strategia de investitii

MODELE DINAMICE

DE OPTIMIZARE A STRATEGIEI DE INVESTIII

LA NIVEL DE FIRM

Capitolul

4

Cibernetic microeconomic. Optimizarea comportamentului productorului

n concordan cu demersul metodologic de cercetare a activitilor firmei prin abordarea acesteia ca sistem dinamic complex, vom folosi modele cibernetice fundamentate pe axiomatica n sens Kalman cunoscut din cibernetica economic i n consecin, n raport cu scopul propus, vom identifica ansamblul elementelor din triada intrare stare ieire, corespunztoare fluxurilor de intrare (variabilele de decizie sau control), a dinamicii (variabilele de stare) i a fluxurilor de ieire (variabilele rezultative).

n acest context, pentru firm abordat ca sistem dinamic putem aplica metodele cunoscute din cibernetica economic i dinamica economic, pentru a determina evoluia (pe orizont finit sau infinit), caracteristicile evoluiei, iar prin modelele pe care le vom sintetiza aici, binecunoscute din literatura de specialitate englez, francez etc ne propunem s determinm traiectoriile de evoluie optimal i condiiile n care aceast evoluie este posibil, innd seama de influena factorilor de mediu, de dinamica acestora n timp i a anticiprilor asupra lor.

Este evident c aceast abordare impune introducerea unei funcionale obiectiv prin care comensurm performanele firmei ca sistem dinamic de-a lungul traiectoriilor de evoluie generate de ecuaiile de dinamic i restriciile de natur economic (privind alocarea resurselor), legislativ, de anticiprile fcute asupra variabilelor de intrare necontrolabile de firm: preurile factorilor i outputului formate pe piaa bancar (rata dobnzii la credite), pe pieele de capital (cursul aciunilor), pe piaa valutar (cursul de schimb), precum i de politica guvernamental privind taxele i subveniile, de evoluie a cererii pe piaa intern i la export a produselor firmei, etc.

O parte din aceste influene le-am analizat n capitolul II, cercetarea fiind axat n principal pe analiza mecanismului investiional: formarea cererii de investiii i politica de finanare, legtura cu rata q-marginal Tobin, teoremele Miller-Modigliani (MMI i MMII), efectul de levier i interaciunile ntre firme i ali ageni economici (consumatori, administraie) pe pieele bunurilor i serviciilor (vezi paragraful 2.4.3). n continuare, n capitolele urmtoare vom evidenia o serie de modele dinamice de optimizare a evoluiei firmei.

Fr a considera c este exhaustiv, schema urmtoare ilustreaz sinoptic interaciunile firmei cu principalele grupuri de interese din i din afara ei.

Capitolul 4. Modele dinamice de optimizare a strategiei de investiii la nivel de firm

Dinamica firmei i n consecin evoluia optimal a acesteia este

condiionat de ansamblul interaciunilor dintre diversele grupuri de interese, reflectate n modelele dinamice fie prin funcia obiectiv, fie prin restricii, fie prin structura ecuaiilor de dinamic.

1. Acionarii sunt considerai ca decideni dominani (AGA), avnd ca obiectiv maximizarea valorii firmei definit ca valoare actual a fluxului de dividende (Lesourne) sau valoare actual a fluxului de cash (Jorgenson) pentru un orizont infinit de timp. n cazul orizontului finit, funcionala obiectiv va include i componenta final, care, pe termen lung, comensureaz scopul acionarilor ca la sfritul orizontului T s se nregistreze o valoare actual ct mai mare a capitalului social (Knasse i Lee) sau a stocului de bunuri de capital (Van Schijudal).

Specificarea concret a formei funcionalei obiectiv se va vedea n modelele dinamice pe care le vom prezenta.

Lucrri recente studiaz i schimbarea structurii grupului de acionari precum i emisiunea de noi aciuni (Elton i Gruber).

Acionarii (1)

Managementul (2)

Angajaii (3)

Structura Tehnologic

(6)

Firma

Piaa forei de munc (4)

Piaa bunurilor de capital (5)

Creditorii (7)

Piaa outputului(8)

Competitorii(9)

Administraii(10)

Echilibrul macroeconomic


2. Managementul. Se consider c managerii nu sunt i proprietarii firmei, dar particip operaional la procesul decizional, avnd ca obiective creterea firmei, prestigiul, meninerea unei anumite valori de pia a firmei care s diminueze probabilitatea achiziiei firmei de ctre concuren. Ca funcie obiectiv se poate folosi maximizarea ritmului de dezvoltare (orizont infinit) exprimat n valoare actualizat a cifrei de afaceri, concomitent cu restricia acordrii unui volum minim de dividende acionarilor sau meninerii unui nivel minim de profit pe aciune, rata de actualizare fiind i .

Acest obiectiv evideniaz concordana de aciune n conducerea operativ (manageri) i strategia acionarilor. Delegarea competenelor de conducere ctre manageri se face prin limitarea plajei de aciune a acestora:

- capacitatea limitat de a realiza investiii de expansiune a firmei (prin

restricia ca ritmul creterii capitalului s fie limitat superior: 0 pe traiectoria II i 1 = 0 pe traiectoria IV 2 = 0 i = 0 pe ambele traiectorii Pentru claritatea expunerii vom nota cu 1(II) i 1(IV) cei doi

multiplicatori corespunztori celor dou traiectorii. n momentul cuplrii trebuie ca 1(II)(t*) = 0 i de asemenea )( */ )(1 tII = 0. Pe traiectoria II avem:

1(II) = c (t) (53) i prin nlocuirea n ecuaia de dinamic a variabilei de ajustare avem:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )tiaciatKQpt IIII )(1

/)(1 ++

+

= (54)

relaie care, pentru t = t* implic:

( ) ( ) caitKQp += * (55)

Evoluia mrimilor K, L i I este ilustrat grafic mai jos:

Varianta 2: K* > K0 n acest caz, pentru a ajunge de la valoarea K0 a capitalului la valoare

mai mare K*, firma trebuie s aplice o politic de investiii maxime (I = Imax) care duce la o traiectorie ascendent a capitalului (traiectoria III) pn cnd valoarea capitalului devine K(t) = K*, moment n care firma cupleaz pe traiectoria constant IV.

K(0)

K(t)

K*

t* t

L(0)

L(t)

L*

t* t

t*

I(t)

I*

Imin t

InvestiiileCapitalul Fora de muncFigura 4.1.a


Momentul de cuplare t* se obine din relaia de cuplare K(t) = K*:

K(t) = (K0 aImax ) eat +

aImax = K* (56)

care duce la soluia:

t* = a1 ln

aIK

aIK

max0

max*

(57)

Pentru ca aceast comutare s fie acceptabil este necesar s fie respectate condiiile de continuitate i derivabilitate impuse funciilor implicate n model.

n acest caz:

2 > 0 pe traiectoria III i 2 = 0 pe traiectoria IV 1 = 0 i = 0 pe ambele traiectorii n momentul cuplrii trebuie ca 2(III)(t*) = 0 i de asemenea )( */ )(2 tIII =

0. Pe traiectoria III avem:

2(III) = c (t) (58) i prin nlocuirea n ecuaia de dinamic a variabilei de ajustare avem:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )tiaciatKQpt IIIIII )(2

/)(2 ++

+

= (59)

relaie care, pentru t = t* implic:

( ) ( ) caitKQp += * (60)

Evoluia mrimilor K, L i I este ilustrat n figura 4.1.b. n concluzie traiectoriile optimale n cel mult 2 stadii sunt

1. Dac K(0) = K* : IV


2. Dac K(0) < K* : II IV 3. Dac K(0) > K* : III IV Cum trecerea de pe traiectoria II pe traiectoria III sau reciproc nu este

posibil deoarece ar rezulta funcii ale multiplicatorilor nederivabile nu sunt admise soluii de cte trei traiectorii sau mai multe.

2. Modelul Lesourne-Leban

Asemnarea cu modelul Jorgenson: orizontul de timp este infinit. Deosebiri: - vizeaz schimbri n structura financiar (finanarea poate fi fcut din

aciuni sau din credite), pe piee financiare imperfecte(PFI); - criteriul de optim: maximizarea valorii firmei ca sum actualizat de

dividende; - ine seama de politica fiscal (impozitare a guvernului). Ecuaiile modelului: - ecuaia de balan care formalizeaz sursele de finanare a bunurilor

de capital:

)()()( tKtYtX =+ (1) unde:

X(t) valoarea aciunilor (capitalul social al firmei) Y(t) mprumuturi (credite) K(t) valoarea bunurilor capital. - ecuaia de evoluie a bunurilor capital (investiia net); este ecuaia

de stare:

)()()( taKtItK =& (2) unde

I(t) investiia brut; a rata de amortizare;

K(0)

K(t)

K*

t* t L(0)

L(t)

L*

t* t

t*

I(t)

I*

Imin

tInvestiiileCapitalul Fora de munc

Figura 4.1.b


)(tK& - investiia net. - Ecuaia profitului net

)]()()())(()[1()()()( trYtaKtwLtQRftDtXtE =+= & (3) unde:

E(t) profitul net al firmei; f rata de impozitare; R(Q(t)) veniturile firmei (din vnzri); w salariul pe persoan ocupat; - rata dobnzii la creditele (mprumuturile) fcute de firm; L(t) personalul ocupat;

)(tX& - creterea capitalului social; D(t) valoarea dividendelor. Ecuaia (3) cuprinde modul de distribuire i modul de formare a

profitului net: )()()( tDtXtE += & (distribuirea profitului net pentru dividende i/sau creterea capitalului social(acumulri)).

Mecanismul de formare a profitului net este:

)]()()())(()[()( trYtaKtwLtQRftE = 1 Observaie: Spre deosebire de modelul Jorgenson, cheltuielile cu capitalul

se consider valoarea amortizrilor (la Jorgenson costul capitalului era exprimat ca o pondere din investiia brut). Ca i n modelul amintit, se consider dou inputuri: capitalul i fora de munc.

Ipoteze asupra funciei de venit (venituri din vnzri)

- R(Q(t)) este strict concav: ))(()())(())()()(( tQRtQRtQtQR 2121 11 +>+

- R(Q(t)) este monoton strict cresctoare: 0> ))(( tQR - veniturile marginale la scala de fabricaie sunt strict descresctoare:

0


Restricii de limitare a valorii mprumutului:

)()( tkXtY 0 (6) unde k este ponderea maxim a datoriilor (creditelor bancare) n raport cu valoarea capitalului social, cu k > 0 (firma are acces la credite).

Din ecuaia de balan rezult Y(t) = K(t) X(t). nlocuim n (6):

)()()()()()()()( tXktKtXtXktXtK ++ 110 (6) Limitele pentru variabilele de control (dividende i investiii):

max)( DtD 0 (7) maxmin )( ItII (8)

(necesare pentru a obine un domeniu nchis al variabilelor de control).

Modelul matematic (Lesourne i Leban) este:

0

dttDe itLID

)(max,,

(9)

)()]()()()())(()[1()( tDtrXtKartwLtQRftX ++=& (10) )()()( taKtItK =& (11)

)()()()( tXktKtX + 1 (12)

)14()13(

)()(0

maxmin

max

ItIIDtD

restricii momentane asupra variabilelor de comand

Pentru rezolvare aplicm principiul lui Pontreaghin: Hamiltonianul problemei (n forma ajustat, fr actualizare):

)]()()[()}()]()()()())(()[1){(()())(),(),(),(),(),((

2

121

taKtIttDtrXtKartwLtQRfttDtttXtDtItKH

++++=

(15)

Lagrangeanul problemei:

=))(),(),(),(),(),(,)(),(,)(),(,)(),((Lagrangetori multiplica

214321

adjuncte variabile

21

comanda de variabilestare de variabile444444 3444444 21434214342143421 tttttttttDtItXtK L

))()()1)((())()()(())()(())()(())()(()()()(

21max4

min3max21

tKtXkttXtKttIItItIttDDttDtH

++++++++=

(16)


Presupunem, din raiuni economice, c variabilele de control iau valori n domeniul deschis dedus din restriciile (7) i (8). Atunci:

=== 0432

>>>

)()(

)(

max

min

max

tIIItItDD

Dinamica variabilelor adjuncte:

)()1()()1)(()()()()()( 211111 tktrfttitX

Ltit ++==& (17)

)()()(

)()()()1)(()(

)()()()(

221

1222

tatt

artK

RfttitK

Ltit

++

+

==&

(18)

Condiiile de optim ale modelului sunt:

1)()(0)(1)(0)()(

1111 +==+= tttttD

L (19)

0)(0)()(

2 == t

tIL (20)

0)()()1)((0

)()(

1 =

=

wtL

RfttL

L (21)

0)()(1 =tDt (22) 0)]()()[(1 = tXtKt (23)

0)]()()1)[((2 =+ tKtXkt (24) 0)(),(),( 211 ttt (25)

Din (19) i (25) rezult c: 0)(1 >t (26)

din (21) i (26):

wtL

RwtL

Rft =

=

>>

)()(0

)()(

0)1(0)(1 (27)

deci evoluia optim corespunde legitii ca venitul marginal al muncii s fie egal cu costul marginal aici salariul nominal.


Conform (20) = 0)(2 t& relaia (18) devine:

)()()()()()1)((0 211 ttartK

Rft +

+= (28)

Traiectorii posibile

Variaia (0;+) a celor 3 parametrii 1, 1, 2 implic 23 = 8 variante de analiz, din care reinem numai 6, deoarece cazurile (+,+,+) i (0,+,+) nu sunt admisibile; ntr-adevr din (23) i (24) ar rezulta k = 0, n contradicie cu ipoteza exprimat prin (6) c firma are acces la credite.

TR. nr. )(1 t )(1 t )(2 t

1 0 + 0 2 0 0 + 3 0 0 0 4 + + 0 5 + 0 + 6 + 0 0

Transformarea condiiilor de optim pe traiectoriile 1, 2, 3 pentru care 0)(1 =t : (19) == 0)(1)( 11 tt & (17) devine:

)()()1()1()()1()()1(0 1221 ttkrfitktrfi +=++= (29) Pe traiectoriile 1, 2, 3, (28) devine:

)()()()()()1( 12 ttartK

Rf =

+ (30)

Ipotez: rfi )1( : revenirea acionarilor este diferit de costul unitar al mprumutului (ipoteza pieelor financiare imperfecte (PFI)).

i rata de revenire a acionarilor la o unitate monetar investit pe aciuni;

(1 f)r costul mprumutului (partea dintr-o unitate monetar de profit net care constituie restituirea datoriilor).

Analiza traiectoriilor de baz

Traiectoria 1: 0)()(,0)( 211 ==> ttt

0)(0)()()(0)(

1

1

>==>tDt

tXtKt


Din (29) rezult:

irfttirf >>= )1(0)();()1( 11 (31) deci aciunile sunt mai ieftine dect creditul i este raional ca finanarea s se fac din aciuni.

Din (30) rezult:

ftar

tKR

=+

1)()(

)()( 1 (32)

nlocuim pe )(t1 din (31) n (32):

fia

tKR

=

1)()( (33)

i notm cu *XK soluia acestei ecuaii (valoarea staionar cnd finanarea se face numai din aciuni).

Traiectoria 2: 00 112 ==> )()(,)( ttt

001

010

1

2

>=+==+>

)()(

)()()()()()(

tDtktKtXtKtXkt

Din (29) rezult:

rfitk )1()()1( 2 =+ adic:

krfit +

=1

)1()(2 (35) Deoarece irfkt +> )1(01;0)(2 rezult c aciunile sunt

scumpe i creditele sunt ieftine; deci finanarea se va face din credite. Din (30) rezult:

)()()()()( tartK

Rf 21 =

+ (36)

nlocuim pe )(t2 din (35) i obinem:

++=

fikr

ka

tKR

111

)()( (37)


Notm cu *YK soluia acestei ecuaii (valoarea staionar cnd finanarea se face din credite la maxim).

Traiectoria 3: 0211 === )()()( ttt Din (29) rezult:

irf = )(1 situaie exclus prin ipotez, deci traiectoria 3 nu este admisibil.

Traiectoria 4: ,)(,)(,)( 000 121 >=> ttt Din (24) rezult:

0)()()( == tYtXtK deci finanarea se face numai din aciuni.

Din (29) )()( trfi 11 = 1 rfi )( )(t . Din (30), pentru 0)(2 =t , avem:

)()()()()1)(( 11 tartK

Rft =

+

nlocuim )(1 t din ecuaia precedent i innd cont c i < (1 f)r, va rezulta:

*)()()(

YXKtKratKR >>= ttt Din (24) rezult:

)()()()1()( tkXtYtXktK =+= deci finanarea este mixt (din aciuni i credite la maxim).

