referat.clopotel.ro

Referat la Matematic

Elev: ndrumtor:

Mitrofan Alexandru Prof.Oanea Clin

cl. a X-a A

Liceul de Informatic Spiru Haret Suceava

Cuprins

I.Mulimea polinoamelor cu

coeficinei compleci3

I.1. Definirea polinoamelor3

I.2. Adunarea i nmulirea.3

I.3. Forma algebric6

I.4. Gradul unui polinom.6

I.5 Val pol. ntr-un punct.7

I.6. mprirea polinoamelor7

I.7. Divizibilitatea polinoamelor..9

I.8. Rdcinile polinoamelor..11II. Mulimea polinoamelor cu

coeficieni reali.13

III. Multimea polinoamelor cu

coeficieni ntregi i raionali14

IV. Aplicaii..15

IV.1. Probleme rezolvate15

IV.2. Probleme propuse..19

Polinoame cu coeficieni compleci

I. Mulimea polinoamelor cu coeficieni compleci

I.1.Definirea polinoamelor

Fie C[X] mulimea irurilor(infinite) de numere(complexe)

, care au numai un numr finit de termeni ai,nenuli, adic exist un numr natural m, astfel nct ai=0, pentru orice i>m.

De exemplu, irurile ; ; sunt iruri infinite care au un numr finit de termeni nenuli. irul g are 3 termeni nenuli, iar h are 4 termeni nenuli. Deci aceste iruri sunt elemente din mulimea C[X].

I.2. Adunarea i nmulirea polinoamelor

Definim pe mulimea C[X] dou operaii algebrice: adunarea i nmulirea.

Adunarea polinoamelor:

Fie , dou elemente din mulimea C[X]; atunci definim:

,

Proprietile adunrii polinoamelor:

(C[X],+) se numete grup abelian

1. Asociativitatea

, C[X]

ntr-adevr, dac ,i atunci avem i deci .

Analog, obinem c . Cum adunarea numerelor este asociativ, avem , pentru orice .

2. Comutativitatea

, C[X]

ntr-adevr, dac i , avem,

Cum adunarea numerelor complexe este comutativ, avem pentru orice . Deci .

3. Element neutru

Polinomul constant 0=(0,0,0,) este element neutru pentru adunarea polinoamelor, n sensul c oricare ar fi C[X],avem:

4. Elemente inversabile

Orice polinom are un opus, adic oricare ar fi C[X], exist un polinom, notat , astfel nct:

De exemplu, dac este un polinom, atunci opusul su este

nmulirea polinoamelor:

Fie ,

Atunci definim:

ck

Proprietile nmulirii:

1. Asociativitatea

Oricare ar fi C[X], avem:

2. Comutativitatea

Oricare ar fi C[X],avem:

ntr-adevr, dac , , atunci notnd i , avem

i . Cum adunarea i nmulirea numerelor complexe sunt comutative i asociative, avem cr=dr, pentru orice . Deci .

3. Element neutru

Polinomul 1=(1,0,0,) este element neutru pentru nmulirea polinoamelor, adic oricare ar fi C[X],avem:

4. Elemente inversabile

C[X] este inversabil dac exist ,a..:

Singurele polinoame inversabile sunt cele constante nenule: , a(0.

5. Distributivitatea

Oricare ar fi polinoamele C[X],are loc relaia:

1.3. Forma algebric a polinoamelor

Notaia introdus pentru polinoame nu este prea comod n operaiile cu polinoame. De aceea vom folosi alt scriere.

Dac considerm , atunci se va scrie sub forma: . Au loc notaiile:

Exemplu:

Atunci:

EMBED Equation.3 I.4. Gradul unui polinom

Fie . Se numete gradul lui , notat prin , cel mai mare numr natural n astfel nct .

Exemple: 1. Polinomul are gradul 1;

2. Polinomul are gradul 5;

3. Polinomul constant , unde ,are gradul 0.

Referitor la gradul sumei i produsului a dou polinoame i , au loc urmtoarele relaii:

i) ;

ii) .

I.5. Valoarea unui polinom ntr-un punct

Fie , atunci funcia polinomial asociat polinomului f este:

, .

I.6. mprirea polinoamelor

* Teorema de mprire cu rest:

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3 , , cu

Polinomulse numete demprit,mpritor,ct,iar r rest.

Vom efectua mprirea polinomului la polinomul .

Acest tabel ne red regula(algoritmul) de mprire a polinoamelor, pe care o vom aplica n practic pentru obinerea ctului i restului mpririi.

Exemplu: Fie polinoamele i . S determinm ctul i restul mpririi lui f la g.

q

r

Deci ctul este , iar restul . Formula mpririi cu rest se scrie,n acest caz astfel:

mprirea prin X-a. Schema lui Horner.

Fie . n cele ce urmeaz ne vom folosi de schema lui Horner pentru a mpri polinomul f la polinomul .

n rndul de sus al tabelului se scriu coeficienii polinomului f, iar n rndul de jos coeficienii ai ctului i restul r.

Exemplu: Utiliznd schema lui Horner, s se determine ctul i restul mpririi polinomului i binomul .

Deci ctul i restul mpririi sunt i .

I.7. Divizibilitatea polinoamelor

Def. , aa nct , cu .

Spunem c f se divide la g sau g divide pe f, dac .

Proprieti

1. Reflexivitatea

2. Simetria

i , a..

n acest caz spunem c f este asociat cu g

3. Tranzitivitatea

Dac i

4. Dac i

Cel mai mare divizor comun

Def. = C.m.m.d.c

1. i

2. i

Algoritmul lui Euclid:

Cel mai mare divizor comun a dou polinoame este unic pn la nmulirea cu o constant(asociere).

Dac , atunci f i g sunt prime ntre ele.

Exemplu: S se gseasc cel mai mare divizor comun al polinoamelor:

i .

Vom aplica algoritmul lui Euclid. mprim pe f la g.

Pentru a evita coeficienii fracionari, vom nmuli n prealabil pe g cu 3 i restul mpririi cu 1. mprim acum mpritorul la rest:

Acum, pentru a evita din nou coeficienii fracionari, vom nmuli pe cu 2 i continum operaia.

3

Am obinut restul . Pentru a evita din nou coeficienii fracionari, vom mpri restul cu 19 i mprim mpritorul la rest.

-- --

Ultimul rest nenul este polinomul i deci .

Cel mai mic multiplu comun

Def. Fie f i g dou polinoame. Un polinom m se numete cel mai mic multiplu comun al polinoamelor f i g dac verific urmtoarele condiii:

1. i

2. , i

Dac d este c.m.m.d.c al lui f i g, atunci .

I.8. Rdcinile polinoamelor.

Teorema lui Bezout:

Fie un polinom. Atunci numrul este rdcin a polinomului f dac i numai dac divide f.

Teorema fundamental a algebrei

Orice ecuaie algebric de grad mai mare sau egal cu 1 i cu coeficieni compleci are cel puin o rdcin complex.

Rdcini simple i multiple

Def. Fie . este rdcin de ordin de multiplicitatem, dac i nu divide pe f.

Exemple:

nu divide f

EMBED Equation.3 este rdcin de ordin de multiplicitate 1(rd. simpl).

. Descompunnd n factori ireductibili vom obine:

, unde:

1= rdcin de ordin de multiplicitate 3

i,-i,-1= rdcini de ordin de multiplicitate 1

Teorema de descompunere n factori ireductibili(primi)

Fie i rdcinile sale n C, nu neaparat distincte. Atunci: (n C[X])

Singurii factori ireductibili(primi) n C[X] sunt polinoamele de gradul I.

Relaiile lui Francois Viete

Fie , un polinom de grad n. Dac sunt rdcinile lui f, atunci:

II. Mulimea polinoamelor cu coeficieni reali

Fie i ecuaia .

Dac este rdcin pentru f, atunci este rdcin pentru f, iar x1 i xx au aceeai multiplicitate.

Demonstraie

.

Teorema de descompunere n factori ireductibili

n R[X]:

Singurele polinoame prime din R[X] sunt:

1. polinoamele de gradul I

2. polinoamele de gradul II cu .

III. Mulimea polinoamelor cu coeficieni raionali i respectiv ntregi

Fie . Atunci dac este rdcin pentru f, cu , atunci este rdcin pentru f i x1 i x2 au aceeai multiplicitate.

Exemplu:

este rdcin.

------------------------

Fie i ecuaia

Dac f admite o rdcin de forma , , atunci

i . Dac , atunci .

Exemplu:

Fie admite soluia . Deci

mprind succesiv polinomul la posibilele radacini, obinem:

EMBED Equation.3

IV. Aplicaii

IV.1. Probleme rezolvate

1.S se determine m i n i apoi s se rezolve ecuaia tiind c admite rdcina .

Dac

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

Dac .

2.S se arate c polinomul , cu este divizibil prin

Dac

3. Fie . Fie , unde este rdcin a lui f. Atunci:

; ; ;

R:c)

4.Restul mpririi lui f la este:

; ; ; .

Fie o rdcin a ecuaiei

EMBED Equation.3

Deci restul mpririi lui f la

EMBED Equation.3 este . R:c).

5. Dac i . Atunci relaia dintre i este:

; ;

; .

Dac atunci:

se mai poate scrie, echivalent, sub forma:

R:c).

6. Fie ecuaia , fiind parametru. Mulimea valorilor lui m pentru care este:

a. ;

b. ;

c. ;

d. .

.

.

Deci . R:a).

7. Valoarea expresiei:

,unde sunt rdcinile ecuaiei este:

a. 3; b. 1; c. 6; d. 3.

R:c).

8. Fie rdcinile ecuaiei . Atunci suma are valoarea:

a. ; b. ; c. ; d..

Dac sunt rdcini, atunci fiecare din ele verific ecuaia:

R:b).

9. Se consider funcia , , .Suma modulelor radacinilor ecuaiei este:

a. ; b. pentru ; c. pentru d. .

.

Dac . R:b).

10. Restul mpririi lui la este:

a. ; b. ; c. ; d. .

, unde , .

Pentru

Pentru

(-)

.

Deci . R:d).

IV.2. Probleme propuse