UNIVERSITATEA ”OVIDIUS” CONSTANTAFACULTATEA DE MATEMATICA SI INFORMATICA

SCOALA DOCTORALA

TEZA DE DOCTORATREZUMAT

CONDUCATOR STIINTIFICPROF. UNIV. DR. MIRELA STEFANESCU

DOCTORANDANDA-GEORGIANA OLTEANU

CONSTANTA 2008

STUDIUL UNOR CLASE DE IDEALEMONOMIALE

Multumiri

Ii multumesc doamnei profesor Mirela Stefanescu pentru ındrumarea demersuluistiintific si pentru sprijinul moral acordat de-a lungul studiilor doctorale.

Le multumesc domnilor profesori Jurgen Herzog si Ezra Miller pentru inestima-bilele discutii si sugestii oferite ın timpul pregatirii acestei teze.

Ii sunt profund recunoscatoare doamnei profesor Viviana Ene, care a fost mereualaturi de mine ajutandu-ma sa trec peste inevitabilele obstacole prin ıncurajaripermanente si sfaturi inevaluabile.

Nu ın ultimul rand, doresc sa multumesc familiei mele care a fost un adevaratsprijin ın toata aceasta perioada.

Aceasta teza a fost elaborata cu sprijinul programului CEEX al MinisteruluiEducatiei, Cercetarii si tineretului, contract CEX 05-D11-11/2005 si al contractuluiCNCSIS TD 507/2007.

3

Introducere

La granita dintre algebra comutativa si algebra combinatoriala se afla clasa ide-alelor monomiale. Importanta lor este data de faptul ca multe probleme din studiulinelelor de polinoame pot fi reduse la cazul idealelor monomiale. In algebra comu-tativa, multi invarianti ai idealelor graduate pot fi studiati prin trecerea la idealulinitial relativ la o ordonare monomiala. Idealul monomial astfel obtinut pastreaza omare parte a invariantilor idealului originar si prezinta avantajul ca poate fi studiatfolosind tehnici combinatoriale precum si algoritmi din algebra computationala. Unexemplu edificator ın aceasta directie ıl constituie studierea functiilor Hilbert alealgebrelor standard graduate peste un corp comutativ k. In acest caz, rolul centralıl au idealele lexsegment. O caracterizare combinatoriala a functiilor Hilbert aleidealelor graduate a fost facuta de F.S. Macaulay [38]. Analogul liber de patrateal acestui rezultat – teorema Kruskal–Katona – descrie f–vectorii posibili ai com-plexelor simpliciale cu o multime de varfuri data. Impletind rezultatele obtinutede S. Eliahou si M. Kervaire [19] pentru idealele monomiale stabile cu tehnici delucru specifice idealelor generic initiale, ın 1993, A. Bigatti [6] si H. Hulett [32] audemonstrat independent ca idealele lexsegment au numerele Betti graduate maximeprintre toate idealele graduate cu o functie Hilbert data, tinand cont de caracteris-tica zero a corpului de baza. Un rezultat similar a fost obtinut de A. Aramova, J.Herzog si T. Hibi [4] pentru cazul idealelor monomiale libere de patrate.

Intre idealele monomiale libere de patrate si algebra combinatoriala exista ostransa legatura. Prin intermediul procesului de polarizare, oricarui ideal monomiali se poate asocia un ideal monomial liber de patrate ıntr-un inel de polinoame cuun numar mai mare de nedeterminate decat cel initial. Proprietatile omologice aleidealelor monomiale sunt pastrate prin procedeul de polarizare. Noul ideal monomialastfel obtinut, fiind liber de patrate, prezinta avantajul ca i se poate asocia uncomplex simplicial. De asemenea, oricarui complex simplicial i se poate asocia unideal monomial liber de patrate. Pe de o parte, aceasta asociere permite studiulcomplexelor simpliciale prin utilizarea metodelor algebrice. Un exemplu relevant ınacest sens este demonstratia data de Richard Stanley pentru conjectura marginii

i

superioare. Pe de alta parte, idealele monomiale libere de patrate pot fi studiateprin aplicarea unor tehnici combinatoriale complexelor simpliciale.

In prezent, una din metodele extrem de eficiente care pot fi utilizate ın studiulidealelor monomiale libere de patrate este dualitatea Alexander. Astfel, J.A. Eagonsi V. Reiner [17] au demonstrat ca inelul Stanley–Reisner al unui complex simpli-cial este Cohen–Macaulay daca si numai daca idealul Stanley–Reisner al dualuluiAlexander are rezolutie liniara.

Obiectivul central al acestei teze este studierea unor clase de ideale monomialesi anume idealele lexsegment si idealele monomiale cu caturi liniare. De asemenea,vom defini o noua clasa de ideale monomiale care, ın cazul particular al idealelorlibere de patrate, este strans legata de complexele simpliciale constructibile.

Teza este structurata ın patru capitole. Primul capitol are rolul de a prezentaprincipalele notiuni teoretice care vor fi intens utilizate ın restul capitolelor si de-buteaza cu siruri regulate si legatura cu depth-ul unui modul. Ne ındreptam apoiatentia asupra unor proprietati ale idealelor Cohen–Macaulay si reamintim catevadefinitii si rezultate cunoscute ale idealelor monomiale cu caturi liniare, ale ide-alelor stabile si ale idealelor lexsegment. Apoi, acordam atentie complexului Koszul,rezolutiei Eliahou-Kervaire pentru ideale stabile si constructiei unei rezolutii prinprocedeul de mapping cones ın cazul particular al idealelor monomiale cu caturiliniare. Facem o prezentare succinta a complexelor simpliciale reamintind diverseclase particulare si analizand apoi dualitatatea Alexander. In final, mentionamcateva proprietati ale grupurilor Coxeter si ale complexelor subcuvintelor ın grupuriCoxeter care vor fi utilizate ın ultimul capitol al tezei.

Capitolul al doilea este dedicat studiului idealelor lexsegment. Idealele lexseg-ment initiale sunt utilizate ın combinatorica extremala si ın teoria functiilor Hilbert.H. Hulett si H.M. Martin [33] au generalizat aceasta clasa, definind idealele lexseg-ment arbitrare de studiul carora s-au ocupat si A. Aramova, J. Herzog si E. De Negri[1] si [15]. In [1], acestia au caracterizat toate idealele lexsegment care au rezolutieliniara.

Fie S = k[x1, . . . , xn] inelul polinoamelor ın n nedeterminate cu coeficienti ıntr-un corp comutativ k si presupunem ca monoamele din S sunt ordonate lexicograficcu x1 > x2 > . . . > xn. Fie d ≥ 2 un numar ıntreg si notam cuMd multimea tuturormonoamelor de grad d din S. Pentru doua monoame u, v dinMd, cu u ≥lex v, poatefi considerata multimea

L(u, v) = {w ∈Md | u ≥lex w ≥lex v}care se numeste lexsegmentul determinat de monoamele u si v. Un ideal lexsegmentın S este un ideal monomial ın S care este generat de un lexsegment.

Pentru a demonstra ca toate idealele lexsegment cu rezolutie liniara au caturiliniare, analizam separat cazul idealelor lexsegment complete si cel al idealelor lexseg-ment care nu sunt complete.

Pentru cazul idealelor lexsegment complete, definim o relatie de ordine totalape multimea Md, notata ≺, astfel: pentru doua monoame w,w′ de grad d ın S,w = xα1

1 · · ·xαnn si w′ = xβ1

1 · · ·xβnn , spunem ca w ≺ w′ daca α1 < β1 sau α1 = β1 siw >lex w

′.

ii

Fie u, v monoame ın Md astfel ıncat I = (L(u, v)) este ideal lexsegment com-plet cu rezolutie liniara. Daca L(u, v) = {w1, . . . , wr} unde w1 ≺ w2 ≺ . . . ≺ wr,demonstram ca I are caturi liniare fata de aceasta ordonare a generatorilor min-imali monomiali. Determinam explicit functia de descompunere corespunzatoareacestei ordonari si demonstram ca aceasta este regulata. In consecinta, putem sascriem rezolutia libera minimala graduata pentru aceasta clasa de ideale utilizandrezultatele lui J. Herzog si Y. Takayama din [30].

Consideram acum cazul idealelor lexsegment cu rezolutie liniara care nu suntcomplete si demonstram ca toate aceste ideale au de asemenea caturi liniare, darfata de o alta ordonare a monoamelor. Fie u, v ∈ Md astfel ıncat I = (L(u, v))este un ideal lexsegment cu rezolutie liniara care nu este complet. Scriem idealul Ica suma a doua ideale monomiale J si K, unde J este generat de toate monoameledin L(u, v) care nu sunt divizibile cu x1 si K este generat de toate monoamele dinL(u, v) care sunt divizibile cu x1. Fie G(J) = {g1, . . . , gm}, g1 >lex . . . >lex gm siG(K) = {h1, . . . , hr}, h1 >lex . . . >lex hr unde notam cu >lex ordonarea lexicograficacu xn > xn−1 > . . . > x1. Demonstram ca I are caturi linare relativ la sirul demonoame g1, . . . , gm, h1, . . . , hr.

Determinam apoi dimensiunea Krull si depth-ul pentru idealele lexsegment arbi-trare si obtinem ca acesti invarianti pot fi calculati doar uitandu-ne la monoamele usi v care definesc lexsegmentul. Ca o consecinta, caracterizam toate idealele lexseg-ment care sunt Cohen–Macaulay. Rezultatele din acest capitol vor apare ın lucrarea[20] realizata ın colaborare cu V. Ene si L. Sorrenti.

In capitolul al treilea definim o noua clasa de ideale monomiale si anume idealeleconstructibile. Acest nou concept are la baza notiunea de complex simplicial con-structibil. Tinand cont de legatura dintre complexele simpliciale Cohen–Macaulay,complexele simpliciale shellable si idealele Stanley–Reisner ale dualului Alexander,avem urmatoarea diagrama:

∆ este shellable =⇒ ∆ este constructibil =⇒ ∆ este Cohen–Macaulaym m

I∆∨ este ideal cu I∆∨ este ideal cucaturi liniare rezolutie liniara

Apare natural problema determinarii idealului Stanley–Reisner al dualului Alexan-der asociat unui complex simplicial constructibil.

