CURS 2 - Siruri de numere reale. Inegalitati remarcabileandreea.arusoaie/Cursuri/SCurs2.pdf · 3...

CURS 2Siruri de numere reale. Inegalitati remarcabile

A. Arusoaie

e-mail: [email protected]

Web: http://profs.info.uaic.ro/~andreea.arusoaie/mate.html

Facultatea de Informatica,Universitatea ”Alexandru Ioan Cuza” din Iasi

8 Octombrie, 2019

http://profs.info.uaic.ro/~andreea.arusoaie/mate.html

Structura cursului

1 Multimea numerelor reale

2 Siruri de numere realeConvergentaSubsiruriProprietati ale sirurilor convergenteTeorema convergentei monotoneTeorema Bolzano-WeierstrassTeorema Stolz-CesaroSiruri CauchyPuncte limita ale unui sir

3 Inegalitati remarcabileInegalitatea mediilorInegalitatea lui HolderInegalitatea lui MinkowskiInegalitatea lui Carleman

Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 2 / 43

Structura cursului





Multimea numerelor reale

Ce este multimea numerelor reale?

Definitie

Se numeste multime de numere reale o multime R, ınzestrata cu doua operatiialgebrice: + (adunarea) si · (ınmultirea), precum si cu o relatie de ordine: ≤, ınraport cu care sunt ındeplinite urmatoarele trei grupe de axiome:

I. (R,+, ·) este un corp comutativ , adica au loc:

(+1) x+ (y + z) = (x+ y) + z, ∀x, y, z ∈ R;(+2) ∃0 ∈ R,∀x ∈ R : x+ 0 = 0 + x = x;(+3) ∀x ∈ R, ∃ (−x) ∈ R : x+ (−x) = (−x) + x = 0;(+4) x+ y = y + x, ∀x, y ∈ R;(×1) (x · y) · z = x · (y · z), ∀x, y, z ∈ R;(×2) ∃ 1 ∈ R : x · 1 = 1 · x = x, ∀x ∈ R;(×3) ∀x ∈ R \ {0}, ∃x−1 ∈ R : x · x−1 = x−1 · x = 1;(×4) x · y = y · x, ∀x, y ∈ R;

(D) x · (y + z) = x · y + x · z, ∀x, y, z ∈ R;


Definitie (continuare)

II. (R,+, ·,≤) este un corp total ordonat , adica:

(O1) x ≤ x,∀x ∈ R;(O2) (x ≤ y) ∨ (y ≤ x), ∀x, y ∈ R;(O3) ((x ≤ y) ∧ (y ≤ x))⇒ x = y, ∀x, y ∈ R;(O4) ((x ≤ y) ∧ (y ≤ z))⇒ x ≤ z, ∀x, y, z ∈ R;(O5) x ≤ y ⇒ x+ z ≤ y + z, ∀x, y, z ∈ R;(O6) ((x ≤ y) ∧ (0 ≤ z)) ⇒ x · z ≤ y · z, ∀x, y, z ∈ R;

III. (Axioma de completitudine Cantor-Dedekind) Orice submultime nevida simajorata A ⊆ R admite cel putin o margine superioara (sup) ın R.

Pentru x, y ∈ R, definim urmatoarele operatii auxiliare:

scaderea:x− y := x+ (−y), x, y ∈ R;

ımpartireax

y:= x · (y−1), x ∈ R, y ∈ R \ {0}.


Multimea numerelor reale

Observatie:

Plecand de la multimea numerelor reale, se pot construi urmatoarele multimi

Multimea numerelor naturale:

N = {0, 1, 1 + 1, (1 + 1) + 1, . . .} = {0, 1, 2, 3, 4, . . .};

Multimea numerelor ıntregi:

Z = N ∪ {−n | n ∈ N};

Multimea numerelor rationale:

Q = {x · y−1 | x ∈ Z, y ∈ Z∗}

Asadar, ıntre submultimile remarcabile ale lui R, avem urmatoarele relatii

N ⊆ Z ⊆ Q ⊆ R.


