Polinoame in Octave. Rezolvarea ecuatiilor algebrice polinomiale

Fie polinoamele:

Polinoamele se introduc in Octave ca vectori avand drept componente

coeficientii puterilor in ordinea descrescatoare a puterilor (pentru coeficientii puterilor care lipsesc se introduce 0). Exemplu:

Functia polyout(p,”x”) reface pe ecran polinomul sub forma algebrica .

Exemplu:

Adunarea a doua polinoame se face dupa regula adunarii a doi vectori. Daca polinoamele au grade diferite atunci inainte de adunare se aduc la aceisi dimensiune (in vectorul care contine coeficientii polinomului de grad mai mic, se introduce 0 pentru puterile care lipsesc). Exemplu:

Inmultirea a doua polinoame, functia conv(p1,p2) Exemplu:

Impartirea a doua polinoame, functia deconv(p1,p2) returneaza catul

impartirii polinomului p1 la p2. Exemplu:

Rezolvarea ecuatiilor algebrice polinomiale, functia roots(p)

Exemplu:

>>p1=[1 0 2 7],p2=[1 -4 1], p3=[1 zeros(1,199) -5 1]]

>>p1=polyout(p1,”x”), p1=polyout(p1,”s”)

>>p1=[1 0 2 7],p2=[0 1 -4 1], p=p1+p2

>>p3=conv(p1,p2), p4=conv(p1,p3)

>>c=deconv(p1,p2)

>>r1=roots(p1), r1=roots(p2), r1=roots(p3)

Construirea unui polinom cunoscand radacinile acestuia.Functia poly(v), unde v este vectorul care are drept componente radacinile. Exemplu:

Derivata unui polinom, functiile polyderiv(p) si polyder(p)

Exemplu:

Integrala nedefinita a unui polinom (primitiva), functia polyinteg(p) Exemplu:

Calculul valorii unui polinom pentru un x dat sau pentru mai multe valori

ale lui x, functia polyval(p,x1), polyval(p,[x1 x2 …xn]) Exemplu

Calculul polinomului caracteristic al unei matrici patratice A, functia

poly(A) Exemplu:

Polinoame de regresie de grad n, pentru functii de tip tabel ,functia

polyfit(x,y,n), x=variabila independenta, y=variabila dependenta, n=gradul

polinomului. Polinoamele sunt construite “in sensul celor mai mici patrate” Exemplu: Fie functia obtinuta in urma unui experiment

x 0 1 2 3 4 5

y 4 6 8 12 17 24

Sa se gaseasca un polinom care aproximeaza “cel mai bine” datele din table

Alte functii polinomiale: residue(p1,p2), compan(v),polyvalm(p,A)

>>v=[1 2 3 4 5], p=poly(v)

>>d1=polyder(p1), d2=polyder(p3)

>>i1=polyinteg(p1), d2=polyinteg(p2)

>>v1=polyval(p1, 3), v2=polyval(p1, [1 2 3 -4]),

>>A=[1 0 1;-2 3 5;0 -4 3],pc=poly(A), r=roots(pc)

>>x=0:5, y=[4 6 8 12 17 24], p=polyfit(x,y,1), val=polyval(p,y), eroare=y-val

Probleme propuse

1) Se dau polinoamele: p(x)=x-20, q(x)=x^4-10*x^3+35*x^2-50*x+24 Sa se calculeze: suma, diferenta, produsul polinoamelor p si q, radacinile ecuatiei q(x)=0, derivata de ordinul 1, 2 si 3 a functiei polinomiale q(x), integrala din functia q(x) si valoarea polinomului q(x) ,in x1=1, x2=1+2*i si x3=4 2) Sa se construiasca polinomul care are radacinile x1=1+i, x2=1-i, x3=1, x4=-1. Pentru polinomul obtinut sa se calculeze valoarea polinomului in x=5. Sa se reprezinte grafic cu personalizare (grid, xlabel, ylabel, title, legend) functia polinomiala obtinuta pe intervalul [-20,20] folosind o discretizare a intervalului de pas 0.1 3) Sa se calculeze radacinile ecuatiei P(X)=0, unde P(X)=x^101-1. Sa se recompuna polinomul P(X) folosind radacinile obtinute. Sa se verifice ca suma radacinilor este 0 ( teorema lui Viete) . 4) Sa se calculeze radacinile ecuatiei: x^7-(1+2*i)*x^2-i*x-(4-3*i)=0. Sa se calculeze suma,produsul si media aritmetica a radacinilor polinomului 5) Sa da polinomul p(x)=x^17-3*x+20. Se se calculeze derivata polinomului folosind functia polyderiv. Sa se afle o primitiva a polinomului folosind functia polyinteg 6) Sa dau sirurile : x=[ 1 4 7 9] si y=[1.2 15.5 45 93]. Folosind functia polyfit sa se afle un polinom de gradul doi care sa aproximeze functia tabelata y=f(x) in sensul celor mai mici patrate. Sa se calculeze erorile relative ale functiei in puctele vectorului x si sa se afle valorile polinomului in punctele x0=5, 8 si 14