Pentru a da un raspuns aceastei probleme, definim notiunea de ideal constructibilsi demonstram ca un complex simplicial pur este constructibil daca si numai dacaidealul Stanley–Reisner al dualului Alexander este constructibil liber de patrate.Prin urmare, ın cazul idealelor monomiale libere de patrate generate ıntr-un singurgrad, au loc urmatoarele implicatii:

ideal monomial liber ideal constructibil ideal monomial liberde patrate cu =⇒ =⇒ de patrate cu rezolutiecaturi liniare liber de patrate liniara

.

iii

Demonstram ca aceleasi implicatii raman adevarate si pentru ideale monomialearbitrare, nu neaparat libere de patrate. Mai exact, demonstram ca toate idealeleconstructibile au rezolutie liniara. Aceasta ne permite sa obtinem o formula re-curenta pentru numerele Betti ale idealelor constructibile. Apoi, suntem interesatide comportamentul ”constructibilitatii” ın procesul de polarizare. Obtinem ca pro-prietatea de a fi constructibil este conservata prin acest proces. Acest fapt ne ajuta,ın ultima sectiune a capitolului, sa gasim exemple de ideale constructibile care nuau caturi liniare si care nu sunt libere de patrate.

In continuare analizam legatura dintre idealele cu caturi liniare si idealele con-structibile si obtinem ca toate idealele monomiale cu caturi liniare generate ıntr-unsingur grad sunt ideale constructibile. Numerele Betti ale idealelor monomiale cucaturi liniare generate ıntr-un singur grad sunt cunoscute [30]. Aceleasi numereBetti se obtin folosind formula de recurenta pentru idealele constructibile.

In finalul capitolului, analizam cateva exemple. Plecand de la complexe simpli-ciale, obtinem exemple de ideale constructibile libere de patrate care nu au caturiliniare si de ideale monomiale libere de patrate care au rezolutie liniara si nu suntconstructibile. De asemenea, consideram un exemplu de ideal constructibil carenu este liber de patrate si nu are caturi liniare. Rezultatele din acest capitol suntcuprinse ın lucrarea [44].

In ultimul capitol studiem o clasa particulara de complexe simpliciale, si anumecomplexele subcuvintelor ın grupuri Coxeter. E. Miller si A. Knutson [36] au definitaceasta clasa de complexe simpliciale pentru studiul polinoamelor Schubert si pentrua raspunde unor ıntrebari combinatoriale legate de idealele determinantale. Ei audemonstrat ca aceste complexe simpliciale sunt vertex-decomposabile [35] si, prinurmare, sunt shellable.

Demonstram direct shellabilitatea complexului subcuvintelor ın grupuri Coxeterfolosind dualitatea Alexander. Mai exact, aratam ca idealul Stanley–Reisner aldualului Alexander asociat complexului subcuvintelor are caturi liniare fata de or-donarea lexicografica a generatorilor minimali monomiali. Ca o consecinta, obtinemun shelling pe fatetele complexului subcuvintelor. Pentru idealul Stanley–Reisneral dualului Alexander, obtinem o margine superioara pentru dimensiunea proiec-tiva si, ın consecinta, obtinem o margine superioara pentru regularitatea idealuluiStanley–Reisner.

In ultima sectiune a acestui capitol avem ın vedere o clasa speciala de complexeale subcuvintelor. Fie (W,S) un sistem Coxeter, Q un cuvant de lungime n si πun element ın W . Notam cu ∆ complexul subcuvintelor, G(I∆∨) = {u1, . . . , ur} sis-temul minimal monomial de generatori al lui I∆∨ , u1 >lex . . . >lex ur, r ≤ n−`(π)+1si dr = r−1, unde dr = | set(ur)|. Pentru aceasta clasa, obtinem ca idealul Stanley–Reisner al dualului Alexander dual este izomorf cu un ideal monomial prim, J . Prinurmare, complexul Koszul asociat sirului de monoame din G(J) este izomorf curezolutia libera minimala graduata a inelului Stanley–Reisner al dualului Alexan-der. De asemenea, inelul Stanley–Reisner al lui ∆ este intersectie completa.

iv

In final, determinam toate complexele subcuvintelor din aceasta clasa care suntsfere simpliciale sau Cohen–Macaulay. Rezultatele din ultimul capitolul sunt cuprinseın [45].

v

Rezumat

Teza debuteaza cu prezentarea principalelor notiuni teoretice care vor fi in-tens utilizate. Astfel, sunt avute ın vedere sirurile regulate si legatura acestoracu depth-ul unui modul. Ne ındreptam apoi atentia asupra unor proprietati aleidealelor Cohen–Macaulay si reamintim cateva definitii si rezultate cunoscute aleidealelor monomiale cu caturi liniare, ale idealelor stabile si ale idealelor lexsegment.Apoi, reamintim complexul Koszul, rezolutia Eliahou-Kervaire pentru ideale stabilesi constructia unei rezolutii prin procedeul de mapping cones ın cazul particularal idealelor monomiale cu caturi liniare. Facem o prezentare succinta a complex-elor simpliciale reamintind diverse clase particulare si analizand apoi dualitatateaAlexander. In final, mentionam cateva proprietati ale grupurilor Coxeter si ale com-plexelor subcuvintelor ın grupuri Coxeter care vor fi utilizate ın ultimul capitol altezei.

Ideale lexsegment

Ne ocupam de studiul idealelor lexsegment si demonstram ca orice ideal lexseg-ment cu rezolutie liniara are caturi liniare relativ la o ordonare a generatorilor min-imali monomiali. Pentru ideale lexsegment complete cu rezolutie liniara, functia dedescompunere relativ la o anumita ordonare monomiala este regulata. Prin urmare,pot fi aplicate rezultatele din articolul lui J. Herzog si al lui Y. Takayama [30] pentrua obtine rezolutia libera minimala graduata pentru aceasta clasa de ideale.

Ultima parte a acestei sectiuni este destinata studiului unor invarianti ai ide-alelor lexsegment precum depth si dimensiune. Rezultatele obtinute demonstreazaca acesti invarianti pot fi calculati doar uitandu-ne la capetele lexsegmentului. Caaplicatie, caracterizam toate idealele lexsegment Cohen–Macaulay.

Fie S = k[x1, . . . , xn] inelul polinoamelor ın n nedeterminate cu coeficienti ıntr-un corp comutativ k si ordonam lexicografic monoamele din S astfel ıncat x1 > x2 >. . . > xn. Notam cuMd multimea tuturor monoamelor din S de grad d, unde d ≥ 2

1

2

este un numar ıntreg. Multimea

Li(u) = {w ∈Md : w ≥lex u}se numeste lexsegment initial, iar multimea

Lf (u) = {w ∈Md : u ≥lex w}este lexsegment final.

Fie u, v ∈ Md si u ≥lex v. Lexsegmentul definit de monoamele u si v estemultimea

L(u, v) = {w ∈Md : u ≥lex w ≥lex v}.Un ideal monomial generat de un lexsegment(initial, final) se numeste ideal lexseg-ment (initial, final). Idealele lexsegment initiale si finale au fost intens studiate [38],[32], [6], [16].

Idealele lexsegment arbitrare au fost definite de H. Hulett si H.M. Martin [33].A. Aramova, E. De Negri si J. Herzog [1] au studiat de asemenea aceste ideale si aucaracterizat toate idealele lexsegment care au rezolutie liniara. Se poate observa caidealele lexsegment initiale sunt stabile ın sensul definitiei lui S. Eliahou si al lui M.Kervaire. Idealele lexsegment finale sunt de asemenea stabile ın sensul lui S. Eliahousi al lui M. Kervaire, dar relativ la ordonarea nedeterminatelor xn > xn−1 > . . . > x1.Prin urmare, idealele lexsegment initiale si finale au caturi liniare relativ la ordonarealexicografica [50].

Ideale lexsegment complete. In aceasta sectiune avem ın vedere numai ide-alele lexsegment complete care au rezolutie liniara.

Teorema 1. Fie u = xa11 · · ·xann , cu a1 > 0, si v = xb11 · · ·xbnn monoame de grad

d, u ≥lex v, astfel ıncat I = (L(u, v)) este un ideal lexsegment complet. Atunci Iare rezolutie liniara daca si numai daca I are caturi liniare.

Din demonstratia teoremei 1 rezulta ca idealele lexsegment complete cu rezolutieliniara au caturi liniare fata de ordonarea ≺ definita astfel: pentru doua monoamew,w′ de grad d ın S, w = xα1

1 · · ·xαnn si w′ = xβ1

1 · · ·xβnn , spunem ca w ≺ w′ dacaα1 < β1 sau α1 = β1 si w >lex w

′.

Exemplu 2. Fie S = k[x1, x2, x3] si monoamele u = x1x2x3, v = x2x23 cu

u >lex v. Notam cu I idealul monomial generat de lexsegmentul L(u, v). Sistemulminimal monomial de generatori al idealului I este

G(I) = L(u, v) = {x1x2x3, x1x23, x

32, x

22x3, x2x

23}.

Idealul I este un ideal lexsegment complet cu rezolutie liniara. Notam monoameledin G(I) astfel: u1 = x1x2x3, u2 = x1x

23, u3 = x3

2, u4 = x22x3, u5 = x2x

23, deci

u1 >lex u2 >lex . . . >lex u5. Idealul (u1, u2) : u3 = (x1x3) nu este generat de variabileceea ce demonstreaza ca I nu are caturi liniare fata de ordonarea lexicografica amonoamelor din G(I).

Consideram acum ordonarea ≺ a monoamelor din L(u, v) si verificam prin calculdirect ca I are caturi liniare fata de aceasta ordonare. Notand monoamele dinG(I) astfel: u1 = x3

2, u2 = x22x3, u3 = x2x

23, u4 = x1x2x3, u5 = x1x

23, cu u1 ≺

3

u2 ≺ . . . ≺ u5, avem (u1) : u2 = (x2), (u1, u2) : u3 = (x2), (u1, u2, u3) : u4 =(x2, x3), (u1, u2, u3, u4) : u5 = (x2). Deci I are caturi liniare fata de ordonarea ≺ amonoamelor din L(u, v).

In cele ce urmeaza, ne ocupam de studiul functiei de descompunere pentru idealelexsegment complete cu rezolutie liniara. Functia de descompunere a unui idealmonomial cu caturi liniare a fost definita de J. Herzog si Y. Takayama ın [30].Demonstram ca idealele lexsegment complete care au caturi liniare relativ la ≺ au,de asemenea, functia de descompunere corespunzatoare acestei ordonari regulata.

Functia de descompunere corespunzatoare ordonarii ≺ a monoamelor din sis-temul minimal monomial de generatori al unui ideal lexsegment complet cu rezolutieliniara poate fi complet descrisa:

Lema 3. Fie I = (L(u, v)) un ideal lexsegment complet care are caturi liniarefata de ordonarea ≺ a generatorilor si fie g : M(I)→ G(I) functia de descompunerea lui I relativ la ≺. Daca w ∈ L(u, v) si s ∈ set(w), atunci

g(xsw) =

xswx1, daca xsw ≥lex x1v,

xswxmax(w)

, daca xsw <lex x1v.

Cunoscand functia de descompunere, putem demonstra urmatorul rezultat:

Teorema 4. Fie u = xa11 · · ·xann , v = xb11 · · ·xbnn , u, v ∈ Md, cu u ≥lex v, si

I = (L(u, v)) un ideal lexsegment complet cu rezolutie liniara. Atunci functia dedescompunere g : M(I) → G(I) corespunzatoare ordonarii ≺ a monoamelor dinG(I) este regulata.

Problema determinarii unei rezolutii pentru idealele lexsegment arbitrare nu estecomplet rezolvata. In cazul particular al idealelor lexsegment complete cu rezolutieliniara, pot fi aplicate rezultatele din articolul lui J. Herzog si Y. Takayama [30] siobtinem:

Teorema 5. Fie I = (L(u, v)) ⊂ S un ideal lexsegment complet cu caturi liniarerelativ la ≺ si F• rezolutia libera minimala graduata a lui S/I. Atunci morfismelerezolutiei F• sunt

∂(f(σ;w)) = −∑s∈σ

(−1)α(σ;s)xsf(σ \ s;w) +∑

s∈σ:xsw≥lexx1v

(−1)α(σ;s)x1f

(σ \ s; xsw

x1

)+

+∑

s∈σ:xsw<lexx1v

(−1)α(σ;s)xmax(w)f

(σ \ s; xsw

xmax(w)

), daca σ 6= ∅,

si

∂(f(∅;w)) = w altfel.

Prin conventie, f(σ;w) = 0 daca σ * set(w).

4

Exemplu 6. Fie u = x21x2 si v = x3

2 monoame de grad 3 ın inelul de polinoameS = k[x1, x2, x3]. Atunci

L(u, v) = {x32, x1x

22, x1x2x3, x1x

23, x

21x2}.

Idealul I = (L(u, v)) este ideal lexsegment complet care are caturi liniare fata deaceasta ordonare a generatorilor. Notam u1 = x3

2, u2 = x1x22, u3 = x1x2x3, u4 =

x1x23, u5 = x2

1x2. Avem set(u1) = ∅, set(u2) = {2}, set(u3) = {2}, set(u4) ={2}, set(u5) = {2, 3}. Fie F• rezolutia libera minimala graduata a lui S/I.

Deoarece max{| set(w)| : w ∈ L(u, v)} = 2, avem Fi = 0, pentru orice i ≥ 4.O baza pentru S−modulul F1 este {f(∅;u1), f(∅;u2), f(∅;u3), f(∅;u4), f(∅;u5)}.O baza pentru S−modulul F2 este

{f({2};u2), f({2};u3), f({2};u4), f({2};u5), f({3};u5)}.

O baza pentru S−modulul F3 este {f({2, 3};u5)}.Rezolutia libera minimala graduata F• este:

0 −→ S(−5)∂2−→ S(−4)5 ∂1−→ S(−3)5 ∂0−→ S −→ S/I −→ 0

unde morfismele sunt

∂0(f(∅;ui)) = ui, for 1 ≤ i ≤ 5,

deci

∂0 =(x3

2 x1x22 x1x2x3 x1x

23 x2

1x2

).

∂1(f({2};u2)) = −x2f(∅;u2) + x1f(∅;u1),∂1(f({2};u3)) = −x2f(∅;u3) + x3f(∅;u2),∂1(f({2};u4)) = −x2f(∅;u4) + x3f(∅;u3),∂1(f({2};u5)) = −x2f(∅;u5) + x1f(∅;u2),∂1(f({3};u5)) = x3f(∅;u5)− x1f(∅;u3),

prin urmare

∂1 =

x1 0 0 0 0−x2 x3 0 x1 0

0 −x2 x3 0 −x1

0 0 −x2 0 00 0 0 −x2 x3

.

∂2(f({2, 3};u5)) = −x2f({3};u5) + x3f({2};u5) + x1f({3};u2)− x1f({2};u3) =

= −x2f({3};u5) + x3f({2};u5)− x1f({2};u3),

deoarece {3} * set(u2), deci

∂2 =

0−x1

0x3

−x2

.

5

Ideale lexsegment care nu sunt complete. In continuare, ne ındreptamatentia asupra idealelor lexsegment cu rezolutie liniara care nu sunt complete.

Teorema 7. Fie u = xa11 · · ·xann , v = xb22 · · ·xbnn monoame de grad d ın k[x1, . . . ,

xn], cu a1 6= 0. Presupunem ca idealul I = (L(u, v)) nu este lexsegment complet.Atunci I are rezolutie liniara daca si numai daca I are caturi liniare.

Ordonarea monoamelor din sistemul minimal de generatori fata de care idealelelexsegment cu rezolutie liniara care nu sunt complete au caturi liniare se obtineastfel: scriem idealul I ca suma a doua ideale monomiale J si K, unde J este generatde toate monoamele din L(u, v) care nu sunt divizibile cu x1 si K este generat detoate monoamele din L(u, v) care sunt divizibile cu x1. Fie G(J) = {g1, . . . , gm},g1 >lex . . . >lex gm si G(K) = {h1, . . . , hr}, h1 >lex . . . >lex hr unde notam cu>lex ordonarea lexicografica cu xn > xn−1 > . . . > x1. Demonstram ca I are caturiliniare relativ la sirul de monoame g1, . . . , gm, h1, . . . , hr.

Exemplu 8. Fie I = (L(u, v)) ⊂ k[x1, . . . , x6] idealul lexsegment generat ıngrad 4, determinat de monoamele u = x1x

23x5 si v = x2x

36. Idealul I nu este ideal

lexsegment complet, dar are rezolutie liniara. Daca ordonam generatorii minimalimonomiali dupa regula anterioara, I are caturi liniare. Pe de alta parte, dacaordonam generatorii lui I dupa relatia de ordine definita pentru idealele lexsegmentcomplete cu rezolutie liniara, atunci I nu are caturi liniare. Intr-adevar, conformdefinitiei relatiei de ordine din Teorema 1, ar trebui sa avem

G(I) = {x42 ≺ x3

2x3 ≺ . . . ≺ x2x36 ≺ x1x

23x5 ≺ x1x

23x6 ≺ x1x3x

24 ≺ . . . ≺ x1x

36}.

Pentru monomul h = x1x3x24 se poate verifica usor ca I≺h : h nu este generat de

variabile.

Exemplu 9. Fie u = x1x3x4, v = x2x24 monoame ın k[x1, . . . , x4]. Idealul

I = (L(u, v)) ⊂ k[x1, . . . , x4] nu este ideal lexsegment complet, dar I are rezolutieliniara. I are caturi liniare relativ la urmatoarea ordonare a generatorilor minimalimonomiali:

x32, x

22x3, x

22x4, x2x

23, x2x3x4, x2x

24, x1x

24, x1x3x4.

Observam ca set(x1x24) = {2} si set(g(x1x2x

24)) = set(x2x

24) = {2, 3} * set(x1x

24),

deci functia de descompunere corespunzatoare acestei ordonari nu este regulata.

Ideale lexsegment Cohen–Macaulay. Ultima sectiune este destinata deter-minarii dimensiunii Krull si a depth-ului pentru ideale lexsegment arbitrare. Acesterezultate sunt apoi utilizate pentru a descrie idealele lexsegment care sunt Cohen–Macaulay.

Fie d ≥ 2 un numar ıntreg si notam m = (x1, . . . , xn). Daca I = (L(u, v)) ⊂ Seste un ideal lexsegment generat ın grad d, atunci dim(S/I) = 0 daca si numai dacaI = md.

Determinam dimensiunea Krull pentru idealele lexsegment I, I 6= md.

Propozitie 10. Fie u = xa11 · · ·xann , v = x

bqq · · ·xbnn , 1 ≤ q ≤ n, a1, bq > 0,

doua monoame de grad d astfel ıncat u ≥lex v si fie I idealul lexsegment generat de

6

L(u, v). Presupunem ca I 6= md. Atunci

dim(S/I) =

{n− q, daca 1 ≤ q < n,1, daca q = n.

Pentru a studia depth-ul idealelor lexsegment arbitrare, observam ca este sufi-cient sa analizam numai idealele lexsegment definite de monoame de grad d de formau = xa1

1 · · ·xann , v = xb11 · · ·xbnn cu a1 > 0 si b1 = 0.

