Analiza a 12-A Primitive

Clasa a XII-a - Analiza - 1 Partea I - Primitive

Definitia 11 :

- Fie I un interval si o functie ;

- Spunem ca f admite primitive pe I daca exista o functie astfel incat :

1). este derivabila pe ;

2). , .

Functia F se numeste primitivaprimitiva a functiei f .

Propozitie :

- Fie o primitiva a functiei RIf : ;

- Atunci orice alta primitiva a lui f este de forma :

unde : o functie constanta pe .

Definitia 22 :

- Fie , unde , o functie care admite primitive ;

- Multimea tuturor primitivelor lui f se numeste integrala nedefinitaintegrala nedefinita a functiei f si se noteaza cu :

dxxf

Observatii :

Primitive


1).1). Exprimarile “ Sa se calculeze o primitiva a functiei f “ si “ Sa se calculeze ”sunt sinonime .

2). 2). Daca este o primitiva a lui pe , atunci multimea tuturor primitivelor lui este :

unde :

Primitive


1).1). O functie care admite primitive areare proprietatea lui Darboux (proprietatea functiilor derivate).

2).2). O functie care nu are proprietatea lui Darboux , nu admite primitivenu admite primitive .

3).3). Orice functie continuafunctie continua , unde , admite primitiveadmite primitive .

4).4). Daca si nu este un intervalnu este un interval , atunci nu admite nu admite primitiveprimitive pe .

5).5). Exista functii care admit primitiveadmit primitive si nu sunt continuenu sunt continue (discontinuitati de speta a doua) .

6).6). Daca doua functii RIgf :, admit primitive , atunci orice combinatie liniara a lor :

admit primitiveadmit primitive , si avem relatia :

7).7). Daca dintre doua functii RIgf :, , una admite primitiveuna admite primitive si cealalta nu admite primitivecealalta nu admite primitive , atunci functiile :

si nu admit primitivenu admit primitive .

Primitive


Fie RIgf :, , , doua functii care admit primitive pe si , atunci functiile si admit primitive si au loc relatiile :

1). ;

2). ;

3).

unde este multimea functiilor constante pe si este o primitiva a lui .

1).1).

Primitive


2).2).

3).3).

4).4).

5).5).

6).6).

7).7).

8).8).

9).9).

10).10).

11).11).

12).12).

13).13).

14).14).

15).15).

16).16). .

Primitive


Sa se calculeze primitivele urmatoarelor functii :

1). , ; 2). x

xxf1

, ;0x ;

3). x

xxf1

, ; 4). , Rx ;

5). , ; 6). , ;

7). , ; 8). ,

2;0

x

;

9). , Rx ; 10). 14

12

x

xf , ;

11). , ; 12). , ;

13). , ; 14). , ;

15). , ; 16). , ;

17). , ; 18). , ;

19). , ; 20). , ;

21). x

xf

8

12

, 22;22x ; 22). , ;

23). ,

2;0

x ; 24). , ;

25). 423 xxxf , ; 26). , ;

Primitive


27). , ; 28). , ;

29). 11 xxxxf , ;

30). , ;0x ; 31). ,

;0x ;

32). , ;0x ; 33). , 1;1x ;

34). , .

Primitive


Teorema :

- Daca sunt functii derivabile cu derivatele continue , atunci functiile :

, ,

admit primitive pe si multimile lor de primitive sunt legate prin relatia :

numita formula de integrare prin parti pentru integrale nedefinite .

Exercitiul nr. 1 :


1). , ; 2). , ;

3). , ; 4). , ;

5). , ; 6). , ;

7). , ; 8). , ;

9). , ; 10). , ;

11). , ; 12). , ;

13). , ; 14). , ;

Primitive


15). , ; 16). , ;

17). , ; 18). , ;

19). , ; 20). , ;

21). , ; 22). , ;

23). , ; 24). , ;

25). , ; 26). , ;

27). , ; 28). , ;

29). , ; 30). , ;

31). , .

Exercitiul nr. 2 :


1). , ; 2). , ;

3). , ; 4). ,

5). , ; 6). , ;

7). , ; 8). , ;

9). , ; 10). , .

Exercitiul nr. 3 :


1). , ; 2). , ;

3). , ; 4). , ;

Primitive


5). , ; 6). , ;

7). , ; 8). , ;

9). , ; 10). , ;

11). , ; 12). , .

