Tema Casa Mimi

1Facultatea de Mecanic i Tehnologie Piteti

Domeniul : INGINERIE I MANAGEMENTProgramul de studii master : INGINERIA I MANAGEMENTUL FABRICRII PRODUSELOR

TEM DE CASREZOLVAREA PROBLEMELOR

DE PROGRAMARE LINIAR , ORDONANARE I ATEPTARE

Student: DUMITRU Tudorita

An universitar2014 / 2015

2CUPRINS

1. PROBLEMA DE PROGRAMARE LINIAR ......................................................................................... 3

2. PROBLEMA DE ORDONANARE ......................................................................................................... 19

3. PROBLEMA ATEPTRII ...................................................................................................................... 25

BIBLIOGRAFIE ............................................................................................................................................ 35

3 1. PROBLEMA DE PROGRAMARE LINIAR

1. O companie dorete s cumpere mobilier pentru birouri, cel puin : 210 scaune, 120 birouri i80 de mese pentru calculator. Exist 2 furnizori A i B care vnd seturi de mobilier care nu pot fidivizate. Furnizorul A vinde seturi formate din 30 scaune, 10 birouri i 10 mese pentrucalculator, iar furnizorul B vinde seturi formate din 20 scaune, 30 birouri i 10 mese pentrucalculator. Costul unui set este acelai, indiferent de furnizor: 2000 u.m.

Cte seturi trebuiesc cumprate de la fiecare furnizor pentru atingerea necesarului cu un costminim?

Furnizor Mobilier (buc.)

A B Necesar

Scaun 30 20 120Birou 10 30 120

Mese pt.calculator 10 10 80Profitul unitar (u.m.) 2000 2000

4Rezolvare:

1. Problema este de minim (dup cum reiese din cerina acesteia).

2. Notm cu X1 furnizorul A i X2 furnizorul B, astfel vom avea:

- urmtoare funcie obiectiv: minf(x) = 2000X1 + 2000X2;

- urmtorul sistem de restricii:

80101012030102102030

21

21

21

XXXXXX

;

- respectnd condiia de nenegativitate: 0, 21 XX .

Verificare cu ajutorul programului WinQSB:

1. Crearea problemei 1 i introducerea datelor generale: a variabelelor (2) i a restriciilor (3)

52. Introducerea datelor: a variabelelor i a restriciilor din modelul de programare liniar de maisus (rezolvare, punct 2)

3. Rezolvarea problemei de programare liniar (Solve and Analyze / Solve the problem):

Interpretare rezultate:

Soluiile: X1 = 6000 i X2 = 2000;

Contribuia variabilelor n funcia obiectiv: X1 = 12000 i X2 = 4000;

Valoarea optim a funciei obiectiv (profitul-total contribution):

minf(x) = 2000X1 + 2000X2 = 16000 u.m.;

Limita admis minim/maxim de variaie a coeficienilor variabilelor: X1=666.662000 iX2=20006000;

6Valorile variabilelor de compensare (surplus): pentru prima restricie avemScaun = +10000;

Preul umbr (dual) nseamn cantitatea (200/mese pentru calculator) cu care se modificvaloarea optim a funciei obiectiv (16000) ca urmare a creterii / descreterii cu o unitate acantitii disponibile dintr-o resurs (mese pentru calculator);

Limita admis minim/maxim de variaie a termenilor liberi ai restriciilor pentru ca preurileumbr s rmn neschimbate: Scaun= -M220, Birou=80140 (4) i Mese pt.calculator=77.14 (78)120.

2. O unitate economic fabric trei produse, P1, P2, P3, utiliznd trei resurse: for de munc,mijloace de munc i materii prime. Consumurile specifice, cantitile disponibile din fiecareresurs i preurile de vnzare ale produselor sunt date n tabelul de mai jos

Produse Resurse

P1 P2 P3 Disponibil

R1 = fora de munc 1 3 4 15R2 = mijloace de munc 2 5 1 10R3 = materii prime 4 1 2 25Profitul unitar (u.m.) 3 2 6

Se cere:

1 S se determine planul optim de producie avnd drept criteriu de eficien valoareamaxim a produciei.

2 S se scrie modelul problemei duale.

3 Interpretarea rezultatelor: variabilele de decizie, variabilele duale (preuri umbr),variabilele de compensare, din soluia optim.

4 S se determine planul optim de producie avnd drept criteriu de eficien valoareamaxim a produciei.

5 S se scrie modelul problemei duale.

6 Interpretarea rezultatelor: variabilele de decizie, variabilele duale (preuri umbr),variabilele de compensare, din soluia optim

7Rezolvare pct. 1:

1. Problema este de maxim (dup cum reiese din cerina acesteia).

2. Notm cu X1 produsul P1, X2 produsul P2 i X3 produsul P3, astfel vom avea:

- urmtoare funcie obiectiv: max(fx) = 3X1 + 2X2 + 6X3;


252141015215431

321

321

321

XXXXXXXXX

;

- respectnd condiia de nenegativitate: 0,, 321 XXX .


1.Crearea problemei 2 pct. 1 i introducerea datelor generale: a variabelelor (3) i a restriciilor (3)




Soluiile: X1 = 3, X2 = 0 i X3 = 3 (obs.: nu se va produce produsul P2) ;

Contribuia variabilelor n funcia obiectiv: X1 = 9, X2 = 0 i X3 = 18;

Valoarea optim a funciei obiectiv (profitul-total contribution): max(fx)= 3X1+ 2X2 + 6X3 =27u.m.

Se observ c valoarea costului redus a produsului P2 este negativ (-2.5), motiv pentru care nueste fabricat.

Valorile variabilelor de compensare (surplus, disponibile): pentru a doua i a treia restricie avem+1 mijloc de munc i +7 materii libere;

9Preul umbr (dual) nseamn cantitatea (1.5/R1 fora de munc) cu care se modific valoareaoptim a funciei obiectiv (27) ca urmare a creterii / descreterii cu o unitate a cantitiidisponibile R1 fora de munc.

Rezolvare pct. 2:Reguli de construcieProblema primal Problema dualnumr de variabile numr de restriciinumr de restricii numr de variabileminim maximmaxim minimtermenii liberi ai restriciilor coeficienii funciei obiectivcoeficienii funciei obiectiv termenii liberi ai restriciilorcoeficientul de consumspecific aij

coeficientul de consum specific aji

restricie concordant variabil nenegativrestricie neconcordant variabil nepozitivrestricie egalitate variabil oarecarevariabil nenegativ restricie concordantvariabil nepozitiv restricie neconcordantvariabil oarecare restricie egalitate

10

4. Problema de programare liniar dual (Format / Switch to dual form):

Problema primal Problema dual

Variabilele de decizie:

321 ,, XXX ;

Funcia obiectiv:

321 623max XXXxf ;

Restriciile:

252141015215431

321

321

321

XXXXXXXXX

;

0,, 321 XXX

Variabilele de decizie:

321 ,, uuu ;

Funcia obiectiv:

321 251015min uuuug ;

Restriciile:

621421533421

321

321

321

uuuuuuuuu

;

0,, 321 uuu

11

5. Rezolvarea problemei de programare liniar dual (Solve and Analyze/Solve the problem):

Rezolvare pct. 3:


Variabilele de decizie devin restricii

Soluiile: C1 = 1, C2 = 2 i C3 = 0 (preurile umbr ale primalei reprezint soluia optim aproblemei duale);

Valoarea optim a funciei obiectiv (profitul-total contribution): ming(u) = 35 u.m.;

Valorile variabilelor de compensare (surplus): pentru a prima i a doua restricie avem +2 i +11;

Preul umbr nseamn cantitatea (10/X3) cu care se modific valoarea optim a funciei obiectiv(35) ca urmare a creterii / descreterii cu o unitate a cantitii disponibile X3.

12

3 .ntr-o secie a unei ntreprinderi se realizeaz 2 produse P1 i P2 i se utilizeaz 3 resurse R1,R2 i R3. Timpii de prelucrare, fondul disponibil de timp pentru fiecare utilaj i beneficiul unitaradus ntreprinderii de fiecare produs se gsesc n tabelul de mai jos.

Produse (u.p.)

Resurse (u.r.)P1 P2

Fonddisponibilde timp

R1 2 1 8R2 3 2 24R3 1 3 18

Profitul unitar (u.m.) 4 3

Se cere s se determine planul de producie pentru care beneficiul total s fie maxim.

