Siruri de numere reale -...

Terminologie Caracterizări ale limite Convergenta, monotonie si marginire Inegalitati Operatii

Şiruri de numere reale- sinteză-

Lect. univ. dr.Anca GRAD17 noiembrie 2017

1 Anca Grad Siruri de numere reale

TerminologieFie m ∈ N fixat. Considerăm mulţimea Nm = {n ∈ N : n ≥ m}.

Definiţie: Se numeşte şir de numere reale orice funţie

f : Nm → R.

Şirul f : Nm → R ataşează fiecărui nr. natural n ≥ m, nr. real

f (n) :not.= xn.

Notaţiile uzuale folosite pentru un şir sunt

(xn)n∈Nm , sau (xn)n≥m sau (xn, xn+1, ..., xn, ...).

Când nu există pericol de confuzie notăm simplu (xn).Pentru n ∈ Nm arbitrar, nr. real xn s.n. termenul de rang n sautermenul general al şirului (xn)n∈Nm .

f : Nm → R.

f (n) :not.= xn.

f : Nm → R.

f (n) :not.= xn.

f : Nm → R.

f (n) :not.= xn.

Limita unui şir de numere reale. Unicitatea limitei.

Definiţie: Fie (xn)n∈Nm un şir de numere reale. Spunem că şirul(xn)n∈Nm are limită (în R) dacă

∃x ∈ R, a.î. ∀V ∈ ϑ(x), ∃nV ≥ m a.î. ∀n ≥ nV , xn ∈ V .

Teorema 1: Fie (xn)n∈Nm ⊆ R. Şirul (xn)n∈Nm are limită (în R)dacă există un element x ∈ R a.î. în afara oricărei vecinătăţi V alui x se află cel mult un număr finit de termeni ai şirului (xn)n∈Nm .

Dacă limita unui şir există, ea este unică.

Teorema 2 (de unicitate a limitei): Dacă (xn)n∈Nm ⊆ R, atunciexistă cel mult un element x ∈ R a.î.

∀V ∈ ϑ(x), ∃nV ≥ m a.î. ∀n ≥ nV , xn ∈ V .

Notaţielim

n→∞xn şi se numeşte limita şirului (xn).

Definiţie (xn)n∈Nm ⊆ R. Spunem că şirul (xn) este convergentdacă

∃ limn→∞

xn şi limn→∞

xn ∈ R.

Pentru (xn)n∈Nm ⊆ R există una din posibilităţile:I are o limită unică x ∈ R,(s.n. şir convergent);I are limita ∞ sau −∞ (s.n. şir cu limita infinită);I nu admite limită în R.

Orice şir care nu admite limită finită s.n. şir divergent.

Studiul unui şir comportă două probleme:I natura şirului (convergent sau divergent);I determinarea limitei în caz de convergeţă.

Notaţielim

∃ limn→∞

xn şi limn→∞

xn ∈ R.

Notaţielim

∃ limn→∞

xn şi limn→∞

xn ∈ R.

Notaţielim

∃ limn→∞

xn şi limn→∞

xn ∈ R.

Notaţielim

∃ limn→∞

xn şi limn→∞

xn ∈ R.

Notaţielim

∃ limn→∞

xn şi limn→∞

xn ∈ R.

Caracterizări ale limitei unui şir de numere reale

Teorema 3 (de caracterizare cu ε a limitei finite):Fie (xn)n∈Nm ⊆ R şi x ∈ R. Atunci

limn→∞

xn = x ⇐⇒ ∀ε > 0(∈ R), ∃nε ≥ m(∈ N) a.î. |xn−x | < ε, ∀n ≥ nε.

Consecinţa: Fie (xn)n∈Nm ⊆ R şi x ∈ R. Atunci şirul (xn)n∈Nm

converge către x , ⇐⇒ şirul (xn − x)n∈Nm converge către 0.

Teorema 4 (de caracterizare cu ε a limitelor ∞ şi −∞):Fie (xn)n∈Nm ⊆ R. Atunci

limn→∞

xn = +∞⇐⇒ ∀ε > 0(∈ R),∃nε ≥ m(∈ N) a.î. xn > ε, ∀n ≥ nε.

limn→∞

xn = −∞⇐⇒ ∀ε > 0(∈ R),∃nε ≥ m(∈ N) a.î. xn < −ε, ∀n ≥ nε.

limn→∞

Exemple:I şirul cu termenul general xn = 0, (n ∈ N) are limita 0

nε = 1;

I şirul cu termenul general xn = 1n , (n ∈ N) are limita 0

nε =[1

I şirul cu termenul general xn = n, (n ∈ N) are limita +∞nε = [ε] + 1;

I şirul cu termenul general xn = −n, (n ∈ N) are limita −∞nε = [ε] + 1;

I şirul cu termenul general xn = (−1)n, (n ∈ N) nu are limită înR.

nε = 1;

nε =[1

nε = 1;

nε =[1

nε = 1;

nε =[1

nε = 1;

nε =[1

nε = 1;

nε =[1

Convergenţă, monotonie şi mărginire

Teorema 5 Orice şir convergent este mărginit.

Teorema 6 Orice şir nemărginit este divergent.

Observaţie: Nu orice şir mărginit este convergent. De exemplu,şirul cu termenul general

xn = (−1)n, n ∈ N.