Din (30), pentru 01 =)(t , avem:

*)()()()()(

)()())(( YXKtKratK

RtartK

Rft =

+

21 1

unde *YXK este soluia staionar n cazul finanrii mixte. Traiectoria 6: 0)(,0)(,0)( 121 >== ttt


Din (23) rezult: 0)()()( >> tYtXtK

iar din (24) avem: )()()()1()( tkXtYtXktK


n aceste condiii:

**

**

*

***

)(

)(

0)(

))()(1(

X

X

XX

KtK

aKtI

tY

aKwLKRfD

===

=

b) dac creditele sunt ieftine, adic rfi )1( > i *1

1)0( YKkX += ,

traiectoria optim este traiectoria 2.

*

**

*

***

)(

)(1

)(

])1

()()()[1(

Y

Y

Y

YY

KtKaKtI

KkktY

KrkkatwLKRfD

==+=

++=

Traiectorii n dou faze

Sunt formate din cuplarea traiectoriilor 4, 5 i 6, naintea traiectoriei finale 1 sau 2.

ntruct modelul are restricii pure asupra strii, trebuie s considerm posibilitatea ca variabilele adjuncte s nu fie continue.

n punctul n care (t) este discontinu, trebuie satisfcute relaiile:

)()()()( 2111 += + (41) )()1()()()( 2122 k+++= + (42)

D*(t)

I*(t)

KY*

t

Figura 4.2. b)

K0


0))()()((1 = XK (43) 0))()()1)(((2 =+ KXk (44)

0)(,0)( 21 (45) ntruct 0)(2 =t , din (42) rezult:

0)()1()( 21 =++ k (46) Din (45) i (46) rezult 0)()( 21 == deci )(1 t este continu,

conform (41). Din (19) rezult )(1)( 11 tt += deci )(1 t este continu. ntruct pe traiectoriile 1 i 2 1(t) = 0, este necesar ca traiectoriile care

preced traiectoriile 1 sau 2 s verifice 0)(1 >t . Rezult c n punctul de comutaie:

= i *1

1)0( YKkX +<

traiectoria de magistral este TR5 TR2. TR5 TR2

*)( YKtK *YK 0)( >tK& , Kt traiectorie staionar

)(1

)( tKkktY += , Yt

*

1)( YKk

ktY +=

0)( =tD ])1

()()()[1()( ** Yy KrkkatwLKRftD ++=

n cazul acestei magistrale, creterea se va face cu finanare maxim din mprumut.

Traiectoria 6 nu poate precede traiectoria 1 sau 2, datorit continuitii lui K(t).

Pe traiectoria 1: *)(1)(

)(XKtKf

iatK

R ==

Pe traiectoria 6: *)()()(

YXKtKratKR ==

Pe traiectoria 2: *)()1

(1

1)()(

YKtKfikr

ka

tKR =++= .

Y(0)

Y(t)

K0

Q0

*YQ

*YK

D(t)

TR5 cretere

TR2 staionar

t5,2 T

t

*YQ

D = 0

Figura 4.2 d)


Deci traiectoriile n dou stadii sunt: TR4TR1 TR5TR2 Concluzie: Traiectoriile n mai multe stadii:

a) dac rfi )1( < i *1

1)0( YXKkX +< , traiectoria optimal este:

TR5 TR6 TR4 TR1

b) dac rfi )1( > i *1

1)0( YXKkX += , traiectoria optimal este:

TR5 TR2

3. Modelul Ludwig

Obiectivul modelului Ludwig este maximizarea fluxului (ncasrilor) de dividende pe orizontul limitat de timp [0,T] n valoare actualizat:

FI ,max J = T it dttDe0 )( + iTe X(T) (1) Vom considera c evoluia capitalului are o dinamic clasic:

)(tK& = I(t) aK(t) (2) unde a = coeficientul de depreciere = coeficientul de amortizare

Structura capitalului va fi:

K(t) = X(t) + Y(t) (3) unde X(t) reprezint volumul aciunilor (capitalul social) iar Y(t) volumul datoriilor (mprumuturilor) la momentul t.

Dinamica mprumuturilor este:

)(tY& = F(t) bY(t) (4) unde: F(t) = volumul creditelor

b = cota de rambursare anual a datoriilor(amortismentul).

Vom presupune n continuare c se verific ipoteza Ludwig: b = a n aceste condiii, din relaia (3) se obine, prin derivare, dinamica struc-

turii capitalului:

)(tK& = )(tX& + )(tY& (3')


de unde rezult succesiv dinamica valorii aciunilor(capitalului social):

)(tX& = )(tK& )(tY& )(tX& = I(t) aK(t) F(t) + bY(t)

)(tX& = I(t) a(X(t) + Y(t)) F(t) + bY(t) i n final, innd cont de ipoteza Ludwig(a = b), rezult:

)(tX& = I(t) aX(t) F(t) (5) Vom considera c profitul net este ceea ce mai rmne din venitul brut

(R(K(t)) = cifra de afaceri minus costurile cu factorii variabili, inclusiv costurile salariale) dup ce se scad costurile cu factorii fici (amortizarea capitalului = aK(t) i dobnzile la datorii = rY(t)):

V(t) = R(K(t)) aK(t) rY(t) (6)

unde r = rata (normal) a dobnzii (lucrm in ipoteza r i). Venitul net obinut va fi utilizat pentru plata acionarilor (ca dividende

D(t)) i creterea capitalului social X(t):

V(t) = D(t) + )(tX& (7) Dac m (0,1) este cota parte din profitul net reinut pentru

dezvoltare atunci cerina acionarilor ca dividendele s fie strict pozitive se traduce prin:

D(t) (1 m)V(t) > 0 (8) Conform acestei cerine, creterea capitalului social este limitat

superior:

)(tX& = V(t) D(t) V(t) (1 m)V(t) = mV(t) adic:

)(tX& mV(t) (8') Conform (5), cererea de investiii se calculeaz cu relaia:

I(t) = )(tX& + aX(t) + F(t) (9) i innd cont de (8'), obinem marginea superioar a acesteia:

I(t) mV(t) + aX(t) + F(t) (10) sau, conform (6):

I(t) m(R(K(t)) aK(t) rY(t)) + aX(t) + F(t) (10')


Dac se face ipoteza: I(t) 0 (nu se admite dezinvestiia), atunci din ecuaia de dinamic (2) rezult:

)(tK& aK(t) sau )()(tKtK& a

ceea ce arat c rata de cretere a capitalului poate fi i negativ, fiind deci posibil i descreterea capitalului (decapitalizarea).

Condiiile de creditare se impun prin restriciile:

0 F(t) I(t) (11) unde =

)()(tItF este cota maxim a creditelor pentru investiii (n raport cu

facilitile sistemului bancar). Observaie: Dac cerina (11) este verificat, atunci automat I(t) 0 i

aceast restricie nu mai apare ca efectiv. Pornind de la relaiile (7) i (5) i innd cont de relaia (6) obinem:

(7) D(t) = V(t) )(tX& )5( D(t) = V(t) I(t)+ aX(t) + F(t) )3(),6( D(t) = R(K(t)) (a + r)Y(t) I(t) + F(t) (12)

care reprezint ecuaia dividendelor pe baza creia obinem funcia obiectiv:

FI ,max J = T ite0 (R(K(t)) (a + r)Y(t) I(t) + F(t))dt + iTe X(T) (1') Vom considera c funcia de venit R(t) verific i condiiile:

i) )()(tKtR

> a

ii) )()(

2

2

tKtR

< 0

prima condiie rezultnd din restricia R(K(t)) > aK(t) care spune c veniturile trebuie s acopere cel puin costurile cu factorii variabili i cei fici iar a doua reprezint legea randamentelor marginale descresctoare.

Variabilele modelului sunt:

variabile de stare: X(t) i Y(t) variabile de decizie: I(t) i F(t) variabile de ieire: K(t), V(t) i D(t)


Modelul matematic este:

)(),(max

tFtIJ = T ite0 (R(K(t)) (a + r)Y(t) I(t) + F(t))dt + iTe X(T)

)(tX& = I(t) aX(t) F(t) X(0) = X0 )(tY& = F(t) aY(t) Y(0) = Y0

K(t) = X(t) + Y(t) I(t) m(R(K(t)) aK(t) rY(t)) + aX(t) + F(t) 0 F(t) I(t) m (0,1) ; (0,1)

i reprezint o problem de control optimal. Pentru rezolvarea acesteia vom utiliza principiul lui Pontreaghin.

