fa de intr ri (U(0)=0, U(k)=0), atunci: (4.178))0()()( 1 XAzIzzX d

care reprezint imaginea r spunsului liber a sistemului. Comparând cu rela ia (4.171) ob inemimaginea matricii de tranzi ie a st rilor:

1)()( dAzIzz (4.179)Imaginea r spunsului for at va fi:

(4.180))()()( 1 zUBAzIzX ddf

Considerând condi iile ini iale nule, X(z)=X f(z) i înlocuind în transformata Z a ecua iei intrare-stare-ie ire se ob ine:

)()()( 1 zUDBAzICzY dddd (4.181)inând cont de defini ia z-func iei de transfer se ob ine matricea de transfer sub forma:

dddd DBAzICzUzYzH 11 )()()()( (4.183)Pentru sisteme proprii (pentru care Dd=0), H(z) este o matrice rxm i reprezint imaginear spuns la impuls:

d

k

ddddd BACDBAzICzH 11)()( (4.184)

Pentru sistemele pentru care Dd 0 matricea de transfer are expresia:

)()()( 11 kDBACDBAzICzH dd

k

ddddd (4.185)

4.3.2.4. Controlabilitatea i observabilitatea sistemelor discrete

Stabilirea controlabilit ii i observabilit ii sistemelor discrete se face pe baza rangului matricilor de controlabilitate i observabilitate, la fel ca i în cazul sistemelor netede,deci:

Un sistem discret este de stare complet controlabil în k pa i, dac i numai dacmatricea de controlabilitate Qck este de rang n, unde:

d

k

ddddc BABABQd

1¦.......¦¦ (4.186)

Un sistem discret este de stare complet observabil în k pa i, dac i numai dacmatricea de observabilitate Qok este de rang n, unde:

1

:k

dd

dd

d

o

AC

AC

C

Qd

(4.186)

Page 155: tehnologia sistemelor

STABILITATEA SISTEMELOR LINIARE 157

V. STABILITATEA SISTEMELOR LINIARE

Stabilitatea este o proprietate intrinsec a sistemelor (deci o proprietate care nu depinde de semnalul de intrarea).

Se spune despre un sistem c este stabil, dac l sat s evolueze liber (adic cu toate componentele vectorului de intrare identic nule), pornind dintr-o stare ini ial oarecare, tinde spre o stare de echilibru caracterizat prin valori finite ale variabilelor de stare. Dup cum se observ stabilitatea este caracterizat de evolu ia liber a m rimilor de stare, deci este o proprietate legat de descrierea intern a sistemelor, adic este o proprietate intern .

Cum orice descriere intern reprezint suportul pentru un transfer informa ionalintrare-ie ire, stabilitatea sistemelor poate fi stabilit i ca o proprietate extern . Deoarece comportarea extern , ca i cea intern , este legat de aspectul semnalului de intrare, iar stabilitatea este o proprietate intrinsec a sistemelor, se define te stabilitatea sistemelor cu referire la o intrare de valoare finit (deci m rginit ). Acest tip de stabilitate va fi numitstabilitate IMEM (intrare m rginit - ie ire m rginit ) i va fi definit astfel:

Un sistem este stabil IMEM dac orice semnal de intrare de amplitudine finit ,produce un r spuns de amplitudine finit .

Modelul matematic extern (intrare-ie ire) a unui sistem liniar neted se poate exprimacu ajutorul unei ecua ii diferen iale de forma:

)()()()()()( )1()()1()( tub+....+tub+tub=tya+.....+tya+ty 0m

1-mm

m0n

1-nn (5.1)

Deoarece solu ia general a ecua iei diferen iale (5.1.) are forma general :

y(t)=yl(t)+yf(t) (5.2)

unde: - yl(t) este componenta de regim liber, determinat de propriet ile interne ale sistemului;- yf(t) este componenta for at determinat de semnalul de intrare, iar componenta

for at are forma general identic cu yl(t) cu men iunea c în locul constantelor ce apar expresia lui yl(t) vor ap rea func ii de timp.

Din aspectul solu iei generale (5.2) rezult c pentru ca y(t) s fie m rginit este necesar ca yl(t) s fie m rginit . Cum yl(t) reprezint r spunsul la un impuls unitar, putem afirma c un sistem este stabil IMEM dac exist un num r M cu proprietatea |M|< (finit) astfel încât:

|h(t)| M pentru t 0 (5.3)

Un sistem este strict stabil IMEM dac este stabil IMEM i în plus:

0

)( dtth (5.4.)

Un sistem este asimptotic stabil IMEM dac este stabil i în plus: 0)(lim tht (5.5)

În acest fel se poate afirma c stabilitatea sistemelor se poate aprecia pe baza r spunsului la impuls a sistemului respectiv (func ia pondere).

Page 156: tehnologia sistemelor

TEORIA SISTEMELOR I REGLAJ AUTOMAT158

5.1. Stabilitatea extern a sistemelor netede

5.1.1. Criteriul matematic general de stabilitate.

Regimul sta ionar de func ionare a unui sistem automat (sau sistem de reglare automat) reprezint acea stare a regimului de func ionare, caracterizat prin echilibrul reciproc al absolut tuturor m rimilor fizice în condi iile în care toate m rimile sunt constante în timp.

Pot exista o infinitate de regimuri sta ionare, corespunz toare diferitelor valori pe care le pot avea perturba iile i semnalele de intrare în sistemul respectiv. Stabilitatea dinamic a sistemelor reprezint stabilitatea proceselor tranzitorii ale acestuia.

O alt defini ie posibil a stabilit ii externe este: Un sistem automat este stabil, dac dup ce sub ac iunea unei perturba ii exterioare

(sau unei varia ii la intrare) de valoare finit î i p r se te starea de echilibru stabil, el tinde srevin în regim sta ionar o dat ce perturba ia dispare (sau m rimea de ie ire revine la valoarea anterioar ). Într-un sistem de reglare stabil o perturba ie momentan i limitatgenereaz un r spuns tranzitoriu amortizat.

Pentru un sistem de reglare instabil r spunsul la o intrare finit , fie c tinde spre infinitîndep rtându-se continuu de valoarea de regim sta ionar yst, fie c execut oscila iipermanente în jurul valorii sta ionare a r spunsului.

Dat fiind comportarea diferit a unui sistem automat la diferite tipuri de semnale(varia ii la intrare sau perturba ii) pentru a caracteriza unitar stabilitatea sau instabilitatea se folose te r spunsul indicial.

În general în cazul sistemelor liniare se poate spune c un sistem este stabil dac :

0)(lim)()(lim tysityty ltft (5.6)

Sistemul este instabil dac :0)(lim)()(lim tysityty ltft (5.7)

R spunsul indicial al unui sistem de reglare oarecare poate fi pus sub forma:

w(t)=y(t)|1=u(t)- (t)=1- (t) pentru t>0 (5.8)

sau:

)sin(1|)()(1

21)(21

kk

k

T

t

k

T

t

itu tewewtytw ki (5.9)

unde: 1/T 1i = sI = polii reali ai func iei de transfer ai sistemului automat 1/T 2k = Re[s k] = partea real a polilor complec i ai func iei de transfer ai sistemuluiautomat

Comportarea în regim tranzitoriu depinde de semnul r d cinilor ecua iei caracteristice, deci de polii func iei de transfer a sistemului.

Pentru sisteme fizic realizabile sI, sk, sunt r d cinile func iei de transfer a elementelordin compunerea sistemului automat, i nu pot fi decât cel mult de ordin 2. Vom considera c sI

sun poli reali iar sk sunt poli complec i de forma:

Page 157: tehnologia sistemelor

STABILITATEA SISTEMELOR LINIARE 159

22 1:1 nknknnk siadicajs

Condi ia de stabilitate (5.6) implic sI<0 i Re[sk]<0; deci pozi ionarea polilor func ieide transfer în planul +j eviden iaz stabilitatea sau instabilitatea sistemului. Dac toate r d cinile ecua iei caracteristice (to i polii func iei de transfer) sunt localizate în semiplanul stâng al planului s i au partea imaginar diferit de zero, sistemuleste stabil i r spunsul indicial va fi oscilatoriu amortizat ca în fig 5.1.a..

Dac toate r d cinile ecua iei caracteristice sunt reale i negative, sistemul este stabil, iar r spunsul indicial este amortizat aperiodic (f r oscila ii) ca în figura 5.1.b. Cu cât polii sunt mai dep rta i de axa imaginar , cu atât durata de existen a componentei yl(t) este maimic , deci i durata regimului tranzitoriu este mai scurt . Existen a unor poli reali sau complec i în semiplanul drept (deci sI>0 sau Re sk >0

determin un r spuns instabil; în caz c polii din semiplanul drept sunt imaginari r spunsuleste oscilatoriu amplificat (ca în figura 5.1.c. ) iar dac to i polii pozi iona i în semiplanuldrept sun reali, r spunsul va fi aperiodic amplificat (figura5.1.d). Prezen a unor poli pe axa imaginar (fie chiar i în origine) provoac un r spunsindicial oscilatoriu neamortizat (figura 5.1.e); din punct de vedere al defini iei sistemul este stabil (r spunsul are valoare finit ), dar din punct de vedere al aplica iilor practice este instabil – se spune c sistemele se afl la limita critic de stabilitate.

Fig. 5.1. Se poate deci enun a criteriul matematic general de stabilitate absolut a sistemelor

automate:Pentru ca un sistem automat s fie stabil este necesar i suficient ca to i polii func iei

de transfer (deci toate r d cinile ecua iei caracteristice) s fie localiza i în semiplanul stang al variabilei planului variabilei s= +j .

În cazul sistemelor de reglare automat tipul de celui prezentat în figura 5.2. condi iade stabilitate absolut se formuleaz astfel:

Page 158: tehnologia sistemelor

TEORIA SISTEMELOR I REGLAJ AUTOMAT160

Pentru ca un sistem de reglare automat s fie stabil este necesar i suficient ca to ipolii func iei de transfer a sistemului închis H0 (deci toate r d cinile ecua iei caracteristice 1+H(s)=0 s fie localiza i în semiplanul stâng al variabilei s= +j .

Fig. 5.2.

În practic rezolvarea ecua iei caracteristice (1+H(s)=0) este dificil , de aceea s-au stabilit criterii algebrice i criterii grafo-analitice care permit determinarea stabilit ii sau a instabilit ii unui sistem de reglare automat , respectiv a unui sistem automat, f r a fi necesar aflarea r d cinilor ecua iei caracteristice.

5.1.2. Criteriul algebric (criteriul Ruth-Hurwitz)

Acest criteriu este un criteriu algebric de evaluare a stabilit ii sistemelor.Fie ecua ia caracteristic a unui sistem de reglare automat :

Q(s)=1+H(s)=ansn+an-1s

n-1+…+a1s+a0=0 (5.10)

în care to i coeficien ii sunt constan i i diferi i de zero. Cu ajutorul coeficien ilor ecua iei caracteristice se întocme te un determinant (numit

determinant Hurwitz principal – rela ia 5.11), dup urm toarele reguli: - pe diagonala principal se trec coeficien ii ecua iei începând cu al doilea pân la ultimul;- coloanele de deasupra diagonalei se completeaz cu coeficien ii de rang inferior celui de pe diagonala principal , în ordine descresc toare- coloanele de sub diagonala principal se completeaz cu coeficien ii de rang superior celui de pe diagonala principal în ordine cresc toare;- locurile r mase libere dup epuizarea tuturor coeficien ilor ecua iei caracteristice se completeaz cu zerouri.

02

1

42

531

642

7531

...0000

...0000

:::::::

00...0

00...0

00...

00...

aa

a

aaa

aaa

aaaa

aaaa

H nnn

nnn

nnnn

nnnn

n (5.11)

Se separ determinan ii minori dup diagonal astfel:

Page 159: tehnologia sistemelor

STABILITATEA SISTEMELOR LINIARE 161

1

31

22

131

32

31211 .......;

0

;; n

nn

nnn

nnn

nn

nn

n H

aa

aaa

aaa

Haa

aaHaH (5.12)

R d cinile ecua iei caracteristice se g sesc în semiplanul stâng, dac pentru valori pozitive ale coeficien ilor ei, to i minorii H1, H2, ………. Hn sunt pozitivi, iar sistemuleste stabil. Dac ultimul determinant Hn-1 este nul, atunci ecua ia caracteristic admite dour d cini imaginare conjugate cu partea real nul , iar sistemul se afl la limita critic de stabilitate.

Criteriul prezint dezavantajul c nu permite s se determine în ce m sur un anumitcoeficient al ecua iei caracteristice contribuie la stabilitatea sau instabilitatea sistemuluirespectiv i nici modul în care acesta trebuie modificat pentru stabilizarea sistemului.

5.1.3. Criteriul Cramer-Leonhard

Criteriul de stabilitate Cramer-Leonhard se bazeaz pe leg tura care exist între pozi ia r d cinilor polinomului caracteristic Q(s) în planul s= +j i varia ia argumentuluivectorului de pozi ie a acestuia atunci când variabila parcurge axa imaginar j , fiind deci un criteriu frecven ial. Dac presupunem c s1,s2,….s n sunt r d cinile ecua iei caracteristice, exprimândpolinomul Q(s) în func ie de r d cini, ob inem:

Q(s)=(s-s1)(s-s2)… (s-sn) (5.13)

Pentru s=j i oricare (- ,+ ) din (5.13) rezult :

Q(j )=(j -s1)( j -s2)… (j -sn) (5.14)

Presupunem localizarea r d cinilor s1,s2, … s n ca în figura 5.3., i un punct curent pe axa imaginar s=j i fazorii (j -sk) k (1,2,… ,n) corespunz tori factorilor din rela ia (5.14). Modulul fazorului de pozi ie rezultant va fi dat de:

|Q(j )|=|j -s1|*| j -s2|*… *|j -sn| (5.15)

iar argumentul va avera expresia:

arg Q(j ) =arg(j -s1)+arg( j -s2)+… +arg(j -sn) (5.16)

Când variaz în intervalul (- ,+ ), variaz argumentele fazorilor elementari din structura lui Q( ), deci i argumentul fazorului rezultant Q(j ). Consider m c din cele n r d cini ale polinomului caracteristic Q(j ) un num r de n1

r d cini sunt pozi ionate în semiplanul drept i n2=n-n1 în semiplanul stâng (poli stabili). Se consider pozitive rota iile fazoriale în sens trigonometric i negative cele în sens opus. Atunci când parcurge axa imaginar de la - la + fazorul corespunz tor unei r d cinipozi ionate în semiplanul stâng efectueaz o rota ie de + radiani, pe când cel corespunz torunui pol pozi ionat în semiplanul drept efectueaz o rota ie de – radiani. Varia ia total de argument va fi:

Page 160: tehnologia sistemelor

TEORIA SISTEMELOR I REGLAJ AUTOMAT162

)(|}]([ 12 nnjQarg (5.17)

sau inând cont de faptul c n2=n-n1 :

)2(|}]([ 1nnjQarg (5.18)

Fig.5.3.

Rela ia (5.18) constituie teorema argumentului i poate s constituie un criteriu de stabilitate, astfel:

Pentru a determina dac un sistem automat cu ecua ia caracteristic Q(s)=0 de forma(5.10) este stabil, se va trasa locul geometric al fazorului rezultant Q(j ) - hodograful – când

variaz de la - la + . Pentru ca sistemul automat s fie stabil, este necesar i suficient ca to i polii func iei de transfer s fie localiza i în semiplanul stâng al planului s. deci:

njQargsin |}]([01 (5.19)

Pornind de la Q(j )de forma:

Q(j ) = (j )n+an-1(j )

n-1+…+a1(j ) +a0=0 (5.20)

se poate pune sub forma:

Q(j )=U( )+jV( ) (5.21)unde:

..................)()(

..................)()(5

53

31

44

220

aaaVjQIm

aaaUjQRe(5.22)

Având în vedere c U( )=U(- ), adic partea real este o func ie par deoarece con ine numai puteri pare ale variabilei , i V( )=-V(- ), adic partea imaginar este impar deoarece con ine numai puteri impare ale variabilei , rezult c hodograful func ieiQ(j ) este simetric fa de axa real , deci:

Page 161: tehnologia sistemelor

STABILITATEA SISTEMELOR LINIARE 163

0.)()()(

0.)()()(

pentrujVUjQ

pentrujVUjQ (5.23)

Este deci suficient s se construiasc acest hodograf numai pentru 0 <+ ; condi ia(5.12) devine în acest caz:

2|}]([ 0 njQarg (5.24)

Rezult c un sistem de reglare automat este stabil dac hodograful Q(j ) parcurge în sens pozitiv (antiorar) în planul complex, pornind din punctul a0>0, n cadrane, când variaz de la 0 la + , unde n reprezint gradul ecua iei caracteristice a sistemului automat.

Este necesar ca hodograful func iei Q(j ) trebuie s nu treac prin originea planului complex, deci a0 0.

În figura 5.4 sunt prezentate câteva exemple de sisteme automate stabile (5.4.a) iinstabile (5.4.b) cu varia iile corespunz toare ale hodografelor Q(j ).

Fig. 5.4.

5.1.4. Metoda locului r d cinilor

Metoda tras rii locului r d cinilor reprezint o metod grafo-analitic de sintez a sistemelor automate în planul s. Ea se bazeaz pe cunoa terea localiz rii r d cinilor func ieide transfer a sistemului deschis, ceea ce permite aprecieri asupra stabilit ii sistemului de reglare automat i a comport rii lui în regim tranzitoriu. Se consider un sistem de reglare automat cu reac ie unitar , având func ia de transfer a sistemului deschis de forma:

)(

)(

)(

)()()()(

2

22

1

11

sB

sAk

sB

sAksHsHsH ba (5.25)

unde coeficien ii k1,k2 se presupun cunoscu i (eventual determina i pe cale experimental .

Page 162: tehnologia sistemelor

TEORIA SISTEMELOR I REGLAJ AUTOMAT164

Polii func iei de transfer ai sistemului de reglare automat (sistemul închis) sunt r d cinile ecua iei caracteristice:

1+H(s)=0 sau 1+KG(s)=0 (5.26)unde s-a notat:

)(

)(

)(

)()(;

2

2

1

121

sB

sA

sB

sAsGkkK (5.27)

R spunsul sistemului de reglare este determinat de r d cinile acestei ecua iicaracteristice; modul în care ele sunt distribuite în planul complex determin performan elesistemului. La rândul ei, distribu ia r d cinilor ecua iei caracteristice este dependent de parametrii fizici ai sistemului, materializa i în coeficien ii ce intervin în ecua ia caracteristic .Varia ia acestor parametri poate schimba distribu ia r d cinilor.

Pornind de la aceste considerente, se va studia distribu ia r d cinilor, sau curba dupcare evolueaz aceste r d cini în planul s, când un anumit parametru variaz , astfel încât spoat fi alese acele valori ale parametrilor pentru care distribu ia r d cinilor ecua ieicaracteristice este optim . În func ie de varia ia unui anumit parametru, r d cinile se vor deplasa pe anumitecurbe în planul s; aceste curbe reprezint locul r d cinilor în raport cu parametrul considerat. De obicei parametrul considerat a fi variabil este factorul de amplificare a sistemului în stare deschis .

Metoda locului r d cinilor const deci în a determina curbele pe care se deplaseazr d cinile ecua iei caracteristice ale sistemului în stare închis atunci când factorul de amplificare K variaz . Putem astfel, pentru o localizare dat a polilor, conform unor propriet i dorite, s alegem pentru K valoarea optim .

Se poate spune c locul r d cinilor reprezint locul caracteristicii polinomiale a ecua iei caracteristice a sistemului de reglare automat în planul s, pentru K (0, ). Ecua ia locului r d cinilor este în acest caz:

jeKK

sG11

)( (5.28)

care, se descompune în continuare prin exprimarea modulului i argumentului în:

KsG

1)( (5.29)

care serve te pentru gradarea locului, i:

)1,.....(2,1,0)12()arg()arg()]([11

nqqpszssGargn

i

m

i (5.30)

S-a considerat G(s) sub forma:

n

i

m

i

ps

zs

sG

1

1

)(

)()(

Page 163: tehnologia sistemelor

STABILITATEA SISTEMELOR LINIARE 165

În cazul unor func ii de transfer simple se poate trasa direct locul r d cinilor pornind de la defini ie. În cazul unor func ii de transfer mai complexe se aplic o serie de reguli generale i anume:

1. Curbele continui, care reprezint ramurile locului pleac din fiecare pol al fun ieide transfer H(s). pentru care K=0. Ramurile locului se termin în zerourile func ieiH(s) pentru care K= ;

2. Locul r d cinilor cuprinde toate punctele axei reale care se afl la stânga unui num r impar de poli i zerouri.

3. Pentru K , ramurile locului tind asimptotic c tre linii drepte cu unghiurile:

)}1(,...2,1,0{;12

mnqmn

qn

unde s-a considerat:

n

i

m

i

ps

zs

sH

1

1

)(

)()(

4. Abscisa punctului de pe axa real din care diverg liniile asimptotice este dat de rela ia de mai jos; acest punct se nume te centrul de greutate al configura ieipolilor sistemului automat.

mn

zp

S

m

i

n

i

med11

5. Intersec ia locului cu axele de coordonate: - intersec ia cu axa imaginar : folosind determinantul Hurwitz Hn-1=0 se ob invalorile lui K corespunz toare unor r d cini imaginare conjugate; - intersec ia cu axa real (punct de ramificare) se produce în punctele de extrem ale expresiei A(s)/B(s) unde s-a considerat:

KsB

sAsG

1

)(

)()( rezult : 0

)(

)(

0ss

ds

sB

sAd

de unde: m n

ii pszs1 1 00

11

în care zI i pI sunt zerourile, respectiv polii func iei de transfer.6. Dou ramuri ale locului p r sesc sau ating normal (sub un unghi de 900) axa real

în punctul de ramificare.7. Unghiurile sub care ramurile p r sesc polii complec i i unghiurile de sosire ale

acestora în zerourile complexe, pot fi determinate sc zând 1800 din sumaunghiurilor fazorilor construi i între polul (zeroul) complex considerat i respectiv to i ceilal i poli sau zerouri:

)12(18001

1

1

1

qm

zi

n

pii

Page 164: tehnologia sistemelor

TEORIA SISTEMELOR I REGLAJ AUTOMAT166

5.1.5. Criteriul de stabilitate Nyquist

S-a ar tat c locul de transfer al unei func ii H(s) înconjoar originea în sens pozitiv de (m-n) ori atunci când s parcurge un contur închis în care sunt inclu i to i polii i zerourile func iei de transfer, m i n fiind num rul de zerouri, respectiv de poli ai func iei de transfer. Atunci când poli sau zerouri ai func iei de transfer se afl în exteriorul conturului închis parcurs de variabila s, varia ia argumentului vectorului de pozi ie a func iei de transfer H(s) nu este influen at de existen a acestor poli sau zerouri.

Consider m un sistem de reglare a c rei func ie de transfer pe calea direct este H(s). Func ia caracteristic a acestui sistem va fi în acest caz, considerând reac ia unitar :

F(s)=1+H(s)

Rezult ecua ia caracteristic a sistemului de forma:

F(s)=1+H(s)=0

Dac conturul dup care variaz variabila s este conturul lui Nyquist, atunci hodograful func iei caracteristice F(s) va înconjura în sens pozitiv originea, de un num r de ori egal cu diferen a dintre num rul de zerouri (z) i respectiv de poli (p) ai func iei caracteristice afla i în semiplanul drept, adic de N=(z-p) ori. Deoarece locul geometric ai func iei caracteristice reprezint de fapt locul de transfer al func iei H(s) raportat la punctul critic (-1,j0) a a cum se vede din ecua ia anterioar , rezult c locul de transfer se va roti în sens pozitiv în jurul punctului critic(-1,j0) de N=(z-p) ori. Conform condi iei impuse de criteriul matematic general de stabilitate, pentru ca sistemul de reglare s fie stabil este necesar ca func ia de transfer a sistemului închis s nu aib poli pozi iona i în semiplanul drept; cum polii func iei de transfer ai sistemului închis sunt zerourile func iei caracteristice, rezult c , pentru ca sistemul s fie stabil este necesar ca z=0 i N=(-p). Din expresia func iei F(s) se observ evident c polii func iei caracteristice sunt aceia i cu polii func iei de transfer ai sistemului deschis. Rezult urm toarea formulare a criteriului de stabilitate Nyquist pentru sistemele închise : Condi ia necesar i suficient pentru ca un sistem cu reac ie unitar (sistem de reglare automat ) s fie stabil este necesar i suficient ca hodograful func iei de transfer a c ii directe H(s) (func ia de transfer a sistemului deschis) s se roteasc în sens negativ (orar) în jurul punctului critic (-1,j0) de un num r de ori egal cu num rul de poli ai func iei H(s) pozi iona iîn semiplanul drept.

În cazul în care sistemul deschis este el însu i stabil, conform criteriului matematic de stabilitate nu trebuie s aib poli pozi iona i în semiplanul drept, deci p=0 i N=0, iar criteriul Nyquist de stabilitate se reformuleaz astfel. Condi ia necesar i suficient pentru ca un sistem cu reac ie unitar (sistem de reglare automat ) s fie stabil este necesar i suficient ca hodograful func iei de transfer a c ii directe H(s) (func ia de transfer a sistemului deschis) s nu înconjoare punctul critic (-1,j0), adichodograful H(j ) trebuie s intersecteze axa real în sensul cresc tor a lui într-un punct situat la dreapta punctului critic (-1,j0), vezi figura 5.5.

Page 165: tehnologia sistemelor

STABILITATEA SISTEMELOR LINIARE 167

Fig. 5.5.În mod evident, dac locul de transfer trece prin punctul critic (-1,j0) sistemul se afl la limitacritic de stabilitate (caz în care sistemul are cel pu in un pol aflat pe axa imaginar ), deci din punct de vedere practic este considerat instabil. Se poate ajunge într-o astfel de situa ie dac ,pornind dintr-o situa ie de stabilitate, se m re te factorul de amplificare a sistemului deschis peste o anumit valoare klim; se spune în acest caz s sistemul automat este condi ionat stabil.

Când forma locului de transfer este complicat , corespunz tor unei func ii de transfera sistemului deschis H(s) cu mai mul i termeni, determinarea argumentului sau a num rului N de ocoliri a punctului critic nu mai este comod . De exemplu, pentru o func ie de transfer de forma:

)1()1(

)1()1()(

2221

12112 sTsT

sTsT

s

ksH

se ob ine locul de transfer din figura 5.6.

Fig. 5.6.

Page 166: tehnologia sistemelor

TEORIA SISTEMELOR I REGLAJ AUTOMAT168

În astfel de situa ii, pentru aplicarea criteriului Nyquist, se folose te ha urarea pe drepta locului de transfer, când acesta este parcurs în sensul cresc tor al frecven elor:

a) dac punctul critic se afl în afara zonei ha urate, atunci atât sistemul închis cât icel deschis sunt stabile. b) dac punctul critic (-1,j0) se afl în zona ha urat , atunci sistemul deschis este instabil, iar pentru a determina stabilitatea sistemului deschis este necesar s se stabileascnum rul de ocoliri al punctului critic în sens antiorar.

Criteriul de stabilitate Nyquist, prezint avantajul c se poate utiliza locul de transferdeterminat experimental, f r a fi necesar s se fac apel la un model matematic al sistemuluiautomat care este uneori greu de stabilit.

Acest criteriu, permite de asemenea, scoaterea în eviden cu relativ destul u urin , a influen ei unor parametri principali ai sistemului automat – factorul de am plificare i factorul de amortizare

5.1.6. Marginea de amplitudine i marginea de faz ; criteriul lui Bode.

Dac hodograful func iei de transfer al unui sistem oarecare trece prin punctul critic (-1,j0), înseamn c :

)(arg1)( jHsijH (5.31)

Dac amplitudinea este exprimat în decibeli, atunci se poate scrie pentru pulsa iacorespunz toare punctului critic rela ia:

A( )dB=20lg|H(j )|=20lg1=0 (5.32)

Din rela ia (5.32) rezult c pulsa ia corespunz toare punctului critic reprezintpulsa ia la care caracteristica A( )dB intersecteaz axa pulsa iilor; aceast pulsa ie este denumit pulsa ie critic (sau de t iere) i se noteaz cu 0.

Pentru sistemele a c ror hodograf trece prin punctul critic, 0 corespunde pulsa iei la care caracteristica argumentului ( ) ia valoarea – .

Pentru sistemele stabile, al c ror hodograf intersecteaz axa real într-un punct aflat la dreapta punctului critic (conform criteriului Nyquist de stabilitate), m odulul corespunz tordefazajului =- va fi mai mic decât unu, adic :

A( )dB <0 (5.33)

Asta înseamn c pentru sistemele stabile intersec ia cu axa pulsa iilor a caracteristicii A( )dB

se realizeaz la o pulsa ie mai mic decât pulsa ia pentru care .Pentru orice sistem, punctul corespunz tor pulsa iei 0 de pe hodograf se afla la

intersec ia acestuia cu cercul de raz unitate i centrul în origine (vezi figura 5.7 în care curba 1 corespunde unui sisten stabil, curba 2 unui sistem aflat la limita critic de stabilitate iar curba 3 unui sistem instabil)

Page 167: tehnologia sistemelor

STABILITATEA SISTEMELOR LINIARE 169

Fig. 5.7.Pentru a caracteriza gradul de stabilitate al unui sistem se definesc dou m rimi

caracteristice:rezerva de stabilitate în modul, numit i margine de amplitudinerezerva de stabilitate în faz numit i margine de faz .

Se define te marginea de faz ca fiind unghiul care satisface rela ia:=180

0+ ( 0) (5.34)

Marginea de faz se vizualizeaz fie prin unghiul corespunz tor punctului de intersec ie între locul de transfer i cercul de raz unitate în sens trigonometric pozitiv (figura 5.7), fie pe diagrama faz pulsa ie fa de dreapta =- , la pulsa iile critice (fig 5.8). Sistemuleste stabil dac marginea de faz este pozitiv ( >0) iar rezerva de stabilitate se apreciaz în raport cu valoarea acesteia.

Valorile uzuale pentru rezerva de stabilitate sunt =200… 60 0; pentru sistemeleautomate cu un r spuns bine amortizat se recomand =300… 60 0.

Fig. 5.8

Page 168: tehnologia sistemelor

TEORIA SISTEMELOR I REGLAJ AUTOMAT170

Se nume te margine de amplitudine (amplificare, sau câ tig) inversa valorii atenu riila pulsa ia pentru care astfel, marginea de amplitudine mk se exprim prin rela ia:

)(

1

Hmk (5.35)

Marginea de amplitudine se poate exprima i în decibeli cu rela ia:

(5.36))()( AHmdBdBk

Un sistem este stabil dac marginea de amplitudine exprimat în decibeli este pozitiv .Marginea de amplitudine mk|dB este pozitiv dac mk>1, ceea ce presupune |H(j )|<1. Pentru ca marginea de amplitudine s fie pozitiv , este necesar ca punctul de intersec ie cu axa reala hodografului func iei s se afle la dreapta punctului critic. Pe diagramele Bode marginea de amplitudine se m soar pe diagrama A( ) la pulsa ia (vezi figura 5.8) i este pozitiv dacdiagrama A( ) se afl se afl sub axa la pulsa ia p i negativ dac diagrama A( ) se afldeasupra axei.

Valori uzuale pentru marginea de amplitudine în cazul sistemelor automate cu amortizare bun sunt mk|dB=10… 20bB.

Criteriul de stabilitate Bode se poate exprima astfel:Condi ia necesar i suficient pentru ca un sistem automat s fie stabil este ca

reprezentarea faz -pulsa ie s intersecteze axa pulsa iilor într-un punct situat la stânga pulsa iei corespunz toare intersec iei caracteristicii A( ) cu axa pulsa iilor.

Justificarea acestui criteriu reiese din cele prezentate anterior.

Page 169: tehnologia sistemelor

STABILITATEA SISTEMELOR LINIARE 171

5.2. Stabilitatea extern a sistemelor discrete

5.2.1. Criteriul matematic general de stabilitate a sistemelor discrete

Se consider un sistem discret a c rui z-func ie de transfer este dat de rela ia (5.37).

01

01

1

...

...)(

azaz

bzbzbzH

m

n

n

m

m

m

m (5.37)

Ecua ia caracteristic a sistemului va fi în acest caz:

(5.38)0... 01 azaz m

n

n

Fie 1, 2,… , n r d cinile ecua iei caracteristice; în acest caz z-func ia de transfer a sistemului poate fi descompus în frac ii simple cu rela ia (5.39).

n

n

z

C

z

C

z

C

z

zH...

)(

21

2

1

1

(5.39)

Seria pondere ob inut prin aplicarea transformatei Z inverse în rela ia (5.39) va fi:

(5.40)k

nn

kk CCCkh ...)( 2211

Condi ia ca seria pondere s fie convergent pentru k este ca:

| i| < 1 (5.41) Din aceast rela ie rezult criteriul matematic general de stabilitate pentru sistemelediscrete.

Un sistem discret este stabil IMEM dac r d cinile ecua iei caracteristice (polii func iei de transfer în z) sunt pozi ionate în interiorul cercului de raz unitate.

La fel ca în cazul sistemelor netede i pentru sistemele discrete au fost elaborate criterii care fac posibil determinarea stabilit ii sistemelor f r a fi necesar rezolvarea ecua iei caracteristice.

5.2.2. Criteriul Schur-Cohn

Acest criteriu este un criteriu algebric care permite determinarea stabilit ii sistemelordiscrete prin calcularea unui num r de 2n determinan i. Pentru aceasta se construiesc matricileAk i Bk (k=1-n) asociate sistemului discret care con in coeficien ii ecua iei caracteristice:

(5.42)

Se calculeazapoi determinan ii:

0...00

0...0

0...

:::::

...

;

...000

:::::

...00

...0

...

0

01

012

0321

3

21

121

a

aa

aaa

aaaa

B

a

aa

aaa

aaaa

A

kkk

k

n

knn

knnn

knnnn

k

Ck=det(Ak+Bk); Dk=det(Ak-Bk) (5.43)

Page 170: tehnologia sistemelor

TEORIA SISTEMELOR I REGLAJ AUTOMAT172

Criteriul Schur-Cohn de stabilitate afirm c un sistem discret este stabil dac :pentru n par sunt îndeplinite condi iile:C2<0; D2<0; C4>0; D4>0; C6<0; D6<0;……

pentru n impar sunt îndeplinite condi iile:C1<0; D1>0; C3>0; D3<0; C5<0; D5>0;……

5.2.3. Criteriul Jury

Pentru aplicarea acestui criteriu se construie te urm torul tabel pornind de la coeficien ii ecua iei caracteristice a0,… ,a n:

0

0

01

10

012

210

0432

2210

01321

12210

01221

12210

::::::::

......

......

r

r

qq

qq

ppp

ppp

cccc

cccc

bbbbb

bbbbb

aaaaaa

aaaaaa

nnn

n

nnn

nn

nnn

nnn

(5.44)

Ceilal i coeficien i ai tabelei (5.44.) se calculeaz cu rela iile (5.45).

21

200

222

110

0

:

qqr

ppppq

bbbbc

aaaab

jjj

jnnjj

jnnjj

(5.45)

Criteriul Jury de determinare a stabilit ii afirm c un sistem discret este stabil IMEM dac sunt îndeplinite condi iile:

P(1)>0; P(-1)>0 pentru n parP(-1)<0 pentru n impar

i:an>a0; b0>bn-1; c0>cn-2……p0>p2

unde P(1) reprezint valoarea polinomului caracteristic (5.46) pentru z=1.

(5.46)01 ...)( azazazP m

n

n

n

Page 171: tehnologia sistemelor

STABILITATEA SISTEMELOR LINIARE 173

5.2.4. Criterii bazate pe transform ri omografice

S-au prezentat anterior criterii care determinau plasarea r d cinilor ecua ieicaracteristice pentru sistemele netede în semiplanul stâng, asigurând astfel stabilitatea sistemelor netede. Deoarece condi ia de stabilitate IMEM pentru sistemele discrete este ca r d cinileecua iei caracteristice s fie pozi ionate în interiorul cercului de raz unitate, se caut o schimbare de variabil w care s transforme cercul de raz unitate din planul z în semiplanulstâng al noii variabile. O astfel de schimbare se realizeaz cu rela ia:

Pentru determinarea stabilit ii sistemului discret a c rui polinom caracteristic este P(z) definit de rela ia (5.46) se calculeaz polinomul P(w) i se aplic pentru acest polinomcriteriile de stabilitate specifice sistemelor netede, care stabilesc pozi ionarea r d cinilorecua iei (5.47) în semiplanul stâng.

1

1

z

zw

P(w)=0 (5.47)

Dac r d cinile ecua iei (5.47) sunt pozi ionate în semiplanul stâng, atunci sistemul al c rui polinom caracteristic este dat de (5.46) este stabil.

Page 172: tehnologia sistemelor

TEORIA SISTEMELOR I REGLAJ AUTOMAT 174

CAP VI. SINTEZA SISTEMELOR AUTOMATE LINIARE I CONTINUI

6.1. Problemele sintezei SALC

În proiectarea SALC plecând de la specifica iile privind procesul tehnologic i de la indicii de performan ce se impun sistemelor (pe baza acestor specifica ii) trebuie realizatimplementarea fizic a sistemelor automate.