Metoda schimbarii de variabila , denumita si metoda substitutiei , permite calculul primitivelor (integralelor nedefinite) pornind de la formulele uzuale de integrare si cele de derivare a functiilor compuse .

Teorema :

- Fie doua intervale si

si

doua functii . Daca :

1). ;

2). Functia este derivabila pe ;

3). Functia admite primitive pe ;

Primitive


atunci functia admite primitive pe .

Mai mult , daca este o primitiva a functiei pe , atunci functia

este o primitiva a functiei , adica are loc egalitatea :

S-a presupus S-a presupus interval si interval si derivabila cu derivata continua derivabila cu derivata continua .

1). ,

2). ,

3). ,

4). ,

5). ,

6). ,

Primitive


7). ,

8). ,

9). ,

10). ,

11). ,

12). ,

13). ,

14). ,

Primitive


Teorema :

- Fie doua intervale si

si RI :

doua functii . Daca :

1). Functia este bijectiva ;

2). Functia este derivabila pe J si oricare ar fi Jx ;

3). Functia 'fh admite primitive pe J ,

atunci functia f admite primitive pe I .

Mai mult , daca este o primitiva a functiei pe , atunci

functia este o primitiva a functiei pe , adica are loc egalitatea :

CHdxxf 1

Observatia 1 :

Denumirile de prima formula de schimbare de variabila si a doua formula de schimbare de variabila sunt pur conventionale .

In realitate avem o singura formula de schimbare de variabila si mai multe variante de aplicare a ei :

Avem de calculat : Ixdxxf , .Atunci :

1). Punem in evidenta expresia , in expresia lui , o functie derivabila RI : si o functie

primitivabila astfel incat oricare ar fi .

2). Facem inlocuirile formale si ;

Obtinem primitiva , pe care o calculam . Fie .

3). Revenim la vechea variabila , punand in expresia primitivei ;

Primitive


Obtinem .

Avem de calculat : .Atunci :

1). Punem in evidenta un interval si o functie bijectiva si derivabila .


Obtinem , pe care o calculam .

Fie .


Obtinem .

Avem de calculat : .Atunci :

1). Punem in evidenta expresia , in expresia lui , o functie injectiva cu

derivabila , si o functie , astfel incat .


Obtinem primitiva , pe care o calculam .

Fie .


Obtinem : .

Primitive


Observatia 2 :

In toate cele trei variante ale formulei schimbarii de variabila expuse mai sus , expresia functiei se impune din context , analizand expresia functiei .

Observatia 3 :

Nu exista reguli de calcul al primitivelor decat pentru clase restranse de functii elementare .

Observatia 4 :

Problema gasirii primitivelor este inversa aceleia a derivarii . Problema gasirii primitivelor este insa mult mai dificila decat problema derivarii .

Daca derivatele functiilor elementare sunt de asemenea functii elementare , primitivele functiilor elementare nu sunt totdeauna functii elementare .

Pentru unele functi elementare nici nu se stie daca primitivele lor sunt tot functii elementare .

Exercitiul nr. 1 :


1). , Rx ; 2). ,

Rx ;

3). , Rx ; 4). ,

2;

2

x ;

5). ,

2;

2

x ; 6). , ;

7). , ;

8). , Rx ; 9). ,

;

Primitive


10). , ; 11). ,

Rx ;

12). , Rx ; 13). ,

;

14). , ;

15). , ;

16). , ; 17). , 1;0x

;

18). , Rx ; 19). ,

Rx ;

20). , ; 21). ,

;

22). , ;

23). Rx ;

24). , ; 25).

, ;

26). , Rx ; 27). ,

;

Primitive


28). , Rx ; 29). ,

;

30). , ; 31). ,

Rx ;

32). , ; 33). ,

;

34). , ; 35). ,

.

Exercitiul nr. 2 :


1). , Rx ; 2).

, Rx ;

3). , Rx ; 4). ,

Rx ;

5). , Rx ; 6). ,

Rx ;

7). , Rx ; 8).

, Rx ;

Primitive


9). , ; 10). , Rx

;

11). , Rx ; 12).

, ;

13). , ;14).

, Rx ;

15). , Rx ; 16). ,

Rx ;

17). , Rx ;

18). , ; 19). , Rx ;

20). , ; 21). ,

;

22). , Rx ; 23). , ;

24). , Rx ; 25).

, Rx ;

26). , ; 27). , ;

28). , ; 29). , Rx ;

Primitive


30). , Rx ; 31). , ;

32). , ; 33). , Rx

;

34). , ; 35). , ;

36). , ; 37). , ;

38). , Rx ; 39). , ;

40). , ; 41). , ;

42). ; Rx ; 43). ,

;

44). , ; 45).

, Rx ;

46). , ; 47). , ;

48). , ; 49). , ;

50). , ; 51). , ;

52). , ; 53). ,

;

54). , ; 55). , ;

Primitive


56). , ; 57). , ;

58). , Rx ; 59). , Rx ;

60). , ; 61). , ;

62). , ; 63). , Rx ;

64). , ; 65). , ;

66). , ; 67). , Rx ;

68). , ; 69). , Rx ;

70). , Rx ; 71). ,

Rx ;

72). , ; 73). , ;

74). , ; 75). , ;

76). , Rx ; 77). , Rx ;

78). , ; 79). , ;

80). , ; 81). , Rx ;

82). , Rx ; 83). ,

Rx ;

84). , Rx ; 85). , Rx

;

Primitive


86). , Rx ; 87).

, Rx ;

88). , Rx ; 89). , Rx ;

90). , Rx ; 91). , Rx ;

92). , Rx ; 93). , ;

94). , ; 95). , Rx ;

96). , Rx ; 97). ,

Rx ;

98). , Rx ; 99). ,

Rx ;

100). , Rx ; 101). , ;

102). , Rx ; 103).

, Rx ;

104). , Rx ; 105). , ;

106). , Rx ; 107). ,

Rx ;

108). , Rx ; 109). , Rx ;

110). , Rx ; 111). , Rx ;

112). , Rx ;

Primitive


113). , ; 114). , Rx ;

115). , ; 116). , Rx

;

117). , Rx ; 118). , ;

119). , ; 120). , ;

121). , ; 122). , Rx ;

123). , Rx ; 124). , Rx ;

125). , ; 126). ,

Rx ;

127). , ; 128). , Rx ;

129). , Rx ; 130). , Rx ;

131). , Rx ; 132). , Rx ;

133). , Rx ; 134). , Rx ;

135). , Rx ; 136). , ;

Primitive


137). , ; 138). , ;

139). , Rx ; 140). ,

Rx ;

141). , Rx ; 142). , Rx ;

143). , Rx ; 144). ,

;

145). , ; 146). , Rx

;

147). , Rx ; 148). , Rx ;

149). , Rx ; 150). , ;

151). , Rx ; 152). , Rx ;

153). , ; 154). , ;

155). , Rx ; 156). ,

;

157). , ;

Primitive


158). , ; 159). , Rx ;

160). , ;

161). , ;162). , ;

163). , ; 164). ,

;

165). , ; 166). ,

167). , ; 168). , ;

169). , Rx ; 170). , ;

171). , Rx ; 172). ;

173). , ; 174). , ;

175). , ; 176). , ;

177). , ; 178). , ;

Primitive


179). , ; 180).

, Rx ;

181). , ; 182). ,

;

183). , Rx ; 184). ,

;

185). . .

Primitive


Definitia functiei rationalefunctiei rationale :

- Fie I un interval din ;- Functia se numeste rationala daca exista doua polinoame si cu

coeficienti numere reale , astfel incat :

si

Definitia functiei rationale simplefunctiei rationale simple :

- O functie rationala se va numi simpla daca este de una din urmatoarele forme :

1). ;

2). , unde ;

3). , unde si .

TEOREMA de descompunere a functiilor rationalede descompunere a functiilor rationale :

- Afirma ca orice functie rationala se scrie , in mod unic , ca o suma finita de functii rationale simple .

In consecinta , integrarea functiilor rationale se reduce la integrarea functiilor rationale simple .

La calculul integralei unei functii rationale pot aparea doua cazuri :

Primitive


Daca in integrala , polinoamele nu au radacini comune si

vom scrie ca o suma de functii rationale simple .

Daca :

a). are radacini simple , atunci si functia

rationala se poate scrie in mod unic sub forma :

b). are radacini multiple , de exemplu , atunci

se poate scrie sub forma :

c). se poate descompune sub forma :

,

unde ,

atunci se poate scrie sub forma :

Primitive


Daca se imparte la si atunci se poate scrie :

unde : si sunt respectiv catul si restul impartirii .

