Siruri date prin termenul general

In cele mai multe cazuri, sirurile sunt specificate prin formula

termenului general – adica, dat fiind se da o relatie

directa de calcul pentru . Chiar si asa, de multe ori este necesar un efort suplimentar pentru a stabili convergenta sirului si pentru a-i calcula limita (in cazul in care aceasta exista). Aceasta deoarece formula termenului general poate conduce la necesitatea calculului unei sume, unui produs sau la utilizarea unor artificii. Suntem de parere ca in capitolul (acum ajuns in programa clasei a IX-a) referitor la inductia matematica, o sectiune aparte trebuie dedicata calculelor iterate: sume, produse etc. Si intrucat multe sume sau produse interesante pot contine radicali, logaritmi, functii trigonometrice etc. acest capitol ar trebui sa revina la clasa a X-a – mutand la loc in clasa a IX-a capitolul de numere complexe (chiar daca acesta a fost mai nou lipit ‘strategic’ de cel referitor la polinoame).

Ex. rezolvat 1. Calculati:

a)

b)

Solutie. a) Trebuie mai intai calculata suma de la numarator, care se scrie mai simplu:

Se cunosc insa rezultatele (sau cel putin ar trebui sa le memorati de acum inainte):

Rezulta:

Pe de alta parte,

Limita este:

b) Termenul general al sirului se scrie sub forma condensata astfel:

Se observa ca putem descompune in factori liniari trinomul de la numarator:

Acum scriem cativa termeni ai produsului, incercand sa observam ce se simplifica:

Dupa cum observam, primul factor simplificat complet este 4. Cei aflati inaintea sa (1,2,3) se simplifica numai partial. Pentru finalul produsului, trebuie sa scriem ultimii 4 factori (tot atatia cati am scris si la inceput ca sa observam simplificarea completa a lui 4). Acestia corespund valorilor

:

La fel, ultimul factor simplificat complet este . Factorii mai mari

decat acesta nu se simplifica decat partial, rezultatul fiind cel de mai sus. Calculul limitei este acum foarte simplu:

Observatii. 1) Exercitiul de mai sus este tipic pentru capitolul de fata. Este bine sa se lucreze un numar suficient de astfel de exercitii, pentru deprinderea corecta a algoritmului. Erorile apar cel mai frecvent la capete: fie nu se simplifica un numar suficient de termeni, fie se simplifica prea multi – sau chiar daca simplificarea se face corect, transcrierea ulterioara viciaza rezultatul.

2) Nu recomandam insa ca acesta sa fie singurul gen de exercitii pe care sa se insiste la capitolul ‘siruri’.

Ex. rezolvat 2. Sa se calculeze:

. Discutie.

Solutie. Exercitiul face apel la cunoasterea limitei:

Artificiul aplicat este de a imparti fractia fie cu , fie cu dupa cum .

i) . Impartim fractia data cu si avem:

deoarece

ii) . Impartim fractia cu si rezulta:

iii) . Ramane

In concluzie, limita este egala cu:

Ex. rezolvat 3. Sa se calculeze:

a)

b)

c)

Solutie. In toate sumele intervin, dupa cum se observa, factoriale. In plus, in cea de-a doua apare si .

a) Se da factor la numitorul termenului general al sumei si rezulta:

Am ajuns aparent intr-un impas. Ideea este sa observam ca daca

amplificam fractia cu , obtinem la numitor :

Aceasta forma este adecvata insumarii termen cu termen:

Cum

b) Ideea de rezolvare este sa adunam si sa scadem 2 k-ului de la numarator. Termenul general al sumei devine:

Se scriu acum cativa termeni ai sumei (cel putin doi de la inceput si doi de la sfarsit):

Dar

c) Oricat am incerca, nu vom reusi sa descompunem termenul general al sumei in ceva care sa produca izbavitoarea simplificare in lant. Solutia este sa despartim suma sub forma:

Este momentul sa ne amintim de sirul:

Acesta este convergent si are limita (vezi demonstratia

in manual). Rezulta:

Ex. rezolvat 4. Calculati:

a)

b)

c)

Solutie. a) Avem:

Functia fiind continua, rezulta:

b) Fara vreo legatura aparenta cu exercitiul de fata, observam ca:

Se calculeaza mai departe:

Demonstram acum prin inductie matematica (va las placerea ) ca:

Rezulta ca avem de calculat limita:

, deoarece ;

aceasta rezulta din faptul ca , iar .

c) Fie . Intamplator, ne propunem sa calculam

. Inlocuim si rezulta:

In consecinta,

Aceasta forma este propice punerii in miscare a “rasnitei” (adica a simplificarii

in lant). Relatia insa nu e OK pentru , caz in care rezulta

. Dar:

Prin urmare, pentru vom scrie ; suma devine:

Folosind continuitatea functiei , rezulta:

Ex. rezolvat 5. Sa se calculeze:

a)

b) . Discutie.

c)

Solutie. a) Rezultatul acestui exercitiu este bine sa fie retinut, deoarece intervine in rezolvarea altor exercitii. Fie:

Dar

Rezulta ca

b) Fie limita de calculat. Radicalul se amplifica cu conjugata, in timp ce in primii doi factori ai produsului se recunoaste prezenta sirului de la punctul a). Asadar:

Un principiu foarte sanatos in calculul limitelor de siruri si mai ales de functii este ca, atunci cand avem de eliminat o nedeterminare, sa observam din timp factorii care nu produc nedeterminarea si sa ii evaluam pe parcurs. In acest mod, se evita pe cat posibil efectuarea unor calcule dificile si totodata inutile. In cazul de fata, suma celor doi radicali de la numitorul ultimului factor are limita 2, valoare pe care o inlocuim pur si simplu; de asemenea, vom inlocui si valoarea limitei determinate la punctul a):

Se impune acum efectuarea unei analize de cazuri (discutie):i) pentru , avem:

ii) pentru , avem:

iii) pentru , avem:

Concluzionand, avem:

Observatie. Cand amplificam cu conjugata o expresie si cand nu e cazul ? Iata alt amanunt a carui cunoastere ne simplifica mult viata cand avem de calculat limite de siruri sau de functii ce se preteaza la acest procedeu. Raspunsul la intrebare este simplu:

- atunci cand avem un termen dominant (prin putere sau coeficient), nu se impune o amplificare cu conjugata;

- daca ambii termeni ai expresiei au aceeasi putere si acelasi coeficient, amplificarea cu conjugata este singura sansa.

Sa luam cateva exemple pentru a ilustra cele afirmate mai sus.

i) . Nu a

fost cazul sa amplificam cu conjugata. Termenul a fost dominant prin

putere.

ii)

Nici in acest caz nu a fost nevoie de amplificarea cu conjugata, termenul fiind dominant prin coeficient.

iii) . Aici nu avem termeni dominanti si ca atare

trebuie sa amplificam cu conjugata:

c) Sa revenim insa la exercitiul nostru. Punctul de fata pare a impune folosirea formulei radicalilor compusi. Daca nu o cunosteati, scrieti-o cu rosu undeva pentru a o retine:

. Evident ca formula se

dovedeste utila numai atunci cand expresia este rationala; altfel, radicalul initial se transforma intr-o suma de doi radicali de acelasi tip cu el si nu obtinem nici un avantaj.

Pentru obtinem si rasuflam usurati. Rezulta:

Forma obtinuta este oarecum mai simpla, dar nu foarte utila pentru simplificarea din aproape in aproape. Efectuam o amplificare cu conjugata:

Obtinem:

Prin urmare, avem de calculat:

Ex. rezolvat 6. Calculati:

a)

b)

Solutie. a) Pentru calculul sumei din paranteze, termenul general trebuie descompus in fractii simple:

Amplificam pe rand relatia cu , dand lui valorile ,

respectiv :

Sigur ca puteam aduce la acelasi numitor, rezolvand rapid sistemul de doua ecuatii cu doua necunoscute care rezulta din egalarea coeficientilor. In exemple cu volum mai mare de calcule (in special cand e vorba de calculul unor primitive din functii rationale), recomandam aplicarea pentru inceput a acestei metode. Chiar daca nu se pot determina astfel toti coeficientii, se realizeaza o reducere sensibila a numarului de necunoscute.

