Sisteme de ecuaii liniareForma general a unui sistem de ecuaii liniare cu m ecuaii i n necunoscute este urmtoarea:11 1 12 2 1 121 1 22 2 2 21 1 2 2....................................................n nn nm m mn n ma x a x a x ba x a x ax bax a x a x b+ + + + + + '+ + + ,unde11 12 121 22 21 21212......... ... ... ............nnm m mnna a aa a aA matricea sistemuluia a abbB matricea termenilor liberibnxxX matricea necunoscutelorx| ` . ,| ` . ,| ` . ,Forma matriceal a sistemului dat este AX = B.n rezolvarea sistemelor de ecuaii liniare, utilizm urmtoarea terminologie: sisteme echivalente = sisteme careau aceeai soluie ; sistemul compatibil =sistem care are soluie ; sistemul compatibil determinat are soluie unic; sistemul compatibil nedeterminat are o infinitate de soluii; sistem liniar omogen =sistem care are matricea termenilor liberi nul ( toate elementele sale sunt egale cu zero)Centrul de ExcelenTimioaraCls.a XI-a M2Colegiul Tehnic H. CoandIanuarie 2009 orice sistem liniar omogen este compatibil, acesta admind soluia banal.Dintre metodele de rezolvare a sistemelor de ecuaii liniare, menionm:1) Metoda matricial: AX = B. (1)Dac det A 0, atunci A este inversabil, deci exist 1A astfel nct 1 11A A X A BX A B (2)Exemplu:Rezolvai sistemul de ecuaii: 2 3 54 5 1x yx y '+ Scriem AX = B, unde:2 3 5, ,4 5 1xA X By| ` | ` | ` . , . , . ,.Folosind detA=22 si relaiile (1), (2), vom calcula 1A, obinnd:15 322 22, :2 111 115 35 122 22,2 1 1 111 111, 1.A calcul mx xdeciy yx y| ` . ,| ` | ` | ` | ` | ` . , . , . , . , . , 2) Metoda lui Cramer:Dac matricea sistemului este nesingular (detA 0), atunci sistemul este compatibil determinat, n cazul n care numrul de ecuaii este egal cu numrul necunoscutelor. Dac notm cudet A , atunci soluiile obinute, cu metoda lui Cramer, vor fi, ,x y zx y z .a.m.d., unde x determinantul obinut din prin nlocuirea coloanei lui x cu coloana termenilor liberi.Analog,y,z.Exemplu:Rezolvai sistemul de ecuaii:2 12 2 44 4 21 1 2 1 1 22 1 2 2 1 2 6 0.4 1 4 4 1 4:1 1 262 1 2 6 164 1 4x y zx y zx y zA cuAtuncixx x+ + + '+ + | ` . , 1 1 2122 4 2 12 264 2 41 1 1122 1 4 12 264 1 2yy yzz z 3) Metoda lui Gauss (metoda eliminrii succesive)Prin metoda lui Gauss, se urmrete transformarea unui sistem de ecuaii liniare dat intr-un sistem triunghiular echivalent. Aceast metod se poate aplica oricrui tip de sistem de ecuaii liniare. Rezolvarea sistemelor de ecuaii liniare, utiliznd metoda lui Gauss, presupune parcurgerea urmtoarelor etape:- se fixeaz o necunoscut n prima ecuaie, care se elimin din toate celelalte ecuaii, prin transformri elementare (adunarea unei linii nmulit cu un numr la alt linie, nmulirea unei linii cu un scalar nenul, schimbarea a dou linii ntre ele);- vom elimina o alt necunoscut din urmtoarele ecuaii, pn la obinerea unui sistem triunghiular.Exemplu:Rezolvai sistemul de ecuaii:2 1 (1)2 2 4 (2)4 4 2 (3)x y zx y zx y z+ + + '+ + - vom elimina necunoscuta x din ecuaiile (2) i (3):2 1 ( 2)2 2 42 2 4 22 2 4x y zx y zx y zx y z+ + + + de unde, prin adunare, obinem: -3y-2z = - 2.Am obinut sistemul echivalent:2 13 2 23 4 2x y zy zy z+ + ' - vom elimina necunoscuta y din ultimele dou ecuaii:3 2 2 ( 1)3 4 2y zy z 3 2 23 4 2y zy z+ , de unde, prin adunare, obinem: -2z = 4. Am obinut sistemul echivalent:2 13 2 22 4x y zy zz+ + ' , de unde, ncepnd cu a treia ecuaie, obinem:4223 2 ( 2) 2 22 2 ( 2) 1 1z zy yx x + + Exerciii propuse1) Rezolvai sistemele de ecuaii liniare:2 4) 3 4 2 113 2 4 114 2 0) 2 011 4 01) 2 3 44 9 16x y za x y zx y zx y zb x y zx y zx y zc x y zx y z + ' + + + ' + + + + '+ + 2)S se discute dupR msoluiile sistemului:111mx y zx my zx y mz+ + + + '+ + 3)Se d sistemul: ' + + + + +R mz y xz my xz y x,3 2 22 21 2.a) S se determine m pentru ca sistemul s aib soluie unic.b) Pentru m = 10, rezolvai sistemul.4) S se rezolve i s se discute sistemul de ecuaii:' + + + + + +R d c b a dupad z c y b x ad cz by axz y x, , , ,12 2 2 25) Fie sistemul: ' + + + + + +321z y xz y xz y x, R Sa se determine astfel incat sa aiba o singura solutie. Sa se rezolve , in acest caz.6) Sa se discute si sa se rezolve, dupa parametrii reali m si n, sistemul de ecuatii:' + + + + + +4 234z my xz my xz y nx7) Se considera sistemul liniar1314 ijj ijx a, { 3 , 2 , 1 i, unde 1 j aij. Sa se calculeze determinantul si suma R=3 2 1x x x + +, unde ( )3 2 1, , x x x este solutia sistemului.8) Sa se rezolve si sa se discute sistemul de ecuatii liniare:' + + + + + +21m mz y xm z my xz y mx.9) Sa se rezolve si sa se discute sistemul:( )( )( )Rz y xz y xz y x' + + + + + + + + + ,111 1210) Sa se discute dupaR a sistemul de ecuatii:' + + + + + 1 3 311z y axa az y axaz y x Material realizatde prof. Victoria Popa, Colegiul Tehnic Ion Mincu, Timisoara