1

Polinoame 1) Forma algebrică a unui polinom Prin forma algebrică sau forma canonică înţelegem

11 1 0...n n

n nf a X a X a X a . Prescurtat putem scrie

0

.n

kk

k

f a X

0 1, ,..., na a a sunt coeficienţii polinomului cu 0na ,

na se numeşte coeficient dominant şi nna X termen dominant

1na atunci polinomul se numeşte monic sau unitar

0a termen liber .

0 1, ,..., na a a polinomul este cu coeficienţi complecşi şi scriem f X

, unde X este mulţimea polinoamelor cu coeficienţi complecşi.

0 1, ,..., na a a polinomul este cu coeficienţi reali şi scriem f X ,

unde X este mulţimea polinoamelor cu coeficienţi reali.

0 1, ,..., na a a polinomul este cu coeficienţi raţionali şi scriem f X ,

unde X este mulţimea polinoamelor cu coeficienţi raţionali .

0 1, ,..., na a a polinomul este cu coeficienţi întregi şi scriem f X ,

unde X este mulţimea polinoamelor cu coeficienţi întregi .

X X X X .

2) Gradul unui polinom Dacă 1

1 1 0...n nn nf a X a X a X a

şi 0na atunci spunem că polinomul f are gradul n . Notaţie grad f sau gr f

Dacă 0f a atunci polinomul se numeşte constant şi 0grad f .

Dacă 0f atunci polinomul se numeşte nul şi grad f .

3) Egalitatea polinoamelor Fie 1

1 1 0...n nn nf a X a X a X a

şi 11 1 0...m m

m mg b X b X b X b . Polinoamele

f şi g sunt egale şi scriem f g dacă n m şi , 1,i ia b i n adică au grade egale iar coeficienţii corespunzători egali. 4) Valoarea unui polinom Fie 1

1 1 0...n nn nf a X a X a X a

şi . Numărul 1

1 1 0...n nn nf a a a a

se numeşte valoarea polinomului în α

şi se obţine din calculul înlocuirii nedeterminatei X cu α. Dacă 0f atunci numărul α se numeşte rădăcină a polinomului f

Suma coeficienţilor se obţine calculând valoarea polinomului în 1 adică 1 1 01 ...n nf a a a a

2

Termenul liber 0a se obţine calculând valoarea polinomului în 0 adică

00f a

5) Operaţii cu polinoame

Fie , [ ],f g X 0

ni

ii

f a X

şi 0

,m

jj

j

g b X n m

.

Suma polinoamelor f şi g este polinomul definit prin: 0

,n

kk

k

f g c X

unde

,

,k k

kk

a b k mc

a m k n

şi grad( ) max grad ,gradf g f g .

Suma se efectuează prin adunarea termenilor(monoamelor) asemenea Produsul polinoamelor f şi g este polinomul definit prin:

1 0... ,n mn mf g c X c X c unde

kji

jik bac , .,0 mnk şi

grad( ) grad gradf g f g .

produsul se efectuează prin desfacerea parantezelor şi apoi prin reducerea termenilor(monoamelor) asemenea

Împărţirea polinoamelor f şi g se efectuează aplicând algoritmul pentru aflarea câtului şi a restului.

Nu este indicat să aplicăm algoritmul la împărţirea cu binomul X Restul împărţirii unui polinom f prin binomul X este egal cu valoarea

polinomului în adică ( )f deci reţinem că r f

Câtul şi restul împărţirii unui polinom f prin binomul X se pot afla cu schema lui Horner

Teorema împărţirii cu rest. Oricare ar fi polinoamele , [ ],f g X grad f grad g , ,0g există şi sunt

unice polinoamele , [ ]q r X care au proprietăţile: ;f g q r şi grad r grad g . Avem evident că grad q grad f grad g

Dacă efectiv nu putem aplica algoritmul la împărţirea cu X X

atunci determinarea restului se va face astfel: Aplicăm T.I.R şi obţinem f X X q mx n

Calculăm f şi f în două moduri şi obţinem un sistem în m şi

n Rezolvăm sistemul şi obţinem

, ,

f a f b af b bf am n a b

a b a b

6) Divizibilitatea polinoamelor Fie , [ ]f g X . Polinomul f este divizibil cu polinomul g dacă există un polinom [ ]q X astfel încât f g q . Notăm gf sau .| fg

gf dacă şi numai dacă f împărţit la g dă restul 0

3

f g dacă f împărţit la g nu dă restul 0 Dacă gf atunci grad f grad g

Dacă gf dacă şi numai dacă rădăcinile lui g sunt şi rădăcini pentru f. f g dacă o rădăcină a lui g nu este rădăcină şi pentru f.