Calculam suma:

Fractiile care se simplifica nu se afla in termeni adiacenti, ci la o distanta de 2 termeni. Din suma ramane asadar:

In consecinta, avem de calculat limita:

b) Aparent, putem observa ca limita cand pentru este 1, deci limita

data se reduce la , care nu exista.

Utilizam insa relatia: , pentru:

Rezulta:

Insa . Limita de calculat devine:

Ex. rezolvat 7. Sa se calculeze:

a)

b)

Solutie. Acest ultim exercitiu rezolvat vizeaza aplicarea teoremei Stolz-Cesaro, respectiv criteriului Cauchy-D’Alembert. Sa vedem despre ce e vorba:

i) Fiind date sirurile , unde este strict crescator si

nemarginit, daca exista limita:

,

atunci .

ii) Fiind dat sirul , pozitiv definit, daca exista limita:

,

atunci .

a) Aplicam teorema Stolz-Cesaro pentru . Se

calculeaza:

Rezulta

b) Se calculeaza mai intai:

Rezulta ca

Observatie. Nici teorema lui Stolz si nici criteriul Cauchy-D’Alembert nu sunt incluse in programa de liceu. Culegerile de probleme (Arama-Morozan, Batinetu etc.) includ un numar de exercitii care se rezolva cu ajutorul lor. Mai mult, la admiterea in facultate in 1986, unul din subiecte (pe care il vom prezenta in materialul dedicat sirurilor definite prin recurenta) se rezolva cu ajutorul teoremei lui Stolz. In concluzie, este bine ca aceste rezultate sa fie cunoscute, pentru largirea domeniului de exercitii care se pot rezolva.

Exercitii propuse

Sa se calculeze limitele urmatoarelor siruri, definite prin formula termenului general:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8) . Discutie.

9)

10)

11)

12)

13)

14)

15)

16)

17) . Discutie.

18)

19)

20)

21)

22)

23)

24)

25)

26)

27)

28)

29)

30)

31) Discutie.

32) Fie sirul cu termenul general:

a) Sa se determine relatia dintre astfel incat ;

b) Cand aceasta conditie este verificata, sa se determine astfel

incat sirul sa fie convergent si sa se calculeze .

33) Se considera sirul cu termenul general .

a) Sa se arate ca termenul general al sirului se poate scrie astfel:

unde este de forma

, unde sunt constante ce se vor determina.

b) Sa se arate ca sirul este convergent si sa se

calculeze .

c) Sa se calculeze limita sirului

34) Fie sirul .

a) Sa se calculeze ;

b) Notand , sa se arate ca:

35) Fie o progresie aritmetica de ratie si . Calculati .

36) Fie sirurile cu termenii generali:

, unde prin am notat partea intreaga a

numarului real .

a) Cati termeni ai sirului se afla in afara vecinatatii a

punctului ?

b) Sa se calculeze . Discutie.

c) Sa se calculeze .

37) Fie . Calculati:

38) Fie sirul definit prin . Sa se calculeze limita

sirului cu termenul general .

39) Fie . Calculati .

40) Fie si . Sa se calculeze:

41) Fie . Sa se calculeze .

42) Fie sirul

a) Sa se determine ;

b) Sa se determine numarul termenilor sirului situati in afara

intervalului .

43) Calculati .

44) Fie suma si sirul cu termenul general

. Sa se arate ca

45) Calculati:

, unde prin am notat

partea intreaga a numarului real .46) Sa se determine astfel incat:

47) Sa se determine parametrul real astfel incat: