Enache Alexis, 623AC

Teoria JocurilorDefinitie Teoria jocurilor este o ramura relativ noua a microeconomiei dezvoltata in ultimii 60 de ani. Ea a aparut odata cu publicarea lucrarii The Theory of Games and Economic Behaviour de catre John von Neumann si Oskar Morgenstern in 1943. Acestia au definit jocul ca orice interactiune intre diversi agenti, guvernata de un set de reguli specifice care stabilesc mutarile posibile ale fiecarui participant si castigurile pentru fiecare combinatie de mutari. Aceasta descriere se poate aplica aproape oricarui fenomen social. Astfel incat se astepta de la aceasta stiinta rezolvarea tuturor situatiilor in care oamenii realizeaza ca rezultatul actiunilor lor depinde nu numai de acestea, dar si de actiunile celorlalti participanti la acea interactiune. Teoria jocurilor utilizeaza trei ipoteze fundamentale: jucatorii se comporta rational fiecare stie ca ceilalti sunt rationali toti jucatorii cunosc regulile jocului In exemplele virtuale imaginate de diversi teoreticieni, prin joc se inelege o situaie care implica doi sau mai muli decideni, numii jucatori care sunt pusi in faa situaiei de a-si alege o strategie pentru a-si maximiza recompensele primite ca urmare a propriilor aciuni raportate la mutarile celorlali. In aceste jocuri jucatorii au interese opuse, in totaliatate sau parial, acest aspect cauzand un anumit comportament si o anumita strategie in abordarea jocului. Strategiile sau combinaiile de strategii ale jucatorilor sunt recompensate cu un anumit castig. La finalul jocului are loc o compararea rezultatelor si o corelare a acestora cu strategiile efectuate. Problema alegerii actiunilor de catre jucatori este legata de primele doua ipoteze amintite anterior. Jucatorul care are un comportament rational are anumite preferinte asupra lucrurilor: el prefera mierea - zaharului, muzica clasica - jazz-ului, etc.; acest jucator este rational deoarece el va alege acea actiune care ii va satisface cel mai bine preferintele sale. Se poate spune, in consecinta, ca jucatorul rational are o anumita ierarhie a preferintelor, astfel incat este posibila exprimarea acestora cu ajutorul unor functii de utilitate. Principii James Waldegrave este cel care a formulat principiul minimax ca soluie la un joc de cari format din doua persoane. Acest principiu nu a fost utilizat pana la inceputul secolului XX. Minimax este o regula de decizie utilizata in teoria jocurilor, statistica si filosofie si care consta in minimizarea pierderii maxime posibile. Alternativ, abordarea poate fi si cea a maximizarii castigului minim (maximin). A inceput din teoria jocului cu suma zero cu doi jucatori, acoperind atat cazurile in care jucatorii fac mutari alternativ si cele in care fac mutari simultan. Regula a fost extinsa si la jocuri mai complexe si la procese generale de luare a deciziilor in condiii de incertitudine. Teorema Minimax Teorema minimax enuntata de John von Neumann afirma ca: Oricare ar fi jocul cu suma zero cu strategii finite si doi jucatori, exista o valoare V si o strategie mixta pentru fiecare jucator, astfel incat: I. Data fiind strategia lui 2, castigul lui 1 este V II. Data fiind strategia lui 1, castigul lui 2 este -V.

Echivalent, strategia jucatorului 1 ii garanteaza un castig de V indiferent de strategia jucatorului 2, si in acelasi timp jucatorul 2 isi poate garanta un castig de -V. Numele de minimax apare deoarece fiecare jucator incearca, la fiecare pas, sa minimizeze castigul maxim al celuilalt deoarece jocul este cu suma zero, isi maximizeaza astfel propriul castig minim. Exemplu Urmatorul exemplu de joc cu suma zero, in care A si B muta simultan, ilustreaza soluiile minimax. Se presupune ca fiecare jucator are la dispoziie trei variante, si se considera matricea castigurilor A afisata mai jos. Se presupune ca matricea castigurilor lui B este aceeasi matrice, cu semnele schimbate. Atunci, alegerea minimax pentru A este A2 deoarece cel mai prost rezultat posibil este sa piarda 1, in timp ce alegerea minimax pentru B este B2 deoarece cel mai slab rezultat pe care il poate obine este 0. Totusi, aceasta soluie nu este stabila, deoarece daca B crede ca A va alege A2, atunci B va alege B1 pentru a castiga 1; apoi daca A crede ca B va alege B1 atunci A va alege A1 pentru a castiga 3; apoi B va alege B2; si in cele din urma ambii jucatori vor realiza dificultatea deciziei, deci este necesara o strategie mai stabila. Unele variante sunt dominate de altele si pot fi eliminate: A nu va alege A3 deoarece si A1 si A2 produc rezultate mai bune, indiferent de ce alege B; B nu va alege B3 deoarece B2 va produce un rezultat mai bun, indiferent ce alege A. A poate evita o pierdere asteptata de peste 1/3 alegand A1 cu probabilitatea 1/6 si A2 cu probabilitatea 5/6, indiferent ce alege B. B poate asigura un castig asteptat de cel puin 1/3 folosind o strategie aleatoare de alegere, cu B1 cu probabilitatea 1/3 si B2 cu probabilitatea 2/3, indiferent ce alege A. Aceste strategii minimax mixte sunt stabile si nu mai pot fi imbunataite. B alege B1 A alege A1 A alege A2 A alege A3 +3 -1 -4 B alege B2 -2 0 -3 B alege B3 +2 +4 +1