Deoarece funcia obiectiv (1') este cu actualizare (apare eit) construim hamiltonianul ajustat (fr actualizare):

H(X(t),Y(t),I(t),F(t),1(t),2(t)) = R(K(t)) (a + r)Y(t) I(t) + F(t) + 1(t)[I(t) aX(t) F(t)] + 2(t)[F(t) aY(t)] (14) unde variabilele adjuncte sunt exprimate n acest caz prin transformata:

j(t) = eitj(t) j(t) fiind variabilele adjuncte corespunztoare hamiltonianului H() care conin termenul de actualizare eit, variabile despre care se tie c verific ecuaiile de dinamic:

)(1 t& = XH

)( i )(2 t& = YH

)( de unde rezult:

)(1 t& = i1(t) eit XH

)( i )(2 t& = i2(t) eit YH

)( (16) sau, mai general, teorema:

Teorem: Dac X(t) este vectorul variabilelor de stare i H() este hamiltonianul asociat unei probleme de control optimal fr restricii atunci variabilele adjuncte (t) folosite n construcia hamiltonianului, prin excluderea factorului de actualizare (eit) din funcia-obiectiv, verific ecuaia de dinamic:

)(t& = i(t) eitXH

)( = i(t) X

Hajustat

)( unde H(t) = e-it Hajustat(t).


Dac exist i restricii asupra variabilelor, ca n cazul de fa restriciile: K(t) = X(t) + Y(t) I(t) m(R(K(t)) aK(t) rY(t)) + aX(t) + F(t) 0 F(t) I(t)

atunci definim Lagrangeanul asociat problemei:

L() = H() + 1(t)[I(t) F(t)] + 2(t)[m(R(K(t)) aK(t) rY(t)) + aX(t) + F(t) I(t)] + 3(t)F(t) (15) unde 2(t) este multiplicatorul asociat restriciei asupra variabilei de decizie I(t) iar 1(t) i 3(t) multiplicatorii asociai restriciilor asupra variabilei de decizie F(t) i ecuaiile de dinamic (16) trebuie nlocuite cu ecuaiile:

)(1 t& = i1(t) eit XL )(

)(2 t& = i2(t) eit YL )(

Sistemul de condiii Kuhn-Tucker se reduce la condiiile:

IL )( = 0 (17.a)

FL )( = 0 (17.b)

i:

1[I F] = 0 (18.a) 2[m(R(K) aK rY) + aX + F I] = 0 (18.b) 3F = 0 (18.c)

care este un sistem de 5 ecuaii cu necunoscutele I, F, 1, 2, 3 din care vom scoate variabilele de decizie I i F n funcie de variabilele de stare X i Y i de variabilele adjuncte 1 i 2.

(16)


n cazul de fa, sistemul condiiilor Kuhn-Tucker are forma:

1 + 1 + 1 2 = 0 (17'.a) 1 1 + 2 1 + 2 + 3 = 0 (17'.b) 1[I F] = 0 (18.a) 2[m(R(K) aK rY) + aX + F I] = 0 (18.b) 3F = 0 (18.c) i restriciile de semn: 1(t),2(t),3(t),I(t),F(t) 0 n final, variabilele de stare X(t) i Y(t) vor fi gsite din sistemul de

ecuaii difereniale format din ecuaiile de dinamic ale variabilelor de stare (4) i (5) la care se adaug ecuaiile de dinamic ale variabilelor adjuncte, rezultnd un sistem SD de 4 ecuaii difereniale cu 4 necunoscute (X(t), Y(t), 1(t), 2(t)):

)(tY& = F(t) aY(t) (4)

)(tX& = I(t) aX(t) F(t) (5)

)(1 t& = i1(t) XL )( =

= )(tKR

+ (i + a)1(t) - 2(t)[m )()( tK

R + a(1 m)] (16.a)

)(2 t& = i2(t) YL )( =

= (i + a)2(t) )()( tKR [1 +m2(t)] + (a + r)[1 + m2(t)] (16.b)

cu valorile iniiale X(0) = X0, Y(0) = Y0 plus valorile finale:

1(T) = 1 i 2(T) = 0 (16.c) Observaie: n formulele in sistem am folosit faptul c:

XR )( =

KR )(

XK

)( = KR )(

XYX

+ )( =

KR )(

YR )( =

KR )(

YK )( =

KR )(

YYX

+ )( =

KR )(

Revenind la sistemul de condiii Kuhn-Tucker, deoarece fiecare din ultimele trei ecuaii implic 2 cazuri (i = 0 sau i 0, i = 1,2,3) rezolvarea

SD:

SKT :


sistemului presupune analiza a 23 = 8 variante, care pot fi sintetizate conform tabelului de mai jos:

Varianta 1 2 3 I + + + II + + 0 III + 0 + IV 0 + + V 0 0 + VI 0 + 0 VII + 0 0 VIII 0 0 0

n continuare vom analiza succesiv fiecare variant (traiectorie).

Varianta I: 1(t), 2(t), 3(t) > 0

Din condiiile Kuhn-Tucker rezult:

I(t) F(t) = 0 (18.a.I) mV(t)+ aX(t) + F(t) I(t) = 0 (18.b.I) F(t) = 0 (18.c.I)

de unde:

I(t) = F(t) = 0 (18'.a.I) i (18'.c.I) i:

mV(t)+ aX(t) = 0 (18'.b.I)

Ultima relaie fiind n contradicie cu ipotezele a, m (0,1) i V(t), X(t) > 0, rezult c aceast variant nu este posibil sau c traiectoria corespunztoare nu este admisibil.

Varianta II: 1(t), 2(t) > 0 i 3(t) = 0 Sistemul de condiii Kuhn-Tucker devine:

I(t) F(t) = 0 (18.a.II) mV(t)+ aX(t) + F(t) = I(t) (18.b.II)


Prima relaie spune c firma face mprumuturi la nivel maxim. Cele dou ecuaii formeaz un sistem liniar de 2 ecuaii cu 2 necunoscute (F(t) i I(t)), cu soluia:

F*(t) =

1[mV(t) + aX(t)] (18'.a.II)

I*(t) = 11 [mV(t) + aX(t)] (18'.b.II)

Prima arat care este politica de credite i evident F(t) 0 iar a doua care este nivelul investiiilor i de asemenea I(t) 0.

nlocuind aceste soluii n sistemul dinamic SD obinem:

)(tX& = mV(t) = m(R(K(t)) aK(t) rY(t)) (5.II)

)(tY& =

1{m[R(K(t)) aK(t) rY(t)] + aX(t)} aY(t) (4.II)

unde K(t) = X(t) + Y(t). Soluia acestui sistem depinde de forma funciei de venit R(t). Deoarece V(t) > 0 i m (0,1) rezult: )(tX& > 0 deci capitalul social

va crete X(t) . Din (18'.a.II) i X(t) rezult F(t) i de aici Y(t) adic pe traiectoria II datoria firmei crete.

De asemenea, cum i X(t) i Y(t) sunt cresctoare K(t) va fi de asemenea cresctor i )(tK& 0, firma nregistrnd o cretere maxim, prin politica de mprumuturi maxime posibile.

Dinamic variabilelor adjuncte rezult din ultimele dou ecuaii ale SD:

)(1 t& = )(tKR

+ (i + a)1(t) - 2(t)[m )()( tK

R + a(1 m)] (16.a)

)(2 t& = (i + a)2(t) )()( tKR [1 +m2(t)] + (a + r)[1 + m2(t)] (16.b)

Din condiiile K-T 17'.a i 17'.b rezult:

1 = 1 1 + 2 (17'.a.II) 2 = (1 )2 (17'.b.II)

sau


1 = 1 [1 1(t)] + )1(

1 2(t) (17".a.II)

2 = 11 2(t) (17".b.II)

i n final:

1& = 1 [1 )(1 t& ] + )1(

1 )(2 t& (17'''.a.II)

2& = 11 )(2 t& (17'''.b.II)

Ultimele relaii, n combinaie cu ecuaiile de dinamic ale variabilelor adjuncte 16.a i 16.b duc la un sistem de dou ecuaii difereniale liniare cu coeficieni neconstani, cu dou necunoscute, din care vor fi aflate 1(t), 2(t) i apoi 1(t), 2(t):

)(1 t& = (i + a)1(t) 11 [m )()( t

KR + a(1 m)]2(t) )(tK

R (16.a)

)(2 t& = [i + a + m 11 (a + r )()( t

KR )]2(t) + (a + r) )()( tK

R (16.b)

Ultima ecuaie este o ecuaie liniar de gradul nti n 2(t) de unde rezult:

*2 (t) =

+ +++

+++ t

dKRramait duuK

Rramaiede

KRra 00

)]()([1

1

0

)]()([1

1

)]()([

apoi:

*1 (t) = tait ai edeK

RmaKRm ++

+ )(0 )(*2 )]()()()]1()()([1 1[

i n final: *1 (t) =

1 [1 *1 (t)] + )1(1

*2 (t)

*2 (t) = 1

1 *2 (t) Pentru ca soluia s fie admisibil este necesar ca *1 (t) i *2 (t) s fie

pozitive, dar acest fapt poate fi decis numai dup alegerea concret a lui R(K).


Varianta III. 1(t) > 0, 2(t) = 0 i 3(t) > 0 Condiiile K-T devin:

1 + 1 + 1 = 0 (17'.a.III) 1 1 + 2 1 + 3 = 0 (17'.b.III) 1 > 0, I F = 0 (18.a.III) 2 = 0, m(R(K) aK rY) + aX + F I > 0 (18.b.III) 3 > 0, F = 0 (18.c.III) Rezolvnd acest sistem obinem I(t) = F(t) = 0 oricare ar fi t, deci firma

aplic o politic de neapelare la credite i de investiii nule (nu se face nici autofinanare). Din ecuaia de evoluie a capitalului (2) obinem

)(tK& = aK(t) (2.III)

deci o evoluie descresctoare ( )(tK& < 0) a datoriilor firmei: K*(t) = K0eat (2'.III) Ecuaiile de dinamic devin:

)(tY& = aY(t) (4.III)

)(tX& = aX(t) (5.III)

)(1 t& = )(tKR

+ (i + a)1(t) (16.a.III)

)(2 t& = (i + a)2(t) )()( tKR + (a + r) (16.b.III)

Din primele dou ecuaii rezult o evoluie concomitent descresctoare a mprumuturilor i a aciunilor ( )(tY& < 0 i )(tX& < 0) pe traiectoriile:

Y*(t) = Y0eat (5'.III) X*(t) = X0eat (4'.III)

i n final volumul dividendelor: D(t) = R(K*(t)) (a + r)Y*(t) (12.V)

Varianta IV. 1(t) = 0, 2(t) > 0 i 3(t) > 0

SKT :


Condiiile K-T devin: 1 + 1 2 = 0 (17'.a.IV) 1 1 + 2 + 2 + 3 = 0 (17'.b.IV) 1 = 0, I F > 0 (18.a.IV) 2 > 0, m(R(K) aK rY) + aX + F I = 0 (18.b.IV) 3 > 0, F(t) = 0 (18.c.IV) Rezolvnd acest sistem obinem: 1 = 1 + 2 )(1 t& = )(2 t& (17".a.IV) 2 = 3 )(2 t& = )(3 t& (17".b.IV) 1 = 0, I > 0 I > 0 (18'.a.IV) 2 > 0, I = m(R(K) aK rY) + aX (18'.b.IV) 3 > 0, F(t) = 0 (18'.c.IV) Pe aceast traiectorie se aplic deci o politic fr credite (18'.c.IV) i

exist investiii (18'.a.IV), care vor fi fcute din surse proprii (autofinanare). Numim aceast politic "autofinanare pur".

nlocuind rezultatele de mai sus n ecuaiile de dinamic obinem sistemul:

)(tY& = aY(t) (4.IV) )(tX& = m(R(K) aK rY(t)) (5.IV)

)(2 t& = )(tKR

+ (i + a)(1 + 2(t)) - 2(t)[m )()( tK

R + a(1 m)] (16.a.IV)

)(3 t& = (i + a)3(t) + )()( tKR [1 +m2(t)] (a + r)[1 + m2(t)] (16.b.IV)

cu condiiile finale: X(0) = X0, Y(0) = Y0, 2(T) = 0 i 3(T) = 0. Din ecuaia liniar de gradul I cu coeficieni neconstani (16.a.IV) va fi

obinut multiplicatorul 2(t), care va fi nlocuit apoi n ecuaia (16.b.IV) care va deveni o ecuaie liniar de gradul I cu coeficieni neconstani n 3(t). Evoluia pe traiectoria IV are loc att timp ct 2(t) i 3(t) sunt simultan pozitivi.

Din ecuaia (4.IV) obinem o evoluie descresctoare ( )(tY& < 0) a datoriilor firmei:

Y*(t) = Y0eat (4'.IV)

SKT :

SKT :


Din ecuaia (5.IV) rezult dinamica volumului aciunilor: Avem:

)(tX& = mV(t) > 0 X(t) (5'.IV) iar evoluia aciunilor poate fi dedus din ecuaia:

)(tX& = m(R(K) aK rY(t)) (5.IV) i depinde de forma funciei profitului R(K).

Cum K(t) = X(t) + Y(t) i R(K) este neliniar, expresia lui X(t) este greu de determinat analitic. n acest caz se folosesc de obicei aproximrile acestei funcii prin simulri discrete pe calculator.

Varianta V. 1(t) = 0, 2(t) = 0 i 3(t) > 0 Condiiile K-T devin: 1 + 1 = 0 (17'.a.V) 1 1 + 2 + 3 = 0 (17'.b.V) 1 = 0, I F > 0 (18.a.V) 2 = 0, m(R(K) aK rY) + aX + F I > 0 (18.b.V) 3 > 0, F(t) = 0 (18.c.V) Ultima relaie arat c firma accept o politic fr credite. Din a treia rezult I > 0 deci I > 0 iar din a patra mV(t) + aX I > 0.

n concluzie:

0 < I(t) < mV(t) + aX(t) (18'.b.V) deci firma face investiii, sursa lor fiind autofinanarea, limita superioar a investiiilor fiind partea din profit destinat dezvoltrii plus amortizarea prii din capital definit prin capital social.

Din primele dou ecuaii vom avea:

1(t) = 1 )(1 t& = 0 (17".a.V) 2(t) = 3(t) )(2 t& = )(3 t& (17".b.V) Sistemul ecuaiilor de dinamic devine:

)(tY& = aY(t) (4.V)

)(tX& = I(t) aX(t) (5.V)

0 = )(tKR

+ (i + a) (16.a.V)

)(2 t& = (i + a)2(t) )()( tKR + (a + r) (16.b.V)

SKT :


Din ecuaia de dinamic a mprumuturilor rezult c )(tY& < 0, deci volumul datoriilor descrete. Valoarea acestora va fi:

Y*(t) = Y0eat (4'.V) Din a treia relaie avem:

)(tKR

= (i + a) (16'.a.V)

de unde rezult o traiectorie staionar a capitalului, notat *XK pentru a sublinia faptul c finanarea este proprie (autofinanare), unde:

*XK =

1)( R (a + i) (16".a.V) Legitatea de evoluie pe traiectoria V impune ca profitul marginal

net ( )(tKR

a) s egaleze rata de interes a acionarilor.

Din ecuaia de dinamic a variabilei adjuncte 2 i innd cont de relaiile (17".b.V) i (16'.a.V) rezult:

)(3 t& = (i + a)3(t) + (i r) (16'.b.V) cu condiia final 3(T) = 0. Soluia acestei ecuaii este:

)(*3 t = iair

+ [1 e(i + a)(T t)] (16".b.V)

Condiia )(*3 t > 0 este ndeplinit numai dac r > i. n concluzie, evoluia pe traiectoria V va avea loc atta timp ct creditele sunt scumpe.