Pentru determinarea coeficientilor , se aduce la acelasi numitor in membrul drept si se pune conditia ca numaratorii celor doi membri sa coincida . Se obtine un sistem liniar in care necunoscutele sunt coeficientii cautati ( metoda coeficientilor nedeterminati ).

Exercitiul nr. 1 :

Primitive



1). , ; 2). , ;

3). , ; 4). , ;

5). , ; 6). , 0x ;

7). , ; 8). , .

Exercitiul nr. 2 :


1). , ; 2). ,

;

3). , ;

4). , ;

5). , ; 6).

, ;

Primitive


7). , ; 8). , ;

9). , ; 10). , ;

11). , ;

12). , ; 13). , ;

14). , ; 15). ,

;

16). , .

Exercitiul nr. 3 :


1). , ; 2). ,

;

3). , ; 4). ,

;3x ;

5). , ; 6).

, ;

Primitive


7). , ;

8). , ;

9). , ;

10). , ;

11). , ; 12). ,

;

13). , ;

14). ;

15). , .

Exercitiul nr. 4 :


1). , 1x ; 2). ,

1x ;

Primitive


3). , 1x ; 4).

, ;

5). , ; 6).

, 1x ;

7). , 1x ; 8). ,

;

9). , ; 10).

, 1x ;

11). , ;

12). , ; 13). ,

;

14). , ; 15). , ;

Primitive


16). , ; 17).

, ;

18). , ; 19). ,

;

20). , ; 21). ,

;

22). , ; 23).

, ;

24). , ; 25).

, ;

26). , .

Exercitiul nr. 5 :


Primitive


1). , ; 2). ,

;

3). , ; 4). ,

;

5). , ; 6). ,

;

7). , ; 8). ,

;

9). , ; 10). ,

;

11). , ; 12). , .

Exercitiul nr. 6 :


1). ; 2). ;

3). ; 4).

;

Primitive


5). ; 6).

;

7). ; 8).

;

9). ; 10).

;

11). ; 12). ;

13). ; 14). ;

15). .

Exercitiul nr. 7 :


1). ; 2). ;

3). ; 4).

;

Primitive


5). ; 6).

;

7). ;

8). ;

9). ; 10).

;

11). ;12). ;

13). ; 14). ;1x ;

15). ;1x ; 16). ;1x

;

17). .

Exercitiul nr. 8 :


Primitive


1). ; 2).

;1x

3). ; 4).

;

5). ; 6).

7). ; 8).

;

9). .

Exercitiul nr. 9 :


1). ; 2).

;

Primitive


3). ; 4).

;

5). ; 6).

.

Exercitiul nr. 10 :


1). ; 2).

;

3). ; 4).

;

5). ; 6).

;

7). .

Primitive


Daca functia de sub integrala este de forma :

unde , atunci punand , unde este cel mai mic multiplu comun al

ordinelor radicalilor se ajunge la o integrala de functie rationalao integrala de functie rationala .

Exercitiul nr. 1 :


1). 2).

3). 4).

5). 6).

7). 8).

9). 10).

Primitive


11). 12).

13). 14).

15). 16).

17). 18).

19). 20).

21). 22).

23). 24).

25). 26).

27). 28).

29). 30).

31). 32).

33). 34).

35). 36).

Primitive


I.

Daca functia de sub integrala este de forma :

atunci se face substitutia , iar de aici ajungand in final la o

integrala asociata de functie rationala in .

Exercitiul nr. 1 :


1). 2).

3). 4).

5). 6).

7). 8).

9). 10).

11). .

Primitive


II.

In cazul integralelor de tipul

,

2dx

cbxax

xPm

fiind polinom de grad

Se scrie :

(*)

unde este un polinom de grad 1m cu coeficienti nedeterminati , iar este un

parametru real . Se determina polinomul si numarul prin derivarea identitatii

(*) .

III.

In cazul integralelor de tipul :

cu ajutorul substitutiei :

aceasta se reduce la tipul precedent .

Primitive


In cazul integralelor binome :

,

calculul primitivelor functiilor binomiale se reduce la calculul functiilor rationale numai in urmatoarele cazuri stabilite de Cebisev :

Se face substitutia :

unde este multiplu comun al numitorului lui si .


unde este numitorul lui .


.

Primitive


Exercitiul nr. 1 :


1). 2). Rx

3).

,1

12

dxxx

4).

5). Rx 6).

7). 8). Rx

9). 10).

11). 2x 12).

