1

Tema 1NOT¼A. Tema const¼a în câte un subpunct, corespunz¼ator num¼arului curent al

studentului din Apelul grupei (a�sat pe platform¼a). Dac¼a num¼arul curent dep¼aseste20; se va considera restul împ¼artirii acestui num¼ar la 20; de exemplu, un studentavând num¼arul curent 34; va aborda subpunctul 14Recomandare: se consult¼a �sierul �Probleme_conice�!

Model. S¼a se descompun¼a în dou¼a moduri integrala dubl¼aZZD

f (x; y) dxdy;

unde D este domeniul plan m¼arginit de curbele 4x2 + y2 � 4 = 0 si 2x� y � 2 = 0;y < 0:

Solutie. Ecuatia 4x2+y2�4 = 0 poate �scris¼a sub forma x2+ y2

22�1 = 0: Deci este

vorba de o elips¼a avâd semiaxele a = 1 si b = 2: Ecuatia 2x � y � 2 = 0 reprezint¼ao dreapt¼a care împarte elipsa în dou¼a regiuni. Având în vedere conditia y < 0;domeniul D este cel marcat �gur¼a. Pentru a scrie integala sub formaZ b

a

Z (x)

'(x)

f (x; y) dy

!dx;

trebuie s¼a explicit¼am y în functie de x în �ecare ecuatie. Din prima ecuatie obtinemy = �2

p1� x2:Având în vedere conditia y < 0; rezult¼a y = �2

p1� x2: Din a doua

ecuatie obtinem y = 2x � 2: Tinând cont de intersectiile dintre cele dou¼a curbe,rezult¼a c¼a pentru orice punct din domeniul D avem x 2 [0; 1] ; adic¼a

D =n(x; y) j x 2 [0; 1] ; � 2

p1� x2 � y � 2x� 2

o:

Deci ZZD

f (x; y) dxdy =

Z 1

0

�Z 2x�2

�2p1�x2

f (x; y) dy

�dx:

2

Pentru a obtine a doua descompunere vom explicita x în �ecare ecuatie. Din primaecuatie obtinem x = �1

2

p4� y2 (vom alege semnul �+� deoarece pe domeniul D

avem x > 0). Din a doua ecuatie obtinem x = y2+ 1: Asadar,

D =

�(x; y) j y 2 [�2; 0] ; y

2+ 1 � x � 1

2

p4� y2

�:

În �nal, rezult¼a ZZD

f (x; y) dxdy =

Z 0

�2

Z 12

p4�y2

y2+1

f (x; y) dx

!dy:

Problem¼a. Se consider¼a integrala I =ZZD

f (x; y) dxdy; functia f �ind o functie

continu¼a arbitrar¼a. S¼a se descompun¼a în dou¼a moduri integrala I în cazul domeniuluiD de mai jos (�gur¼a!):

1. D este domeniul plan m¼arginit de curbele x2 + y2 � 9 = 0 si x + y � 3 = 0;y > 0:

2. D este domeniul plan m¼arginit de curbele x2+9y2� 9 = 0 si �x+3y� 3 = 0;y > 0:

3. D este domeniul plan m¼arginit de curbele x2+4y2�2x�3 = 0 si x�2y+1 = 0;y > 0:

4. D este domeniul plan m¼arginit de curbele 4x2+9y2�36 = 0 si 2x+3y+6 = 0;y < 0:

5. D este domeniul plan m¼arginit de curbele x2 + y = 0 si 2x� y = 0:

6. D este domeniul plan m¼arginit de curbele x2 � y + 1 = 0 si 2x� y + 1 = 0:

7. D este domeniul plan m¼arginit de curbele 4x2 � y � 1 = 0 si 2x� y � 1 = 0:

8. D este domeniul plan m¼arginit de curbele 3x2 � y = 0 si 3x+ y = 0:

9. D este domeniul plan m¼arginit de curbele 2x2 + y = 0 si 2x+ y = 0:

10. D este domeniul plan m¼arginit de curbele x� y2 = 0 si x� y = 0:

3

11. D este domeniul plan m¼arginit de curbele 9x2 + y2 � 9 = 0 si 3x� y � 3 = 0;y < 0:

12. D este domeniul plan m¼arginit de curbele 4x2 + 4y2 � 2x + 8y + 1 = 0 six� 2y � 1 = 0; y > �1:

13. D este domeniul plan m¼arginit de curbele x� y2 + 4 = 0 si �x+ 2y � 4 = 0:

14. D este domeniul plan m¼arginit de curbele x+ y2 � 9 = 0 si x+ 3y � 9 = 0:

15. D este domeniul plan m¼arginit de curbele x+ y2 � 4 = 0 si x� 2y � 4 = 0:

16. D este domeniul plan m¼arginit de curbele x2 � y2 � 1 = 0 si 2x� y � 2 = 0:

17. D este domeniul plan m¼arginit de curbele x2 � y2 � 1 = 0 si 2x+ y + 2 = 0:

18. D este domeniul plan m¼arginit de curbele x2 + y2 � 4 = 0 si �x+ y � 2 = 0;y > 0:

19. D este domeniul plan m¼arginit de curbele 4x2+9y2�36 = 0 si 2x�3y�6 = 0;y < 0:

20. D este domeniul plan m¼arginit de curbele 9x2+ y2� 36 = 0 si 3x+ y� 6 = 0;y > 0: