definitii siruri

5/25/2018 definitii siruri

1/54

CAPITOLUL 4

COMPLEMENTE DE TEORIA !IRURILOR !I SERIILOR

NUMERICE

4.1. No!iuni introductive

DEFINI!IA 4.".". : Se nume#te #ir de numere reale o func$ie

( )nanfRNf = ,:

*.Not%m ( ) *Nnna .

DEFINI!IA 4.".2. : Fie n1


2/54

DEFINI!IA 4.".7. : &irul ( ) *Nnna este convergent c%tre a

( finit ) dac%pentru orice 0> , exist%un num%r natural ( un rang )N() ,astfel nct oricare ar fi ( ) .

OBSERVA!IA 3 : Defini$iile 4.".8. #i 4.".9. sunt echivalente.

DEFINI!IA 4."."0. : &irul ( ) *Nnna are limita dac%oricare

ar fi o vecin%tate )(

V , aceasta las%n afara ei cel mult un num%r finit determeni ai #irului.

DEFINI!IA 4."."". : &irul ( ) *Nnna are limita dac%oricare

ar fi a , exist%un pragN(a), astfel nct oricare ar fi )(aNn rezult%

c% aan < .

OBSERVA!IA 4 : Defini$iile 4."."0. #i 4."."". sunt echivalente.

Un #ir este convergent dac%are limita finit%#i este divergent dac%are limita + sau sau nu are limit%.

EXEMPLE :

". &irul constant aan = . Se demonstreaz%c% aan

n

, adic%

aann =lim .


3/54

2. &iruln

an"

= . Se demonstreaz%c% 0

n

na .

ntr-adev%r, oricare ar fi 0> , exist%un prag )(N astfel nct

oricare ar fi )(Nn rezult%c% , exist% un prag )(N astfel nct oricare ar fi

)(Nm #i oricare ar fi )(Nn vom avea , exist%un prag )(N astfel nct oricare

ar fi )(Nn #i oricare ar fi *Np , avem . Rezult% astfel c% este verificat%defini$ia 4.2.".


4/54

OBSERVA!IA 2 : &irul ( ) *Nnna este fundamental dac% #i

numai dac% oricare ar fi 0> , exist% un rang )(NN = astfel nct

oricare ar fi )(Nn rezult%c% , exist% un rang )(NN =

astfel nct pentru


5/54

PROPOZI!IA 4.2.2. : Dac%#irul fundamental ( ) *Nnna con$ine

un sub#ir *Nknka convergent c%tre a , atunci #irul ( ) *Nnna este

convergent c%trea.

DEMONSTRA!IE :Sub#irul *Nknka converge c%tre a.

)()(0)( " N> astfel nct :2

)()( "


6/54

a1 a2 b2=b1 | | | |

a=a0 c12

000

bac

+= b=b0

Lungimea intervalului [ a , b ]este b-a. Calcul%m2

000

bac

+= #i

ob$inem dou%intervale [ a0, c0]#i [c0, b0].Not%m cu [ a1, b1]un interval ce con$ine o infinitate de termeni ai

#irului. Dac% ambele intervale ob$inute mai sus con$in o infinitate determeni, vom considera drept [ a1, b1]intervalul din stnga.

Lungimea intervalului [ a1, b1]este

2

ab . Alegem [ ]""," baan

Not%m cu2

"""

bac

+= . Not%m cu [ a2 , b2 ] intervalul care con$ine o

infinitate de termeni ai #irului. Dac%ambele intervale con$in o infinitate determeni , aleg drept [ a2, b2]pe cel din stnga.

Lungimea intervalului [ a2, b2]este 22

ab .

Alegem [ ]22 ,2 baan

, n2> n1.Repetnd procedeul de mai sus, dup% k pa#i vom avea intervalul

[ ak , bk ] cu lungimea kab

2

#i care con$ine o infinitate de termeni ai

#irului.Alegem [ ]kkn baa k , , nk> nk-1.

mp%r$im intervalul [ ak , bk ] n dou% intervale egale #i alegemdrept interval [ ak+1, bk+1] intervalul care con$ine o infinitate de termeniai #irului. Dac% ambele intervale con$in o infinitate de termeni, alegemdrept [ ak+1, bk+1]pe cel din stnga.

Alegem [ ]""," +++ kkn baa k , nk+1> nk.

Am demonstrat astfel prin induc$ie dup%k , faptul c%putem alege

un sub#ir *Nknka astfel nct [ ]kkn baa k , , interval de lungime kab

2

.

bbbbaaaaa kk == 0"2"0

pentru oricare *Nk .Rezult%c%exist%#i este unic num%rul real [ ] *)(,, Nkba kk .


7/54

Dar [ ]kkn baa k , pentru oricare*

Nk , #i decikn

aba

k 2

= .

Notndkk

abb

2

= avem 0>kb #i 0lim =

k

kb .

Conform criteriului de convergen$% enun$at anterior rezult% c%

k

nka .

TEOREMA DE CONVERGEN#$ A LUI CAUCHY

Un #ir de numere reale ( ) *Nnna este convergent dac% #i numaidac%este #ir fundamental.

DEMONSTRA!IE :

(i)Presupunem c% ( ) *Nnna este convergent . Aceasta nseamn%c%oricarear fi 0> , exist% )(N astfel nct oricare ar fi

2)(


8/54

EXEMPLU : Fie #irul2

)"(" nna

+=

a1= 0 , a3= 0 , , a2k-1= 0 ,

a2= 1 , a4 = 1 , , a2k= 1 ,

Putem spune c% 0 #i 1 sunt puncte limit%ale lui anpentru c%oricare ar fi vecin%t%$ile V(0)#i V(1), n ele exist%o infinitate de termeni ai#irului.

OBSERVA!IE :

") Dac%#irul ( ) *Nnna este convergent c%tre a , atunci a estesingurul punct limit%.2) Un punct limit%al unui #ir poate fi un num%r finit sau .

EXEMPLU : fie #irul 1, 1, 2, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 4, Puncte limit%sunt : 1, 2, 3, Deci exist%#iruri cu o infinitate de puncte limit%.

PROPOZI!IA 4.3.". : Fie #irul ( ) *Nn

na . Punctula este punct

limit%pentru acest #ir dac%#i numai dac%exist%un sub#ir aak

nk .

DEMONSTRA!IE :

(i)Presupunem c% ( ) *Nnna con$ine un sub#ir kna astfel nctaa

knk

, deci a este punct limit%al #irului an.

Oricare ar fi vecin%tatea V(a), n afara ei exist%cel mult un num%rfinit de termeni ai sub#irului

kna . Deci oricare ar fi vecin%tatea V(a) , n

interiorul ei exist%o infinitate de termeni ai #irului an. Rezult%astfel c%aeste punct limit%al #irului an.

(ii) Fie a un punct limit% al #irului an . Trebuie s% ar%t%m c%exist%un sub#ir

kna astfel nct aa

knk

.

Vom studia trei situa$ii : ") a este finit , 2) a este + , 3)a este .


9/54

") Fie V1(a) = (a-1 , a+1) . Deoarece a este punct limit% al#irului an, n aceast%vecin%tate exist%o infinitate de termeni ai #irului an.Alegem un termen al #irului anastfel nct )("" aVan .

Fie

+=

2

",

2

")(2 aaaV . &i n aceast% vecin%tate exist% o

infinitate de termeni ai #irului an. Alegem "22 ),(2 nnaVan > .

.

Fie

+=

ka

kaaVk

",

")( . Alegem "),( > kkkn nnaVa k .

Demonstr%m prin induc$ie c%aceast%rela$ie este adev%rat%.

Oricare ar fi

+=

k

a

k

aaVk"

,"

)( , oricare ar fi*

Nk , alegem

"),( > kkkn nnaVa k . Deci + kkkn nnVa k , etc.

=>> kkkk

nkk

nk

nn akakaka limlimlim),( .

3) a = Fie V1( ) = ( , 1 ).Fie V2( ) = ( , 2 ).Fie Vk( ) = ( , k ), etc.

n continuare se procedeaz%la fel ca la punctul 2) .


10/54

DEFINI!IA ".3.2. : Fie ( ) *Nnna un #ir de numere reale. Senume#te limit%inferioar%a #iruluian, cel mai mic punct limit%al lui an. Senoteaz%:

nn

nn

aa

= liminflim .

DEFINITIA ".3.3. : Fie ( ) *Nnna un #ir de numere reale. Senume#te limit%superioar%a #iruluian, cel mai mare punct limit%al luian.Se noteaz%:

nn

nn

aa

= mlisuplim .

EXEMPLU : Fie #irul ( ) *Nnna ,"

2)"(

+=

n

na nn

2lim2""2)"2(2"2 =

+=

n

nkk a

kka

2mli2"2

)2(22 +=+

+=

n

nkk a

k

ka

4.4. Serii de numere reale

Fie #irul de numere reale ( ) *Nnna , a1, a2, , an, an+1, Not%m :

S1= a1S2= a1+ a2.Sn= a1+ a2+ + an.

( ) *NnnS se nume#te &irul sumelor par!iale. Dac% ( ) *NnnS este

convergent c%tre limita S ( deci S este finit! ) , atunci SSnn

=

lim ,

=

="i

iaS . (")

DEFINI!IA 4.4.". : Membrul drept al rela$iei (") se nume#teserie.

DEFINI!IA 4.4.2. : a1, a2, , an se numesc termenii seriei.


11/54

DEFINI!IA 4.4.3. : Sn = a1 + a2 + + an se nume#te sumapar$ial%de ordinul n.

DEFINI!IA 4.4.4. : Dac%exist%,S este suma seriei .

OBSERVA!IE : Dac% se cunosc termenii seriei, putem ob$inesumele par$iale #i reciproc.

Fie #irul sumelor par$iale ( ) *NnnS .

Sn= a1+ a2+ + anSn-1= a1+ a2+ + an-1 "= nnn SSa , a1= S1, 2n .

DEFINI!IA 4.4.5. : Seria

="nn

a este convergent% dac% #irul

sumelor par$iale Sn este convergent.

DEFINI!IA 4.4.6. : Dac%#irul sumelor par$iale are limita +

sau sau nu are limit%, atunci seria

="nn

a este divergent%.

A cerceta natura unei serii nseamn% a determina dac% seria esteconvergent%sau divergent%.

EXEMPLE :

A.Folosind defini$ia convergen$ei unei serii, s% se stabileasc%natura seriei cu termenul general :

",34

"

2

++

= nnn

un

( )( )"3342 ++=++ nnnn

",3

"

"

"

2

"

34

"2

+

+=

++= n

nnnnun

=

+

++

+++++=+++=

3

"

"

"

2

""

6

"

4

"

5

"

3

"

4

"

2

"

2

"2"

nnnnuuuS nn

( ) ( )32

"

22

"

"2

5

3

"

2

"

3

"

2

"

2

"

++=

+++= nnnn


12/54

( ) ( ) "25

32

"

22

"

"2

5limlim =

+

+=

nnS

nn

n

B. S%se cerceteze natura seriilor urm%toare :

")

= +" )"("

n nn

"

""

)"(

"

+=

+=

nnnnan

+=

++

+++=++++=

"

""

"

"""

"

"

3

"

2

"

2

"""2"

nnnnnaaaaS nnn

=

"lim nn

S

= +" )"(

"

n nn

este convergent%#i are suma S = 1.

2) Seria geometric%:

Fie r>0. +++++=

=

n

n

n rrrr 2

0

"

r

rrrrS

nn

n

=++++=

+

"

""

"2

( )",0r :rr

rn

n =

+

""

""lim

"

( ) ,"r : +=

+

r

rn

n "

"lim

"

r = 1 : Sn= n+1 , +=

nn

Slim

Deci seria geometric% este convergent% pentru ( )",0r #i

divergent%pentru [ )

,"r .

3) Seria oscilant%:

( )

=

++=0

..."""""n

n

S0= 1 S1= 0 S2= 1 S3= 0

S2k= 1 S2k+1= 0 .


13/54

Observ%m c%Snnu are limit%, deci ( )

=

0

"n

n este divergent%.

PROPRIET'!I ALE SERIILOR :Aceste propriet%$i rezult%din propriet%$ile #irurilor.

P") Dac% ntr-o serie se schimb% ordinea unui num%r finit determeni, se ob$ine o serie de aceea#i natur%ca #i prima.

P2) Dac% ntr-o serie ad%ug%m sau sc%dem un num%r finit determeni, ob$inem o serie de aceea#i natur%ca #i prima.

P3) Resturile unei serii convergente formeaz% un #ir convergentc%tre zero.

DEMONSTRA!IE :

Fie44 344 21

44 344 21

nn R

nn

S

n

n

n aaaaaa ++++++= ++

=

2"2""

+=

="nk

kn aR , unde cuRnam notat restul de ordinul nal seriei.

( ) 0limlimlim"

=====+==

=

SSSSSSRSSRRSaS nn

nn

nn

nnnn

n

n

P4) Dac% seria na este convergent%, atunci #irul sumelorpar$iale este m%rginit.

P5) Dac%seria na este convergent%, atunci 0lim =

nn

a .

DEMONSTRA!IE :

Din ipotez% #tim c% na este convergent%, deci SSnn

=

lim ,

unde Seste finit.( ) 0limlimlimlim

""" =====

+

SSSSSSaSSannnnnnnnnnnn

OBSERVA!IA " :


14/54

Reciproca acestei afirma$ii nu este adev%rat%. Adic%, dac%

0lim =

nn

a , nu rezult% c% na este convergent%. Pentru a demonstra

aceast%afirma$ie, vom da un exemplu:

Seria armonic%:

="

"

n n , 0

"lim

"==

nna

nn

.

++

++

+++

++++

++

+=

nnnnS

2

"

22

"

"2

"

8

"

7

"

6

"

5

"

4

"

3

"

2

""

""2

2

"

2

"" >+

2

"

4

"

4

"

4

"

3

"=+>+

2

"

8

4

8

"

7

"

6

"

5

"=>+++

2

"

2

"

"2

"

" >++

+ nn

Deci =>

nn Sn

Sn 22lim

2

Din #irul Sn am extras #irul nS2 care este divergent. De aici

rezult%faptul c%Sneste divergent, deci = n

Sn

n

"lim este divergent%.

OBSERVA!IA 2 :Dac%

nnn

aa 0lim este divergent% . Aceast% observa$ie

reprezint%un criteriu de divergen$%a seriilor.

P6) Fie na o serie convergent%cu sumaA . Fie nb o serie

convergent%cu suma B . Atunci, ( ) ++ BAbaconv

nn , oricare ar fi

R, .


15/54

OBSERVA!IE : Mul$imea seriilor convergente formeaz%un spa$iuvectorial.

EXEMPLU :

S%se arate c% seria cu termenul general ","5

53

= nu n

nn

n esteconvergent%#i s%i se calculeze suma .

nn

n

n

n

n

nu

==

3

"

5

"

"5

5

"5

3

Fie seriile cu termenii generalin

nv

=

5

"#i ",

3

"

= nt

n

n

Seria

="nnv este convergent% #i are suma 4" , iar seria

="nnt este

convergent% #i are suma2

". Din propriet%$ile seriilor convergente rezult%

c%, dac%dou%serii, respectiv

="nnv

#i

="nnt

sunt convergente #i au sumele

V#i T, atunci seria diferen$% )("

=

n

nn tv este o serie convergent%#i are

suma V-T.

Deci

=

==

" 4

"

2

"

4

"

"5

53

nn

nn

CRITERIUL GENERAL DE CONVERGEN#$ AL LUICAUCHY (CGCC)

Seria na este convergent% dac% #i numai dac% , oricare ar fi0> , exist% )(N astfel nct , oricare ar fi )(Nn #i oricare ar fi

*Np avem :


16/54

#ir fundamental. Rezult% astfel c% oricare ar fi 0> , exist% )(N astfel

nct , oricare ar fi )(Nn #i oricare ar fi *Np avem : 0, n =1, 2, .

CRITERII DE COMPARA#IE PENTRU SERII CU TERMENIPOZITIVI

n acest paragraf vom prezenta cteva criterii de convergen$%a uneiserii cu termeni pozitivi.

Se compar%seria a c%rei natur%este necunoscut%cu o serie a c%rei

natur% o cunoa#tem #i astfel putem ob$ine informa$ii despre natura serieiconsiderate. De aici denumirea de criterii de compara$ie.

I. Primul criteriu de compara!ie:Fie na #i nb dou% serii cu termeni pozitivi. Dac% exist%N

astfel nct oricare ar finn

baNn atunci :

". dac% nb este convergent%, atunci #i seria na esteconvergent%.


17/54

2. dac% na este divergent%, atunci c% #i seria nb estedivergent%.

DEMONSTRA!IE :

". Din ipotez%#tim c% nb este convergent%#i, conform criteriuluigeneral de convergen$% al lui Cauchy, oricare ar fi 0> , exist% )(Nastfel nct , oricare ar fi )(Nn #i oricare ar fi *Np rezult% c%

, avem :


18/54

Decin

n

b

ac , oricare ar fi n nn cba .

Din ipotez%#tim c% nb este convergent%#i conform propriet%$ii

P6rezult%c%#i ncb este convergent%.Din aceste ultime dou%afirma$ii rezult%, conform primului criteriu

c%seria na este convergent%.

2. Presupunem contrariul, adic% nb este convergent%#i naeste divergent%, lucru care este in contradic$ie cu primul criteriu. Rezult%

astfel c%seria nb este divergent%.

III. Al treilea criteriu de compara!ie:( f%r%demonstra$ie )Fie na #i nb dou%serii cu termeni pozitivi. Dac% c

b

a

n

n

n=

lim

( c fiind finit #i diferit de zero ), atunci seriile na #i nb auaceea#i natur%.

SERII UTILIZATE N CRITERII DE COMPARA#IE

". Seria armonic%:

="

"

n n . Aceasta este o serie divergent%.

2. Seria geometric%:

=0n

nr , r>0,

nn""

",0 conform criteriului I , seria armonic%generalizat%este divergent%.


19/54

b) =

="

""

n n este seria armonic%#i este divergent%.

c) =

+++++++=>

" 7

"

6

"

5

"

4

"

3

"

2

""

""

n n

"2

"

2

2

2

"

2

"

3

"

2

"

==+

"

"

pentrudivergenta

pentruaconvergent

EXEMPLU : S%se studieze natura seriilor :

".

= +" "2

"

n n

Vom nota cu"2

"

+=

nan . Fie seria

="

"

n nunde vom nota

nbn

"= .

= 2

"lim

n

n

n b

a conform criteriului III , seria

= +" "2

"

n neste divergent%.

2. 752"

3 ++= nnan ; 33

"

752

"

nnn


20/54

Not%m3

"

nbn = . Observ%m c% seria 3

"

n este o serie armonic%

generalizat%convergent%, ntruct 3= .Conform criterului I , seria na este convergent%.

3. ( )4

34 34 34

"3 """

nnnn

nnan =>

==

Not%m4

3

"

n

bn = . Observ%m c% nb este o serie armonic%

generalizat%divergent%, ntruct4

3= .

Conform criteriului I , seria na este divergent%.

CRITERII SUFICIENTE DE CONVERGEN#$ A SERIILOR CUTERMENI POZITIVI

I. Criteriul r"d"cinii ( Cauchy ) :Fie na o serie cu termeni pozitivi.

". Dac% pentru oricare Nn , exist% 0 < k < " astfel nctkan n , atunci seria na este convergent%.

2. Dac%pentru o infinitate de termeni "n na , atunci na estedivergent%.

DEMONSTRA!IE :

". Oricare ar fi n , exist%0 < k < 1astfel nct kan n .

n

n

n

n kaka , iar nk este o serie geometric%cu ra$ia r = k


21/54

COROLAR :

Dac% ka

a

n

n

n=+

"lim , atunci:

") pentru k < ", seria na este convergent%2) pentru k > ", seria na este divergent%3) pentru k = "este neconcludent.EXEMPLU :

Fie seria

=

+

" "03

52

n

n

n

n ,n

nn

na

+=

"03

52

Aplicnd criteriul r%d%cinii, rezult% c% "3

2

"03

52


22/54

nn kaa +"

NN kaa +"

NNN akkaa2

"2 ++

N

p

pN aka +

=

=

="" p

p

N

p

p

N kaka

Seria pe care o ob$inem este o serie geometric% de ra$ie r :

=

=

=" "p p

p

N

p

N kaka . Aceast% serie este convergent%. Rezult% astfel,

conform criterului I de compara$ie c%seria na este convergent%.

2. "" >+ ka

a

n

n

NN aa +" nn aa +" , oricare ar fi n .

Rezult% c% #irul an este un #ir cresc%tor de numere pozitive

0lim

nn

a . Deci na este divergent%.

COROLAR :

Fie ka

a

n

n

n=+

"lim . Atunci :

") pentru k < ", seria na este convergent%.2) pentru k > ", seria na este divergent%.3) pentru k = "este neconcludent.

DEMONSTRA!IE :

") ka

a

n

n

n =

+

"

lim < 1


23/54

Exist% 0> astfel nct "= )"(," nan ( ) ""limlim " =+= +

n

n

a

a

nn

n

n

, iar seria

este convergnt%.

EXEMPLE :

") =++++++

=+++

=

+

+

0

""

2

)!3()!"(

)!4()!2(

2

)!3()!"(

2

nn

n

n

n

n nn

nna

a

nn

0))4)(3(")(2(

)65"(2

))4)(3("()!2(

))3)(2(")()!"((2 2

++++

+++=

++++

++++=

nnn

nn

nnn

nnn


24/54

Deci 0lim " =+

n

n

n a

a #i conform criteriului raportului, seria este

convergent%.

2) en nnnn naan nn

n

n

n

n

n

n

nn

n

+=

++= +

+

+

= "!)"( )!"(! "

"

"

"

Dac% ee

>>

" , seria este divergent%.

Dac% ee

+

=+

=

+=== +

n

n

nn

nn

na

a

n

e

n

nen

neae

e

,

deci ( )na este #ir strict cresc%tor, iar seria este divergent%.Rezult%c%seria dat%este divergent%.

3)

=>" 0,!n

n

an

a

"0"

"lim

)!"(

!limlim

""

"

0,!n

n

an

an

e

a

n

na

n

an

n

an

u

un

n

n

n

n

n

nn

n

n=

+=

++

=

+

+

+

"lim

!

)"()!"(

limlim"

"

"

Dac% eae

a


25/54

Dac%n

nn

enuea

e

a

=== !" . Atunci "

"" >

+=+

n

n

n

n

n

e

u

u ,

oricare ar fi n, deci seria este divergent%.

III. Criteriul Raabe Duhamel :Fie na o serie cu termeni pozitivi.

". Dac% oricare ar fi n , >

+

""

"

k

a

an

n

n seria este

convergent%.

2. Dac% oricare ar fi n , ", seria na este convergent%2) pentru k < ", seria na este divergent%3) pentru k = "este neconcludent.EXEMPLU :

Fie seria :

=

>+"

)0()"()"(

!

n n

n

( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( ) "

""

""

"!"""

""!"

" +

=

+

+=

++++

++=

+nn

n

nnn

nnn

a

a

n

n

( ) """lim"lim "=

+

=

+

nn

aan

nn

n

n


26/54

") pentru " > 1 > 2, seria este convergent%2) pentru " < 1 < 2, seria este divergent%3) pentru " = 1 = 2, criteriul este neconcludent.

( )

=

= +=+" " "

"

"32

!

n n nn

n

, aceasta fiind serie armonic%, este

divergent%.

4.6. Serii alternate

DEFINI!IA ".6.". : Seria

="nna se nume#te alternat% dac%

produsul a doi termeni consecutivi este negativ , adic% *" )(,0 Nnaa nn ++++ nnn aaaaaaa

( )0,2"2432" >+++ nnn aaaaaaa

n general putem scrie seria astfel : ( ) ( )

=

+ >"

" 0,"n

nnn aa .

CRITERIUL LUI LEIBNITZ

Fie ( )

=

+

"

""n

n

na o serie altrenat%. Dac%sunt ndeplinite condi$iile :

". "+> nn aa ( adic%#irul termenilor f%r%semn este descresc%tor )2. 0lim =

n

na

atunci seria ( )

=

+

"

""n

n

na este o serie convergent%.

DEMONSTRA!IE :

Presupunem c%avem ++++ nn aaaaaa 2"2432"


27/54

++++= nnn aaaaaaS 2"2432"2

22"2222 +++ += nnnn aaSS

Deoarecennnnn SSSaa 222222"2 >> +++ este un sub#ir strict cresc%tor.

Ar%t%m n continuare c%S2neste un sub#ir m%rginit superior.

( ) ( ) ( ){ "2

0

2

0

"222

0

54

0

32"2 aSaaaaaaaaS nnnnn >

>>

44 344 21

434 21434 21, deci

S2neste m%rginit superior.

Fie ==

=

=

=

=

=

SSaSS

aSS

SS

nn

nn

S

nn

S

nn

nnn

nn limlimlimlimlim

0

2"22

2"22

2

321434 21321

seria este convergent%.

EXEMPLU : S%se studieze convergen$a seriei

=

>"

",log

)"(n

an an

n .

Fie func$ia ( ) [ )= ,",log

xx

xxf a

( )222

logloglogln"logln'xe

x

xa

xax

xxf aa

aa =

=

=

&tim c%a>1 , deci func$ia xalog este cresc%toare. Din rela$ia de

mai sus, rezult% c% ( ) 0' . Deci ( )xf este

descresc%toare pe intervalul ( ),e #in

nalog este descresc%toare pentru

orice Nnen > , . De asemenea, 0log

lim = n

na

n . Conform criteriului luiLeibnitz, seria este convergent%.

4.7. Serii absolut convergente

Fie na o serie numeric%.

DEFINI!IA 4.7.". : Seria na este abslut convergent% dac%seria valorilor absolute na este convergent%.


28/54

TEOREMA 4.7.". : Orice serie absolut convergent% esteconvergent%.

DEMONSTRA!IE :

Din ipotez%#tim c%seria na este absolut convergent%. Conformcriteriului general de convergen$% al lui Cauchy, oricare ar fi 0> ,exist% )(N astfel nct , oricare ar fi )(Nn #i oricare ar fi *Np

rezult%c%


29/54

DEMONSTRA!IE :

Dac% nb este o serie absolut convergent%, din criteriul general deconvergen$%al lui Cauchy rezult%c%oricare ar fi 0> , exist% )(N astfel

nct, oricare ar fi )(Nn #i oricare ar fi *Np , exist% rela$ia

:


30/54

=++++++++++++ pnpnpnpnnnnn aaaa ""22""

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ++++=

=++++=

+++++++++

+++++++++++

pnpnpnpnpnnnnnn

pnpnpnpnpnpnnnnnnn

SSSS

SSSSSSSS

"""2""

"2"""22""

( ) ( )

( )

==

=+++++

++++

+

++++++++

+++++++++

MM

M

SSSS

n

pnpnpnnnnnn

pnpnpnpnpnnnnnn

2

22 "

"322""

""2"""

Rezult%c%seria nna este convergent%.

4.8."iruri de func!ii

Fie *,: NnBAfn , func$ii reale definite pe mul$imea

A .

DEFINI!IA 4.8.". : &irul f1 , f2 , , fn , se nume#te #ir de

func$ii #i se noteaz%cu ( ) *Nnnf ( ") .

OBSERVA!IE : Oricare ar fi Aa , ob$inem #irul de numeref1(a), f2(a), ,fn(a)pe care-l not%m : ( )( ) *Nnn af ( 2 ) .

DEFINI!IA 4.8.2. : Punctul Ax se nume#te punct de

convergen$% al #irului de func$ii ( " ) , dac% #irul ( )( ) *Nnn xf esteconvergent.

Fie ( )( ){ }convergentestexfAxBABNnn *

|,

= ( 3 )

DEFINI!IA 4.8.3. : Mul$imea B se nume#te mul$imea deconvergen$%a #irului de func$ii ( ") .

Fie x . Not%m ( ) ( ) )4(lim xfxf nn

= .


31/54

DEFINI!IA ".8.4. : Func$ia RBf : care verific%relatia demai sus se nume#te func$ia limit%a #irului de func$ii ( ") .

EXEMPLU :

Fie func$ia RRfn

: , ( ) nn

xxf = . Evident,B = ( -1 , 1 ].

( ) ( )

RBfx

xxf

=

= :

","

",",0este func$ia limit%.

Fie *,: NnBAfn un #ir de func$ii. Fie mul$imea A .

DEFINI!IA 4.8.5. : &irul de func$ii ( ) *Nnnf converge simplu

c%tre func$ia f pe mul$imea B, dac% oricare ar fi 0> #i oricare ar fi , rezult% c% exist% ( )xN , astfel nct oricare ar fi ( )xNn , ,

( ) ( )


32/54

OBSERVA!IE : Dac% ffcu

Bn , atunci ff

cs

B

n . Reciproca nu

este adev%rat%.

EXEMPLUL ":( ] ( ) nnn xxfRf = ,",": ( )

( )

=

=

","

",",0

x

xxf

ffnn

=

lim . Observ%m c%( ]

ffcs

n ","

, dar nu este uniform

convergent.

EXEMPLUL 2 :

[ ] ( ) [ ] 2,0)(,sin

,2,0: * == BNnn

nxxfRf nn

( ) Bxxf = )(,0 . Fie #irul :

( )


33/54

DEMONSTRA!IE :

1) Necesitatea :Presupunem c% ff

cu

B

n ),()(,0)( N> astfel nct,

BxNn )(),()( ,2

)()(


34/54

Dac% exist% RBf : astfel nct nn axfxf )()( , oricare

ar fi *Nn ffcu

Bn .

DEMONSTRA!IE :Fie 0> . Deoarece )()(0lim Nan

n=

astfel nct

na , deci , exist%o vecin%tate V(a)astfel nct oricare ar fi

( ) ( )


35/54

Din ipotez% #tim c% ffcu

Bn ),()(,0)( N> astfel nct,

BxNn )(),()( ,3

)()(


36/54

( ) Ixxf = ,0 .

( ) ( )nn

nxxfxfn

"cos= . Conform criteriului II de convergen$%

uniform%, rezult%c% ffcu

In .

( ) nxxfn sin'

= . Fie Ix =2

.

0sin2

2

"2

sin2

"

'2

'"

==

=

==

=

fn

fn

02

4sin

24

"2

3sin

33

'4

'3

==

=

==

=

fn

fn

Ob$inem #irul -1, 0, 1, 0 , -1, , deci nu este un #ir convergent.

TEOREMA 4.8.3. : Fie [ ] *,, NnRbafn un #ir de func$ii,

[ ]ff

cu

ban

, . Dac%fn sunt integrabile pe intervalul [a, b],atunci :

") func$ia limit% f este integrabil%pe intervalul [a, b]2) ( )ba n dxxf este convergent%3) ( ) ( ) =

b

a

b

an

ndxxfdxxflim

OBSERVA!IE : Teorema 4.8.2. se mai nume#te #i teorema dederivare termen cu termen a unui #ir de func$ii , iar teorema 4.8.3. se mai

nume#te #i teorema de integrare termen cu termen a unui #ir de func$ii .

4.9. Serii de func!iiFie RAfn : , ( )

*Nn , un #ir de func$ii.

DEFINI!IA 4.9.". : Suma (")

=

=++++"

2"n

nn ffff

se nume#te serie de func$ii.

OBSERVA!II :


37/54

") Oricare ar fi Aa , seriei

="nnf i corespunde o serie de

numere ( ) ( ) ( ) ( ) ++++=

=

afafafaf nn

n 2""

(2) .

Dac% seria numeric% (2) este convergent%, atunci spunem c%punctul a este un punct de convergen$%a seriei de func$ii (") .

") O serie de func$ii este echivalent% cu o familie de serii denumere ( fiec%rui Aa i corespunde o serie de numere ) .

2) Unei serii de func$ii i putem aplica rezultatele de la serii denumere #i de la #iruri de func$ii. Astfel, not%m :

S1= f1S2= f1+ f2Sn= f1+ f2+ + fn (3)

unde Snreprezint%suma par$ial%de ordinul n a seriei de func$ii(") ( ) *NnnS

DEFINI!IA 4.9.2. : Seria de func$ii (") , nf , este convergent%pe A dac%#irul de func$ii ( Sn) este convergent pe multimeaB.

DEFINI!IA 4.9.3. : Seria de func$ii nf este absolut

convergent%n punctul Aa dac% ( ) afn este absolut convergent%.

DEFINI!IA 4.9.4. : Mul$imea de convergen$% A a uneiserii de func$ii este ( ){ }= aconvergentesteafAaB n| .

EXEMPLE :

(")

=

0n

nxe , ( ) nxn exf

= , RRfn :

x < 0: ( ) +==

nx

nn

n

exf limlim , nf este divergent%.


38/54

x = 0 : ( ) "0 =nf , ( ) "0 += nSn , ( ) +=

0lim nn

S , nf este

divergent%.

x > 0 : ( )n

xnxn eexf

==

"" ,

n

xe

" este serie geometric% cu ra$ia

""

, oricare ar fi Bx , exist% ( )xN ,

astfel nct, oricare ar fi ( )xNn ,

, avem ( ) ( )


39/54

DEFINI!IA 4.9.6. : Seria nf converge uniform pe mul$imeaB c%tre func$iaS dac%oricare ar fi 0> , exist% ( )N astfel nct, oricare

ar fi ( )Nn , oricare ar fi x , avem ( ) ( ) , exist%

( )N astfel nct, oricare ar fi ( )Nn , oricare ar fi *Np , avem :

( ) ( ) ( ) astfel nct : )()( Nn #i Bx)(

( ) ( )


40/54


41/54

Orice serie de puteri este o serie de func$ii, deci rezultatele ob$inute laseriile de func$ii se aplic%seriilor de puteri.

( ) nnn xaxaaxS +++= "0 este un polinom de gradul n.PROPOZI!IA 4."0.". : Mul$imea de convergen$% a unei serii de

puteri este nevid%.

DEMONSTRA!IE :Fie #irul ( )( )

NnnxS

. Pentrux = 0 , Sn(0) = a0;

( ) BxaSnn

==

00lim 0 . Deci mul$imeaBeste nevid%.

OBSERVA!IE : Exist% serii de puteri pentru care mul$imea deconvergen$%este format%doar din num%rul zero. ( { }0=B )

EXEMPLU : Fie seria:

="n

nnxn .

Not%m nn na = .

Fie 0, 00 xRx .

+++++=

=

nn

n

nn xnxxxxn 030

320

20

"

32

De asemenea, ( )nnn xnxn 00 .

Pentru ""

00

>

> xn

xn . Rezult% c% 0lim 0

nn

nxn . Deci seria

este divergent%pentru orice 0x ( vezi criteriile de convergen$%)

TEOREMA LUI ABEL PENTRU SERII DE PUTERI

Pentru orice serie de puteri n

nxa , exist%un num%r 0R astfel

nct :". Oricare ar fi ( )RRx , , seria este absolut convergent%.2. Oricare ar fi ( ) ( ) ,, RRx , seria este divergent%.3. Oricare ar fi Rr


42/54

Num%rul 0R cu propriet%$ile ". #i 2. se nume#te raza de convergen$%a seriei de puteri.

DEMONSTRA!IE :

FieBmultimea de convergen$%a seriei n

nxa .

Dac% { } 00 == RB , atunci teorema este demonstrat%.

Dac% { }0B , atunci :

(*) Fie n

nxaxBx 000 0, este convergent%, deci

0lim 0 =

n

nn

xa de unde rezult%c%#irul ( ) *0 Nnn

nxa este m%rginit.

Dac% #irul ( ) *0 Nnn

nxa este m%rginit, atunci exist% 0>M astfel

nct Mxa nn 0 .

Consier%m ( ) 000 , xxxxx


43/54

Dac% Bx " , atunci seria n

nxa " este divergent%.

Vom demonstra c% oricare ar fi x astfel nct "xx > , seria

n

nxa " este divergent%.

Presupunem contrariul, adic% n

nxa este convergent%. Rezult%conform (*) c%seria

n

nxa " este convergent%. Aceasta este o contradic$ie

cu ipoteza, deci seria este divergent%pentru orice punct mai mare dectx1.

Fie ( ) RbaI = , . Oricare ar fi M cu proprietatea( ) Mxbax


44/54

Teorema lui Abel afirm% existen$a seriei de puteri, dar nu arat% cumpoate fi calculat%raza de convergen$%.

EXEMPLU : ( )",")(," 2

"

++++=

=

xxxxx n

n

n

Pentru orice ( ) ( ) ,"",x , seria este divergent%. Pentrux = 1, =nS , deci seria este divergent%. Pentrux = -1, nS este o serie oscilant%, deci divergent%.

n concluzie, ( )","=B .

TEOREMA CAUCHY HADAMARD

Fie n

nxa o serie de puteri. Fie n nn

a

= lim . Atunci:

=

=


45/54

3) 0,)(",)( 0000 >= xxxx , seria estedivergent%#iR=0.

Observa!ie :n

n

n a

a "lim +

= . Dac% nu exist% aceast% limit%, atunci

nn

na

= mli sau

n

n

n a

a "mli +

= .

EXEMPLE :

")

="nn

n

n

x,

nn na

"= ====

Rn

an

nn

n0

"limlim

2) ( ) ( ) 2"2

"

lim2

"

2

"lim

2

"===

=

=

R

nnx

n nn

nn

n

n

n

n

n

Oricare ar fi ( )2,2x , seria este absolut convergent%.

Oricare ar fi ( ) ( ) ,22,x , seria este divergent%.

CONTINUITATEA UNEI SERII DE PUTERI

Fie seria n

nxa #i fie B mul$imea de convergen$% a seriei,

( ) [ ]RRBRR ,, .

Oricare ar fi Bx , not%m ( ) ++++= nnxaxaaxS "0 .

Ob$inem astfel func$ia RBS : ( suma seriei ).

EXEMPLU : +++++=

=

n

n

n xxxx 2

0

"

( ) ( )x

xSRBSB

=="

",:,","

PROPOZI!IA 4."0.2. : SumaS a unei serii de puteri n

nxa

este continu%pentru oricare ( )RRx , .


46/54

DEMONSTRA!IE :

Fie ( )RRx ,0 ( | | )

-R 0x r R

Deoarecex0 apar$ine acestui interval, rezult%c% exist%r > 0astfel

nct Rrx


47/54

2) S%se studieze convergen$a seriei nn

nn

xn

)"()2(3

"

++

=

Not%m yx =+ " #i ob$inem seria nn

nn

yn

=

+

"

)2(3 .

3

"

3

2"3

32"

"lim

)2(3

")2(3limlim

""""

=

+

+

+

=+

+

+==

+++

+

Rn

nn

na

aR

n

n

nnn

nn

nn

n

n

Dac%

3

2,

3

4

3

",

3

"xy , seria este absolut convergent%.

Dac%

=

+

=" 3

")2(33" nn

nn

ny este o serie cu termeni pozitivi pe

care o compar%m cu seria

="

"

n n.

Astfel, "3

)2(3lim

3

))2(3(lim =

+=

+

n

nn

nn

nn

n n

n . Observ%m c%seriile au

aceea#i natur%, deci seria dat%este divergent%.

Dac%

= +=

" 3)2(3)"(3" n

n

nn

n

ny este o serie alternat%. &irul

Nn

n

nn

n

+

3

)2(3 este monoton descresc%tor #i tinde la zero. Conform

criteriului lui Leibnitz, seria dat%este convergent%.

Dac%

,

3

2

3

4,x , seria este divergent%.

3) S%se determine mul$imea de convergen$%a seriei =

+

+

"

"

"n

n

n

nn

x

nn

n

"

"

lim

"

lim"

lim2

""

" =

+

=

+

==++

nn

n

nn

n

nnn

n

n

nn

n

nn

aR

Dac% ( )","x , seria este absolut convergent%.

Dac% ( ) ( ) ,"",x , seria este divergent%.


48/54

Dac%

=

+

+

="

"

""

nn

nn

nn

nx

. Dac%

=

+

+

="

"

)"("

"n

n

n

nn

nn

nx .

=

+

+

n

nn

n

nn

n

"lim

"

""

"

"lim

"

2 =

+

n

n

n

n

n

n, deci seria este divergent%.

4) S% se dezvolte n serie de puteri ale lui x func$ia ( ) Rf ,": ,unde ( ) ( )xxf += "ln .

( ) ( ) +++++=+=+

= nnxxxxxx

xxf )"(""

"

"' 432"

( ) ( ) +=++++=+

=x xxx

nnx

dtttdtdtdtttttdtt

xf0 0

2

00

32

0")"("

"

"

=++

+++=+++

+x

nnnn

xx

n

xxxxxdttdtt

0

"432

0

3

")"(

432)"(

=

+

+=

0

"

")"(

n

nn

n

x

4.11. Serii Taylor &i serii MacLaurin

Fie I un interval din R #i fie RIf : o func$ie indefinitderivabil%n punctul Ia .

DEFINI!IA 4."".". : Se nume#te serie Taylor ata#at%func$ieif npunctul a, seria :

(") ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) +++++=

=0

)(2

)(

!''

!2'

!"!n

n

n

n

n

afn

axaf

axaf

axafaf

n

ax

Evident, seria (") este o serie de puteri , c%ci notndx a = y, ob$inem :

(") ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) +++++=

=

afn

yafyafyafafn

y nn

n

n

n

)(

2

0

)(

!''

!2'

!"!


49/54

Raza de convergen$% a seriei (") se studiaz% cu ajutorul teoremeiCauchy Hadamard.

OBSERVA!IE : Deoarece raza de convergen$% este R0 ,seria Taylor are mul$imea de convergen$% B deoarece a .

Suma par$ial% de ordinul n a seriei (") , pentru orice x (mul$imea de convergen$%) o vom nota :

(2) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )afn

axaf

axaf

axafxT n

n

n

)(2

!''

!2'

!"

++

+

+=

#i se nume#te polinomul lui Taylor de ordinul n.

DEFINI!IA 4."".2. : Se nume#te rest al lui Taylor de ordinul n,func$ia RIRn : , ( ) ( ) ( )xTxfxR nn = (3). Deci ( ) ( ) ( )xRxTxf nn +=(4) , oricare ar fi I .

TEOREMA 4."".". : Seria Taylor ata#at%func$iei f n punctul aeste convergent% n punctul Ix dac% #i numai dac% #irul ( )( ) *Nnn xR este convergent c%tre zero.

DEMONSTRA!IE :

Din rela$ia (4) ob$inem rela$ia (5) ( ) ( ) ( )xRxTxf nn = . Prin

urmare, dac% #irul sumelor par$iale de ordinul n , ( )xTn , converge c%tre

f(x), trecnd la limit%cnd n n relatia (5), rezult%c% ( ) 0lim =

xRnn

.

Invers, dac% ( ) 0lim =

xRnn

atunci din relatia (5) avem

( ) ( )xfxTnn=

lim #i deci seria Taylor ata#at% func$iei f n punctul a esteconvergent%pentru orice Ix , c%tref(x).

OBSERVA!II :

") Dac% ( ) 0lim =

xRnn

, avem :

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) +

++

+

+= afn

axaf

axaf

axafxf n

n

)(2

!''

!2'

!" (6)

Formula (6) se nume#te formula de dezvoltare n serie Taylor afunc$iei f n jurul punctuluix = a.


50/54

2) Mul$imea ( )( )

=

=0

)(

!|

n

n

naconvergenteste

n

axafIxB nu

coincide, n general cuI.Caz particular: Dac% I0 , atunci seria urm%toare se nume#te

serie MacLaurin ata#at%func$ieif.

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

=

+++++=0

)(2

)( 0!

0''!2

0'!"

00!n

nn

nn

fn

xf

xf

xff

n

x (7)

Evident, dac% ( )

+=

="

)( 0!nk

kk

n fk

xR converge c%tre zero cnd n

tinde spre infinit, avem:( ) ( ) ( ) ( ) ( ) +++++= 0

!0''

!20'

!"0 )(

2n

n

fn

xf

xf

xfxf (8)

Formula (8) se nume#te formula de dezvoltare n serie MacLaurin afunc$ieif.

EXEMPLE :

") S% se dezvolte n serie MacLaurin func$ia( ) xexfRRf = ,: .

( ) ( ) "0, == fexf x

( ) ,' xexf = ( ) "0 =f

( ) ( ) "0,)()(

==

nxn

fexf

&i deci +++++=!!2!"

"2

n

xxxe

nx ( formula de dezvoltare n

serie MacLaurin )

=

==

0 !

"

!

"

n

n

nx

n

ax

n

e

Pentru determinarea razei de convergen$%, conform teoremeiCauchy Hadamard, avem:


51/54

( ) ==

+==

+

Rn

n

a

a

nn

n

n0

!"

!limlim "

2) S%se dezvolte n serie MacLaurin #i s%se determine raza deconvergen$%a func$iei ( ) ( ) 00,sin,: == fxxfRRf .

( ) ( ) "0',2

sincos' =

+== fxxxf

( ) ( ) "0'',2

2sin2

cos'' =

+=

+= fxxxf

( )

+=

2

sin)(

nxxf n (formul%ce se demonstreaz%u#or prin induc$ie)

Prin urmare, ( )

( ) +

+

+++=

+ kk

k

xxxxxx

!"2

"

!7!5!3!"sin

"2753

Pentru determinarea razei de convergen$%, avem :( )

( ) ==

+

+=

Rk

k

k0

!32

!"2lim

5) S%se scrie seria McLaurin pentru func$ia : ( ) xxfRRf cos,: =

( ) ( )

+==

2coscos)(

nxxxf

nn ; ( )

=

===

"2,0

2,)"(

2cos0)(

kn

knnf

k

n

( )

=

=

==++++=

0 0

)(24

!2

cos

!

0

)!2()"(

!4!2"cos

n n

nnnn

n xn

n

xn

f

n

xxxx

RESTUL N FORMULA LUI TAYLOR

TEOREMA 4."".2. : Fie RIf : de n+1 ori derivabil% pe

intervalul I. Atunci pentru orice *Np , exist% un num%r "" cuprinsntre a #i x astfel nct :

( ) ( )

( )

)"("

!)(

+

+

=

n

pnp

n fnp

xax

xR (")

DEMONSTRA!IE :


52/54

Vom considera restul ( )xRn de forma ( ) ( ) kaxxRp

n = (2)

#i vom determina pe k n func$ie de x #i de a. Din formula lui Taylor

avem: ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) kaxafn

axaf

axaf

axafxf

pn

n

+

++

+

+=)(

2

!''

!2'

!" (3)

Vom defini func$ia I : , derivabil%peIastfel :

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ktxtfn

txtf

txtf

txtft

pn

n

+

++

+

+=)(

2

!''

!2'

!" (4)

Evident ( ) ( )xfx = #i ( ) ( )axf = de unde ob$inem ( ) ( )ax = .Presupunnd c%, de exemplu, a < x , avem:

este continu%pe intervalul [ a , x ] este derivabil%pe intervalul ( a , x ) ( ) ( ) 0',,)( = xa (5) ( ) ( )xa = (conform teoremei lui Rolle)

Pe de alt%parte, derivnd func$ia dat%de (4) ob$inem :

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

+

++

+= tftx

tftx

tftx

tftftx

tft IV

!3

''

!2

2'''

!2

'''

!"

''32

( )( )

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )( )

( )

( ) ( )

+

++

+

tfn

txtf

n

txtf

n

txtf

n

txtf

tx nn

n

n

n

n

n

n

)("

)"()"(2

)("2

!"!!2!"'''

!2

( ) ktxp p "

Reducnd termenii asemenea, se ob$ine :

( ) ( )

( ) ( ) ktxptfn

txt

pn

n

= + ")"(

!

'

Deci : ( ) ( )

( ) ( ) 0!

' ")"( =

= + kxpf

n

x pnn

, de unde

( ) ( )

( )

( )( )

)"("

"

)"(

!,

!+

+

+

=

=

n

pn

p

nn

fnp

xksau

xpn

fxk #i rezult%astfel :

( ) ( )( )

)"("

!)( +

+

=

n

pnp

n fnp

xaxxR , unde "" este cuprins

ntre a #i x.Teorema este astfel demonstrat% . Cazul cnd x < a se trateaz%

analog.


53/54

Cazuri particulare ale expresiei restului :

(1) Pentru p = 1 se ob$ine ( )( ) ( ) )"(!

)( +

=n

n

n fn

xaxxR #i se

nume#te restul lui Cauchy.

(2) Pentru p = n+1 se ob$ine ( ) ( ))"(")!"(

)( ++

+

=

n

n

n fn

axxR #i se

nume#te restul luiLagrange.

RESTUL IN FORMULA LUI MACLAURIN

A#a cum am mai v%zut, o serie Taylor pentru a = 0 se nume#teserie MacLaurin.

Prin urmare, dezvoltarea unei func$ii RIf : ( I0 ) n serieMacLaurin este:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) +++++= 0!

0''!2

0'!"

0 )(2

nn

fn

xf

xf

xfxf

( ) ( )=

=

n

k

kk

n fk

xxT

0

)( 0!

( ) ( )

+=

="

)( 0!nk

kk

n fk

xxR

Restul n formula lui Cauchy are forma :

( ) ( )

( ) )"(

!+

=n

n

n fn

xxxR , unde "" este cuprins ntre a #i x.

Restul n formula lui Lagrange are forma :

( ) ( ) ( ))

"(

"

!"+

+

+=n

n

n fn

xxR , unde "" este cuprins ntre a #i x.

EXEMPLU :

") S%se calculezee

"cu trei zecimale exacte.

+

==

2

"

2

"" 2"

nn RTe

e


54/54

Pentru

2

"nR utiliz%m formula restului lui Lagrange :

( ) ")!"(2

"

!"

2

"

2

""

"

+

+

=

+

+

nenR n

n

n

deoarece"

" 0=++ nn rezult%n = 4( prima valoare natural%).

=

+

+=

+

+

+

+=

242"

62"

22"

2""

!4"

2"

!3"

2"

!2"

2"

!""

2""

2" 432

432

T

606,0284

233= . Deci 606,0

"

e.

definitii siruri

Documents

Transcript of definitii siruri