consideratii metodice asupra cap. inele de polinoame

download consideratii metodice asupra cap. inele de polinoame

of 64

  • date post

    28-Apr-2015
  • Category

    Documents

  • view

    182
  • download

    9

Embed Size (px)

description

metodica introd inele de polinoame

Transcript of consideratii metodice asupra cap. inele de polinoame

CONSIDERATII METODICE PRIVIND PREDAREA INELELOR DE POLINOAME Prof.MUSCA FLORINA COLEGIUL TEHNIC M.VITEAZUL ORADEA 1. Aspecte organizatorice ale predrii capitolului Inele de Polinoame1.1. Metodica introducerii inelelor de polinoameDeoarece elevii, deja n clasele mai mici sunt familiarizai cu noiunea de monoame, conform programei actuale de matematic primele noiuni legate de monoame sunt introduse n clasa a VII-a, n capitolul Numere reale, Calcule cu numere reale reprezentate prin litere, predarea Inelelor de polinoame nu prezint greuti deosebite la clasa a XII-a, iar elevii i lrgesc orizontul matematic prin abordarea acestei teme prin prisma structurilor algebrice, dobndesc la timp cunotinele necesare altor discipline (fizic, chimie, informatic, etc). Polinoamele constituie o etap fundamental n formarea capacitilor de abstractizarea a elevilor. Calculul cu polinoame st la baza celor mai multe tehnici matematice. Predarea Inelelor de polinoame vizeaz urmtoarele obiective de referin, realizarea lor reprezentnd una din cerinele obligatorii. 1. Recunoaterea i diferenierea mulimilor de numere, a polinoamelor, a matricelor i a structurilor algebrice; (1)2. Identificarea unei structuri algebrice prin verificarea proprietilor acesteia; (2.1)3. Compararea proprietilor algebrice sau aritmetice ale operaiilor definite pe diverse mulimi, n scopul identificrii unor algoritmi; (2.2)4. Exprimarea proprietilor mulimilor nzestrate cu operaii prin identificarea organizrii structurale a acestora; (4.1)5. Utilizarea similaritii operaiilor definite pe mulimi diferite n deducerea unor proprieti algebrice; (5)6. Utilizarea calculelor algebrice n probleme practice uzuale; (6)7.Recunoaterea polinoamelor;8. Aplicarea unor algoritmi n calculul polinomial sau n rezolvarea ecuaiilor algebrice;489. Determinarea unor polinoame sau ecuaii algebrice care ndeplinesc condiii date;10. Aplicarea prin analogie, n calcule cu polinoame, a metodelor de lucru din aritmetica numerelor;Constructia inelului de polinoame se realizeaz pornind de la o mulime AN, mulimea tuturor funciilor de la N la A, adic AN= {f / f:NA}, unde A este un inel comutativ, unitar. Un element fAN, fiind o funcie, se reprezint cu ajutorul valorilor sale sub forma f=,...) ,..., , (1 0 ma a a=N i ia ) (.Dac f,gAN, f=N i ia ) (, g=N i ib ) ( atunci f=g i ib a , N i .Pe mulimea AN definim dou legi de compoziie interne:adunarea: dac f,g AN, f=,...) ,..., , (1 0 ia a a, g=,...) ,..., , (1 0 ib b b, atunci f+g=,...) b a ,..., b a , b a (i i 1 1 0 0 + + +; nmulirea:g f =jk j iib a +, kN.Exemplu. Fie f=(-1,2,3,-5,...)AN i g=(1,0,-1,0,...)AN f + g=(0,2,3,-5,...), fg=(-1,2,4,-7,...).Deci (AN,+, ) este o structur algebric.Astfel se verific:Asociativitatea i comutativitatea adunriiFie f,g,hAN, f=N i) a (i, g=N i) b (i, h=N i) c (i. Atunci, pentru orice iN avem i i i ia b b a + + i ) c b ( a c ) b a (i i i i i i + + + + , deoarece adunarea n A este comutativ i asociativ. Rezult c f+g=g+f i (f+g)+h=f+(g+h), adic adunarea n AN este comutativ i asociativ. Elementul neutru i elementul simetrizabil (opusul) fa de adunareExist n AN element neutru fa de adunare, i anume funcia 0:NA, 0(i)=0, iN. Pentru orice fAN, f=, ) a (i N i opusul su este -f AN i f+(-f)=(-f)+f=0.Exemplu. f= (-1,0,2,7,...)AN - f = (1,0,-2,-7...).Comutativitatea i asociativitatea nmuliriinmulirea n A fiind comutativ rezult c jk j iib a += + k i ji ja b N j i ,, k=i+j g f = f g , adic nmulirea n AN este comutativ. Analog (g f ) h = f (h g ), nmulirea n AN este asociativ. (Capitolul I, paragraful 1.1)Distributivitatea nmulirii fa de adunareFie f(g + h) = (d0,d1,...,dk,...), 49g f +h f = ,...) d ,..., d , d ('k'1'0, kd =) (jk j ij ic b a + += + k j ij ib a+jk j iic a +.nmulirea fiind distributiv fa de adunare rezult c dk=d'k, N n . Rezult f(g+h)= g f + h f i nmulirea n AN fiind comutativ, avem i f(g+h)= g f +h f , adic nmulirea n AN este distributiv fa de adunare.Elementul neutru fa de nmulireExist n AN element neutru fa de nmulire i anume: (1,0,0,...,0,...). n concluzie, avem (AN,+, ) inel comutativ cu element unitate.Forma algebric a polinoamelor: Notm X=(0,1,0,...0,...), atunci din definiia nmulirii n AN, rezult c: X2 = (0,1,0,...,0,...)(0,1,0,,0,...) = (0,0,1,0,...,0,...),..., Xn =(0,0,...,0,1,0,...). Prin definiie vom pune X=1.Un element f AN, f=(aN i i ), se poate scrie atunci n mod unic sub forma: f = (0a,a1,a2,... ) = ( 0a,0,0,... )+(0,a1,0,...) +...= ( 0a,0,0,... ) +(a1,0,0,... )(0,1,0,...) + (a2,0,0,...)(0,0,1,... ) +... = iN iiX a,n care elementele ak se numesc coeficienii lui f, iar monoamele akXk ,0 k n ,se numesc termenii polinomului.Dup introducerea formei algebrice a polinoamelor, profesorul trebuie s atrag atenia elevilor n a nu considera litera X ca reprezentnd un element variabil din K; a nu face confuzia ntre un polinom cu coeficieni n K i funcia polinomial f~:K K f~(x)=f(x), unde x desemneaz argumentul funciei f sau ecuaia ataat funciei.Polinomul fFuncia polinomial asociat f : R REcuaia asociataX+b, a,b R, a 0 Funcia de gradul If(x)=ax+bEcuaia de gradul Iax+b=0aX2+bX+c,a,b,c R, a 0 Funcia de gradul IIf(x)=ax2+bx+cEcuaia de gradul IIax2+bx+c=0aX3+bX2+cX+d a,b,c,d R, a 0Funcia cubicaf=ax3+bx2+cx+dEcuaia de gradul IIIax3+bx2+cx+d=0X=nedeterminata x=variabila x=necunoscutaPentru K{Q, R,C,Z,Zp}se obin mulimile de polinoame:Q[X]=mulimea polinoamelor de nedeterminat X cu coeficieni n Q: f=31232 3 + X XR[X] =mulimea polinoamelor de nedeterminat X cu coeficieni n R: f= 5 32+ X X50C[X] =mulimea polinoamelor de nedeterminat X cu coeficieni n C: f=X 4-i X 3+(i-2)X+3 Z[X]= mulimea polinoamelor de nedeterminat X cu coeficieni n Z: f = 2X4 + 5X2 - 3Zp[X]=mulimea polinoamelor de nedeterminat X cu coeficieni n Zp:f=X4 +2X3 + 3X2+ 2.Mulimea polinoamelor de nedeterminata X cu coeficieni n Zp trebuie tratat difereniat i verificate toate proprietaile introduse i pe aceast mulime.Exemplul: Se tie c dac dou polinoame sunt egale atunci i funciile lor polinomiale sunt egale, adic: f=g g f~~ .Reciproca acestei implicaii nu este n general adevarat.Contraexemplu n acest sens: f,gZp[X], f=X3, g=X.Evident f g dar g f~~ deoarece g f~,~ au acelai domeniu de definiie Z3, au acelai codomeniu Z3 i au acelai mod de coresponden ) 0(~) 0(~g f =0, ) 1(~) 1(~g f =1, ) 2(~) 2(~g f =2.Pe aceeai multime Zp[X] este util definirea polinomului redus modulo p al lui f cu observaia c: f+g= f+ g fg= fg (echivalent spus, funcia m* :Z[X] Zm[X], f f m) (* este un morfism de inele).Aplicnd morfismul m* : Z[X] Zm[X] se pot determina ctul i restul mpririi a dou polinoame din Zm[X].Exemplu:(1). Determinm ctul i restul mpririi lui f = X4 + 2X3 + 3X2 + X + 2 Z5[X] la g = X2 + 3 Z5[X].Efectum mai nti mprirea lui f la g n Z[X]. Avem:X4 + 2X3 + 3X2 + X + 2 = (X2 + 3)(X2 + 2X)+(-5X + 2) i aplicnd obinem X4 + 2X3 + 3X2 + X + 2 = (X2 + 3)(X2 + 2X) +2.Prin urmare, q = X2 + 2X i r = 2;(2). Determinm m Z pentru care f = X5 + 9X2 - 18X Zm[X] se divide cu g = X2 + 3 Zm[X].Efectum mai nti mprirea lui f la g n Z[X]. Avem:X5 + 9X2 - 18X = (X2 + 3)(X3 - 3X + 9)-9(X + 3), aplicnd morfismul m* obinem, X5 + 9X2 - 81X = (X2 + 3)(X3 - 3X + 9) -9(X + 3).Deci f se divide cu g, dac restul mpririi lui f la g n Zm[X] este zero, adic 9(X + 3) = 0 n Zm[X], ceea ce este echivalent cu 9 = 0 (mod m) i 27 0 (mod m). Deci m=3 sau m=9.51ntotdeauna pentru un polinom fK[X] trebuie precizat mulimea n care se determin rdcinile.(1). f = 2X + 3 Z[X] are gradul 1 i nu are rdcini n Z. (2). f = 2X + 3 Q[X] are gradul 1 i are rdcina 23 n Q.(3). g = X2 + X + 1 Z2[X] are gradul 2 i nu are rdcinile 1=0, 2=1, 3=1 n Z2 i avem h = X(X+1) n Z2[X].Relaia de divizibilitate n inelele de polinoameDivizibilitatea polinoamelor ocup un loc important n studiul proprietilor polinoamelor, stnd la baza rezolvrii numeroaselor probleme de matematic, dintre cele mai diverse.Fie inelul de polinoame K[X]. n definirea operaiei de nmultire n inelul de polinoame, produsul a dou polinoame f,g din K[X] este tot un polinom din K[X] al crui grad este egal cu suma gradelor celor dou polinoame fg=h.Aceasta ne sugereaz a considera i problema reciproc acesteia: dndu-se un polinom h din K[X] exist sau nu dou polinoame n K[X] al cror produs s fie polinomul h.Astfel dndu-se polinoamele f,h din K[X] exist polinomul g din K[X], astfel ca produsul fg este egal cu polinomul h, atunci spunem c polinomul f este un divizor al polinomului h (h este divizibil prin f) sau c polinomul h este un multiplu al polinoamului f.Exemplu: 1. Fie f,g,h R[X], f= X+2, h= X2+5X+6. Exist polinomul g= X+3 astfel nct:(X+2)(X+3)=X2+5X+6.Divizorii de forma a i af, aK-{0} se numesc divizori improprii ai lui f. Ceilali divizori, dac exist, se numesc divizori proprii ai lui f.Problema care ne intereseaz este de a vedea cum se scrie un polinom fK[X] ca un produs de factori de un anumit tip.Un polinom fK[X] se numete ireductibil peste K (sau nc ireductibil n K[X]) dac are gradul cel puin unu i dac nu are divizori proprii.n caz contrar, el se numete reductibil peste K (sau nc reductibil n K[X]).Problema descompunerii unui polinom n factori ireductibili (factorizarea polinoamelor) este operaia invers nmulirii polinoamelor. Reamintim faptul c atunci cnd factorizm un numr natural, cutm numere prime al cror produs s fie numrul dat, de exemplu, 6=23, sau 12=2