Valoarea absoluta a unui numar real

Definitie

Pentru x ∈ R, definim valoarea absoluta a lui x prin

|x| =

{x, x ≥ 0,

−x, x < 0.

Propozitie

Au loc urmatoarele proprietati:

i) |x| ≥ 0,∀x ∈ R; iii)|x · y| = |x| · |y|,∀x, y ∈ R;

ii) |x| = 0⇔ x = 0, ∀x ∈ R; iv)|x+ y| ≤ |x|+ |y|,∀x, y ∈ R.


Supremum si infimum

TeoremaFie A o submultime nevida a lui R.1. Un element α ∈ R este margine superioara (sup) a multimii A, daca si

numai daca:

(i) x ≤ α, ∀ x ∈ A;(ii) ∀ ε > 0, ∃ xε ∈ A astfel ıncat α− ε < xε.

2. Un element β ∈ R este margine inferioara (inf) a multimii A, daca si numaidaca:

(i) β ≤ x, ∀ x ∈ A;(ii) ∀ ε > 0, ∃ xε ∈ A astfel ıncat xε < β + ε.

Observatie:Daca a, b ∈ R cu a < b, atunci

sup[a,b] = sup[a,b) = sup(a,b] = sup(a,b) = b

inf[a,b] = inf[a,b) = inf(a,b] = inf(a,b) = a


Dreapta reala extinsa

Cum nu orice submultime a lui R poseda o margine superioara si o margineinferioara, vom considera doua simboluri, numite plus infinit si minus infinit,notate cu +∞ si respectiv −∞. Vom nota prin

R = R ∪ {−∞,+∞}

si vom numi aceasta multime, dreapta reala extinsa .Vom prelungi ordinea uzuala a lui R la R, astfel

−∞ < x, x < +∞, −∞ < +∞,∀x ∈ R

Vom considera lipsite de sens, fiind nedeterminate, operatiile urmatoare:

(+∞) + (−∞), (+∞)− (+∞), (−∞) + (+∞), (−∞)− (−∞),

0 · (−∞), 0 · (+∞), (+∞) · 0, (−∞) · 0, ±∞±∞

Elucidarea sensului acestor operatii are loc, de regula, pe seama expresiilor dincare provin.


Structura cursului





Problema: Un copil vrea sa construiasca un turn folosind niste cuburi colorate.El utilizeaza 15 cuburi pentru primul nivel, iar fiecare nivel va avea cu 2 cuburimai putin decat precedentul. Presupunem ca turnul va avea 8 etaje.

(a) Cate cuburi s-au utilizat pentru ultimul nivel?

(b) Care este numarul total de cuburi utilizate?


Problema: Un copil vrea sa construiasca un turn folosind niste cuburi colorate.El utilizeaza 15 cuburi pentru primul nivel, iar fiecare nivel va avea cu 2 cuburimai putin decat precedentul. Presupunem ca turnul va avea 8 etaje.

(a) Cate cuburi s-au utilizat pentru ultimul nivel?

Raspuns corect : 1

Ati format un sir aritmetic, considerand a1 = 15, n = 8 si r = −2, utilizandformula

an = a1 + (n− 1)r.

(b) Care este numarul total de cuburi utilizate?

Raspuns corect : 64

Ati utilizat suma termenilor unui sir aritmetic, pentru a1 = 15, n = 8 sir = −2, utilizand formula

Sn =(a1 + an)n

2.


Problema: O populatie de insecte creste ın asa mod ıncat noua generatie estede 1.5 ori mai numeroasa comparativ cu cea precedenta. Presupunem ca ar fi doar100 de insecte ın prima generatie.

(a) Cate insecte vor aparea ın a 5-a generatie?

Raspuns corect : 506.25 (aproximativ 506)

Ati format un sir geometric, considerand b1 = 100, n = 5 si q = 1.5, utilizandformula

bn = b1qn−1.

