RECAPITULARE 1

Ecuații de gradul I. Inecuații de gradul I. Modulul și proprietățile modulului. Ecuații de gradul al II-lea. Relațiile între coeficienții și rădăcinile unei ecuații de gradul al II-lea. Studiul naturii și semnelor rădăcinilor ecuației de gradul al II – lea. Descompunerea

trinomului de gradul al II-lea în produs de polinoame de gradul I.

1. Ecuații de gradul I Forma generală este ax + b = 0 , a 0, a,b R. (1) a = coeficientul lui x; b = termenul liber al ecuației (1)

Rădăcina ecuației (1) este

Interpretarea geometrică: Fie f : R R, f(x) = ax + b . Graficul lui f este o dreaptă care

intersectează axa ox în punctul de abscisa (unde este rădăcina ecuației )

2. Inecuatii de gradul I de forma ax+b > 0; ax+b 0; ax+b < 0; ax+b0; a,b R , a0

Rezolvarea inecuațiilor ax + b > 0 ax > b ⇒

Observații : analog se vor rezolva și celelalte inecuații de gradul I.

3. Modulul unui număr real și proprietățile modulului. Definiție: Se numește modulul (valoarea absolută) a unui număr real a, numărul real pozitiv

notat |a| definit astfel : .

y a) a > 0 y = ax+b

-b/a O x

Fig.1 (b0)

b) a< 0 Y

y = ax+b

O -b/a x

Fig.1 (b0)

Proprietăți:

4. Ecuații de gradul al II-lea . Forma generală: ax2 +bx +c = 0, a 0, a,b,c R (1) a = coeficientul lui x2 b = coeficientul lui x c = termenul liber al ecuației (1). Definiție : Numărul = b2 – 4 ac se numește discriminantul ecuației (1) Teoremă.

Dacă > 0 , ecuația (1) are rădăcinile x1,2 R ,

Dacă = 0 , ecuația (1) are rădăcinile x1,2 R,

Dacă < 0 , ecuația (1) are rădăcinile x1,2 C,

Observații : 1. Dacă > 0 , ecuația (1) are două rădăcini reale distincte.2. Dacă = 0 , ecuația (1) are două rădăcini reale egale.3. Dacă < 0 , ecuația (1) are două rădăcini reale complexe sau mai spunem ca ecuația nu

are rădăcini reale. Dacă rezolvarea ecuației se face în R, atunci soluția ei în acest caz este mulțimea vidă.

5. Relațiile între coeficienții și rădăcinile ecuației (1) (relațiile lui Viète):

Observații : x1 + x2 = S , S se numește suma rădăcinilor ecuației. x1 x2 = P , P se numește produsul rădăcinilor .Formulele utilizate în exercițiile care folosesc relațiile lui Viete sunt:

6. Studiul naturii și semnelor rădăcinilor ecuației de gradul al II-lea se face în funcție de semnele discriminantului , sumei S și a produsului P într-un tabel de studiul ca cel de mai jos:

Nr.crt.

Semnul lui

Semnul lui S

Semnul lui P

Discuția rădăcinilor ecuației (1)

1 + + + x1,2 R , x1 > 0, x2 > 0 2 + + x1,2 R , x1 < 0, x2 < 03 + 0 + caz imposibil

4 + + 0 x1,2 R , x1 > 0, x2 = 05 + 0 x1,2 R , x1 < 0, x2 = 06 0 0 0 x1,2 R , x1 = 0, x2 = 07 + + x1,2 R , x1 < 0, x2 > 0 ,|x1| < x2

8 + x1,2 R , x1 < 0, x2 > 0, |x1| > x2

9 + 0 x1,2 R , x1 < 0, x2 > 0, |x1| = x2

10 x1,2 C11 + / / caz în care ecuația de gradul al II – lea se transforma într-o

ecuație de gradul I pe care o rezolvăm separat.

6. Ecuații de gradul I sau al II-lea cu parametru real

Forma generală a ecuației de gradul I: a(m)x + b(m) = 0, m R, m este un parametru (1). Rezolvarea ecuației se face prin discuție după coeficientul a(m):Cazul I: 1) Dacă a(m) = 0 A = {m R/a(m) = 0} și pentru fiecare element al lui A se calculează valoarea lui b(m). a) Dacă b(m) = 0, ecuația (1) devine: 0 x = 0 și are mulțimea soluțiilor S=R. b) Daca b(m) 0, ecuația (1) devine: 0 x + b(m) = 0, imposibilă, deci S = .Cazul II:

Dacă a(m) 0 ecuația (1) are mulțimea soluțiilor .

Forma generală a ecuației de gradul al II-lea: a(m)x2 + b(m)x + c(m) = 0, m R, m este un parametru (2).Rezolvarea ecuației se face prin discuție după discriminantul (m) = b2(m) 4a(m) c(m).Cazul I:

Fie A = {m R/(m) < 0} și B = {m R/(m) = 0}. Dacă a(m) 0 atunci:

1) Dacă (m) > 0, ecuația (2) are mulțimea soluțiilor .

2) Dacă (m) = 0, ecuația (2) are mulțimea soluțiilor .

3) Dacă (m) < 0, atunci ecuația (2) are S= .Cazul II:

Dacă a(m) = 0, ecuația (2) devine ecuație de gradul I care se rezolva. Mulțimea soluțiilor ecuației (2) este mulțimea soluțiilor ecuației de gradul I obținută.

Exercitii tip pentru ecuatii de gradul al II-lea cu parametru real: 1. Să se afle valorile reale ale lui m pentru care rădăcinile ecuației (2) sunt mai mici (mai mari, una mai mică și una mai mare) decât numărul R dat. Substituția care se face în acest caz este

(4), pentru care y(m) =

x(m).

Ecuația (2) are rădăcini reale x(m) 0 y (m) 0 (5). Rădăcinile reale ale ecuației (2) trebuie să fie mai mici decât x1, x2 ; y1 = x1 , y2 = x2

Relațiile (5) și (6) determină un sistem de inecuații a cărui soluție reprezintă valorile lui m pentru care condiția problemei este satisfăcuta.Observatii: Celelalte două cazuri se rezolva similar. 2. Să se afle valorile reale ale lui m pentru care rădăcinile ecuației (2) îndeplinesc condiția: x1, x2 ( x1 x2,…), unde și sunt numere reale date. Rezolvarea acestei cerințe se face în doi pași:a) se afla m în cazul particular x1, x2 = și x1, x2 =

b) ținând cont de pasul a), condiția problemei devine < x1, x2 < , pentru care facem substituția

pentru care discriminantul y(m) = ( + )2 x(m) Ecuatia (2) are rădăcini reale x(m) 0 y(m) 0 (9).

(10)

Conditiile (9) si (10) formeaza un sistem de inecuatii în m a cărui soluție ne dă valorile lui m pentru care condiția cazului b) este satisfacută. Valorile lui m pentru care condiția problemei este satisfacută, se obțin prin reuniunea soluțiilor cazurilor a) și b).7. Descompunerea trinomului de gradul al II – lea în produs de polinoame de gradul I: ax2 + bx + c = a(x –x1)(x –x2), unde x1,x2 sunt rădăcinile reale ale ecuației atașate ax2 + bx + c = 0. Discutie:1) Dacă descompunerea se cere în R, atunci avem două posibilități: a) ax2 + bx + c = a(x –x1)(x –x2), dacă 0 b) ax2 + bx + c nu se poate descompune în factori, dacă < 02) Dacă descompunerea se cere în C, atunci avem ax2 + bx + c = a(x –x1)(x –x2). Ecuații produs Ecuațiile produs sunt de forma f1(x)f2(x)….fk(x) = 0. (1) Dacă S este mulțimea soluțiilor ecuației (1), S1 este mulțimea soluțiilor ecuației f1(x) = 0, S2 este mulțimea soluțiilor ecuației f2(x) = 0,…., Sk este mulțimea soluțiilor ecuației fk(x) = 0, atunci S = S1S2……. Sk.

