Barbu Eugen, Gal Ramona, Prodan Alexandra – Barbu Eugen, Gal Ramona, Prodan Alexandra – Echipa 3 Echipa 3

Clasa a XII-a AClasa a XII-a A

Exemple studiateExemple studiate - (N, +) operatia este asociativa, admite pe e=0 element - (N, +) operatia este asociativa, admite pe e=0 element

neutru, comutativaneutru, comutativa - - (N, *) operatia este asociativa, admite pe e=1 element (N, *) operatia este asociativa, admite pe e=1 element

neutru, comutativaneutru, comutativa - (N*, +) operatia este asociativa si comutativa- (N*, +) operatia este asociativa si comutativa - (z, +) operatia este asociativa, comutativa, admite pe 0 - (z, +) operatia este asociativa, comutativa, admite pe 0

el.neutru, pe –x el.simetric.el.neutru, pe –x el.simetric.1. Daca S este o multime nevida pe care se defineste o lege

de compozitie notata multiplicativ SXS S, (x,y) x*y, atunci perechea (S,*) se numeste semigrup daca operatia este asociativa. In plus daca operatia este si comutativa acesta se numste semigrup comutativ (abelian).

2. Semigrupul (S,*) se numeste monoid daca legea de compozitie admite element neutru, notat cu e.Daca legea este si comutativa atunci este monoid comutativ.

3. Un monoid (S,*) cu proprietatea ca orice element al sau este inversabil, se numeste grup.

Probleme deduse

1. Fie (M, *) monoid si puterile lui a un element din M. Demonstram ca am * an=am+n, (am)n=amn, unde m si n sunt numere naturale.

2. Fie M=Z[i]={ a+bi / a, b numere intregi }.Aratati ca M este parte stabila a lui C in raport cu inmultirea si ca formreaza un monoid comutativ cu operatia de inmultire.Sa se determine elemente simetrizabile ale monidului.

Probleme propuse

1. Fie (M, +) monoid si plecand de la multiplii lui na unde n numar natural si a un element din M. Demonstram ca ma+na=(m+n)a, n(ma)=(nm)a, unde m si n sunt numere naturale.

2. Fie M=Z[i]={ a+bi / a, b numere intregi }.Studiati proprietatile si raspundeti prin da sau nu daca (M,*)est grup.

Ipoteze De lucru-plecand de regulile de calcul in

subgrup De investigare-ajungem la regulile de calcul in

grupIntr-un grup sunt adevarate:1. a*b=a*c atunci b=c b*a=c*a atunci b=c2.ec.a*x=b, y*a=b, au solutii unice

x=a’*b, y=b*a’, unde a’ este simetricul lui a.

Proprietati comune structurii

Semigrup/monoid/grup/subgrup

Proprietate cunoscuta

-Asociativitatea

-Comutativitatea

Trec la monoid apare el.neutru

Proprietate noua

elem.simetric

Ipoteze De lucru -plecam de la grup si cautam

submultimi ale lui cu aceleai proprietati spre exemplu am gasit pe G dar si pe e-el.neutru

De investigare- Studiem daca aceeasi operatie este

parte stabila in raport cu submultimea

- Daca el.simetric al grupului este el.simetric si pentru submultime.

Teorema.Fie ( G,*) grup si e element neutru al lui G si H subgrup al lui G.Atunci e este element neutru al lui H subgrup, iar H este grup in raport cu op.*

-Astfel de multimi cu ipotezele de investigare adevarate se numesc subgrupuri.

EvaluariEvaluari

Ce STIU: - semigrup, monoid, Ce STIU: - semigrup, monoid, grup subgrup, reguli de calcul in grup subgrup, reguli de calcul in grupgrup

Ce AM AFLAT:asemanari, Ce AM AFLAT:asemanari, deosebiri intre structurideosebiri intre structuri

Ce VOI DEFINI:legatura intre Ce VOI DEFINI:legatura intre structuri din punct de vedere al structuri din punct de vedere al proprietatilor acestora.proprietatilor acestora.

Ipoteze De lucru -plecam de la definitia functiei, de la

proprietatile functiilor bijective si de la doua grupuri (G,*) si (M, &)

De investigare- Studiem functia f:G M f(x*y)=f(x)&f(y)O astfel de functie se numeste morfism

de grupuri.Am observat ca in partea stanga apare

operatia primului grup iar in dreapta op. celui de al doilea grup.

Mai mult, ne-am documentat si am descoperit ca daca functia este bijectiva functia se numeste izomorfism.

Am mai observat ca daca avem un morfism de grupuri de la (G,*) la (G’,*)Sunt indeplinite proprietatile:f(e)=e’, f(x’)=f(x)’, f(xn )=f(x)n

Mai mult am descoperit ca daca f este izomorfism atunci fuctia inversa este si ea la randul ei izomorfism.

Probleme deduse

Probleme propuse 1.Fie grupurile (R,+) si (R*+, *).Studiem daca functia f:R→R*+,f(x)=ax este

un izomorfism de grupuri.(este adevarat ca aceasta functie este bijectiva iar proprietatile cu puteri

sunt si ele adevarate chiar din definitie).2.Studierea izomorfismului intre (Z,+) si (C * ,*).

1. Fie ( C, +) grupul aditiv al numerelor complexe. Să se arate că f: C→ C unde f(z)= , este automorfism de grupuri. 2. Fie ( C, · ) grupul multiplicativ al numerelor complexe. Să se arate că f: C→ C, f(z)= este automorfism de grupuri

Exemple

Am folosit exemple importante ce fac legatura structurilor cu algebra si geometria.

M1M2

M3M4

Daca ati inteles ce am realizat va rog solicitati acest material.

BIBLIOGRAFIE Constantin Năstăsescu, Constantin Niţă, Gheorghe Grigore, Daniel

Bulacu – "Matematică" – M1, Manual pentru clasa a XII-a, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 2003

http://www.e-referate.ro/referate http://ro.wikipedia.org/wiki/Grup_(matematică) http://ro.wikipedia.org/wiki/Asociativitate http://mathworld.wolfram.com/Associative.html http://mathworld.wolfram.com/Group.html http://mathworld.wolfram.com/Monoid.html http://mathworld.wolfram.com/Semigroup.html http://ro.wikipedia.org/wiki/Semigrup cd-ul cu lectii electronice ale laboratorului informatizat