Din (2) rezult:

I*(t) = a *XK = ct. (2.V)

Ecuaia de dinamic a capitalului propriu va fi:

)(tX& = I*(t) aX(t) = I*(t) a *XK (5.V) i va avea soluia:

X*(t) = eat(X0 *XK ) +

*XK (5'.V)

n final, putem calcula profitul net:

V*(t) = R( *XK ) a*XK rY

*(t) (6.V)


i dividendele:

D*(t) = R( *XK ) a*XK (a + r)Y*(t) (12.V)

Varianta VI. 1(t) = 0, 2(t) > 0 i 3(t) = 0 Sistemul de condiii K-T devine: 1 + 1 2 = 0 (17'.a.VI) 1 1 + 2 + 2 = 0 (17'.b.VI) 0 = 0 (18.a) m(R(K) aK rY) + aX + F I = 0 (18.b) 0 = 0 (18.c)

din care rezult c 2(t) = 0 oricare ar fi t i implicit )(2 t& = 0. De aici rezult c ecuaia de dinamic a variabilei adjuncte 2(t) devine:

0 = (i + a)0 )()( tKR [1 +m2(t)] + (a + r)[1 + m2(t)]

[a + r )()( tKR ][1 +m2(t)] = 0

i cum m i 2(t) sunt pozitive rezult c: )()( t

KR = a + r (19.VI)

i R(K) = (a + r)K + C, unde constanta C rezult din condiiile iniiale. Putem astfel considera legitatea: Evoluia optim se desfoar pe

traiectoria VI atta timp ct venitul marginal din vnzri este egal cu rata dobnzii la credite.

Conform (19.VI) care este o ecuaie algebric n K rezult K(t) = *YXK = ct. unde am folosit indicele YX pentru a arta c sursa de finanare este fundamentat att pe credite (Y) ct i pe autofinanare (X), unde:

*YXK = ]

)([arg raKR

K+=

(19'.VI) sau:

*YXK = ( ) 1R (a + r) (19".VI)

Din sistemul de condiii K-T rezult i:

1 = 1 + 2


i:

)(1 t& = 2& nlocuind n ecuaia de dinamic a variabilei adjuncte 1 obinem:

2& = )(tKR

+ (i + a)[1 + 2(t)] - 2(t)[m )()( tK

R + a(1 m)]

i cum )()( tKR = a + r vom avea:

2& = a r + (i + a)2(t) - 2(t)[m(a + r)+ a(1 m)] 2& = (i mr)2 + i r (16".a.VI)

care mpreun cu condiia final 2(T) = 1(T) 1 duce la soluia: *2 (t) = mri

ir [1 e(i rm)(T t)] (23.VI)

Studiind semnul acestei soluii n funcie de parametrii i, r i m i variabila t n tabelul de mai jos:

r i i rm mriir 1 e(i rm)(T t) *2 (t)

i < rm + + i = rm + 0 / 0 /

rm < i < r + + + + + i = r 0 + 0 + 0 i > r + +

rezult c este ndeplinit condiia de admisibilitate *2 (t) > 0 doar dac i > r i m

ri .

Pentru i > r i m ri

vom avea din sistemul de condiii K-T:

1 = 3 = 2 = 0 2 = 1 1 I F = m(R( *YXK ) a

*YXK rY) + aX


care conduc la sistemul de ecuaii de dinamic:

)(tY& = F(t) aY(t) (4) )(tX& = m(R( *YXK ) a *YXK rY) (5.VI)

*1 = 1 + *2 (t) = ! + mri

ir [1 e(i rm)(T t)] (23'.VI)

0 = 0 (16.b)

n plus, avem: X(t) + Y(t) = *YXK care duce la )(tX& + )(tY& = 0

i ecuaia de dinamic a capitalului (2) care devine:

0 = I(t) a *YXK de unde I*(t) = a*YXK = ct.

De aici rezult imediat:

F*(t) = a *YXK m(R(*YXK ) a

*YXK rY) a[

*YXK Y(t)](18'.b.VI)

care nlocuit n ecuaia de dinamic (4) duce la:

)(tY& = a *YXK m(R( *YXK ) a *YXK rY) a[ *YXK Y(t)] aY(t)

)(tY& = m(R( *YXK ) a *YXK rY) = mV( *YXK ) < 0 n concluzie, pe traiectoria VI are loc o diminuare a datoriilor firmei.

Din ecuaia liniar de mai sus rezult soluia: Y*(t) = ermt(Y0 Y*) + Y* (4'.VI)

unde nivelul de echilibru Y* este:

Y* = ])([1 ** YXYX aKKRr (4".VI)

Evoluia capitalului social X(t) rezult imediat din relaia X(t) + Y(t) = *YXK ca fiind:

X*(t) = *YXK Y*(t)

i n plus, cum )(tX& + )(tY& = 0 i )(tY& < 0 rezult c )(tX& > 0 deci se duce o politic de consolidare a firmei.

n ceea ce privete nivelul creditelor F(t), din condiiile K-T rezult:

0 < F*(t ) < I*(t )


ceea ce nseamn c ntreprinderea face apel la credite dar nu la nivel maxim.

Acest nivel este dat de (18'.b.VI) i (4'.VI) + (4".VI):

F*(t) = a *YXK m(R(*YXK ) a

*YXK rY*(t) ) a[

*YXK Y*(t)] =

= m(R( *YXK ) a*YXK rY

*(t) ) + aY*(t)

= (a + mr)Y*(t) m[R( *YXK ) a*YXK ]

Cum Y*(t) este descresctoare rezult c nivelul creditelor este n scdere.

Deoarece

F*(t) = m(R( *YXK ) a*YXK rY*(t) ) + aY*(t) = mV*(t) + aY*(t)

din inegalitile 0 < F*(t) < I*(t) vom avea: aY*(t) + I*(t) > mV*(t) + I*(t) > aY*(t)

relaie care reflect politica de consolidare a firmei pe traiectoria VI: "partea din profitul net alocat pentru dezvoltare (mV*(t)) plus mprumuturile pentru investiii (I*(t)) depete amortismentul (aY*(t))".

Varianta VII. 1(t) > 0, 2(t) = 0 i 3(t) = 0 Sistemul de condiii Kuhn-Tucker devine:

1 + 1 + 1 = 0 (17''.a.VII) 1 1 + 2 1 = 0 (17''.b.VII) I F = 0 (18'.a.VII) 0 = 0 (18'.b.VII) 0 = 0 (18'.c.VII)

de unde rezult:

1 = 11 2(t) (17".1)

1(t) = 1

12(t) (17".2)

I(t) = F(t) (17''.3)

SKT :


Sistemul dinamic SD devine: )(tY& = F(t) aY(t) (4.VII) )(tX& = I(t) aX(t) F(t) (5.VII)

)(1 t& = )(tKR

+ (i + a)1(t) (16.a.VII)

)(2 t& = (i + a)2(t) )(tKR

+ (a + r) (16.b.VII)

Conform relaiei 17".2 vom avea:

)(1 t& =

1 )(2 t& (17'''.2)

nlocuind 17'''.2 i 17".2 n 16.a.III obinem:

1 )(2 t& = )(tK

R + (i + a)(1

1

2(t))

)(2 t& = (i + a)2(t) + 1 )(t

KR

(i + a)

1 (16'.a.VII)

Combinnd aceast relaie cu 16.b.III rezult:

)(tKR

+ (a + r) =

1 )(tKR

(i + a)

1

)(tKR

= (a + r) + (i + a)(1 ) = a + (1 )i + r = constant

(19.VII)

n concluzie, evoluia optim are loc pe traiectoria VII atta timp ct

venitul marginal net ( )(tKR

a) este constant i egal cu suma ponderat a

ratelor de interes (rata dobnzii "r" i rata de cretere a aciunilor "i"), unde ponderea este rata maxim a mprumuturilor pentru investiii.

De asemenea, capitalul este staionar, el fiind soluia ecuaiei algebrice:

R/(K) = (a + r) + (i + a)(1 )

adic: *YK =

1)( R [(a + r) + (i + a)(1 )] (19".VII)

SD:


Obs. Ecuaia (19') are soluie unic, conform proprietilor i) i ii) ale funciei R(K).

Vom avea deci )(tK& = 0 i conform ecuaiei de dinamic (2) vom avea c valoarea investiiei este staionar i anume:

I*(t) = a *YK = constant (20.1)

De asemenea, din relaia 17".3 rezult c i volumul creditelor este constant i anume:

F*(t) = I*(t) = a *YK = constant (20.2) Firma apeleaz deci la volumul maxim al creditelor ce i se pot acorda

pentru investiia I*, conform definiiei coeficientului . Dinamica variabilelor adjuncte Revenind la sistemul dinamic SD, ecuaia (16.a.VII) devine:

)(1 t& = (i + a)1(t) (a + (1 )i + r ) (16'.a.VII) care este o ecuaie liniar n 1(t) a crei soluie este:

1(t) = Ce(i + a)t + 1 + aiir

+

Constanta C va fi aflat din condiia: 1(T) = 1, din care rezult: 1 = Ce(i + a)T + 1 +

aiir

+ C =

aiir

+ e(i + a)T

n final obinem soluia:

1(t) = aiir

+ [1 e(i + a)(tT)] + 1 (21)

Din relaia 17".2 rezult

2(t) = (1 ) airi

+ [1 e(i + a)(tT)] (22)

care verific 2(T) = 0. Din relaia 17".1 i innd cont de condiia de semn 1 > 0 i (0,1)

rezult condiia: 2(t) > 0 care se verific numai dac i > r . Deci politica K(t) = *YK = constant poate fi aplicat numai dac

creditele sunt ieftine (r < i).


n final, variabilele de stare rezult din sistemul:

)(tX& = aX(t) + a *YK a *YK (5'.VII) )(tY& = aY(t) + a *YK (4'.VII)

cu condiiile iniiale X(t) = X0 i Y(t) = Y0. Soluia este:

X*(t) = (X0 X*)eat + X* unde X* = (1 ) *YK (5".VII) Y*(t) = (Y0 Y*)eat + Y* unde Y* = *YK (4".VII) De aici rezult evoluia valorii capitalului K(t) spre valoarea de

echilibru *YK :

K*(t) = (K0 K*)eat + K* unde K* = *YK (2'.1)

i volumul dividendelor pe traiectoria VII:

D*(t) = R(K*(t)) (a + r)Y*(t) a(1 ) *YK (12') de unde R*(t) = R(K*(t)) este venitul de-a lungul traiectoriei K*(t).

Varianta VIII. 1(t) = 0, 2(t) = 0 i 3(t) = 0 Condiiile K-T devin: 1 + 1 = 0 (17'.a.VIII) 1 1 + 2 = 0 (17'.b.VIII) 1 = 0, I F > 0 (18.a.VIII) 2 = 0, m(R(K) aK rY) + aX + F I > 0 (18.b.VIII) 3 = 0, F > 0 (18.c.VIII)

de unde:

1(t) = 1 )(1 t& = 0 (17".a.VIII) 2(t) = 0 )(2 t& = 0 (17".b.VIII)

SKT :


Ecuaiile de dinamic devin: )(tY& = F(t) aY(t) (4.VIII) )(tX& = I(t) aX(t) F(t) (5.VIII)

0 = )(tKR

+ (i + a) (16.a.VIII)

0 = )()( tKR + (a + r) (16.b.VIII)

Din ultimele dou ecuaii rezult:

i + a = )(tKR

= a + r (16.VIII)

i, n final: i = r (16'.VIII)

ceea ce contrazice ipoteza i r, deci traiectoria nu este admisibil. n concluzie singurele traiectorii admisibile sunt II VII.

Sinteza traiectoriilor optim admisibile. Strategii optime n funcie de situaia intern reflectat prin nivelul venitului marginal

net (tKR

a) i de echilibrul macroeconomic (reflectat prin ecartul rata

dobnzii rata de randament a aciunilor ( r i)), firma poate aplica ase politici optimale. Prin combinarea lor n mod optimal se vor obine, aa cum vom arta, dou strategii optimale, n funcie de condiiile de creditare.

Sinteza rezultatelor privind cele 6 politici optimale analizate mai sus este prezentat n tabloul sinoptic:

Variabile de decizie Variabile de stare Indicatori Politici optime

*It *Ft tX& tY& tK& Kt

Dt Starea firmei i condiii

II III Max Max + + + *K t Min Cretere maxim prin credite i autofinanare III VI 0 0 *K t contracie IV V Max 0 + + *K t Min Cretere maxim prin autofinanare V IV a *K X 0 + 0

*K X = const*Dt

Staionar prin autofinanare pur (r > i)

VI II a *K XY Moderat + 0*K XY Min

Consolidare prin credite i autofinanare (r > i)

VII I a *KY a *KY = max + 0*KY =

const. *Dt

Staionar prin credite maxime (r < i)


unde: *KY =

Karg

aKR = r + (r )

i

*KYX = K

arg

aKR =

r

*K X = K

arg

aKR =

i Din condiiile de creditare (credite scumpe (r > i) sau ieftine (r < i)), se

identific dou strategii optime:

Cazul 1. Credite ieftine (r < i)

Traiectoria staionar optim va fi drumul (VII), cu Kt = *KY = const. n consecin, firma va adopta strategia:

a) dac K0 > *KY , adic firma deine la momentul iniial un stoc al bunurilor de capital (K0) superior nivelului optim staionar *KY , se va aplica o politic de descretere (contracie), urmnd pe termen scurt (TS) drumul optimal (III) indiferent dac creditele sunt ieftine sau scumpe, reducnd datoriile Yt ( tY& < 0), acceptndu-se descreterea capitalului social ( tX& < 0). n concluzie, pe termen scurt, pe perioada t [0,37], firma trebuind s intre ntr-un proces de decapitalizare, urmnd traiectoria optim III, pn atinge nivelul optim *KY , adic traiectoria optim VII, moment notat 37; acest punct este momentul de comutaie de pe traiectoria III pe traiectoria VII (vezi figura 1). Algoritmul de determinare a momentului de comutaie ij de pe traiectoria i pe traiectoria j va fi detaliat n paragraful urmtor.

b) dac K0 < *KY , atunci pe termen scurt firma trebuie s aplice o politic optimal de cretere maxim (traiectoria II cu investiie maxim posibil prin sursele de autofinanare proprii i credite maxime) prin creterea capitalului ( *tK& > 0) pn la momentul 27 cnd intr pe traiectoria staionar (VII) corespunztoare nivelului

*KY al capitalului (vezi figura 1) i apoi s urmeze traiectoria VII pe termen lung.


c) dac K0 = *KY , atunci strategia optim trebuie s fie traiectoria VII, pe termen lung.

Cazul 2. Credite scumpe (r > i)

Problema este mai complicat, deoarece, dup cum se evideniaz n tabloul sintetic de analiz, exist dou traiectorii optime staionare (traiectoria V i traiectoria VI).

Teorem. Atta timp ct r > i politica optimal de autofinanare pur *K X (traiectoria V) este superioar politicii mixte (

*KYX ) de finanare prin credite i autofinanare (traiectoria VI)

Demonstraie. Pe traiectoria V, a politicii de autofinanare pur, avem

KR

( *K X ) = a + i iar pe traiectoria mixt VI avem K

R ( *KYX ) = a + r. Cum r

> i rezult c a + r > a + i i deci KR

( *KYX ) > K

R ( *K X ). Conform ipotezei

*K t

*K t

t

Kt

K0

*KY

K0

2737

III

II

VII

Figura 1. Strategii optime n condiiile unor credite ieftine r < i


veniturilor marginale descresctoare (KR

2

2

< 0), din KR

( *KYX ) > K

R ( *K X )

rezult *KYX < *K X .

Analiza posibilitilor de evoluie pune n eviden combinarea politicilor II, III i IV cu cele dou traiectorii V i VI, ca n figura 2, n funcie de starea iniial K0.

Se constat c: dac nivelul iniial K0 < *KYX , firma va aplica pe termen scurt

politica II de cretere prin autofinanare i credite maxime (chiar dac n aceast conjunctur creditele sunt scumpe), pn n momentul 26 de atingere a nivelului *KYX , cnd intr pe politica VI, staionar.

dac K0 ( *KYX , *K X ) firma va aplica pe termen scurt politica IV de cretere maxim prin autofinanare (fr credite), pn n momentul 45 cnd trece pe politica staionar V, tot cu autofinanare pur, dar cu investiii de meninere (I* = a *K X ).

