Cap. 1 SIRURI - sibiulcopiilor.ro · Teorie ANALIZA : SIRURI - 6 - Clasa a 11-a 1.4. Siruri...

Teorie ANALIZA : SIRURI - 1 -

Clasa a 11-a

Cap. 1

SIRURI

1.1. Chestiuni generale

Definitia sirului

- se numeste sir de numere reale o aplicatie :

R N : f , annf , N n

- sirul f se scrie : an n 0 sau an Nn

care are termenii :

an n 0 : aaaaaa nnn , , , ........ , , , 12210

unde : an = termenul general al sirului .

Definirea unui sir :

Exista mai multe posibilitati de a descrie un sir :

1). Printr-o regula de calcul : in acest caz este necesara o exprimare analitica pentru termenul

de rang n , an , care sa permita calcularea oricarui termen al sirului .

Exemplu :

12

n

nan , n 0 sau nnan

23 , n 0 , etc.

2). Prin mai multe reguli de calcul : ca de exemplu

impar daca ,

par daca , 1

2n

nn

nxn n 0

3). Printr-o relatie de recurenta : un termen al sirului se exprima in functie de unul sau mai

multi termini precedenti .

Pentru a determina bine elementele sirului trebuie dati unul sau mai multi termeni.

Exemplu : 1 , 1 , 100

aaaa nnnn

, n 0


Clasa a 11-a

xxxx nnnn 3 , 2 , 100

, n 0

1.2. Siruri marginite .

Sir majorat :

- se spune ca sirul ( xn ) este marginit superior ( majorat ) daca exista :

nbb xn , incat astfel R .

Sir minorat :

- se spune ca sirul ( xn ) este marginit inferior ( minorat ) daca exista :

naa xn , incat astfel R

Sir marginit :

- se spune ca sirul ( xn ) este marginit daca exista numerele reale :

nba bxa n , incat astfel R ,

Propozitie :

- sirul (xn) este marginit :

. . , M incat astfel 0 M nxn

Sir nemarginit :

- Un sir care nu este marginit se numeste nemarginit .


Clasa a 11-a

1.3. Siruri monotone .

Sir strict crescator :

- se spune ca sirul ( xn )n0 este strict crescator daca :

0 , 1 nxx nn

adica daca : ... ... 1210 xxxxx nn .

Sir strict descrescator :

- se spune ca sirul ( xn )n0 este strict descrescator daca :

0 , 1 nxx nn


Sir strict monoton :

- Un sir care este strict crescator sau strict descrescator se numeste strict MONOTON .

- Observatie : - intr-un sir strict crescator orice termen este stict mai mare decat precedentul ;

- intr-un sir strict descrescator orice termen este stict mai mic decat precedentul ;

Sir crescator :

- se spune ca sirul ( xn )n0 este crescator daca :

0 , 1 nxx nn

adica daca : ... ... 1210

xxxxx nn .


Clasa a 11-a

Sir descrescator :

- se spune ca sirul ( xn )n0 este descrescator daca :

0 , 1 nxx nn


Sir monoton :

- Un sir care este crescator sau descrescator se numeste MONOTON .

- Observatie : - intr-un sir crescator orice termen este mai mare sau egal decat precedentul ;

- intr-un sir descrescator orice termen este mai mic sau egal decat precedentul ;

Observatii :

- un sir crescator este marginit inferior de primul sau termen , adica x0 ;

- un sir descrescator este marginit superior de primul sau termen , adica x0 ;

Metoda de stabilire a monotoniei unui sir :

- Pentru a stabili monotonia unui sir se calculeaza diferenta a doi termeni consecutivi oarecare

- 1 aa nn

sau in cazul in care termenii sunt pozitivi se face catul a doi termeni consecutivi

1

a

a

n

n

Avem rezultatele :

Daca

an+1 - an < 0 , ( ) n , atunci sirul este strict descrescator ;

an+1 - an > 0 , ( ) n , atunci sirul este strict crescator ;

an+1 - an 0 , ( ) n , atunci sirul este descrescator ;

an+1 - an 0 , ( ) n , atunci sirul este crescator .


