Societatea de �tiin �eMatematice din România

Olimpiada Nationala de MatematicaEtapa Judeteana si a Municipiului Bucuresti, 18 martie 2017

CLASA a IX-a

Problema 1. Fie A1, B1, C1 picioarele ınaltimilor triunghiului ascutitunghic ABC.Pe segmentele B1C1, C1A1, A1B1 se considera punctele X, Y , respectiv Z, astfel ıncat

C1X

XB1

=b cosC

c cosB,A1Y

Y C1

=c cosA

a cosCsiB1Z

ZA1

=a cosB

b cosA.

Aratati ca dreptele AX,BY si CZ sunt concurente.Gazeta Matematica

Problema 2. Fie ABC un triunghi ın care O si I sunt respectiv centrul cerculuicircumscris si centrul cercului ınscris. Mediatoarele segmentelor IA, IB, IC se intersectezadoua cate doua formand triunghiul A1B1C1. Aratati ca

−→OI =

−−→OA1 +

−−→OB1 +

−−→OC1.

Problema 3. Fie (an)n≥1 o progresie aritmetica de numere naturale nenule. NotamSn = a21 + a22 + · · ·+ a2n, n ∈ N∗. Aratati ca:

a) Daca p este un numar prim, p ≥ 5, atunci Sp se divide cu p;b) S5 nu este patrat perfect.

Problema 4. Fie a, b, c numere reale pozitive cu proprietatea ab+ bc+ ca+abc = 4.Aratati ca √

ab +√bc +

√ca ≤ 3 ≤ a + b + c.

Timp de lucru 4 ore.Fiecare problema este notata cu 7 puncte.