Ca metode de proiectare se pot folosi : a) metoda de proiectare (de sintez ) direct - prin care pe baza specifica iilor i a

performan elor impuse se realizeaz elaborarea în mod deductiv, riguros a modelului matematic al dispozitivului de automatizare.

b) metoda de proiectare indirect - pe baza considera iilor tehnice se aleg elementele obligatorii a face parte din structura sistemului, dup care, se încearc completarea structurii cu elementele care s satisfac cerin ele impuse asupra performan elor sistemului (încerc ri care se realizeaz în cadrul unor proceduri iterative) .

6.2. Proiectarea prin încerc ri

Etapele acestei metode sunt în general urm toarele : 1) Stabilirea pe baza specifica iilor tehnice furnizate de beneficiar a indicilor de

performan care trebuie realiza i de sistemul automat; ace ti indici sunt lega i de condi iileimpuse de beneficiar referitoare la natura i modul de varia ie al m rimilor perturbatoare, viteza maxim de varia ie a m rimii de ie ire, limitele maxime i minime ale acesteia, deci vor fi indici de evolu ie în timp a sistemului (eroarea sta ionar st , suprareglajul , timpul de întârziere ti , timpul de cre tere tc , timpul de stabilire ts) . Întrucât aceast metod face apel la caracteristicile de frecven se va face corelarea acestor indici cu caracteristicile de frecven (amplificarea de rezonan Mv, pulsa ia de rezonan m , pulsa ia de t iere c , tipul sistemului) .

2) Alegerea acelor elemente obligatorii a face parte din sistem (func ie de natura m rimilor de intrare - traductoare, func ie de natura m rimilor de execu ie - elemente de execu ie) i a schemei func ionale care s realizeze func iile impuse sistemului de automatizare.

3) Unele elemente ale sistemului sunt prev zute cu posibilitatea de reglare a coeficien ilorsau de alegere a unei valori din mai multe valori posibile ale parametrilor; a treia etap const în reglarea sau alegerea acelor valori ale parametrilor elementelor componente care s satisfaccerin ele impuse sistemului (indicii de performan impu i).

4) Analiza sistemului astfel realizat prin metodele de analiz cunoscute . Dac sistemul nu realizeaz performan ele impuse (acest lucru fiind reliefat în urma

analizei realizate conform opera iei 4) se repet opera ia 3. Dac în urma reacord rii parametrilor elementelor componente nu se realizeaz

performan ele impuse, se corecteaz schema propus prin introducerea unor elemente suplimentare (elemente de compensare sau corec ie) dup care se repet opera iile 3 i 4 .

Dac nici a a nu putem g si elemente de corec ie care s duc la satisfacerea parametrilor de performan ale i, înseamn c ace tia sunt incompatibili din punct de vedere al realiz riipractice i se reanalizeaz ace ti parametri (se modific ) dup care se repet opera iilemen ionate. Modificarea parametrilor i a indicilor de performan impu i poate fi f cut :

a) În interiorul limitelor rezultate din specifica iile tehnice ale beneficiarului aceste modific ri pot fi f cute f r nici o restric ie;

b) Atunci când modificarea indicilor de performan impu i presupune ie irea din

Page 173: tehnologia sistemelor

SINTEZA SISTEMELOR AUTOMATE LINIARE I CONTINUI 175

limitele impuse prin specifica ia tehnic a beneficiarului atunci orice modificare trebuie f cutnumai cu acordul acestuia.

6.2.1. Reprezent ri grafice utilizate la proiectarea prin încerc ri

Specifica iile de performan se dau în general ca performan ele locale pe curba r spunsului indicial (deci în domeniul timpului) . Analiza influen ei pe care elementele de corec ie o introduse au se face în domeniul frecven elor (caracteristica polar , hodograful H(j ),A( ), ( )) . Trebuie deci g site corela ii între r spunsul în timp i r spunsul în frecven al sistemelor .

Pentru sistemele de ordinul 2 au fost stabilite urm toarele rela ii cantitative . - Frecven a de rezonan m pentru care caracteristica | H 0(j )| = M( ) prezint un vârf

este dat de :

2-1=2

nm (6.1)

- Valoarea de vârf (de rezonan a caracteristicii) de frecven :

-12=M2

-1

m (6.2)

- Pulsa ia oscila iilor r spunsului indicial (în caz c el e oscilatoriu) : 2

n -1= (6.3)

- Valoarea maxim a r spunsului indicial (în caz c prezint suprareglaj) :

e+1=y 2-1

-

max (6.4)

- Inegalitatea :

My m18,1max (6.5)

unde n este pulsa ia natural iar factorul de amortizare . Aceste rela ii se traduc astfel : a) Conform rela iei (6.1) pentru o valoare dat , cu cât m are o valoare mai mare cu atât

n are o valoare mai mare, deci durata regimului tranzitoriu este mai mic . b) Din rela iile (6.2) i (6.3) se vede c o sc dere a valorii lui provoac o cre tere

simultan a lui Mm i ymax . (În practic se folosesc sisteme pentru care 1 > 0,4 pentru care se ob in valori apropiate a lui ymax i Mm) .

Aceste rela ii stabilite pentru sistemele de ordin 2 sunt valabile cel pu in calitativ i pentru sisteme de ordin superior; se pot astfel ob ine informa ii asupra modului cum trebuie modifica iparametrii elementelor obligate a face parte din sistem în cadrul opera iei 3.

Influen a schimb rii unor parametri ai sistemului s-au chiar a structurii sale asupra performan elor sistemului se poate studia prin pozi ia în planul variabilei complexe s a polilor func iei de transfer a sistemului închis .

Pozi ia acestor poli este descris de c tre locul r d cinilor ecua iei caracteristice a sistemului.

Referitor la informa ia dat de amplasamentul polilor sistemului închis asupra r spunsuluiîn timp i în frecven se fac urm toarele preciz ri :

1. Exprimând func ia de transfer a sistemului închis sub forma :

Page 174: tehnologia sistemelor

TEORIA SISTEMELOR I REGLAJ AUTOMAT 176

)p-(s

)z-(s

k=(s)H

j

n

j

i

m

100 (6.6)

r spunsul indicial va fi de forma :

eA+1=y(t) tpkk

n

=1k

(6.7)

unde Ak este func ie de Zi , Pj astfel : Ak = Ak (Zi , Pj) unde j k, rela ii ce permit aflarear spunsului indicial din configura ia polilor i a zerourilor sistemului închis .

Rela ii pentru determinarea lui Ak sub forma dat se g sesc în literatura de specialitate . Vom prezenta forma acestor rela ii pentru un sistem care are la intrare un semnal treapt unitari care trebuie s realizeze o eroare sta ionar nul :

1=

)p(-

)z(-

k=s

(s)sH= sY(s)=y(t)=y

j

n

i

m

00sst

st

1limlimlim

00(6.8)

rezult :

)z(-

)p(-

=k

i

m

j

n

0 (6.9)

Din (6.6) i (6.9) rezult :

)p-(s)z(-

)z-(s)p(-

=H

j

n

i

m

i

m

j

n

0 (6.10)

Presupunând c valorile pj sunt distincte se ob ine prin descompunerea în frac ii simple:

p-s

A+

s

1=(s)H

s

1=Y(s)

j

kn

=1k

0 (6.11)

înmul ind ambii termeni cu s-pk avem :

j

kj

n

j=1

k

k

j

n

i

m

i

m

j

n

ps

psA+

s

)p-(s=)p-(s

)p-(s

)z-(s

)z(-

)p(-

s

1 (6.12)

F când ca s s tind spre pk rezult pentru un k oarecare :

A=

)p-p(

)z-p(

)z(-

)p(-

k

jk*

n

ik

m

i

m

j*

n

(6.13)

unde are semnifica ia de produs dup n cu excep ia valorii k . *

n

Page 175: tehnologia sistemelor

SINTEZA SISTEMELOR AUTOMATE LINIARE I CONTINUI 177

2. În ipotezele : a) exceptând polii dominan i ceilal i poli ai sistemului închis sunt dep rta i mult de axa

imaginar ; b) polii care nu sunt dep rta i de axa imaginar se afl fiecare în vecin tatea unui zero ; se pot determina urm toarele rela ii :

2

n

PZ

m

-1

)+-2

(=t (6.14)

x100%e|Z|

|P-Z|

|P-P|

|P|= n-

i

0i

0j

j

* (6.15)

unde : - tm = este valoarea aproximativ a timpului pentru care : y=)ty( m max (6.16)

- z = suma argumentelor vectorilor ce unesc un pol dominant P0 al sistemului închis cu fiecare zero Zi :

)P-Zarg(= 0iZ (6.17)

- p = suma argumentelor vectorilor ce unesc un pol dominant P0 al sistemului închis cu fiecare alt pol Pj :

)P-Parg(= 0j 0)(jP (6.18)

- = suprareglajul (procentual)

- |P|;|Z| ji = modulele vectorilor de pozi ie ai zerourilor i respectiv polilor sistemului

închis, în planul S ;

- |P-P|;|P-Z| 0j0i = distan ele zerourilor i polilor fa de un pol dominant P0 .

3. S-au stabilit de asemenea urm toarele rela ii aproximative :

)k

1(-)

k

2(-2t

k

1t

v

20

c

v

i

(6.19),(6.20)

unde : ti = timp de întârziere tc = timp de cre terekv = coeficient de eroare de vitezka = coeficient de eroare de accelera ie4. R spunsul la frecven e complet determinat de pozi ia polilor i zerourilor sistemului

în circuit închis . Din rela ia (6.10) avem :

)p-(j)z(-

)z-(j)p(-

=)(jH

j

n

i

m

i

m

j

n

0 (6.21)

Din cele expuse rezult c , cunoa terea locului r d cinilor permite un control simultan al efectului pozi ion rii punctelor singulare ale sistemului asupra r spunsului în timp i a r spunsului în frecven .

Page 176: tehnologia sistemelor

TEORIA SISTEMELOR I REGLAJ AUTOMAT 178

6.2.2. Amplasarea elementelor de corec ie. Corec ia serie . Corec ia prin reac ie

Elementele de corec ie pot fi amplasate în serie pe leg tura principal (fig. 6.1) sau pe o reac ie (fig. 6.2) .

Fig. 6.1

Fig 6.2 Nu se poate da o regul general pentru alegerea uneia sau alteia din metodele de legare, dar se pot face preciz ri asupra factorilor ce trebuie lua i în considera ie :

1. Caracteristicile unui compensator serie se calculeaz mai u or ca ale unuia paralel . 2. În general se ob ine o durat mai mic pentru procesul tranzitoriu în cazul compens rii

serie . 3. Amplasarea corec iei serie impune adesea introducerea unui amplificator pentru

adaptarea sau m rirea amplific rii lucru ce nu este necesar în cazul corec iei pe reac ie . 4. În cele mai multe cazuri, elementele de compensare serie sunt re ele electrice simple R,

L, C - ieftine i u or de introdus în sistem . 5. Gradul de stabilitate i precizie a func ion rii sistemului în condi iile unor perturba ii i

neliniarit i pronun ate se poate îmbun t i prin compensarea pe reac ie . 6. În cazurile în care introducerea corec iei serie necesit un amplificator se va ine seama

c zgomotele din sistem pot deveni deosebit de mari i c acestea pot fi atenuate cu o re ea de compensare pe reac ie .

7. La aplicarea unei compens ri pe reac ie este adesea necesar s se men in tipul sistemului de baz , fapt ce implic existen a în func ia de transfer a compensatorului a unui factor derivativ cu ordin cel pu in egal cu al sistemului de baz .

8. Elementul de corec ie rezultat în urma proiect rii se poate întâmpla s nu fie realizabil fizic.

6.2.3. Re ele de compensare

În sistemele automate moderne care con in amplificatoare electronice, elementele de compensare iau forma unor re ele electrice simple (quadripoli) , care se introduc în serie cu amplificatorul sau pe o reac ie a sa .

Page 177: tehnologia sistemelor

SINTEZA SISTEMELOR AUTOMATE LINIARE I CONTINUI 179

6.2.3.1. Re ele cu avans de faz (re ele derivative)

Aceste re ele sunt descrise de func ia de transfer :

sT+1

sT+11=(s)H

d

dd

d

cd (6.22)

cu d constant i d > 1 iar T d constant de timp derivativ .El poate fi realizat fizic cu un circuit ca cel din fig. 6.3, parametrii func iei de transfer

având în acest caz valorile :

Fig. 6.3

R

1+

R

1

C=T si

R

R+1=

21

1d

2

1d (6.23)

Caracteristica amplitudine-frecven A( ) este dat de rela ia:22

dd2

d

2

d

2T+1lg20-lg20-T+1lg20=)A(

Hodograful func iei Hcd(j ) este prezentat în figura 6.4 . Se observ c pentru mici se

ob ine1

)(0

jH cd

iar pentru mari se ob ine 1=jH cd

0

)( .

Caracteristica A( ) este prezentat în fig. 6.5.

Fig 6.4 Fig. 6.5Trasarea ei se face cu aproxim rile :

a) d22

d222

dd

lg20-=)(A1T si1TT

1<

~

b) Tlg20lg20-)(A1T si1TT

1<<

T

1dd

22d

222

ddd

~

c) 0=Tlg20-lg20-Tlg20+lg20)(AT

1> dddd

d

~

Page 178: tehnologia sistemelor

TEORIA SISTEMELOR I REGLAJ AUTOMAT 180

Expresia cd( ) este : Tarctg-)Tarctg(=)( dddcd

(6.25)

iar caracteristica este prezentat în figura 6.6.

Fig. 6.6

Din figura 6.6 se constat c cd( ) 0 pentru 0 ceea ce justific denumirea de re ele cu avans de faz pentru acest tip de re ele .

Avansul maxim dat de o astfel de re ea se calculeaz cu rela ia :

1+

1-=

d

d

cdarcsin

max (6.26)

i se constat c el depinde numai de valoarea lui d . Din caracteristica A( ) se observ c aceast re ea se comport ca un filtru „trece sus”.

În practic valorile lui d sunt cuprinse pentru o re ea între 5 - 10 pentru care cd max 420 - 550 ; dac este necesar un avans mai mare de 550 se folosesc mai multe astfel de re ele înseriate (separate de etaje de amplificare înseriate).

6.2.3.2. Re ele cu întârziere de faz (re ele integratoare)

Aceste re ele sunt descrise de func ia de transfer :

sT+1

sT+1=(s)H

ii

ici (6.27)

cu i > 1 . O astfel de re ea poate fi realizat fizic cu un circuit ca cel din fig. 6.7., parametrii func iei

de transfer având în acest caz valorile :

CR=T siR

R+1= 2i

2

1i (6.28)

Hodograful func iei de transfer Hci(j ) este prezentat în figura 6.8.

Fig 6.7 Fig. 6.8

Se observ c pentru marei

ci

1=jH )( iar pentru mici 1=jH ci

0

)( .

Amplitudinea

Page 179: tehnologia sistemelor

SINTEZA SISTEMELOR AUTOMATE LINIARE I CONTINUI 181

22i

2i

2i

2T+1lg20-T+1lg20=)A( (6.29)

iar reprezentarea ei dat în fig. 6.9. cu urm toarele aproxima ii :

a) 0=1lg20-1lg20)(AT

1<

ii

~

b) ii

iii

Tlg20-)A(T

1<<

T

1

c) iiii

i

lg20-=Tlg20-lg20-Tlg20)(AT

1>

~

Expresia ci( ) este : )Tarctg(-)Tarctg(=)( iiici

(6.30)

i reprezentarea ei este dat în figura 6.10.

Fig. 6.9 Fig. 6.10

Din figura 6.10. se observ c ci(w) 0 pentru > 0 ceea ce justific denumirea re eleide re ea cu întârziere de faz .

Întârzierea (defazajul) maxim se calculeaz cu rela ia :

1+

1-=

i

i

ciarcsin

max (6.31)

din care se vede c depinde doar de i în timp ce

ii

m

T

1= (6.32)

reprezint pulsa ia la care apare acest maxim i depinde i de Ti . Pentru aceste re ele, la fel ca i în cazul re elelor derivative este posibil cuplarea în serie cu un amplificator .

6.2.3.3. Re ele cu întârziere i avans de faz (integro-derivativ )

Dac se combin în cascad o re ea cu întârziere de faz cu o re ea cu avans de fazcuplate prin intermediul unui amplificator separator cu factor de amplificare k ( i cu o impedanfoarte mare astfel încât prima re ea s poat fi considerat a func iona în gol), rezult o re ea de corec ie integro-derivativ a c rei func ie de transfer este :

sT+1

sT+1

sT+1

sT+1k=H

ii

i

d

dd

d

cid (6.33)

ob inut prin înmul irea func iilor de transfer a celor trei elemente dac d = i = ; d = k iTi>T d caz frecvent întâlnit

sT+1

sT+1

sT+1

sT+1=H

i

i

d

dcid (6.34)

Aceast re ea poate fi realizat fizic cu un circuit ca cel din figura 6.11.

Page 180: tehnologia sistemelor

TEORIA SISTEMELOR I REGLAJ AUTOMAT 182

Fig. 6.11

Hodograful func iei Hcid(j ) este prezentat în figura 6.12.

Fig. 6.12

Amplificarea A( ) e dat de rela ia : 22

i22

d22

i22

d2

T+120=sT+1lg20-T+1lg20+T+1lg20=)A( (6.35)

iar caracteristica este cea din figura 6.13.

Fig. 6.13

Expresia cid( ) este dat de rela ia : cid( ) = cd( ) + ci( ) (6.41)

iar reprezentarea ei este dat în fig. 6.14.

Fig. 6.14

Page 181: tehnologia sistemelor

SINTEZA SISTEMELOR AUTOMATE LINIARE I CONTINUI 183

6.2.4.. Realizarea proiect rii prin metoda încerc rii - etapa compens rii

Pentru o mai bun orientare privind alegerea re elelor de compensare prezent m efectele acestora :

1- Re elele cu avans de faz : * m resc într-o m sur moderat factorul de amplificare k al sistemului îmbun t ind

precizia în regim sta ionar . * m resc considerabil pulsa ia natural n , reducând astfel mult durata procesului

tranzitoriu;

* introduc atenuare (d

1 ), necesitând un amplificator cu factorul de amplificare mai

mare decât factorul de amplificare k scontat pentru tot sistemul . 2- Re ele cu întârziere de faz : * m resc substan ial factorul de amplificare total k al sistemului, mic orând eroarea

sta ionar . * m ic oreaz valoarea pulsa iei naturale n m rind astfel durata regimului tranzitoriu . 3- Re ele cu întârziere i avans de faz : * com bin efectele favorabile sus men ionate pentru cele 2 tipuri de sisteme . * Referitor la m odul de conectare a re elelor de corec ie trebuie ar tat c se folose te

compensarea serie în principal pentru corectarea performan elor sistemului cu ajutorul re elelor

pasive .* Com pensarea pe reac ie se utilizeaz mai ales pentru stabilizarea caracteristicilor unor

elemente din sistem, dar poate fi utilizat i în acela i mod ca i compensarea serie ; se pot utiliza în aceste scopuri traductoare de vitez sau accelera ie, respectiv re ele electrice pasive .

În cazul compens rii pe o reac ie local (ca în fig. 6.15) în jurul unui element al sistemului, ansamblul format de bucla de compensare are un efect invers fa de cazul când compensatorul ar fi montat în serie pe leg tura direct .

Fig. 6.15

Acest lucru se poate ar ta pornind de la func ia de transfer a elementului H1 i al elementului de compensare montat pe reac ie :

(s)H(s)H+1

(s)H=(s)H

c1

1k (6.37)

Pentru o gam de pulsa ii corespunz toare hodografului sistemului dat în vecin tatea punctului critic (-1, j0) se poate considera :

H1(s) Hc(s) >> 1 (6.38)i atunci :

Page 182: tehnologia sistemelor

TEORIA SISTEMELOR I REGLAJ AUTOMAT 184

)(jH

1)(jH

c

k (6.39)

Pentru corec ia serie cu ajutorul re elelor electrice pasive standard se pot folosi urm toriialgoritmi de proiectare :

I. Compensarea prin re ele cu avans de faz : 1- Se ajusteaz factorul de amplificare al sistemului (necompensat) astfel încât s se

ob in valoarea dorit Mm a vârfului din caracteristica de frecven a sistemului închis . Aceastopera ie se execut în urm toarele etape :

a) Se traseaz hodograful func iei de transfer H(s) a sistemului necompensat în stare deschis (vezi fig. 6.16) .

b) Se traseaz semidreapta

)M

1(=

m

arcsin (6.40)

c) Prin încerc ri, se caut a se trasa cercul cu centrul pe axa real negativ i care s fie tangent atât la hodograf, cât i la semidreapta (6.40) .

d) Odat g sit acest cerc, se coboar pe axa real perpendiculara din punctul de tangendintre cerc i semidreapt . Not m acest punct cu a .

e) Valoarea c utat a factorului de amplitudine este :

0a

k=k (6.41)

unde k este valoarea ini ial .2- Se alege valoarea factorului d , inând cont de amplificarea dorit la frecven zero

(corespunz toare la regim sta ionar) i de eventualul defazaj necesar pentru ob inerea unei margini de faz acceptabile .

3- Se alege valoarea produsului d Td egal sau pu in mai mic decât valoarea celei maimari constante de timp de la numitorul func iei de transfer a sistemului necompensat în stare deschis - la sistemele de tip 1 sau mai mare, respectiv valoarea celei de-a doua constante de timp în ordine descresc toare - pentru sistemul de tip 0 . 4- Se repet punctul 1) pentru sistemul compensat ( inând cont i de atenuarea d) .

Fig. 6.16

II Compensarea prin re ele cu întârziere de faz : 1) Se ajusteaz amplificarea sistemului (necompensat) pentru a ob ine valoarea dorit Mm

Page 183: tehnologia sistemelor

SINTEZA SISTEMELOR AUTOMATE LINIARE I CONTINUI 185

- valoare ce se ob ine la pulsa ia m . 2) La = m , defazajul ci este limitat la aproximativ ci = -50 cu valoarea i aleas mai

mare decât cre terea dorit a aproxim rii, valoarea lui Ti se afl din ecua ia :

0=1

+Ttg

1-+T 2

mi

i

cimi

i2i (6.42)

alegându-se r d cina mai mare (Pentru = 1 avem Ti 10/ m)3) Se repet punctul 1) pentru sistemul compensat . Factorul de amplificare a

amplificatorului adi ional rezult din raportul între amplificarea dup i înainte de compensare.III Compensarea prin re ele cu întârziere i avans de faz : 1) Se ajusteaz amplificarea sistemului (necompensat) astfel încât s fie satisf cut

valoarea Mm dorit - pentru = m . 2) Se combin re elele de compensare individuale (cea cu avans i cea cu întârziere de

faz ), proiectate ca la I i II . 3) Se repet punctul 1) pentru sistemul compensat . 4) Se determin amplificarea amplificatorului suplimentar .

Page 184: tehnologia sistemelor

TEORIA SISTEMELOR I REGLAJ AUTOMAT 186

6.3. Proiectarea analitic bazat pe localizarea

punctelor singulare ale sistemului

Aceast metod de proiectare se realizeaz în patru etape . 1) Pornind de la performan ele impuse sistemului automat, se determin (direct) expresia

func iei de transfer a sistemului închis . 2) Din aceasta se deduce func ia de transfer în circuit deschis a sistemului . 3) Pe baza expresiei func iei de transfer în circuit deschis, precum i a expresiei func iei

de transfer. a elementelor obligate a face parte din sistem, se determin func ia de transfer a elementului de compensare .

4) Se aleg elementele de compensare care realizeaz func ia de transfer rezultat mai sus.

6.3.1. Determinarea func iei de transfer a sistemului închis din specifica ii

6.3.1.1. Determinarea excesului poli-zerouri

Elementele obligate din sistem determin excesul num rului de poli fa de cel al zerourilor în func ia de transfer a sistemului închis .

Pentru a ar ta acest lucru, notând cu NPI i NZI num rul de poli i respectiv zerouri ai func iei de transfer a elementelor obligate a face parte din sistem, se ob ine proprietatea :

NPI - NZI > 0 (6.43) O proprietate similar posed i func ia de transfer a sistemului deschis :

Np – Nz > 0 (6.44) Pentru realizabilitatea fizic a elementului de compensare, trebuie ca :

NPC - NZC 0 (6.45) unde Npc i Nzc reprezint num rul de poli, respectiv de zerouri a func iei de transfer a acestuia Cum îns pentru func ia de transfer în circuit închis este valabil rela ia :

NP - NZ = Np - Nz (6.46) iar pe de alt parte, exist rela ia evident :

Np -Nz = (NPI - NZI) + (Npc - Nzc) (6.47) din 6.43 i 6.47 rezult c :

NP - NZ NPI - NZI (6.48) care exprim faptul c excesul num rului de poli fa de cel al zerourilor sistemului închis este mai mare sau cel pu in egal cu excesul poli-zerouri corespunz tor func iei de transfer a elementelor obligate a face parte din sistem .

Aceast proprietate este esen ial pentru determinarea num rului minim de poli i zerouri ale sistemului închis pentru un caz dat, atunci când se indic elementele obligate a face parte din sistem.

Page 185: tehnologia sistemelor

SINTEZA SISTEMELOR AUTOMATE LINIARE I CONTINUI 187

6.3.1.2. Localizarea punctelor singulare func ie de performan ele de regim sta ionar

În ceea ce prive te leg tura dintre localizarea punctelor singulare ale sistemului închis iperforman ele în regim sta ionar, preciz m urm toarele :

Dac H(s) are prin defini ie forma :

m)>n=+(cu)sa+_+sa+(1s

)sb+_+sb+k(1=H(s)

1

mm1 (6.49)

avem func ia de transfer a comparatorului diferen ial :

...+sk

1+s

k

1+

+k+1

1=...+sc+sc+c=

sB+...+sB+B

sA+...+sA+A=

=)sb+...+sb+k(1+)sa+...+sa+(1s

)sa+...+sa+(1s=

H(s)+1

1=(s)H

2

av

p

2210n

n10

nn10

mm11

1

d

(6.50)

unde : H(s)=k

sp

0lim (6.51)

reprezint coeficientul de eroare la pozi ie . sH(s)=k

sv

0lim (6.52)

este coeficientul de eroare la vitez iH(s)s=k

2

sa

0lim (6.53)

este coeficientul de eroare la accelera ie ; Se definesc de asemenea pentru un sistem de tip N :

N=ipentruH(s)s

1

Nipentru0

=cN

s

i

0lim

(6.54)

Deci conform rela iei (6.50) se ob ine :

...-sk

1-s

k

1-

k+1

k=(s)H-1=(s)H

2

avp

p

d0 (6.55)

a adar :

k+1

k=(0)H

p

p

0 (6.56)

Cum H0 poate fi scris sub forma)P-(s

)Z-(s

k=(s)H

j

n

i

m

00 rezult :

m

i0j

n

i

m

0

0

0p

)Z(-k-)P(-

)Z(-k

=(0)H-1

(0)H=k (6.57)

Din (6.55) avem :

Page 186: tehnologia sistemelor

TEORIA SISTEMELOR I REGLAJ AUTOMAT 188

v=0 s

0k

(s)]H[ sd

d|

1 (6.58)

În cazul sistemelor de tip I pentru care Kp = rezult : H0(0) = 1 (6.58.1)

i

=0 s

0

s

0

0

v

(s)]H[ sd

d-=

(s)H

(s)]H[ sd

d

-=k

1ln

0

(6.59)

sau :

P

1-

Z

1=

P-s

1-

Z-s

1-=

=)]P-(s-)Z-(s+k[ sd

d-=

k

1

j

n

i

m

sj

n

i

m

s

j

n

i

m

0

v

0

0

lnlnln

(6.60)

În cazul în care H0(0) 1 atunci rezultatul trebuie înmul it i cu H0(0) i cu (6.57) ob inem:

P

1-

Z

1

)P(-

)Z(-k

=P

1-

Z

1

k+1

k=

k

1

j

n

i

m

i

n

i

m

0

j

n

i

m

p

p

v

(6.61)

În ceea ce prive te Ka din rela ia (6.56) rezult :

0s

02

2

a

(s)Hsd

d=

k

2- (6.62)

Pornind de la observa ia c : 2

)(ln

(s)H

(s)H sd

d

-sH

(s)Hsd

d

=](s)H[sd

d

0

0

0

02

2

02

2

(6.63)

cu 6.58 i 6.62 ob inem :

(s)Hk

1+](s)H[

sd

dH=

k

2-

02v

02

2

0

a

ln (6.64)

Derivata a doua a func iei H0(s) în s=0 se poate calcula cu rela ia:

Z

1-

P

1=

P-s

1

sd

d-

Z-s

1

sd

d=

=)P-(ssd

d-)Z-(s

sd

d=)P-(s

sd

d-

-)Z-(ssd

d+k

sd

d=]

)P-(s

)Z-(s

k[sd

d=(s)H

sd

d

2i

m

2j

n

j

n

i

m

i

n

12

2

i

m

12

2

i

n

12

2

i

m

12

2

02

2

j

n

i

m

02

2

02

2

lnlnln

lnlnlnln

(6.65)

Pentru sisteme de tip I (H0(0) = 1) se ob ine :

Z

1-

P

1+

k

1=

k

2-

2i

m

12j

n

12va

(6.66)

Page 187: tehnologia sistemelor

SINTEZA SISTEMELOR AUTOMATE LINIARE I CONTINUI 189

Iar pentru H0(0) 1 se ob ine :

]Z

1-

P

1+)

P

1-

Z

1([

)P(-

)Z(-

k=)Z

1-

P

1(

k+1

k+

k

1

k

k+1=

k

2-

2i

m

12j

n

1

2

j

n

1i

m

1

j

n

i

m

02i

m

12j

n

1p

p

2vp

p

a(6.67)

Pe baza rela iilor (6.60), (6.61), (6.66) i (6.67) se pot stabili configura ii ale zerourilor ipolilor func iei de transfer a sistemului închis care corespund unor anumite valori ale

constantelor kv i ka. Pentru exemplificare vom considera cazul particular kv = , deci 1/k v = 0.

Pentru sistemele în care kp (deci H(0) = 1) expresia lui kv este furnizat de ecua ia (6.60). Vom considera o configura ie poli zerouri ca în figura 6.18 care are doi poli complec i conjuga ii un zero real.

Fig. 6.18

Trebuie s îl localiz m pe Z1 astfel încât kv Din rela ia (6.66) rezult :

P

1-

Z

1=

K

1

jiv

sau:

j-1-

1-

j+1-

1-

Z

1=0

1

i în continuare:

1-=2-

2=

1-j

1-j-

1-j

1+j=

j-1-

1+

j-1-

1=

Z

122

1

Rezult Z1 = -1 Acela i rezultat se poate ob ine i plecând de la observa ia c acestei configura ii a polilor îi corespunde ecua ia caracteristic :

0,707=;2=: si0=2+2s+s n2

Deci r d cinile ecua iei caracteristice vor fi:

2

nn2

2

nn1

-1j--=p

-1j+-=p

Din (6.60) rezult condi ia:

Page 188: tehnologia sistemelor

TEORIA SISTEMELOR I REGLAJ AUTOMAT 190

n2

nn

2

nni

2-=

-1j--

1+

-1j+-

1=

Z

1

Rela ia:ni

2-=

Z

1se poate aplica direct rezultând Z1 = -1

6.3.1.3. Leg tura dintre performan ele de regim dinamic i localizarea punctelor singulare

Pentru determinarea configura iei poli zerouri func ie de performan ele de regim dinamicse utilizeaz rela iile prezentate la paragraful 6.2.1. cu men iunea c utilizarea configura ieiparticulare cu doi poli principali (poli complec i conjuga i situa i relativ aproape de axa imaginar ), restul polilor fiind considera i poli secundari (situa i departe de axa imaginar sau în vecin tatea unor zerouri), este justificat din urm toarele considerente:

- majoritatea sistemelor automate se reduc cel pu in într-o prim aproxima ie la tipul de configura ie considerat;

- dat fiind o anumit configura ie poli-zerouri care realizeaz anumite performan edinamice, se poate întotdeauna g si o configura ie de tipul celei considerate care s realizeze acelea i performan e; în plus, aceast configura ie permite o mult mai u oar interpretare a caracteristicilor r spunsului dinamic func ie de localizarea polilor i zerourilor func iei de transfer a sistemului închis;

- tipul de configura ie specificat permite ob inerea unor poli reali ai func iei de transfer ai sistemului deschis, ceea ce este impus de condi ia ca re elele de compensare s fie ob inute sub forma unor re ele RC (pasive).

6.3.2 . Determinarea func iei de transfer a sistemului deschis

din func ia de transfer a sistemului închis

Considerându-se cunoscut func ia de transfer a sistemului închis H0(s), determinareafunc iei de transfer a sistemului deschis se face cu rela ia :

(s)H-1

(s)H=H(s)

0

0 (6.68)

Dac H0(s) are forma:

n(s)

p(s)K=(s)H 00 (6.69)

unde polii i zerourile func iei de transfer sunt cunoscute, atunci:

p(s)K-n(s)

p(s)=H(s)

0

(6.70)

Zerourile func iei de transfer a sistemului deschis vor coincide deci cu zerourile func iei de transfer a sistemului închis.

Rezolvarea ecua iei:0=p(s)K-n(s) 0 (6.71)

implic în cazul sintezei sistemelor automate nu numai determinarea unei configura ii oarecare a polilor func iei de transfer a sistemului deschis care s satisfac condi iile de performan impuse

Page 189: tehnologia sistemelor

SINTEZA SISTEMELOR AUTOMATE LINIARE I CONTINUI 191

sistemelor ci i ob inerea unei configura ii convenabile din punct de vedere al implement rii ei fizice; compensarea sistemelor cu re ele RC (pasive) impune ca polii func iei de transfer ai sistemului deschis s fie reali i negativi, iar necesitatea ca aceste re ele s fie cât mai simpleimpune ca printre polii func iei de transfer ai sistemului deschis s se afle cât mai mul i poli ai func iei de transfer a elementelor obligate a face parte din sistem. Astfel, dac în func ia de transfer a elementelor obligate a face parte din sistem exist poli compex-conjuga i, ajustarea localiz rii polilor func iei de transfer ai sistemului deschis trebuie f cut în a a fel, încât polii func iei de transfer a sistemului deschis s cuprind to i polii complec i ai func iei de transfer a elementelor obligate a face parte din sistem.

Îndeplinirea acestor condi ii ( poli reali negativi pentru re ele de compensare i cât maimul i din polii func iei de transfer a elementelor obligate a face parte din sistem în func ia de transfer a sistemului deschis) se realizeaz prin ajustarea unora dintre polii i zerourile func iei de transfer a sistemului închis în jurul valorilor determinate ini ial, prin aceasta nemodifundu-se în mod sensibil performan ele sistemului închis (a c ror specificare nu se face într-o form rigid )deoarece exist mai multe configura ii poli-zerouri ai func iei de transfer a sistemului închis care asigur realizarea performan elor

Pentru rezolvarea ecua iei (6.71) în condi iile ar tate mai sus s-au dezvoltat mai multemetode. Una dintre acestea care permite interpretarea comod a efectelor modific riiconfigura iei polilor i zerourilor func iei de transfer a sistemului închis asupra configura ieipolilor i zerourilor func iei de transfer a sistemului deschis este metoda reprezent rii grafice a polinoamelor.

6.3.2.1. Metoda reprezent rii grafice a polinoamelor

a) Expunerea metodeiAceast metod serve te la determinarea r d cinilor reale ale ecua iei (6.71). În acest scop se reprezint grafic modul de varia ie a polinoamelor n(s) i K0p(s) pentru toate valorile reale s=Punctele de intersec iei a curbelor celor dou polinoame furnizeaz r d cinile reale ale ecua iein(s)=k0p(s) adic ale ecua iei (6.71). Facem men iunea c r d cinile polinoamelor n(s) i p(s) sunt cunoscute ceea ce u ureaz trasarea curbelor de varia ie n( ) i p( .

Vom considera cazul unei configura ii cu o pereche de poli dominan i. Fie:

)P-)(P-)(+2+(=)n( 432nn

2 (6.72)numitorul func iei de transfer a sistemului închis. Dac polii P3 i P4 sunt mult dep rta i fa de polii complec i, atunci curba de varia ie a func iein( i p( vezi figura (6.19) prezint un minim lâng origine. Acest minim are loc la n ieste cu atât mai pronun at cu cât este mai mare.

Fig. 6.19

Page 190: tehnologia sistemelor

TEORIA SISTEMELOR I REGLAJ AUTOMAT 192

La limit , când = 1 minimul de lâng origine se afl pe axa real , polii complec i conjuga idevenind poli reali dubli. Pentru a afla r d cinile ecua iei (6.94) vom considera mai multe forme de varia ie a curbei polinomului p(s).

K*p K0;Dac eroarea de pozi ie în regim sta ionar este nul atunci una dintre r d cini se afl în

origine 0 ca în figura (6.20).

Fig. 6.20 Fig. 6.21Dac P3 i P4 sunt destul de departe de polii complec i, atunci func ia de transfer a

sistemului deschis va avea to i polii reali negativi. Dac îns P3 se apropie de origine atunci se poate ajunge la situa ia din figura (6.21) în care func ia de transfer a sistemului deschis prezintdoi poli complec i conjuga i. Deoarece valorile lui P3 i P4 nu sunt critice rezult c se poate g siîntotdeuna o distribu ie corespunz toare astfel încât to i polii func iei de transfer a sistemuluideschis s fie reali negativi.

Pentru situa iile în care p K0 Z 1) i p K0 2 ’ ’ ’ ) sunt trasate curbele din figura (6.22); |P 3| i |P 4| se pot alege suficient de m ari astfel încât toate cele 4 puncte de intersec ie s fie reale. Similar se pot trata cazurile pentru p( ) având forme mai complicate.

