6Produse scalare. Probleme

1. De. ca daca x, y, sunt vectori nenuli in R2, atunci

xx, yy }x}}y} cos

unde este unghiul dintre x si y.

2. Pt. ca u, v P V , V s.v. cu produs scalar. Aratati ca

}u} }u av}

pt. orice a P F daca si numai daca xu, vy 0.

3. Dem. ca

p

n

i1

aibiq2 p

n

i1

ia2i qpn

i1

1ib2i q,

pt. ai, bi P R , , i 1, n.

3Pp. ca u, v P V , V s.v. cu produs scalar. Daca

}u} 3 , }u v} 4 , }u v} 6

aflati }v}.

69

70 6. Produse scalare. Probleme

4. Dem. sau infirmati afirmatia: D un produs scalar pe R2 a.i. norma

indusa de el sa fie egala cu

}px1, x2} |x1| |x2|,

@ px1, x2q P R2.

5.Daca V este s.v. real cu produs scalar atunci

xu, vy }u v}2 }u v}2

4, @u, v P V.

6. Daca V este s.v. complex cu produs scalar dem. ca

xu, vy }u v}2 }u v}2 i}u iv}2 i}u iv}2

4, @ u, v P V.

7. De. ca o norma pe un s.v. V este indusa de un produs scalar daca si

numai daca satisface regula paralelogramului.

8. Dem. ca multimea

t

1?

2pi,

sinx?

pi, . . . ,

sinnx?

pi,

cosx?

pi, . . .

cosnx?

piu

este ortonormala in Crpi, pis, cu produsul scalar

xf, gy

pi

pi

fpxqgpxqdx.

9. Fie V un s.v. cu produs scalar si pv1, . . . vmq o familie lin. ind. Sa

se calculeze numarul ortonormale pe1, . . . , emq care se pot construi folosind

Gram Schmidt a.i.

spantv1 . . . , viu spante1 . . . , eiu, @ i 1, n.

10. Fie pe1, . . . emq o lista ortonormala in s.v. cu produs scalar V , si

v P V . Dem ca

}v}2 |xv, e1y| |xv, emy|2

iff v P spanpe1, . . . , emq.

71

11.Fie V s.v. cu produs scalar si U V subspatiu. Sa se arate ca

dimUK dimV dimY.

In plus probleme se considera ce am lasat de demonstrat la curs,

explicitand clar sa demonstrati voi.

Will be continued.