PRIMITIVE

Definitie:

Fie I un interval. S punem ca functiaf : l →R admite primitive pe l adica exista o functieF : l →R , derivabila , astfel incatF’(x)= f (x), oarecare ar fi x єN.

Observam ca daca f admite primitiva F, atunci F + k este de asemenea o

primitiva a lui f , oricarear fi k є R.

De exemplu, pentrufunctia f : R → R, f (x) =4x3 , constatam ca Fk:R→R , Fk

(x)=x4+k, reprezinta o primitiva pentru oricare k fixat in R.

Teorema:

Fie l un interval si f : l → R ,o functie care admite primitive pe l.

Daca F si G sunt doua primitive ale functiei f , atunci exista un numar real k astfel incat G (x)=F(x)+k, oricare ar fi x є l.

Deducem ca este sufficient sa aflam o primitiva F , a functiei f , pentru a

Determina multimea tuturor primitivelor sale.

Multimea tuturor primitivelor functiei f : l → R o notam∫ f (x)dx si citim

Integral ne definite din f (x) dx , ∫ f (x) dx =F(x) + C.

F esteprimitiva oarecare al lui f.

C reprezinta multimea functiilor constante definite pe l.

Teorema:

Fie l un interval si f , g : l → R , functii care admit primitive pe l .

Atunci au primitive pe acelasi interval si functiile f + g , f – g , kf , cu k≠0 , α f +

+ βg , α ≠ 0 , β ≠ 0.

Au loc urmatoarele egalitati:

∫¿¿f (x) + g(x)]dx=∫ f (x)dx+∫ g (x)dx;

∫¿¿f (x) – g (x)]dx= ∫ f (x)dx- ∫ g (x)dx;

∫ kf(x)dx= k∫ f (x)dx;

∫¿¿α f (x) + β g (x)]dx=α ∫ f (x)dx+ β ∫ g (x)dx.

1. Sa se demonstreze ca urmatoarele functii admit primitive:

a. f(x)={ 3 x2+x+2, daca x ≤ 02cos x−3 sin x , daca x>0

, f : R → R;

b. f(x)= max(x2+2x-2 , 3-2x) , f :R → R;

Rezolvare:

a. Pe intervalele (-∞ , 0 ) si ( 0 , +∞ ) functia este continua (este exprimata

Prin restrictii ale unor functii elementare).

lim (32+x+2)=2, f(0)=2 , limx→ o , x>0

2 cos x−3sin x ¿=2¿

Functia este continua peR ,deci admite primitive pe R .

b. f (x)={x2+2 x−2 , daca x2+2 x−2≥−2 x+33−2 x ,daca x2+2x−2<−2x+3

<=>

<=>f (x)={x2+2 x−3 , daca x2+4 x−5 ≥ 03−2 x ,daca x2+4 x−5<0

f (x) { x2+2 x−2 , daca x∈¿3−2 x ,daca x∈(−5,1)x2+2 x−2 , daca x∈¿

Functia este continua pe intervalele(-∞, -5) , (-5, 1) , (1, +∞).

Functia este comuna si in punctele x1= -5 , x2 =1, deoarece

limx→−5 , x<−5

(x¿¿2+2 x−2)¿= limx→ 1 ,x >1

3−2 x¿=f (−5)=13¿ si

limx→ 1 ,x <1

(3−2 x )=¿ lim (x2¿+2 x−2)=1¿

Functia este continua peR ,prin urmare admite primitive pe R..

INTEGRAREA PRIN PARTI

1. Sa se calculeze urmatoarele integrale nedefinite folosind metoda

integrarii prin parti:

a. ∫ ex (2−5 x ) dx , x ∊ I⊂R

b. ∫ arctg xdx , x ∊ I ⊂R

Rezolvare:

a. I=∫ xe(2-5x)dx. Luam {u (x )=2−5 xv ' (x )=ex → ¿

I=(2-5x)ex+∫5e xdx , I = (7-5x)ex +C .

b. I=∫arctg x dx , Luam {u ( x )=arctg xv ' ( x )=1

→{u' ( x )= 1

1+x2

v (x )=x

I =x arctg x- ∫ x

1+x2dx , I = x arctg x -12 In (1+x2) +C.

INTEGRAREA PRIN SCHIMBARE DE VARIABILA

1. Sa se calculeze urmatoarele integrale nedefinite , urmarind

Metoda schimbarii de variabila:

a. ∫sin4 x ∙ cos x dx, x I ∊ ⊂ R

b. ∫ 4 x3 4 xx4+2 x2+3

dx . x I ∊ ⊂ R

c. ∫ 4 ex 4 , x I ∊ ⊂ R

Rezolvari:

a. Notam I = ∫sin4 x ∙ cos x dx .

Facem substitutia t =u(x) = sin x ,dt +(sin x)’ dx dt=cos x dx

Calculam separate Ȋ = ∫ t 4 dt =15

t 5 +C Rezulta I =

15

sin5 x + C .

b. I = ∫ 4 X3+4 XX 4+2 X2+3

dx . Facem substitutia t =u9x)= x4+2x2+3 ,

dt + (x4+2x2+3)’ dx =(4x3+4x) dx . Calculam separat Ȋ = ∫ 1t dt = dt ItI + C

.

Rezulta I = In (x4+2x2+3) + C.

c. Notam I = ∫ 4 x3ex4dx . Facem substitutia t =u(x0 =x4 , dt =(x4)’ dx =

4x3 dx, Calculam Ȋ = ∫ et dt =e t+ C Rezulta I=ex 4 + C .