Intr-adevar, daca a1 = b1, atunci I = (L(u, v)) este izomorf, ca S−modul, cuidealul generat de lexsegmentul L(u/xa1

1 , v/xb11 ) de grad d − a1. Acest lexsegment

poate fi studiat ıntr-un inel de polinoame cu un numar mai mic de nedeterminate.Daca a1 > b1, atunci I = (L(u, v)) este izomorf, ca S−modul, cu idealul generat

de lexsegmentul L(u′, v′), unde u′ = u/xb11 , ν1(u′) = a1 − b1 > 0 si v′ = v/xb11 cuν1(v′) = 0.

Tinand cont de aceste observatii, de acum ınainte vom considera numai idealele

lexsegment determinate de u = xa11 · · ·xann , v = x

bqq · · · xbnn , unde q ≥ 2, a1, bq > 0.

Propozitie 11. Fie I = (L(u, v)), unde u = xa11 · · ·xann , v = x

bqq · · ·xbnn , q ≥ 2,

a1, bq > 0. Atunci depth(S/I) = 0 daca si numai daca xnu/x1 ≥lex v.

Folosind teorema Auslander–Buchsbaum, obtinem urmatorul corolar.

Corolar 12. Fie I = (L(u, v)), unde u = xa11 · · · xann , v = x

bqq · · ·xbnn , q ≥ 2,

a1, bq > 0. Atunci proj dim(S/I) = n daca si numai daca xnu/x1 ≥lex v.

Putem calcula depth-ul ın cazul idealelor lexsegment finale.

Corolar 13. Fie I =(Lf (u)

)idealul generat de lexsegmentul final definit de

u = xa11 · · ·xann , a1 > 0. Atunci depth(S/I) = 0.

Corolar 14. Fie I = (Li(v)) idealul generat de lexsegmentul initial definit demonomul v. Atunci depth(S/I) = 0 daca si numai daca v ≤lex xd−1

1 xn.

In cele ce urmeaza, vom caracteriza idealele lexsegment I astfel ıncat depth S/I >0, adica xnu/x1 <lex v, ceea ce implica faptul ca u este de forma u = x1x

all · · ·xann ,

pentru un l ≥ 2, al > 0 si l > q, sau l = q si aq ≤ bq. Notam u′ = u/x1 = xall · · ·xann .Atunci avem xnu

′ <lex v. Din demonstratia Propozitiei 11 avem ca x1 − xn esteregulat pe S/I. Prin urmare

depth(S/I) = depth(S ′/I ′) + 1,

unde S ′ = k[x2, . . . , xn] si I ′ este ideal ın S ′ cu sistemul minimal de generatoriG(I ′) = xnL(u′, xd−1

n ) ∪ Li(v).

Lema 15. In notatiile si ipotezele anterioare asupra idealului lexsegment I, auloc urmatoarele:

(a) Daca v = xd2 si l ≥ 4, atunci depth(S ′/I ′) = l − 3.(b) Daca v = xd−1

2 xj pentru un 3 ≤ j ≤ n−2 si l ≥ j+2 atunci depth(S ′/I ′) =l − j − 1.

(c) depth(S ′/I ′) = 0 ın toate celelalte cazuri.

7

Folosind Lema 15 obtinem:

Propozitie 16. Fie I = (L(u, v)) idealul lexsegment definit de monoamele u =

x1xall · · ·xann , v = x

bqq · · · xbnn unde al, bq > 0, l, q ≥ 2 si xnu/x1 <lex v. Atunci au

loc urmatoarele:

(a) Daca v = xd2 si l ≥ 4 atunci depth(S/I) = l − 2;(b) Daca v = xd−1

2 xj pentru un 3 ≤ j ≤ n− 2 si l ≥ j+ 2 atunci depth(S/I) =l − j;

(c) depth(S/I) = 1 ın toate celelalte cazuri.

Din teorema Auslander–Buchsbaum obtinem urmatorul corolar.

Corolar 17. Fie I = (L(u, v)) idealul lexsegment definit de monoamele u =

x1xall · · ·xann , v = x

bqq · · ·xbnn unde al, bq > 0, l, q ≥ 2 si xnu/x1 <lex v. Atunci au

loc urmatoarele:

(a) Daca v = xd2 si l ≥ 4 atunci proj dim(S/I) = n− l + 2;(b) Daca v = xd−1

2 xj unde 3 ≤ j ≤ n− 2 si l ≥ j + 2, atunci proj dim(S/I) =n− l + j;

(c) proj dim(S/I) = n− 1 ın toate celelalte cazuri.

Ca o consecinta a acestor rezultate, putem caracteriza toate idealele lexsegmentCohen–Macaulay.

In primul rand, observam ca singurul ideal lexsegment Cohen–Macaulay cudim(S/I) = 0 este I = md. Prin urmare, mai trebuie sa consideram idealele Cohen–Macaulay I cu dim(S/I) ≥ 1.

Teorema 18. Fie n ≥ 3 un numar ıntreg, u = xa11 · · ·xann , v = xb11 · · ·xbnn , cu

a1 > b1 ≥ 0, monoame de grad d si I = (L(u, v)) ⊂ S idealul lexsegment definit de usi v. Presupunem ca dim(S/I) ≥ 1. Atunci I este Cohen–Macaulay daca si numaidaca este ındeplinita una din urmatoarele conditii:

(a) u = x1xd−1n si v = xd2;

(b) v = xan−1xd−an , unde a > 0 si xn u/x1 <lex v.

Ideale constructibile

Definim o noua clasa de ideale monomiale si anume idealele constructibile sidemonstram ca idealele constructibile libere de patrate sunt strans legate de com-plexele simpliciale constructibile. Apoi determinam proprietati ale idealelor con-structibile si obtinem o formula pentru numerele Betti.

Ideale constructibile si complexe simpliciale constructibile. Fie S =k[x1, . . . , xn] inelul polinoamelor ın n nedeterminat cu coeficienti ıntr-un corp co-mutativ, k. Pentru un ideal monomial I ın S, vom nota cu G(I) sistemul minimalmonomial de generatori al idealului I.

Definitie 19. Un ideal monomial I ın S generat ın grad q este ideal constructibildaca poate fi obtinut dupa urmatorul procedeu recursiv:

(i) Daca u este un monom ın S si I = (u), atunci I este ideal constructibil;

8

(ii) Daca I1, I2 sunt ideale constructible generate ın grad q si I1 ∩ I2 este idealconstructibil generat ın grad q + 1, atunci I1 + I2 este ideal constructibil.

Observam ca procedeul se va opri. Intr-adevar, fie G(I) = {u1, . . . , ur} si con-sideram I = I1 +I2. Atunci, ın I1∩I2, generatorii minimali monomiali contin fiecarevariabila la o putere care este mai mica sau cel mult egala cu maximul exponentiloracelei variabile ın toti generatorii minimali monomiali ai lui I. Daca notam cu aimaximul exponentilor variabilei xi ın sistemul minimal monomial de generatori alidealului I si cu a = (a1, . . . , an), atunci procedeul recursiv se va opri dupa cel mult|a| := a1 + . . .+ an pasi.

Observatiile anterioare sugereaza ca am putea considera si o alta definitie pentruidealele constructibile.

Fie a = (a1, . . . , an) ∈ Zn>0. Notam

Ma = {xb11 · · ·xbnn : 0 ≤ bi ≤ ai pentru orice 1 ≤ i ≤ n}

si

Ja = {I : I este ideal monomial ın S cu G(I) ⊆Ma}.Fie |a| = a1 + . . .+ an.

Observam ca, daca I, J ∈ Ja, atunci I ∩ J ∈ Ja.

Definitie 20. Fie I ∈ Ja un ideal monomial generat ın grad q. I este ideala–constructibil daca poate fi obtinut prin urmatorul procedeu recursiv:

(i) Daca u ∈Ma si I = (u), atunci I este un ideal a–constructibil;(ii) Daca I1, I2 ∈ Ja sunt ideale a–constructibile generate ın grad q < |a| si

I1∩I2 ∈ Ja este un ideal a–constructibil generat ın grad q+1, atunci I1 +I2

este un ideal a–constructibil.

Fie a = 1, unde 1 = (1, . . . , 1) ∈ Zn>0. Avem

M1 = {xb11 · · ·xbnn : bi ∈ {0, 1}, 1 ≤ i ≤ n}

si

J1 = {I : I este ideal monomial ın S cu G(I) ⊆M1}.Toate idealele din J1 sunt ideale monomiale libere de patrate. In particular,

un ideal 1−constructibil este un ideal monomial liber de patrate. Spunem ca unideal monomial I este ideal constructibil liber de patrate daca I este un ideal 1–constructibil, adica I este un ideal monomial liber de patrate care este constructibil.

Este important de observat faptul ca singurul ideal din Ja generat ın grad |a| esteidealul principal I = (xa1

1 · · ·xann ). Aceasta observatie justifica faptul ca procedeulse va opri.

Este evident ca un ideal monomial I este ideal constructibil (ın sensul Definitiei19) daca si numai daca exista a ∈ Zn

>0 astfel ıncat I sa fie ideal a−constructibil.Chiar daca Definitia 20 pare mult mai tehnica, ea se dovedeste extrem de utila ındemonstratii.

Acum putem face legatura ıntre notinea de ideal constructibil si cea de complexsimplicial constructibil.

9

Teorema 21. Fie ∆ un complex simplicial pur cu multimea de varfuri [n] ={1, . . . , n}. Urmatoarele afirmatii sunt echivalente:

(a) ∆ este constructibil.(b) I∆∨ este un ideal constructibil liber de patrate.

In consecinta, avem urmatoarea diagrama pentru complexe simpliciale pure sirelatia cu idealul Stanley–Reisner al dualului Alexander:

∆ este shellable =⇒ ∆ este constructibil =⇒ ∆ este Cohen–Macaulaym m m

I∆∨ este ideal cu =⇒ I∆∨ este ideal =⇒ I∆∨ este ideal cucaturi liniare constructibil rezolutie liniara

·

Proprietati ale idealelor constructibile. Din diagrama anterioara se poateobserva ca, pentru idealele monomiale libere de patrate generate ıntr-un singur grad,exista urmatoarele implicatii:

ideal monomial liber de ideal constructibil ideal monomial liber depatrate cu caturi =⇒ =⇒ patrate cu rezolutie

liniare liber de patrate liniara.

Scopul nostru este sa demonstram ca aceste implicatii au loc pentru ideale mono-miale generate ıntr-un singur grad, nu neaparat libere de patrate.

Vom demonstra ıntai ca orice ideal constructibil are rezolutie liniara si vomdetermina numerele Betti.

Teorema 22. Fie S = k[x1, . . . , xn] inelul polinoamelor cu coeficienti ıntr-uncorp comutativ k si I un ideal constructibil ın S generat ın grad q. Atunci I arerezolutie q–liniara.

Din demonstratia teoremei anterioare reiese o metoda pentru a calcula numereleBetti pentru ideale constructibile. Prin urmare, obtinem urmatorul corolar.

Corolar 23. Fie S = k[x1, . . . , xn] inelul polinoamelor cu coeficienti ıntr-un corpcomutativ k si I un ideal constructibil generat ın grad q. Presupunem ca I1 si I2

sunt ideale constructibile generate ın grad q astfel ıncat I1∩I2 este ideal constructibilgenerat ın grad q + 1 si I = I1 + I2. Atunci

βi(I) = βi(I1) + βi(I2) + βi−1(I1 ∩ I2).

Demonstram apoi ca proprietatea de a fi constructibil se pastreaza ın timpulprocesului de polarizare.

Propozitie 24. Fie I un ideal constructibil ın S. Atunci P (I) este un idealconstructibil liber de patrate.

10

Ideale cu caturi liniare. Aceasta sectiune urmareste descrierea legaturii dintreidealele monomiale cu caturi liniare si idealele constructibile.

Propozitie 25. Fie I un ideal monomial ın S cu caturi liniare generat ın gradq. Atunci I este ideal constructibil.

Obtinem aceeasi formula ca si J. Herzog si Y. Takayama [30] pentru numereleBetti ale unui ideal monomial cu caturi liniare generate ıntr-un singur grad.

Propozitie 26. Fie I un ideal monomial ın S generat ın grad q, G(I) ={u1, . . . , um} si presupunem ca I are caturi liniare fata de sirul u1, . . . , um. NotamIk = (u1, . . . , uk) si fie dk numarul de generatori minimali monomiali ai idealuluiIk−1 : (uk). Atunci

βi(I) =m∑k=2

(dki

),

pentru orice i ≥ 1.

Propozitie 27. Fie I = (u1, . . . , ur) un ideal monomial ın S. Atunci I arecaturi liniare relativ la sirul u1, . . . , ur daca si numai daca P (I) are caturi liniarerelativ la sirul u′1, . . . , u

′r.

Exemple. Vom analiza cateva exemple. Primele doua exemple au la baza ide-alele Stanley–Reisner corespunzatoare unor complexe simpliciale.

Exemplu 28. M. Hachimori [26] a construit urmatorul complex simplicial con-structibil care nu este shellable.

03

2

3

0

23 1

0

1

2

1

9

8

4 5

7 6

Complexul simplicial este constructibil deoarece ıl putem divide dupa linia bol-data si obtinem doua complexe simpliciale shellable ∆1 si ∆2 de dimensiune 2 acaror intersectie este un complex simplicial shellable 1−dimensional.

Un shelling al fatetele complexului simplicial ∆1 este:

{0, 3, 9}, {2, 3, 9}, {2, 8, 9}, {2, 3, 8}, {0, 3, 8}, {0, 7, 8}, {0, 3, 7}, {2, 3, 7}, {2, 6, 7},{5, 6, 7}, {5, 7, 8}, {4, 5, 8}, {4, 8, 9}, {0, 4, 9}.

11

Pentru complexul simplicial ∆2, o ordonare shelling a fatetelor este

{0, 1, 4}, {1, 2, 4}, {2, 4, 5}, {1, 2, 5}, {0, 1, 5}, {0, 5, 6}, {0, 1, 6}, {1, 2, 6}.Complexul simplicial ∆1 ∩ ∆2 are o ordonare shelling a fatetelor {0, 4}, {4, 5}

{5, 6}, {2, 6}.Pentru dualul Alexander al lui ∆1, idealul Stanley–Reisner este

I∆∨1= (x1x2x4x5x6x7x8, x0x1x4x5x6x7x8, x0x1x3x4x5x6x7,

x0x1x4x5x6x7x9, x1x2x4x5x6x7x9, x1x2x3x4x5x6x9,

x1x2x4x5x6x8x9, x0x1x4x5x6x8x9, x0x1x3x4x5x8x9,

x0x1x2x3x4x8x9, x0x1x2x3x4x6x9, x0x1x2x3x6x7x9,

x0x1x2x3x5x6x7, x1x2x3x5x6x7x8).

Idealul Stanley–Reisner al dualului Alexander al lui ∆2 este:

I∆∨2= (x2x3x5x6x7x8x9, x0x3x5x6x7x8x9, x0x1x3x6x7x8x9,

x0x3x4x6x7x8x9, x2x3x4x6x7x8x9, x1x2x3x4x7x8x9,

x2x3x4x5x7x8x9, x0x3x4x5x7x8x9).

Idealele I∆∨1si I∆∨2

au caturi liniare. Deoarece

I∆∨1∩ I∆∨2

= I(∆1∩∆2)∨ = (x1x2x3x5x6x7x8x9, x0x1x2x3x6x7x8x9,

x0x1x2x3x4x7x8x9, x0x1x3x4x5x7x8x9),

idealul I∆∨1∩I∆∨2

are caturi liniare. Atunci I∆∨ = I∆∨1+I∆∨2

este un ideal constructibilliber de patrate si I∆∨ nu are caturi liniare deoarece ∆ nu este shellable.

Vom considera un ideal monomial liber de patrate care are rezolutie liniara sicare nu este constructibil.

Exemplu 29. Consideram complexul simplicial Dunce Hat. Este cunoscut fap-tul ca Dunce Hat este Cohen–Macaulay, dar nu este constructibil (M. Hachimori[26]).

1

3

2

1 3 2 1

2

3

65

48

7

12

Idealul Stanley–Reisner al dualului Alexander dual al lui ∆ este:

I∆∨ = (x3x5x6x7x8, x3x4x5x6x8, x3x4x5x6x7, x2x5x6x7x8,

x2x4x6x7x8, x2x4x5x7x8, x2x3x4x7x8, x2x3x4x5x6,

x1x4x6x7x8, x1x4x5x6x8, x1x4x5x6x7, x1x3x6x7x8,

x1x2x5x6x7, x1x2x4x5x8, x1x2x3x7x8, x1x2x3x5x7,

x1x2x3x4x5)

si nu este un ideal constructibil, dar are rezolutie liniara.

Ultimul exemplu se refera la un ideal constructibil care nu are caturi liniare sinu este liber de patrate. Justificam acest lucru folosind faptul ca proprietatea de afi constructibil se pastreaza ın timpul procedeului de polarizare.

Exemplu 30. Fie I ∈ k[x1, . . . , x8] idealul monomial

I = (x1x2x5x6x7x8, x2x3x5x6x7x8, x22x3x5x6x7, x

22x3x4x6x7, x1x

22x3x6x7,

x2x3x4x5x7x8, x22x3x4x7x8, x1x2x3x4x7x8, x

21x3x4x7x8, x

21x3x4x5x8,

x1x3x4x6x7x8, x1x4x5x6x7x8, x21x4x5x6x8, x

21x2x4x5x8, x1x

22x5x6x8,

x1x22x3x6x8, x

21x

22x3x6, x

21x

22x5x6, x

21x2x5x6x7, x

21x2x4x5x7, x

21x

22x4x5)

Atunci I = I1 + I2, unde

I1 = (x1x2x5x6x7x8, x2x3x5x6x7x8, x22x3x5x6x7, x

22x3x4x6x7, x1x

22x3x6x7,

x2x3x4x5x7x8, x22x3x4x7x8, x1x2x3x4x7x8, x

21x3x4x7x8, x

21x3x4x5x8,

x1x3x4x6x7x8, x1x4x5x6x7x8, x21x4x5x6x8, x

21x2x4x5x8)

si

I2 = (x1x22x5x6x8, x1x

22x3x6x8, x

21x

22x3x6, x

21x

22x5x6, x

21x2x5x6x7, x

21x2x4x5x7,

x21x

22x4x5)

cu

I1 ∩ I2 = (x1x22x5x6x7x8, x

21x2x5x6x7x8, x

21x2x4x5x7x8, x

21x

22x4x5x8, x1x

22x3x6x7x8,

x21x

22x3x6x7)

Deoarece I1 si I2 sunt ideale monomiale cu caturi liniare generate ın grad 6, si I1∩I2

este ideal monomial generat ın grad 7 si are caturi liniare, obtinem ca I este idealconstructibil.

Fie ∆ = ∆1 ∪∆2 complexul simplicial construit de G.M. Ziegler cu 10 varfuri si21 fatete (G.M. Ziegler [57]):

∆1 = 〈{1, 2, 3, 4}, {1, 2, 4, 9}, {1, 4, 8, 9}, {1, 5, 8, 9}, {1, 4, 5, 8}, {1, 2, 6, 9},{1, 5, 6, 9}, {1, 2, 5, 6}, {2, 5, 6, 10}, {2, 6, 7, 10}, {1, 2, 5, 10}, {1, 2, 3, 10},{2, 3, 7, 10}, {2, 3, 6, 7}〉

∆2 = 〈{1, 3, 4, 7}, {1, 4, 5, 7}, {4, 5, 7, 8}, {3, 4, 7, 8}, {2, 3, 4, 8}, {2, 3, 6, 8},{3, 6, 7, 8}〉.

Acest complex simplicial este constructibil, dar nu este shellable (G.M. Ziegler [57]).

13

Polarizatul lui I ın inelul de polinoame k[x1, x1,1, x2, x2,1, x3, . . . , x8], cu x1,1 = x9

si x2,1 = x10, este idealul Stanley–Reisner al dualului Alexander asociat complexuluisimplicial anterior. Atunci, conform Propozitiei 27, I nu are caturi liniare.

Complexul subcuvintelor ın grupuri Coxeter

Ne vom ındrepta acum atentia asupra complexului subcuvintelor ın grupuri Cox-eter. A. Knutson si E. Miller [35] au demonstrat vertex-decomposabilitatea com-plexului subcuvintelor. Deoarece orice complex simplicial vertex-decomposabil esteshellable (L.J. Billera si J.S. Provan [7]), complexul subcuvintelor ın grupuri Coxetereste shellable.

Obtinem urmatoarele rezultate:

• Demonstram direct shellabilitatea complexului subcuvintelor ın grupuriCoxeter utilizand dualitatea Alexander.• Ca o consecinta, obtinem un shelling pe fatetele complexului subcuvintelor.• Studiem idealul Stanley–Reisner al dualului Alexander pentru o clasa spe-

ciala a complexului subcuvintelor.• Pentru aceasta clasa, demonstram ca inelul Stanley–Reisner este intersectie

completa.

Complexul subcuvintelor ın grupuri Coxeter si dualitatea Alexander.Fie (W,S) un sistem Coxeter, Q = (σ1, . . . , σn) un cuvant ın W , cu σi ∈ S, 1 ≤ i ≤n, si π un element ın W . Fie k[x1, . . . , xn] inelul polinoamelor ın n nedeterminate cucoeficienti ıntr-un corp comutativ k, unde n este lungimea cuvantului Q si ∆(Q, π)complexul subcuvintelor. Ne propunem sa determinam un shelling pe fatetele lui∆(Q, π). Pentru aceasta, consideram idealul Stanley–Reisner al dualului Alexanderasociat lui ∆(Q, π).

Fie ∆ un complex simplicial cu multimea de varfuri [n]. Reamintim ca idealulStanley–Reisner al dualului Alexander este

I∆∨ = (x[n]\F | F ∈ F(∆)),

unde notam cu xF monomul∏i∈F

xi si cu F(∆) multimea tuturor fatetelor lui ∆.

Deoarece ∆ = ∆(Q, π) este shellable, idealul Stanley–Reisner al dualului Alexan-der asociat lui ∆, I∆∨ , are caturi liniare [29]. Pentru a obtine un shelling pe fatetelelui ∆, trebuie sa definim o ordonare pe monoamele din sistemul minimal mono-mial de generatori ai lui I∆∨ astfel ıncat I∆∨ sa aiba caturi liniare fata de aceastaordonare.

Pentru un subcuvant P = (σi1 , . . . , σim) al lui Q, m ≤ n, vom nota cu xPmonomul xi1 · · ·xim din k[x1, . . . , xn]. Dat un ideal monomial I, notam cu G(I)sistemul minimal monomial de generatori al lui I.

In cazul particular al complexului subcuvintelor, idealul Stanley–Reisner al du-alului Alexander este

I∆∨ = (xP | P ⊆ Q, P reprezinta π).

14

Teorema 31. Fie ∆ complexul subcuvintelor ∆(Q, π). Atunci idealul Stanley–Reisner al dualului Alexander I∆∨ are caturi liniare relativ la ordonarea lexicograficaa monoamelor din sistemul minimal monomial de generatori.

Exemplu 32. Fie (S4, S) sistemul Coxeter si Q urmatorul cuvant de lungime8,

Q = (s1, s2, s1, s3, s1, s2, s3, s1).

Fie π = (1, 2, 4) un element din S4, `(π) = 4. Multimea tuturor expresiilor redusepentru π este

{s1s2s3s2, s1s3s2s3, s3s1s2s3}.Notam

Q = (σ1, σ2, σ3, σ4, σ5, σ6, σ7, σ8).

Multimea tuturor subcuvintelor lui Q care reprezinta π este

{(σ1, σ2, σ4, σ6), (σ1, σ4, σ6, σ7), (σ3, σ4, σ6, σ7), (σ4, σ5, σ6, σ7)}.Fie k[x1, . . . , x8] inelul polinoamelor cu coeficienti ıntr-un corp comutativ k. Ide-

alul Stanley–Reisner al dualului Alexander asociat lui ∆ este idealul monomial liberde patrate al carui sistem minimal monomial de generatori este

G(I∆∨) = {x1x2x4x6, x1x4x6x7, x3x4x6x7, x4x5x6x7}.Notam xP1 = x1x2x4x6, xP2 = x1x4x6x7, xP3 = x3x4x6x7, xP4 = x4x5x6x7 si avemxP1 >lex . . . >lex xP4 . Deoarece

(xP1) : xP2 = (x2), (xP1 ,xP2) : xP3 = (x1) si (xP1 ,xP2 ,xP3) : xP4 = (x1, x3),

I∆∨ are caturi liniare relativ la aceasta ordonare a monoamelor din G(I∆∨).

Ca o consecinta, obtinem un shelling pe multimea fatetelor complexului subcu-vintelor.

Corolar 33. Fie ∆ = ∆(Q, π) si G(I∆∨) = {xP1 , . . . , xPr}, cu xP1 >lex . . . >lex

xPr . Atunci Q \ P1, . . . , Q \ Pr este un shelling pe fatetele lui ∆.

Exemplu 34. Pentru complexul subcuvintelor din Exemplul 32, un shelling pefatetele lui ∆ este F1 = {σ3, σ5, σ7, σ8}, F2 = {σ2, σ3, σ5, σ8}, F3 = {σ1, σ2, σ5, σ8},F4 = {σ1, σ2, σ3, σ8}.

Observatie 35. Shellingul din Corolarul 33 pentru complexul subcuvintelor∆(Q, π) coincide cu shellingul obtinut inductiv prin descompunerea complexuluisubcuvintelor ∆(Q, π).

Exemplu 36. Studiem acelasi complex al subcuvintelor ca ın Exemplul 32. Amobtinut ca F1 = {σ3, σ5, σ7, σ8}, F2 = {σ2, σ3, σ5, σ8}, F3 = {σ1, σ2, σ5, σ8}, F4 ={σ1, σ2, σ3, σ8}, este un shelling pe fatetele lui ∆ (Exemplul 34). Demonstram caacelasi shelling se obtine inductiv din descompunerea lui ∆.

Fie Q′ = Q \ σ1. Deoarece `(σ1π) < `(π), avem ca

lk(σ1,∆) = ∆(Q′, π) = 〈{σ2, σ5, σ8}, {σ2, σ3, σ8}〉si

del(σ1,∆) = del(Q′, σ1π) = 〈{σ3, σ5, σ7, σ8}, {σ2, σ3, σ5, σ8}〉.

15

Notam ∆1 = 〈{σ2, σ5, σ8}, {σ2, σ3, σ8}〉 si ∆2 = 〈{σ3, σ5, σ7, σ8}, {σ2, σ3, σ5, σ8}〉.Aplicam acelasi procedeu pentru ∆1. Fie Q′′ = Q′ \ σ2. Deoarece `(σ2π) > `(π),avem

lk(σ2,∆1) = del(σ2,∆1) = ∆(Q′′, π) = 〈{σ5, σ8}, {σ3, σ8}〉.Notam aceste complex simplicial cu ∆′1 si Q′′′ = Q′′ \ σ2. Avem `(σ3π) < `(π).Atunci,

lk(σ3,∆′1) = ∆(Q′′′, π) = 〈{σ8}〉

si

del(σ3,∆′1) = ∆(Q′′′, σ3π) = ∆(Q′′′, s2s3s2) = 〈{σ5, σ8}〉.

Pentru complexul simplicial ∆2, deoarece `(σ2σ1π) < `(σ1π), avem

lk(σ2,∆2) = ∆(Q′′, σ1π) = ∆(Q′′, s2s3s2) = 〈{σ3, σ5, σ8}〉

si

del(σ2,∆2) = ∆(Q′′, σ2σ1π) = ∆(Q′′, s3s2) = 〈{σ3, σ5, σ7, σ8}〉.Atunci, obtinem urmatorul shelling pe fatetele complexului subcuvintelor ∆

{σ3, σ5, σ7, σ8}, {σ2, σ3, σ5, σ8}, {σ1, σ2, σ5, σ8}, {σ1, σ2, σ3, σ8}

care coincide cu shellingul din Exemplul 32.

In general, complexul subcuvintelor nu este shiftat, asa cum se poate observa ınexemplul urmator.

Exemplu 37. Fie (S4, S) sistemul Coxeter si Q cuvantul de lungime 6,

Q = (s1, s3, s3, s1, s2, s3).

Consideram, ca mai ınainte, π = (1, 2, 4) ∈ S4 cu `(π) = 4. Multimea tuturorexpresiilor reduse ale lui π este

{s1s2s3s2, s1s3s2s3, s3s1s2s3}.

Notam

Q = (σ1, σ2, σ3, σ4, σ5, σ6).

Multimea tuturor subcuvintelor lui Q care reprezinta π este

{(σ1, σ2, σ5, σ6), (σ1, σ3, σ5, σ6), (σ2, σ4, σ5, σ6), (σ3, σ4, σ5, σ6)}.

Atunci complexul subcuvintelor ∆ = ∆(Q, π) este complexul simplicial care arefatetele

F(∆) = {{σ3, σ4}, {σ2, σ4}, {σ1, σ3}, {σ1, σ2}}.Daca vom considera o ordonare a varfurilor astfel ıncat σ1 < σ3, uitandu-ne la fateta{σ3, σ4} si ınlocuind σ3 cu σ1, obtinem {σ1, σ4} care nu este fata ın ∆. Daca vomordona varfurile astfel ıncat σ3 < σ1, uitandu-ne la fateta {σ1, σ2} si ınlocuind σ1

cu σ3, obtinem multimea {σ2, σ3} care nu este fata ın ∆. Atunci ∆ nu este complexsimplicial shiftat.

Dimensiunea proiectiva a inelului Stanley–Reisner poate fi determinata usor.

16

Propozitie 38. Fie ∆ complexul subcuvintelor ∆(Q, π) si fie n lungimea lui Q.Atunci

proj dim(k[∆]) = `(π).

Se poate observa ca dimensiunea proiectiva a inelului Stanley–Reisner al com-plexului subcuvintelor nu depinde de cuvantul ales.

In cele ce urmeaza, determinam toate elementele multimii set(xP ), unde xP ∈G(I∆∨) si monoamele sunt ordonate descrescator ın ordonarea lexicografica. Vomavea nevoie de urmatoarea lema.

Lema 39. Fie I un ideal monomial liber de patrate cu G(I) = {w1, . . . , wr}si w1 >lex . . . >lex wr astfel ıncat I are caturi liniare fata de aceasta ordonare ageneratorilor. Atunci

set(wi) ⊆ [max(wi)] \ supp(wi),

pentru orice 1 ≤ i ≤ r, unde [max(wi)] = {1, 2, . . . ,max(wi)}.

In general, incluziunea este stricta, asa cum se poate observa din urmatorulexemplu.

Exemplu 40. Fie acelasi complex al subcuvintelor ca ın Exemplul 32. Observamca set(xP2) = {2}, set(xP3) = {1} si set(xP4) = {1, 3}. Avem

[max(xP4)] \ supp{xP4} = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} \ {4, 5, 6, 7} = {1, 2, 3},si set(xP4) ( {1, 2, 3}.

Vom nota cu Pj \ Pi cuvantul obtinut din Pj prin omiterea simetriilor sim-ple care apar atat ın Pi cat si ın Pj. De asemenea, scriem min(Pj \ Pi) pentrumin(xPj/ gcd(xPj ,xPi)).

Propozitie 41. Fie ∆ complexul subcuvintelor ∆(Q, π) si fie G(I∆∨) = {xP1 , . . . ,xPr}, unde xP1 >lex . . . >lex xPr . Pentru orice 1 ≤ i ≤ r, avem

set(xPi) = {min(Pj \ Pi) | 1 ≤ j < i}.

Observam ca, pentru ideale monomiale libere de patrate care au caturi liniarefata de ordonarea lexicografica a monoamelor din sistemul minimal monomial degeneratori w1, . . . , wr, egalitatea set(wi) = {min(supp(wj) \ supp(wi)) : 1 ≤ j < i}poate sa nu aiba loc.

Exemplu 42. Fie I = (x1x2x3, x2x3x4, x2x4x5) un ideal monomial liber depatrate ın inelul de polinoame k[x1, . . . , x5]. Notam w1 = x1x2x3, w2 = x2x3x4, w3 =x2x4x5, cu w1 >lex w2 >lex w3 si I are caturi liniare fata de aceasta ordonare a gene-ratorilor minimali monomiali. Avem ca set(w2) = {1} si set(w3) = {3}. Daca notamFi = supp(wi), 1 ≤ i ≤ 3, avem min(F1 \ F3) = {1} si {1} /∈ set(w3).

Fie ∆ complexul subcuvintelor ∆(Q, π) si G(I∆∨) = {xP1 , . . . ,xPr}. Pentrumonomul xPi din G(I∆∨), notam di = | set(xPi)|. Observam ca di ≤ i− 1.

Determinam o margine superioara pentru dimensiunea proiectiva a idealuluiStanley–Reisner al dualului Alexander.

17

Teorema 43. Fie Q = (σ1, . . . , σn) un cuvant ın W , π un element ın W si ∆complexul subcuvintelor ∆(Q, π). Atunci

proj dim(I∆∨) ≤ n− `(π).

Observatie 44. Fie Q = (σ1, . . . , σn) un cuvant ın W , π un element ın W si ∆complexul subcuvintelor ∆(Q, π). Fie G(I∆∨) = {xP1 , . . . ,xPr} cu xP1 >lex . . . >lex

xPr . Din Teorema 43, avem ca, daca exista 1 ≤ i ≤ r astfel ıncat di = i− 1, atuncii ≤ n− `(π) + 1.

Ca o consecinta a Teoremei 43, obtinem o margine superioara pentru regulari-tatea idealului Stanley–Reiner al complexului subcuvintelor.

Corolar 45. Fie Q = (σ1, . . . , σn) un cuvant ın W , π ∈ W un element si ∆complexul subcuvintelor ∆(Q, π). Atunci

reg(I∆) ≤ n− `(π) + 1.

Urmatoarele rezultate sunt utile ın ultima sectiune.

Lema 46. Fie u, v, w monoame de acelasi grad ın k[x1, . . . , xn]. Presupunemca u, v >lex w si min(u/ gcd(u,w)) 6= min(v/ gcd(v, w)). Atunci u >lex v daca sinumai daca min(u/ gcd(u,w)) < min(v/ gcd(v, w)).

Lema 47. Fie ∆ complexul subcuvintelor ∆(Q, π) si fie G(I∆∨) = {xP1 , . . . , xPr}cu xP1 >lex . . . >lex xPr . Presupunem ca exista 2 ≤ i ≤ r astfel ıncat di = i − 1.Atunci, pentru orice 1 ≤ j < i, dj = j − 1.

Lema 48. Fie ∆ complexul subcuvintelor ∆(Q, π) si fie G(I∆∨) = {xP1 , . . . ,xPr} sistemul minimal monomial de generatori al lui I∆∨, cu xP1 >lex . . . >lex xPr .Fie 2 ≤ i ≤ r. Atunci di = i − 1 daca si numai daca exista un unic l ∈ supp(xPi)astfel ıncat xPj = xmin(Pj\Pi)xPi/xl, pentru orice 1 ≤ j < i.

O clasa speciala de complexe ale subcuvintelor. In ultima sectiune, con-sideram numai complexele subcuvintelor ∆ = ∆(Q, π) cu proprietatea ca sistemulminimal monomial de generatori al lui I∆∨ are r ≤ n − `(π) + 1 elemente, unde n

este lungimea lui Q, si pentru care dr = r − 1. In propozitia urmatoare, construimo clasa de astfel de complexe ale subcuvintelor.

Propozitie 49. Fie π ∈ W un element si σ1 · · ·σ`(π) o expresie redusa pentruπ. Fie 1 ≤ i ≤ `(π) un numar ıntreg fixat si

Q = (σ1, σ2, . . . , σi−1, σi, σi, . . . , σi, σi+1, . . . , σ`(π))

un cuvant de lungime n ın W . Atunci sistemul minimal monomial de generatori allui I∆∨ are N = n− `(π) + 1 elemente si dN = N − 1.

Pentru aceasta clasa speciala de complexe ale subcuvintelor, idealul Stanley–Reisner al dualului Alexander are o anumita forma .

18

Lema 50. Fie ∆ complexul subcuvintelor ∆(Q, π) si presupunem ca lungimealui Q este n. Fie G(I∆∨) = {xP1 , . . . ,xPr} cu xP1 >lex . . . >lex xPr , r ≤ n− `(π) + 1si dr = r − 1. Atunci exista un unic l ∈ supp(xPr) astfel ıncat

I∆∨ =xPrxl

(xmin(P1\Pr), . . . , xmin(Pr−1\Pr), xl).

Ca o consecinta, putem determina ınaltimea idealului Stanley–Reisner al dualu-lui Alexander.

Corolar 51. Fie ∆ complexul subcuvintelor ∆(Q, π) si presupunem ca lungimealui Q este n. Fie G(I∆∨) = {xP1 , . . . ,xPr} cu xP1 >lex . . . >lex xPr , r ≤ n− `(π) + 1si dr = r − 1. Atunci ht(I∆∨) = 1.

Notam R = k[x1, . . . , xn]. Vom determina rezolutia libera minimala graduata ainelului Stanley–Reisner al dualului Alexander.

Teorema 52. Fie ∆ complexul subcuvintelor ∆(Q, π) si presupunem ca lungi-mea lui Q este n. Fie G(I∆∨) = {xP1 , . . . ,xPr} cu xP1 >lex . . . >lex xPr , r ≤n− `(π) + 1 si dr = r− 1. Atunci exista un unic ıntreg l ∈ [n] astfel ıncat complexulKoszul asociat sirului

xmin(P1\Pr), . . . , xmin(Pr−1\Pr), xl

este izomorf cu rezolutia libera minimala graduata a lui k[∆∨].

Corolar 53. Fie ∆ complexul subcuvintelor ∆(Q, π) si presupunem ca lungimealui Q este n. Fie G(I∆∨) = {xP1 , . . . ,xPr} cu xP1 >lex . . . >lex xPr , r ≤ n− `(π) + 1si dr = r − 1. Atunci

βi(I∆∨) =(

ri+1

),

pentru orice i.

Determinam numaratorul Hilbert al seriei Hilbert pentru idealul Stanley–Reisneral dualului Alexander.

Corolar 54. Fie ∆ complexul subcuvintelor ∆(Q, π) si presupunem ca lungimealui Q este n. Fie G(I∆∨) = {xP1 , . . . ,xPr} cu xP1 >lex . . . >lex xPr , r ≤ n−`(π)+1 sidr = r− 1. Atunci numaratorul Hilbert al seriei Hilbert a idealului Stanley–Reisneral dualului Alexander este

KI∆∨ (t) =r−1∑i=0

(−1)i(

ri+1

)ti+`(π).

Corolar 55. Fie Q un cuvant ın W de lungime n care contine π, ∆ complexulsubcuvintelor ∆(Q, π) si G(I∆∨) = {xP1 , . . . ,xPr} cu xP1 >lex . . . >lex xPr , r ≤n− `(π) + 1 si dr = r − 1. Atunci exista

(rj+1

)subcuvinte P ale lui Q astfel ıncat

δ(P ) = π si |P | = j + `(π) pentru 0 ≤ j ≤ r − 1.

Caracterizam toate complexele subcuvintelor din aceasta clasa care sunt sferesimpliciale.

Corolar 56. Fie Q un cuvant ın W de lungime n care contine π, ∆ complexulsubcuvintelor ∆(Q, π) si G(I∆∨) = {xP1 , . . . ,xPr} cu xP1 >lex . . . >lex xPr , r ≤n − `(π) + 1 si dr = r − 1. Atunci ∆ este sfera simpliciala daca si numai dacar = n− `(π) + 1.

Propozitie 57. Fie ∆ complexul subcuvintelor ∆(Q, π) si presupunem ca lungi-mea lui Q este n. Fie G(I∆∨) = {xP1 , . . . ,xPr} cu xP1 >lex . . . >lex xPr , r ≤n− `(π) + 1 si dr = r − 1. Atunci k[∆] este inel intersectie completa.

Ca o consecinta, obtinem rezolutia libera minimala graduata pentru inelul Stanley–Reisner al unui complex al subcuvintelor din aceasta clasa.

Corolar 58. Fie ∆ complexul subcuvintelor ∆(Q, π) si presupunem ca lungi-mea lui Q este n. Fie G(I∆∨) = {xP1 , . . . ,xPr} cu xP1 >lex . . . >lex xPr , r ≤n−`(π)+1 si dr = r−1. Atunci exista un unic ıntreg l astfel ıncat complexul Koszulasociat sirului xmin(P1\Pr) . . . xmin(Pr−1\Pr)xl, xi : i ∈ supp(xPr/xl) este rezolutielibera minimala graduata a lui k[∆].

Putem descrie toate complexele subcuvintelor din aceasta clasa care au propri-etatea ca inelul Stanley–Reisner al dualului Alexander este Cohen–Macaulay.

Propozitie 59. Fie ∆ complexul subcuvintelor ∆(Q, π) si presupunem ca lungimealui Q este n. Fie G(I∆∨) = {xP1 , . . . ,xPr} cu xP1 >lex . . . >lex xPr , r ≤ n− `(π) + 1si dr = r−1. Atunci k[∆∨] este Cohen–Macaulay daca si numai daca I∆∨ este idealmonomial principal.

Bibliografie

[1] A. Aramova, E. De Negri, J. Herzog, Lexsegment ideals with linear resolutions, Illinois J.Math., 42(3), 1998, 509–523.

[2] A. Aramova, J. Herzog, Resolutions and Koszul homology, J.Pure Appl. Algebra, 105(1995),1–16.

[3] A. Aramova, J. Herzog, Koszul cycles and Eliahou-Kervaire resolutions, J. Algebra,183(1996), 347–370.

[4] A. Aramova, J. Herzog, T. Hibi, Squarefree lex-segment ideals, Math. Z., 228(1998), 353–378.[5] M. Auslander, D.A. Buchsbaum, Homological dimension in local rings, Trans. Amer. Math.

Soc., 85(1957), 390–405.[6] A. Bigatti, Upper bounds for the Betti numbers of a given Hilbert function, Comm. Algebra,

21(1993), 2317–2334.[7] L.J. Billera, J.S.Provan, A decomposition property for simplicial complexes and its relation

to diameters and shellings, Second International Conference on Combinatorial Mathematics(New York, 1978), New York Acad. Sci., New York, 1979, 82–85.

[8] A. Bjorner, F. Brenti, Combinatorics of Coxeter Groups, Springer Science+Business Media,Inc., 2005.

[9] A. Bjorner, G. Kalai, On f-vectors and homology, Combinatorial Mathematics: Proceed-ings of the Third International Conference (New York, 1985), Ann. New York Acad. Sci.555(1989),63–80.

[10] A. Bjorner, M.L. Wachs, Shellable non-pure complexes and posets II, Trans. Amer. Math.Soc., 349(1997), 39453975.

[11] W. Bruns, J. Herzog, Cohen–Macaulay Rings. Cambridge University Press, Cambridge, 1993.[12] N. Bourbaki, Groupes et algebres de Lie. Ch. 4–6, Hermann, Paris, 1968; Masson, Paris, 1981.[13] CoCoATeam, CoCoA: a system for doing Computations in Commutative Algebra, Disponibil

la http://cocoa.dima.unige.it.[14] I.S. Cohen, On the structure and ideal theory of complete local rings, Trans. Amer. Math. Soc.,

59(1946), 54–106.[15] E. De Negri, J. Herzog, Completely lexsegment ideals, Proc. Amer. Math. Soc., 126(1998),

3467–3473.[16] T. Deery, Rev-lex segment ideals and minimal Betti numbers, Preprint, 1996.[17] J.A. Eagon, V. Reiner, Resolutions of Stanley–Reisner rings and Alexander duality, J.Pure

and Appl. Algebra, 130(1998), 265–275.[18] D. Eisenbud, Commutative Algebra with a view toward Algebraic Geometry, Springer-Verlag,

New York, 1995.

21

[19] S. Eliahou, M. Kervaire, Minimal resolutions of some monomial ideals, J. Algebra, 129(1990),1–25.

[20] V. Ene, A. Olteanu, L. Sorrenti, Properties of lexsegment ideals, arXiv.org:0802.1279v1, trimisspre publicare.

[21] G. Evans, H. Charalambous, Resolutions obtained by iterated mapping cones, J. Algebra,176(1995), 750–754.

[22] S. Faridi, The facet ideal of a simplicial complex, Manuscripta Math. 109(2002), no. 2, 159–174.

[23] R. Froberg, A study of graded extremal rings and of monomial rings, Math. Scand. 51(1982),22–34.

[24] G.-M. Greuel, G. Pfister and H. Schonemann, Singular 2.0. A Computer Algebra Systemfor Polynomial Computations. Centre for Computer Algebra, University of Kaiserslautern,(2001), http://www.singular.uni-kl.de.

[25] M. Hachimori, Combinatorics of constructible complexes, PhD thesis.[26] M. Hachimori, Decomposition of two dimensional simplicial complexes, va apare ın Discrete

Mathematics.[27] J. Herzog, Combinatorics and Commutative Algebra, IMUB Lecture Notes, Vol. 2, 2006, 58–

106.[28] J. Herzog, T. Hibi, Monomials, va apare.[29] J. Herzog, T. Hibi, X. Zheng, Dirac’s theorem on chordal graphs and Alexander duality, Eu-

ropean J.Combin. 25(2004), no. 7, 949–960.[30] J. Herzog, Y. Takayama, Resolutions by mapping cones, Homology, Homotopy and Applica-

tions, 4(2)(2002), 277–294.[31] T. Hibi, Union and glueing of a family of Cohen–Macaulay partially ordered sets, Nagoya

Math. J. 107(1987), 91–119.[32] H. Hulett, Maximum Betti numbers for a given Hilbert function, Comm. Algebra, 21(1993),

2335–2350.[33] H. Hulett, H.M. Martin, Betti numbers of lex-segment ideals, J. Algebra, 275(2004), 629–638.[34] J.E. Humphreys, Reflection groups and Coxeter groups, Cambridge University Press, Cam-

bridge, 1990.[35] A. Knutson, E. Miller, Subword Complexes in Coxeter Groups, Advances in Math. 184(2004),

no. 1, 161-176.[36] A. Knutson, E. Miller, Grobner geometry of Schubert polynomials, Annals of Mathematics

161(2005), 1245-1318.[37] G. Lusztig, Hecke Algebras with Unequal Parameters, CRM Monographs Ser. 18, Amer. Math.

Soc., Providence, 2003.[38] F.S. Macaulay, Some properties of enumeration in the theory of modular systems,Proc. London

Math. Soc. 26(1927), 531–555.[39] H. Matsumura, Commutative ring theory, Second edition, Cambridge Studies in Advanced

Mathemathics 8, Cambridge University Press, Cambridge, New-York, 1989.[40] E. Miller, B. Sturmfels, Combinatorial Commutative Algebra, Graduate Texts in Mathematics,

Springer, 2005.[41] S. Moriyama, F. Takeuchi, Incremental construction properties in dimension two — shellabil-

ity, extendable shellability and vertex decomposability, Preprint.[42] A. Olteanu, Grupuri de simetrie ın plan si spatiu. Grupuri Coxeter, Lucrare de disertatie,

Universitatea Ovidius Constanta, 2006.[43] A. Olteanu, Grupuri Coxeter versus algebre Hecke, Proiect de cercetare, Universi-

tatea Ovidius Constanta, 2006, http://www.univ-ovidius.ro/MATH/default.aspx?cat=Cercetare&subcat=Preprint&item=MATH.

[44] A. Olteanu, Constructible ideals. arXiv:0711.1769v1. Acceptat spre publicare la Comm. inAlgebra.

[45] A. Olteanu, A note on the subword complexes in Coxeter groups, Preprint(2008).

22

[46] D. Rees, A theorem of homological algebra, Proc. Camb. Philos. Soc., 52(1956), 605–610.[47] G.A. Reisner, Cohen–Macaulay quotients of polynomial rings, Adv. in Math., 21(1976), 30–49.[48] T. Romer, Generalized Alexander duality and applications, Osaka J. Math., 38(2001), 469–485.[49] A. Soleyman Jahan, Prime filtrations of monomial ideals and polarizations, va apare ın J. Alg,

Arxiv:math.AC/0605119.[50] L. Sorrenti, Arbitrary lexsegment ideals with linear quotients and their minimal free resolu-

tions, Bull. Math. Soc. Sci. Math. Roumanie, 50(98)(2007), 355–369.[51] R. Stanley, The Upper Bound Conjecture and Cohen–Macaulay rings, Studies in Applied

Math. 54(1975), 135–142.[52] R.P. Stanley, Combinatorics and Commutative Algebra, Second Edition, Birkhauser, 1996.[53] N. Terai, Generalization of Eagon-Reiner theorem and h-vectors of graded rings, Preprint

2000.[54] W.V. Vasconcelos, Computational Methods in Commutative Algebra and Algebraic Geometry,

Springer-Verlag, 1998.[55] R.H. Villarreal, Monomial algebras, Dekker, New York, 2001.[56] E.C. Zeeman, On the dunce hat, Topology, 2(1964), 341–358.[57] G.M. Ziegler, Shelling polyhedral 3−balls and 4−polytopes, Discrete Comput. Geometry,

19(1998), 159–174.