Fig. 6.22 b) Rela ii analitice auxiliare care permit determinarea unora dintre r d cinile ecua iei

n(s)-K0p(s)=0În unele cazuri determinarea unora dintre r d cinile ecua iei n(s)-K0p(s)=0 prin metoda

grafic expus mai sus introduce erori inacceptabile (pentru r d cini aflate foarte aproape una de alta de exemplu). În acest caz se pot folosi unele rela ii analitice pentru determinarea unora dintreaceste r d cini, rela ii ce vor fi prezentate în continuare

O prim rela ie se bazeaz pe determinarea coeficientului kv prin dou metode diferite. În primul rând din configura ia poli zerouri pentru kp = se ob ine conform rela iei (6.60)

P

1-

Z

1=

k

1

jiv

(6.73)

Pe de alt parte cu :

Page 191: tehnologia sistemelor

SINTEZA SISTEMELOR AUTOMATE LINIARE I CONTINUI 193

kp(s)-n(s)

p(s)=H(s) (6.74)

Ob inem conform rela iei de defini ie a coeficientului de eroare de vitez :

]kp(s)-n(s)

p(s)[s=sH(s)=k 0s0sv limlim (6.75)

unde r d cinile lui p(s) precum i o parte din r d cinile lui q(s)=p(s)-kn(s) sunt cunoscute. Din compara ia rela iilor (6.73) i (6.75) se ob ine o prim rela ie analitic .

Cea de-a doua rela ie analitic se bazeaz pe o rela ie între coeficien ii i r d cinileecua iei q(s) = 0. Astfel expresiile polinoamelor p(s) i n(s) sunt în general de forma:

)Z)Zs-s(k=)Z-)...(sZ-)(sZ-(sk=p(s) j

m

j=1

mj

m

j=1

1-mm0m210 1(... (6.76)

respectiv

)+...+ P)Ps-s(k=)P-)...(sP-)(sP-(sk=n(s) j

n

j=1

nj

n

j=1

1-nn0n210 1( (6.77)

inând cont de faptul c în general n-m 2 se ob ine:

p)ps-s=)p-)...(sp-)(sp-(s=p(s)-n(s)=q(s) j

n

j=1

n

j

n

j=1

1-nn

n21+...+ 1( (6.78)

Rezult astfel rela ia:

pP j

n

j=1

j

n

j=1

= (6.79)

6.3.3. Determinarea func iei de transfer a elementului de compensare

Determinarea func iei de transfer a elementelor de compensare se face pornind de la rela ia ce exist între func ia de transfer a elementelor de compensare, func ia de transfer a elementelorobligate a face parte din sistem i func ia de transfer a sistemului deschis (figura 6.23)

Fig. 6.23

Se ob ine:

(s)Gk

kG(s)=(s)Gk(s)Gk(s)Gk=kG(s)=H(s)

11

222211 (6.80)

În scopul ob inerii unor re ele de compensare cât mai simple trebuie, a a cum am maiar tat, ca func ia de transfer a re elei de corec ie s con in cât mai pu ini termeni iar polii acesteia s fie reali i negativi.

Elementul de compensare ar trebui s elimine o parte din zerourile i polii func iei de

Page 192: tehnologia sistemelor

TEORIA SISTEMELOR I REGLAJ AUTOMAT 194

transfer a elementelor obligate a face parte din sistem; deoarece pe de o parte acestea din urm nu sunt liniare decât în urma unei prime aproxim ri i pe un domeniu limitat de frecven e, iar pe de alt parte constantele de timp nu sunt cu totul fixe ci variaz între anumite limite func ie de domeniul de lucru i condi iile de func ionare, elementele de compensare nu vor face o eliminarecomplet a polilor i zerourilor respective dar vor compensa efectul acestora într-o m sursuficient pentru realizarea performan elor impuse asupra sistemului.

6.3.3.1. Implementarea re elelor de corec ie cu ajutorul cudripolilor pasivi RLC.

Realizarea practic a re elelor de compensare a c ror func ie de transfer este determinatconform punctului anterior, se poate realiza la un pre redus, în cazul sistemelor care proceseazsemnale electrice, cu ajutorul cuadripolilor pasivi RLC.

Trebuie precizat c realizarea re elelor de corec ie cu func ie de transfer impus se bazeaz pe re elele de corec ie derivative, integrative i integro-derivative prezentate anterior. Trebuie f cut observa ia c pornind de la cuadripolul din figura 6.3. care reprezint o re eaderivativ pentru R1 tinzând spre infinit se ob ine cuadripolul din figura 6.24.

Fig. 6.24

Notând RC=T (constanta de timp a elementului) se ob ine func ia de transfer a acestei re elederivative particulare sub forma:

1+Ts

Ts=H(s) (6.81)

Se remarc faptul c re eaua are caracter de filtru trece sus, utilizarea lui ca atare în curentcontinuu nefiind posibil . Dac îns mont m o astfel de re ea pe calea invers a unui elementpropor ional cu factorul de amplificare ca în figura 6.25 vom ob ine:

Fig. 6.25 - func ie de transfer pe calea direct :

=H(s) (6.82)- func ia de transfer pe calea de reac ie:

1+Ts

Tsa=(s)H r (6.83)

- func ia de transfer a sistemului cu reac ie:

Page 193: tehnologia sistemelor

SINTEZA SISTEMELOR AUTOMATE LINIARE I CONTINUI 195

a)Ts-(1+1

Ts)+(1=(s)H 0 (6.84)

Dac se ajusteaz amplificarea (a) a elementului propor ional montat pe reac ie în serie cu re eaua de corec ie astfel încât a=1, se ob ine pentru sistemul închis func ia de transfer:

Ts)+(1=(s)H 0 (6.85)Se observ c aceast func ie reprezint de fapt func ia de transfer a unui element propor ionalderivativ ideal, aceast element putându-se monta în serie pe calea direct ca în figura 6.26.

Fig. 6.26

În mod similar pornind de la cuadripolul din figura 6.7. care reprezint o re ea de corec ie integrativ , pentru R2=0 se ob ine cuadripolul din figura 6.27 a c rei func ie de transfereste:

1+Ts

1=H(s) (6.86)

unde s-a notat RC = T (constanta de timp a elementului).

Fig. 6.27

Un element a c rei func ie de transfer este dat de rela ia (6.86) este o form particular de re eade corec ie integrativ , are o comportare de filtru trece jos i deci poate fi montat în serie pe calea direct . Dac îns se monteaz cuadriplolul din figura 6.27 în serie cu un amplificator cu amplificarea a în reac ia unui element propor ional cu factorul de propor ionalitate ca în figura (6.28) se ob ine o re ea a c rei func ie de transfer este:

Ts+a-1

Ts+1=H(s) (6.87)

Dac se regleaz amplificarea a astfel încât a=1 se ob ine o func ie de transfer de forma:

)Ts

1+(1=H(s) (6.88)

func ie de transfer ce caracterizeaz comportarea unui element propor ional-integrativ (PI).

Page 194: tehnologia sistemelor

TEORIA SISTEMELOR I REGLAJ AUTOMAT 196

Fig. 6.28

Implementarea re elelor de compensare cu elemente pasive RC se poate realiza dupurm torul algoritm:

a) - se consider func ia de transfer impus pentru re eaua de compensare ca o combina iede re ele de compensare legate în serie cu func ia de transfer dat de ecua iile (6.24), (6.34), (6.81) sau (6.86);

b) - se realizeaz o re ea format din cuadripoli ce implementeaz re elele de compensarepuse în eviden la punctul (a) lega i în serie;

c) - se determin modelul matematic al cuadripolului astfel ob inut aplicând legile lui Kirkchoff;

d) - din identificarea coeficien ilor func iei de transfer impuse i descompuse la punctul (a) cu coeficien ii func iei de transfer determinate la punctul (c) se ob ine un sistem de ecua iicare permite determinarea valorii rezisten elor i condensatoarelor din compunerea re elei de corec ie;

e) - în caz c rezisten ele i condensatoarele din compunerea re elei sunt în num r maimare decât num rul ecua iilor ob inute se aleg valori arbitrare pentru un num r de componenteegal cu diferen a dintre num rul total al elementelor RC i num rul total de ecua ii i se rezolvsistemul cu solu ie unic r mas pentru determinarea valorilor celorlalte elemente RC; Dac valorile elementelor astfel determinate sunt complexe sau negative este din cauzc :

* valorile alese arbitrar pentru param etrii în exces fa de num rul ecua iilor sunt prea mari sau prea mici.

** func ia de transfer impus pentru re eaua de corec ie nu poate fi realizat prin cuadripoli pasivi i necesit înserierea unor etaje separatoare active; aceast situa ie apare în general când pulsa iile de t ierea a cudripolilor pasivi lega i în serie au valori prea apropiate. Dac aceast apropiere nu este necesar , modificând unul dintre cuadripoli se poate evita montarea unui etaj separator.

Page 195: tehnologia sistemelor

STATICA SISTEMELOR DE REGLARE AUTOMAT197

CAP. VII. STATICA SISTEMELOR DE REGLARE AUTOMAT

7.1. No iuni introductive

Sistemele de reglare automat (SRA) reprezint sisteme automate conven ionale de baz(deci supuse conven iei y = u) având consemnul fix (u = u0 = ct.) sau programat (u = u(t)) - cu o anumit lege de varia ie . În fig. 7.1. este reprezentat o schem func ional pentru un sistem de reglare automat (SRA) cu consemn programat.

Fig. 7.1

Ac iunea regulatorului automat (RA) se desf oar în sensul realiz rii interdependen ei y = u, indiferent de valoarea perturba iei P, sub influen a c reia y sufer modific ri (cu alte cuvinte

0 pentru p 0) . Se spune c un SRA este static atunci când exist o dependen între m rimea reglat în

regim sta ionar yst i m rimea perturbatoare p ; el este astatic când nu exist o asemeneadependen .

Fie p1 , p2 , p3 , ... , pn m rimile care pot perturba m rimea reglat . Sistemul se nume testatic în raport cu m rimea perturbatoare pk dac

0S=p

yk

k

st (7.1)

unde Sk este gradul de statism i este un factor adimensional .

Dac : 0= S=p

y

k

st atunci sistemul este astatic în raport cu perturba ia pk deci SRA are

gradul de statism nul în raport cu perturba ia pk . Un SRA poate fi static în raport cu una sau maimulte perturba ii simultan ; el este astatic cu celelalte m rimi perturbatoare .

În cazul majorit ii SRA se poate considera o perturba ie dominant în raport cu celelalte i deci g sindu-se perturba ia dominant se face studierea func ion rii SRA în raport cu aceast

perturba ie . De asemenea se poate aproxima printr-o dependen liniar varia ia erorii sta ionare în

raport cu perturba ia dominant : st = Sp (7.2)

factorul de propor ionalitate fiind gradul de statism S . În acest fel, legea de reglare (legea varia iei m rimii de ie ire) se poate scrie :

Sp-y=y 0st (7.3)

În absen a perturba iei (p = 0) yst = y0 . În prezen a perturba iei, legea de reglare este dat de

(7.3). Se observ c S-=p

y ; sensul minus exprim sensul de varia ie al m rimii de ie ire în

raport cu cre terea lui p .

Page 196: tehnologia sistemelor

TEORIA SISTEMELOR I REGLAJ AUTOMAT 198

În raport cu semnul gradului de statism i implicit cu aspectul legii de reglare exprimatde rela ia (7.3) SRA se clasific în :

- SRA static pozitive cu s > 0 i legea de reglare :

yst = y0 - Sp (7.4) - SRA static negative cu s < 0 i legea de reglare :

yst = y0 + Sp (7.5) În figura 7.2. sunt reprezentate caracteristicile static pozitiv , static negativ i astatic

(S=0) pentru un SRA .

Fig. 7.3 Se poate vedea c panta dreptelor ob inute pentru aceste varia ii reprezint statismul S :

S=P

y=

OA

BC=tg st (7.6)

Pentru caracteristica astatic (S = 0) reprezentarea este o dreapt paralel la axa absciselor care trece prin punctul y0 = u0 (consemnul sau m rimea de func ionare în gol pentru SRA respectiv). Dac în rela ia (7.3) se împart ambii membri prin y0 iar perturba ia p se exprim sub forma : p = p* p0 unde p0 este perturba ia de baz (reprezentând valoarea nominal a m rimiiperturbatoare) se ob ine o expresie în unit i relative (u.r.) :

p

p

y

p S-1=

y

y

0

*

0

0

0

st (7.7)

de unde : yst * = 1 - S*p* (7.8)

unde s-a notaty

pS=S

0

0* = gradul de statism relativ, sau exprimat procentual: 100

y

P S=%S

0

0* .

În figura 7.3. s-a reprezentat caracteristica static a unui SRA oarecare în unit i relative (u.r.). Se constat c statismul relativ S* este abaterea relativ a m rimii de la ie ire, pentru o perturba ie relativ egal cu unitatea (deci p = p0 ) .

Se deosebesc dou tipuri de grade de statism : - statismul propriu (sau natural) Sn , al fiec rei instala ii (proces tehnologic) - statismul artificial S, ob inut dup introducerea regl rii automate .

Page 197: tehnologia sistemelor

STATICA SISTEMELOR DE REGLARE AUTOMAT199

În practic , se constat c statismul artificialexprimat în unit i relative sau absolute (S, respectiv S* ) este mult mai mic decât statismul natural (sau propriu) Sn.

SRA reduce gradul de statism de la valoarea statismului natural fie la zero (cazul regl rii astatice) fiela o valoare acceptabil dar diferit de zero (în general S*% 6%) convenabil pentru instala ia sau procesul tehnologic reglat .

În cazul stabilirii unei dependen e între Sn i S, seFig. 7.3. consider SRA cu func ionare liniar i continu , având

schema bloc din figura 7.4.

Fig. 7.4 Fig. 7.5

Aplicând suprapunerea efectelor, studierea func ion rii se poate face în cele dou situa iiextreme:

- cu perturba ie nul (p = 0) când : y = y0 = u0 (7.9.)

i deci :

s

y=Y(s) 0 (7.10)

pentru o intrare treptat ; - cu varia ie la intrare nulu0 = 0 , = 0 - y = -y

când schema 7.4. se poate transforma ca în figura 7.5. iar legea de varia ie pentru m rimea de la ie ire devine :

H(s)+1

1P(s)S-=Y(s) n (7.11)

Ca urmare a suprapunerii efectelor se poate scrie c varia ia total pentru un SRA supus atât unei varia ii la intrare cât i perturba iei este :

P(s)H(s)+1

S-

s

y=Y(s) n0 (7.12)

În cazul unei m rimi perturbatoare cu varia ie treptats

P=P(s) ecua ia (7.12.) devine:

s

P(s)HS-

s

y=Y(s) dn

0 (7.13)

unde Hd(s) este func ia de transfer a comparatorului diferen ial . Valoarea sta ionar a m rimii de ie ire se afl aplicând teorema valorii finale :

s

P(s)HS-

s

y s=Y(s) s=y(t)=y dn

0

sstst 00

limlimlim (7.14)

rezult :

Page 198: tehnologia sistemelor

TEORIA SISTEMELOR I REGLAJ AUTOMAT 200

yst = y0 - SnHd(0)P = y0 - SP (7.15) de unde, dependen a dintre statismul artificial S i cel natural Sn este

S = SnHd(0) (7.16) Un sistem automat de ordinul are func ia de transfer a comparatorului diferen ial Hd(s)

de forma :

G(s)k+s

s=(s)H d (7.17)

unde este de ordinul SRA i k este factorul de amplificare în circuit deschis . Dac G(0) = 1 se observ c pentru = 0 se poate scrie :

k

S

k+1

S=(0)HS= S nn

dn (7.18)

pentru k >> 1 . Deci SRA de ordinul zero ( = 0) sunt SRA statice (au eroarea sta ionar diferitde zero pentru o varia ie la intrare treapt unitar ) ; cu cât factorul k este mai mare, cu atât statismul este mai mic (panta caracteristicii statice este mai redus ) .

În cazul unui SRA de ordinul 1, Hd(0) = 0 deci S = 0 . În consecin sistemele de ordin 1 sunt astatice (nu prezint eroarea sta ionar nenul pentru o varia ie treapt la intrare). Se poate constata c introducerea unui pol suplimentar pe leg tura direct , poate face ca un SRA static s devin astatic, pentru o varia ie dat la intrare .

7.2. Statica SRA cuplate la ie ire

Instala iile care realizeaz procese de reglare pot func iona izolat sau cuplate între ele . În cazul celor care func ioneaz izolat, reglarea astatic (cu abatere sta ionar nul pentru anumitevaria ii la intrare) corespunde pe deplin ; nu se justific prin nimic introducerea regl rii statice (cu excep ia unor condi ii speciale care ar impune o lege de reglare static cu S 0) .

În cazul instala iilor (sau proceselor) care func ioneaz cuplate într-un anume mod,reglare astatic nu satisface deoarece, nu permite reparti ia univoc a m rimilor perturbatoare pe diferitele instala ii (sau procese) i nici modificarea în raport cu necesit ile, a acestei reparti ii.La astfel de instala ii trebuie s se asigure distribu ia univoc , pe fiecare din ele, a unei cote p r i

din perturba ia total , , care s nu dep easc totodat valoarea maxim admisibil (de

exemplu, sarcina maxim pentru un cazan sau generator) . Evident un SRA astatic, la care m rimea reglat nu depinde de perturba ie nu va putea satisface aceste cerin e; pentru mai multeSRA astatice cuplate în paralel, având acela i consemn, toate caracteristicile de reglare se vor suprapune, dând o infinitate de intersec ii (deci nedeterminare, fig 7.6.a) . Dac avem mai multeSRA astatice cu consemnuri diferite cuplate în paralel (fig 7.6.b) nu se poate g si nici un punct comun, deci nu se poate face o distribu ie a m rimilor perturbatoare (determinat ) între ele.

P=P k

n

=1k

Page 199: tehnologia sistemelor

STATICA SISTEMELOR DE REGLARE AUTOMAT201

Fig. 7.6

Spre deosebire de SRA astatice, cele statice permit o reparti ie univoc a perturba iilor,precum i modificarea unei anumite reparti ii date a m rimilor perturbatoare pe dou sau maimulte sisteme (respectiv instala ii, procese) care func ioneaz cuplat . În figura 7.7 s-a considerat cazul a dou SRA cu caracteristici statice pozitive (S1 > 0, S 2 >0 i S1 S2) i consemnuri diferite (y01 = u01 i y02 = u02) pentru instala ii (procese) cuplate la ie ire (y1 = y2) .

Fig. 7.7

Datorit cupl rii în paralel, m rimea reglat y are aceea i valoare y1 = y2 = yp , pentru care distribu ia perturba iilor este :

ptotal = p = p1 + p2

acestei reparti ii îi corespund abaterile : y1 = S1P1

y2 = S2P2

Reparti ia m rimilor perturbatoare poate fi modificat fie prin schimbarea statismelor S1

i S2 , fie a valorilor de func ionare în gol sau consemnurilor) y01 i y02 . În primul caz se modificpanta (înclinarea dreptelor 1 sau 2 - tgq1 i tg q2 ; în cel de-al doilea caz se deplaseaz prin transla ie câte una din caracteristicile 1 sau 2 .

Se poate determina expresia analitic a reparti iei perturba iilor pe diferite instala ii (sau) procese care func ioneaz cuplat într-un anume mod . Vom determina aici rela ia privind distribu ia perturba iilor în cazul a n sisteme de reglare aplicate unor instala ii cuplate în paralel laie ire (fig. 7.8.) - sistemele SRA 1, SRA 2, ... , SRA n .

Page 200: tehnologia sistemelor

TEORIA SISTEMELOR I REGLAJ AUTOMAT 202

Fig. 7.8

Fie perturba ia total ; s se determine m rimea perturbatoare pp=p=p k

n=k

=1k

tot k ce revine

sistemului k . Se pot scrie ecua iile :

pS-y=y

..................

pS-y=y

..................

pS-y=y

pS-y=y

nn0n

kk0k

2202

1101

(7.19)

Perturba ia total este :

p=p+...+p+p=p k

n

=1k

n21 (7.20)

Perturba ia pk ce revine sistemului k este :

ct=y:S

y-y=p

k

0k

k (7.21)

Perturba ia total p devine :

S

1y-

S

y=

S

y-yp=p

kkk

0k

k

0k

k

k

n

=1k

= (7.22)

Se poate scrie :

S

1

p-

S

1S

y

=y

kkk

k

0k

k (7.23)

notând:

S

1

1= S si

S

1

S

y

=y

kkkk

k

0k

k

0 (7.24)

Page 201: tehnologia sistemelor

STATICA SISTEMELOR DE REGLARE AUTOMAT203

unde S = statismul echivalent al celor n SRA cuplate în paralel se ob ine :

y = y0 - Sp (7.25) Din rela ia (7.21) cu (7.25) se ob ine :

pS

S+)

S

y-

S

y(=

S

y-y=p

kk

0

k

0k

k

0k

k (7.26)

Dac se noteaz expresia dintre paranteze cu pk0 , rela ia (7.26.) devine :

pS

S+p=p

k

k0k (7.27)

Se observ c : . Rela ia stabilit exprim urm toarele : 0pk0

n

=1k

M rimea perturbatoare pk preluat de sistemul (instala ia) de rang k, se compune dintr-un termen constant pk0 , reprezentând un termen care nu depinde de perturba ie ci numai de valorile de func ionare în gol (sau consemnuri), i dintr-un termen variabil, reprezentând o cot parte din varia ia total (deoarece S/S k, este un raport adimensional) .

Se realizeaz deci o reparti ie univoc a perturba iei p pe cele n sisteme . Aceastreparti ie se poate modifica func ie de necesit i prin :

- varia ia m rimilor de func ionare în gol (y01, y02, ..., y0n ) caz în care se influen eaznumai termenul constant pk0

- varia ia gradului de statism Sk al SRA de rang k, caz în care se modific atât termenul

constant pk0 cât i cel variabil p)S

S(

k

; o sc dere a gradului de statism determin o cre tere a

ambilor termeni . Atunci când unul din SRA cuplate în paralel la ie ire este astatic (S1 = 0), iar celelalte au

caracteristici statice (S2 ... Sn 0) statismul echivalent este, de asemenea, egal cu zero (s = 0) . Dac presupunem c pentru simplificare y01 = y02 = ... = y0n =y din rela ia (7.26) vom ob ine

p1 = p

p2 = p3 = ... = pn = 0

Sistemul cu reglare astatic preia deci întreaga perturba ie ; un astfel de SRA se nume teSRA ef de orchestr .

Se impune o limitare a statismului atât superior (pentru realizarea unei erori sta ionaremici, cât i inferior datorit insensibilit ii regulatoarelor pentru varia ii foarte mici sau datoritintersect rii caracteristicilor regulatoarelor cu zone de insensibilitate în zon moart inacceptabil de mare .

Pentru statisme relative cuprinse între 0,03 i 0,06 (3% - 6%) se ob in zone moarte de regulatoare automat acceptabile ( pn 3,5 - 7%) .

Page 202: tehnologia sistemelor

TEORIA SISTEMELOR I REGLAJ AUTOMAT204

VIII. REGULATOARE AUTOMATE

8.1. Principii generale. Clasific ri

8.1.1. Locul regulatorului automat într-un sistem de reglare automat

Regulatorul automat este un bloc principal în cadrul dispozitivului de automatizare.Pentru o instala ie automat în circuit închis, elementele componente sunt prezentate în figura 8.1. Traductorul de intrare preia m rimea de conducere q, furnizând la ie ire semnalul i. Acest semnal este comparat cu un semnal de reac ie r, ob inut prin traductorul de reac ie ce m soarm rimea de ie ire din proces, y. Rezultatul compara iei este reprezentat de abaterea d ce comand regulatorul automat (RA). Acesta furnizeaz la ie ire o m rime de comand u, în conformitate cu legea sa de func ionare intrare-ie ire, i înso it de o anumit energie. Elementul de execu ie (EE) prime te de la regulatorul automat m rimea u i determin în instala ia tehnologic (IT) influen a dorit asupra m rimii de ie ire y, prin m rimea de execu ie m care reprezint m rimea de intrare în proces.

Fig 8.1.

Dac se consider transfigurarea acestei scheme bloc într-o schem în care pentru u urin a calculului, reac ia a fost f cut unitar , se ob ine un sistem automat ca cel reprezentat în figura 8.2., în care este eroare func ional (eroarea) i are expresia (considerând r=kry;

i=kiq):yi (8.1)

Asupra instala iei tehnologice supuse automatiz rii ac ioneaz m rimile perturbatoare p1,p2,…

pl, a c ror varia ie în timp este aleatoare. Sistemul automat trebuie s combat efectul perturba iilor asupra m rimii de ie ire. Clasa de sisteme automate la care m rimea de intrare este determinist i la care rejectarea perturba iilor este esen ial reprezint sistemele de reglare automat (SRA).

Fig. 8.2 Scopul regl rii const în ob inerea în mod automat a unei dependen e între m rimile y

i i, prin compararea acestor m rimi sau a unor func ii de aceste m rimi. Eroarea , ob inut

Page 203: tehnologia sistemelor

REGULATOARE AUTOMATE205

ca rezultat al compara iei, este prelucrat de regulatorul automat pentru comandacorespunz toare a surselor de energie ce alimenteaz celelalte elemente ale sistemului. Dependen a între m rimea de ie ire y i m rimea de intrare i se ob ine prin dependen ape care o realizeaz blocul de reglare între m rimea de comand u i eroarea . Regulatorul automat prelucreaz eroarea furnizând comanda u, care aplicat elementului de execu ieasigur m rimea de intrare în proces, i prin aceasta modific rile necesare în func ionareainstala iei tehnologice. Totodat semnalul de comand u are ca scop anularea efectului perturba iilor de proces p, perturba ii care pot fi de dou tipuri:

perturba ii aditive, care modific m rimile de ie ire din proces f r a modificaparametrii instala iei tehnologice; perturba ii parametrice, care modific pe lâng m rimile de ie ire din proces ianumi i parametri ai instala iei tehnologice.

8.1.2 Structura de baz a regulatorului automat

Structura tipic a regulatorului automat ce realizeaz dependen a între m rimea de comand u i m rimea de eroare , este redat în figura 8.3.

Fig 8.3.

Regulatorul înglobeaz i func ia de compara ie a m rimii de referin i cu m rimea de reac ie egal cu m rimea de ie ire din proces y, acest lucru realizându-se prin intermediulblocului de compara ie principal (ECP), care furnizeaz intern la intrarea amplificatorului A eroarea . Pentru particularizarea unei anumite dependen e func ionale u- amplificatorul este prev zut cu o reac ie negativ introdus de o re ea de corec ie RC, care stabile te astfel legea de reglare. Eroarea a sistemului automat este comparat în permenen cu reac ia furnizatde re eaua de corec ie rR, denumit reac ie secundar , rezultatul acestei compara ii fiindamplificat:

)(1 RAA rkku (8.2.) Regulatorul poate s con in i un element de prescriere a referin ei ER, care poate fi

ac ionat din exterior. Parametrii regulatorului pot fi modifica i printr-o ac iune de ajustare extern asupra re elei de corec ie prin intermediul elementului de acordare EA.

Structura regulatorului este în unele cazuri mai complex . La unele regulatoare existmai multe reac ii secundare, necesare ob inerii unei legi de reglare mai complicate, elementesuplimentare de ajustare, elemente de calcul automat ai unor parametri, protec ii logice, .a..

Page 204: tehnologia sistemelor

TEORIA SISTEMELOR I REGLAJ AUTOMAT206

8.1.3. Clasificarea regulatoarelor automate

Cele mai importante criterii de clasificare a regulatoarelor sunt: a) Dup sursa de energie exterioar solicitat de func ionarea regulatorului, acestea se clasific în :

Regulatoarea directe - aceste regulatoare nu au nevoie de o surs exterioar , ele utilizând pentru prelucrarea m rimii de eroare i pentru transmiterea semnalului de comand , energia preluat din proces prin intermediul traductorului de reac ie.Regulatoare indirecte – care folosesc o surs de energie exterioar ; regulatoarele indirecte realizeaz performan e superioare regulatoarelor directe.

b) Dup viteza de r spuns a procesului condus regulatoarele se clasific în : Regulatoare pentru procese rapide – folosite pentru reglarea m rimilor din procesele tehnologice care au constante de timp mai mici decât ordinul secundelor; Regulatoare pentru procese lente – utilizate pentru conducerea proceselor cu constante de timp mai mari de 10 secunde.

c) Dup structura constructiv a regulatoarelor acestea se clasific în: Regulatoare unificate (regulatoare de semnal unificat) – la care atât m rimea de intrare (eroarea ) cât i m rimea de ie ire (m rimea de comand u) au aceea inatur fizic i aceea i gam de varia ie. Semnalele cu care lucreaz aceste regulatoare se numesc semnale unificate, ele putând fi pneumatice în gama 0,2-1Kgf/cm 2 sau electrice în gamele: 2-10mA c.c., 4-20mA c.c., 0-10V c.c., -10-0-10V c.c., -5-0-5mA c.c.. Regulatoarele unificate au avantajul tipiz rii ceea ce determin un pre sc zut, al inter anjabilit ii, care ofer facilit i de între inere a instala iilor i permit reglarea unor m rimi fizice de natur diferit .Regulatoarea specializate – care sunt destinate în exclusivitate regl rii unei anumite m rimi din instala ia tehnologic , aceste regulatoare având o construc iespecial .

d) Dup tipul ac iunii realizate regulatoarele se clasific în: Regulatoare cu ac iune continu , la care m rimea de eroare i m rimea de comand variaz continuu în timp; în func ie de legea de dependen între intrare i ie ire (u=f( )), regulatoarele pot fi liniare sau neliniare. Regulatoarele continui

liniare pot fi la rândul lor cu ac iune propor ional (P) propor ional-integrativ(PI), propor ional-integrativ-derivativ (PID), etc., iar cele neliniare pot fi bipozi ionale sau tripozi ionale.Regulatoare cu ac iune discret - sunt acele regulatoare automate la care m rimea de ie ire u este format dintr-o succesiune de impulsuri, m rimea de intrare (eroarea) putând fi continu . Impulsurile de la ie irea blocului de reglare discretpot fi modulate în amplitudine sau durat , sau codificate (în acest caz regulatorul discret fiind numeric).

e) Dup agentul purt tor al energiei, regulatoarele se clasific în: Regulatoare electronice – la care m rimile de intrare (e) i de ie ire (u) sunt de natur electric .Regulatoare pneumatice – la care m rimea de intrare i de ie ire sunt pneumatice (presiune de aer). Regulatoarea hidraulice la care m rimea de intrare este o deplasare iar m rimea de ie ire este o presiune de lichid.

Page 205: tehnologia sistemelor

REGULATOARE AUTOMATE207

8.2. Caracterizarea func ional a regulatoarelor automate

8.2.1. Regulatoare liniare

8.2.1.1. Regulatorul propor ional

Func ionarea acestui regulator este caracterizat în caz ideal intrare-ie ire printr-o ecua ie de forma:

)()( tktu R (8.3) unde kR reprezint factorul de amplificare al regulatorului i este parametrul de acord al acestuia. Acest parametru poate fi modificat în limite largi în func ie de aplica ie i în func iede performan ele impuse sistemului de reglare automat .

Uneori, în locul factorului de amplificare kR este folose te un parametru de acord legat de acesta numit band de propor ionalitate (BP). Când domeniul de varia ie al erorii ( ) este egal cu domeniul de varia ie al m rimii de comand (u), banda de propor ionalitate este definit prin rela ia:

[%]1001

RkBP (8.4)

Dac domeniile de varia ie a m rimilor de intrare i de ie ire difer , atunci banda de propor ionalitate este definit prin rela ia:

[%]100

udomeniul

domeniul

kBP

R

(8.5)

Banda de propor ionalitate reprezint procentul din domeniul de varia ie al erorii, pentru care regulatorul de tip P produce o comand egal cu 100% din dom eniul de varia ie al m rimii de comand . Regulatoarele sunt prev zute prin construc ie cu posibilitatea ajust riibenzii de propor ionalitate într-o gam foarte larg (0,1 – 4000% pentru regulatoarele din seria SEROM de exemplu).

Fig. 8.4

R spunsul indicial ideal este prezentat în figura 8.4. În caz real, în func ionareaoric rui regulator propor ional intervine o întârziere de ordin I sau II). Func ia de transfer a unui regulator de tip P ideal fiind egal cu factorul de amplificare kR, iar a unui regulator de tip P real care prezint o întârziere de ordin 1 fiind:

1)(

1sT

ksH R

R (8.6)

Page 206: tehnologia sistemelor

TEORIA SISTEMELOR I REGLAJ AUTOMAT208

R spunsul indicial al unui regulator de tip P cu întârziere de ordin 1 este prezentat în figura 8.4 cu linie întrerupt .

Introdus într-o bucl de reglare, regulatorul de tip P poate conduce la func ionarestabil îns cu o eroare sta ionar a c rei valoare variaz invers propor ional cu factorul de amplificare al regulatorului pentru un sistem a c rui func ie de transfer nu con ine poli în origine, la o varia ie treapt a m rimii de intrare.

Pentru o structur de sistem ca cea din figura 8.5 unde partea fix este caracterizatprintr-o func ie de transfer de forma (8.7) utilizarea unui regulator de tip P asigur bune performan e tranzitorii, îns eroarea de regim sta ionar este func ie de func ie de valoarea factorului de amplificare kR.

1)(

sT

ksH

f

f

f (8.7)

Fig. 8.5.

Func ia de transfer a c ii directe va fi în acest caz:

11)(

sT

kk

sT

kksH

f

fR

f

f

Rd (8.8)

iar func ia de transfer a sistemului închis va fi:

11

1

1

11)(1

)()(

0

00

sT

k

skk

Tkk

kk

kksT

kk

sH

sHsH

Rf

fRf

Rf

Rff

Rf

d

d (8.9)

Analiza func iei de transfer dat de rela ia (8.9) eviden iaz faptul c factorul de amplificare al întregului sistem K0 este mai redus (k0<k=k R*k f), iar constanta de timp T0 este de asemeneamai mic decât în cazul în care procesul nu este reglat cu ajutorul unui regulator de tip P (T0<T f). Eroarea de regim sta ionar pentru o intrare treapt unitar este dat de rela ia:

Rfp

stkkk 1

1

1

1 (8.10)

Coeficientul de eroare de pozi ie fiind în acest caz:

Rf

Rf

sp kk

Ts

kkk

1lim

0 (8.11)

Rela ia (8.10) eviden iaz faptul c precizia regl rii este func ie de valoarea factorului de amplificare a regulatorului kR; cre terea acestuia determin conform rela iei (8.10) o reducere a erorii sta ionare i conform rela iei (8.9) o reducere a constantei de timp a sistemului T0, deci a o cre tere a vitezei de r spuns.

În general pentru procese care nu con in elemente integratoare (func ia de transfer nu are poli în origine) prezen a regulatorului de tip P atrage dup sine func ionarea sistemului cu eroare sta ionar nenul la o varia ie treapt a m rimii de intrare i nu se recomand utilizarea unui regulator de tip P singur, decât în cazurile în care precizia se încadreaz în limiteleadmise.

Page 207: tehnologia sistemelor

REGULATOARE AUTOMATE209

Prezen a regulatorului P determin o reducere a efectului perturba iilor, reducerea fiind cu atât mai mare cu cât factorul de amplificare al regulatorului este mai mare.

În concluzie : Un regulator de tip P poate fi ales atunci când sistemul con ine un elementintegrator; în acest caz se asigur o eroare sta ionar nul i prin urmare o buncomportare în regim sta ionar;Pentru procese cu mai multe constante de timp f r elemente integratoare, alegerea unui regulator de tip P poate atrage instabilitatea sistemului, impunându-se de aceea alegerea unor valori mici ale factorului de amplificare, îns sc dereaacestuia provoac erori sta ionare de valori mari. Valoarea factorului de amplificare se va alege func ie de tipul procesului astfel încât s fie satisf cutecerin ele de performan impuse.

8.2.1.2. Regulator integral (de tip I)

Func ionarea ideal a regulatoarelor de tip integral este caracterizat intrare-ie ire de o rela ie de forma:

t

i

dT

tu0

)(1

)( (8.12)

M rimea de comand u(t) depinde de integrala erorii i de constanta de timp de integrare Ti. R spunsul la o intrare treapt unitar al unui regulator de tip I ideal, este prezentat în figura 8.6. i reprezint o dreapt cu panta tg =1/Ti.

Ti este constanta ac iunii integrale i reprezint parametrul de acord.

Fig. 8.6

Pornind de la ecua ia (8.12) se ob ine func ia de transfer a regulatoarelor de tip I de forma:

sTsH

i

1)( (8.13)

Prezen a polului în origine în func ia de transfer asigur o bun comportare a sistemului în regim sta ionar la o intrare treapt unitar , eroarea sta ionar fiind în acest caz nul .

Acest tip de regulator este rar utilizat sub aceast form în sistemele de reglare, i se folose te în general în combina ie cu regulatorul P.

Page 208: tehnologia sistemelor

TEORIA SISTEMELOR I REGLAJ AUTOMAT210

8.2.1.3. Regulatorul propor ional-integrativ (PI)

Acest tip de regulator reprezint o combina ie între un regulator propor ional i un regulator integral. Legea de reglare a acestui regulator con ine un termen care descrie ac iuneapropor ional i un termen care descrie ac iunea integrativ , fiind de forma:

t

i

R dT

tktu0

)(1

)()( (8.14)

O alt form în care se poate exprima ecua ia de func ionare a regulatorului PI, echivalentrela iei (8.14) este:

t

I

R dT

tktu0

)(1

)()( (8.15)

R spunsul indicial al regulatorului PI ideal este prezentat în figura 8.7.