Ecuații fracționare O ecuație se numeste fracționară , dacă necunoscuta figurează la numitorul uneia sau mai multor fracții . Metoda de rezolvare:

1. Se determină mulțimea de existență a ecuației , D, impunând ca numitorii care conțin necunoscuta să fie diferiți de 0.

2. Se amplifica ecuația cu c.m.m.m.c. al numitorilor fracțiilor care figureaza în ecuație.

3. Se rezolva ecuația obținută la pasul anterior .4. Se verifică dacă soluțiile sunt în D și se păstrează doar acele soluții care satisfac condiția de

apartenență. Condiția ca doua ecuații de gradul al doilea să aibă aceleași rădăcini .Fie ecuațiile ax2 + bx + c = 0 și ax2 + bx + c = 0, care au rădăcinile x1,x2

Relațiile lui Viète sunt: două ecuații de gradul al doilea au aceleași

rădăcini dacă coeficienții lor sunt proporționali.Observații: 1. Dacă b = 0 b = 0, respectiv c = 0 c = 0. 2. Reciproca este adevărată. Condiția ca două ecuații de gradul al doilea să aibă o rădăcina comună Fie ecuațiile ax2 + bx + c = 0 și ax2 + bx + c = 0 care au rădăcina comună / (ab ab) + ac – ac = 0

În prima ecuație înlocuim pe x cu și după efectuarea calculelor obținem:(ac ac)2 = (ab ab)( bc bc) (1), egalitate ce reprezintă condiția pe care trebuie să o satisfacă coeficienții ecuațiilor pentru ca ele să aibă o rădăcină comună.Observații : 1. Dacă ab ab = 0 ac ac și deci cele două ecuații au ambele rădăcini comune.2. În exercițiile în care se impune ca cele două ecuații să aibă o rădăcina comună, rezolvarea se face aplicând pașii teoretici de obținere a condiției (1) și mai puțin condiția (1) direct.3. Reciproca este adevărată.Semnul binomului ax + b Pentru obținerea semnului binomului ax + b aflam mai întai rădăcina lui :

ax + b = 0 ax = b

Regula de stabilire a semnului

x +

ax+b semn contrar lui a 0 același semn cu a Exemplu:

x +

2x + 3 0 + + + + +

Semnul trinomului ax 2 + bx + c Pentru stabilirea semnului trinumului ax2 + bx + c aflăm rădăcinile reale (dacă există) și folosim una din cele trei reguli de semne stabilite cu ajutorul tabloului de semne.

1.

x x1 x2 ax2 + bx + c același semn cu a 0 semn contrar lui a 0 același semn cu a

2.

x x1 ax2 + bx + c același semn cu a 0 același semn cu a

3.

x ax2 + bx + c același semn cu a

Determinarea ecuației de gradul al doilea când cunoștem rădăcinile x1,x2

Ecuația este de forma x2 Sx + P = 0 , unde S = x1 + x2 și P = x1x2.

Exerciții rezolvate

1. Să se rezolve ecuația : |x – 3| = 4 Rezolvare: |x – 3| = 4 x – 3 = 4 x = 4 + 3 sau x = 4 + 3 x = 7 sau x = 1 S = { 1,7}2. Să se rezolve inecuația |2x 1| 3Rezolvare:

|2x 1| 3 3 2x 1 3 sau:

x 1 2 + 2x + 2 0 + + + + + + +2x – 4 0 + + + + +

3.Să se rezolve ecuația |x – 1| + |x + 2| = 7 Rezolvare: Întocmim un tablou de semne comun pentru x – 1 și x + 2:

x 2 1 + x 1 0 + + + + +x + 2 0 + + + + + + +

x 1 = 0 x = 1 x + 2 = 0 x = -2 Rezolvăm ecuația în cazurile: a) Dacă ecuația devine:

b) Dacă ecuația devine:

, propoziție falsă Sb = c) Dacă ecuația devine:

4. Să se rezolve ecuația (m + 1) x – 2 = 0 , unde m R este un parametru. Rezolvare : a(m) = m + 1 ; b(m) = 2 . Rezolvarea se face prin discutie după a(m) :

a) Dacă a(m) = 0 m + 1 = 0 m = – 1 ecuatia devine 0x – 2 = 0 2 = 0 propoziție falsă S = .

b) Dacă a(m) 0 m și ecuația (m+1)x 2 = 0 o împărțim la m + 1

.

5. Se consideră ecuația x2 3x + 2 = 0 . Să se calculeze valorile expresiilor următoare :

Rezolvare : Relațiile lui Viète :

c) x1,2 = rădăcinile ecuației

d)

Pentru calculul expresiei folosim relațiile (2) pe care le amplificam cu respectiv

e) Înaintea aducerii la același numitor comun vom transforma expresiile în

expresii de gradul I în x1,x2 astfel: din relatiile (2) 6. Să se discute

natura si semnele rădăcinilor ecuației: mx2 – 2(m – 3)x + m – 6 = 0Rezolvare: a(m) = m; b(m) = 2(m – 3); c(m) = m – 6 (m)= b2(m) – 4a(m) c(m) (m) = 4(m2 – 6m + 9) – 4m(m – 6 )

= 4(m2 – 6m +9 – m2 + 6m) = 36 > 0, () m R.

m 0 3 2(m – 3) 0 + + + + m 0 + + + + + + + + + + +S(m) + + + + | 0 + + + + +

2(m – 3) = 0 m – 3 = 0 m = 3 .

m 0 6 m – 6 0 + + + + m 0 + + + + + + + + + + +P(m) + + + + | 0 + + + + +

Discuția naturii și semnelor rădăcinilor ecuației o facem folosind tabelul de mai jos :

m (m) S(m) P(m) Discuțiam(,0) + + + x1,2 R , x1 > 0, x2 > 0 m = 0 + / / vezi rezolvarea R1

m(0,3) + x1,2 R , x1 >0, x2 < 0 x1 < |x2|m = 3 + 0 x1,2 R , x1 > 0, x2 < 0 x1 = |x2|m(0,6) + + x1,2 R , x1 > 0, x2 > 0 x1 > |x2|m = 6 + + 0 x1,2 R , x1 > 0, x2 = 0m(6,+) + + + x1,2 R , x1 > 0, x2 > 0

R1 : m = 0 ecuația dată devine 0x2 – 2 ( 3) x + 0 – 6 = 0 6x – 6 = 0 x = 1 S = {1}.

7. Să se rezolve ecuația:

Rezolvare: CE:

8. Să se rezolve ecuația: .

Rezolvare:

Exercitii propuse:

1.Să se rezolve ecuațiile:

;

2. Să se rezolve ecuațiile prin discutie după parametrul m R: a) mx – (m + 1) = 0; b) mx – m + m2 = 0; c) m2x + 2 = 4x + m; d) (2m2 – m – 3)x = m + 1; e) m2x + 1 = m(x + 1); f) m2(mx – 1) = 4(2x – 1)3. Să se rezolve ecuațiile:

4. Să se rezolve ecuațiile:

5. Să se rezolve inecuațiile:

6. Să se rezolve inecuațiile:

7. Să se rezolve inecuațiile:

8. Să se rezolve inecuațiile:

9. Să se rezolve sistemele de inecuații:

10. Să se discute natura rădăcinilor ecuațiilor următoare:

11. Să se discute semnele rădăcinilor ecuațiilor următoare:

12. Să se discute natura și semnele rădăcinilor ecuațiilor:

13. Să se determine valorile lui m R astfel încât rădăcinile ecuației următoare să îndeplinească condițiile indicate:

14. Să se determine parametrul m R astfel încât între rădăcinile ecuațiilor următoare să existe relația scrisă în dreptul fiecăreia:

15. Să se calculeze , în funcție de m R , expresiile :

, unde x1, x2 sunt rădăcinile ecuației x2 2x 1 = 0.