13). Rx 14). Rx

15). Rx 16).

17). 18).

19). 20).

21). 22).

Primitive


23). , 24). ,

25). , 26). , Rx

27). 28).

29). 30). .

Exercitiul nr. 2 :


1). Rx 2).

3). 4). Rx

5). Rx 6).

7). Rx 8).

9). Rx 10).

11). Rx 12). Rx

Primitive


13). 14).

Rx

Exercitiul nr. 3 :

Fie . Sa se calculeze :

1). Rx 2).

3). 4).

5). Rx 6). Rx

7). 8).

Exercitiul nr. 4 ( Duca )

Fie . Sa se calculeze :

1). , 2). ,

3). , 4). ,

Exercitiul nr. 5 ( Duca )

Sa se calculeze :

1). 2).

Primitive


3). , Rx 4).

5). 1,0x 6). ,

7). Rx 8).

9). 10).

11). Rx 12).

13). 14).

15). 16). Rx

17). 18). Rx

19). 20).

21). 22).

23). 24).

25). Rx 26).

Primitive


Integralele de tipul

se rationalizeaza prin substitutiile lui EULERsubstitutiile lui EULER :

Daca ecuatia

are radacinile reale si

Primitive


se face substitutia :

sau

Daca , atunci


Daca , atunci


Exercitiul nr. 1 :


1). 2).

3). 4).

Primitive


5). 6).

7). 8).

9). 10).

11). 12).

13).

Exercitiul nr. 2 :


1). , 2). ,

3).

dxxxx 42

12

, 4). ,

5). , 6). ,

7). , 8). ,

9). , 10).

Primitive


11). , 12). ,

13). 14).

Primitive


Cazul in care functiile au in structura functiile la puterea intai :

Daca functia de sub semnul integrala este de forma :

adica avem :

unde este o functie rationala

Atunci folosindu-ne de formulele trigonometrice :

si

prin substitutia universala :

se poate obtine o integrala asociata de functie rationala in .Intr-adevar :

,

iar din :

Observatii :

Prezenta functiilor trigonometrice la puteri mai mari conduce la functii

rationale mai complicate si deci calcule mai greoaie .

Primitive


Cazul in care functiile au in structura functiile la puteri mai mari :

In astfel de situatii se recomanda scrierea functiei R sub una din formele :

Daca

se recomanda substitutia :

Daca

se recomanda substitutia :

Daca

atunci se recomanda :

1). Trecerea de la patrate la cosinusuri de argument dublu dupa formulele :

,

sau2). Substitutia

cand arctgtx

Primitive


iar : ,

Daca

atunci se recomanda exprimarea puterilor pare ale lui in functie de :

Exercitiul nr. 1 :


1). 2). ,

3). , 4).

5). 6).

7).

8). 9).

10). , unde este un numar real .

Primitive


Exercitiul nr. 2 :


1). 2).

3). 4).

5). 6).

7). 8).

9). 10).

11). 12).

13). 14).

15). 16).

17). 18).

19). 20).

21). 22).

23). 24).

25). 26).

27). 28).

Primitive


29). 30).

31). 32).

33). 34).

35). 36).

37). 38).

39). 40).

41). 42).

43). 44).

45). 46).

47). 48).

49). 50).

51). 52).

53). daca ; si apoi pentru

54). 55).

56). 57).

Primitive


58). 59).

60). 61).

62). 63).

64). 65).

66). 67).

68). 69).

70). 71). ,

72). , 73).

74). 75).

Exercitiul nr. 3 ( Duca ) :


1). 2).

Primitive


3). 4).

5). 6).

7). 8).

9). 10).

11). 12).

13). 14).

15). 16).

17). 18).

19). 20).

21). 22).

23). 24).

Primitive




1). 2).

3). 4).

5). 6).

7). , 8).

9). 10).

11). 12).

13). 14).

15). 16).

17). 18).

19). 20).

Primitive


21). 22).



1). 2).

3). 4).

5). 6).

7). 8).

Exercitiul nr. 6 ( Mihalca + Nita ) :


1). 2). 3).

4). 5). , 6).

7). 8). 9). ,

Primitive


10). 11). 12).

13). 14).

15). 16). 17).

18). 19). 20).

21). 22). 23).

24). 25). 26).

27). 28). 29).

30). 31). 32).

Primitive


33). 34).

35). 36). .

Primitive

Analiza a 12-A Primitive

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