Fig. 8.7

Diferen a exprim rilor legii de func ionare a regulatorului de tip PI în rela ii; (8.14) i(8.15) const în faptul c în primul caz coeficien ii celor dou componente P i I se modificindependent prin coeficien ii kR i Ti (care reprezint coeficien ii de acord), pe când în cel de-al doilea caz, modificarea coeficientului kR determin i modificarea coeficientului componentei I deoarece:

RiI kTT (8.16)

Forma (8.15) reprezint tipul legii de reglare de majoritatea regulatoarelor PI industriale. Pentru schimb ri rapide ale intr rii i frecven e mari ale perturba iilor nu se recomand regulatorul de tip PI.

8.2.1.4 Regulatorul propor ional-derivativ (PD)

Un astfel de regulator introduce o component propor ional , similar cu aceea a regulatorului PI i o component derivativ D, ultima component introducând o propor ionalitate între m rimea de ie ire u i derivata în timp a m rimii de intrare . Legea de reglare propor ional derivativ se exprim prin rela ia:

Page 209: tehnologia sistemelor

REGULATOARE AUTOMATE211

dt

dTtktu dR )()( (8.17)

sau prin rela ia:

dt

dTtktu DR )()( (8.18)

Coeficientul TD=Td/k R se nume te constant de timp de derivare a regulatorului. Cele maimulte regulatoare industriale PD realizeaz legi de reglare de forma rela iei (8.18). Unele regulatoare de tip PD sunt construite astfel încât modificarea factorului de amplificare kR,determin modificarea constantei TD astfel încât produsul TDkR s r mân constant.

Parametrii de acord ai regulatorului sunt factorul de amplificare kR i constanta de timp de derivativ TD. R spunsul în timp u(t) la o intrare treapt unitar al unui regulator de tip PD este prezentat în figura 8.8.

Fig. 8.8 Se observ c componenta derivativ introduce un salt infinit al m rimii de ie ire în momentul apari iei frontului pozitiv al treptei (t). Prin componenta derivativ , comandacre te propor ional cu viteza abaterii, deci mai rapid decât abaterea, ob inându-se un efect de anticipare.

Eroarea de regim sta ionar st, este diferit de zero ca i în cazul regulatorului de tip P, având aceia i valoare, îns durata procesului tranzitoriu scade, adic viteza de r spuns este mai mare.

Nu se recomand utilizarea unor astfel de regulatoare în cazul sistemelor cu timp mort,deoarece în acest caz principalului avantaj al acestor regulatoare este anulat.

8.2.1.5 Regulatorul propor ional-integro -derivativ (PID)

Algoritmul de reglare al regulatorului de tip PID ideal este descris prin rela ia:

dt

tdTd

Ttktu d

t

i

R

)()()(

1)()(

0

(8.19)

Modelul matematic în domeniul complex fiind exprimat de func ia de transfer de forma:

)()(

11

)(

)()( sT

sTk

s

sUsH d

i

RR (8.20)

Page 210: tehnologia sistemelor

TEORIA SISTEMELOR I REGLAJ AUTOMAT212

Dac în func ia de transfer a regulatorului se include i întârzierea proprie a regulatorului (care în mod real apare la oricare din tipurile de regulatoare prezentate) 1,expresia func iei de transfer care caracterizeaz func ionarea regulatorului este:

)1(

)1()(

1

2

ssT

sTTsTksH

i

diiR (8.21)

R spunsul indicial al unui regulator de tip PID ideal este prezentat în figura 8.8.a, iar r spunsul indicial al unui regulator real (cu întârziere proprie) este prezentat în figura 8.9.b.

Fig. 8.9

Dup cum rezult din rela ia (8.19) algoritmul PID se ob ine ca o combina ie liniar a celor trei moduri de ac iune, de tip P, de tip I i de tip D. Astfel, se reg sesc în acest tip de algoritmavantajele i în parte dezavantajele fiec rei componente.

În cazul unor structuri de regulatoare PID la care exist interdependen între parametrii de acord, func ia de transfer a regulatoarului cap t alt aspect decât rela ia (8.20). Astfel, pentru un algoritm PID o inut din legarea în serie a unor structuri PI i PD func ia de transfer are expresia:

i

dd

i

Rd

i

RRT

TsT

sTksT

sTksH

111

11)( (8.22)

Factorul de influen , care descrie contribu ia interac iunii componentelor I i D la func ia de transfer este în acest caz q=1. În general algoritmul PID cu întârziere 1 i cu factorul de interinfluen q este descris de func ia de transfer:

1

11

)(1s

T

TqsT

sTk

sHi

dd

i

R

R (8.23)

Pentru un regulator PID cu factorul de interinfluen q cu func ionare ideal ( 1=0), func ia de transfer se poate pune sub forma:

i

d

d

i

di

i

dRR

T

Tq

sT

sT

TqT

T

TqksH

11

111)( (8.24)

sau, introducându-se noi parametrii de acord:

Page 211: tehnologia sistemelor

REGULATOARE AUTOMATE213

sTsT

ksH d

i

RR

11)( (8.25)

În rela ia (8.25) s-au folosit nota iile:

idi

d

dd

di

i

dii

i

dRR

Tq

TT

Tq

TT

qTTT

TqTT

T

Tqkk

111

1

1

1

(8.26)

Din rela iile (8.26) se poate observa influen a pe care o are modificarea parametrilorde acord a elementelor din compunerea regulatorului asupra parametrilor de acord ai regulatorului. inând cont de efectul interinfluen ei asupra procesului de acordare a regulatorului, firmele produc toare de echipamente de automatizare au adoptat diverse solu iiconstructive pentru reducerea sau chiar eliminarea interinfluen ei între parametrii de acord.

Algoritmul PID se recomand în general pentru procesele cu dou constante de timppredominante, alegându-se astfel parametrii de acord ai regulatorului încât acestea s fiereduse (compensate). Astfel, pentru un proces cu func ia de transfer:

)1)(1()(

21 sTsT

ksH

f

f (8.27)

se recomand un regulator PID având func ia de transfer:

)1(

)1)(1()(

1

21

ss

ssksH R

R (8.28)

În acest caz dac se aleg parametrii de acord ai regulatorului astfel: 1=T1 i 2=T2, func ia de transfer a sistemului deschis va fi:

)1()1(

)1)(1()1(

)1)(1()()()(

12

211

21

ss

k

ss

kk

sTsT

k

ss

ssksHsHsH

fR

fRfRd

(8.29)

unde s-a notat: k=kRkf/ iar func ia de transfer a sistemului închis devine:

kss

ksH

)1()(

10 (8.30)

Sistemul cu reglare PID va avea performan e superioare: o eroare sta ionare nul(deoarece func ia de transfer a c ii directe (8.29) are un pol în origine), o vitez de r spunsmare (constantele de timp ale sistemului sunt aproximativ egale cu întârzierea proprie a regulatorului 1), iar prin alegerea corespunz toarea a factorului k se pot ob ine factori de amortizare corespunz tori. Ad ugarea componentei D la un regulator PI impune o aten iem rit la acordare, pentru a ob ine performan e îmbun t ite.

În cazul proceselor cu timp mort, introducerea componentei D nu aduce o îmbun t iresensibil a performan elor i de aceea nu este recomandat .

Page 212: tehnologia sistemelor

TEORIA SISTEMELOR I REGLAJ AUTOMAT214

8.2.2. Caracterizarea func ional a regulatoarelor continui neliniare

În cazul regulatoarelor continui neliniare, dependen a dintre m rimea de comand u(t) i eroarea (t) în regim sta ionar este neliniar , acesta fiind motivul pentru care, caracterizarea

func ion rii acestora se face pe baza caracteristicilor statice.

8.2.2.1. Regulatorul bipozi ional

Regulatoarele bipozi ionale sunt frecvent utilizate în sistemele de reglare unde nu se cer performan e ridicate în ceea ce prive te precizia de reglare a m rimii de ie ire din sistemy, acceptându-se varia ii ale acesteia între dou limite aprioric fixate. Regulatoarele bipozi ionale se utilizeaz în reglarea proceselor care au o constant de timp dominant Tp iun timp mort Tm mic, de obicei Tm/Tp<0,2.

Dependen a intrare-ie ire în regim static a unui regulator bipozi ional este prezentatîn figura 8.10.

Fig 8.10În figura 8.10.a este prezentat caracteristica ideal a regulatorului, ca o caracteristic

de tip releu exprimat prin rela ia:

0

0)(

pentruU

pentruUtu

m

m (8.31)

Pentru =0, ie irea de comand u a regulatorului poate lua orice valoare între Um.Regulatoarele bipozi ionale se pot realiza i în varianta în care saltul m rimii de ie ire u s se manifeste între valori nesimetrice în raport cu nivelul de zero. Se presupune de asemenea cregulatorul are o constant de timp proprie neglijabil .

În mod obi nuit regulatoarele bipozi ionale au o caracteristic real de tip releu cu histerezis, prezentat în figura 8.10.b i eviden iat prin rela ia de dependen :

pm

pppm

pppm

pm

pentruU

printrecutadacapentruU

printrecutadacapentruU

pentruU

tu )( (8.32)

Regulatorul bipozi ional mai este numit i regulator de tip tot sau nimic, deoarece m rimea de ie ire poate primi numai dou valori. Imposibilitatea ob inerii unor m rimi intermediare pentru m rimea de comand u, reprezint unul din dezavantajele acestui tip de regulatoare.

Page 213: tehnologia sistemelor

REGULATOARE AUTOMATE215

8.2.2.2. Regulatorul tripozi ional

Regulatoarele tripozi ionale ofer posibilitatea stabilirii unei valori suplimentarepentru m rimea de comand între -Um i +Um .Caracteristica static a unui regulator tripozi ional ideal este prezentat în figura 8.11.a.

Fig. 8.11

Dependen a intrare-ie ire a regulatorului tripozi ional ideal poate fi descris printr-o rela ie de forma:

pm

pp

pm

pentruU

pentru

pentruU

tu 0)( (8.33)

Caracteristica real a regulatorului (cu histerezis) apare în figura 8.11.b; ca i în cazul regulatorului bipozi ional, dependen a intrare-ie ire poate fi descris printr-o rela ie similarrela iei (8.31). Intervalul (- p,+ p) de varia ie a erorii se nume te zon moart a regulatorului, sau zon de insensibilitate.

Pentru unele realiz ri industriale de regulatoare, se realizeaz combina ia între un bloc cu caracteristic continu , ce func ioneaz în regim de semnal mic, i un bloc de tip releu, ce func ioneaz la semnale mari, asigurând regimul de putere.

8.3. Criterii de alegere i acordare a regulatoarelor

8.3.1. Obiectivele proiect rii în cazul utiliz rii regulatoarelor automate.

Obiectivele calculelor sunt diferite în proiectarea sistemelor de reglare atunci când se utilizeaz regulatoare tipizate i în cazul când se utilizeaz regulatoare specializate.

În cazul alegerii unui regulator tipizat ce urmeaz a fi inserat într-un sistem de reglare automat , calculul urm re te ca, pornind de la performan ele impuse asupra func ion riisistemului global cât i de la caracteristicile instala iei tehnologice, s se ob in func ia de transfer a regulatorului tipizat (P, PI, PD, PID, bipozi ional, tripozi ional, etc.) precum ivaloarea parametrilor de acord ai acestuia.

Page 214: tehnologia sistemelor

TEORIA SISTEMELOR I REGLAJ AUTOMAT216

Pentru proiectarea regulatoarelor specializate este necesar ca, în plus, s se urm reasci proiectarea constructiv (dimensionarea i alegerea valorilor specifice blocurilor

componente, dimensionarea subansamblurilor pentru protec ia i conectarea regulatorului, etc.).

În ambele situa ii, proiectarea regulatorului automat se face pe baza datelor ini ialefurnizate de caracteristicile tehnice ale elementului de execu ie, a traductorului i a instala ieitehnologice ce alc tuiesc partea fix a sistemului, cât i pe baza performan elor de regimsta ionar i tranzitoriu ce urmeaz a fi realizate de sistem conform temei de proiectare.

Referitor la regimul sta ionar, se impune de obicei realizarea unei anumite erori sta ionare st, pentru un anumit tip de semnal de intrare i/sau de perturba ie. Pentru regimultranzitoriu, din datele ini iale de proiectare i din caracteristicile instala iei tehnologice se stabilesc valorile maxime pentru:

- suprareglaj la intrare i la perturba ie ( );- durata regimului tranzitoriu (tr);- gradul de amortizare pentru r spunsul la intrare sau la perturba ie;- timpul de cre tere;- timpul de întârziere.

Cum pentru proiectarea regulatoarelor se utilizeaz de multe ori metodele de analiz în frecven , trebuie f cut corelarea între indicii de performan în domeniul timpului i indicii de performan în domeniul frecven elor (pulsa ia de rezonan , valoarea de vârf, l rgimea de band , etc.)

Deoarece parametrii de acord ai regulatorului automat se pot afla în game mult mailargi de valori decât cele necesare pentru reglarea procesului respectiv, este necesar opera iade acordare a regulatorului ales. Aceasta const în ajustarea parametrilor de acord ai regulatorului la valori care s asigure realizarea optim a performan elor impuse. De i cele dou aspecte (alegerea, respectiv acordarea regulatoarelor) nu sunt completindependente, în sensul c performan ele sistemului de reglare, caracteristicile procesului iposibilit ile pe care le ofer diferitele tipuri de regulatoare formeaz un ansamblu de condi iicorelate, totu i, pentru c regulatoarele industriale au coeficien ii reglabili într-o gam care sasigure performan ele cerute, în mod uzual, în practic , se pot stabili unele indica ii care sghideze alegerea preliminar a tipului de regulator.

8.3.2. Criterii de alegere a regulatoarelor

8.3.2.1. Alegerea tipului de regulator pe baza caracteristicilor procesului reglat

Trebuie f cut precizarea c în cele ce urmeaz vom considera c , în cadrul no iunii de proces, sunt incluse i traductoarele i elementele de execu ie aferente sistemului de reglare.

a) Alegerea tipului de regulator pe baza raportului dintre timpul mort i constanta de timp a func ie de transfer (Tm/T)

Acest criteriu se bazeaz pe cunoa terea func iei de transfer a procesului, atunci când aceasta are o form specific , care pune în eviden existen a unui timp mort Tm i a unei constante de timp T i anume:

1)(

Ts

eksH

msT

(8.34)

De multe ori lipsesc datele necesare deducerii analitice a func iei de transfer a procesului; în acest caz func ia de transfer se poate ob ine pe cale experimental , pe baza aspectului i a

Page 215: tehnologia sistemelor

REGULATOARE AUTOMATE217

valorilor r spunsului procesului, aplicând procesului semnale tipice (de obicei semnaletreapt ). În acest caz se recomand respectarea unor reguli care s asigure un minim de acurate e procedeului experimental:

- semnalul treapt aplicat va avea o valoare de circa 15% din valoarea m aximadmisibil a semnalului de intrare, pentru a nu se dep i zona de liniaritate a caracteristicilor statice a elementelor proceselor pe de o parte, i pentru a putea fi sesizat cu siguran de acestea;

- se vor face mai multe determin ri în scopul elimin rii erorilor de m sur , valorile utilizate pentru determinarea func iei de transfer fiind valorile medii ob inute;

- înainte de aplicarea semnalului experimental este necesar ca procesul sfunc ioneze în regim sta ionar (toate m rimile constante), în caz contrar existând riscul consider rii unor valori determinate de varia ia dinamic anterioar aplic riisemnalului de prob ;

- dac exist deja o instala ie de reglare, aceasta trebuie deconectat pe timpulprocesului experimental;

- dac procesul nu are autoreglare (valoarea de ie ire nu tinde spre o valoare sta ionar ci tinde spre infinit) se va considera procesul experimental încheiat atunci când viteza de varia ie a semnalului de ie ire va r mâne constant .

Fig. 8.12

În cazul în care aspectul r spunsului experimental la semnal treapt al procesului este cel prezentat în figura 8.12, atunci func ia de transfer a sistemului poate fi aproximat de rela ia (8.34) adic se poate aproxima procesul cu un proces cu timp mort Tm, i o constantde timp T; constantele Tm i T se determin ca în figura 8.12 iar factorul de amplificare al procesului (k) se determin cu rela ia:

st

st

i

yk (8.35)

unde s-a notat cu yst valoarea de regim sta ionar a semnalului de ie ire, iar cu ist, valoarea de regim sta ionar a semnalului de intrare aplicat.

Pentru sistemele a c ror func ie de transfer este descris de rela ia (8.34) se poate aplica urm torul criteriu de alegere a regulatorului func ie de valoarea raportului Tm/T:

dac Tm/T= 0,2… 0,3 se recom and utilizarea unui regulator bipozi ional;dac 0,3 < T m/T < 1 se recom and un regulator care combin efectele P,I i D (PI, PD, PID) dac Tm/T > 1 se recom and regulatoare cu caracteristici speciale sau sisteme de comand compuse (eventual cu structur variabil ) combinând complex efectele P,I i D.

Page 216: tehnologia sistemelor

TEORIA SISTEMELOR I REGLAJ AUTOMAT218

b) Alegerea tipului de regulator func ie de caracteristicile generale ale procesului În func ie de constantele de timp dominante, de amplificarea i timpul mort al procesului, precum i de amplitudinea i viteza de varia ie a perturba iilor, se pot aplica urm toarele reguli de alegere a regulatoarelor:

pentru procese cu o constant de timp de o m rime mijlocie-mare, cu amplificare mic i timp mort mic, în prezen a unor perturba ii medii cu vitez de varia iemic , se recomand alegerea unui regulator de tip bipozi ional sau de tip P; pentru procese cu o constant de timp mic , cu amplificare mare, cu timp mort mic, cu perturba ii cu vitez de varia ie mic sau medie, se recomand regulatoare de tip PI; pentru procese cu mai multe constante de timp de valoare medie, cu amplificare medie sau mic , cu timp mort mic i perturba ii de amplitudine redus , se recomand regulatoare de tip P; pentru procese cu mai multe constante de timp, cu timp mort mic sau mediu, cu perturba ii de valoare mare i de vitez de varia ie mic sau medie, se recomandregulatoarele de tip PI; pentru procese cu mai multe constante de timp, cu timp mort mic, cu perturba ii de valori mari i de vitez de varia ie mare, se recomand regulatoarele de tip PID; pentru procese cu mai multe constante mici, cu amplificare mare, cu timp mort mic sau mediu, se recomand regulatoare de tip PI cu band de propor ionalitate mare i constant de timp mare.

Referitor la aplicarea acestui criteriu de alegere a regulatoarelor trebuie f cuteurm toarele preciz ri:- În cazul proceselor cu o constant de timp se consider c de i sistemul poate avea

mai multe constante de timp, una dintre ele este mai important i e consideratconstant principal (Tpr), între aceasta i celelalte constante de timp ale procesului, considerate secundare (Tsec), existând rela ia Tpr>>Tsec; se consider de asemenea c constantele secundare au acela i ordin de m rime.

- Pentru procesele cu mai multe constante de timp s-a considerat în mod similar c ,constantele de timp secundare sunt cu cel pu in un ordin de m rime mai mici decât cele principale;

Concluziile generale ce se desprind din enun area acestui criteriu de alegere a regulatoarelor sunt: 1. În procesele cu o constant de timp, prezen a componentei P în caracteristica

regulatorului este esen ial ; componenta D nu aduce nici un avantaj. Dacvaria iile de sarcin (perturba iile) sunt mici este de ajuns un regulator de tip P cu band de propor ionalitate mic , în caz contrar (perturba ii mari) fiind necesar regulator de tip PI, deoarece un regulator de tip P ar produce erori mari la perturba ii mari.

2. În procesele cu mai multe constante de timp un regulator de tip P nu este în general satisf c tor; se vor folosi regulatoare de tip PI sau de tip PID ( când constantele de timp ale procesului sunt mari).

3. În procesele cu timpi mor i mari nu se recomand utilizarea componentei D. 4. În cazul utiliz rii unei componente D, parametrul de reglaj Td determinat conform

criteriilor de acordare, trebuie ajustat experimental în instala ie.

Page 217: tehnologia sistemelor

REGULATOARE AUTOMATE219

8.3.2.2. Alegerea tipului de regulator func ie de natura fizic a parametrului reglat

Func ie de natura parametrului reglat, pe baza experien ei acumulate în realizarea reglajului cât i pe baza unor considera ii de ordin teoretic s-au stabilit recomand ri pentru alegerea tipului de regulator, astfel:

În cazul regl rilor de nivel - în cadrul acestor regl ri, valoarea raportului Tm/T este mic . Datorit faptului c regl rile de nivel au ca scop în general asigurarea unui anumit debit în aval, nu au nevoie de precizie foarte ridicat a regl rii. Dacvaloarea factorului de amplificare a procesului este mare, atunci este suficient un regulator de tip P cu band de propor ionalitate mare, eroarea sta ionar fiind relativ mic ; dac îns perturba iile sunt foarte mari (determinate de varia iadebitelor de intrare i ie ire), este necesar un regulator de tip PI. Se recomand de asemenea regulatoare PI în cazul în care este necesar o reglare cu precizie ridicat , în special în cazul când nivelul reglat este utilizat ca instrument de m surîn cazul decont rilor.În cazul regl rilor de presiune – constanta de tim p a proceselor este mic în cazul lichidelor i mare în cazul aburului i gazului (mai ales atunci când recipientele în care se face reglarea au un volum mare). De aceea se recomand utilizarea unor regulatoare de tip PI cu band de propor ionalitate mare i timp de integrare mic în cazul regl rii presiunii unor lichide, i regulatoare de tip PI cu band de propor ionalitate mic i timp de integrare mare în cazul regl rii presiunii unor gaze sau a aburului. Regulatoarele de tip PID nu se utilizeaz decât în cazuri excep ionale.În cazul regl rilor de debite i amestecuri – constanta de tim p a proceselor este mic , iar amplificarea mare i ca urmare se recomand regulatoare de tip PI. În cazul regl rilor de temperatur - procesele prezint un raport Tm/T m are i ca urmare un regulator de tip P ar lucra cu erori mari i de aceea se recomandregulatoare de tip PI sau PID.

8.3.2.3. Alegerea tipului de regulator pe baza caracteristicilor de frecven a procesului

Utilizând r spunsul în frecven este posibil s se stabileasc unele caracteristici generale ale efectelor regl rii de tip P, I i D în leg tur cu perturba iile care apar în sistemelede reglare.

Calitatea unei regl ri se poate aprecia prin valoarea raportului dintre eroarea la perturba ie în cazul sistemului cu reglare automat i aceea i eroare în cazul sistemului f rreglare automat (q) care se poate exprim a astfel:

)()(1

1

jHjHreglarefaraabatere

reglarecuabatereq

Rp

(8.36)

unde s-a notat cu Hp(j ) func ia de transfer în frecven a procesului (inclusiv trductorul ielementul de execu ie) i cu HR(j ) func ie de transfer în frecven a regulatorului.

Forma general a curbei q( ) are forma din figura 8.14. Pe aceast curb se pun în eviden trei zone:

a) Zona corespunz toare por iunii OA, unde q<1; în aceast zon efectul regulatorului este important. Este necesar ca aceast zon s fie cât mai mare,efectul perturba iilor fiind rejectat puternic pentru frecven ele joase.

Page 218: tehnologia sistemelor

TEORIA SISTEMELOR I REGLAJ AUTOMAT220

b) Zona corespunz toare por iunii AB, unde q>1; abaterile datorate perturba iilor sunt mai mari în cazul sistemului cu reglare decât în cazul sistemului deschis (f rreglare)

c) Zona corespunz toare por iunii >B, unde efectul sistem ului de reglare este neglijabil.

Fig. 8.14 Fig. 8.15

Din analiza rezultatelor regl rii a numeroase sisteme de reglare (deci din considerente practice), s-a constat c amplitudinea perturba iilor este mai important la frecven e apropiate de r dup care acestea scad cu o pant de aproximativ 6dB/octav . Analizând influen a asupra unui sistem f r regulator (curba 1 din figura 8.15) a diferitelor caracteristici de reglare s-au constatat urm toarele:a) O caracteristic de tip P determin o cre tere a frecven ei de rezonan ( r) i deci a

por iunii pentru care q<1 precum i o cre tere a valorii raportului q la pulsa ia de rezonan cu atât mai mare cu cât kR (factorul de amplificare al regulatorului) este maimare (curba 2 din figura 8.15).

b) Introducerea sau cre terea efectului de tip I (prin sc derea constantei de integrare TI)determin mic orarea valorii pulsa iei de rezonan , deci mic orarea zonei pentru care q<1 i cre terea valorii maxime a raportului q (curba 3 din figura 8.15)

c) Introducerea sau cre terea efectului de tip D (cre terea valorii constantei de derivare Td)determin cre terea valorii pulsa iei de rezonan i a valorii maxime a raportului q (curba 4 din figura 8.15)

Utilizând diagramele Bode A( ) i se pot ob ine informa ii despre tipul regulatorului necesar i, în plus, chiar o alegere primar (grosolan ), a valorii de acord a unor parametri.

Fig. 8.16

Page 219: tehnologia sistemelor

REGULATOARE AUTOMATE221

Astfel, trasând experimental caracteristica A( ) a sistemului f r regulator (figura 8.16) i caracteristica se poate ob ine valoarea coeficientului kR pentru care sistemul se va afla la limita critic de stabilitate. Se ob ine mai întâi pulsa ia 0 corespunz toaredefazajului –180 0; la aceast pulsa ie, pe caracteristica A( ) se ob ine amplitudineacorespunz toare defazajului –180 0 (amplitudinea a pe curba din figur ).

Dac introducem un regulator de tip P cu factorul de amplificare kR, pentru ca sistemuls se afle la limita critic de stabilitate este necesar ca factorul s u de amplificare s fie reglat astfel încât s fie îndeplinit condi ia kR=a, ceea ce corespunde unei amplitudiniA( )=20lg|H(j )|=0; rezult valoarea critic a factorului de amplificare a regulatorului P kR0=10

a/20 pentru care sistemul se va afla la limita critic de stabilitate, deci pentru un regulator cu banda de propor ionalitate reglat la valoarea:

[%]1001

00

RkBP (8.37)

Pornind de la considerentele prezentate, precum i pe baza experien ei dobândite din studierea sistemelor de reglare existente, s-au elaborat anumite reguli privitoare la regulatorul ce trebuie ales pentru ob inerea unor performan e optime, i anume:1) În cazul utiliz rii unui regulator de tip P, valoarea erorii sta ionare este egal cu

aproximativ BP0 /2 % (în procente fa de valoarea prescris ) atunci când sistemul este stabil i sarcina variaz (în prezen a perturba iilor). Aceast valoare a erorii sta ionare este estimat în condi ia în care caracteristica logaritmic A( ) are o înclinare foarte redus în domeniul frecven elor joase. Dac aceast eroare este acceptabil din punctul de vedere al performan elor impuse asupra sistemului, atunci, cel pu in în cazul instala iilor cu modific ri rare a valorii prescrise i cu perturba ii (varia ii de sarcin ) de valori mici, un regulator de tip P este satisf c tor.

În func ie de valoarea amplitudinii exprimat în dB corespunz toare defazajului –180 0

s-au stabilit urm toarele reguli în ceea ce prive te utilizarea regulatoarelor de tip P i a parametrului de acord a acestuia (banda de propor ionalitate – BP):

A +8 este necesar ca BP>500% - aceasta este o situa ie neuzualA +8 … -6 este necesar ca BP>100% - rezult o eroare sta ionar mareA( -8 … -40 este necesar ca 2%<BP<100% - rezult o eroare sta ionar mic care satisface în general condi iile de performanA < -40 este necesar ca BP<2% - în acest caz este suficient un regulator

bipozi ional2) Dac valoarea erorii sta ionare (egal cu BP0 /2) este mai mare decât precizia impus

atunci este necesar s fie studiat ad ugarea componentei I i D. Dac frecven a corespunz toare defazajului –180 0 este mare, adic perioada

corespunz toare T0 este relativ mic iar curba A( ) are o pant relativ abrupt în zona frecven elor joase, atunci este posibil ca, de i banda de propor ionalitate este mare, s nu fie necesar introducerea unei componente integrative, procesul având el însu i un caracter integrator care va duce la anularea erorii în regim sta ionar.

Dac îns curba A( ) este aproape orizontal în zona frecven elor joase iar BP=2BP0>100% atunci introducerea componentei I este obligatorie, parametrul de acord TI fiind în acest caz aproximativ 0,8*T 0, (unde T0 este perioada corespunz toare pulsa iei

0).3) Necesitatea introducerii componentei D este mai dificil de stabilit. Pentru procesele cu

timp mort neglijabil s-au stabilit urm toarele reguli de utilizare a efectului derivativ,

Page 220: tehnologia sistemelor

TEORIA SISTEMELOR I REGLAJ AUTOMAT222

func ie de diferen a între valoarea amplitudinii la frecven a corespunz toare defazajului =-1800 i valoarea amplitudinii la frecven a joase, când curba A( ) devine aproape

paralel cu axa :Dac diferen a este mai mic de 5dB efectul derivativ (de tip D) are o eficien redus ;Dac diferen a este cuprins între 5 i 20dB efectul derivativ este eficient irecomandabil Dac diferen a este mai mare de 20dB efectul D este eficient, dar nu neap rat necesar.

Pentru procesele cu un timp mort important, necesitatea introducerii efectului derivativ este dedus din studierea curbei . Din aceast curb se determin frecven a f1

corespunz toare defazajului –180 0 i frecven a f2 corespunz toare defazajului –270 0. În func ie de raportul f2/f 1 s-au stabilit urm toarele reguli practice:

Dac f2/f1 <2 atunci efectul D are o eficien redus ;Dac f2/f1= 2… 5 atunci efectul D poate fi folositor Dac f2/f1>5 atunci efectul D va fi în mod sigur folositor

Dac se utilizeaz i un regulator care s aib i un efect de tip D, atunci valoarea parametrului de acord Td este cuprins între (1/3)T0 i (1/2)T0 pentru regulatoarele de tip PID, valorile mari aplicându-se în special regulatoarelor destinate pentru a reduce dep irea valorii prescrise la punerea în func iune a procesului.

În cazul utiliz rii regulatoarelor de tip PID atunci va fi redus i timpul de integrare la (1/3)T0

… (1/2)T0. Având aceste valori estimative se poate vedea dac regulatorul industrial ce va fi folosit are posibilitatea regl rii coeficien ilor BP, TI i Td astfel încât s acopere valorile estimate. Rezumând, datele utilizate pentru acest criteriu sunt:

- amplitudinea în decibeli corespunz toare defazajului =-1800

- valoarea BP0 stabilit utilizând diagrama A( )- panta în dB/octav la frecven e joase - raportul f2/f 1 dintre frecven a f2 la defazaj – 270 0 i frecven a f1 la defazaj – 180 0

Pe baza acestor date se va proceda astfel: I. Se va alege un regulator de tip P dac :

1. - la frecven e joase curba A( ) tinde spre orizontal ;- valoarea BP0/2 reprezint o eroare sta ionar acceptabil ;

2. - la frecven e joase curba A( ) are o pant negativ mai mare în valoare absolut de 6dB/octav (adic procesul are un element integrator).

II. Se va alege un regulator de tip PI dac :1. - nu se poate accepta o eroare sta ionar de valoare BP0/2;

- la frecven e joase curba A( ) este orizontal sau are o pant negativ mai mic în modul de 6dB/octav

2. - raportul f2/f1<2 (efectul D este pu in folositor) III. Se va alege un regulator de tip PID dac

- (f2/f 1)>2În încheierea acestui criteriu trebuie ar tat c , deoarece pentru determinarea valorilor BP, Ti iTd s-au utilizat numeroase aproxim ri, aceast determinare trebuie considerat ca un ghid preliminar, o determinare exact realizându-se pe baza criteriilor de acordare a regulatoarelor.

Page 221: tehnologia sistemelor

REGULATOARE AUTOMATE223

8.3.3. Criterii de acordare a regulatoarelor

Acordarea parametrilor reprezint opera ia prin care se stabilesc pentru parametrii de acord ai regulatoarelor din componen a sistemelor de reglare automat , valori care s asigure realizarea simultan a tuturor indicilor de performan impu i asupra func ion rii acestora.

8.3.3.1. Criteriul modulului. Varianta Kessler a criteriului modulului

Criteriul modului permite realizarea unui regim optim din punct de vedere al comport riisistemului în prezen a perturba iilor. El se bazeaz pe compararea regimului realizat în condi ii ideale cu un regim care are loc în condi ii de func ionare reale. Pentru un sistem ideal, este necesar ca semnalul de ie ire s fie în permanen egal cu semnalul de la intrarea sistemului (semnalul de referin ), iar efectul perturba iilor s fie complet eliminat, ceea ce se traduce prin realizarea condi iilor (8.38) pentru toat gama pulsa iilor.

0)(

1)(

0

0

jH

jH

p

(8.38)

inând cont de reprezentarea func iei H0(j ) realizarea condi iilor (8.38) impuneîndeplinirea condi iilor (8.39) pentru întreaga gam a pulsa iilor.

0)()(

1)()(

0

0

pp MjH

MjH (8.39)

Pentru a studia cazurile reale se consider dezvoltarea în serie în jurul punctului =0pentru func iile M( ) i Mp( ). Intereseaz în mod deosebit comportarea în domeniulfrecven elor joase, deoarece în domeniul frecven elor înalte se asigur o anumit comportare a sistemului în raport cu perturba iile prin îns i l rgimea de band impus ca indice de performan . Dezvoltarea în serie în jurul originii a celor dou func ii conduce la:

....)()(

)0()(

....)()(

)0()(

2

0

2

2

0

2

02

2

0

d

Md

d

dMMM

d

Md

d

dMMM

pp

pp

(8.40)

Satisfacerea condi iilor de func ionare ideale reprezentate de rela iile (8.40) implicsatisfacerea simultan a rela iilor urm toare:

,...2,10)()(

;0)0(;1)0( kpentrud

Md

d

MdMM

k

p

k

k

k

p (8.41)

Trecerea de la condi iile de func ionare ideale la condi iile reale este dat de satisfacerea simultan a rela iilor:

,...2,1min;)(

min;)(

;0)0(;1)0( kpentrud

Md

d

MdMM

k

p

k

k

k

p (8.42)

Aceste minime sunt în concordan cu asigurarea simultan a performan elor impuseasupra r spunsului y al sistemului la o m rime de intrare i. Varianta Kessler a criteriului este operant pentru procese rapide, în care caracteristicile instala iei tehnologice sunt cunoscute în am nunt, inclusiv func ia de transfer i constantele de timp parazite. Se consider c în

Page 222: tehnologia sistemelor

TEORIA SISTEMELOR I REGLAJ AUTOMAT224

partea fix a sistemului sunt incluse elementul de execu ie i traductorul, func ia de transfer a p r ii fixe, notat Hf(s), putând avea poli în origine sau nu; vom considera cele ambele cazuri. a) Func ia de transfer a p r ii fixe nu con ine poli în origine, adic are forma (8.43).

n l

k

f

f

isTsT

ksH

1 1

)1()1()( (8.43)

În rela ia (8.43) s-a notat cu Tk constantele de timp principale ale procesului, iar cu T I

constantele de timp parazite, între cele dou categorii de constante de timp existând rela iaT I<<min[Tk] (de obicei Tk sunt de 5-10 ori mai mari decât cea mai mare valoare T I). Dacfacem nota ia:

l

iTT

1

(8.44)

se poate face aproxima ia:l l

sTTssTii

1 1

11)1( (8.45)

Înlocuind (8.45) în (8.43) rezult urm toarea expresie pentru func ia de transfer a p r ii fixe:

n

k

f

f

sTsT

ksH

1

)1()1()( (8.46)

Pentru func ii de transfer a p r ii fixe de forma (8.46) se varianta Kessler a criteriului modulului recomand alegerea unui regulator a c rei func ie de transfer are forma:

sA

sC

sH

m

k

RA1

)1()( (8.47)

Rela iile de acordare optim pleac de la valorile cunoscute pentru kk, TS, i T I i au forma:

nm

TkA

TC

f

kk

2 (8.48)

Pentru aprecierea performan elor unui sistem acordat prin varianta Kessler a criteriului modulului se înlocuiesc valorile (8.48) în rela ia (8.47) i se calculeaz func ia de transfer a sistemului deschis, care va avea forma:

)1(2)()()(

sTsT

ksHsHsH

f

fRA (8.49)

Din rela ia (8.49) se poate observa c factorul de amplificare a p r ii fixe kf i constantele de timp principale Tk nu mai apar în func ia de transfer a sistemului deschis i deci nu vor maiinfluen a performan ele sistemului de reglare automat , func ionarea acestuia fiind influen atnumai de constantele de timp parazite T . Datorit prezen ei polului în origine în func ia de transfer a c ii directe (func ia de transfer a sistemului deschis) eroarea sta ionar a sistemuluide reglare la o intrare treapt va fi nul . Func ia de transfer a sistemului închis va fi:

122

1)(

220sTsT

sH (8.50)

Page 223: tehnologia sistemelor

REGULATOARE AUTOMATE225

Identificând expresia func iei de transfer a sistemului de reglare H0(s) dat de (8.50) cu func ia de transfer a unui sistem de ordin 2, se eviden iaz valorile pulsa iei naturale n i a factorului de amortizare , care vor avea expresiile:

7,02

1;

2

1

Tn (8.51)

Aceste valori determin un suprareglaj mic <5% ( < 4,3%)deci un suprareglaj bun. Se ob ine de asemenea o valoare bun pentru durata regimului tranzitoriu care este tt 6,73T . b) Func ia de transfer a p r ii fixe con ine un pol în origine, adic are forma (8.52).

n

k

f

f

sTsTs

ksH

1

)1()1()( (8.52)

Dac func ia de transfer a p r ii fixe are forma (8.52), conform variantei Kessler a criteriului modulului se recomand un regulator a c rui func ie de transfer are forma:

A

sC

sH

m

k

RA1

)1()( (8.53)

Parametrii de acord ai regulatorului vor avea valorile date de:

nm

kA

TC

f

kk

(8.54)

Avantajele alegerii i acord rii regulatoarelor conform variantei Kessler a criteriului modulului constau în ob inerea direct a structurii regulatorului (deci a func iei de transfer a acestuia) i a parametrilor de acord, dar are ca dezavantaj faptul c atunci când în func ia de transfer a p r ii fixe exist mai mult de dou constante de timp principale, implementarearegulatorului cu func ii simple de tip P,I,D devine imposibil .

8.3.3.2. Criteriul suprafe ei minime a erorii Ziegler-Nichols

Criteriile integrale utilizeaz un indice sintetic de calitate pentru performan eletranzitorii. Criteriul suprafe ei minime a erorii reprezint un criteriu integral care const în minimizarea erorii dintre r spunsul real al unui sistem i cel ideal.

Vom presupune un sistem care are un r spuns aperiodic la intrare treapt ca în figura 8.17.a. Pentru un sistem ideal cu reac ie unitar este îndeplinit condi ia:

0)()(00

dttdtyi (8.55)

Fig. 8.17

Page 224: tehnologia sistemelor

TEORIA SISTEMELOR I REGLAJ AUTOMAT226

Comportarea sistemului real este cu atât mai aproape de comportarea sistemului ideal, cu cât aria suprafe ei cuprinse între curba m rimii de intrare i curba m rimii de ie ire y în cazul r spunsului real, este mai mic , ceea ce se exprim prin:

(8.56)minimdttI0

1 )(

Se poate considera c parametrii de acord ai regulatorului au valori optime dacasigur realizarea unui minim de tipul (8.56).

Utilizarea indicelui I1 pentru acordarea sistemelor cu r spuns oscilant nu este posibil ,deoarece suma algebric a ariei ha urate din figura 8.17.b. care reprezint pe I1 poate fi micchiar dac regimul tranzitoriu este necorespunz tor (suprareglaj i durat mare). În modasem n tor pentru sistemele cu eroare sta ionar diferit de zero, criteriul suprafe ei minime aerorii nu mai poate da nici o informa ie, deoarece I1 devine infinit (aria ha urat în figura 8.17.c). Criteriul integral utilizat în aceast situa ie este:

0

1 )( minimdtyyI st (8.57)

inând seama de aceste particularit i se va utiliza urm toarea metodologie de acordare experimental a regulatoarelor:

Se consider regulatorul de tip P (ceea ce înseamn c în cazul regulatoarelor PID se regleaz parametrii de acord TI max i Td min);Pornindu-se de la valoarea minim a factorului de amplificare a regulatorului kR se m re te amplificarea pân când sistemul va avea un r spuns oscilatoriu neamortizat; se noteaz valoarea minim a factorului de amplificare a regulatorului pentru care sistemulare o comportare oscilatorie cu kR0 i cu T0 semiperioada oscila iilor.Se recomand urm toarele valori de acord ai parametrilor regulatorului:

- pentru un regulator de tip P: kR = 0,5kR0

- pentru un regulator de tip PI: kR = 0,45kR0

Ti=0,8T0

- pentru un regulator de tip PID cu factorul de interinfluen q=0 kR = 0,75kR0

Ti=0,6T0

Td=0,1T0

- pentru un regulator de tip PID cu factorul de interinfluen q=1 kR = 0,6kR0

Ti=0,5T0

Td=0,12T0

O variant de aplicare a criteriului integral este metoda Offereins care const în: Se determin kR0 i T0 ca mai sus Cu kR fixat la valoarea optim , (kR=0,5kR0) se scade valoarea timpului de integrare pâncând se ob ine un r spuns oscilatoriu neamortizat (instabil) i se noteaz cu Ti0 valoarea maxim a parametrului de acord pentru care se ob ine comportarea instabil . În cazul utiliz rii unui regulator de tip PI se recomand pentru parametrii de acord valorile:

kR=0,5kR0

Ti=3Ti0

În ceea ce prive te utilizarea componentei D în cazul unui regulator PID se testeaz maiîntâi utilitatea utiliz rii acestei componente asupra performan elor sistemului astfel:

- Se regleaz TI la valoarea maxim , Td la valoarea minim i kR la o valoare apropiatde k0. Dac m rirea parametrului Td are ca efect îmbun t irea r spunsului i deci

Page 225: tehnologia sistemelor

REGULATOARE AUTOMATE227

îndep rtarea de zona de instabilitate, atunci efectul D va fi benefic. Pentru determinarea valorii optime a parametrului de acord Td se men ine kR la valoarea kR=k0 i se cre te Td, pân când efectul de cre tere a stabilit ii dat de componenta D nu se mai manifest ; se re ine aceast valoarea a parametrului Td ca valoarea optimde acord.

8.3.3.3. Criteriul suprafe ei patratice a erorii

Prin eliminarea influen ei semnului asupra sumei algebrice, se efectueaz medii ale erorii medii p tratice. Foarte frecvent se utilizeaz criteriul de acordare optim reprezentat de:

0

22 minimdtI (8.58)

Un criteriu p tratic care se poate utiliza este dat de:

0

2223 ( minimdtTI (8.59)

unde T este o constant de timp. Trebuie remarcat faptul c criteriul (8.59) asigur o reducere a suprareglajului întrucât acesta con ine sub integral atât eroarea cât i derivata acesteia. Trebuie specificat de asemenea c acest criteriu nu se poate aplica decât sistemelor care func ioneaz cu eroare sta ionar nul , deoarece în caz contrar integrala care define tecriteriul devine infinit .

8.3.3.4. Metode de acordare bazate pe func ia de transfer a p r ii fixe

În cazul aplic rii acestor metode se consider c partea fix con ine instala iatehnologic , elementul de execu ie i traductorul. Se consider c func ia de transfer a p r iifixe (care se poate ob ine eventual ca la pct. §8.3.2.1) de form a:

1)(

sT

eksH

f

sT

f

f

m

(8.60)

unde : kf este factorul de amplificare a func iei de transfer a p r ii fixe Tm este timpul mort Tf este constanta de timp a p r ii fixe. Considerându-se cunoscut func ia de transfer a p r ii fixe de forma (8.60) s-au stabilit o serie de rela ii care permit reglarea parametrilor de acord la valori care s asigure realizarea simultan a indicilor de performan , astfel:1. Rela iile Ziegler-Nichols recomand :

Pentru un regulator de tip P:

m

f

f

RT

T

kk

1

Pentru un regulator de tip PI:

m

f

f

RT

T

kk

9,0

Ti=3,3Tm

Pentru un regulator de tip PID cu factor de interinfluen q=0:

Page 226: tehnologia sistemelor

TEORIA SISTEMELOR I REGLAJ AUTOMAT228

m

f

f

RT

T

kk

5,1

Ti=2,5Tm

Td=0,5Tm

Pentru un regulator de tip PID cu factor de interinfluen q=1:

m

f

f

RT

T

kk

2,1

Ti=2Tm

Td=0,5Tm

2. Conform îmbun t irilor Van Oppelt se recomand :Pentru un regulator de tip P:

m

f

f

RT

T

kk

1

Pentru un regulator de tip PI:

m

f

f

RT

T

kk

8,0

Ti=3Tm

Pentru un regulator PID:

m

f

f

RT

T

kk

2,1

Ti=2Tm

Td=0,42Tm

Page 227: tehnologia sistemelor

ELEMENTE DE EXECU IE229

IX. ELEMENTE DE EXECU IE

9.1. Locul i rolul elementelor de execu ie

în cadrul sistemelor de reglare automat

În cadrul sistemelor de reglare automat , elementele de execu ie constituie elementede cuplare a regulatorului la procesul supus automatiz rii.

Elementul de execu ie prime te la intrare m rimea de comand u elaborat de regulator i furnizeaz la ie ire m rimea de execu ie m prin care ac ioneaz direct asupra procesului reglat (instala iei tehnologice) pentru modificarea parametrilor acesteia în scopul ob inerii valorii impuse a parametrului reglat.

Elementele de execu ie pot fi privite ca generatoare de cuplu (sau for ), cu viteze date, folosind energia exterioar comandat de semnale de comand elaborate de regulator. Elementul de execu ie are un dublu rol: unul informa ional i unul de vehiculare a unor puteri importante. Prin intermediul elementului de execu ie se ac ioneaz asupra surselor de energie ale procesului tehnologic, comandând aceste surse în concordan cu cerin ele impusevaria iei m rimii de la ie irea procesului tehnologic.

Un element de execu ie este alc tuit din dou p r i: elementul de ac ionare, sau partea motoare propriu-zis , i organul de execu ie, sau organul de reglare, determinat de natura procesului tehnologic (figura 9.1). Elementul de ac ionare (EA) transform m rimea de comand u, într-o m rime motoare de execu ie x (numit m rime de ac ionare) pentru care natura fizic i nivelul energetic sunt compatibile ca organul de reglare (OR) care ac ioneazdirect asupra procesului tehnologic prin intermediul m rimii de execu ie m.

Fig. 9.1 Elementele de execu ie pot fi clasificate func ie de mai multe criterii astfel:

Func ie de natura energiei utilizate pentru realizarea func iei de ac ionare elementele de execu ie se clasific în : - elemente de execu ie pneumatice;- elemente de execu ie hidraulice; - elemente de ac ionare electrice; Dup modul de ac ionare se deosebesc: - elemente cu ac iune continu ;- elemente cu ac iune bipozi ional ;- elemente de tip pas cu pas. Func ie de rela ia între m rimea de comand furnizat de regulatorul automat u(t) im rimea de execu ie m(t) se utilizeaz în practic dou tipuri de elemente de execu ie:- elemente de execu ie cu ac iune integral ( caracterizate cu ajutorul unei func ii de

transfer care con ine un pol în origine) – m rimea de execu ie este propor ional cu integrala din m rimea de comand ;

- elemente cu ac iune propor ional - la care m rimea de execu ie este propor ional cu m rimea de comand .

Page 228: tehnologia sistemelor

TEORIA SISTEMELOR I REGLAJ AUTOMAT230

Principalele calit i ce se impun a fi luate în considera ie la alegerea unui element de execu ie sunt:

1. puterea (cuplul ) rezultat la ie ire trebuie corelat cu puterea necesar organului de reglare pentru întregul domeniu de înc rcare a procesului;

2. domeniu de liniaritate cât mai mare al caracteristicilor statice asigurându-se astfel o înalt sensibilitate în func ionare;

3. precizie i siguran cât mai ridicat în func ionare;4. viteze de r spuns cât mai mari (constante de timp cât mai mici)5. posibilitatea regl rii vitezei în limite largi i reversarea sensului de mi care;6. asigurarea unei suple i constructive cât mai economice.

9.2. Elemente de ac ionare

9.2.1. Elemente de ac ionare pneumatic

Elementele de ac ionare pneumatic au ca m rime de comand o presiune de aer; m rimea de ac ionare este de fiecare dat o deplasare liniar sau circular .

Din punct de vedere constructiv, elementele de ac ionare pneumatice pot fi: elementede ac ionare cu membran cu simplu efect, elemente de ac ionare cu membran cu dublu efect, elemente de ac ionare cu piston cu simplu efect, elemente de ac ionare cu piston cu dublu efect, pentru mi c ri de transla ie sau pentru mi c ri de rota ie.

Elementele de ac ionare pneumatice pot fi comandate i de regulatoare electronice, în acest caz, cuplarea între regulator i elementul de execu ie realizându-se prin intermediul unui convertor electro-pneumatic, care transform liniar semnalul unificat electric în semnalunificat pneumatic.

9.2.1.1 Element de ac ionare pneumatic cu membran cu simplu efect

Comportarea dinamic a unui element de ac ionare pneumatic cu membran cu simpluefect poate fi descris pe por iunea liniar a caracteristicilor statice printr-o func ie de transferde forma:

012

)(asasa

ksH

s

a (9.1)

unde k, a0, a1 i a2 sunt parametrii elementului de ac ionare care depind de masa pieselor în mi care, de elasticitatea membranei i a resortului, precum i de for a de frecare vâscoas ce apare în func ionare. În figura 9.2. este reprezentat schematic un astfel de element de ac ionare. Într-o camer C se g se te o membran elastic M prev zut cu un disc de sus inerea arcului A ce transmite mi carea la organul de reglare; cuplul rezistent este asigurat de un resort R. Sub ac iunea presiunii aerului comprimat p membrana se deformeaz i antreneazîn deplasare i axul A. Aducerea în pozi ia ini ial a membranei în absen a presiunii p este asigurat de resortul R. Se poate observa c pozi ia axului se poate modifica în mod continuu sub ac iunea presiunii. Dependen a între deplasarea h i presiunea de comand p este prezentat în figura 9.3. inând cont de faptul c masele în mi care ale elementului sunt reduse se poate neglija iner ia elementului iar modelul matematic al elementului de ac ionarecu membran cu simplu efect se poate simplifica prin neglijarea termenului a2 ob inându-se:

Page 229: tehnologia sistemelor

ELEMENTE DE EXECU IE231

1)(

sT

ksH

a

a (9.2)

unde Ta reprezint constanta de timp a elementului determinat de parametrii geometrici ai acestuia i de caracteristicile membranei i ale resortului.

Fig. 9.2 Fig. 9.3

În aplica iile uzuale constanta de timp pentru elementele de execu ie este mai mic de 3 secunde. Îmbun t irea r spunsului tranzitoriu i a preciziei în func ionare se poate realiza prin intermediul introducerii unui pozi ioner; acesta este un amplificator diferen ial de presiune pneumatic care conduce la cre terea domeniului de liniaritate a caracteristicii h=f(p).Pozi ionerul necesit un consum suplimentar de aer, cre te costul elementului de execu ie dar permite utilizarea unui acela i element de ac ionare pentru diverse ventile i cu diferite curse de ac ionare, deoarece are înglobat un circuit mecanic de reglare a pozi iei.

Elementele de ac ionare pneumatice sunt utilizate pentru curse mici i dezvolt for emici i variabile.

9.2.1.2 Element de ac ionare pneumatic cu piston cu simplu i dublu efect

Sunt utilizate atunci când sunt necesare curse i pentru for e mari i relativ constante. În figura 9.4 sunt prezentate schematic un element de ac ionare pneumatic cu piston cu simpluefect (figura 9.4.a) i un element de ac ionare pneumatic cu piston cu dublu efect (figura 9.4.b) .

Fig. 9.4

Page 230: tehnologia sistemelor

TEORIA SISTEMELOR I REGLAJ AUTOMAT232

Func ionarea elementului de ac ionare cu piston cu simplu efect este identic din punct de vedere principial cu a elementelor de ac ionare pneumatice cu membran cu simplu efect ide aceea caracteristica dinamic a elementului de ac ionare va fi una de tip propor ional. Caracteristica dinamic a elementului de ac ionare pneumatic cu piston cu dublu efect este una de tip integral; pentru a deduce aceast caracteristic care exprim leg tura în regimdinamic dintre m rimea de intrare (presiune de comand pc) i m rimea de ac ionare(deplasarea h) vom porni de la rela ia dintre varia ia volumului V de gaz din piston i debitul Q al acestuia:

QdtdV (9.3)Notând cu S aria sec iunii transversale a pistonului se ob ine rela ia (9.4):

SdhQdt (9.4)Considerând o rela ie de dependen propor ional între varia ia de presiune i debit se

ob ine:

dtkpSdh c (9.5)

i:

dttpS

kth c )()( (9.6)

Anularea componentei integrative se realizeaz prin utilizarea pozi ionerului. Ac ionarea pneumatic a organelor de reglare pentru procese lente (robinete de reglare a debitelor de substan ) este recomandat ca urmare a compatibilit ii acesteia cu reglarea pneumatic a unor procese lente din industria chimic i petrolier datorit unor viteze bune de r spuns i a siguran ei ridicate în func ionare.

Elementele de ac ionare pneumatic au viteze de r spuns ridicate, un domeniu de liniaritate mare, ofer posibilitatea regl rii vitezei de ac ionare, au o construc ie simpl ,robust , dezvolt for e i cupluri suficiente, fiind compatibile cu organele de reglare a debitelor de substan .

9.2.2. Elemente de ac ionare hidraulice

Ac ionarea hidraulic este caracterizate printr-o vitez de r spuns mare prin dezvoltarea unor cupluri mari la gabarite reduse i prin realizarea unor precizii ridicate.

Elementele de ac ionare hidraulice cele mai r spândite sunt elementele cu piston cu simplu sau dublu efect pentru deplas ri liniare (similare cu cele pneumatice) i elementele cu mecanism biel manivel (figura 9.5.a), cu palet rotativ (figura 9.5.b) i de tipul pompelorvolumetrice pentru deplas ri unghiulare (figura 9.5.c).

Fig. 9.5

Page 231: tehnologia sistemelor

ELEMENTE DE EXECU IE233

Sunt utilizate în general, ca elemente de ac ionare în sistemele hidraulice pentru ma ini unelte, pentru sistemele de comand i reglare în domeniul avia iei, etc. Aceste elemente de ac ionare au posibilitatea de a dezvolta viteze de ac ionare reglabile în domeniilargi cu precizie ridicat . Elementele de comand a elementelor hidraulice pot fi hidraulice sau electro-hidraulice. Elementele de comand hidraulice pot avea o caracteristic de func ionare continu , bipozi ional sau pot fi comandate pas cu pas.

Pentru procese lente aceste elemente de ac ionare sunt rar întâlnite, utilizarea uleiului sub presiune ca agent purt tor de informa ii i energie impune restric ii asupra domeniului de utilizare a elementelor de ac ionare hidraulice. Preg tirea uleiului sub presiune din punct de vedere al calit ilor necesare (puritate, compresibilitate, vâscozitate, temperatur , etc.) necesit un pre ridicat i reprezint un alt factor important ce se impune a fi luat în considera ie la alegerea elementelor de ac ionare hidraulice.

Din punctul de vedere al modelului matematic ce poate fi utilizat pentru descrierea func ion rii elementelor de ac ionare hidraulice, acestea pot fi liniarizate în jurul punctului de func ionare nominal, fiind definite prin func ii de transfer cu sau f r pol în origine i una sau mai multe constante de timp. Trebuie remarcat faptul c constantele de timp sunt foarte mici(de ordinul zecimilor sau chiar sutimilor de secund ).

9.2.3. Elemente de ac ionare electric

Ac ionarea electric a organelor de reglare se poate face continuu, cu ajutorul motoarelor electrice de curent continuu sau alternativ (monofazate, bifazate, trifazate, cu rotor disc), i discontinuu cu ajutorul electromagne ilor sau a motoarelor comandate pas cu pas.

Ac ionarea cu electromagne i se caracterizeaz prin realizarea a doar dou pozi iiale organului de reglare “închis” i “deschis”. Asemenea elemente de ac ionare sunt frecvent întâlnite în regl rile industriale bipozi ionale.Trecerea dintr-o stare sta ionar în cealalt stare sta ionar se realizeaz într-un timp scurt, de ordinul secundelor i chiar a zecimilor de secund ,la aplicarea semnalului de comand la nivel maxim. În figura 9.6 este prezentat schematic un element de ac ionare cu electromagnet.Constructiv, sunt realizate dintr-o bobin B i o arm tur feromagnetic AF. Arm tura mobil este în leg tur cu supapa organului de reglare prin intermediul unei tije T. Electromagnetul este izolat de organul de reglare prin garnituri de etan are.Sub ac iunea curentului de comand Ic aplicat bobinei, arm tura feromagnetic este atras în interiorul bobinei. În pozi ia de repaus,

Fig. 9.6 datorit for ei create de resortul R (sau uneori datorit

presiunii exercitate de fluidul reglat) arm tura feromagnetic apas supapa pe scaunul ventilului. Alimentarea electromagnetului se poate face în curent continuu la 6, 24 sau 220V sau în curent alternativ la tensiuni de 24,110 sau 220V.

Page 232: tehnologia sistemelor

TEORIA SISTEMELOR I REGLAJ AUTOMAT234

Pentru puteri reduse necesare ac ion rii organului de execu ie se utilizeaz ca elementde ac ionare motorul de curent alternativ bifazat. Tura ia axului motorului pentru o sarcindat este propor ional cu valoarea curentului din înf urarea de comand iar sensul de rota iedepinde de faza curentului de referin care circul prin cea de-a dou înf urarea a motorului. Pentru puteri i cupluri mari necesare la ac ionarea organului de reglare se utilizeazmotoare de curent continuu sau motoare de curent alternativ trifazate. Tura ia motoarelor de curent continuu este reglat prin modificarea tensiunii de alimentare a indusului i a tensiunii de excita ie, sensul de rota ie fiind stabilit prin polaritatea curentului din indus.

Reglarea tura iei motoarelor trifazate de curent alternativ se realizeaz cu prin intermediul modific rii frecven ei tensiunii de alimentare cu ajutorul convertizoarelor statice de frecven .

Cuplarea la organul de reglare se realizeaz prin intermediul unui reductor de tura iepentru a se asigura pe de o parte un cuplu corespunz tor, iar pe de alt parte, compatibilitateaîntre tura ia motorului i viteza organului de reglare. Prezen a reductorului de tura ie,introduce o întârziere în r spunsul elementului de execu ie i, în plus, o neliniaritate suplimentar . Motorul de curent alternativ este mai simplu, mai robust, cu iner ie mai micdecât motorul de curent continuu.

Motoarele electrice utilizate ca elemente de ac ionare au o vitez de r spuns mairedus decât elementele de ac ionare pneumatice i hidraulice, dezvolt un cuplu mai redus pentru acela i volum i prezint o siguran în func ionare mai sc zut în condi ii dificile de mediu. Sunt elemente neliniare, îns pe por iunea liniar a caracteristicii statice pot fi descrise cu ajutorul unei func ii de transfer de forma:

)1)(1()(

sTTss

ksH

m

m

unde: - Tm este constanta de timp mecanic a elementului de execu ie;- T este constanta de timp a circuitului electric.

La alegerea unui element de ac ionare de tip motor electric trebuie avute în vedere urm toarele criterii: 1. Realizarea unei anumite abateri de pozi ie cauzat de frec rile statice; 2. Realizarea vitezei i accelera iei necesare ac ion rii la sarcin dat ;3. Asigurarea unui domeniu de liniaritate în func ionare cât mai mare.

Utilizarea unor reac ii tahometrice sau utilizarea unor elemente de corec ie în jurul elementului de ac ionare pot îmbun t i performan ele acestora.

Page 233: tehnologia sistemelor

ELEMENTE DE EXECU IE235

9.3. Organe de reglare

În func ie de natura energiei reglate i de tipul procesului, organele de reglare pot fi mecanice i electrice, pentru reglarea unor debite sau pentru reglarea altor m rimi electrice sau neelectrice. Cele mai frecvent utilizate organe de reglare pentru procese lente sunt robinetele de reglare a unor debite de fluid. Aceste elemente au ca m rime de intrare o m rime mecanic (o deplasare) generat de elementul de ac ionare, iar ca m rime de ie ire un debit care se introduce sau se evacueaz din instala ia tehnologic . Rela ia dintre debitul de fluid printr-un robinet de reglare i sec iunea de trecere a acestuia este:

rrdv

pSCQ (9.8)

unde: - Cd este coeficientul de debit caracteristic unei rezisten e hidraulice; - Sr este aria sec iunii de trecere a fluidului prin robinet;

- pr reprezint c derea de presiune pe robinet; - reprezint densitatea fluidului.

C derea de presiune pe robinet este - inând seama de faptul c robinetul reprezint o rezisten hidraulic variabil între sursa de energie i instala ia tehnologic - dat de rela ia:

cr ppp 0 (9.9)

unde: reprezint c derea de presiune total în sistem, între surs i proces; 210 ppp

Pc reprezint c derea de presiune pe conductele de leg tur (figura 9.7)

Fig. 9.7.

inând seama de rela iile (9.8) i (9.9), rezult c debitul de fluid prin(robinetul de reglare nu este func ie univoc de pozi ia tijei robinetului de reglare, acesta depinzând de sistemul hidraulic în care este montat robinetul respectiv, de c derile de presiune p0 i pc. Rela ia (9.8) eviden iaz i faptul c robinetul are o caracteristic intrinsec , care depinde numai de geometria sa, i o caracteristic definit de tipul fluidului i de structura sistemului hidraulic în care este montat robinetul. Caracteristica intrinsec a robinetului, notat Kv este dat de rela ia:

)(hKSCK vrdv (9.10)

unde h este cursa ventilului. Semnifica ia fizic a unui astfel de robinet de reglare se ob ine prin interpretarea rela iei:

r

nv

p

QK (9.11)

Page 234: tehnologia sistemelor

TEORIA SISTEMELOR I REGLAJ AUTOMAT236

Caracteristica intrinsec Kv, reprezint debitul exprimat în m3/h al unui fluid de densitate =1kg/dm 3 (ap ), care trecând prin robinetul de reglare produce o c dere de presiune pr=1daN/cm 2. M rimea Kv are semnifica ia unui debit specific ce trece prin robinetul de reglare în condi iile enun ate. Pentru tehnica regl rii automate, cele mai uzuale tipuri de caracteristici intrinseci sunt: caracteristica liniar (curba 1 din figura 9.8), caracteristica logaritmic (curba 2 din figura 9.8), i caracteristica de deschidere (închidere) rapid (curba 3 din figura 9.8).

Fig. 9.8.

În figura 9.8 s-au folosit urm toarele nota ii:- Kvs = valoarea caracteristicii Kv la cursa nominal ;- Kv0 = valoarea la care caracteristica Kv(h) intersecteaz axa Kv (valoarea minim a

debitului specific la închiderea robinetului) Expresia analitic a caracteristicii intrinseci liniare este:

100

00 1h

h

K

K

K

K

K

K

vs

v

vs

v

vs

v (9.12)

unde h100 reprezint cursa nominal a tijei robinetului de reglare.

Expresia analitic a caracteristicii intrinseci logaritmice poate fi exprimat cu ajutorul rela iei:

1000

0 lnexph

h

K

K

K

K

K

K

v

vs

vs

v

vs

v (9.13)

Caracteristicile intrinseci corespund unor forme specifice a supapei ventilului, astfel: - caracteristica intrinseca liniar este realizat de o supap cu forma aproximativ a unui

con (figura 9.9.a) - caracteristica logaritmic este realizat de o supap a c rei contur în sec iune

transversal este generat de o func ie exponen ial (figura 9.19.b) - caracteristica de deschidere (închidere) rapid este realizat de o supap cu forma unui

trunchi de con (figura 9.9.c)

Page 235: tehnologia sistemelor

ELEMENTE DE EXECU IE237

Fig. 9.9

Un parametru caracteristic al robinetului de reglare îl constituie raportul de reglare

0v

vsr

K

KR care define te l rgimea domeniului de reglare între o valoare minim Kv0 i o

valoare maxim Kvs. Calculul debitului de substan ce trece printr-un robinet presupune cunoa terea valorii corespunz toare a caracteristicii Kv inând seama de rela ia:

rv

pKQ (9.14)

Alegerea robinetului se face în func ie de valorile Kv, inând seama de natura fluidului, de propriet ile acestuia i de natura sistemului hidraulic în cadrul c ruia este montat robinetul de reglare. Caracteristica static a unui robinet de reglare (Q=Q(h)) se define te inând seama cîn func ie de tipul robinetului i de sistemul hidraulic, c derea de presiune pe robinet este variabil . Dac asimil m conducta pe care este montat robinetul printr-o rezisten hidrauliccaracterizat prin caracteristica Kc, pe care are loc pierderea de presiune pc, atunci debitul de fluid este dat de rela ia:

cc

pKQ (9.15)

Pe baza rela iilor (9.14), (9.15) i (9.9) ob inem:

0

2

1

1 p

K

K

KQ

c

v

v (9.16)

Dac se admite c pentru întreg sistemul hidraulic varia ia c derii de presiune cu sarcina este neglijabil , în urma unor calcule simple se ob ine expresia caracteristicii statice a unui robinet sub forma:

]11

[1

1

2

100

0

100100

v

v

r

K

Kp

pQ

Q (9.17)

unde: - pr100 este c derea de presiune pe robinet la deschidere nominal ;- p0 este c derea de presiune în sistem (conduct robinet de reglare, surs ).

Page 236: tehnologia sistemelor

TEORIA SISTEMELOR I REGLAJ AUTOMAT238

Rela ia (9.17) eviden iaz faptul c func ie de raportul pr100/ p0 se ob ine o familiede caracteristici statice neliniare. Pentru cazul în care întreaga c dere de presiune din sistemare loc pe robinet, se ob ine o caracteristic static ideal care coincide cu caracteristic intrinsec . Cu cât raportul pr100/ p0 scade, caracteristica static real se îndep rteaz maimult de caracteristica intrinsec astfel încât o caracteristic intrinsec logaritmic tinde sdevin o caracteristic static real liniar , iar o caracteristic intrinsec liniar tinde spre o caracteristic real asem n toare cu caracteristica de închidere (deschidere) rapid . Familiilede caracteristici statice pentru dou tipuri uzuale de robinete de reglare (cu caracteristicintrinsec liniar i logaritmic ) pentru diverse valori ale raportului c derilor de presiune

pr100/ p0 sunt prezentate în figura 9.10.

Fig. 9.10

La alegerea unui robinet de reglare pentru un proces dat, este necesar cunoa tereacaracteristicii statice a robinetului corespunz toare raportului pr100/ p0. O caracteristicstatic real optim este acea caracteristic care se apropie cel mai mult de caracteristica liniar i de aceea pentru procesele în care raportul pr100/ p0 are valori mici se recomandrobinete cu caracteristic intrinsec logaritmic , în timp ce pentru procesele în care raportul

pr100/ p0 are valori mari (apropiate de unitate) se recomand robinete de reglare cu caracteristic intrinsec liniar ). Factorul de amplificare al robinetului de reglare este o func iede raportul c derilor de presiune pe robinet i pe sistem. O alegere necorespunz toare a caracteristicii de lucru a robinetului poate duce la instabilitatea sistemului.

Pentru alegerea corespunz toare a unui robinet de reglare se impune a lua în considera ie efectul vâscozit ii, a compresibilit ii, precum i fenomenele acustice ce apar în regimul de func ionare critic al robinetului i a fenomenului de cavita ie.

În ceea ce prive te caracteristica dinamic a robinetului de reglare aceasta se define teinând seama de tipul i caracteristica elementului de ac ionare. Trebuie men ionat faptul c

dinamica unui element de execu ie este influen at de parametrii fluidului, de dimensiunile itipul organului de reglare, precum i de caracteristicile elementului de ac ionare. Pentru zona liniar a caracteristicii statice, modelul matematic al elementului de execu ie poate fiaproximat printr-o func ie de transfer de forma:

1)(

12

2 sTsT

ksH e (9.18)

sau:

Page 237: tehnologia sistemelor

ELEMENTE DE EXECU IE239

)1)(1()(

sTsTs

ksH

ba

e (9.19)

Coeficientul de transfer este dat de produsul dintre factorul de amplificare al elementului de ac ionare i coeficientul de transfer al organului de reglare. Acest coeficient este o func ie neliniar de deplasarea h a organului de reglare i de aceea la proiectarea unui sistem de reglare trebuie definit domeniul de lucru al elementului de execu ie. O alegere necorespunz toare a elementului de execu ie poate duce la instabilitatea în func ionare a sistemului automat dat fiind modificarea factorului de amplificare a acestuia func ie de regimul de func ionare, ca urmare a caracterului neliniar a caracteristicii statice a organului de reglare.

Constantele de timp au în general valori reduse pentru elementele de execu iepneumatice i hidraulice, acestea depinzând i de tipul organului de reglare. În afar de organele de reglare a debitelor de fluid, în practic în practic se întâlnesc diferite tipuri de organe de reglare electrice cum ar fi redresoare comandate cu tiristoare, convertizoare de frecven cu tiristoare, autotransformatoare, etc.

9.4. Alegerea i dimensionarea elementelor de execu ie

O prim etap în alegerea elementului de execu ie const în alegerea i dimensionareaorganului de reglare func ie de tipul procesului tehnologic, de caracteristica static a acestuia, de caracteristicile fluidului introdus sau evacuat din instala ia tehnologic , de traseul pe care se monteaz organul de reglare i de perturba iile ce ac ioneaz asupra sistemului.

La alegerea unui organ de reglare a debitului de fluid trebuie parcurse etapele: 1. Se calculeaz pierderile de presiune pe conduct corespunz toare debitului maxim,

nominal i minim.2. inând seama de pierderile de presiune ce apar pe robinet i în sistem se alege

caracteristica static de lucru a robinetului le reglare, precum i tipul caracteristicii intrinseci a acestuia (liniar sau logaritmic ).

3. Se determin presiunea sursei pentru debitul maxim Qmax i se precizeaz caracteristica static a sursei de presiune.

4. Se determin c derea de presiune minim pe robinetul de reglare, inând seama de pierderea de presiune minim în sistem i pe conducte.

5. Se aleg variantele constructive ale ventilului i robinetului de reglare func ie de caracteristicile fluidului i de c derea de presiune pe robinet.

6. Se calculeaz valoarea caracteristicii Kv pentru robinetul de reglare pentru debitul maximKvmax, pentru debitul minim Kvmin i se alege din catalog caracteristica static care sîndeplineasc simultan condi iile.

0min

max

2,1

)4,125,1(

vv

vvs

KK

KK

7. Se verific dac este îndeplinit condi ia:

r

vs

vs RK

K

min

8. Se calculeaz Kv pentru debitul nominal Qn, stabilindu-se pozi ia de func ionare a robinetului de reglare în condi ii nominale.

Page 238: tehnologia sistemelor

TEORIA SISTEMELOR I REGLAJ AUTOMAT240

Dup alegerea organului de reglare conform algoritmului prezentat se trece la alegerea elementului de ac ionare, alegere care are în vedere tipul ac ion rii (pneumatic , hidraulicsau electric ) pe de o parte i caracteristica dinamic a acestuia (propor ional sau integral )pe de alt parte. La alegerea tipului ac ion rii se au în vedere avantajele i dezavantajele fiec rui tip de ac ionare (prezentate anterior) iar pentru alegerea caracteristicii (propor ionalsau integral ) se au în vedere tipul procesului i tipul regulatorului.

Principalele probleme ce trebuie rezolvate dup alegerea tipului ac ion rii sunt legate de realizarea unei concordan e între cursa robinetului i cursa tijei elementului de ac ionare idezvoltarea unei puteri (sau a unui cuplu) suficiente pentru învingerea tuturor for elorrezistente i intervin în ac ionarea elementului de execu ie. Atât în ceea ce prive te cursa elementului de ac ionare cât i în ceea ce prive te puterile dezvoltate, în cataloagele firmelor produc toare de elemente de ac ionare se indic valori standard din care se pot alege pe cele ce îndeplinesc condi iile de func ionare impuse.

Page 239: tehnologia sistemelor

TRADUCTOARE241

CAP. X. TRADUCTOARE

10.1. Caracteristici ale traductoarelor. Clasific ri.

Traductoarele sunt dispozitive ce au rolul de a stabili o coresponden între o m rimede m surat i o m rime apt de a fi prelucrat de echipamentele de prelucrare automat a datelor (regulatoare sau calculatoare de proces).

Acest lucru se realizeaz prin transformarea m rimii fizice de m surat (de obicei neelectric ) într-o alt m rime fizic (de obicei electric ) sau prin transformarea unei m rimifizice în acela i fel de m rime fizic dar cu parametri modifica i (în cazul în care m rimea de m surat este de exemplu o m rime electric ). Aceast transformare se realizeaz de obicei printr-o serie de transform ri succesive ale m rimii de m surat.

Un traductor este construit de obicei din 2 blocuri: elementul sensibil (detectorul) care transform m rimea fizic de m surat într-o m rime intermediar i convertorul de ie ire(adaptorul) prin care m rimea intermediar este transformat într-o m rime u or observabili prelucrabil de c tre sistemul de conducere (reglare). Vezi fig. 10.1. Deci convertorul de

ie ire are rolul de a realiza adaptarea cu celelalte elemente din sistemul de reglare cu care este cuplat.

Elementele ce caracterizeaz un traductor i pe baza c rora se pot compara între ele 2 traductoare (deci elementele ce trebuie luate în considerare atunci când alegem un traductor

sau altul) sunt:

Element

sensibil

(detector)

Convertor

de ie ire

(adaptor) (i)

rx

(g)

y

Fig. 10.1

1) Natura fizic a m rimi de intrare (y) i a m rimi de ie ire (r).2) Puterea consumat la intrare i cea transmis la sarcin .3) Caracteristica static exprimabil prin dependen a în regiuni statice

r = f(y) (10.1) Aceast caracteristic poate fi liniar (fig. 10.2.b), neliniar univoc (fig. 10.2.b) sau neliniarneunivoc (fig. 10.2.c). În practic caracteristicile statice pot prezenta un grad mai mic sau mai mare de neliniaritate i de aceea e necesar liniarizarea lor, printr-o metod adecvat , în gama de varia ie a m rimi de intrare i de ie ire. Cu cât gama de varia ie liniar este maimare, cu atât traductorul este mai bun. Gradul de liniaritate se poate aprecia prin abaterea (eroarea) de neliniaritate definit prin:

%100l

ll

r

rr (10.2)

unde r este valoarea real iar rl este valoarea liniarizat de gama pe varia ie.Aceast m rime se poate exprima i în func ie de m rimea de intrare (y).

