Olimpiada Nat˘ional a de Matematic a CLASA a IX-a subiecte si bareme etapa...Olimpiada Nat˘ional a...
1
Societatea de tiin e Matematice din România Olimpiada Nat ¸ional˘ a de Matematic˘ a Etapa Judet ¸ean˘ a¸ si a Municipiului Bucure¸ sti, 18 martie 2017 CLASA a IX-a Problema 1. Fie A 1 ,B 1 ,C 1 picioarele ˆ ın˘ alt ¸imilor triunghiului ascut ¸itunghic ABC . Pe segmentele B 1 C 1 ,C 1 A 1 ,A 1 B 1 se consider˘a punctele X, Y , respectiv Z , astfel ˆ ıncˆ at C 1 X XB 1 = b cos C c cos B , A 1 Y YC 1 = c cos A a cos C ¸ si B 1 Z ZA 1 = a cos B b cos A . Ar˘ atat ¸i c˘a dreptele AX, BY ¸ si CZ sunt concurente. Gazeta Matematic˘ a Problema 2. Fie ABC un triunghi ˆ ın care O ¸ si I sunt respectiv centrul cercului circumscris ¸ si centrul cercului ˆ ınscris. Mediatoarele segmentelor IA,IB,IC seintersectez˘a dou˘ a cˆ ate dou˘a formˆ and triunghiul A 1 B 1 C 1 .Ar˘atat ¸i c˘ a -→ OI = --→ OA 1 + --→ OB 1 + --→ OC 1 . Problema 3. Fie (a n ) n≥1 o progresie aritmetic˘a de numere naturale nenule. Not˘ am S n = a 2 1 + a 2 2 + ··· + a 2 n , n ∈ N * .Ar˘atat ¸i c˘ a: a)Dac˘a p este un num˘ar prim, p ≥ 5, atunci S p se divide cu p; b) S 5 nu este p˘atrat perfect. Problema 4. Fie a, b, c numere reale pozitive cu proprietatea ab + bc + ca + abc = 4. Ar˘ atat ¸i c˘ a √ ab + √ bc + √ ca ≤ 3 ≤ a + b + c. Timp de lucru 4 ore. Fiecare problem˘ a este notat˘ a cu 7 puncte.
Transcript of Olimpiada Nat˘ional a de Matematic a CLASA a IX-a subiecte si bareme etapa...Olimpiada Nat˘ional a...
Societatea de �tiin �eMatematice din România
Olimpiada Nationala de MatematicaEtapa Judeteana si a Municipiului Bucuresti, 18 martie 2017
CLASA a IX-a
Problema 1. Fie A1, B1, C1 picioarele ınaltimilor triunghiului ascutitunghic ABC.Pe segmentele B1C1, C1A1, A1B1 se considera punctele X, Y , respectiv Z, astfel ıncat
C1X
XB1
=b cosC
c cosB,A1Y
Y C1
=c cosA
a cosCsiB1Z
ZA1
=a cosB
b cosA.
Aratati ca dreptele AX,BY si CZ sunt concurente.Gazeta Matematica
Problema 2. Fie ABC un triunghi ın care O si I sunt respectiv centrul cerculuicircumscris si centrul cercului ınscris. Mediatoarele segmentelor IA, IB, IC se intersectezadoua cate doua formand triunghiul A1B1C1. Aratati ca
−→OI =
−−→OA1 +
−−→OB1 +
−−→OC1.
Problema 3. Fie (an)n≥1 o progresie aritmetica de numere naturale nenule. NotamSn = a21 + a22 + · · ·+ a2n, n ∈ N∗. Aratati ca:
a) Daca p este un numar prim, p ≥ 5, atunci Sp se divide cu p;b) S5 nu este patrat perfect.
Problema 4. Fie a, b, c numere reale pozitive cu proprietatea ab+ bc+ ca+abc = 4.Aratati ca √
ab +√bc +
√ca ≤ 3 ≤ a + b + c.
Timp de lucru 4 ore.Fiecare problema este notata cu 7 puncte.