16. Se dă ecuația x2 5x + 2 = 0. Să se calculeze valorile expresiilor următoare:

17. Dacă x1,x2 sunt rădăcinile ecuației x2 – 4x + 1 = 0, să se calculeze valorile expresilor:

18. Se consideră ecuațiile următoare :

cu rădăcinile x1,x2. Să se determine pentru fiecare ecuație în parte o relație între rădăcini , independentă de m. 19. Să se determine m R , astfel încât următoarele perechi de ecuații să aibă o rădăcină comună :

20. Fiind dată ecuația: x2 – ax + b = 0, ale cărei rădăcini sunt x1,x2 să se formeaze ecuația de gradul al doilea în y care să aibă ca rădăcini:

21. Să se determine m R astfel încât {x R / x2 + mx + 1 = 0} [1,+) . 22. Să se determine m R astfel încât incat {x R / x2 + mx + 2 = 0} [1,+) să aibă două elemente.

23. Fie a,b R, 0 < a < b. Dacă , atunci mulțimea

{x R / x2 – 2m(m – a)x + m2(m2 – b2) = 0} [0,+) are două elemente. 24. Să se determine m R astfel încât {x R / (m – 1)x2 – 2(m + 1)x + m + 1 = 0} [ 1,1] . 25. Să se determine m R astfel încât {x R / (m +2)x2 – 2(m + 1)x + m + 1 = 0} [ 1,1] să aibă două elemente. 26. Să se determine m R astfel încât {x R / (m – 1)x2 – 2(m + 1)x + m = 0} [ 1,1] să aibă un singur element. 27. Să se formeze ecuația de gradul al II-lea, care are ca rădăcini x1,x2, în cazurile:

28. Fie ecuația x2 + (3 – m)x – m – 5 = 0, m R. a) Să se arate că pentru orice m R, ecuația are rădăcini reale distincte.

b) Să se determine m astfel încât , unde x1,x2 sunt rădăcinile

ecuației date. c) Să se determine m pentru care suma pătratelor rădăcinilor este minimă. 29. Să se stabilească trinoamele de gradul al doilea care se pot descompune în factori de gradul I cu coeficienți în R și să se realizeze această descompunere , în cazurile:

30. Să se determine parametrii reali m și n pentru care perechile de ecuații au aceleași rădăcini:

31. Să se arate că pentru orice m R mulțimea A={xR/x2 – 2(m – 1)x – m = 0}{xR/x2 – 2mx + m 1 = 0} are patru elemente. 32. Dacă x1,x2 sunt rădăcinile ecuației x2 +bx + 1 = 0 , iar x3,x4 sunt rădăcinile ecuației x2 +cx + 1 = 0 , atunci are loc egalitatea : (x1x3)(x2x3) + (x1+x4)(x2+x4)= c2 – b2 33. Fie astfel încât . Arătați că cel puțin una din ecuațiile

are rădăcini reale. 34. Să se rezolve și discute ecuațiile cu module după valorile parametrului real m:

35. Se consideră ecuația , ale carei solutii sunt x1,x2; notăm . Aratați că . Generalizare. 36. Fie și

si .

Atunci:

37. Fie a,b R, a 0 și . Dacă x1,x2 sunt rădăcinile ecuației

ax2 + (b – 1)x – a = 0, atunci numărul E(x1) + E(x2) este: a) b 1; b) b 1; c) 1 b;d) b + 1.