Clasa a 11-a

Daca : an > 0

na

a

n

n , 1 1 , atunci sirul este strict descrescator ;

na

a

n

n , 1 1 , atunci sirul este strict crescator ;

na

a

n

n , 1 1 , atunci sirul este descrescator ;

na

a

n

n , 1 1 , atunci sirul este crescator ;

Observatii :

- Faptul ca sirul ( xn ) este crescator se marcheaza cu : xn .

- Faptul ca sirul ( xn ) este descrescator se marcheaza cu : xn .


Clasa a 11-a

1.4. Siruri covergente .

Definitia limitei unui sir :

- Fie (an)n0 un sir de numere reale si a R .

- Se spune ca sirul (an)n0 are limita a daca in orice vecinatate a punctului a se afla

toti termenii sirului incepand de la un anumit rang .

- Se scrie atunci :

aann

lim

sau aan pentru n .

Sir convergent :

- Orice sir de numere reale avand o limita finita se numeste convergent .

- Daca a R si aann

lim

, atunci se mai spune ca sirul (an)n0 este convergent catre a.

Sir divergent :

- Sirurile care nu au limita si cele care au limita + sau - se numesc divergente .

Unicitatea limitei :

- Daca un sir de numere reale are limita , atunci aceasta este unica .


Clasa a 11-a

Teorema :

- Orice sir convergent de numere reale este marginit .

Teorema lui WEIERSTRASS :

a). Orice sir monoton crescator si marginit superior de numere reale ( in R ) este convergent ;

b). Orice sir monoton descrescator si marginit inferior de numere reale ( in R ) este convergent .

Orice sir monoton si marginit de numere reale este convergent .

Lema :

- Orice sir marginit de numere reale are cel putin un subsir convergent .

Criteriul majorarii :

- Daca :

xxxx nnnn n atunci , 0 si , -

- Corolar : - Daca :

0 atunci , 0 si , xx nnnn n .

- Daca :

0 atunci , 0 si , 0 xx nnnn n


Clasa a 11-a

1.5. Operatii cu siruri convergente .

In continuare vom arata ca efectuand operatii algebrice cu siruri

convergente se obtin de asemenea siruri convergente .

Mai precis are loc :

Daca xn x , yn y , c R atunci :

Limita sumei este egala cu suma limitelor :

- ( xn + yn ) este convergent si :

limlimlim yxyxyx nn

nn

nnn

O constanta iese in fata limitei :

- ( c xn) este convergent si :

climcclim xxx nn

nn


Clasa a 11-a

Limita produsului este egala cu produsul limitelor :

- ( xn yn ) este convergent si :

limlimlim yxyxyx nn

nn

nnn

Limita catului este egala cu catul limitelor :

-

y

x

n

n este convergent si :

0 , 0 ,

ylim

limlim n

yy

x

y

x

y

x

nn

nn

n

n

n

Limita modulului este egala cu modulul limitei :

- xn este convergent si :

limlim xx nn

nn

Trecerea la limita in inegalitati :

1). Daca : xn yn pentru orice n N , ( N fiind un numar natural fixat ) , atunci :

limlim yx nn

nn

2). Daca sirul an este convergent si daca 0an atunci :

0lim ann

3). Daca an este un sir convergent si daca an pentru orice n , atunci :

ann

lim


Clasa a 11-a

Criteriul clestelui :

- Fie (xn ) ,( un ) , ( vn ) trei siruri ce satisfac conditiile :

1). un xn vn

2). avu nn

nn

limlim

Atunci sirul (xn ) este convergent la aceeasi limita a .

vxu nnn

aaa

1.6. Operatii .

Avem urmatoarele cazuri :

1). + = 2). - - = -

3). = 4). (-) = -

5). (-) (-) = 6). + b =

7). - + b = - 8). b = , daca b > 0

9). b = - , daca b < 0 10). - b = - , daca b >0

11). 0 1

12). 0 1

13). 0

1

14). -

0

1

15). 0 daca ,

aa

16). 0 daca , -

aa

17). 0 daca , -

aa

18). 0 daca ,

aa


Clasa a 11-a

19). 1 daca ,

aa 20). 1 daca , 0

aa

21). 1 0 daca , 0

aa 22). 1 0 daca ,

aa

23). 0 daca , aa 24). 0 daca , 0 aa

25). 0 0 26).

27). 0 28). e

11

n

n

29). n 30). 12 n

31). 1 daca , log aa

31). 1 daca , 0 log aa

33). 1 0 daca , 0 log aa

34). 1 0 daca , log aa

1.7. Tabloul operatiilor fara sens .

Pentru adunare :

1). -

Pentru inmultire :

1). 0

2). - 0

Pentru impartire :

1). 0

0 particularin

0

a


Clasa a 11-a

2).

3).

Pentru puteri :

1). 1

2). 00

3). 0

1.8. Alte operatii cu siruri convergente .

Limita unei puteri :

- Daca an > 0 , an a , a > 0 si xn x , atunci : aax

n

xn ,

adica :

a limlim n

lim

n

xx

nnn

ann

Limita unei puteri se distribuie si bazei si exponentului .

Limita radicalului :

- Daca xn x , xn 0 , k N , k 2 , atunci : kkn xx

adica :

limlim k nn

kn

nxx

Limita radicalului este egala cu radicalul limitei .


Clasa a 11-a

Limita logaritmului :

- Daca xn x , xn 0 , x > 0 atunci : 1 , 0 , loglog aaxana x

adica :

limlogloglim

xx nn

anan

Limita logaritmului este egala cu logaritmul limitei .

Limita unui sir remarcabil :

- Sirul ( xn ) n 0 , definit prin : xn = a n , unde a R , fixat

1- pt. existanu

1 , 1- pt. , 0

1 pt. ,

1 pt. , 1

a

a

a

a

an

Limita unui sir definit printr-o functie polinomiala :

- Sirul ( xn ) n 0 , cu termenul general : xn = P(n) , unde P este o functie polinomiala

are limita egala cu limita termenului de grad maxim ( a0 nk )

0 daca , -

0 daca ,

0

0

00limlima

aaanx

k

nn

n


Clasa a 11-a

Limita unui sir definit printr-o functie polinomiala :

- Sirul ( xn ) n 0 , cu termenul general : xn = )(

)(

nQ

nP , unde P si Q sunt functii reale

polinomiale

are limita egala cu raportul termenilor de grad maxim :

0

0

nb

nam

k

m k daca , 0

m k daca ,

m k daca ,

)(

)(

0

0

0

0

0

0limlimlim

b

a

b

a

nb

nax m

k

nnn

n nQ

nP

1.9. Limite fundamentale de siruri .

1).

e !

1

! 1

1 ........

! 2

1

! 1

1 1 lim

nnn

2). ..2,7182.... e , Q - R e , e 1

1 lim

xn

xn

n

3). e 1 lim1

xn xn

n

4). 1 sin

scris altfelsau 0 daca , 1 sin

limlim0

x

xx

x

x

n

nn

n

n

n xn

5). 1

scris altfelsau 0 daca , 1

limlim0

x

xx

x

x

n

nn

n

n

n

tgtg

xn

6). ln 1 -

scris altfelsau 0 daca , ln 1 -

xn

limlim0

aax

ax

x

a

n

n

nn x

x

n

n


Clasa a 11-a

7). 0 1

lim nn

8). 0 2

lim n

n

n

9). 0 ; : atunci , Daca limlimlim e

x

x

ex

x

x

n

n

n

nnnn

n

10).

0 conditiacu , 0 ln

; ln

: atunci , Daca limlimlim xx

x

x

xx n

n

n

nn

n

nn

n

11). 1 conditiacu : atunci , Daca limlim ax

ax

nnn

n

xn

12). 0 ln : atunci , 0 , 0 Daca limlim xxxx nnn

nnn

13). 0 : atunci , Daca limlim exx xn

nn

nn

14). 1 lim

n

n

n

15). 0 , 1 lim

aan

n

16). 0 , ln 1 - lim

aaan n

n

17). 0 ln

lim n

n

n

18). N , 0 , R , 0

lnlim

paan

na

p

n

19). R , 0 !

lim

an

an

n

20). , 1 daca ,

, 1 daca , 0 lim

R

Ran

pa

panp

n

21). e !

lim

nn n

n


Clasa a 11-a

22). , 1 pentru , 0

, 1 pentru , lim

R

R

n

apa

pa

p

n

n

23). 1 ln

1

.......... 3

1

2

1 1

lim

n

n

n

24). , 1

1

........ N

321lim

*

1

ppn

np

pppp

n

25). , 2

1

1 -

........ N

321lim

*

pp

n

n

np

pppp

n

1.10. Lema Stolz – Cesaro

Teorema :

- Fie (an)n1 si (bn)n1 doua siruri de numere cu proprietatile :

1). 0 < b1 < b2 < ……. < bn (sir strict crescator ) ;

2). lim

bnn

3). R -

-

1

1lim

lbb

aa

nn

nn

n

atunci :

lim lb

a

n

n

n


Clasa a 11-a

1.11. Criteriul Cauchy – d’Alembert -criteriul raportului

Teorema :

- Fie sirul (xn) cu xn > 0 , () n N* , pentru care exista :

ax

x

n

n

n

1lim

Atunci sirul : nnx are limita si mai mult :

1limlim a

x

xx

n

n

n

nn

n


Clasa a 11-a

EExxeerrcciittiiuull nnrr.. 1 :

Sa se studieze convergenta urmatoarelor siruri date prin termenii generali xn :

1). 1 , 1

1

n

nxn ;

2). 1 , 1

nn

nxn ;

3). 1 , 1

2

nn

nxn ;

4). 2 , 1

2

2

nn

nxn ;


Clasa a 11-a

5). 0 , 1 nnnxn ;

6). 1 , 12 nnnxn ;

7). 0 , 13 3 nnnxn ;

8). 1 , 1

...3

1

2

11 n

nxn ;

9). 2 , 2

1

nnx

nn .



1). 0 , 1

nn

nxn ;

2). 0 , 1

22

nn

nxn ;

3). 1 , 12

nn

nxn ;

4). 1 , 2

1...

2

1

1

1

n

nnnxn ;

5). 1 , 12

nn

nxn ;

6). 0 , 12

3

nx

nn ;

7). 0 , 1

12

nnn

xn ;

8). 0 , !

1 n

nxn ;

9). 0 , 1

12

n

n

nxn .



Clasa a 11-a


1). 1 , ...321

2

n

n

nxn ;

2).

1 , 1

1...

43

1

32

1

21

1

n

nnxn ;

3). 1 , 1

...3

1

2

11

222 n

nxn ;

4).

n

kknx

1 15

1 ;

5).

n

nnxn 3

1...4321 ;

6). 3

...3212

2222 n

n

nxn

;

7). n

nxn

1...

3

1

2

11

;

8).

3

1...

9

1

3

11

2

1...

4

1

2

11

n

n

nx

.

Cap. 1 SIRURI - sibiulcopiilor.ro · Teorie ANALIZA : SIRURI - 6 - Clasa a 11-a 1.4. Siruri...

Documents

Transcript of Cap. 1 SIRURI - sibiulcopiilor.ro · Teorie ANALIZA : SIRURI - 6 - Clasa a 11-a 1.4. Siruri...