13

Rezolvare:

1. Problema este de maxim (dup cum reiese din cerina acesteia).

2. Notm cu X1 cantitatea de produse P1 i X2 cantitatea de produse P2, astfel vom avea:

- urmtoare funcie obiectiv: maxf(x) = 4X1 + 3X2;


18312423812

21

21

21

XXXXXX

;




14



Interpretare rezultate:Soluiile: X1 = 2 i X2 = 4;


Valoarea optim a funciei obiectiv (profitul-total contribution): maxf(x) = 4X1 + 3X2 = 20;Valorile variabilelor de compensare (surplus): pentru a doua i a treia restricie avem R2= +10 i R4= +4;

Preul umbr (dual) nseamn cantitatea (3/R1) cu care se modific valoarea optim a funcieiobiectiv (20) ca urmare a creterii / descreterii cu o unitate a cantitii disponibile dintr-oresurs (R1).

15

4. O companie dorete s cumpere mobilier pentru birouri, cel puin : 210 scaune, 120 birouri i80 de mese pentru calculator. Exist 2 furnizori A i B care vnd seturi de mobilier care nu pot fidivizate. Furnizorul A vinde seturi formate din 30 scaune, 10 birouri i 10 mese pentrucalculator, iar furnizorul B vinde seturi formate din 20 scaune, 30 birouri i 10 mese pentrucalculator. Costul unui set este acelai, indiferent de furnizor: 2000 u.m

Cte seturi trebuiesc cumprate de la fiecare furnizor pentru atingerea necesarului cu un costminim?

.Furnizor

Mobilier (buc.)A B Necesar

Scaun 30 20 120Birou 10 30 120

Mese pt.calculator 10 10 80Profitul unitar (u.m.) 2000 2000

16

Rezolvare:

1. Problema este de minim (dup cum reiese din cerina acesteia).

2. Notm cu X1 furnizorul A i X2 furnizorul B, astfel vom avea:

- urmtoare funcie obiectiv: minf(x) = 2000X1 + 2000X2;


80101012030102102030

21

21

21

XXXXXX

;




17




Soluiile: X1 = 6000 i X2 = 2000;


Valoarea optim a funciei obiectiv (profitul-total contribution):

minf(x) = 2000X1 + 2000X2 = 16000 u.m.;

Limita admis minim/maxim de variaie a coeficienilor variabilelor: X1=666.662000 iX2=20006000;

18

Valorile variabilelor de compensare (surplus): pentru prima restricie avemScaun = +10000;

Preul umbr (dual) nseamn cantitatea (200/mese pentru calculator) cu care se modificvaloarea optim a funciei obiectiv (16000) ca urmare a creterii / descreterii cu o unitate acantitii disponibile dintr-o resurs (mese pentru calculator);

Limita admis minim/maxim de variaie a termenilor liberi ai restriciilor pentru ca preurileumbr s rmn neschimbate: Scaun= -M220, Birou=80140 (4) i Mese pt.calculator=77.14 (78)120.

19

2. PROBLEMA DE ORDONANARE

tj0i

= max (ti0i

+ di)termenul cel mai devreme deinceput

tj0i

= (ti0i

+ di)

ti0t

= ti0i

+ ditermenul cel mai devreme de terminat

tiit= min (tj

it dj) termenul cel mai tarziu de terminat

ti1i

= ti1t di termenul cel mai tarziu de inceput

Rli = min (tj0i

ti0i

di) rezerva limita de timp

Rti = ti1t

ti0t

= ti1i

ti0irezerva totala de timp

20

Problema 1. rezolvare. 1. O companie dorete s asmbleze o linie de fabricatie . Activitile necesare, condiionrile i duratele

activitilor sunt prezentate n tabelul urmtor:

Codactiv.

Denumire activitate Activitiprecedente

Durata activ.[spt.]

A Alctuirea listei de materiale necesare - 4B Proiectarea liniei de fabricaie - 7C Comanda echipamentului A,B 2D Comanda materialelor B 12E Verificarea listei de materiale necesare C 3F Instalarea liniei de fabricaie C,D 6G Verificarea instalaiei F 2

S se reprezinte graful reea i s se determine: termenele activitilor i rezervele de timp; durata minimde execuie a lucrrii; drumul i activitile critice; graficul Gantt asociat.

21

Problema 2. rezolvare. O companie dorete s fabrice un produs nou. Activitile necesare, condiionrile i duratele activitilor

sunt prezentate n tabelul urmtor:

Codactiv.


Durata activ.[spt.]