Teorema 7 [ a lui Weirstrass](de convergenţă a şirurilor monotone şi mărginite)

Fie (xn)n∈Nm ⊆ R. Atunci u.a.s. adevărate:1. Şirul (xn)

crescătorşi

mărginit superior=⇒

(xn) este convergent

şilim

n→∞xn = sup{xn : n ∈ Nm}

2. Sirul (xn)descrescător

şimărginit inferior

şilim

n→∞xn = inf{xn : n ∈ Nm}

3. Sirul (xn)

monoton

şimărginit

=⇒ (xn) este convergent.

crescătorşi

şilim

3. Sirul (xn)

monoton

şimărginit

crescătorşi

şilim

3. Sirul (xn)

monoton

şimărginit

crescătorşi

şilim

3. Sirul (xn)

monoton

şimărginit

Observaţie: Referitor la şiruri monotone şi/sau mărginite întâlnimipostazele:

monoton

şimărginit

=⇒ (xn) este convergent;

I convergent =⇒ mărginit;I convergent 6=⇒ monoton. Exemplu: xn = (−1)n

n , n ∈ N;I monoton 6=⇒ convergent. Exemplu: xn = n, n ∈ N;I mărginit 6=⇒ convergent. Exemplu: xn = (−1)n, n ∈ N.

Consecinţa: Fie (xn) ⊆ R un şir monoton. Atunci

(xn) convergent ⇐⇒ mărginit.

Teorema 8: U.a.s. adevărate:1. Orice şir crescător şi nemărginit are limita +∞.2. Orice şir descrescător şi nemărgnit are limita −∞.

monoton

şimărginit

monoton

şimărginit

monoton

şimărginit

monoton

şimărginit

monoton

şimărginit

monoton

şimărginit

monoton

şimărginit

Teorema 9 [ a lui Cantor]: Fie (xn)n∈N şi (yn)n∈N două şiruri⊆ R care satisfac proprietăţile:i) ∃p ∈ N a.î.

xn ≤ xn+1 < yn+1 ≤ yn, ∀n ∈ N, n ≥ p;

ii) limn→∞

(yn − xn) = 0.

Atunci şirurile (xn) şi (yn) sunt convergente şi

limn→∞

xn = limn→∞

Observaţie Teorema de mai sus folosită pentru delimitareaconstantei e, prin particularizarea

xn =(1 + 1

)nşi yn =

(1 + 1

xn ≤ xn+1 < yn+1 ≤ yn, ∀n ∈ N, n ≥ p;

ii) limn→∞

(yn − xn) = 0.

limn→∞

xn = limn→∞

xn =(1 + 1

)nşi yn =

(1 + 1

xn ≤ xn+1 < yn+1 ≤ yn, ∀n ∈ N, n ≥ p;

ii) limn→∞

(yn − xn) = 0.

limn→∞

xn = limn→∞

xn =(1 + 1

)nşi yn =

(1 + 1

Trecerea la limită în inegalităţiTeorema 10: Fie (xn) şi (yn) ⊆ R, două şiruri care au limită.Daca ∃p ∈ N a.î.

xn ≤ yn, ∀n ∈ N, n ≥ p,

atuncilim

n→∞xn ≤ lim

n→∞yn.

Teorema 11 [a cleştelui]: Fie (xn), (yn) şi (zn) ⊆ R, trei şiruri şifie p ∈ N a.î.

xn ≤ yn ≤ zn, ∀n ∈ N, n ≥ pDacă

limn→∞

xn = limn→∞

atunci şirul (yn) are limită şi

limn→∞

xn = limn→∞

yn = limn→∞

xn ≤ yn, ∀n ∈ N, n ≥ p,

atuncilim

n→∞xn ≤ lim

n→∞yn.

limn→∞

xn = limn→∞

limn→∞

xn = limn→∞

yn = limn→∞

xn ≤ yn, ∀n ∈ N, n ≥ p,

atuncilim

n→∞xn ≤ lim

n→∞yn.

limn→∞

xn = limn→∞

limn→∞

xn = limn→∞

yn = limn→∞

Operaţii cu şiruri convergenteTeorema 12 Fie (xn), (yn) ⊆ R două şiruri convergente. U.a.s.a:1. şirul sumă (xn + yn) este convergent şi

limn→∞

(xn + yn) = limn→∞

xn + limn→∞

2. dacă c ∈ R, atunci şirul (cxn) este convergent şi

limn→∞

(cxn) = c(lim

n→∞xn)

3. şirul produs (xnyn) este convergent şilim

n→∞(xnyn) = lim

n→∞xn · limn→∞

4. dacă limn→∞ yn 6= 0 şi yn 6= 0,∀n ∈ N, atunci şirul(

convergent şi

limn→∞

n→∞xn

limn→∞

xn + limn→∞

limn→∞

(cxn) = c(lim

n→∞xn)

n→∞(xnyn) = lim

4. dacă limn→∞ yn 6= 0 şi yn 6= 0,∀n ∈ N, atunci şirul(

convergent şi

limn→∞

n→∞xn

limn→∞

xn + limn→∞

limn→∞

(cxn) = c(lim

n→∞xn)

n→∞(xnyn) = lim

4. dacă limn→∞ yn 6= 0 şi yn 6= 0, ∀n ∈ N, atunci şirul(

convergent şi

limn→∞

n→∞xn

limn→∞

xn + limn→∞

limn→∞

(cxn) = c(lim

n→∞xn)

n→∞(xnyn) = lim

convergent şi

limn→∞

n→∞xn

limn→∞

xn + limn→∞

limn→∞

(cxn) = c(lim

n→∞xn)

n→∞(xnyn) = lim

convergent şi

limn→∞

n→∞xn

limn→∞

xn + limn→∞

limn→∞

(cxn) = c(lim

n→∞xn)

n→∞(xnyn) = lim

convergent şi

limn→∞

n→∞xn

limn→∞

Siruri de numere reale -...

Documents

Transcript of Siruri de numere reale -...