INTEGRAREA FUNCTIILOR RATIONALE

Definitie:

Fie I un interval .Spunem ca o functie f : I → R este rationala daca are forma f

(x) =P(x )Q(X ), unde P(x) si Q(x) sunt functii polinomiale cu coeficienti reali si Q

(x)≠0, pentru oricare x I.∊

Distingem urmatoarele categorii de functii ,pe care le numim functii rationale

simple (definite pe un interval I)

a. f ( x) =a0 +a1 x + a2 x2 +. . .+an xn , n ∊ 𝗡* , ak ∊ R , k ∊ {0 , 1 ,…., n } ,

an≠0

b. f (x) =∝

(x−a)n , n ∊ 𝗡* ,∝≠ 0 , a ,∝ ∊ R ;

c. f (x) =∝ x+β

(x2+px+q) , ∝ , β , p ,q ∊ R, n ∊ 𝗡* , =⧍ p2– 4q<0

1.Sa se calculeaze urmatoarele nedefinite:

a .∫ 3 x−4

x2+x−6dx , x I ∊ ⊂ R/{2 ,−3 };

b.∫ x3+5 x2+6 x−2

(x=1)(x=2) dx , x ∊ I ⊂ R / {−2 ,−1 };

Rezolvare:

a. f(x) = 3 x−4

x2+x−6 . x2+x-6=(x-2)(x+3).

Determina coeficientii A si B din descompunere:

3 x−4(x−2)(x+3)

= Ax−2

+ Bx+3

, A(x+3)+B(x-2)=3x-4,oricare ar fi x ∊ I ,

(A+B)x+3A-2B =3x - 4. Sistemul de ecuatii{ A+B=33 A−2B=−4 ,admit e Solutia

{ A=25

B=135

.∫ f ( x )dx =25∫

1x−2

dx +135 ∫ 1

x+3 dx.

Observam in final ,∫ f ( x )dx=25∈¿ Ix-2I +

135 In Ix+3I + C.

b. f (x) =x3+5 x2+6 x−2(x+1)(x+2) . (x+1)(x+2) =x2+3x – 2.

Rezolvam descompunerea :

x3+5x2+6x-2 = (x2+3 x+2¿ ( x+2 )−2 x−6 ,

f (x) = x+2- 2 x+6

(x+1)(x+2). Efectuam o descompunerea in fractii simple:

2 x+6(x+1)(x+2)

= Ax+1

+ Bx+2

, A( x+2)+B( x+1) = 2x+6,

(A+B)x+2A+B=2x+6, oricarear fi x ∊ I. { A+B=22 A+B=6 , admite solutia

{A=4B=2

. ∫ f ( x )dx=∫ (x+2 ) dx−4∫ 1x+1

dx+2∫ 1x+2

dx.

Obtinem in final :∫ f (x ) dx =12

x2+2x-4 In Ix+1I+2InIx+2I +C.

INTEGRAREA PRIN PARTI – DEFINITA

Teorema:

Daca u, v:[a,b] → R sunt dou afunctii derivabile , cu derivatele continue pe intervalul

[ a , b ] , atunci are loc egalitatea :

∫a

b

u(x0v’(x) dx= [u(x) ∙ v(x)]−∫a

b

u '(x)v(x) dx, denumita formula de

integrare prin partii (*)

1 Folosind formula de integrare prin parti ,sa se calculeze urmatoarea

Integral definita:

a. ∫0

1

( 4 x+1 ) ∙ 3x dx

Rezolvare:

1 J .=∫0

1

( 4 x+1 ) ∙ 3x dx, In formula (*) , luam{u (x )=4 x+1v ' (x )=3x → →{ u' ( x )=4

v ( x )= 3x

¿3

J=4 x1

¿33x∫

0

1−4¿¿ ¿ = 15

¿3 - 1

¿ - 12

¿¿ + 4

¿¿ = 14

¿3 - 8

¿¿

INTEGRAREA PRIN SCHIMBARE DE VARIABILA – DEFINITA

Teorema:

Fie I si 𝓙 doua intervale din R . Se considera functia u : I → 𝓙 ,

derivabila cu cu derivate continua pe I si functia f : 𝓙 → R,

continua pe 𝓙.

Atunci daca se considera[ a , b ] ⊂ I , are loc legatura:

∫a

b

u ' ( x ) f [u ( x ) ] dx=∫u

u

f (t ) dt

1 Folosind schimbarea de variabila , sa se calculeze urmatoarea

integrala definite

a. ∫1

32 x3+3 x2

x4+2 x3+5 dx ;

b. ∫1

e2

2¿2 x+¿ xx

dx;

Rezolvari:

a. 𝓙=∫1

32 x3+3 x2

x4+2 x3+5 dx.

Facem substitutia t = u(x) =x4+2x2+5, dt = u’(x) dx = (4 x3+6x2) dx.

Stabilim noile limite de integrare{ x=1→t=u (1 )=8x=3→t=u (3 )=140

Inlocuim si obtinem = 12∫

8

14012

dx =12 In t .

𝓙 = 12In

1408 =~ 1,431

b . 𝓙 = ∫1

e2

2¿2 x+ Inxx

dx

Facem substitutia t = u(x) = In x ,dt = u’(x) , dx = 1x dx.

Stabilim noile limite de integrare :{ x=1→ t=u (1 )=0

x=e2→ t=u (e2)=2 .

Inlocuim si obtinem 𝓙 = ∫0

2

( 2t 2+ t ) dt=(23 t3+ 12

t 2) = 223