A Alctuirea listei de materiale necesare - 2B Proiectarea liniei de fabricaie - 4C Comanda echipamentului B 5D Comanda materialelor A 6E Verificarea listei de materiale necesare A 3F Instalarea liniei de fabricaie C 3G Verificarea instalaiei E 1H Angajarea forei de munc B 8I Instruirea angajailor H, D, G 2J Realizarea i asamblarea produsului F, I 8

S se reprezinte graful reea i s se determine: termenele activitilor i rezervele de timp; durata minimde execuie a lucrrii; drumul i activitile critice; graficul Gantt asociat.

22

Problema 3. - rezolvare. Construirea unei secii a unei uzine presupune efectuarea activitilor prevzute n tabelul de mai jos:

Codactiv.


Durata activ.[spt.]

A ntocmirea proiectului de execuie - 8B Comanda, execuia i livrarea utilajului tehnologic - 23C Exproprieri - 3D Comanda, execuia i livrarea utilajului energetic - 20E Organizarea general a antierului C 4F Studierea proiectului de execuie A 1G Executarea construciilor i a instalaiilor etapa 1 E,F 1H Executarea construciilor i a instalaiilor etapa 2 G 10J Completarea reelelor electrice exterioare D,E 8K Montajul utilajului tehnologic B,H 4L Probe tehnologice J,K 8M Restul lucrrilor de construcii, instalaii i finisaj L,H 4

S se determine: a) durata minim de execuie a lucrrii; b) drumul i activitile critice;c) graficul Gantt asociat.

23

Problema 4. rezolvareSuccesiunea i duratele activitilor pentru proiectarea i realizarea unui stand de ncercri sunt prezentate

n tabelul de mai jos:

Codactiv.


Durata activ.[spt.]

A Stabilirea parametrilor tehnologici - 7B Stabilira parametrilor mecanici - 9C Proiectarea tehnologic A 10D Dimensionarea mecanic B, C 9E Avizarea i aprobarea proiectului D 3F Elaborarea desenelor de execuie D 15G Executarea subansamblurilor E, F 29H Achiziionarea motorului E 21I Asamblarea standului i probele mecanice G, H 5

S se reprezinte graful reea i s se determine: termenele activitilor i rezervele de timp; durata minim deexecuie a lucrrii; drumul i activitile critice; graficul Gantt asociat.

24

3. PROBLEMA ATEPTRII

1. Prin metode statistice s-a stabilit c numrul cumprtorilor de ziare n primele ore aledimineii este o variabil aleatoare poissonian, iar timpul de servire a unui client de ctrevnztor este o variabil aleatoare exponenial.

tiind c n medie sosesc 70 cumprtori pe or, iar vnztorul poate servi 100 persoane pe or,s se determine:

1. probabilitatea de inactivitate a vnztorului;

2. probabilitatea ca n sistemul de ateptare s existe:

2.1 dou persoane

2.2. mai mult de dou persoane;

3. numrul mediu de persoane din sistem, numrul mediu de persoane din firul de ateptare inumrul mediu de clieni ce sunt servii la un moment dat;

4. timpul mediu de ateptare a unui client n sistem, apoi n fir;

5. probabilitatea ca o persoan s atepte mai mult de dou minute.

Rezolvare cu ajutorul programului WinQSB:

Rezolvarea pct. 1, pct. 3 i pct. 4:

25

(Solve and Analyze / Solve the performance):

- probabilitatea de inactivitate a vnztorului, Po = 30%;

- nr. mediu de clieni din sistem, L = 2.333; nr. mediu de clieni din firul de atepatre, Lq =1.6333; nr. mediu de clieni ce sunt servii la un moment dat, Lb = 2.3333;

- timpul mediu de ateptare a unui client n sistem, W = 0.033;,

- timpul mediu de ateptare a unui client n firul de ateptare, Wq = 0.0233.

26

Rezolvarea pct. 2

(Results/Probability Summary):

Probabilitatea ca n sistemul de ateptare ca in sistemul de ateptare sa existe 2 persoane este de0.14, iar pentru mai multe persoane scade atingnd valoarea zero la n = 25 clieni.

Rezolvarea pct. 5

Simulare sistem pentru 0.0333 ore (Solve and Analyze / Simulate the System):

-probabilitatea ca un client s atepte mai mult de 2 minute, Pw = 4.39%;

27

2. O firm are 5 maini unelte de acelai tip. O main se defecteaz, n medie, o dat la 30 dezile i este reparat de un singur muncitor. Reparaia unei maini dureaz, n medie, 3 zile. S sestabileasc elementele modelului de ateptare, dac se consider c sosirile sunt poissoniene, iarservirile exponenialeRezolvare cu ajutorul programului WinQSB:


28

- probabilitatea ca n sistem s nu existe nici o main, Po =56.4277%;

- nr. mediu de maini n sistem, L =0.6388;

- nr. mediu de maini care ateapt s fie reparate, Lq = 0.2031;

- timpul mediu de ateptare a unui client n sistem, W =4.3986 zile;

- timpul mediu de ateptare a unui client n firul de ateptare, Wq = 1.3986 zile;

- nr. mediu de clieni (M) care nu se gsesc n sistemul de ateptare

36.4564.011.0

111 oPM maini;

- probabilitatea ca o main s atepte irul de ateptare, Pb = 43.5723%;

29

3. ntr-un atelier sunt 5 maini care se defecteaz aleatoriu i 2 mecanici de ntreinere. S-aconstatat c sosirile mainilor defecte, care necesit reparaii, sunt poissoniene, cu rata mediemaini pe zi, iar timpul de reparare a fiecrei maini este o variabil aleatoare repartizatexponenial, de parametru = 1/3 maini pe zi. S se determine parametrii modelului deateptare.



30

- probabilitatea ca n sistem s nu existe nici o main, Po=61.8851%;

- nr. mediu de maini n sistem, L = 0.4644;

- nr. mediu de maini care ateapt s fie reparate, Lq = 0.0112;

- probabilitatea ca staiile de servire s fie inactive = 1.5462;

- probabilitatea ca un mecanic s fie ocupat = 0.1315;

- timpul mediu de ateptare a unui client n sistem, W = 3.0748 zile;

- timpul mediu de ateptare a unui client n firul de ateptare, Wq = 0.0745 zile;

- probabilitatea ca o main s atepte irul de ateptare, Pb = 43.5723%;

Probabilitatea ca n maini (n=1...5) s se afle n sistem (Results/Probability Summary):

31

4. ntr-un laborator alimentar se afl 12 instalaii frigorifice, ntreinute de un electrotehnician.Pentru fiecare instalaie frigorific n parte, s-a constatat c repartiia timpului de funcionare,pn n momentul cnd instalaia se defecteaz, este exponenial, cu media de 40 de ore, iardurata medie pentru ndeprtarea unei defeciuni este de 4 ore. tiind c numrul instalaiilordefecte, precum i ale celor reparate sunt variabile aleatoare cu repartiie Poisson, se cere:

1. probabilitatea ca n laborator s nu existe nici o instalaie care s atepte s fie reparat;

2. numrul mediu de instalaii defecte la un moment dat;

3. timpul mediu de ateptare n sistem i n firul de ateptare.


Numrul posturilor de deservire = 1 electrotehnician;

Rata de servire a unei singure instalaii ntr-o or ():

- timpul mediu necesar reparaiei a unei singure instalaii este de 4 ore, adic = 1 / 4 = 0.25instalaie ntr-o or. ~ = 0.25 reparaie instalaie / or;

Rata de defectare (sosire) a instalaiei. Aceasta are o medie de funcionare de 40 de ore (dup 40de ore se defecteaz), ceea ce nseamn c rata de sosire = 1 / 40 = 0.025 instalaie ntr-o or~ = 0.025 defcetare instalaie / or;

Factorul de serviciu () = / = 0.025 / 0.25 = 0.1 ~ = 0.1;

M: timpul dintre sosiri are distribuie exponenial sau rata sosirilor are distribuie Poisson;

M: timpul de servire are distribuie exponenial;

Acesta este un sistem M/M/1/12.

32


- probabilitatea ca n sistem s nu existe nici o instalaie care s atepte s fie reparat,Po=11.9739%;

- nr. mediu de instlaii defecte la un moment dat n sistem, L = 3.1974;

33

- timpul mediu de ateptare a unei instalaii n sistem, W = 14.5293 ore;

- timpul mediu de ateptare a unei instalaii n firul de ateptare, Wq = 10.5293 ore.

34

BIBLIOGRAFIE

Doina IACOMI , 2014, suport curs Metode i Instrumende de Management Industrial,curs universitar nepublicat, Universitatea de Stat Piteti.

Tema Casa Mimi

Documents

Transcript of Tema Casa Mimi