(b) Care va fi numarul total de insecte pana la a 5-a generatie?

Raspuns corect : aprox. 1319

Ati utilizat suma termenilor unui sir geometric, pentru b1 = 100, n = 5 siq = 1.5, utilizand formula

Sn =b1(1− qn)

1− q.


Siruri de numere reale

Definitie

Se numeste sir de numere reale o functie f : N→ R.

Vom nota cu xn, valoarea functiei f ın punctul n ∈ N, adica

xn = f(n).

I x0, x1, x2, . . . se numesc termeni ai sirului;

I xn se numeste termenul general al sirului f , sau termenul de rang n alsirului;

I Un sir cu termenul general xn, se va nota (xn)n∈N sau (xn)n≥0.

Observatie: Daca primii k termeni ai sirului, x0, x1, . . . , xk−1, nu sunt definiti,adica functia este definita pe multimea {n ∈ N | n ≥ k} = {k, k + 1, k + 2, . . .},atunci vom nota sirul prin (xn)n≥k.



Definitie

Spunem ca un sir de numere reale (xn)n∈N este:

i) marginit inferior daca exista α ∈ R astfel ıncat α ≤ xn,∀n ∈ N;

ii) marginit superior daca exista β ∈ R astfel ıncat xn ≤ β,∀n ∈ N;

iii) marginit daca exista α, β ∈ R astfel ıncat α ≤ xn ≤ β, ∀n ∈ N;iv) nemarginit daca (xn)n∈N nu este marginit.

Observatie: Un sir (xn)n∈N este marginit daca si numai daca

∃M ∈ R, astfel ıncat |xn| ≤M, ∀n ∈ N.



Exemple:

1. Sirul xn = (−1)n, n ∈ N este marginit deoarece |xn| ≤ 1,∀n ∈ N.

2. Sirul xn = 3n, n ∈ N este nemarginit, deoarece este marginit inferior(xn ≥ 0,∀n ∈ N), dar nu este marginit superior.

3. Sirul xn = −n, n ∈ N este nemarginit, nu este marginit inferior, dar admitemargine superioara (xn ≤ 0,∀n ∈ N).

4. Sirul xn = (−1)n3n, n ∈ N este nemarginit, nefiind marginit superior si niciinferior.



Definitie

Spunem ca un sir de numere reale (xn)n∈N este:

I crescator daca xn+1 ≥ xn, ∀n ∈ N;

I descrescator daca xn+1 ≤ xn, ∀n ∈ N;

I monoton daca este crescator sau descrescator;

I strict crescator daca xn+1 > xn, ∀n ∈ N;

I strict descrescator daca xn+1 < xn, ∀n ∈ N;

I strict monoton daca este strict crescator sau strict descrescator.

Exemple:

1. Sirul xn = 1− 1

n, n ∈ N este strict crescator.

2. Sirul xn = −n, n ∈ N este sir strict descrescator.

3. Sirul xn = 1 +(−1)n

n, n ∈ N∗ nu este monoton.

4. Sirul xn = c, n ∈ N, unde c este o constanta reala, este simultan crescator sidescrescator.


Convergenta

Definitie

Spunem ca un sir (xn)n∈N este convergent daca exista un element ` ∈ R, numitlimita sirului (xn)n∈N, astfel ıncat:

∀ε > 0,∃nε ∈ N : |xn − `| < ε,∀n ≥ nε.

Terminologie: Daca (xn)n∈N este un sir convergent la ` ∈ R, atunci vom nota

xn −→n→∞

` (xn → `)

saulimn→∞

xn = `.


Convergenta

Definitie

Fie (xn)n∈N un sir de numere reale. Spunem ca:

I sirul (xn)n∈N are limita +∞ daca

∀ε > 0,∃nε ∈ N : xn > ε, ∀n ≥ nε;

I sirul (xn)n∈N are limita −∞ daca

∀ε > 0,∃nε ∈ N : xn < −ε, ∀n ≥ nε.

Definitie

Spunem ca sirul de numere reale (xn)n∈N este divergent daca nu esteconvergent, adica daca fie nu are limita, fie are limita +∞ sau −∞.


Convergenta

TeoremaDaca un sir de numere reale are limita, atunci aceasta este unica.

Propozitie

Orice sir convergent este marginit.


Convergenta

Exemple:

1. Sirul constant xn = c,∀n ∈ N, c ∈ R este convergent la c.

2. Sirul xn =1

n, n ∈ N este convergent la 0.

3. Sirul xn =2n+ 4

n+ 3, n ∈ N este convergent avand limita 2.

4. Sirul xn = 3n− 2, n ∈ N are limita +∞.

5. Sirul xn = an, n ∈ N∗ este convergent pentru a ∈ (−1, 1] si divergent pentrua ∈ R \ (−1, 1], iar

limn→∞

xn ={

0, a ∈ (−1, 1)1, a = 1

6. Sirul xn =

(1 +

1

n

)n

, n ∈ N∗ este convergent la numarul e, numit constanta

lui Euler.


Subsiruri

Definitie

Fie (xn)n∈N un sir de numere reale si (nk)k∈N un sir strict crescator de numerenaturale. Sirul (xnk

)k∈N se numeste subsir al sirului (xn)n∈N.

Teorema

Fie (xn)n∈N un sir convergent la x ∈ R. Daca (xnk)k∈N este un subsir al lui

(xn)n∈N, atunci (xnk)k∈N converge la x.

Altfel spus: Orice subsir al unui sir convergent este convergent la aceeasi limita.

Corolari. Daca un sir are un subsir divergent, atunci acel sir este divergent.

ii. Daca un sir contine doua subsiruri convergente cu limite diferite, atunci siruleste divergent.


Subsiruri

Exemple:

1. Sirul xn = (−1)n, n ∈ N∗, este divergent.

Acesta contine subsirul ((−1)2k)k∈N cu limita 1 si subsirul ((−1)2k+1)k∈N culimita −1.

2. Sirul xn = (−1)nn, n ∈ N este divergent, deoarece contine subsirul x2k culimita +∞.

3. Spunem ca sirul (xn)n∈N este periodic daca exista p ∈ N∗, astfel ıncat

xn+p = xn,∀n ∈ N.

Numarul p se numeste perioada a sirului.Orice sir periodic de perioada p ≥ 2 este divergent.


Proprietati ale sirurilor convergente

Propozitie

Fie (xn)n∈N si (yn)n∈N doua siruri de numere reale, convergente la x ∈ R,respectiv la y ∈ R. Atunci au loc urmatoarele afirmatii:

(P1) limn→∞

|xn| = |x|;

(P2) limn→∞

(xn ± yn) = x± y;

(P3) limn→∞

(xn · yn) = x · y;

(P4) daca y 6= 0, atunci exista un rang n0 ∈ N astfel ıncat yn 6= 0,∀n ≥ n0 iar

limn→∞

xnyn

=x

y;

(P5) daca xn ≤ yn,∀n ∈ N, atunci x ≤ y;



Propozitie (Criteriul clestelui)

Fie (xn)n∈N si (yn)n∈N doua siruri de numere reale, convergente la x ∈ R,respectiv la y ∈ R.

Daca exista sirul (zn)n∈N astfel ıncat xn ≤ zn ≤ yn,∀n ∈ N, iar x = y, atuncisirul (zn)n∈N este convergent si lim

n→∞zn = x.

Exercitiu:

Sa se calculeze limita sirului xn =sinn

n, n ∈ N∗.



Propozitie (Criteriul majorarii)

Fie (xn)n∈N un sir de numere reale si fie x ∈ R. Daca exista un sir (αn)n∈Nconvergent la zero astfel ıncat

|xn − x| ≤ αn,∀n ∈ N

atunci (xn) este convergent si limn→∞

xn = x.

Exercitiu:

Sa se arate ca sirul xn =n2 + 2n

n2 + n+ 1, n ∈ N∗, converge la 1.


Teorema convergentei monotone

Teorema convergentei monotone (Weierstrass)

Fie (xn)n∈N un sir de numere reale.

i) Daca sirul (xn)n∈N este crescator si marginit superior, atunci acesta convergela sup{xn}n∈N;

ii) Daca sirul (xn)n∈N este descrescator si marginit inferior, atunci acestaconverge la inf{xn}n∈N.

Putem rezuma teorema de mai sus ın felul urmator:

Orice sir monoton si marginit este convergent.

Corolar


i) Daca sirul (xn)n∈N este crescator si nemarginit, atunci limn→∞

xn = +∞.

ii) Daca sirul (xn)n∈N este descrescator si nemarginit, atunci limn→∞

xn = −∞.


Teorema convergentei monotone

Exercitiu: Sa se demonstreze convergenta urmatorului sir

xn =1

n+ 1+

1

n+ 2+ . . .+

1

2n, n ∈ N∗.

Solutie: Studiem marginirea si monotonia sirului. Observam ca

0 < xn <1

n+ 1+

1

n+ 1+ . . .+

1

n+ 1=

n

n+ 1< 1,∀n ∈ N∗.

Asadar, sirul este marginit. Studiem acum monotonia:

xn+1 − xn =1

2n+ 1+

1

2n+ 2− 1

n+ 1=

1

2(n+ 1)(2n+ 1)> 0,

adica sirul este strict crescator. Conform Teoremei lui Weierstrass, sirul (xn)n∈N∗este convergent.


Teorema Bolzano-Weierstrass

Teorema Bolzano-Weierstrass

Din orice sir marginit (xn)n∈N se poate extrage un subsir (xnk)k∈N convergent.

Pentru a demonstra acest rezultat, se utilizeaza urmatorul rezultat:

Lema

Daca (xn)n∈N este un sir de numere reale, atunci exista un subsir al sau care estemonoton.


Teorema Stolz-Cesaro

Teorema

Fie (xn)n∈N si (yn)n∈N doua siruri de numere reale astfel ıncat (yn)n∈N este strictmonoton si nemarginit. Daca exista

limn→∞

xn+1 − xnyn+1 − yn

= x ∈ R,

atunci exista limn→∞

xnyn

si este egala cu x.

Exercitiu: Sa se calculeze limita sirului limn→∞

lnn

n.


Siruri Cauchy

Definitie

Fie (xn)n∈N un sir de numere reale.Spunem ca (xn)n∈N este sir Cauchy sau sir fundamental daca

∀ε > 0,∃nε ∈ N : |xn − xm| < ε,∀n,m ∈ N, n,m ≥ nε.

Definitie

Spunem ca sirul (xn)n∈N este sir Cauchy sau sir fundamental daca pentru orice

∀ε > 0,∃nε ∈ N : |xn+p − xn| < ε,∀n, p ∈ N, n ≥ nε.

Propozitie

Fie (xn)n∈N un sir de numere reale. Daca (xn)n∈N este Cauchy, atunci el estemarginit.


Teorema lui Cauchy

Teorema

Sirul de numere reale (xn)n∈N este convergent daca si numai daca este sir Cauchy.

Demonstratie:=⇒: Fie (xn)n∈N, xn → x ∈ R. Avem: ∀ε > 0, ∃nε ∈ N : |xn − x| < ε

2, ∀n ∈ N, n ≥ nε. Prin

urmare, daca n,m ∈ N, n,m ≥ nε, avem |xn − xm| ≤ |xn − x|+ |x− xm| < ε, asadar, siruleste fundamental.⇐=: Presupunem ca (xn) este un sir Cauchy⇒ (xn) este sir marginit. Conform TeoremeiBolzano-Weierstrass, sirul marginit (xn) contine un subsir convergent (xnk )k∈N. Fie x ∈ Rlimita acestui subsir. Aratam ca (xn)n∈N converge la x.Fie ε > 0. Cum xnk → x, rezulta ca exista kε ∈ N astfel ıncat

|xnk − x| <ε

2, ∀k ∈ N, k ≥ kε.

Pe de alta parte, cum (xn) este sir Cauchy, exista nε ∈ N astfel ıncat

|xm − xn| <ε

2, ∀n,m ∈ N, n,m ≥ nε.

Fie n′ε ∈ N, cu n′ε = max{nε, nkε} si k′ε astfel ıncat nk′ε≥ n′ε. Daca n ≥ nk′ε

, rezulta

|xn − x| ≤ |xn − xnk′ε|+ |xnk′ε

− x| <ε

2+

ε

2= ε,

deoarece n ≥ nk′ε≥ nε si k′ε ≥ kε. Prin urmare, sirul (xn) este convergent cu limita x.


Siruri Cauchy

Exercitiu: Aratati ca sirul xn =sinx

2+

sin 2x

22+ ...+

sinnx

2n, n ∈ N, x ∈ R este

un sir Cauchy, deci convergent.

Solutie: Fie ε > 0 si n, p ∈ N. Atunci, avem:

|xn+p − xn| ≤1

2n+1+ . . .+

1

2n+p=(12

)n[1−

(12

)p]<

1

2n,∀p ∈ N.

Am obtinut o majorare independenta de p ∈ N, si, ın plus,1

2n→ 0. Deci, exista

nε ∈ N, astfel ıncat1

2n< ε,∀n ≥ nε. Prin urmare, |xn+p − xn| < ε, deci sirul

(xn)n∈N este convergent.


Siruri Cauchy

Exercitiu: Aratati ca sirul xn = 1+1√2+

1√3+ ...+

1√n, n ∈ N∗ nu este Cauchy.

Solutie: Vom arata ca exista ε > 0 astfel ıncat ∀n ∈ N∗,∃p ∈ N astfel ıncat|xn+p − xn| ≥ ε.

|xn+p − xn| =1√n+ 1

+1√n+ 2

+ . . .+1√n+ p

>p√n+ p

.

Luand ε = 1√2

, n ∈ N∗ arbitrar, si p = n, obtinem |xn+p − xn| ≥√n√2≥ ε. Deci

sirul (xn)n∈N nu este Cauchy.


Puncte limita ale unui sir

Definitie


I Spunem ca x ∈ R este punct limita al sirului (xn)n∈N, daca exista un subsir(xnk

)k∈N astfel ıncat xnk→ x.

I Vom nota multimea tuturor punctelor limita cu L(xn).

Observatie: Pentru orice sir (xn)n∈N de numere reale, avem L(xn) 6= ∅.

Definitie


I Se numeste limita inferioara a lui (xn)n∈N marginea inferioara a multimiiL(xn).

lim infn→∞

xn = limn→∞

xn = inf L(xn);

I Se numeste limita superioara a sirului (xn)n∈N marginea superioara amultimii L(xn);

lim supn→∞

xn = limn→∞

xn = supL(xn).


Puncte limita ale unui sir

Observatii:Fie (xn)n∈N un sir de numere reale.

1) Avem:lim infn→∞

xn ≤ lim supn→∞

xn.

2) Daca (xn)n∈N este un sir convergent la un element x ∈ R, atunciL(xn) = {x} si are loc:

lim infn→∞

xn = lim supn→∞

xn = x.

3) Pentru orice sir (xn)n∈N, se poate arata ca exista un subsir monotondescrescator al acestuia, care sa convearga la lim

n→∞xn si, respectiv, un subsir

monoton crescator care sa convearga la limn→∞

xn.


Structura cursului





Inegalitatea mediilor

Fie n ∈ N∗ si x1, x2, . . . , xn ∈ R∗+. Introducem urmatoarele notatii:

ma :=x1 + x2 + . . .+ xn

n- media aritmetica a numerelor x1, . . . , xn;

mg := n√x1 · . . . · xn - media geometrica a numerelor x1, . . . , xn;

mh :=n

1x1

+ 1x2

+ . . .+ 1xn

- media armonica a numerelor x1, . . . , xn.

Atunci, are loc inegalitatea mediilor

x1 + x2 + . . .+ xnn

≥ n√x1 · . . . · xn ≥

n1x1

+ 1x2

+ . . .+ 1xn

.

Fiecare dintre aceste relatii devine egalitate daca si numai dacax1 = x2 = . . . = xn.


Inegalitatea lui Holder

Fie n ∈ N∗, a1, ..., an, b1, ..., bn ∈ R+ si fie p, q ∈ R∗+, astfel ıncat1

p+

1

q= 1.

Atunci, are loc:n∑

i=1

aibi ≤( n∑i=1

api

) 1p ·( n∑i=1

bqi

) 1q

. (1)

Este usor de aratat ca are loc si urmatoarea inegalitate numita inegalitatea luiHolder cu ponderi

n∑i=1

λiaibi ≤( n∑i=1

λiapi

) 1p ·( n∑i=1

λibqi

) 1q

,

unde λ1, ..., λn, a1, ..., an, b1, ..., bn ∈ R+ si p, q ∈ R∗+ astfel ıncat1

p+

1

q= 1.


Inegalitatea Cauchy-Buniakowski-Schwarz

Daca p = q = 2, atunci din (1) obtinem inegalitatea Cauchy-Buniakowski-Schwarz

n∑i=1

aibi ≤( n∑i=1

a2i

) 12 ·( n∑i=1

b2i

) 12

.

Egalitatea are loc daca si numai daca exista u, v ∈ R, cu u2 + v2 6= 0, astfel ıncatuai + vbi = 0, pentru orice i ∈ {1, 2, ..., n}.


Inegalitatea lui Minkowski

Fie n ∈ N∗, a1, ..., an, b1, ..., bn ∈ R∗+ si fie p ∈ R∗+.i) Daca p ≥ 1, atunci

( n∑i=1

(ai + bi)p) 1

p ≤( n∑i=1

api

) 1p

+( n∑i=1

bpi

) 1p

.

ii) Daca 0 < p < 1, atunci

( n∑i=1

(ai + bi)p) 1

p ≥( n∑i=1

api

) 1p

+( n∑i=1

bpi

) 1p

.

In ambele cazuri, daca p 6= 1, egalitatea are loc daca si numai daca n-uplele(a1, ..., an) si (b1, ..., bn) sunt proportionale.


Inegalitatea lui Carleman

Pentru orice n ∈ N∗ si a1, a2, ..., an ∈ R+ are loc inegalitatea

n∑i=1

(a1a2 · ... · ai)1i ≤ e

n∑i=1

ai.

Egalitatea are loc doar cand a1 = a2 = ... = an = 0.


Bibliografie

A. Precupanu, Bazele analizei Matematice, Editura Universitatii “Al. I.Cuza”, Iasi, 1993.

F.L. Tiplea, Introducere ın teoria multimilor, Editura Universitatii “Al. I.Cuza”, Iasi, 1998.

M. Postolache, Analiza matematica (teorie si aplicatii), Editura Fair Partners,Bucuresti, 2011.

G. Bergman, An Invitation to General Algebra and Universal Constructions,Henry Helson, 15 the Crescent, Berkeley CA, 94708 1998, 398, pp. 45.(http://math.berkeley.edu/~gbergman/245/)

G. O’Regan, Mathematics in Computing, Springer Verlag, London, 2013.


http://math.berkeley.edu/~gbergman/245/

CURS 2 - Siruri de numere reale. Inegalitati remarcabileandreea.arusoaie/Cursuri/SCurs2.pdf · 3...

Documents

Transcript of CURS 2 - Siruri de numere reale. Inegalitati remarcabileandreea.arusoaie/Cursuri/SCurs2.pdf · 3...