38. Dacă x1,x2 sunt rădăcinile reale ale ecuației x2 – 2mx + 2m2 – 4m = 0, m R și p = x1,x2 , atunci mulțimea valorilor lui p este: a) R; b) ( 3,20); c) [0,16]; d) [ 2,16] 39. Dacă S este mulțimea soluțiilor ecuației |x+1||x+6| = |x2||x+3|, atunci : 40. Mulțimea

41. Dacă și

42. Fie m,n R astfel încât mulțimea să aibă două

elemente. Atunci m + n este : a) 4 ; b) 0; c) 3 ; d) nu exista m si n cu proprietatea ceruta.43. Fie ecuațiile cu rădăcinile la x1,x2, respectiv y1,y2. Precizați valorile parametrului real m pentru care este adevărată relația

:

44. Ecuațiile , au aceleași rădăcini pentru : a) m = 1,n = 2 b) m = 0, n = 1 c) m = n = 0 d) m = 0, n = 2. 45. Fie ecuația Valorile lui m R pentru care rădăcinile ecuației date sunt în intervalul (0,5) aparțin mulțimii :

46. Produsul soluțiilor ecuației este a) 8 ; b) 27 ; c) 16 ; d) 64

47. Inecuația are mulțimea de soluții : a) (1,1) ; b) (0,1) ;

c) (,0) (1,+) ; d) (1,+)

48. Mulțimea soluțiilor inecuației este : a) (,3] [5,+)

b) [0,2] ; c) [3,5] ; d) R\{4}49. Să se determine mulțimea valorilor parametrului m R astfel încât rădăcinile x1,x2 ale ecuației să satisfacă relația

: .

50. Pentru m = 0, în relația , soluția inecuației f(x) 0 este: 51. Fie . Ecuația fm(x) = 0 are o rădăcină pozitivă și una negativă pentru m din intervalul: a) (,1); b) (0,+); c) (5,5); d) (1,0)52. Dacă |3x2 + 2| 1, atunci 6x2 + 5 este situat în: a) [1,3]; b) (3,1); c) (1,1); d) [5,11].53. Fie . Dacă x1,x2 sunt rădăcinile ecuației fm(x) = 0, pentru ce valori ale lui m avem ?

a){5,6}; b) {6,11}; c) {5,7}; d) {7,11}.

54. Fie ecuația . Mulțimea valorilor pe care le pot lua rădăcinile reale x1,x2 când m variază este:

55. Se consideră ecuația astfel încît rădăcinile x1,x2 să fie reale. Mulțimea valorilor pe care o poate lua x1x2 este :

56. Fie ecuațiile ax2 + bx + c = 0 cu rădăcinile x1,x2 și mx2 + nx + p = 0 cu rădăcinile .

Stiind că între rădăcini avem relația , atunci relația între coeficienții celor

doua ecuații este: a) bn = 2(mc + pa); b) an = 3(bp + cm); c) ap – bm = cn; d) am + bp + cn = 057. Numărul real m pentru care mulțimea

are un singur element este:

58. Mulțimea valorilor lui m R*,pentru care mulțimea: are un element și numai unul, este: 59. Valorile lui m R astfel încât mulțimea: să aibă exact două elemente sunt:

60. Numărul rădăcinilor reale ale ecuației este: a) 2; b) 0; c) 3; d) 1

61. Inecuația are (în R) mulțimea soluțiilor………….

62. Suma rădăcinilor reale ale ecuației este…………

63. Numărul rădăcinilor reale ale ecuației este……. 64. Se consideră ecuația: . Dacă M = {m R/ ecuația are exact trei rădăcini reale distincte}, atunci: a) M = (,1]; b) M = [1,1);c) M = (2,+); d) M = ; e) M = R.

65. Fie M = {m R/x2 2mx + m 2 = 0 are rădăcini întregi}. Dacă , atunci: a) H =

1; b) H = 9; c) H = 8; d) H = 1. 66. Se consideră ecuația , cu a,b,c R, a 0, 2b 3ac și > 0. Dacă x1 și x2 sunt rădăcinile ecuației, atunci:

67. Se consideră ecuația . Dacă x1 = 2x2

consideram k = k(l). Stabiliți dacă:

68. Fie ecuația și M = {m Z / ecuația are cel

puțin o rădăcină întreagă}, . Atunci : a) S = 1; b) S = 8 ; c) S = 4 ; d) S = 16;

e) S = 9.