Pe baza caracteristicilor statice se pot defini urm toarele m rimi:

Page 240: tehnologia sistemelor

TEORIA SISTEMELOR I REGLAJ AUTOMAT242

a) Domeniul de m surare (gama de lucru) definit prin valorile minimul i maximulm rimii de intrare, respectiv de ie ire:

a) y

r

yb) c)

y

rr

Fig. 10.2

minmax yyy (10.3)

minmax rrr (10.3 )

b) Sensibilitatea, care se define te pentru varia ii lente ale m rimi de intrarei ie ire i care se exprim sub mai multe forme:

Sensibilitatea medie

Ky

rSm (10.4)

unde K este o m rime constant pentru o caracteristic liniar sau liniarizat ;

Sensibilitatea diferen ial

y

r

dy

drSd (10.4 )

Sensibilitatea relativ

yy

rrS* (10.4 )

Aceste m rimi împreun cu erorile de m surare ne permit s apreciem calitatea m sur tori.4) Caracteristica dinamic exprim comportarea în regim dinamic i rezult din

ecua ia diferen ial ce leag varia ia în timp a m rimii de ie ire cea de intrare :

F(r, r , r , …, r(n), y , y , …, y

(n)) = 0 (10.5)

De cele mai multe ori ne intereseaz comportarea la o m rime standard de intrare sau caracteristicile de frecven , mai ales dac elementul are o comportare tip filtru.

5) Pragul de sensibilitate reprezint limita inferioar a varia iei m rimi de intrare sesizat cu certitudine de c tre traductor. Atunci când acesta este raportat la domeniu de m sur exprim rezolu ia (puterea de rezolu ie).

6) Gradul de precizie (Clasa) este raportul dintre eroarea maxim admisibil a m rimi de ie ire care se produce în regim sta ionar de func ionare i domeniul ei de m surare, exprimat în procente.

7) Nivelul de zgomot (zgomotele interne i externe) al traductoruluitrebuie s fie cât mai redus pentru a nu influen a deciziile sistemului în care traductorul este element primar.

Page 241: tehnologia sistemelor

TRADUCTOARE243

10.1.1. Clasificarea traductoarelor.

a) Un prim criteriu este cel determinat de forma semnalului de ie ire; dup acest criteriu traductoarele se împart în:

- traductoare analogice – care au la intrare un sem nal cu varia ie continu- traductoare numerice – care au la ie ire un semnal cu varia ie discontinu

b) Criteriul principal de clasificare este cel func ie de m rimea de intrare i cea de ie ire.- Intrare – electric – frecven , curent, tensiune, putere, faz

– neelectric – debit, nivel, deplasare, vitez , accelera ie,temperatur , presiune, etc.

- Ie ire – Param etric – Rezistive – Reostatice, term orezistive– Inductive– de înalt i de joas frecven a.– Capacitive – cu S, d, sau variabil

– Generatoare – Inductive, Piezoelectrice, term oelectrice,Holl, etc.

Vom considera cazul cel mai des întâlnit în practic , care const în transformarea m rimi de intrare a traductorului într-o m rime electric .

10.2. Traductoare analogice

Traductoarele analogice sunt acele traductoare la care atât m rimea de m surat cât im rimea de ie ire sunt m rimi analogice, adic sunt definite pe submul imi ale numerelorreale

Traductoarele analogice se împart în: a) Traductoare parametrice în care, sub influen a m rimii de intrare se modific dup

o lege bine determinat unul din parametri electrici (rezisten , inductan , capacitate) ai circuitelor electrice a traductorului. Pentru detectarea acestei modific ri traductorul are nevoie de o surs de energie exterioar i o schem de m sur .

b) Traductoare generatoare (energetice) la care m rimea de intrare este transformatîntr-o tensiune electromotoare ce poate fi utilizat nemijlocit în sistemul de reglare.Aceste traductoare nu necesit o surs de alimentare exterioar

10.2.1. Traductoare parametrice rezistive

Principiul de func ionare const în modificarea în trepte sau continu a rezisten elor R

a unui rezistor. Sub ac iunea intr rii se va produce modificarea unuia din parametrii care intervin în rela ia.

S

lR (10.6)

unde = rezistivitatea, l = lungimea, S = sec iunea.

Page 242: tehnologia sistemelor

TEORIA SISTEMELOR I REGLAJ AUTOMAT244

10.2.1.1. Traductoare reostatice.

La aceste traductoare varia ia rezisten ei se realizeaz prin modificarea lungimirezistorului. Ele sunt utilizate pentru m surarea unor deplas ri liniare (fig. 10.4.a) sau unghiulare (fig. 10.4.b) sau a unor m rimi ce se pot transforma în astfel de deplas ri.

Traductoarele pot fi alimentate în curent continuu sau în curent alternativ. Func ionare traductoarelor rezistive liniare se poate exprima prin rela ia:

yl

RRy

o (10.7)

unde l = lungimea bobinajului, Ro = rezisten a total a rezistorului bobinei. În cazul traductoarelor reostatice unghiulare rela ia este similar cu men iunea c y

reprezint deplasarea unghiular :

yR

Ryo (10.8)

unde = unghiul maxim posibil de rota ie a cursorului. Erorile de conversie sunt cauzate de varia ia lui R cu temperatura mediului ambiant,neuniformit i de bobinare i frec ri ale cursorului.

Roy

Ul

Ro U

UieUie

y

a)b)

Fig. 10.4

CMi

Pi

Uie

U PUn exemplu de traductor de presiune este prezentat în figura 10.5. Elementul sensibil este format din celula manometric CM iar convertorul de ie ire de tip deplasare – rezisten este formatdin poten iometrul P.

Fig. 10.5

Page 243: tehnologia sistemelor

TRADUCTOARE245

10.2.1.2. Traductoare termorezistive

Principiul de func ionare al acestor traductoare const în varia ia rezistivit ii electrice cu temperatura. În categoria acestor traductoare intr termorezisten ele, care au coeficientul de varia ie a rezisten ei cu temperatura pozitiv, i termistorii care au în general coeficientul de varia ie a rezisten ei cu temperatura negativ. Termorezisten ele sunt utilizate în gama – 200 + 500o

C, valoarea rezisten ei RT la o anumit temperatur T

0K fiind dat în func ie de temperatura ini ial To prin rela iile:

RT = Ro[1 + a(T – To) + b(T – To)2] (10.9)

Termistoarele pot fi utilizate în gama – 70 + 200oC, iar varia ia rezisten ei cu

temperatura este dat de rela ia:

o

oTTTeRR11

(10.10)

unde este o constant de material.

10.2.1.3.Traductoarele tensometrice

Traductoarele termometrice sunt destinate m sur rii unor eforturi sau deforma ii i au ca principiu de func ionare varia ia atât a lungimi cât i a tensiuni unui fir sau filament din material conductor sau semiconductor.

Pornind de la rela ia 10.6 se poate scrie urm toarea rela ie ce define te func ionareaunui astfel de traductor termometric cu fir metalic.

l

l

R

R)21( (10.11)

unde = coeficientul lui Poisson (raportul dintre deforma ia transversal i cea longitudinal ). Aceste traductoare, de i au o sensibilitate mic i unele greut i în modulpractic de utilizare (lipirea tensometrului de corpul de studiat, sensibilitate la umiditate, etc.) au avantajul unui pre de cost sc zut, frecven mare de lucru i erori mici.Pentru compensarea erorilor se utilizeaz montaje în punte; pe un bra al pun ii se monteaz

Ts

activ

Ualim

P1

R4

R2

R3

Ts

compensator

b

SM

A

Ts

activTs compensator

P2

P1R4 R3

R2R1

Ualim

R1

a

Fig 10.6

Page 244: tehnologia sistemelor

TEORIA SISTEMELOR I REGLAJ AUTOMAT246

tensometrul activ, iar pe cel lalt se monteaz tensometrul compensator. Se pot utiliza doumetode de m surare static : prin devia ie i prin metoda de zero ( fig. 10.6.a respectiv fig. 10.6.b). Poten iometrul P1 este utilizat pentru echilibrarea pun ii înainte de solicitarea mecanic . La apari ia solicit rii Ts tensometrul activ î i modific rezisten a, puntea se dezechilibreaz i acul aparatului de m sur (microvoltmetru) este deviat. Semnalul de tensiune astfel ob inut este amplificat i eventual convertit într-un semnal de curent, putând fi folosit în sistemul de reglare.

Semnalul de tensiune care apare ca urmare a dezechilibrului pun ii este aplicat prin intermediul amplificatorului A servomotorului SM care deplaseaz cursorul lui P2 pân la reechilibrarea pun ii, putându-se grada deplasarea i citi direct valoarea corespunz toare a efortului.Este de men ionat c principiul de m surare în punte se poate aplica tuturor traductoarelor parametrice, puntea putând fi alimentat în curent continuu sau curent alternativ.

10.2.2 Traductoare parametrice inductive.

Traductoarele inductive sunt realizate din una sau mai multe bobine cu miez de fier sau cu aer a c ror inductan variaz sub ac iunea m rimi de intrare.Întrucât aceast inductan este dat de o rela ie de forma:

L = N2Rm

-1 H (10.12)unde N = num rul de spire al bobinei

R = reluctan a circuitului magneticiar

aaf

f

mSS

lR

1

(10.13)

cu: lf = lungimea circuitului magnetic în fier m surat în m. = lungimea întrefierului în m

Sf, Sa = sec iunea fierului, respectiv sec iunea activ a întrefieruluif, a = permeabilitatea fierului, respectiv a aerului în H/m

rezult c modificând unul din parametri din rela ia (10.13) se vor ob ine diferite tipuri de traductoare inductive.

U~

R

Lx

L

Fig. 10.7 Fig. 10.8

Page 245: tehnologia sistemelor

TRADUCTOARE247

10.2.2.1. Traductoare cu întrefier variabil

Principiul de func ionare se bazeaz pe modificarea, sub ac iunea m rimii de intrare, a lui . Întrucât f > a, va rezulta c reluctan a în fier este neglijabil în raport cu cea a aerului i vom putea scrie c reluctan a traductorului va fi:

KS

NLS oo

2 (10.14)

În figura 10.7 se prezint principiul de func ionare a unui traductor inductiv de for .Se poate observa c sub ac iunea for ei se modific ceea ce conduce la modificarea lui Lx.Întrucât curentul ce trece prin bobin este:

222x

x

LR

UI (10.15)

Va rezulta c atunci când F cre te va cre te i Lx. Aceste traductoare au o sensibilitate mare,dar caracteristica static este neliniar (fig. 10.8) Pentru îmbun t irea performan elor acestor traductoare, în special pentru m rirea zonei de liniaritate se folosesc montaje diferen iale ca în figura 10.9.

Lx1

1

U ~

Ix RoRo

+F

2

–FLx2

Lx1 – Lx2

Lx1

Lx2

21

Fig. 10.10

Fig. 10.9

10.2.2.2. Traductoare de tip transformator

Aceste traductoare se prezint sub forma a dou înf ur ri a c ror inductan mutualpoate fi modificat sub ac iunea m rimii de intrare, fie prin modificarea pozi iei miezului sau întrefierului, fie prin modificarea pozi iei înf ur rii primare printr-o mi care liniar sau de rota ie, ca în figura 10.11.a (cu modificarea întrefierului) sau 10.11.b (cu modificarea pozi ieiînf ur rii primare).

Page 246: tehnologia sistemelor

TEORIA SISTEMELOR I REGLAJ AUTOMAT248

Sub ac iunea m rimii de intrare, de exemplu o for , se modific inductan a magnetica traductorului i deci fluxul magnetic. Acesta din urm induce în bobina secundar BS o tensiune a c rei valoare eficace, func ie de frecven f este:

(10.16)fNUies

22max44,4

i

U~

BS

F

BP

N2

Uie

a)Fig. 10.11

BP

BSN2

–F+F

i U~

Uie

b)

unde max este valoarea de vârf a fluxului în miez:

iRm

NiL

21 (10.17)

curentul i din bobina primar BP trebuie s fie de amplitudine constant i independent de varia ia induc iei bobinei.

Aceste traductoare prezint avantajul separ rii galvanice a circuitelor de intrare i de ie ire. O caracteristic dinamic bun , în special la cele cu bobin mobil , se ob ine dacalimentarea bobinei BP se face în înalt frecven .

(B1)L1

U~

L2

(B2)Z2

Z1

Uies

B1 B2

d

a) b)

Fig. 10.12

10.2.2.3. Traductoare cu miez mobil

Traductoarele de acest fel sunt des utilizate în convertirea deplas rilor mecanice într-o m rime electric , de obicei o tensiune alternativ . Ele constau dintr-o bobin cu miez mobil,

Page 247: tehnologia sistemelor

TRADUCTOARE249

m rimea de intrare ac ionând asupra acestui miez. Întrucât caracteristica static este neliniarse folose te un montaj diferen ial.

Un traductor de acest fel este prezentat în figura 10.12.a, iar montajul utilizat în figura 10.12.b. În pozi ia neliniar a miezului Uies 0. Amplitudinea semnalului de ie ire este propor ional cu deplasarea (pe zona de liniaritate) iar faza acestuia depind de sensul acestuia.

10.2.3 Traductoare parametrice capacitive.

Principiul de func ionare a traductoarelor capacitive se bazeaz pe modificareacapacit ii unui condensator ca urmare a ac iunii m rimi de intrare asupra distan ei dintre arm turi, a modific rii suprafe ei arm turilor, sau a permitivit ii dielectricului. Într-adev r rela ia de calcul a capacit ii unui condensator plan paralel este:

][089,0 pFd

SC r (10.18)

unde: S este suprafa a arm turilor în m2;d este distan a dintre arm turi în cm;

r este permitivitatea dielectric relativ a mediului dintre arm turi iar pentru un condensator cilindric:

][ln

089,0 pF

d

D

hC (10.19)

unde: D este diametrul arm turii exterioare; d este diametrul arm turii interioare; h este în l imea cilindrului.

10.2.3.1. Traductoare cu distan a dintre arm turi variabil .

Elementul variabil const dintr-un condensator care are una dintre arm turi fix iar cealalt mobil , ultima putându-se deplasa sub ac iunea m rimi de intrare. Din rela ia (10.18) rezult o dependen hiperbolic a capacit ii fa de distan adintre arm turi. Pentru a se realiza o liniaritate bun a caracteristicii statice i o sensibilitate ridicat , traductorul este utilizat la varia i relativ mici ale pozi iei arm turii mobile

10.2.3.2. Traductoare cu suprafa a de comun a arm turilor variabil .

Sunt destinate în special m sur ri unor deplas ri liniare sau unghiulare. Principal, elementulsensibil este format din 2 pl ci plan paralele din care un fix i alta glisant sub ac iuneam rimi de intrare (fig. 10.13 a, b).

Cx

d

Cxa) b)

Fig.10.13

Page 248: tehnologia sistemelor

TEORIA SISTEMELOR I REGLAJ AUTOMAT250

Varia ia capacit ii Cx cu suprafa a S este liniar i de aceea traductoarele se folosesc pentru domenii largi de varia ie a m rimilor.

10.2.3.3.Traductoare cu permitivitatea dielectricului dintre arm turi variabil .

Aceste traductoare ca i cele dinainte pot lucra în regim de control activ. Func ionarea lor se bazeaz pe faptul c dac la un condensator se introduce între arm turi o plac cu materialdielectric cu r i de grosime , capacitatea se exprim printr-o rela ie de forma:

r

d

SC (10.20)

În figura 10.14 se prezint un traductor de nivel al benzinei într-un rezervor. Aceste traductoare au avantajul c nu prezint piese în mi care dar pot prezenta erori datoritvaria iei cu temperatura a permitivit i relative a dielectricului.

Cx

C1

d

Fig. 10.14

d

SM

A

R2

R1

10.2.4 Traductoare generatoare.

Traductoarele generatoare sunt realizate în mai multe variante, în func ie de principiul care st la baza transform rii m rimii de intrare într-o tensiune electromotoare.

10.2.4.1.Traductoare de induc ie

Principiul de func ionare al acestor traductoare const în inducerea unei tensiuni electromotoare e într-un conductor ce taie liniile de for ale unui câmp magnetic de induc ieB [T ];

e = B l v [V] (10.21) unde v este viteza circuitului conductor în m/s i l este lungimea circuitului în m. Întrucât e este propor ional cu viteza, aceast m rime poate fi integrat sau, diferen iat i se ob ine tensiuni propor ionale cu deplasarea sau accelera ia. Pe acest principiu se ob in tahogeneratoare, vibrometre, debitmetre.

Page 249: tehnologia sistemelor

TRADUCTOARE251

10.2.4.2. Traductoare termoelectrice (termocupluri)

Principiul de func ionare se bazeaz pe efectul termoelectric, care const în aceea cla între jonc iunile a 2 fire din material conductor (sau semiconductor) aflate la temperaturidiferite, apare o tensiune electromotoare propor ional cu diferen a de temperatur dintre jonc iuni. Sunt destinate m sur ri temperaturi în gama de 400 1200oC dar în func ie de materialele utilizate se poate ajunge le o gam de –200 + 1400oC. Dependen a t.e.m de temperatur nu este riguros liniar i de aceea se impune o aten ie deosebit la alegerea tipului de electrozi func ie de domeniul de m sur .Termocuplurile prezint iner ie mare în procesul de m surare.

10.2.4.3. Traductoare Hall

Traductoarele se bazeaz pe efectul Hall care const în producereaunei tensiuni Hall, UH de c tre o sond (pl cu din material semiconductor) plasat într-un câmp de induc ie B i alimentat de un curent de comand I.

][Vd

IBRu HH (10.22)

unde RH este constanta lui Hall (dependent de material);d grosimea pl cii.Pe baza rela iei de mai sus se pot m sura m rimi ce pot fi transformate în varia ii ale

induc iei B sau a curentului I sau a ambelor m rimi.În figura 10.15 se prezint principiul de realizarea unui traductor Hall.

IUH

U

BU

Fig. 10.15

10.3. Traductoare numerice

La traductoarele numerice m rimea de intrare este de tip discret. M rimea analogicm surat este convertit într-un semnal codificat, exprimat direct în forma numeric . Codificarea const în modificare m rimii de m surat analogice, adic din aproximareaacesteia prin elementele unei mul imi finite de valori.

Suportul fizic ce permite realizarea unei cuantific ri poate fi constituit din starea instantanee a unor elemente electronice de circuit (memorii, bistabili, registre), sau din pozi ia contactelor unui grup de relee.

Page 250: tehnologia sistemelor

TEORIA SISTEMELOR I REGLAJ AUTOMAT252

Traductoarele numerice func ioneaz dup principiul discretiz rii în timp, sau a e antion rii conform c ruia m rimea analogic ce trebuie m surat determin la ie ireatraductorului varia ii la momente discrete de timp i nu continue. Principalele avantaje ale m sur ri numerice constau în:

precizia foarte bun de m surare

posibilitatea implement rii unor sisteme de reglare numeric în care achizi ia datelor (numeric ) s fie compatibil cu structura sistemului.

reducerea erorilor de transmisie la distan a valorilor m surate. Apari ia circuitelor integrate pe scar foarte larg ofer solu ii practice atât pentru prelucrarea direct a semnalelor analogice m surate, cât i pentru conversia analog-numeric .

Page 251: tehnologia sistemelor

SINTEZA AUTOMATELOR FINITE 253

CAP. XI. SINTEZA AUTOMATELOR FINITE

11.1 Automat finit

Spre deosebire de automatiz rile continui, în care m rimile (de intrare, ie ire, stare) pot lua un num r infinit de valori pe un interval finit apar inând mul imilor de defini ie, în cazul automatelor finite exist un num r finit de valori pentru variabila timp i un num r finit de valori pe care le pot lua m rimile de intrare, de ie ire i de stare. Variabila discret timp se incrementeaz la fiecare schimbare de stare i are rolul de a ordona mul imea st rilor. Acest fapt nu înseamn c procesul se desf oar neap rat discret în timp, ci numai c se consider modificarea variabilei timp la momente discrete. No iunea de automat finit este definit ca sistem dinamic prin axiomele specifice sistemelor dinamice i anume:

a) Exist o mul ime dat a valorilor variabilei timp T Z, o mul ime a valorilor st rilor X, o mul ime a valorilor intr rilor I i o mul ime a valorilor ie irilor Y, o mul ime a intr rilor acceptate ={ (t) : Z I}, i o submul ime a func iilorde ie ire ={ (t) : Z Y}, cu I,Y = F{0,1};

b) Z este o submul ime ordonat a mul imii R (direc ionarea timpului) c) Spa iul intr rilor satisface condi iile:

- 1 este nevid (netrivialitate) - 2 Un segment de intrare (t1, t2 este restrâns la (t1,t2 Z dac : ’ i

t1<t 2<t 3, exist un ” astfel încât ”(t 1,t2 = (t1,t2 i ” (t 2,t3 =’(t 2,t3 (concatenarea intr rilor)

d) Exist o func ie de tranzi ie a st rilor , dat de ZxZxXxW X, a c rei valoare este starea x(t)= (t,t0,x0, ) X care rezult la timpul t Z din starea ini ialx0=x(t0) sub ac iunea intr rii ; având propriet ile:

1. este definit pentru t³ (direc ionarea timpului) 2. (t,t0,x0, ) = x(t), pentru orice t Z i oricare x X i oricare

(proprietatea de consisten )3. pentru orice t1<t 2<t 3 : (t3,t1,x, )= (t3,t2, (t2,t1,x, ), ) pentru oricare

x X i oricare (proprietatea de compunere) 4. Dac ’ i (t0,t = ’(t 0,t atunci (t,t0,x, )= (t,t0,x, ’)

(cauzalitatea)e) Exist o aplica ie a ie irii :ZxX Y care define te ie irea y(t)=y(t,x(t)).

În cele ce urmeaz pentru automatele finite (spre a le deosebi de sistemele automate continui) se va folosi termenul de schem logic .

Page 252: tehnologia sistemelor

TEORIA SISTEMELOR I REGLAJ AUTOMAT254

11.2. Realizabilitatea fizic a expresiilor logice

11.2.1. Reprezentarea func iilor booleene.

O func ie booleean este o func ie dependent de variabile logice, adic de variabile care nu pot lua decât dou valori (0 sau 1, adev rat sau fals). Dac u1,u2 sunt intr ri logice iar y(i1,u2) ie iri, atunci poate fi definit mul imea Y a c rei componente sunt y(0.0), y(0,1), y(1,0) i y(1,1) fiecare component putând avea douvalori (0 sau 1), astfel încât mul imea Y va avea com ponentele:

Tabel 1u1 u2 y0 y1 y2 y3 y4 y5 y6 y7 y8 y9 y10 y11 y12 y13 y14 y15

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 10 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 11 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 11 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1Func ia 0

zerou1u2

{Iu1 u

2u1>u 2

u1 u2 u1

u2>u 1

u2 u1 u2

SAUexclusiv

u1+u2

SAU

___u1+u

2NOR

u1 u2

identitate

_ u2

u2 u1

_ u1

u1 u2

___u2u1

NAND

1unita-

te

Generalizând, putem afirma c m intr ri formeaz 2m combina ii de intrare cu care se pot defini (22)m func ii depinzând de m variabile. O func ie logic poate fi descris cu ajutorul tabelei de adev r; acesta este un tabel cu un num r de m+1 coloane i cu un num r de 2m linii. Primele m coloane corespund fiecare unei variabile de intrare, i în fiecare linie corespunz toare primelor m coloane este trecutcâte o combina ie posibil a valorilor variabilelor de intrare. Ultima coloan corespunde func iei de ie ire i pe fiecare linie corespunz toare acestei coloane este trecut valoarea func iei de ie ire corespunz toare combina iei intr rilor de pe linia respectiv . De obicei liniile corespunz toare combina iilor posibile ale variabilelor con ine, în ordine cresc toare,exprimarea sub form binar a numerelor naturale începând cu valoarea zero. În acest sens, tabelul 1 con ine 16 tabele de adev r, ob inute din primele dou coloane i fiecare din coloanele urm toare. O func ie oarecare de ie ire depinzând de 3 variabile de intrare va fi descris cu ajutorul unei tabele de adev r de forma tabelului 2:

Tabelul 2 u1 u2 u3 y0 0 0 00 0 1 00 1 0 10 1 1 01 0 0 11 0 1 11 1 0 01 1 1 0

Sunt definite dou forme canonice pentru scrierea func iilorlogice:

- Forma canonic disjunctiv (FCD), când func ialogic este exprimat ca o disjunc ie (SAU) de conjunc ii({I); fiecare conjunc ie reprezint un minitermen care corespunde unei valori 1 a func iei de ie ire din tabela de adev r i con ine combina ia corespunz toare de valori ale variabilei de intrare luate sub form direct :

q

itermen

mm uuuuuuy1

min

2121 ...),...,,( (11.1)

Page 253: tehnologia sistemelor

SINTEZA AUTOMATELOR FINITE 255

unde q reprezint num rul de valori 1 ale variabilei de ie ire din tabela de adev r.- Forma canonic conjunctiv când func ia logic este exprimat ca o conjunc ie ({I)

de disjunc ii (SAU); fiecare conjunc ie reprezint un maxitermen care corespunde unei valori 0 a func iei de ie ire din tabela de adev r i con ine combina ia corespunz toare de valori ale variabilei de intrare luate sub form negat :

1

1max

321321 )...()...,,(itermen

mm uuuuuuuuy (11.2)

unde p reprezint num rul de valori 0 ale variabilei de ie ire din tabela de adev r, iar bara de deasupra variabilei semnific faptul c aceasta este negat ).

Ca exemplu pentru func ia logic descris de tabela de adev r din tabelul 2, scrierea sub forma canonic disjunctiv are forma:

321321321321 ),,( uuuuuuuuuuuuy (11.3)

iar scrierea sub form canonic conjunctiv are forma:))()()()((),,( 321321321321321321 uuuuuuuuuuuuuuuuuuy (11.4)

Cele dou forme de scriere a func iei logice sunt echivalente, dar nu minime; ele con in termeni redondan i ce pot fi elimina i printr-o opera ie de minimizare (cum se va vedea ulterior)

Dup cum se observ atât din descrierea în forma general cât i din exemplulconsiderat, forma canonic disjunctiv este mai comod în cazul în care func ia de ie ire are mai pu ine valori de 1 decât valori de 0, iar forma canonic conjunctiv este mai avantajoasîn caz contrar. Se poate observa de asemenea c pentru a defini complet oricare func ie în FCD sau în FCC sunt suficiente func iile {I, SAU, NU,. Se poate dem onstra c existposibilitatea implement rii acestor forma canonice numai cu func ii NAND (SI negat) sau NOR (SAU negat).

11.2.2. Particularit ile elementelor fizice utilizate în implementarea

schemelor logice

Principalele tipuri de elemente fizice utilizate pentru implementarea schemelor logice sunt :

a) relee electrice;b) relee pneumatice;c) elemente hidraulice;d) elemente electronice de comuta ie static ;

11.2.2.1. Implementarea cu relee electrice

Releele electrice au în compunere o bobin ce poate fi alimentat în curent continuu sau în curent alternativ o arm tur mobil care este ac ionat atunci când bobina releului este alimentat i unul sau mai multe contacte electrice ac ionate odat cu arm tura mobil .Alimentarea bobinele releelor poate implementa variabile de stare sau de ie ire iar contactele acestora pot implementate variabile de stare sau intrare. În cazul implement rii schemelorlogice cu relee electrice variabilele de intrare vor fi implementate de asemenea cu contacte ale unor butoane de ac ionare, limitatori de curs , presostate, termostate, etc..

Page 254: tehnologia sistemelor

TEORIA SISTEMELOR I REGLAJ AUTOMAT256

Valoarea adev rat a unei variabile va fi implementat printr-un contact normaldeschis (un contact care este deschis în starea neac ionat a elementului care materializeazvariabila respectiv ) iar valoarea negat va fi implementat printr-un contact normal închis (un contact care este deschis în starea neac ionat a elementului care materializeaz variabila respectiv ).

Func ia logic {I este m aterializat prin legarea în serie a contactelor iar func ia logicSAU prin legarea în paralel a acestora.

Reprezentarea grafic a celor mai des întâlnite elemente utilizate la implementareaschemelor logice cu relee este prezentat în tabelul 3.

Tabel nr. 3Nr.crt

Simbol Semnifica ie

1 Contact normal deschis

2 Contact normal închis

3 Contact comutator

4 Bobin de releu

5 Bobin de releu cu întârziere la declan are

6 Bobin de releu cu întârziere la anclan are

7 Contact normal deschis cu temporizare la deschidere

8 Contact normal deschis cu întârziere la închidere

9 Contact normal închis cu temporizare la închidere

10 Contact normal închis cu temporizare la deschidere

11 Contact normal deschis cu z vorâre mecanic

12 Contact normal închis cu z v râre mecanic mecanic

13 Contact normal deschis al unui buton de ac ionare

14 Contact normal închis al unui buton de ac ionare

16 Contact normal deschis al unui buton de ac ionare cu lamp

17 Contact normal închis al unui buton de ac ionare cu lamp

Utilizarea releelor electrice în implementarea schemelor logice prezint avantajul unei viteze de ac ionare bun , robuste e, posibilitatea implement rii directe a func iei atât în form

Page 255: tehnologia sistemelor

SINTEZA AUTOMATELOR FINITE 257

FCD cât i FCC, putere mare la ie ire i deci posibilitatea cupl rii directe cu partea de for ,dar au un gabarit relativ mare, frecven a de comutare este limitat la 50Hz, i prezint pericol de explozie în mediile care con in vapori explozivi.

Ca exemplu implementarea cu relee a func iei logice definit de ecua ia 11.3 se va realiza ca în figura 11.1.

Fig 11.1.

11.2.2.2 Implementarea cu elemente pneumatice

În schemele pneumatice, cel mai reprezentativ element fizic cu caracteristic de tip releu utilizat pentru implementarea schemelor logice este ventilul (supapa), prin acesta în elegând un dispozitiv care comand închiderea sau deschiderea unor c i de circula ie a aerului sau stabile te sensul de circula ie a aerului comprimat. Ventilele se pot clasifica dupmodul de func ionare (ventile de distribu ie, de blocare, etc.) sau dup num rul de c i (cu 1, 2, 3 sau mai multe c i)

Ventilele asigur fie trecerea, fie blocarea trecerii aerului comprimat; de regul o cale este “normal deschis ” dac în starea neac ionat a dispozitivului exist conduc ie pentru fluidul considerat, pe calea corespunz toare.

Elementele pneumatice materializeaz variabilele de stare sau intrare printr-o cale normal deschis (pentru variabila în stare direct ) respectiv printr-o cale normal închis(pentru variabila negat ). Ac ionarea elementelor pneumatice poate fi realizat manual,mecanic, electric sau pneumatic. Legarea în serie a acestor elemente implementeaz func ialogic {I iar legarea în paralel im plementeaz func ia logic SAU. Reprezentarea simbolic a unui ventil se face prin reprezentarea a dou zone, cea corespunz toare st rii neac ionat (de regul în stânga) i cea corespunz toarea st rii ac ionat în dreapta. Reprezentarea simbolic a

principalelor elemente pneumatice utilizate în implementarea schemelor logice este prezentat în tabelul 4. Spre exemplificare schema logic care realizeaz func ia : cba )( poate fi implementat cu elemente pneumatice ca în figura 11.2

Fig.11.2

Page 256: tehnologia sistemelor

TEORIA SISTEMELOR I REGLAJ AUTOMAT258

11.2.2.3 Implementarea cu elemente hidraulice

Din punct de vedere principial sunt identice cu cele pneumatice cu deosebirea cagentul purt tor de informa ie este în acest caz un lichid. De i au viteze mai mari de ac ionareprezint dezavantajele legate de condi ionarea lichidului care constituie agentul informa ionalla fel ca în cazul elementelor de execu ie cu ac ionare hidraulic . Dac din punct de vedere al simbolurilor utilizate în scheme ele sunt practic identice cu cele pneumatice (vezi tabelul 4), din punct de vedere al realiz rii practice, elementele hidraulice se realizez cu mai multe c i,realizând în acest fel o multiplicare avantajoas a contactelor.

Tabel nr. 4Nr.crt

Simbol Semnifica ie

1 hidraulic

2 mecanic

3 electric

4

Ac ionarea releelor hidraulice

pneumatic

5Releu hidraulic cu dubl ac iune comandat hidraulic cu o cale n.d. i o cale n.î.

6Releu hidraulic cu simpl ac iune (comand mecanic ,revenire mecanic ) cu dou c i n.d. i dou c i n.î.

7Sertar de distribu ie (distribuitor) hidraulic, cu ac iuneelectric i revenire mecanic

8Supap de izolare

11.2.2.4. Implementare cu elemente electronice de comuta ie

Se realizeaz ca por i logice {I-NU (NAND), SAU-NU (NOR) sau por i inversoare (NU) montate singure sau mai multe pe un circuit integrat, alimentate la 24V sau 5Vc.c. (compatibile TTL). Au o vitez foarte mare de lucru, sunt foarte pu in voluminoase, dar pot comanda puteri foarte mici.

Principalele simboluri utilizate în schemele logice pentru implementarea cu elementeelectronice de comuta ie sunt cele prezentate în tabelul 5.

Page 257: tehnologia sistemelor

SINTEZA AUTOMATELOR FINITE 259

Tabel nr. 5 Nr.Crt.

Simbol Semnifica ie

1 Poarta NU

2 Poarta I

3 Poarta I-NU (NAND)

4 Poarta SAU

5 Poarta SAU-NU (NOR)

11.3. Clasificarea schemelor logice

11.3.1. Scheme logice combina ionale

Un automat finit descris cu ajutorul axiomelor enun ate anterior poate fi reprezentat cu ajutorul unei structuri informa ionale ca cea prezentat în figura 11.3.

Fig. 11.3 Dac descrierea automatului poate fi f cut numai pe baza leg turilor Y=f (u),

ceea ce înseamn :

),...,,(

...............................

),...,,(

21

2111

mnn

m

uuufy

uuufy

(11.5)

atunci avem de a face cu o schem logic combina ional (SLC) cu m intr ri i n ie iri.

Page 258: tehnologia sistemelor

TEORIA SISTEMELOR I REGLAJ AUTOMAT260

În cazul schemelor logice combina ionale starea nu influen eaz ie irea (func iile i din figura 11.3 nu au importan ). Analiza acestor scheme se realizeaz pe baza tabelelor de

adev r. Sinteza urm re te ob inerea i implementarea fizic a unei scheme, când pe baza datelor ini iale care descriu func ionarea, se poate întocmi tabela de adev r iar pe baza acesteia se realizeaz schema logic . Num rul de elemente care realizeaz schema logic este asociat formei în care sunt scrise func iile ce definesc ie irile i de aceea, un aspect important legat de economia de componente, este ob inerea unor forme minimale pentru aceste func ii. Pentru func ionarea corect a unei scheme logice combina ionale o are transmitereacorect a informa iei de la intr ri spre ie iri rezultând necesitatea limit rii timpului de transmisie, deci cât mai pu ine etaje.

Scheme tipice combina ionale sunt implementate de c tre codificatoare, decodificatoare, multiplexoare, demultiplexoare, etc..

11.3.2. No iunea de schem secven ial

În cadrul descrierii schemelor secven iale este necesar introducerea conceptului de stare intern ; aceasta este modificat de c tre intr ri i determin (împreun cu intr rile)valoarea ie irilor. Pentru aceste scheme se pot defini:

- un set al m rimilor de intrare U={u1,u2,…,Um}

- un set al variabilelor de stare X={x1,x2,…,xn}

- un set al variabilelor de ie ire Y={y1,y2,…,y3}

Cele p variabile de stare determin la un moment dat tI starea intern a circuitului sti.Mul imea st rilor interne S={st1,st2,…,stk} este finit , de aceea vom adopta S={s1,s2,…,sk},astfel încât variabila timp este aparent eliminat , din moment ce, pe mul imea ordonat a valorilor timpului T, circuitul secven ial se poate afla oricând într-o stare intern sI; variabila timp intervine îns în tranzi ia circuitului de la starea curent sI într-o alt stare sk cu k i.

Atunci când la un timp ti T setul m rimilor de intrare se modific , circuitul secven ial trece într-o stare nou (apar inând setului finit S), i tranzi ia se consider încheiatcomplet la timpul tI+ t (unde t este unitatea de m sur pentru schemele logice secven ialesincrone) sau tI+1 Z2, când toate variabilele de stare au valoarea corespunz toare noii st ri.Aceast tranzi ie determin modificarea setului ie irilor conform legii de comand sau reglare pentru care circuitul a fost proiectat.

Celor trei seturi de m rimi U,X,Y li se asociaz func iile i cu propriet iledefinite anterior:

a) func ia tranzi iilor , care descrie rela ia variabilele de intrare i de stare la momentul t i variabilele de stare la momentul t+1 :

),(1 ttt XUX (11.6)

Aceast func ie presupune existen a unor reac ii ie ire-intrare, reac ii pe care apar elementede memorie (cu întârzieri t). b) Func ia ie irilor care reprezint rela ia dintre variabilele de stare i de intrare la momentul t i variabilele de ie ire la momentul t.

),( ttt UXY (11.7)

Page 259: tehnologia sistemelor

SINTEZA AUTOMATELOR FINITE 261

În acest fel orice schem logic secven ial poate fi descompus în dou structuri ca în figura 11.4

Sec iunecombina ional

Sec iune de memorare

Fig. 11.4

În aceast structur , sec iunea combina ional realizeaz func ia ie irilor iar structura de memorare realizeaz func ia tranzi iilor .

inând seama de aceast structur automatele secven iale se pot clasifica:a) Dup modul de realizare a tranzi iilor dintr-o stare în alta automatele secven iale

pot fi asincrone i sincrone; b) Dup modul de construc ie a sec iunii de memorare acestea pot fi realizate cu linii

de întârziere sau cu automate elementare;c) Dup natura semnalelor aplicate la intrarea automatului pot fi automate cu intr ri

electrice, mecanice, hidraulice; d) Dup natura semnalelor de ie ire din automatul secven ial pot fi automate cu ie iri

electrice, mecanice, hidraulice.

11.3.2.1. Scheme secven iale asincrone

Schemele secven iale asincrone sunt acele scheme secven iale la care tranzi iavariabilelor de stare dintr-o stare în alta (corespunz toare noii st ri a automatului) se realizeaz la momente arbitrare de timp. Pentru a simplifica în vederea analizei aceste scheme, se va considera c în sec iunea combina ional fiecare element logic r spundeinstantaneu la semnalul de intrare aplicat (func ionare ideal ) în timp ce întârzierile reale tse atribuie reac iilor schemei (aceast întârziere concentreaz întârzierile ce au loc pe maimulte elemente fizice aflate pe calea de transmitere a semnalului). Aceast situa iecorespunde implement rii schemei cu elemente simple (NAND,NOR) fiind reprezentat în figura 11.5.

Întârzierile astfel transmise sunt mai mici decât în cazul automatelor sincrone. Pentru variabilele de stare s-au folosit în acest caz urm toarele nota ii:

- Xk, k=1,2,…,p pentru func iile de excita ie (intr rile în por ile NAND, NOR);

- xk, k=1,2,…,p pentru variabilele secundare ale circuitului secven ial(m rimile de ie ire din liniile de întârziere).

Interconectarea por ilor logice care primesc la intrare m rimile de intrare uk i m rimileintermediare (de stare xk permit ob inerea excita iilor Xk(t). Dac intr rile se modific , se modific excita iile Xk(t) iar dup un timp necesar transmiterii excita iei prin c ile curente se modific starea intern (Sk trece în Sk+1). Sfâr itul acestei comut ri de stare este definit de

Page 260: tehnologia sistemelor

TEORIA SISTEMELOR I REGLAJ AUTOMAT262

setul de rela ii xk(t+ t)=Xk(t), k=1,2,…,p i în felul acesta se pot ob ine în continuare ie irileyk, k=1,2,…,n.

Logiccombina ional

ÎntârziereNAND NOR

ÎntârziereNAND NOR

ÎntârziereNAND NOR

Fig. 11.5

În toate schemele secven iale asincrone se va considera c o comutare dintr-o stare în alta este determinat de modificarea unei singure variabile de la intrare, ceea ce înseamn cfrecven a de modificare a intr rilor este mai mic decât frecven a a c rei perioad este t;aceast condi ie este necesar pentru eliminarea tranzi iilor de stare incorecte.

O a doua clas de circuite secven iale asincrone utilizeaz pentru realizarea func iilorde memorare automate elementare. Un astfel de automat tipic pentru realizarea sec iunii de memorare este bistabilul RS. Schema unui astfel de automat elementar este prezentat în figura 11.6.a), simbolul prin care se reprezint grafic în figura 11.6.b, iar tabele de adev reste reprezentat în tabelul 6

Tabel nr. 6S R Qt Qt+1

0 0 0 00 0 1 10 1 0 00 1 1 01 0 0 11 0 1 11 1 0 *1 1 1 *

Fig. 11.6

Rela ia care descrie func ionarea acestui bistabil este:

tttt QRSQ 1 (11.8)

St rile notate cu * din tabelul 6 sunt st ri incerte i de aceea trebuie luate m suri ca snu poat ap rea simultan pe cele dou intr ri valoarea 1.

În cazul general comutarea este asincron deoarece ea este determinat de modificarea intr rilor S i R ce poate surveni la momente aleatoare de timp. Se remarc faptul

Page 261: tehnologia sistemelor

SINTEZA AUTOMATELOR FINITE 263

c la bistabilii RS este asigurat memorarea st rii curente, bascularea (trecerea dintr-o stare în alta, f cându-se asincron, fiecare bistabil comutând la momente proprii (cu întârzieri proprii).

Datorit timpilor proprii de comutare diferi i, chiar dac intr rile ar fi sincronizate (s-ar modifica numai la anumite valori de timp) deci chiar dac excita iile R i S a bistabililor s-ar modifica în acela i timp, bascularea diferi ilor bistabili ar fi asincron . O schemsecven ial asincron care are sec iunea de memorare realizat cu automate elementare este prezentat în figura 11.7.

Sec iunecombina ional

Fig. 11.7

Schemele secven iale asincrone sunt susceptibile de tranzi ii incorecte pentru eliminarea c rora trebuie luate m suri speciale una dintre cele mai importante fiind aceea ca frecven a de modificare a intr rilor s fie mai mic decât frecven a corespunz toare întârzierii (timpului de transmitere a excita iilor plus timpul de basculare) maxime.

Un tip special de scheme secven iale sincrone îl constituie schemele cu intr ri în impuls (automate de tip Mealy sau automate de tip Moore) al c rei mod de tratare este identic cu al tuturor schemelor secven iale asincrone dac sunt respectate urm toarele condi ii:

- modificarea în impuls la un moment oarecare tk a cel mult o intrare; - durata impulsului de intrare compatibil cu elementele logice ale automatului- frecven a apari iei impulsurilor de intrare mai mic decât frecven a de comutareglobal a automatului secven ial.

11.3.2.2. Scheme secven iale sincrone

În cazul schemelor secven iale sincrone modificarea variabilelor de stare se realizeazsincron, utilizându-se în acest scop un impuls de tact; noua stare este memorat i p stratneschimbat pân la apari ia unui nou impuls de tact. În acest fel elementele sec iunii de memorare introduc toate întârzieri egale Sec iunea de memorare a automatelor secven iale sincrone este realizat cu automateelementare sincrone de tipul bistabililor RST, JK, T sau D.

Page 262: tehnologia sistemelor

TEORIA SISTEMELOR I REGLAJ AUTOMAT264

Un automat elementare de tip RST are schema prezentat în figura 11.8.a, se reprezint grafic prin intermediul simbolului din figura 11.8.b, iar tabele de adev r este identic cu cea din tabelul 6 cu men iunea c tranzi ia în starea urm toare se realizeaz numaiîn prezen a impulsului de tact T.

Fig 11.8

Un automat elementar de tip JK master-slave este realizat din dou automateelementare de tip RST interconectate ca în figura 11.9.a, dintre care primul este în regim de comand (master) iar cel lalt subordonat primului (slave), fiind reprezentate în scheme prin intermediul simbolului din figura 11.9.b.

Fig. 11.9

Tabel nr. 7 S R Qt Qt+1

0 0 0 00 0 1 10 1 0 00 1 1 01 0 0 11 0 1 11 1 0 *1 1 1 *

Tabela de adev r este cea din tabelul 6 i dup cumse poate observa difer de cea a automatului RS prin eliminarea st rilor incerte. Func ia de ie ire a acestor automate este dat de ecua ia:

ttttt QKQJQ 1 (11.9)

Un automat e tip T se poate realiza dintr-un automat de tip JK a a cum se poate vedea în figura 11.10.a, iar simbolizarea grafic se realizeaz ca în figura 11.10.b. Un astfel de automat realizeaz o func ie de forma:

tt QQ 1 (11.10)

Page 263: tehnologia sistemelor

SINTEZA AUTOMATELOR FINITE 265

adic la fiecare tact este complementat ie irea.

Fig. 11.10 Fig. 11.11

Un automat elementar de tip D se poate realiza dintr-un automat de tip JK prin aplicarea negat a intr rii J la intrarea K a a cum este prezentat în figura 11.11.a. iar simbolizarea grafic este cea din figura 11.11.b. În prezen a semnalului de tact un astfel de automat realizeaz func ia:

tt DQ 1 (11.11)

Automatele de tip RST comut pe frontul cresc tor al impulsului de tact iar cele de tip JK i T pe frontul descresc tor al impulsului de tact. Se impun câteva condi ii în ceea ce prive te impulsul de tact:

- durata impulsului trebuie s fie compatibil cu elementele schemei, adictrebuie s fie suficient de mare pentru ca impulsul s poat fi sesizat cu siguran de c tre elementele din compunerea schemei;

- frecven a trebuie s fie de cel pu in dou ori mai mare decât frecven a de modificare a intr rilor (pentru a nu exista riscul pierderii de informa ie);

- raportul impuls/pauz trebuie limitat superior pentru a preveni apari ia a mai mult de o comutare în circuitul combina ional.

Exist posibilitatea utiliz rii unor circuite de multiplexare sau de decodificare în realizarea sec iunii de memorare, ceea ce determin a simplificare a schemelor logice. Utilizarea unui circuit de multiplexare determin o simplificare a circuitului de leg tur între variabilele de intrare i bistabilele de stare, iar un circuit de decodificare determin o simplificare a leg turilor dintre bistabilele de stare i ie iri.

Page 264: tehnologia sistemelor

TEORIA SISTEMELOR I REGLAJ AUTOMAT266

11.4. Metode de proiectare a schemelor logice

11.4.1. Sinteza schemelor logice combina ionale

11.4.1.1. Etape i opera ii logice utilizate

Sinteza va avea ca scop implementarea schemei logice cu elemente fizice, schemecare s satisfac condi iile de func ionare impuse prin tema de proiectare.

Etapele care trebuie parcurse pentru proiectarea i realizarea schemelor logice combina ionale sunt:

1. Descrierea foarte precis a modului de func ionare a instala iei ce urmeaz a fi realizat ; se vor folosi în acest scop scheme, desene, text, etc..

2. Descrierea formal a func ion rii prin tabel (tabele) de adev r.3. Deducerea unor func ii logice asociate tuturor ie irilor i tuturor elementelor

auxiliare care s asigure func ionarea instala iei conform cerin elor impuse iminimizarea acestor func ii.

4. Implementarea func iilor deduse cu elementele fizice cele mai potrivite. 5. Completarea schemei cu elemente auxiliare de tipul surselor, amplificatoarelor,

elemente pentru îndep rtarea hazardului, etc.. Etapa cea mai dificil , cu o importan deosebit în asigurarea unei func ion ri

corecte în condi iile unui pre minim este etapa 3, de ea depinzând în final calitatea automatului realizat. Opera ia de minimizare aplicat asupra func iilor logice de ie ire sau auxiliare în aceast etap , urm re te:

- reducerea num rului de elemente fizice ce intervin în implementarea schemeilogice;

- reducerea num rului de variabile ce intervin în realizarea func iei;- folosirea unei p r i comune în realizarea schemelor logice descrise de un sistem de

func ii.Opera ia de minimizarea este asociat termenului de implicant prim.

Un implicant prim al unei func ii y(u1,u2,...,um) este o conjunc ie de tipul uk1uk2...ukl cu m l din care se nu mai poate scoate un termen de forma ukj, f r a determina ca, conjunc iavariabilelor r mase s nu mai fie cuprins în func ia y.

Se poate demonstra c forma minimal a unei func ii se ob ine ca disjunc ie de implican i primi. Determinarea implican ilor primi se realizeaz prin opera ii logice de absorb ie, alipire, reducere. Ecua iile care definesc aceste opera ii sunt:

- absorb ie:1211211

121211

)(

)1(

xxxxxxx

xxxxxx

- alipire: 112121

12212121

0))((

)(

xxxxxx

xxxxxxxx

- reducere:

000;001;111;00;1;0;

000;101;111;0;11;1;

11111111

11111111

xxxxxxxx

xxxxxxxx

Forma de exprimare a unei func ii în care se execut toate aceste opera ii se nume tedisjunc ie complet .

Page 265: tehnologia sistemelor

SINTEZA AUTOMATELOR FINITE 267

A a cum se observ opera iile logice de reducere, absorb ie i alipire au fost definite pentru exprimarea func iilor logice în forma canonic disjunctiv ; pentru minimizarea func iilor logice exprimate în forma canonic conjunctiv se calculeaz negata acesteia (care va fi exprimat în forma canonic disjunctiv ), se minimizeaz negata cu ajutorul opera iilorprezentate i în final se neag func ia minimizat ob inându-se din nou o func ie în forma canonic conjunctiv . Schemele combina ionale pot avea una, dou sau mai multe ie iri, metodele de proiectare fiind specifice fiec rui caz.

11.4.1.2. Sinteza schemelor combina ionale cu o singur ie ire

a)Utilizarea diagramelor Karnaugh

În cazul minimiz rii schemelor combina ionale cu o singur ie ire una dintre cele mai utilizate metode de minimizare este utilizarea diagramelor Karnaugh. Fiec rei func ii logice depinzând de m variabile i se poate asocia o diagramKarnaugh care este un tabel cu 2l linii i 2s coloane, unde l+s=m. Fiecare linie corespunde unei conjunc ii de valori posibile a l variabile de intrare, iar frecare coloan corespunde unei conjunc ii de valori posibile a celorlalte s variabile. În afara tabelei se traseaz pornind din col ul din stânga sus o linie oblic ; deasupra acesteia se trece conjunc ia variabilelor corespunz toare coloanelor, iar dedesubt conjunc ia variabilelor corespunz toare liniilor.

Combina iile de valori ale variabilelor corespunz toare fiec rei coloane se aleg în a afel încât trecerea de la o coloan la coloana al turat s se realizeze prin modificarea valorii unei singure variabile (se consider al turate i prima cu ultima coloan ); se trece în dreptul fiec rei coloane combina ia valorilor variabilelor de intrare în ordinea specificat deasupra liniei oblice ca i conjunc ii de zero i unu.

Combina iile de valori ale variabilelor corespunz toare fiec rei linii se alege în a a fel încât trecerea de la o linie la linia al turat s se realizeze prin modificarea valorii unei singure variabile (se consider al turate i prima cu ultima linie); se trece în dreptul fiec reilinii combina ia valorilor variabilelor de intrare în ordinea specificat dedesubtul liniei oblice ca i conjunc ii de zero i unu.

Se consider c fiecare celul a tabelei corespunde unui minitermen în care variabilele de intrare apar sub form direct acolo unde în pozi ia corespunz toare ei din coloana sau linia respectiv apare valoarea 1 i sub form negat acolo unde în pozi ia corespunz toare ei din coloana sau linia respectiv apare valoarea 0.

Se trece valoarea 1 în fiecare celul a tabelei care corespunde unui minitermen din expresia formei canonice disjunctive a func iei, restul celulelor fiind completate cu zerouri.

Pentru minimizare se fac inele cu dimensiunea 2kx2r (k,r=0,1,...) care s con innumai valori de 1 al turate din tabel , încercându-se ob inerea unor inele de dimensiuni cât mai mari; este necesar ca toate celulele cu valori 1 s fie cuprinse cel pu in odat într-un inel. Fiecare inel va corespunde unui implicant prim care înlocuie te to i minitermenii corespunz tori valorilor 1 cuprinse în inelul respectiv; minitermenul corespunz tor fiec ruiinel se ob ine din conjunc ia variabilelor care nu- i schimb valoarea în interiorul inelului respectiv, sub forma direct sau negat a a cum apar în coloanele i liniile cuprinse în inel (se elimin variabilele care- i schimb valoarea în interiorul inelului respectiv).

Forma minimizat a func iei va fi ob inut prin disjunc ia tuturor implican ilor primi astfel ob inu i.

Page 266: tehnologia sistemelor

TEORIA SISTEMELOR I REGLAJ AUTOMAT268

De exemplu pentru func ia de ie ire y a c rei tabel de adev r este prezentat în tabelul 8 se construie te diagrama Karnaugh prezentat în tabelul 9.

Se pot trasa trei inele a a ca în tabel; fiec rui inel îi corespunde un implicant prim care se ob ine prin eliminarea variabilei ce- i schimb valoarea în interiorul inelului, astfel:

- din inelul I este eliminat variabila x3, r mânând implicantul prim de forma: 21xx

- din inelul II este eliminat variabila x1, r mânând implicantul prim de forma: 32 xx

- din inelul III este eliminat variabila x3, r mânând implicantul prim de forma: 21xx

Forma minimizat a func iei rezult ca disjunc ie a minitermenilor ob inu i, adic :

213221 xxxxxxy

Tabel nr. 9În cazul în care num rul de variabile de intrare este prea mare (mai mult de 6 variabile de intrare) utilizarea diagrameiKarnaugh pentru minimizareafunc iei devine greoaie i în acest caz se recomand utilizarea altor algoritmi de minimizare a

func iilor combina ionale, unul dintre acestea fiind AlgoritmulQuine-Mc Cluskey

Tabel nr. 8 x1 x2 x3 y0 0 0 00 0 1 00 1 0 10 1 1 11 0 0 11 0 1 11 1 0 01 1 1 1

x1x2

x3 00 01 11 10

0 0 1 0 11 0 1 1 1

I II III

b) Sinteza schemelor logice combina ionale cu un num r mare de intr ri (algoritmul

Quine-Mc Cluskey)

Algoritmul Quine-Mc Cluskey utilizat pentru minimizarea func iilor combina ionalecu un num r mare de intr ri se realizeaz în urm toarele etape:

1. Se reprezint minimitermenii func iei sub form binar i se atribuie minitermenului valoarea num rului zecimal pe care îl reprezint ;

2. Se repartizeaz minitermenii pe grupe func ie de num rul de zerouri pe care le con ine minitermenul, în fiecare grup ordinea minitermenilor este cea zecimalcresc toare i se trec într-un tabel;

3. Se alipesc doi minitermeni din grupe vecine cu condi ia ca ei s difere printr-o singur variabil , variabil ce se înlocuie te în expresia binar cu semnul “-“;

4. Se formeaz o nou reparti ie cu to i cu to i termenii astfel ob inu i i cu termeniicare nu au participat la nici o alipire i se reia procedeul cu aceia i regul pentru semnul “-“;

5. Se continu procedeul pân când nu se mai poate face nici o alipire; termeniir ma i constituie implican ii primi.

Pentru exemplificarea acestui algoritm vom considera func ia logic :

543215432154321543215432154321

543215432154321543215432154321

uuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuu

uuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuy

1. Reprezentând sub form binar primul termen se ob ine 00000 a c rei valoare zecimal este 0, cel de-al doilea termen 00001 a c rei valoare zecimal este 1, .a.m.d. astfel încât în final func ia de ie ire se poate scrie:

Page 267: tehnologia sistemelor

SINTEZA AUTOMATELOR FINITE 269

y=0+1+2+4+3+5+9+12+11+19+25+152. Repartizându-i sub form tabelar pe grupe func ie de num rul de zerouri con inute

de fiecare minitermen se ob ine:

I II III IV Vu1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0u2 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1u3 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1u4 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1u5 0 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1

0 1 2 4 3 5 9 12 11 19 25 15

3. Alipirile posibile între termeni sunt: grupele I-II minitermenii: 0-1, 0-2, 0-4 grupele II-III minitermenii: 1-3, 1-5, 1-9,4-5, 4-12 grupele III-IV minitermenii: 3-11, 3-19, 9-11, 9-25,grupele IV-V minitermenii: 11-15

To i mimitermenii au fost cuprin i cel pu in odat într-o alipire. 4. Pe baza alipirilor realizate se construie te tabelul:

I II III IVu1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 - 0 - 0u2 0 0 0 0 0 - 0 - - 0 1 1 1u3 0 0 - 0 - 0 1 1 0 0 0 0 -u4 0 - 0 - 0 0 0 0 1 1 - 0 1u5 - 0 0 1 1 1 - 0 1 1 1 1 1

a b c d e f g h i j k l m

Se pot face noi alipiri astfel: grupele I-II minitermenii: a-g, b-d, c-e grupele II-III minitermenii: d-k, f-i,

Termenii h,j l i m nu au fost cuprin i în nici o alipire. Se reconstruie te tabelul:

I II IIIu1 0 0 0 0 0 0 - - 0u2 0 0 0 - - - 0 1 1u3 - 0 - 1 0 0 0 0 -u4 0 - 0 0 - - 1 0 1u5 - - - 0 1 1 1 1 1

Primul i al treilea termen din grupa I sunt identici i de asemenea primul i al doilea termendin grup II. Func ia minimizat rezult din disjunc ia termenilor din tabel sub forma:

5421543254325315431321421 uuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuy

Page 268: tehnologia sistemelor

TEORIA SISTEMELOR I REGLAJ AUTOMAT270

11.4.1.3. Minimizarea sistemelor combina ionale cu mai multe ie iri

I. Pentru implementarea cu elemente unidirec ionale se poate face sinteza separatpentru fiecare ie ire în parte ca la schemele cu o singur ie ire. Se caut elementele comunecare sunt implementate o singur dat .

Ca exemplu, pentru fun iile de ie ire:

32132132123213213211 ; uuuuuuuuuyuuuuuuuuuy

se construiesc diagramele pentru y1 pentru y2

se ob in expresiile minimizate ale ie irilor:

Dup cum se observ termenul u2u3 este parte comun . Pentru elementeleunidirec ionale aceast parte comun se poate utiliza o singur dat f r nici un fel de probleme; astfel pentru o implementare cu relee alimentate în curent continuu montarea unor diode transform schema în schem unidirec ional ca în figura 11.13

Pentru elemente bidirec ionale îns (relee alimentate în curent alternativ de exemplu), utilizarea ca atare a schemeiar produce semnale false i deci func ionare eronat ; astfelatunci când termenul u1u3 devine 1 logic este activat iie irea y2, de i în în tabela ei de adev r acest termen nu apare . Pentru a evita func ionarea incorect i pentru a folosi totu i p r i comune, pentru schemele combina iomalecu dou ie iri se utilizeaz scrierea stea sau scrierea triunghi.

u1u2

u3 00 01 11 10

0 0 0 0 01 0 1 1 1

u1u2

u3 00 01 11 10

0 0 1 0 0 1 0 1 1 0

y2

u3

u2

u2

u1

u3

u1

y1

Fig. 11.13

a) Scrierea stea

Se consider în acest caz cele dou ie iri sub forma unui sistem:

2122

1121

vvy

vvy (11.13)

unde v12 reprezint partea comun .Pentru determinarea p r ii v12 se procedeaz astfel: se trec într-o diagrama Karnaugh

valori de 1 în loca iile pentru care y1+y2=1; restul loca iilor se consider 0. Se face minimizarea ob inându-se valoarea v12.

Pentru determinarea valorii v1 se procedeaz astfel: se trec într-o diagrama Karnaugh valori de 1 în loca iile pentru care y1 este 1, restul loca iilor fiind indiferente; se face minimizarea, inelele putând cuprinde i loca ii indiferente dar în num r cât mai mic.

Pentru v2 se procedeaz în mod similar considerându-se valorile ie irii y2.Cu regulile prezentate pentru exemplul considerat se ob in urm toarele diagrame:

Page 269: tehnologia sistemelor

SINTEZA AUTOMATELOR FINITE 271

Pentru v12: pentru v1 pentru v2

u1u2

u3 00 01 11 10

0 0 1 0 0 1 0 1 1 1

u1u2

u3 00 01 11 10

0 x x x x 1 x 1 1 1

u1u2

u3 00 01 11 10

0 x 1 x x1 x 1 1 x

Se ob in urm toarele expresii pentru v12, v1, v2:

22

31

21322112

uv

uv

uuuuuuv

Pentru forma stea ie irile se vor putea scrie deci:

22132212

32132211

)(

)(

uuuuuuuy

uuuuuuuy

b) Scrierea triunghi

Se consider în acest caz cele dou ie iri sub forma sistemului:

12122

12211

y

y (11.14)

unde reprezint partea comun .Pentru determinarea valorii 1 se procedeaz astfel: se trec într-o diagrama Karnaugh

valori de 1 în loca iile pentru care y1 este 1, loca iile pentru care y1y2=1 sunt considerate indiferente, iar restul loca iilor se consider 0; se face minimizarea, inelele putând cuprinde iloca ii indiferente.

Pentru 2 se procedeaz în mod similar considerându-se valorile ie irii y2.Pentru determinarea p r ii se procedeaz astfel: în cazul în care toate st rile

y1y2=1 au fost cuprinse în termenii 1, 2 se va considera 12=1 pentru y1y2=1; în cazul în care în expresiile 1 i 2 nu au fost prinse toate loca iile pentru care y1y2=1 se va considera

12=1 pentru toate loca iile pentru care y1y2=1 nu au fost cuprinse în 1 i 2, loca iile pentru care y1y2=1 cuprinse în 1 i 2 se consider indiferente, celelalte loca ii fiind 0.

Cu regulile prezentate pentru exemplul considerat se ob in urm toarele diagrame:Pentru 1 Pentru 2 Pentru 12

u1u2

u3 00 01 11 10

0 0 0 0 0 1 0 x x 1

u1u2

u3 00 01 11 10

0 0 1 0 0 1 0 x x 0

u1u2

u3 00 01 11 10

0 0 0 0 0 1 0 1 1 0

Din diagrame se ob in urm toarele expresii pentru 1, 2, 12:

3212

212

311

uu

uu

uu

Pentru forma triunghi ie irile se vor putea scrie deci:

Page 270: tehnologia sistemelor

TEORIA SISTEMELOR I REGLAJ AUTOMAT272

321212

321311

uuuuuy

uuuuuy

Minimizarea schemelor combina ionale cu mai mult de dou ie iri

(metoda matricial )

În caz c num rul de ie iri ale schemei logice combina ionale ce trebuie proiectateste mai mare de trei se aplic metoda matricii implican ilor primi. În cadrul acestei metodese urm re te determinarea implican ilor primi ai func iilor de ie ire precum i implican iiprimi ai tuturor conjunc iilor posibile ale func iilor de ie ire. Pentru aceast metod este necesar s definim no iune de minitermen fundamental iimplicant prim esen ial. Dac se consider un sistem de func ii i setul corespunz tor de implican i primi, iar unul dim minitermenii unei func ii yj este acoperit doar de un singur implicant prim al func iei yj sau al c rei conjunc ii formate cu celelalte func ii ale sistemului, în care apare yj,minitermenul respectiv se nume te minitermen fundamental iar implicantul prim care îl acoper se nume te implicant prim esen ial.

Algoritmul metodei matriciale este urm torul:a) Se construie te o matrice în care coloanele sunt minitermenii func iilor de ie ire

(codifica i zecimal), iar liniile sunt implican ii primi ai ie irilor i ai conjunc iiloracestora; se marcheaz cu semnul x acoperirile minitermenilor de c tre implican iiprimi.

b) Se caut implican ii primi esen ialic) Se reconstruie te matricea eliminându-se

implican ii primi esen iali i coloanele acoperitede ace tia.

d) Se exclude o linie k dac exist o linie j egal cu k saucare o domin pe k; se consider c o linie j domin o linie k dac linia j are semnul x în toate coloaneleîn care linia k are semnul x i în plus linia j mai are semnul x i în alte coloane, în care k nu are semn.

e) Se continu procedeul pân când to i minitermenii au fost acoperi i.Pentru exemplificare vom considera urm torul exemplu: s se minimizeze schema logic a c rei func ii de ie ire au expresiile:

43214321432143213

43214321432143214321432143212

4321432143214321432143211

uuuuuuuuuuuuuuuuy

uuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuy

uuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuy

a) Pentru determinarea implican ilor primi i ai codific rii zecimale a minitermenilorvom construi diagramele Karnaugh pentru fiecare func ie în parte precum i pentru conjunc iile posibile ale acestora. Se ob in pentru func iile de ie ire diagramele:

u1u2

u3u4 00 01 11 1000 0 0 0 001 0 0 0 111 0 0 0 110 0 1 1 0

Pentru y3

u1u2

u3u4 00 01 11 1000 0 1 0 001 0 1 1 111 0 0 0 110 1 0 0 1

Pentru y2

u1u2

u3u4 00 01 11 1000 0 0 0 001 1 1 1 111 1 1 0 010 0 0 0 0

Pentru y1

Page 271: tehnologia sistemelor

SINTEZA AUTOMATELOR FINITE 273

Pentru conjuc iile func iilor de ie ire se ob in diagramele:

u1u2

u3u4 00 01 11 1000 0 0 0 001 0 1 1 111 0 0 0 010 0 0 0 0

Pentru y1y2

u1u2

u3u4 00 01 11 1000 0 0 0 001 0 0 0 111 0 0 0 010 0 0 0 0

Pentru y1y3

u1u2

u3u4 00 01 11 1000 0 0 0 001 0 0 0 111 0 0 0 110 0 0 0 0

Pentru y2y3

Pentru conjunc ia y1y2y3 se ob ine aceea i form ca i pentru y1y3.inând cont de codificarea zecimal a minitermenilor rezult expresiile func iilor minimizate:

)9(

)11,9(

)9(

)13,9()13,5(

)11,9()14,6(

)10,2()11,9()13,5()5,4(

)7,3,5,1()9,13,5,1(

321

32

31

21

3

2

1

yyy

yy

yy

yy

y

y

y

unde fiecare parantez corespunde câte unui inel din diagram , minitermenii fiindreprezenta i prin codul zecimal. Se întocme te matricea:

y1 y2 y3

1 2 5 7 9 13 2 4 5 9 10 11 13 6 9 11 14A(1,5,9,13) x x x xy1

B (1,5,3,7) x x x xC (4,5) x xD (5,13) x xE (9,11) x x

y2

F (2,10) x xG (6,14) x xy3

H (9,11) x xI (5,13) x x x xy1y2

J (9,13) x x x xy1y3 K (9) x xy2y3 L (9,11) x x x xy1y2y3

M (9) x x x

Se încercuiesc minitermenii fundamentali ; se consider minitermeni fundamentaliminitermenii în coloana c rora apare un singur x.

Se consider implican ii primi care îi acoper i se încadreaz minitermenii acoperi isuplimentar de ace tia.

Page 272: tehnologia sistemelor

TEORIA SISTEMELOR I REGLAJ AUTOMAT274

b) Se re in implican ii primi esen iali; ace tia vor fi:

pentru y1: (1,5,3,7)

y2: (4,5);(2,10)

y3: (6,14)

c) Se reconstruie te matricea eliminând liniile implican ilor primi esen iali icoloanele acoperite de ace tia. Se elimin liniile BCFG, matricea redus c p tând forma:

y1 y2 y3

9 13 9 11 13 9 11y1 A(1,5,9,13) x x

D (5,13) xy2

E (9,11) x xy3 H (9,11) x x

I (5,13) x xy1y2

J (9,13) x x x xy1y3 K (9) x xy2y3 L (9,11) x x x xy1y2y3M (9) x x x

d) Se caut acoperirile plecând de la liniile complexe J i L; se ob in acoperirile: linia J acoper linia Alinia J acoper linia Dlinia J acoper linia Ilinia L acoper linia Elinia L acoper linia H

linia M acoper linia Kinând cont c implicantul prim (9) este cuprins atât în linia J cât i în linia L, rezult

implican ii primi:y1: (9.13)

y2: (9,11)+(9,13)

y3: (9,11)

inând cont i de implican ii primi dedu i anterior rezult :

4214323

4214314323212

431411

)11,9()14.6(

)11,9()13,9()10,2()5,4(

)13,9()7,5,3,1(

uuuuuuy

uuuuuuuuuuuuy

uuuuuy

Minimizarea func iilor incomplet definite

Exist situa ii când anumite combina ii de intr ri din tabela de adev r nu se pot realiza fizic; valoarea func iei logice corespunz toare acestor combina ii se consider indiferent .Pentru minimizarea acestor func ii se utilizeaz diagrama Karnaugh în care pentru combina iile de intrare corespunz toare valorilor indiferente ale func iei se introduce câte un x. Pentru minimizare se fac inele (la fel ca pentru diagramele Karnaugh obi nuite) care pot s

Page 273: tehnologia sistemelor

SINTEZA AUTOMATELOR FINITE 275

cuprind i loca ii notate cu x dar nu se pot realiza inele numai din loca ii care cuprind x-uri. Se extrag implican ii primi din fiecare loca ie i se realizeaz disjunc ia lor, disjunc ie ce va constitui forma minimizat a func iei de ie ire.

Pentru exemplificare vom considera cazul unui func iei logice care permitedeplasarea unui ascensor de marf prev zut cu trei limitatoare (a,b,c) pentru m surareagreut ii ca în figura 14. Închiderea limitatorului a sesizeaz c liftul nu mai este gol, închiderea limitatorului b sesizeaz faptul c sarcina liftului a dep it limita minimeconomic (s spunem 100 kg) iar limitatorul c sesizeaz faptul c sarcina a dep it limita de siguran (s zicem 1000 Kg). Liftul poate s se deplaseze când este gol (atunci când este chemat de la alte etaje) sau când sarcina se afl peste limita economic i sub limita de siguran .

Pentru func ia de ie ire se ob ine tabela de adev r prezentat în tabelul 10. Aplicând regulile de minimizare enun ate se ob ine(urm toarea diagram Karnaugh:

Rezult urm toarea expresie pentru func ia de ie ire minimizat

Tabel nr. 10 a b c y0 0 0 10 0 1 x0 1 0 x0 1 1 x1 0 0 01 0 1 x1 1 0 11 1 1 0

a b c

Fig. 14

abc 00 01 11 10

0 1 x 1 01 x x 0 x

cbay

Page 274: tehnologia sistemelor

TEORIA SISTEMELOR I REGLAJ AUTOMAT276

11.4.2. Sinteza schemelor secven iale asincrone cu linii de întârziere

La aceste scheme func ia de memorare a st rii anterioare este realizat prin linii de întârziere cu elemente NAND sau NOR

O astfel de schem prezint un num r finit de st ri Si (i=1...r) determinate de o combina ie de p variabile de stare xj; Fiecare variabil de stare este legat printr-o func ie de tranzi ie de o variabil de excita ie Xj, determinat la rândul ei combina ional de variabilele de intrare i de variabilele de stare, astfel încât

)()( tXttx jj (11.15)

Tranzi iile pentru fiecare linie j (corespunz toare variabile xj) se realiza asincron, tfiind determinat de lungimea liniei de întârziere pentru fiecare variabil de stare. Tranzi iaschemei dintr-o stare Si într-o alt stare Sk se consider încheiat când s-au modificat toate cele p variabile de stare xj corespunz toare noii st ri; acest fapt va avea loc când variabila de stare pe care se afl linia de memorare cea mai lung i-a schimbat starea. Dac not m tM

aceast întârziere atunci tranzi ia Si Sk va fi încheiat când vor fi satisf cute rela iile(11.15) pentru oricare j (1...p).

Stabilitatea unui astfel de sistem este asigurat dac pe timpul tM setul de intr ri nu se modific . ~n caz contrar sistemul execut tranzi ii incorecte, care determin valori incorecte ale m rimilor de ie ire. Dup stabilizarea setului variabilelor de stare i de ie ire,acestea r mân nemodificate pân la apari ia unei noi modific ri ale uneia din variabilele de intrare uj.

În sinteza automatelor secven iale cu linii de întârziere vom presupune c la un moment dat nu se modific mai mult de o intrare.

Metodologia de proiectare cuprinde urm toarele etape:1. Descriere complet a func ion rii automatului;2. Determinarea matricii (tabelei) primitive a st rilor i a ie irilor;3. Reducerea num rului de st ri ale matricii primitive (întocmirea matricii reduse) a

st rilor i a ie irii;4. Codificarea st rilor matricii reduse; 5. Determinarea matricii de tranzi ie a st rilor i ob inerea func iilor de excita ie ale

automatului;6. Determinarea matricilor ie irilor i a func iilor de ie ire ale schemei logice; 7. Implementarea schemei cu elemente fizice 8. Analiza schemei ob inute

Vom detalia în continuare con inutul fiec rei etape

11.4.2.1. Descrierea func ion rii automatului

Descrierea func ion rii va reflecta leg tura dintre combina iile de intrare posibile ivariabilele de ie ire pentru un ciclu complet de func ionare.

Un ciclu complet este un ciclu în care pornind din stare considerat ini ial , automatulevolueaz prin comut ri succesive într-un num r finit de st ri stabile, fiecare dintre aceste st ri corespunzând unei situa ii reale i necesare din condi iile impuse automatului; ultimastare în care comut automatul este starea ini ial .

Page 275: tehnologia sistemelor

SINTEZA AUTOMATELOR FINITE 277

Descrierea func ion rii se face prin cuvinte sau prin diagrame de semnal. În ambelecazuri, coresponden a dintre ie iri i intr ri trebuie descris pentru toate secven ele posibile, în caz contrar schema rezultat putând duce la func ion ri eronate. Înc din aceast faz se stabilesc traductoarele de intrare i elementele de execu iecorespunz toare ie irilor func ie de specificul instala iei automatizate, condi ii de func ionarei pre .

Pentru exemplificarea descrierii func ion rii vom considera un automat secven ial cu dou intr ri (u1 i u2) i o singur i o singur ie ire (y) care trebuie s realizeze urm toarelecondi ii de func ionare: La ie irea automatului se ob ine semnal logic 1 (y=1) atunci când atât u1 cât i u2 sunt 1, dar numai dac u2 se aplic înaintea lui u1 (u2 trece în 1 logic înaintea lui u1); ie irea y ap rut în aceste condi ii se men ine 1 atâta timp cât este 1 i semnalul u2. Se consider (ca la orice automat) c intr rile nu se pot modifica simultan.

Tabel nr. 11.11 u1 u2 y Stare0 0 0 S1

0 0 1 ---0 1 0 S2

0 1 1 S3

1 0 0 S4

1 0 1 ---1 1 0 S5

1 1 1 S6

Diagrama de semnale con ine toate secven ele de intrare posibile. Pentru a ob ine de la început num rulst rilor posibile se realizeaz o tabel similar tabelei de adev r în care sunt eviden iate numai st rilecorespunz toare combina iilor de intrare i ie ire posibile; pentru exemplu nostru se ob ine tabelul nr. 11.11.

Ciclu complet de func ionare a automatului va putea fi descris printr-o diagram de semnal ca cea din fig 11.15 în care sunt eviden iate toate tranzi iile de stare posibile.

u1

u2

y

1 4 1 2 1 4 5 4 1 2 6 3 6 4 1 4 5 2 1 2 6 3 1Fig. 10.15

11.4.2.2. Determinarea matricii (tabelei) primitive a st rilor i a ie irilor

Se întocme te o tabel care are 2n coloane (unde n este num rul intr rilor) i un num rde linii egal cu num rul de st ri primitive. Coloanele se vor codifica cu combina ii adiacente ale valorilor posibile ale intr rilor.

Pentru fiecare linie se procedeaz astfel:- se trece în dreptul coloanei cu combina ia de intr ri ce caracterizeaz starea de pe

linia respectiv num rul st rii i se încercuie te; aceste st ri sunt st ri stabile

Page 276: tehnologia sistemelor

TEORIA SISTEMELOR I REGLAJ AUTOMAT278

- se trec numerele corespunz toare st rilor în care automatul poate realiza tranzi iepornind din starea stabil , în dreptul combina iei de intrare corespunz toare st rii în care se realizeaz tranzi ia; aceste st ri sunt considerate instabile;

- în c su ele corespunz toare comut rii simultane a dou (sau mai multe) intr ri fade combina ia de intr ri corespunz toare st rii stabile se trece o linie (se consider c astfel de tranzi ii, deci loca iile corespunz toare, sunt indiferente). Pentru exemplul considerat anterior tabela primitiv a st rilor va ar ta ca în tabelul 11.12. Acestei tabele i se asociaz matricea primitiv a ie irilor care se completeaz astfel:

- Se trece mai întâi valoarea corespunz toare a ie irilor pentru st rile stabile (st rileîncercuite);

- Pentru st rile instabile (neîncercuite) a) Dac în timpul tranzi iei pe linia respectiv ie irea nu- i schimb valoarea, se

trece valoarea corespunz toarea st rii stabile; b) Dac în timpul tranzi iei ie irea î- i schimb valoarea se consider loca ia

indiferent i se trece un x. Pentru exemplu considerat matricea primitiv a ie irii este prezentat în tabelul 11.13.

Tabel nr. 11.12 u1u2

00 01 11 10S1 1 2 - 4S2 1 2 6 -

S3 1 3 6 -S4 1 - 5 4S5 - 2 5 4S6 - 3 6 4

u1u2

00 01 11 10S1 0 0 x 0S2 0 0 x xS3 0 1 1 xS4 0 x 0 0S5 x 0 0 0S6 x 1 1 x

Tabelul nr. 11.13

11.4.2.3. Întocmirea matricii reduse a st rilor i a ie irilor

Pentru întocmirea matricii reduse se urm re te reducerea num rului de st ri prin opera ii de alipire. Dou linii ale matricii primitive a st rilor (corespunz toare st rilor stabile irespectiv j, se pot alipi i în felul acesta se poate ob ine o form redus , dac tranzi iile din st rile stabile i,j, ale celor dou linii, conduc, pentru aplicarea acelora i valori ale variabilelor de intrare, într-o stare viitoare k unic .

Din punct de vedere practic dou linii se pot alipi dac con inutul loca iilorlor, pe fiecare din coloane, corespunde uneia dintre urm toarele combina ii:

i j i j k i - i - k -

i j i j k - j - j - k

Utilizarea complet a tuturor alipirilor posibile este posibil prin utilizarea tuturor leg turilor (poligonul alipirilor). Acest poligon marcheaz prin segmente de dreapt toate alipirile posibile dintre o linie i i toate celelalte linii ale matricii primitive a st rilor. k st rinereduse ale matricii primitive pot fi reduse dac ele formeaz un poligon interior i exterior

Page 277: tehnologia sistemelor

SINTEZA AUTOMATELOR FINITE 279

cu k laturi. Pentru exemplul prezentat anterior poligonul alipirilor poate avea una dintre urm toarele forme:

1

4

5

26

3

1

4

5

26

3

1

4

5

26

3

a) b) c)Fig. 11.15

Vom alege varianta b. Matricea redus se va întocmi astfel: Liniilor corespunz toare unui poligon le corespunde o singur linie în matricearedus .

Fiecare linie din matricea redus va avea un num r de st ri stabile egal cu sumast rilor stabile din liniile alipite în poligonul respectiv.

Pe coloana unde exist combina ia stare stabil -stare instabil se trece starea stabiliar pe coloana unde exist combina ia stare-linie se trece starea. Matricea redus corespunz toare variantei b va avea forma din tabelul 11.14:

Matricii reduse a st rilor îi corespunde o matrice redus a ie irilor care se întocme tepe baza acelora i reguli ca i în cazul matricii primitive a ie irilor, matrice care are pentru exemplul dat forma din tabelul 11.15

u1u2

00 01 11 10S1-S2 1 2 6 4

S3-S6 1 3 6 4

S4-S5 1 2 5 4

Tabel nr. 11.14

u1u2

00 01 11 10S1-S2 0 0 x 0S3-S6 x 1 1 xS4-S5 0 0 0 0

Tabel nr. 11.15

11.4.2.4. Codificarea st rilor matricii reduse

Num rul variabilelor de stare necesare codific rii a p st ri este un num r q pentru care este îndeplinit condi ia: 2

qp. Pentru exemplul nostru q=2.

k

Pentru codificarea st rilor este necesar ca s se determine mai întâi liniile adiacente din matricea redus a st rilor. Se consider c dou linii ale matricii reduse sunt adiacente (linia j este adiacent cu i) dac cel pu in într-o coloan apare situa ia: k-în linia i , în linia j.

Vom nota starea redus S1-S2=A, S3-S6=B i S4-S5=C.

Page 278: tehnologia sistemelor

TEORIA SISTEMELOR I REGLAJ AUTOMAT280

Pentru eviden ierea tuturor adiacen elor se întocme te poligonul tranzi iilor ca în figura 11.17:

A B

C

Fig. 11.17

Tabel nr.11.16 x1

x2 0 10 A B1 C x

Pornind de la poligonul tranzi iilor, pentru a realiza codificarea adiacent a st riloradiacente se întocme te o tabel care are trecute pe linii i pe coloane variabilele de stare grupate i codificate adiacent, iar prin încerc ri se caut a ezarea st rilor care trebuie s fieadiacente conform poligonului tranzi iilor în loca ii adiacente. Pentru exemplul prezentat se realizeaz tabelul 11.17.

În caz c codificarea adiacent a tuturor st rilor adiacente nu este posibil (este icazul exemplului nostru) se va verifica dac tranzi iile adiacente codificate neadiacent provoac curse critice.

O curs critic apare atunci când pornind de la o stare instabil din linia corespunz toare st rii necodificate adiacent se poate ajunge în dou (sau mai multe) st ristabile pentru aceea i combina ie a variabilelor de intrare (pe coloana corespunz toare existmai multe st ri stabile). În exemplul nostru starea B nu este codificat adiacent cu C (a a cumar rezulta din poligonul tranzi iilor) dar, deoarece pe prima coloan pornind din starea instabil 1 din linia B se poate ajunge numai într-o singur stare stabil (1), i pornind din starea instabil 4 din linia B se poate ajunge pe ultima coloan într-o singur stare stabil (4), codificarea neadiacent nu provoac curse critice. În cazul în care codificarea neadiacent nu determin curse critice aceast codificare nu produce func ion ri incorecte i poate fi p strat .

În caz c se produc curse critice este necesar s se ia m suri speciale pentru înl turarea hazardului ce ar ap rea datorit curselor critice i a func ion rii incorecte ce ar urma de aici. Aceste m suri sunt:

a) în caz c num rul de st ri ce poate fi codificat cu ajutorul variabilelor de stare este mai mare decât num rul de st ri reduse (2q > p), atunci se introduc st ri suplimentare astfel: - în locul st rii instabile de la care porne te drumul critic se introduce o nou stare suplimentar care va p stra nealterate ie irile

- se introduce o linie suplimentar (în locul uneia nefolosite) care va con ine numaistarea instabil de la care plec drumul critic în coloana corespunz toare, restul liniei având loca ii indiferente

- se continu procedeul ref când matricea redus .b) în caz c num rul de st ri ce poate fi codificat cu ajutorul variabilelor de stare este

egal cu num rul de st ri reduse (2q = p) se introduce o variabil de stare suplimentare i:- prin introducerea variabilei suplimentare se dubleaz num rul st rilor- se asociaz fiec reia din st rile ini iale (setul 1 de variabile) o stare identic (setul 2) - se codific st rile astfel încât pentru tranzi ie care provoac drumul critic s existe

adiacen între st rile corespunz toare setului 1 i setului 2. Odat codificarea adoptat matricea redus i matricea de ie ire vor avea forma din

tabelul 11.17 (matricea redus a st rilor) i 11.18 matricea de ie ire:

Page 279: tehnologia sistemelor

SINTEZA AUTOMATELOR FINITE 281

Tabel nr. 11.17 u1u2

x1x2 00 01 11 1000 1 2 6 4

01 1 3 6 411 x x x x10 1 2 5 4

Tabel nr. 11.18 u1u2

x1x2 00 01 11 1000 0 0 x 001 x 1 1 x11 x x x x10 0 0 0 0

11.4.2.5. Determinarea matricii de tranzi ie a st rilor i ob inerea func iilor de excita ie ale automatului

Pentru ob inerea func iilor de excita ie, pornind de la matricea redus a st rilor cu codificarea variabilelor de stare, se construie te câte o tabel pentru fiecare variabil de stare astfel:

- pentru st rile stabile se trece valoarea variabilei de stare cu care este codificatacea stare stabil ;

- pentru st rile instabile se trece valoarea variabilei de stare cu care a fost codificatstarea stabil corespunz toare acelei st ri instabile.

Pentru exemplu considerat se ob in urm toarele tabele:

u1u2

x1x2 00 01 11 1000 0 0 0 101 0 0 0 111 x x x x10 0 0 1 1

X1

u1u2

x1x2 00 01 11 1000 0 0 1 001 0 1 1 011 x x x x10 0 0 0 0

X2

Se face minimizarea func iilor de excita ie i a func iilor de ie ire. În cazul exempluluinostru se ob ine:

221212

11211

xuxuuX

xuuuX

11.4.2.6. Determinarea func iilor de ie ire

Pentru determinarea func iilor de ie ire se face minimizarea func iilor de ie ire pornind de la matrice de ie ire determinat anterior. Pentru exemplul considerat se ob ine tabela:

u1u2

x1x2 00 01 11 1000 0 0 x 001 x 1 1 x11 x x x x10 0 0 0 0

Page 280: tehnologia sistemelor

TEORIA SISTEMELOR I REGLAJ AUTOMAT282

Prin minimizare se ob ine func ia de ie ire:

2Xy

11.4.2.7. Implementarea schemei

În func ie de natura utilajului automatizat, de condi iile concrete de func ionare se alege tipul comenzii (electric , hidraulic , pneumatic ) i se implementeaz schema ob inutla fel ca în cazul schemelor combina ionale. Pentru exemplul considerat am ales o implementare cu relee electrice a c rei schem arat ca în figura 11.18.

X2X1

x2

x2

u2

x1

u2

u1

x1

u1

u2

u1

y

Fig. 11.18

11.4.2.8. Analiza schemei ob inute

În aceast etap se verific func ionarea schemei ob inute prin calcularea r spunsurilor la evolu ii ale intr rilor conform diagramelor de semnal utilizate la punctul 1.

Se încearc reducerea schemei prin rearanj ri i utiliz ri de por iuni comune. Se adapteaz schema secven ial ob inut cu diverse sec iuni de comand i de execu ie.

11.4.3.Sinteza schemelor secven iale asincrone cu automate elementare.

La acest tip de scheme secven iale sec iunea de memorare este implementat cu automate elementare de tip RS.

Etapele proiect rii schemelor secven iale asincrone cu linii de întârziere sunt:1. Descrierea prin cuvinte a ciclului complet de func ionare a automatului.2. Formalizarea descrierii func ion rii schemei prin punerea în eviden a func iilor de

tranzi ie a st rilor i a ie irilor pe baza condi iilor specificate la pct.1. 3. Codificarea seturilor m rimilor de intrare de stare i de ie ire.4. Determinarea func iilor de excita ie pentru automatele elementare.5. Determinarea func iilor de ie ire.6. Implementarea func iilor de tranzi ie i a ie irilor într-o configura ie asincron .7. Analiza schemei fizice astfel ob inute

Page 281: tehnologia sistemelor

SINTEZA AUTOMATELOR FINITE 283

Vom descrie în continuare aceste etape pornind de la un exemplu concret. Etapele 1 i 2.

Vom considera c formalizând descrierea func ion rii automatului ob inem un automat elementar de MEALY ca în figura 11.19

s1

u2/y1u1/y1 u2/y2

u1/y1s2 s4

u1/y2

u2/y1 u1/y2

s3

u2/y2

Fig. 11.19

Acest automat este univoc definit prin setul intr rilor U={u1,u2}, al st rilor S={s1,s2,s3,s4} i al ie irilor Y={y1,y2}.

Sunt prezentate de asemenea toate tranzi iile posibile între st ri, prin aceasta eviden iindu-se func ia de tranzi ie a st rilor. În cadrul automatelor de tip Mealy ie irile sunt asociate tranzi iilor , acest lucru definind func iile de ie ire , func ii ce sunt eviden iate pe figur .

Etapa 3.Codificarea st rilor are ca scop determinarea suportului fizic pentru cele trei seturi de

m rimi, opera ie ce se realizeaz cu elemente de circuit (automate elementare, por ilogice,etc.). Codificarea permite astfel realizarea tabelei tranzi iilor i a ie irilor, adicreprezentarea codificat a automatului secven ial. Pentru exemplul nostru se va adopta urm toarea codificare:

u1 : 0 s1 : 00 y1 : 0

u2 : 1 s2 : 01 y2 : 1

s3 : 11

s4 : 10

Astfel pentru intr rile u1 i u2 suportul fizic devine prezen a sau absen a unui semnal;în mod similar pentru ie irile y1 i y2. În ceea ce prive te st rile acestea se codific cu elemente de memorare de tipul automatelor elementare de tipul bistabilior RS. În general, pentru a codifica r st ri stabile sunt necesare q automate elementare, unde q este dat de rela ia2

q r. Cele patru st ri se codific astfel cu dou automate elementare.

În continuare se realizeaz tabela tranzi iilor i ie irilor. Aceast tabel se realizeazastfel: în primele coloane sunt marcate toate combina iile posibile de intr ri i st ri. Pe baza tranzi iilor reprezentate în descrierea formal a func ion rii automatului se determin valorile variabilelor stare cu care este codificat starea în care se face tranzi ia pornind de la starea

Page 282: tehnologia sistemelor

TEORIA SISTEMELOR I REGLAJ AUTOMAT284

codificat pe linia respectiv determinat de valorile de pe linie a intr rilor; aceste valori ale variabilelor de stare reprezint valoarea variabilelor de stare la momentul urm tor (t+1) ieviden iaz func ia de tranzi ie a st rilor. Ultima (ultimele) coloan este rezervat ie irii ieviden iaz modul de evolu ie a ie irii corespunz tor tranzi iei de stare descris pe linia respectiv . Pentru exemplul considerat tabela tranzi iilor i ie irilor are aspectul din tabelul 11.19

Tabel nr. 11.19u Q0

t Q1t Q0

t+1 Q1t+1 y

0 0 0 0 1 00 0 1 1 0 00 1 0 0 1 10 1 1 1 0 11 0 0 1 0 11 0 1 1 1 01 1 0 0 0 01 1 1 1 1 1

Tabel nr. 11.20 Qt Qt+1 R S0 0 x 00 1 0 11 0 1 01 1 0 x

Etapa 4. Tabela func iilor de excita ie se ob ine particularizând tabela tranzi iilor la tipul de automat elementar ales pentru implementare. Pentru aceasta se porne te de la tabela de adev r a automatului elementar ales pentru implementare; din analiza coresponden ei între valoarea ie irii automatului elementar la momentul t i la momentul T+1 se ob ine setul corespunz tor de intr ri (excita ii) ale automatului respectiv. Pentru automatele de tip RS se ob ine tabelul 11.20

Pe baza acesteia i a tabelei tranzi iilor se întocmesc tabele pentru fiecare func ie de excita ie a fiec rui automat elementar care implementeaz secven a de memorare; pentru exemplul ales aceste sunt prezentate în tabelele 11.21-11.24: Se ob in astfel func iile de control pentru ambele automate:

11

11

010

100

QuS

QuR

QiQS

QQR

Etapa 5. Pentru determinarea con inutului tabelei ie irilor se utilizeaz integral tabelei realizate în etapa 3. Se ob ine astfel diagrama din tabelul 11.25 i func ia logic de ie ire:

Tabel nr. 11.21 u Q0Q1 0 100 x 001 0 011 0 010 1 1

R0

Tabel nr.11.22 u Q0Q1 0 100 0 101 1 111 x x10 0 0

S0

Tabel nr. 11.23 u Q0Q1 0 100 0 x01 1 011 1 010 0 x

R1

Tabel nr. 11.24 u Q0Q1 0 100 1 001 0 x11 0 x10 1 0

S1

Tabel nr. 11.25 u Q0Q1 0 100 0 101 0 011 1 110 1 0

y

Page 283: tehnologia sistemelor

SINTEZA AUTOMATELOR FINITE 285

10010 QQuQuQQy

Etapa 6.

Pentru implementarea schemei trebuie alese elementele utilizate pentru implementarea sec iunii combina ionale; alegând por i logice de tipul “{I” ,”SAU”, “NU” se ob ine urm toarea configura ie care implementeaz automatul secven ial dorit:

R0 Q0

S0 Q0

R1 Q1

S1 Q1

Fig. 11.20

Page 284: tehnologia sistemelor

TEORIA SISTEMELOR I REGLAJ AUTOMAT286

11.4.4 Sinteza schemelor secven iale sincrone

În cazul schemelor secven iale sincrone sec iunea de memorare este sta ionar în intervalul dintre dou impulsuri de tact, de aceea sec iunea de memorare mai este numit iregistrul de stare.

11.4.4.1. Întocmirea organigramelor

În sinteza schemelor secven iale sincrone se utilizeaz pentru descrierea func ion riiautomatului secven ial, organigrama. Organigrama este un graf logic care permitetranspunerea direct , rapid i intuitiv a condi iilor de operare pe care trebuie s le îndeplineasc automatul secven ial sub forma unui program logic de intr ri, st ri i decizii.

Elementele componente de baz ale organigramei de func ionare a oric rui automatsecven ial sunt:

- Elementul de intrare (control, decizie sau testare) are o intrare i dou ie iri; în cadrul blocului este testat o variabil de intrare. Una dintre ie iri corespunde valorii adev rate a variabilei testate, iar cealalt corespunde valorii false (negate). Variabilele testate pot fi sincrone, când î i pot schimba valoarea numai odat cu impulsul de tact, i asincrone, atunci când î i poate schimba valoarea oricând. În figura 11.21.a este prezentat un elementede decizie cu variabil sincron iar în figura 11.21.b este prezentat un element de decizie cu variabil asincron .

Intrare IntrareDA (1)NU (0) NU (0) DA (1)

n Ie ire

a) b) c)d)

Fig. 11.21

- Elementul de ie ire are o intrare i o ie ire. Realizeaz activarea sau dezactivarea unor ie iri. Simbolul grafic este prezentat în figura 11.21.c, iar în interiorul lui se trece de obicei ac iunea pe care o realizeaz elementul respectiv.

- Elementul de stare are una sau mai multe intr ri i o ie ire. Semnific o stare în care sistemul poate ajunge. Simbolul grafic este cel din figura 11.21.d, iar în interiorul simboluluise trece num rul st rii.

Elementele de baz pot fi interconectate în diferite moduri pentru a realiza o descriere complet a func ion rii automatului sincron. Ca regul general pentru descrierea func ion riischemelor secven iale sincrone se va p stra regula ca ultima stare în care poate basculautomatul s fie conectat la starea ini ial .

Page 285: tehnologia sistemelor

SINTEZA AUTOMATELOR FINITE 287

11.4.4.2. Etapele sintezei schemelor logice secven iale sincrone

Etapele sintezei schemelor logice secven iale sincrone sunt urm toarele:1) Descrierea complet a modului de func ionare a automatului respectiv. 2) Formalizarea descrierii prin întocmirea organigramei de func ionare.3) Codificarea st rilor.4) Stabilirea diagramelor variabilelor de stare la momentul t. 5) Stabilirea diagramelor variabilelor de stare la momentul t+1. 6) Alegerea bistabililor elementari utiliza i pentru implementarea registrului de stare

i determinarea func iilor de excita ie.7) Determinarea func iilor de ie ire.8) Implementarea cu elemente fizice a automatului ob inut.9) Analiza schemei ob inute.

Vom explica modul de realizare a fiec rei etape pe baza exemplului urm tor:S se proiecteze un automat pentru sortarea unor repere care circul pe o band

transportoare func ie de lungimea acestora în raport cu o dimensiune standard.

Etapa 1.

În aceast etap se realizeaz o descrierea cât mai am nun it i complet a protocolului de func ionare pe care trebuie s -l realizeze automatul respectiv.

Pentru exemplul nostru se utilizeaz dou semnale de intrare (senzori de proximitate)monta i la o distan egal cu dimensiunea standard unul fa de cel lalt, în dreptul liniei transportoare ca în figura 11.22 (u1,u2). Atunci când reperul se afl în dreptul unui senzor acesta trece în valoarea 1 logic, în caz contrar având valoarea 0 logic. Dac reperul se aflsimultan în dreptul celor doi senzori, atunci se consider reperul respectiv “reper lung” i este activat o ie ire corespunz toare (y1). Dac reperul este mai scurt decât distan a dintre senzori, atunci se consider c este “reper scurt” i este activat o alt ie ire (y2). Pentru o bun func ionare a automatului se impune ca între dou repere succesive s existe o distansuficient de mare pentru ca momentul de pauz între repere s poat fi detectat cu certitudine de automat.

bandreper

u2u1 senzor

Fig. 11.22

Etapa 2.

Organigrama transpune într-un graf logic condi iile de func ionare impuse, utilizând elementele de baz prezentate anterior. Organigrama începe cu o stare ini ial , care corespunde începutului unui ciclu de func ionare impus; ultima stare a ciclului este conectatla starea ini ial , marcând în acest fel o reac ie proprie ciclurilor de func ionare secven ial cu circuit închis. Pentru exemplul considerat organigrama are aspectul din figura 11.23. Intr rileu1 i u2 sunt asincrone, în sensul c se pot modifica la momente de timp oarecare. Plecând din stare ini ial (A) în care nu se afl reper pe band , se testeaz intrarea u1 pentru a detecta începutul ciclului de selectare. Când intrarea u1 comut în 1 se trece în starea urm toare (B) în care se a teapt ie irea reperului din dreptul senzorului u1. Când reperul iese de pe senzorul u1 se trece în starea urm toare (C) în care se face trierea prin testarea intr rii u2; dac u2 este 1

Page 286: tehnologia sistemelor

TEORIA SISTEMELOR I REGLAJ AUTOMAT288

atunci reperul este un reper lung iar automatul trece în starea corespunz toare (D) în care este activat ie irea y1. În caz c u2 este zero atunci reperul este scurt iar automatul trece în starea corespunz toare (E) în care este activat ie irea y2.

NU

NU

NU

DA

DA

DA

SCURTLUNG

u2=1

u1=0

u1=1

010 110 ED

011 C

001 B

A

Q2Q1Q0

0 0 0

Fig. 11.23

Etapa 3.

Codificarea st rilor are o importan deosebit pentru func ionarea corect a automatului i pentru ob inerea unei configura ii minime. În general pentru codificarea a rst ri sunt necesare q variabile de stare astfel încât 2

q r. Regulile ce trebuie respectate la

codificarea st rilor pentru a ob ine o func ionare corect a automatului sunt: - dou c i rezultate din testarea unei ie iri asincrone trebuie codificate adiacent

(codul difer numai prin valoarea unei singure variabile) - tranzi iile directe dintre st ri vor fi codificate adiacent - tranzi iile între st ri condi ionate vor fi codificate în sensul unei dependen e

reduse de variabila de intrare În caz c realizarea codific rii cu respectarea condi iilor impuse nu este posibil se

procedeaz la: - cre terea num rului de st ri prin introducerea unor st ri suplimentare;- cre terea num rului de variabile de stare; - reconstruirea organigramei i utilizarea unor elemente fizice de circuit care s

permit ob inerea valorilor de ie ire;

Page 287: tehnologia sistemelor

SINTEZA AUTOMATELOR FINITE 289

- sincronizarea func iilor de ie ire.Respectând regulile men ionate mai sus se utilizeaz trei variabile de stare i se poate

utiliza codificare trecut pe figura 11.23 care se ob ine pe baza tabelei 11.21

Etapa 4.

Întocmirea diagramelor variabilelor de stare la de la momentul t se realizeaz astfel:pentru fiecare variabil de stare se întocme te o tabel Karnaugh în care este trecut valoarea variabilei de stare cu care este codificat stare din loca ia respectiv a tabelului utilizat pentru codificare (tabel 11.21pentru exemplul considerat). Se ob in diagramele din tabele 11.22-11.24.

Etapa 5

Tabel nr. 11.21 Q2Q1

Q0 00 01 11 10

0 A D E x1 B C x x

Tabel nr. 11.23 Q2Q1

Q0 00 01 11 10

0 0 1 1 01 0 1 1 1

Q1 la t

Tabel nr. 11.24 Q2Q1

Q0 00 01 11 10

0 0 0 1 11 0 0 1 1

Q2 la t

Tabel nr. 11.22 Q2Q1

Q0 00 01 11 10

0 0 0 0 01 1 1 1 1

Q0 la t

Pe baza analizei diagramei st rilor la momentul t i a analizei tranzi iilor în organigram se determin pentru fiecare variabil de stare în parte diagramele st riiurm toare (la momentul t+1). Aceste diagrame reflect prin con inutul lor toate tranzi iileposibile ale automatului sincron, din orice stare stabil la un moment de timp t, eviden iind în felul acesta func iile (U,X) de tranzi ie.

Num rul de variabile de control ale diagramelor Karnaugh de tranzi ie în starea urm toare este m+q unde m este num rul variabilelor de intrare. Datorit faptului c aceste automate utilizeaz un num r mare de variabile de intrare, iar utilizarea diagramelorKarnaugh clasice este greoaie în acest caz, se vor folosi diagrame Karnaugh cu variabile incluse (VID = variabile incluse în diagram ). În acest caz atunci când pornind de la o stare stabil la momentul t tranzi ia este condi ionat de o variabil de intrare, în loca iacorespunz toare variabilei de stare la momentul t+1 se introduce variabila de intrare, directsau negat dup cum se realizeaz tranzi ia variabilei respective (dac atunci când pentru valoarea 1 a variabilei de intrare valoarea variabilei de stare respective la momentul t+1 este 1, variabila se introduce în diagram cu starea direct , în caz contrar introducându-se variabila negat ). Minimizarea diagramelor VID se realizeaz astfel:

I. Se consider toate valorile înglobate egale cu 0 i se formeaz inele cu valorile 1 din diagram ;

II. Se consider toate valorile 1 din diagrama ini ial indiferente (x), i se formeaz inele cu variabilele înglobate.

III. Se consider conjunc ia variabilelor înglobate cu inele formate în etapa II.

Page 288: tehnologia sistemelor

TEORIA SISTEMELOR I REGLAJ AUTOMAT290

IV. Se face disjunc ia termenilor ob inu i cu inele din etapele I i III. V. Pentru mai mult de o singur variabil înglobat în diagram se trateaz pe

rând conform algoritmului I-IV câte o singur variabil înglobat , celelalte variabile înglobate fiind considerate 0, dup care se face disjunc ia tuturor termenilor ob inu i.

Se ob in diagramele din tabelele 11.25-11.27.

Etapa 6

Tabel nr. 11.25 Q2Q1

Q0 00 01 11 10

0 u1 0 0 x1 1

2u x x

Q0 la t+1

Tabel nr. 11.26 Q2Q1

Q0 00 01 11 10

0 0 0 0 x1 1u 1 x x

Q1 la t+1

Tabel nr. 11.27 Q2Q1

Q0 00 01 11 10

0 0 0 0 x1 0

2u x x

Q2 la t+1

inând cont de diagramele variabilelor de stare la momentul t i la momentul t+1 precum i de tabela de adev r a bistabililor elementari ale i pentru implementarea registrului de stare se determin diagramele func iilor de excita ia pentru fiecare variabil printr-un proces identic celui de determinare a variabilelor de excita ie în cazul proiect rii automatelorasincrone cu sec iunea de memorare implementat cu bistabili elementari, minimizareaf cându-se cu regulile enun ate anterior.

Pentru exemplul considerat vom alege bistabili de tip D pentru implementarearegistrului de stare. inând cont de faptul c func ionare bistabilului de tip D este descris de rela ia se trage concluzia c diagrama func iei de excita ie a fiec rui bistabil va fi

identic cu diagrama corespunz toare st rii urm toare (tabelele 11.25-11.27). Prin minimizare cu regulile expuse anterior se ob in func iile de excita ie:

tt DQ 1

1022

11101

0211100

QQuD

QuQQD

QuQuQQD

Etapa 7

Tabel nr. 11.28 Q2Q1

Q0 00 01 11 10

Tabel nr. 11.29 Q2Q1

Q0 00 01 11 10

0 0 1 0 x1 0 0 x x

y2

0 0 1 0 x1 0 0 x x

y1

Expresiile variabilelor de ie ire se ob in prin completarea diagramelor de ie ire ale automatului, de aceea i dimensiune i cu acelea i variabile de control ca i diagramele st rilorurm toare. În fiecare loca ie a diagramei se trece valoarea variabilei de ie irecorespunz toarea st riicodificate în loca iarespectiv . Pentru exemplulconsiderat se ob indiagramele din tabelele 11.28-11.29.Prin minimizare se ob infunc iile de ie ire:

22

2101

Qy

QQQy

Etapele 8,9 Se realizeaz identic cu etapele de implementare i verificare a func ion rii prezentate la sinteza automatelor asincrone.

Page 289: tehnologia sistemelor

BIBLIOGRAFIE291

BIBLIOGRAFIE

1. Ababei, t Teoria sistemelor i reglaj automat –Note de curs, Universitatea Bac u, 2001 2. Ababei, t. Teoria sistemelor i elemente de reglaj automat – Îndrumar de laborator, Universitatea Bac u, 1996 3. Ababei, t. Culea G., Rotar D. Teoria sistemelor i elemente de reglaj automat, Îndrumar de laborator, Universitatea Bac u, 1996 4. Ababei t., Culea G. Program de simulare i trasare a r spunsului în timp, a locului

r d cinilor i de rezolvare a problemelor cu amplificatoare opera ionale Studii i cercet ri,Energetic , Electrotehnic , Automatiz ri, Bac u, 1993 pag 192-1955. Ababei t., Puiu-Berizin u, M., .Rotar D., Identificarea numeric a sistemelor Conferin aNa ional cu participare interna ional de Energetic Industrial "Optimizarea regimurilor de func ionare i modernizarea instala iilor energetice CNEI'96", Universitatea Bac u, 31oct. - 2 nov. 1996, Ed. "Plumb", Bac u, 1996, pag 193 - 197. ISBN 973-9150-77-26. Ababei t. Influen a perturba iilor parametrice asupra sistemelor de reglare cu

regulatoare acordate prin metoda Ziegler Nichols Prima Conferin Interna ional de Sisteme electromecanice, SIELMEN 97, , Ed „Tehnica”, Chi in u, 1997, vol II, pag 148-14 7. Ababei t., Culea, G., Rotar, D. The analysys and data compresion using freuency analysis

MOCM-8, BAC U 2002, PAG 328-325, ISSN1224-7480 8. Bistriceanu, E., Algebre Booleene i circuite digitale, MATRIX ROM, Bucure ti, 1997 Bruce F.A. A Course in H Control Theory, Springer Verlag, Berlin, 1987 9. C lin, S. Regulatoare automate Editura Didactic i Pedagogic , Bucure ti, 1976 10. C lin, S., Dumitrache, I. Regulatoare automate, EDP, Bucure ti, 1986 11. Dr gan, V., Halanuy, A. Stabilizarea sistemelor liniare Editura All, Bucure ti, 199412. Dumitrache I. Reglaj automat, Ed. Tehnic , Bucure ti, 1986 13. Dumitrache I., Tehnica regl rii automate, EDP, Bucure ti, 1980 14. Dumitrache I., .a.Automatiz ri electronice E.D.P. Bucure ti, 1993 15. Florea S. Catan I. Echipamente de automatizare pneumatice i hidraulice E.D.P. , Bucure ti, 1979 16. Francis, B.A., Doyle, J.C. Linear Control Theory with an H optimality criterion. SIAM J. Control Opt. 25, 815-844 17. Franklin, F.G., Powel, J.D. Digital Control of Dynamic Systems, Addison-Wesley, Reading, Mass, 1980 18. Guran, M., Filip, F. Sisteme ierarhizate în timp real cu prelucrarea distribuit a datelor , Ed. Tehnic , Bucure ti, 198619. Guzun, B., Mucichescu C., Chiracu A. Automatiz ri în hidroenergetic , Editura Tehnic ,Bucure ti, 1995 20. Hall D, V. Digital Circuits and Systems, McGraw Hill, New York, 1989 21. Ionescu G. M sur ri i traductoare EDP, Bucure ti, 1984 22. Ionescu, G., Popescu, t. Aparatur pentru automatiz ri, E.D.P. Bucure ti, 1979 23. Ionescu Tr. Sisteme i echipamente pentru conducerea proceselor, Editura TehnicBucure ti, 1986 24. Ionescu G. .a. Traductoare pentru automatiz ri industriale, Editura Tehnic , Bucure ti,198525. Ionescu V. Teoria sistemelor automate, EDP, Bucure ti, 1985 26. Ionescu, V. Sinteza structural a sistemelor liniare, Editura Academiei R.S.R. Bucure ti,197927. Ionescu V., Varga A., Teoria sistemelor Editura ALL, Bucure ti, 1994

Page 290: tehnologia sistemelor

TEORIA SISTEMELOR I REGLAJ AUTOMAT292

28. Koppel B.L., Introduction to Control Theory, Pretnice-Hall Englewood Cliffs, New Jersey, 1968 29. Kuo J.B. Digital Control Systems, Holt Reinerhardt and Winston Inc., 1980 30. Laz r C., .a. Conducerea asistat de calculator a proceselor tehnice, MATRIX ROM Bucure ti, 1996 Leonhrad W. Control of Electrical Drives, Springer Verlag, Berlin, 198531. Leopold, S. Teoria sistemelor i reglaj automat, I.P.Ia i, 1980 32. Livin i, Ghe. Teoria sistemelor Universitatea Gh. Asachi, Ia i, 2000 33. Marinoiu, V., Po chin , I. Robinete de reglare,. Îndreptar de alegere i calcul. Colec ia A nr. 31, Editura Tehnic , Bucure ti, 1972 34. Mats, L. Controller Design by Frequency Domain Approximation. Doctoral Dissertation Lund Institute of Technologz, 1989 35. Mihoc, D .a. Teoria i elementele sistemelor de reglare automat , E.D.P. Bucure ti,198036. Moore, B.C. Principial component analysis in linear systems: controllability,

observability and model reduction, IEEE Trans. Autom. Control, 26, 17-32 37. Nitu C., Matlac.I., Fe til C., Echipamente electrice i electronice de automatizare, EDP, Bucure ti, 1980 38. Papadache, I. Automatic aplicat Editura Tehnic , Bucure ti, 1971 39. Popov, V.M. Hiperstability of control systems – Springer Verlag 1973 40. R zvan V. Teoria stabilit ii Ed. tiin ific i Enciclopedic , Bucure ti, 1987 41. Saberi A., Sannuti P., Cheap and singular control for linear quadratic regulators, IEEE Trans. Aut. Control, 1987 42. Sângeorzan D ., Echipamente de reglare numeric , Ed. Militar , Bucure ti, 1980 43. Sprîncean , N., Dobrescu, R., Borangiu, Th. Automatiz ri discrete în industrie, Editura Tehnic , Bucure ti, 1976 44. Tetri co, M., Stoica, P. Identificarea asistat de calculator Editura Tehnic , Bucure ti,198745. Varga, A., Ionescu, V. HTOOLS – A toolbox for solving H and H2 synthesis problem,Proc. of Swansea Conf. on Computers and Control, 1991 pp. 178-182 46. Vidyasagar, M. Control System synthesis: A Factorization Approach. MIT Press, Cambridge, MA., 1985 47. Voicu M. Tehnici de analiz a stabilit ii sistemelor, Ed. Tehnic , Bucure ti,48. Wonham, V.M. On pole assignment in multi-input contrllable linear systems, IEEE Trans. Aut. Control AC -12, 660-665, 1967 49. *** PC-MATLAB – User’s Manual, MATWORK, 1987 50.*** MOS Databook, Microelectronica, Bucure ti, 1992 51. *** OS and Optoelectronic Device Databook, Microelectronica, Bucure ti, 1985 52. *** Test and Measurement. Catalogue, Tektronix, 1993