polinoame - xxx xxx a ...

download polinoame -    xxx xxx a ...

of 24

  • date post

    05-May-2018
  • Category

    Documents

  • view

    253
  • download

    9

Embed Size (px)

Transcript of polinoame - xxx xxx a ...

  • Polinoame 1) Forma algebric a unui polinom Prin forma algebric sau forma canonic nelegem

    11 1 0...

    n nn nf a X a X a X a

    . Prescurtat putem scrie

    0.

    nk

    kk

    f a X

    0 1, ,..., na a a sunt coeficienii polinomului cu 0na , na se numete coeficient dominant i nna X termen dominant 1na atunci polinomul se numete monic sau unitar 0a termen liber . 0 1, ,..., na a a polinomul este cu coeficieni compleci i scriem f X , unde

    X este mulimea polinoamelor cu coeficieni compleci. 0 1, ,..., na a a polinomul este cu coeficieni reali i scriem f X ,

    unde X este mulimea polinoamelor cu coeficieni reali. 0 1, ,..., na a a polinomul este cu coeficieni raionali i scriem f X , unde

    X este mulimea polinoamelor cu coeficieni raionali . 0 1, ,..., na a a polinomul este cu coeficieni ntregi i scriem f X , unde X

    este mulimea polinoamelor cu coeficieni ntregi . X X X X .

    2) Gradul unui polinom Dac 11 1 0...n nn nf a X a X a X a i 0na atunci spunem c polinomul f are gradul

    n . Notaie grad f sau gr f Dac 0f a atunci polinomul se numete constant i 0grad f . Dac 0f atunci polinomul se numete nul i grad f .

    3) Egalitatea polinoamelor Fie 11 1 0...n nn nf a X a X a X a i 11 1 0...m mm mg b X b X b X b . Polinoamele f i g sunt egale i scriem f g dac n m i , 1,i ia b i n adic au grade egale iar coeficienii corespunztori egali.

    4) Valoarea unui polinom Fie 11 1 0...n nn nf a X a X a X a i . Numrul 11 1 0...n nn nf a a a a se numete valoarea polinomului n i se obine din calculul nlocuirii nedeterminatei X cu .

    Dac 0f atunci numrul se numete rdcin a polinomului f Suma coeficienilor se obine calculnd valoarea polinomului n 1

    adic 1 1 01 ...n nf a a a a

  • 2

    Termenul liber 0a se obine calculnd valoarea polinomului n 0 adic 00f a 5) Operaii cu polinoame Fie , [ ],f g X

    0

    ni

    ii

    f a X

    i 0

    ,m

    jj

    jg b X n m

    .

    Suma polinoamelor f i g este polinomul definit prin: 0

    ,n

    kk

    kf g c X

    unde ,

    ,k k

    kk

    a b k mc

    a m k n

    i grad( ) max grad ,gradf g f g .

    Suma se efectueaz prin adunarea termenilor(monoamelor) asemenea Produsul polinoamelor f i g este polinomul definit prin:

    1 0... ,n m

    n mf g c X c X c

    unde

    kji

    jik bac , .,0 mnk i grad( ) grad gradf g f g .

    produsul se efectueaz prin desfacerea parantezelor i apoi prin reducerea termenilor(monoamelor) asemenea

    mprirea polinoamelor f i g se efectueaz aplicnd algoritmul pentru aflarea ctului i a restului.

    Nu este indicat s aplicm algoritmul la mprirea cu binomul X Restul mpririi unui polinom f prin binomul X este egal cu valoarea

    polinomului n adic ( )f deci reinem c r f Ctul i restul mpririi unui polinom f prin binomul X se pot afla cu schema

    lui Horner Teorema mpririi cu rest.

    Oricare ar fi polinoamele , [ ],f g X grad f grad g , ,0g exist i sunt unice polinoamele , [ ]q r X care au proprietile: ;f g q r i grad r grad g . Avem evident c grad q grad f grad g

    Dac efectiv nu putem aplica algoritmul la mprirea cu X X atunci determinarea restului se va face astfel:

    Aplicm T.I.R i obinem f X X q mx n Calculm f i f n dou moduri i obinem un sistem n m i n

    Rezolvm sistemul i obinem , ,f a f b af b bf am n a ba b a b

    6) Divizibilitatea polinoamelor Fie , [ ]f g X . Polinomul f este divizibil cu polinomul g dac exist un polinom

    [ ]q X astfel nct f g q . Notm gf sau .| fg gf dac i numai dac f mprit la g d restul 0 f g dac f mprit la g nu d restul 0 Dac gf atunci grad f grad g

  • 3

    Dac gf dac i numai dac rdcinile lui g sunt i rdcini pentru f. f g dac o rdcin a lui g nu este rdcin i pentru f.

    7) Rdcinile polinoamelor Numrul este rdcin pentru polinomului f dac i numai dac 0f . Teorema lui Bzout. Fie [ ]f X un polinom nenul i . Polinomul f este divizibil cu binomul X dac i numai dac 0f adic a este rdcin.