7) Rădăcinile polinoamelor Numărul α este rădăcină pentru polinomului f dacă şi numai dacă 0f .

Teorema lui Bézout. Fie [ ]f X un polinom nenul şi . Polinomul f este divizibil cu binomul X dacă şi numai dacă 0f adică a

este rădăcină. Dacă α este rădăcină pentru polinomul f atunci ( )f X Dacă α şi β sunt rădăcini pentru polinomul f atunci ( )f X şi ( )f X Dacă ( )f X şi ( )f X atunci ( ) ( )f X X

Spunem că este rădăcină multiplă de ordin p pentru polinomul [ ]f X , dacă ( ) pf X şi f 1( ) pX . Dacă 2p atunci α se mai numeşte rădăcină dublă pentru polinom, iar dacă 3p atunci α se mai numeşte rădăcină triplă pentru polinom.

este rădăcină dublă pentru polinomul [ ]f X , dacă

0

0

0

l

ll

f

f

f

adică α este rădăcină pentru f, pentru f l şi nu e pentru f l l

este rădăcină triplă pentru polinomul [ ]f X , dacă

0

0

0

0

l

ll

lll

f

f

f

f

adică α este rădăcină pentru f, pentru f l , pentru f l l şi nu e pentru f l l l . Polinomul care are o infinitate de rădăcini este polinomul nul

8) Rădăcinile polinoamelor cu coeficienţi reali Fie [ ]f X şi numerele , 0a bi b respectiv , ,a bi a b

Dacă f are rădăcina complexă , 0a bi b atunci şi a bi este rădăcină şi amândouă au acelaşi ordin de multiplicitate.

Dacă f are rădăcina complexă , 0a bi b atunci ( ) ( )f X X . Numărul rădăcinilor din \ adică pur complexe ale polinomului f este

par. Dacă gradul lui f este impar atunci polinomul are cel puţin o rădăcină

reală Dacă gradul lui f este impar atunci polinomul are un număr impar de

rădăcini reale.

4

Dacă gradul lui f este par atunci polinomul are un număr par de rădăcini reale sau deloc

Dacă 0f a f b atunci polinomul f are cel puţin o rădăcină reală în

intervalul , , , ,a b a b a b

9) Rădăcinile polinoamelor cu coeficienţi raţionali Fie [ ]f X şi numerele , 0 ,a b d d d respectiv

, , ,a b d a b d Dacă f are rădăcina iraţională , 0 ,a b d d d atunci şi

a b d este rădăcină şi amândouă au acelaşi ordin de multiplicitate. Dacă f are rădăcina iraţională , 0 ,a b d d d atunci

( ) ( )f X X . 10) Rădăcinile polinoamelor cu coeficienţi întregi

Fie [ ]f X şi numărul p

q unde , , , 1p q p q

Dacă f are rădăcina fracţia ireductibilă p

q atunci p 0a şi q na adică

p divide termenul liber şi q divide coeficientul dominant. Rădăcinile întregi sunt divizori ai termenului liber Un polinom nu admite rădăcini întregi dacă valorile polinomului în

divizori întregi ai termenului liber sunt nenule. Dacă f este monic(unitar) atunci rădăcinile raţionale sunt numai întregi Un polinom monic nu admite rădăcini raţionale dacă nu are nici întregi.

11) Descompunerea în factori Fie f X , 1

1 1 0...n nn nf a X a X a X a

cu rădăcinile distincte 1 2, ,..., nx x x .

Formula de descompunere este : 1 2 ...n nf a X x X x X x

Dacă rădăcinile nu sunt distincte atunci:

1 2

1 2 ...kpp p

n kf a X x X x X x unde 1 2, ,..., kp p p sunt ordinele de

multiplicitate a rădăcinilor 1 2, ,..., kx x x

Orice polinom de grad 1n cu coeficienţi reali poate fi descompus într-un produs de polinoame de gradul I sau gradul II cu coeficienţi reali.

Pentru descompuneri căutăm rădăcini întregi printre divizorii termenului liber aplicând schema lui Horner.

Dacă cunoaştem rădăcinile 1 2, ,..., nx x x putem afla polinomul desfăcând parantezele 1 2 ...n na X x X x X x .

În formula de descompunere 1 2 ...n nf a X x X x X x putem da

valori particulare pentru nederminata X şi vom obţine diverse relaţii. 12) Polinoame reductibile-ireductibile

5

Polinomul f cu , 1grad f n n se numeşte reductibil peste mulţimea de

numere M dacă există polinoamele g,h din M X de grade strict mai mici decât

gradul lui f, astfel încât f g h . În caz contrar polinomul f este ireductibil peste mulţimea M.

Orice polinom de grad 1 este ireductil Orice polinom de grad 2 este reductil peste Dacă un polinom f M X este ireductibil peste o mulţime de numere M

atunci nu are rădăcini în M dar invers nu adică dacă f M X nu are

rădăcini în M nu înseamnă că este ireductibil peste M Polinoamele ireductibile peste sunt de forma f ax b sau

2 , 0f ax bx c unde , ,a b c Un polinom f poate fi ireductibil peste o mulţime dar reductibil peste altă

mulţime. 13) Relaţii între rădăcini şi coeficienţi-Relaţiile lui Viète. Fie f X , 1

1 1 0...n nn nf a X a X a X a

cu rădăcinile 1 2, ,..., nx x x . Relaţiile

lui Viète sunt : 1

1 1 2 ... nn

n

aV x x x

a

2

3

22 1 2 1 3 1

33 1 2 3 1 2 4 2 1

...

...

n

n

nn n

nC termeni

nn n n

nC termeni

aV x x x x x x

a

aV x x x x x x x x x

a

....; 0

1 2... ( 1) .nn n

n

aV x x x

a

Suma inverselor rădăcinilor 1

1 2

1 1 1... n

n n

V

x x x V

Suma pătratelor rădăcinilor 2 2 2 21 2 1 2... 2nx x x V V

Dacă 2 2 21 2 ... 0nx x x atunci polinomul nu are toate rădăcinile reale

Dacă aplicăm definiţia rădăcini pentru fiecare în parte atunci prin adunarea relaţiilor putem obţine informaţii despre alte sume de puteri de rădăcini

Dacă cunoaştem 1 2, ,..., nV V V atunci ecuaţia care are soluţiile 1 2, ,..., nx x x este : 1 2

1 2 ... ( 1) ... ( 1) 0.n n n k n k nk nx V x V x V x V

14) Teoremă. Orice ecuaţiei polinomială de grad n are exact n rădăcini complexe nu neapărat distincte.

15) Teorema fundamentală a algebrei (teorema D’Alembert – Gauss). Orice ecuaţie polinomială de grad mai mare sau egal cu 1 are cel puţin o rădăcină complexă.

6

16) Teorema Abel-Ruffini . Orice ecuaţie polinomială de grad mai mare decât 4 nu este rezolvabilă prin radicali.

17) Rezolvarea ecuaţiilor polinomiale de forma 1

1 1 0... 0n nn na X a X a X a

Pentru ecuaţiile de gradul I şi II avem formule de rezolvare cunoscute. Pentru rezolvarea ecuaţiilor bipătrate de forma 4 2 0ax bx c se face

substituţia 2 x t Pentru ecuaţiile reciproce adică ecuaţiile cu coeficienţii termenilor egal

depărtaţi de extremi, egali aplicăm algoritmul : Dacă gradul este impar atunci 1 este rădăcină şi aplicând schema

lui Horner obţinem o altă ecuaţie reciprocă, dar de grad par

Dacă gradul este par atunci se face substituţia 1x , 0t x

x şi prin

calcul se observă că 2 22

1x + 2t

x

Ecuaţiile binome de grad impar de forma  2 1 , ,kx a a k au rădăcina reală 2 1kx a

Ecuaţiile binome de grad par de forma  2 *, 0,kx a a k au rădăcinile reale 2kx a

18) Studiul rădăcinilor unei ecuaţii se poate face şi cu teoremele Darboux , Rolle. Cu ajutorul acestor teoreme se pot determina numărul rădăcinilor reale ale ecuaţiei precum şi intervalele în care aceste rădăcini sunt situate, dacă asociem funcţia polinomială :f . Consecinţă a Teoremei lui Darboux. Dacă o funcţia este continuă pe un

interval I şi 0, , ,f a f b a b I I atunci ecuaţia 0f x are cel

puţin o soluţie în intervalul (a,b). Şirul lui Rolle. Între două rădăcini ale derivatei există cel mult o

rădăcină a funcţiei. Algoritmul este: Se rezolvă ecuaţia 0lf x  şi obţinem rădăcinile  1 2, ,..., kx x x  

Facem un tabel de forma. x 1x 2x ... kx

lf x 0 0 ... 0

f x limx

f x

1f x 2f x ... kf x limx

f x

analizăm variaţia semnului funcţiei f. Între două variaţii de semn consecutive ale funcţiei f(x) există o rădăcină a polinomului f.