Dac K0 > *K X , firma va aplica pe termen scurt politica III de contracie (decapitalizare, cu investiie nul), pn la momentul 35, cnd trece pe politica staionar V.

t

Kt

K0

*K X

K0

4545

III

II

V

Figura 2. Strategii optime n condiiile unor credite scumpe r > i

IV IV IV K0 *KYX

VI

6464 2645 35


Vom demonstra n paragraful urmtor c, dei politica VI este

staionar, firma poate trece la anumite momente 64 pe traiectoria de cretere prin autofinanare IV, cu investiie maxim, evideniindu-se, n funcie de starea iniial K0 strategiile:

VI IV V II VI IV V Analiza concatenaritii traiectoriilor optime Determinarea momentelor de comutaie ij A. Cazul creditelor ieftine (r < i) Pentru a gsi criteriile de concatenare a diverselor politici optimale ntr-

o strategie pe termen lung, vom folosi condiiile de optim date de principiul lui Pontreaghin, care vor da informaiile privind momentele de comutaie de pe o traiectorie pe alta.

Din figura 1, pentru r < i, rezult c trebuie s cercetm accesibilitatea spre traiectoria VII a drumurilor II i III.

Notm cu ij momentul intrrii de pe traiectoria i pe traiectoria j i cu +ij momentul plasrii pe traiectoria j, unde ij = +ij = ij.

Astfel, pe traiectoria VII avem 7(t) > 0 oricare ar fi t [0,T], deci 7( +i7 ) > 0, i = 2;3.

Din (SKT) (17".a.VII) i (17".b.VII), pe traiectoria VII, avem:

1( +i7 ) = 1 1( +i7 ) 2( +i7 ) = (1 )1( +i7 ) > 0 (17'''.1)

a) Accesibilitatea de pe traiectoria II la traiectoria VII (strategia II VII)

Din condiiile K-T (17'.b.II) rezult 2(t) > 0, deoarece 2(t) > 0 pe traiectoria II, deci 2( 27 ) > 0. Cum 2( 27 ) > 0 rezult c traiectoria II accede la traiectoria VII i momentul de comutaie de pe II pe VII este soluia ecuaiei 2( 27 ) = 2( +27 ), adic 2(27)II = 2(27)VII, unde II i VII arat pe ce traiectorie se calculeaz variabilele adjuncte 2(t). ns, aa cum rezult din analiza traiectoriilor, expresia analitic 2(t) nu poate fi determinat analitic n anumite variante, n aceste cazuri folosirea ecuaiei 2(27)II =


2(27)VII fiind util numai dac se opereaz cu traiectoria 2(27)II determinat prin metode de aproximare.

Vom folosi din acest motiv o alt cale de determinare a momentului de comutaie, bazat pe observaia c, dac traiectoria i accede la traiectoria j, momentul de comutaie ij este soluia ecuaiei:

K*(t)(i) = K*(t)(j) (23) deci n cazul nostru K*(t)II = *KY unde K*(t)II se calculeaz cu formula K*(t) = *tX +

*tY rezultat din sistemul (5.II) i (4.II) i

*KY = K*(t)VII este

traiectoria staionar dat de (19".VII), soluie a ecuaiei:

tKR

a = r + (1 )i (19.VII)

Accesibilitatea (II VII) este posibil dac K(t)II < *KY . Cum (

tKR

) rezult cerina:

(tKR

a )II > r + (1 )i (24')

Pentru evaluarea venitului marginal net pe traiectoria II, din (5.II) i (4.II) rezult:

)(tK& = )(tX& + )(tY& = m(R(K(t)) aK(t) rY(t)) +

1{m[R(K(t))

aK(t) rY(t)] + aX(t)} aY(t) =

= 1m [R(K(t)) aK(t) rY(t)] +

1

aX(t) aY(t) (25)

Cum R(K(t) este concav monoton cresctoare rezult c venitul marginal este sub nivelul venitului mediu (vezi figura 3):

1

2

R(K(t))

R(K(t))

K(t)

K(t)

Figura 3


tKR

<

tKR (26)

(adic tg(1) < tg(2) 1 < 2). Consecin: ntre venitul net marginal i venitul net mediu exist

inegalitatea:

tKR

a <

tKR a (26')

adic:

Kt (tKR

a) < R aKt (26")

Obinem:

R(Kt) aKt > Kt(tKR

a ) )'24(> Kt(r + (1 )i) > Ktr (26''')

ultima inegalitate rezultnd din condiia i > r (credite ieftine). nlocuind n (25) deducem:

)(tK& > 11 [mr(Kt Y(t)) + aX(t) (1 )aY(t)] (25')

Dar )(tK& > 0 pe traiectoria II. Deducem rezultatul important: "O condiie suficient pentru ndeplinirea cerinei (24) este ca raportul dintre datoria firmei i capitalul propriu s nu depeasc pragul de viabilitate a firmei

(h = ( ) aarm+

1):

t

t

XY

< ( ) aarm+

1 (27)

n concluzie, cnd K0 < *YK , n condiiile creditelor ieftine (r < i),

traiectoria II accede (cresctor) ctre traiectoria VII, atingnd-o la momentul 27, soluie a ecuaiei (23). Acelai comportament se gsete pentru orice stare iniial la un moment t0, cu condiia ca la acest moment firma s se ncadreze n pragul de viabilitate (27).


b) Accesibilitatea traiectoriei VII de pe traiectoria III

Este posibil cnd K0 > *YK , deoarece ( )*tK III . Aceasta arat c: (

tKR

a )III < r + (1 )i (28)

deci venitul marginal net este redus; n aceste condiii firma trebuie s aplice un program de contracie (decapitalizare) pn se atinge egalitatea:

(tKR

a )III = r + (1 )i (29)

ecuaie care d soluia t = 37, adic momentul de trecere la politica VII. Observaie: Analiza concatenrilor posibile prin evidenierea condiiilor

de realizabilitate a politicilor dup cum creditele sunt ieftine (r < i) sau scumpe (r > i), care a dus la obinerea doar a dou variante posibile:

II VII III VII

poate fi suplinit prin analiza de concatenare a diverselor traiectorii, demonstrndu-se imposibilitatea trecerii pe traiectoria VII de pe orice traiectorie IV, V sau VI. Astfel: trecerea de pe traiectoria VI pe VII arat c 2( 67 ) = 0, conform

(16'.b.VI) n contradicie cu 2( +67 ) > 0, conform (17'''.VII). trecerea de pe traiectoria V pe VII arat c 2( 57 ) < 0, conform (16'.b.V)

n contradicie cu 2( +57 ) > 0, conform (17'''.VII). trecerea de pe traiectoria IV pe VII arat c 2( 47 ) < 0, conform

(16'.b.IV) n contradicie cu 2( +47 ) > 0, conform (17'''.VII). B. Cazul creditelor scumpe (r > i) Strategiile optime posibile sunt prezentate n figura 2. Cum politicile

optimale VII, VI i V sunt staionare, iese din discuie posibilitatea concatenrii ntre acestea (deoarece *XK *YK *XYK ).


a) Accesibilitatea ctre traiectoria V, adic spre politica staionar cu autofinanare pur, *XK .

a1) accesibilitatea de pe traiectoria II pe traiectoria V este imposibil deoarece pe traiectoria II avem 2(t) > 0 oricare ar fi t > 0, deci 2( 25 ) > 0 n contradicie cu faptul c pe traiectoria V avem 2(t) = 3(t) < 0 oricare ar fi t > 0, conform (17'.V).

a2) accesibilitatea de pe traiectoria IV pe traiectoria V este posibil dac i numai dac:

*tK IV < *XK (24.A.2)

deoarece pe traiectoria IV avem 2(t) = 3(t) < 0 deci exist t = 45 astfel nct 2( 45 ) = 2( +45 ) . Evident t = 45 este soluia ecuaiei *tK IV = *XK .

a3) accesibilitatea de pe traiectoria III pe traiectoria V este posibil cnd K0 >

*XK , deoarece ( )*tK III .

Similar se poate face analiza accesibilitii pentru celelalte traiectorii

(studiu de caz).

Capitolul 4 - Modele dinamice de optimizare a strategiei de investitii la nivel de firma1. Modelul JorgensonA. Ipotezele modeluluiB. Ecuaiile modeluluiC. Funcia de producieD. Modelul matematicE. Rezolvarea matematic a modeluluiF. Analiza traiectoriilor

2. Modelul Lesourne-LebanRestricii asupra dividendelorModelul matematic (Lesourne i Leban)Traiectorii posibileAnaliza traiectoriilor de bazAnaliza traiectoriilor pe termen lungTraiectorii ntr-un singur stadiuTraiectorii n dou faze

3. Modelul LudwigAnaliza concatenaritii traiectoriilor optime. Determinarea momentelor de comutaie ij

strategia de investitii

Documents

Transcript of strategia de investitii