    Dac este rdcin pentru polinomul f atunci ( )f X Dac i sunt rdcini pentru polinomul f atunci ( )f X i ( )f X Dac ( )f X i ( )f X atunci ( ) ( )f X X

    Spunem c este rdcin multipl de ordin p pentru polinomul [ ]f X , dac ( ) pf X i f 1( ) pX . Dac 2p atunci se mai numete rdcin dubl pentru

    polinom, iar dac 3p atunci se mai numete rdcin tripl pentru polinom.

    este rdcin dubl pentru polinomul [ ]f X , dac

    000

    l

    ll

    fff

    adic este

    rdcin pentru f, pentru f l i nu e pentru f l l

    este rdcin tripl pentru polinomul [ ]f X , dac

    0000

    l

    ll

    lll

    ffff

    adic este

    rdcin pentru f, pentru f l , pentru f l l i nu e pentru f l l l . Polinomul care are o infinitate de rdcini este polinomul nul

    8) Rdcinile polinoamelor cu coeficieni reali Fie [ ]f X i numerele , 0a bi b respectiv , ,a bi a b Dac f are rdcina complex , 0a bi b atunci i a bi este rdcin i

    amndou au acelai ordin de multiplicitate. Dac f are rdcina complex , 0a bi b atunci ( ) ( )f X X . Numrul rdcinilor din \ adic pur complexe ale polinomului f este par. Dac gradul lui f este impar atunci polinomul are cel puin o rdcin real Dac gradul lui f este impar atunci polinomul are un numr impar de rdcini

    reale. Dac gradul lui f este par atunci polinomul are un numr par de rdcini reale sau

    deloc Dac 0f a f b atunci polinomul f are cel puin o rdcin real n intervalul

    , , , ,a b a b a b

  • 4

    9) Rdcinile polinoamelor cu coeficieni raionali Fie [ ]f X i numerele , 0,a b d d d respectiv , , ,a b d a b d Dac f are rdcina iraional , 0,a b d d d atunci i a b d este

    rdcin i amndou au acelai ordin de multiplicitate. Dac f are rdcina iraional , 0 ,a b d d d atunci ( ) ( )f X X .

    10) Rdcinile polinoamelor cu coeficieni ntregi Fie [ ]f X i numrul p

    q unde , , , 1p q p q

    Dac f are rdcina fracia ireductibil pq

    atunci p 0a i q na adic p divide

    termenul liber i q divide coeficientul dominant. Rdcinile ntregi sunt divizori ai termenului liber Un polinom nu admite rdcini ntregi dac valorile polinomului n divizori ntregi

    ai termenului liber sunt nenule. Dac f este monic(unitar) atunci rdcinile raionale sunt numai ntregi Un polinom monic nu admite rdcini raionale dac nu are nici ntregi. f x f y x y

    11) Descompunerea n factori Fie f X , 11 1 0...n nn nf a X a X a X a cu rdcinile distincte 1 2, ,..., nx x x . Formula de descompunere este :

    1 2 ...n nf a X x X x X x Dac rdcinile nu sunt distincte atunci:

    1 21 2 ... kpp p

    n kf a X x X x X x unde 1 2, ,..., kp p p sunt ordinele de multiplicitate a rdcinilor 1 2, ,..., kx x x

    Orice polinom de grad 1n cu coeficieni reali poate fi descompus ntr-un produs de polinoame de gradul I sau gradul II cu coeficieni reali.

    Pentru descompuneri cutm rdcini ntregi printre divizorii termenului liber aplicnd schema lui Horner.

    Dac cunoatem rdcinile 1 2, ,..., nx x x putem afla polinomul desfcnd parantezele 1 2 ...n na X x X x X x .

    n formula de descompunere 1 2 ...n nf a X x X x X x putem da valori particulare pentru nederminata X i vom obine diverse relaii.

    12) Polinoame reductibile-ireductibile Polinomul f cu , 1grad f n n se numete reductibil peste mulimea de numere M dac exist polinoamele g,h din M X de grade strict mai mici dect gradul lui f, astfel nct f g h . n caz contrar polinomul f este ireductibil peste mulimea M.

  • 5

    Orice polinom de grad 1 este ireductil Orice polinom de grad 2 este reductil peste Dac un polinom f M X este ireductibil peste o mulime de numere M atunci

    nu are rdcini n M dar invers nu adic dac f M X nu are rdcini n M nu nseamn c este ireductibil peste M

    Polinoamele ireductibile peste sunt de forma f ax b sau 2 , 0f ax bx c unde , ,a b c

    Un polinom f poate fi ireductibil peste o mulime dar reductibil peste alt mulime. 13) Relaii ntre rdcini i coeficieni-Relaiile lui Vite.

    Fie f X , 11 1 0...n nn nf a X a X a X a cu rdcinile 1 2, ,..., nx x x . Relaiile lui Vite sunt :

    11 1 2 ... nn

    n

    aV x x xa

    2

    3

    22 1 2 1 3 1

    33 1 2 3 1 2 4 2 1

    ...

    ...

    n

    n

    nn n

    nC termeni

    nn n n

    nC termeni

    aV x x x x x xa

    aV x x x x x x x x xa

    ....; 0

    1 2... ( 1) .n

    n nn

    aV x x xa

    Suma inverselor rdcinilor 11 2

    1 1 1... nn n

    Vx x x V

    Suma ptratelor rdcinilor 2 2 2 21 2 1 2... 2nx x x V V Dac 2 2 21 2 ... 0nx x x atunci polinomul nu are toate rdcinile reale Dac aplicm definiia rdcini pentru fiecare n parte atunci prin adunarea

    relaiilor putem obine informaii despre alte sume de puteri de rdcini Dac cunoatem 1 2, ,..., nV V V atunci ecuaia care are soluiile 1 2, ,..., nx x x este :

    1 21 2 ... ( 1) ... ( 1) 0.

    n n n k n k nk nx V x V x V x V

    14) Teorem. Orice ecuaiei polinomial de grad n are exact n rdcini complexe nu

    neaprat distincte. 15) Teorema fundamental a algebrei (teorema DAlembert Gauss). Orice ecuaie

    polinomial de grad mai mare sau egal cu 1 are cel puin o rdcin complex. 16) Teorema Abel-Ruffini . Orice ecuaie polinomial de grad mai mare dect 4 nu

    este rezolvabil prin radicali. 17) Rezo