18.11.2015 Probleme de Analiza, Siruri de Numere Probleme Rezolvate

http://www.problemedematematica.com/analizasiruriexercitii.html 1/4

Probleme De MatematicaHome Algebra Analiza Geometrie Logica Aritmetica

Exerciţiu: Sǎ se arate, folosind definiţia, cǎ:

a.

b.

Rezolvare:

a. Trebuie sǎ arǎtǎm cǎ:

Avem însa Rezultǎ cǎ, atunci când

.Inegalitatea devine:

Putem deci alege .

b. Trebuie sǎ arǎtǎm cǎ: . Aceastǎ

inegalitate devine: Se calculeazǎ

discriminantul trinomului de gradul al II­lea:

Acesta este la randul sǎu un trinom de gradul al II­lea in , având discriminantul

. Rǎdǎcinile ecuatiei sunt deci . Ne intereseazǎ

semnul trinomului pentru . Pentru . Inecuaţia

este verificatǎ de orice valoare a lui n. Se poate alege in acest caz .

Dacǎ însa . Inecuaţia este verificatǎ când

.

Se poate allege .

Rezultǎ ;

În consecinţǎ, .

Criteriul majorarii.

Daca sirul cu teremenii pozitivi este convergent la zero si are loc inegalitatea:

atunci şirul este convergent la .

Daca avem , atunci

18.11.2015 Probleme de Analiza, Siruri de Numere Probleme Rezolvate

http://www.problemedematematica.com/analizasiruriexercitii.html 2/4

Daca avem , atunci .

Exerciţiu: Utilizând criteriul majorǎrii, sǎ se arate ca:

a.

b.

Rezolvare:

a. Avem . Cum

b. Fie . Dezvoltǎm cu

binomul lui Newton:

Însa toţi termenii care apar în dezvoltare sunt pozitivi, deoarece . Suma tuturor termenilor

fiind n, fiecare dintre aceştia trebuie sa fie mai mic decat n. Scriem aceasta pentru termenul altreilea:

Cum

Exerciţiu: Fie şirul cu termenul general . Sǎ se calculeze .

Rezolvare: Avem .

Cum

Criteriul clestelui Fie trei siruri astfel incat:

. Atunci .

Exerciţiu: Sa se calculeze:

Rezolvare: Fie . Evident cǎ nu putem

calcula sub o formǎ mai simplǎ. Observǎm însǎ cǎ:

.

Rezultǎ de aici: Se observǎ acum cǎ

. Conform criteriului cleştelui, rezultǎ cǎ .

Exerciţiu: Sǎ se arate cǎ:

Rezolvare: Avem . Conform criteriului precedent, rezulta ca

.

Criteriul subsirurilor

18.11.2015 Probleme de Analiza, Siruri de Numere Probleme Rezolvate

http://www.problemedematematica.com/analizasiruriexercitii.html 3/4

a. Daca doua subsiruri distincte ale unui sir dat au limite diferite (sau sirul dat contine unsubsir a carui limita nu exista), atunci sirul dat nu are limita.

b. Daca un sir dat este acoperit de subsiruri avand o limita comuna. Intreg sirul tinde spreacea limita (nu am vorbit de convergenta, pentru a include si cazul in care limita comunaeste ).

Observatie. Prin “acoperit” intelegem ca subsirurile respective cuprind toti termenii sirului. Spreexemplu, subsirurile acopera un sir dat, in timp ce subsirurile

nu il acopera.

Exerciţiu: Sǎ se studieze convergenţa şirurilor cu termenii generali:

a.

b.

Rezolvare:

a. Sirul dat contine subsirurile: si . Prin urmare, sirul dat este

divergent.

b. Avem . Rezulta ca sirul este convergent la 1.

Monotonie şi mǎrginire

a. Orice şir monoton crescǎtor şi mǎrginit superior este convergent.

b. Orice şir monoton descrescǎtor şi mǎrginit inferior este convergent.

Exerciţiu: Fie un sir cu proprietatile . Sǎ se arate ca

şirul este convergent.

Rezolvare: Ce apare oarecum dificil aici este ca sirul implicat nu este definit strict prin formulatermenului general sau relatie de recurenta. Sirul este caracterizat numai prin doua inegalitati, dincare trebuie sa rezulte convergenta.

Ţinem cont cǎ şi rezultǎ şirul este strict

descrescǎtor. şirul este mǎrginit

inferior de 0. Conform criteriului lui Weierstrass, rezultǎ ca şirul este convergent.

Exerciţiu: Fie şirul . Se defineşte şirul . Sǎ se arate

cǎ şirul este strict monoton şi cǎ . Sǎ se calculeze .

Rezolvare: Sigur cǎ prima idee care vine în minte este cǎ în produsul s­ar simplifica

nişte factori, obţinându­se o expresie mai simplǎ pentru dar nu putem aplica aceastǎ regulǎ.

O primǎ observaţie este ca . Mai mult, se vede imediat cǎ

. Cum însǎ sirul este strict descrescǎtor.

Pentru stabilirea inegalitǎţii , recurgem la metoda inductiei matematice.

Mai intai, se vede cǎ ; inegalitatea se verificǎ

asadar prin calcul direct pentru . Presupunem acum pentru cǎ .

Trebuie demonstrat cǎ pentru avem inegalitatea . Se inmulteste

inegalitatea cu si rezulta:

Pentru a deduce de aici inegalitatea este suficient sǎ arǎtǎm cǎ:

18.11.2015 Probleme de Analiza, Siruri de Numere Probleme Rezolvate

http://www.problemedematematica.com/analizasiruriexercitii.html 4/4

care este evidentǎ. Rezultǎ Cum ,

conform criteriului majorǎrii.

Home | Algebra| Analiza | Geometrie | Logica | Aritmetica Back to top© Probleme De Matematica 2014.